автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Методы отображений в оптимальном управлении системами с распределенными параметрами

Г7«**««* <яум?<т»»чнп#

л

Ма*от»и Комитет по высшей школе Российской Федерации ТОМСКИЙ•ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

(КССг|Л*'

На поавах рукописи

МОСКАЛЕНКО Аляксанни Иванович

УД{ 62-50

МЕТОДЫ ОТОБРАЖЕНИЙ В ОПТИМАЛЬНОМ УПРАВЛЕНИИ , СИСТЕ1Ш С РАОРВДЕ31ЕНШ5М ПАРАМЕТРА.',«

Специальность 05.13.16 - применение вычислительной техники, математического моделиоованкя и математических метопов в научных исследованиях (по отоас-лям наук)

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Томск - 1993

Работа выполнена в' Иркутском вычислительном центре СО РАН.

Официальные оппоненты: Хрусталев М.М.- д. й.-м.н.,

профессор Паряев Ю.И. - д.т.н.,

прфессор Васильев О.В. - д. ф.-м.н., профессор

Ведущая организация - 'ИПУ РАН (Москва!

Защита состоится " /•/ ] " Л-^/)^_1993 г. ///^часов

на заседании специализированного совета Д.063.53.03 при Томском государственном университете им. В.В.Куйбышева по адресу: 634050, г. Томск, пр. Ленина, 36

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Томского государственного университета

Автореферат разослан ",/" .А*-* . , 1993 г.

г/ ' *

//

//

Учений секретарь специализированного - совета

Д. 063.53.03 кандидат

/

Б.Е.Тривоженко

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТУ

Актуальность работы.. Современная'теория оптимального управления возникла из стремления формализации интуитивного представления о наилучшем течении того или иного процесса, допускающего целенаправленные воздействия (управления). ..¡п-тематический арсенал теории представлен методами, основан -ными на принципе максимума, динамическом программировании классической -проблеме моментов, достаточных условиях оптимальности, связанных с идеями .расширения и-т.д. Приме -нение этих методов к той или иной конкретной задаче имеет целью получение либо аналитических оптимальных решений (что крайне редко удается), либо вычислительных оптимизационных процедур, которые, как правило, связаны с тем или иным ос -мысленным перебором управлений и траекторий системы. Таким образом, практическое нахождение оптимального (квази-опти -мального) решения, как правило, является весьма трудоемкой итерационной процедурой, имеющей в качестве ¡элементарного звена процедуру численного интегрирования уравнений процесса, при заданном управлении, а также некоторых вспомогательных (напр., сопряженных) систем.

• При оптимизации нелинейных распределенных систем, где одноразовое интегрирование является отдельной.и весьма трудной -задачей, применение общих методов оптимального управ -•ления нередко приводит к практически нереализуемым вычисли- . тельным процедурем. Одним из путей преодоления этой трудности является разработка методов редукции исходной задачи оптимального управления к некоторой другой, посильной для практического численного решения.

Идея упрощающей редукции задачи является одной из са -|.№тс древних в математике. Реализация ее в математической физике связана с известными преобразованиями Лапласа, Зурье, Хевисайда и т.д. Развитие этой идеи на задачи оптимального управления требует дополнительного осмысления уже на самом первом шаге - установлении эквивалентности (в определенном смысле) преобразованной и исходной задач. Это связано с необходимостью преобразования семейства траекторий и управлений и использованием возможностей расширения или сужения его (отображения). Далее основное исследование должно быть направлено на нахождение способов отображений, реализующих

упрощающие редукции достаточно емких классов распределенных задач оптимального управления, содержащих' и прикладные постановки, доведенные до численной реализации.

Таким образом, развитие теории и способов отображений (редукций) задач оптимального управления системами с рас -пределенныыи параметрами является актуальной проблемой, представляющей вклад в теорию оптимального управления. В качестве практического выхода здесь выступает решение прикладных задач, трудных для общих методов оптимального управления.

. цель и задачи работы. Целью настоящей диссертации является создание теории отображений в оптимальном управлении и" разработка способов редукции ряда классов распределенных оптимизационных задач, включающих прикладные постановки.

Для достижения данной цели необходимо решить следующие задачи: *

1) Разработать общую теорию отобралений в оптимальном управлении как на уровне абстрактной постановки, так и для оптимизационных задач в системах с сосредоточенными и рас -предеденными параметрами;

2) Кайти аналитические отображения, приводящие к упрощающим редукциям ряда классов задач оптимального управления системами с распределенными параметрами;

3) Подтвердить' эффективность разработанного аппарата преобразований на прикладных задачах оптимального управленчя системами с распределению«! параметрами, трудных с точки зрения имеющихся методов решения. •

Научная новизна, -В настоящей диссертаций впервые разработана теория и способы преобразования задач оптимального уп- , равления для классов систем с распределенными параметрами, что можно рассматривать как вклад в теории оптимального упра- . вления. Установлены глубокие г-тодслогические связи теории-"-отображений б оптимальном управлении с теорией достаточных условий оптимальности В.Ф.Крогова и общим принципом сравнения В.Ы.Матросова.

Впервые получены следующие-, представляющиеся важными, результаты: ,

I) Сформулированч леммы о совместной оптимальности с ис-

' 3

пользованием категории множественной биекции;

2) Получены теоремы о совместной оптимальности систем

' с сосредоточенными параметрами, динамических систем с рас- , пределенными параметрами и систем Гурса-Дарбу;

3) Разработан метол инвариантного проектирования, по-■зволяющий сводить ряд распределенных оптимальных зацг.ч к

существенно более простым, в которых диЭДеренциальние свл-зи представлена обыкновенными уравнениями с параметрами;

4) Разработан метод освобождения ей- интегральных связей на управление;

5) Развита техника интегральных преобразование с незамкнутыми ядрами для классов задач оптимального улравле -ния системами с распределенными параметрами, включающих' задачи с линейным сосредоточенным управлением, а также распределенным управлением, входящим в ппавую чс.сть системы вместе с производными по распределенному параметру (конечно-дифференциальное управление);

• 6) Решены прикладные задачи оптимального управления пространственно-возрастной структурой леса, реальной сис -темой "хищник - жертва", нелинейными колебаниями стержня с ограниченным и распределенным управлениями.

Разработанная теория отобра--жения и способы редукции классов задач оптимгльного управ. ления системами с распределенными параметрами являются составной частью исследований и разработок в теории и приложениях оптимального- управления. Ути результаты позволили решить задачи оптимгльного управления лесными ресурсами (на уровне древостоев), популяцией байкальского омуля с учетом-динамики/рыбного корма - популяции желтокрылого бычка, а также нелинейными колебаниями упругих стержней. Ре -зультаты диссертации могут использоваться такчее и для исследование других прикладных задач оптимального управления. Решение задачи оптимального управления структурой древостоев наило отражение в предложениях Сибирского отделения АН по Генеральной концепции развития производительных сил на территории бассейна оз. Байкал'(Лредлочения СО АН СССР,. 19Ь7 г.).

