автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Численное моделирование движения вязкой несжимаемой жидкости со свободными границами обобщенным методом естественных соседей

На правах рукописи

РЕЙН ТАТЬЯНА СЕРГЕЕВНА

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ СО СВОБОДНЫМИ ГРАНИЦАМИ ОБОБЩЕННЫМ МЕТОДОМ ЕСТЕСТВЕННЫХ СОСЕДЕЙ

05.13.18- математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

ООЗ168881

Кемерово-2008

003168881

Работа выполнена в ГОУ ВПО на кафедре ЮНЕСКО по НИТ

«Кемеровский государственный университет»

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Афанасьев Константин Евгеньевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Хакимзянов Гаяз Салимович

доктор физико-математических наук, профессор Воеводин Анатолий Федорович

Ведущая организация: Томский государственный университет

Защита состоится 10 июня 2008 г. в 10-30 на заседании диссертационного совета ДМ 003 046 01 при Институте вычислительных технологий СО РАН по адресу 630090, г Новосибирск, пр Ак Лаврентьева, 6

С диссертацией можно ознакомиться в специализированном читальном зале вычислительной математики и информатики ГПНТБ СО РАН

Автореферат разослан 8 мая 2008 г

И о ученого секретаря диссертационного совета доктор технических наук, профессор

АД Рычков

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы

Появление вычислительных машин в 60-х годах прошлого столетня стимулировало развитие вычислительных методов в естественных науках, инженерных дисциплинах и в управлении Появление персональных ЭВМ на рубеже 80-90-х годов заметно ускорило процессы разработки новых алгоритмов и математических моделей Дальнейшее развитие вычислительной техники - создание многопроцессорных компьютеров - позволило успешно решать задачи моделирования сложных физических процессов В связи с этим разработка новых математических алгоритмов является важной задачей

Применение вычислительных методов оказалось эффективным для задач динамики вязкой жидкости Связано это с тем, что система уравнений Навье-Стокса, описывающая такие задачи, обладает рядом специфических особенностей, которые проявляются в численной реализации независимо от формы их записи В частности, такие особенности системы, как нелинейность, высокий порядок и существование разрывных решений, делают вычислительный метод наиболее предпочтительным методом исследования

Для расчета неустановившихся течений вязкой жидкости создано большое число численных методов Наибольшее распространение получили методы конечных разностей, конечных и граничных элементов, а также метод контрольных объемов Данные методы принадлежат классу сеточных Их сущность может быть описана следующим образом В области изменения независимых переменных вводится сетка -дискретная совокупность узловых точек Вместо функций непрерывного аргумента рассматриваются конечномерные сеточные функции, значения которых задаются в узловых точках сетки Все эти методы обладают одним общим недостатком На каждом временном шаге сетка, на которой строится решение, не теряет свою узловую связность, что, в свою очередь, при больших деформациях жидкости может быстро приводить к ее вырожденности

С ростом производительности компьютеров развитие получили бессеточные методы, которые аппроксимируют уравнения в частных производных, основываясь только на наборе узлов, без знания дополнительной информации о структуре сетки В таких методах отношение соседства частиц не фиксировано и может со временем изменяться, то есть частицы, бывшие соседями в начальный момент времени, могут со временем расходиться достаточно далеко друг от друга Характерными представителями этой группы методов являются метод сглаженных частиц (SPH - Smoothed Particle Hydrodynamics), полунеявный метод движущихся частиц (MPS - Moving Particle Semi-implicit), метод Лагранжево-Эйлеровых частиц, метод точечной интерполяции (PIM - Point Interpolation Method) Данные методы позволяют достаточно точно воспроизводить кинематику течений, однако полученные динамические характеристики, необходимые для расчета гидродинамических нагрузок, являются неточными К общим недостаткам бессеточных методов также можно отнести и сравнительно невысокую точность, и трудность введения граничных условий

Эти обстоятельства заставили исследователей искать новые методы, сочетающие в себе идеи и возможности бессеточного подхода, но вместе с тем обладающие достоинствами сеточных методов Первыми из бессеточных методов нового поколения появились бессеточный метод конечных элементов (MFEM - Meshless Finite Element Method) и метод естественных соседей (NEM - Natural Element Method) Особенность методов NEM и MFEM в том, что для стационарных задач они являются

обычными (классическими) методами Галеркина, то есть являются сеточными Для нестационарных задач, в которых применяется Лагранжев подход к описанию изучаемого процесса, на каждом шаге по времени по найденному на предыдущем шаге положению узлов строится новая сетка, определяющая новую структуру соседей для каждой узловой точки области На вновь построенной сетке аппроксимированная система уравнений снова решается методом Галеркина В силу этого методы NEM и MFEM сохраняют некоторые преимущества классического метода Галеркина, а именно простоту функций формы в области определения, непрерывность между элементами, легкость введения граничных условий При этом имеют все достоинства бессеточных методов, так как функции формы метода естественных соседей зависят только от положения узловых точек

Для формирования дискретной системы уравнений используется метод взвешенных невязок с набором весовых функций, совпадающих с базисными Интегралы берутся по элементам расширенной триангуляции Делоне1 Множество естественных соседей для каждого узла, а также узлы свободной границы на новом временном шаге определяются с помощью методов «sweep-line» и «а-shape»2 Для аппроксимации неизвестных функций используются функции формы Сибсона3 и Лапласа4 Полученная система линейных алгебраических уравнений после внедрения граничных условий решается методом сопряженных градиентов с предобусловливанием

Цель работы - адаптация и развитие метода естественных соседей для решения задач динамики вязкой несжимаемой жидкости со свободными границами с сильными деформациями расчетной области

Задачи исследования

1 Разработка алгоритма построения расширенной триангуляции Делоне на основе разбиения расчетной области ячейками Вороного первого порядка

2 Проведение сравнительного анализа интерполяций Сибсона и Лапласа в областях с различной геометрией и различным числом точек интегрирования

3 Разработка алгоритма обобщенного метода естественных соседей для решения задач динамики вязкой несжимаемой жидкости со свободными границами

4 Сравнение численных результатов, полученных обобщенным методом естественных соседей, с известными аналитическими решениями, экспериментальными данными и расчетами других авторов

5 Проведение обобщенным методом естественных соседей численных экспериментов по расчету двумерных задач с обрушениями вязкой несжимаемой жидкости, сопровождающихся большими деформациями расчетной области Определение значений гидродинамических нагрузок на твердые стенки

6 Разработка параллельной реализации обобщенного метода естественных соседей

1 Farm G Surfaces over Dtrichlet tessellations // Computer Aided Geometric Design - 1990 -Vo! 7 -P 281-292

2FortuneSJ A sweepline algorithm for Voronoi diagrams//Journal Algonthmica - 1987 - №2 -P 153-174

3 Sibson R A brief description a natural neighbor interpolation / R Sibson, V Barnett (ed ) // Interpret multivariate data - Chichester John Wiley, 1981 -P 21-36

4 Несибсоновская интерполяция - новый метод интерполяции значений функции на произвольной системе точек/В В Беликов, В Д Иванов, В К Конторович и др //Вычислительная матемашка и математическая физика -1997 -Т 37,№1 -С 11-17

Научная новизна работы

1 Предложен обобщенный метод естественных соседей, который является модификацией метода естественных соседей н позволяет моделировать движение вязкой несжимаемой жидкости со свободными границами, сопровождающееся большими деформациями расчетной области, а также вычислять гидродинамические нагрузки на твердые границы расчетной области

2 Разработан алгоритм численного решения плоских нелинейных задач динамики вязкой несжимаемой жидкости со свободными границами обобщенным методом естественных соседей

3 Проведены в полной нелинейной постановке численные эксперименты по расчету задач об обрушении плотины в зависимости от варьируемых параметров Определены значения гидродинамических нагрузок на вертикальные стенки бассейна в зависимости от размеров бассейна и высоты слоя жидкости при основании плотины Установлены режимы максимальною накат волны, формирующейся при обрушении плотины, на горизонтальный уступ, расположенный над основанием плотины Для различных значений расстояния от уступа до поверхности жидкости определены нагрузки на вертикальную и горизонтальную стенки уступа

4 Разработана параллельная реализация обобщенного метода естественных соседей

На защиту выносятся:

1 Обобщенный метод естественных соседей для решения задач динамики вязкой жидкости со свободными границами, удовлетворяющий условиям Ладыжен-ской-Бабушки-Бреззи о совместной аппроксимации

2 Алгоритм решения плоских нелинейных нестационарных задач, позволяющий моделировать движение вязкой несжимаемой жидкости, сопровождающееся сильными деформациями расчетной области, и определять гидродинамические нагрузки на твердых стенках области

3 Результаты численного моделирования задачи об обрушении плотины

4 Параллельная реализация обобщенного метода естественных соседей

Практическая ценность диссертационного исследования заключается в следующем Обобщенный метод естественных соседей, построенный на вариационном принципе Галеркина, дает возможность исследовать задачи динамики вязкой несжимаемой жидкости со свободными границами, сопровождающиеся сильной деформацией расчетной области, а также получать картину давления на каждом временном слое и определять гидродинамические нагрузки на твердых стенках области, что выгодно отличает его от известных бессеточных методов

Основные результаты работы были использованы при выполнении следующих проектов

- проекта № 4829 «Численное моделирование течений жидкости со свободными границами современными численными методами на многопроцессорных вычислительных системах» (2005 год) по ведомственной научной программе Федерального агентства по образованию «Развитие научного потенциала высшей школы»,

- интеграционного проекта фундаментальных исследований Объединенного ученого совета по механике и энергетике СО РАН (2006-2008 годы) по теме «Численное моделирование нестационарного взаимодействия сложных упругих конструкций с жидкостью или газом», блок 2 «Нестационарное взаимодействие нелинейных поверхностных волн с плавающими и закрепленными упругими конструкциями», Пункт 1 «Развитие методов расчета гидродинамических нагрузок при резко нестационарном воздействии волн с большими деформациями области течения»,

- проекта № 4256 «Создание типового информационно-вычислительного портала для организации учебной и научной деятельности вуза» по ведомственной научной целевой программе Федерального агентства по образованию «Развитие научного потенциала высшей школы (2006-2008 годы)» (2006-2008 годы)

Представление результатов. Основные результаты диссертации докладывались на III Всероссийской научно-практической конференции «Информационные технологии и математическое моделирование» (Анжеро-Судженск, 2004), региональной научно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых, посвященной десятилетию Новокузнецкого филиала-института Кемеровского государственного университета (Новокузнецк, 2005), Всероссийской научно-практической конференции «Недра Кузбасса Инновации» (Кемерово, 2006), Международной научной конференции «Наука и образование» (Белово, 2006), IX Международной летней научной школе «Гидродинамика больших скоростей и численное моделирование» (Кемерово, 2006), II и III Российско-Германской школе по параллельным вычислениям на высокопроизводительных вычислительных системах (Новосибирск, 2006), VII Всероссийской конференции молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (с участием иностранных ученых) (Красноярск, 2006),

VI Международной научно-практической конференции «Инновационные недра Кузбасса ГГ-технологии» (Кемерово, 2007), Международной конференции «Сопряженные задачи механики реагирующих сред, информатики и экологии» (Томск, 2007),

VII Всероссийской научно-практической конференции «Информационные недра Кузбасса ГГ-технологии» (Кемерово, 2008), а также на объединенном семинаре ИВТ СО РАН «Информационно-вычислительные технологии (численные методы механики сплошной среды)» под руководством академика РАН Шокина Ю И , профессора Ко-вени В М (Новосибирск, декабрь 2007), на научном семинаре Института гидродинамики им М А Лаврентьева СО РАН «Прикладная гидродинамика» под руководством чл -кор РАН Пухначева В В (Новосибирск, февраль 2008) и на научном семинаре «Информационные технологии и математическое моделирование» под руководством профессора Афанасьева К Е (Кемерово, 2004—2008)

Публикации

По теме диссертации опубликовано 13 работ, в том числе (в скобках в числителе указан общий объем этого типа публикаций, в знаменателе - объем, принадлежащий лично автору) 2 статьи в изданиях, рекомендуемых ВАК для предоставления основных результатов диссертации (1,44/0,71 печ л ), 4 публикации в трудах и материалах конференций (1,65/1,4 печ л), 7 публикаций в тезисах конференций (0,9/0,82 печ л)

Личный вклад автора. Основные научные и практические результаты диссертации получены автором лично В работе [1] автору принадлежит методика численного исследования задач динамики вязкой несжимаемой жидкости В работах [2, 3] автором были проведены численные расчеты и реализован алгоритм построения функций формы Сибсона В [4] автор участвовал в постановке задачи и разработке алгоритмов разбиения расчетной области ячейками Вороного В работах [5, 6] автору принадлежит постановка задачи и анализ результатов В работе [8] автору принадлежит реализация параллельных алгоритмов построения функций формы и формирования матрицы СЛАУ В работе [9] автором были проведены расчеты модельных задач, а также сравнение полученных результатов с экспериментальными данными Автор принимал участие в подготовке и представлении докладов на конференциях

