автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:МГД-модели гемодинамики и движения столбика эритроцитов в переменном магнитном поле

На правах рукописи

гЯНП)

II 003053104

Колесникова Александрина Владимировна

МГД - модели гемодинамики Ту' и движения столбика эритроцитов в переменном магнитном поле

05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Томск-2007

Работа выполнена в Томском государственном университете

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Бубенчиков Алексей Михайлович

Научный консультант: кандидат физико-математических наук, доцент Корнелик Сергей Евгеньевич

Официальные оппоненты: зам. директора по научной работе НИИ

ПММ, доктор физико-математических наук, профессор Глазунов Анатолий Алексеевич

профессор кафедры теоретической механики ТГАСУ, доктор физико-математических наук Матвиенко Олег Викторович

Ведущая организация: Кемеровский государственный университет

00

Защита состоится 22 февраля 2007 г. в 13 на заседании диссертационного совета Д 212.267.08 при Томском государственном университета по адресу: 634050, г. Томск, пр. Ленина, 36, корп. 2, ауд. 102.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Томского государственного университета.

Отзывы на автореферат, заверенные печатью, просьба высылать по адресу: 634050, г. Томск, пр. Ленина, 36, Томский государственный университет, ученому секретарю университета.

Автореферат разослан « /У » января 2007 Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212.267.08 доктор технических наук, профессор

А.В. Скворцов

Общая характеристика работы

Актуальность работы. Метод воздействия магнитным прлем на биологические жидкости и, в частности, на кровь находит широкое применение в физиологии и медицине. Однако теоретические основы указанного воздействия изучены недостаточно. Особый интерес вызывает исследования по переменным магнитным полям, позволяющим, например, в несколько раз увеличить интенсивность магнетофо-ретических явлений

Первые сведения о магнитных свойствах крови относятся к середине 19 века. Уже в 1845 г. установлена ее диамагнитность. Позже доказан факт о различии магнитных свойств между артериальной и венозной крови. В 50-х годах 20-го века большой толчок в развитии и понимании механизма влияния магнитных полей на кровь дал выдающийся физиолог A.JI. Чижевский. После него этими вопросами занимались A.B. Павлова, H.H. Петрова, С.А. Москаленко, В.В. Пиру-зян, A.C. Кузнецов, А.Г. Кшуташвили, О.П. Накинова, В.П. Плахов, Е.Д. Плеханов, A.A. Попович и многие другие.

Их исследования в области магнитной биологии показывают, что как постоянные, так и переменные магнитные или электромагнитные поля оказывают определенное влияние на самые различные процессы в биологических системах или в живом организме. В подавляющем большинстве случаев эти исследования носят сугубо эмпирический характер. Однако сам факт чувствительности живой природы к магнитным полям неоспорим.

При движении биологических жидкостей в магнитном поле изменения, связанные с гартмановым механизмом воздействия, вследствие сравнительно малых проводимостей и характерных размеров невелики (за исключением крупных сосудов) В тоже время, электрохимические процессы, вызванные индуцированными электрическими токами, могут вызывать существенные изменения в биологической системе.

В настоящее время исследованиями воздействия магнитных полей на живые системы занимаются М.С. Родионов, A.A. Яхновец, H.A. Слезкин, А.П. Тесло, С.Г. Миролюбов, В. Милнор, С. Смит, Дж. Коул, Дж. Бергель, С. Гольштейн и др. Известны гидродинамические модели крови Пауэла - Эйринга, Карро, Кассона, Кросса и др.

Первые математические модели кровотока строил еще Л. Эйлер в 18-м веке. В 20-м веке многие ученые, такие как А.П. Громека, В.В Любимов, В.А. Глотов, Т. Педли, В.А. Левтов, Д.М. Дике, Ф. Дурст и многие другие занимались математическим моделированием течения

крови, как не электропроводящей среды. Далее появились работы A.B. Тананаева, С.А. Регирера, которые рассматривали кровоток как магнитогидродинамический (МГД) процесс. Однако вопросы по влиянию внешних магнитных полей на характер течения и морфологическую структуру крови в этих работах рассмотрены не были.

Таким образом, своевременными и актуальными являются исследования по построению математических моделей воздействия магнитных полей на течение биологических жидкостей и их структуру, а также разработка эффективных методов их численной реализации.

Целью работы является построенные магнитогидродинамичес-кой модели кровотока в крупных кровеносных сосудах (аорте, артериях и крупных венах), где для описания динамики крови использована однофазная среда с ньютоновскими реологическими свойствами, а также разработка численной модели движения отдельного эритроцита или столбика эритроцитов.

Основные задачи работы можно сформулировать следующим образом:

1. Разработка МГД-моделей стационарного и пульсирующего кровотока во внешнем переменном магнитном поле.

2. Исследование влияния переменного электромагнитного поля на динамику плазмы и динамику столбика эритроцитов в плоском канале.

3. Выявление особенностей динамики столбика эритроцитов в осесимметричных и «пережатых» сосудах при воздействии переменного электромагнитного поля.

4. Определение параметров переменного электромагнитного поля, обеспечивающего разрушение столбиков эритроцитов.

Научная новизна работы

1. Впервые предложена теория МГД-взаимодействия эритроцитов во внешнем переменном магнитном поле.

2. Разработана математическая модель потока крови, основанная на МГД-взаимодействии эритроцитов, позволяющая учесть специфические свойства крови

1 На еейбйе разрйёьтаннвй математичеекай модели предложен вычйеяй-гёЛЬный алгоритм решения меьтацианарнызс МГД-адач, нидешйшйщ динамику плазмы краен е уелваийк, приближенных

к фйЗИолбгйЧёскйМ.

4. По результатам математического моделирования найдены два принципиально разных режима движения столбиков эритроцитов (гармонический и стохастический) и обнаружены условия, при которых осуществляется их разрушение.

Метод исследования состоит в построении специальных математических моделей динамических потоков крови и теории магнито-гидродинамического взаимодействия эритроцитов в сдвиговом потоке крови, отражающих интересующие нас особенности кровотока. Полученные математические представления исследуемых гемодинамиче-ских ситуаций разрешались путем использования численных методов, а также путем построения аналитических решений.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Теория МГД-взаимодействия эритроцитов во внешнем переменном магнитном поле, которая включает полученные автором точные уравнения нестационарного автомодельного течения плазмы крови в трубке сложной формы поперечного сечения, динамические и кинематические уравнения Эйлера, определяющие динамику столбика эритроцитов или отдельного эритроцита, а также теорию моментов внешних сил, действующих на столбик в потоке плазмы и составляющих правые части динамических уравнений Эйлера.

2. Математическая модель потока крови и МГД-взаимодействия эритроцитов во внешнем переменном магнитном поле.

3. Вычислительный алгоритм решения нестационарной МГД-задачи, представляющей динамику плазмы крови в условиях, приближенных к физиологическим.

4. Открытие двух новых режимов в динамике столбиков эритроцитов, находящихся во внешнем переменном магнитном поле, и факт существенного снижения продолжительности гармонического режима при увеличении частоты колебаний внешнего магнитного поля.

Достоверность полученных результатов обеспечивается строгостью математических постановок задач, а также сравнением результатов вычислений с известными аналитическими решениями и экспериментальными данными.