Ряд теоретических результатов диссертации использова- -лись в спецкурсе /'Распределенные системы", читавшемся авто-

ром в Иркутском госуниверситетё. .

Работа выполнялась в Иркутском ВЦ СО' РАН в рамках научно-исследовательских тем (номера государственной регистрации 01.9.10 0I0I33, 01.9.10 010134 и др.), а некоторые результаты использовались при выполнении хозяйственных договорных работ. При выполнении этих тем были получены ре -зультаты,' являющиеся личным вкладом автора в решение перечисленных вътае задач. Эти исследования и разработки выполнены авиором самостоятельно.

Автор приносят глубокую благодарность проф. В.Ф.Кро -гову и проф. В.ЛЛ^рману i-a возможность постоянного неуч -ного общения и обсуждения результатов работы. Автор благодарен также академику В.М.Уатросову .и проф. С.Н.Васильеву за постоянную поддержку, его работы 'В Иркутском ВЦ СО РАН.

Апробгция работы.' Основные результаты диссертационной работы докладывались и-обсуждались на Третьей всесоюзной Четаевской конференции по устойчивости движения, аналитической механике и управлению движением (Иркутск, 1977), УШ Всесоюзном совещании по проблемам управления (Таллин, 1980), IX Всесоюзном совещании по проблемам.управления (Ереван, 1983), Местом всесоюзном съезде по теоретической и прикладной механике (Ташкент, 1966), УТ Всесоюзной конференции "Качественная теория дифференциальных уравнений" (Иркутск,1986), Шестой всесоюзной конференции по управлении в механических . системах (Львов, I98B), Международном Советско-Польском семинаре "Математические методы оптимального управления и их приложения" (Минск, 1989), Международной школе-семинаре по методам'оптимизации и их приложениям (Иркутск, 1989), Международном семинаре "Негладкие и разрывные задачи управления и оптимизация" (Владивосток, 1991), Международном семинаре "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления" (Москва,, 1992), У Международной науШой школе "Метод функций Ляпунова i; его лрилоя:ения" (Иркутск, 1992), IX Байкальской яколе-семи-нарс! по методам оптимизации и их приложениям (Иркутск, 1992) и др.

Публикации? ■ По материалам диссертации опубликовано свыше ¡0 работ, в том числе одна монография.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введе -|ил, пяти глав, заключения, списка литературы и приложения. Список литер&туры включает 272 наименований (из них 226 >течественных и 46 зарубежных авторов). Приложение оформ-1ено в виде отдельного тома ( 203 стр.текста,, Ц рисунков, 2 таблиц).

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Бо введении дана общая характеристика направления иссле-;ования, связь его с известными методами оптимального управ -гения и теории систем, указана научная новизна и практическая ценность результатов.

Глава I. ТЕОРЕМЫ О СОВМЕСТНОЙ ООТША^НОСТИ

В § I изложены две леммы о совместной оптимальности на гровне абстрактной постановки. Рассматривается исходная за-(ача минимизации функционала Т(^) на множестве 1)~ Г)

'Де С пространству элементов р _ , /У - конечное

¡ножество из натурального ряда чисел, а также вспомогательна

сдача (сравнения) минимизации функционала () на мнаже -

¡тве ¿д= П £0 , где <0, с (£> - пространству элемен - ' -

V £ "г ,

■об (5 . Цель состоит в установлении связи' мевду исходной

I вспрмогательной постановками, позволяющей по известному ре-1внию (минимизирующей последовательности) вспомогательной за- ■ ,ачи, построить решение исходной задачи. Для этого вводятся -рямое ф : —*-(Е> и противоположное (р: —— отобравши, играющие роль основных инструментов связи исходной и спомогательной задач. Первая лемма основана на использовании р'ямого отображения, вторая - противоположного. Условия лемм клгочают требования расширения (или сужения) множеств ри отображениях, оценки снизу исходного функционала вспомо -ательным, условия реализуемости минимизирующей последователь-ости вспомогательной задачи в исходном множестве Т) (через тобраление) и совпадения нижних граней функционалов 1д а множествах • Для обеспечения конструирования'раз -

ичных форм условий расширения (сужения) вводятся отображения

6—- 8д , где ф) , (5 - множества из '£> , содержащие соотв., - некоторое пространство.

Эти отображения наделяются свойством множественной биекции, а именно отображение ^ называется (или 2)^ ) - биек-

цией относительно С'^ (или В$С<&), если при всяком р Е А $ (или в £ ) прообраз (полный прообраз) множества (или V} (2)^,6 ) есть с&Л; (или Д, ). В .случае, когда множества ]) , определяются дифферен -

тральными связями, отображения ^ позволяют записывать условие расширения (или сужения) в__,виде некоторых уравнений на всем пространстве ^0 (или 6> ). т.е. в форме, не свя -данной с траекториями системы,

В § 2 получены две теоремы о совместной оптимальности обыкновенных дифференциальных систег. Прямое отображение здесь задается парой функций ( ) 11X) II ) ), оп-

ределенных на состояниях (ОС) и управлениях (и) исходной системы и имеющих, соответственно, размерности векторов состояния Ц ) и управления (№) вспомогательной системы. Противоположное отображение ф задается парой функций {Хг^,^)^^, Ц}Ш)размерностей векторов ¿Г , ц соот - -ветственно. Использование свободы выбора отображения обладающего свойством множественной биекции, позволило вывести конструкцию полной произвоАной в силу системы в условии расширения (сужения) по дифференциальным связям (обы-' чно эта конструкция вводятся как некое "изобретение"), хотя здесь возможны и другие формы, Путем специального выбора вспомогательной задачи иэ первой теоремы о совместной оптимальности (с прямым отображением) выводится известная тео -рема Кротова, тай что функция в этом случае явля-

ется функцией Кротова.. В то же время первая теорема о сов -местной оптимальности содержит и другие варианты выбора функций ТУ'^СО и вспомогательной задачи, что является ос -новным направлением исследования. Уже в первой публикации [I] было замечено, что вектор-функция играет роль,

аналогичную роли вектор-функции Ляпунова в принципе сравнения, сформулированном В.М.Матросовым. Это повлияло на тер -

микологию методов отображений в оптимальном управлении,- а именно вспомогательную задачу мы именуем далее задачей сравнения (соотв. функционал сравнения, система сравнения и т.д.). Вторая теорема о совместной "оптимальности (с противоположным отображением) не имеет сколь-нибудь заметных связей с известными ранее метода?,ш оптимального управления.

