автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Методы решения задач оценивания для динамических систем, описываемых дискретными уравнениями Вольтерра

На правах рукописи

Башков Александр Борисович

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ОЦЕНИВАНИЯ ДЛЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ, ОПИСЫВАЕМЫХ ДИСКРЕТНЫМИ УРАВНЕНИЯМИ ВОЛЬТЕРРА

Специальность 05.13.01 Системный анализ, управление и обработка информации (авиационная и ракетно-космическая техника)

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Москва, 2009 г.

003471391

Работа выполнена на кафедре Теории вероятностей Московского авиационного института (государственного технического университета).

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор А. И. Матасов

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор А. В. Назин

кандидат физико-математических наук Д. И. Бугров

Ведущая организация: Институт проблем информатики РАН

Защита состоится " i 4 " 2009 г. в "/¿? " ч. " о о" мин.

на заседании Диссертационного совета Д212.125.04 Московского авиационного института по адресу: 125993, Москва, А-80, ГСП-3, Волоколамское ш., 4, Учёный совет МАИ.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МАИ.

Отзыв на автореферат, заверенный гербовой печатью организации, просьба направлять по указанному адресу в двух экземплярах.

Автореферат разослан " " я 2009 г.

Учёный секретарь Диссертационного совета Д212.125.04

кандидат физико-математических наук _

М. В. Ротанш^

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Объект исследования. В диссертационной работе изучаются задачи оценивания для динамических систем, описываемых разностными уравнениями Вольтерра.

Актуальность темы. Во многих динамических системах будущее определяется не только текущим состоянием, но и значениями процесса в предшествующие моменты времени. Основополагающий вклад в развитие теории уравнений с последействием внесли Р. Беллман, В. Вольтерра, Г. А. Каменский, В. Б. Колмановский, Н. Н. Красовский, К. Кук, С. М. В. Лу-нел, Р. К. Миллер, А. Д. Мышкис, С. Б. Норкин, А. Л. Скубачевский, Дж. К. Хейл, Я. 3. Цыпкин, Л. Е. Шайхет, Л. Э. Эльсгольц. Уравнениями такого вида моделируют различные процессы в технике, физике, медицине, экологии и т. д. В частности, уравнения с последействием встречаются в авиационно-космической отрасли. В качестве примеров можно назвать расчёты динамики ракет-носителей, изучение процесса сгорания в рабочей камере жидкостного ракетного двигателя, исследования в области аэроупругости. К указанному типу уравнений приводит задача автоматического управления посадкой самолета при запаздывании в реакции тяги на отклонение рычага управления двигателем. Системы с запаздыванием появляются в задачах управления с использованием пропорционально интегральных или пропорционально интегро-дифференциальных регуляторов. Кроме того, интегральные уравнения возникают при описании аэродинамики летательного аппарата. Таким образом, эффект последействия важен.

Дискретным аналогом непрерывных уравнений с последействием являются разностные уравнения Вольтерра. Их изучали В. Б. Колмановский, М. Крисчи, Н. Форд, Л. Е. Шайхет, С. Элайди и др.

Проблемы оценивания составляют важный для приложений класс задач. Например, они возникают в навигации. Задачи оптимальной среднеквадрати-ческой фильтрации для систем с последействием рассматривались М. В. Васиным, А. Ю. Веретенниковым, В. Б. Колмановским, Л. Е. Шайхетом. Однако на практике статистическая информация о возмущениях нередко отсутствует, или же помехи вообще нельзя считать случайными. Поэтому в последние десятилетия стали развиваться методы гарантирующего или минимаксного оценивания. При этом подходе исходят из предположений, что возмущения являются детерминированными векторами, принадлежащими некоторому известному множеству. Часто рассматривают модели другого вида, в которых считают, что возмущения случайны, но их статистические характеристики неизвестны. Такая гипотеза тоже приводит к задачам минимаксной фильтрации. Основополагающий вклад в развитие теории гаранти-

рующего оценивания внесли X. Витзенхаузен, И. Я. Кац, Н. Н. Красовский, А. Б. Куржанский, М. Л. Лидов, Б. Т. Поляк, П. Хьюбер, Ф. Л. Черноусько, Ф. Швеппе, П. Е. Эльясберг. В дальнейшем минимаксный подход развивался в работах Б. И. Ананьева, В. А. Архангельского, Б. Ц. Бахшияна, Л. Ю. Бе-лоусова, А. В. Борисова, М. И. Войсковского, М. И. Гусева, А. И. Матасова, А. В. Назина, Р. Р. Назирова, А. Р. Панкова, К. В. Семенихина, В. Н. Соловьёва и др.

Минимаксные проблемы сложны в связи с негладкостью целевого функционала. Поэтому представляется разумным отказаться от поиска оптимального оценивателя, а воспользоваться легко реализуемым упрощённым алгоритмом. При этом необходимо оценить качество приближённого фильтра, не зная оптимального оценивателя. Такой подход к задачам фильтрации и рассматривается в данной работе.

Проблемы оценивания для уравнений Вольтерра изучены слабо, а в гарантирующей постановке практически не изучены. Поэтому тема диссертации актуальна.

Цель работы. Цель диссертации состоит в разработке конструктивных методов решения задач оценивания для линейных динамических систем, описываемых дискретными уравнениями Вольтерра. При этом рассматриваются различные гипотезы о виде возмущений. В условиях, когда оптимальное решение задачи неизвестно, основной целью является построение оценок уровней неоптимальности предлагаемых упрощённых алгоритмов фильтрации.

Методы исследования. В работе используются методы теории вероятностей, выпуклого анализа, теории двойственности выпуклых вариационных задач и теории гарантирующего оценивания.

Научная новизна. В работе получены новые результаты, среди которых можно выделить следующие.

1) Задача средяеквадрати ческого оценивания разностных уравнений Вольтерра изучена с использованием вариационного подхода. Получено фундаментальное соотношение между прямой и сопряжённой переменными соответствующей краевой задачи.

2) Предложен упрощённый оцениватель в задаче среднеквадратической фильтрации и построена оценка уровня его неоптимальности.

3) Рассмотрены проблемы гарантирующего оценивания для дискретных уравнений Вольтерра, возникающие при различных гипотезах о виде помех. Для предложенных упрощённых оценивателей построены границы уровней их неоптимальности.

Теоретическая и практическая значимость. Полученные в диссертации результаты позволяют применять легко реализуемые алгоритмы оценивания к решению сложных задач фильтрации для уравнений Вольтерра. При этом могут быть указаны уровни неоптимальности упрощённых фильтров, которые вычисляются без знания оптимального оценивателя. Таким образом, предложен полезный инструмент решения задач фильтрации для дискретных уравнений Вольтерра.

Апробация работы. Результаты диссертации обсуждались на 9-й Международной конференции „Системный анализ и управление" (Крым, Евпатория, 2004 г.), на 16-м Всемирном конгрессе ИФАК (Чехия, Прага, 2005 г.), а также на научных семинарах под руководством проф. В. Н. Афанасьева (МИЭМ), проф. А. И. Кибзуна (МАИ), проф. М. Миланезе (Политехнический университет Турина, Италия).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в статьях [1]-[4] журналов, входящих в Перечень ВАК, а также в работах [5]-[7].

Структура и объём диссертации. Работа состоит из введения, четырёх глав, заключения и списка литературы (157 источников). В работе приведено 15 рисунков, 7 таблиц. Общий объем диссертации составляет 111 страниц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении даётся обзор основных направлений исследования. Сформулированы цели диссертационной работы, приведено краткое описание её глав.

Первая глава посвящена задаче оптимальной среднеквадратической фильтрации для дискретных уравнений Вольтерра. Ранее эта проблема была решена JI. Е. Шайхетом и Н. В. Кучкиной1 методами, основанными на использовании уравнения Винера-Хопфа. Однако для наших построений в следующих главах необходимо получить это решение иначе — свести проблему оптимальной фильтрации к некоторой вариационной задаче.

Рассматривается динамическая система, состояние которой описывается линейным дискретным уравнением Вольтерра: t

x{t + l) = J^A(t,k)x(k) + B{t)u(t), t = 0,...,N-l, (1) к=0

ж(0) = Х0.

'Kuchkina N. V., Shaikhet L. Е. Optimal estimation of stochastic difference equations. Proceedings of the CESA '98. Symposium on Signal Processing and Cybernetics, Tunisia, April 1-4,1998, vol. 4, pp. 165-169.

Здесь x(t) G R" — вектор состояния системы, A{t, к) € Rnxn, B(t) <E Enxr -известные матрицы, a u(t)EW — случайный вектор возмущений. Пусть проводятся линейные измерения

z(t) = H'(t)x(t) + p(t), t = 0,...,N, (2)

где H{t) £ Rnxm - заданные матрицы, z(t) G Rm, a p(t) € Km - помехи в измерениях. Штрих означает знак транспонирования.

Предполагается, что возмущения u(t) и p(t) описываются последовательностями случайных векторов, независимых друг от друга и от вектора начального состояния xq. Все случайные векторы центрированные, их ковариационные матрицы известны:

Ехо = 0, E®o®o = -fb-

E«(t) = 0, Е u(t)u'{s) = Q{t)5ts, t,s = 0,... ,N — 1, Ep(i) = 0, Ep{t)p'(s) = R{t)5u, t,s = 0,... ,N, (3)

Матрицы Q(t), R(t) и Pq полагаются положительно определёнными.

По наблюдениям z(0),..., z(N) требуется оценить скалярную величину a'x(N), где а б R" — заданный вектор. Будем рассматривать линейные оценки вида

г(ф) = Х>'(<М0- (4)

1=0

Вектор Ф = (Ф'(0),..., Ф'(ЛГ))' € будем называть оценивателем. За-

дача оптимальной среднеквадратической фильтрации состоит в нахождении оценивателя Ф°, который минимизирует второй момент ошибки оценки:

с*(Ф°) = inf¿(Ф), ¿(Ф) = |е(/(Ф) - а'г(ЛГ))2|2. (5)

Чтобы свести проблему (5) к вариационной задаче, введём следующие величины:

функционал

J{Ф_, Ф, w) = J Ф'_Р0 Ф- + X)фW +

N

4=0

JV-1

б

• функцию которая для заданного оценивателя Ф определена уравнением в обратном времени

ЛГ-1

£*(*) - £ А'(к,г)е(к +1) - Я(0Ф(<), 1 = (6)

£Ф(ЛГ) = а - Я(АГ)Ф(^).

Тогда выполнено равенство

<*(Ф) = 7(Ф_,Ф,ш),

где Ф_ и и; связаны с Ф выражениями

Ф_-£ф(0) = 0, Ц*+1)-В/(4)еФ(4+1)=0> 1 = 0,...,N-1. (7)

Значит проблема оптимальной фильтрации (5) оказывается эквивалентной вариационной задаче

70= Ы J(Ф.,Ф,w) (8)

с линейными ограничениями (7). Доказаны существование и единственность её решения. Вариационная проблема (8), (7) сводится к краевой задаче, описанной ниже. Теорема 1.

