автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Применение многомерной регрессионной модели в задачах построения математического описания производственных процессов (псевдонезависимая регрессионная модель)

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. РЕГРЕССИОННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ В ЗАДАЧАХ ИДЕНТИФИКАЦИИ МНОГОМЕРНЫХ ОБЪЕКТОВ.

§ I. Многомерный объект идентификации

§ 2. Основные предпосылки

§ 3. Регрессионное моделирование

ГЛАВА II. ПСЕВДОНЕЗАВИСИМАЯ РЕГРЕССИОННАЯ МОДЕЛЬ В УСЛОВИЯХ РАЗЛИЧНОЙ СПЕЦИФИКАЦИИ ОШИБОК.

§ I. Псевдонезависимая регрессионная модель при выполнении условий Гаусса - Маркова

§ I.I. Оценка ОМНК - теоретическая оценка параметров модели.

1.2. Оценка ковариационной матрицы ошибок.

1.3. Оценка Зельнера - практическая оценка параметров модели.

1.3Л. Асимптотические свойства

1.3.2. Свойства на конечной выборке

1.3.3. Свойства альтернативных оценок на малых выборках

§ 2. Псевдонезависимая регрессионная модель в условиях автокорреляции ошибок

2.1. Теоретическая оценка параметров модели

2.2. Оценка Паркса - обобщение оценки Зельнера на практике

2.2.1. Оценка параметров авторегрессионного процесса

2.2.2. Оценка ковариационной матрицы ошибок

2.2.3. Асимптотические свойства оценки Паркса

2.2.4. Сравнение альтернативных оценок параметров . 45 ВЫВОДЫ

ГЛАВА III. РАЗРАБОТКА МЕТОДОВ АНАЛИЗА ПСЕВДОНЕЗАВИСИМОЙ РЕГРЕССИОННОЙ МОДЕЛИ В УСЛОВИЯХ ГАУССА-МАРКОВА.

§1. Аналитические исследования сравнительной эффективности псевдонезависимой регрессионной модели в условиях

Гаусса-Маркова

§2. Метод корректного оценивания ошибок системы.

2.1. О некорректности оценок ошибок Е в виде регрессионных остатков

2.2. Метод многомерных дополнений

§3. Оценка ковариационной матрицы ошибок системы.

§4. Оценка стохастической связи псевдонезависимых регрессионных

4.1. Графический тест

4.2. Непараметрический тест.

4.3. Аналитический тест

§5. Выводы.

ГЛАВА 1У. РАЗРАБОТКА АЛГОРИТМА УПРАВЛЕНИЯ КОРРЕКЦИЕЙ ПСЕВДОНЕЗАВИСИМОЙ РЕГРЕССИОННОЙ МОДЕЛИ ПРИ НАРУШЕНИЯХ УСЛОВИЙ ГАУССА-МАРКОВА.

§1. К чему приводят нарушения предпосылок Гаусса-Маркова?.

§2. Обобщенный оператор оценивания псевдонезависимой регрессионной модели. Коррекция оценивателя вомнк.

§3. Усреднение по множеству входных сигналов системы.

§4. Критерий целесообразности коррекции оценивателя ОМНК как оперативная характеристика идентификации.

4.1. Оценка целесообразности коррекции оценивателя вомнк в случае непостоянства ошибок системы.

4.2. Оценка целесообразности коррекции оценивателя Вомнк в случае автокорреляции ошибок.

§5. Выводы.

ГЛАВА У. ИССЛЕДОВАНИЕ СВОЙСТВ' КОНКУРИРУЮЩИХ ОЦЕНОК ПСЕВДОНЕЗАВИСИМОЙ РЕГРЕССИОННОЙ МОДЕЛИ НА КОНЕЧНЫХ ВЫБОРКАХ.

§1. Технология эксперимента Монте-Карло.

§2. Конкурирующие методы оценивания параметров поевдонезависимой регрессионной модели

§3. Результаты моделирования. Сравнение альтернативных оценок

§4. Выводы.