В § 3, являющимся центральным в главе^.1, рассматривается задача минимизации функционала 1 \f£(p )fU $ на решениях общей распределенной системы °

^fxld'xih^ijxih-uitj)^ о ci)

* (dim cc —/7, dim dim-j^n)

при функциональных ограничениях

3'{iTx(tt)9 u(tJeQ(t). <z>

Здесь t £ A - области в m "-мерном эвклидовом простран- ■

гтве, ¿У - оператор дифференцирования порядка L = jii. ; функция J^ зависит конечным образом от производных 'и параметра jr и, кроме того, допускается функциональная (в тстности конечная и интегральная) зависимость от £(') , U(* ) при фиксированном ¿Г , что подчеркнуто а (1) записью '

аргументов в функциональные ограничения

¡2) включаются начальные и граничные условия, конечные и штегральные ограничения на траектории СС(» ) и управление U (•) и т.д. Управление Ц(Ь ) непрерывно, решение :истемы (I) понимается'в классическом смысле, ¿/ - множа -:тбо управлений^ X - множество траекторий; J) - множест-ю пар fll{*)~\ , удовлетворяющих условием:

'■¿(•)€ U • а также (I), (2). Множество * О ,

де - множество определения левой части (I) при задан-

ш t т (t) (1 — ща) И управлении U(') .

Использование буквы ¿Г, для подчеркивания функциораль -ной зависимости от;Г(0 iU0) при фиксированном t восходит к записи интеграла по ti > зависящего от парамет-■. pa f . Обозначения такого типа использовались, например, известным французским математиком Полем Леви.

Вводится вспомогательная задача (сравнения) той же теоретико-функциональной структуры, что и исходная: минимизировать функционал fg[lj(r), l&(t) ] на множестве , состоящем из пар G- ); ti?" (' ) J . удовлетворяющих условиям: . )€ У f ЬУ (') Е. V/1 функциональным ограничениям

^(rjeQ'cf) О)

и дифференциальной (интегро-дифф.) связи W -> ___ t _ /¿в . ___ ^

■ dim 1J-K, dim ЬУ=р, dirn^^K). Множество & ~ Yn * W .

« Л

Прямое отображение (p "определяется посредством двух фун-ций $(<) следующим образом: ¿/0)) = [$(?,Х^)),

U)(Tt3C(tt)} Uit^J . Соответственно противоположное отображение #({/(•/, =[$(t, y(Tt)), U)(tf у^), . Требуется выполнение условий' согласованности: ^

-ф(Y,W)zX* и.

Для формулир'овки теорем, о совместной оптимальности требуются также дополнительные конструкции. Введем множество J)^,

состоящее из пар р и функций (t )(l = UJ11) раз -

мерность которых равна числу производных I -го;порядка, вхо-

' дящих в (I), следующим образом: > 'Ф)

j )>-»%/«)&)> & } • а также оператор.

^ ойл*Да®Чий следующим свойством:

равенство

возможно тогда и только тогда, когда — С . Обозначим через Шд(С1) продолжение оператора ^О) вне

Dj • т.е. Ц Yg(<z)= с) при а е .

Соответственно для формулировки теоремы о совместной оптимальности с противоположным отображением нам понадобятся

множество и операторы У/р> Ь^ аналогичной струк-

туры, а именно

оператор Ч^ обладает свойством: (р, .. •, ) £ равенство ■ — возможно тогда и только тог-

да, когда ("й;^- продолжение оператора

Ч^ад,о) «нв-^ ... ^

Теорема I... Пусть | ^ ("Г ), (Т)} - минимизирующая

■ последовательность для 13 на <0 и пусть существует такое '

прямое отображение ф и операторы и ¿уг ^ , обладающие описанными вше свойствами, что, во-первых, для каждой , ■

пары и{Ь * и _ , удовлетворяющей ограничению

(2), -выполняются условия

I) • ••>

)), Л^чЬ), " ), и (I)))} =

^^(¿РаЧО,..., Лс?)); ■ ^ИА), ¿/гЪ] .

и, во-вторых, на^ется последовательность такая, что

4) "

• )> ^ (£))-^^ ^^.

■тогда последовательность \Х ). II С(>) г является мини-мизирующеи для ] на .

Теорема 2. Пусть { у^ (Т), ^ (Т)} - минимизирую -

щая последовательность для ^ на и пусть существуют такое противоположное отображение' ф и оператор^ ^ и

Ьа Ч?е > обладающие описанными выше свойствами, что

для каждой пары [^(Т), )- ^ , удовлетворяющей ограничению (3){

2) '¡а,иа^^игД))) е

при всякой паре ), '¿¿Ч'^)] » подчиненной (3);

4| если и(£)\б.1) , то найдется пара [¡/(Т) ,

такая, что ' . *

тогда последовательность . где

является минимиэи -

рующей для / на 5 ,

Эти две общие теоремы затем детализируются для классов систем с распределенными параметрами.

• и

В § 4 рассматривается задача оптимального управления динамическим процессом с распределенными параметрами, что соответствует в записи (l)f^-(^^Z) , где fc -- время, 'С, - распределенный параметр,

f(.) = Xf(t,rz)-f(t,u(t,CTJ).

Соответственно в системе сравнения (S ) "2Г =(t, ) } Таким образом fi = fit -i dim n ,

dim 2<t) = к. '

функциональные ограничения (2), (3) детализируются в

виде

Jtfr^fVCt^O, ¿¿(û.ç^eQCt,?;) (2*)

t,^), ^ÇiJje^.Ç). (3х)

и трактуются как ограничения на состояние и значение управлений (в частности они не содержат производных и интег -рал'ов по t )- q

Отображения ) , •

и являются вектор-функционалами над множеством состояний и значений управления исходной системы (Л ) и системы- сравнения .($), зависящими от параметров ( t ,£;)' и ( Î'.O.

В случае прямого отображения (теорема I) полагается

Ц ( ? , $ ) = yt ( ?l} )+ • у°л0Бие

I) теоремы'I выглядит так:

для всякой пары ^ — ¿¿С' ) ] , удовлетворяющей

(2х). Оператор выбирается из условия независимости

левой части последнего равенства от :

где оператор удовлетворяет равенству

Множество Х>^р здесь имеет вид

" «с?,

гак что естественно положить

где Д

- полная производная по £ в силу системы ..

В результате условие I) теоремы I детализируется так:

( ? ¿¿(^))) » хотя другой выбор отобра-

жения Щ (2 г 11 продолжения 2а), (?)

вне может привести и к другим формам условия I) тео -

ремы. I.

Аналогично при использований противоположного отображения (теорема 2) условие I) детализируется в виде:

^О ( Ь, ^ , ^(^х^^С^х)^' Здесь же рассматривается и ва -

рианг постановки с ^дифференциальными связями и управлениями на границе. ' '

В случае скалярной функции и при специальном выбо-- ре задачи сравнения теорема о совместной оптимальности с прямым отображением призодит к достаточным условиям, оптималь -ности типа Кротова и аналогу соотношений динамического прог-

раммирования Р.Беллмана.•Теоремы этого параграфа являются рабочим'инструментом для наховдения способов редукций классов задач оптимального управления динамическими системами, рассмотренных в главах П-1У.

