автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Метод естественных соседей для решения задач идеальной несжимаемой жидкости со свободными границами

На правах рукописи

КАРАБЦЕВ СЕРГЕЙ НИКОЛАЕВИЧ

МЕТОД ЕСТЕСТВЕННЫХ СОСЕДЕЙ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ИДЕАЛЬНОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ СО СВОБОДНЫМИ ГРАНИЦАМИ

05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

ООЗ168882

Кемерово - 2008

003168882

Работа выполнена в ГОУ ВПО «Кемеровский государственный университет» на кафедре ЮНЕСКО по НИТ

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук,

доцент Стуколов Сергей Владимирович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Хакимзянов Гаяз Салимович

доктор физико-математических наук, профессор Стурова Изольда Викторовна

Ведущая организация: Томский государственный университет

Защита состоится 10 июня 2008 г. в 9-00 на заседании диссертационного совета ДМ 003 046 01 при Институте вычислительных технологий СО РАН по адресу 630090, г Новосибирск, пр Ак Лаврентьева, 6

С диссертацией можно ознакомиться в специализированном читальном зале вычислительной математики и информатики ГПНТБ СО РАН

Автореферат разослан 8 мая 2008 г

И о ученого секретаря

диссертационного совета

доктор технических наук, профессор

АД Рычков

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность темы

Моделирование волновых процессов, связанных с сильными нелинейными эффектами, такими как нестационарное движение и обрушение волн, взаимодействие волн с преградами, выход волн на мелководье, невозможно без использования современных численных методов, допускающих нарушение связности расчетной области Физические эксперименты для изучения подобных явлений оказываются сложными и дорогостоящими, а быстрота протекания реальных процессов делает численные методы практически единственным источником информации о течении В задачах, имеющих практический интерес, размеры длин волн обычно бывают большими, поэтому при исследовании распространения волн и взаимодействия волн с твердыми преградами можно пренебрегать влиянием вязкости и рассматривать задачи в постановке, основанной на модели идеальной несжимаемой жидкости

Для решения задач гидродинамики большое распространение получили классические лагранжевы методы, в которых используется сетка с неизменной топологией метод конечных элементов (МКЭ), метод конечных разностей (МКР), метод контрольных объемов (МКО) К этой группе методов также можно отнести метод граничных элементов (МГЭ) и комплексный метод граничных элементов (КМГЭ) Существенным недостатком указанных методов является невозможность проведения численного моделирования задач с большими деформациями, так как при этом сетка, на которой строится решение, теряет узловую связность и становится вырожденной

С ростом производительности компьютеров возродился интерес к лагранжевому описанию среды на основе свободно-лагранжевых методов В таких методах отношение соседства частиц не фиксировано и может со временем изменяться Данные методы известны как бессеточные методы, характерными представителями которых являются метод сглаженных частиц (SPH), полунеявный метод движущихся частиц (MPS), метод лагранжево-эйлеровых частиц Указанные методы позволяют достаточно точно воспроизводить кинематику течений, однако получение динамических характеристик, необходимых для расчета гидродинамических нагрузок, является весьма затруднительной задачей

Актуальность определения динамических нагрузок при взаимодействии поверхностных волн с береговыми и донными сооружениями обусловлена вероятностью появления катастрофических последствий, возникающих в том случае, когда гидродинамические нагрузки превышают допустимые пределы Разработка численных методов для моделирования течений идеальной несжимаемой жидкости, позволяющих с высокой точностью определять не только кинематические, но и динамические характеристики течений с большими деформациями расчетной области, является важной и актуальной задачей современной гидродинамики

Цель работы - создание эффективного численного метода на основе метода естественных соседей и его реализация в виде программного комплекса, позволяющего проводить численное моделирование нестационарных течений идеальной несжимаемой жидкости с большими деформациями расчетной области

Задачи исследования 1 Реализация метода естественных соседей для моделирования движения идеальной несжимаемой жидкости со свободными границами на основе решения системы уравнений Эйлера

2 Реализация алгоритма «заметающей плоскости» разбиения расчетной области ячейками Вороного

3 Разработка алгоритмов поиска естественных соседей и определения свободной границы многосвязной расчетной области на основе разбиения Вороного

4 Модификация численного алгоритма на основе метода естественных соседей для решения нестационарных задач идеальной несжимаемой жидкости с большими деформациями расчетной области

5 Сравнение численных результатов, полученных методом естественных соседей, с аналитическими решениями, экспериментальными данными и расчетами других авторов

6 Проведение численных экспериментов по расчету задач о взаимодействии уединенных волн с различными препятствиями и определение значений гидродинамических нагрузок на твердые стенки области

7 Разработка параллельного алгоритма метода естественных соседей для многопроцессорных вычислительных систем

Научная новизна работы Предложен численный метод на основе метода естественных соседей для решения нестационарных задач динамики идеальной несжимаемой жидкости со свободными границами, сопровождающихся большими деформациями расчетной области Данный метод позволяет проводить численное моделирование на всех этапах вычислительного эксперимента, включая этапы сильно нелинейного поведения течения с эффектами ненулевой завихренности жидкости и образованием многосвязности расчетной области Характерной чертой разработанного метода является способность вычислять давление, которое используется для расчета гидродинамических нагрузок

На защиту выносятся:

1 Модифицированный метод естественных соседей для решения задач гидродинамики со свободными границами в полной нелинейной постановке, основывающейся на системе уравнений Эйлера, который позволяет проводить численное моделирование нестационарных течений идеальной несжимаемой жидкости с большими деформациями расчетной области

2 Алгоритм поиска естественных соседей, построения структуры узловой связности и определения границ расчетной области на основе разбиения области ячейками Вороного

3 Результаты численного моделирования задач о взаимодействии уединенных волн с препятствиями в виде подводной ступеньки и тела прямоугольного сечения, расположенного на дне Обнаружено образование вихревых течений вблизи препятствия, а также установлено их влияние на амплитуды прошедших и отраженных волн Вычислены значения гидродинамических нагрузок, создаваемых жидкостью на твердые стенки

4 Параллельный алгоритм метода естественных соседей и его реализация в виде программного комплекса для многопроцессорных вычислительных систем с распределенной памятью

Обоснованность и достоверность полученных результатов обеспечивается корректностью постановок рассматриваемых задач и методов их решения, основывается на расчетах широкоизвестных и рекомендуемых тестовых задач и

сопоставлении результатов численных расчетов с результатами, полученными другими авторами

Практическая ценность диссертационного исследования заключается в следующем Предложенная модификация метода естественных соседей позволяет проводить численное моделирование задач гидродинамики со свободными границами, сопровождающихся большими деформациями расчетной области Особенностью данного метода является возможность вычисления давления, которое используется для расчета динамических нагрузок, создаваемых жидкостью на твердые стенки Основные результаты работы были использованы при выполнении следующих проектов

- проекта № 4829 «Численное моделирование течений жидкости со свободными границами современными численными методами на многопроцессорных вычислительных системах» (2005 год) по ведомственной научной программе Федерального агентства по образованию «Развитие научного потенциала высшей школы»,

- интеграционного проекта фундаментальных исследований Объединенного ученого совета по механике и энергетике СО РАН (2006-2008 годы) по теме «Численное моделирование нестационарного взаимодействия сложных упругих конструкций с жидкостью или газом», блок 2 «Нестационарное взаимодействие нелинейных поверхностных волн с плавающими и закрепленными упругими конструкциями», Пункт 1 «Развитие методов расчета гидродинамических нагрузок при резко нестационарном воздействии волн с большими деформациями области течения»

- проекта № 4256 «Создание типового информационно-вычислительного портала для организации учебной и научной деятельности вуза» по ведомственной научной целевой программе Федерального агентства по образованию «Развитие научного потенциала высшей школы (2006-2008 годы)» (2006-2008 годы)

Представление работы. Основные результаты диссертации представлялись на VI, VII, VIII Всероссийской конференции молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (Кемерово, 2005, Красноярск, 2006, Новосибирск, 2007), V, VI, VII Всероссийской научно-практической конференции «Недра Кузбасса Инновации» (Кемерово, 2006-2008), XI Международной научно-методической конференции «Новые информационные технологии в университетском образовании» (Кемерово, 2006), III Международной летней научной школе «Гидродинамика больших скоростей и численное моделирование» (Кемерово, 2006), II и III Российско-Германской школе по параллельным вычислениям на высокопроизводительных вычислительных системах (Новосибирск, 2005, 2006), Международной конференции «Сопряженные задачи механики реагирующих сред, информатики и экологии» (Томск, 2007), объединенном семинаре ИВТ СО РАН «Информационно-вычислительные технологии (численные методы механики сплошной среды)» под руководством академика Шокина Ю И, профессора Ковени В М, семинаре ИГиЛ СО РАН «Прикладная гидродинамика» под руководством чл -кор РАН Пухначева В В, а также регулярно на семинарах «Численные методы решения задач механики сплошной среды» кафедры ЮНЕСКО по НИТ КемГУ под руководством профессора Афанасьева К Е (Кемерово, 2004-2008)

Публикации. По теме диссертации опубликовано 14 работ, в том числе (в скобках в числителе указан общий объем этого типа публикаций, в знаменателе -объем, принадлежащий лично автору) 2 статьи в изданиях, рекомендуемых ВАК для предоставления основных результатов диссертации (1,12/0,6 печ л), 6 публикаций в трудах и материалах конференций (2,31/1,47 печ л), 6 публикаций в тезисах конференций (0,62/0,33 печ л )

Личный вклад автора Основные научные и практические результаты диссертации получены автором лично В публикациях [1, 2, 4, 5] автор участвовал в разработке и реализации численных алгоритмов, проведении численных расчетов В работах [3, 6] автор участвовал в процессе постановки задачи и разработке алгоритма построения сеток В работе [7] автору принадлежит численная реализация предложенного алгоритма решения задачи

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, списка цитируемой литературы и приложения Общий объем работы составляет 163 страницы машинописного текста, включая приложение - 3 страницы, библиографический список состоит из 150 литературных источников

Автор выражает искреннюю признательность доктору физико-математических наук, профессору К Е Афанасьеву за предложенную тему, постоянное внимание, творческие идеи и ценные замечания при выполнении работы

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы диссертационной работы и на основе анализа близких по тематике публикаций показано место данной работы в общем ряду исследований, посвященных вопросам, затронутым в диссертации, изложено краткое содержание работы, сформулированы цели и задачи исследования, а также выносимые на защиту результаты

Первая глава посвящена описанию метода естественных соседей на основе интерполяции Сибсона (интерполяции естественных соседей) для решения дифференциальных уравнений в частных производных' Рассмотрены вопросы численной реализации алгоритма решения уравнения Пуассона с граничными условиями типа Дирихле и Неймана

В первом параграфе приводится определение интерполяции естественных соседей по произвольно заданному множеству узлов xl=(xl,x2),i = l,M,

представляющему расчетную область D В вычислительной геометрии понятие естественных соседей связано с понятием ячейки Вороного - выпуклого многоугольника, содержащего узел х, и определяемого на плоскости как

Т: = {х е R2 i/(x,x,) < х ),V j Ф ¡} Естественными соседями узла х, являются такие узлы между которыми проходит ребро ячейки Вороного Tt При построении

интерполяции Сибсона используют ячейки Вороного второго порядка, которые имеют х, в качестве первого естественного соседа, a xJt ]Ф1 - в качестве второго Тогда коэффициенты интерполяции Сибсона определяются как отношение площади

' Sutmmar N, N Sukumar, Moran B , Bclytschko T The natural element method in solid mechanics H International Journal of Numerical Methods in Engineering - 1998 - Vol 43, №5 -P 839-887

пересечения ячеек Вороного второго порядка для узла х, введенного в заданное разбиение, с площадью ячейки Вороного первого порядка, содержащую узел х