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, списка цитируемой литературы и приложения Общий объем работы составляет 180 страниц машинописного текста, включая приложение - 10 страниц, библиографический список состоит из 156 литературных источников

Автор выражает глубокую благодарность и признательность научному руководителю доктору физ -мат наук, профессору К Е Афанасьеву за постоянное внимание, многочисленные обсуждения и ценные замечания, способствовавшие успешному выполнению работы

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении приводится характеристика метода естественных соседей и бессеточного метода конечных элементов Указывается нх место в системе современных численных методов Подчеркивается, что основным достоинством метода естественных соседей является сочетание сеточного и бессеточного подходов к описанию среды Здесь же формулируются цели и задачи исследования, положения, выносимые на защиту, и обосновывается актуальность поставленных задач

Первая глава состоит из четырех параграфов и посвящена построению интерполяционных функций Сибсона и Лапласа на произвольной системе точек

В первом параграфе рассмотрены основные способы дискретизации области, приведены определения, связанные с понятиями естественных соседей, разбиением Делоне и представлением области ячейками Вороного5, изложены эффективный алгоритм разбиения области ячейками Вороного и алгоритм определения границ области Вводится понятие расширенной триангуляции Делоне Представлена методика построения классической и расширенной триангуляций Делоне на основании диаграммы Вороного

Второй параграф посвящен построению интерполяционных функций формы Сибсона Рассматриваются алгоритмы решения задачи о вычислении в заданной точке х0 = (х0,у0) значения некоторой функции /(х) по ее значениям {fL = f(xL,yk)}, заданным на фиксированной системе точек }

5 Карабцев С Н , Стуколов С В Эффективный алгоритм генерации конечноэлемеитной сетки для метода естественных соседей уколов // Материалы III Международной научной летней школы «Гидродинамика больших скоростей и численное моделирование» -Кемерово ИНТ, 2006 - С 401—409

Интерполяционные функции Сибсона, основанные на понятии естественных соседей, базируются на диаграммах Вороного первого и второго порядков и определяются в двумерном случае через отношение площадей многоугольников

а,(х) = Л(х)/Дх), А(х) = ¿4(х), г = (1)

где /1(х) - площадь ячейки Вороного первого порядка, в которую входит точка х, Д (х) - площадь пересечения ячейки Вороного второго порядка точки х и площадью у1(х) Для вычисления функций формы Сибсона необходимо искать пересечение ячеек Вороного первого и второго порядков, что является весьма трудоемкой задачей вычислительной геометрии В настоящей работе рассматривается предложенный Д Уотсоном6 алгоритм поиска площадей пересечения многоугольников путем разбиения многоугольника ориентированными треугольниками

Третий параграф связан с построением интерполяции Лапласа (несибсонов-ской интерполяции), которое также опирается на определение соседей посредством разбиения области ячейками Вороного

Пусть точка х = (х,у) принадлежит многоугольнику Вороного с числом сторон, равным п Обозначим длины сторон многоугольника через 5,, г = 1,п, а высоты, опущенные из точки х на 5,, - через Л, Тогда интерполяционные коэффициенты Лапласа будут иметь следующий вид

-1

, г =1~п (2)

«. = (*, А)

Такой способ определения коэффициентов а, проще и экономичнее, чем в подходе Сибсона, так как не требует вычисления площадей пересечения многоугольников Методика построения функций формы Лапласа изложена в приложении 1 2 Производные функций формы Сибсона и Лапласа можно получить дифференцированием выражений (1) и (2) соответственно

Несибсоновская интерполяция имеет особенность, которая выводится из ее основных свойств Если для заданного множества точек построить разбиение области ячейками Вороного, то многие из многоугольников разбиения будут симплексами На симплексных многоугольниках функции Лапласа точно воспроизводят линейную функцию

Носители функций формы Сибсона и Лапласа получаются из разбиения расчетной области ячейками Вороного и определения соседних узлов для точки х0 = (х0,у0), введенной в узловое разбиение На основе функций формы Лапласа можно построить еще один вид интерполяции, основанный на понятии ячеек Вороного расширенную интерполяцию Лапласа Ее отличие от классической заключается в выборе множества соседних узлов для точки х0, а именно интерполяция проводится по всем соседям х0, удовлетворяющим критерию описанной окружности Делоне Носитель функции формы в этом случае будет совпадать с носителем интерполяционной функции Сибсона, а коэффициенты интерполяции будут представлять функции формы Лапласа

'WatsonDF Natural neighbor sorting on the N-dimensional sphere // Pattern recognition - 1988 -Vol 21, №1 -P 63-67

В четвертом параграфе проводится сравнение точного решения в некоторой замкнутой области уравнения Пуассона с заданными граничными условиями, а также с заданным численным решением для случаев, когда исконное уравнение аппроксимировалось функциями Сибсона, Лапласа и расширенной интерполяции Лапласа Тесты проводятся в областях с различной геометрией и с различным числом расчетных узлов Рассматривается область Б , верхняя граница Г1 которой задается уравнением у — 0,5 £>гп(х), х £ [0,27г], а боковые и нижняя границы Г2,Г3,Г1 являются прямыми линиями Г2 а; = 0, у € [—1,0], Г3 у = — 1,х € [0,27т],

Г, х = 2тг, у € [—1,0]

В описанной выше области решается уравнение Пуассона Дм = Ь для функции и = х у с граничными условиями Дирихле на Г\ и Неймана на границах Г2,Г3,Г, и = х у2,(х,у) е Г],

ди/0п = -у2,(х,у)еГ2,ди/дп = -2 х у, (х,у) еГ3, ди/дп = у2, (х,у) е Г4

В качестве численного метода решения уравнения Пуассона используется метод Галеркина в слабой форме Численное интегрирование осуществляется по элементам расширенной триангуляции Делоне с помощью квадратур Хаммера Полученная система линейных алгебраических уравнений решается методом сопряженных градиентов с предобусловливанием

Показывается, что при одинаковом числе узлов области вычисление несибсо-новской интерполяции занимает меньше времени, чем интерполяции естественных соседей и расширенной интерполяции Лапласа Это объясняется тем, что методы построения функций формы Сибсона включают в себя алгоритмы поиска площадей пересечения многоугольников, что является трудоемкой задачей вычислительной геометрии Для расширенной интерполяции Лапласа множество соседей точки интегрирования значительно больше, чем для несибсоновских функций формы Отсюда наблюдается увеличение временных затрат на построение такого рода интерполяции и уменьшение погрешности вычислений Тем не менее для одного и того же числа узлов алгоритм решения задачи, использующий для вычисления неизвестных функции формы Сибсона и расширенной интерполяции Лапласа, дает более точные результаты, чем альтернативный алгоритм, в основе которого лежат функции формы Лапласа Так как размер результирующей матрицы системы уравнений ограничен размером оперативной памяти ЭВМ, то несмотря на некоторые преимущества во времени построения несибсоновских функций формы, выгоднее использовать для интерполяции неизвестных функции формы Сибсона

Вторая глава состоит из четырех параграфов и посвящена описанию математических и вычислительных алгоритмов, моделирующих нестационарные течения вязкой несжимаемой жидкости

В первом параграфе приводится общая постановка нестационарной задачи движения однородной вязкой несжимаемой жидкости со свободными границами

Пусть в некоторой области течения Б происходит движение ньютоновской вязкой несжимаемой жидкости, описываемое системой уравнений Навье-Стокса

Роиг 1т = -др1дхг+цд1 дх^ (диг /дХ]) + Р/г, (3)

дщ/дх,= о (4)

Здесь г = 1,2, у = 1,2, х(£) = по повторяющемуся индексу ] произво-

дится суммирование В системе уравнений (3)—(4) искомыми функциями являются давление р(х,£) и вектор скорости и = (н^х, ¿),м,2(х,/)), параметрами - плотность р, коэффициент динамической вязкости ¡1 и вектор массовых сил Г =

Так как жидкость вязкая, то на твердых стенках Ги выполняется условие прилипания иг=йх, % = 1,2 На свободной поверхности Гв выполняется динамическое условие р = ра[т Для нестационарной задачи задается положение расчетных узлов х(0) = х° и распределение неизвестных функций во всей области течения и(х,О) = и°(х),р(х,О) = р0(х)

Во втором параграфе описывается метод расщепления для интегрирования по времени системы уравнений Навье-Стокса7 В случае, когда жидкость несжимаемая, не может быть использован явный метод интегрирования по времени, но даже при использовании неявного метода не удается устранить нефизические колебания функции давления Суть метода расщепления заключается в разбиении описываемого физического процесса на два конвекцию-диффузию и вклад давления На первом этапе в уравнении движения учитываются только конвективные члены, в результате чего выделяется фиктивная переменная п*(х, £) и записываются выражения для предиктора и корректора скорости

и, = «; + /М + д/дх^диУ2 /дх})АЩ/р, (5)

иГ1=и,-А1/р(др"+1/ дх.) (6)

Здесь [и(х,г)р/2 = 0,5({и"+1(х,£) + и*(х,г)), Д* = Г+1 - Г -шаг по времени На втором этапе решается уравнение Пуассона для давления

(ди, /дх,)р/ Д£ = д /дХ](дрп+1 /дх}) (7)

Основной алгоритм движения по времени состоит из следующих шагов

I) определяются границы области и строятся интерполяционные функции,

II) вычисляется предиктор скорости и*(х,£) из системы (5),

III) решается уравнение Пуассона (7) для определения давления р"+1(х, £),

IV) вычисляется новое значение скорости и"+1(х, I) из уравнения (6) с учетом найденного на шаге III давления,

V) вычисляется новое положение узлов на (п +1) -м временном шаге х(^п+1 = х"(г) + и"+1(х^)Д£ и далее на шаг I

В третьем параграфе описывается переход к слабой форме уравнений, полученных после расщепления основных уравнений, а именно предиктора и корректора скорости (5)—(6), а также уравнения Пуассона (7) Для аппроксимации неизвестных функций используются функции формы Сибсона и Лапласа

7 Марчук Г И , .Янепко Н Н Применение метода расщепления (дробных шагов) для решения задач математической физики//Докл наВсесоюз конф повычисл матем , Москва, февраль 1965 Докл на конгр ИФИП, Нью-Йорк, май 1965

Одной из главных трудностей численного моделирования нестационарных уравнений Навье-Стокса является регуляризация условия несжимаемости (4) В описанном выше методе расщепления по пространственным переменным условие несжимаемости представляется уравнением Пуассона для давления (7) Для устранения нефизических осцилляции функции давления используется метод конечных приращений (Finite Increment Calculus8), основанный на понятиях дифференциального приближения9 При описании метода конечных приращений для стабилизации уравнений Навье-Стокса выписываются дифференциальные приближения уравнений движения и неразрывности, а также выражения для вычисления характеристических параметров метода

Устойчивость решения системы уравнений Навье-Стокса методами, основанными на методе Галеркина, обеспечивается выбором конечно-элементных пространств для скорости и давления степени интерполяционных полиномов компонент вектора скорости и давления должны удовлетворять условию Ладыженской-Бабушки-Бреззи (ЛББ) В данной работе для аппроксимации уравнения неразрывности используются линейные базисные функции (функции формы расширенной интерполяции Лапласа), для уравнения движения применяются квадратичные базисные функции (функции формы Сибсона) Построение так называемого обобщенного метода естественных соседей (GNEM - General Natural Element Method), гибрида методов MFEM и NEM приводит к удовлетворению условий ЛББ для совместной аппроксимации, что гарантирует невырожденность решения

Четвертый параграф посвящен краткому описанию обобщенного метода естественных соседей Для формирования дискретной системы уравнений используется метод Галеркина в интегральной форме Тестовые расчеты, представленные в третьей главе, демонстрируют достаточную точность обобщенного метода естественных соседей при моделировании нестационарных задач о течении вязкой несжимаемой жидкости Приводятся алгоритмы вычисления динамических и энергетических характеристик давления, нагрузок и полной энергии системы

Третья глава состоит из четырех параграфов В ней приводится описание решения ряда тестовых и практических задач о течениях вязкой несжимаемой жидкости с большими деформациями границ расчетной области

В первом параграфе на ряде тестовых задач демонстрируется эффективность применения метода естественных соседей для решения задач о движении вязкой несжимаемой жидкости

Рассматриваются следующие задачи

- ламинарное течение в плоском канале (течение Пуазейля) - задача с твердыми границами,

- задача Л В Овсянникова о деформации жидкого эллипса - задача со свободной границей,

- движение вязкой жидкости в квадратной каверне с движущейся крышкой,

- колебания жидкости в прямоугольном бассейне,

- распределение поля давления в покоящейся жидкости конечной глубины

8 Onate Е A stabilized finite element method for incompressible viscous flows using a finite increment calculus formulation//Comput Meth Appl Mech Eng -2000 - Vol 182, №1-2 -P 355-370