В § 5 рассматривается задача оптимального управления системой Гурса-Дарбу, что соответствует в записи (I) систе--

«и J: И = ((7, tK )*(0.тк ) , fé (•; = х -

-x, xt,xtM) • ГД0 x=cc(t,T) u=a(tfT) ./ -- непрерывная функция обозначенного (конечного) набора пе -ременных, функциональные ограничения (2) детализируются так:

- контур, состоящий из двух отрезков

пересекающихся в точке ^ - вектор-функционал, за-

висящий от параметров til' п

Соответственно в системе сравнения (S) 'T — (t?1>))

;гфунк-

циональное ограничение (3) имеет вид: J- (tfTflj(¿), I^tr))eQ0(t,T ) . Таким образом

dim Z(í)= 2n¿ dim 2(l)-2к,dim dimZ-z) = к.

Отображения ф^ , tú (t,<Z,x(fT),

^Л являются Еектор-функционалами над множеством непрерывных и достаточно гладких функций x(t, %) и непрерывных U(t,V) • (соотв. y(tfZ), Ъ} С t, Ъ ) ) i заданных в. окрестности контура ^ , и зависящими от параметров t,t. В случае прямого отображения (теорема I) полагаем

V^-Afaxtf'*), 2(1)(/Г), 2(i) . Здесь

удовлетворяет равенству ¿r

14 '

t'V * t%

-где ) j d(f обозначав', функцию, определенную на^

и совпадающую соответственно с (tL f U± ) при

{ti^f и с '^»(^т^е^.

Множество определяется равенством: ("fc^ .

2{t)(t,Tl U{t{l)) . Продолжение one -

ратора вне T)f задается естественным образом: [¿¿У^—

— -dilJ'/clt d'G - второй полной производной от $ в силу исходной оиотемы (Jr так^что

• 7 7 " ду

Это приводит к следующей форме условия I) теоремы I

для всех пар \_Х 1 С1 ] . удовлетворяющих функциональному ограничению. Форма условия I) теоремы 2, очевидно, будет симметрична данной (т.е.. вместо ^ надо писать § •', а вместо ^ писать у ).

Формулируется скалярный вариант теоремы I и устанавливается связь с известными для оптимальной задачи ¡Урса-Дарбу • соотношениями динамического программирования.

Отдельно рассматривается случай системы с линейным.неограниченным управлением и матрицей коэффициентов, завися ■-. щей от фазовой координаты и ее первых производных. На осно-I интегро-дифферекциальных- преобразований указываются спо- ' собы редукции этого класса задач к более простым регулярным формам, что иллюстрируется многочисленными примерами, трудными для других методов решения.

Глава П. МЕТОД ИНВАРИАНТНОГО ПРОЕКТИРОВАН][Я

В § I излагается общая схема метода, состоящая в такой ' детализации теоремы о совместной оптимальности распределенных динамических систем, которая позволяет использовать для удовлетворения условия теоремы, контролирующего расширение, так называемое свойство инвариантного (по функционалу) проектирования задачи сравнения. Это свойство состоит, в сущ - . ности в т^м, что задача сравнения наделяется специально устроенным бесконечным множеством решений, которое можно вы -делить, отправляясь от задачи минимизации функционала срав- . нения на некоторой проекции множества .

В § 2 рассматривается задача оптимального управления нелинейным процессом с оператором диффузии

= Д) Г , ^ С4 ^ х )> ^ ^, ^ С ^

(здесь - области на плоскости

операторы диффузионного типа

5,(50).а:'($)), Т,п1 ,

• I - соотв. векторы скоростных потоков и матрицы коэффициентов диффузии, В - невырожденная матрица), с начальными условиями и граничными условиями, имеющими смысл непроникновения веществе через замкнутый контур ¿М » дополни -те'льными ограничениями

А

(здесь X - дополнительная фазовая координата, С - невы -рожденная матрица) и'терминальным критерием оптимальности

I = F\zl(tк,Z)] .

На основе метода инвариантного проектирования эта постановка редуцируется к существенно более простой оптимизационной задаче, в которой диф^рсицкалькке связи представлены

■ -Г6-

обыкновенными уравнениями с параметром

^д^^/Ьл^в^)^^), (4)

■ ■ ' (б)

с соответствующими начальными условиями (здесь б ., ^ вычисляются по конечным формулам через ^ ЭС г С ), име -ются ограничения -

\

(7)

и критерий оптимальности

^=/[/4.5)]. <в)

Указывается точные формулы перехода.

Результат такого же качества получен и в случае процесса с оператором диффузии и возрастной структурой (п.З, §2), а тькче для процесса с интегральной формой распространения

(-¡а).

В заключительном § 4 этой главы исследуется общая схема использования свойств инвариантности задачи сравнения с целью выявления других способов редукции, что иллюстрируется примерами.

Глава .Ь. аЗьТОД (ЮВОБОДШЯ ОТ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ШШЛ

Как было отмечено вьте, задачи типа (4)-(в), к .которым сведены постановки ?§ 3-4 г^.Л, "значительно проще исходных. Эго выражается в том, что г/ряде случаев оказывается достаточным решить задачу (4)-(Ь) при \д"~= О > к которой приме-, ним, например, эффективный метод кратных максимумов В.И,Гурмана.. Однако для общего варианта задачи типа (4)-(8) и при дополнительном ограничении

у-

О ,

'важном в приложениях, эту технику провести не удается.

Данная глава посвящена изучению следующего обобщения постановки (4)-(9).

— тЬп , (10)

(11)

(12)

Л

(И)

где С&т и~с1Ш1 X— П ; В (•) ~ невыровденная матрица {П*П) при всех • ) ; М(' )- матрица (/77* Я), где /77- число интегральных связей на управление (//);

(¿СП! ^ = ¿' . Предполагается, что задача Коки для системы (II) с начальными данными на ограниченной области изменения распределенного параметра (^Г) имеет единственное решение. Это исключает возможность вхо?эдения частных производных от СС по ^ в гтраь/ю часть системы (II), но оставляет конечномерную и интегральную (по С ) зависимости. Матрица /У= М8. является характеристикой управляющей части системы (II),(121. Случай /V независимой от £С соответствует линейной управляющей чести.

Цель исследования состоит в нахождении редукций, осво -богздаящих-от интегральной связки (12). После ¡зтого задача приобретает ряд свойств обыкновенных оптимизационных постановок.

Б § I выполнена детализация теоремы о совместной опти -мальности с противоположным отображением (теоремы 2). При этом задача сравнения для постановки (10)—С13) ищется в виде

= — гпьп , ' (м)

+ (15)

^(¿^уУя^еОЪ,?), (16)

где О . ^ , @ » подлежат определению. В задаче сравнения нет ограничений на управление . Цель детализации теоремы 2 состоит в выявлении условий на отображение и компоненты задачи сравнения (это систечо ссстно-ениЛ с ?унк~

л

■ .ционг-чьнши производными от ), гарантирующих освобождение от интегральной связи (12). Результат сформулирован в ввде основной теоремы метода.

