автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Методы продолжения решений в прикладных задачах оптимального управления

0.13адача оптимального управления при наличии ограничений общего вида

0.23адача оптимешьного управления внешним долгом

О.ЗЧисленные методы решения систем линейных уравнений

0.4Методы продолжения решения по параметру

О.бРезультаты численных расчетов задачи о внешнем долге

О.бЗадачи оптимального управления со смешанными ограничениями в процесс£1Х полимеризации

О.ТЗадача оптимального управления при входе аппарата в атмосферу

1 Задачи оптимального управления при наличии ограничений общего вида

1.1 Задача Понтрягина

1.23адача Блисса-Больца (Лагранжа, Майера)

1.3Каноническая задача Дубовицкого-Милютина

1.3.1 Каноническая задача оптимального управления с гладкой зависимостью от времени.

1.3.2 Локально-выпуклые функции конечномерного пространства г,у по у

1.3.3 Предположения, при выполнении которых проводится вариационное исследование Задачи А.

1.3.4 А-стационарность.

1.3.5 Структура смешанных ограничений.

1.3.6 Интегральный принцип максимума в регулярном случае.

1.3.7 Замыкание по мере.

1.3.8 Интегральный принцип максимума в нерегулярном случае (принцип максимума По).

1.3.9 Каноническая задача с непрерывной зависимостью от времени при фиксированном ¿1.

1.4Класс задач оптимального управления, сводящихся к каноническим Задачам А и В

1.50 возможном характере меры для смешанных ограничений

1.6 Фазовые ограничения

1.6.1 Фс130вые ограничения типа равенств.

1.6.2 Фазовые ограничения типа неравенств.

1.7Теорема существования для задачи оптимгшьного управления

2 Задача оптимального управления внешним долгом

2.1Постановка задачи

2.2Первое приближение

2.3Принцип максимума без учета фазовых ограничений

2.43адача со свободным правым концом

2.5Решение основной системы в задаче со свободным правым концом

2.бНулевое приближение

2.711родолжение решений по параметру Ь

2.8Краевая задача с концевыми условиями для фазовых переменных

2.9Метод введения параметра в дифференциальные уравнения

2.10 Замена переменных

3 Численные методы решения систем линейных уравнений

3.1Введение

3.2Метод введения параметра

З.ЗВычитание близких величин

3.4Метод регуляризации

З.бПринцип продолжения

З.бМетод продолжения для решения линейных систем

3.70 выборе числа итераций

3.8Расширения метода продолжения

З.ЭПроцедура проверки метода

3.10 Результаты тестирования метода

3.11 Интегральный метод проверки вычислительного метода

3.12 Выводы по результатам вычислений

4 Методы продолжения решений по параметру

4.1Постановка задачи

4.2Наилучший параметр продолжения решения

4.3Непрерывный аналог метода Ньютона

4.4Жесткие системы обыкновенных дифференциальных уравнений

4.50бобщенный метод Ньютона

4.6Полиномы Чебышева и Лагранжа

4.6.1 Метод ортогональных функций.

4.6.2 Полиномы П.Л. Чебышева.

4.7Полярное разложение матрицы Якоби

4.80бобщенное продолжение решений по параметру

4.9Метод численного интегрирования сингулярно возмущенных уравнений

5 Результаты численных расчетов (задача о внешнем долге)

5.13адача Понтрягина

5.2Пример аналитического исследования необходимых условий в задаче с фазовыми ограничениями

6 Задачи оптимального управления со смешанными ограничениями в процессах полимеризации

6.1Введение

6.2Каноническая задача Дубовицкого-Милютина б.ЗИнтегральный принцип максимума в нерегулярном случае (принцип максимума По)

6.4Математическая модель суспензионной полимеризации винилхлорида в периодическом реакторе б.бЗадачи на быстродействие. Задача Аа

6.6Оптимальные траектории. б.ТПриближенное решение краевой задачи б.вЗадача о минимуме X2{t) б. ЭКласс регулярных задач со смешанными ограничениями

7 Задача оптимального управления при входе аппарата в атмосферу

7.10птимизация дальности при входе аппарата в атмосферу (плоский случай)

7.2Принцип максимума (регулярный случай)

