автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Методы оценки достоверности вычислительных экспериментов при математическом моделировании течений весомой жидкости

РГБ ОД

На правах рукописи

о 6 янв 124

ШЕРЫХАЛИН Олег Игоревич

МЕТОДЫ ОЦЕНКИ ДОСТОВЕРНОСТИ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ ЭКСПЕРИМЕНТОВ ПРИ МАТЕМАТИЧЕСКОМ МОДЕЛИРОВАНИИ ТЕЧЕНИЙ ВЕСОМОЙ ЖИДКОСТИ

05.13.16 - Применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

УФА -1997

Работа выполнена на кафедре проектирования средств информатики Уфимского государственного авиационного технического университета.

Научный руководитель: доктор технических наук профессор Зверев Г.Н.

Научный консультант: доктор физико-математических наук, профессор

Житников В.П.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор

Рамазанов М.Д.,

доктор физико-математических наук, профессор Маклаков Д.В.

Ведущая организация: Кемеровский государственный университет,

г. Кемерово

Защита состоится «_»__1998 г. в _час. на заседании

диссертационного совета Д-064.13.02 при Башкирском государственном университете по адресу: 450074, г. Уфа. ул.Фрунзе, 32, математический факультет.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Башкирского государственного университета.

Автореферат разослан «_»__1997 г.

Отзывы на автореферат, заверенные гербовой печатью, просим выслать по указанному адресу на имя ученого секретаря диссертационного совета Д-064.13.02 Морозкина Н.Д.

Ученый секретарь г

диссертационного совета Д-064.13.02 Морозкин Н.Д.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы

Одна из ключевых проблем современной науки - повышение эффективности методов математического моделирования, разработка средств оптимального сочетания аналитических решений и вычислительного эксперимента. Одной из важных задач в этом направлении является разработка средств контроля и доказательства достоверности получаемых результатов, учет всех известных источников неадекватности, начиная с этапа формализации и постановки задачи и кончая анализом полученных, результатов.

Практика показывает, что даже в случае существования строгих доказательств существования и единственности решения, сходимости приближенного результата к точному, существует много источников появления неконтролируемой погрешности — например, ошибки при постановке или дискретизации задачи, ошибки программирования, вычислительные ошибки и т.п.

Существуют статистические методы оценки систематической и случайной погрешности по множеству случайных результатов. Имея достаточно большую совокупность значений искомого параметра, искаженную как случайной, так и систематической погрешностью и эталон — либо точное решение, либо такое, погрешность которого заведомо известна и достаточно мала, можно определить систематическую погрешность как математическое ожидание разности между приближенным и эталонным результатом. Однако реально, при численных расчетах использование этой методики весьма затруднительно по двум причинам: число разных методов получения результата слишком мало для получения достаточно точных статистических оценок и, кроме того, отсутствует эталон, с которым сравниваются численные результаты.

На практике часто проводится вычисление одного и того же параметра несколькими способами и по разнице результатов судят о точности. Опыт показывает, что несмотря на нестрогость такого подхода, во многих задачах он обладает достаточно высокой надежностью (подтверждаемой дальнейшим исследованием), а иногда является практически единственным способом проверки результата. Недостатком такого подхода является то, что до настоящего времени он недостаточно формализован, в частности, неясно, как по нескольким результатам вывести общие оценки искомого параметра, его погрешности и достоверности.

В диссертации в качестве примера рассмотрены задачи течения идеальной весомой жидкости со свободными поверхностями, решения которых получены в основном численным методом и поэтому требуют дополнительного обоснования. Разработка способов оценки достоверности решений таких задач является весьма актуальной.

Целью исследований является:

а) разработка методики оценки точности и достоверности численных результатов на примере гидродинамических задач;

б) решение задач о течении идеальной весомой жидкости (об обтекании вихря, диполя и др. препятствий) с оценкой точности и достоверности полученных результатов.

На защиту выносятся:

1. Метод уточнения результатов вычислительных экспериментов с независимыми источниками погрешности и оценки совокупной точности решения.

2. Статистические методы оценки достоверности результатов, полученных разными численными методами, алгоритмами и их программными реализациями при различной точности решений.

3. Модифицированные численно-аналитические методы решения задач о течении идеальной жидкости с особенностями на свободных границах и внутри потока.

