автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Условия гетеротонности и псевдовогнутости маргинального отображения и их применение в математическом программировании

И? ~9

АКАДЕМИЯ НАУК СССР ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЙ ЦЕНТР

на правах рукописи

БАЙТУКЕНОВ МАРАТ ТУЛЕУОВИЧ

УСЛОВИЯ ГЕТЕРОТОННОСТИ И ПСЕВДОВОГНУТОСТИ МАРГИНАЛЬНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКОМ ПРОГРАММИРОВАНИИ

специальность 05.13.16 - применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях (по отраслям наук)

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 1991

Работа выполнена в Институте математики и механики АН КазСС! Научный руководитель: академик АН КазССР, д.-ф.м., проф.

Султангазин У.М.

Официальные оппоненты: д.ф.-м.н., проф. Рубинов А.М.

к.ф.-м.н. Шананин А.А.

Ведущая организация:Институт проблем управления АН СССР

Защита состоится г. в часов на засе-

дании Специализированного совета Д002.32.06 при Вычислительном Центре АН СССР по адресу: 117967, Москва, ГСП-1, ул. Вавилова д.40, конференц-зал.

С диссертацией можно ознакомится в библиотеке Математического института им. В.А. Стеклова АН СССР

Автореферат разослан __

Ученый секретарь Специализированного

совета, к.ф.-м.н.

. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

^:^^..]Актуальность_темы. Вопросы зависимости от параметров оптимального значения -маргинальной функции (МФ) и множества решений - маргинального отображения (МО) - относятся к фундаментальным проблемам теории оптимизации и ее приложений. МО и МФ являются предметом исследований в сотнях публикаций как у нас в стране так и за рубежом, среди которых основополагающими являются работы Е. С. Левитина, С. М. Робинсона, Р. Т. Рокафеллара, А. В. Фиакко и других. В работах ^этих авторов введены и изучены различные понятия устойчивости решений задач нелинейного программирования (ЗНЯП), дифференциальные свойства решений как функций параметров, получены различные оценки возмущенного решения ЗНЛП. Трудно переоценить важность этих исследований для развития теории оптимизации и ее приложений. Однако, в литературе, посвященной изучению МО и МФ не рассматривается такое важное и конструктивное свойство отображений и функций как монотонность по конусу. Автору известна лишь работа В. Н. Лифшица'', посвященная условиям монотонности маргинального отображения.

Актуальность темы диссертации определяется важным теоретическим и практическим значением условий монотонности МО, а также отсутствием исследований в этом направлении.

Ц§лью_работы является получение достаточных глобальных условий гетеротонности**', в частности, монотонности и антимонотонности по конусу, а также псевдовогнутости и псевдоЕы-пуклости по конусу маргинального отображения задачи выпуклого программирования (ЗВП) в терминах функций цели, ограничений и их производных и использование полученных условий для разработки метода решения реальной динамической двухэтапной задачи стохастического программирования, моделирующей проектирования оросительной системы (ОС) на базе водохранилища.

*) Лившиц В. Н. //Тр. третьей зимней школы по математическому программированию и смежным вопросам.- М., 1970, вып. 2, с. 398-402.

**) Опойцев В. И. // Тр. ММО, 1978, 36, с. 237 - 273.

Методы ^сследоващя, используемые в диссертации, основаны на применении аппарата нелинейного, в частности, негладкого анализа в линейного анализа в Ьр и теории вероятностей, а также теории выпуклого программирования.

Научная_новизна_работы состоит в следующем:

- получены достаточные глобальные условия гетеротон-ности, в частности, монотонности и антимонотонности по конусу маргинального отображения ЗВП с ограничениями и ЗЛП.

- получены достаточные условия псевдовогнутости и псевдовыпуклости по конусу МО ЗВП без ограничений.

- получены формулы субдифференцирования неявной функции для липшицевых отображений.

- получены две теоремы о гетеротонности неявной функции для липшицевых отображений.

- получены два критерия псевдовогнутости локально липшицевых отображений.

- исследован один случай сходимости процедуры нащупывания по Курно к равновесию по Нэшу в игре двух лиц.

- разработан метод решения реальной динамической двух-этапной задачи стохастического программирования большой размерности, моделирующей проектирования оросительной системы на базе водохранилища.