1°. Решение (Ф°,Ф°,и)°) задачи (8), (7) определяется формулами

+ 1) = В'(Ш + 1), t = 0,...,N-l,

где функции г}(Ь) и удовлетворяют краевой задаче N-1

£(*) = £ +1) - Н®ВГХ№\М1),

к=Ь

+1) = Е + я(*)<Э(<)яШ< +1), (9)

к=О

I — 0,..., N —

с граничными условиями

4(0) - Ро£(0), е(^) = о - Н(М)Е~1(М)Н'(М)г1(М). 2°. Краевая задача (9) имеет единственное решение.

Таким образом, вариационная задача (8), (7) сводится к краевой задаче (9). Её решение представляет собой сложную проблему, поскольку размерность системы линейных уравнений (9) велика. Оказывается, однако, что входящие в (9) функции т](t) и £(í) связаны между собой важным соотношением. Теорема 2.

Io. Функции T](t) и £(f) краевой задачи (9) связаны соотношением

N-1

4(t) = P(t)Ç(t) + X>i(t,*)e(* + l), t = 0,...,N, (10) k=t

где матрицы P(t) и Pi(t, i) вычисляются по формулам t

P(t + 1) = £ [c(t, l)Pi{l, t) + P¡(1, t)A'(t, l) + C{t, l)P(l)A'(t, i)] + /=o

+ B(t)Q(t)B'(t),

t

Pi (t +1, i) = J2 [c(t> 0 + Ш t)A% l) + c{t, l)P(l)A'(i, /)], 1=0

í = 0,..., TV - 1, Í = Í + 1,...,JV-1, (11)

C(t,Z) = A{t,l) - D{t,l)H'{l), D(t, l) = [ifll, t) + A(t, Z)P(Í)] H(l) [H'(l)P(l)H(l) + R(l)] при начальных условиях

P{0) = P0, Pi(0,¿) = 0, * = 0,..., JV - 1.

2o. Функция £(f) удовлетворяет уравнению в обратном времени N-1

£(t) = £C'(M)£(fc + l), t = N-1,...,0, (12)

k=t

. Ç{N) = ^E + H(N)R~1(N)H'(N)P(N)^

Сформулированная теорема позволяет вместо краевой задачи (9) с граничными условиями при t = 0 и t = N рассматривать задачу (11) с условием только лишь при t = 0. Функции £(í) и T](t) вычисляются в соответствии с формулами (12) и (10). Теперь несложно получить, что оптимальный оцени-ватель Ф° для исходной задачи фильтрации (5) определяется выражением

N-1

Ф°(*) - R-'i^H'it)

k=t

а соответствующее ему значение функционала качества определяется формулой

d(Ф°) = + .

Таким образом, найден алгоритм вычисления оптимального оценивателя Ф°. Кроме того, зависимость (10) позволяет получить для системы (1), (2) рекуррентные уравнения оптимальной оценки, обобщающие соотношения Калмана на случай, когда состояние объекта описывается дискретным уравнением Вольтерра.

Основные описанные в первой главе результаты опубликованы в работах [2] и [6].

Несмотря на наличие явных выражений для оптимального оценивателя, поиск его может быть затруднён, поскольку нахождение матриц Р и Pi по формулам (11) требует довольно больших вычислительных затрат. Поэтому на практике вместо оптимального алгоритма иногда предпочтительнее использовать некоторый другой, упрощённый алгоритм.

Во второй главе диссертации рассматривается упрощённый алгоритм фильтрации для задачи (5) и строится оценка его уровня неоптималыюсти. Уровнем неоптимальности используемого оценивателя Ф будем называть величину Д(Ф) = (1(Ф)/ё(Ф0). Поскольку мы предпочитаем не искать оптимальный фильтр Ф° ввиду больших вычислительных затрат, то величина неизвестна, а значит и уровень неоптимальности неизвестен. Однако можно оценить его значение сверху. Если при этом окажется, что найденная граница близка к единице, то это будет означать, что значения функционала d(-) для оптимального и упрощённого оценивателей отличаются друг от друга незначительно, и потому можно применять выбранный субоптимальный алгоритм без большой потери в качестве оценивания. Такой подход к решению задач фильтрации был разработан А. И. Матасовым2, и данная диссертационная работа продолжает это направление. Поиск границы для уровня неоптимальности основан на теории двойственности выпуклых вариационных задач.

Выберем оцениватель ip, который будет использоваться в задаче (5) вместо оптимального оценивателя Ф°. Он должен легко вычисляться, и вместе с тем должны быть основания полагать, что значения d((p) и ¿(Ф°) близки. Для построения такого оценивателя рассмотрим следующую редуцированную модель исходного уравнения Вольтерра (2):

2Matasov A. I. Estimators for Uncertain Dynamic Systems. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht-Boston-London, 1999.

y(t + 1) = Y, A(t, %(*) + B(t)û{t), t = 0,..., N - 1, (13)

k=t-s

y(Q) - x0l A{t, к) = 0 при fc < 0

с измерениями

z{t) = H'(t)y(t) + p{t), t — 0,...,N.

Здесь p(t) 6 Rm и u(t) elr - последовательности независимых центрированных случайных векторов с ковариационными матрицами R(t) = PiR(t) и Q(t) =/32Q(î) соответственно. В отличие от исходного уравнения (1), в этой упрощённой модели пренебрегается „хвостами" y(t — s — 1),..., у(0). Кроме того, здесь ковариационные матрицы возмущений мы можем выбирать по своему усмотрению, изменяя положительные числа j3\ и Рч.

Рассмотрим задачу оптимального среднеквадратического оценивания величины a'y(N). Очевидно, что путём расширения вектора состояния аппроксимирующая система (13) легко сводится к стандартной модели, для которой оптимальный оцениватель <р находится из формул калмановской теории фильтрации. Таким образом, поиск <р не приводит к вычислительным сложностям. Кроме того, можно ожидать, что значения d(ip) и d(Ф°) отличаются друг от друга незначительно, поскольку модель (13) близка к исходной модели (1)-(3). Итак, в исходной задаче (5) для оценивания a'x(N) будем использовать фильтр <р, оптимальный для упрощённой модели. Число s будем называть порядком упрощённого фильтра ip. Теорема 3.

Пусть (р — оптимальный для редуцированной модели оцениватель. Тогда его уровень неоптимальности Д(<р) в задаче (5) удовлетворяет следующим неравенствам:

Jf • №

где

( N

Jv = <( е'(0)Ро^(0) + £ <p'(t)R(t)tp(t) + ¿=о

N-1 1 г

t=о

N

r'(o)p0f (o)+YJ^(t)H(t)R-im,(t)x4t) + t=0

ЛГ-1

+ Y^ C'(t + l)B(t)Q'(t)Q~\t)Q(t)B'(t)C{t + 1) t=о

функция ^(t) вычисляется по формуле (6), функция Ç*(t) описывается формулами

min(í+s,jV—1)

C(t)= £ A'(k,t)e(k + l)-H(tMt), t = N~ 1,...,0, k=t

e(N) = a-H(N)y(N),

а процесс xv(t) определён уравнением Вольтерра t

x*(t + 1 ) = £ ¿(i, fc)F(fc) + B(í)Q(t)B'(í)í*(í + 1), t = 0,..., N - 1,

Jfc=0

F(0) = РоГ(О).

Из теоремы видно, что поиск верхней границы для уровня неоптимальности Д(<р) не представляет трудностей. Пример.

Для демонстрации эффективности предложенного подхода рассмотрим двумерную систему

x(t + 1) = ¿ J) x(k) + u(t), t = 0,..., N - 1, (14)

со скалярными измерениями

z{t) = Xl{t) + p{t), t = 0,..., N. (15)

Требуется оценить вторую компоненту xï(N) по измерениям (15). Пусть

*-{T .i). e-Cíi). *-">•

pi и /З2 примем равными 1.

Замечание. Следует отметить, что несмотря на небольшое значение величины Л тривиальное решение однородной системы, соответствующей уравнению (14), находится на границе устойчивости.

Рис. 1. Значения величины Д^ для 100... 500 и различных е.

Графики зависимостей Д^ от N для различных значений порядка в фильтра представлены на рис. 1 сплошными линиями. Видно, что для любого N можно подобрать небольшое число я (порядок фильтра) так, чтобы оценка Д^ оказалась близка к 1. Кроме того, поскольку положительные числа /?1 и /?2 можно выбирать произвольно, то для каждого в имеется двухпарамет-рическое семейство упрощённых фильтров 1р. Поэтому значение величины Др можно оптимизировать, изменяя параметры /?1 и Оптимизированные значения для случая 5 = 0 показаны на рис. 1 отдельными точками. Видно, что варьированием (3\ и оценку уровня неоптимальности можно существенно улучшить.

Итак, во второй главе диссертации предлагается упрощённый алгоритм решения задачи оптимальной среднеквадратической фильтрации и строится оценка уровня неоптималыюсти этого алгоритма. Этот материал представлен в статье [1] и в тезисах [7|.

В третьей главе рассматривается та же система (1), (2), что и в первой главе, но делаются другие предположения о шумах. А именно, начальное состояние и возмущения в системе и в наблюдениях будем считать не случайными, а неопределёнными детерминированными величинами. Пусть компоненты этих векторов ограничены по модулю известными положительными числами:

М*)|<7<((*), ¿=1 г = 0,...,ЛГ-1, (16)

|М*)| ¿ = 1,...,т, * = 0......

Используя линейные функционалы вида (4) требуется оценить скалярную величину а'ж(Лг). Гарантированную ошибку оценивания определим выражением

4иаг(Ф) = тах /(Ф) - а'х(Ы) ,

Хо,и,р |

где максимум берётся по всем возможным значениям векторов хо, и(£) и р(£), удовлетворяющим ограничениям (16). Задача оптимального гарантирующего оценивания заключается в нахождении оценивателя ФЕиаг, который минимизирует функционал (¿^„(Ф):

) = (17)

В диссертации показано, что

4риг(ф) = /(Ф_1Ф>11,),

где

п N т N-1 г

/(Ф_,Ф,«;) = х^ф-*!+ + х)1>

<¿=1 г=о ¿=1 £=о <¿=1

Ф_ и XV связаны с Ф выражениями (7), а Ф_й, + 1) — компонен-

ты векторов Ф_, Ф(<) и гу(Л-1) соответственно. Следовательно, задача (17) эквивалентна вариационной проблеме

/о= ДФ-,Ф,«0 (18)

при ограничениях (7). В третьей главе доказаны существование и единственность решения негладкой задачи (18), (7), а также сформулирована двойственная проблема, необходимая для дальнейших построений.

