автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Моделирование нелинейных динамических систем и процесса распространения вредоносных программ с целью защиты от них на основе программного комплекса

003474406

На правах рукописи

Семешота Дмитрий Валерьевич

МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ И ПРОЦЕССА РАСПРОСТРАНЕНИЯ ВРЕДОНОСНЫХ ПРОГРАММ С ЦЕЛЫО ЗАЩИТЫ ОТ НИХ НА ОСНОВЕ ПРОГРАММНОГО КОМПЛЕКСА

Специальность: 05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Елец-2009

2 5 ИЮНЛ

003474406

Работа выполнена на кафедре физики Государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Елецкий государственный университет им. И.А. Бунина»

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор

Крутов Алексей Васильевич

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор

Сумин Александр Иванович

кандидат физико-математических наук, доцент

Тюкачев Николай Аркадьевич

Ведущая организация: Воронежская государственная технологическая академия

Защита состоится 8 июля 2009 года в 14.00 на заседании диссертационного совета Д 212.059.03 при Елецком государственном университете им. И.А. Бунина в конференц-зале по адресу: 399770 Липецкая обл., г. Елец, ул. Коммунаров, 28.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Елецкого государственного университета им. И. А. Бунина.

Автореферат разослан « 6 » июня 2009 г.

,—

Ученый секретарь г

диссертационного совета к.ф.-м.н., доц. В.Е. Щербатых

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы

Задача предсказания поведения объекта во времени и пространстве на основе знания определенных начальных условий является одной из наиболее важных задач естествознания. Объект, в зависимости от своей сложности, может описываться как детерминистическими, так и вероятностными законами, либо задаваться законом пространственно-временной эволюции. Примером таких объектов являются динамические системы. В зависимости от выбора способа описания динамической системы (дифференциальные уравнения, дискретные отображения, графы и т.д.) задается конкретный вид математической модели. Модели на основе дискретных отображений и дифференциальных уравнений чаще всего являются объектом исследований нелинейной динамики, изучающей хаотическое поведение различных динамических систем. Переход системы в хаотический режим удобно рассматривать на моделях, задаваемых дискретными отображениями, тле. для систем дифференциальных уравнений хаос возможен только в трехмерном фазовом пространстве, а для дискретных отображений достаточно двух измерений. Существует универсальный подход, предложенный французским математиком Анри Пуанкаре, который позволяет поставить в соответствие дифференциальной динамической системе дискретное отображение. Значительный вклад в развитие нелинейной динамики и теории хаоса внесли: Г. Шустер, М. Фейгенбаум, Г. Г. Малинецкий, С. П. Кузнецов, Е. Б. Вул, Я. Г. Синай. Принципы математического моделирования доступно изложены в работах А. А. Самарского, А. П. Михайлова, Б. Н. Четверушкина.

В настоящее время, в период бурного развития электронных информационных ресурсов, актуальным становится вопрос противодействия распространению вредоносного программного обеспечения. Массовая рассылка («спам») и другие подобные методы информационного воздействия на пользователей Всемирной паутины используют вредоносные программы, превращающие компьютер в инструмент распространения рекламы, «раскрутки» и увеличения посещаемости вредоносных сайтов, других нелегальных методов. Процесс распространения компьютерных вирусов в сети можно рассматривать как динамическую систему. Моделирование данного процесса, изучение свойств модели и их зависимости от различных факторов позволяет

выявить и устранить недостатки в системе безопасности.

Важность и актуальность исследований, проводимых в рамках диссертационной работы, обоснована решением актуальной задачи поиска новых свойств и закономерностей дискретных отображений, разработки методов противодействия вредоносным программам на основе математического моделирования, а также разработкой соответствующего этим задачам прикладного программного обеспечения.

Объект и предмет исследования

Объектом исследования являются модели нелинейных динамических систем. Предметом - проявляющиеся в них свойства и характерные закономерности теоретического и прикладного характера.

Целью работы является выявление новых свойств моделей нелинейных динамических систем, построение новых моделей на основе дискретных отображений, разработка математической модели распространения компьютерных вирусов в сети и комплекса программ для исследования свойств данной модели и проведения экспериментов, разработка и практическое применение новых алгоритмов обработки информации на основе моделей динамических систем.

Для достижения поставленной цели потребовалось решение следующих задач:

1) исследование дискретных отображений и моделей нелинейных динамических систем, выявление новых свойств и закономерностей при помощи существующих и разработанных автором оригинальных программных продуктов;

2) разработка математической модели распространения вредоносных программ в компьютерной сети, учитывающей особенности участия конечных пользователей в процессе, программная реализация модели;

3) разработка комплекса программ для проведения вычислительных экспериментов и анализа получаемых данных;

4) сравнение экспериментальных данных с модельными расчетами, выявление соответствий в полученных результатах;

5) разработка алгоритмов и программного обеспечения, методик их практического использования.

Научная новизна:

- получены новые свойства дискретных отображений, связанные с бифуркационными значениями параметров и теорией числовых последовательностей;

- приведен способ параметрического кинематико-геометрического представления логистического отображения;

- разработана новая мйтсмэтичсскоЯ мидель распространения вредоносного программного обеспечения в компьютерной сети и комплекс программ для проведения экспериментов, изучения свойств полученной модели и других моделей динамических систем, задаваемых дискретными отображениями;

- предложены новые алгоритмы обработки информации на основе дискретной модели математического бильярда.