Все результаты являются новыми.

Теоретическая и практическая значимость.' В диссертации представлены результаты как теоретического так и практического характера. Условия гетеротонности и псевдовогнутости МО ЗВП могут найти применение при разработке методов решения задач большой размерности, в математической экономике при исследовании некоторых моделей рыночного равновесия, в теории производственных функций. Формулы субдифференцирования неявной функции для липшицевых отображений, теорема о гетеротонности неявной функции для липшицевых отображений, критерии псевдовогнутости локально липшицевых отображений представляют самостоятельный аналитический интерес. Метод решения задачи проектирования ОС составляет теоретическую основу комплекса программ по определению оптимальных параметров ОС, который был разработан и внедрен автором в практику

проектирования оросительных систем в Институте Кэзгипровод-хоз. Гарантированный экономический эффект от внедрения составил 100 тыс. рублей.

Исследования по разработке метода решения задачи проектирования оросительных систем проводились в соответствии с плановой темой лаборатории математического программирования ИММ АН КазССР "Разработать на ЭВМ схемы комплексного освоения орошаемых территорий с оптимизацией arpoэкономических показателей "( Номер гос. регистрации 01860065445).

Аппробация работы. Основные результаты работы докладывались в 1986-1990 г.г. на семинарах: лаборатории математического программирования ИММ АН КазССР, отдела математического моделирования конфликтных ситуаций ВЦ АН СССР, отделе: математических методов ИСЭП АН СССР, отдела математической экономики ИММ АН Азербайджана, а также на Всесоюзной конференции "Негладкий анализ и его приложения к математической экономике" (Баку, 1991) и ежегодных научных конференциях ИММ АН КазССР.

Публикации- Основные результаты работы опубликованы в пяти работах [1-5].

Структуры_и_объем_работы. Диссертация состоит из введения , трех глав, заключения и списка литературы. Глэеы 1-3 изложены на 90 страницах. Список цитированной литературы содержит 60 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Введение содержит обоснование выбранного направления исследований, обзор работ, примыкающих по тематике к диссертации и краткое изложение полученных в ней результатов.

диссертации изучаются условия гетеротон-

ности МО одного класса параметрических ЗВП вида:

Задача А min{f0(x,u) : xeF(u)í

F(u) = íxeR" : í^x.uXO, i^J, |J|=m>, U € и С Rk,

где íi(•,u), ieOUJ,- выпуклые функции, U - ьыпуклый компакт.

В §1.1 изложены необходимые сведения из нелинейного анализа. В §1.2 даны основные утверждения главы, в которых установлены достаточные условия гетеротонности МО задачи А в терминах функций ^(-.и) и f±(х, • ), lçOUJ. Поскольку при

произвольных выпуклых функциях 11(<,u) указать условия гетеротонности невозможно, то в §1.2 вводятся специальные классы выпуклых функций - К-функций и М-функций, в терминах которых удается сформулировать обозримые условия гетеротонности МО. Смысл основной теоремы 1.5 главы заключается в том, что, если I±(',u), içOUJ, - являются М-функциями на R" при VuçU, а отображения v i (х,•)• ieOUJ,- гетеротонны на U при Vx е R", то МО Argjnln{l0(x,u):xeF(u)) гетеротонно на U.

М-функциями являются, в частности, аффинные и сепара-бельные выпуклые функции, поэтому для ЗЛП и сепарабельных ЗВП условия гетеротонности МО - это, фактически, гетеро-тонность на U отображений v ^(х,«)» i€OUJ, при Vx € R" .

Для придания точного смысла сказанному требуется ряд определений и соглашений. Обозначим через L(n) пространство

Rn*n матриц размера п*п. Положим L+(n) = ÎA€L(n):AR" с R^},

Обозначим через GL(n) множество невырожденных матриц. Будем говорить, матрица AçL(n) обладает К-свойством, если Ax^intRj для Vx € <3R^ .

Определение I.I. Положительно (полу)определенная матрица A€L(n) называется (К)К-Р-матрицей, если она обладает К-свойством.

