автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Численное моделирование стационарных плоских течений со свободными границами

На правах рукописи

УДК 517.94, 519.6

Эйалло Корней Океане

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СТАЦИОНАРНЫХ ПЛОСКИХ ТЕЧЕНИЙ СО СВОБОДНЫМИ ГРАНИЦАМИ

Специальность 05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Тверь - 2011

2 ИЮН 2011

4849072

Работа выполнена на кафедре функционального анализа и геометрии Тверского государственного университета.

Научный руководитель

кандидат физико-математических наук, доцент И.Ш.Могилевский Официальные оппоненты:

доктор технических наук, профессор В.Д.Горячев

доктор физико-математических наук, доцент K.M. Зингерман

Ведущая организация - Ульяновский государственный технический университет

Защита состоится 24 июня 2011 г. в 14.00 на заседании диссертационного совета Д 212.263.04 при Тверском государственном университете по адресу: 170002, г. Тверь, Садовый пер., д.35, ауд. 200.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Тверского государственного университета по адресу: 170000, Тверь, ул. Володарского, 44 а.

Объявление о защите диссертации и автореферат опубликовапы 19 мая 2011г. на официальном сайте Тверского государственного университета по адресу: http://university.tversu.ru/aspirants/abstracts/.

Автореферат разослан " ^ 2011 г.

Ученый секретарь совета .

доктор физико-математических паук, доцент О С.М. Дудаков

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность исследования

Математический анализ и расчет течений вязкой несжимаемой жидкости — один из важнейших разделов гидродинамики. В качестве основной математической модели вязкого потока используются системы уравнений Навье-Стокса и Стокса.

Важный класс задач гидродинамики — это задачи со свободными границами. Эти задачи характеризуются тем, что граница области, в которой ищется решение (или ее часть), неизвестна и ищется в процессе решения. Многие течения жидкости в естественных водоемах, в каналах и в трубопроводах - это течения с частично свободными границами. Пример такого рода задач — задача о течении жидкости в канале с неизвестной границей раздела жидкость - атмосфера. Именно эта задача и составляет предмет настоящей диссертации. При прогнозировании явлений, возникающих на границе между жидкостью и газом или между двумя несмешивающимися жидкостями, при определении формы поверхности жидкости, движущейся по капилляру, возникает необходимость численного моделирования течений со свободными границами. Многие явления, возникающие на границе раздела жидкость - газ, носят нелинейный характер. Важный шаг в математическом моделировании таких явлений - это составление различных линеаризаций, математическое исследование соответствующих систем дифференциальных уравнений и численная реализация методов их решения. Наиболее распространенной линейной математической моделью установившегося течения вязкой несжимаемой жидкости является система уравнений Стокса. Численному исследованию двухмерной краевой задачи с частично свободной границей для системы Стокса и посвящена диссертация.

Задачи о течениях со свободными границами привлекают внимание многих исследователей. Математическое исследование таких задач о течении жидкости со свободными границами было проведено, в частности, O.A. Ладыженской, В.А. Солошшковым и В.В. Пухна-чевым. С 2002 г. институт гидродинамики СО РАН регулярно проводит научные конференции на тему „Задачи со свободными границами: теория, эксперимент и приложения".

Цели исследования

Целью диссертационной работы является построение математической модели плоского стационарного движения вязкой несжимае-

мой жидкости с частично свободной границей, составление комплекса компьютерных программ для расчета течений со свободной границей, проведение численных экспериментов.

Объект исследования

Объектом исследования является установившееся двухмерное движение вязкой несжимаемой жидкости со свободной границей.

Методы исследования

В работе применяются численные и аналитические методы преобразования и решения краевых задач для системы линейных дифференциальных уравнений в частных производных, описывающих стационарное двухмерное движение вязкой несжимаемой жидкости со свободной границей.

Положения, выносимые на защиту

1. Разработана численная модель установившегося плоского течения вязкой несжимаемой жидкости с частично свободной границей.

2. Вывод интегрального тождества для функции тока, определяющей решение второй краевой задачи для системы Стокса. Получена численная реализация решения второй краевой задачи для двухмерной системы Стокса.

3. Реализовано численное решение методом Галеркина задачи Неймана для уравнения Пуассона. Доказана сходимость галеркин-ских приближений к обобщенному решению задачи Неймана.

4. Найдены точные решения задачи со свободной границей для двухмерной системы Стокса. Проверена работоспособность метода численного моделирования течений со свободной границей на точных решениях.

5. Создано математическое обеспечение моделирования течений со свободной границей в среде МАТЬАВ.

Научная новизна исследования

1. Получена новая численная реализация метода расщепления (метода вспомогательной задачи), на основе которого ранее была установлена разрешимость стационарной задачи со свободной границей.

2. Выведено новое интегральное тождество для функции тока, определяющей решение вспомогательной задачи.

3. Впервые проведено обоснование и выполнена численная реализация метода Галеркина для нахождения функции тока.

4. Построены новые точные решения краевой задачи со свободной границей для двухмерной системы Стокса.

Теоретическая значимость исследования

Теоретическая значимость полученных в диссертации результатов заключается в математическом обосновании построения численной модели течения вязкой несжимаемой жидкости с частично свободной границей. Вывод интегрального тождества, которому удовлетворяет функция тока для системы уравнений Стокса, и построение точных решений задачи со свободной границей являются вкладом в математическую теорию течений вязкой несжимаемой жидкости.

Практическая значимость исследования

Практическая значимость результатов диссертации состоит в создании комплекса компьютерных программ, которые позволяют проводить расчеты течений со свободными границами и ставить численные эксперименты для исследования такого рода течений.

Достоверность и обоснованность

Достоверность полученных в диссертации результатов базируется на использовании строгих аналитических и численных математических методов, апробированных методов математического моделирования, а также на совпадении результатов численных расчетов с построенными точными решениями рассматриваемых в диссертации задач.

Апробация работы

Результаты диссертации были доложены на следующих научных конференциях:

1. Третья Всероссийская конференция с участием зарубежных ученых „Задачи со свободными границами: теория, эксперимент и приложения", г. Бийск, 2008 г.

2. „Параболические уравнения и уравнения Навье-Стокса", математический центр имени С.Банаха в Бедлево, Польша, 2008 г.

3. „Первый международный Джолдасбековский симпозиум", г. Алматы, Казахстан, 2011 г.