'ШокинЮИ Метод дифференциального приближения - Новосибирск Наука, 1979 - 224 с

Задача Л В Овсянникова10 о деформации жидкого эллипса была выбрана для тестирования алгоритма движения по времени Давление на границе круга задается постоянным р = 0 Общая постановка задачи, как правило, приводится для идеальной несжимаемой жидкости Основное отличие моделирования течений вязкой и идеальной жидкостей заключается в постановке граничных условий для функции скорости на твердой границе Так как в задаче о деформации жидкого эллипса вся граница расчетной области является свободной, то данную задачу можно использовать для тестирования алгоритма движения по времени, как для идеальной, так и для вязкой жидкости, при значении коэффициента динамической вязкости ¡л = 0 Удовлетворительные расчеты были получены для 1200 и более частиц Расчеты проводились с шагом по времени Д£ = 1 10 л до момента времени £ = 1,5 с

На рис 1 приводится сравнение результатов расчета свободной границы, полученное обобщенным методом естественных соседей с решением системы обыкновенных дифференциальных уравнений для задачи Л В Овсянникова методом Рунге-Кутта-Фельдберга На рис 1 деформация жидкого эллипса приводится для моментов времени £ = 1,0 с, £ = 1,5 с В численных расчетах число узлов по области бралось равным 1200, на свободной границе - 138 Ввиду симметрии области для сравнения приводится только верхняя полуплоскость Результаты решения задачи методом естественных соседей хорошо согласуются с результатами, полученными методом Рунге-Кутта значение относительной погрешности не превысило 0,15%

Рис 1 Деформация жидкого эллипса а) Ь — \ 0с, б) £ = 1,5 с

Далее были проведены расчеты задачи о движении вязкой жидкости в плоской каверне Пусть рассматривается двумерная область квадратной формы с длиной грани I — 1 Границы области являются твердыми стенками, нижняя и боковые грани Г, — Г3 - неподвижные, верхняя граница Г4 перемещается с постоянной скоростью Граничные условия для данной задачи задавались следующим образом их{х,{) = 0,и2(а:,£) = 0 - на твердых неподвижных стенках Г^^Гд, и^х^) — 1,

и2(а;,£) = 0 - на подвижной стенке Г4, др^п = 0 - на всех границах Г( — Г4, Р = р0 - в среднем узле нижней границы Г2 Задача решается при значениях числа Рейнольдса Не = 100,400,1000 и 1800 При этом в качестве характерной скорости выбирается скорость подвижной границы

Проводится сравнение полученных картин течения для различных чисел Рейнольдса с расчетами других авторов В частности, на рис 2 приводится сравнение полученных автором линий тока для числа Рейнольдса Не = 1000 (рис 2, а) с результатами, представленными в одной из последних работ, посвященных численному ре-

10 Овсянников Л В Общие уравнения и примеры // Задача о неустановившемся движении жидкости со свободной границей сб работ теорет отдела/Акад наук СССР, Сиб отд-ние, Ин-т гидродинамики - Новосибирск Наука, 1967 -С 3-75

шению конечно разностными методами высокой точности стационарной системы уравнений Навье-Стокса (рис. 2, б). Хорошее качественное совпадение картин течения, а также количественное совпадение значений функции тока в центре основного вихря показывает достоверность расчетов, выполненных обобщенным методом естественных соседей.

Рис. 2. Линии тока Re = 1000: а) результаты автора; б) результаты работы [11]

Для исследования скорости сходимости обобщенного метода естественных соседей проводилось сравнение числа итераций (временных шагов), за которое задача о движении жидкости в квадратной каверне сходится к стационарному решению с заданной точностью в зависимости от числа расчетных узлов и значений числа Рейнольдса. Для оценки сходимости итерационного процесса выбиралось значение функции тока в центре основного вихря.

Наиболее значимой характеристикой течения жидкости является давление. Такие бессеточные методы, как метод сглаженных частиц, не позволяют получить удовлетворительную картину поля давления в расчетной области. Модификация метода SPH — ISPH и метод MPS в связи с использованием модели несжимаемой жидкости способны представить более качественное распределение поля давления, но и здесь не удалось найти надежных результатов. Метод естественных соседей при решении системы уравнений Навье-Стокса позволяет восстанавливать давление с высокой точностью.

В качестве тестовой рассматривается задача об определении давления в покоящейся жидкости в прямоугольной области £2, верхняя граница которой является свободной, а боковые и нижняя — твердыми стенками. Задача решается для различного числа узлов области в отсутствии внешних сил, но при наличии ненулевого начального распределения скоростей. На свободной границе задается условие р = 0, на твердых границах - др/дп = 0. Требуется получить распределение давления на твердых стенках, а также нулевое значение компонент вектора скорости внутри области. Расчеты проводились до момента времени t = 5с, когда процесс устанавливался. К этому моменту численное давление было близко к гидростатическому. Относительная погрешность давления не превосходила 0, 01 %, а отклонение скорости от нулевого значения - 0,007 %.

11 Ковеня В.М. Об одном алгоритме решения уравнений Навье-Стокса вязкой несжимаемой жидкости // ИВТ СО РАН. - Новосибирск. - 2006. - Т. 11, №2.-С. 39-51.

Для тестирования взаимодействия вязкой жидкости конечной глубины с твердыми стенками была выбрана задача о колебаниях жидкости в прямоугольном бассейне и определении нагрузок на стенки бассейна. В расчетной области Б : х £ [0; 7г] , у Е [0; 1 + 0,25соз(.'с)] жидкость движется под действием силы тяжести. В начальный момент времени распределение поля скоростей и(х, 0) = 0. Моделирование колебаний движения жидкости проводилось для различных значений числа Рейнольдса: 11е = 400, 11е = 10000, 11е = 50000. Выбранное в начальный момент времени возвышение жидкости не приводит к образованию нелинейных режимов движения, при которых происходит формирование и дальнейшее обрушение волновых структур. Профили свободной границы, а также значения гидродинамических нагрузок, создаваемых идеальной жидкостью на твердых стенках, сравнивались с результатами, полученными комплексным методом граничных элементов (КМГЭ) для потенциальной модели идеальной жидкости12.

Одним из важнейших преимуществ метода естественных соседей перед классическими сеточными методами является возможность численного моделирования течений, сопровождающихся большими деформациями расчетной области. Для получения моментов обрушения расчетная область модернизировалась следующим образом: Б : х £ [0; 7г] , у е [0; 2 + 1,1соз(ж)]. Решение задачи осуществлялось методами и КМГЭ. Комплексный метод граничных элементов позволяет проводить моделирование лишь до момента соприкосновения гребня волны с подошвой. Дальнейший расчет становится невозможен вследствие нарушения связности области. Обобщенный метод естественных соседей позволяет проводить моделирование течений, сопровождающихся сильными деформациями расчетной области. На рис. 3 приведены хронограммы нагрузок, создаваемых вязкой и идеальной жидкостями на правой и левой вертикальных стенках: кривая 1 (сплошная) - расчет методом вИЕМ, кривая 2 (пунктирная) - КМГЭ. Значения нагрузок после момента обрушения полу-

а) на правой вертикальной границе области; б) на левой вертикальной границе области

Во втором параграфе представлены результаты расчетов обрушения столба жидкости в прямоугольном резервуаре обобщенным методом естественных соседей. Для проверки сходимости метода показано качественное совпадение картин течений для различного числа узлов области. Приведено сравнение текущих результатов с

12 Афанасьев К.Е., Стуколов C.B. КМГЭ для решения плоских задач гидродинамики и его реализация на параллельных компьютерах: учеб. пособие,- Кемерово, 2001. - 206 с.

расчетами, полученными бессеточным методом конечных элементов13. Получено распределение поля давления во всей области течения.

Найденное распределение поля давления позволило определить значения гидродинамических нагрузок на твердые вертикальные стенки области. Исследовано влияние ширины бассейна Ь и размеров столба жидкости на значения и характер нагрузок.

В третьем параграфе моделируется задача об обрушении столба жидкости при наличии слоя жидкости при основании. Для подтверждения достоверности результатов расчета проводится сопоставление полученных в диссертации картин течения задачи с экспериментальными данными'4. На рис. 4 представлены фрагменты сравнения.

Рис. 4. Сравнение результатов работы авторов с экспериментальными данными в моменты времени: a)t = 0,281с; б)< = 0, 343 с; = 0,468 с

Также проводится анализ численных результатов распределения гидродинамических нагрузок на вертикальные стенки области при изменении высоты Л слоя жидкости при основании. В результате точно определено значение /),, при котором момент обрушения возникает после отката образующейся в результате разрушения плотины волны.

В четвертом параграфе рассматривается процесс взаимодействия волны, формирующейся в результате обрушения плотины, с горизонтальным уступом. В расчетной области задачи об обрушении плотины со стороны правой вертикальной стенки дополнительно добавляется горизонтальный уступ.

Для оценки возможной силы удара жидкости по горизонтальной поверхности была проведена серия расчетов для следующего диапазона значений высоты преграды Л = 4/1, 6Л, 8Л, ЮЛ, 12Л, где К - высота слоя жидкости при основании.

13 Del Pin F. The meshiess finite element method applied to a lagrangian particle formulation of fluid flows // Instituto de Desarrollo tecnologico para la industria quimica (INTEC) universidad nacional del litoral noviembre, 2003. - 157 p.

14 Crespo J.S. Effect of wet bottom on dam break evolution // SPH European research interest community SIG. - 2007.-№6.-3 p.

На рис 5 приведены картины течения в моменты взаимодействия волны обрушения с горизонтальным уступом для различных значений параметра /(3

В рабо1е проводится оценка максимальною значения нагрузки и наибольшей силы удара волны по горизонтальной преграде для различных значений высоты горизонтального уступа над свободной границей Определяются зоны отрицательного давления на горизонтальной границе уступа, возникающие в момент «отрыва» частиц жидкости от твердой стенки под действием силы тяжести

а)

i^iféi^,

'SttVdUHeejMIffllffl'W'VrfWiAfl х~° s ■

б)

«ШвЯВШШИИГтХ,!

>«

02 1

0 1 0 ш шш »'»ЛЛшшаиши'ии'пиклч'М",.'

0 б X OS 1

Рис 5 Взаимодействие волны с горизонтальной преградой а)/г, = 4Л,б)\ = 6Л, в) hg = 8/г

Четвертая глава состоит из трех параграфов и посвящается обсуждению ряда вопросов, связанных с моделированием вязких несжимаемых течений методами естественных соседей на многопроцессорных вычислительных системах На примере задачи об обрушении плотины исследуется производительность программного кода в зависимости от количества расчетных узлов и числа процессоров

В первом параграфе рассматриваются вопросы геометрической декомпозиции расчетной области и балансировки загрузки процессоров, способы распределения данных по процессорам, а также особенности параллельной реализации обобщенного метода естественных соседей Параллельный подход к численному решению задач механики жидкости при помощи обобщенного метода естественных соседей основан на декомпозиции матрицы СЛАУ на блоки, количество которых равняется числу процессоров, расчете каждым процессором своего блока и обмене данными между ними на каждом шаге по времени15 В качестве языка реализации программного комплекса был выбран Fortran 90 с расширением библиотечными функциями MPI (Message Passing Interface)

Многопроцессорные системы Построение, развитие, обучение / К Е Афанасьев, В Г Домрачев, И В Ретин-скаяидр //М КУДИЦ-ОБРАЗ, 2005 -224 с

Во втором параграфе приводится описание методов решения больших разреженных систем линейных алгебраических уравнений Весьма эффективным методом решения подобных СЛАУ является метод сопряженных градиентов (МСГ) Представлен общий подход к построению последовательного и параллельного метода сопряженных градиентов и рассмотрены эффективные схемы хранения как самой матрицы системы уравнений, так и матрицы предобусловливателя

В третьем параграфе для определения эффективности и ускорения реализованного параллельного алгоритма обобщенного метода естественных соседей была проведена серия расчетов на кластерах кафедры ЮНЕСКО по НИТ Кемеровского государственного университета и СКИФ СуЬепа Томского государственного университета В качестве тестовой решается задача об обрушении плотины Исследование производительности и эффективности программного кода выполняется в зависимости от размерности задачи и числа процессоров

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ, ПОЛУЧЕННЫЕ В ДИССЕРТАЦИИ

1 Предложен и реализован метод построения расширенной триангуляции Делоне на основе диаграммы Вороного

2 Проведен сравнительный анализ интерполяций Сибсона и Лапласа на решении уравнения Пуассона в сложных областях для различного числа расчетных узлов и точек интегрирования

3 Реализован обобщенный метод естественных соседей для решения задач динамики вязкой несжимаемой жидкости со свободными границами, принадлежащий классу условно-бессеточных и основанный на методах естественных соседей и конечных элементов

4 Проведено сравнение результатов численных расчетов, полученных обобщенным методом естественных соседей, с известными аналитическими решениями, экспериментальными данными и расчетами других авторов

5 Проведены численные эксперименты по расчету двумерных задач о движении вязкой несжимаемой жидкости с сильными деформациями свободных границ и определены значения гидродинамических нагрузок на твердые стенки области

6 Разработана параллельная реализация обобщенного метода естественных соседей

Достоверность полученных результатов следует из корректной математической постановки задачи, а также подтверждается сравнением результатов расчетов с известными аналитическими решениями, экспериментальными данными и расчетами других авторов

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ Журналы, рекомендованные ВАК для представления основных научных результатов диссертации.