ГЛАВА У1. ИДЕНТИФИКАЦИЯ ФИЗИЧЕСКОГО ПРОЦЕССА ЛЬДООБРАЗОВАНИЯ. МЕТОДИКА ОЦЕНКИ ЗОН ЛЬДООБРАЗОВАНИЯ НА ПРОФИЛЕ.

§1. Физические особенности обтекания профиля потоком водного аэрозоля. Зона льдообразования.

§2. Определение структуры и вида математической модели процесса льдообразования.

§3. Оценка протяженности зоны льдообразования и получение математического описания процесса в классе аэродинамических профилей.

§4. Выводы.

Актуальность работы. Интенсификация всех отраслей народного хозяйства, в том числе машиностроительной отрасли, является ключевой задачей экономической политики страны. На февральском (1983г.) внеочередном Пленуме ЦК КПСС определено, что "новая пятилетка прежде всего должна стать началом глубоких качественных изменений в производстве, пятилеткой решающего перелома в деле интенсификации всех отраслей нашего народного хозяйства". Обязательным условием решения этой сложной задачи является интенсификация научно-исследовательских и опытно-конструкторских работ (НИОКР). Как известно, особенность затрат на исследования и разработку новой техники состоит в том, что между их вложением и началом отдачи всегда имеется период, в течение которого народное хозяйство не получает экономического эффекта. Средняя цро-должительность НИОКР в отрасли машиностроения составляет около 70% полного цикла: исследование-производство /4/. Одним из наиболее продолжительных и дорогостоящих этапов НИОКР является этап экспериментальных исследований, стендовых и натурных испытаний образцов новой техники. В постановлении ЦК КПСС и Совета Министров СССР "О мерах по ускорению научно-технического прогресса в народном хозяйстве" в качестве одного из главных направлений по ускорению научно-технического прогресса указывается курс на широкую автоматизацию технологических процессов на базе новых технических средств и вычислительной техники. Сокращение продолжительности НИОКР в результате автоматизации технологических процессов исследований, стендовых и натурных испытаний является решающим фактором ускоренного внедрения новой техники в народное хозяйство.

Синтезу алгоритмической структуры автоматизированной системы управления технологическим процессом (АСУ ТП) предшествует решение задачи построения работоспособного математического описания (идентификации) многомерных объектов, под которыми будем понимать технические системы, технологические или физические процессы, имеющие несколько выходных каналов. Решение подобной задачи непосредственно связано с решением проблемы 03.01.02 "Разработать методы идентификации моделей технологических объектов" целевой комплексной программы 0.Ц.026 по созданию АСУ ТП на базе мини- и микро ЭВМ, утвержденной совместным постановлением ГКНТ СССР, ГОСПЛАНА СССР и АН СССР. Директивные документы (ОРММ АСУ ТП, ГОСТ 20913-75 АСУ ТП) трактуют получение математического описания технологического процесса как важнейший этап предпроектных научно-исследовательских работ при создании АСУ ТП действующего производства.

Наиболее универсальным методом идентификации многомерных объектов, является метод построения математического описания в терминах "вход-выход" на основе многомерной регрессионной модели. Универсальность регрессионных моделей заключается в их работоспособности в условиях реального производства, когда математическое описание объекта строится на основе ограниченного объема затушенных экспериментальных данных и достаточно низком уровне априорной информации о свойствах объекта. В качестве идентифицирующей модели в настоящей работе рассматривается псевдонезависимая регрессионная модель, которая представляет собой систему стохастически связанных одномерных регрессионных моделей кадцая из которых имеет свой набор входных переменных и выходную переменную (отклик). Будем называть в дальнейшем псевдонезависимую регрессионную модель стандартной, если её сопровождают предпосылки в виде условий Гаусса-Маркова. Это означает, что только одновременные наблюдения за

I , различными откликами многомерного объекта могут быть коррелированы.

Следует отметить, что система предпосылок в виде условий Гаусса-Маркова не предполагает знания закона распределения шумов, сопровождающих реальный объект, что позволяет рассматривать довольно обширный класс объектов производства.