Теоретическая значимость. Впервые разработанная теория магнитогидродинамического движения и взаимодействия эритроцитов в плазме крови, находящейся во внешнем переменном магнитном поле, открывает широкие возможности для развития новых направлений современной электрогемодинамики, в частности, для изучения элек-трофоретических явлений в крови.

Практическая значимость работы определяется возможностью использования полученных результатов для разработки и внедрения в широкую медицинскую практику устройств по лечению и профилактике заболеваний крови и циркуляционной системы человека с помощью воздействия внешних переменных магнитных полей. Результаты работы также могут быть использованы в биохимии, где

имеет место движение сложных реагирующих гетерогенных сред с образованием конгломератов, находящихся под действием внешних переменных магнитных полей.

Апробация работы. Основные результаты диссертации доложены автором на 3-х международных и одной региональной конференциях в Гомеле, Томске, Снежинске и Новокузнецке. Диссертация в полном объеме была доложена на научном семинаре по гидродинамике д.ф.-м.н. профессора К.Е. Афанасьева (Кемеровский государственный университет). Основные результаты, полученные в диссертации, представлены в опубликованы в 7 работах, в том числе в 2-х журналах из списка ВАК.

Вклад автора. Теория МГД-взаимодействия эритроцитов и динамики потока крови во внешнем переменном магнитном поле разработаны совместно с руководителем. Автор работы самостоятельно разработала вычислительный алгоритм и выполнил численное моделирование, по результатам которого были найдены два новых режима в динамике столбика эритроцитов.

Объем и структура работы

Диссертация состоит из введения, 3 глав, заключения и списка цитированной литературы. Объем диссертации - 130 е., в том числе 116 с. основного текста с рисунками. Список литературы - 8 с. и содержит 76 названий.

Краткое содержание работы

Во введении сформулированы цель и задачи диссертационного исследования, обоснована актуальность, кратко излагается содержание диссертационной работы по главам.

Первая глава посвящена обзору данных по морфологической структуре крови. Отмечена возможность моделирования кровотока в крупных кровеносных руслах в рамках ньютоновской реологии. Даются элементарные сведения о распределении электрических зарядов по структурным элементам крови и стенок сосудов. Обсуждаются общие вопросы воздействия магнитных полей на кровоток и моделирования указанного воздействия. Представлен раздел, описывающий теоретические модели электропроводности суспензий. Приведены конкретные примеры применения магнитных полей в медицине для целей тромбирования'артериальных аневризм головного мозга.

Во второй главе рассмотрены стационарные течения электропроводящей жидкости, включая течение в прямоугольном канале. Применительно к этому случаю обезразмеренные МГД-уравнения можно записать следующим образом:

д2и д2и „ дВ , д2в д2В „ ди -—Г + —т+На — = 1.——г + =

дх2 ду2 ду дх2 ду2 ду

Разность между Кол-во Относительная

аналит и числ итераций погрешность

решениями числ метода

1 0,1 314 0,01

2 0,01 1134 0,001

3 0,001 1385 0,0005

4 0,005 2035 0,0003

5 0,0001 2439 0,0001

с граничными условиями ¿/|у=0, В|г=0, где у - контур поперечного сечения канала.

Решение этой задачи было построено методом конечных разностей с применением итераций по Гауссу - Зейделю. Также было найдено аналитическое решение классическим методом Фурье.

В таблице 1 отражена зависимость сходимости от числа итераций и разность между аналитическим и численным решениями. Данные сравнивались по разрезу расчетных поверхностей плоскостью х = О.

Далее представлены точные уравнения магнитной гидродинамики для случая автомодельного течения в трубе произвольного (из класса непрерывных) профиля поперечного сечения, которые имеют следующий вид:

1 д2и 1 д ( диЛ ,,( пдВ ьтвдВ^

- \ + Нщ соэЭ----

дг г Ж,

г2 ее

^I^l^i+tf,

,2 г дг у дг )

= -1,

1 д2В \д_ г2 Ö02

с граничными условиями

' дВ\ „( adU smQдU^

г— \ + На\ cos 9-——---

„ дг) I дг г 59

= 0

, ,, пдВ В п а,5 г = \,и = 0, — + — = 0,ф = — дг ф а

и условиями, разрешающими особенность в начале полярной системы отсчета:

r = 0,l-jUdl = Uo,~jBdl = Bo,

где / - элементарный контур, окружающий осевую точку канала; 0|,02 - проводимости жидкости и материала стенки соответственно; 6 - толщина стенки; Я - радиус канала. Эти уравнения линейными преобразованиями: IV = (У + В и Z = и - В были сведены к следующим:

1 д21У \д( д№) ,.( пд1Г втвдЖ' +

Г I

^392+ гдг

„( Q<

г-\+На\ cosG-

дг ) I дг

50

д22 1 о

. +-----

г2 56 гдг\ дг

д2

-На\ соБв-----

дг, г дв

Таким образом, решение исходной дифференциальной задачи для и и В свелось к решению уравнений для (Ги Найдено влияние параметра На на МГД-распределения искомых величин. Безразмерный параметр <р, характеризующий проводимость стенки канала, можно рассматривать как параметр связанности получающихся систем разностных уравнений. Как оказалось, от этого параметра существенным образом зависит сходимость итерационного процесса. Здесь же представлены решения задач в канале с частично проводящими стенками и канале сложной формы поперечного сечения. При течении проводящей жидкости в канале с изолированными стенками возникает структура поперечных токов, показанных на рис. 1. Как видим, у стенок канала траектории зарядов загущены (эффект Дж. Гартмана для контурных токов).

Расчеты показывают, что движением жидкости индуцируется такое электромагнитное поле, которое препятствует перемещению жидкости в направлении среднего потока. Если же стенки канала составлены из участков изоляции и проводимости (рис. 2), то траектории зарядов не лежат целиком внутри области течения, а замыкаются на проводящие участки канала. Попадая в эти зоны, заряженные частицы некоторую часть своего пути двигаются внутри канала, а потом начинают обратное по отношению к стенкам перемещение по траекториям, почти перпендикулярным к поверхности канала.

Для случая в канале сложной формы поперечного сечения был выбран контур с пережатой срединной частью, который задается

гШ

Рис. 1. Траектории движения заряженных частиц (непроводящие стенки)

с, •¿¡•г.« ж-;

ч

Рис. 2. Траектории движения заряженных частиц (проводящие стенки)

Рис. 3. Контур поперечного сечения соотношением: ¡1 = 1 - 5со52ф, где 5 - параметр (0<б < 1), характеризующий степень пережатия контура (рис. 3).

Как показывают расчеты, сужение канала генерирует вторую • моду колебания магнитного напряжения, имеющую существенно меньшую амплитуду, нежели основная волна При этом, однако, с увеличением степени пережатия указанная амплитуда растет и уже при 5 = 0,9 имеем две практически одинаковые волны магнитного напряжения, порождаемые отдельно каждой частью пережатого канала, точнее соответствующими градиентами скорости в этих частях. Скорость жидкости в центре канала остается максимальной до 6 = 0,65, несмотря на сближение стенок. При дальнейшем увеличении б под воздействием сил вязкости скорость в центральной части пережатого канала существенно снижается.

Все задачи решены методом конечных разностей с применением итераций по Гауссу - Зейделю. Были выполнены тесты Пуазейля, Бу-ссинеска. Решение задачи с круглым контуром поперечного сечения сравнивалось с аналитическим решением Голда и экспериментальными данными Дж. Гартмана.