4. Решения задач об обтекании вихря и диполя, препятствий в виде полукругового и полуэллипсоидального цилиндра, включающие предельные конфигурации, численные исследования различных типов решений и определение диапазонов их существования.

Научная новизна

На основе разработанных в диссертации математических моделей источников погрешностей вычислительных экспериментов впервые получены оценки достоверности численных результатов решения задач о течении идеальной жидкости и найдена их связь с количеством и точностью применяемых численных методов.

Новыми в работе являются полученные численные решения с особенностями на свободной поверхности:

- решения с двумя гребнями типа волны Стокса (с углом излома свободной поверхности 120°);

- другие решения с критической точкой на свободной поверхности с внутренними углами 180° и 360°;

- особые докритические (Fr< I) решения солитонного вида;

- сверхкритические (Fr>l) решения с непериодическими волнами и др.

Практическая ценность

Разработанные математические модели и методы оценки точности и достоверности численных результатов позволяют проверить эффективность применяемых способов повышения достоверности численных результатов и могут быть использованы при решении широкого класса задач математической физики.

Работа проводилась по госбюджетной тематике согласно тематическому плану Уфимского государственного авиационного технического университета

(№ гос. регистрации темы 01940008023). Результаты работы использованы в учебном процессе УГАТУ в рамках курсов «Численные методы» и «Уравнения математической физики».

Апробация работы

Основные результаты докладывались на международной конференции «Комплексный анализ, дифференциальные уравнения и смежные вопросы» (Уфа, 1996), на международной конференции «Математические модели и численные методы механики сплошных сред» (Новосибирск, 1996), на VI всероссийской научной школе «Гидродинамика больших скоростей» (Чебоксары, 1996), на всероссийском семинаре «Актуальные проблемы математического моделирования и автоматизированного проектирования в машиностроении» (Чебоксары, 1996), на всероссийской конференции «Теория и технология ЭХО» (Уфа 1996), на международной конференции «Механика машиностроения» (Набережные Челны, 1997), на всероссийской конференции «Студент и научно-технический прогресс» (Новосибирск, 1997), на всероссийской научной конференции «Физика конденсированного состояния» (Стерлитамак, 1997), на международной конференции «Модели механики сплошной среды, вычислительные технологии и автоматизированное проектирование в авиа- и машиностроении» (Казань, 1997), на всероссийской молодежной научно-технической конференции «Информационные и кибернетические системы управления и их элементы» (Уфа, 1997), на семинарах кафедр ПСИ, ВМиК, математики УГАТУ (1995-1997).

Публикации

По теме диссертации опубликовано 14 работ.

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы из 86 названий. Общий объем работы 153 страницы, 21 рисунок.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении приведен краткий обзор литературы по теме диссертации, обоснованы цель и актуальность работы, дано обоснование методических принципов оценки погрешности и достоверности при численном решении задач, изложено содержание работы и сформулированы основные результаты, выносящиеся на защиту.

Рассматривается ситуация, когда имеется ряд численных методов решения одной и той же задачи. На первом этапе производится оценка вычислительной погрешности каждого метода путем увеличения точности (например, уменьшением шага дискретизации, сравнения полученных значений и получения оценки по правилу Рунге). Поскольку данные способы опенки не гарантируют абсо-

лютной достоверности полученных выводов, то анализируются причины возникновения погрешности:

- ошибки при постановке или дискретизации задачи;

- ошибки программирования;

- ошибки округления и усечения чисел в машинном представлении.

Оценку погрешности, полученную путем анализа численных результатов и их изменения при увеличении узловых точек, назовем наблюдаемой погрешностью численного метода. Дополнительную погрешность, которая может быть вызвана различными причинами и не может быть обнаружена обычным путем повышения точности, назовем ненаблюдаемой.

Следующий этап заключается в получении на основе результатов у, приближенных вычислений некоторой величины х несколькими методами и оценок погрешности этих методов о] общей оценки х искомого параметра и ее погрешности ай.

На третьем этапе проводится сравнение результатов с х и проверка согласования оценок: вхождения х в интервалы У)±ог В случае обнаружения рассогласования для результата какого-то метода - ^ > иу фиксируется факт

наличия дополнительной погрешности. В этом случае необходимо проверить данный метод и реализующую его программу, найти и устранить ошибку.

Таким образом, в результате правильно и до конца проведенного численного эксперимента имеется п значений у], находящихся в заданных пределах - < а j, то есть погрешность, превышающая численную, не обнаружена.