Вопросы идентификации одномерных объектов, т.е. объектов имеющих один выходной канал, достаточно основательно разработаны как в теоретическом /9-12, 15-18, 50-55/, так и в методологическом /5-8/ плане. Однако, что касается вопросов идентификации многомерных объектов, имеющих несколько каналов, в каздом из которых наблюдаются свои входные и выходные сигналы, то здесь подробно излагаются теоретические аспекты оценивания параметров объектов ;на основе псевдонезависимой регрессионной модели. Между тем, вопросы методологии идентификации многомерных объектов, с обоснованным учетом специфических особенностей реального производства остаются до сих пор вне поля зрения исследователей. Специфические особенности реальных объектов характеризуются высоким уровнем шумов, вероятностные свойства которых не соответствуют тем математическим ограничениям, которые сопровождают идентифицирующую модель. Применительно к задаче математического описания многомерного объекта эта специфика проявляется в виде нарушений условий Гаусса-Маркова, сопровождающих стандартную псевдонезависимую регрессионную модель. Игнорирование специфики реального объекта, или механическое приложение стандартной псевдонезависимой регрессионной модели к решению задачи идентификации без обоснованного учета особенностей реального производства, приводит к утрате точности оценок параметров модели, к снижению надёжности вычислений и статистических выводов, а в конечном итоге, к потере работоспособности математического описания многомерного объекта.

Цель работы заключается в разработке аналитических, алгоритмических и методических решений, предназначенных для построения работоспособного математического описания многомерных объектов на основе псевдонезависимой регрессионной модели с обоснованным учетом специфики реального производства.

В соответствии с поставленной целью в диссертации решаются следующие основные задачи:

- разработка метода оценки неконтролируемой случайной ошибки регрессионного моделирования многомерного объекта;

- разработка способа диагностики специфических особенностей многомерного объекта;

- разработка критерия целесообразности использования псевдонезависимой регрессионной модели;

- разработка метода оценки параметров псевдонезависимой регрессионной модели;

- разработка критерия целесообразности коррекции математического описания объекта при выявлении нарушений условий Гаусса-Маркова в виде непостоянства математического ожидания, либо в виде автокорреляции ошибок.

Методы исследований можно представить в виде трех этапов:

1. Получение теоретических результатов аналитическими методами; в качестве основного математического аппарата использовались методы: многомерного статистического анализа, теории вероятностей, теории оптимального оценивания, линейной и матричной алгебры, тензорного исчисления и функционального анализа.

2. Лабораторные эксперименты в виде статистического моделирования на ЭВМ объектов исследования, предпосылок и процедур разрабатываемых методов, их сравнение с альтернативными методами, известными из литературы, сопоставление результатов.

3. Промышленная апробация полученных теоретических результатов и вытекающих из них методических рекомендаций. Научная новизна полученных в диссертации результатов состоит в следующем:

- разработан метод многомерных дополнений, позволяющий оценить случайные ошибки регрессионного моделирования многомерных объектов с моментными характеристиками ненаблюдаемой помехи;

- предложен способ проверки выполнимости условий Гаусса-Маркова с помощью стандартных непараметрических тестов, использующих в качестве оценки случайных ошибок многомерные дополнения;

- разработан критерий целесообразности перехода от процедуры оценивания параметров каждого канала в отдельности (методом наименьших квадратов) к процедуре совместного оценивания параметров объекта (обобщенным методом наименьших квадратов) при выполнении условий Гаусса-Маркова;

- предложен метод оценки параметров псевдонезависимой регрессионной модели, основанный на оценке ковариационной матрицы ошибок многомерными дополнениями;

- разработаны критерии целесообразности коррекции математического описания многомерного объекта для случая нарушений условий Гаусса-Маркова в виде непостоянства математического ожидания, либо в виде автокорреляции ошибок;

- предложен метод усреднения регрессионных эффектов, позволяющий учесть регрессионные эффекты в схеме псевдонезависимой регрессионной модели.