В третьей главе изложена теория магнитогидродинамического взаимодействия эритроцитов. Эта теория включает уравнения нестационарного автомодельного течения плазмы крови в трубке сложной формы поперечного сечения, динамические и кинематические уравнения Эйлера, определяющие характер вращения столбика эритроцитов (или отдельного эритроцита) в нестационарном потоке электропроводящей плазмы, а также теорию моментов, составляющих правые части динамических уравнений Эйлера.

Предложенная теория также выписана для относительно простого случая вращения эритроцита (или столбика эритроцита) в плоском канапе. Здесь описана методика численного решения задачи, получены результаты, подтверждающие наличие двух режимов в динамике столбика эритроцитов. Далее описана технология решения тех задач, которые не обладают какой-либо симметрией и получены численные результаты применительно к случаю нестационарного течения плазмы в канале сложной формы поперечного сечения.

Уравнения нестационарного автомодельного течения плазмы крови в трубке сложной формы поперечного сечения

Если в качестве характерных масштабов длины, времени, давления, магнитной индукции и скорости выбрать следующие величины:

у

п =/„,/, ='о, А = = ац<Л*о я,и* = г0>

К

то безразмерный вид МГД - уравнений, определяющих динамику плазмы крови, будет следующим:

с,ди 1 д2и \д( ди~] „г г, А адв ^пвдВ^

— = -г-—=- +--г— + Яя /(/) собО----

д1 г2 дв2 гдг{ дг) дг г де,

„„ дБ \ д2В \д( дВЛ ади япвЭС/

5АРг„ — = —=- +--г— + /(0 совв----

и дг г2 Ж2 гдг{ дг) ^ Х дг г 09

У«

г" 1

где На = 10В0

а

V

- число Гартмана, Р гт= оц0у =--магнитное

V,,

,2

число Прандтля, БЬ = —--число Струхаля.

М'о

Эти уравнения интегрировались при граничных условиях, выражающих собой условия прилипания и сопряжения магнитных полей на границе жидкость-стенка II — О, <рдВ/дг + В = 0, где

<р = о252/о|/?; а,,о, — проводимость жидкости и стенки соответственно; 52 - толщина стенки; /? - внутренний радиус канала. В качестве начальных условий были взяты стационарные решения приведенных уравнений.

Динамика столбика эритроцитов как недеформируемой системы

Поскольку реально существующие «монетные» столбики являются достаточно малыми по своим размерам, а плотность эритроцита близка к плотности плазмы крови и ускорения в системе не бывают слишком значительными, то целесообразно принять, что центр масс столбика движется вместе с несущей средой, то есть вместе с плазмой крови. Другая же часть движения рассматриваемой недеформируемой системы - ее вращение вокруг центра масс - определяется, как известно, динамическими уравнениями Эйлера:

+ В~ + {А-Сур = + =

Здесь р,<7, г - проекции вектора угловой скорости на подвижные оси координат, в качестве которых взяты главные оси инерции для центра масс тела (столбика эритроцитов); А,В,С — главные мо-

менты инерции тела для указанного центра; - проек-

ции главного момента внешних сил А/(с) на выбранные оси координат.

К определению момента гидродинамического воздействия потока

По физическим вкладам момент внешних сил, входящий в правую часть векторного уравнения момента количества движения, можно разделить на две части: на момент, возникающий от гидродинамического воздействия потока М£ и магнитный момент Л/"1. В свою

очередь, гидродинамический момент М% складывается из момента

динамического давления потока Мл, проявляющегося за счет эффекта «парусности» тела и момента сопротивления трения М*.

Таким образом М{е)=М« + М/=М'' + М/ + Мт.

Так как в дальнейшем мы ограничимся рассмотрением незакру-ченного и автомодельного течения проводящей жидкости, то вектор скорости в каждой точке потока будет всегда направлен параллельно неподвижной оси х. В этом случае не возникает причин, обусловленных наличием динамического давления и вызывающих вращение столбика вокруг оси, параллельной оси г канала, поэтому М^ = 0. Однако моменты относительно осей, ^ежащих в плоскости нормального сечения сосуда, в общем случае будут не равны нулю. Удобнее рассчитать эти моменты относительно осей введенной на рис. 4 системы координат Сх,у,. Поскольку гидродинамическое давление на отдельные части

по отношению к стационарным направлениям х и у в плоскости нормального сечения сосуда

столбика определяется величиной р(U-U0)2, то упомянутые моменты будут представлены следующими выражениями:

hi 8 Л &( h \

<=pj - U0)2y,dy, A,, Mdy¡ = p j \{U- U0)2x,dxx dyt. -h\-6 У -6V-A У

Здесь p - плотность плазмы крови; A = //2cos0; /- длина столбика эритроцитов; 5- радиус эритроцита

Анализ задачи поперечного обтекания цилиндра потоком вязкой жидкости позволяет записать выражение для коэффициента сопротивления трения cf= 47t/Re, где cf =2т„/рАм2, Re = 25A«x/v и Aut -проекция разности скоростей жидкости и теля на плоскость перпендикулярную к оси цилиндра. Последнее соотношение позволяет принять т„, = - я/5 дДн^.

Тогда Mf = {flr.T,,^ = ^ JJ[AMx,r}r/5\

s " s

В тоже время, мы знаем, что Ай = й-йм — й-йс —[а>,гм]. Здесь й - скорость жидкости, а йм - скорость соответствующей точки тела, гм - радиус вектор этой точки. Проецируя момент сопротивления трению на оси Сх1у1:, получим

М' = 4ц(тг5)2£ф, h h Л/* =-2я2ц J({/-Í/C)x,í&, +2я2ц \тухг\скх, -h ~h h

м{ = 2tc2|lI |(0г x2dx]. -h

Таким образом, мы можем вычислить:

Mi = MJX -М{, М* = MÍ -М{ , Ml =MÍ-MÍ.

h H ' У\ У\ У\' ZI 2i

Моменты гидродинамического воздействия потока относительно направлений х и у можно вычислить по следующим формулам: Ml - М* sin + My cos ,

Ml = Ml cos и/ - Ml sin ш.

у xi T y i T

При этом Введем в рассмотрение орты подвижной

системы отсчета: 4°> > s > которые через углы Эйлера ф, v|/,0 определяются следующим образом:

<;° = (cos(pcosij/-sin9cos0sin 1(/,со5фБт i|/ + sirnpcos6 cosy, sit! ф sin 0),

ñ° s (-5ШфСО5»у-СОЗфСОз98т1}/,-5тф5ту + СО5фСО50СО5у,СОЗф5т0), s(sin0sinv|/-cosi|;sin0,cos0).

В то же время Mg = (M¡¡ . Тогда значения гидродина-

мических моментов, входящих в правые части уравнений динамических уравнений Эйлера найдутся следующим образом:

А/{ = (Л/* • Io),М* = (Mg ■ f¡= (Ms ■ Io).