К сожалению, задача (18), (7) сложна в связи с негладкостью минимизируемого функционала /(Ф_,Ф,ги). Поэтому для решения проблемы (17) предлагается подход, использованный во второй главе — вместо оптимального гарантирующего оценивателя ФЕиаг берётся некоторый упрощённый оцениватель Ф. Уровень его неоптимальности определяется отношением Д„(Ф) = ¿5иаг(Ф)/^8иаг(Ф^аг)- Затем для Д„(Ф) строится верхняя граница, которая может быть вычислена без решения задачи (18), (7). Если значение такой верхней границы приемлемо, то оцениватель Ф может быть применён для решения задачи гарантирующей фильтрации (17).

Вместо вариационной задачи (18), (7) рассмотрим существенно более простую задачу (8), (7), где Р0, и — симметрические положительно

определённые матрицы. Зададим их следующим образом:

Я(<) = А diag{a^(í),..., о*(«)}, * = 0,..., ЛГ,

<?(4) = & <Каё{712(*), • • •, 7г (*)}, 4 = 0,..., ЛГ - 1,

где Д и /?2 — некоторые положительные числа, которые можно выбирать произвольно.

Видно, что проблемы (18), (7) и (8), (7) имеют одинаковые ограничения, но отличаются видом минимизируемого функционала. Задача (8), (7) рассматривалась в первой главе, и алгоритм поиска её решения Ф°, и;0) известен. В гарантирующей задаче (17) вместо оптимального оценивателя Феиаг будем использовать оцениватель Ф°, оптимальный для задачи среднеквадратиче-ской фильтрации. Теорема 4.

Уровень неоптималъности Ди(Ф°) оценивателя Ф° в задаче (17) удовлетворяет неравенствам

где

N т N-1 г

м = +£Х>(*)№)| + £!>(*)№+1)|,

d= 1 t=0 d= 1 t=0 d=l

{ n N m N-l r

^ = E+E E+E E Ш)^+1) ,

kd=l t=0 d= 1 (=0 d=1

Nao^max

maxa_d^°_d|, max faad{t)\<b°d(t)\, max fa-yd{t)\w°d{t + 1)|

d= l,...,n t~0,...,N t=0,...,JV-l

d=l,...,m d= l,...,r

В качестве примера рассмотрим систему (14), (15). Пусть характеристики шумов следующие:

= а_2 = 10.0, <x(f) = 1.0, 7l(t) = 72W = 7,

параметры fa и fa взяты равными 1, а Л = 0.5. На рис. 2 представлены графики зависимостей Д° от N при различных значениях 7. Видно, что если отличие значения критерия от оптимального в 2-3 раза допустимо, то оцениватель Ф°, оптимальный для квадратической задачи, может быть

использован и в задаче гарантирующего оценивания (17). Оптимизация величины Дц путём подбора Д и /?2 в этом примере к существенному улучшению не приводит.

3.5 Х-""" / / / до,7=0.01

2.5 /' / / / -! / д°„,7=0.1

2 fi i 1 / AS,7 = 1

1.5 JA/ 1 7

_.-1-1-1-1-L-IJV

50 100 150 200 250 300

Рис. 2. Значения величины Д„ для N = 1.. .300 и различных 7.

Можно использовать и другие упрощённые алгоритмы фильтрации в задаче минимаксного оценивания (17). Например, во второй главе рассматривался оцениватель ip, оптимальный в среднеквадратическом смысле для системы, описываемой редуцированной моделью (13). В диссертации для оценивателя ip также построена граница уровня неоптимальности.

Таким образом, в третьей главе рассмотрена задача гарантирующей фильтрации в случае детерминированных ограниченных помех. Предложены упрощённые алгоритмы оценивания и построены границы уровней неопти-малыюсти соответствующих оценивателей. Описанные результаты частично опубликованы в статье [4].

В четвёртой главе рассматриваются те же уравнения (1) и (2) для описания системы и наблюдений, что и ранее, но делаются более общие предположения о шумах. Здесь изучается случай так называемых комбинированных помех, которые имеют вид

ХО ='¿0 + х0, u(t) = {u(t) + S(i), p(t) = p(t) + p(t).

Предполагается, что слагаемые в этих суммах удовлетворяют следующим гипотезам:

(1) (1). . (>). .

• компоненты векторов х0, u(t), P{t) — неопределенные неслучайные ограниченные по модулю числа, такие, что

(2) (2). . Р). .

• ¡Го, р(£) — центрированные случайные векторы. Компоненты

всех этих векторов независимы и имеют неопределённые ограниченные дисперсии:

<2> <3> ' 1- < X п

Е х0 х0 =

Е и(1)и(з) = 5 = 0,..., N - 1,

Е p{t)p{s) = diag{rî(i),...,C{t)}5u, t,s = 0,...,N,

где

^ cd, d = 1,. ."., n,

qUd(t)^Qd{t), d=l,...,r, t = 0,..., JV — 1,

d = 1,... ,m, t = 0,...,JV.

<2> (2>лл (2ЛЛ

• вектор xq и процессы u(r), P(t) независимы в совокупности.

В этих формулах q — известные положительные числа, a 7<j(i), cTrf(i), rd{t) — последовательности известных положительных чисел.

Описанный процесс u(b) можно также интерпретировать как последовательность случайных векторов, компоненты которых независимы и имеют неизвестные ограниченные математические ожидания и дисперсии. Аналогичное представление справедливо для процесса p(t) и вектора iq-

Будем рассматривать линейные оценки 1(Ф) вида (4). Поскольку случайные элементы имеют неопределённые статистические характеристики, определим гарантированную ошибку оценки выражением

П(Ф) = тах |Е (/(Ф) -a'x(iV))2|2,

где максимум берётся по всем неопределённостям в описании элементов хо, и и р. Задача оптимальной гарантирующей фильтрации состоит в нахождении оценивателя Фор4, который минимизирует гарантированную ошибку оценки:

1)(Фор0 = т££>(Ф). (19)

Как и ранее, можно показать, что задача (19) эквивалентна некоторой вариационной проблеме. А именно, если определить величины w и Ф_ выражениями (7), то выполнено равенство £>(Ф)='Е>2(ф_)ф! w), где

Р(Ф_, Ф, w) = /2(Ф_, Ф, w) +

N TV—1

+Ф'_сф_+y Ф'(*м*Ж*)+Y +lWMt+1), f=0 t=0

c = diag{ci,...,cn}1

q(t) = diag {qi(t),qr(t)}, t = 0,..., TV - 1,

r{t) = diag (n(i),..., rm(t)}, t — Q,...,N.

Следовательно, задача оптимальной гарантирующей фильтрации (19) сводится к вариационной проблеме

V0 = inf Х>(Ф_, Ф, w) (20)

при ограничениях (7).

Показано, что решение задачи (20), (7) существует и единственно, однако нахождение его затруднительно из-за негладкости целевого функционала. Поэтому рассмотрим некоторую „близкую" задачу среднеквадратической фильтрации (8), (7), решение которой (Ф°,Ф°,ги°) даётся известным из первой главы алгоритмом. Будем использовать это решение в задаче (20), (7). Матрицы Pq, Jî(t) и Q(l) зададим следующим образом:

Pq = diag {<7_j,..., <T-n} + с,

R(t) = A diag {a\{t), ...,cr2m(t)}+ r(t), t = 0,..., TV, Q{t) = p2 diag {^(t), • • • ,7r2(i)} + ?(*)■ t = 0,..., N - 1,

где Pi и /?2 " некоторые скалярные весовые множители. Теорема 5.

Уровень неоптимальности АС(Ф°) = £,(Ф°)/Г,(Ф0рь) упрощённого оценива-теля Ф° в задаче (19) удовлетворяет следующим неравенствам:

У\(фО,ф°, Ц,°).П1(ф0,ф°,Щ°)

Здесь

$<>,«/>)= £ ал(щ - С0)2+Е Е ш(\т)\-с°)2+

<2=1,...,п d—l ,...,т

+ Е Е ^)(|ед|-с°)2+с°2-

1=0 d:\G4t)) ><?

а величина — единственный корень уравнения £(£) = 0 на отрезке [0, Сшах], где

Сшах = тах <

тах|5</|, тах тах

d=l,...1n г=о.....N

т= Е Ч^-О+Е Е ш(|вд|-с)

+

<г=1,...,п

ЛГ-1

+Е Е ¡и(о(м«)|-с)-с,

£=0 <г:|СЛ«)|>С

с<г

Ш - ТЩ'

9Л® =

С<г(<) =

ш

Qd(tУ

Кроме того, в четвёртой главе рассматривается ещё и так называемый квазиимпульсный оцениватель. Он получен из эвристических соображений о структуре оптимального решения. Для квазиимпульсного оценивателя также построена граница его уровня неоптималыюсти. Приведены численные примеры, подтверждающие эффективность использования обоих рассмотренных упрощённых алгоритмов фильтрации. Результаты, описанные в четвёртой главе, представлены в работах [3] и [5].

В заключении кратко описываются основные результаты, полученные в работе.

Основные положения, выносимые на защиту

1. Получено фундаментальное соотношение между прямой и сопряжённой переменными в краевой задаче, возникающей при оценивании состояния стохастических динамических систем, описываемых дискретными уравнениями Вольтерра [2, 6].

2. Построена верхняя граница уровня неоптимальности упрощённого рекуррентного оценивателя в задаче линейной стохастической фильтрации

[1, 7].

3. Для решения задачи гарантирующего оценивания состояния динамических систем, описываемых дискретными уравнениями Вольтерра с неопределёнными возмущениями, разработаны упрощённые оценивате-ли. Для этих оценивателей построены верхние границы уровней их неонтимальности [3-5].

4. Разработано программно-алгоритмическое обеспечение для решения задач гарантирующего оценивания и построения уровней неоптимальности в моделях, описываемых разностными уравнениями Вольтерра [1, 3-5].

Публикации в журналах, входящих в Перечень ВАК

1. Bashkov А. В., Kolmanovskii V. В., Мао X., Matasov А. I. Mean-square filtering problem for discrete Volterra equations. Journal of Stochastic Analysis and Applications3, 2004, vol. 22, №4, pp. 1085-1110.

2. Bashkov А. В., Kolmanovskii V. В., Мао X., Matasov A. I.

On a boundary-value problem for discrete Volterra equations. Journal of Stochastic Analysis and Applications, 2005, vol. 23, №5, pp. 999-1016.

3. Bashkov А. В., De Nicolao G., Kolmanovskii V. В., Matasov A. I. Filtering problem for discrete Volterra equations with combined disturbances. Journal of Stochastic Analysis and Applications, 2007, vol. 25, №6, pp. 12971323.