Практическая ценность работы обусловлена направленностью исследования на обоснование и формализацию учета специфики реального производства при построении работоспособного математического описания многомерного объекта. Разработанное программно-математическое обеспечение позволило автоматизировать этап анализа и обработки результатов аэродинамического эксперимента в условиях искусственного обледенения и повысить точность математического описания процесса льдообразования на поверхностях конструкции сложной конфигурации.

По материалам диссерации автором разработана методика оценки зон льдообразования на профиле, которая получила положительную оценку передовых предприятий отрасли, а на ММЗ "Опыт" им.А.Н.Туполева используется для уточнения и принятия конструкторских решений. I

Обоснованный учет специфики реального производства и метод сов: местного оценивания параметров многомерного объекта, разработан: ные в диссертации, позволили эффективно решить задачу оптимизации технологических режимов сварки полимерных пленок, что дало возможность на ММЗ "Опыт" им. А.Н.Туполева решить ряд технических проблем. Программно-математическое обеспечение, разработанное по материалам диссертации, использовано в составе АСУ ТП действующего непрерывного производства на Новолипецком металлургическом комбинате (НЛМК) им. Ю.В.Андропова. Большинство методических и прикладных результатов диссертации включено в отчетный материал ММЗ "Опыт" им. А.Н.Туполева.

Реализация научно-технических результатов. Результаты диссертационной работы в виде программно-математического обеспечения, позволяющего проводить анализ и обработку экспериментальной информации аэродинамического эксперимента, внедрены в Рижском отделении ГОСНИИ Гражданской авиации с годовым экономическим эффектом 37,2 тыс.рублей.

Методика идентификации многомерных объектов, разработанная по материалам диссертации, внедрена на ММЗ "Опыт" им. А.Н.Туполева и используется для решения широкого класса физических и технологических задач. Программно-математическое обеспечение, разработанное в диссертации, вошло в состав АСУ ТП действуицего непрерывного производства на Новолипецком металлургическом комбинате (НЛМК) им.Ю.В.Андропова.

Апробация работы. Результаты исследования доложены и обсуждены на П Всесоюзной конференции по перспективам и опыту внедрения статистических методов в АСУ ТП (Смоленск - 1984 г.), на ЗУ научно-технической конференции молодых учёных и специалистов (МАТИ - 1981 г.), а также на НТС предприятий отрасли. Публикации. По теме диссертации опубликовано шесть печатных работ, в том числе методика по плану НИИ стандартизации отрасли. Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения,шести глав, заключения, списка литературы, насчитывающего 140 названий, приложений и содержит НО страниц основного текста, 17 рисунков и 3 таблицы.

§4.Выводы

I. Настоящая методика позволяет построить математическое описание физического процесса льдообразования на профиле крыла по экспериментальным данным,полученным в режиме пассивного эксперимента,что имеет большое значение на практике,так как проведе

О 1-2 3 4 а)

Re*iO в 2 О

16 а) б) в) 1 2 i-cp.

20 24 - 8.17 С° = - 8.17 С° = - 8.17 С°

- 26.5 мкм

- 20.0 мкм в)

28

32

Re = 42.824 = 2.5

R< е. ее

Рис.6.3

36 42.824

40 4

2.

5Н

Re *IQ' а) = - 8.17 С б) -hep. = - 8.17 С в) = - 8.17 С

1 - 26.5 мкм ,

2 - 20.0 мкм . ОUr.Cp. , R<2 с p.

Рис.6.4

2 • 5 ^

2.5 , fe^.

42.824 ; 42.824 ние активного эксперимента на натурном объекте затруднено в силу различных технических проблем и условий эксплуатации.

2. Алгоритмические решения и методические рекомендации,полученные в предыдущих главах,были использованы для построения математического описания процесса льдообразования на профиле.Применение псевдонезависимой регрессионной модели позволило рассмотреть процессы формирования зон льдообразования на верхней & и нижней частях профиля совместно,как систему "среда - профиль" .Идеология совместного оценивания параметров объекта позволила получить выигрыш в точности математического описания,достигающий 18 - 20% ,по сравнению с оцениванием параметров процессов формирования и изолированно друг от друга.

