автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Методы вейвлет-анализа численного решения одномерных задач электродинамики

На^цзавах рукописи РОГОВА НАТАЛЬЯ ВЯЧЕСЛАВОВНА

МЕТОДЫ ВЕЙВЛЕТ-АНАЛИЗА ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ ОДНОМЕРНЫХ ЗАДАЧ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ

05 13 18 — математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 6 О КГ 2008

Воронеж 2008

003448451

На правах рукописи

РОГОВА НАТАЛЬЯ ВЯЧЕСЛАВОВНА

МЕТОДЫ ВЕЙВЛЕТ-АНАЛИЗА ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ ОДНОМЕРНЫХ ЗАДАЧ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ

05 13 18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Воронеж 2008

Работа выполнена в Поволжском государственном университете телекоммуникации и информатики

Научный руководитель доктор физико-математических наук,

доцент Блатов Игорь Анатольевич

Официальные оппоненты доктор физико-математических наук,

доцент Новиков Игорь Яковлевич - ^ Воронежский государственный университет

доктор физико-математических наук, профессор Семенов Михаил Евгеньевич Воронежская государственная технологическая академия

Ведущая организация Самарский государственный университет

Защита состоится «22» октября 2008 г В 15.10 на заседании диссертационного совета Д 212 038 20 при Воронежском государственном университете по адресу 394006, г Воронеж, Университетская площадь, 1, ВГУ, математический факультет, аудитория 227

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Воронежского государственного университета

Автореферат разослан «

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212.038 20, кандидат физико-математических на\к, доцент к V / /

Провоторов В В

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Прогресс современной вычислительной техники дал новый толчок развитию целого ряда разделов математической физики и вычислительной математики в различных областях науки и техники, в частности антенного моделирования В этой области был достигнут ряд успехов расширился класс задач, поддающихся расчету, и изменился сам подход к их решению Однако существует и ряд препятствий, которые возникают при реализации данных методов В современных условиях актуальной является проблема снижения издержек на разработку, уменьшение объемов экспериментальных работ по настройке изделий, а также постоянный рост требований к техническим характеристикам антенно-фидерных устройств

В настоящее время существует ряд проблем, связанных с антенным моделированием Во-первых, для получения хороших антенных характеристик необходимо усложнять объект электродинамического анализа, что не позволяет использовать известные классические алгоритмы Во-вторых, мы сталкиваемся со значительными вычислительными затратами, связанными с построением устойчивых алгоритмов, обеспечивающих получение достоверных решений, при увеличении антенной конструкции В свою очередь, повышение точности невозможно без обеспечения универсальности расчетных методик Все это требует разработки новых высокоэффективных численных методов

Таким образом, в настоящее время существует актуальная научно-техническая проблема развития и внедрения эффективных расчетных методик и алгоритмов, решения задач электродинамического анализа теории антенн

Важным классом математических моделей, основанных на интегральных уравнениях, являются задачи относительно осевых источников Это направление представляет собой большую группу методов, основанных на тонко-проволочном приближении с использованием интегрального уравнения Фредгольма первого рода Этот подход является исторически первым и получившим широкое распространение Данный подход освещался в работах Е Галлена, Р Ф Харрингтона, Дж X Ричмонда и многих других ученых и имеет серьезный недостаток связанный с некорректностью задачи по Адамару, хотя отличается простотой алгоритмизации и сравнительно

небольшой потребностью в вычислительных ресурсах в случае простых антенных структур

Для разрешения данной некорректности в рамках осевого приближения используется регуляризация и рассматривается в работах А Н Тихонова, В Я Арсенина и других работах Также разработаны методы, учитывающие физическую специфику задачи, в работах А Л Бузова, В В Юдина и др

Но непосредственное применение метода интегральных уравнений не всегда возможно, т к ограничивается объемом памяти и быстродействием современной вычислительной техники Если рассматривать интегральное уравнение в задачах электродинамики на контуре небольшой длины, то его можно решить любым методом, но что делать если контур, например, имеет вид мачты с большим числом звеньев7 Традиционные численные методы приводят к системам линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) с заполненными матрицами высоких порядков Это связано с огромными объемами вычислений, особенно в задачах моделирования двумерных структур, либо проводящих контуров большой совокупной длины

Для решения таких задач целесообразно использовать вейвлет-системы, которые представляют собой ортогональные системы функций, появившиеся сравнительно недавно, и завоевавшие популярность в связи с рядом преимуществ, которые они имеют для широкого круга задач перед классическими ортогональными системами функций Математическая теория вейвлет-систем была создана в работах И Добеши, С Малла, Й Мейера, П Ж Лемарье, Ч Чуй, И Я Новикова и др

В настоящее время имеется ряд монографий, в которых достаточно полно изложены математические основы теории вейвлет, а также их приложения к информационным технологиям, вместе с тем, отметим отсутствие доступной русскоязычной литературы по применению вейвлет к вычислительной математике Многие важные для вычислений темы квадратурные формулы высокой точности для интегралов от вейвлет-функций, простые в вычислительном плане алгоритмы для вейвлет-систем на конечном отрезке разработаны недостаточно Имеющиеся работы либо носят ознакомительно-обзорный характер, либо являются теоретико-функциональными исследованиями, весьма далекими от потребностей вычислений

Вместе с тем несомненные достоинства вейвлет-анализа требуют разработки простых алгоритмов построения вейвлет-систем, адаптированных к конкретным классам прикладных задач, вместе с

соответствующим математическим обеспечением алгоритмами прямого и обратного вейвлет-преобразований, квадратурными формулами, вычислительными методами линейной алгебры

Особо следует отметить применение вейвлет-систем к численному решению интегральных уравнений Сочетание финитности и ортогональности вейвлет-функций приводит к тому, что матрицы СЛАУ, возникающие в методах Бубнова-Галеркина, коллокаций и т п оказываются псевдоразреженными, т е, вообще говоря, не имея ни одного нулевого элемента, хорошо аппроксимируются по норме разреженными матрицами Это обстоятельство отмечалось в работах В Дамена, X Харбрехта, Р Шнайдера, Т Петерсдорфа и др Однако авторы данных работ ограничивались констатацией факта псевдоразреженности, либо разработкой на ее основе быстрых алгоритмов умножения соответствующей матрицы на вектор

Отметим, что основы общей теории псевдоразреженных матриц (ПРМ) и ее применение к вычислительным методам линейной алгебры были разработаны И А Блатовым В работах И А Блатова показано, что для построения и обоснования эффективных методов решения СЛАУ с ПРМ необходимо помимо оценок элементов самих матриц иметь аналогичные оценки обратных матриц, а также, в зависимости от выбора метода, оценки их треугольных и ортогональных факторизаций Для некоторых классов матриц эти вопросы изучались в работах А Г Баскакова, Т Д Азарновой, И А Колесникова Но для матриц, возникающих при применении вейвлет-функций в численном анализе, эти вопросы в настоящее время совершенно не изучены В связи с этим актуальной является задача разработки численных методов решения интегральных уравнений на основе вейвлет-функций и теории ПРМ и применению их к антенному моделированию