Определение 1.2. Конечная выпуклая функция 1:П с Rn-» R1 называется (К)К-Р-функцией на открытом выпуклом множестве П,

если ее матрица Гессе v|f(х) является (К)К-Р-матрицей для

Vx çQ, в которых она существует.

Определение 1.3.Выпуклая функция ieC1,1(fl) называется строгой К-Р-функцией на открытом выпуклом множестве О с Rn,

если обобщенный гессиан ô2i(x) состоит из К-Р-матриц Vx çQ.

р

Нетрудно заметить, что для функций класса С определе-

ния 1.2 и 1.3 эквивалентны.

Введем еще один класс положительно определенных матриц, которые заведомо обладают К-свойством.

Определение 1.4. Положительно (полу Определенная матрица AeL(n) называется (М)М-Р-матрицей, если ai;} < 0 для Vi^j.

Аналогично тому, как с помощью К и К-Р-матриц мы ввели К, К-Р и строгие К-Р-функции, введем М, М-Р и строгие М-Р-функции, заменяя в определениях 1.2 и 1.3 К(К-Р)-матрицы на M(М-Р)-матрицы.

Множество М-Р-матриц является открытым выпуклым телесным конусом в Ь(п), замыканием которого является конус М-матриц. Отсюда следует,что множество М-функций также является выпуклым конусом.

ЗАМЕЧАНИЕ I. Опойцев называет К-матрицей произвольную матрицу AçL(n), обладающую К-свойством.

ЗАМЕЧАНИЕ 2. Под М-матрицей обычно понимают матрицу

AeGL(n) такую,что A-1çL+(n) и < 0 для VI,но множество таких матриц невыпукло.

Пусть й с Rn открытое выпуклое множество .Отображение F:n -» Rn называется обратно монотонным, если для Vx.yef) из F(x) > F (у) следует х > у (х > у, если х-у ç R^ ).

Обозначим через ЗР(х) обобщенный якобиан Кларка отображения FçC0'1(Rn,Rn) в точке х. Для характеристики К-Р-функ-ций представляет интерес следующая

TEOFEMA 1.3. Пусть FçC0'1(Q,Rn), Q с Rn-oTKpnToe выпуклое множество. Если <ЭР(х) состоит из К-Р-матриц при Vx е П, то отображение Р обратно монотонное.

СЛЕДСТВИЕ I.I. Градиент строгой К-Р-функции является обратно монотонным отображением.

Введенные определения задают класс функций ijL(< ,u),

içOUJ. Теперь, используя, введенные Опойцевым, гетеротонные отображения зададим класс функций f±(x,<). içOUJ.

Отображение F: П с Rn-> Rm называется гетеротонным, если существует сопуствующее отображение F: Rm, такое, что

F(x,x)=F(x) для Vx еП и F(v1 ,w1 F(v2,«2) при v^v2, w^w,.

Отображение F:Q cRn- Rm называется гетерогенным,, если каждая его компонента i , 1=1 ,ш, по некоторым переменным (своим для каждого 1) убывает или возрастает.

Пусть F: U«UcRmxRm-2R и G: UcRm-2R многозначные отображения с непустыми образами, а 1: U*U-*R1 и g:U-»R1 некоторые функции.

Определение 1.5. Задача min{f(x,v,w) sx<eF(v,w)}, имещая единственное решение x(v,w) при V(v,w)€U><U называется сопут-ствущей для задачи min{g(x,u) : x€G(u)}, имеющей единственное решение х(и) при VueU, если МО x(v,w) является сопутствующим для МО х(и).

Определение I.e. Функция isCMMJcR^R^xR151 ->R1 называется градиентно-сопутствуюцей для функции g:Q*Uc rn«rm r1, если ее градиент vxf(x,v,w) является сопутсвущим отображением для градиента v^gix.u).

Следущая лемма 1.2 дает достаточные условия существования градиентно-сопутствующих функций.

ЛЕММА 1.2. Пусть Q с Rn -открытое выпуклое множество,

отображение F(«,u): fl - Rn потенциальное VueU, а отображение

F(x,.) : U с Rm-» Rn гетеротонное при VxeQ, причем сопутству-щее отображение F(x,v,w) непрерывно дифференцируемо на Q*U*U. Тогда отображение F(> ,v,w) потенциальное V(v,w)eU*U. Пусть отображения v^ix,«). ieOUJ гетеротонны на U и

существуют градиентно-сопутствущие функции 1±(х,т,и), ieOUJ

Введем следующую задачу А, которая необходима для формулировки основной теоремы главы.