3. Методика оценки зон льдообразования,представленная в данной главе,имеет определённое преимущество перед аналитическими методиками, которые имеют целый ряд ограничений,в том числе ограничение на форму профиля.Настоящая методика этого существенного ограничения не имеет и может быть использована для профиля любой геометрии.Развитие последующих работ в этом направлении показало работоспособность методики для описания процесса льдообразования на клиновидных профилях в конструкции сложной конфигурации /136/.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Основными результатами работы являются:

1. Предложен критерий целесообразности перехода от процедуры раздельного оценивания параметров каждого из каналов объекта оце-нивателем - МНК к процедуре совместного оценивания параметров объекта оценивателем ОМНК при выполнении условий Гаусса-Маркова. Для частных случаев связи входных сигналов различных каналов объекта получены оперативные характеристики перехода.

2. Разработан метод многомерных дополнений, позволяющий получить оценку случайных ошибок многомерной системы с моментными характеристиками ненаблюдаемой помехи. В отличие от регрессионных остатков, которые вследствие регрессионных эффектов являются зависимыми случайными величинами, многомерные дополнения как случайные независимые оценки ошибок могут быть корректно использованы в стандартных статистических тестах.

3. Предложен способ проверки выполнимости предпосылок Гаусса-Маркова статистическими стандартными тестами, использующими в качестве оценки ошибок системы многомерные дополнения. В частности, для оценки стохастической связи ошибок различных каналов объекта предлагается использовать непараметрический критерий ранговой корреляции Спирмена.

4. Предложен метод оценки параметров псевдонезависимой регрессионной модели, основанный на оценке ковариационной матрицы ошибок многомерными дополнениями. Результаты статистического моделирования методом Монте-Карло показали, что сравнительная эффективность оценивателя ОМНК, построенного на оценке ковариационной матрицы ошибок многомерными дополнениями, выше, чем для оценивателя ОМНК, 'построенного на оценке ковариационной матрицы ошибок регрессионными остатками и тем более выше, чем у оценивателя МНК в схеме

раздельного оценивания параметров каждого канала объекта.

5. Разработан критерий целесообразности коррекции i,математического описания многомерного объекта при обнаружении нарушений условий Гаусса-Маркова в виде непостоянства математического ожидания или автокорреляции ошибок. Для частных случаев связи входных сигналов различных каналов объекта получены оперативные характеристики и сформулированы условия целесообразности коррекции математического описания.

6. Предложен метод усреднения по множеству входных сигналов X системы, позволяющий исключить зависимость аналитических результатов от конкретных значений входного сигнала X.

7. Алгоритмы, разработанные в диссертации, были приняты за основу при разработке программного обеспечения статистической идентификации многомерных производственных объектов на ЭВМ, которое используется при обработке результатов натурных н стендовых испытаний. В частности годовой экономический эффект от внедрения результатов диссертационной работы при обработке информации аэро-динампческого эксперимента в РО ГОСНИИ ГА составил 37,2 тысяч рублей.

- 126

1. Материалы ХХУ -го съезда КПСС.-М.: Политиздат, 1976- 174с.

2. Материалы ХХУ1-го съезда КПСС.-М.: Политиздат, 1981- 236с.

3. Постановление ЦК КПСС и Совета Министров СССР №814 от 18.08.83г. "О мерах по ускорению научно-технического прогресса в народном хозяйстве".

4. Бешелев С.Д. Интенсификация научных исследований. М., Машиностроение, 1984- 183с.

5. Бородюк В.П.,Лецкии Э.К. Статистическое описание промышленных объектов.,М.: Энергия, 1971- 228с.

6. Бородюк В.П. Методология и опыт применения моделей множественной регрессии в задачах идентификации производственных процессов по данным пассивного эксперимента. -Диссертацияд.т.н., МЭИ,1981- 283с.