4. Башков A. B.

Об одном подходе к решению задачи гарантирующего оценивания для уравнений Вольтерра. Автоматика и телемеханика, 2009, №2, с. 42-51.

'Периодическое издание Journal of Stochastic Analysis and Applications (ISSN: 0735-2994) входит в систему цитирования Science Citation Index Expanded, а следовательно, согласно решению ВАК, этот журнал включён в Перечень ведущих рецензируемых научных журналов (http://vak.ed.gov.ru/ru/list/infletter-14-10-2008/).

Другие публикации

5. Bashkov А. В., De Nicolao G., Kolmanovskii V. В., Matasov A. I. Filtering problem for discrete Volterra equations with combined disturbances. Proceedings of 16th IFAC World Congress, Prague, 2005, 6 pp (DVD-ROM, Paper Code EV-AOT-TO/l).

6. Башков А. Б., Матасов А. И.

Задача оптимальной фильтрации для дискретных уравнений Вольтерра. Тезисы докладов 9-й международной конференции „Системный анализ и управление", Крым, Евпатория, 4-11 июля, 2004, с. 134.

7. Башков А. Б., Колмановский В. Б., Матасов А. И.

Об одном подходе к решению задачи фильтрации для уравнений Вольтерра. Тезисы докладов 9-й Международной конференции „Системный анализ и управление", Крым, Евпатория, 4-11 июля, 2004, с. 117.

Подписано в печать 30.04.09. Формат 60x90 1/16. Печ. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ 57.

125080, Москва, Волоколамское ш., 11 Издательский комплекс МГУПП

Введение

1 Задача среднеквадратической фильтрации

1.1 Некоторые вспомогательные результаты.

1.2 Постановка задачи среднеквадратической фильтрации.

1.3 Лемма о прямой и двойственной задачах.

1.4 Решение линейно-квадратической задачи.

1.5 Решение краевой задачи

1.6 Рекуррентное уравнение оптимальной оценки.

Во многих динамических системах будущее определяется не только текущим состоянием, но и значениями процесса в предшествующие моменты времени. Например, модель процесса может содержать сосредоточенное или распределённое запаздывание. Это отличает подобные системы от наиболее изученного класса марковских систем. Процессы с последействием описывают при помощи интегральных, интегро-дифференциальных уравнений, дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. Функциональные уравнения возникают уже в XVIII веке в связи с геометрической задачей, рассмотренной JL Эйлером [122]'. Однако систематические исследования в этой области связывают обычно с именем В. Вольтерра, который впервые ввёл запаздывание в уравнения модели „хищник-жертва" [19, 20, 155] и детально изучил их. Подробный обзор развития теории функциональных уравнений и обширную библиографию можно найти в статьях А. Д. Мышкиса [61, 62].

Большой вклад в развитие теории уравнений с последействием внесли Р. Беллман, Г. А. Каменский, В. Б. Колмановский, Н. Н. Красовский, К. Кук, С. М. В. Лунел, Р. К. Миллер, А. Д. Мышкис, С. Б. Норкин, A. JL Скубачевский, Дж. К. Хейл, Я. 3. Цыпкин, JI. Е. Шайхет, JI. Э. Эльсгольц. Из наиболее крупных, основополагающих исследований в этой области следует указать [4, 14, 19, 20, 27, 44, 63, 84, 86, 89, 124, 131, 132, 143], где можно также найти многочисленные примеры описания процессов такими уравнениями. Из недавних работ см., например, [107, 157].

Уравнениями такого вида моделируют различные процессы в технике, физике, медицине, экологии и т. д. В частности, уравнения с последействием встречаются в авиационно-космической отрасли. В качестве примеров можно назвать расчёты динамики завихрённой жидкости в баках ракет-носителей и космических аппаратов с жидкостными ракетными двигателями [71], изучение процесса сгорания в ракете с жидким топливом [72], исследования в области аэроупругости (построение математических моделей в задачах динамики вязкоупругих элементов, обтекаемых потоком жидкости или газа) [18]. К указанному типу уравнений приводит задача автоматического управления посадкой самолета (там существенным является запаздывание в реакции тяги на отклонение рычага управления двигателем, а также запаздывание при обработке управляющих сигналов сервоприводами аэродинамических рулей) [23]. Кроме того, интегральные уравнения возникают при описании аэродинамики летательного аппарата [70].

В качестве примеров использования уравнений с последействием в других областях можно указать задачи по исследованию функционирования щитовидной железы, построение модели системы для поддержания уровня сахара в крови, описание системы регулирования артериального давления, построение различных моделей лазеров и нейронных сетей, изучение полимерной кристаллизации и растяжения полимерного волокна. Также к уравнениям с последействием приводят задачи управления движением твёрдого тела при помощи пропорционально интегральных или пропорционально интегро-дифференциальных регуляторов, задачи исследования тепловых потоков в материалах с памятью формы и др. О математических моделях в биологии см., например, [8] и [19], где изучается изменение численности двух и более видов живых организмов, оказывающих влияние друг на друга.

Важным классом уравнений с последействием являются дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом. Большое количество реальных задач, описываемых этими уравнениями, приведено в монографиях [4,14,132]. Можно назвать, например, задачу о стабилизации курса корабля (запаздывание возникает в канале наблюдения), уравнения, описывающие ядерные реакторы (там могут быть разные причины задержек — задержки, вызванные конечностью времени теплопередачи, временем разогрева реактора, задержка срабатывания системы управления и т.д.). При помощи систем с запаздыванием моделируют работу типовых элементов технологических процессов, содержащих пневматические и гидравлические контуры. Там запаздывание вызвано конечной скоростью распространения жидкости по тонким трубкам, временем, необходимым для перемешивания жидкостей и т.д. Кроме того, часто модели высокого порядка могут быть аппроксимированы моделями низкого порядка с запаздыванием [132]. В статье [61] также можно найти ссылки на работы, посвящённые приложениям дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом.

Другой, не менее важный вид уравнений с последействием — интегральные уравнения. Интегральные уравнения составляют основу теории вязкоупругости [5, 6] — ими описывают напряжённо-деформированные состояния некоторых материалов. В книге [143] приводятся примеры интегральных уравнений Вольтерра, возникающих в полярографии, а также при описании процессов, протекающих в ядерных реакторах. Уравнение восстановления, являющееся частным случаем уравнением Вольтерра второго рода, используется во многих областях (см., например, [139] и [83]). Примеры приложения интегральных уравнений можно найти также в классических учебниках [60] и [82]. Движение частицы в жидкости, а также многие биологические задачи описываются интегро-дифференциальными уравнениями [74]—[76].

Итак, как мы видим, уравнения с последействием играют важную роль при моделировании самых разных явлений.

Поскольку непрерывные уравнения с последействием применимы для описания различных процессов, то не менее важны и их дискретные аналоги — разностные уравнения. Уравнения такого типа и их приложения описаны в монографиях [91, 115, 126, 138]. Кроме того, разностные модели появляются и при дискретизации непрерывных уравнений, когда непосредственное решение последних представляет затруднения. Процедуры дискретизации численного решения интегральных уравнений описаны в [91, 93, 94, 106, 115, 116, 95]. В монографии [115] изложена теория z-преобразования, используемого при исследовании разностных уравнений.

В теории дискретных уравнений Вольтерра важнейшим понятием является резольвента. Она играет такую же фундаментальную роль, как матрица Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений. Соответствующие результаты см., например, в [32], [133] и [153].

Разностные уравнения Вольтерра изучались и отечественными, и зарубежными учёными. Статьи М. Р. Крисчи и его соавторов [108]—[113], а также исследования [114,134,142,147] посвящены проблемам асимптотического поведения решений воль-терровых систем, их ограниченности и периодичности.

В работах С. Н. Элайди и его соавторов рассматриваются вопросы асимптотической и экспоненциальной устойчивости [119], равномерной асимптотической устойчивости [120] для линейных уравнений, а также устойчивости в целом для нелинейных уравнений [117]. Вообще, значительная часть имеющейся по дискретным уравнениям Вольтерра литературы рассматривает вопросы устойчивости. В работе [97] используется теорема о неподвижной точке для изучения нелинейных дискретных уравнений Вольтерра. Получены достаточные условия, которые гарантируют, что устойчивость решения линейного уравнения влечёт за собой соответствующую устойчивость нулевого решения нелинейного уравнения. Кроме того, получены достаточные условия, которые гарантируют существование асимптотически периодических решений. В [98] при помощи резольвенты изучены различные типы устойчивости линейных уравнений. Получены некоторые необходимые и достаточные условия их устойчивости. В статьях [96] и [148] дискретные уравнения Вольтерра используются для исследования устойчивости соответствующих интегро-дифференциальных уравнений типа свёртки, поскольку качественное поведение последних сохраняется при переходе к их разностным аналогам. Большой вклад в развитие теории дискретных уравнений Вольтерра внесли В. Б. Колмановский и JI. Е. Шайхет. В частности, они изучали устойчивость детерминированных и стохастических систем при помощи построения функций Ляпунова (см., например, [30, 33, 36, 41, 145]). JI. Е. Шайхет рассматривал также задачи оптимального управления [135, 137], оценивания [136] и стабилизации [17]. Кроме того, он изучал разностные уравнения с непрерывным временем [146, 151]. Из работ В. Б. Колмановского необходимо упомянуть исследования об ограниченности решений вольтерровых систем [24, 31] и об их асимптотических свойствах [32, 34, 35].

В [116] вводятся модели распространения эпидемий, описываемые уравнениями в непрерывном времени. Р1з этих моделей получены системы дискретных уравнений, после чего проведено сравнение непрерывной модели с её разностным аналогом. Работа [116] продолжает исследования, начатые в публикациях [93] и [118]. В статье [121] уравнения Вольтерра возникают применительно к задачам биологии.

Проблемы оценивания составляют важный для приложений класс задач. Ярким примером здесь является навигация [15, 21, 69]. Задачи оптимальной среднеквадратической фильтрации для систем с последействием рассматривались В. Б. Колма-новским, JI. Е. Шайхетом, А. Ю. Веретенниковым и др. В непрерывном случае, когда состояние системы описывается интегральными уравнениями, эта проблема решена в работе [127j. Затем М. В. Васин обобщил эти результаты: в статье [9] — на случай дискретно-непрерывных наблюдений, а в [103, 104, 105] — на случай наблюдений более общего вида. Другой подход к той же проблеме предложен в [42], где задача фильтрации сводится к задаче оптимального управления; решая последнюю, авторы получают, что искомый оптимальный оцениватель удовлетворяет некоторому интегральному уравнению Фредгольма второго рода. Решение аналогичной проблемы в случае, когда система описывается дифференциальным уравнением с запаздывающим аргументом, дано в [38]. В этой работе авторы также переходят к соответствующей задаче оптимального управления, которая затем решается методом Беллмана. Задача среднеквадратической фильтрации для дискретных уравнений Вольтерра решена в [136].