1 Рейн, Т С Метод естественных соседей для решения задач вязкой несжимаемой жидкости [Текст] / К Е Афанасьев, Т С Рейн // Вестник НГУ (Серия «Математика, механика, информатика») -2008 -Т 8, № 2 С 31-38

2 Метод естественных соседей на основе интерполяции Сибсона [Текст] / К Е Афанасьев, С Н Карабцев, Т С Рейн, С В Стуколов // Вестник ТГУ Выпуск «Информационные технологии и математическое моделирование» (Серия «Математика Кибернетика Информатика») -2006 -№19 - С 210-219

Труды конференций:

3 Рейн, Т С Применение метода естественных соседей к решению задач механики жидкости со свободными поверхностями [Текст] / Т С Рейн, С Н Ка-рабцев // Материалы III Международной научной летней школы «Гидродинамика больших скоростей и численное моделирование» - Кемерово ИНТ, 2006 - С 393-401

4 Карабцев, С Н Реализация эффективного алгоритма построения диаграмм Вороного на плоскости [Текст] / С Н Карабцев, Т С Рейн, С В Стуколов // Труды V Всероссийской научно-практической конференции «Недра Кузбасса Инновации» -Кемерово ИНТ, 2006 -С 114-120

5 Рейн, Т С Решение модельных задач гидродинамики методом естественных соседей [Текст] / Т С Рейн, С Н Карабцев // Труды VI Всероссийской научно-практической конференции «Инновационные недра Кузбасса IT-технологии» -Кемерово ИНТ, 2007 - С 311-317

6 Афанасьев, К Е Сравнительное исследование алгоритмов интерполяции Сиб-сона и Лапласа [Текст] /КБ Афанасьев, Т С Рейн // труды VII Всероссийской научно-практической конференции «Инновационные недра Кузбасса IT-технологии» — Кемерово ИНТ, 2008 - С 286-291

Тезисы:

7 Рейн, Т С Стабилизация условия несжимаемости при решении задач о движении вязкой несжимаемой жидкости методом естественных соседей [Текст] / Т С Рейн // Программа и тезисы докладов VII Всероссийской конференции молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (с участием иностранных ученых) - Красноярск, 2006 - С 27

8 Рейн, Т С Параллельная реализация метода естественных соседей при решении задач механики жидкости со свободной поверхностью [Текст] /ТС Рейн, С Н Карабцев // Тезисы III Российско-Германской школы по параллельным вычислениям на высокопроизводительных вычислительных системах - Новосибирск, 2006 -С 15

9 Афанасьев, К Е Численное моделирование задачи о разрушении плотины при наличии слоя жидкости при основании методом естественных соседей [Текст] / К Е Афанасьев, Т С Рейн // Материалы международной конференции «Сопряженные задачи механики реагирующих сред, информатики и экологии» -Томск, 2007 - С 159-160

10 Рейн, ТС Движение вертикальной стенки, закрепленной на пружинах, под действием волны, формирующейся при обрушении плотины [текст] /ТС Рейн // Программа и тезисы докладов VIII Всероссийской конференции молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям -Новосибирск, 2007 - С 69-70

Подписано в печать 04 05 2008 Формат 60x84'Лб Бумага офсетная № 1 Печать офсетная Уел печ л 1,0 Тираж 100 экз Заказ №326

Издательство «Кузбассвузиздат» 650043, г Кемерово, ул Ермака, 7 Тел 58-34-48

ОГЛАВЛЕНИЕ.

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1.

ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ ФУНКЦИИ СИБСОНА И ЛАПЛАСА НА ПРОИЗВОЛЬНОЙ

СИСТЕМЕ ТОЧЕК.

§ 1 Алгоритмы построения геометрии расчетной области.

1.1 Построение диаграммы Вороного.

1.2 Расширенная триангуляция Делоне.

1.2.1 Триангуляция области с помощью разбиения Вороного.

1.2.2 Построение расширенной триангуляции Делоне.

1.3 Определение границы расчетной области.

§ 2 Интерполяционные функции Сибсона.

2.1 Ячейки Вороного второго порядка.

2.2 Определение функций формы Сибсона.

2.3 Вычисление функций формы Сибсона.

§ 3 Интерполяция Лапласа.

3.1 Определение.

3.2 Свойства интерполяции Лапласа.

3.3 Вычисление функций формы Лапласа.

3.4 Носитель функций формы Сибсона и Лапласа. Расширенная интерполяция Лапласа.

§ 4 Сравнение интерполяций Сибсона и Лапласа на решении уравнения Пуассона.

4.1 Постановка задачи.

4.2 Краткое описание метода Галеркина.

4.3 Численные результаты.

ГЛАВА 2.

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ И ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ АЛГОРИТМЫ.

§ 1 Общая постановка задачи.

1.1 Уравнение движения.

1.2 Начальные и граничные условия.

§ 2 Дискретизация по времени.

2.1 Расщепление уравнения движения.

2.2 Расщепление уравнения неразрывности.

2.3 Выполнение условия несжимаемости.

2.4 Алгоритм движения по времени.

§ 3 Пространственная дискретизация.

3.1 Дискретная форма уравнений.

3.2 Стабилизация условия несжимаемости.

3.2.1 Применение метода конечных приращений к решению системы уравнений Навъе -Стокса.

3.2.2 Характеристическая длина метода FIC.

3.3 Условие совместности ЛББ.

3.4 Вычисление плотности. Закон сохранения массы.

§ 4 Основные этапы метода естественных соседей.

4.1 Решение систем линейных алгебраических уравнений.

4.2 Вычисление нагрузки.:.

4.3 Вычисление энергетических характеристик.

ГЛАВА 3.

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕЧЕНИЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ С БОЛЬШИМИ

ДЕФОРМАЦИЯМИ РАСЧЕТНОЙ ОБЛАСТИ.

§ 1 Тестирование алгоритма движения по времени.

1.1 Безразмерная форма уравнений движения.

1.2 Задача о ламинарном течении в плоском канале.

1.3 Течение жидкости в квадратной каверне с движущейся крышкой.

1.4 Задача о деформации жидкого эллипса.

1.5 Распределение поля давления в покоящейся жидкости.

1.6 Колебания жидкости в прямоугольном бассейне.

1.7 Вычисление гидродинамических нагрузок на твердые стенки.

§ 2 Задача об обрушении столба жидкости.

2.1 Постановка задачи.

2.2 Численные результаты.

2.3 Вычисление гидродинамических характеристик. Вычисление давления.

2.4 Вычисление гидродинамических характеристик. Вычисление нагрузки.

§ 3 Задача об обрушении плотины при наличии слоя жидкости на основании.

3.1 Постановка задачи.

3.2 Численные результаты.

3.3 Вычисление гидродинамических характеристик. Вычисление давления.

3.4 Вычисление гидродинамических характеристик. Вычисление нагрузки.

§ 4 Задача о взаимодействии жидкости с горизонтальной поверхностью.

4.1 Постановка задачи.

4.2 Численные результаты.

4.2 Вычисление нагрузки.

ГЛАВА 4.

ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ В ЧИСЛЕННЫХ РАСЧЕТАХ.

§1 Реализация параллельного метода естественных соседей.

1.1 Эффективность и ускорение.

1.2 Схема последовательного алгоритма метода естественных соседей и его распараллеливание.

§2 Решение системы линейных алгебраических уравнений.

2.1 Метод сопряженных градиентов.

2.2 Предобусловливатель матрицы.

2.3 Формат хранения данных.

2.4 Сравнение точных и итерационных методов решения СЛАУ.

2.5 Параллельная реализация метода сопряженных градиентов.

§3 Тестирование параллельного алгоритма метода естественных соседей.

Появление вычислительных машин в 60-х годах прошлого столетия стимулировало развитие вычислительных методов в естественных науках, инженерных дисциплинах и в управлении. Появление персональных компьютеров на рубеже 70-80 годов заметно ускорило процессы разработки новых алгоритмов и математических моделей. Дальнейшее развитие вычислительной техники - создание многопроцессорных компьютеров -позволило успешно решать задачи моделирования сложных физических процессов. В связи с этим разработка новых математических алгоритмов является важной и актуальной задачей.

Применение вычислительных методов оказалось особенно эффективным для задач динамики вязкой жидкости, что позволило получить решения для круга задач, считавшихся ранее неразрешимыми. Трудности численного моделирования вязких течений связаны с тем, что система уравнений Навье-Стокса, описывающая такие течение, обладает рядом специфических особенностей, которые проявляются в численной реализации независимо от формы записи. Одной из существенных особенностей является пространственно-эллиптический характер уравнений, обусловленный влиянием вязкости во всем поле течения [39,47,65]. Также в системе Навье-Стокса имеется малый параметр при производной - коэффициент вязкости, изменению которого соответствует существенное изменение гладкости решения [36,61]. Система уравнений Навье-Стокса нелинейна. Эта нелинейность, типичная для систем гидродинамического типа, приводит при достаточно большой вязкости к образованию весьма сложных пространственно-временных структур.

Дополнительные трудности появляются при численном исследовании течений вязкой несжимаемой жидкости. В этом случае поле давления является очень «чувствительным» к любым изменениям поля скорости

49,71]. Для моделирования движения несжимаемых вязких жидкостей возможны два подхода. Первый подход состоит в записи системы уравнений Навье-Стокса относительно переменных скорости и давления. Различие методов заключается в обработке уравнения неразрывности. Второй подход состоит в исключении уравнения неразрывности из системы Навье-Стокса и, тем самым, к переменным завихренность — функция тока. Такой подход достаточно эффективен для решения двумерных задач. Обобщение же этого подхода на трехмерное пространство не очевидно, так как в этом случае функция тока не определена. Описание трехмерного течения в переменных завихренность — векторный потенциал приведено в работе [109]. Этот подход не получил широкого распространения вследствие неэкономичности: такое описание течения приводит к большему (шесть) числу зависимых переменных. Также существенного развития не получили подходы, использующие описание течения через завихренность и вектор скорости [156, 75].

Одним из наиболее ранних и получивших широкое распространение методов решения системы уравнений Навье-Стокса является метод конечных разностей (МКР) [25,43,63,81]. С помощью него достаточно точные аппроксимации дифференциальных уравнений можно получить с небольшими затратами вычислительных ресурсов. Но круг задач, решаемых данным методом, ограничивался интегрированием дифференциальных уравнений в областях простой формы. Для областей сложной геометрической формы приходилось находить преобразования координат, переводящие исходную область интегрирования в область стандартную или каноническую. Из-за отсутствия универсальных алгоритмов преобразования координат круг задач, для которых такой подход применим, был достаточно узким.

Вышеупомянутые недостатки метода конечных разностей привели к разработке новых, более универсальных алгоритмов. Особенно широкое распространение получили методы конечных элементов (МКЭ) [2,7,29,35,73] и методы контрольных объемов (МКО) [30,49,60]. Данные методы относятся к классу классических лагранжевых методов. Они используют лагранжеву сетку с неизменной топологией и позволяют решать сложные инженерные задачи в реальных областях. Для этих методов характерна достаточно высокая точность, легкость введения граничных условий и достаточно простые для программной реализации алгоритмы. Основным недостатком этих методов является невозможность расчета течений с большими деформациями, так как возникающие в этом случае сильные искажения элементов сетки и перехлест узлов ведут к потере точности и аварийному завершению расчета.

В 60 - 70х годах большое распространение получили методы граничных интегральных уравнений (методы граничных элементов - МГЭ) и комплексный метод граничных элементов (КМГЭ) [9,18,20,26,69]. МГЭ и КМГЭ. требуют для решения задачи только границы рассматриваемой области. Вместе с тем, если возникает необходимость отыскания решения в любой внутренней точке, то это можно сделать, используя известные значения функций на границе области. В то же время существуют задачи, к которым эти методы не могут быть применены в полной мере. Таким примером является накат разрушающихся волн на пологий берег, когда свободная граница сначала становится многосвязной, а затем вообще не может быть описана гладкой кривой.

В 1967 году для расчета вязких течений Харлоу предложил метод частиц в ячейках [17,79], а для несжимаемых сред - метод маркеров и ячеек. В этом методе используется разнесенная сетка и на каждом шаге по времени решается уравнение Пуассона для определения давления. Сетка строится таким образом, что граница области интегрирования проходит через точки, в которых определяются компоненты скорости. Такой подход делает алгоритм более экономным и простым при реализации. Наиболее существенным недостатком этой группы методов является отсутствие условия консервативности, неустранимое из-за наличия неполных приграничных ячеек.