Публикации

По материалам диссертации опубликовано 6 работ, среди них 3 — в изданиях, рекомендованных ВАК РФ. Список работ приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и приложения. Полный объем диссертации — 108 страниц , включая 10 рисунков, 3 таблицы и список литературы, содержащий 71 наименование. Приложение содержит тексты программ.

Краткое содержание работы

Во введении обосновывается актуальность выбранной темы, формулируются цели и задачи исследования, приводится обзор научных работ по задачам о движении вязкой несжимаемой жидкости со свободными границами.

В первой главе работы приводятся математическая постановка задачи и метод ее решения. В первом параграфе главы кратко изложены сведения об используемых в работе функциональных пространствах.

Второй параграф первой главы посвящен математической постановке задачи. Рассматривается стационарное движение жидкости в плоской области Q, ограниченной линиями Гх и Г2.

Ti и г2 = ап,

Гг = {х2 = 0,0 < xi < U {агх = 0,0 < х2 < <p(0)}U U{X! = 1,0 < Х2 < ip(l)}, Г2 = {0<х1<1,х2 = ф1)}.

Гх обозначает фиксированную часть границы области Q, а Г2 обозначает ее свободную часть, определяемую функцией кр. </> это искомая гладкая функция, принимающая положительные значения. Область Í1 изображена на рисунке 1.

Движение жидкости характеризуется вектор-функцией скорости v{xi,x2) — (v¡, v2) и скалярной функцией давления р(хi,x2).

г,

Q

г,

Рис. 1: Область, занятая жидкостью

Определению подлежит тройка функций (v. р, ф). Функции (v,p) удовлетворяют системе Стокса

-г/Д€ + Ур = /, divu = 0 в П (1)

и краевым условиям на Г = дП

v |Г1= 0, - . - ■ ■ (2)

v ■ п |Г2= 0, (3)

Т(й, р)п = -аКп на Г2. (4)

Здесь f(x) - заданная вектор-функция, п - единичный вектор внешней нормали к линии Гг, а — const > 0 - коэффициент поверхност-

ного натяжения, и — const > 0 - коэффициент кинематической вязкости, К - кривизна линии Г2, Т(г),р) - тензор напряжений с компонентами

2

Т(v,p)n = 1 £ Тцщ 2

V-fi = 'J2 Vini-

t=l ,I

П = (щ,П2), Tl\ —--y , n2

V^+W^' у/1 + Ш2

К — *

(1 + (У')2)3/2'

Если рассматривать П как поперечное сечение канала, в котором течет жидкость, то Гх — это стенки и дно канала, а Г2 — граница жидкости и атмосферы. Условие (2) есть условие прилипания, состоящее в том. что скорость жидкости на дне и стенках канала равна нулю.

Мы предполагаем, что угол между свободной границей Г2 и вертикальной частью фиксированной границы {х\ = 0} равен Это означает, что

р'(0)=0. (6)

Мы будем предполагать также, что объем жидкости фиксирован, и, следовательно, функция <р удовлетворяет условию

4>{х{)<1х 1 = V, (7)

0

где V - заданное положительное число.

Обозначим через т = (гх,г2) единичный вектор, касательный к линии Г2,

1 _ Ч>'

Т2 =

л/1 + л/1 +

Задачу (1), (2), (3), (4) будем решать, используя метод расщепления или метод вспомогательной задачи, предложенный

В.В.Пухначевым.1 Согласно этому методу решение (у, р, <р) указанной задачи ищется методом последовательных приближений.

Пусть известно к-ое приближение (ук,рк,(рк). В фиксированной области £1к с границей Г* = Г^ и где

Г* = {®2 = 0,0<Я1<г}и {жх = 0,0 < х2 < у7*=(0)}и

и{хг = 1,0 < х2 < у>40}> Г* = {0 < XI < I, х2 = <рк{хг)}.

Рассмотрим задачу относительно функций ик+1,рк+1.

-1/Д €м+ Чрк+1 =сИу«к+1=0 в

®^Мг$=0, б^-пМг^О, (8)

Т (ук+1,рк+1)пк-тк = 0 на

Здесь вектора пк и тк нормальный и касательный векторы к кривой соответственно, а • Ъ обозначает скалярное произведение двухмерных векторов.

а ■ Ь = а^ + а2Ь2. По найденным ьк+1 и рк+1 вычисляем кривизну К новой кривой Г^"1"1

К= — Т (ук+1,рк+1)пк-пк а

Теперь мы построим новую кривую

Г£+1 = {0 < X! < 1,Х2 = </+1(*1)},

кривизна которой равна найденной функции К. Кривизна К и функция <рк+1, определяющая кривую Г£+1, связаны уравнением

К= ((рк+1)" _ сг

[1 + ((^¿+1)')2]3/2 ^ + ^к+Хуу^/Г

Функцию ¡рк+1 находим как решение обыкновенного дифференциального уравнения

¿хх [1 + ((у?*+1)')2]1/2

= К{Х1),

'В.В. Пз'хначев. Плоская стационарная задача со свободной границей для уравнений Навъе-Стокса// Журнал прикл. математики и техн. физики. 1972. N 3. С. 91-102.

удовлетворяющее условиям (6) и (7). Тем самым найдено очередное приближение

(ук+\рк+1,Ч>к+1).

В упоминавшейся статье В.В. Пухначева и в работе В.А. Солонникова2 доказано, что последовательность {ук,рк,<рк) сходится к решению задачи (1), (2), (3), (4).

В третьем параграфе первой главы анализируется вспомогательная краевая задача.

-г/Ад + Ур = /, сНу V = 0 в £1, (9)

V |Г1= 0, (10)

г) -п |Г2= 0, (11)

Т(у,р)п • г = 0 на Г2. (12)

Введем новую неизвестную скалярную функцию ф(х\,х2), связанную с копонентами вектор-функции у(х) = (г>ь г^); соотношениями

дф дф , I

= 1)2 — ■ (13)

ОХ2 ОХ\

Функция ф(х) называется функцией тока. Для вектора с компонентами, связанными соотношениями (13), дивергенция равна нулю.

Функция ф(х) удовлетворяет в фиксированной области Г2 дифференциальному уравнению

-и^ф = д, (14)

где

^ дх2 дх\' а па ее границе Г = Гх и Г2 краевым условиям

(^,-^=0 на ГЬ (15)

\ОХ2 ОХх)

2В.А. Солоиников. Разрешимость трехмерний задачи со свободной границей для стационарной системы уравнений Навье-Стокса // Записки научных семинаров Ленингр. отд. Матем. ин-та АН СССР. 1979. Т. 84. С. 252 - 284.