К определению магнитного момента

Существуют, по крайней мере, две причины, вызывающие движение заряженных частиц по поверхности эритроцита или вместе с этой поверхностью: одна - чисто механическая, другая имеет электромагнитную природу и связана с появлением в системе электродвижущей силы е (ЭДС) и возникновением токов Фуко. Величина ЭДС индукции в этом случае, следуя закону Фарадея, определяется соотношением: z = -dO/dt, где Ф = (5-5(е)) - поток магнитной индукции; S = ñS - ориентированный контур; S - его площадь; и -единичная нормаль к контуру; В(е> =5С +В1', В1' - магнитная индукция от прибора, В° - определяется магнитным полем Земли. С другой стороны упомянутую ЭДС можно выразить формулой e = -LdIi/dl, где L - индуктивность (коэффициент самоиндукции) контура, /, -ток, возникающий в контуре за счет изменения потока магнитной индукции. Приравнивая правые части последних уравнений, найдем:

dt L dt '

Интегрируя последнее соотношение, получим Ф(/) = ¿/, (с).

Введем в рассмотрение единичные векторы направлений Ва и В1', обозначив их соответственно g° и и пусть они определяются следующими координатами: g° ^(g°,g°,g°)J° = (А°С),/?(0,/?(/))■

Тогда, учитывая тот факт, что орт единичной нормали « совпадает с ортом оси С, о, найдем

Ф = s[(¿í; + В' ) С°]= + B'/,°)sin у sinG+

+ (Bc'gl + В')cos v sin G) + (Bag° + BLI¡)eos0]. Так как углы у и 6 являются функциями времени, то из последних уравнений следует, что как поток магнитной индукции, так и сила тока, идущего по периферии эритроцита, изменяются с течением времени в зависимости от характера вращения оси отдельного эритроцита или столбика эритроцитов. Вращение же вокруг собственной оси эритроцита вызывает механическое движение электронов, составляющих избыточный заряд вместе с поверхностью эритроцита, и это также является причиной возникновения контурных токов. Предположив, что избыточный

заряд сосредоточен в периферийной части эритроцита, и зная собственную скорость вращения этого форменного элемента, которая будет равна ф, можно дать приближенную формулу для определения силы тока, возникающего вследствие собственного вращения элемента: 1г = ф/2л.

Полный ток, идущий по периферии эритроцита, будет равен / = /, + /,.

Теперь приступим к определению магнитного момента Мт. Известно, что на замкнутый контур с током или на магнитную стрелку в магнитном поле действует пара сил с вращающим моментом Мт - Л(р[в(е\£0.]. В нашем случае роль магнитной стрелки выполняет столбик эритроцитов, а N - число эритроцитов в столбике; Ыр- магнитный момент столбика. Проецируя найденным таким образом магнитный момент на оси Схуг, получим:

¡ек°2,

м™ = в\'Х°2 -где в<е)=ва8? + в4?, / = 1,2,3,

= Б1п\jzsin0 С,2 =-созузт0, Сг =со50.

Таким образом, Мт =(М"',М"у'Тогда проекции этого вектора на оси системы координат Эйлера определятся следующим образом: М5" = (Мт1°),М™ ={Мтг{>),М£ = (Мт1°).

Исследования динамики столбика эритроцитов по разработанной выше теории состоят в следующем. Сначала мы решаем задачу динамики плазмы крови, движущейся во внешнем периодическом магнитном поле (безразмерные МГД - уравнения, определяющие динамику плазмы крови). Далее фиксируем положение центра масс столбика эритроцитов в поперечном сечении трубки. При этом вследствие условий, обеспечивающих автомодельность течения этот центр перемещается параллельно оси канала и относительное его расположение в сечении не меняется. После чего, находим коэффициенты аппроксимации поверхности скоростей и приступаем к интегрированию динамических уравнений Эйлера совместно с кинематическими уравнениями. При этом в правые части уравнений динамических уравнений входят найденные выше проекции момента внешних сил.

Продемонстрируем основные результаты, полученные с помощью построенной теории для течения крови в осесимметричном сосуде под действием перпендикулярно направленного к оси симметрии

■I ' ГП1

20 30 40

Рис. 5. Угловая скорость столбика в зависимости от времени для р = 2 л и В0 = 0,00045 Тл

Рис. 6. Индуцированный электрический ток для «мягкого» режима, соответствующего Д0 =0,00045 Тл

12

ш

8

4 —

0 —

-4 —

-8

У

0 0012 —|

0 0008

0 0004 —

I»

-0 0004

0 12 3

Рис. 7. Угловая скорость столбика в зависимости от времени для р = 2пи В0 = 0,0045 Тл

' Т 1 I ' .(

0 12 3

Рис. 8. Индуцированный электрический ток для «жесткого» режима, соответствующего В0 = 0,0045 Тл

сосуда осциллирующего магнитного поля с заданной амплитудой и частотой. Анализ рис. 5-8 позволяет выделить два случая движения монетных «столбиков». Первый, когда колебания столбика и электрического тока в нем происходят на ограниченном участке по времени при частоте колебаний внешнего магнитного поля. Такой режим мы назвали гармоническим или «мягким» (см. рис. 5-6). Второй, когда мы имеем незатухающие осцилляции с частотой превышающей частоту внешне го магнитного поля. Этот режим был назван стохастическим или «жестким» (см. рис. 7-8), поскольку приводит к разрушению исследуемых структур эритроцитов. Задавая частоту и амплитуду (параметры, характеризующие внешнее поле), по разработанной численной модели можно выявить воздействие переменных магнитных полей на дина-

мику столбика, т.е. установить при каких условиях это влияние будет существенным и эффективным в отношении разрушения «монетного» столбика.

Отметим также, что построенная теория адекватна вплоть до момента, когда гидродинамический и магнитный моменты, действующие на столбик эритроцитов, еще не приводят к его разрушению. Тем не менее, приведенный выше математический аппарат позволяет проводить теоретические исследования, направленные на выяснение характеристик магнитного поля и гидродинамических характеристик сдвигового течения плазмы, при которых происходит активное взаимодействие полей со структурными образованиями из форменных элементов.

В заключении диссертации приводятся основные выводы по работе, к ним относятся:

1. Разработана теория МГД-взаимодействия эритроцитов, которая включает полученные автором точные уравнения нестационарного автомодельного течения плазмы крови в трубке сложной формы поперечного сечения, динамические и кинематические уравнения Эйлера, определяющие динамику столбика эритроцитов или отдельного эритроцита, а также теорию моментов внешних сил, действующих на столбик в потоке плазмы и составляющих правые части динамических уравнений Эйлера.

2. По результатам проведенного экспериментального моделирования найден гармонический («мягкий») режим движения столбика эритроцитов во внешнем переменном магнитном поле, характеризующийся тем, что колебания столбика происходят при частоте колебаний внешнего магнитного поля. Этот режим имеет ограниченную протяженность во времени, имеет фазу нарастания амплитуды колебаний угловой скорости и фазу убывания указанной амплитуды. При этом амплитуда индуцированного тока только снижается и уменьшается, в конце концов, до нуля.

3. Расчетным образом определен стохастический («жесткий») режим движения столбика эритроцитов во внешнем переменном магнитном поле, характеризующийся появлением собственной частоты колебаний угловой скорости столбика, которая значительно выше частоты внешних колебаний поля. Этот режим имеет неограниченную протяженность во времени. Здесь величины моментов, изгибающих столбик эритроцитов существенно выше, нежели в «мягком» режиме. Поэтому указанные структурные образования достаточно быстро разрушается.