На защиту выносятся следующие основные положения:

1. Новые свойства дискретных отображений, связанные с бифуркационными значениями параметров и теорией числовых последовательностей; предложено отображение д:я+! = асо5(юс„), обобщающее логистическое отображение, которое является частным случаем предложенного.

2. Математическая модель распространения вредоносного программного обеспечения в компьютерной сети и комплекс программ для проведения экспериментов, изучения свойств полученной модели и других моделей динамических систем.

3. Алгоритмы обработки информации на основе дискретной модели математического бильярда и их реализация.

Достоверность основных положений и результатов

Научные результаты диссертационной работы получены на основании достоверных знаний в области моделирования нелинейных динамических систем и использования строгого математического аппарата. Полученные результаты подтверждены вычислительными экспериментами, практическим применением разработанных математических моделей и программных продуктов, а также проверены сравнением с результатами расчетов для некоторых моделей, приведенными в научных работах других авторов.

Практическая ценность результатов работы

Разработанная модель и программное обеспечение позволяют произвести тестирование локальной сети на предмет антивирусной безопасности, а также выявить особенности и получить приближенные значения параметров различных динамических систем, задаваемых дискретными отображениями, на этапе предварительного графического построения, что позволяет сэкономить время работы алгоритмов,

зависящих от выбора начальных условий в более точных численных расчетах.

Внедрение научных результатов

Предложенные модели и алгоритмы были внедрены в производственный процесс филиала ООО «Аптека-Холдинг 1» в г. Воронеже, что подтверждается соответствующим актом внедрения.

Апробация работы

Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на следующих всероссийских и международных конференциях:

«Международная школа-семинар «Современные проблемы механики и прикладной математики»», Московский государственный университет, Воронежский государственный университет, Воронежская государственная технологическая академия, 2005 год;

«Ежегодная научно-практическая конференция докторантов, аспирантов и преподавателей межфакультетских кафедр», Елецкий государственный университет им. И.А. Бунина, 2008 год;

«Международная научно-практическая конференция», Российский университет дружбы народов, инжиниринговая компания «Тесис», 2009 год;

«ХЬУ юбилейная Всероссийская конференция по проблемам математики, информатики, физики и химии», Российский университет дружбы народов, 2009 год.

«Научная сессия Воронежского государственного университета», 2009 год.

Публикации

По теме диссертации опубликовано 10 научных работ и 5 тезисов докладов конференций.

Объем и структура диссертационной работы

Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы и приложений. Работа содержит 108 страниц основного текста, 33 рисунка, 5 таблиц, 42 страницы приложений. Список литературы включает 112 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы исследования, приведены цели, научная новизна и практическая значимость работы, изложены защищаемые положения, поставлены задачи диссертации, приведен краткий обзор литературы по проблемам построения моделей динамических систем, отражены основные понятия и термины нелинейной динамики, произведен обзор известных свойств моделей динамических систем, задаваемых дискретными отображениями.

В первой главе приводятся новые свойства и закономерности дискретных отображений, рассматривается приложение для исследования свойств дискретных отображений, входящее в состав разработанного комплекса программ. Входными данными программы выступают следующие значения: непосредственно отображение, начальные условия, границы и масштаб графика. На рис. 1 представлено окно программы на конечном этапе расчета и построения бифуркационной диаграммы отображения дгя+1=а-соз(гог„). Программа позволяет выделять и масштабировать отдельные участки диаграммы, выводить значения х„ на любом этапе итерационного процесса. Наглядное графическое представление данных позволило выявить некоторые интересные результаты, связанные с особыми точками графиков отображений, бифуркационными значениями, теорией числовых последовательностей. На графике видны этапы удвоения периода, особые участки развития системы. Отчетливо видно точку пересечения ветвей диаграммы и её координаты, участки «скопления» значений. На наличие особых точек исследуются различные дискретные отображения, что позволяет обнаруживать их новые свойства. Главной особенностью программы является быстрое и наглядное представление результатов, позволяющее получить приближенные численные значения в любой точке графика в кратчайшее время. Например, рассчитать точки бифуркаций (приближенные значения параметра) для какого-либо отображения за считанные секунды, благодаря гибкости настроек программы.

Дпдлмз

Отображение: |e?cos|pi"x|

0.501082404986212

•0,092040287 33SS882

0,590387674638842

•0.185388100819672

0.501082404988212

•0,0020402813935882

•0.185388100819572

0.501082404986212

-0.0020402913996992

0,599987674638842

■0.185388100819572

0.501082404986212

-О .Ю2040281Э993В82

0,599337674638842

•0.185388100919672

•0,0020402813995882

0.599987674638842

-0.185388100819672

0.501062404986212

-0,0020402813995882

0.599987674638842

ve5388iooftiss72

0,501002404986212

-0,0020402813996892

Q.593987S74638842

0.185Э89100919672

0.501032404986212

0,0020402813395882

clWhite

Построить диаграмму

' л п и >

aipauamp отображения

Рис.!. Пример работы программы для отображения xn+i~a-cos(7ixn). Отчетливо видны особые точки отображения, бифуркации, приведены численные результаты итерационного процесса

В работе показано, что логистическое отображение можно рассматривать как приближенный частный случай отображения ^+1=a-cos(7uc„), при <3=1. Раскладывая cos(tlx:) в ряд Тейлора по формуле:

х2 х2*

cosW = 1 _ IL +... + 1Г ~ + е(х2»+1) 2! (2Й)!