Из всего вышесказанного можно сделать вывод, что проблемы оценивания для дискретных уравнений Вольтерра актуальны. Кроме того, в гарантирующей постановке такие задачи практически не изучены.

Дадим теперь общую характеристику данной диссертационной работы.

Объектом исследования диссертации являются линейные дискретные уравнения Вольтерра вида x(t + l) = ^2A(t,k)x(k) + a{t), t = 0,.,N, x(0)=xo, (1) к=0 где xq — начальное состояние, A(t, к) — известные детерминированные функции, а a(t) — помеха. В зависимости от предположений о функции a(t) будем рассматривать детерминированные или стохастические уравнения указанного типа.

Предмет изучения составляют задачи оценивания для динамических систем, описываемых уравнениями (1); при этом рассматриваются различные гипотезы о помехах.

Цель работы состоит в построении границ уровней неоптимальности предлагаемых конструктивных алгоритмов фильтрации.

Задачи диссертации. При выполнении работы ставились следующие задачи:

• Найти зависимость между прямой и сопряжённой переменными краевой задачи, возникающей в проблеме среднеквадратического оценивания.

• Построить верхнюю границу уровня неоптимальности упрощённого оценивате-ля в задаче линейной стохастической фильтрации.

• В задачах фильтрации при неопределённых возмущениях разработать упрощённые оцениватели, для которых построить верхние границы уровней их неоптимальности.

Методы исследования. В работе используются методы теории вероятностей, выпуклого анализа, теории двойственности выпуклых задач и теории гарантирующего оценивания.

Диссертация содержит 4 главы, опишем их краткое содержание.

Первая глава носит вспомогательный характер. В ней рассматривается новая форма решения задачи оптимальной среднеквадратической фильтрации. Опишем постановку задачи. Пусть проводятся измерения z(t) — H'(t)x(t)+p(t) процесса, описываемого дискретным уравнением (1). При этом делаются классические предположения о возмущениях в системе и в наблюдениях — все помехи являются независимыми друг от друга и от начального состояния центрированными случайными векторами с известными ковариационными матрицами. Начальное состояние — случайный вектор с заданной ковариационной матрицей и нулевым средним. Требуется N найти такой оцениватель Форг, чтобы линейная оценка /(Ф) = ^ Ф'(£),г(£) скалярной t=о величины a'x(N) была оптимальна в среднеквадратическом смысле: е*(Фор,) = inf с*(Ф), с*(Ф) = |е(/(Ф) - a'a;(iV))2|2 . (2)

Здесь Е — символ математического ожидания, а а — заданный вектор.

Поставленная задача была решена в работе [136] методами, основанными на использовании уравнения Винера-Хопфа. Однако в диссертации решение получено другим способом — проблема оптимальной фильтрации сведена к некоторой вариационной задаче. Такой подход нужен для наших построений в следующих главах. Поэтому в первой главе рассматривается вариационная задача, которая эквивалентна проблеме (2). Проводится детальный анализ соответствующей краевой задачи — впервые найдено важное соотношение между прямой и двойственной переменными, позволяющее свести краевую задачу к начальной. Кроме того, выведено рекуррентное уравнение калмановского типа для оптимальной оценки вектора состояния системы.

Итак, в первой главе даётся решение проблемы (2) с использованием нужного нам вариационного подхода. Однако поиск оптимального оценивателя может быть затруднён. Действительно, из полученных в первой главе формул следует, что их использование требует довольно больших вычислительных затрат. На практике же может оказаться, что предпочтительнее пожертвовать оптимальностью в пользу скорости вычислений. В таком случае вместо оптимального алгоритма можно использовать некоторый другой, упрощённый. Тогда необходимо знать, насколько близки значения функционала качества й(Ф) для упрощённого Фаррг и оптимального Фopt оценивателей. С этой целью введём величину, являющуюся отношением этих значений, и назовём её уровнем неоптимальности используемого упрощённого алгоритма: Д = с/(Фаррг)/^(Ф0рг). Понятно, что поскольку d($0pt) неизвестно, то и уровень неоптимальности неизвестен, можно лишь утверждать, что он не меньше единицы. Однако можно оценить его значение сверху. Если при этом окажется, что найденная граница близка к единице, то это будет означать, что значения функционала d(Ф) для оптимального и упрощённого оценивателей отличаются друг от друга незначительно, а следовательно, применение выбранного субоптимального алгоритма допустимо.

Вторая глава диссертации посвящена воплощению именно этой идеи: для задачи оптимальной среднеквадратической фильтрации предлагается существенно более простой алгоритм и строится оценка его уровня неоптималыюсти.

Поиск указанной верхней границы основан на применении теории двойственности. Поясним его суть. Наряду с функционалом d(Ф) исходной задачи рассмотрим функционал д(Х) двойственной ей задачи. Пусть d0 = irif.j, d(<L>) и д° = supA <7 (А) — их оптимальные значения, а также выполнено соотношение двойственности do=g°■ Нам требуется оценить сверху уровень неоптимальности Д = с/(Фаррг)/с?о или, что то же, оценить снизу величину do. Сделаем это следующим образом: d0 = д° = sup д (A) ^ sup д (иц), А V где v — число, а ц — некоторый известный элемент соответствующего функционального пространства. В качестве ц удобно взять решение задачи, двойственной к упрощённой задаче. Таким образом, мы приходим к поиску максимума функции скалярной переменной (при этом максимизация производится на множестве тех и, для которых элементы иц являются допустимыми). Очевидно, эта проблема много проще исходной. Следовательно, для применения описанной идеи нам надо выписать двойственную к исходной задачу, убедиться в выполнении соотношения двойственности, а затем найти максимум функции одного числового аргумента.

Теория двойственности изложена во многих руководствах (см., например, обзоры [80] и [81], а также монографии [1, 25, 88]). Описанное построение границы уровня неоптимальности приближённого оценивателя впервые было применено в [56] к задаче гарантирующего оценивания вектора неизвестных параметров при непрерывных измерениях. Идея подобных оценок неоптимальности упрощённых алгоритмов оказалась очень плодотворной — она применима для множества типов задач, как детерминированных, так и стохастических. Рассматриваемые системы могут быть самыми разнообразными, использующими для своего описания разностные уравнения, дифференциальные, дифференциальные с отклоняющимся аргументом и т.п. В статье [58] аналогичная оценка найдена при анализе чувствительности фильтра Калмана-Бьюси по отношению к априорным значениям ковариационных матриц шумов. В [57, 123, 140] подобные формулы получены для динамических систем, описываемых линейным дифференциальным уравнением, а в [39] — для систем, описываемых дифференциальным уравнением с запаздыванием. При этом в задачах минимаксного оценивания предлагается использовать оцениватели, оптимальные для аппроксимирующих их задач среднеквадратической фильтрации. Статья [129] предлагает два упрощённых метода оценивания вместо оптимального, требующего решения сложной системы функционально-дифференциальных уравнений в пространстве трёх переменных.

В [37, 38] для линейных динамических систем, описываемых дифференциальными уравнениями с запаздыванием, была решена проблема оптимальной фильтрации в предположении, что начальное состояние системы почти всюду равно нулю. Однако случай ненулевых начальных условий оставался неисследованным. В работах [40, 130] к этой задаче применяется описанный подход (в настоящее время оптимальное решение найдено и опубликовано в [59]).

В работах [43] и [128] изучается минимаксная фильтрация для линейных динамических систем с запаздыванием при неопределенных статистических характеристиках. Такое предположение о помехах приводит к сложным негладким экстремальным задачам. В [128] в качестве субоптимального оценивателя предлагается использовать решение более простой гладкой аппроксимирующей задачи. В [43] предполагается, что запаздывание существенно меньше времени наблюдения. Исходя из этого при помощи идеи разложения по малому параметру получены новые конструктивные алгоритмы и оценены уровни неоптимальности для них. В статье [92] приводится численный пример для механической системы с одной степенью свободы. Вычисления показали высокую эффективность предложенных алгоритмов. Во всех случаях они обеспечивали вполне приемлемую, а нередко и почти оптимальную точность. При этом уровни неоптимальности без труда вычислялись и давали гарантированную информацию о качестве используемых алгоритмов.

Монография [141] посвящена общей разработке изложенного подхода.

Данная диссертационная работа продолжает это направление. Здесь описанные идеи применяются к дискретным системам Вольтерра. Поскольку свои особенности есть у каждого объекта исследования, то техника здесь отличается от использованной ранее.

Как уже было сказано, во второй главе предлагается некоторый субоптимальный алгоритм для проблемы оптимальной среднеквадратической фильтрации. Суть его заключается в том, что вместо уравнения Вольтерра рассматривается система, описываемая редуцированным уравнением. Если увеличить размерность вектора состояния, то такую систему можно представить в стандартном виде, когда текущее состояние зависит лишь от предыдущего. Оптимальный фильтр в этом случае определяется формулами калмановской фильтрации. Поиск такого оценивателя несложен, и именно его предлагается использовать в исходной задаче в качестве субоптимального. Описанная выше техника позволяет оценить уровень его неоптимальности.

Одним из направлений теории фильтрации является гарантирующее оценивание. Классические методы оценивания исходят из предположения, что статистические характеристики ошибок и возмущений известны. Например, известно их вероятностное распределение или какие-то моментные харатеристики. Однако на практике для многих систем часто невозможно получить достаточно большое количество экспериментальных данных, которые позволили бы определить необходимые статистические характеристики распределений. По словам Р. Калмана, „для того, чтобы моделировать неопределённость при помощи вероятностного механизма, необходимо чересчур много информации, которая не может быть извлечена . в большой массе практических задач" [26]. Например, такая ситуация имеет место в аэрокосмической отрасли, где эксперименты слишком дороги. Многие же явления вообще нельзя считать случайными ввиду отсутствия статистической устойчивости или принципиальной невозможности её проверки. Поэтому в последние десятилетия стали развиваться методы гарантирующего или минимаксного оценивания. Основополагающий вклад в развитие теории управления и наблюдения в условиях неопределенности внесли работы X. Витзенхаузена, И. Я. Каца, Н. Н. Красовского, А. Б. Куржанского, М. JI. Лидо-ва, Б. Т. Поляка, П. Хьюбера, Ф. Л. Черноусько, Ф. Швеппе, П. Е. Эльясберга (см. работы [28, 29, 45, 46, 49, 85, 87, 90, 149, 150, 156]). В них основное внимание уделяется общим вопросам гарантирующего оценивания и их связям с соответствующими разделами выпуклого и функционального анализа и теории управления.

Положение теории гарантирующих оценок освещают обзоры [47] и [48].