Цель работы - разработка и исследование новых высокоэффективных вычислительных алгоритмов для систем тонких кругоцилиндрических проводников, сводящихся к решению интегральных уравнений Фредгольма Достижения поставленной цели осуществляется решением следующих задач

- Разработка и обоснование вычислительных алгоритмов построения вейвлет-функций на базе полиномиальных сплайнов дефекта 1 произвольной степени

- Разработка и оценка трудоемкости алгоритмов быстрого прямого и обратного преобразований для построенных вейвлет

- Изучение аппроксимационных свойств сплайновых вейвлет на различных классах функций

- Изучение возможностей применения разреженных технологий, в частности оценки элементов прямой и обратной матрицы, и элементов Ш и факторизаций

- Создание комплекса программ и проведение численных экспериментов для нахождения функции тока и диаграммы направленности (ДН) для системы тонких кругоцилиндрических проводников

Методы исследования. Работа выполнена на основе методов математического моделирования, теории функций, теории сплайнов, функционального анализа, вычислительной линейной алгебры Численные результаты получены с использованием вычислительных алгоритмов, реализованных на ПЭВМ на языке С++

Научная новизна работы заключается в следующем

1) Построена система полуортогональных сплайновых вейвлет на конечном отрезке

2) Для построенной системы разработаны алгоритмы прямого и обратного быстрого вейвлет-преобразования, в том числе, быстрого вычисления кратных интегралов, являющихся элементами матриц СЛАУ в методе вейвлет-Галеркина

3) Получены асимптотически точные оценки элементов матриц СЛАУ в методе вейвлет-Галеркина для интегральных уравнений Фредгольма

4) Получены асимптотически точные оценки элементов обратных матриц, Ы} и факторизаций в случае интегральных

уравнений Фредгольма второго рода

5) Доказаны теоремы о разрешимости задач метода Галеркина и сходимости приближенных решений, в случае моделей, основанных на уравнениях Фредгольма первого и второго рода

6) Разработаны алгоритмы и создан комплекс программ для расчета тонко-проволочных антенных устройств

Теоретическая и практическая ценность. Результаты диссертации имеют теоретическую и практическую направленность Развитые в ней методы могут быть использованы для разработки и строгого математического обоснования новых быстрых алгоритмов решения задач вычислительной математики с применением вейвлет-систем и совершенствования известных методов на базе псевдоразреженных предобуславливателей Разработанные вычислительные алгоритмы являются основой эффективного численного моделирования сложных антенных устройств

На защиту выносятся:

1 Комплекс алгоритмов и результаты численного моделирования тонко-проволочных антенных устройств

2 Новая система полуортогональных сплайновых вейвлет на конечном отрезке и комплекс вычислительных алгоритмов, связанных с этими вейвлетами

3 Оценки элементов матриц СЛАУ в методе вейвлет-Галеркина для интегральных уравнений Фредгольма

4 Оценки элементов обратных матриц, Ш и фЯ'-факторизаций в методе вейвлет-Галеркина для интегральных уравнений Фредгольма второго рода

5 Теоремы о разрешимости задач метода Галеркина и сходимости приближенных решений, в случае моделей, основанных на уравнениях Фредгольма первого и второго рода

Апробация работы. Основные результаты по теме диссертационного исследования докладывались на семинарах и научных конференциях Самарского государственного университета, Самарского политехнического университета, международной конференции КВМ-2007 (Новосибирск), на Воронежской весенней математической школе "Понтрягинские чтения - XIX", а также на научном семинаре кафедры высшей математики и ежегодных научных конференциях Поволжской государственной академии телекоммуникации и информатики

Публикации. Автором диссертационных исследований (лично и в соавторстве) опубликовано 15 работ, из которых работы [2], [3], [4], [5], [6], [7] [15] выполнены без соавторства В совместных работах [1], [8], [9], [10], [11], [12], [13], [14] научному руководителю принадлежат постановки задач Работы [1], [15] опубликованы в изданиях, соответствующих списку ВАК РФ

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, изложенных на 138 страницах, и списка литературы, содержащего 104 наименования Работа содержит 47 рисунков и б таблиц

Краткое содержание работы

Во введении дана краткая историческая справка по рассматриваемым вопросам, раскрывается актуальность темы и приводится краткое содержание работы

В главе 1 ставиться задача антенного моделирования, строится модель и приводятся результаты численных экспериментов.

Рассматривается система вертикальных электрически тонких кругоцилиндрических проводников.

а(1)

Рис. 1

Ставиться задача об отыскании ДН и функции распределения тока по проводникам при заданном возбуждении системы. Интегральное уравнение:

Г _ 1 9С(!,Пд1(П

ЕЮ = ГЖП - ------(1)

дУ

R<i, Г) = уЧтф - f(£')lz + a2 (f).

где L - контур, образованный совокупностью осей проводников; I, I -координата, отсчитываемая вдоль L; Е(£) - заданная функция распределения стороннего поля (г-составляющая), возбуждающего систему; /(£ '} - искомая функция распределения осевого тока; G(!, I} - функция Грина; г(£) - радиус-вектор точки на L; o(i) - радиус проводника в сечении I; j} = 2яг/А - волновое число; «и = бтг ■ 108 /Д -круговая частота; Л - длина волны; <ис = 4-гт ■ 10" - магнитная постоянная; ге = 8,854 ■ 10 ~12 - электрическая постоянная.

Для нахождения функции F (Г), определяющей сторонний источник, один из проводников рассматривается в качестве активного вибратора. Функция Е(1) определяется по формуле:

Е(0 = -вЗО \gQ, ¡j.) -2-cas f^y^-j ■ G (f.^y^) +• G{1, £,)]

IL- i,l = (0,5„. 5)-a(i0l

fo =

Ui + h)

(2)

Для тестирования в качестве окончательной характеристики используем ненормированную комплекснозначную ДН, которая определяется по формуле

= Я710 ■ 11(1) -ехр{грг(!) -Ъ(9,<р)}<И. (3)

I.

где V - орт направления излучения.

Для решения задачи (1) и (2) предлагается алгоритм, суть которого состоит в применении метода Галеркина на базе вейвлет-функций степени т — 1 дефекта 1 Подробнее этот метод рассмотрен в главе 4

Перейдем к изложению алгоритма Зафиксируем натуральное к > па и ток будем искать в виде

)=-т+1 [=1 }=-т+1

из условий

/ 1

| КОс.уй -1(уиу.ф1 ГвСг)^ = (еСг), *,»„(*)).

-т+1<1<2п*-1. (5) | I КСх.у) -[Су)йу.1р1п(х}^ = (Е(л),1р1г(х)),

-т 4г 1 < Г < 2п~- - >п п0 + 1 < я £ к. (б) где скалярное произведение понимается в смысле 1;[а Ь]

В результате решения полученной СЛАУ (4) - (6) методами главы 4 были найдены функции тока и ДН, хорошо согласующиеся для модельных задач с известными результатами расчетов

Рис 2 ДН к= 6,

Рис 3 ДН к = 6, <р - 0.