>

получим для первого члена ряда логистическое отображение 1 - цх1, с параметром р = я2/2! ~ 4,9348022. Примечательно также, что одной из особых точек отображения x„H=a-cos(ra:n) является точка 0,61803398874989 («золотая пропорция»). С «золотой пропорцией» связано и логистическое отображение jc„+i = 1 - a{x„)2 при a= 1.

На параболе, графике-носителе логистического отображения можно пытаться искать такую начальную точку, что координаты последующих точек и связанных с ними других точек, в частности точек нормалей, будут являться рядом целых чисел. Если такой точки непосредственно на явно представленной параболе нет-, то возможно, что для нахождения другого представления или другой параболы или кривой, на которой это реализуется, необходимо сделать дополнительно преобразования, замену

переменных и параметров. Способы параметрического кинематико-геометрического представления логистических отображений, на основе которых также получены новые геометрические свойства, позволяют получить данные числовые последовательности. При подобном представлении отображения, например, в форме Улама-Неймана рассматривается ¿-параметризованная парабола с параметром />=1/4 (см. рис. 2).

А-=-[1-2(х+1)2], У=>1~2х2. (1)

Ордината точек этой параболы представляет собой при целом х отображение Улама-Неймана, а абсцисса есть отображение, противоположное ординатному и со сдвигом на единицу. Эта парабола есть антиподера относительно начала координат прямой у=кх+Ь при к=Ь=1.

Действительно, антиподерой относительно начала координат прямой у=кх+Ь будет кривая, описываемая ^-параметризованными уравнениями

Х={к1Ь)[{кхЩг+{Ик)х{кхУЬ)-х\ (2)

У={-(\/Ь)кх+\)(кх+Ь)Ц--\/Ь)х2. (3)

Она образуется огибанием одной из сторон прямого угла, вершина которого движется по подере-прямой у=кх+Ь, а другая сторона скользит по неподвижной точке, расположенной в начале координат. При ¿=¿>=1 это будет парабола с параметром р=у12, описываемая параметрическими уравнениями (1). Ее фокус находится в начале координат, а вершина - в точке (А",У)=(-Ш, 1/2), (X \Г ')= (-,/2/2, 0). Если положить то

ординатная кривая будет в точности давать отображение Улама-Неймана

У„=1-2Я2=[1-2(Я+1)2]+4П+2=Гп+1+2(2П+1),

а абсциссная координатная кривая будет давать отображение, противоположное отображению Улама-Неймана со сдвигом на единицу

Хп=-[1-2(й+1)2]=-Гп+1=^,+2(2И+1)=-Кп+2(2гН-1), отсюда следует простое соотношение между Хп и Уп+г.

Ха=-Уп». (4)

Аналогичные способы представления приведены в работе для отображения в форме Фейгенбаума.

Рис. 2. Кинематико-геометрическое представление логистического отображения в форме Улама-Неймапа. Рассматривается х-параметризованная парабола с параметром р=1/4

Вторая глава посвящена построению дискретной математической модели распространения различных типов вирусов и вредоносного программного обеспечения в компьютерной сети, а также разработке комплекса программ для моделирования и проведения эксперимента,

состоящего из следующих приложений:

1. Программы-макеты вирусов, не представляющие какой-либо опасности для компьютерной сети, но распространяющиеся теми же методами, которые реализованы в большинстве современных вредоносных программ. Данные «вирусы» представляют собой клиентские приложения, которые, «заразив» очередной компьютер одним из естественных распространенных способов проникновения, собирают информацию об уровне безопасности конечного ПК, наличии антивирусных программ, сетевых экранов и т.д. При этом программа оценивает количество файлов на данном компьютере, которые могли бы быть «заражены» за время ей пребывания и работы до момента обнаружения и удаления. Все данные поступают на сервер, где установлен следующий компонент разработанного комплекса программ.

2. Программа-сервер, устанавливаемая на один из компьютеров сети, являющийся первоначальным источником распространения «вирусов», и обладающий большим количеством общих ресурсов. В данном продукте реализован алгоритм сбора информации о состоянии соседних компьютеров в сети. Программа фиксирует время «заражения», уровень безопасности компьютера и возможность последующего распространения «вируса» с данного ПК.

3. Программа визуального отображения результатов: анимации процесса заражения, построения графиков динамики роста количества «зараженных» компьютеров, сравнения результатов эксперимента и моделирования.

4. Программа, осуществляющая расчеты на основе математической модели с возможностью сохранения результатов для последующей обработки и сравнения с результатами проведенного эксперимента.

5. Программный пакет для исследования свойств моделей нелинейных динамических систем, задаваемых дискретными отображениями, отличающийся удобством и наглядным представлением результатов расчетов, высокой точностью численного анализа исследуемых моделей, возможностью расширения функциональности благодаря открытому исходному коду.