М,(х) = А,(х)/А(х), А(х) = А,(х) + А2(х) + +Ак(х), (1)

где 1 = 1,к , к - число естественных соседей для х, А:(х) - ячейки Вороного второго порядка, а их объединение А(х) - первого, Л^.г) - функция формы для г -го узла Производные интерполирующих функции по пространственным переменным вычисляются из (1) следующим образом

дЩх)/дх1=(А,,1(х)-МХх)А,1(х))/А(х)^ = 1,2 (2)

Вычисление функции формы Сибсона является сложной задачей вычислительной геометрии, так как необходимо искать площади пересечения многоугольников Для сокращения временных затрат на вычисление коэффициентов интерполяции в работе был реализован алгоритм Бовье-Вотсона2

Второй параграф посвящен описанию численного алгоритма решения уравнения Пуассона методом естественных соседей В двумерной области £> с границей Г = Г,иГ2 задано уравнение Пуассона

Аи=/(х1,х2),(х1,х2)еО (3)

с граничными условиями

и = и(х1,х2), где (х^х^еГ,, ди1дп = и11{х{,х2), где (х,,х2)еГ, (4)

Метод естественных соседей представляет собой разновидность метода Галеркина, в соответствии с которым неизвестные функции аппроксимируются выражением вида

н(*) = £ Л, (*)«,(*) (5)

Для формирования дискретной системы уравнений записывается слабая форма (3)

|(Дг/-/)луП+ ¡(и^-ди/дпр^Г2=0,у = йУ (6)

п г2

С учетом (5) матричная форма выражения (6) выглядит следующим образом

Ки = В, где К:/ = ЧЫ^О., В, = -\fNclQ. + _[г<,ДаТ2 (7)

п п г2

Внедрение граничных условий (4) осуществляется аналогично подходу, применяемому в методе конечных элементов

Третий параграф посвящен выбору метода решения систем линейных алгебраических уравнений, полученных в результате перехода от дифференциальных уравнений к их дискретному аналогу Матрица К системы (7) является разреженной, симметричной и положительно определенной В работе установлено, что эффективным методом для решения подобных СЛАУ является метод сопряженных градиентов с £)Я,С/(0)- предобусловливанием Применение специфической схемы хранения разреженной матрицы в методе сопряженных градиентов дает значительное ускорение и сокращает количество вычислительных операций

В четвертом параграфе проводится тестирование метода естественных соседей на решении уравнения Пуассона с известным аналитическим решением Показана сходимость метода при увеличении количества расчетных узлов в области

2 Watson D Computing the n-dimcnsional Dclaunay tessellation with application to Voronoi polytopes // The Computer Journal -1981 - Vol 24, №2 -P 167-172

Вторая глава посвящена описанию численного метода на основе метода естественных соседей для решения задач гидродинамики со свободными границами, сопровождающихся большими деформациями расчетной области Предлагается численный алгоритм для решения плоских нестационарных задач в полной нелинейной постановке В первом параграфе представлены основные блоки численного метода

Общая постановка нестационарной задачи о движении идеальной несжимаемой жидкости со свободной границей приводится во втором параграфе В расчетной области течения £>, представленной конечным набором узлов, ограниченной свободной поверхностью Г3 и твердыми стенками Г,,Г2,Г4, задано течение идеальной несжимаемой жидкости, описываемое системой уравнений Эйлера и уравнением неразрывности

0и,/01=-(1/р)(др/дх1) + /1,хеЪ, ¡ = 1^2 (8)

ди11дх,= 0,хеЪ (9)

Здесь х=(х,,х2) - пространственные координаты, и = (щ,и2) - вектор скорости, р -

давление, р - плотность, / = (^,/2) = (0,-^) - вектор внешних сил Движение

расчетных узлов во всей области описывается уравнением вида

с1х,/Ж = и„хеЪ,1 = 12 (10)

На свободной поверхности Г3 выполняется динамическое условие р = рмп, на

твердых стенках Г,,Г2,Г4 выполняется условие непротекания и /1 = 0, где п -

внешняя нормаль к поверхности жидкости В начальный момент времени задано

— —о

положение расчетных узлов х(0) = х и распределение поля скоростей в расчетной

области и(х,0) = 1/°(х), хе О

В третьем параграфе представлен алгоритм интегрирования по времени системы уравнений (8)-(9), что представляет некоторые трудности в случае несжимаемой жидкости При решении уравнений в переменных и и р основная сложность заключается в разработке такого способа определения давления, который обеспечит соленоидальность поля скорости и не будет приводить к нефизическим осцилляциям функции давления В данной работе в качестве схемы движения по времени применяется метод дробных шагов, который впервые был предложен Н Н Яненко3 В результате расщепления системы уравнений (8)-(9) по физическим процессам решение задачи разбивается на два этапа нахождение векторной функции и' - предиктора скорости и нахождение скалярной функции давления р из решения уравнения Пуассона для коррекции вектора скорости и1 на шаге г + А/ Тогда решение системы уравнений (8)—(9) на шаге можно представить следующим образом

1 )и;=и':+М/„, = 12 (11)

2) (р/Ы)Ч и = Др"+1, где р = рат, х е Г3, и др/дп = 0, х е Г„ Г2, Г4 (12)

3) М("+1 = м,* -(дг//?)(Эр"+1 /йг,), / = 1^2, где и п = 0, хе Г,, Г2, Г4 (13)

3 Яненко Н Н Об экономичных неявных схемах (метод дробных шагов) // Докл АН СССР - 1960 - -Т 134 -5с

В четвертом параграфе представлен дискретный аналог системы уравнений (11)—(13) В пятом параграфе описываются алгоритмы для выбора шага по времени, определения динамических нагрузок на твердые стенки, а также алгоритмы вычисления характеристик волны, таких как масса, кинетическая и потенциальная энергии

Шестой параграф посвящен описанию реализации алгоритмов построения диаграммы Вороного на плоскости, поиска естественных соседей и построения структуры узловой связности Применение диаграммы Вороного существенно ускоряет процесс вычисления функций формы Сибсона, так как для введенной в первоначальное разбиение точки х поиск естественных соседей осуществляется лишь в некоторой подобласти, ограниченной ячейкой Вороного, которой принадлежит х, и ее ближайшими естественными соседями Поэтому скорость работы метода естественных соседей в целом зависит от эффективности алгоритма, реализующего разбиение области ячейками Вороного

Наиболее эффективным и достаточно простым в реализации является алгоритм «sweep line», теоретическая оценка числа операций которого составляет 0(М log М), где М - количество точек4 Идея методов «sweep line» заключается в перемещении горизонтальной линии сверху вниз по плоскости Во время движения такой линии возникают события двух типов - «события точки» и «события круга», на основании которых формируется информация о вычисляемом графе В данном варианте метода «sweep line» графом является диаграмма Вороного Оценка числа операций в реализованном алгоритме составила 0(М14 log(A/)) Увеличение по сравнению с теоретической оценкой объясняется тем, что в теоретическую оценку не входят специфические операции, подготавливающие данные для дальнейшего их использования в методе естественных соседей - отсечение внешних ребер, построение структуры узловой связности Разработанная структура узловой связности позволяет быстро получать информацию о естественных соседях любого узла, а также восстановить двойственную диаграмме Вороного структуру - триангуляцию Делоне На рисунке 1, а изображена диаграмма Вороного для заданного набора узлов

Описание метода определения границ расчетной области и его реализация на основе структуры данных, полученной при построении диаграммы Вороного, приводится в седьмом параграфе При решении задач гидродинамики в начальный момент времени необходимо задавать положение свободной и твердых границ моделируемых течений В следующие моменты времени положение свободной границы меняется, а вместе с ней может меняться и последовательность номеров узлов, лежащих на границе Течения жидкости, сопровождающиеся большими деформациями, дополнительно могут привести к появлению многосвязных областей в виде брызг или образовавшихся внутри области полостей, что невозможно учесть на начальном этапе задания граничных узлов

Эффективным методом определения границ расчетной области является метод «а-shape», который основывается на понятии а-формы5 Задача нахождения границы по заданному множеству точек подразумевает распознавание его формы и не имеет

* FortuneS J Aswccplinealgorithm for Voronoi diagrams// Journal Algonthmica - 1987 -№2 - P 153-174

5 Edclsbrunner H , Macke E P Three-dimensional alpha //ACM Trans Graph -1994 - Vol 13, №1 -P 43-72

единственного решения, а-форма параметризируется действительным числом ае[0;со) и представляет семейство геометрических фигур в диапазоне от точки до выпуклой оболочки множества. На практике для нахождения границы используется триангуляция Делоне, а параметр а является значением критерия: если радиус описанной окружности треугольника превышает значение а, то треугольник исключается из расчетной области.

Рис. 1. а) Диаграмма Вороного; 6) первоначальная триангуляция Делоне; в) триангуляция Делоне при а = 0,25; г) триангуляция Делоне при а = 0,059

На рисунке 1 приведен процесс определения границы множества точек. На первом шаге из диаграммы Вороного восстанавливается первоначальная триангуляция Делоне (рисунок 1, б). Затем осуществляется очистка области от элементов, не удовлетворяющих критерию а (рисунки 1, в-г). Для определения геометрии границы заданной области необходимо подобрать значение параметра а, дающего «приемлемые» результаты. Универсальных методов выбора значения а нет, существуют лишь некоторые рекомендации, полученные из опыта применения алгоритма и основанные на соотношениях расстояний между самыми близкими и самыми удаленными точками области.

В восьмом параграфе приводится описание разбиения расчетной области расширенной триангуляцией Делоне, которая в данной работе используется для перехода к дискретной форме систем уравнений (12)-(13)6. Расширенной триангуляцией Делоне называется разбиение области D на подобласти P¡ так, что D = UP,, где каждая подобласть P¡ есть многоугольник, определяемый всеми вершинами, лежащими па окружностях Делоне, центры которых находятся на достаточно малом расстоянии друг от друга. Расширенная триангуляция Делоне лишена недостатков, характерных для триангуляции Делоне, которые проявляются в неоднозначности или вырожденности треугольных элементов, поэтому численное интегрирование с ее применением осуществляется точнее.

Третья глава посвящена решению нестационарных задач гидродинамики со свободными границами модифицированным методом естественных соседей. Волновое движение массы воды со свободной поверхностью под действием силы тяжести является одним из наиболее интересных и успешных приложений нелинейной

с' The meshless finite clement method / S. Idelsohn, E. Onatc, N. Calvo, F. Del Pin II International Journal for Numerical Methods in Engineering. - 2003. Vol. 58, № 4. P. 32 59.