Описанные выше методы относятся к классу сеточных. Их сущность может быть описана следующим образом. В области изменения независимых переменных вводится сетка - дискретная совокупность узловых точек. Вместо функций непрерывного аргумента рассматриваются конечномерные сеточные функции, значения которых задаются в узловых точках сетки. Все эти методы обладают одним общим недостатком. На каждом временном шаге сетка, на которой строится решение, не теряет свою узловую связность, что, в свою очередь, при больших деформациях жидкости может быстро приводить к ее вырожденности.

В последнее время стали разрабатываться новые численные методы, которые аппроксимируют уравнения в частных производных, основываясь только на наборе узлов, без знания дополнительной информации о структуре сетки. В таких методах отношение соседства частиц не фиксировано и может со временем изменяться. То есть частицы, бывшие соседями в начальный момент времени, могут со временем расходиться достаточно далеко друг от друга. Данные методы известны как методы частиц или бессеточные методы (БМ) [90,123,125]. Характерными представителями этой группы методов являются метод сглаженных частиц (SPH - Smoothed Particle Hydrodynamics) [128,129], полунеявный метод движущихся частиц (MPS - Moving Particle Semi-implicit) [119,120], метод Лагранжево-Эйлеровых частиц [78], метод точечной интерполяции (Point Interpolation Method) [124].

Метод сглаженных частиц (SPH) впервые был предложен в 1977 году Леоном Льюси и независимо Бобом Джингольдом и Джо Монаганом для решения задач астрофизики. Затем он был адаптирован для решения задач гидродинамики, газодинамики, а также динамики твердого тела. И лишь в 1994 году Джо Монаган применил данный метод к задачам со свободными границами [129]. Основная идея метода состоит в дискретизации сплошной среды конечным набором частиц, движущихся со скоростью потока и допускающих произвольную связность между собой. Все функции, входящие в систему уравнений движения, представляются в виде интегралов по некоторой области течения, называемой областью сглаживания, от этих функций с весовой функцией Дирака. Далее функция Дирака заменяется некоторой финитной функцией (функцией ядра), которая может быть продифференцирована аналитически [110]. Полученная с учетом введенных аппроксимаций система обыкновенных дифференциальных уравнений решается каким-либо численным методом.

Полунеявный метод движущихся частиц (MPS) применяется для расчётов течений вязкой несжимаемой жидкости. Для решения задач используется подход Лагранжа к моделированию динамики сплошной среды [64,76]. Метод разработан профессором Токийского университета Сейчи Кошизукой в 1996 году [120]. Принципы метода MPS схожи с базовыми принципами метода SPH. Его основной идеей является дискретизация сплошной среды набором частиц, аппроксимирующих малый объём жидкости. Интеграл приближается конечной суммой по частицам, а в качестве весовой функции используется функция ядра [128].

Метод частиц, опубликованный в 2001 году A.M. Франком [78], строится на свободно-лагранжевой модели. Метод строится на основе принципа наименьшего принуждения Гаусса [108] и представляет собой некоторый специальный вариант метода Галеркина. Использование принципа Гаусса дает ряд преимуществ, в частности, получаемая численная схема полностью консервативна и, безусловно, устойчива. С другой стороны, массовые, внутренние и поверхностные силы вычисляются в естественных, то есть эйлеровых координатах. Использование частиц позволяет легко отслеживать границы раздела, причем произвольное изменение связности течения и границ не доставляет никаких дополнительных алгоритмических сложностей.

Метод точечной интерполяции (PIM) был предложен Liu и Gu (1999г.). Этот метод представляет собой разновидность локального метода Петрова-Галеркина [125]. Для формирования дискретной системы уравнений используется метод взвешенных невязок в интегральной форме. Основная идея метода заключается в применении интегральной формы метода взвешенных невязок к малой локальной подобласти, описываемой набором случайно распределенных узлов. Функции формы в методе точечной интерполяции строятся по группе узлов, которые произвольным образом распределяются по области поддержки. Для вычисления интегралов слабой формы исходных дифференциальных уравнений в частных производных используется фоновая сетка.

К настоящему моменту описано уже достаточно много бессеточных методов и для их построения были использованы различные подходы. Тем не менее, можно выделить общие черты, отличающие бессеточные методы от аналогичных им сеточных методов [90,123]:

- отсутствие сетки: в бессеточных методах связность узлов определяется в процессе счета; не требуется построения сетки перед началом расчета, также не требуется перестроения сетки в процессе вычислений;

- непрерывность функций формы: в бессеточных методах можно легко построить функции формы, имеющие нужный порядок непрерывности;

- сходимость: численные эксперименты подтверждают, что бессеточные методы зачастую сходятся лучше, чем сеточные. Тем не менее, на сегодняшний день нет теоретических оценок, подтверждающих лучшую сходимость бессеточных методов;

- вычислительные затраты: для получения необходимой точности, бессеточные методы, как правило, требуют больших временных затрат, чем их сеточные аналоги;

- функции формы большинства бессеточных методов не удовлетворяют условию символа Кронекера (не представляют собой разложение единицы), в то время как сеточные методы часто обладают этим свойством, поэтому введение главных граничных условий требует особого внимания и может ухудшить сходимость используемого бессеточного метода.

Таким образом, к общим недостаткам бессеточных методов можно отнести сравнительно невысокую точность и трудность введения граничных условий. В стандартных бессеточных методах для построения интерполяционных функций дополнительно требуется обеспечить узловую связность.

В связи с этим стали разрабатываться методы, сочетающие в себе сеточный и бессеточный подходы и использующие преимущества каждой из методологий. Характерными представителями этой группы методов являются бессеточный метод конечных элементов (Meshless Finite Element Method) и метод естественных соседей (Natural Element Method) [102,130,144]. Методы MFEM и NEM сохраняют преимущества классического метода конечных элементов, такие как простота функции формы в области определения, непрерывность между элементами, простота введения граничных условий. При этом эти методы имеют все преимущества бессеточных методов в силу того, что функции формы MFEM и NEM зависят только от положения узловых точек. В основе метода естественных соседей и бессеточного метода конечных элементов лежит метод Галеркина в слабой форме. Для интерполяции неизвестных функций используются соответственно функции формы Сибсона и Лапласа, базирующиеся на понятии естественных соседей.

В вычислительной геометрии понятие естественных соседей узловой точки области связано с понятием ячеек Вороного первого или второго порядков. Среди многочисленных свойств этих ячеек можно отметить единственность разбиения и выпуклость всех ее элементов. Так дискретизация области ячейками Вороного существенно снижает временные затраты, необходимые для построения интерполирующих функций. Скорость выполнения этого шага является критичной для методов, использующих интерполяции Сибсона или Лапласа, так как данные методы требуют вычисления функций формы для каждой точки при численном интегрировании по расчетной области задачи. Соответственно, скорость работы таких методов, как метод естественных соседей и бессеточный метод конечных элементов, зависит от эффективности алгоритма, реализующего разбиение области ячейками Вороного. Таким образом, при численном моделировании задач механики жидкости со свободными границами построение сеток, адаптирующихся к особенностям численного метода и геометрии течения, а также разработка методов поиска естественных соседей на основе информации о смежных узлах являются актуальными проблемами вычислительной математики.

Ниже проследим развитие сибсоновской и несибсоновской интерполяции. Интерполяция естественных соседей впервые была введена Сибсоном в 1980 году как средство моделирования и сглаживания данных [141,142]. При этом для определения множества соседей для произвольной точки л;0, введенной в разбиение, Сибсон использовал теорию ячеек Вороного второго порядка и тем самым ввел понятия естественных соседей и соседних узлов. В 1989 году на основе сибсоновских функций формы были предложены многопараметрические интерполяционные схемы для дифференциальных уравнений с тремя и более переменными для нерегулярного разбиения расчетной области [87]. В 1987 году авторами

152] с помощью критерия пустой окружности Делоне [67] был описан носитель сибсоновской функции формы как геометрическое место точек, принадлежащих пересечению окружностей Делоне. Позднее в работах [153,154] была введена классификация алгоритмов интерполяции, основанных на интерполяции естественных соседей, для N- мерной сферы и предложен алгоритм построения сибсоновских функций формы. Впервые функции формы Сибсона нашли свое приложение в GIS технологиях для приближения неизвестных функций на поверхности [135]. Через несколько лет интерполяция естественных соседей в работах [94,96] была адаптирована к решению задач геофизики. В задачах гидродинамики сибсоновские функции формы для интерполяции значений неизвестных функций на элементах расчетной области впервые были выбраны в 1993 году авторами [136] для моделирования уравнений мелкой воды. А в 1994 году в работе [148] координаты естественных соседей легли в основу метода, который позднее получил название метода естественных соседей. Впервые метод NEM был использован в работах [149] для решения задач теории пластичности. В 1998 году в работе [144] метод естественных соседей применялся к численному моделированию задач механики твердых тел. В это же время авторами [106,137] были доказаны основные свойства сибсоновской интерполяции.

Второй виток развития интерполяция естественных соседей получила в работах [92,115], где сибсоновские функции формы использовались для приближения данных в задачах геофизики и вычислительной геометрии. Тогда же применению метода естественных соседей к решению задач теории упругости была посвящена диссертация [145], в которой подробно описывались алгоритмы построения интерполяционных функций формы Сибсона для двумерного и трехмерного случаев. Обзор приложений сибсоновских функций формы приведен в работах [155].

В 1997 году в работе [15] был построен новый, отличный от известного метода Сибсона, метод интерполяции первого порядка значений функции на системе точек в конечномерном евклидовом пространстве Е"; доказан ряд свойств этого метода; приведены результаты его применения и сравнения с интерполяцией Сибсона и интерполяцией, основанной на триангуляции Делоне. Свое развитие метод несибсоновской интерполяции получил как более простой и экономичный способ приближения данных по сравнению с интерполяцией Сибсона. В 2000 году предложенный в [15] метод несибсоновской интерполяции был опубликован на английском языке в работе [89].

Независимо в 1999 году несибсоновский метод интерполяции был описан авторами [113, 114, 143] как метод приближения данных, основанный на ячейках Вороного. В этих работах несибсоновский подход к интерполяции получил название интерполяции Лапласа.

В 2001 году несибсоновские функции формы были положены в основу бессеточного метода Галеркина [146], а в 2003 году - бессеточного метода конечных элементов [102]. При этом в бессеточном методе Галеркина для построения интерполяционных функций использовался набор соседей, найденный с помощью критерия описанной окружности Делоне. В методе MFEM в качестве носителей функции формы были выбраны элементы расширенной триангуляции Делоне [111,137], что существенно облегчило реализацию метода и сократило временные затраты построения интерполяции. Так были выделены два вида несибсоновской интерполяции, отличающиеся между собой методами выбора соседей для некоторой точки xQ, введенной в первоначальное разбиение узлов. Сравнение сибсоновского и несибсоновского подходов к интерполяции значений неизвестных приводится в работах [15,101].

Независимо в 2004 году коллективом авторов [116] была предложена модификация MFEM - точечный метод конечных элементов (Particle Finite Element Method). Для приближения значений неизвестных в нем также использовались интерполяционные функции Лапласа, а в качестве носителя были выбраны элементы расширенной триангуляции Делоне. Основное его отличие от бессеточного метода конечных элементов заключается в использовании так называемой стабилизирующей процедуры класса методов конечных приращений (Finite Increment Calculus), устраняющей нефизичные осцилляции функции давления.

Разработка эффективных вычислительных методов привела к новому подходу в исследовании задач гидродинамики со свободными границами, требующих для своего решения значительных вычислительных ресурсов. Повышенные требования к производительности и объему памяти обусловлены сложными нелинейными моделями среды, описываемыми большим числом уравнений, пространственным характером задачи и нестационарностью протекающих процессов [8,9,10,23,70]. Многим из таких процессов требуется высокое быстродействие, а также необходима обработка и хранение большого объема информации, что предъявляет повышенные требования к вычислительным системам.

В 70-80-х годах в России велись исследования, направленные на создание параллельных вычислительных систем. Примерами таких систем являются PHOENIX [1], ПС-2000 [22], а также многопроцессорные вычислительные комплексы Эльбрус [1]. Принципы, заложенные в основу структурной организации упомянутых машин, находят свое применение и в настоящее время. Одновременно с разработкой параллельных вычислительных систем учеными велись работы по распараллеливанию алгоритмов сложных задач, например, работы [21,22,23,46] посвящены общим вопросам распараллеливания алгоритмов, а особенно распараллеливанию численных методов линейной алгебры.