При разработке модели потребовалось учесть следующие параметры:

1. Уровень локальной безопасности, задаваемый пользователем. Данная величина носит случайный характер, т.к. пользователь имеет

возможность менять уровень безопасности в процессе работы, и зависит от наличия на компьютере установленного антивирусного программного обеспечения, сетевого экрана, возможности автозапуска программ с внешних носителей. Учитывается количество общих ресурсов на «зараженном» компьютере, а также уровень доступа к ним и количество ресурсов с разрешением на запись. В случае возможности полного доступа пользователя с минимальными правами вероятность заражения существенно возрастает. Данные параметры влияют на скорость дальнейшего распространения «вируса» в сети. В эксперименте данная величина задается десятибалльной оценкой локальной антивирусной безопасности компьютера.

2. Средняя активность пользователя, характеризующаяся временем работы компьютера (количеством часов работы в сутки).

3. Частота использования внешних носителей информации в процессе работы.

В модели и эксперименте использовались методы распространения «вирусов» посредством копирования в общие папки или автозапуска с внешнего носителя. Теоретически учитывалась возможность заражения потенциально опасных файлов посредством подсчета их количества на компьютере: исполняемых (exe, com) и файлов, поддерживающих запуск других программ и скриптов (doc, xls, htm, bat, cmd). Также оценивалась возможность доступа к разделам автозагрузки в системном реестре и специализированным каталогам пользователя.

При попадании программы-«вируса» одним из перечисленных способов на компьютер и последующем запуске на этом компьютере программой производятся следующие действия:

1. Оценка локальной антивирусной безопасности снижается, т.к. «вирус» уже был запущен.

2. На основании имеющихся данных об антивирусных программах производится их поиск среди запущенных процессов. Если таких процессов нет, то оценка локальной антивирусной безопасности снижается на несколько баллов.

3. Производится попытка доступа к разделам автозапуска в системном реестре и специализированным папкам пользователя (например, папка «Автозагрузка»). При успешной записи «вируса» в автозапуск оценка снижается.

4. Производится попытка загрузки тестового файла из локальной

сети или сети Интернет. Многие вредоносные программы «скачивают» дополнительные вирусы, программы массовой рассылки и т.д. для использования «зараженного» Í7IC в своих целях. Успешная загрузка тестового файла говорит об отсутствии или неправильном использовании сетевого экрана, оценка снижается.

5. Программа сохраняет информацию о том, на каком компьютере она находилась, что позволяет отследить порядок заражения, например, на графе. Собранная информация отправляется серверу. Порт, по которому производится отправка, заранее разрешен правилами брандмауэров, установленных на компьютерах сети.

Данная модель задана дискретным отображением. Выбор обусловлен наибольшим соответствием дискретной модели проводимому эксперименту, т.к. в эксперименте мы получаем количество зараженных компьютеров в отдельные моменты времени. На основе вероятностных методов и экспериментальных данных было выбрано отображение

■*пн = 1 -0 -цУО-ХпГ*«,

где ц = Рср - средняя вероятность заражения компьютеров, вычисляемая исходя из разностей (1 - М10), где М - оценка локальной антивирусной безопасности компьютера по десятибалльной шкале, получаемая посредством анализа ряда факторов: наличие установленных антивирусных программ в запущенных процессах, наличие и качество работы сетевого экрана, активность пользователя по часам работы за компьютером, количество общих ресурсов и прав доступа к ним, возможность автозапуска программ с внешних носителей информации и частота их использования, права доступа к параметрам автозагрузки системного реестра. На рис. 3 представлены графики зависимости количества «зараженных» компьютеров от времени для рассчитанных средних оценок безопасности компьютерной сети.

Рис. 3. Зависимость количества «зараженных» компьютеров от времени для нескольких средних оценок безопасности:

a) средняя оценка не меняется с течением времени;

b) пользователи своими действиями изменяют уровень безопасности случайным образом.

В третьей главе на основе хаотических свойств исследуемых дискретных отображений осуществляется построение модели математического бильярда, и ёе практическое применение в новом алгоритме обработки информации. Рассматривается модель с произвольной формой стола и одним шариком (рис. 4). На столе размещены различные -препятствия, от которых шарик при движении

Рис. 4. Модель бильярда. Стоп произвольной формы, в случайном порядке расставлены препятствия, над столом протянута нить

отталкивается, как и от краев (каждый удар шарика о препятствие или о край стола назван итерацией). Для легкости понимания хаотических режимов данной дискретной модели высказывается предположение, что форма стола и расположение препятствий изменяются случайным образом при каждой итерации, таким образом, обеспечивая хаотическую траекторию перемещений. Здесь рассматривается понятие детерминированного хаоса, отличающегося особенностью воспроизводимости хаотического состояния при точном задании начальных условий. Очевидно, что при определенных начальных условиях, расположении препятствий и форме стола шарик может пройти под нитью, протянутой над столом, бесконечное число раз.

Рис. 5. Прохождение шарика под нитью на ('-той итерации и точке (х,у), утоп запуска шарика обозначен как <р. Зная <р, /' их можно найти у.