гидродинамики Волны на свободной поверхности представляют хорошо известное, но и вместе с тем достаточно сложное явление, которое весьма не просто описать

Применимость метода естественных соседей для решения задач механики жидкости со свободными границами проверяется на решении ряда тестовых задач В пункте 1 1 первого параграфа приводится решение задачи Л В Овсянникова о деформации жидкого эллипса Данная задача служит хорошим тестом на нахождение формы свободной границы В таблице 1 приведены значения относительной погрешности длины главной полуоси эллипса в различные моменты времени

Табчица I

Относительная погрешность главной полуоси эллипса (2000 узлов)

/ 0,1 0,4 0,6 1,0 1,3 1,65

Д(а(0),% 0,025 0,046 0,080 0,101 0,128 0,151

В пункте 1 2 приведено решение нестационарной задачи о движении уединенной волны по бассейну постоянной глубины В этом тесте важным является то, что уединенные волны в процессе движения не изменяют амплитуду и скорость, сохраняют форму и полную энергию Начальные данные (распределение расчетных частиц в области и поле скоростей), описывающие уединенную волну, получены численно из решения нелинейной нестационарной задачи комплексным методом граничных элементов (КМГЭ)8 Расчеты по распространению волн выполнялись в безразмерных переменных В качестве характерных параметров выбиралась максимальная глубина канала Н, ускорение силы тяжести g, некоторая характерная скорость ^Н Результаты тестирования показали, что использование переменного шага по времени позволяет моделировать течения с меньшими погрешностями, чем с постоянным шагом, при этом возможно снижение временных затрат на проведение расчета в несколько раз

В таблице 2 приведены основные характеристики, полученные в результате расчета движения уединенной волны амплитуды Л = 0,5, в момент времени Г = 21, к которому она прошла путь, равный 2,5 своих длин В первом столбце указано количество узлов Ы, во втором, третьем и четвертом столбцах приведены относительные изменения амплитуды АА, полной энергии АЕ и массы волны АМ Выполнение законов сохранения энергии и массы, сохранение амплитуды и формы волны позволяет судить о применимости метода естественных соседей для решения нелинейных нестационарных задач со свободной поверхностью

Пункт 1 3 первого параграфа посвящен решению задачи о взаимодействии уединенных волн с вертикальными преградами Расчет проводился для амплитуд волны Л = 0,2,0,3,0,4,0,5,0,б На рисунке 2, а приведены профили свободной поверхности при накате солитона амплитуды /1 = 0,5 на вертикальную стенку для

7 Овсянников Л В Общие уравнения и примеры // Задачи о неустановившемся движении жидкости со свободной границей - Новосибирск Наука, 1967 -С 5-75

8 Стуколов С В Решение нелинейных волновых задач гидродинамики идеальной жидкости комплексным методом граничных элементов автореф дис канд физ-мат наук -Кемерово, 1999 -26 с

Табпица 2

Основные характеристики расчета

N АЛ &Е АМ

8020 1,351 10~2 1,437 КГ2 2,127 КГ3

10020 1,036 1<Г2 1,268 КГ2 1,812 10"3

16000 8,877 10"3 8,719 10"' 1,415 10"3

нескольких моментов безразмерного времени (при ? = 0,7П1ах =1,5005 -первоначальная форма солитона, ¿ = 8,73, утт =2,2647 - форма свободной поверхности в момент максимального заплеска, / = 18,01, ута% =1,4421 - форма восстановленного солитона) Анализ рисунка позволяет утверждать, что отражение волны от стенки приводит к уменьшению амплитуды волны и формированию хвоста вторичных волн малой амплитуды9

а)

I 180J ню t it 02 г у

\|*0<М7К \М=Г| ШГЬ

Рис 2 а) Профиль свободной границы, б) кинстичсская, потенциальная и полная энергии

На рисунке 2, б приведены зависимости кинетической, потенциальной и полной энергий от времени По оси абсцисс обозначен момент времени максимального заплеска на вертикальную стенку Нетрудно заметить, что максимум потенциальной энергии и максимальный заплеск на стенку смещены по времени относительно друг

„9

друга

Рис

Сравнение максимального заплеска на вертикальную стенку проводилось с рядом работ других авторов На рисунке 3 представлен график зависимости

максимального заплеска на вертикальную стенку от амплитуды Цифрой 1 обозначены результаты численных расчетов, взятые из работы (Cooker М J, Weidman Р D , Bale D S , 1997), 2 - (Протопопов БЕ, 1990), 3 -(Afanasiev КЕ, Stukolov SV, 2003), 5 -

3 Сравнение максимального заплеска на вертикальную стенку

(Шокин ЮИ, Рузиев РА, Хакимзянов ГС, 1990), б - расчеты автора методом естественных соседей В работе (Мапойлин, С В, 1989) приведены экспериментальные данные (значения 4) Из рисунка 3 видно расхождение с экспериментальными данными результатов, полученных методом естественных соседей, для амплитуд волны А >0,5 При этом с остальными результатами получено хорошее качественное и количественное совпадение для всех приведенных значений амплитуд волн

Кроме кинематических особенностей течений интерес представляет задача определения динамической нагрузки, возникающей в результате наката волн на вертикальную стенку Численные методы, способные точно вычислять поле давления, представляют большую ценность при решении прикладных задач На рисунке 4 представлены графики динамической нагрузки на правую стенку при накате волны Сплошной линией обозначены результаты, полученные методом естественных соседей, пунктирной - КМГЭ на основе потенциальной модели жидкости Из

9 Афанасьев К Е Решение нелинейных задач гидродинамики идеальном несжимаемой жидкости со свободными границами методами конечных и граничных элементов авторсф дне д ра физ-мат наук - Кемерово, 1997 -39 с

представленных рисунков видно хорошее количественное совпадение значений динамических нагрузок, создаваемых уединенной волной на вертикальную стенку Стоит отметить тот факт, что поиск давления в модифицированном методе естественных соседей является неотъемлемой составной частью алгоритма движения по времени, в то время как во многих численных методах, в частности КМГЭ, поиск давления является дополнительной краевой задачей на основе известного распределения поля скоростей на каждом временном шаге

Рис 4 Динамическая нагрузка на вертикальную стенку для различных амплитуд а) 1 - Л = 0,2,2 - Л = 0,3, б) 1-/1 = 0,4,2-/1 = 0,5,3-/1 = 0,6

Во втором параграфе третьей главы приводится решение задачи о движении уединенной волны над прямоугольной ступенькой Изучение подобных течений имеет важное значение при проектировании береговых и прибрежных объектов Основными определяющими параметрами задачи являются амплитуда набегающей волны А и высота подводной ступеньки с/ Глубина бассейна перед ступенькой Н = 1, а высота слоя жидкости над ступенькой с/0 = Н — <1 При накате набегающей волны на подводную ступеньку на переднем фронте образуется волновой сгусток Затем амплитуда волны начинает расти, на ее поверхности формируется двойной горб, который в дальнейшем разделяется на отраженную и прошедшую волны Тестирование алгоритма решения задачи проводилось для таких значений параметров с/ и А, при которых не происходит обрушения прошедшей волны Результаты решения сравнивались с численными9 и экспериментальными'0 данными Численное моделирование показало, что при дальнейшем движении прошедшей волны по каналу ее форма трансформируется, волна увеличивается по амплитуде, и от нее отходит четко сформировавшаяся вторая волна, бегущая вслед за первой и отстающая от нее в силу меньшей амплитуды, а следовательно, и скорости (рис 5, а) Форма свободной поверхности и значения амплитуд волн, полученные в результате расчетов методом естественных соседей, достаточно точно совпадают с указанными

10 9

экспериментальными и численными данными

На рисунке 5, а видно, что в диапазоне 10 < х < 11 изменения абсциссы поверхность жидкости возмущена волновой рябью Появление волновой ряби связано с образованием вихревого течения над ступенькой Существование вихря отмечено в экспериментальной работе10, однако его влияние на амплитуды прошедших и отраженных волн до сих пор не исследовано Для определения влияния вихря на амплитуды прошедших и отраженных волн была проведена серия расчетов Высота

10 Seabra-Santos F J Numcncal and experimental study of the transformation of a solitary wave over a shelf or isolated obstacle / F J Seabra-Santos, D P Renouard, AM Tempcrville//J Fluid Mech -1987 -Vol 176 -P 117-134

ступеньки задавалась равной с! = 0,5 и /1 = 0,1, амплитуды волн - Л = 0,18; 0,3; 0,4; 0,5; 0,6. Проведенная серия расчетов показала наличие вихрей вблизи передней границы ступеньки для всех рассматриваемых значений амплитуды волны и высоты ступеньки. На рисунке 5, б приведен фрагмент картины наката уединенной волны амплитуды Л = 0,6 на подводную ступеньку высотой с/= 0,7 до момента обрушения гребня волны в интервале времени 0</<9,11. После момента обрушения происходит интенсивное перемешивание жидкости, сопровождающееся появлением брызг. Картины течений на рисунке 6 представлены множеством расчетных узлов. Гребень обрушающейся волны сильно бьет в подошву, выталкивая перед собой движущуюся вперед с большой скоростью массу жидкости, которая в дальнейшем также обрушается. В последующие моменты времени свободная поверхность подвержена сильному волнению, а движение жидкости представлено множеством взаимодействующих волн различных форм и размеров.

а) Режим течения без опрокидывания волны б) Режим течения с опрокидыванием волны Рис. 5. Профиль свободной границы: а) /4=0,218; с? = 0,5; б) /1 = 0,6; с/ = 0,7

Рис. 6. Картина течения в различные моменты времени: А = 0,6, с/ -0,1

Рис. 7. Динамическая нагрузка на правую стенку бассейна

Динамическая нагрузка, создаваемая волной на правую твердую стенку, представлена на рисунке 7 для высоты ступеньки с! = 0,5 и с1 = 0,1 и амплитуды А = 0,4;0,5;0,6. На рисунке 8, а приведена картина вихревого течения, а на рисунках 8, бив представлено значение циркуляции вихря над ступенькой, соотнесенное к глубине жидкости с/0 для различных амплитуд набегающей волны и высоты ступеньки

¿/ = 0,7. Максимальное значение модуля циркуляции достигается в момент отделения отраженной волны от набегающей.

Рис. 8. а) вихревое течение А - 0,5;с/ - 0.7 ; б), в) циркуляция вихря над ступенькой

Результаты проведенной серии расчетов сравнивались с результатами, полученными КМГЭ на основе потенциальной модели идеальной жидкости в работе8 по следующим параметрам: форме свободной поверхности, максимальному значению амплитуды волны Аы при накате па ступеньку, амплитуде отраженной волны Д, максимальной амплитуде волны Д перед моментом обрушения.

На рисунке 9 в области изменения координаты 8 < д: < 10 виден значительный изгиб свободной фаницы в сторону дна для расчета методом №М. Подобное поведение свободной границы наблюдается для всех проведенных расчетов, параметры которых указаны выше. Причиной изгиба свободной являются вихревое течение, образующееся над ступенькой.

В результате сравнения был выявлен интересный факт, касающийся амплитуды отраженной волны: для значений амплитуд набегающей волны >0,4 амплитуда отраженной волны, полученной в результате численного моделирования методом ИЕМ (кривая 1), превышает значение амплитуды отраженной волны для метода КМГЭ (кривая 2) на 15-20 % (рис. 10). При этом значения амплитуд Аы и Д Рис. 10. Амплитуда различаются незначительно (менее 5 %). отраженной волны В третьем параграфе приводится решение задачи о взаимодействии уединенной волны с телом прямоугольного сечения, расположенным на дне. Исследуется влияние ширины и высоты препятствия с/, а также амплитуды волны на основные характеристики возникающего течения жидкости. Расчеты проводились для £ = 2;7, с! = 0,3; 0,5;0,7 и амплитуд волн А =0,2;0,3;0,4;0,5;0,6 в области, где -8<х<21. Решению данной задачи посвящена работа", в которой рассматриваются режимы движения без обрушения гребня волны при прохождении над препятствием. На рисунке 11 приведены фрагменты течеиия в различные моменты

11 Хажоян М.Г. Численное моделирование поверхностных волн с подводными препятствиями / М.Г. Хажоян, Г.С. Хакимзянов // Вычислительные технологии. - 2003. Т. 8, № 4. - С. 108-123.