В последнее время особым интересом у разработчиков высокопроизводительных вычислительных компьютеров пользуются системы с распределенной кластерной структурой. В основе параллельного компьютера лежит идея использования для решения одной конкретной задачи нескольких процессоров, работающих сообща. Так вычислительные системы (кластеры) представляют собой мультикомпьютеры, состоящие из множества отдельных компьютеров или рабочих станций общего назначения (узлов), связанных между собой единой коммуникационной системой. Каждый узел имеет свою локальную оперативную память. Для вычислительных кластеров вместе со специальными средствами поддержки параллельного программирования и распределения нагрузки используются, как правило, стандартные для рабочих станций операционные системы, чаще всего свободно распространяемые - Linux/FreeBSD. Программирование выполняется на основе модели передачи сообщений (MPI) [3,6,10]. Таким образом, при создании параллельного алгоритма, реализующего некоторую математическую модель в виде кода программы, программисту необходимо извлечь максимальную пользу из наличия нескольких процессоров и сократить время на передаче данных между ними до минимума. Эффективность использования вычислительных кластеров для решения задач гидродинамики со свободными границами рассматривается в работах [9,23].

О предмете диссертации.

Диссертация посвящена численному моделированию двумерных нестационарных течений ньютоновской вязкой несжимаемой жидкости со свободными границами обобщенным методом естественных соседей.

Целью диссертационного исследования является адаптация и развитие метода естественных соседей для решения задач механики вязкой несжимаемой жидкости со свободными границами, с сильными деформациями расчетной области.

Основные задачи диссертационного исследования состоят в следующем:

- разработка алгоритма построения расширенной триангуляции Делоне на основе разбиения расчетной области ячейками Вороного первого порядка;

- проведение . сравнительного анализа интерполяций Сибсона и Лапласа в областях с различной геометрией и различным числом точек интегрирования;

- разработка алгоритма обобщенного метода естественных соседей к решению задач динамики вязкой несжимаемой жидкости со свободными границами;

- сравнение численных результатов, полученных обобщенным методом естественных соседей, с известными аналитическими решениями, экспериментальными данными и расчетами других авторов;

- проведение численных экспериментов по расчету двумерных задач с обрушениями вязкой несжимаемой жидкости обобщенным методом естественных соседей, сопровождающиеся большими деформациями границ расчетной области и определение значений гидродинамических нагрузок на твердых стенках области;

- разработка параллельной реализации обобщенного метода естественных соседей.

Научная новизна диссертационного исследования заключается в следующем:

- предложена модификация метода естественных соседей — обобщенный метод естественных соседей, позволяющий моделировать течения вязкой несжимаемой жидкости со свободными границами, сопровождающиеся большими деформациями расчетной области, а также вычислять гидродинамические нагрузки на твердых границах расчетной области;

- разработан алгоритм численного решения плоских нелинейных задач динамики вязкой несжимаемой жидкости со свободными границами обобщенным методом естественных соседей;

- проведены в полной нелинейной постановке численные эксперименты по расчету задач об обрушении плотины в зависимости от варьируемых параметров;

- разработана параллельная реализация обобщенного метода естественных соседей.

Практическая значимость исследования заключается в следующем:

Обобщенный метод естественных соседей, построенный на вариационном принципе Галеркина, дает возможность исследовать задачи динамики вязкой несжимаемой жидкости со свободными границами, сопровождающиеся сильной деформацией расчетной области, а также получать картину давления на каждом временном слое и определять гидродинамические нагрузки на твердых стенках области, что выгодно отличает его от известных бессеточных методов.

Отдельные части диссертационной работы выполнялись в рамках проектов:

- Проект № 4829 «Численное моделирование течений жидкости со свободными границами современными численными методами на многопроцессорных вычислительных системах» (2005г.) по ведомственной научной программе Федерального агентства по образованию «Развитие научного потенциала высшей школы»;

- Проект № 4256 «Создание типового информационно-вычислительного портала для организации учебной и научной деятельности ВУЗа» по ведомственной научной целевой программе Федерального агентства по образованию «Развитие научного потенциала высшей школы (2006-2008 годы)» (2006 - 2007 годы);

- Интеграционный проект фундаментальных исследований Объединенного ученого совета по механике и энергетике СО РАН (2006-2008) по теме «Численное моделирование нестационарного взаимодействия сложных упругих конструкций с жидкостью или газом», Блок 2: «Нестационарное взаимодействие нелинейных поверхностных волн с плавающими и закрепленными упругими конструкциями», Пункт 1. «Развитие методов расчета гидродинамических нагрузок при резко нестационарном воздействии волн с большими деформациями области течения».

Достоверность полученных результатов следует из корректной математической постановки задачи, а также подтверждается сравнением результатов расчетов с известными аналитическими решениями, экспериментальными данными и расчетами других авторов.

Апробация работы.

Основные результаты диссертации по мере их получения докладывались и обсуждались на пяти конференциях, в том числе одной региональной, трех всероссийских и двух международных, а также на международной летней школе «Гидродинамика больших скоростей и численное моделирование», г. Кемерово; Российско-Германской школе по параллельным вычислениям на высокопроизводительных вычислительных системах, г. Новосибирск; на объединенном семинаре ИВТ СО РАН «Информационно-вычислительные технологии (численные методы механики сплошной среды)» под руководством академика РАН Шокина Ю.И., профессора КовениВ.М.; на научном семинаре института Гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН «Прикладная гидродинамика» под руководством чл.-кор. РАН Пухначева В.В., а также на научном семинаре «Информационные технологии и математическое моделирование» под руководством д.ф.-м.н., проф. Афанасьева К.Е.:

- региональная научно-практическая конференция студентов, аспирантов и молодых ученых, посвященная 10-летию Новокузнецкого филиала-института Кемеровского государственного университета (Новокузнецк 2005 г.);

- всероссийская научно-практическая конференция «Информационные недра Кузбасса» (Кемерово 2004-2007гг.);

- международная научная конференция «Наука и образование» (Белово 2006 г.);

- международная конференция "Гидродинамика больших скоростей и численное моделирование" (Кемерово 2006г.);

- Российско-Германская школа по параллельным вычислениям на высокопроизводительных вычислительных системах (Новосибирск 2005,2006гг.);

- всероссийская конференция молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (с участием иностранных ученых) (Красноярск 2006г.);

- международная конференция "Сопряженные задачи механики реагирующих сред, информатики и экологии» (Томск 2007);

- научный семинар «Информационно-вычислительные технологии (численные методы механики сплошной среды)» (Новосибирск, декабрь 2007г.);

- научный семинар института Гидродинамики им. Академика М.А. Лаврентьева СО РАН «Прикладная гидродинамика» (Новосибирск, февраль 2008);

- научный семинар «Информационные технологии и численное моделирование» (Кемерово, 2004-2008гг.);

Основные результаты, полученные в диссертации, опубликованы в девяти работах, в том числе в двух журналах из списка ВАК [5,54].

Структура и объем диссертации.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка цитируемой литературы и приложения. Объем диссертации - 181 страниц, в том числе 169 страниц основного текста с рисунками и 11 страниц приложений. Список цитируемой литературы содержит 156 наименований.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Ниже приводятся основные результаты, полученные в диссертации:

- Рассмотрены способы дискретизации расчетной области. Отмечено, что разбиение области ячейками Вороного существенно снижает временные затраты, необходимые для построения интерполяционных функций Сибсона и Лапласа. Предложен алгоритм представления области элементами расширенной триангуляции Делоне на основе диаграммы Вороного.

- Проведен сравнительный анализ интерполяций Сибсона и Лапласа на решении уравнения Пуассона в сложных областях с различным числом точек интегрирования с использованием расширенной триангуляции Делоне. Показано, что расширенная интерполяция Лапласа занимает промежуточный результат между сибсоновскими и несибсоновскими интерполяционными функциями. Можно сделать вывод о том, что при одинаковом числе узлов области несибсоновская интерполяция требует меньше времени, чем интерполяция естественных соседей и расширенная интерполяция Лапласа. Однако алгоритм решения задачи, использующий для аппроксимации неизвестных функции формы Сибсона и расширенной интерполяции Лапласа, дает более точные результаты.

- Представлен и реализован обобщенный метод естественных соседей для решения задач динамики вязкой жидкости со свободными границами, принадлежащий классу условно-бессеточных и основанный на методах естественных соседей и конечных элементов. Для получения устойчивого решения дискретных уравнений системы Навье-Стокса рассмотрен метод конечных приращений. Обоснован выбор конечно-элементных пространств для скорости и давления, который приводит к удовлетворению условий Ладыженской-Бабушки-Бреззи о совместной аппроксимации и гарантирует невырожденность решения системы уравнений Навье-Стокса.

- Разработан алгоритм численного решения плоских нелинейных задач динамики вязкой несжимаемой жидкости со свободными границами обобщенным методом естественных соседей.

- На ряде тестовых задач показана эффективность предложенного алгоритма для решения нелинейных задач движения вязкой несжимаемой жидкости со свободными границами. Проведено сравнение результатов численных расчетов, полученных обобщенным методом естественных соседей, с известными аналитическими решениями, экспериментальными данными и расчетами других авторов.

- Проведены в полной нелинейной постановке численные эксперименты по расчету задач об обрушении плотины в зависимости от варьируемых параметров. Определены значения гидродинамических нагрузок на вертикальные стенки бассейна в зависимости от размеров бассейна и высоты слоя жидкости при основании плотины. Установлены режимы максимального наката волны, формирующейся при обрушении плотины, на горизонтальный уступ, расположенный над основанием плотины. Для различных значений расстояния от уступа до поверхности жидкости определены нагрузки на вертикальную и горизонтальную стенки уступа.

- Разработана параллельная реализация обобщенного метода естественных соседей.

Автор выражает глубокую благодарность и признательность д.ф.-м.н., профессору К.Е. Афанасьеву за постоянное внимание, многочисленные обсуждения и ценные замечания, способствовавшие успешному выполнению данной работы, а также за помощь и поддержку в процессе выполнения диссертационной работы.

Автор выражает благодарность всем преподавателям и аспирантам кафедры ЮНЕСКО по НИТ КемГУ, а также всем сотрудникам Центра Новых Информационных Технологий КемГУ за поддержку в процессе написания диссертационной работы.

Автор выражает глубокую благодарность мужу Рейну Алексею Владимировичу, родителям Бакушкину Сергею Петровичу и Бакушкиной Ирине Анатольевне, а также сестре Елене за помощь в проведении расчетов и оформлении диссертационной работы, постоянную поддержку, терпение и понимание.

1. Аксенов, В. П. Структура и характеристики высокопроизводительных ЭВМ и систем текст. / В. П. Аксенов, С. В. Бочков, А. А. Мошков // Зарубежная радиоэлектроника. - 1982. - Ч. 1, № 3. - С. 3553; Ч. 1., №4.-С. 33-57

2. Афанасьев, К. Е. Решение нелинейных задач гидродинамики идеальной жидкости со свободными границами методами конечных и граничных элементов: автореф. дис. д-ра. физ.-мат. наук. -Кемерово, 1997. 17с.

3. Афанасьев, К. Е. Анализ динамических характеристик при взаимодействии уединенной волны с препятствием текст. / К. Е. Афанасьев, Е.Н. Березин // Вычислительные технологии. 2004. Т. 9, № 3. - С. 22-37.

4. Афанасьев, К. Е. Организация доступа к удаленным кластерным установкам текст. / К. Е. Афанасьев, С. В. Стуколов, А. В. Демидов // Высокопроизводительные параллельные вычисления на кластерных системах: матер. II Междунар. науч.-практ. семинара.

5. Н. Новгород: Изд-во Нижегородского госуниверситета, 2002. С. 351-353.

6. Афанасьев, К. Е. Информационные технологии в численных расчетах: учеб. пособие текст. / К. Е. Афанасьев, А. М. Гудов. -Кемерово: Изд-во КемГУ, 2001. 204 с.

7. Афанасьев, К. Е. КМГЭ для решения плоских задач гидродинамики и его реализация на параллельных компьютерах: учеб. пособие текст. / К. Е. Афанасьев, С. В. Стуколов. Кемерово: Изд-во КемГУ, 2001.-206 с.

8. Ю.Афанасьев, К. Е. Многопроцессорные вычислительные системы и параллельное программирование: учеб. пособие текст. / К. Е. Афанасьев, С. В. Стуколов. Кемерово: Изд-во КемГУ, 2003. - 182 с.

9. П.Афанасьев, К. Е. Устойчивость и монотонность решения задач нестационарной теплопроводности методами конечных элементов и конечных разностей текст. / К. Е. Афанасьев, А. Г.Цицин, М.: Вопросы атомной науки и техники, 1978. - Т.З.- С. 46-49.

10. Баландин, М. Ю. Методы решения СЛАУ большой размерности текст. / М. Ю. Баландин, Э. П. Шурина, Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2000. - 70 с.

11. Бартеньев, О. В. Фортран для профессионалов. Математическая библиотека IMSL текст. / О. В. Бартеньев, М.: Диалог-МИФИ, 2001.- 368 с.