На последнем этапе закономерно поставить вопрос об оценке вероятности того, что несмотря на совпадение результатов с необходимой точностью, каждый из этих результатов содержит ненаблюдаемую погрешность, превышающую полученную оценку. То есть речь идет о возможности существования ненаблюдаемых погрешностей каждого метода, которые совпадают с точностью до ст.

Если эта задача будет решена, то окончательный результат будет выглядеть как утверждение: [х - ;с| 2 а с вероятностью (мерой достоверности) равной 1-Ь (Ь - вероятность риска).

В первой главе на основе математического аппарата, изложенного в работе Зверева Г.Н. «К линейной теории ошибок обратных задач // Геофизические исследования в нефтяных скважинах - М.: ИГ и РГИ, 1973» выводится общая оценка (эталон) искомого параметра и оценка его среднеквадратичной погрешности. Эту задачу можно записать в виде системы уравнений

У1=Х + У,

>« +V,

Здесь х - искомый параметр, у, - значение параметра, вычисленное с помощью /-того метода, V, - вычислительные погрешности. Оценку х искомого параметра, обеспечивающую минимум математического ожидания квадрата

ошибки М\х - х|2, можно найти по формуле

_ „ „-2 , _-2 '

2>7W

где а)' - дисперсии случайных величин vj, сг/ - ожидаемая дисперсия параметра -t.

Кроме того, с этой точки зрения найдены оценка систематической погрешности числелного метода, которая получается путем сравнения численного решения с заведомо более точным (полученным, например, аналитическим путем) при некотором значении исходного параметра.

В разделе 1.3 выводится оценка вероятности того, что несмотря на совпадение результатов нескольких экспериментов с необходимой точностью, каждый из этих результатов содержит дополнительную составляющую погрешности, превышающую полученную оценку.

В отличие от вычислительной погрешности, которую можно считать случайной величиной, распределенной, например, по нормальному закону, ненаблюдаемая погрешность имеет свои особенности. Результат вычисления величины х с помощью конкретного метода (точнее, его программной реализации) может быть искажен различными причинами (источниками). Рассматривая каждый источник по отдельности можно предположить двойственную ситуацию: либо этот источник «включен» и есть погрешность г?Ю, либо 2=0. Рассматривая множество таких источников и предполагая различную степень их влияния на конечный результат, можно рассмотреть функцию распределения/^ с дисперсией а/. Тем самым найдем общую функцию плотности вероятности ненаблюдаемой погрешности

${z) = aô{z)+(l-a)f(z), (2)

где а - вероятность отсутствия ошибок, по предположению превышающая 0.5.

В дальнейшем нас будет интересовать вероятность попадания погрешности в конечный интервал у±а при 0<о«ах (где а— погрешность самого грубого из имеющихся численных методов):

P(y,*)=P{y-a<z<y+a}« [ L (4)

Оценка (4) считается справедливой для каждого из m методов. При этом существенным допущением является независимость друг от друга погрешностей разных методов. Общая вероятность совпадения результатов с точностью а представляется суммой вероятностей наличия ошибки < сг|,

P.juû -^{И > сг| и ее отсутствия Р0-Р{х = 0}\

Ро = сГ, Рош1 = (1-а) ¡[Ну,е)Г'/т* 2о{1 -а)а^'/(0), (5)

1 т-1

ЛУ'*)

-а

Рои* =(1-а) ]\рМГ'/Шу * \2оГ'(1 - а)т ?[/(,)]> (6)

-со —со

у«(-а,а)

Условные вероятности совпадения ненаблюдаемых ошибок, превышающих и не превышающих а, определяются отношениями

г 1 т 00 -II I-а

Д/М]"'^ (7)

' сот

РошЛсоеп^^-ъЗя^т (8)

г а

1 совп "

Условная среднеквадратичная систематическая погрешность равна

^Ысовп = Ь2 РП,'1{У)^У'

Р

1 совп _00

—00

Для нормального и равномерного законов распределения

Рош21сочпк^1 ( -1 ' РошИсоеп ----(Ю)

а ч ах) а ах

„2 к2 ° „2 /

аАх1совп~~;--а

3 аг а

I а

к,—

т-1

2

(П)

где к[, к2, к; - коэффициенты.