7.3Продолжение решений по параметру

7.40граничение на перегрузку

7.5Необходимые условия экстремума в нерегулярном случае

7.бСтруктура множества нерегулярных точек

7.7Непрерывность \Су\ в точке

7.8Нерегулярная оптимальная траектория

7.9Регуляризация вырожденного принципа максимума

7.10 Оптимальные боковые маневры аппарата в атмосфере

Общая характеристика работ. Согласно табели о рангах задачи оптимального управления с фазовыми и смешанными ограничениями являются самими сложными в теоретическом и вычислительном плане. Как правило, они являются некорректными. Теория оптимального управления, основы которой были заложены в работах Л.С. Понтрягина, H.H. Красовского, В.Г. Болтянского, A.A. Милютина, А.Я. Дубовицкого, Р. В. Гамкрелидзе, Р. Беллмана, и теория некорректных задач, у истоков которой стояли А.Н. Тихонов, В.К. Иванов, М.М. Лаврентьев. Р. Латтес, Ж.-Л. Лионе и Морозов В.А, появившись почти одновременно, развивались во взаимном влиянии и проникновении методов и понятий обеих теорий. Например, основные ре-гуляризаторы, такие как регуляризатор А.Н. Тихонова, квазирешения В.К. Иванова, метод невязки, являются абстрактными задачами оптимального управления. С дрзггой стороны многие задачи оптимального управления неустойчивы относительно возмущений данных и тем самым являются некорректными в смысле Адамара. Особенно это относится к задачам оптимального управления системами с фазовыми и смешанными ограничениями. Поэтому работы, посвященные некорректным задачам теории управления, принадлежат представителям обеих теорий [1-3].

Известно, что принцип максимума редуцирует исходную постановку задачи к краевой задаче для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Решение краевых задач связано с выбором начальных значений сопряженных пере- менных и опирается, в основном, на требования невырожденности матрицы Якоби. Наибольший успех в направлении численного решения краевых задач связан с методом продолжения по параметру.

Идея продолжения решения по параметру известна давно. По существу, она лежит в основе известного метода малого параметра, первое применение которого восходит к работам Леверье (1886 г.) и Пуанкаре (1892 г.) [4] .Указанная идея неоднократно использовалась для доказательства существования решений для нелинейных уравнений.

Большой вклад в теорию и методы продолжения решения по параметру внесли: H.A. Бобылев, Д.Ф. Давыденко, С.К. Коровин, Красносельский М.А., C.B. Емельянов, A.n. Афанасьев, В.В. Дикусар, Е.Б. Кузнецов, В.И. Шалашилин, М. Лаэй, Д.Ф. Давиденко,М.К. Гавурин и другие [4, 5].

При применении метода продолжения решения по параметру одним из основных направлений анализа задач оптимального управления является изучение малых возмущений задач. При этом отличают регулярные и сингулярные возмущения.

Для указанных возмущений были разработаны асимптотические методы анализа, в рс1звитии которых существенный вклад внесли работы: H.H. Боголюбова и Ю.А. Митропольского, А.Н. Тихонова и A.B. Васильевой, Л.С. Понтрягина, Е.Ф. Мищенко, Н.Х. Розова, O.A. Олейник, М.И. Вишика, Л.А. Люстерника, Е.А. Гребеникова, O.A. Лодыженской, В.П. Маслова и других [6,7].

В вычислительном плане при применении методов продолжения появляются некорректные задачи.

Различные аспекты теории некорректных задач разрабатывались в работах Т. А. Агеева, В.Я. Арсенина, А.Б. Бакушинского, Ф.П. Васильева, В.В. Васина, A.B. Гончарского, В.А. Морозова, В.Н. Страхова, В.П. Тананы, А.Г. 51голы и других. Конкретные регуляризаторы при решении дифференциальных уравнений и задач управления в банаховых пространствах строились И.В. Мельниковой.

Проблемам оптимгигьного управления возмущенными системами в последние годы посвящено много работ. Так, регулярные возмущения исследовгшись в работах Л.Д. Акуленко, Э.Г. Альбрехта, В.Б. Колмановского, H.H. Моисеева, В.А. Плотникова, Ф.Л. Черноусько и др. Сингулярно возмущенные задачи, чаще всего в постановке "быстрые-медленные переменные", изучались в работах A.A. Белолипецкого, В.Г. Гайцгори, М.Г. Дмитриева, А. Дончева, А.И. Калинина, Ю.Н. Киселева, А.Г. Крем-лева, П.В. Кокатовича, Г.А. Куриной, А.Ю. Рябова, Е.А. Гребеникова и других.

Бисингулярно возмущенные задачи оптимального управления исследованы существенно хуже. Здесь следует отметить работы В.Е. Капустяна, Н.Х. Розова.