При этом быстрое решение соответствующих СЛАУ достигалось за счет псевдоразреженности матриц, отсечения по барьеру и быстрого вейвлет-преобразования Также представлена таблица зависимости процента заполненности матрицы ненулевыми элементами и времени счета

Кроме того, в главе 1 рассмотрены другие антенны, в частности, сложная ферменная конструкция, приводящая к решению интегрального уравнения на контуре большой длины

Глава 2 посвящена вейвлет-базисам В параграфе 3 излагаются некоторые необходимые для дальнейшего факты из теории сплайнов и строятся полуортогональные сплайновые вейвлеты на конечном отрезке

Пусть [а, Ь1 = [0.1] - произвольный отрезок, m - натуральное число и «и - такое целое число, что 2Гг < 2m-1 < 2r"n Рассмотрим семейство Д= n = n0,n0 + 1,.,.} разбиений отрезка [0,1] ûr:0 = <Xi < — < x»r. = 1 с постоянным шагом h = h^ = 1/2*1 На каждом из разбиений рассмотрим пространство сплайнов степени m—1 дефекта 1, = 5(Дглп — 1,1) Тогда для каждого к > пв пространство L-^ = m —1,1) можно представить в виде прямой суммы

¿К = Ч ® nrs+! © lt"nE+: © ■ • © ИЪ, где через обозначено ортогональное дополнение пространства до пространства Lj. Искомый вейвлет-базис будем строить как объединение базиса в Х„ и всех базисов в пространствах И^Яи + 1 < ?i < &

Вначале построим базис в ортогональном дополнении Hf, пространства Ln_t до пространства £„ Зафиксируем п > n0 + 1 Нормализованные В-сплайны на разбиении йя будем обозначать

NlK-ÎJ.r.

Зафиксируем некоторое целое ï > 0, такое, что t г 2т — 1 < 2Г*-1, те отрезок [xf,xp+:rTk_,] целиком содержится в [ОД] Будем искать функцию „(*■) £ lli, в виде

n+Sir.-î

г-Се) = 2 ■ ; = 0,1, ... 2П"1 -2т +■ 1 (7)

j=:С

Для того, чтобы й е lVn достаточно потребовать, выполнения условий

rw ^m-ik,n-i) = 0. ir = ; - ?r. -г 1. ! - m 4- 2,.. , г + 2?гг - 2. (8)

поскольку остальные условия ортогональности выполняются автоматически в силу дизъюнктности носителей

Подставляя представление (7) в (8), получим однородную систему

Згтз — 2 уравнений с Зт — 1 неизвестными, 21+ЗПк-£

Л = !-т + 1г-т + 2.....г + 2т-2, (9)

которая всегда имеет нетривиальное решение Находя это

нетривиальное решение, получаем искомый набор коэффициентов и

функцию (х) в виде (7)

Таким образом, мы построили совокупность полуортогональных

линейно независимых вейвлет „}, ! = 0,1,2Л_1 — 2т -Ь I.

Однако размерность ортогонального дополнения равна 2Г'-1, т е до

базиса в ИС, нам не хватает ровно 2(этг - 1) функций Построим

недостающие вейвлет-функции Для этого рассмотрим функции „(х)

при -2т -г 2 < I < 2П-1 - 1 на расширенном разбиении

Первую группу из т — 1 недостающих вейвлет будем искать в виде -га

ф1П Сг) = -фхп - с;' 1р},п Сх), - т -г 1 < г < 1 (10)

из условий

N„-1 кп-д = 0 ,к~-т+ 1.....-1. (И)

Подставляя (10) в (11), получим СЛАУ

-гк

к = -т + 1,..., -1, (12) В главе 2 доказано, что СЛАУ (12) имеет единственное решение

Тем самым мы построили совокупность т — 1 вейвлет-функций (10) Их линейная независимость с ранее построенными функциями вытекает из вида (10) и следствия 1 [гл 2 § 3]

Аналогичным образом определяем вторую группу из т - 1 недостающих вейвлет в виде г"-1-!.

$1 п Сг) = (х) - 2 а-> ' ^ п

2Г-1 - 2т + 2 < £ < 2П-1 - т, (23)

В качестве базиса в ЬПй выберем совокупность "усеченных" В-сплайнов

кпа--ш + 1<к<2п'-1}. (14)

Итак, совокупность функций (14), (7), (10), (13) при па +1 <п < & образует искомый вейвлет-базис в пространстве 1-н

В параграфе 4 получены результаты об аппроксимационных свойствах вейвлет-функций необходимые для оценки элементов матриц в методе Бубнова-Галеркина

Глава 3 посвящена методу вейвлет-Галеркина численного решения интегральных уравнений Здесь матрицы возникающих СЛАУ, изучаются с точки зрения псевдоразреженности

В параграфе 5 приводятся оценки прямой и обратной матрицы Рассмотрим метод вейвлет-Галеркина для интегральных уравнений Фредгольма второго рода

и(х) а [ К(х,уЫу)с!у = /(х) (15)

'с

Пусть М - матрица СЛАУ в методе Галеркина Представим ее в виде М = А -г А, где А = ¿:адА...,. Аг = (й^"},

те А - матрица Грама базисных функций

Ли -Ап \

^21 ^22 "'

А =

= и .,(у)сгхау, (р > 2,г > 2)

а?/ = Л Х(х, р (г) <р] Га (у)с?ха у.

Теорема 14. Для элементов матрицы А справедливы оценки

|а?Г3| < | S , ; (17)

1 ч 1 - Н'-^"1

laf^l Д, ; (18)

где С не зависит от р, s, к.

Теорема 19. Пусть к > к0, где к-0 из теоремы 18 [гл 3 §5] Тогда для элементов матрицы М-1 справедливы оценки (17), (18)

Также в этой главе доказывается однозначная разрешимость и хорошая обусловленность СЛАУ в предположении однозначной разрешимости при любой правой части

В параграфе 6 рассматривается метод вейвлет-Галеркина для интегральных уравнений первого рода, являющихся моделями антенных задач Показано, что несмотря на некорректность общего уравнения Фредгольма первого рода в случае антенных задач в условиях тонко-проволочного приближения наличие малого знаменателя в ядре приводит к хорошей обусловленности конечномерных задач в случае не слишком частого разбиения Соответствующий результат основан на следующей теореме об операторных уравнениях

Рассмотрим операторные уравнения

Кви = Г, РпКаип = Я,/. (19)

где Кй - семейство линейных операторов, зависящих от параметра а е (0, аэ], действующих в банаховом пространстве Е с нормой 1М1 РГ^Е Ег - операторы проектирования на подпространства Ек С 5, Пусть ^Ко ~ сужение оператора /^Л'; на ЕР.