Из (10) следует, что вероятность существования систематической погрешности определяется отношением а/ах. Это нетрудно объяснить, если учесть, что ах характеризует ширину диапазона разброса возможных значений систематической погрешности, а величина сг- ширину интервала, в который должны попасть погрешности второго, третьего и т.д. методов для того, чтобы имело место их совпадение.

Допустим теперь, что один из методов обладает существенно более высокой точностью по сравнению с остальными. Вопрос заключается в том, влияет ли наличие независимых, пусть и более грубых результатов на достоверность этой оценки. При отсутствии сравнения с другими результатами (т=1), вероятность наличия ненаблюдаемой погрешности равна ¡-а., а при сравнении

1-а <т

Р = Р + Р ~ к -

'ош!соеп ощНсовп ош2/совп 4

а аг

Таким образом, наличие дополнительных результатов, пусть и более грубых позволяет увеличить степень достоверности точного значения.

В главах 2 и 3 решаются задачи о течении идеальной весомой жидкости с образованием уединенных волн на свободной поверхности. Рассмотрены разные режимы обтекания вихря и источника, переходящие в предельные с критическими точками на свободной поверхности (например, типа волны Стокса с изломом поверхности, образующим угол 120°, или другие углы). Одним из наиболее важных параметров, характеризующих течение, является число Фруда (12). Этим числом определяется вид решения, форма свободной поверхности и поле скоростей. В соответствии с рекомендациями, приведенными в главе 1, решения каждой задачи получены тремя независимыми методами с высокой точностью (1(Гб~10~8), что дает основание считать полученные результаты достоверными с большой вероятностью (около 0.999).

Во второй главе дается постановка задачи обтекания вихря под свободной поверхностью, приводится обоснование метода выделения особенностей, проводится исследование влияния учета особенностей различного порядка на скорость сходимости алгоритма.

Жидкость идеальная — несжимаемая, невязкая, весомая. Течение считается соленоидапьным и безвихревым, поэтому можно ввести некоторую функцию (р(х,у), называемую потенциалом течения, градиентом которой является вектор скорости жидкости, а сама функция <р(х,у) удовлетворяет уравнению Лапласа

В данной работе задачи решаются с помощью методов теории функций комплексного переменного. Рассматривается функция лч(1)---<р\-1цг(цг- функция тока, г=х+/у), называемая комплексным потенциалом, которая аналитична в области течения, то есть она удовлетворяет условиям Коши-Римана. Величина, комплексно сопряженная скорости V = ¿¡м/^:.

Рассмотрим задачу об обтекании вихря с интенсивностью Г, расположенного в точке А, пристенным потоком идеальной весомой жидкости (рис. 1а). Жидкость течет вдоль прямолинейной стенки АО, скорость на бесконечности Уо, асимптотическая толщина струи - А. Давление внутри потока определяется из уравнения Бернулли ^ рУ2 + р^ + Р = сопя!, где р-плотность жидкости,

g - ускорение свободного падения, Р, К- давление и скорость жидкости, у - ордината точки. В точке Р скорость равна нулю (при Г>0 эта точка расположена выше А). Таким течением может моделироваться движение подводного крыла, если его размеры малы по сравнению с расстоянием до дна АВ и до свободной поверхности АС. На свободной поверхности давление считается постоянной величиной, равной атмосферному. Тем самым, уравнение Бернулли является граничным условием на СО, связывающим значение модуля вектора скорости V с высотой точки у

У0) Рг2 к Рг2'

На других участках границы имеют место следующие краевые условия: в -0 на АВ, ВО, РС, 0=к на АР, где в- угол наклона вектора скорости к оси х, А - точка расположения вихря, Р- критическая точка.

Решение задачи удобно найти в параметрическом виде через две аналитические функции комплексного переменного г(ф, м/(<Ц), где г=х+1у, параметрическая переменная, областью изменения которой является, например, верхний полукруг (рис.1в), № - комплексный потенциал (рис.16). Зависимость м>($ устанавливается путем конформного отображения

Таким образом, остается найти Данная задача решается двумя методами: с помощью прямого конформного отображения, и через функцию Жуковского

© = 0 + /г = /1пГ—■—1 (14)

\У0 ¿г)

Основная идея методов, разработанных в главе, заключается в последовательном уточнении математической модели. При этом искомая функция для обоих методов представляется в виде суммы нескольких слагаемых

4г) - (16)

Первое — грубо описывает течение и удовлетворяет граничным условиям на прямолинейных границах

2 1 + С . (<Г2+ЛЛ-2+1)

Второе слагаемое представляется в виде степенного ряда с действительными коэффициентами

= (1В)

т=0 ^ т=1

За счет выбора коэффициентов ряда искомая функция или может удовлетворять краевому условию (12), а в силу четности и нечетности эти слагаемые не влияют на выполнение краевых условий на прямолинейных границах.