1 1 —- - «а

115

0 .1 Ч.гё;

W 12 .V

Рис. 9. Профили свободной границы. Кривая 1 -КМГЭ.2-№М

времени, полученные методом естественных соседей, для амплитуды А = 0,5 и размеров тела Ь = 7, с/ = 0,7 В области задано 14 ООО расчетных узлов В зависимости от значений размеров тела и амплитуды набегающей волны обрушение можно классифицировать как скользящий или ныряющий бурун9 При набегании уединенной волны на препятствие квадратного сечения волновые картины взаимодействия весьма схожи с теми, которые возникают, когда подводным препятствием служит полукруговой выступ на дне" Серия расчетов для различных амплитуд и Ь = с] = 0,3,0,5,0,7 показала, что в таком случае на заднем фронте волны формируется всплеск, который опрокидывается «против движения» основной волны_

Рис 11 Картина течения в различные моменты времени А = 0,5, ¿ = 7,«/ = 0,7

В результате проведенной серии расчетов методом естественных соседей установлено наличие вихрен вблизи препятствия, среди которых можно выделить два, обладающих наибольшей циркуляцией (рис 12) Один из этих вихрей располагается над передней стенкой препятствия аналогично случаю, возникающему на подводную ступеньку Второй вихрь находится непосредственно за препятствием На рисунке 13 приведены графики циркуляции этих вихрей в зависимости от высоты (1 для амплитуды набегающей волны Л = 0,5 Как видно из рисунков, вихрь, располагающийся за препятствием (рис 13, б), обладает большей интенсивностью, которая довольно продолжительное время остается на одном уровне В результате проведенных расчетов установлено (рис 14), что с увеличением амплитуды набегающей волны амплитуда отраженной волны для метода

Рис 12 Вихри вблизи препятствия при набегании волны

а)

\ 03

1

I О-ОЭ

г (,

ши

-0 1

он

-0 2

б'

А, I 025

1 02 1 у

1 П15 у

101 1 005 У У ^__ 2 ____, »'1

(11 03 (Ы О' ^ 06

Рис 13 Циркуляция вихрей вблизи тела Рис 14 Амплитуда отраженной волны

Четвертая глава посвящена параллельной реализации метода естественных соседей для многопроцессорных систем с распределенной памятью, применение которых позволяет повысить точность расчета за счет увеличения числа расчетных узлов и значительно сократить временные затраты Первый параграф посвящен разработке параллельного алгоритма метода естественных соседей Для исследования

его эффективности решалась задача о колебании жидкости в прямоугольном бассейне Численный алгоритм решения задач гидродинамики методом естественных соседей состоит из следующих крупных блоков блока построения диаграммы Вороного и определения границ области и трех однотипных блоков, которые включают в себя численное интегрирование и сбор матрицы, внедрение граничных условий, решение полученной СЛАУ На основе измерения времени при проведении численных расчетов установлено, что с ростом числа узлов в области процентное соотношение времени сбора матрицы к общему времени одного временного шага уменьшается с 48 до 28 %, а соотношение времени решения СЛАУ увеличивается с 43 до 65 % Внедрение граничных условий занимает 5-12 %, а дискретизация области ячейками Вороного - 1-2 % Исходя из указанных данных, распараллеливанию подверглись блоки сбора матрицы, внедрения граничных условий и решения СЛАУ В качестве модели создания приложения была выбрана модель передачи сообщений MPI12

Во втором параграфе приведены результаты распараллеливания алгоритма Для определения эффективности и ускорения реализованного параллельного алгоритма была проведена серия расчетов на кластере «СКИФ Cyberia» Томского государственного университета(табл 3)

Тавища 3

Основные характеристики параллельного алгоритма

Nlnp Усно 1С11ИС Эффективность Время

2 4 8 16 2 4 8 16 2 4 8 16

1200 1,14 1,17 1,16 1,15 0,57 0,29 0,14 0,07 0,15 0,15 0,15 0,15

10160 1,42 1,51 1,92 2,12 0,71 0,37 0,24 0,13 3,69 3,47 2,73 2,47

20924 1,47 1,93 2,99 4,15 0,73 0,48 0,37 0,13 13,25 10 1 6,52 4,7

36702 - - - - - - - - - 34,36 23,09 15,34

Наибольшая эффективность достигается на двух процессорах с числом узлов 20 924 и равна 0,73 Для получения наилучших значений ускорения необходимо данные по процессорам распределить таким образом, чтобы время непосредственных вычислении с этими данными превышало временные затраты на обмены данными между узлами кластера Указанная особенность алгоритма объясняется свойствами применяемого для решения СЛАУ метода сопряженных градиентов Распараллеливание алгоритма позволяет проводить расчеты для большого числа узлов за счет использования распределенной памяти Так, например, был выполнен расчет для 36 702 узлов в области на 4, 8 и 16 процессорах

В заключении сформулированы основные результаты диссертационной работы

1 Предложен численный метод на основе метода естественных соседей для решения нестационарных задач динамики идеальной несжимаемой жидкости со свободными границами, сопровождающихся большими деформациями расчетной области Характерной особенностью данного метода является возможность вычисления гидродинамических нагрузок, создаваемых жидкостью на преграды

2 Разработан и реализован в виде программного комплекса численный алгоритм метода решения в полной нелинейной постановке плоских нестационарных задач со свободными границами В качестве схемы движения по времени реализован метод дробных шагов

12 Афанасьев К Е Многопроцессорные вычислительные системы и параллельное программирование учеб пособие / КЕ Афанасьев, С В Стукотов - Кемерово, 2003 - 182с

3 Реализован алгоритм «заметающей плоскости» представления расчетной области ячейками Вороного Разработаны на основе дискретизации области ячейками Вороного алгоритмы определения естественных соседей для узловой точки и формирования структуры межузловой связности, а также алгоритм определения границ многосвязной расчетной области

4 Разработан и реализован в виде программного комплекса параллельный алгоритм метода естественных соседей для многопроцессорных вычислительных систем с распределенной памятью

5 Проведены численные эксперименты по расчету в полной нелинейной постановке нестационарных задач о взаимодействии уединенной волны с препятствием в виде подводной ступеньки и тела прямоугольного сечения, расположенного на дне Обнаружено образование вихревых течений вблизи препятствия Установлено влияние вихрей на амплитуды отраженных и прошедших волн

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Журналы, рекомендованные ВАК для представления основных научных

результатов диссертации:

1 Карабцев, С Н Численное моделирование задачи о взаимодействии уединенной волны с подводной ступенькой методом естественных соседей [Текст] / С Н Карабцев, С В Стуколов // Вестник НГУ Серия Математика, механика, информатика -2008 -Т 8, № 2 - С 55-61

2 Метод естественных соседей на основе интерполяции Сибсона [Текст] / К Е Афанасьев, С Н Карабцев, Т С Рейн, С В Стуколов // Вестник ТГУ Выпуск «Информационные технологии и математическое моделирование» (Серия «Математика Кибернетика Информатика») -2006 19 - С 210-219

Труды конференций:

3 Карабцев, С Н Эффективный алгоритм генерации конечноэлементной сетки для метода естественных соседей [Текст] / С Н Карабцев, С В Стуколов // Материалы III Международной научной летней школы «Гидродинамика больших скоростей и численное моделирование» -Кемерово ИНТ -2006 -С 401-409

4 Рейн, Т С Решение модельных задач гидродинамики методом естественных соседей [Текст] / Т С Рейн, С Н Карабцев // Недра Кузбасса труды VI Всероссийской научно-практической конференции - Кемерово ИНТ - 2007 -С 311-317

5 Карабцев, С Н Применение метода естественных соседей для решения задач идеальной несжимаемой жидкости со свободными границами [Текст] / С Н Карабцев, С В Стуколов // Инновационные недра Кузбасса 1Т-технологии-2008 сборник научных трудов -Кемерово ИНТ -2008 -С 351-355

Тезисы

6 Карабцев, С Н Эффективная реализация метода естественных соседей для решения задач механики жидкости со свободными границами [Текст] / С Н Карабцев, С В Стуколов // VII Всероссийская конференция молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям - Красноярск, 2006 - С 21-22

7 Карабцев, С Н Метод естественных соседей для моделирования взаимодействия уединенных волн с подводными препятствиями [Текст] / С Н Карабцев, С В Стуколов // Сопряженные задачи механики реагирующих сред, информатики и экологии материалы Международной конференции, 2007 - Томск Изд-во Томского университета - С 94-95

Подписано к печати 04 05 2008 Формат 60х84'Лб Бумага офсетная № 1 Печать офсетная Уел печ л 1,0 Тираж 100 экз Заказ №327

Издательство «Кузбассвузиздат» 650043, г Кемерово, ул Ермака, 7 Тел 58-34-48

Оглавление

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. МЕТОД ЕСТЕСТВЕННЫХ СОСЕДЕЙ.

§ 1. Интерполяция Сибсона.

§2. Метод естественных соседей.

2.1. Постановка задачи.

2.2. Описание метода.

§3. Решение системы линейных алгебраических уравнений.

3.1. Метод сопряженных градиентов.

3.2. Предобусловливатель матрицы.

3.3. Формат хранения данных.

3.4. Тестирование метода решения СЛАУ.

§4. Тестирование метода естественных соседей.

ГЛАВА 2. ЧИСЛЕННЫЙ АЛГОРИТМ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ ЖИДКОСТИ СО СВОБОДНЫМИ ГРАНИЦАМИ.

§ 1. Этапы модификации метода естественных соседей.

§2. Постановка задачи в общем виде.

§3. Схема движения по времени.

§4. Пространственная дискретизация.

§5. Вычисление нагрузок, проверка законов сохранения, выбор шага по времени.

§6. Построение диаграммы Вороного.

6.1. Основные определения.

6.2. Идея метода "sweep line".

6.3. Реализация алгоритма.:.

§7. Определение границ расчетной области.

7.1. Метод а - shape.

7.2. Реализация алгоритма а — shape.

§8. Расширенная триангуляция Делоне.

ГЛАВА 3. РЕШЕНИЕ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ЗАДАЧ ГИДРОДИНАМИКИ СО СВОБОДНЫМИ ГРАНИЦАМИ.

§ 1. Решение тестовых и модельных задач методом естественных соседей

1.1. Задача о деформации жидкого эллипса.

1.2. Движение уединенной волны по бассейну с ровным дном.

1.3. Взаимодействие уединенных волн с вертикальными преградами.

1.4. Колебание жидкости в ограниченном объеме.

§2. Движение уединенной волны над прямоугольной ступенькой.

§3. Взаимодействие уединенной волны с подводным препятствием.

ГЛАВА 4. ПАРАЛЛЕЛЬНАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ МЕТОДА ЕСТЕСТВЕННЫХ СОСЕДЕЙ.

§1. Распараллеливание алгоритма метода естественных соседей.

§2. Тестирование параллельного алгоритма.

В повседневной жизни постоянно приходится сталкиваться с течениями жидкостей, большинство из которых имеет природное (волны в океанах, морские приливы, течение рек) или техногенное происхождение (волны, возникающие при движении морских судов, различные технологические процессы и устройства, использующие систему водоснабжения). В связи с этим существует высокая потребность в моделировании движения жидкостей с целью лучшего понимания сложных явлений и повышения качества технологий. Математическая модель, являющаяся следствием физической модели исследуемого явления, строится с применением теории дифференциальных уравнений. Фактически единственным эффективным способом решения сложных систем нелинейных дифференциальных уравнений гидродинамики являются численные методы, реализуемые на быстродействующих вычислительных машинах. На основе математической модели при помощи непосредственного численного решения соответствующих уравнений качественно и количественно определяется поведение течений жидкости в тех или иных условиях.

Теория движения жидкости со свободными границами является одним из наиболее бурно развивающихся направлений современной гидродинамики, где вычислительный эксперимент существенно облегчает исследование прикладных задач. Задачи о течении жидкости со свободными поверхностями относятся к одному из наиболее сложных для моделирования классов задач, поскольку к нелинейности краевой задачи добавляется еще и дополнительная сложность, связанная с определением заранее неизвестной формы свободной границы. Примерами таких течений являются: нестационарное движение волн по поверхности, ветровые волны и волны цунами, эволюция свободной поверхности под действием силы тяжести, движение тел в жидкости с образованием волн и другие. Физические эксперименты для изучения этих явлений оказываются сложными и дорогостоящими, а быстрота протекания реальных процессов делает численные методы практически единственным источником информации о поле течения.