При применении вычислительной техники для решения сингулярных задач используются конечно-разностные схемы. Традиционные разностные схемы в общем случае теряют свойство сходимости при решении сингулярно возмущенных краевых задач. Поэтому возникла необходимость в разработке разностных схем, обладающих свойством сходимости, равномерной относительно малого параметра. Можно выделить следующие подходы, применяемые при разработке численных методов для сингулярно возмущенных задач:

1) сгущение сеток в пограничных слоях;

2) подгонка схем к погранслойной составляющей решения;

3) использование интегральных соотношений и усеченных схем;

4) применение метода Галеркина с выделением особенностей;

5) использование сплайнов и метода коллокации [8].

К первому подходу относятся работы Н.С. Бахвалова, В.Д. Лисейкина, Г.И. Шишкина, В.Б. Андреева, Р. Вулановича и других гшторов. Ко второму подходу относятся работы A.M. Ильина, Г.И. Шишкина, К.В. Емельянова, Д. Миллера, Р. Келлога и других авторов. Третий подход основан на точной схеме Самарского и интегральном тождестве Марчука. Усечение точной схемы приводит к схеме повышенного порядка точности. На основании этого подхода М.В. Алексеевским, К.В. Емельяновым, Г.И. Шишкиным строились схемы повышенного порядка точности. Тождество Марчука использовалось в работах В.П. Гаевого и А.Ю. Сечина. Отметим также работы по регуляризации и устойчивости разностньЕх схем (A.A. Самарский, П.Н. Вабищевич, H.H. Калиткин, H.H. Яненко) [9].

ОДУ, не разрешенные относительно производных, называют дифференциально-алгебраическими системами (ДАС) [5]. В конце 70-х - начале 80-х годов сложились математические школы в СССР (Бояринцев Ю.Е.), ГДР (Maerz R.), США (Gear C.W.), специгшизирующиеся на изучении свойств ДАС и построении численных алгоритмов для них. Позднее появился круг специалистов и в других странах: Канада (Asher и.), Швейцария (Hairer Е., Wanner G., Lubich С ) , Швеция (Lotsted Р.), Венесуэла (Aravelo С.) и др. Заметим, что ДАС являются основным объектом исследования в задачах оптимального управления при наличии смешанных и фазовых ограничений.

Трудности исследования и численного решения таких задач связаны с алгебраическими ограничениями типа неравенства, а также со структурой сопряженной системы ОДУ. Для задач с фазовыми и нерегулярными смешанными ограничениями правые части сопряженных ОДУ содержат обобщенные функции. Особую трудность при численной реализации представляют траектории, близкие к нерегулярным. В этом случае сопряженные уравнения содержат малый параметр при производной, который зависит от времени. Кроме того, очень часто встречаются задачи, в которых основная система уравнений имеет особенности. Например, задачи динамики полета в скоростной системе координат содержат ОДУ, в которых правые части обращаются в бесконечность. Последнее означает, что по существу они содержат малый параметр при производной, зависящий от времени.

Основным объектом при продолжении решения по параметру выступает линейная система алгебраических уравнений. Как правило, такая система является плохо обусловленной или вырожденной.

Детерминированным методам решения плохо обусловленных линейных систем посвящены многие монографии и большое количество статей. Строгое теоретическое обоснование этих методов изложено в монографиях Тихонова А.Н., Арсенина В.Я., Лаврентьева М.М., Иванова В.К., Бакушинского А.Б., Морозова В.А. и других. Применение этих методов при решении различных научно-технических задач рассмотрено в монографиях О.М, Алифанова, Н.Г. Преображенского, A.B. Мултановского и других работах. Подробные ссылки на указанные работы можно найти в [10].

При решении нелинейных уравнений и краевых задач очень часто применяют метод Ньютона. Обычно его называют методом Ньютона-Канторовича. Исследованию этого метода посвящена многочисленная литература.

Исследование метода Ньютона-Канторовича содержит несколько аспектов. Важно знать условия применимости этого метода. Применение метода требует хорошего начального приближения. Метод устойчив при хорошо обусловленной матрице Яко-би. В противном случае он теряет свою эффективность и становится неустойчивым. Расширением границ применимости метода Ньютона занимались Л.В. Канторович, Б.Т. Поляк. В.К. Исаев, В.В. Сонин, В.В. Дикусар, Б.Е. Кузнецов, Жидков Е.П., Пузынин И.В., Силин И.Н. и другие. Отметим также методы регуляризации метода Ньютона-Канторовича.

Цель работы. Целью работы является разработка и исследование эффективных методов решения задач оптимального управления с фазовыми и смешанными ограничениями. Методы исследования настоящей работы опираются на: схему Дубовицкого-Милютина; современные методы вычислительной математики; математическое моделирование; анализ алгоритмов; программная реализация предложенных алгоритмов.