На рис. 5 плоскость стола находится в декартовой системе координат, а нить параллельна оси ОХ и пересекает ОУ в некоторой точке (О,К). Зная правило движения шарика, изменения препятствий и формы стола можно

У

1

(0,0)

(Х,0)

закодировать координату Y тремя параметрами: начальный угол запуска шарика из точки (0,0), координату X шарика и номер /' итерации при прохождении его под нитью. Причем этих параметров для одного и того же числа бесконечное множество, что позволяет кодировать его каждый раз по-разному. Если в данной системе использовать в качестве ключа дискретное отображение, обладающее хаотическими свойствами, для задания траектории движения шарика, то вместо угла <р нужно передавать параметр данного отображения. На основе представленного алгоритма разработано программное средство для удаленного администрирования, использующего модели динамических систем для обмена информацией между приложениями. Представлена модель протокола верхнего уровня стека протоколов TCP/IP, разработанная автором для эффективной передачи команд и данных в компьютерной сети. Полученный программный продукт позволяет удаленно управлять несколькими компьютерами одновременно, работать с файлами, командной строкой и удаленным рабочим столом. Управление происходит посредством стандартных инструментов ввода. Программа позволяет совершать операции с файлами на удаленном компьютере, передавать файлы по сети, запускать исполняемые файлы на удаленном компьютере и отслеживать их работу. Все действия на удаленном компьютере производятся только при успешной аутентификации пользователей управляющего и управляемого компьютеров. Такая схема исключает возможность управления без обоюдной договоренности пользователей.

В четвертой главе обсуждаются результаты диссертационной работы, метод кинематико-геометрического подхода к математическому моделированию. Данный метод предполагает параметрическое представление различных геометрических объектов на графиках, рассматриваемых с учетом кинематических аспектов исследуемых объектов, т.е. во взаимосвязи геометрии и физики. В последней главе приводится несколько примеров моделей физических процессов, новые свойства которых получены благодаря такому подходу.

Как известно, точка окружности при качении по прямой описывает циклоиду. Опустив из начала координат на любую арку циклоиды стержень (рис. 6), получим точку касания, обладающую рядом замечательных свойств. Например, отношения координат у/х точки касания в любой арке циклоиды дают корни уравнения tg(x) = х. В работе описано несколько новых свойств циклоиды как модели качения

окружности по прямой. На основе приводимых свойств также были получены две новые формулы расчета числа тс.

ХЯ-ЯЛО)-!

\

-э.е -и

;

/

\

I. Д.: .1 Т. Г,

Рис. 6. Кинематико-геометрическое представление решения трансцендентного уравнения ¡вСдг) = х

В данной главе также обсуждаются геометрические аспекты задач небесной механики. Приводятся геометрические модели задач, на основе которых предложены аналоги законов Кеплера при движении по коническому сечению - гиперболе и представлена геометрическая интерпретация этих движений. Развивается кинематико-геометрическая модель интегрирования А. В. Крутова на основе соотношений, описывающих процесс качения кривых.

В приложении I приведен исходный код программ, объединенных в комплекс, для проведения экспериментов и исследования нелинейных динамических систем. Код снабжен подробными пояснениями и комментариями.

В приложении II приведены примеры расчетов в дополнительных математических пакетах, используемых в работе.

В приложении Ш приведен исходный код программы удаленного администрирования, использующей для обработки передаваемой информации свойства моделей динамических систем, рассматриваемых в работе.

В заключении подведены итоги по диссертации в целом и сформулированы основные результаты работы:

1. На основании математических расчетов в разработанном комплексе программ и дополнительных программных пакетах получены новые свойства дискретных отображений (в том числе логистического), связанные с бифуркационными значениями параметров и теорией числовых последовательностей.

2. Разработана математическая модель распространения вредоносного программного обеспечения в компьютерной сети и комплекс программ для проведения экспериментов, изучения свойств полученной модели и других моделей динамических систем, отличающийся удобством и наглядным представлением результатов расчетов, высокой точностью численного анализа исследуемых моделей, возможностью расширения функциональности благодаря открытому исходному коду.

3. Предложен алгоритм обработки информации на основе дискретной модели математического бильярда, реализованный в отдельном программном продукте.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах.

Публикации в журналах из Перечня ведущих рецензируемых научных журналов и изданий, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертаций:

1. Семенюта, Д. В. ИсЬледование свойств природных объектов на основе модельных соотношений самоподобия [Текст] / A.B. Кругов, А. С. Лабузов, Д. С. Мухоедов, В. И. Тасенко, Д. В. Семенюта, А. В. Глазков / Вестн. Тамб. Ун-та. Сер. Естеств. и техн. науки. - Тамбов, 2007. - Т. 12, вып. 2.-С. 222-226.

2. Семенюта, Д. В. Геометрическое модельное представление и численный анализ задачи Кеплера [Текст] / А. В. Кругов, А. С. Лабузов, Д. С. Мухоедов, В. И. Тасенко, Д. В. Семенюта, А.Н. Глазков / Вестн. Тамб. ун-та. Сер. Естеств. и техн. науки. - Тамбов, 2007. - Т. 12, вып. 2. - С. 244248.

3. Семенюта, Д. В. Геометрическое модельное представление решения задачи о движении в поле центральных сил по гиперболе как аналога задачи Кеплера [Текст] / А. В. Кругов, А. С. Лабузов, В. И. Тасенко, Д. С. Мухоедов, Д. В. Семенюта, А. Н. Глазков / Вестн. Тамб. Ун-та. Сер. Естеств. и техн. науки. - Тамбов, 2007. - Т. 12, вып. 2. - С. 240-243.

4. Семенюта, Д. В. Моделирование и исследование течения нефтеподобных сред с магнитными включениями [Текст] / В. И. Тасенко,

A.B. Кругов, Д.В. Семенюта I Вестник Воронеж, гос. техн. ун-та. -Воронеж, 2009. - Т. 5. - № 5. - С. 70-75.