л

Задача А. min{i0(x,w,v) : xeF(w,v)>

F(w,v)=ix€R^ : ^(x.w.v) ^ 0, i<EJ, |J|=m)

(w.v) € U*U

Будем говорить,что задача А имеет в точке и*си невырожденное решение х*, если

1. Точка минимума х* - единственна.

2. Выполняется условие строгой дополняющей нежесткости,т.е., 3 У € и;"71, такой,что

т1п{1п(х,и*)+Е у,1.(х,и*):х € 1§)=1_(х*,и*)+2 у.1.(х*,и*)

и 11 т

у^х'.и*)^. 1 € J

У±>0, 1 € Кх*,и*Ы1 е J : 11(х*,и*)=0>

3. Градиенты активных ограничений Ух11(х*,и*), 1 € 1(х*,и*) линейно независимы.

Теперь мы можем сформулировать основную теорему главы ТЕОРЕМА 1.5. Пусть выполнены условия:

К5. и с -выпуклый компакт.

Кб. Отображения VI (*,•)• 1еСШ гетеротонны на и при Ухей",

причем сопутствующие отображения 1<Е01и, непре-

рывно дифференцируемы на

К7. Градиентно-сопутствующие г±(> .v,»), 1еСШ, являются М-функциями (10(«,7,и) -М-Р-функцией) на К^ при У(у,¥г)€и*и.

К8. При У(у,иКи><и задача А имеет невырожденное решение. Тогда маргинальное отображение Аг^1п{10(х,и):хсР(и)> является локально липшицевым и гетеротонным на и. Сопутствующей

задачей является задача А. Если выполнено условие: КЭ. ^(О.и), 1{(Хи, - гетеротонные на и функции.

То маргинальная функция £(и) = т!п{:Г0(х,и):хеР(и)} является локально липшицевой и антигетеротонной на и, т.е., сопутствующая функция g(v,w) монотонна по » и антимонотонна по у. СЛЕДСТВИЕ 1.2. Пусть выполнены условия

v-

КЮ. и с И - выпуклый компакт.

КН. Отображения 1еСШ, гетерогенны на и при

Ухе^ и (й^и), 1е(ш.

KI2. i0(.,u)-м-р-функция, а хх(*,u). Ш -М-функции на R^ при VueU.

KI3. При VueU задача А имеет невырожденое решение . KI4. i±(0,u), ieOUJ, - гетеротонные на U функции.

Тогда утверждение теоремы 1.5 остается в силе.

Если отображения vxIi(x,.), ieOUJ в условиях следствия 1.2 антимотонны, то МО задачи А является монотонным.

В доказательстве теоремы 1.5 существенную роль играют теоремы 1.6 и 1.7 о неявной функции для липшицевых отображений. Этим теоремам посвящен §1.3.

ТЕОРЕМА 1.6. Пусть V<= Rn, Wc Rm- окрестности точек xQ и uQ соответственно, отображение F : V*W Рп-липшицевое и F(xo,uo)=0. Предположим, что tcx3F(x0,u0) с GL(n). Тогда существует окрестность U с W точки uQ и единственное

липшицевое отображение X:D -> V, такие, что F(X(u),u)=0 для Vu € U и X(uQ) = xQ. Обобщенный якобиан QX(u) неявной функции при Vu е U удовлетворяет включениям: SX(u)e с - co{icxaF(X(u),u)_1icuSF(X(u),u)e) О € co{lTCx5F(X(u),u)aX(u) + icuaF(X(u),u)le}

для Ve е S(Rm)=ie е Ra:|е|=1>.

ЗАМЕЧАНИЕ 3. Символами %xdF(X,u) и icuSF(X,u) обозначены

проекции обобщенного якобиана 3F(X,u) отображения F в точке

(X,u). xxaF(Xtu)-1 = {A€GL(n) : A-1€n:xaF(X,u)}.