= 0 „а Г2, (16)

ах2 дх\

. д2ф (д2ф д2ф\ , 2 2. п _

Здесь П\ и п2 — компоненты единичного вектора внешней нормали к границе Г.

Решение задачи (14), (15), (16), (17) ищется в виде произведения

ф{хих2) = Л(ж1,х2)[^(х1) -х2],

где Л(£1, £2) есть гладкая функция. Функция ф(х) удовлетворяет интегральному тождеству.

—и

1

У Д^Д?7С&Е + 2 J \(х1,1р(х1)) ¡1{х1,1р{х{))(р"{х1)<1х1

1.0 О

= J дцйх, (18)

которое выполняется для всякой функции г] из пространства Соболева3 (П), имеющей вид

7?(а;1,х2) = ц{хъх2)[р{х1) - х2]

с функцией ¡1. удовлетворяющей краевым условиям

р|Г1 = 0, Чц\Т1 = 0.

В четвертом параграфе первой главы краевая Задача (14), (15), (16). (17) для функции тока решается методом Галеркина. Выбирается система функций

Г}к{х) = Цк(х)[р{х{) - Х2], (Лк{Х1,Х2) = ХР1к(1-Х1)2ХЯ2к, (19) к =1,2,...,^,

3С.Л. Соболев. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. Л.: Изд. ЛГУ. 1950. ' 1

где р/с, Як ~ натуральные числа, удовлетворяющие условиям

Рк >2, % > 2, Рк + Як < г, г натуральное, г > 4.

С помощью процедуры Грама-Шмидга эта система ортонормируется в смысле скалярного произведения

{и,г) = ! Аи(х)Аг(х)йх. (20)

п

В результате ортогонализации получается набор функций {Сь •••, Слг} со свойствами

N / N \

<ИХ) = ^Р^Л*) = ( [фг) -а*],

Коэффициенты Д-у есть результат процедуры ортогонализации. Приближение к функции ф ищется в виде

»=1

Я / N N

«=1

[93(371) - ж2],

где коэффициенты 7¡ подлежат определению. Подставляя в интегральное тождество (18) ф^' вместо ф и вместо 77, получаем систему линейных алгебраических уравнений относительно чисел {71,..., 7лг}.

N

X

1=1

N

J д(х)Ск(х) dx, к =

Для определения давления р продифференцируем уравнения (9) и получим краевую задачу для функции р в области П.

Ар = div /. (21)

dp

дп

= [v(Aviîii + At;2n2) + / • n]r . (22)

г

Решению задачи Неймана (21), (22) методом Галеркина посвящен пятый параграф первой главы. В этом параграфе рассмотрена общая задача Неймана

Аи(х) = h(x), х£Й, (23)

^ = £ 1бЖ = Г. (24)

on

Приводятся относительно простые доказательства однозначной разрешимости этой задачи в пространстве функций, ортогональных единице.

Обозначим это пространство символом V(f2). Приближения Галеркина к решению задачи (23), (24) ищутся следующим образом. Возьмем систему полиномов

Pq(xuX2) = Х"1Х2\

где а = (cii, <*г)> »2 — целые неотрицательные числа. Затем к системе ортогональных единице полиномов

РаЫ,х2)--I Pa{xux2)dx, |а| = ai + а2 > 1

mes il J

п

применим процедуру ортогонализации Гра.ма,-Шмидта в скалярном произведении

[uM = PjïtkÊ-kdx-

«-1 П

Результатом ортогонализации являются полиномы Qi,-,Qn- Приближение uN к решению задачи (23), (24) имеет вид

n

uN = ^pkQk(x),

к=1

где коэффициенты (Зк вычисляются по формуле

& = -/ h(x)Qk(x) dx + J Ç(x)Qk(x) dT к = 1,2,..., N. n г

Доказано, что последовательность функций им сходится к решению задачи (23), (24).

Приведенный метод Галеркина решения задачи Неймана реализован в среде МАТЬАВ. Результаты работы соотвествующих программ имеются в § 1.5.

Вторая глава диссертации посвящена построению точных решений задачи со свободной границей для системы Стокса.

Пусть / = 1иО<Жх<1, I/ = 1, ст=1. Выберем функцию так, чтобы она удовлетворяла условиям

(р € С4[0,1], </>0, У(0) = 0, </(1) = 0, <р"(0)=0, Vw(l)= 0.

у2{хъх2) = -р(х2) [fl'Ori)^!) - х2] - <9(o;1)cp/(xi)]. Функция давления р(х) представляется в виде

Зададим функцию тока ф(хь х2)

Здесь р - функция класса С4 такая, что

р(0) = 0, р'(0) = 0, р(х2) = 1 при d < х2 < 1, где d € (0,1) и d, < min(<p (хх)). Введем обозначение

Тогда функция Ux(xx,x2) выражается формулой

vi(xux2) = в{хг) [p'{x2)[p(xi) - х2] - р{х2)), а функция v2(xi,x2) формулой

р{хих2) = q{xi) + r(x2),

где

q{x i) =

^[l + V'2]^

а 1

е С2, г(х2) = 0 при х2>й, J г(х2) ¿х2 = - J д(х1)<р(х1) <1x1 = Я

г х ___

о

В качестве г выбрана функция

4<Э (л 3, , 3,2 1 з

г(0 =

о г > сг

Доказано, что выбранные указанным образом функции (у, р, <р) дают решение задачи (1), (2), (3), (4).

В третьей главе приведены описания программ, реализующих алгоритм, изложенный в первой главе диссертации. Программы написаны в среде МАТЬАВ. В соответствии с алгоритмом выделяются следующие структурные части программного комплекса:

1) решение краевой задачи для функции тока методом Галеркина;

2) решение задачи Неймана методом Галеркина для давления;

3) вычисление нового приближения функции, задающей свободную границу;

4) вычисление точных решений задачи со свободной границей и сравнение приближенных решений с точными.

Работоспособность метода и соответствующего комплекса программ проверена на точных решениях, построенных во второй главе диссертации. Для функции

¡р{х1) = 0.9 + 0.15

1 5 6 у 1 § 1 д

5*1 ~ З*1 + 7*1 " 2Х1 + 9Х1

построено точное решение задачи со свободной границей. Вычислены правая часть / уравнения (1) и площадь V области П по формуле (7). По этим данным с помощью программного комплекса в § 3.6 получено приближенное решение V, р, ф. Графики функций (риф приведены на рисунке 2. Эти графики изображают свободную часть границы Г2. При этом точная граница Г2 изображена линией, составленной из звездочек, а приближенная граница — линией, составленной из кружков. В §3;7 приведены результаты численного моделирования течений со свободной границей. , ,

Рис. 2: Точная и приближенная границы

В Приложении приведены тексты программ для численного решения задачи со свободной границей.