Теорема 20. Пусть выполнены следующие условия

1 Первое из уравнений (19) при всех а в (0, о0] имеет единственное решение ий С Е и существует константа С1 > 0, для которой

!1иа — ^р.Мдй -* 0 при п -» ж, а -» 0-ап < С^,

2 Оператор - обратим и найдутся такие Пр £ Л", а0 > О, что для всех » > с € (0, а0]"па < С._ верны оценки

5 С2, Тогда при п > ?1с второе уравнение (19) имеет единственное решение ип ¡|мс — и„Н — 0 при я — сс, а — 0. ап < С1 и верны оценки

В параграфе 7 приводятся оценки LU и QR факторизации матриц СЛАУ необходимые для применения методов типа неполной факторизации

Теорема 22. Пусть М - матрица СЛАУ в методе вейвлет-Галеркина, каждая из матриц Jtfp (р е Лг) обратима, и |Mp~:fj„ < С,

где Сне зависит от р. Пусть для элементов и матрицы U справедливы оценки ¡ырр| < С, Тогда матрица М имеет LU разложение, те М — LU, причем для элементов матриц L и U, разбитых на блоки аналогично (16), справедливы оценки вида (17), (18)

Теорема 23. Пусть М - матрица СЛАУ в методе вейвлет-Галеркина и М — QR, где Q - ортогональная матрица, R -верхнетреугольная Тогда для элементов матрицы Q и R разбитых на блоки аналогично (16), справедливы оценки вида (17), (18)

В этом же пункте приводится асимптотическая оценка числа ненулевых элементов матрицы СЛАУ после отсечения по барьеру г feat,г- |a£-,i>f

Пусь

матрица, получающаяся округлением элементов А по барьеру

Теорема 24. Количество ненулевых элементов матрицы А есть величина О ^ • 2 k'j - 2*. Найдется такая константа С. > О, что в любой матричной Ц-норме (1 < q < со) справедливы оценки

1U - ЛНв < (20)

Глава 4 посвящена алгоритму быстрого вейвлет-преобразования для построенной системы вейвлет-функций и его модификация для быстрого вычисления элементов матриц СЛАУ

Основные научные результаты В рамках диссертационной работы получены следующие научные и научно-прикладные результаты

1 Метод построения и свойства полуортогональных сплайновых вейвлет на конечном отрезке

2 Алгоритмы вычислительной алгебры для построенных вейвлет-систем

3 Теоремы существования и сходимости приближенных решений в методе вейвлет-Галеркина для интегральных уравнений Фредгольма первого и второго рода

4 Теоремы об оценках элементов матриц, обратных матриц, LU

и QR - факторизации в методе вейвлет-Галеркина для

интегральных уравнений

5 Теоремы об аппроксимации матриц в методе вейвлет-Галеркина разреженными матрицами

6 Алгоритмы расчета и результаты численных экспериментов по определению характеристик тонко-проволочных антенн

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

[1] Блатов И А , Бубнова H В Об оценках элементов матриц в методе вейвлет - Галеркина для сингулярных интегральных уравнений // Вестник Сам гос универ -Самара -2004 - С 68-80

[2] Бубнова H В Свойства разреженных матриц в методе Бубнова -Галеркина // Матем модел и краев задачи Труды всероссийской научной конференции - Самара-2004 -С 33—36

[3] Бубнова H В Технология разреженных матриц в методе wavelet -Галеркина // Междун семинар Нелинейное моделирование и управление - Самара -2004 - С 9-10

[4] Бубнова H В Использование разреженных технологий для приближенного решения интегральных уравнений // Актуал проб совр науки Труды 5-й междунар конфер молодых ученых и студентов - Самара -2004 - С 27-30

[5] Бубнова H В Быстрое wavelet - преобразование в методе Галеркина для интегральных уравнений // Матем модел и краев задачи Труды второй всероссийской научной конференции - Самара -2005 -С 40-43

[6] Бубнова H В Быстрые вейвлет - алгоритмы для расчета тонкопроволочных антенн // Физика и техн приложения волновых процессов - Самара - 2005 - С 185 - 186

[7] Бубнова H В Вейвлет-анализ и быстрые алгоритмы расчета тонкопроволочных антенн // Матем модел и краев задачи Труды всероссийской научной конференции -Самара-2006 -С 24-27

[8] Блатов И А , Пименов А С, Бубнова H В Псевдоразреженные матрицы и прикладной вейвлет анализ //Системы управ и информ Технологий Научно-техн журнал - Москва - Воронеж. - 2006 - № 1(23) - С 68-73

[9] Блатов И А., Рогова Н В Метод вейвлет-Галеркина численного моделирования тонкопроволочных антенн // Междун. конфер дифф урав и смежные вопросы памяти И Г Петровского - Москва. - 2007 -С 41

[10] Блатов И А , Рогова Н В О приближенном решении одного класса интегральных уравнений // Матем модел и краев задачи Труды всероссийской научной конференции - Самара - 2007. -С 41-44

[11] Блатов И А , Рогова Н В О применении разреженных технологий в численном моделировании тонкопроволочных антенн //Восьмая Междун научно-техн конференция ПТ и ТТ.-Уфа -2007 -С 185186

[12] Блатов И А , Рогова Н В Применение быстрого вейвлет-преобразования и разреженных технологий в численном моделирования тонкопроволочных антенн // Вторая Межд Научная конференция. "Соврем пробл. приклад матем и матем моделир " -Воронеж - 2007. - С 38

[13] Блатов И А , Рогова Н В Об оценках элементов обратных матриц в методе вейвлет - Галеркина для интегральных уравнений Фредгольма второго рода // Воронежская зимняя матем школа С Г Крейна - Воронеж -2008 -С 25-26

[14] Алашеева Е А , Блатов И А , Рогова Н В Онлайновые вейвлеты и численное решение задач антенного моделирования// Весенняя математ школа "Понтрягинские чтения - XIX " - Воронеж. - 2008 -С 18

[ 15] Бубнова Н В Метод вейвлет - Галеркина численного моделирования тонкопроволочных антенн // Вычислительные технологии, Новосибирск -2008 -Т 13 -Специальный выпуск № 4 - С 12-19

Работы[1], [15] опубликованы в изданиях, соответствующих списку ВАК РФ

Отпечатано фотоспособом в соответствии с материалами, представленными заказчиком

Подписано в печать4 06 08г Формат 60х841/16 Бумага писчая№1 Гарнитура Тайме Заказ 75 Печать оперативная Уел печ л 0,95 Уч изд л 0,94 Тираж 100 экз Отпечатано в типографии Поволжского государственного университета телекоммуникаций и информатики 443090, г Самара, Московское шоссе 77

ВВЕДЕНИЕ. ^

ГЛАВА 1. ЗАДАЧИ АНТЕННОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ И ВЫВОД ОСНОВНЫХ УРАВНЕНИЙ,

РЕЗУЛЬТАТЫ ЧИСЛЕННЫХ РАСЧЕТОВ.

§1. Классическая модель излучения.

1.1 Численный метод решения задачи электродинамики в тонкопроволочном приближении.

1.2 Результаты численных расчетов.

§2. Антенная задача, как задача о рассеянии электромагнитного поля на сложной ферменной металлоконструкции.

ГЛАВА 2. ПОЛУОРТОГОНАЛЬНЫЕ СПЛАЙНОВЫЕ ВЕЙВЛЕТЫ

НА КОНЕЧНОМ ОТРЕЗКЕ.

§3. Построение и простейшие свойства сплайновых вейвлет на конечном отрезке.

3.1 Элементы теории сплайнов. Определение сплайнов.

3.2 В-сплайны.

3.3 Теоремы К. де Бора о сплайновых аппроксимациях.