3 §.2 рассматривается Бариант постановки с линейной управляющей частью при ГП<П и матрицей

с невыровденный! квадратичным блоком МГГ)т • Упомянутые выше соотношения с функциональными производными здесь имеют вид

5 .

(17)

где в^ .

/ ' А

Уц - производная Фреые.

& Детализируем следующим образом задачу сравнения (14)-

-Ш-.-скт -(2> " -т

где с(гт ^ п-т, с^т Мт

(так что скт у — п^т>.с(1т х ),

£ пп _ /у_

>

<2=

ПП

Отп

Оп .

где ~ единичная матрица { П* П ), С^ - матрица-

-столбец длины п~, ; , О-) - соотв. матрица ( мхт)

и столбец длины 9 , состоящие из нулей. После этого соотношения (17) , (16.) удается удовлетворить при I/ ... 6

* / (2) >т

Окончательный вид задачи сравнения С14)—V16) следующий

' ■ = —<19)

■ получаются из Г , (X , $ путем подстановки ¿/^ на место

гс . Указаны формулы перехода.

В задаче (19)-(22) управленйями, в сущности, являются ("г; ("1; (г;

функции у ' (/ ' т"к' ^ ' ^ нг входят в

(21),(22) и уравнения (20) могут быть отбро.пены. Таким об -разом, в результате описанной редукции мы не только избавились от интегральной связи на управление, но и понизила порядок дифференциальных связей, придав им форму, близкую к обыкновенным. . «

В § 3 описывается редукция задачи (4)-(9), которая яви-- . лась побудителем развития метода данной главы. Задача сравнения (19)-(22) в данном случае такова: ,

где управлением является у [о, Ь>7 (прежняя фазовая координата 5 (4)-(9)), конечная функция на-

ходится путем решения специальной вариационной задачи, которая в случае линейного интегрального функционала (8) (это важный для приложений вариант) решается аналитически. Выполнено' исследование задачи сравнения. Указана процедура построения минимизирующей последовательности исходной за- • дачи,-содержащая операции аппроксимации разрывных функций непрерывными и кусочно-гладкими.

Глава 1У. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЗАДАЧ ОДМДишНОГО -УБАВЛЕНИЯ

В § I рассматривается задача минимизации терминального функционала [ ~ /^¡^-(¿^,^7'] на решениях параболической системы

' (23)

- дифференциальный оператор второго порядка, Д

- непрерывная ьектср'-функция, ~ прямоугольная матрица) с линейным сосредоточенным управлением ¿¿(£) , начально-краевыми условиями первого типа и с ограничениями на фазовую координату ГС , что формально запишем в виде вклго -чения ^ , ОС ( Т, 41))*= {Ь, ¿Г) . Управление (Л ( Ь )

- непрерывно, решение» системы (23) понимается в классическом смысле. Даже в обыкновенном варианте постановки (Л1 ~ О трудности этого класса задач, связанные с неограниченностью управления, разрывностью фазовой траектории в предельной структуре минимизирующей последовательности, хорошо известии в литературе.'; Коренным вопросом здесь является наховде -ние способов редукции задачи к невырожденным (регулярным) формам. \

Для анализа зйдачи используется теорема о совместной оптимальности с прямым отображением, при этом функция 1/ „ ищется в классе линейных интегральных операторов: V {Ь, С?

с незамкнутым ядром 6. .

(26) (2?)

■ В результате исходная задача сводится к регулярной форме:

, С?)] —>- min , (24)

, (25)

й ■

где управляющая (функция (№) наследует ограничения на прежнюю фазовую координату [X), функция ) не содержит частних производных по и представляет собой интег-

ральный (по С^ ) оператор. Условия эквивалентности (сдно -сторонней) задачи сравнения к исходной задачи содержат сс-отьоаенпг. для ядра Q , а также условие замкнутости некоторого дар*, г :ф«кекггого через Q . Указкъпэтся формулы пережопь о-? решения задачи сравнения к резеюи исходной задачи .

§ 2 пос.-ЕЯ";ек задаче оптимального управления линейны:,: вариантом системы (23) с начально-краевыми условиями третьего типа на множестве обобщенных решений в смысле интегрального тождества. Зта постановка потребовала обобщения те- . оремы о совместной оптимальности на случай обес'щенкых ре -сений и соответствующей модификации техники преобразования задачи к регулярной форме.

В § 3 рассматривается задача оптимального управления системой с конечно-диффгренциальнда распределенным управ -лением.

/77 i • tfyffcd) 1-0 ■ 0 °

с ограничения;«! на фазовую координату

, [)) & и начальные значения производных от

управления до '/7?-У5-го пордцка

dlU{t,^)/cc^J=uHi{t), b^O.L,...Л1-1,

где ' ^ £ [_ , ] - одномерный распределенный параметр

Управление непрерывно и достаточно гладко, решение понима -ется в классическом смысле.

Традиционный путь решения таких задач состоит в пере -воде вправления в разряд фазовых координат путем введения вспомогательных дифференциальных связей и управлений, и по. гружению ее, таким образом, в более широкий класс. Однако непосредственное исследование этой задачи на основе теоремы о совместной оптимальности с использованием интегрального преобразования позволило полностью учесть ее специфику и выполнить редукцию ее к регулярной форме, аналогичной (24)--(27), где в функцию 0 войдут еще управления Ц^. (/) и в условия задачи добавится ограничение (28),

§ 4 посвящен одному способу построения замкнутых фред-. гольмовых ядер (З.Ф.Я.). Дело в том, что несмотря на незамкнутость ядер интегральных преобразований предыдущих параграфов, в процессе их конструктивного'нахождения оказалось необходимым уметь .строить З.Ф.Я. В обширной, литературе по интегральным уравнениям не оказалось ни критериев замкнутости фредгольмовых ядер, ни сколь-нибудь общих способов их построения. Предложенный здесь способ построения Э.Ф.Я, основан на анализе специальной вариационной задачи:

при условииФ

^ = • где -Ф=[Фг..Фк

- непрерывны везде, кроме, может быть, диагонали ^ ,

где допускеются разрывы первого'рода; 1}'= Г, Т ' -р* =г Т?ТУ, ^ ( 5 ) -непрерывна. 1 х' * -1 '

Основной результат состоит в следующем: если одна из функций )(£= 1-, К ) является З.Ф.Я. (по-

метим ее номером 7 ), то тогда функция «?« т

также З.Ф.Я. Зто позволяет строить З.Ф.Я. какой угодно гладкости, отправляясь от замкнутых вольтерровых -ядер, которые легко угадать.

Теоретические результаты глав 1-1У используются далее при решении прикладных задач. В то же время большое внимание уделено анализу и решению иллюстративных примеров, вынесенных в раздел I приложения (отдельный том).