Выводы:

1. Разработан и обоснован метод численного моделирования установившегося плоского течения вязкой несжимаемой жидкости с частично свободной границей.

2. Выполнена численная реализация метода Галеркина для решения второй краевой задачи для двухмерной системы Стокса.

3. Числепно реализован метод Галеркина решения задачи Неймана для уравнения Пуассона: доказана сходимость галеркинских приближений к обобщенному решению задачи Неймана.

4. Построены точные решения задачи со свободной границей для двухмерной системы Стокса; проверена работоспособность метода численного моделирования течений со свободной границей на точных решениях.

ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Журналы, рекомендованные ВАК

[1] Эйалло К.О. Численный анализ задачи со свободной границей для плоского стационарного течения // Вестник ТвГУ. Серия „Прикладная математика", 2009, N 8. С. 35 - 49.

[2] Могилевский И.Ш, Эйалло К.О. Решение задачи Неймана методом Галеркина // Вестник ТвГУ. Серия „Прикладная математика", 2010, N 14. С. 59 - 71.

[3] Эйалло К.О. Численное исследование плоской задачи со свободной границей для системы Стокса // Вестник ТвГУ. Серия „Прикладная математика", 2011, Вып 1 (20). С. 79 - 92.

Материалы международных конференций

[4] Эйалло К.О. Вычисление функции тока для плоского стационарного течения жидкости со свободной границей // Сборник тезисов докладов 3-ей Всероссийской конференции с участием зарубежных ученых „Задачи со свободными границами: теория, эксперимент и приложения", Новосибирск: 2008. С. 111 - 112.

[5] Eyallo С.А. The numerical simulation of a stream function to the stationary free boundary flow // Parabolic and Navier-Stokes Equations 2008. Abstracts. Mathematical Research and Conference Center. Bedlewo: 2008. P. 11 - 12.

[6j Могилевский И.Ш, Эйалло К.О. Численный анализ установившегося плоского течения жидкости с частично свободной границей // Тезисы докладов первого международного Джолдасбековского симпозиума, Алматы: 2011. С. 285 - 286.

Технический редактор A.B. Жильцов Подписано в печать 20.05.2011. Формат 60 х 84 '/i6. Усл. печ. л. 1,1. Тираж 100 экз. Заказ Х° 189. Тверской государственный университет Редакционно-издательское управление Адрес: Россия, 170100, г. Тверь, ул. Желябова, 33. Тел. РИУ: (4822) 35-60-63.

Введение

Глава Математическая модель плоского установившегося движения жидкости со свободной границей 11

§1.1. Гильбертовы пространства. Пространства Соболева

§1.2. Математическая постановка задачи со свободной границей для системы Стокса

§1.3. Решение краевой задачи для системы Стокса в области с фиксированной границей

§ 1.4. Решение краевой задачи для функции тока методом Галеркина 29

§1.5. Решение задачи Неймана методом Галеркина

Глава Точные решения задачи со свободной границей. Результаты работы комплекса программ

§2.1. Построение точных решений задачи со свободной границей 48

§2.2. Результаты проверки комплекса программ 53

Глава Описания программ 58

§3.1. Программы общего назначения 58

§3.2. Программы для вычисления функции тока 60

§ 3.3. Программы для вычисления давления

§ 3.4. Программы для вычисление нового приближения функции, задающей свободную границу 70

§ 3.5. Программы для вычисление точного решения 72

В настоящей диссертации, рассматривается задача о численном моделировании плоского стационарного течения вязкой^ несжимаемой жидкости с частично-свободной границей.

Математический анализ и расчет течений вязкой несжимаемой жидкости — один из важнейших разделов гидродинамики. Уже полтора столетия в качестве основной математической модели вязкого потока используется система уравнений Навье-Стокса. Вывод этих уравнений имеется в [1] и [2]. Начиная с 1950-х годов главные достижения в развитии, математической теории* гидродинамики, как и вообще математической физики, основаны на применении идей и методов функционального анализа. Важные результаты исследований уравнений Навье-Стокса, полученные к 1970-м годам содержатся в монографиях [3] и [4].

Бурное развитие вычислительной техники в послевоенные годы сделало возможным компьютерную реализацию различных численных методов исследования задач гидродинамики. Обоснование этих методов, в основном, также проводится на языке функционального анализа. Наиболее разработаны к настоящему времени сеточные методы, метод конечных элементов и их комбинации. Подробное изложение этих методов имеется в монографиях [5], [6], [7]', [12], [8], [9].

Важный класс задач гидродинамики — это задачи со свободными границами. Эти задачи характеризуются тем, что граница области, в которой ищется решение (или ее часть), неизвестна и ищется в процессе решения. Пример такого рода задач — задача о течении жидкости в канале с неизвестной границей раздела жидкость — атмосфера. Именно эта задача и составляет предмет настоящей диссертации. Задачи о течениях со свободными границами привлекают внимание многих исследователей. С 2002г. институт гидродинамики РАН регулярно проводит научные конференции на тему "Задачи со свободными границами: теория, эксперимент и приложения". На третьей конференции, которая состоялась в 2008г., были доложены предварительные результаты диссертационной работы.

Математическое исследование задач о- течении вязкой несжимаемой жидкости было проведено, в частности, В.А. Солонниковым и В.В. Пухначевым. В работах [13], [14], [15], [18]*, [16], [17], [19] были доказаны теоремы о разрешимости соответствующих начально-краевых задач в пространствах Соболева и Гельдера, исследованы свойства решений. В этих работах предложен и обоснован метод последовательных приближений для получения решения задачи со свободной границей. Математическая теория, общей нестационарной задачи с неизвестной границей изложена в [10]. Численному исследованию задач со свободной границей посвящена монография [11].

Система уравнений Навье-Стокса описывает соотношения между вектором скорости = (ух,У2,уз) и давлением р(х,£) жидкости, заполняющей область Пс13. дг дхк 9

Иуй = 0, яеП, ¿>0, (2)

Здесь х = (х±,х2, а?з) —декартовы координаты точки, £ — время, р — заданная постоянная плотность жидкости, V — кинематический коэффи

2 — циент вязкости, константа, имеющая размерность /(ж, Ь) — заданная вектор-функция, описывающая плотность внешних сил, действующих на жидкость. В дальнейшем мы будем считать, что р = 1. Искомыми являются вектор-функция г;(ж,£) и скалярная функция р(х, Система (1), (2) состоит из четырех скалярных уравнений относительно четырех скалярных функций , , г> з > Уравнение (1) содержит нелинейное слагаемое

Е3 дю называемое конвективным членом. Наличие этого слагаемого обусловило существенные трудности как в теоретическом так и в численном анализе системы уравнений Навье-Стокса. Вопрос о глобальной по времени разрешимости системы уравнений Навье-Стокса остается до сих пор открытым, о чем подробно говорится в статье [21].