Третье слагаемое учитывает особенности решения в бесконечно удаленных точках

(17)

2 Л"

V У

+ 1В2

¡-С

2\

2а

+ Ш3

+т4

Г

(20)

Коэффициенты а, В2, Вз и В4 определяются путем подстановки функции в уравнение Бернулли и предельного перехода к точке С.

Я * 71 1 о п23 тал а _

= —у, В2 = В, -сг/> —, В4~аВ„ 2 2 рг 2 2

и В](41 9 2ал 27,ая

В3 = — + -с/£---¡Я —

* 8 [з 2 2 2 2

(21)

Трансцендентное уравнение (21) имеет счетное множество решений, для данной задачи рассматривается только первое (0<а<1).

Четвертое слагаемое учитывает особенность в точке излома свободной поверхности волны

.2/ . .2/ 1 + 1£уз (1-гСуЗ

1 1 + С

1+?

-1

(22)

(23)

1

Подставляя а(С) в уравнение Бернулли, имеем {Р+1)= ■

2 V3

При решении задачи через функцию Жуковского третье и четвертое слагаемые содержат особенности более высокого порядка, учет которых позволяет существенно ускорить сходимость ряда.

Таким образом, задача сводится к определению неизвестных коэффициентов степенного ряда и коэффициентов при дополнительных слагаемых.

Численно задача решаегся методом коллокаций. В бесконечной сумме сохраняется конечное число слагаемых, а уравнение Бернулли выполняется в дискретных точках окружности £=е"Тт ат=л/2т, т=1,...,И. Тем самым получается система нелинейных уравнений, которая решается численно методом Ньютона с регулированием шага. Таким же способом задача решается в случае применения функции Жуковского.

Оценка погрешности производится путем сравнения значений параметров (например, числа Фруда /<>), полученных при последовательном возрастании И, а также по максимальной невязке уравнения Бернулли, рассчитанной в промежуточных точках между узлами коллокаций.

На рис. 1г приведены рассчитанные зависимости числа 1/Рг от ус при различных значениях интенсивности вихря Численные исследования показывают, что вид зависимостей при ус< 1 и ус>1 различаются качественно. В области ус<1 находятся решения с впадиной (вместо волнового горба), которые имеют место только при у>0 (рисЛг, уА=0.5), На рис. 1е показаны формы свободной поверхности таких течений. При 0.2294<у<0.3890 кривая у=сот1 состоит из двух частей, одна из которых начинается при Рг=со и заканчивается при Рг~ У, другая - начинается при Fr=^ (второе решение), а заканчивается на кривой «П», соответствующей предельному режиму выхода критической точки Р на свободную поверхность. При у<0.2294 вторая часть кривой исчезает, а первая продолжается до у=0, При у>0.4245 эти решения начинаются и заканчиваются при Рг- со. При 0.3890<у<0.4245 кривая имеет одно предельное значение Рг=оо, а другой ее конец соответствует предельному режиму «П», указанному выше.

Следует отметить, что решения рассмотренного вида при у->0 вырождаются в тривиальное (равномерный поток) при всех значениях числа Фруда 1<Рг<<х>.

Кривые у^соткО (ус>1) начинаются с предельной кривой Иг-со и заканчиваются на предельной кривой, соответствующей волне с особенностью Сто-кса (на рис.1 г эта кривая обозначена буквой «С»). Соответствующие формы свободной поверхности показаны на рис. 1д.

Решение у>0 с горбами, как указано выше, начинается с предельного режима типа волны Стокса «С», а заканчивается волной Стокса с двумя горбами (рис.1 ж). Предельная кривая, соответствующая этим режимам обозначена «С2». На рис.2а даны формы поверхности для таких решений. Кривая «С2» начинается при у=0, а заканчивается, соединяясь с концом кривой «С», образуя новый нестоксовский предельный режим «НС» с критической точкой на вершине горба и отсутствием излома свободной поверхности (рисЛг), При приближении к этому пределу на свободной поверхности образуются волны, количество которых растет, а амплитуда падает. Значение у, при котором он реализуется, является максимально возможным значением у ПРИ данном у а- При уменьшении у дополнительные волны исчезают, а при у—Я) гребень волны Стокса удаляется на бесконечность.