Лабораторное моделирование и исследование поверхностных волн аналитическими методами широко используются для проверки достоверности численных результатов при проведении вычислительных экспериментов, для определения областей применимости тех или иных математических моделей, для тестирования численных методик и для получения начальной информации об изучаемом явлении. В работах [9, 16, 17, 45] приведены экспериментальные данные о влиянии параметров волн на величину максимального заплеска на вертикальную преграду, рассмотрен накат волн на некоторые гидротехнические сооружения, дана оценка воздействия волн на препятствия. Авторами работ [127, 139] проведены эксперименты о прохождении уединенных волн над различными донными препятствиями. Обзор экспериментальных работ, посвященных исследованию поверхностных волн, приводится в работе [150].

Аналитические решения задач о построении форм уединенных волн, их взаимодействии с препятствиями и трансформации при распространении приведены в работах [40, 42, 49, 63, 65, 102, 122]. В монографиях [38, 42, 63, 102] излагается теория волновых движений жидкости и ее приложение, содержится разбор специальных вопросов этой теории, относящихся к ряду задач геофизики, теории движения кораблей и др. Рассматриваются различные нелинейные эффекты, возникающие при распространении и взаимодействии волн с погруженными телами. В [102] содержится обзор развития теории нелинейных волн за три последних десятилетия.

В работе [122] исследуется приближение соленоидальных и кноидальных волн на основе теории мелкой воды. В приведенной модели отсутствует предположение о бесконечно малом перемещении жидкости по вертикали, которое делалось в более ранних работах других авторов. Построение уединенных волн также является одной из центральных тем работы [49]. В работах [40, 65] рассматривается движение жидкости со свободной поверхностью. Исследовано косое набегание волн малой амплитуды на упругую пластину, плавающую на поверхности жидкости. Определены коэффициенты отражения и прохождения волн, а также вертикальные смещения пластины.

Несмотря на множество работ, посвященных изучению движения волн, аналитические методы позволяют решать лишь ограниченный класс задач: если жидкость весомая, а отдельные участки границы криволинейны, то применение аналитических методов затруднено [63].

В задачах, имеющих практический интерес, таких как: движение волн по поверхности, возникновение цунами, движение тел в жидкости, размеры длин волн обычно бывают большими, поэтому при исследовании распространения волн и их взаимодействия с твердыми преградами, можно пренебрегать влиянием вязкости и рассматривать задачи в постановке, основанной на модели идеальной несжимаемой жидкости [44, 60, 61, 74].

Выбор математической модели для исследования поверхностных волн зависит от особенностей течения. Достаточно большая часть используемых в настоящее время численных методов расчета поверхностных волн основана на применении тех или иных приближенных математических моделей, в качестве которых обычно берутся различные приближения теории мелкой воды. В этих моделях, как правило, пренебрегают изменением параметров жидкости по глубине, что может дать в некоторых случаях, например, вблизи твердой стенки, некоторые погрешности. В рамках данной модели решен класс задач, описанный в [23, 47, 70, 74, 77, 113, 140].

Численное моделирование уединенных волн на основе дискретной модели несжимаемой жидкости описывается в работах [70, 72]. Приводятся результаты расчетов уединенных волн различной амплитуды, кинематические и динамические характеристики наката волн на вертикальную и наклонные стенки. В работе [113] исследуется распространение волн по поверхности жидкости в бассейне переменной глубины. Авторами работ [47, 77] разработан инструментарий вычислительного эксперимента для решения задач проблемы цунами, включающий систему математических моделей и алгоритмов для численного моделирования распространения и трансформации волн цунами и определения времени добегания волн цунами от очаговой зоны до побережья. Решены модельные и прикладные задачи проблемы цунами и выявлены фундаментальные характеристики, определяющие процессы распространения и трансформации таких волн [77, 140].

В обзорной работе [23] представлена иерархия математических моделей для описания цунами в прибрежной зоне, продемонстрирована возможность построения моделей, учитывающих нелинейную дисперсию, указаны различные способы учета вертикальной структуры потока, приведены безразмерные параметры наката и обобщенные зависимости для высоты заплеска волн цунами.

Большое распространение получили модели потенциальной жидкости в полной нелинейной постановке для решения задач с сильно нелинейными режимами движения волн. В работах [2, 58, 64, 67, 84, 85, 109, 135, 137] моделировались процессы генерации волн, трансформации волн при их движении, взаимодействии волн с различными преградами. Работы авторов [2, 64, 67] посвящены решению стационарных и нестационарных задач со свободными границами. Рассматриваются задачи о движении твердых тел в жидкости со свободными границами, моделировании и распространении нелинейных уединенных волн по бассейну с ровным дном и над дном с препятствием. Проводится анализ волновых движений, возникающих на поверхности невязкой несжимаемой весомой жидкости при взаимодействии волн с вертикальными и наклонными неподвижными границами. В работах

2, 64] предложены различные подходы к построению уединенных волн, позволяющие достаточно точно задавать форму свободной границы и распределение потенциала на ней. В работе [64] проводится исследование взаимодействия уединенных волн с препятствиями в виде наклонной стенки. Решение задачи обтекания донного препятствия потоком весомой жидкости приводится в [84].

Авторами работ [85, 135] рассматриваются задачи о трансформации волн и их обрушении при движении в глубокой жидкости, а также при выходе волн на пологий берег. Большое внимание уделяется изучению перехода жидкости из режима с достаточно гладкой свободной поверхностью в режим с образованием струй и пузырей. В [135] приводится классификация режимов обрушения.

Автором работы [137] предлагается эффективный численный метод на основе смешанной Лагранжево-Эйлеровой постановки для моделирования движения нелинейных волн до момента опрокидывания гребня волны. В работе [109] предложен численный метод на основе рядов Фурье для решения задач в полной нелинейной постановке о движении уединенных необрушающихся волн и взаимодействии волн между собой. В работе [58] исследуется трансформация уединенной волны при ее движении над подводным уступом.

Переход от модели потенциального движения к уравнениям Эйлера [44, 60, 61] расширяет круг задач, доступных для численного исследования. В частности, можно рассчитывать и вихревые движения жидкости со свободной поверхностью, обеспечивая завихренность либо надлежащими начальными условиями, либо непотенциальной массовой силой. К тому же систему уравнений Эйлера можно рассматривать как промежуточный этап на пути от потенциальной модели к уравнениям Навье-Стокса. Обзор методов решения различных задач идеальной жидкости со свободными границами можно найти в монографиях [38, 41, 63].

Численные методы гидродинамики, как и вообще численные методы решения задач механики сплошных сред, можно условно разделить на несколько классов. Во-первых, это классические лагранжевы методы, в которых используется сетка с неизменной узловой связностью. Методы этого класса рассматривают дифференциальные уравнения непосредственно в той форме, в которой они были выведены, при помощи одного из двух подходов:

- при помощи аппроксимации дифференциальных операторов в уравнениях более простыми локализованными алгебраическими операторами, действующими в последовательностях узлов, находящихся в области — метод конечных разностей (МКР) [26];

- при помощи представления самой области элементами среды, не являющимися бесконечно малыми, которые в совокупности аппроксимируют реальную систему - метод конечных элементов (МКЭ) [24, 39] и метод контрольных объемов (МКО) [26, 51].

Также большое распространение получили методы граничных элементов (МГЭ) [13, 15] и комплексный метод граничных элементов (КМГЭ) [20]. Привлекательность этих методов обусловлена, прежде всего, тем, что в МКР, как и МКЭ, требуется разбиение всей области течения, в то время как в методе граничных элементов дискретизации подвергается лишь граница расчетной области. Для реализации такой возможности в МГЭ и КМГЭ требуется переход от исходной краевой задачи для дифференциальных уравнений, описывающих некоторый процесс, к соотношениям, связывающим неизвестные функции на границе области. МГЭ и КМГЭ широко используются для моделирования движения поверхностных волн, но они пригодны для расчета только потенциальных течений.

Для описанных выше методов характерна достаточно высокая точность и простые с точки зрения программной реализации алгоритмы. Однако данные методы обладают одним общим недостатком: невозможностью расчета течений с большими деформациями, так как возникающие в этом случае сильные искажения ячеек сетки и перехлест границ ведут к нарушению узловой связности и аварийному завершению расчета.

Также большое распространение получила группа методов, берущая начало от метода Харлоу - метода частиц в ячейках [75]. Позже появились различные модификации этих методов — методы крупных частиц [12] и метод частиц-в-ячейках [19, 81]. Это направление методов сочетает в себе в определенных чертах преимущества лагранжевого и эйлерового подходов. Область решения разбивается неподвижной (эйлеровой) сеткой, а сама сплошная среда представляется совокупностью частиц (лагранжева сетка), которые движутся через эйлерову сетку ячеек. Частицы служат для определения параметров самой жидкости (энергии, скорости), в то время как эйлерова сетка используется для определения параметров полей давления, плотности, температуры. Главный недостаток этой группы методов заключается в относительно невысокой точности, при которой обычный уровень погрешности составляет несколько процентов.

С ростом производительности компьютеров возродился интерес к лагранжевому описанию среды на основе свободно-лагранжевых методов. В таких методах отношение соседства частиц не фиксировано и может со временем изменяться. Данные методы известны как бессеточные методы [88, 112, 124, 125], которые аппроксимируют уравнения в частных производных, основываясь только на наборе узлов без использования расчетной сетки. Характерными представителями этой группы методов являются метод сглаженных частиц (Smoothed Particle Hydrodynamics, SPH) [131, 132], полунеявный метод движущихся частиц (Moving Particle Semi-implicit, MPS) [120, 121], метод лагранжево-эйлеровых частиц [71].

Метод SPH был предложен в 1977 году Льюси и Монаганом для решения задач астрофизики, позднее метод был применен для решения задач гидродинамики [131, 132]. Основная идея метода состоит в дискретизации среды конечным набором лагранжевых частиц, которые движутся со скоростью потока и допускают произвольную связность между собой. Все функции, входящие в систему дифференциальных уравнений, представляются в виде интегралов по области течения с весовой функцией Дирака. Далее функция Дирака заменяется финитной функцией ядра W , которая может быть продифференцирована аналитически, а интегралы заменяются конечной суммой по соседним частицам. Так как функция ядра легко дифференцируема, то вычисление производной от искомой функции не составляет труда.

Метод MPS [120, 121] является одной из модификаций метода SPH. Основные идеи метода схожи с идеями метода сглаженных частиц, однако он предназначен для расчета течений несжимаемой жидкости. Функция ядра W должна удовлетворять всем свойствам, что и в методе SPH, кроме требования j* WdQ = 1, и зависит от количественной плотности частицы, с помощью п которой достигается условие несжимаемости жидкости. Из-за специфического вида функции ядра производная от искомой функции в методе MPS вычисляется по формуле производной по направлению [120].

Метод лагранжево-эйлеровых частиц впервые описан Франком A.M. в 1992 году [71]. Рассматриваемый метод частиц базируется на свободно-лагранжевой модели, которая строится на основе принципа наименьшего принуждения Гаусса. С другой стороны, массовые, внутренние и поверхностные силы вычисляются в эйлеровых координатах. Полученная в результате численная схема является полностью консервативной и устойчивой. Метод представляет собой некоторый специальный вариант метода Галеркина, и основная идея заключается в переходе от дифференциальной постановки задачи к вариационной. Сложность данного метода заключается в выборе базисных функций, с помощью которых определяются неизвестные функции.