. Глава У, ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧ:'. ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ РАСПРЕДЕЛЕННОМ СЛСЖШИ

В $ I рассматривается задача оштйшьного управления динамикой пространственно-возрастной плотности Л=(П,.,., Л у леса. Процесс описывается уравнениями

ж+т? ^Н*ъ;п>п1~

Аа 5"

где £ - время - ]). ^ - точка плоскости; ^ -

- характерный размер (диаметр) дерева, ^е "

- размер всходов, ^ - оценка сверху для размеров I -й породы ¿~ • ~ скорость роста, Ы1 (* ) -

- коэффициент отмирания, ) - коэффициент возобновления и распространения; Пс (- начальное распреде -

ление, и ,(') - темп рубки. I -й породы. / . Л Скорости роста ¿Я'(') и коэффициенты С1 (•), ип являются нелинейными интегральными (по ) операторами над пространственно-возрастной плотностью ( п ). Они учитывают конкуренцию за солнечную энергию и элементы минерального питания эффекты распространения леса по территории и сукцес-сионные-процессы.

Плановое задание на заготовку древесины с площади к моменту £ записывается в виде равенства

Рт ■ -

^ = Тлт),

где■ - заданные числа, %1 - вспомогательные фазовые координаты, _

и

где V/ запас древесины одного дерева I -й поро-

ды, размера ^ , произрастающего в точке .

В качестве критерия оптимальности принят функционал, характеризующий состояние ресурса "лес" (в частности это запас) в конечный момент:

1т ?т I .

где У\/к (• )- весовые коэффициенты. Кроме того, присутствуют условия неотрицательности переменных.

В предметных терминах задача звучит так: найти такую стратегию рубок, чтобы при выполнении плановых заданий обеспечить наилучшее возможное состояние ресурса "лес". Ясно, что при достаточно больших плановых заданиях множество до -пустимкх пусто.

Численное решение этой задачи на основе известных об -щих методов и программных средств оптимального управления' практически невозможно. Об этом, во-первых, говорит много -мерность независимых переменных фазовой координаты П и управления и (их четыре), так что одноразовое интегрирова -кие уравнений процесса (при заданном и ) является.отдель ной и весьма утомительной задачей. Кроме того, линейное вхо-."т;еиие управления1^ при общей нелинейности задачи, говорит о вырожденности ее. \

В данной работу сформулированная вине задача подвергаете;' аналитическим редукциям на основе методов инвариантного проектирования и освобождения от интегральных связей. В результате финальная Задаче. сравнения такова: при фиксиро -

ванных Щ, максимизировать функционал

/я!

при условиях:

I Л I I

где Ьк , , А,^ - константы, & ('£>)- заданные

функции; функции "¿¡В., > вычисляются через данные ис-

ходной задачи (т.е. 1?-\с учетом их.предметной структуры, описанной в приложении) согласно конечных, но достаточно громоздких формул. Управляющие функции -- прежние фазовые координаты. ^ ;

. Специфика этой задачи состоит в том, что функции при фиксированном ^ зависят от значений фазовых координат

/7* при Р и ПРИ Р " Рсаения ев Р3^-

работан специальный алгоритм. Нужно сказать, что зависимость от времени (£) является слабой и.практически не учитывается.'

. Таким образом исходная распределенная задача оптимального управления динамикой -пространственно-возрастной плотности леса редуцирована к некоторой задаче оптимального управления с одной независимой переменной ( ). которая решается для каждого местоположения {В,). Выигрыш от редукции не вызывает сомнения.

Решение П^ ( • последней задачи определяет целевую структуру древостоя для кавдой породы (¿ ) и местоположения ( Щ ), поддержание которой (посредством рубок С1 :> О ) соответствует постоянному и максимально возможному лесопользованию. После этого вычисляются рациональные плановые задания, соответствующие этому режиму, Ъ начальный { I ) и ко -

'кечный ( $ к ) моменты фазовые координаты терпят разрыв первого рода, что связано с теоретическим мгновенным выходом на целевые' структуры П^ и возможной, нерациональностью (завшение) плановых заданий. Нунно сказать, что эти сингулярные аффекты-в моменты £ ^ связаны с некоторыми "издержками" на ф-рмализованную постановку. Основным же пред -метно значимым результатом является выявление оптимальных целевых структур для каздой породы I и местопо -

явния £ . * 1

На основе этих теоретических результатов в Иркутском ВЦ СО РАН разработан комплекс программ для -нахождения оптимальных целевых структур древостсев и выполнены расчеты для ряда районов Восточной Сибири.

В § 2 выполнено резение задачи оптимального управления 'системой, хищник-жертва с возрастной структурой примените- . льно к условиям трофического взаимодействия популяции бай -кальского омуля (хищник) с его рыбным кормом - популяцией желтокрылого бычка и с учетом динамики осредненного веса особи хищника'для -калдого-возраста. Уравнения процесса представлены следующей системой трех нелинейных уравнений с частными производными и интегральными граничными соотношениями типа уравнений рождаемости:

п(£и,7)=пи(Г) 7 О ; ■ тк(Т)(х> О), т(£;С)=.т0^)-,

.^/77

т

2 7

, — /77 /7" ^

где Ъ - возраст', ъ (соогв. оя )- максимальный возраст

хищника (соотв. жертвы), П— П(1,Т) (соотв. .#==«#"( ¿''Г )

- возрастная плотность численности (соотв. биомассы) хищ -ника (соотв. жертвы), ГП ■= ГП^гТ ) - средний вес особи хищника, с/п(' ) (соотв. ¿2^.(0 ) и Оп(-) (соотв. Ох(.') ' ~

- коэффициенты естественной сортности и рождаемости для хищника (соотв. жертвы), (■£ гп) - упитанность по <5уль-тону, А ( Ь ) - численность хищников для омуля, Ы. и р> -

- коэффициенты, учитывающие половую структуру популяции,

) - скорость роста веса особи хищника, ) - рацион питания, ) - численность конкурентов хищнику (омулю) в борьбе за рыбный корм (жертву), Эвд и <£<0 ~ коэффициенты выедания, ^- площадь нерестилищ. Управле -ниями являются темпы выловов и(£,Т\ Ы,Т ) • Как ви-' дим, математическая модель этой реальной системы "хищник --жертва" весьма далека от классической.модели Вольтерра. Плановые задания на вылов представляется равенствами Тт Гт

\ я, '\гъх(*к, Шг-,

о о

где % я - вспомогательные фазовые координаты

\~m-u, гам,т)=0} =

Накладываются естественные ограничения: /75* О, ¿Г^О^ Ш (Ьк Л - минимально допустимой плотности

численности, жертвы. Тт

Критерий оптимальности / = - ^ ^(¿у К,%)(1Т-

•(' 'о

общая биомасса популяции хищника в конечный момент времени.

Предметная формулировка оптимизационной задачи такова: найти страт гии вылова,, обеспечивающие некоторые плановые за -дания и максимально возможную общую биомассу популяции омуля в конечный момент времени.