Исследование течений при у>0 с одной особенностью типа Стокса, расположенной в точке С, показывает, что при увеличении у на поверхности возникают волны и в пределе решение имеет гот же предел, который возникает в течениях с двумя гребнями (рис.2б).

При у'О решение типа Стокса начинается с конфигурации, соответствующей /'>=оо, а заканчивается выходом вихря вместе с замкнутой частью потока за свободную поверхность (рис.2в).

Зависимости 1/Рг от у л для волн Стокса приведены на рис.2г (для у>0) и рис 2д (для у<0).

В третьей главе рассмотрены задачи обтекания потоком весомой жидкости диполя и препятствий конечного размера, расположенных на дне (рис.За). Дана постановка задач и предложен способ их решения методом выделения особенностей. Функции а>0 и <hv/d£ для задачи с диполем, расположенным на дне имеют вид:

На рис.Зг приведены зависимости числа 1/Гг от ус при различных значениях интенсивности диполя п. Отметим, что вид кривых весьма похож на результаты решения задачи об обтекании вихря (рис.1 г). Наряду с обычными решениями задач, для которых Гг> 1 для всех перечисленных задач существуют особые решения с Уг<1, получающиеся при А^О (19) и В^О (20). Формы свободной поверхности для особых решений (приЛ/=0) приведены на рис.3 д. Найдено три решения - с одним, двумя и тремя горбами. Зависимости числа Рг от ус даны на рис.Зе.

Задачи обтекания тел с криволинейной границей (круглой, эллипсоидальной и других форм) потоком весомой жидкостью со свободной поверхностью являются, более сложными для решения, поскольку условие обтекания криволинейной поверхности нелинейно и может быть удовлетворено только приближенно, например, методом коллокаций, как и уравнение Бернулли, за счет введения второго ряда с неизвестными коэффициентами. Использованная в работе идея модификации метода решения, позволяющая избежать существенных затруднений, заключается в следующем. Образ области течения, определяемый конформным отображением является криволинейным кольцом, в котором внешняя граница - дуга окружности, а внутренняя - некоторая криволинейная дуга (рис.Зв). Путем численного исследования было установлено, что эта криволинейная дуга очень мало отличается от дуги окружности. Возникает возможность не меняя конформного отображения поставить условие о форме границы обтекаемого тела на этой криволинейной границе. Это позволяет обойтись минимальными изменениями в алгоритмах решения задач.

На рис.Зе,ж приведены зависимости числа 1/Рг от ус для задач обтекания препятствий в виде полуэллипсоидального цилиндра (а, Ь - полуоси эллипса).

С +')

dw 2hVn Г 2 п,(

(24)

(25)

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 Ус

иЫ

0 4 0 8 Ус

0.4 г

Ь= 15 ¡/Fr

а=0 — У — —'— .С -06-

0.5/ [У/ ы 5 а -00 K¡- -0.4 0.2-

1 № ÍTf 1

IP'

1.0 ^ 1.5 2.0 2.5 Ус 0.3 0.9 ¿ 1.5 2.1 h'

Рис.3

з)

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Разработана методика оценки точности и достоверности численных результатов при условии совпадения с заданной точностью данных расчетов несколькими методами. На основе асимптотических оценок показано, что при увеличении числа методов и и их точности а вероятность существования ненаблюдаемой погрешности уменьшается по степенному закону стт '. Среднеквадратичная погрешность при т>3 убывает пропорционально сг.

2. Разработано обобщение метода выделения особенностей решения для задач о течении идеальной жидкости с особенностями на свободных границах и внутри потока, а также задач обтекания препятствий на дне.

3. Поведена экспериментальная проверка скорости сходимости разработанных модификаций методов на различных задачах. Численный эксперимент показал, что в качестве приближенной оценки погрешности можно использовать максимальную невязку краевого условия, рассчитанную в промежуточных точках между узлами коллокаций. Наличие двух способов оценки погрешности (включая правило Рунге) и возможности изменять в широком диапазоне число точек коллокаций (5-1280) существенно повышает надежность полученных оценок.