К общим недостаткам перечисленных бессеточных методов можно отнести сравнительно невысокую точность и трудность введения граничных условий [112, 130]. Для внедрения граничных условий используются различные методы: метод множителей Лагранжа, вариационные методы, метод штрафов. В некоторых бессеточных методах для внедрения граничных условий строится специальный вид функций формы. Также большое распространение получил способ внедрения граничных условий на основе разбиения области конечными элементами и применения стандартной процедуры МКЭ, изменяющей коэффициенты матрицы. Дополнительно в бессеточных методах для аппроксимации неизвестных функций требуется обеспечить узловую связность и вычислить значение производной от функции формы, что в некоторых методах представляет серьезные трудности.

В связи с вышесказанным, особенно актуальным является разработка вычислительных алгоритмов, объединяющих сеточный и бессеточный подходы и использующие преимущества каждой из методологий. Характерными представителями этой группы методов являются бессеточный метод конечных элементов (Meshless Finite Element Method, MFEM) [103, 133] и метод естественных соседей (Natural Element Method, NEM) [134].

Методы NEM и MFEM основываются на интерполяции естественных соседей (natural neighbour interpolation) [11, 87, 141, 142]. В вычислительной геометрии понятие естественных соседей связано с понятием ячейки Вороного: для заданного узла pj ячейка Вороного - объединение точек пространства, расстояние от которых до pt меньше, чем до остальных узлов [52, 90]. Ячейки Вороного разбивают все пространство на выпуклые многоугольники, в каждом из которых находится только один из узлов системы точек. Среди многочисленных свойств этих ячеек особо следует отметить единственность разбиения, двойственность триангуляции Делоне и непрерывную зависимость всех геометрических параметров ячеек от координат узловых точек. Естественными соседями точки р{ являются такие точки , ячейки Вороного которых имеют общее ребро. На основе диаграммы Вороного можно разработать эффективные алгоритмы поиска естественных соседей, которые применяются при вычислении функций формы для методов NEM и MFEM.

В основе MFEM лежит классический метод конечных элементов. Для аппроксимации неизвестных функций используются функции формы Лапласа [11, 87]. Расчетная область дискретизируется элементами расширенной триангуляции Делоне, обеспечивающей единственность разбиения и, тем самым, единственность результата интерполяции.

Метод естественных соседей был предложен в 1994 году в работе [147] для решения задач теории упругости. В основе метода лежит интерполяция Сибсона, которая строится по произвольно заданному множеству расчетных узлов на ячейках Вороного первого и второго порядков. Коэффициенты интерполяции Сибсона в плоском случае определяются как отношение площади пересечения ячеек Вороного второго порядка для точки х , введенной в заданное разбиение, с площадью ячейки Вороного первого порядка, содержащую точку х . NEM представляет собой разновидность метода Галеркина, в котором базисные и весовые функции совпадают. Для формирования дискретной системы уравнений используется метод взвешенных невязок в слабой форме. Главным преимуществом интерполяции Сибсона является ее четкая определенность, независимость построения и устойчивость на неравномерном распределении расчетных узлов. Носителем функции формы Сибсона является объединение всех кругов Делоне для заданного узла pi.

Коэффициенты интерполяции Сибсона соответствуют размерности рассматриваемого пространства (расстояние в R1, площадь в R2, объем в

R3 ), в то время как функции формы Лапласа рассматривают меры, на единицу меньшей размерности. В работах [11, 87] показано, что интерполяция Сибсона позволяет получить более точные результаты, чем интерполяция Лапласа. Однако построение сибсоновских функций формы является трудоемкой задачей вычислительной геометрии, что увеличивает временные затраты при вычислении коэффициентов интерполяции. В работах [92, 149] предложен алгоритм Бовье-Вотсона построения интерполяции естественных соседей, который основывается на разбиении области ориентированными треугольниками и минимизирует время вычисления коэффициентов. Для внедрения граничных условий используется подход, который применяется в МКЭ. Тем самым в методе естественных соседей преодолеваются основные трудности, свойственные большинству бессеточных методов, — вычисление функций формы, вычисление производных от искомой функции и внедрение граничных условий.

Многие известные бессеточные численные методы (SPH, MPS, PIM, VOF) [124, 125] успешно применяются для моделирования задач гидродинамики с большими деформациями расчетной области. Данные методы позволяют достаточно точно воспроизводить кинематику течений, однако получение динамических характеристик, необходимых для расчета гидродинамических нагрузок, является весьма затруднительной задачей. Актуальность определения динамических нагрузок при взаимодействии поверхностных волн с береговыми и донными сооружениями обусловлена вероятностью появления катастрофических последствий, возникающих в том случае, когда гидродинамические нагрузки превышают допустимые пределы. При проектировании морских сооружений необходимо оценивать степень воздействия поверхностных волн на различные объекты. Проблема прочности конструкций и сооружений, взаимодействующих с жидкостью, занимает центральное место при оценке их эффективности и времени жизни.

Благодаря своей точности и устойчивости NEM нашел приложение в решении дифференциальных уравнений [93], в механике твердого тела [143, 144], в теории упругости [96, 101, 145]. При решении данного класса задач деформации расчетной области незначительны, поэтому, несмотря на все свои преимущества, применение метода NEM к решению задач механики жидкости со свободными границами затруднительно. В данной работе проводится модификация метода естественных соседей для решения задач гидродинамики с большими деформациями расчетной области. Разработка численных методов для моделирования течений идеальной несжимаемой жидкости, позволяющих с высокой точностью определять не только кинематические, но и динамические характеристики течений с большими деформациями расчетной области, является важной и актуальной задачей современной гидродинамики.

О предмете и содержании диссертации

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Главы диссертации разбиты на параграфы, нумерация которых внутри каждой главы своя. Общий объем диссертации составляет 163 листа. Список литературы состоит из 150 наименований.

Основные результаты диссертации состоят в следующем:

1. Предложен численный метод на основе метода естественных соседей для решения задач гидродинамики со свободными границами в полной нелинейной постановке, основывающейся на системе уравнений Эйлера, который позволяет проводить численное моделирование нестационарных течений идеальной несжимаемой жидкости с большими деформациями расчетной области. Характерной особенностью данного метода является возможность вычисления гидродинамических нагрузок, создаваемых жидкостью на преграды. Предложенный метод позволяет рассчитывать течения с эффектами ненулевой завихренности.

2. Разработан и реализован в виде программного комплекса численный алгоритм модифицированного метода естественных соседей для решения в полной нелинейной постановке плоских нестационарных задач со свободными границами. В качестве схемы движения по времени реализован метод дробных шагов. Для решения построенной системы линейных алгебраических уравнений реализован метод сопряженных градиентов с 01Ьи(0)-предобусловливанием, который значительно сокращает временные затраты на проведение численных экспериментов.

3. Реализован алгоритм "заметающей плоскости" представления расчетной области ячейками Вороного. Разработаны на основе дискретизации области ячейками Вороного алгоритмы определения естественных соседей для узловой точки и формирования структуры межузловой связности, а так же алгоритм определения границ многосвязной расчетной области.

4. Разработан и реализован в виде программного комплекса параллельный алгоритм метода естественных соседей для многопроцессорных вычислительных систем с распределенной памятью.

5. Проведены численные эксперименты по расчету в полной нелинейной постановке нестационарных задач о взаимодействии уединенной волны с препятствием в виде подводной ступеньки и тела прямоугольного сечения, расположенного на дне. Обнаружено образование вихревых течений вблизи препятствия. Установлено влияние вихрей на амплитуды отраженных и прошедших волн.

Заключение

1. Афанасьев К.Е., Терентьев А.Г. Применение метода конечных элементов в задачах со свободными границами текст. // Динамика сплошной среды с нестационарными границами / Чуваш, гос. ун-т им. И.Н. Ульянова. -Чебоксары, 1984. - С. 8 - 17.

2. Афанасьев, К.Е. Решение нелинейных задач гидродинамики идеальной несжимаемой жидкости со свободными границами методами конечных и граничных элементов: Автореф. дис. . д-ра физ.-мат. наук. Кемерово, 1997. -39 с.

3. Афанасьев, К. Е. Многопроцессорные вычислительные системы и параллельное программирование: учеб. пособие текст. / К. Е. Афанасьев, С. В. Стуколов. Кемерово: Изд-во КемГУ, 2003. - 182 с.

4. Афанасьев, К.Е., Березин, Е. Н. Анализ динамических характеристик при взаимодействии уединенной волны с препятствием текст. // Вычислительные технологии. 2004. - Т. 9, № 3. - С. 22-38.

5. Афанасьев, К. Е. Многопроцессорные системы. Построение, развитие, обучение текст. / К. Е. Афанасьев, В.Г. Домрачев, И.В. Ретинская, А.К. Скуратов, С. В. Стуколов. М.: КУДИЦ-ОБРАЗ, 2005. - 224 с.

6. Афанасьев, К.Е. Сравнительное исследование алгоритмов интерполяции Сибсона и Лапласа текст. / К.Е. Афанасьев, Т.С. Рейн // Инновационные Недра Кузбасса. 1Т-технологии-2008: сборник научных трудов. Кемерово: ИНТ. - 2008. - С. 286-292.

7. Баландин, М. Ю. Методы решения СЛАУ большой размерности текст. / М. Ю. Баландин, Э. П. Шурина, Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2000. - 70 с.

8. Барахнин, В.Б. Отражение волны прорыва от вертикальной стенки. Численное моделирование и эксперимент текст. / В.Б. Барахнин, Т.В. Краснощекова, И.Н. Потапов // ПМТФ, 2001. Т. 42, № 2. - С. 96-102.

9. Бахвалов, Н. С. Численные методы текст. / Н. С. Бахвалов, М.: Наука, 1975.-600 с.

10. Беликов, В. В. Несибсоновская интерполяция новый метод интерполяции значений функции на произвольной системе точек текст. /

11. B.В. Беликов, В.Д. Иванов, В.К. Конторович, С.А. Корытник, А.Ю. Семенов // Вычислительная математика и математическая физика, 1997. Т. 37, №1. —1. C. 11-17.

12. Белоцерковский, О. М. Методы крупных частиц в газовой динамике текст. / О. М. Белоцерковский, Ю. М. Давыдов, М.: Наука, 1974. - 400 с.

13. Бенерджи, П. Методы граничных элементов в прикладных науках текст. / П. Бенерджи, Р. Баттерфилд, М.: Мир, 1984. - 494 с.

14. Березин, И.С. Методы вычислений. Том первый текст. / И.С. Березин, Н.П. Жидков. М.: Гос. изд-во физ.-мат. лит., 1962. - 464 с.

15. Бреббия, К. Методы граничных элементов текст. / К. Бребия, Ж. Теллес, Л. Вроубел, М.: Мир, 1987. - 524 с.

16. Букреев, В.И Эксперименты с волнами на мелкой воде, генерируемыми движением торцевой стенки бассейна текст. / В.И. Букреев, Н.П. Туранов // ПМТФ, 1996. Том 37, № 6. - С. 44-50.

17. Букреев, В.И. О корреляции между теоретическими и экспериментальными уединенными волнами текст. / В.И. Букреев // ПМТФ, 1998.-Т. 39, №5.-С. 11-18.

18. Воеводин, В.В. Параллельные вычисления текст. / В. В. Воеводин, Вл. В. Воеводин, СПб.: БХВ-Петербург, 2002. - 608 с.

19. Григорьев, Ю.Н. Численное моделирование методами частиц-в-ячейках текст. / Ю.Н. Григорьев, В.А. Вшивков, М.П. Федорук. Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2004.-360 с.

20. Громадка, Т. Комплексный метод граничных элементов текст. / Т. Громадка, Ч. Лей, М.: Мир, 1990. - 304 с.

21. Дацюк, В.Н. Среда параллельного программирования MPI (методическое пособие, часть II) текст. / В.Н. Дацюк, А.А. Букатов, А.И. Жегуло, -Ростов на - Дону : Изд - во РГУ, 2000. - 65 с.