ЗАМЕЧАНИЕ 4. Существование неявной функции в условиях теоремы доказали Кларк, Ириарт-Уррути и Магарил-Ильяев.

ТЕОРЕМА 1.7. Пусть V<=Rn, »^""-выпуклые окрестности точек xQ и uD соответственно и пусть отображение F : V*W - Rn

удовлетворяет условиям :

1. F(x,«) -гетеротонно на W при VxeV, причем сопутствующее отображение F : V*W»W - Rn -липшицевое.

2. Для V v, weW отображение F(«,v,w) обратно монотонно на V.

3. icxSP(x0,u0) с GL(n).

4. F(xo,uo)=0.

Тогда существуют окрестность Ud точки uQ и единственное

гетеротонное липшицевое отображение X : U -» V, такие, что F(X(u),u)=0 для Vu€U и Х(и0)=х0.

Как следствие этой теоремы можно получить теоремы о монотонности (антимонотонности) неявной функции.

В §1.4 дано доказательство теоремы 1.5. Завершает главу §1.5, в котором теоремы из §1.2 уточняются для сепарабельных ЗВП и ЗЛП вида :

Задача L mln{<c(u),x> : хе F(u)}

F(u) = {xeRj : A(u)x ^ B(u)>, u eRk,

в частности, доказана следующая

ТЕОРЕМА I.10. Пусть выполнены условия:

1. х*- невырожденное решение задачи L в точке и!

2. Отображения с(и), В(и) и А(и) гетеротонны на некоторой окрестности U точки и*, причем сопутствующие отображения c(v,w), B(v,w) и A(v,w) непрерывно дифференцируемы на U*U. Тогда существует окрестность UQ с и точки и* на которой МО Ar@nin{<c(u),x> : х€ F(u)> гетеротонно.

В°_?г2й_главе диссертации изучаются условия псевдовогнутости и псевдовыпуклости МО (гетеротонное отображение F:lntR™ - intR^ называется псевдовогнутым (псевдовыпуклым),

если F(ctx,x/a)^aF(x) (F(ax,x/a)$aF(x)) для Vae(0,1], xgintR™)

следующей ЗВП: Задача С

maxi<B(u),x> - f(x) : xeRn>, ueintR™ ,

которая представляет интерес с точки зрения математической экономики. Если рассматривать В как вектор цен на продукты х, a i как функцию затрат, то С может рассматриваться как задача максимизации прибыли производителем, а МО Х(В) как функция предложения выпуска. Таким образом, изучение МО задачи С позволяет выяснить влияние характера изменения (скорости изменения) цен на характер (скорость изменения) выпуска.

Основным утверждением главы является следующая ТЕОРЕМА 2.1. Пусть задача С удовлетворяет условиям :

KI7. IeC1,1(Rn) -сильно выпуклая, строгая К-Р-функция на R" . KI8. vxi(0)=0.

KI9. vxi(ax) ¡S avxi(x) для V х е R" , a € to, 1)

К20. Отображение B:intR™ -intR" псевдовогнутое и локально лишицевое.

Тогда МО Argmax{<B(u),x> - I(x) : xeRn> псевдовогнутое и локально лишицевое.

Условия псевдовыпуклости МО задачи С даны в теореме

2.2, условия K2I-K22 которой совпадают с KI7-KI8, а условия К24-К25 симметричны с KI9-K20.

ЗАМЕЧАНИЕ 5. Условиям теорем 2.1 и 2.2 удовлетворяют многие типы производственных функций, используемых в математической экономике. Например, функция типа Кобба-Дугласа, взятая со знаком минус, удовлетворяет условиям KI7, KI9. Если отображение В(и) псевдовыпукло, то маргинальное отображение Argmaxii(x)-<B(u),x> : xeRn), где f(x) - функция типа Кобба-Дугласа, также псевдовыпукло.

Для проверки условий KI9-K20 в §2.2 предложены критерии псевдовогнутости локально Липшицевых отображений (теоремы

2.3, 2.4), которые обобщают критерии Опойцева, полученные им для гладких отображений.

Завершает главу §2.3, в котором доказана теорема 2.1. Глава_3 посвящена использованию результатов главы I для доказательства сходимости процедуры нащупывания по Курно к равновесия по Нэшу в игре 2-х лиц, а также для доказательства сходимости метода решения одной динамической стохастической задачи проектирования оросительных систем (ОС).