Одно из направлений новых методов оценивания было инициировано работой М.Л. Лядова [49] при постановке задачи о „наихудшей корреляции". В ней границы амплитуд возмущений считаются заданными, а их спектральный состав неизвестным. Задачи с такими предположениями о шумах изучали В. А. Архангельский, Б. Ц. Бахшиян, Л. Ю. Белоусов, М. И. Войсковский, М. И. Гусев, М. Л. Лидов, A. PI. Матасов, А. В. Назин, С. А. Назин, Р. Р. Назиров, А. Р. Панков, В. Н. Соловьёв, П. Е. Эльясберг (см., например, работы [22, 7, 10, 51, 64, 65, 67, 77, 80, 141, 144, 152]).

В третьей главе диссертации рассматривается система, возмущения которой принадлежат указанному типу — известны лишь их границы. В этом случае проблема оптимального оценивания сводится к минимаксной задаче. Ввиду сложности её решения мы пользуемся упрощёнными оценивателями. Как и в предыдущей главе, строятся оценки уровней неоптимальности таких фильтров.

В четвёртой главе рассматриваются те же уравнения для описания системы и наблюдений, что и ранее, но делаются более общие предположения о шумах. Если в первой и второй главе это были случайные процессы, а в третьей — последовательности детерминированных ограниченных величин, то в этой главе рассматриваются так называемые комбинированные помехи. Они представляют собой сумму двух составляющих, первая из которых является детерминированным вектором из некоторого множества, а вторая — центрированным случайным вектором, дисперсии компонент которого ограничены известными положительными числами. Помехи такого типа можно представить также как случайные процессы, математические ожидания и интенсивности которых не известны, но принадлежат некоторой заданной области. Аналогичные предположения делаются и для вектора начального состояния системы. При таких гипотезах о помехах ставится задача оптимального оценивания.

Шумы с неизвестными точно статистическими характеристиками рассматривались во многих работах (см., например, статьи Б. И. Ананьева [2, 3], А. В. Борисова и А. Р. Панкова [16], С. Верду и В. Пура [154], М. Л. Лидова [50], И. Я. Каца и

А. Б. Куржанского [28, 29], А. И. Матасова [43, 92, 128, 140, 141], А. Р. Панкова и К. В. Семенихина [66, 67, 68], В. Н. Соловьёва [78, 79]).

Так как возмущения в системе и в измерениях содержат неизвестные детерминированные составляющие, то для описания качества оценивания вводится гарантированное значение ошибки оценки. Аналогично предыдущей главе, вместо неизвестного оптимального алгоритма фильтрации рассматриваются упрощённые методы и строятся оценки их уровней неоптимальности. В качестве аппроксимирующего здесь предлагается использовать не только оцениватель, оптимальный для некоторой „близкой" классической задачи среднеквадратической фильтрации, но и так называемый „квазиимпульсный" оцениватель. Он получен из эвристических соображений о структуре оптимального решения.

В заключении подведены итоги работы, сформулированы результаты, представляемые к защите.

Научная новизна. В работе получены следующие новые результаты:

• Задача среднеквадратического оценивания разностных уравнений Вольтерра изучена с использованием вариационного подхода. Получено фундаментальное соотношение между прямой и сопряжённой переменными соответствующей краевой задачи.

• Предложен упрощённый оцениватель в задаче среднеквадратической фильтрации и построена оценка уровня его неоптимальности.

• Рассмотрены проблемы гарантирующего оценивания для дискретных уравнений Вольтерра, возникающие в случае неопределённых помех и при случайных возмущениях с неопределёнными статистическими характеристиками. Для предложенных упрощённых оценивателей построены границы уровней их неоптимальности.

Теоретическая и практическая значимость. Полученные в диссертации результаты позволяют применять легко реализуемые алгоритмы оценивания к решению сложных задач фильтрации для уравнений Вольтерра. При этом могут быть указаны уровни неоптимальности упрощённых фильтров, которые вычисляются без знания оптимального оценивателя. Таким образом, предложен полезный инструмент решения задач фильтрации для дискретных уравнений Вольтерра.

Апробация работы. Результаты диссертации обсуждались на 9-й Международной конференции „Системный анализ и управление" (Крым, Евпатория, 2004 г.), на 16-м Всемирном конгрессе ИФАК (Чехия, Прага, 2005 г.), а также на научных семинарах под руководством проф. В. Н. Афанасьева (МИЭМ), проф. А. И. Кибзуна (МАИ), проф. М. Миланезе (Политехнический университет Турина, Италия).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в статьях [11, 99, 100, 102] журналов, входящих в Перечень ВАК, а также в работах [12, 13, 101].

Заключение

В диссертационной работе изучены динамические системы, состояние которых описывается линейным разностным уравнением Вольтерра. При различных гипотезах о помехах рассмотрены задачи оптимальной фильтрации. Предложены упрощённые оцениватели. При помощи теории двойственности для рассмотренных конструктивных алгоритмов построены границы уровней их неоптимальности. Эти границы вычислены без нахождения решений исходных сложных задач. Численные примеры продемонстрировали эффективность разработанных в диссертации методов.

Таким образом, в диссертации предложены эффективные методы решения задач фильтрации для дискретных уравнений Вольтерра.

Основные положения, выносимые на защиту

1. Получено фундаментальное соотношение между прямой и сопряжённой переменными в краевой задаче, возникающей при оценивании состояния стохастических динамических систем, описываемых дискретными уравнениями Вольтерра.

2. Построена верхняя граница уровня неоптимальности упрощённого рекуррентного оценивателя в задаче линейной стохастической фильтрации.

3. Для решения задачи гарантирующего оценивания состояния динамических систем, описываемых дискретными уравнениями Вольтерра с неопределёнными возмущениями, разработаны упрощённые оцениватели. Для этих оценивателей построены верхние границы уровней их неоптимальности.

4. Разработано программно-алгоритмическое обеспечение для решения задач гарантирующего оценивания и построения уровней неоптимальности в моделях, описываемых разностными уравнениями Вольтерра.

1. Алексеев В. М., Тихомиров В. М., Фомин С. В. Оптимальное управление. М.: Наука, 1979.2. Ананьев Б. И.

2. Минимаксные среднеквадратические оценки в статистически неопределённых системах. Дифференциальные уравнения, 1984, т. 20, №8, с. 1291-1297.3. Ананьев Б. И.

3. Минимаксная линейная фильтрация многошаговых процессов с неопределёнными распределениями возмущений. Автоматика и телемеханика, 1993, №10, с. 131-139.

4. Андреева Е. А., Колмановский В. В., Шайхет Jl. Е. Управление системами с последействием. М.: Наука, 1992.5. Арутюнян Н. X.

5. Некоторые вопросы теории ползучести. М.: Гостехтеориздат, 1952.

6. Арутюнян Н. X., Колмановский В. Б.

7. Теория ползучести неоднородных тел. М.: Наука, 1983.

8. Архангельский В. А., Белоусов JI. Ю.

9. Минимаксная оценка точности определения орбиты космического аппарата при учете немоделируемых ускорений. Космические исследования, 1979, т. 17, JV23, с. 345-353.

10. Бабский В. Г., Мышкис А. Д.

11. Математические модели в биологии, связанные с учётом последействия. Дополнение к книге Дж. Марри Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. Лекции о моделях. М.: Мир, 1983, с. 383-394.9. Басин М. В.

12. Фильтрация случайных процессов Ито-Вольтерра по дискретно-непрерывным наблюдениям. Автоматика и телемеханика, 1992, №10, с. 63-73.

13. Бахшиян Б. Ц., Назиров Р. Р., Эльясберг П. Е. Определение и коррекция движения. М.: Наука, 1980.11. Башков А. Б.

14. Об одном подходе к решению задачи гарантирующего оценивания для уравнений Вольтерра. Автоматика и телемеханика, 2009, №2, с. 42-51.

15. Башков А. Б., Матасов А. И.

16. Задача оптимальной фильтрации для дискретных уравнений Вольтерра. Тезисы докладов 9-й Международной конференции „Системный анализ и управление", Крым, Евпатория, 4-11 июля, 2004, с. 134.

17. Башков А. Б., Колмаповский В. Б., Матасов А. И.

18. Об одном подходе к решению задачи фильтрации для уравнений Вольтерра. Тезисы докладов 9-й Международной конференции „Системный анализ и управление", Крым, Евпатория, 4-11 июля, 2004, с. 117.

19. Беллман Р., Кук К. Дифференциально-разностные уравнения. М.: Мир, 1967.

20. Бобрик Г. И., Голован А. А., Матасов А. И.

21. Фильтр Калмана при гарантирующем подходе к решению задачи топографической привязки. Автоматика и телемеханика, 1997, Jf510, с. 34-47.

22. Борисов А. В., Панков А. Р.

23. Минимаксная фильтрация в динамических системах, описываемых стохастическими дифференциальными уравнениями с мерой. Автоматика и телемеханика, 1998, №6, с. 139-152.

24. Брадул Н. В., Шайхет JI. Е.

25. Задача оптимальной стабилизации для стохастического разностного уравнения Вольтерра. Труды ИПММ НАН Украины, 2004, т. 9, с. 24-45.18. Вельмисов П. А.

26. Математическая теория борьбы за существование. М.: Наука, 1976.20. Вольтерра В.

27. Теория функционалов, интегральных и интегро-дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1982.

28. Голован А. А., Парусников Н. А.

29. Математические основы навигационных систем. Часть I. Математические модели инерциальной навигации. Часть II. Приложения методов оптимального оценивания к задачам навигации. М.: Издательство МГУ, 2007-2008.22. Гусев М. И.

30. Оптимальность линейных алгоритмов в задачах гарантированного оценивания. Известия РАН. Техническая кибернетика, 1994, №3, с. 87-95.23. Гуськов Ю. П.

31. Дискретно-непрерывное управление программным выведением самолетов. М.: Машиностроение, 1987.

32. Ивинская Е. В., Колмановский В. Б.

33. Об ограниченности решений некоторых разностных уравнений Вольтерра. Автоматика и телемеханика, 2000, №8, с. 86-97.

34. Иоффе А. Д., Тихомиров В. М.

35. Теория экстремальных задач. М.: Наука, 1974.26. Калмаы Р.

36. Идентификация систем с шумами. Успехи математических наук, 1985, т. 40, №4, с. 27-41.

37. Каменский Г. А., Скубачевский A. JI.

38. Линейные краевые задачи для дифференциально-разностных уравнений. М.: МАИ, 1992.

39. Кац И. Я., Куржанский А. Б.

40. Минимаксное оценивание в многошаговых системах. Доклады Академии наук СССР, 1975, т. 221, №3, с. 535-538.

41. Кац И. Я., Куржанский А. Б.