22. Джордж, А. Численное решение больших разреженных систем уравнений: Пер. с англ. текст. / А. Джордж, Дж. Лю, М.: Мир, 1984. - 333 с.

23. Железняк, М.И. Физико-математические модели наката цунами на берег текст. / М.И. Железняк, Е.Н. Пелиновский // Накат цунами на берег. -Горький, ИПФ АН СССР, 1985. С. 8-33.

24. Зенкевич, О. Конечные элементы и аппроксимация текст. / О. Зенкевич, К. Морган, М.: Мир, 1986. - 317 с.

25. Зейтунян, Р.Х. Нелинейные длинные волны на поверхности воды и солитоны текст. / Р.Х. Зейтунян // Успехи физических наук. Физика наших дней, 1995.-Том 165, № 12.-С. 1403-1456.

26. Ильин, В.П. Методы конечных разностей и конечных объемов для эллиптических уравнений текст. / В.П. Ильин, — Новосибирск: изд. инст. мат-ки, 2000. 345 с.

27. Карабцев, С.Н. Метод естественных соседей для моделирования взаимодействия уединенных волн с подводными препятствиями текст. /

28. С.Н. Карабцев, С.В. Стуколов // Сопряженные задачи механики реагирующих сред, информатики и экологии. Материалы Международной конференции, 25-28 июня, 2007. Изд-во Томского университета. - С. 94 -95.

29. Карабцев С.Н., Стуколов С.В. Построение диаграммы Вороного и определение границ области в методе естественных соседей текст. // Вычислительные технологии. Новосибирск. В печати.

30. Карабцев, С.Н. Параллельная реализация метода естественных соседей для решения задач гидродинамики со свободными границами текст. / С.Н. Карабцев, Т.С. Рейн // Вычислительные технологии. Спец. выпуск. Новосибирск. В печати.

31. Киселев, О.М. Нелинейные задачи теории струйных течений тяжелой жидкости текст. / О.М. Киселев, JLM. Котляр. — Казань: изд-во Казан, гос. ун-та, 1978.

32. Коннор, Дж. Метод конечных элементов в механике жидкости текст. / Дж. Коннор, К. Бреббия, — Л.: Судостроение, 1979. 264 с.

33. Коробкин, А.А., Стурова, И.В. Плоская задача Коши-Пуассона для бассейна с плавно меняющимся дном текст. // Прикладная механика и техническая физика. 1990. - № 3. - С. 54-60.

34. Лаврентьев, М.А. Проблемы гидродинамики и их математические модели текст. / М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат, — М.: Наука, 1977. 407 с.

35. Лайтхилл, Дж. Волны в жидкостях / Дж. Лайтхилл. М.: Мир, 1981. -598 с.

36. Лисейкин, В.Д. Об интерактивном комплексе программ построения двумерных структурных сеток текст. / В.Д. Лисейкин, Ю.И. Молородов, Г.С. Хакимзянов // Вычислительные технологии, 2000. — Т. 5, № 1. — С. 70-84.

37. Лойцянский, Л. Г. Механика жидкости и газа: Учеб. для вузов. 7-е изд., испр. текст. / Л.Г. Лойцянский, -М.: Дрофа, 2003. — 840 с.

38. Манойлин, С.В. Некоторые экспериментально-теоретические методы определения воздействия волн цунами на гидротехнические сооружения и акватории портов текст. // Препринт № 5. Вычислительный центр СО АН, Красноярск, 1989. 45 с.

39. Марсден, Дж. Е. Математические основы механики жидкости текст. / Дж.Е. Марсден, А. Чорин, Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2004. - 204 с.

40. Марчук, Ан. Г. Численное моделирование волн цунами текст. / Ан.Г. Марчук, Л.Б. Чубаров, Ю.И. Шокин, Новосибирск: Наука, Сиб. отд-ние, 1983.-174 с.

41. Немнюгин, С.А. Параллельное программирование для многопроцессорных вычислительных систем текст. / С.А. Немнюгин, О.Л. Стесик, Петербург: БХВ, 2002. - 400с.

42. Овсянников, Л.В. Нелинейные проблемы теории поверхностных и внутренних волн текст. / Л.В. Овсянников, Н.И. Макаренко, В.И. Налимов. -Новосибирск: Наука, Сиб. отделение, 1985. 318 с.

43. Овсянников, Л.В. Общие уравнения и примеры текст. / Л.В. Овсянников // Задачи о неустановившемся движении жидкости со свободной границей. — Новосибирск: Наука, 1967. С. 5-75.

44. Патанкар, С.В. Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости текст. / С.В. Патанкар, М.: Энергоатомиздат, 1984. — 152 с.

45. Препарата, Ф. Вычислительная геометрия: введение текст. / Ф. Препарата, М. Шеймос, М.: Мир, 1989. - 450 с.

46. Протопопов Б.Е. Численный анализ трансформации уединенной волны при отражении от вертикальной преграды текст. // Изв. АН, Механика жидкости и газа. №5. - 1990. - С. 125-133.

47. Протопопов, Б.Е. Расчет волновых движений жидкости на основе уравнений Эйлера текст. // Вычислительные технологии, 2007. Том 12, № 1.-С. 82-92.

48. Рейн, Т.С. Решение модельных задач гидродинамики методом естественных соседей текст. / Т.С. Рейн, С.Н. Карабцев, С.В. Стуколов // Инновационные Недра Кузбасса. IT-технологии: сборник научных трудов. -Кемерово: ИНТ, 2007.-С. 311 -317.

49. Рузиев, Р.А. Численное исследование трансформации уединенной волны над подводным уступом текст. / Р.А. Рузиев, Г.С. Хакимзянов // Вычислительные технологии, 1992. Т. 1, № 1. - С. 5-22.

50. Сборник трудов Второй российско-германской школы по параллельным вычислениям, текст. 27 июня 6 июля 2005 г. Новосибирск, Академгородок, Россия.

51. Седов, JI. И. Механика сплошной среды текст. / JI. И. Седов, М.: Наука, 1973.-Т.1.-528 с.

52. Седов, JI. И. Механика сплошной среды текст. / Л. И. Седов, М.: Наука, 1973.-Т.2.-560 с.

53. Скворцов, А. В. Триангуляция Делоне и ее применение текст. / А.В. Скворцов, Томск: ТГУ, 2002. - 128 с.

54. Сретенский, Л.Н. Теория волновых движений жидкости текст. / Л.Н. Сретенский. -М: Наука, 1977. 815 с.

55. Стуколов, С.В. Решение нелинейных волновых задач гидродинамики идеальной жидкости комплексным методом граничных элементов: Автореф. дисс. . к.ф.-м.н. Кемерово, 1999. 26 с.

56. Стурова, И.В. Косое набегание поверхностных волн на упругую полосу текст. / И.В. Стурова // Прикладная механика и техническая физика, 1999. -Т. 40, № 4. С. 62-68.

57. Темам, Р. Уравнения Навье-Стокса. Теория и численный анализ текст. /Р. Темам,-М.: Мир, 1981.-408 с.

58. Терентьев, А.Г. Численные методы в гидродинамике: учебное пособие текст. / А.Г. Терентьев, К.Е. Афанасьев, Чебоксары: Чуваш, ун-т, 1987. -80 с.

59. Фаддеев, Д. К. Вычислительные методы линейной алгебры текст. / Д. К. Фаддеев, В. Н. Фаддеева, М.: Физматгиз, 1963.

60. Форсайт, Дж. Машинные методы математических вычислений: пер. с. англ. / Дж. Форсайт, М. Малькольм, К. Моулер. М.: Мир, 1980. - 280 с.

61. Франк, A.M. Дискретная нелинейно-дисперсионная модель мелкой воды текст. / A.M. Франк // Прикладная механика и техническая физика, 1994.-№1.-С. 34-42.

62. Франк, А. М. Дискретные модели несжимаемой жидкости текст. / A.M. Франк, М.: Физматлит, 2001. - 208 с.

63. Франк, A.M. Численное моделирование уединенных поверхностных волн в рамках дискретной модели несжимаемой жидкости текст. /

64. A.M. Франк II Журнал прикладной механики и технической физики, 1989. -№3(175).-С. 95-101.

65. Хажоян, М.Г. Численное моделирование взаимодействия поверхностных волн с подводными препятствиями текст. / М.Г. Хажоян, Г.С. Хакимзянов // Вычислительные технологии, 2003. — Т. 8, № 4. — С. 108 — 123.

66. Хакимзянов, Г.С., Шокин, Ю.И., Барахнин, В.Б., Шокина, Н.Ю. Численное моделирование течений жидкости с поверхностными волнами текст. / Г.С. Хакимзянов, Ю.И. Шокин, В.Б. Барахнин, Н.Ю. Шокина. -Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2001. 394 с.

67. Харлоу, Ф. X. Численный метод частиц в ячейках для задач гидродинамики текст. / Ф. X. Харлоу // Вычислительные методы в гидродинамике, -М.: Мир, 1967. С. 316-342.

68. Чжен, П. Отрывные течения. Том 2. текст. / П. Чжен, М.: Мир, 1973. -280 с.

69. Чубаров, Л.Б. Численное моделирование волн цунами: Автореф. дисс. . д-ра физ.-мат. наук, Новосибирск, 2000.

70. Шокин, Ю.И. Численное моделирование плоских потенциальных течений жидкости с поверхностными волнами текст. / Ю.И. Шокин, Р.А. Рузиев, Г.С. Хакимзянов // Препринт № 12. Вычислительный центр СО АН СССР, Красноярск, 1990. 38 с.

71. Шокин, Ю.И. Методы римановой геометрии в задачах построения разностных сеток текст. / Ю.И. Шокин, В.Д. Лисейкин, А.С. Лебедев, Н.Т. Данаев, И.А. Китаева. Новосибирск: Наука, 2005. - 256 с.

72. Яненко, Н.Н. Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики текст. / Н.Н. Яненко. Новосибирск: Наука, Сибирское отделение, 1967. — 197 с.

73. Яненко, Н.Н. О методах расчета в задачах газовой динамики с большими деформациями текст. / Н.Н. Яненко, Н.Н. Анучина, В.Е. Петренко, Ю.И. Шокин // Числ. мет. мех. спл. среды, 1970. Т. 1. - С. 40-62.

74. Яненко, Н. Н. Об экономичных неявных схемах (метод дробных шагов) текст. / Н. Н. Яненко // Докл. АН СССР, 1960. Т. 134. - 5 с.

75. Abramov, О. An evaluation on interpolation methods for mola data текст. // Proceedings of American Geophysical Union (AGU), 2001.

76. Afanasiev K.E., Stukolov S.V. Simulation of problems with free surface by a boundary element method текст. // Computational Technology. 2003. - Vol. 8, №3, Special Issue. - P. 3-33.

77. Banner, M.L. Wave breaking in deep water текст. / M.L. Banner, D.H. Peregrine // Ann. Rev. Fluid Mech., 1993. Vol. 25. - P. 373-397.

78. Belikov, V.V. Non-Sibsonian interpolation on arbitrary system of points in Euclidian space and adaptive isolines generation текст. / V.V. Belikov, A.Yu. Semenov // Applied numerical mathematics. 2000. - Vol. 32. - P. 371-387.

79. Belytschko, T Meshless Methods: An Overview and Recent Developments текст. / Т. Belytschko, Y. Krongauz, D. Organ, M. Fleming, P. Krysl // Сотр. Methods Appl. Mech. Engrg. 1996. - Vol. 139. - P. 3 - 47.

80. Boissonnat, J.-D. Smooth surface reconstruction via natural neighbour interpolation of distance functions текст. / J.-D. Boissonat, F. Cazals // In Symposium on Computational Geometry, 2000. P. 223-232.