В §3.1 изложены необходимые сведения из теории вероятностей и анализа в Lp. В §3.2 исследуется процесс поиска

согласованных решений в одной 2-хуровневой системе.

Верхний уровень описывается задачей miniF(x,c) : х € П>

где С = 1ы1,ш23 с R^ -компактный конусный отрезок, F(»,c) -М-Р-функция на П, ceR*- вектор параметров.

Нижний уровень описывается задачей miníg0(z,s,x) : z<eG(x)} G(x)={zeR|J|: gi(z,s,x) «О, 1=1 ,m>

где x e П -решение ЗВУ, s = (s1 ,s2>...,s1), si=(3±1,s¡2,..., siijíi^' 1=1,1 -Фиксированные числовые векторы, g±( ,з,х),

_ I TI 1

1=0,m, - М-функции на Rj ' для Vi e ß, J =iyiJ1

Процесс функционирования системы - это поочередный обмен оптимальными ответами х(с) и z(x), при этом с = 2 в z / 2 z ,1= 1,1

Доказано существование равновесных решений (x*,z*) и на основе теоремы 1.5 доказана сходимость описанного процесса.

В §3.3 дана содержательная постановка динамической стохастической задачи проектирования ОС на базе водохранилища.

В §3.4 дана формальная постановка задачи, а также теорема существования решения.

Рассматриваемая задача имеет вид :

М{ 2 z_. с_. (ш) + maxi 2 (и.с.Лш) + (z..-и )с (ш))> -

i€I2 U

-R,ll,(x)+ 2 (l,Az..) +■ íp-ДУ,)) + 2 f3, (z„.)) - max (1)

^ 4 i€I1 11 11 21 1 iei23i 2i X.y.z

A1z1 + A2z2 + A3y ^ d (2)

x0 ^ x $ a (3)

0 ^ «S Q±max L , id, (4)

2 z + 2 z = L (5)

i€i1 11 ±ex2

2ii > yi ? ieIi' z2i ^ Шг (6)

где u^uj.le]^, при УшеП удовлетворяет ограничениям :

qit(üj)ui((j) « у± , UI,. t=1,T-1 (7)

0 u±(u) z± , leí, (8)

vt(ü))=atmln{vt_1 (co)+wt(u) -at- 2 qit(cd)u1(cj),x}, t=1,T-1(9)

i€I1

^(ш) £ х0 , г=1,т-1 (Ю)

70(Ш) = т!п{*0(Ш) - О0,Х) (11)

Процессы притока воды «^(ш), наполнений водохранилища у1.((о), площади орошения культур и±(ш),1€11 заданы на вероятностном пространстве (П,д(П),Р) = (П1хП2,^(П1 )®^(П2),Р1хРг), где П, -множество значений вектора притоков *=(*0. я^,.., «т_1). -множество значений вектора Е=(е1, е2..... ет_1) -естественного увлажнения почвы, ЗК^) и 3(п2)_ борелевские о-алгебры, Р2 и Р1- борелевские меры. При этом Рк-измеримые функции на ^ отождествляются с Р- измеримыми функциями на О, зависящими только от шк Так с1;1(ш)-зависимость чистого дохода с 1-го ГА орошения 1-той культуры от естественного увлажнения, с21(со), 1е11- аналогичные зависимости для 1-го ГА площади,

подготовленной к орошению, но не орошаемой при дефиците воды, с3±(ш), 1€1г,- аналогичные зависимости для 1-го ГА богары. Остальные обозначения: х0~ мертвый обьем водохранилища, <3±шах, 1€1,, -максимальнее величины оросительных норм, с^, t=0,T-1 - коэффициенты потерь воды из водохранилища *4(х),

з.5• ■Г21(у1)' 1е11' Функции кап. затрат,

Е^ -норматив экономической эффективности кап. затрат.

Задача (1-11) -это 2-хэтапная задача стохастического программирования. На 1-ом этапе выбирается емкость водохранилища -х, проектные площади , орошаемых и гг±,

1е12 богарных культур, мощности у±, , оросительных каналов. На 2-ом этапе определяются максимальные площади культур и1> орошаемые во все интервалы оросительного сезона.