Наиболее полно исследована первая начально-краевая задача для системы (1), (2). В этой задаче вектор-функция у{х, £) задана в области О в начальный момент времени Ь = 0 и на границе области во все моменты времени. Именно этой задаче посвящены монографии [3] и [4], а также статьи [24], [25], [22], [23].

В задачах о движении жидкости со свободной границей вся граница области £1 или ее часть неизвестны. Обозначим через Г неизвестную часть границы. Г — двухмерная поверхность. На поверхности Г задается условие

Т(?;,р)п|г = аКп, (3) где Т(г;,р) — тензор напряжений с компонентами дУг дУп

13 V

Рхз дхг

ЬЗ = 1,2,3, п — единичный вектор внешней нормали к поверхности Г, а — коэффициент поверхностного натяжения, положительная константа, К — удвоенная средняя кривизна поверхности Г. Свертка тензора Т и вектора п понимается как умножение матрицы на вектор. 3 \

Е Т1зЩ

3=1 3

Тп = X) Т2эЩ ¿=1

Е т^щ ¿=1 У

Условие (3) выведено в [19] и [20].

В задаче со свободной границей (1), (2), (3) искомыми являются три объекта: вектор-функция скорости у, скалярная функция давления р и поверхность Г. Важно заметить при этом, что занятая жидкостью область и ее граница Г зависят от времени. Разрешимость и свойства решений задачи (1), (2), (3) исследованы в работах [26], [27], [28].

Задачи со свободными границами возникают при математическом исследовании многих явлений в природе и технической сфере. Такая задача служит математической моделью роста снежно-ледового покрова. В воде выполняются уравнения Навье-Стокса, а граница воды и намерзающего льда является свободной. Численному исследованию этой задачи посвящена работа [29]. Задача со свободной'границей служит моделью течений, возникающих при- накате волн на берег. Теоретически и численно эта задача исследована в [30] и [31], [32]. Исследование движения теплороводящей жидкости в капилляре также приводит к задаче со свободной границей. Такая задача проанализирована в [33].

В случае установившегося движения жидкости искомые функции V, р и заданная функция / не зависят от времени, и уравнения Навье-Стокса приобретают вид

-»Ау + У+ = хеп, (4) дхк р апг*; = 0, х е П. (5)

Для решения стационарной задачи со свободной границей (4), (5), (3) был разработан метод расщепления (или метод вспомогательной задачи). Метод состоит в следующем. Краевое условие (3) раскладывается на нормальную

Т(у,р)п • п|г = сгК (6) и касательную

Т(у,р)п • т|г = 0 (7) составляющие. Сначала отбрасывается условие (6) и решается вспомогательная задача (4), (5), (7), в которую неизвестная граница входит как параметр. Затем учитывается условие (6). Тем самым для функции, задающей свободную границу, получается операторное уравнение.

На основе метода расщепления были исследованы задачи, в которых свободная часть границы области П не пересекается с ее твердой (фиксированной) частью. Плоская задача такого рода решена в [17], а трехмерная задача решена в [34].

Метод расщепления, оказался весьма плодотворным и при исследовании течений, для которых свободная граница пересекается с твердой. Осесимметрическая задача такого типа рассмотрена в [35] и [36], плоская задача решена в [18], трехмерная задача о движении вязкой жидкости В1 открытом сосуде подробно разобрана в [51] и [37], плоская задача с некомпактной свободной границей проанализирована в [38]. Необходимо отметить, что в случае пересечения свободной и фиксированной, частей границы решение может иметь особенности в точках пересечения: Описываются эти особенности в терминах весовых пространств, введенных В.А. Кондратьевым в работах [39]и [40]. Решения не имеют особенностей, если угол между фиксированной и свободной частями границы равен Именно этот случай и рассматривается в настоящей диссертации. Метод расщепления, приведший к успеху во многих работах, в диссертации используется в форме метода последовательных приближений. Численной реализации метода расщепления посвящена работа [41].

О'.А.Ладыженской в [3] предложен ставший классическим путь исследования нелинейной нестационарной,задачи для системы уравнений Навье-Стокса. Сначала исследуется линейная стационарная задача, затем нелинейная стационарная задача, далее линейная нестационарная задача и, наконец, нелинейная нестационарная задача. Настоящая диссертация посвящена численному анализу первой задачи из указанной программы, а именно плоской задаче со свободной границей для системы Стокса.

Задача эта состоит в следующем. Рассматривается установившееся, т.е. не зависящее от времени движение жидкости в плоской области П. Граница Г области О состоит из двух частей — фиксированной части Г1! и свободной части Гг- Область П молено представить как поперечное сечение канала, в котором течет жидкость. При этом Гх соответствует стенкам и дну канала, а Г2 границе жидкости и атмосферы. Вектор-функция скорости у(х) — (ух,У2) и скалярная функция давления р(х) удовлетворяют в П, системе уравнений Стокса

-1/АЮ + Ур = /, (8)

Иуи = 0, (9) а на границе Г краевым условиям

V ■ п |г2= о, Т (у,р)п = —аКп на Г2. н) (12)

Здесь п — единичный вектор внешней нормали к линии Г2, К — кривизна этой линии. Если линия Г2 задана функцией ср, т.е.

Г2 = {х\ € (а,6), х2 = <р(х!)}, была предметом многочисленных исследований и для нее получены исчерпывающие результаты о разрешимости и свойствах решений в различных функциональных пространствах. Эти результаты содержатся в работах [43], [44], [45], [46], [47], [48], [49], [50]. Стационарная задача со свободной границей изучалась в работах [51], [52], [17] и [19].

