автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.10, диссертация на тему:Многомерное шкалирования при анализе дихотомических данных о социально-экономических системах

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. Дихотомические данные и многомерное шкали- II рование

§1.1. Задачи многомерного шкалирования дихотомических данных II

§1.2. Модели анализа и шкалирования дихотомических данных

§1.3. Неметрическое многомерное шкалирование

ГЛАВА 2. Пороговые модели дихотомических данных

§2.1. Вероятностные свойства пороговых моделей

§2.2. Задача оцэнки размерности в конъюнктивной модели

§2.3. Вероятностные меры близости и расстояния

§2.4. Вероятность монотонности

ГЛАВА 3. Алгоритмы многомерного шкалирования дихотомических данных

§3.1. Алгоритмы, основанные на использовании неметрического многомерного шкалирования

§3.2. Алгоритмы прямых методов шкалирования

§3.3. Исследование алгоритмов многомерного шкалирования дихотомических данных методом Монте-Карло

§3.4. Оцзнивание координат объектов

ГЛАВА 4* Использование методов многомерного шкалирования дихотомических данных

§4.1. Многомерное шкалирование дихотомических данных при измерении знаний учащихся

§4.2. Анализ валидноети анкет

§4.3. Изучение голосований в сенате США

Развитие сопдалистического общества и его производительных сил сопровождается усложнением задач управления и его организационных форм. Возникает необходимость переработки огромных массивов информации о социальных и экономических системах для принятия оперативных и оптимальных управляющих решений. Преимущественно нечисловая природа этой информации затрудняет использование традиционных статистических методов, а большие объемы данных делают их недоступными для непосредственного анализа. Становится актуальной задача понижения размерности и преобразования исходных данных при сохранении основных структурных связей»

Методы решения подобных задач определяют главным образом три фактора: вид и структура исходных данных; требования к форме конечного представления преобразованной информации; свойства исходных данных, сохраняющиеся при преобразовании.

В диссертации исследуются модели и методы анализа данных, представимых таблицами "объект-признак", элементы которых принимают только два значения (например, I и 0). Ниже эти данные будут называться дихотомическими, а таблицы - дихотомическими матрицами описаний (их можно трактовать как матрицы инцидентности объектов и признаков).

Подобные данные возникают при решении самых различных прикладных задач описания социально-экономических объектов - в экспертных оцзнках, анкетировании, анализе результатов голосований и т.п. Многие другие виды данных - номинальные, ранговые, числовые - сводимы к дихотомическому виду. Методы анализа дихотомических данных использовались в диссертационной раЗоте для решения практических задач из области педагогики, экономики, новейшей истории.

Методы анализа данных, рассмотренные в диссертации, относятся к области многомерного шкалирования. Такой выбор методов позволяет исследовать сощально-экономические системы с учетом взаимосвязей между их элементами, выявлять скрытые (неявные) свойства систем. При использовании многомерного шкалирования конечное представление изучаемых элементов системы имеет вид набора (конфигурации) точек в евклидовом пространстве небольшой размерности. Расстояние между точками отражает интенсивность связи пары элементов системы. Координатные оси пространства интерпретируются как скрытые факторы, описывающие систему. Размерность пространства задает число существенных факторов, необходимых для описания системы (и, тем самым, служит чрезвычайно важным параметром описания). В прикладных задачах, рассмотренных в диссертации в качестве элементов изучаемых систем (объектов) и .описывающих их признаков, выступали учащиеся и решаемые ими задания контрольной работы; работники служб ОТИЗ и вопросы распространенной среди них анкеты; законодатели и законопроекты.

В исходных данных связь между объектами (элементами системы) определяется по сходству дихотомических векторов (столбцов дихотомической матрицы описаний), соответствующих этим элементам. Для этого на дихотомических векторах задается "функция близости" (например, коэффициент коррелявди). Совокупность всех значений функции близости, вычисленных для столбцов дихотомической матрица описаний, образует "матрицу близости". При решении задачи многомерного шкалирования строится такая конфигурация точек, представляющих элементы системы, чтобы расстояния между точками наилучшим образом аппроксимировали значения функции близости, полученные при обработке матрицы описаний.