4. По результатам моделирования установлен факт существенного снижения продолжительности «мягкого» режима при увеличении частоты колебаний внешнего поля.

Основные публикации автора по теме диссертации:

1. Бубенчиков A.M., Колесникова A.B. Влияние постоянного магнитного поля на течение проводящей жидкости в канале прямоугольной формы // Материалы 9-й Республиканской научной конференции студентов и аспирантов «Новые математические методы и компьютерные технологии в проектировании, производстве и научных исследованиях». - Гомель: ГГУ им. Ф.Скорины, 2006, с. 127-128.

2. Бубенчиков A.M., Колесникова A.B. Стабилизированное течение электропроводящей жидкости в круглой трубе // Вычислительные технологии, 2005, т. 10, № 3, с. 23-31.

3. Бубенчиков A.M., Колесникова A.B. Стабилизированное течение электропроводящей жидкости в канале сложной формы поперечного сечения // Материалы 6-й региональной научно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых, 2006, с. 8990.

4. Бубенчиков A.M., Корнелик С.Е., Колесникова A.B. Теория магнитогидродинамического взаимодействия эритроцитов // Вестник Томского государственного университета. Бюллетень оперативной научной информации «Вычислительная гидромеханика», 2006, № 81, с. 6-21.

5. Бубенчиков A.M., Попонин B.C., Колесникова A.B. Течение электропроводящей жидкости в канале с частично проводящими стенками // Вычислительные технологии, 2006, т. 11, № 1. с. 26-34.

6. Бубенчиков A.M., Колесникова А. В. Влияние постоянного магнитного поля на течение проводящей жидкости в канале сложной формы поперечного сечения // Сборник научных трудов Международной научно-практической конференции,- Снежинск: Изд-во СГФТА, 2006, с. 163-164.

7. Бубенчиков A.M., Корнелик С.Е., Колесникова A.B., Байков А.Н: Теория МГД йзйимодейё+вий эри-фоцитев // Mätepumi 5-= Й российской МУЧНОЙ конференций «Фундаментальные И прикладные проблемы севременней Механики»,- НЙЙ ilMMj ¿Обе, с. 7(И1.

Тираж 100. Заказ 54. Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники. 634050, г. Томск, пр. Ленина, 40.

Введение

1 Структура и динамика крови с точки зрения влияния магнитных полей

1.1 Микроструктура кропи и со влияние на реологию.И

1.2 Поверхиостый заряд эритроцитов. Связь с реологией крови и иаталогимескими изменениями в сосудистой системе

1.3 Общие вопросы воздействия магнитных полей на кровоток. Проблемы моделирования.

1.4 Электропроводность крови.

1.4.1 Магнитное тромбирование артериальных аневризм

1.4.2 Выводы.

2 Стационарные течения электропроводящей жидкости

2.1 Течение электропроводящей жидкости в канале прямоугольного сечения.

2.1.1 Аналитическое решение.

2.1.2 Простейшая конечно-разностная схема

2.1.3 Результаты расчетов.

2.2 Простейшие стабилизированные МГД-течения в круглой трубе.

2.2.1 Вывод автомодельных стационарных уравнений магнитной гидродинамики.

2.2.2 Преобразование уравнений

2.2.3 Разностная аппроксимация преобразованной задачи

2.2.4 Замечания об условиях на оси течения.

2.2.5 Замечания по технологии вычислений.

2.2.6 Результаты расчетов.4G

2.3 Течение электропроводящей жидкости в канале с частично проводящими стенками

2.3.1 Математическая постановка задачи

2.3.2 Конечно-разностное решение задачи.

2.3.3 Тестовые проверки

2.3.4 Результаты расчетов.

2.4 МГД-течения в канале переменного сечения .G

2.4.1 Физическая постановка задачи.G

2.4.2 Математическая постановка задачи .G

2.4.3 Метод решении.G

2.4.4 Построение контура и расчетной сетки .GG

2.4.5 Разностная аппроксимация исходных уравнений . . G7 2.4.G Поточечный последовательный метод Гаусса-Зейделя G

2.4.7 Выполненные тестовые расчеты

2.4.8 Результаты МГД-расчетов в канале с пережатием

2.4.9 Выводы.

3 Теория магнитогидродинамического взаимодействия эритроцитов в нестационарном потоке крови

3.1 Общие положения.7G

3.1.1 chapter.

3.1.2 Динамика столбика эритроцитов как недеформируемой системы

3.1.3 Техника расчета момента гидродинамического воздействия потока.8G

3.1.4 К определению магнитного момента.

3.2 Неустановившееся течение в плоском канале.

3.2.1 Определяющие уравнения.

3.2.2 Построение неявной конечно-разностной схемы

3.2.3 Вычислительная технология решения обобщенного уравнения (3.79)

3.2.4 Тестирование алгоритма.

3.2.5 Математическая модель динамики столбика эритроцитов.

3.2.G Метод Рупге-Кутта для интегральных уравнений динамики столбика.

3.2.7 Тестовая проверка алгоритма на точном решении

3.3 Нестационарное течение в круглой трубе и в канале сложной формы поперечного сечения.

3.3.1 Явный метод Булеева.

3.3.2 Выводы.

Исследования в магнитобиологии показывают, что как постоянные, так и переменные магнитные или электромагнитные поля оказывают определенное влияние на самые различные процессы в биологических системах или в живом организме. В подавляющем большинстве случаев эти исследования носят сугубо эмпирический характер, а полученные в них результаты не всегда могут быть повторены, иногда они даже противоречивы. Однако сам факт чувствительности живой природы к магнитным полям неоспорим. Эмпиризм магнитобиологических исследований в настоящее время вызван вполне объективными причинами. Сложность процессов в биологических системах не позволяет дать этим исследованиям достаточно обоснованную теоретическую интерпретацию. Ответственность за развитие теоретических основ наряду с биофизикой во многом ложится на современную физико-химическую и магнитную гидродинамику.

В связи с этим, теоретические исследования по магнитной гидродинамике являются своевременными и актуальными. Поэтому одной из целей настоящей работы является привлечение более широкого внимания специалистов но магнитной гидродинамике к магнитобиологическим проблемам

Первые сведения о магнитных свойствах крови относятся к середине прошлого столетия. Что касается цельной крови, то уже в 1845 г. установлена ее диамагнитпость. Значительно позже доказан факт о различии магнитных свойств артериальной и венозной крови, указывающий на связь между магнитными характеристиками и насыщенностью крови кислородом. Относительно магнитных свойств составных частей крови информация сравнительно невелика. Большое количество факторов, влияющих на физические и химические свойства биологических систем и индивидуальные особенности организма, является причиной того, что сведения о физических свойствах зачастую противоречивы.

Численные оценки показывают, что благодаря различиям в магнитной восприимчивости эритроцитов и плазмы при сравнительно больших размерах форменных элементов в магнитных фильтрах могут быть получены сравнительно высокие магпитофоретическис скорости. Например, для фильтрующего элемента с индукцией насыщения 0,2 Тл и характерным размером порядка нескольких мкм экспериментально получены форетические скорости в несколько десятков мкм/с. Такие скорости позволяют создать сравнительно эффективные магнитные фильтры для сепарации эритроцитов, которые могут найти практическое применение в клинике. Однако магнитофорез может быть использован и в других целях. Отмеченные различия восприимчивости эритроцитов в зависимости от степени окисления или восстановления гемоглобина, а также возможная корреляция между магнитными свойствами форменных элементов и плазмы крови и патологией указывают на принципиальную возможность использования измерений магнитофоретичсской подвижности в целях медицинской диагностики.