Плоские задачи со свободными границами исследовались численными методами. Наиболее часто применяются различные модификации метода конечных элементов. Некоторые результаты численного моделирования плоских течений со свободными границами содержатся в работах [53] и [54]. Другой вариант метода конечных элементов для задачи о плоском стационарном течении со свободной границей предложен в работе [55]. Бессеточные методы применялись к численному моделированию задач со свободной границей в [56], [57], [58]. Следует отметить, что численное моделирование течений жидкости и особенно течений со свободными границами требует большого объема вычислений. Поэтому постоянно предпринимаются попытки применять различные методы построения компьютерных моделей таких течений. то к (1+(^')2)3/2'

Сведения о кривизне плоской кривой имеются в книге [42]. Система уравнений Стокса с краевым условием

V г= а

13)

Очередная попытка такого рода и стала предметом настоящего диссертационного исследования. Основная идея заключается в том, чтобы реализовать численно метод последовательных приближений, который был применен в работах [17], [51], [52] для доказательства разрешимости задачи (8), (9), (10), (11), (12). В соответствии с этим методом решение задачи в области с неизвестной границей получается как предел последовательности решений задач в области с заданной границей. Каждый элемент последовательности есть пара V тп,ртп, ср171, где V171 это приближение скорости, р171 — приближение давления, ср171 — приближение функции, задающей свободную границу. Функция ут находится через решение краевой задачи для бигармонического уравнения относительно функции тока, функция рк находится как решение задачи Неймана для уравнения Пуассона, по найденным ут и рт вычисляется приближение кривизны Кт и, наконец, по найденной кривизне К171 вычисляется приближение <р т. Задача для функции тока и задача Неймана для давления решаются методом Галеркина. Алгоритм численного решения задачи (8), (9), (10), (11), (12) и результаты его реализации содержатся в статьях [59], [60], [61].

Целью диссертационной работы является построение математической модели плоского стационарного движения вязкой несжимаемой жидкости с частично свободной границей, составление комплекса компьютерных программ для расчета течений со свободной границей, проведение численных экспериментов и выяснение границ применимости построенной математической модели.

Структура работы

Работа состоит из введения, трех глав, заключения и приложения.

В первом параграфе первой главе приводятся определения и основные свойства используемых в работе функциональных пространств. Речь идет о пространствах функций, интегрируемых по Лебегу и о пространствах Соболева.

Во втором параграфе первой главы дана точная постановка задачи о плоском установившемся течении жидкости с частично свободной границей и изложена схема решения этой задачи методом последовательных приближений. Каждое из этих приближений есть решение краевой задачи для системы Стокса в области с фиксированной границей. Выписано точное решение нелинейного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка для нахождения функции, задающей криволинейную часть границы области по ее кривизне.

В, третьем параграфе первой главы выводится краевая задача для функции тока. Компоненты^вектор-функции у{х) — {у\,У2)5 являющейся решением системы (8), (9), ищутся в виде

Ф ЭФ п где ф(х) есть новая искомая скалярная функция, называемая функцией тока. Функция ф(х) удовлетворяет бигармоническому уравнению и краевым условиям, вытекающим из условий (10), (11), (12). Установлено интегральное тождество, которому удовлетворяет функция тока.

В четвертом параграфе первой главы изложен метод Галеркина для нахождения функции тока. Приближения к функции тока ищутся в виде линейной комбинации функций, удовлетворяющих краевым условиям. Коэффициенты линейной комбинации находятся, исходя из интегрального тождества.

Пятый параграф первой главы посвящен решению задачи Неймана для давления. Эта задача также решается методом Галеркина. Результаты параграфа имеют самостоятельное значение.

Во второй главе диссертации построены точные решения задачи со свободной границей для системы Стокса. На этих точных решениях проверяется работоспособность комплекса программ, предназначеных для численного решения задачи со свободной границей. Результаты работы комплекса программ по численному восстановлению точных решений позволяют определить границы применимости программ и создают базу для дальнейших исследований и численных экспериментов.

В третьей главе диссертации приведены описания компьютерных программ, реализующих предложенную в первой главе математическую модель плоского стационарного течения жидкости со свободной границей. Программы написаны в среде МАТЬАВ.

В работе получены следующие основные результаты:

1. Разработана математическая модель плоского стационарного течения вязкой несжимаемой жидкости с частично свободной границей.

2. Создан комплекс компьютерных программ в среде МАТЬАВ, реализующих предложенную математическую модель.

3. Получены точные решения краевой задачи со свободной границей для двухмерной системы Стокса. На построенных точных решениях проверена работоспособность комплекса программ.

В работе применяются численные и аналитические методы вывода, преобразования и решения системы дифференциальных уравнений в частных производных, описывающих плоское установившееся движение вязкой несжимаемой жидкости с частично свободной границей.

Теоретическая значимость работы состоит в том, что разработанная математическая модель является вкладом в теорию и методы математического моделирования процессов движения вязкой несжимаемой жидкости со свободной границей.

Практическая значимость разработанной модели и полученных в диссертации результатов моделирования заключается в том, что данная модель построена как практический инструмент по расчету и исследованию параметров течений со свободной границей. Установленные моделированием ограничения и условия на допустимые параметры потоков жидкости могут составить основу для моделирования нелинейных эффектов в течении жидкости со свободной границей с помощью компьютерных технологий.

Результаты диссертации опубликованы в трех работах [59]-[61].

Апробация работы

Основные результаты работы докладывались на конференциях: 3-я Всероссийская конференция с участием зарубежных ученых "Задачи со свободными границами: теория, эксперимент и приложения" (г. Бийск, 2008 г.);

Параболические уравнения и уравнения Навье-Стокса" (математический центр имени С.Банаха в Бедлево, Польша, 2008 г.); "Первый международный Джолдасбековский симпозиум" (г. Алматы, Казахстан, 2011 г.).

Заключение

В диссертации разработана и численно исследована математическая модель установившегося двухмерного движения вязкой несжимаемой жидкости с частично свободной границей.

Скорость V и давление р удовлетворяют в области П краевой задаче для системы Стокса. Граница Г области О состоит из фиксированной части Гх и свободной части Г2. Функция ср, задающая линию Г2, подлежит определению наряду с функциями V и р. Функции V, р и (р удовлетворяют краевой задаче (1.11), (1.12), (1.13), (1.14). Эта задача решается методом расщепления, предложенным В.В. Пухначевым в [17]. Сначала решается вспомогательная задача, в которой нормальная компонента краевого условия (1.14) отброшена. Затем отброшенное условие учитывается. Тем самым получается операторное уравнение для функции (р. В диссертации метод расщепления применяется в виде метода последовательных приближений. Этот метод изложен в § 1.2.