5. Семенюта, Д. В. Применение моделей динамических систем в задачах защиты информации [Текст] / Д. В. Ссмсшота, А. В. Крутой, А. В. Глазков /' Информация и безопасность. ВГТУ, Межд. ин-т копм. технологий. -Воронеж, 2009, вып. 2. - С. 277-280.

6. Семенюта, Д. В. Моделирование процесса распознавания образов на основе нейросетей [Текст] / А. В. Глазков, А. В. Кругов, Д. В. Семенюта / Информация и безопасность. ВГТУ, Межд. ин-т копм. технологий. -Воронеж, 2009, вып. 2. - С. 207-216.

В других журналах и материалах научных конференций:

7. Семенюта, Д. В. Программное обеспечение для удаленного администрирования [Текст] / Д. В. Семенюта / Современные проблемы механики и прикладной математики: Сборник трудов международной школы-семинара. Часть II., Воронеж, 12-17 сентября 2005 г. - Воронеж: Воронежский государственный университет, 2005. - с. 138-139.

8. Семенюта, Д. В. Геометрическая модель интегрирования [Текст] / А. В. Крутов, Д. Ю. Гребенников, С. Н. Пупыкин, Д. В. Семенюта, С. А. Силкин / Вестник Елецкого госуниверситета им. И. А. Бунина. Вып. 8. -Елец: ЕГУ им. И. А. Бунина, 2006. - С. 392-400.

9. Семенюта, Д. В. Программа для удаленного администрирования компьютерных систем [Текст] / Б. Н. Воронков, А. В. Крутов, Д. В. Семенюта / Вестник физико-математического факультета Елецкого государственного университета: Сб. научных и учебно-методических трудов. - Елец: Елецкий гос. ун-т им. И. А. Бунина, 2006. -С. 5-6.

10. Семенюта, Д. В. Программы для средств удаленного администрирования операционных систем семейства WINDOWS с применением поточного шифрования [Текст] / Б. Н. Воронков, А. В. Крутов, Д. В. Семенюта / Вестник физико-математического факультета Елецкого государственного университета: Сб. научных и учебно-методических трудов. — Елец: Елецкий, гос. ун-т им. И. А. Бунина, 2006. — С. 6-10.

11. Семенюта, Д. В. Реализация криптографических алгоритмов с помощью моделей на основе эллиптических кривых [Текст] / О. А. Саввина, Д. В. Семенюта, А. В. Крутов, Д. С. Мухоедов / Вестник физико-математического факультета Елецкого государственного университета. - Елец: Елецкий, гос. ун-т им. И.А. Бунина, 2007. - С. 83-89.

12. Семенюта, Д. В. Перспективы применения квантовых моделей вычислений и компьютеров [Текст] / А. В. Крутов, Д. В. Семенюта, В. И. Тасенко / "Инженерные системы - 2009": Международная научно-

практическая конференция: Тезисы докладов. Москва, 6-9 апреля 2009 г. -М.: РУДН, 2009. - 184 с. С. 64-65.

13. Семенюта, Д. В. Параметрическое представление и свойства логистических отображений, аспекты теории чисел [Текст] / А. В. Кругов, В. И. Тасенко, Д. В. Семенюта / "Инженерные системы - 2009": Международная научно-практическая конференция: Тезисы докладов. Москва, 6-9 апреля 2009 г. - М.: РУДН, 2009. - 184 с. С. 65-66.

14. Семенюта, Д. В. Модели динамических систем в задачах криптографии [Текст] / Д. В. Семенюта, А. В. Крутов, А. В. Глазков / ХЬУ Всероссийская конференция по проблемам математики, информатики, физики и химии: Тезисы докладов. Секция математики и информатики. -М.: РУДН, 2009. - 209 с. С. 94-95

15. Семенюта, Д. В. Кватернионный анализ и распознавание изображений [Текст] / А. В. Глазков, А. В. Кругов, Д. В. Семенюта / XI,V Всероссийская конференция по проблемам математики, информатики, физики и химии: Тезисы докладов. Секция математики и информатики. -М.: РУДН, 2009. - 209 с. С. 59-61

Лицензия на издательскую деятельность ИД № 06146. Дата выдачи 26.10.01. Формат 60 х 84 /16. Гарнитура Times. Печать трафаретная Усл.-печ.л. 1,0 Уч.-изд.л. 1,2 Тираж 100 экз. Заказ 130

Отпечатано с готового оригинал-макета на участке оперативной полиграфии Елецхого государственного университета им. И. А. Бунина

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Елецкий государственный университет им. И.А. Бунина» 399770, г. Елец, ул. Коммунаров, 28

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. ИССЛЕДОВАНИЕ ИЗВЕСТНЫХ СВОЙСТВ ДИСКРЕТНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ И ВЫЯВЛЕНИЕ НОВЫХ.

1.1. Теоретические сведения.

1.2. Кинематико-геометрическое параметрическое представление логистического отображения.

1.2.1. Кинематико-геометрическое параметрическое представление и свойства логистического огображеня в форме Улама-Неймана.

1.2.2. Кинематико-геометрическое параметрическое представление логистического отображения в форме Фейгенбаума.

1.2.3. Еще одно параметрическое представление логистического отображения на основе отображения Фейгенбаума, аспекты теории чисел.

1.2.4. Числовые последовательности на основе бифуркационных диаграмм.