3.4 Построение вейвлет-базиса.

3.5 Алгоритм построения вейвлет-базиса и их графики.

§4. Аппроксимационные свойства функций с ограниченной и переменной гладкостью.

4.1 Аппроксимационные свойства на функциях с ограниченной 1-й производной.

4.2 Аппроксимационные свойства на функция переменной гладкости.

ГЛАВА 3. МЕТОД ВЕЙВЛЕТ-ГАЛЕРКИНА ДЛЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ФРЕДГОЛЬМА. СВОЙСТВА МАТРИЦ.

§5. Оценки элементов прямой и обратной матрицы.

§6. Метод вейвлет-Галеркина для интегральных уравнений

Фредгольма.

§7. Оценки элементов LU и (^/^-факторизации.

ГЛАВА 4. РАЗРЕЖЕННЫЕ АППРОКСИМАЦИИ МАТРИЦ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ И БЫСТРЫЕ

АЛГОРИТМЫ ИХ РЕШЕНИЯ.

§8. Прямое и обратное быстрое вейвлет-преобразование.

8.1 Построение дискретных вейвлет-функций.

8.2 Быстрое дискретное вейвлет-преобразование.

§9. Разреженные аппроксимации и предобусловленные градиентные методы.

Прогресс современной вычислительной техники дал новый толчок развитию целого ряда разделов математической физики и вычислительной математики в различных областях науки и техники, в частности антенного моделирования. В этой области был достигнут ряд успехов: расширился класс задач, поддающихся расчету, и изменился сам подход к их решению. Однако существует и ряд препятствий, которые возникают при реализации данных методов. В современных условиях актуальной является проблема снижения издержек на разработку, уменьшение объемов экспериментальных работ по настройке изделий, а также постоянный рост требований к техническим характеристикам антенно-фидерных устройств.

В настоящее время существует ряд проблем, связанных с антенно-фидерными устройствами. Во-первых, для получения хороших антенных характеристик необходимо усложнять объект электродинамического анализа, что не позволяет использовать известные классические алгоритмы. Во-вторых, мы сталкиваемся со значительными вычислительными затратами, связанными с построением устойчивых алгоритмов, обеспечивающих получение достоверных решений, при увеличении антенной конструкции. В свою очередь, повышение точности невозможно без обеспечения универсальности расчетных методик. Все это требует разработки новых высокоэффективных численных методов.

Таким образом, в настоящее время существует актуальная научно-техническая проблема развития и внедрения эффективных расчетных методик и алгоритмов, решения задач электродинамического анализа теории антенн. Настоящая диссертационная работа направлена на решение этой проблемы на основе метода вейвлет-Галеркина на базе сплайновых вейвлет применительно к интегральным уравнениям Фредгольма первого и второго рода.

Состояние вопроса в рассматриваемой области характеризуется следующими основными достижениями.

До появления ЭВМ существовало считанное число модельных задач, решаемых классическими математическими методами (метод Галеркина, ч метод механических квадратур и т.д.) основанными на использовании специальных координатных и базисных функций. Относительно данных методов существует множество литературы [11, 28, 29, 36, 37, 43, 53]. В этих случаях решение заключалось в точном или приближенном аналитическом представлении искомых функций. Применение современных ЭВМ добавляет к многообразию подходов решения электродинамических задач широкий класс численных методов, основанных на классических дискретизациях дифференциальных или интегральных моделей. При наличии эффективного алгоритма решение таких задач на ЭВМ является столь же правомерным, что и решение задач известными аналитическими методами.

Из числа методов, основанных на интегральных уравнениях, в данной диссертационной работе рассматриваются задачи относительно осевых источников. Это направление представляет собой большую группу методов, основанных на тонкопроволочном приближении с использованием интегральных уравнений Фредгольма первого и второго рода. Этот подход является исторически первым и получившим широкое распространение. Данный подход освещался в работах Е. Галлена, Р.Ф. Харрингтона, Дж.Х. Ричмонда и многих других ученых [23, 31, 39, 61, 71, 78, 82], и имеет серьезный недостаток связанный с некорректностью задачи по Адамару, хотя отличается простотой алгоритмизации и небольшой потребностью в вычислительных ресурсах в случае простых антенных структур.

Для разрешения данной некорректности в рамках осевого приближения используется регуляризация и рассматривается в работах А.Н. Тихонова, В.Я. Арсенина и других работах [7, 54, 55]. Также разработаны методы, учитывающие физическую специфику задачи, в работах A.JI. Бузова, В.В. Юдина и др. [21 - 27, 60, 61].

Что же касается методов, основанных на дифференциальных уравнениях с граничными условиями [56], то данные подходы не эффективны на антенных задачах из-за построения конечно-разностной схемы в неограниченном пространстве.

Но непосредственное применение метода интегральных уравнений не всегда возможно, т.к. ограничивается объемом памяти и быстродействием современной вычислительной техники. Если рассматривать интегральное уравнение в задачах электродинамики на контуре небольшой длины, то его молено решить любым методом, но что делать если контур, например, имеет вид мачты с большим числом звеньев? Традиционные численные методы приводят к системам линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) с заполненными матрицами высоких порядков. Это связано с огромными объемами вычислений, особенно в задачах моделирования двумерных структур (например, параболических антенн).

Для решения таких задач целесообразно использовать вейвлет-системы (они же "волночки", всплески), которые представляют собой ортогональные системы функций, появившиеся сравнительно недавно (в середине 80-х годов), и завоевавшие популярность в связи с рядом преимуществ, которые они имеют для широкого круга задач перед классическими ортогональными системами функций (включая тригонометрические полиномы, анализ Фурье, алгебраические полиномы). Математическая теория вейвлет-систем была создана в работах [18, 20, 32, 57, 62, 67]. Отметим, что И.Я. Новиковым были построены системы финитных ортогональных вейвлет-функций с равномерно ограниченными константами неопределенности [50, 51].

В настоящее время имеется ряд монографий [57, 62, 66, 79], в которых достаточно полно изложены математические основы теории вейвлет, а также их приложения к информационным технологиям, вместе с тем отметим отсутствие доступной русскоязычной литературы по применению вейвлет к вычислительной математике. Многие важные для вычислений темы: квадратурные формулы высокой точности для интегралов от вейвлет-функций, простые в вычислительном плане алгоритмы для вейвлет-систем на конечном отрезке разработаны недостаточно. Имеющиеся работы [8, 41] и ряд других, либо носят ознакомительно-обзорный характер и отсылают читателя к цитированным выше источникам, либо являются теоретико-функциональными исследованиями, весьма далекими от потребностей вычислений. Монографии [30, 57, 66] частично восполняют имеющийся пробел, но их непосредственное использование для математического моделирования и прикладного программирования весьма проблематично.

Вместе с тем несомненные достоинства вейвлет-анализа требуют разработки простых алгоритмов построения вейвлет-систем, адаптированных к конкретным классам прикладных задач, вместе с соответствующим математическим обеспечением: алгоритмами прямого и обратного вейвлет-преобразований, квадратурными формулами, вычислительными методами линейной алгебры.