Вспомогательная задача проанализирована в § 1.3. В терминах функции тока ф эта задача принимает вид (1.29), (1.30), (1.31), (1.33). Выведено интегральное тождество (1.43) для задачи (1.29), (1.30), (1.31), (1.33). В § 1.4 на основе интегрального тождества (1.43) построен алгоритм получения приближенного решения задачи (1.29), (1.30), (1.31), (1.33) методом Галеркина.

В § 1.5 дано обоснование решения задачи Неймана для уравнения Пуассона методом Галеркина. Этот результат имеет самостоятельное значение. Задаче Неймана удовлетворяет давление р. Эта функция и находится методом Галеркина. Метод Галеркина для функций ф и р реализован численно в виде комплекса программ, составленных в среде

МАТЬАВ. Описания этих программ приведены в §3.2 и §3.3.

В §2.1 построены точные решения задачи со свободной границей 1.11), (1.12), (1.13), (1-14). Работоспособность имеющегося в диссертации комплекса программ испытана на точных решениях. Испытания дали удовлетворительные результаты, которые содержатся в § 2.2. В §3.4 приведены описания программ для получения очередного приближения функции <р, задающей свободную границу, а в § 3.5 — описания программ для получения точного решения задачи со свободной границей.

1. Л.И. Седов, Механика сплошной среды. Т. 1, 2. М.: Наука. 1970.

2. O.A. Ладыженская. Математические вопросы динамики вязкой несоюимаемой жидкости. М.: Наука. 1970.

3. Р. Темам. Уравнения Навье-Стокса. Теория и численный анализ. М.: Наука. 1981.

4. С.К. Годунов, B.C. Рябенький. Разностные схемы. Введение в теорию. М.: Наука. 1977.

5. С.К. Годунов. Решение одномерных задач газовой динамики на подвижных сетках. М.: Наука. 1970.

6. В.В. Шайдуров. Многосеточные методы конечных элементов. М.: Наука. 1989.

7. V. Girault, Р.-А. Raviart. Finite element methods for Navier-Stokes equations. Theory and algorithms. Springer-Ver lag. 1986.

8. Дж. Коннор, К. Бреббия. Метод конечных элементов в механике эюидкости. Л.: Судостроение. 1979.

9. Е.В. Радкевич, A.C. Меликулов. Краевые задачи со свободной границей. Ташкент.: Фан. 1988.

10. П.Н. Вабищевич. Численные методы решения задач со свободной границей. МГУ. 1987.

11. Ф. Сьярле. Метод конечных элементов для эллиптических задач. М.: Мир. 1980.

12. В.А. Солонников. Разрешимость задачи о движении вязкой несжимаемой жидкости, ограниченной свободной поверхностью/ / Известия АН СССР. Серия матем. 1977. Т. 41. С. 13881424.

13. В.А. Солонников. Об установившемся движении капли в бесконечной жидкой среде// Записки научных семинаров ПОМИ. 1996. Т. 233. С. 233-254.

14. V. A. Solonnikov. Lectures on evolution free boundary problem: classical solution//In: Mathematical aspects of evolving interfaces. 2003. Lectures Notes Math. Springer.

15. I.Sh. Mogilevskii, V.A. Solonnikov. On the solvability of a free boundary problem for the Navier-Stokes equations in the Holder space of functions//In: Nonlinear analysis. 1991. Pisa. Scuola Normale Superiore. P. 257-272.

16. B.B. Пухначев. Плоская стационарная задача со свободной границей для уравнений Навье-Стокса// Журнал прикл. математики и техн. физикию 1972. N 3. С. 91-102.

17. В.А. Солонников. Разрешимость задачи о плоском двиоюении тяжелой вязкой несжимаемой капиллярной жидкости, частично заполняющей некоторый сосуд// Известия АН СССР. Серия матем. 1979. Т. 43. N 1. С. 203-236.

18. В.В. Пухначев. Движение вязкой жидкости со свободными границами. Новосибирский университет. Новосибирск. 1989.

19. Р. Финн. Равновесные капиллярные поверхности. Математическая теория. М.: Мир. 1989.

20. О.А. Ладыженская. Шестая проблема тысячелетия: уравнения Навье-Стокса, существование и гладкость// Успехи математических наук. 2003. Т. 58. N 2. С. 45-77.

21. В.А. Солонников. Оценки решений нестационарной системы Навье-Стокса// Записки научных семинаров ЛОМИ. 1973. Т. 38. С. 153-231.

22. О.А. Ладыженская, В.А. Солонников. Об однозначной разрешимости начально-краевых задач для вязких несжимаемых течений однородной жидкости// Записки научных семинаров ЛОМИ. 1975. Т. 52. С. 52-109.

23. O.A. Ладыженская. О классичности обощенных решений общих нелинейных нестационарных уравнений Навъе-Стокса// Труды математического института АН СССР. 1966. Т. 92. С. 100-115.

24. O.A. Ладыженская. О единственности и гладкости обощенных решений уравнений Навъе-Стокса// Записки научных семинаров ЛОМИ. 1967. Т. 5. С. 169-185.

25. В.А. Солонников. Разрешимость задачи об эволюции изолированного объема вязкой несжимаемой капиллярной жидкости// Записки научных семинаров ЛОМИ. 1984. Т. 140. С. 179-186.

26. В.А. Солонников. О неустановившемся движении конечной массы жидкости, ограниченной свободной поверхностью// Записки научных семинаров ЛОМИ. 1986. Т. 152. С. 137-157.

27. В.А. Солонников. О неустановившемся движении конечной изолированной массы самогравитирующей жидкости// Алгебра и анализ. 1989. Т. 1. Вып. 1. С. 207-249.

28. А.Ф. Воеводин, Т.Б. Гранкина. Численное моделирование роста ледяного покрова в водоеме// Сибирский журнал индустриальной математики. 2006. Т. 9. № 1(25). С. 47-54.

29. С.М. Шугрин. Движение тонкого слоя вязкой жидкости по сухой поверхности// Журнал прикладной математики и техн.физики. 1998. Т. 39. № 2. С. 47-51.

30. О.Ф. Васильев, А.Ф. Воеводин, B.C. Никифоровская. Численное моделирование температурно-стратифицированных течений в системах глудоких водоемов// Вычислительные технологии. 2005. Т. 10. № 5. С. 29-38.

31. К.Е. Афанасьев, C.B. Стуколов. Численное моделирование уединенных волн с препятствиями// Вычислительные технологии. ИВТ СО РАН. 1999. Т. 4. № 6. С. 3-16.