Воздействие магнитного поля на биологическую жидкость не ограничивается магнитофорезом. Имеются сведения о том, что в сильном магнитном поле возможны деформация эритроцитов и даже гемолиз крови, ориентация надмолекулярных включений или макромолекул и их агрегация. Наряду с седиментацией форменных элементов экспериментально обнаружена и магнитная седиментация 7-глобулина. Указанные ориентационные эффекты и агрегация могут быть ответственны за изменение гидродинамики течения биологических жидкостей в магнитном поле. Может наблюдаться также изменение проницаемости биологических мембран в поле и смещение осмотического равновесия за счет перераспределения состава в неоднородном магнитном поле. Следует отметить, что, несмотря па то что коэффициенты диффузии в жидкостях порядка Ю-9 м2/с, ввиду малости характерных размеров (порядка нескольких мкм) характерные времена массообмепиых процессов малы, т. е. возможные изменения сказываются практически мгновенно.

При движении биологических жидкостей в магнитном поле изменения, связанные с гартмаповым механизмом воздействия, вследствие сравнительно малых нроводимостей и характерных размеров пренебрежимо малы (за исключением крупных сосудов, например, аорты). В то же время, как уже отмечалось, электрохимические процессы, вызванные индуцированными электрическими токами, могут вызывать существенные изменения в биологической системе.

Настоящая диссертационная работа посвящена построению магпитогидродинамических моделей кровотока в крупных кровеносных сосудах (аорте, артериях и крупных венах), где для описания динамики крови может быть использована однофазная среда с ньютоновскими реологическими свойствами. А также изучению частного вопроса воздействия магнитных полей на морфологическую структуру сосудистой системы, связанного с разрушением "монетных" столбиков эритроцитов.

Более конкретно главные цели работы можно сформулировать следующим образом:

1. Разработка магнитогидродинамических моделей стационарного и пульсирующего кровотока;

2. Исследование влияния переменного электромагнитного поля на динамику плазмы и столбика эритроцитов в плоском канале;

3. Выявление особенностей динамики столбиков эритроцитов в осесимметричных и "пережатых" сосудах при воздействии переменного электромагнитного ноля;

4. Определение параметров переменного электромагнитного поля, обеспечивающего разрушение столбиков эритроцитов.

Первая глава является вводной. Здесь приведены данные по морфологической структуре крови. Разъясняются известные теории агломерации эритроцитов. Представлены экспериментальные и модельные зависимости иллюстрирующие характер воздействия на кровь внешнего сдвигового усилия (реологические зависимости). Отмечено, что явления тиксотропии и вязкоэластичности проявляются при относительно малых скоростях сдвига и характеризуются большим временем релаксации. В связи с этим, имеется возможность для моделирования кровотока в крупных кровеносных руслах в рамках ньютоновской реологии. Даются элементарные сведения о распределении электрических зарядов по структурным элементам крови и стенок сосудов. Обсуждаются общие вопросы воздействия магнитных полей на кровоток и моделирования указанного воздействия.

Представлен раздел по электропроводности крови, включая описание теоретических моделей электропроводности суспензий. Описаны конкретные примеры применения магнитных полей в медицине для целой тромбирования артериальных аневризм головного мозга.

Во второй главе рассмотрены стационарные течения электропроводящей жидкости, включая течение в прямоугольном канале. Для этого случая классическим методом Фурье построено аналитическое решение. Далее представлены вывод точных уравнений магнитной гидродинамики для случая автомодельного течения в трубе произвольного (из класса непрерывных) профиля поперечного сечения и выполнено разделение задачи на две части как на уровне уравнений, так и на уровне граничных условий (для случая непроводящих стенок). Обсуждаются граничные условия па оси течения и вычислительная технология интегрирования полученных разделенных уравнений. Представлены решения задач в канале с частично проводящими стенками и каналах сложного сечения.

В третьей главе изложена теория магпитогидродипамического взаимодействия эритроцитов. Эта теория включает уравнения нестационарного автомодельного течения плазмы крови в трубке сложной формы поперечного сечения, динамические и кинематические уравнения Эйлера, определяющие характер вращения столбика эритроцитов (или отдельного эритроцита) в нестационарном магнитном потоке плазмы, а также теорию моментов, составляющих правые части динамических уравнений Эйлера.

Предложенная теория выписана также для относительно простого случая вращения эритроцита (или столбика эритроцита) в плоском канале. Описана методика численного решения задачи. Получены численные данные подтверждающие наличие двух режимов в динамике столбика эритроцитов. Далее описана технология решения задач не обладающих какой-либо симметрией, т.е. пространственных задач динамики столбика эритроцитов и получены численные результаты применительно к случаю нестационарного течения плазмы в канале сложной формы поперечного сечения.

3.3.2 Выводы

Разработана теория матнитогидродинамического взаимодействия эритроцитов, которая включает полученные автором точные уравнения нестационарного автомодельного течения плазмы крови в трубке сложной формы поперечного сечения, динамические и кинематические уравнения Эйлера, определяющие динамику столбика эритроцитов (или отдельного эритроцита). Теорию моментов внешних сил, действующих на столбик в потоке плазмы и составляющих правые части динамических уравнений Эйлера.

Расчеты, опирающиеся на созданную теорию, позволили выявить два режима реакции "монетных" столбиков на периодическое воздействие внешнего магнитного поля. Первый режим гармонический или "мягкий", характеризующийся тем, что колебания столбика происходят при частоте колебаний внешнего магнитного поля. Весь режим имеет ограниченную протяженность во времени (см.рис.3.11, 3.12) и имеет фазу нарастания амплитуды колебаний угловой скорости (t < -ti) и фазу А убывания указанной амплитуды (-£/ < t < ti, где tj - протяженность режима I). При этом амплитуда индуцированного тока только снижается и в конце концов уменьшается до нуля.

Второй режим стохастический или "жесткий" характеризуется появлением собственной частоты колебаний столбика, которая выше частоты внешних колебаний в 5-7 раз. Этот режим имеет неограниченную протяженность во времени. В этом режиме величины моментов изгибающих столбиков эритроцитов существенно выше нежели в режиме I. Поэтому столбик достаточно быстро разрушается.

Как видно из рис.3.15 а), с увеличением частоты колебаний внешнего поля существенно снижается продолжительность первого режима. Она также заметно снижается с ростом Bq (амплитуды колебаний поля), если, при этом, первый режим еще продолжает существовать (рис. 3.15 Ь)).