Преимущество методов многомерного шкалирования состоит в том, что при их использовании допускаются сравнительно слабые ограничения на структуру исходных данных; элементы системы и связи между ними представляются в привычной графической форме - точками на плоскости или совокупности плоскостей, что облегчает непосредственный визуальный анализ данных. Кроме того, применение методов многомерного шкалирования к дихотомическим данным с промежуточным вычислением матрицы близости позволяет переходить от нечисловых (дихотомических) данных к количественным (координаты точек) и, следовательно, применять во многих случаях традиционные статистические и вычислительные методы для дальнейшего анализа данных. Изложенные соображения определяют актуальность выбранной темы исследования.

В диссертационной работе поставлена и решена задача многомерного шкалирования дихотомических данных о социально-экономических системах.

Основная рель работы состояла в разработке моделей и методов анализа дихотомических данных и соответствующего программного обеспечения с последующей апробавдей на практических задачах анализа данных о совдально-экономических системах. Решзние поставленной задачи включало следующие этапы:

1) разработка математической модели порождения дихотомических данных;

2) исследование модели для получения методов оцзнки соответствия модели исходным данным;

3) решение, с использованием модели дихотомических данных, задач оптимального вы5ора функции близости между дихотомическими векторами, размерности и метрики в пространстве координатного представления, задачи преобразования полученного решзния;

4) разработка, реализация и проверка эффективности алгоритмов, опирающихся на введенную модель;

5) проверка методов на практических задачах анализа дихотомических данных, описывающих социально-экономические системы.

Этот подход определил программу исследований и структуру диссертационной работы.

Первая глава диссертации содержит обзор и обсуждение традиционных моделей и методов анализа дихотомических данных: шкало-граммного анализа Гуттмана и его вероятностных и многомерных обобщений. Обзор методов многомерного шкалирования включает описание особенностей их использования и способов исследования алгоритмов шкалирования.

Во второй главе введены и исследованы пороговые модели дихотомических данных, позволяющие в одном пространстве рассматривать и метрическую структуру, и вероятностную структуру близости. Исследованы теоретико-вероятностные свойства модели, которые дают возможность устанавливать соответствие модели исходным данным и определять размерность пространства координатного представления. Полученные результаты проверены на экспериментальных данных (из области педагогики). В этой главе введены понятия вероятностной меры (функции) близости, порядковой эквивалентности метрик и мер близости, вероятности монотонности метрик и мер близости. На их основе разработаны новые методы обоснованного и оптимального выбора функций близости между дихотомическими векторами и соответствующих им метрик при построении координатного представления с помощью неметрического многомерного шкалирования.

В третьей главе исследованы два подхода - метрический и неметрический - к построению алгоритмов многомерного шкалирования дихотомических данных.Описаны метод и алгоритм преобразования решения, полученного с точностью до преобразования подобия, опирающиеся на введенную модель. Из-за большой сложности минимизируемых функдай разработанные алгоритмы не поддаются традиционным аналитическим методам исследования сходимости, поэтому в диссертапди сравнительная эффективность их работы изучена методом Монте-Карло. Результаты показали высокую эффективность неметрического подхода. В этой же главе предложена модель нелинейной дихотомической (бинарной) регрессии для оцзнивания координат объектов по их сигнатурам и результатам шкалирования признаков. Описан алгоритм получения оцзнок максимального правдоподобия.

В четвертой главе приведены результаты апробапди разработанных методов и алгоритмов на практических задачах анализа данных, описывающих различные социально-экономические системы. В первой задаче из области педагогики методы шкалирования были применены для выделения скрытых факторов, влияющих на решение контрольных заданий. Решение этой педагогической задачи позволяло повышать соответствие содержания контрольных работ хзэлям их проведения (валидноеть) и эффективно учитывать влияние личностных характеристик учащихся при анализе результатов массовых машинно-ориентированных обследований знаний учащихся. При решении второй задачи анализировались результаты анкетирования, проведенного в рамках исследования методов нормирования труда на предприятиях тракторного и сельскохозяйственного машиностроения. Это исследование показало, что использованием простых процздур анализа дихотомических данных, опирающихся на развитую в диссертации модель, можно повышать валидность анкет. Третья задача возникла на стыке двух дисциплин - новейшей истории и политической социологии. Она связана с исследованием расстановки сил в сенате США по вопросам внешней политики в I97I-I974 гг. Методы многомерного шкалирования дихотомических данных применялись к результатам поименных голосований.