32. С.М. Зеньковская, В.А. Новосядлый, А.Л. Шлейкель. Влияние вертикальных колебаний на возникновение термокапиллярной конвекции в горизонтальном слое жидкости// Прикладная математика и механика. 2007. Т. 71. Вып. 2. С. 277-288.

33. O.A. Ладыженская, В.Г. Осмоловский О свободной поверхности слоя жидкости над твердой сферой// Вестник ЛГУ. 1976. Вып. 14. N 13. С. 25-30.

34. D.H. Sattinger On the free surface of a viscous fluid motion// Proc. Royal Soc. London, ser. A. 1976. Vol. 349. P. 183-204.

35. LSh. Mogilevskiy Solvability of a problem of viscous fluid motion with free surface// Math. Models and Methods in Appl. Sciences. 1994. Vol. 4. N 2. P. 265-272.

36. В.Г. Мазья, Б.А. Пламеневскийб JI.И. Ступялис Трехмерная задача об установившемся движениии жидкости со свободной поверхностью/ / Дифф. уравнения и их применение. Вильнюс. 1979. Вып. 23. С. 9-153.

37. К.И. Пилецкас. Разрешимость одной задачи о плоском движении вязкой несжимаемой жидкости со свободной некопактной границей// Записки научных семинаров ЛОМИ. 1981. Т. 110. С. 174-179.

38. В.А. Кондратьев. Краевые задачи для эллиптических уравнений в областях с коническими или угловыми точками// Труды Моск. матем. общества. 1967. Т. 16. С. 207-292.

39. В.А. Кондратьев. О гладкости решения задачи Дирихле в кусочно-гладкой области// Дифф. уравнения. 1970. Т. 6. С. 18311843.

40. А.Ф: Воеводин, Т.В. Юшкова. Численный метод решения начально-краевых задач для уравнений Навье-Стокса в замкнутых областях на основе метода расщепления// Сибирский журнал вычислительной математики. 1999. Т. 2. № 4. С. 321-332.

41. П.К. Рашевский. Дифференциальная геометрия. М. Физматгиз. 1956.

42. O.A. Ладыженская. Исследование уравнений Навье-Стокса в случае стационарного движения несжимаемой жидкости// Успехи математических наук. 1959. Т. 14. N 3. С. 75-97.

43. O.A. Ладыженская. Стационарное движение вязкой несжимаемой жидкости в трубе// Доклады АН СССР. 1959. Т. 124. С. 551-553.

44. К.К. Головкин. О плоском движении вязкой жидкости// Труды математического института АН СССР. 1960. Т. 59. С. 37-86.

45. В.А. Солонников. Об общих краевых задачах для систем эллиптических в смысле Даглиса-Ниренберга, ч. I// Известия АН СССР. Серия матем. 1964. Т. 28. С. 665-706.

46. В.А. Солонников. Об общих краевых задачах для систем эллиптических в смысле Даглиса-Ниренберга, ч. II// Труды математического института АН СССР. 1966. Т. 92. С. 233-297.

47. R. Finn. On the steady-state solutions of the Navier-Stokes equations// Acta Math. 1961. V. 111. P. 197-244.

48. R. Finn, D.R. Smith. On the stationary solutions of Navier-Stokes equations in two dimensions// Arch. Rat. Mech. and Anal. 1967. V. 25. N 1. P. 26-39.

49. G.P. Galdi. An introduction to the mathematical theory of the Navier-Stokes equations, vol. I. Springer. 1994.

50. B.A. Солонников. Разрешимость трехмерной задачи со свободной границей для стационарной системы уравнений Навъе-Стокса // Записки научных семинаров Ленингр. отд. Матем. ин-та АН СССР. 1979. Т. 84. С. 252 284.

51. V. Solonnikov. Solvability of a three-dimensional boundary value problem with a free surface for the stationary Navier-Stokes system // Partial Differential equations, Banach Center Publications. 10. 1983. P. 361 403.

52. K.E. Афанасьев, С.В. Стуколов. КМГЭ для решения плоских задач гидродинамики и его реализация на параллельных компьютерах. Кемеровский гос. университет. Кемерово. 2001.

53. Т.С. Рейн. Метод естественных соседей для решения задач вязкой несснсимаемой эюидкости // Вестник Новосибирского гос. университета. Серия "Математика, механика, информатика". 2008. Т. 8. Вып. 2. С. 31 38.

54. И.Ш. Могилевский, В.И. Охота. Метод конечных элементов для задачи о плоском стационарном течении эюидкости со свободной границей // Вестник Тверского гос. университета. Серия "Прикладная математика". 2007. Т. 11(39). Вып. 2. С. 47 60.

55. L. Traversoni. Natural neighbor finite elements // Computational Mechanics Publications. 1994. N 2. P. 291 297.

56. K.E. Афанасьев, Т.С. Рейн. Решение модельных задач гидродинамики методом естественных соседей. Труды VII Всероссийской научно-технической конференции "Инновационные недра Кузбасса". Кемерово. ИНТ. 2008. С. 286 — 291.

57. К.Е. Афанасьев, А.Г. Терентьев. Применение метода конечных элементов в задачах со свбодными границами. Чувашский гос. университет. Чебоксары. 1984.

58. К.О. Эйалло. Численный анализ задачи со свободной границей для плоского стационарного течения // Вестник ТвГУ. Серия "Прикладная математика". 2009. N 8. С. 35 49.

59. И.Ш. Могилевский, К.О. Эйалло. Решение задачи Неймана методом Галеркина J/ Вестник ТвГУ. Серия "Прикладная математика". 2010. N 14. С. 59 71.

60. К.О. Эйалло. Численное исследование плоской задачи со свободной границей для системы Стокса// Вестник ТвГУ. Серия "Прикладная математика". 2011. N . С. .

61. C.JI. Соболев. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. Д.: Изд. ЛГУ. 1950.

62. O.A. Ладыженская. Краевые задачи математической физики. М.: Наука. 1973.

63. Л.В. Канторович, Г.П. Акилов. Функциональный анализ. М.: Наука, 1977.

64. А.Н. Колмогоров, C.B. Фомин. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1972.

65. Избранные главы анализа и высшей алгебры. Л.: ЛГУ, 1981.

66. С.Г. Михлин. Линейные уравнения в частных производных. М.: Высшая школа, 1977.

67. В.П. Михайлов. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.: Наука,1983.

68. К. Ректорис. Вариационные методы в математической физике и технике. М.: Мир, 1985.

69. К. Иосида. Функциональный анализ. М.: Мир, 1967.

70. И.С. Березин, Н.П. Жидков. Методы вычислений. Т. 1. М.: Наука, 1966.