Заключение

Несмотря на то, что на движение крови принципиально оказывает влияние эластичность сосудов, дыхательная система и другие физиологические условия, вопрос о влиянии переменного магнитного поля на динамику эритроцитов в крупных кровеносных сосудах принципиально может быть решен в рамках представленной в настоящей работе модели автомодельного пульсирующего кровотока без обратного влияния форменных элементов на движение плазмы. Если же речь идет о более мелких сосудах, то здесь становится существенной, как нелинейная реология крови, так и двухфазный характер тока крови, включая обратное воздействие форменных элементов на движение плазмы. Более строгим в этом случае оказался бы подход, позволяющий рассчитать самосогласованное электромагнитное поле, и также оценить чувствительность эритроцитов к этому полю. Модель самосогласованного поля для потока заряженных частиц базируется, как известно, па уравнениях А.А. Власова. Но и она в этих условиях оказалась бы недостаточной, поскольку в примере с кровотоком, частицы (эритроциты) являются не только носителями отрицательного заряда, но и магнитного момента, порожденного движением электронов по поверхности эритроцита. Так, что упомянутая модель требовала бы обобщений.

Поскольку автору неизвестны расчетные модели но влиянию электромагнитных полей па структуру крови, то мы сочли целесообразным разработать сначала простейшую модель динамики эритроцита 15 потоке электропроводящей плазмы крови текущей в жесткой трубке, находящейся в свою очередь, в переменном магнитном поле. Однако, даже эта, относительно простая модель, примененная к столбику эритроцитов, позволила выявить два различных режима в движении указанного структурного образования, изумить процессы перехода от гармонического режима к стохастическому и исследовать влияние частоты и амплитуды колебаний внешнего поля на систему в виде взвеси эритроцитов в плазме крови. А также определить критические значения указанных параметров, приводящих к разрушению "монетного" столбика.

В заключение автор хотела бы выразить большую благодарность своему научному руководителю профессору Алексею Михайловичу Бубеичикову за помощь и постоянное внимание, оказываемые при выполнении работы, научному консультанту Сергею Евгеньевичу Корнелику за полезные советы, профессору Константину Евгеньевичу Афанасьеву за квалифицированное обсуждение и ценные замечания по работе всем и сотрудникам кафедры теоретической механики ТГУ за оказанную поддержку.

1. Einav S., Berman H.J., Fuhro R.L. nt al. Mesurement of Velocity Profiles of Red Blood Cells in the Microcirculation by Laser Doppler Anemometry (LDA) // Л. of Biorheology, 1975, Vol. 12. P. 207-210.

2. Mewis J. and Spaull A. J. B. Rheology of Concentrated Dispertions //J. Advanced in Colloid and Interface Science. 1976. Vol. 6. P. 173-200.

3. Cheng D. C.-H. and Evans F. Phenomenological Characterization of the Rhcological behavior of inelastic reversible thixotropic and antithixotropic fluids // British Journal of Applied Physics. 1965. Vol. 16. P. 1599-1617.

4. Gelin L. E. Disturbance of the Flow Properties of Blood and its Counteraction in Surgery // Acta Chirurgica Scandinavica. 1961. Vol. 122. P. 287-293.

5. Wells JR. R. E., Denton R. and Merrill E. W. Measurement of Viscosity of Biologic Fluids by Cone Plate Viscometer // J. Lab. and Clinical Medicine. 1961. Vol. 57. P. 646-656.

6. Rand P. W., Lacombo E., Hunt H. E., and Austin W. H. Viscosity of Normal Human Blood under Normothermic Conditions // J. Appl. Physiology. 1964. Vol. 19. P. 117-122.

7. Schmid-Schonbein H., Wells R. E. and Goldstone J. Fluid drop-like behavior of erythrocytes disturbance in pathology and its quantification // J. of Biorheology. 1971. Vol. 7. P. 227-234.

8. Evans R. L., Kirkwood R. B. and Opsahl D. G. The dynamic viscosity of some Human blood // J. Biorheology. 1971. Vol. 8. P. 125-128.

9. Biro G. P. Comparison of Acute Cardiovascular Effects and Oxygen-Supply Following Haeinodilution with Dextran, Stroma-Frce Haemoglobin Solution and Fluorocarbon Suspension //J. Cardiovascular Res. 1982. Vol. 1G. P. 194-204.

10. Skalak R., Keller S. R. and Sccomb T. W. Mechanics of Blood Flow // J. Biomech. Eng. 1981. Vol. 103. P. 102-115.

11. Guyton A. C. Medical Physiology // Gth ed., W. B. Saunders company, Philadelphia. 1981. P. 222-235.

12. Cho Y. I. and Kensey K. R. Effects of the Non Newtonian Viscosity of the Blood on Flows in a Diseased Arterial Vessel. Part I: Steady Flows // J. of Biorheology. 1991. Vol. 28. P. 241-262.

13. Quemada D. A Non-Linear Maxwell Model of Biofluids: Application to Normal Blood // J. of Biorheology. 1993. Vol. 30. P. 253-205.

14. Stoltz J. F. and Lucius M. Viscoelasticity and Thixotropy of Human Blood // J. of Biorheology. 1981. Vol. 18. P. 453-473.

15. McMillan D. E., Utterback N. G., Nasrinasrabadi M. and Lee M. M. An Instrument to Evaluate the Time Dependent Flow Properties of Blood at Moderate Shear Rates // J. of Biorheology. 1986. Vol. 23. P. 63-74.

16. Лентой В. А., Регнрер С. А., Шадрина H. X. Реология крови. М.: Медицина. 1982, с. 272

17. Бубенчиков А. М., Кориелик С. Е. Современные математические представления сердечно-сосудистой системы. Томск: Изд-во Том. унта, 2001, с. 103.

18. Корнелик С.Е., Бубенчиков A.M. Вычислительная гемодинамика. Томск: Изд-во Том. ун-та, 2003, с. 415.

19. Chien S. Physiological and Pathological Significance of Hemorhcology // In: Clinical Hemorhcology. S. Chien, Ed. Martinns NijhofF, Dordrecht, 1987. P.125-1G4.

20. Chien S. Clumping (reversible aggregation and irreversible agglutination) of Blood Cellular Elements // Thromb. Res. 197G. Vol. 8 (Suppl. II). P. 189-202.

21. Chien S. Electrochemical Interaction and Energy Balance in Red Blood Cell Aggregation // In: Topics in Bioelectricity and Bioenergetics, Vol. 4, G. Milazzo, Ed. Wiley, New York, 1981. P. 73-112.

22. Gast A. P., and Leiblcr L. Interaction of Sterically Stabilized Particles Suspended in a Polymer Solution // J. Macromolecules. 198G. Vol. 19. P. G8G-G91.

23. Joaimy J. F., Leibler L., and De Gennes P. G. Effects of Polymer Solutions on Colloid Stability // J. of Polymer Sci. 1979. Vol. 17. P. 1030-1084.

24. Chien S. Biophysical Behavior of Red Cells in Suspentions // In: The Red Blood Cell, D. M. Surgenor. New York: Ed. Academic Press. 1975. P. 1031-1133.

25. Elimelech M., Gregory J., Jia X., and Williams R. A. Particle Deposition and Aggregation: Measurement, Modeling and Simulation, (Ch. 6). Butterworth Hcinemaim; Oxford. 1995. P. 157-202.

26. Shainlou P. A., and Titchener Hooker N. Turbulent Aggregation and Breakup of Particles in Liquids in Stirred Vessels, In: Processing of Solid - Liquid Suspensions // P. A. Shainlou. Oxford: Ed. Butterworth -Heinemann. 1993. P. 1-25.

27. Muhle K. Floe Stability in Laminar and Turbulent Flow // In: Coagulation and Flocculation, Theory and Applications, B. Dobias, Ed., M. Dekker. New York. 1993. P. 355-390.