В диссертации впервые развиты и проанализированы пороговая модель порождения дихотомических данных и связанные с ней понятия - вероятностная мера близости, порядковая эквивалентность метрик и мер близости, вероятность монотонности метрик и мер близости. Это позволило найти решзние ряда задач многомерного шкалирования (в применении к дихотомическим данным): выбор размерности и метрики, преобразование координатного представления и т.п. Впервые предложена и использована нелинейная модель бинарной регрессии. Описанный класс методов анализа данных впервые использовался при решении конкретных задач изучения социально-экономических систем, представленных дихотомическими данными. Это определяет научную новизну полученных и изложенных в диссертации результатов.

Диссертащонная работа проводилась в рамках научно-исследовательской темы "Разработка принципов многомерного измерения качества знаний учащихся", выполнявшейся в МГПИ им. В.И.Ленина в 1975-1980 гг. по заказу Министерства просвещения РСФСР в соответствии с планом ГКНТ СССР и Госплана РСФСР (номер государственной регистрации - 78Q02II08). Предложенные в диссертации методы регулярно использовались при обработке на ЭВМ данных, собиравшихся при проведении массовых обследований знаний учащихся по заказу Министерства просвещения РСФСР. Методы жалирования дихотомических данных применялись при анализе ответов на вопросы анкеты, проводившейся в рамках изучения организационных структур служб организации труда и заработной платы. Полученные данные были использованы в "Методических указаниях по разработке организационных структур управления в отрасли тракторного и сельскохозяйственного машиностроения", утвержденных в 1979 г. Кроме того, методы многомерного шкалирования дихотомических данных легли в основу комплексной междисциплинарной методики по изучению и прогнозированию расстановки политических сил в конгрессе США, разрабатываемой в Институте всеобщей истории АН СССР.

Как показывает опыт решения этих прикладных задач, полученные результаты и разработанные на их основе вычислительные методы позволяют преобразовывать большие массивы нечисловой информации, представленной в дихотомической форме, к виду, удобному для непосредственного визуального анализа и пригодному для применения математико-статистических методов, ориентированных на количественные данные. Предлагаемые методы оказались полезными в самых различных ситуациях, в которых возникает необходимость анализа данных о социально-экономических системах. Все выше перечисленное определяет практическую ценность полученных результатов.

Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались на конференциях по использованию математических методов в исследований процесса обучения (Вильнюс, 1976, 1977 гг.); на П Всесоюзном симпозиуме по проблемам применения математических методов и ЭВМ в социологических исследованиях (Звенигород, 1978 г.); на I Всесоюзном совещании по статистическому и дискретному анализу нечисловой информации, экспертным оценкам и дискретной оптимизации (Алма-Ата, 1981 г.); на семинаре "Ма . тематические методы в экспертных оцзнках" (МГУ и Научный совет по комплексной проблеме "Кибернетика" АН СССР, 1977, 1980, 1981, 1982 гг.); на Всесоюзном постоянно действующем научно-методическом семинаре "Вычислительные методы математической статистики" (1980 г.); на рабочих и лабораторных семинарах в МГУ, ВНИИСИ, ИПУ, ЦЭМИ, а также на других конференциях и семинарах.

Основная часть результатов, описанных в диссертации, изложена в статьях автора [5, 21-29]. Программы, реализующие алгоритмы анализа и шкалирования дихотомических данных, составлены автором на языках AL&OL6O, FORTRAN W , PL/M и входят в пакеты программ обработки экспериментальных данных, использующихся в МГПИ им. В.И.Ленина и других организациях.

- 109 -ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Описанное в диссертации исследование привело к следующим основным результатам.

1. Впервые введена и проанализирована общая пороговая модель порождения дихотомических данных.

2. Впервые получены вероятностные свойства частного случая общей пороговой модели дихотомических данных - конъюнктивной модели.

3. На основе этих свойств впервые разработаны методы проверки адекватности исходных дихотомических данных конъюнктивной модели.

4. Впервые разработан простой метод оценки размерности ре пения при многомерном шкалировании дихотомических данных.

5. Для совместного анализа пороговых моделей и модели многомерного шкалирования впервые введены и исследованы понятия порядковой эквивалентности метрик и мер близости, вероятностной меры близости, вероятности монотонности метрик и мер близости.

6. На основе этих понятий впервые предложен метод обоснованного выбора функции близости между .дихотомическими векторами и метрики в пространстве координатного представления при решении задачи многомерного шкалирования дихотомических данных.