7. Кузнецов В.Е. Построение и анализ регрессионной модели промышленных объектов. -Диссертация к.т.н.,МЭИ, 1974 -147с.

8. Отчёт о НИР. Разработка статистических: методов и алгоритмов идентификации и оптимизации промышленных объектов. Анализ остатков. Часть 6.-J& гос.регистрации 72006740,МЭИ, 1973-225с.

9. Демиденко Е.З. Линейная и нелинейная регрессии., М.,.Статистика ,1980 -302с.

10. Джонстон Дж. Эконометрические методы.,М., Финансы и статистика , 1981- 444с.

11. Дреипер Н., Смит Г. Прикладной регрессионный анализ., М., Статистика ,1973- 392с.

12. Кади Дж. Количественные методы в экономике., М., Прогресс, 1977 245с.

13. Крамер Г. Математические методы статистики., М., Наука , 1975 648с. •

14. Ли Ц., Джадж Д., Зельнер А. Оценивание параметров марковских моделей по агрегированным временным рядам., М.,Статистика, 1977- 221с.

15. Маленво 3. Статистические методы эконометрии. М., Статистика, вып. 1,1975 423с.; вып.2,1976 - 323с.

16. Себер Дж. Линейный регрессионный анализ. М.,Мир,1980-323с.

17. Химмелъблау Д. Анализ процессов статистическими методами. М.Мир, 1973 957с.18. 6'idket F. A&ympiah'4 no*cma&iy a»ot con6i&lenCy of Urn £ ifyuorte.<L eiiimctiox^ fioz famiiie^ of &nea<z ^•да.зшп^,

18. Adken AX. On Ihe Leot-i -^^nane^ and &леат. Cum&miion of O^et^aiion^1. PioCeedinqi. of Ihe Ro

19. KakwAm iJ.C. The un$Lc,beclne&s of ZMtertfL urra&Uel nz.<y te^ion ecyuaii on£> e^hmclox^JA&A, (ЦБ?, V■ 62 ,f/i3{¥} iki-кЗ.

20. KfikwAwt Al.C. A noie on ibe efficiently of the i>eeminify un^&lec/ ^zjn^^je^ioni, e^iimdo'z f Annotft, of-Lhe ln£>iiiuleof 6UHUico£ Moihemdic^ 26 , lQ7k, 361 -36a.

21. KoUOUQ Y. The ехас-L cliUilfulb» o^oini doit ib^Q-xej^ e^moicT^ /от ^ee^i^Py ип-ceAhc/ epuotion^ Economic Quunh&tiy 25, 36-Ц

22. НгШ\ftofe„<e cf Ue effa.e»of hil»(lx*><L ±еет)п*еу ипъЫгс/ ъс^о* ешсИопь. ~JA?>A WS.V.ri, I1I3SS, 634-639. f r

23. ReFanfarz. л/. finite in Ue. c:&trlext of l^o iee -minify until, led equations. УА&А, У.БЗ, liiSbS; 18>Ч - IQQ.

24. Ъ&е*. A. An efficient „Мое/ о/ Zrmi»^1. ЗЬЪ-368 ,496a.

25. А, D.<>. fiuzUert ръ^ч V^W30. Ze£e**r А. /о,1. Г***»*'- **>ne W ^

26. Ze&be* A. €o^r„c/o О/^Л, v. ^31. tw.^ ^32. Si^cf , Ze^: f СЛаи £963.1. Я^ .о, ^^ ^^1. Tbeo'cy — V ,opt*eet '34. Te^r A. of а ^ cf *io»tf&T- iQbl) ^ s VS-- <362,35. P^/^ Я c-f Qpc-caneous fy C'o-r-v.^ zW. 7A £>A t V, 61Q6So& - s

27. Houlhakkev H. Addliive. P^/W^s. . V. 22 , d960 9 ^U-^b'K37. H^//^ WПе feW

28. СЬере*гс&п4: капс/ою У ль* а . Ow/ce ЛаЫе*»оИса £ £ t v. is , }-fi&Kck-n-b v-ct^ciо/

29. Revie w of &corrc>yr->ia-пс/ v. IQ¥6,i40. Mae-^h/ 'TO1. A. O* +be

30. Тй ~6ic>to of 4 he. c^e^yA 4/ею*,in сОгсх£.£сх~Ь1сг7-> o^'w^en/- rt&yzjon moc/e^,—1.b^nc-Lioinog Etcio-nomic; Review, V.3&, 2 366 } J .