42. Минимаксная многошаговая фильтрация в статистически неопределённых ситуациях. Автоматика и телемеханика, 1978, №11, с. 79-87.30. Колмановский В. Б.

43. О применении второго метода Ляпунова к разностным уравнениям Вольтерра. Автоматика и телемеханика, 1995, №11, с. 50-64.31. Колмановский В. Б.

44. Об ограниченности некоторых систем Вольтерра с диссипативной нелинейностью. Автоматика и телемеханика, 1999, №3, с. 143-155.32. Колмановский В. Б.

45. Об асимптотических свойствах решений некоторых нелинейных систем Вольтерра. Автоматика и телемеханика, 2000, №4, с. 42-50.33. Колмановский В. Б.

46. Об устойчивости решений некоторых разностных уравнений Вольтерра. Автоматика и телемеханика, 2000, №11, с. 139-146.34. Колмановский В. Б.

47. Об асимптотической эквивалентности решений некоторых разностных уравнений Вольтерра. Автоматика и телемеханика, 2001, №4, с. 47-56.35. Колмановский В. Б.

48. О предельной периодичности решений некоторых систем Вольтерра. Автоматика и телемеханика, 2001, №5, с. 36-43.

49. Колмановский В. Б., Косарева Н. П., Шайхет JI. Е.

50. Об одном методе построения функционалов Ляпунова. Дифференциальные уравнения, 1999, т. 35, №11, с. 1553-1565.

51. Колмановский В. Б., Майзенберг Т. J1.

52. Оптимальное управление стохастическими системами с последействием. Автоматика и телемеханика, 1973, №1, с. 47-61.

53. Колмановский В. В., Майзенберг Т. JI.

54. Оптимальные оценки состояния системы и некоторые задачи управления уравнениями с последействием. Прикладная математика и механика, 1977, т. 41, №3, с. 446-456.

55. Колмановский В. В., Матасов А. И.

56. Об одном подходе к решению минимаксных задач фильтрации в системах с последействием. Автоматика и телемеханика, 1996, №6, с. 125-147.

57. Колмановский В. В., Матасов А. И.

58. Задача фильтрации в системах с последействием при ненулевых начальных условиях. Доклады Академии наук, 2000, т. 372, №4, с. 463-468.

59. Колмановский В. В., Родионов А. М.

60. Об устойчивости некоторых дискретных процессов Вольтерра. Автоматика и телемеханика, 1995, №2, с. 3-13.

61. Колмановский В. В., Шайхет JI. Е.

62. Об оценивании решений линейных интегральных уравнений Вольтерра. Прикладная математика и механика, 1987, т. 51, №5, с. 775-781.

63. Копылова Н. К., Матасов А. И.

64. Метод малого параметра для решения задачи оценивания в системах с запаздыванием. Вестник Московского университета. Серия 1. Математика. Механика, 2002, №2, с. 68-70.44. Красовский Н. Н.

65. Некоторые задачи теории устойчивости двиэ/сения. М.: Физматгиз, 1959.45. Красовский Н. Н.

66. Теория управления двиэ/сением. М.: Наука, 1968.46. Куржанский А. Б.

67. Управление и оценивание в условиях неопределенности. М.: Наука, 1977.47. Куржанский А. Б.

68. Задача идентификации: теория гарантированных оценок (обзор). Автоматика и телемеханика, 1991, №4, с. 3-26.

69. Лидов М. Л., Бахшиян Б. Ц., Матасов А. И.

70. Об одном направлении в проблеме гарантирующего оценивания (обзор). Космические исследования, 1991, т. 29, №5, с. 659-684.49. Лидов М. Л.

71. К априорным оценкам точности определения параметров по методу наименьших квадратов. Космические исследования, 1964, т. 2, №5, с. 713-718.50. Лидов М. Л.

72. Минимаксная задача оценивания параметров траектории в непрерывной постановке. Космические исследования, 1984, т. 22, №4, с. 483-498.51. Лидов М. Л.

73. К задаче гарантирующего оценивания. Космические исследования, 1991, т. 29, №6, с. 803-814.

74. Марчук А. Г., Осипенко К. Ю.

75. Наилучшее приближение функций, заданных с погрешностью в конечном числе точек. Математические заметки, 1975, т. 17, №3, с. 359-368.53. Матасов А. И.

76. Об оптимальности линейных алгоритмов гарантирующего оценивания. Часть I. Космические исследования, 1988, т. 26, №5, с. 643-653.54. Матасов А. И.

77. Об оптимальности линейных алгоритмов гарантирующего оценивания. Часть II. Космические исследования, 1988, т. 26, №6, с. 807-812.55. Матасов А. И.

78. Оптимальность линейных алгоритмов в задаче о „наихудшей корреляции". Вестник МГУ. Серия I. Математика. Механика, 1989, №1, с. 61-64.56. Матасов А. И.

79. Об априорной точности метода наименьших квадратов в задачах гарантирующего оценивания. Часть I. Космические исследования, 1990, т. 28, №1, с. 11-16.57. Матасов А. И.

80. Об априорной точности метода наименьших квадратов в задачах гарантирующего оценивания. Часть II. Космические исследования, 1990, т. 28, №2, с. 170— 185.58. Матасов А. И.

81. Об оценке чувствительности фильтра Калмана-Бьюси к априорным значениям ковариационных матриц. Автоматика и телемеханика, 1991, №1, с. 78-87.59. Матасов А. И.

82. Проблема фильтрации в системах с запаздыванием и её связь с задачей оценивания при произвольно коррелированном шуме в объекте. Доклады Академии наук, 2007, т. 412, №2, с. 170-175.60. Михлин С. Г.

83. Лекции по линейным интегральным уравнениям. М.: Физматгиз, 1959.61. Мышкис А. Д.

84. Общая теория дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом. Успехи математических наук, 1949, т. 4, №5, с. 99-141.62. Мышкис А. Д.

85. Дополнительные библиографические материалы к статье „Общая теория дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом". Успехи математических наук, 1950, т. 5, №2, с. 148-154.63. Мышкис А. Д.

86. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом. М.: Наука, 1972.

87. Назин А. В., Назин С. А., Поляк Б. Т.

88. О сходимости внешних эллипсоидальных аппроксимаций областей достижимости линейных дискретных динамических систем. Автоматика и телемеханика, 2004, №8, с. 39-61.65. Назин С. А., Поляк Б. Т.

89. Параметрическое оценивание методом эллипсоидов в линейных многомерных системах с неопределенным описанием модели. Автоматика и телемеханика, 2007, №6, с. 67-80.

90. Панков А. Р., Семенихин К. В.

91. Минимаксная идентификация обобщённой неопределённо-стохастической линейной модели. Автоматика и телемеханика, 1998, №11, с. 158-171.

92. Панков А. Р., Семенихин К. В.

93. Методы параметрической идентификации многомерных линейных моделей в условиях априорной непределённости. Автоматика и телемеханика, 2000, №5, с. 76-92.

94. Панков А. Р., Семенихин К. В.

95. О минимаксном оценивании по вероятностному критерию. Автоматика и телемеханика, 2007, №3, с. 66-82.

96. Парусников Н. А., Морозов В. М., Борзов В. И.

97. Задача коррекции в инерциальной навигации. М.: Издательство МГУ, 1982.

98. Пугачёв В. С., Казаков И. Е., Гладков Д. И., Евланов JL Г., Мишаков А. Ф., Седов В. Д.

99. Системы управления и динамика полёта ракет. М.: Издательство ВВИА им. Жуковского, 1965.

100. Рабинович Б. И., Лебедев В. Г., Мытарев А. И.

101. Вихревые процессы и динамика твёрдого тела. М.: Наука, 1992.72. Резван В.

102. Абсолютная устойчивость автоматических систем с запаздыванием. М.: Наука, 1983.73. Ройтенберг Я. Н.

103. Автоматическое управление. М.: Наука, 1992.74. Сергеев В. С.

104. Об устойчивости стационарных состояний для одной математической модели взаимодействия популяций при учете последействия. Доклады МОИП за 1983 г. Общая биология, 1983, М.: Издательство МГУ.75. Сергеев В. С.

105. Об асимптомической устойчивости движения в некоторых системах с последействием. Прикладная математика и механика, 1993, т. 57, №5, с. 166-174.76. Сергеев В. С.

106. Устойчивость в системах с последействием, описываемых интегродифферен-циалъными уравнениями типа Вольтерра. Автореферат диссертации на соискание ученой степени д-ра физ.-мат. наук: 01-02.01 М., 2000.77. Соловьёв В. Н.

107. Двойственные алгоритмы минимаксного оценивания параметров движения в непрерывной постановке. Космические исследования, 1991, т. 29, №1, с. 127132.78. Соловьёв В. Н.

108. Двойственные алгоритмы оптимального гарантирующего оценивания. Космические исследования, 1992, т. 30, №1, с. 10-24.79. Соловьёв В. Н.

109. Двойственные алгоритмы оптимального гарантирующего оценивания и усечённый метод наименьших квадратов. Космические исследования, 1995, т. 33, №1, с. 3-11.80. Соловьёв В. Н.

110. Двойственные экстремальные задачи и их применения к задачам минимаксного оценивания. Успехи математических наук, 1997, т. 52, №4, с. 49-86.81. Тихомиров В. М.

111. Выпуклый анализ. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Анализ-2. М.: ВИНИТИ, 1987, с. 5-101.82. Трикоми Ф.

112. Интегральные уравнения. М.: Издательство иностранной литературы, 1960.83. Феллер В.

113. Введение в теорию вероятностей и её приложения. М.: Мир, 1984.84. Хейл Дж. К.

114. Теория функционально-дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1984.85. Хьюбер П.

115. Робастность в статистике. М.: Мир, 1984.86. Цыпкин Я. 3.

116. Устойчивость систем с запаздывающей обратной связью. Автоматика и телемеханика, 1946, №2, с. 107-116.87. Черноусько Ф. JI.

117. Оценивание фазового состояния динамических систем. М.: Наука, 1988.88. Экланд И., Темам Р.

118. Выпуклый анализ и вариационные проблемы. М.: Мир, 1979.

119. Эльсгольц JL Э., Норкин С. Б.

120. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. М.: Наука, 1971.90. Эльясберг П. Е.

121. Измерительная информация: Сколько ее нужно? Как ее обрабатывать?. М.: Наука, 1983.91. Agarwal R. Р.

122. Difference Equations and Inequalities, Theory, Methods and Applications. N.Y.: Marcel Dekker, 1992.

123. Ahmedova N. K., Kolmanovskii V. В., Matasov A. I.

124. Constructive filtering algorithms for delayed systems with uncertain statistics. Journal of Dynamic Systems, Measurement, and Control, 2003, vol. 125, №2, pp. 229-235.