7. На основе конъюнктивной модели впервые предложен метод репвнйя задачи вращения полученного координатного представления при шкалировании дихотомических данных.

8. Впервые введена модель нелинейной бинарной регрессии для офнивания координат объектов по их сигнатурам и результатам шкалирования признаков.

9. Методы многомерного шкалирования дихотомических данных впервые применены для анализа успешности обучения школьников, как элемент методики массовых машинно-ориентированных обследований состояния знаний учащихся, направленной на повыпвние эффективности управления народным образованием.

10. Методы многомерного шкалирования дихотомических данных впервые применены как средство оцэнки валидности анкет и контрольных работ.

11. Впервые разработана методика комплексного анализа дихотомических данных о результатах голосований, включающая наряду с методами многомерного шкалирования другие статистические методы и опирающаяся на общее представление о компенсаторной модели дихотомических данных.

Теоретические и экспериментальные результаты исследования позволяют сформулировать следующие выводы.

1. Пороговые модели дихотомических данных адекватны ряду возникающих на практике задач исследования социально-экономических систем.

2. Использование пороговых моделей позволяет повышать эффективность применения многомерного шкалирования, выбирать оптимальные режимы использования многомерного шкалирования и в то же время решать самостоятельные практические задачи.

3. Многомерное шкалирование дихотомических данных, используемое на основе пороговых моделей, - эффективный инструмент исследования социально-экономических систем, позволяющий описывать эти системы с учетом взаимосвязей между их элементами, выявлять скрытые, неявные свойства этих систем.

Развитие методов многомерного шкалирования дихотомических данных может быть обеспечено решением следующих задач, не затронутых в диссертационной работе: исследование вероятностных свойств дизъюнктивной и компенсаторной моделей; обнаружение свойств пороговых моделей, позволяющих определять, какая из частных моделей уместна в той или иной практической ситуации; изучение статистических свойств пороговых моделей; синтез пороговых и непрерывных моделей.

1. Битинас Б.П. Многомерный анализ в педагогике и педагогической психологии. Вильнюс. 1971, 347 с.

2. Гафрикова В. О статистических подходах к качественным оценкам. Автореф. дис. на соиск. учен, степени канд. фаз.-мат. наук. М., изд-во Моск. Ун-та, 1977. 15 с.

3. Гласс Дж., Стэнли Да. Статистические методы в педагогике и психологии: Пер. с англ. М.:Прогресс, 1976. 495 с.

4. Гуттман Л. Основные компоненты шального анализа. -В кн.: Математические методы в современной буржуазной социологии: Пер. с англ. М.: Прогресс, 1966, с.288-343.

5. Измерение знаний при проведении массовых обследований. Методические рекомендации /Болотник Л.В., Левин А.В., Сатаров Г.А., Соколова М.А., Фрайнт И.К. М.: Изд-во МГПИ им.В.И.Лени-на, 1984. 107 с.

6. Каменский B.C. Методы и модеж неметрического многомерного шкалирования (обзор). Автоматика и телемеханика,1977, №8, с.118-156.

7. Клигер С.А., Косолапов М.С., Толстова Ю.Н. Шкалирование при сборе и анализе социологической информации. М.: Наука,1978. 112 с.

8. Лазарсфельд П.Ф. Логические и математические основаниялатентноструктурного анализа. В кн.: Математические методыв современной буржуазной социологии: Пер. с англ. М.: Прогресс, 1966, с.344-401.

9. Лазарсфельд П.Ф. Латентно-структурный анализ и теориятестов. В кн.: Математические методы в социальных науках: Пер. с англ. М.: Прогресс, 1973, с.42-53.

10. Левин А.В. Вопросы оцрнки качества контрольных работ. В кн.: Проблемы педагогической квалиметрии. Вып.1. М.: Изд-во МГПИ им.В.И.Ленина, 1974, с.51-64.

11. Партасарати К. Введение в теорию вероятностей и теорию меры: Пер. с англ. М.: Мир, 1983. 343 с.

12. Перекрест В.Т. Об одной модели одномерного шкалирования. Автоматика и телемеханика, 1980, .№2, с.173-181.

13. Перекрест В.Т. Нелинейный типологический анализ социально-экономической информации: Математические и вычислительные методы. Л.: Наука, 1983. 175 с.