Решения обоих этапов задачи призваны максимизировать математическое ожидание приведенного чистого дохода с орошаемых и богарных земель. Поясним смысл ограничений задачи: (3-6) -это физические ограничения, смысл которых очевиден, (2)

— iu

-описывают всю совокупность технико-экономических аспектов развития орошения и планирования сельхозпроизводства, (9-11) -описывают динамику функционирования водохранилища, (7) -ограничения на площадь орошения культур, порождаемые ограниченностью мощностей у±, i€l,, смысл (8) - очевиден.

Введем обозначения n=[11i. го= 1I2|.

ТЕОРЕМА 3.3 Пусть выполнены условия:

У13. Носитель П с распределения Р - выпуклый компакт.

У14. функции с1±, c2i, I1±t í2i, qit, ifl,, t=1,T-1, c3i,

I31, iílg. 1Л - непрерывны.

У15. Множество, определяемое ограничениями (2-6), непусто. У16. qit(cj) > О для Veo еП, Ш,, t=1,T-1.

У17. c1±(w) - с21(ш) > О для Vio еП. l€l1.

т-1 т-1 т-1

У18. <wn(w) - о ) (| |а ) > 2 о. (Па,) + *п для Vw

и и 1=1 1 k=1 * 1=1с и

Тогда задача (3.2 - 3.12) разрешима в R^n+m+1»L00(n,R£).

Для решения задачи используется 2-хуровневая схема, исследованная в §3.2, при этом ЗВУ призвана учесть стохастические факторы задачи, а ЗНУ -ее структурные характеристики. Построению и анализу ЗВУ посвящен §3.5. Переменными ЗВУ являются емкость -х, проектная площадь орошения z= S z , мощ-

lcl

ность каналов у= 2 у., площадь орошения u= £ и.. Для постро-i€X i€I

ения ЗВУ производится агрегирование функционала Ц) и ограничений (Li-g) с помощью удельных весов культур на срошета. = z1±/z, iel,, и богаре \г± = z2±/(L-z), Шг.

ЗВУ имеет вид: M[(L-z)e3(<d) + max(uc1 (oj)+(z-u)c2(w))3 -

u

- EH[í4(x) + í^z) + Í2(y) + í„ (L-z) 1 > - max (12)

x0 ^ x ^ а (13)

0 ^ y < Q (14)

0 ^ z < L (15)

где u(o;>) при Vweü удовлетворяет ограничениям :

qt(u)u(u) ^ у , t=1,T-1 (16)

О < и(ш) ^ z (17)

vt(u))= atmin{vt1 (co)+wt(ü))-at-qt(u)u(u),x}f t=1 ,Т-1 (18)

Yt(w)>x0 , t=1,T-1 (19)

v0(w) = mln{w0(u) - o0,x> (20)

Имеет место следующая

ТЕОРЕМА 3.4. Пусть выполнены условия теоремы 3.3, тогда задача (12-20) разрешима в Ю.аЬ[0,<ЗЫ0,Ь]*С+(Я), причем

решающее правило и*(ш) = u(oj,x,y,z) имеет вид:

«V

u(w,x,y,z)=min{z, min (y/q+(w))t min min u+1 (u,x)}t где

utl(u,x)--1 k=1t1-k- ,t=1 ,T-1; 1=1,t

k=l i=k 1 K

v° (ш)=(Па.)ш1п{ип(ш)-оп,х>, v° (ш)=(Па.)х, t=1,T-1;l=2,t

1=1 x i=l-1

Теорема 3.4 позволяет записать ЗВУ в виде: D(x,y,z)=Mí(L-z)c3(u)+u(x,y,z,w)c1(ш)+[г-и(х,у,г,со)]с2(ш)-

-EHtí4(x)+X1(z)+í2(y)+í3(L-z)]> - шах (21)

x.y.z

Воспользоваться ЗВУ (21) в практических расчетах не удается из-за отсутствия статистической базы достаточной для построения многомерных распределений Р( и Р2 и функций с^и),