81. Berg, M. Computational Geometry. Algorithms and Applications. Second, Revised Edition текст. / M. Berg, M. Van Kreveld. Berlin: Springer-Verlag, 2000. - 367 p.

82. Boissonnat, J.-D. Natural neighbour coordinates of points on a surface текст. / J.-D. Boissonnat and F. Cazals // Computational Geometry: Theory and Applications, 2001.-P. 155-173.

83. Bowyer, A. Computing Dirichlet tessellations текст. / A. Bowyer // Computer journal. 1981. - Vol.24. - P. 162-166.

84. Braun J. A numerical method for solving partial differential equation on highly irregular evolving grids текст. / J. Braun, M. Sambridge // Nature, 1995. -Vol. 376.-P. 655-660.

85. Braun, J. Geophysical parametrization and interpolation of irregular data using natural neighbors текст. / J. Braun., M. Sambridge, H. McQueen // Geophysical journal international. 1995. - Vol. 122. - P. 837-857.

86. Brown, D. L. Accurate projection methods for the incompressible navier-stokes equations текст. / D.L. Brown, R. Cortez, M.L. Minion // J. Comput. Phys., 2001.-Vol. 168, №2.-P. 464-499.

87. Bueche, D. Dispersive properties of the natural element method текст. / D. Bueche, N. Sukumar, B. Moran // Computational Mechanics, 2000. № 25. - P. 207-219.

88. Cazals, F. Conformal Alpha Shapes текст. / F. Cazals, J. Giesen, M. Pauly, A. Zomorodian // Eurographics Symposium on Point-Based Graphics, 2005.

89. Chorin, A. Numerical solution of the Navier-Stokes equations текст. / A. Chorin // Math. Сотр. 1968. - Vol. 22. - P. 745-762.

90. Codina, R. Pressure stability in fractional step finite element method for incompressible flows текст. / R. Codina // Journal of computational physics, 2001. -Vol. 170.-P. 112-140.

91. Cooker, M.J. Reflection of a high-amplitude solitary wave at a vertical wall текст. / M.J. Cooker, P.D. Weidman, D.S. Bale // Journal fluid mechanic, 1997. -Vol. 342.-P. 141-158.

92. Cueto, E. Overview and Recent Advances in Natural Neighbour Galerkin Methods текст. / E. Cueto, N. Sukumar // Arch. Comput. Meth. Engng. 2003. -Vol. 10, №4.-P. 307-384.

93. Debnath, L. Nonlinear water waves текст. / L. Debnath, London: Academic Press, Inc., 1994. - 544 p.

94. Dongarra, J. Sourcebook of parallel computing текст. / J. Dongarra, I. Foster, G. Fox, W. Gropp and other, San Francisco: Elsevier, 2003. - 852 p.

95. Dunavant, D.A. High Degree Efficient Symmetrical Gaussian Quadrature Rules for the Triangle текст. / D.A. Dunavant // International journal numerical methods in engineering. 1985. Vol. 21.-P. 1129-1148.

96. Edelsbrunner, H. Three-dimensional alpha shapes текст. / H. Edelsbrunner, E.P. Macke // ACM Trans. Graph. 1994. Vol. 13, № 1. - P. 43-72.

97. Eijkhout, V. LAPACK working note 50: Distributed sparse data structures for linear algebra operations текст. / V. Eijkhout // Tech. Rep. CS 92-169, Computer Science Department, University of Tennessee, Knoxville, TN, 1992.

98. Farin, G. Surfaces over Dirichlet tessellations текст. / G. Farin // Computer Aided Geometric Design. 1990. - Vol.7. - P. 281-292.

99. Fenton, J.D. A Fourier method for solving nonlinear water-wave problems: application to solitary-wave interactions текст. / J.D. Fenton, M.M. Rienecker // Journal Fluid Mech., 1982.-Vol. 118.-P. 411-443.

100. Fortune, S. J. A sweepline algorithm for Voronoi diagrams текст. / S.J. Fortune // Journal Algorithmica. 1987. - №2. - P. 153-174.

101. Frey, P.J. Mesh generation. Application to finite elements текст. /P.J. Frey, P.-L. George, UK: Hermes Science Publishing, 2000. - 817 p.

102. Fries, T.-P. Classification and overview of meshfree methods текст. / T.-P. Fries, H.-G. Matthies. Brunswick: Institute of Scientific Computing, Germany, 2004. - 122 p.

103. Green, A.E. A derivation of equations for wave propagation in water of variable depth текст. / A.E. Green, P.M. Nagdi // Journal fluid mechanics, 1976. -Vol. 78.-P. 237-246.

104. Green, P. Computing dirichlet tessellations in the plane текст. / P. Green, R. Sibson // Computer Journal, 1977. Vol. 21, №22. - P. 168-173.

105. Hammer, P.S. Numerical integration over simplexes and cones текст. / P.S. Hammer, О.J. Marlowe, A.H. Stroud // Math. Tables Other aids computes. -1956.-P. 130-139.

106. Hiyoshi, H. Improving continuity of Voronoi-based interpolation over Delaunay spheres текст. / H. Hiyoshi, K. Sugihara // Computational Geometry, 2002. Vol. 22. - P. 167-183.

107. Idelsohn, S. The meshless finite element method текст. / S. Idelsohn, E.O~nate, N. Calvo, F. Del Pin // International Journal for Numerical Methods in Engineering, 2003. Vol. 58, № 4.

108. Jarvis, R.A. Computing the shape hull of points in the plane текст. / R. A. Jarvis // In Proceedings of the IEEE Computing Society Conference on Pattern Recognition and Image Processing, 1977. P. 231-241.

109. Koshizuka, S. A particle method for incompressible viscous flow with fluid fragmentation текст. / S. Koshizuka, H. Tamako, Y. Oka // Computational Fluid Dynamics Journal. 1995. -Vol. 4, №1. - P. 29-46.

110. Koshizuka, S. Numerical analysis of breaking waves using the moving particle semi-implicit method текст. / S. Koshizuka, A. Nobe, Y. Oka // International Journal for Numerical Methods in Fluid. 1998. - Vol. 26. - P. 751769.

111. Laitone, E.V. The second approximation to cnoidal and solitary waves текст. / E.V. Laitone // Journal Fluid Mechanics, 1960. Vol. 9, № 3. - P.430-444.

112. Lasserre, В. An analytical expression and an algorithm for the volume of a convex polyhedron текст. / В. Lasserre // Journal of Optimization Theory and Applications. 1983. - Vol. 39, № 3. - P. 363-377.

113. Li, S. Meshfree and particle methods and their applications текст. / S. Li, W.K. Liu // Appl. Mech. Rev. 2002. - Vol. 55. - P. 1 - 34.

114. Liu, G.R. Mesh free methods: moving beyond the finite element method текст. / G.R. Liu, -London: CRC Press, 2003. 693 p.

115. Liu, P. L.-F. A numerical study of a solitary wave over a shelf текст. / P.L.-F. Liu, Y. Cheng//Physics of fluids, 2001.-Vol. 13, №6.-P. 1660- 1667.

116. Losada, M.A. Experimental study of the evolution of a solitary wave at an abrupt junction текст. / M.A. Losada, C. Vidal, R. Medina // Journal of geophysical research, 1989. Vol. 94, № C10. - P. 14557-14566.

117. Manteuffel, T. An incomplete factorization technique for positive definite linear systems текст. / Т. Manteuffel // Mathematics of Computation. 1980. -Vol. 34.-P. 473-497.

118. Meijerink, J. An iterative solution method for linear systems of which the coefficient matrix is a symmetric M-matrix текст. / J. Meijerink, H. V. Vorst // Mathematics of Computation, 1977. Vol. 31. - P. 148-162.

119. Mendez, S. F. Mesh-free methods and finite element: friend or foe? текст. // Doctoral thesis. Universitat Politecnica de Catalunya, Barselona, 2001. 162 p.

120. Monaghan, J. Smoothed particle hydrodynamics текст. / J. Monaghan // Ann. Rev. Astron and Astrophysics, 1992. Vol. 30. - P. 543-574.

121. Monaghan, J.J. Simulation of free surface flows with SPH текст. / J.J. Monaghan, M.C. Thompson, K. Hourigan // Journal of computational physics, 1994. Vol. 110. - P. 399^106.

122. Owens, S.J. An implementation of natural neighbor interpolation in three dimensions текст. / S.J. Owens // Master's thesis. Brigham Young University, 1992.- 118 p.

123. Peregrine, D.H. Breaking waves on beaches текст. / D.H. Peregrine // Ann. Rev. Fluid Mech., 1983.-Vol. 15.-P. 149-178.

124. Piper, P. Properties of local coordinates based on Dirichlet tessellations текст. / P. Piper. In G. Farin, H. Hagen, and H. Noltemeier, editors // Geometric Modelling. -Wien New York: Springer-Verlag, 1993. Vol. 8. - P. 227-239.

125. Protopopov, B.E. An efficient numerical method for calculation of strongly nonlinear water waves текст. / B.E. Protopopov // Вычислительные технологии, 1998.-Т. 3, № 3. С. 55-71.

126. Saad, Y. A basic tool kit for sparse matrix computation текст. / Y. Saad // Tech. Rep. CSRD TR 1029, CSRD, University of Illinois, Urbana, IL., 1990.

127. Seabra-Santos, F. J. Numerical and experimental study of the transformation of a solitary wave over a shelf or isolated obstacle текст. / F.J. Seabra-Santos, D.P. Renouard, A.M. Temperville // J. Fluid Mech., 1987. Vol. 176. - P. 117134.

128. Shokin, Yu.I. New potentialities of computational experiment in tsunami problem текст. / Yu.I. Shokin, G.S. Khakimzyanov, L.B. Chubarov // Computational Fluid Dynamics, Springer, 1995.-P. 53-61.

129. Sibson, R. A vector identity for the Dirichlet tessellation текст. // Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 1980. Vol. 87.-P. 151-155.

130. Sibson, R. A brief description of natural neighbor interpolation текст. // In V. Barnett, editor, Interpreting Multivariate Data, Chichester. John Wiley, 1981. -P. 21-36.

131. Sukumar, N. The natural element method in solid mechanics текст. / N. Sukumar // Ph. D. thesis, theoretical and applied mechanics, Northwestern university, Evanston, Illinois, U.S.A, 1998. 206 p.

132. Sukumar, N. The natural element method in solid mechanics текст. / N. Sukumar, B. Moran, T. Belytschko// International journal of numerical methods in engineering, 1998. Vol. 43, №5. - P. 839-887.

133. Sukumar, N. Natural neighbour Galerkin methods текст. / N. Sukumar, B. Moran, A.Yu. Semenov, V.V. Belikov // International journal for numerical methods in engineering, 2001. Vol. 50. - P. 1-27.

134. Teichmann, M. Surface reconstruction with anisotropic density-scaled alpha-shapes текст. / M. Teichmann, M. Capps // In IEEE Visualization 98 Proceedings, San Francisco, CA, ACM. SIGGRAPH Press, 1998. P. 67-72.

135. Traversoni, L. Natural neighbor finite elements текст. / L. Traversoni // In International Conference on Hydraulic Enginnering Software. Hydrosoft Proceedings 2. Computational Mechanics Publications, 1994. P. 291-297.

136. Watson, D. Computing the n-dimensional Delaunay tessellation with application to Voronoi polytopes текст. / D. Watson // The Computer Journal, 1981.-Vol. 24, №2.-P. 167-172.

137. Watson, D. F. Nngridr: An implementation of natural neighbor interpolation текст. / D.F. Watson, Claremont Australia: Dave Watson Publisher, 1994.

138. Yeh, J. Long-wave runup models текст. / J. Yeh, P. Liu, C.E. Synolakis, -Singapore: World Scientific, 1996. 403 p.