14. Полак Э. Численные методы оптимизации. Единый подход: Пер. с англ. М.: Мир, 1974. 376 с.

15. Попова Е.И. Американский сенат и внешняя политика 1969-1974. М.: Наука, 1978. 232 с.

16. Прохоров Ю.В., Розанов Ю.А. Теория вероятностей. М.: Наука, 1973. 496 с.

17. Разработка принципов многомерного измерения качества знаний учащихся. Отчет о НИР F7800I282. М.: МГПИ им.В.И.Ленина, 1980.

18. Робертсон А.П., Робертсон В.Дж. Топологические векторные пространства: Пер. с англ. М.: Мир, 1967. 258 с.

19. Рэск Дж. Индивидуальный подход к анализу ответов. В кн.: Математические методы в социальных науках: Пер. с англ. М.: Прогресс, 1973, с.91-116.

20. Сатаров Г.А. Координатная модель объясняющих факторов. В кн.: I Республиканский межвузовский семинар по исследованию процесса обучения. Тезисы докладов. Вильнюс: Литовское республиканское правление НТОРЭС им.А.С.Попова, 1976, с.24-27.

21. Сатаров Г.А. Сравнение двух алгоритмов шкалирования дихотомических данных. В кн.: Математические методы в социологическом исследовании. М.: Наука, 1981, с.90-98,

22. Сатаров Г.А. Многомерное шкалирование: новые идеи и пути использования. (Обзор). В кн.: Статистические методы в общественных науках. М.: ИНИОН, 1982, с.122-159.

23. Сатаров Г.А., Станкевич С.Б. Применение неметрического многомерного шкалирования при изучении расстановки и соот-ношзния сил в конгрессе США. В кн.: Анализ нечисловых данных в системных исследованиях. Сборник трудов. Вып.10. М.: ВНИИСИ,1982, с.76-83.

24. Сатаров Г.А., Станкевич С.Б. Голосования в конгрессе США: опыт многомерного анализа. Социологические исследования,1983, ЖЕ, с. 156-166.

25. Терехина А.Ю. Методы многомерного шкалирования и визуализации данных (обзор). Автоматика и телемеханика, 1973, J&7, с.91-97.

26. Терехина А.Ю. Метрическое многомерное шкалирование: Препринт. М.: йн-т проблем упр., 1977. 75 с.

27. Терехина А.Ю. Исследование основных параметров модели неметрического многомерного шкалирования методом Монте-Карло. В кн.: Экспертные методы в системных исследованиях. Сборник трудов ВНИИСИ. Вып.4. М., 1979, с.67-78.

28. Терехина А.Ю. Методы многомерного шкалирования в системных исследованиях: Препринт. М.:ВНИИСИ, 1982. 84 с.

29. Толстова Ю.Н. Адекватность функции расстояния в алгоритмах автоматической классификации. В кн.: Исследования по вероятностно-статистическому моделированию реальных систем.

30. М.: ЦЭМИ, 1977, с.168-173.

31. Тогерсон У.С. Многомерное шкалирование. Теория и метод. В кн.: Статистическое измерение качественных характеристик: Пер. с англ. М.: Статистика, 1972, с.95-118.

32. Тюрин Ю.Н., Литвак Б.Г., Орлов А.И., Сатаров Г.А., Шмерлинг Д.С. Анализ нечисловой информации: Препринт. М.:

33. Научный совет по комплексной проблеме "Кибернетика", 1981, 80 с.

34. Келлер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Т. 2: Пер. с англ. М.: Мир, 1967. 752 с.

35. Хмельницкая А.Б. Проекционные модеж инвариантного шкалирования. 1,П. Автоматика и телемеханика, 1983, $6,с.125-130, $7; с.105-115.

36. Attneave P. Dimensions of similarity. Amer. J. of

37. Psychology, 1950, vol.63, p.516-556.

38. Benzecri J.P. Analyse factorielle des proximites. -Publications de l'Institute de Statistique de l'Universite de Paris, I. 1964, vol.13, II. 1965, vol.14.

39. Birnbaum A. Some latent trait models and their usein inferring an examinees ability. In: lord P.M., Novick M.E. Statistical theories of mental test scores. H.Y.: Addison-Wesley, 1968, p. 397-479.