Эта задача также весьма сложна для непосредственного численного решения на основе общих методов. Выполненные в данном параграфе аналитические редукции позволяли свести ее к существенно более простои форме, выполнить численные расчеты и сформулировать содержательные рекомендации.

В § 3 рассматривается довольно известная задача опти -,• мального управления нелинейным волновым процессор с управ -лением (¿/(£)е I/) в граничном условии:

р (%)¥"= (С (с, У)-¥')'■+ { а,ъ (29)

*

В линейном варианте уравнения (29) эта задача исследовалась многими авторами на основе классической ]_, -проблемы моментов и рядов Фурье. Нелинейность уравнения (29) уже исключает возможность применения этих популярных методов.

Для исследования сформулированной задачи в работе применяется техника интёгральных преобразований глЛУ. Сначала выполняется преобразование с замкнутым ядром, что позволяет перевести управление из границы в правую часть и добиться избавления от частных производных по распределенному пара -метру Щ . Полученная задача оказывается линейной по управлению, так что для.дальнейшей редукции используется преобразование с незамкнутым ядром.- Окончательная форма задачи гесьма удобна для анализа, структуры оптимального решения, связанной с вырожденностью исходной постановки. В этом за ключается основной результат редукции. В частности, при неограниченном управлении финальная задача такова:

¡/'(Ь?^Щ^^Г^уяЦ),

* V

^ г*

I г а

где ^ > ^ - фазовые координаты, Ъ9* - управление, фун-цня £1- (. ) не содержит частных производных и выражается

2Э

;,через одномерные интегралы. Алгоритм решения этой задачи содержит лишь операции вычисления одномерных интегралов. Расчеты выполнены для терминального квадратичного критерия (успокоение) и кубической нелинейности. Выявлены сингулярные эффекты (удары) оптимально управления в начале' и конце отрезка регулирования.

§ 4 посвящен задаче.максимального успокоения нелинейного волнового процесса с распределенным управлением (оно добавляется в правую часть (29)) при С = С(&)? j-fifit^itf)' однородных граничных условиях и интегральном

ограничении: j М • После трехкратной

редукции задача приводится к форме, позволяющей установить структуру сингулярности предельной картины минимизирующей последовательности. Это проистекает из возможности вцделе -ния регулярной части задачи сравнения пут^м отбрасывания части связей с последующим учетом их на этапе аппроксимации разрывного решения достаточно гладкими функциями. Регуляр -ная часть задачи существенно проще исходной постановки и выглядит так:

i~<*'<¥.i(tx f\ у* <4r)f—^ri

уд**)-у**;

о

где Q , ^ константы, S^С? ) ~ положительная функция с единичным интегралом,

)=а) -(f >/% ).

о

Управлениями г.зляются у ^ ).

В линейном варианте волнового процесса ( )=-с/- (р1 оС = const ) и при const имеем

^ = так что управление

у2 ( > ) исчезае,г из правой части второго уравнения и финальная задача представляет собой обыкновенную задачу оптимального управления, для численного решения которой имеются многочисленные программные средства. В общем слу -чае нелинейной функции У (• ) мы имеем "почти обыкновенные" дифференциальные связи, что позволяет строить вычислительные алгоритмы путем небольшой модификации известных процедур. Немаловажным обстоятельством является то, что выполненная редукция правомерна и в случае сингулярного " ¿олнового уравнения (29), когда решение его, вообще говоря, не существует для произвольного наперед заданного управления и (£) I' Финальная задача и в этом случае регулярна.

Следует отметить, что в этой задаче набор сингулярнос-тей предельной картины минимизирующей последовательности наиболее богат. Здесь мы имеем и полюсы типа дельта-функ -ции Дирака у управления ¿/(¿^е?) при С? « £ и сингулярности управления, связанные с разрывами первого рода функций в начале и конце временного отрезка управления и при ^ £ (О Ъ ) . Ясно, что полюсы типа дельта-функции при ^ = О, Ь говорят о наличии конечных сосредоточенны« управлений на концах = О, Ь . Эта простая сингулярность и предельная структура оптимального управления в окрестности этих точек и при , ) описана в обобщенных функциях, Сложнее обстоит дело с син -гулярносгями в начале и конце отрезка управления (при Ь-Ьн/ ¿к). Предельная картина минимизирующей последовательности в окрестностях £к напоминает производную от дельта-пункции, но не является таковой, и нам не удалось подобрать класс обобщенных функций, в который вкладывается эта предельная картина. Существенным обстоятельством является также то, что при построении минимизирующей последовательности нужно соблюдать некоторые соотношения "баланса" рдда аппроксимаций разрывных функций достаточно гладкими. Отметим, что все эти сингулярности • выявляются аналитически в процессе редукций и выделения "регулярной части" задачи.

Описанная структура сингулярностей оптимального упра-

'вления дает наглядное представление о тех трудностях, с которыми столкнулся бы вычислитель, если бы он попытался применить к исходной постановке известнее общие приемы численного решения задач оптимального управления.

«Приложение к диссертационной работе оформлено в виде отдельного тома, состоящего из двух разделов.

В разделе I, состоящем из четырех параграфов, расе -мотрены иллюстративные примеры к главам 1-1У соответственно. Среди 'ттгх задача оптимального управления движением точки переменной массы в плоскопараллельном поле тяготения, которая излучает "сигналы" (тагеке точки переменной массы), классической распределенной системой "хищник-жертва" (типа Вольтерра), многочисленные примеры для системы Гурса --Дарбу и динамических распределенных систем. Зги примеры демонстрируют технику редукции распределенных оптимизационных задач к обыкновенным или конечномерным, а также выявление сингулярных эффектов предельной картины минимизирующей последовательности. Для решения редуцированных задач зачастую применяются известные методы (принцип максимума Донтрягина, теорема Кротова и т.д.), использование которых (вернее, их обобщений на распределенные задачи) для анализа исходных постановок затруднительно.

. В разделе II, состоящем из 4-х параграфов, изложены промежуточные рассуждения и выкладки для прикладных задач (гл.У). Выполнены аппроксимации разрывных решений задач сравнения достаточно гладкими функциями и проанализированы сингулярные эффекты оптимальных решений. Описаны программные средства, приведены результаты численных расчетов л их содержательная интерпретация,

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе представлена теория и способы отображений задач оптимального управления системами с распределенными 1£раметрями. Это позволяет редуцировать исходные, весьма ¡ложные для теоретического исследования и численного реше-вдя, постановки задач к существенно более простым формам, ¡ыявлять качественную структуру оптимального решения и вн-юлнять численные расчеты посильтмц методами. Работа представляет собой теоретическое исследование свойств и техни-

,ки отображений оптимизационных - задач, направленное на реша-н;"? вежньэс прикладных постановок из области математической экологии и волновых процессов.

Основные результаты и выводы работы следующие:

1. Представленная в диссертации теория отображений задач оптимального управления имеет статус самостоятельного раздела' оптимального управления. Методические связи ее с достаточными условиями оптимальности В.Ф.Кротова и принци -пом сравнения Ь.Ы.Ыатросова выявляют универсальность и значительную общность этого подхода.