12. Бахвалов, Н. С. Численные методы текст. / Н. С. Бахвалов, М.: Наука, 1975. - 600 с.

13. Белоцерковский, О. М. Численное моделирование в механике сплошных сред текст. / О. М. Белоцерковский, — М.: Наука, 1984. — 520 с.

14. Белоцерковский, О. М. Методы крупных частиц в газовой динамике / О. М. Белоцерковский, Ю. М. Давыдов, М.: Наука, 1974. - 400 с.

15. Бенерджи, П. Методы граничных элементов в прикладных науках текст. / П. Бенерджи, Р. Баггерфилд, М.: Мир, 1984. - 494 с.

16. Березин, Е. Н. Численное моделирование задач идеальной несжимаемой жидкости со свободными границами методом граничных элементов: автореф. дис. к-та. физ.-мат. наук., -Кемерово, 2006. 17с.

17. Бребия, К. Методы граничных элементов текст. / К. Бребия, Ж. Теллес, Л. Вроубел, -М.: Мир, 1987. 524 с.

18. Валях, Е. Последовательно-параллельные вычисления: пер. с англ. текст. / Е.Валях, М.: Мир, 1985. - 456 с.

19. Воеводин, В. В. Параллельные вычисления текст. / В. В. Воеводин, Вл. В. Воеводин, СПб. : БХВ-Петербург, 2002. - 608 с.

20. Волков, К. Н. Применение средств параллельного программ-мирования для решения задач механики жидкости и газа на многопроцессорных вычислительных системах текст. / К. Н. Волков // Вычислительные методы и программирование. 2006. - Т. 7 - С. 69-84.

21. Геворкян, Р. Г. Курс общей физики: учеб. пособие текст. / Р. Г. Геворкян, М.: Высшая школа, 1979. - 656 с.

22. Годунов, С.К. Разностные схемы текст. / С.К. Годунов, B.C. Рябенький, М.: Наука, 1973. - 400 с.

23. Громадка, Т. Комплексный метод граничных элементов текст. / Т. Громадка, Ч. Лей, -М.: Мир, 1990. 304 с.

24. Давыдов, Ю. М. Дифференциальные приближения и представления разностных схем текст. / Ю. М. Давыдов, М.: Наука, 1981. -С. 131

25. Джордж, А. Численное решение больших разреженных систем уравнений текст. / А. Джордж, Д. Лю, М.: Мир, 1984. - 333 с.

26. Зенкевич, О. Конечные элементы и аппроксимация текст. / О. Зенкевич, К. Морган, М.: Мир, 1986. - 317 с.

27. Ильин, В.П. Методы конечных разностей и конечных объемов для эллиптических уравнений текст. / В.П. Ильин, Новосибирск: изд. инст. мат-ки, 2000. - 345 с.

28. Ковеня, В.М. Об одном алгоритме решения уравнений Навье-Стокса вязкой несжимаемой жидкости текст. / В.М. Ковеня // ИВТ СО РАН, Новосибирск. 2006. Т.11. - №2. - С. 39 - 51.

29. Колмогоров, А.Н. Элементы теории функций и функционального анализа (4-е изд.) текст. / А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин, М.: Наука, 1976.

30. Коннор, Дж. Метод конечных элементов в механике жидкости текст. / Дж. Коннор, К. Бреббия, JL: Судостроение, 1979. - 264 с.

31. Лаврентьев, М. А. Проблемы гидродинамики и их математические модели текст. / М. А. Лаврентьев, Б. В. Шабат, М.: Наука, 1977. -407 с.

32. Ладыженская, О. А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости текст. / О. А. Ладыженская, М.: Наука, 1961.-С. 206.

33. Ландау, Л.Д. Статистическая физика, 4.1 текст. / Л.Д.Ландау, Е.М.Лифшиц / / М. Наука 1976. 620 С.

34. Лойцянский, Л. Г. Механика жидкости и газа текст. / Л.Г. Лойцянский, М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987. - 840 с.

35. Магомедов, К. М. О расчете искомых поверхностей в пространственных методах характеристик текст. / К. М. Магомедов, ДАН СССР, 1966. - Т.6 - С. 1297-1300.

36. Манойлин, С. В. Некоторые экспериментально-теоретические методы определения воздействия волн цунами на гидротехнические сооружения и акватории морских портов: препринт / С. В. Манойлин, Красноярск: ВЦ СО АН СССР, 1989. - 50 с.

37. Марчук, Г. И. Применение метода расщепления (дробных шагов) для решения задач математической физики текст. / Г. И. Марчук, Н. Н. Яненко // Докл. на Всесоюзн. конф. по вычисл. матем., М., февраль 1965. Докл. на конгр. ИФИП, Нью-Йорк, май 1965.

38. Марчук, Г.И. Методы вычислительной математики текст. / Г.И. Марчук, М.: Наука, 1980. - 536 с.

39. Патрашев, А. Н. Гидромеханика текст. / А. Н. Патрашев, — М.: Военно-морское издательство военно-морского министерства Союза ССР, 1953.-720 с.

40. Пасконов, В. М. Численное моделирование процессов тепло- и массообмена текст. / В. М. Пасконов, Л. А. Чудов, В.И. Полежаев, -М.: Наука, 1984.-288 с.

41. Патанкар, С. Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости текст. / С. Патанкар, М.: Энергоатомиздат, 1984. - 152 с.

42. Пейре, Р. Вычислительные методы в задачах механики жидкости текст. / Р. Пейре, Т. Тейлор // Гидрометеоиздат, Ленинград. 1986. -352 С.

43. Попонин, В. С. Разработка технологии высокоточных вычислений на базе спектрального метода конечных элементов: автореф. дис. к-та. физ.-мат. наук., Томск, 2007. - 19 с.

44. Препарата, Ф. Вычислительная геометрия: введение текст. / Ф. Препарата, М. Шеймос, М.: Мир, 1989. - 450 с.

45. Рейн Т.С. Метод естественных соседей для решения задач вязкой несжимаемой жидкости текст./К.Е. Афанасьев, Т.С. Рейн //Вестник Новосибирского государственного университета (Серия <Математика, механика, информатика>). 2008. - Т.8, вып. 2. С.31-38.

46. Рейн, Т.С. Решение модельных задач гидродинамики методом естественных соседей текст. /Т.С. Рейн, С.Н. Карабцев // Недра Кузбасса. Инновации: труды VI Всероссийской научно-практической конференции. Кемерово: ИНТ. - 2007. — 275 с.

47. Рейн, Т.С. Реализация эффективного алгоритма построения диаграмм Вороного на плоскости текст. / С.Н. Карабцев, Т.С. Рейн, С.В. Стуколов // Недра Кузбасса. Инновации: труды V Всероссийской научно-практической конференции. Кемерово: ИНТ. -2006.-252 с.

48. Рождественский, Б. Jl. Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике текст. / Б. Л. Рождественский, Н. Н. Яненко, М.: Наука, 1978. - 688 с.

49. Роуч, П. Вычислительная гидродинамика: пер. с англ. текст. / П. Роуч, М.: Мир, 1980. - 616 с.

50. Самарский, А. А. Математическое моделирование и вычислительный эксперимент текст. / А. А. Самарский, П. Н. Вабищевич, М.: ИММ РАН, 2000. - 409 с.

51. Самарский, А. А. Численные методы: учеб. пособие для вузов текст. / А. А. Самарский, А. В. Гулин, М., 1989. - 432 с.

52. Седов, Л. И. Механика сплошной среды текст. / Л. И. Седов, — М.: Наука, 1973.-Т.1.-528 с.

53. Седов, Л. И. Механика сплошной среды текст. / Л. И. Седов, — М.: Наука, 1973.-Т.2.-560 с.

54. Симуни, Л. М. Численное решение задачи о неизотермическом движении вязкой жидкости в плоской трубе текст. / Л. М. Симуни // Инж. журнал. 1966. - Т. 10, № 1. - С. 86-91.

55. Скворцов, А. В. Триангуляция Делоне и ее применение текст. / А. В. Скворцов, Томск: ТГУ, 2002. - 128 с.

56. Сретенский, Л. Н. Теория волновых движений жидкости текст. / Л. Н. Сретенский, М.: Наука, 1977. - 816 с.

57. Стуколов, С. В. Решение нелинейных волновых задач гидродинамики идеальной жидкости комплексным методомграничных элементов: автореф. дисс. канд. физ. мат. наук текст. / С. В. Стуколов, - Кемерово, 1999. - 24 с.

58. Стуколов, С. В. Вопросы построения и производительности кластеров на базе ПК текст. / С. В. Стуколов // Новые информационные технологии в университетском образовании: тез. докл. Новосибирск: Изд-во СГУПС и ИДМИ, 2001. - 46 с.

59. Темам, Р. Уравнения Навье-Стокса. Теория и численный анализ текст. / Р. Темам, М.: Мир, 1981.-408 с.

60. Терентьев, А. Г. Численные исследования в гидродинамике текст. / А. Г. Терентьев // Известия АН Республика Чувашия. 1994. - Вып. 1,Т. 2.-С. 61-84.

61. Терентьев, А. Г. Численные методы в гидродинамике: учеб. пособие текст. / А. Г. Терентьев, К. Е. Афанасьев; Чуваш, ун-т. им. И.Н. Ульянова,- Чебоксары: ЧТУ, 1987. 94 с.

62. Том, А. Числовые расчеты полей в технике и физике текст. / А. Том, К. Эйплт, М.: Энергия, 1964. - 208 с.

63. Утегенов, К. У. Метод фиктивных областей для уравнений гидродинамики в переменных «скорость-завихренность» в многосвязных областях текст. / К. У. Утегенов // Труды международной конференции, посвященной 80-летию академика Н.Н.Яненко. Новосибирск, 2001.

64. Фабер, Т. Е. Гидроаэродинамика текст. / Т. Е. Фабер, М.: Постмаркет, 2001. - 559с.

65. Форсайт, Дж. Машинные методы математических вычислений: пер. с. англ. текст. / Дж. Форсайт, М. Малькольм, К. Моулер,- М.: Мир, 1980.-280 с.

66. Франк, А. М. Дискретные модели несжимаемой жидкости текст. / А. М. Франк, М.: Физматлит, 2001. - 208 с.

67. Харлоу, Ф. X. Численный метод частиц в ячейках для задач гидродинамики текст. / Ф. X. Харлоу // Вычислительные методы в гидродинамике, М.: Мир, 1967. - С. 316-342.

68. Чубаров, JI. Б. Численное моделирование волн цунами: автореф. дис. д-ра физ.-мат. наук текст. / JI. Б. Чубаров, Новосибирск, 2000. -С. 30.

69. Чудов, JI. А. Некоторые применения разностных методов в механике жидкостей и газа: автореф. дис. д-ра физ.-мат. наук текст. / Л. А. Чудов, М., 1967. - С.28.

70. Шокин, Ю. И. О связи корректности первых дифференциальных приближений и устойчивости разностных схем для гиперболических систем уравнений текст. / Ю. А. Шокин, Н. Н. Яненко, — «Матем. заметки», 1968. Т.4, №5. - С. 493-502.

71. Шокин, Ю. И. Метод дифференциального приближения текст. / Ю. И. Шокин, Новосибирск: Наука, 1979. 224 с.

72. Шокин, Ю. И. Метод дифференциального приближения. Применение к газовой динамике текст. / Ю. И. Шокин, Н. Н. Яненко, Новосибирск: Наука, Сиб. отделение, 1985. — 168с.

73. Шокин, Ю. И. Введение в метод дифференциального приближения: учебн. пособие текст. / Ю. И. Шокин, Г. С. Хакимзянов, -Новосибирск: Изд-во Новосиб. ун-т, 1997. 144 с.

74. Яненко, Н. Н. Об экономичных неявных схемах (метод дробных шагов) / Н. Н. Яненко // Докл. АН СССР, 1960. Т. 134.-5 с.

75. Alfeld, P. Scattered data interpolation in three or more variables текст. / P. Alfeld. In T. Lyche, L.L. Schumaker (eds.) // Mathematical methods in computer aided geometric design. Academic Press: San Diego. 1989. -P. 1-34.

76. Barrett, R. Templates for the Solution of Linear Systems: Building Blocks for Iterative Methods. Second edition текст. / Richard Barrett,

77. Michael Berry, Tony F. Chan, James Demmel, June M. Donato, Jack Dongarra, Victor Eijkhout, Roldan Pozo, Charles Romine, Henk Van der Vorst // www.ed.siam.org/books, august, 2006.

78. Belikov, V.V. Non-Sibsonian interpolation on arbitrary system of points in Euclidian space and adaptive isolines generation текст. / V.V. Belikov, A.Yu. Semenov // Applied numerical mathematics. 2000. — Vol. 32.-P. 371-387.