40. Cailiez P. The analytical solution of the additive constant problem. Psychometrika, 1983, vol.48, Iff 2, p.305-308.

41. Christofferson A. Factor analysis of dichotomised variables. Psychometrika, 1975, vol.40, Ш 1, p.5-32.

42. Cohen A., Parely P.H. The common item in measurement: Effects of structure. Mult. Beh. Res., 1979, vol.14, № 1,p. 91-108.

43. Cohen H. S., Jones L.E. The effects of random error and subsumpling of dimensions on recovery of configurations. -Psychometrika, 1974, vol.39, K§ 1, p. 69-90.

44. Congretional quarterly almanac. Boston, 1971-1974.

45. Congretional quarterly weekly review. Washington, 1971-1974.

46. Coombs C.H. A theory of data. N.Y.: Wiley, 1964. 585 p.

47. Cooper L.G. A new solution to the additive constant problem in metric multidimensional scaling. Psychometrika, 1972, vol.37, Ш 3, p.311-322.

48. Cox D.R. The analysis of binary data. London: Methuen, 1970. 142 p.

49. Fenker R., Tees S. Measuring the cognitive structures of pre-school children. A multidimensional scaling analysis of classification performance and similarity estimation. Mult. Beh. Res. , 1976, vol.11, Ш 3» p.339-352.

50. Gregson R.A.M. Psychometrics of Similarity. N.Y.: Academic Press, 1975. 262 p.53» Guttman L. The basis for scalogram analysis. In: Measurement and Prediction. N. Y., Wiley, 1950, p. 60-90.

51. Isaac P.D., Poor D.D.S. On the determination of appropriate dimensionality in data with error. Psychometrika, 1974, vol.39, не 1, p.91-109.

52. Johnson R.M. Pairwise nonmetric multidimensional sealing.-Psychometrika , 1973, vol.38, Ш 1, p.11-18.

53. Kruskal J.B. Nonmetric multidimensional scaling:

54. A numerical method. Psychometrika, 1964, vol.29, № 2, p.115-129.

55. Levy Ph. On the relation between test theory and psychology. In: New approaches in psychology measurement. N.Y.; Wiley/ 1973, p. 1-42.

56. Lord p.m., Novick M.R. Statistical theories of mental test scores. H.Y.: Addison Wesley, 1968. 568 p.

57. Muthen B. Contributions to factor analysis of dichoto-mous variables. Psychometrika, 1978, vol.43, p.551-560.

58. Poor D.S., Wherry R.J. Invariance of multidimensional configurations. Br. J. of Math, and Stat. Psychology, 1976, vol.29, IS 1, p. 114-125.

59. Rash G. Probabilistic models for some intelligence and attainment tests. Chicago; London: Univ. of Chi. press, 1980. -199 p.

60. Rigdon S.E., Tsytakawa R.K. Parameter estimation in latent trait models. Psychometrika, 1983, vol.48, № 4,p. 567-574.

61. Same-jima P. Formalogive model on the continuous response level in the multidimensional latent space. Psychometrika, 1974, vol.39, IB 1, p. 111-121.

62. Shepard R. N. Attention and the metric structure of the stimulus space. J. of Math. Psychology, 1964, vol.1, K2 1,p. 54-87.

63. Shepard R.Ж. Metric structures in ordinal data. J. of Math. Psychology, 1966, vol£, Ш 2, p. 287-315.

64. Shepard R.K. Representation of structure in similarity data: Problems and prospects. Psychometrika, 1974, vol.39,1. Ю 4, p.373-421.

65. Shlesinger I. M. , Guttman L. Smallest space analysis of intelegence and achievment tests. Psych. Bull., 1969, vol.71, p. 95-100.

66. Torpgerson W. S. Theory and methods of scaling. N. y. : Wiley, 1958. 460 p.

67. Van der Veil A.H. G. S. Introduction to scaling. N.Y. s Wiley, 1980. 301 p.

68. Young G., Housholder A. S. Discussion of a set of points in terns of their mutual distances. Psyjchometrika, 1938, vol.3, Ш 1, p. 19-22.- 120 -ПРШКЖБНИЕ

69. Восстановление конфигураций на плоскости (по данным Шепарда 65.)1. Число точек *Ъ win К5 0,896 0,9507 а,919 0,980'10 0,992 0,99816 0,99979 0,9999130 0,9999506 0,9999983

70. Коэффициент метрической определенности для независимых конфигураций; 95 (верхняя строка) и 99 (нижняя строка) процентные точки (по данным 60.)