1.2.5. Свойства логистического отображения в явной форме Улама-Неймана.

1.2.6. Кривая касаний.

1.2.7. Свойства логистического отображения в явной форме Фейгенбаума.

1.3. Дискретные отображения и кинематико-геометрические аспекты решения трансцендентных уравнений.

1.3.1. Связь некоторых трансцендентных уравнений с дискретными отображениями.

1.3.2. Уравнение cosx = x.

1.3.3. Уравнение tgx = cosx, связь с золотой пропорцией, отображение для чисел Фибоначчи.

1.3.4. Уравнение tgx = х.

1.4 Программа для графического построения отображений.

1.4.1. Отображение х„н = a-cos(nxn).

1.4.2. Описание, структура, алгоритм и средства реализации.

1.4.3. Входные и выходные данные, пример работы программы.

ГЛАВА 2. МОДЕЛИРОВАНИЕ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ВРЕДОНОСНЫХ ПРОГРАММ В КОМПЬЮТЕРНОЙ СЕТИ НА

ОСНОВЕ ПРОГРАММНОГО КОМПЛЕКСА.

2Л. Обзор состояния проблем моделирования процесса распространения компьютерных вирусов.

2.2. Построение дискретной модели и описание программного комплекса.

2.2.1. Математическая модель.

2.2.2. Описание комплекса программ.

2.3. Выбранные методы и средства.

2.3.1. Интерфейс сокетов.

2.3.2. API-функции.

2.3.3. Протоколы локальных сетей.!.

2.4. Проведение экспериментов, сравнение с результатами модельных расчетов.

ГЛАВА 3. РАЗРАБОТКА АЛГОРИТМА ОБРАБОТКИ ИНФОРМАЦИИ НА ОСНОВЕ ДИСКРЕТНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ И ЕГО ПРОГРАММНАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ.

3.1. Модели динамических систем в алгоритмах обработки информации.

3.1.1. Основные понятия и термины.

3.1.2. Теория динамического хаоса.

3.1.3. Нелинейная динамическая система в алгоритме кодирования.

3.1.4. Моделирование нелинейной динамической системы на основе математического бильярда.

3.1.5. Закон движения бильярдного шарика на основе дискретного отображения.

3.1.6. Применение функции tg(x) в алгоритме передачи ключа.

3.2. Реализация разработанного алгоритма в прикладном программном обеспечении. Выбор методов, технических средств и среды программирования.

3.2.1. Этапы разработки программного обеспечения.

3.2.2. Программирование псевдокодом.

3.2.3. Преимущества псевдокода.

3.2.4. Используемые технические и программные средства.

3.3. Разработка программного обеспечения для удаленного администрирования.

3.3.1. Назначение программного продукта.

3.3.2. Протоколы локальных сетей в многоуровневой архитектуре.

3.3.3. Протокол прикладного уровня RMCP стека протоколов TCP/IP.

3.3.4. Обеспечение работы удаленной командной строки с различными версиями Windows.

ГЛАВА 4. КИНЕМАТИКО-ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ ПОДХОД К МАТЕМАТИЧЕСКОМУ МОДЕЛИРОВАНИЮ.

4.1. Исследование свойств природных объектов на основе модельных соотношений самоподобия.

4.1.1. Обобщенные пропорции самоподобия.

4.1.2. Модификация правила Тициуса-Боде.

4.1.3. Связь пропорций со свойствами объектов небесной механики.

4.1.4. Кривые как характеристики ньютонова поля.

4.1.5. Обратный переход.

4.1.6. Геометрическое модельное представление решения задачи о движении в поле центральных сил по гиперболе.

4.2. Геометрическая модель интегрирования.

4.2.1. Представление модифицированной векторной формулы интегрирования по частям в виде уравнения эвольвенты пространственной кривой.

4.2.2. Уравнение обобщенной эвольвенты.

4.2.3. Модифицированная векторная формула интегрирования по частям как следствие уравнения обобщенной эвольвенты.

4.2.4. Применение обобщенных эвольвент-эволют к интегрированию дифференциальных уравнений.

Задача предсказания поведения объекта во времени и пространстве на основе знания определенных начальных условий является одной из наиболее важных задач естествознания. Объект может описываться детерминистическими или вероятностными законами, а также законами пространственно-временной эволюции [61]. Примером таких объектов являются динамические системы. В зависимости от выбора способа описания динамической системы (дифференциальные уравнения, дискретные отображения, графы и т.д.) задается конкретный вид математической модели. Модели на основе дискретных отображений и дифференциальных уравнений чаще всего являются объектом исследований нелинейной динамики, изучающей хаотическое поведение различных динамических систем. Переход системы в хаотический режим удобно рассматривать на моделях, задаваемых дискретными отображениями, т.к. для систем дифференциальных уравнений хаос возможен только в трехмерном фазовом пространстве, а для дискретных отображений достаточно двух измерений. Существует универсальный подход, предложенный французским математиком Анри Пуанкаре, который позволяет поставить в соответствие дифференциальной динамической системе дискретное отображение [61].