79. Belytschko, T Meshless Methods: An Overview and Recent Developments текст. / Т. Belytschko, Y. Krongauz, D. Organ, M. Fleming, P. Krysl // Сотр. Methods Appl. Mech. Engrg. 1996. - Vol. 139. - P. 3-47.

80. Berg, M Computational Geometry. Algorithms and Applications. Second, Revised Edition текст. / M. Berg, M. Van Kreveld. Berlin: Springer-Verlag, 2000. - 367 p.

81. Boissonnat, J.-D. Natural neighbour coordinates of points on a surface текст. / J.-D. Boissonnat and F. Cazals // Computational Geometry: Theory and Applications. 2001. - P. 155-173.

82. Bowyer, A Computing Dirichlet tessellations текст. / A. Bowyer // Computer journal. 1981. - Vol.24. - P. 162-166.

83. Braun, J. Geophysical parametrization and interpolation of irregular data using natural neighbors текст. / J. Braun., M. Sambridge, H. McQueen // Geophysical journal international. 1995. - Vol. 122. - P. 837-857.

84. Braun, J. A numerical method for solving partial differential equations on highly irregular evolving grids текст. / J. Braun, M. Sambridge // Nature. 1995. -Vol. 376. - P. 655-660.

85. Brown, J.L. Natural neighbor interpolation on sphere текст. / J.L. Brown. In P.J. Laurent, A.L. Mehaute, L.L. Schumaker (eds.) // Wavelets, Image and surface fitting. Wellesley, M.A., 1994. P. 67-74.

86. Cazals, F. Conformal Alpha Shapes текст. / F. Cazals, J. Giesen, M. Pauly, A. Zomorodian // Eurographics Symposium on Point-Based Graphics, 2005.

87. Chorin, A. Numerical solution of the Navier-Stokes equations текст. / A. Chorin // Math. Сотр. 1968. - Vol. 22. - P. 745-762.

88. Chorin, A.J. A mathematical introduction to fluid mechanics. Third edition текст. / A.J. Chorin, J.E. Marsden. New York: Springer-Verlag, Inc., 1993.- 182 p.

89. Crespo, J. S. Effect of wet bottom on dam break evolution текст. / J. S. Crespo // SPH European research interest community SIG, 2007. -№6. 3 p.

90. Cueto, E. Overview and Recent Advances in Natural Neighbour Galerkin Methods текст. / E. Cueto, N. Sukumar // Arch. Comput. Meth. Engng. 2003. - Vol. 10, № 4. - P. 307-384.

91. Dunavant, D. A. High Degree Efficient Symmetrical Gaussian Quadrature Rules for the Triangle текст. / D.A. Dunavant // International journal of numeric methods and engineering. 1985. - Vol. 21.-P. 1129-1148.

92. Edelsbrunner, H. On the shape of a set of points in the plane текст. / H. Edelsbrunner, D. G. Kirkpatrick, R. Seidel // IEEE Transactions on Information Theory. IT. 1983. - Vol. 29, № 4. - P. 551-559.

93. Eijkhout, V. LAPACK working note 50: Distributed sparse data structures for linear algebra operations текст. / V. Eijkhout // Tech. Rep. CS 92-169, Computer Science Department, University of Tennessee, Knoxville, TN, 1992.

94. Farin, G. Surfaces over Dirichlet tessellations текст. / G. Farin // Computer Aided Geometric Design. 1990. - Vol.7. - P. 281-292.

95. Fortune, S. J. A sweepline algorithm for Voronoi diagrams / S.J. Fortune //Journal Algorithmica. 1987. - №2. - P. 153-174.

96. Frank, A.M. 3D numerical simulation of regular structure formation in a locally heated falling film текст. / A.M. Frank // European Journal of Mechanics. 2003. - Vol.22. - P. 445-471.

97. Fox, R. Introduction to fluid mechanics. Fourth edition текст. / R. Fox, A. McDonald // John Wiley & Sons, Inc, 1994.

98. Gingold, R.A. Smoothed particle hydrodynamics: theory and application to non-spherical stars текст./ R.A. Gingold, J.J. Monaghan // Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, 1977. P. 375-389.

99. Gold, C.M. Surface interpolation, spatial adjacency and GIS текст. / C.M. Gold // Three dimensional applications in geophysical informational systems. London: Taylor and Francis, 1989. - P. 21-35.

100. Hammer, P.S. Numerical integration over simplexes and cones текст. / P.S. Hammer, O.J. Marlowe, A.H. Stroud // Math. Tables Other aids computes. 1956.-P. 130-139.

101. Hiyoshi, H. Two generalization of an interpolant based on Voronoi diagrams текст. / H. Hiyoshi, K. Sugihara // International journal of shape modeling. 1999. - Vol. 5, № 2. - P. 219-231.

102. Hiyoshi, H. Voronoi-based interpolation with higher continuity текст. / H. Hiyoshi, K. Sugihara // In proceedings of the 16 annual ACM symposium on computational geometry, 2000. P. 242-250.

103. Hiyoshi, H. Improving continuity of Voronoi-based interpolation over Delaunay spheres текст. / H. Hiyoshi, K. Sugihara // Computational Geometry. 2002. - Vol. 22. - P. 167-183.

104. Idelsohn, S.R. The particle finite element method. An overview текст. / S.R. Idelsohn, E. Onate, F. Del Pin, R. Aurby // International Journal of Computational Methods. 2004. - Vol.1, № 2. - P. 267-307.

105. Jarvis, R.A. Computing the shape hull of points in the plane текст. / R. A. Jarvis // In Proceedings of the IEEE Computing Society Conference on Pattern Recognition and Image Processing, 1977. P. 231-241.

106. Koshizuka, S. A particle method for incompressible viscous low with fluid fragmentation текст. / S. Koshizuka, H. Tamako, Y. Oka // Computational Fluid Dynamics Journal. 1995. -Vol. 4, №1. - P. 29-46.

107. Koshizuka, S. Numerical analysis of breaking waves using the moving particle semi-implicit method текст. / S. Koshizuka, A. Nobe, Y. Oka // International Journal for Numerical Methods in Fluid. 1998. - Vol. 26. -P. 751-769.

108. Lasserre, B. An analytical expression and an algorithm for the volume of a convex polyhedron текст./ В. Lasserre // Journal of Optimization Theory and Applications. 1983. - Vol. 39, № 3. - P. 363-377.

109. Laszlo, M J. Computational Geometry and Computer Graphics in С++ текст. / M J. Laszlo, -Prentice-Hall, Upper Saddle River, NJ, 1996.

110. Li, S. Meshfree and particle methods and their applications текст. / S. Li, W.K. Liu // Appl. Mech. Rev. 2002. - Vol. 55. - P. 1 - 34.

111. Liu, G.R. A point interpolation method текст. / G.R. Liu, Y.T. Gu // In Proc. 4th Asia-Pacific Conference on Computational Mechanics, December, Singapure, 1999.-P 1009-1014.

112. Liu, G.R. Mesh free methods: moving beyond the finite element method текст. / G.R. Liu -London: CRC Press, 2003. 693 p.

113. Manteuffel, T. An incomplete factorization technique for positive definite linear systems текст. / Т. Manteuffel // Mathematics of Computation. 1980. - Vol. 34. - P. 473^*97.

114. Meijerink, J. An iterative solution method for linear systems of which the coefficient matrix is a symmetric M-matrix текст. / J. Meijerink, H. V. Vorst//Mathematics of Computation. 1977. - Vol. 31. - P. 148-162.

115. Monaghan, J. Smoothed particle hydrodynamics текст. / J. Monaghan // Ann. Rev. Astron and Astrophysics. 1992. - Vol. 30. -P. 543-574.

116. Monaghan, J.J. Simulation of free surface flows with SPH текст. / J.J. Monaghan, M.C. Thompson, K. Hourigan // Journal of computational physics. 1994. - Vol. 110. - P. 399-406.

117. Onate, E. Derivation of stabilized equations for numerical solution of advective-diffusive transport and fluid flow problems текст. / E. Onate // Comput meth. in engrg. 1998. - Vol. 151. - P. 233-365.

118. Onate, E. A stabilized finite element method for incompressible viscous flows using a finite increment calculus formulation текст. / E. Onate // Comput. Meth. Appl. Mech. Eng. 2000. - Vol. 182, №1-2. -P. 355-370.

119. Onate, E. . Multiscale computational analysis in mechanics: an introduction текст. / E. Onate // Comput meth. Appl. Mech. in Engrg. -2003. Vol. 192. - P. 3043-3059.

120. Onate, E. Possibilities of finite calculus in computational mechanics текст. / E. Onate // International journal for numerical methods in engineering. 2004. - Vol. 60. - P. 255-281.

121. Owens, S.J. An implementation of natural neighbor interpolation in three dimensions текст. / S.J. Owens // Master's thesis. Brigham Young University, 1992.- 118 p.

122. Piper, P. Properties of local coordinates based on Dirichlet tessellations текст. / P. Piper. In G. Farin, H. Hagen, and H. Noltemeier, editors // Geometric Modelling. -Wien New York: Springer-Verlag, 1993.-Vol. 8.-P. 227-239.

123. Robinson, J.A. Image coding with range and valley primitives текст. / J.A. Robinson // IEEE Transactions and communications. 1995. - Vol. 43, №6.-P. 2095-2102.

124. Rogers, S. E. Upwind Differencing Scheme for the Incompressible Navier-Stokes Equations текст. / S. E. Rogers, D. A. Kwak // Applied Numerical Mathematics.- 1991.- Vol. 8.-P. 43-64.

125. Saad, Y. A basic tool kit for sparse matrix computation текст./ Y. Saad // Tech. Rep. CSRD, University of Illinois, Urbana, IL., 1990. -218 p.

126. Sibson, R. A brief description a natural neighbor interpolation текст. / R. Sibson. In V. Barnett (ed.) // Interpret multivariate data. -Chichester: John Wiley, 1981. P. 21-36.

127. Sibson, R. A vector identity for Dirichlet tessellation текст. / R. Sibson // Mathematical proceeding of the Cambridge philosophical society, 1980.-Vol. 87.-P. 151-155.

128. Sugihara, K. Surface interpolation based on new local coordinates текст. / К. Sugihara// Computer-aided design. 1999. - Vol. 13, № 1. -P. 51-58.

129. Sukumar, N. The natural element method in solid mechanics текст. / N. Sukumar, B. Moran, T. Belytschko// International journal of numerical methods in engineering. 1998. - Vol. 43, №5. - P. 839-887.

130. Sukumar, N. The natural element method in solid mechanics текст. / N. Sukumar // Ph. D. thesis, theoretical and applied mechanics, Northwestern university, Evanston, Illinois, U.S.A, 1998. 206 p.

131. Sukumar, N. Natural neighbour Galerkin methods текст./ N. Sukumar, B. Moran, A.Yu. Semenov, V.V. Belikov //International journal for numerical methods in engineering. 2001. -Vol. 50. - P. 1-27.

132. Teichmann, M. Surface reconstruction with anisotropic density-scaled alpha-shapes текст. / M. Teichmann, M. Capps // In IEEE Visualization '98 Proceedings, San Francisco, CA, ACM. SIGGRAPH Press, 1998. -P. 67-72.

133. Traversoni, L. An algorithm for natural spline interpolation текст. / L. Traversoni //Numerical algorithms. 1993. — Vol. 5. - P. 63-70.

134. Traversoni, L. Natural neighbor finite elements текст. / L. Traversoni // In International Conference on Hydraulic Enginnering Software. Hydrosoft Proceedings 2. Computational Mechanics Publications, 1994. -P. 291-297.

135. Wan, D. Discrete Singular Convolution-Finite Subdomain Method for the Solution. of Incompressible Viscous Flows текст. / D. Wan, V. Patnaik, W. Wei // Journal of Computational Physics, 2002. V. 180, p. 229-255.

136. Watson, D. Computing the n-dimensional Delaunay tessellation with application to Voronoi polytopes текст. / D. Watson // The Computer Journal. 1981. - Vol. 24, №2. - P. 167-172.

137. Watson, D.F. Neighborhood-based interpolation текст. / D.F. Watson, G.M. Philip, // Geobyte. 1987. - Vol. 2, № 2. - P. 12-16.

138. Watson, D.F. Natural neighbor sorting on the N-dimensional sphere текст. / D.F. Watson // Pattern recognition. 1988. - Vol. 21, № 1. - P. 63-67.

139. Watson, D.F. Contouring: A guide to the Analysis and display of spatial data текст. / D.F. Watson. — England: Oxford, Pergamon Press, 1992.-P. 41-57.

140. Watson, D. F. Nngridr: An implementation of natural neighbor interpolation текст. / D.F. Watson. // Claremont Australia: Dave Watson Publisher, 1994. P. 23-39.

141. Wu, J.C., Numerical solutions of time-dependent incompressible Navier-Stokes equations using an integro-differential formulation текст. / J.C. Wu// Comput. Fluids. 1973. - Vol. 1. -P 197-215.