31. M.ae$Jii-zc> A. Mess, £vic/er>de on ike \ EU)1.. — Уостъюя-ё! Qf Ёаоюоюе^-ыс'*, } v. is, 48?, dQsO.42. fL^k R.&., Miiche 5, M. Gb-tinnalln^ av-Loco'cbz&Jec/rr>ocJe£ -Siih , R-2373 -A/IE/#<£i1. Wfi Mon)£A, C'A), Ш&.

32. Pot-z-'ie-c O. or. The effec.i of ih* ofeesrva-l;on inmode,-^ SUh ^firujr-o'cc^e^c a uio тл. Cj, e. o/is.luT—-вапсея, . — Jou~cr,a£ of ihe koyai MaiisiiCot С

33. Km en -he x, G-i R.F! zL^c, /г?с* £4еы> c<-li ve. ^sZ/^fl ictf* of i"ты т^^г^^ ,v. 63 , iSOO ,45. KmrceQi,!err?% ^iih ye. cJis.ivi&Cf„ce<, rJA$A, V. 6S~t

34. Зельнер А. Байесовские методы в эконометрии. М., "Статистика", 1980г 438с.

35. Андерсон Т. Введение в многомерный статистический анализ: | Пер.с англ.-М.: Физматгиз, 1963 500с.

36. Андерсон Т. Статистический анализ временных рядов: Пер.с англ. : 4Д.: "Мир", 1976 755с.

37. Федоров В.В. Теория оптимального эксперимента. -М.: Наука, 1971 312с.

38. Фёрстер Э., Рёнц Б. Методы корреляционного и регрессионного анализа: Пер.с нем. -М.: "Мир", 1983г 302с.

39. Джонсон Н.-, Лион Ф. Статистика и планирование эксперимента в технике и науке. Вып. I и П: Пер.с англ. -М.: "Мир", 1981.

40. Тэйл Г. Экономические прогнозы и принятие решений. М., "Статистика", 1971г~ 493с.

41. Поллард Дж. Справочник по вычислительным методам статистики. Пер.с англ.-М.: Финансы и статистика, 1982 344с.

42. Кендалл М., Стюарт А. Теория распределений: Пер.с англ. М.: Наука, 1966 - 587с.

43. Кендалл М., Стюарт А. Статистические выводы и связи: Пер.с англ. -М.: Наука, 1973 899с.

44. Кендалл М., Стюарт А. Многомерный статистический анализ и временные ряды: Пер.с англ. -М.: Наука, 1976 736с.

45. Закс Л. Статистическое оценивание: Пер.с нем. -М.: Статистика, 1976 598с.

46. WоИеъ R antj kcz '-ce-hi'iо n и net Quctcbraie^ коъ'г&Да^/еж?, ie>n bo^ck^h. 6, Oie de^ ^c/1.Cd 963, ), Z-l-ip.1. Uelo&'&inezz of Ta. — 66) 4.99-SOap.

47. Б.Болч, К.Дж.Хуань Многомерные статистические методы для экономики. М., Статистика, 1979 317с.

48. С.А.Айвазян, И.С.Енюков, Л.Д.Мешалкин. Прикладная статистика. Основы моделирования и первичная обработка данных. Справочное издание. -М., Финансы и статистика, 1983 471с.

49. Бикел П., Доксам К. Математическая статистика, выпуск I -М.: Финансы и статистика, 1983 278с.

50. Бикел П., Доксам К. Математическая статистика, выпуск 2 М.: Финансы и статистика, 1983 - 254с.64.-Рао С.Р. Линейные статистические методы и их применение. М.: Наука, 1968 - 548с.65