1=1,3, однако теорема 3.4. позволяет построить с помощью численного моделирования по наблюденным рядам декадных притоков и оросительных норм функцию распределениия H(x»y»z,u) (x,y,z - фиксированы), в частности, функцию Н(х,и). Этот факт позволяет аппроксимировать ЗВУ другой легко решаемой задачей. Аппроксимирующая задача построена в §3.6, при этом случайными факторами считаются площадь орошения u <е íu1,и2],

с функцией распределения Н(х,и) и естественное увлажнение почвы -е€£е1,е2] в критический период (месяц, течение кото-

рого в основном формируется урожайность культур) с функцией распределения С(е). При решении аппроксимирующей ЗВУ удобнее вместо мощности оросительной сети -у искать проектный уровень естественного увлажнения -в, что является эквивалентным, как следует из тождества гц(Б)=у, в которое обращается неравенство (16) при реализации проектных условий. Аппроксимирующая задача имеет вид:

е_ ъ з

г г г

Б(х,з,г)= 1(Ь - г)с3(е)йО(е) + I |и^ус1 (е)аН(х,и)йС(е) +

е1 и1 е1 2 3 2 е

+| |[2 - и|^]с2(е)<Щх,и)(1С(е) + | |ис, (е)сШ(х,и)йС(е) + и, е, и, 3

г "г 3

+| |(г- и)с2(е)аН(х,и)сЮ(е)) + | ^^[щс, (е)<ЗН(х,и)ас(е) +

"г ег

г е1

- г|^]с2(е)с1Н(х,и)йС(е) + | ^ (е)<ЗН(х,и)сКНе) -

г е1 г э

- Е^ 1^7.) + 1г{гч{в)) + 13(Ь - ъ) + 1д(х)]

В §3.6 построена также задача нижнего уровня :

Р(2 ,2 ,э)={ 2 с,.(8)2 + 2 с (8)2 -1 ^ 1€Хг

А,21 +А222+А3{Нв£^1 (в)^г(в),...,як(8))21 , к=!111

2 2 = 2

2 Ь-г 1€1г

г^ £ О, 1е11, г21 о, Ш2

При естественных, с точки зрения практики, предположениях 0 функциях с31, 131, 1€12, с1±, 1^21' 1е11 пока-

зано, что -F(.,s) и -D(x,«) -М-Р-функции, что позволило применить при исследовании сходимости метода результаты §3.2. Результаты, изложенные в §§3.2 - 3.7 являются теоретической основой комплекса программ по расчету оптимальных параметров оросительных систем, который кратко описан в §3.8. Комплекс программ написан на языке FORTRAN -1У. В §3.9 описана схема обоснования параметров ОС с использованием указанного комплекса программ.

В_заключении указаны основные результаты диссертации. По теме диссертации опубликованы следующие работы :

1. Байтукенов М. Т. Условия гетеротонности и выпуклости маргинального отображения и их применение в математическом программировании 1//ИММ АН КазССР - Алма - Ата, 1990.- 76 с. Деп. в ВИНИТИ 13.03.90, * 1381 - В90.

2. Байтукенов М. Т. Условия гетеротонности и выпуклости маргинального отображения и их применение в математическом программировании П//ИММ АН КазССР - Алма-Ата, 1990. - 43 с. Деп. в ВИНИТИ 03.10.90, Ji 5245 - В90.

3. Байтукенов М. Т. Условия гетеротонности и выпуклости маргинального отображения и их применение в математическом программировании 1П//ИММ АН КазССР - Алма-Ата, 1991. -28 с. Деп. в ВИНИТИ 09.10.91, » 3884-B9I.

4. Байтукенов М. Т. Формулы субдифференцирования неявной функции для липшицевых отображений // Математические заметки. - 1991, т. 50, вып. 2, с. 146-147.

5. Агасандян Г. А., Байтукенов М. Т. Некоторые вопросы управления водохранилищами и их проектирование. - М.: ВЦ АН СССР, 1990. - 24с.

М.Т.Байтукенов Условия гетеротонности и псевдовогнутости маргинального отображения и их применение в математическом программировании

Формат бумаги 60«84 I/I6. Тираж 100. Заказ 127. Бесплатно

Отпечатано на ротапринтах в ВЦ АН СССР I17333, Москва, ул. Вавилова, 40