28. Блум Э.Я., Михайлов Ю.А., Озолс Р.Я. Тепло- и массообмен в магнитном поле.- Рига, Зинатне, 1980, с. 354.

29. Бубенчиков A.M., Ливаев Р.З. Некоторые автомодельные задачи магнитной гидродинамики // Вестник ТГУ. Бюллетень оперативной научной информации, 2001, N4, с. 32-52.

30. Бубенчиков A.M., Клсвцова А.В., Фирсов Д.К. Течение электропроводящих жидкостей в тонких трубках в поперечном магнитном поле // Математическое моделирование, 2003, Т.15, N9, с. 76-87.

31. Бубенчиков A.M., Клевцова А.В., Харламов С.Н. Закрученный поток проводящей жидкости в узких трубах при наличии магнитного ноля // Математическое моделирование, 2004, T.1G, N4 с. 109-122.

32. Бубенчиков A.M., Колесникова А.В. Стабилизированное течение электропроводящей жидкости в круглой трубе // Вычислительные технологии, 2005, Т.10, N3, с. 23-31.

33. Бубенчиков A.M., Корнелик С.Е., Колесникова А.В. Теория магнитогидродинамического взаимодействия эритроцитов // Вестник Томского государственного университета. Бюллетень оперативной научной информации "Вычислительная гидромеханика", 2006, N81, с. 6-21.

34. Владимиров В. С., Жаринов В.В. Уравнения математической физики. М.: Физмат, 2003, с. 400.

35. Ватажин А.Б., Любимов Г.А., Регирер С.А. Магнитодинамические течения в каналах. М.: Наука, 1970, с. 672.

36. Жукаускас А.А. Конвективный перепое в теплообменниках. М.: Наука, 1982, с. 472.

37. Ильин В.П. Методы неполной факторизации для решения алгебраических систем.-М.: Физматлит, 1995, с. 346.

38. Камипер А.А., Яхно О.М. Гидромеханика в инженерной практике. К.: Техника, 1987, с. 175.

39. Каро К., Педли Т., Шротер Р., Сид У. Механика кровообращения. -М.: Мир, 1981, с. 540.

40. Корнелик С.Е., Бубенчиков A.M. Вычислительная гемодинамика. Томск: ТГУ, 2006, с. 412.

41. Корнелик С.Е., Борзеико Е.К., Гришин А.Н., Бубенчиков М.А. Исследование процессов образования и разрушения монетных столбиков эритроцитов в канале с локальным расширением. Вычислительные технологии, 2006, Том 11, N4, с. 127-146.

42. Куликовский А.Г. О модельных стационарных течениях проводящей жидкости при больших числах Гартмана. "Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа", 1968, N2, с. 3-10.

43. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.: Наука, 1973, с. 848.

44. Левтов В.А., Регирер С.А., Шадрина Н.Х. Реология крови.-М.: Медицина, 1982, с. 272.

45. Патан кар С. Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости. М.:Энергоатомиздат, 1984, с. 152.

46. Педли Т. Гидромеханика крупных кровеносных сосудов. -М.: Мир, 1983, с. 400.

47. Тапанаев А.В. Течения в каналах МГД-устройств. М.: Энергоатомиздат, 1981. с. 420.

48. Томилов Е.Д. Теоретическая механика.Ч.2. Томск: Изд-во Том. унта, 1970, с. 316.

49. Трофимова Т.И. Курс физики.-М:Высшая школа, 2001, с. 542.

50. Симупи Л.М. Численное решение задач теплообмена при пеизотермическом движении вязкой жидкости в плоской трубе //Инж.-физ.журп. 1966, Т.10, N1, с. 89-91.

51. Самарский А.А. Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений.-М.: Наука, 1978, с. 620.

52. Чижевский A.JI. Структурный анализ движущейся крови. -М.: Изд-во АН СССР, 1959, с. 80.

53. Hunt J.C.R. Magneto hydrodynamic flow in rectangular ducts//Fluid Mech. 19G5. Vol.21, pt 4. P.577-590.

54. Ihara S., Tajima K., Matsushima A. The flow of conducting fluids in circular pipes with finite conductivity under uniform traverse magnetic fields.- "Bull. Sci. and Engng Res. Lab. Waseda Univ.", 1963, v. 22, p. 1-9.

55. Ihara S., Tajima K., Matsushima A. The flow of conducting fluids in circular pipes with finite conductivity under uniform traverse magnetic fields.- "Trans. ASME", 1967, v.89, N1, p. 29-36.

56. Gold R.R. Magnetohydrodynamic pipe flow.Part 1//Journal of fluid mechanics. 1962. V.13, part4. P.505-512

57. Shercliff J. A. Steady motion of conducting fluids in pipes under traverse magnetic fields. "Proc. Cambrige. Philos. Soc.", 1953, v.49, N1, p. 136144.

58. Shercliff J.A. Steady motion of conducting fluids in circular pipes under traverse magnetic fields. ",J. Fluid Mech.", 1956, v.l, part 6, p. 644-666.

59. Fricke H., Morse S. J. Gen. Physiol., 1925, 8, N2, p. 153-159.

60. Духин А.Я., Дубровский Г.П., Ефремова H.M. О тенденции движения форменных элементов в искусственных сосудах. В кн: Трансплантация почки и искусственные органы. М., 1976, с. 184-194.

61. Андреев В. С. Кондуктометрические методы и приборы в биологии и медицине. М.: Медицина, 1973. с. 316.

62. Fricke H. Phys. Rev., 1924, 24, N 5, p.575-587.

63. Veliek S., Gorin M. J. Gen. Physiol., 1940, 23, N 6, p.753-761.

64. Danzer H. Ann. Physik., 1934, 21, N 5, p.783-794.

65. Фирсов H. H., Стюрева Г. M., Костин Г. М. Труды Рижск. НИИ травматологии и ортопедии, 1975, вып. 13, с. 184-197.

66. Гурфинкель Ю.И., Любимов В.В. Экранированная палата в клинике для защиты пациентов с ишемической болезнью сердца от воздействия геомагнитных возмущений // Мед. физика, 2004, N 3(23), с. 34-39

67. Fricke Н. Pliys. Rev., 1925, 26, N 5, р.682-695.

68. Schwan Н. P.- In: Adv. Biol. Med. Phys., 1957, v. 5, p. 147-159.

69. Liebman F. M., Bagno S. In: Biomed. Sci. Instrumentation. Pittsburgh, 1968. v. 4. 25-37.

70. Edgerton R. И. IEEE Trans. Biomed. Eng., 1974, BME21, N 1, 33-47.

71. Dellimore J. W. Proc. Rov. Soc. London, 1976, B193, N 1113, 359-367.

72. Руткевич И. M. В кн.: Всесоюзная конф. но проблемам биомеханики. 2-я. Тезисы докладов. Рига, 1979, т.2, 25-37.

73. Кикут Р. К. Использование магнитобиологических эффектов в лечении артериальных аневризм сосудов головного мозга. Автореф. дис. на соиск. учен, степени д-ра мед. паук. М., 1977, с. 36.

74. Сельков Е. А., Соколова Е. А., Калинина Е. В. Удельная магнитная восприимчивость сыворотки крови и спинно-мозговой жидкости. -Биофизика, 1962, т. 7, N 4, с. 483-486.