Особо следует отметить применение вейвлет-систем к численному решению интегральных уравнений. Сочетание финитности и ортогональности вейвлет-функций приводит к тому, что матрицы СЛАУ, возникающие в методах Бубнова-Галеркина, коллокаций и т.п. оказываются псевдоразреженными [13 - 17, 63], т.е., вообще говоря, не имея ни одного нулевого элемента, хорошо аппроксимируются по норме разреженными матрицами. Это обстоятельство отмечалось в работах [62, 64, 65, 69, 72 - 77, 81, 83, 84, 87]. Однако авторы данных работ ограничивались констатацией факта псевдоразреженности, либо разработкой на ее основе быстрых алгоритмов умножения соответствующей матрицы на вектор.

Отметим, что основы общей теории псевдоразреженных матриц (ПРМ) и ее применение к вычислительным методам линейной алгебры были разработаны И.А. Блатовым [13 - 17, 63]. В работах И.А. Блатова показано, что для построения и обоснования эффективных методов решения СЛАУ с ПРМ необходимо помимо оценок элементов самих матриц иметь аналогичные оценки обратных матриц, а также, в зависимости от выбора метода, оценки их треугольных и ортогональных факторизаций. Для некоторых классов матриц эти вопросы изучались в работах А.Г. Баскакова, Т.Д. Азарновой, И.А. Колесникова [1, 2, 9, 10]. Но для матриц, возникающих при применении вейвлет-функций в численном анализе, эти вопросы в настоящее время совершенно не изучены. В связи с этим актуальной является задача разработки численных методов решения интегральных уравнений на основе вейвлет-функций и теории ПРМ.

Цель работы - разработка и исследование вычислительных алгоритмов для систем тонких кругоцилиндрических проводников, сводящихся к решению интегральных уравнений Фредгольма.

Для достижения поставленной цели в диссертационной работе выполнена следующая программа исследований.

1) Разработка и обоснование вычислительных алгоритмов построения вейвлет-функций на базе полиномиальных сплайнов дефекта 1 произвольной степени.

2) Разработка и оценка трудоемкости алгоритмов быстрого прямого и обратного преобразований для построенных вейвлет.

3) Изучение аппроксимационных свойств сплайновых вейвлет на различных классах функций.

4) Изучение возможностей применения разреженных технологий, в частности оценки элементов прямой и обратной матрицы, и элементов LU и QR факторизации.

5) Создание комплекса программ и проведение численных экспериментов для нахождения функции тока и диаграммы направленности (ДН) для системы тонких кругоцилиндрических проводников.

Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Во введении дана краткая историческая справка по рассматриваемым вопросам, раскрывается актуальность темы и приводится краткое содержание работы. Перейдем к изложению основных результатов диссертации.

Основные результаты диссертационного исследования изложены в публикациях автора [90 - 104].

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В рамках диссертационной работы получены следующие научные и научно-прикладные результаты:

1 Метод построения и свойства полуортогональных сплайновых вейвлет на конечном отрезке.

2 Алгоритмы вычислительной алгебры для построенных вейвлет-систем.

3 Теоремы о существовании и сходимости приближенных решений в методе вейвлет-Галеркина для интегральных уравнений Фредгольма первого и второго рода.

4 Теоремы об оценках элементов матриц, обратных матриц, LU и QR-факторизации в методе вейвлет-Галеркина для интегральных уравнений.

5 Теоремы об аппроксимации матриц в методе вейвлет-Галеркина разреженными матрицами.

6 Алгоритмы расчета и результаты численных экспериментов по определению характеристик тонкопроволочных антенн.

1. Азарнова Т.В., Колесников И.А. Оценки элементов обратных матриц для операторов с ленточными матрицами // Сиб. журн. вычисл. матем. 2000. - Т. 3 - № 4. - С. 323 - 331.

2. Азарнова Т.В. Оценки элементов обратных матриц для одного класса операторов с матрицами специальной структуры // Матем. заметки. -2002. Т. 72. - вып. 1 - С. 3 - 10.

3. Антенно-фидерные устройства и распространение радиоволн: Учебник для ВУЗов / Г.А. Ерохин, О.В. Чернышев, Н.Д. Козырев, В.Г. Кочержевский; Под редакцией Г.А. Ерохина. 2-е изд., испр. - М.: Горячая линия - Телеком, 2004. - 491 с.

4. Аронов В.Ю., Бузова М.А., Петров М.А. Проблема выбора вида интегрального уравнения при решении задач антенной электродинамики // Радиотехника (журнал в журнале). — 2004. — №1. -С. 57-63.

5. Арсенин В.Я. О решении некоторых интегральных уравнений Фредгольма первого рода методом регуляризации Текст] / В.Я. Арсенин, В.В. Иванов // Журнал вычисл. матем. и матем. физики -1968. Т. 8, №2. - С. 310-321.

6. Арсенин В.Я. Методы математической физики и специальные функции. М.: Наука. 1974.

7. Арсенин В.Я., Тихонов А.Н. Некорректные задачи / Математическая энциклопедия. М.: Радио и связь, 1998. - 221 с.

8. Астафьева Н.М. Вейвлет-анализ: основы теории и примеры применения // Успехи физических наук. 1996. - Т.166 - №11 - С. 1145-1170.

9. Баскаков А.Г. О спектральных свойствах некоторых классов линейных операторов // Функ. анал. и его прил. 1995. - Т 29. - № 2. - С.62 - 64.

10. Баскаков А.Г. Оценки элементов обратных матриц и спектральный анализ линейных операторов // Изв. РАН. Сер. матем. 1997. - 61:6. -С. 3-26.

11. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.: Наука. 1987.

12. Берк Дж., Левстрин Интерполяционное пространство. М.: Мир. -1969.

13. Блатов И.А. Об алгебрах операторов с псевдоразреженными матрицами и их приложения // Сибирский мат. журнал. 1996. - Т. 37. -№1.-С.36-59.

14. Блатов И.А. Об оценках L/-разложений матриц и их приложениях к методам неполной факторизации // Журн. вычисл. матем. и матем. физики. 1997. - Т. 3. - №3. - С. 259 - 276.

15. Блатов И.А., Стрыгин В.В. Элементы теории сплайнов и метод конечных элементов для задач с погранслоем // Воронеж. Изд - во ВГУ.- 1997.-С. 406.

16. Блатов И.А., Пименов А., Юдин В.В. Применение сплайновых вейвлет-функций к численному моделированию тонкопроволочных антенн // Инфотелекоммуникационные технологии. 2003. - Т. 1. -№4.-С. 29-32.

17. Блатов И.А., Бузова М.А., Юдин В.В. Регуляризация уравнений Фредгольма первого рода на основе априорного ограничения вариации искомой функции в задачах антенной электродинамики // Вестник СОНИИР. 2004. - № 2(6). - С. 19 - 26.

18. Блаттер К. Вейвлет-анализ. Основы теории. М.: Техносфера. 2004. -С. 280.

19. Бор К. Де Практическое руководство по сплайнам. М,: Радио и связь. 1985.

20. Бузов A.J1., Филлипов Д.В., Юдин В.В. Применение метода Галеркина для решения сингулярного интегрального уравнения тонкого вибратора // Труды НИИР: Сб. статей. М., 2000. - С. 64 - 66.