125. Al-Kahby H., Dannan F., Elaydi S. N.

126. Non-standard discretization methods for some biological models. Applications of Nonstandard Finite Difference Schemes, 2000, pp. 155-178.94. Baker С. Т. H.

127. A perspective on the numerical treatment of Volterra equations. Journal of Computational and Applied Mathematics, 2000, vol. 125, pp. 217-249.

128. Baker С. Т. H., Ford N. J.

129. Qualitative behaviour and stability of solutions of discretised nonlinear Volterra integral equations of convolution type. Journal of Computational and Applied Mathematics, 1996, vol. 66, pp. 213-225.

130. Baker С. Т. H., Ford N. J., Roberts J. A.

131. Bashkov А. В., Kolmanovskii V. В., Мао X., Matasov A. I.

132. Mean-square filtering problem for discrete Volterra equations. Journal of Stochastic Analysis and Applications, 2004, vol. 22, №4, pp. 1085-1110.

133. Bashkov А. В., Kolmanovskii V. В., Мао X., Matasov A. I.

134. On a boundary-value problem for discrete Volterra equations. Journal of Stochastic Analysis and Applications, 2005, vol. 23, JV25, pp. 999-1016.

135. Bashkov А. В., De Nicolao G., Kolmanovskii V. В., Matasov A. I.

136. Filtering problem for discrete Volterra equations with combined disturbances. Proceedings of 16th IFAC World Congress, Prague, 2005.

137. Bashkov А. В., De Nicolao G., Kolmanovskii V. В., Matasov A. I.

138. Filtering problem for discrete Volterra equations with combined disturbances. Journal of Stochastic Analysis and Applications, 2007, vol. 25, №6, pp. 1297-1323.103. Basin M. V.

139. On filtering over Ito-Volterra observations. Journal of Applied Mathematics and Stochastic Analysis, 2000, vol. 13, №4, pp. 347-364.

140. Basin M. V., Skliar M., Zhang H.

141. Optimal filtering for linear systems with multiplicative and additive Wiener noises. Proceedings of 16th IFAC World Congress, Prague, 2005.

142. Basin M. V., Skliar M., Zhang H.1.o-Volterra optimal state estimation with continuous, multirate, randomly sampled, and delayed measurements. IEEE Transactions on Automatic Control, 2007, vol. 52, №3, pp. 401-416.

143. Brunner H., van der Houwen P. J.

144. The Numerical Solution of Volterra Equations. North-Holland Publishing, Amsterdam, 1986.

145. Chiasson J., Loiseau J. J. (Eds.)

146. Applications of time delay systems. Lecture notes in control and information sciences, 2007, vol. 352.

147. Crisci M. R., Jackiewicz Z., Russo E., Vecchio A.

148. Stability analysis of discrete recurrence equations of Volterra type with degenerate kernels. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 1991, vol. 162, pp. 4962.

149. Crisci M. R., Kolmanovskii V. В., Russo E., Vecchio A.

150. Stability of continuous and discrete Volterra integro-differential equations by Liapunov approach. Journal of Integral Equations and Applications, 1995, vol. 7, pp. 393-411.

151. Crisci M. R., Kolmanovskii V. В., Russo E., Vecchio A.

152. Boundedness of discrete Volterra equations. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 1997, vol. 211, pp. 106-130.

153. Crisci M. R., Kolmanovskii V. В., Russo E., Vecchio A.

154. Stability of difference Volterra equations: direct Liapunov method and numerical procedure. Computers and Mathematics with Applications, 1998, vol. 36, pp. 77-97.

155. Crisci M. R., Kolmanovskii V. В., Russo E., Vecchio A.

156. On the exponential stability of discrete Volterra systems. Journal of Difference Equations and Applications, 2000, vol. 6, pp. 667-680.

157. Crisci M. R., Kolmanovskii V. В., Russo E., Vecchio A.

158. Stability of discrete Volterra equations of Hammerstein type. Journal of Difference Equations and Applications, 2000, vol. 6, pp. 127-145.114. Elaydi S. N.

159. Periodicity and stability of linear Volterra difference systems. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 1994, vol. 181, pp. 483-492.115. Elaydi S. N.

160. An Introduction to Difference Equations. Second Edition, N.Y.: Springer, 1999.116. Elaydi S. N., Jang S.

161. Difference equations from discretization of a continuous epidemic model with immigration of infectives. Canadian Applied Math Quarterly, 2003, vol. 11, pp. 93-101.117. Elaydi S. N., Kocic V. L.

162. Global stability of a nonlinear Volterra difference system. Differential Equations and Dynamical Systems, 1994, vol. 2, pp. 337-345.118. Elaydi S. N., Liu P.

163. Discrete competitive and cooperative models of Lotka-Volterra type. Journal of Computational Analysis and Applications, 2001, vol. 3, pp. 53-73.119. Elaydi S. N., Murakami S.

164. Asymptotic stability versus exponential stability in linear Volterra difference equations of convolution type. Journal of Difference Equations and Applications, 1996, vol. 2, pp. 401-410.120. Elaydi S. N. Murakami S.

165. Uniform asymptotic stability in linear Volterra difference equations. Journal of Difference Equations and Applications, 1998, vol. 3, pp. 203-218.

166. Elaydi S. N., Sacker R. J.

167. Golovan A. A., Matasov A. I.

168. The Kalman-Bucy filter in the guaranteed estimation problem. IEEE Transactions on Automatic Control, 1994, vol. AC-39, №6, pp. 1282-1286.

169. Hale J. К., Lunel S. M. V.1.troduction to Functional-Differential Equations. N.Y.: Springer, 1993.125. Jazwinski A. H.

170. Stochastic Processes and Filtering Theory. N.Y.: Academic Press, 1970.

171. Kelley W. G., Peterson A. C.

172. Difference Equations, An Introduction with Applications. Second Edition, N.Y.: Academic Press, 2000.

173. Kleptsina M. L., Veretennikov A. Yu.

174. On filtering and properties of conditional laws of Ito-Volterra processes. Statistics and control of stochastic processes, Steklov seminar, Moscow, 1984■ Optimization Software Inc., N.Y.: Publication Division, 1985, pp. 179-196.

175. Kolmanovskii V. В., Kopylova N. K., Matasov A. I.

176. An approximate method for solving stochastic guaranteed estimation problem in hereditary systems. Dynamic Systems and Applications, 2001, vol. 10, №3, pp. 305323.

177. Kolmanovskii V. В., Мао X., Matasov A. I.

178. On approximate solving the mean-square filtering problem in hereditary systems. Dynamic Systems and Applications, 1998, vol. 7, №2, pp. 259-276.

179. Kolmanovskii V. В., Matasov A. I., Borne P.

180. Mean-square filtering problem in hereditary systems with nonzero initial conditions. Journal of Mathematical Control and Information, 2002, vol. 19, pp. 25-48.

181. Kolmanovskii V. В., Myshkis A. D.

182. Applied Theory of Functional Differential Equations. Kluwer Academic Publishers, 1992.

183. Kolmanovskii V. В., Myshkis A. D.1.troduction to the Theory and Applications of Functional Differential Equations. Kluwer Academic Publishers, 1999.

184. Kolmanovskii V. В., Myshkis A. D., Richard J.-P.

185. Estimate of solutions for some Volterra difference equations. Lakshmikantham's legacy: a tribute on his 75th birthday. Nonlinear Analysis Theory, Methods and Applications, 2000, vol. 40, pp. 345-363.

186. Kolmanovskii V. В., Shaikhet L. E.

187. Some conditions for boundedness of solutions of difference Volterra equations. Applied Mathematics Letters, 2003, vol. 16, №6, pp. 857-862.

188. Kuchkina N. V., Shaikhet L. E.

189. Optimal control problem for nonlinear stochastic difference second kind Volterra equations. Computers and Mathematics with Applications, 1997, vol. 34, №9, pp. 6573.

190. Kuchkina N. V., Shaikhet L. Б.

191. Optimal estimation of stochastic difference equations. Proceedings of the CESA '98. Symposium on Signal Processing and Cybernetics, Tunisia, April 1-4, 1998, vol. 4, pp. 165-169.

192. Kuchkina N. V., Shaikhet L. Ё.

193. Optimal control of Volterra type stochastic difference equations. Computers and Mathematics with Applications, 1998, vol. 36, №10, pp. 251-259.

194. Lakshmikantham V., Trigiante D.

195. Theory of Difference Equations: Numerical Methods and Applications. Second Edition, N.Y.: Marcel Dekker, 2000.139. Lotka A. J.

196. A contribution to the theory of self-moving aggregates with spatial reference to industrial replacement. Annals of Mathematical Statistics, 1939, vol. 10, pp. 1-25.140. Matasov A. I.

197. The Kalman-Bucy filter accuracy in the guaranteed parameter estimation problem with unknown statistics. IEEE Transactions on Automatic Control, 1994, vol. AC-39, №3, pp. 635-639.141. Matasov A. I.

198. Estimators for Uncertain Dynamic Systems. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht-Boston-London, 1999.142. Medina R.

199. Asymptotic behavior of Volterra difference equations. Computers and Mathematics with Applications, 2001, vol. 41, pp. 679-687.143. Miller R. K.

200. Paternoster В., Shaikhet L. E.

201. Application of the general method of Lyapunov functionals construction for difference Volterra equations. Computers and Mathematics with Applications, 2004, vol. 47, №8-9, pp. 1165-1176.

202. Paternoster В., Shaikhet L. E.

203. Mean square summability of solution of stochastic difference second-kind Volterra equation with small nonlinearity. Advances in Difference Equations, 2007, vol. 2007, Article ID 65012.147. Raffoul Y.

204. Boundedness and periodicity of Volterra systems of difference equations. Journal of Difference Equations and Applications, 1998, vol. 4, pp. 381-393.

205. Roberts J. A., Shaikhet L. E.

206. Minimax estimation and the least squares method. Stochastics and Stochastics Reports, 1993, vol. 42, pp. 209-223.153. Vecchio A.

207. On the resolvent kernel of Volterra discrete equations. Functional Differential Equations, 1999, vol. 6, pp. 187-198.154. Verdu S., Poor H. V.

208. Minimax linear observers and regulators for stochastic systems with uncertain second-order statistics. IEEE Transactions on Automatic Control, 1984, vol. AC-29, pp. 499-511.155. Volterra V.

209. Sur la theorie mathematique des phenomenes hereditaires. Journal de Mathematiques Pures et Appliquees, 1928, vol. 7, pp. 249-298.156. Witsenhausen H. S.

210. Sets of possible states of linear systems given perturbed observations. IEEE Transactions on Automatic Control, 1968, vol. AC-13, pp. 556-558.157. Xie L., Zhang H.

211. Control and estimation of systems with input/output delays. Lecture notes in control and information sciences, 2007, vol. 355.