Результаты работ. Результаты работы:

1. разработан алгоритм решения плохо обусловленных линейных гипгебраических систем за счет специальной параметризации;

2. предложен специальный непрерывный аналог метода Ньютона для решения краевых задач и нелинейных систем путем продолжения решения по параметру;

3. Предложен метод обобщенного продолжения решения по параметру;

4. Предложены специальные методы для решения жестких систем задач химической кинетики;

5. Предложен специальный метод решения сингулярных возмущенных уравнений;

6. Предложен и реализован метод специальной регуляризации вырожденного принципа максимума на примере задач динамики полета;

7. предложена оценка решения некорректной задачи квадратичного программирования.

Практическая ценность работы. Разработанные методы, алгоритмы и программное обеспечение позволили решить три важные для практики задачи:

1. задача о внешнем долге;

2. задача химической кинетики;

3. задача динамики полета.

Особое значение имеют методы решения сингулярных возмущенным уравнением, а также конструктивные методы регуляризации вырожденного принципа максимума. Качественное исследования и вычислительные эксперименты подтверждают эффективность предложенной методики при решении практических задач оптимального управления с фазовыми и смешанными ограничениями.

Научная новизна работы связана с созданием нового метода решения сингулярно возмзгщенных задач. Важное место в работе отводится методам решения некорректных линейных и нелинейных систем, а также конструктивной регуляризации вырожденного принципа максимума. Во всех случмях проводились численные эксперименты по выяснению границ применимости предложенных методов.

Апробация работ. Результаты диссертации докладывались и обсуждались в математическом институте имени В.А. Стеклова РАН, ВЦ РАН, Институте Математического Моделирования РАН, Институте Прикладной Математики имени М.В. Келдыша РАН, ЦАГИ имена проф. Н.Е. Жуковского, МАТИ, МАИ, МФТИ, ИСА РАН, ИПУ РАН, а также на международной конференции по моделированию и управлению, Польша, Закопане, 2001 год.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора [1]-[17], список которых приведен в конце автореферата.

Объем и структура диссертации. Диссертация содержит страниц текста, включая рисунки. Текст разделен на введение, 7 глав, заключение, приложение и списка литературы из наименований.

1. A.n. Афанасьев, В.В. Дикусар, A.A. Милютин, C.B. Чуканов. Необходимые условия в оптимальном управлении. М.:Наука, 1990.

2. А.Н. Тихонов, В.Я. Арсеньев. Методы решения некорректных задач, М.:Наука, 1986.

3. В.А. Морозов. Регулярные методы решения некорректно поставленных задач, М.:Наука, 1987.

4. В.И. Шалашилин, Е.Б. Кузнецов. Метод продолжения решения по параметру и наилучшая параметризация, М.: УРСС, 1999.

5. H.A. Бобылев, C.B. Емельянов, С.К. Коровин. Геометрические методы вариационных задач, М.:Магистр, 1998.

6. А.Б. Васильева, В.Ф. Бутузов, H.H. Нефедов. Контрастные структура в сингулярно возмзшАенных задачах. Фундаментальная и прикладная математика, 1998, том 4, выпуск 3, с.799-852.

7. Н.Х. Розов, В.Г. Сушко, Д.И. Чудова, Дифференциальные уравнения с выраж-дающимися коэффициентами при старшей производной, Фундаментальная и прикладная математика, 1998, том 4, выпуск 3, с. 1063-1098.

8. H.H. Бахвалов. Численные методы, М.: Наука, 2000.

9. A.A. Самарский, П.Н. Вабищевич. Принцип регуляризации и устойчивость разностных схем. Фундаментальная и прикладная математика, 1998, том 4, выпуск 3, С.1097-ШЗ.

10. В. А, Морозов. Алгоритмический основы методов решения некорректно поставленных задач. Сборник научных трудов, численный анализ, теория приложения, программы. М.:МГУ, 1999.

11. A.A. Амосов, Ю.А. Дубинский, Н.В. Копченова. Вычислительные методы для инженеров, Mi :Высшая школа, 1994.

12. В.И. Лебедев. Функционгшьный анализ и вычислительная математика, М.гФизматлит, 2000.

13. А.Е. Умнов. Проблемы математического моделирования в условиях неполной информации. Автореферат докторской диссертации, ИПУ РАН, 1994.

14. Дж. Голуб, Ч. Ван Лоун. Матричные вычисления. М.: Мир, 1999.

15. С.К. Годунов. Численные методы решения линейных систем, Новосибирск, Наука, 1980.