21. Бузов А.Л., Сподобаев Ю.М., Филиппов Д.В., Юдин В.В. Электродинамические методы анализа проволочных антенн. М.: Радио и связь. - 2000. - С. 153.

22. Бузов АЛ., Сподобаев Ю.М., Юдин В.В. Электромагнитные поля и волны. Термины и определения: Справочное пособие Самара.: СОНИИР. - 1999. - С.70.

23. Бузов А.Л., Бузова М.А. Применение методов математической физики решения задачи рассеяния электромагнитного поля на проводящих телах произвольной формы // Тезисы докл. IX Российской научной конференции ПГАТИ. Самара. - 2002. - С. 89 - 90.

24. Бузова М.А., Юдин В.В Проектирование проволочных антенн на основе интегральных уравнений. Учебное пособие для ВУЗов. М.: Радио и связь. - 2005. - С. 172.

25. Воеводин В.В., Кузнецов Ю.А. Матрицы и вычисления М.: Наука.-1

26. Гл. ред. физ. мат. лит-ры., - 1984. - С.320.

27. Воеводин В.В., Тыртышников Е.Е. Вычислительные процессы с теплицевыми матрицами — М.: Наука. Гл. ред. физ. мат. лит-ры., -1987.-С.320.

28. Воробьев В.И., Грибунин В.Г. Теория и практика вейвлет-преобразований СПб., Изд-во ВУС. - 1999.

29. Вычислительные методы в электродинамике: Под ред. Р. Митры. Пер. с англ. / Под ред. Э.Л. Бурштейна. М.: Мир. - 1977. - С.487.

30. Добеши И. Десять лекций по вейвлетам. Ижевск. - НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика". - 2001. - С. 464.

31. Дорохов А.П. Расчет и конструирование антенно-фидерных устройств // Харьков, Изд-во Харьк. Ордена трудового красного знамени гос. Университета им. A.M. Гортького. — 1960.

32. Дьяконов В.П. Вейвлеты. От теории к практике М.: СОЛОН - Р. -2002.

33. Завьялов Ю.С., Квасов Б.И., Мирошниченко В.Л. Методы сплайн-функций М.: Наука. - 1980. - С. 352.

34. Ильин В.П. Методы неполной факторизации для решения алгебраических систем М.: Наука. - 1995. - С. 287.

35. Калиткин Н.Н. Численные методы М.: Наука. - 1977. - С. 512.

36. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа-М.: Наука. 1981. - С. 544.

37. Корнилов М.В., Калашников Н.В., Рунов А.В. и др. Численный электродинамический анализ произвольных проволочных антенн // Радиотехника. 1989. - №7. - С. 82 - 83.

38. Кравцов В.В. Интегральные уравнения в задачах дифракции В кн.: Вычислительные методы и программирование. - М.: Изд. МГУ. - 1966. -Вып. 5.-С. 260-293.

39. Кравченко В.Ф., Рвачев В.А. Вейвлет-системы и их применение в обработке сигналов // Зарубежная радиоэлектроника. 1996. - №4. - С. 3-20.

40. Марков Г.Т., Васильев Е.Н. Математические методы прикладной электродинамики М.: Сов. радио. - 1983. - С. 296.

41. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. Учеб. пособие. -М.: Наука. Гл. ред. физ. мат. лит. - 1989. - С. 608.

42. Неганов В.А., Корнев М.Г., Матвеев И.В. Новое интегральное уравнение для расчета тонкого вибратора // Письма в ЖТВ. 2001. — Т. 27.-Вып. 4.-С. 62-71.

43. Неганов В.А., Матвеев И.В. Сингулярное интегральное уравнение для расчета тонкого вибратора // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. 1999. - Т. 2. - №2. - С. 27 - 33.

44. Неганов В.А., Матвеев И.В., Медведев С.В. Метод сведения уравнения Поклингтона для электрического вибратора к сингулярному интегральному уравнению // Письма в ЖТВ. 2000. - Т. 26. - Вып. 12. -С. 86-93.

45. Неганов В.А., Павловская Э.А., Яровой Г.П. Излучение и дифракция электромагнитных волн / Под ред. В.А. Неганова М.: Радио и связь. -2004. - С. 264.

46. Никольский В.В. Электродинамика и распространение радиоволн — 3-е. изд., перераб. и доп. М.: Наука. - 1989. - С. 544.

47. Никольский В.В. Антенны М.: Связь. - 1966. - С. 368.

48. Новиков И.Я., Протасов В.Ю., Скопина М.А. Теория всплесков. — М.: ФИЗМАТ ЛИТ. 2005. - С. 616.

49. Новиков И.Я., Стечкин С.Б. Основы теории всплесков // Успехи математических наук. 1998. - Т. 53. - №6. - С. 53 - 128.

50. Петухов А.П. Введение в теорию базисов всплесков СПб. Изд-во СПбГТУ. - 1999.

51. Писсанецки С. Технология разреженных матриц М.: Мир. - 1988. -С. 410.

52. Соболев C.JI. Уравнения математической физики. М.: Наука. -1966.-С. 443.

53. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнение математической физики. -М.: Наука.-1972.-С. 735.

54. Ф. Франк, Р. Мизес Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики. JL - М.: ОНТИ. - 1937. - С. 998.

55. Чуй К. Введение в вейвлеты. М.: Мир. - 2001.

56. Эминов С.И. Теория интегрального уравнения тонкого вибратора // Радиотехника и электроника. Т. 38. - 1993. - Вып. 12. - С. 2160 -2168.

57. Эстербрю О., Златев 3. Прямые методы для разреженных матриц. -М.: Мир. 1983.-С.120.

58. Юдин В.В. Условия корректной постановки антенных задач на основе уравнений Фредгольма 1-го рода // Тезисы докл. IX Российской научной конференции ПГАТИ. Самара. - 2002. - С. 95 - 96.

59. Юдин В.В. Анализ проволочных антенн на основе интегрального уравнения Харрингтона методом моментов с использованием различных весовых функций // Электродинамика и техника СВЧ и КВЧ.- 1996.-Т. 4.-№4.-С. 116-124.

60. Beylkin G., Coifman R., Rochlin V. Fast wavelet transforms and numerical algorithms // Comm. Pure. Appl. Math. 1991. - Vol. 44. - P. 141 - 183.

61. Dahmen W., Harbrecht H. and Schneider R. Adaptive methods for boundary integral equations: Complexity and convergence estimates. Math. Comput., 76(259): 1243 1274, 2007.

62. Dahmen W., Harbrecht H. and Schneider R. Compression techniques for boundary integral equation. Asymptotically optimal complexity estimates. SIAM J. Numer. Anal., 43(6):2251 -2271, 2006.

63. Daubechies I. Orthonormal basis of compactly supported wavelets // Comm. Pure Appl. Math. 1988. - V. 46. - P. 909-996.

64. Daubechies I. Ten lectures on wavelets. CBMS-NSF. Regional conference seriesin applied mathematics, SIAM. - 1992.

65. Demko S. Inverses of band matrices and local convergence of spline projection // SIAM J. Numer. Anal. 1997. - 14. - № 4. - P. 616 - 619.