2. Леммы и теоремы о совместной оптимальности впервые сформулированы автором. Они содержат богатый арсенал для нахождения упрощающих редукций задач оптимального управле -. ния, включающий возможность выбора как отображения, так и формы.задачи сравнения.

3. Разработанные-способы нахождения отображений и конструкций задач сравнения для классов задач оптимального управления процессами с диффузией, возрастной структурой и интегральной формой распространения, а также интегральные преобразования с незамкнутыми ядрами систем с конечным и конечно-дифференциальным управлением позволяют находить упрощающие редукции, существенно облегчающие как качественное исследование оптимальных решений, так и численную реализа -цию. •

4. Теория и способы редукций оптимизационных задач нашли свое применение в исследовании прикладных постановок задач оптимального управления распределенными системами из области экологии и волнох .¡х процессов. В силу многомерности и нелинейности эти постановки весьма трудны для непосредственного решения известными методами. Использование разработанной в диссертации теории и техники преобразований позволило найти пути аналитического упрощения этих задач, что да-

■ ло возможность ьоспользоваться для финального численного решения достаточно традиционными методами.

По материалам диссертационной работы опубликована монография, а таюке'Свыше 3"0 работ, основными из которых являются:

1. Москаленко А.И. Достаточные условия совместной оптимальности систем // Докл. АН СССР. - 1977.-Т.232.-КЗ.-С.524 - 527.

2. Москаленко А.И. Достаточные условия совместной оптимальности систем // Гурман В.И.Вырожденньш задачи оптимального управления.

- Л., 1977. - Гл.6 (дополнение). - С.257 - 2Ь7.

3. Москаленко А.И. Оптимальное управление распределений возрастной структурной популяции // Модели природных систем. - Новосибирск: Наука, 1976. - С.33 - 44.

4. Москаленко А.И. Метод нелинейных отображений в задачах управления // Прикладная математика. - Новосибирск: Наука, 1978. -

- р.160 - 181.

б. Москаленко А.И. Достаточные условия совместной оптимальности динамических систем // Проблемы устойчивости движения, аналитической механики и управления движением. - Новосибирск: Наука, 1979. - С. 309 - 318.

6. Москаленко А.И. Оптимальная эксплуатация изолированной популяции // Оптимальное управление природно-экономическпми систе-. мами. - М.: Наука, 1980. - С.218 - 223

7. Москаленко А.И. Оптимизация режима производства с учетом ограничений на загрязненность окружающей среды // Оптимальна управление прцродно-экономическими системами. - М.: Наука, 1980. » С. 223-232.

8. Москаленко А.И. Теоремы сравнения в "теории оптимального' . управления // Модели-управления природными ресурсами. - М.: Hay--яа, 1981. - С.6.1 - 73.

9. Москаленко А.И. Оптимальное управление распределенной системой "хищник-жертва" //Модели управления природньаш ресурсами. - М.: Наука, 1981. - С.184-198.

10. Москаленко А.И. Оптимальное, управление возрастной струн- , турой популяции с учетом миграций я распределения по полу '// Модели управления природными ресурсами. - М.: Наука, 1981, - С.206-225.

11. Москаленко А.И. Оптимальное управление распределенной моделью типа уодели Леонтьева // Динамика эколого-зкономических систем. - Новосибирск: Наука, 1981. - С.123 - 129.

12. Москаленко А.И. Аналитическое исследование задачи оптимального управления пространственно-возрастной структурой леса //

Моделирование процессов в.природно-экиномичесиих системах. - Но* восибирск: Наука, 1981. - С.ПО - 116.

13. Москаленко А.И. Об одном классе оптимального регулиров*. кия // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 1969. - Т.?.. - № 2. - С.68 - 95.

14. Москаленко А.И. Методы нелинейных отображений в оптимальном управлении. - Новосибирск: Наука, 1983. - 221 с,

15. Бутан A.A., Москаленко А.И. Об.оптимальных численностях в одной реальной системе "хищник-жертва" // Метод векторных фуш: ций Ляпунова и его приложения. - Новосибирск: Наука, 1983. - С. 189 - £09. ■ ■

16. Москаленко А.И., Овсянников А.Л. Метод улдгчшения первого порядка, в задаче оптимального управления с функционально-дифференциальными связями // Теоретические и прикладные вопросы оптимального уаравльния - Новосибирск: Наука, 1985. - С. 161 - 171

17. Москаленко А.И. Интегральное преобразование параболической оптимальной задачи с линейными сосредоточенным управлением // Метод функций Ляпунова в анализе динамики систем. - Новосибирск: Наука, 1987. - С.262 - 272.

. 18. Москаленко А.И. Оптимальное управление нелинейными колебаниями упругого стержня с граничным силовым воздействием // Всес< семинар "Динамика нелинейных процессов управления" (Таллин, 1987)} Тез. .доул. -М.,/1907. -С.132г13Э.

19. Москаленко А.И. Интегральное предбразование оптимальной задачи при конечно-дифференциальном управлении // Вопросы качественной теории дифференциальных уравнений. - Новосибирск: Наука, 1988. - С. 102 -108.

яо. ^o-iko&rt (го 4.1. Meihocfs cf mapp/ntf? Joz c£osses of P f wrfh vpi(tvc>£ cwfrvt?

^У sysiews </<s./ft'^cspa ¿тл // 7Ъс

Lyopi/n&v nx?i!/?pc/s сгпеГappfrca-fr o/??-

J.C. (bolzest AG\ Se^n/s ftc Pu^-s/юс? Co..

IMACS > 4q<30i- ß irr-YS-6T. 0

8 21. Москаленко Д;И., Розенраух Д.М. Преобразование.оптимальной задачи ГУрса с линейным управлением и принцип максимума // Методы решения задач теории управления на основе принципа расширения. .'--Новосибирск: Наука 1990. - 0.75 - 84.

22. Москаленко А.И., Черкетин А.К. и др. Расчет оптимальной структуры древостоя // Эколого-зкономическая стратегия развития региона. - Новосибирск: Наука, 1990. - СЛ29 - 135.

23. Москаленко А.И., Овсянникова Н.А. Сингулярные эффекты

в задаче оптимизации волнового процесса с интегрально ограниченным управлением // Международный семинар " Негладкие и разрывные задачи управления и оптимизации (Владивосток, 1991): Тез. докл.-Минск, Ин-т математики АН Белоруссии, 1991, - С.88-89.

24. Москаленко А.И. Методы отображений для классов задач оптимального управления системами с распределенными параметрами // Развитие и применение метода функций Ляпунова. - Новосибирск: Наука 1992. - С. 228 - 243.

25. Москаленко А.И. Редукции задач оптимального управления нелинейным волноенм процессом // Международный семинар "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления" (Москва, 1992): Гез. докл. - М.: Ин-т проблем управления РАН, 1992. - С.85.