16. В.И. Шевцов. Численные методы линейной алгебры, Пермь, 1994.

17. М. Кошька. Качественные и количественные методы в задачах оптимального управления с фазовыми и смешанными ограничениями. Автореферат докторской диссертации, ИПУ РАН, 2001.

18. А.Ф. Бочкарев, В.В. Андревский, В.Н. Белоконов, В.И. Климов, В.Н. Туранин. Аэромеханика самолетов, М.гМашиностроение, 1985.

19. Л.Н. Шкадов, P.C. Буханова, В.Ф. Илларионов, В.П. Плохих. Механика оптимального пространственного движения летательных аппаратов в атмосфере, М.: Машиностроение, 1972.

20. Г. Харман. Факторный анализ, М. : Статистика, 1972.Публикации по теме диссертации и личный вклад

21. Dikusar V.V., Koska M., Figш:a А., Application of Control in Ordinary Differential Equations Solvers, In Dynamics of non-homogeneous Systems, Proceedings of ISA RAN,Vol. 4, М: Editorial URSS, 2001, pp.8-18.

22. Figura A., Optimal Control of Concurency Dept, In Dynamics of non-homogeneous Systems, Proceedings of ISA RAN, Vol. 5, M: Editorial URSS, 2001,рр.9б-10б.

23. Дикусар B.B., Фигура М., Задачи оптимального управления со смешанными ограничениями в процессах полимеризации. Журнал Исследования Операций М: ВЦ РАН, 2000,стр.21-38.

24. Дикусар В.В., Кошька М., Фигура А., Метод продолжения по параметру при решении краевых задач в оптимальном управлении. Журнал Дифференциальные Уравнения, Минск, 2001, 2, б стр.

25. Дикусар В.В., Кохпька М., Фигура А., Методы оценки решений в некорректных задачах линейного и квадратического программировании, Сообщения по прикладной математике. Научные издание, М.:ВЦРАН, 2001, 30 стр.

26. Dikusar V.V., Koska М., Figura А., Methods for Regularization of a Degenerated Optimal Control Problem with Control- State Constraints. In Dynamics of Non-Homogeneous Systems, Proceedings of ISA RAN, Vol. 6, M: Editorial URSS, 2001,9 pages.

27. Dikusar V.V., Koska M., Figura A., Existence and Uniqueness of the Optimed Control with Genercd Constreiints. In Dynamics of Non-Homogeneous Systems, Proceedings of ISA RAN, Vol. 6, M: Editorial URSS, 2001, 8 pages.

28. Гживачевский M ., Дикусар B.B., Кошька М., Фигура А., Задачи оптимального управления при наличии ограничений общего вида, М.:МФТИ, 2001,150 стр.

29. Дикусар В.В., Кошька М., Фигура А., Методы продолжения решений по параметру М.: МФТИ, 2001, 150 стр.

30. Дику cap В.В., Кошька М., Фигура А., Количественные и качественные методы в задачах оптимального управления с фазовыми и смешаными ограничениями, М.: МФТИ, 2001, 150 стр.

31. Гживачевский М., Дикусар В.В., Кошька М., Фигура А., Методы интегрирования жёстких систем обыкновенных дифференциальных уравнений, М.: МФТИ, 2001, 150 стр.

32. Дикусар В.В., Кошька М., Фигура А., Метод введения параметров для жёстких систем в рамках теории явных разностных схем, в Кн. Нелинейная динамика и управление, М.: Физматлиз, 2001, 10стр.

33. Задача Блисса-Больца (Майера, Лагранжа).

34. Каноническая задача Дубовицкого-Милютина

35. Г{х,у,у) — полунепрерывная сверху функция г, у, т.е.Ит f{x,y,y)<f{zo,yo,y). (1-3-5)

36. Предположения, при выполнении которых проводится вариационное исследование Задачи А

37. Функции /(х,щЬ), }С{р), д{х,и,Ь) и их частные производные по ж, А1, Ь непрерывны по всем своим аргументам в некоторой окрестности поверхности К. = О, д = о.

38. Ранг уАх = (Ищу = г < кг, ранг К'л = dim/C = т для всех точек поверхности х: = О, у = 0.

39. Функции 7, 9?, Ф — локально-выпуклые по ж, р, Ь; размерность вектор-функции (р = {(р{} — любая.

40. Е — замкнутое множество в смысле топологии пространства t.

41. Е Ç Е; в Е не входят точки Е, для каждой из которых можно указать окрестность Vt такую, чтоmes (Vt ПЕ) = 0.

42. Ж = AQX + Вом + Со, ж(*о) Roy - Го = 0;