66. Gantumur T. and Stevenson R. Computation of singular integral operators in wavelet coordinates // Computing. 2006. - P. 77 - 107.

67. Glinsky B.M., Kovalevsky V.V., Alekseev A.S. Composition of wave fields of vibrators and calibration shots of the OMEGA series // Third international conference "Monitoring of nuclear tests and their consequences". Borovoye. - 2002. - P. 23 - 25.

68. Hallen E. Theoretical inverstigation into the transmitting and receiving qualities of antennas // Nova Acta Soc. Sci. Upsal. 1938. - V.l. - № 4. -P. 1-44.

69. Harbrecht H. Shape optimization using wavelet BEM // Oberwolfach Reports, 1 (3): 1809 1811, 2004.

70. Harbrecht H. Wavelet Galerkin schemes for the boundary element method in three dimensions // Ph. D. Thesis, Technische Universitat Chemnitz. Germany. -2001.

71. Harbrecht H., Kahler U. and Schneider R. Wavelet matrix compression for boundary integral equations // Berlin Heidelberg - New York. - 2006.

72. Harbrecht H. and Schneider R. Wavelet Galerkin schemes for 2D BEM. -Operator Theory, Advances and Applications. Vol. 121. - 2001. - P. 221 -260.

73. Harbrecht H. and Schneider R. Wavelet Galerkin schemes for boundary integral equations- implementation and quadrature // SIAM J. Sci. Comput., 27(4): 1347- 1370, 2006.

74. Harrington R.F. Field computation by moment method. New York: Macmillan. - 1968. - P. 240.

75. Mallat S. Multiresolution approximation and wavelets // Trans. AMS. -1989.-315.-P. 69-88.

76. Meyer Y. Ondelettes et operateurs. Paris.: Hermann. - 1990.

77. Perez C. and Schneider R. Wavelet Galerkin methods for boundary integral equations and the coupling with FEM // In "Wavelet Transform and Time Frequency Analysis", Appl. Numer. Harmonic Analysis, Birkhauser Verlag. — 2001. P. 145-175.

78. Richmond J.H. Computer analysis of three-dimensional wire antennas. -Techn. Rept. № 2708 - 4. - Ohio, Columbus, Ohio State University: Electro - Science Lab. - 1969. - P. 146.

79. Schneider R. Multiskalen- und Wavelet-Matrixkompression: Analysisbasierte Methoden zur effizienten Losung grober vollbesetzter

80. Gleigungssysteme // Advances in Numerical Mathematics, B.G. Teubner. -1998.

81. Schoneberg I.J. Contribution to the problem of approximation of equidistant date by analytic functions // Quart. Appl. Math. 1964. - 4. - P. 45-46, 112- 141.

82. Yermakov S.M. On the analogue of the von- Neumann-Ulam scheme in the nonlinear case // Journal of computational maths and math. Physics. -1973. V. 13. -№ 3. - P. 564 - 573.

83. Taylor D.J. Accurate and efficient numerical integration of weakly singular integrals in Galerkin EFIE solution // IEEE Trans, on Ant. and Prop.-2003.-V. 51.-№7.-P. 1630- 1637.

84. T. von Petersdorff, C. Schwab Wavelet approximation for first kind integral equations on polygons // Numer. Math. 1996. - P. 479 - 519.

85. Van der Vorst H.A. Bi CGSTAB: a fast and smoothly converging variant of Bi- CG for the solution of nonsymmetric linear systems: Preprint 633. - Univ. Utrecht. - 1990.

86. Venkatarayalu N.V., Ray T. Optimum design of Yagi- Uda antennas using computational intelligence // IEEE Trans, on Ant. and Prop. 2004. -V. 52. -№ 7. - P. 1811-1818.

87. Блатов И.А., Бубнова H.B. Об оценках элементов матриц в методе вейвлет-Галеркина для сингулярных интегральных уравнений // Вестник Сам. гос. универ. Самара. - 2004. - С. 68 - 80.

88. Бубнова Н.В. Свойства разреженных матриц в методе Бубнова-Галеркина // Матем. модел. и краев, задачи. Труды всероссийской научной конференции. Самара - 2004. - С. 33 - 36.

89. Бубнова Н.В. Технология разреженных матриц в методе wavelet-Галеркина // Междун. семинар. Нелинейное моделирование и управление. Самара. - 2004. - С. 9 - 10.

90. Бубнова Н.В. Использование разреженных технологий для приближенного решения интегральных уравнений // Актуал. проб, совр. науки. Труды 5-й междунар. конфер. молодых ученых и студентов. Самара. - 2004. - С. 27 - 30.

91. Бубнова Н.В. Быстрое wavelet-преобразование в методе Галеркина для интегральных уравнений // Матем. модел. и краев, задачи. Труды второй всероссийской научной конференции. Самара - 2005. - С. 40 -43.

92. Бубнова Н.В. Быстрые вейвлет-алгоритмы для расчета тонкопроволочных антенн // Физика и техн. приложения волновых процессов. Самара. - 2005. — С. 185 — 186.

93. Бубнова Н.В. Вейвлет-анализ и быстрые алгоритмы расчета тонкопроволочных антенн // Матем. модел. и краев, задачи. Труды всероссийской научной конференции. — Самара 2006. — С. 24 — 27.

94. Блатов И.А., Пименов А.С., Бубнова Н.В. Псевдоразреженные матрицы и прикладной вейвлет анализ // Системы управ, и информ. Технологий. Научно техн. журнал. - Москва - Воронеж. - 2006. -№ 1(23).-С. 68-73.

95. Блатов И.А., Рогова Н.В. Метод вейвлет Галеркина численного моделирования тонкопроволочных антенн // Междун. конфер. дифф. урав. и смежные вопросы памяти И.Г. Петровского. - Москва. - 2007. -С. 41.

96. Блатов И.А., Рогова Н.В. О приближенном решении одного класса интегральных уравнений // Матем. модел. и краев, задачи. Труды всероссийской научной конференции. Самара - 2007. - С. 41 - 44.

97. Блатов И.А., Рогова Н.В. О применении разреженных технологий в численном моделировании тонкопроволочных антенн // Восьмая Междун. научно техн. конференция. ПТ и ТТ. - Уфа. - 2007. - С. 185 - 186.

98. Блатов И.А., Рогова Н.В. Об оценках элементов обратных матриц в методе вейвлет-Галеркина для интегральных уравнений Фредгольма второго рода // Воронежская зимняя матем. школа С.Г. Крейна. -Воронеж. 2008. - С. 25 - 26.

99. Алашеева Е.А., Блатов И.А., Рогова Н.В. Сплайновые вейвлеты и численное решение задач антенного моделирования // Весенняя математ. школа "Понтрягинские чтения XIX ". - Воронеж. - 2008. -С. 18.

100. Бубнова Н.В. Метод вейвлет-Галеркина численного моделирования тонкопроволочных антенн // Вычислительные технологии, Новосибирск. 2008. - Т. 13. - Специальный выпуск № 4. - С. 12 - 19.