4. С помощью разработанных численно-аналитических методов проведено исследование множества решений задач об обтекании вихря, диполя, препятствий в виде полукругового и полуэллипсоидального цилиндра ограниченным потоком весомой жидкости.

5. Исследованы предельные конфигурации течений типа волны Стокса с одним и двумя гребнями, выхода критической точки на поверхность (с гладкой свободной поверхностью и с углом излома 360°), выхода на поверхность изолированной вихревой зоны и др.

6. Для задач об обтекании вихря и диполя найдены особые решения солитонно-го вида при Рг<1. Показано, что в отличие от известных ранее решений задач об источниках, особые решения невозможно получить непрерывным переходом от обычных.

7. Применение нескольких методов для решения задач позволяет на основе предложенных оценок достоверности считать вероятность получения ошибочных результатов пренебрежимо малой (не более 10"3).

ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ ОПУБЛИКОВАНЫ СЛЕДУЮЩИЕ РАБОТЫ

1 .Шерыхалин О.И. Оценка эффективности методов повышения достоверности

результатов численного эксперимента. Уфа:УГАТУ. 1997—14 с. Деп. в

ВИНИТИ 20.02.97, №528-В97.

2.Шерыхалин О.И. Оценка повышения степени достоверности численного результата при решении задач несколькими способами // Студент и научно-тех-

щгческий прогресс. Секц. Математика.: Тез. докл. всеросс. науч. конф. Новосибирск. 1997. С. 131-132.

3.Шерыхалин О.И. Задача о вихре под свободной поверхностью тяжелой жидкости // Механика машиностроения: Тез, докл. межд. науч. конф. Наб. Челны. 1997. С. 23.

4. Шерыхалин О.И. Статистический анализ результатов численного решения задачи о солитоне Стокса. Уфа: УГАТУ. 1997.-10 с. Деп. в ВИНИТИ 07.10.97, №2987-В97.

5. Шерыхалин О.И. Методы оценки ненаблюдаемой погрешности численных результатов// Информационные и кибернетические системы управления и их элементы: Тез. докл. всеросс. науч.-техн. конф. Уфа. 1997. С. 230.

6 .Житников В.П., ШерыхалинаН.М., Шерыхалин О.И. Программа расчета параметров гравитационных волн с помощью метода Леви-Чивиты / Свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ № 950008. (РФ). -17.01.95.

7.Житников В.П., Зверев Г.Н. Шерыхалин О.И. Обоснование достоверности результатов решения задач математической физики численно-аналитическими методами // Комплексный анализ, дифф. уравнения, численные методы и приложения VI. Численные методы: Труды межд. конф. Уфа 1996. С. 50-57.

8.Житников В.П., Шерыхалин О.И. О решениях солитонного вида в докритиче-ских течениях весомой жидкости при наличии источника и вихря // Гидродинамика больших скоростей : Труды VI Всероссийской научной школы. Чебоксары : Чуваш, ун-т. 1996. С. 63-67.

9.3верев Г.Н., Житников В.П., Шерыхалин О.И. Формальные модели семантического управления вычислительным экспериментом // Математические модели и численные методы механики сплошных сред : Тезисы докл. межд. конф. Новосибирск. 1996. С. 281-282.

Ю.Житников В.П., Ураков А.Р., Шерыхалин О.И. Автомодельная ЭХО. Обоснование решения // Теория и технология ЭХО : Тезисы докл. всеросс. конф. Уфа. 1996. С.30.

11.Житников В.П., Ураков А.Р., Шерыхалин О.И. Обоснование методов решения задач автомодельной электрохимической обработки // Оптимизация технологических процессов по критериям прочности. Уфа : изд. УГАТУ. 1996. С. 6266.

12.Шерыхалин О.И., Ураков А.Р. Решение задачи о затопленном источнике методом выделения особенностей // Принятие решений в условиях неопределенности. Уфа.: УГАТУ. 1996. С. 57-62.

13.Житников В.П., Шерыхалин О.И. Методы повышения степени достоверности численных результатов и оценка их эффективности // Механика машиностроения.: Тез. докл. всеросс. науч. конф. Наб. Челны. 1997. С. 22-23.

14.Житников В.П., Зверев ГЛ., Шерыхалин О.И. Оценка достоверности численных результатов при решении задач математической физики // Физика конденсированного состояния: Труды Всеросс. науч. конф. Том 1. Стерлитамак: изд. СГПИ. 1997. С. 58-62.