Математические модели, задаваемые дискретными отображениями, являются предметом исследований многих известных ученых. Значительную роль в исследовании свойств дискретных отображений сыграли работы М. Фейгенбаума, открывшего теорию универсальности квадратичных и унимодальных отображений [96] и установившего закономерности сценария удвоения периода [16], описываемые трансцендентными константами, названными константами Фейгенбаума. Бесконечное число удвоений периода в системе, описываемой унимодальным отображением, приводит к сложному хаотическому состоянию. Но хаос в данном случае не является синонимом отсутствия порядка, такое поведение динамических систем обозначают понятием детерминированного хаоса [16,70], замечательной особенностью которого является воспроизводимость хаотического состояния при точном задании начальных условий. Незначительное отклонение в задании параметров подобной системы приводит к непредсказуемым результатам поведения системы с течением времени. Изучение свойств подобных систем позволило найти некоторые общеприродные закономерности, связанные с золотыми пропорциями и самоподобием. Многие дискретные отображения проявляют схожие друг с другом свойства. Интересные результаты получены во взаимосвязи дискретных отображений и теории числовых последовательностей.

Наряду с исследованием общих закономерностей дискретных отображений и выявлением их новых свойств, актуальным является вопрос моделирования «реальных» динамических систем и практическое использование разрабатываемых моделей. В настоящее время, в период бурного развития электронных информационных ресурсов, целесообразно использовать математическое моделирование для исследования процессов распространения вредоносных программ и безопасной передачи информации с целью защиты конечных пользователей от различных методов информационного воздействия, несанкционированного доступа и разглашения личной информации. И здесь, как и во многих научных областях, нелинейная динамика играет существенную роль. Нелинейно-динамические эффекты часто проявляются в предложенных моделях. Моделирование процесса распространения вредоносных программ как динамической системы, изучение свойств модели и их зависимости от различных факторов позволяют найти и устранить многие уязвимости компьютерных сетей в ходе эксперимента, изучить основные методы проникновения вирусов и их поведение в сети, разработать методы противодействия и защиты от них. Модели нелинейных динамических систем также применимы к разработке новых алгоритмов обработки информации. В данной работе моделируется нелинейная динамическая система на основе математического бильярда, задаваемая дискретным отображением с хаотическими свойствами, позволяющая кодировать числовые последовательности. В качестве примера рассматривается реализация данной модели в программном обеспечении.

Важность и актуальность исследований, проводимых в рамках диссертационной работы, обоснованы решением актуальной задачи поиска новых свойств и закономерностей дискретных отображений, разработки методов противодействия вредоносным программам на основе математического моделирования, а также разработкой соответствующего этим задачам прикладного программного обеспечения.

Объект и предмет исследования

Объектом исследования являются модели нелинейных динамических систем. Предметом - проявляющиеся в них свойства и характерные закономерности теоретического и прикладного характера.

Целью работы является выявление новых свойств моделей нелинейных динамических систем и построение новых моделей на основе дискретных отображений, разработка математической модели распространения компьютерных вирусов в сети и комплекса программ для исследования свойств данной модели и проведения экспериментов, а также разработка и практическое применение нового алгоритма обработки информации на основе модели нелинейной динамической системы.

Для достижения поставленной цели потребовалось решение следующих задач:

1) исследование дискретных отображений и моделей нелинейных динамических систем, выявление новых свойств и закономерностей при помощи существующих и разработанных автором оригинальных программных продуктов;

2) разработка математической модели распространения вредоносных программ в компьютерной сети, учитывающей особенности участия конечных пользователей в процессе; программная реализация модели;

3) разработка комплекса программ для проведения вычислительных экспериментов и анализа получаемых данных;

4) сравнение экспериментальных данных с модельными расчетами, выявление соответствий в полученных результатах;

5) разработка алгоритмов обработки информации и программного обеспечения, методик их практического использования.

Научная новизна:

- получены новые свойства дискретных отображений, связанные с бифуркационными значениями параметров и теорией числовых последовательностей;

- приведен способ параметрического кинематико-геометрического представления логистического отображения;

- разработана новая математическая модель распространения вредоносного программного обеспечения в компьютерной сети и комплекс программ для проведения экспериментов, изучения свойств полученной модели и других моделей динамических систем, задаваемых дискретными отображениями;

- предложены новые алгоритмы обработки информации на основе дискретной модели математического бильярда.

На защиту выносятся следующие основные положения:

1. Новые свойства дискретных отображений, связанные с бифуркационными значениями параметров и теорией числовых последовательностей; предложено отображение jc„+i = a-cos(7o:„), обобщающее логистическое отображение, которое является частным случаем предложенного.

2. Математическая модель распространения вредоносного программного обеспечения в компьютерной сети и комплекс программ для проведения экспериментов, изучения свойств полученной модели и других моделей динамических систем.

3. Алгоритмы обработки информации на основе дискретной модели математического бильярда и их реализация.

Достоверность основных положений и результатов

Научные результаты диссертационной работы получены на основании достоверных знаний в области моделирования нелинейных динамических систем и использования строгого математического аппарата. Полученные результаты подтверждены вычислительными экспериментами, практическим применением разработанных математических моделей и программных продуктов, а также проверены сравнением с результатами расчетов для некоторых моделей, приведенными в научных работах других авторов.

Практическая ценность результатов работы

Разработанная модель и программное обеспечение позволяют произвести тестирование локальной сети на предмет антивирусной безопасности, а также выявить особенности и получить приближенные значения параметров различных динамических систем, задаваемых дискретными отображениями, на этапе предварительного графического построения, что позволяет сэкономить время работы алгоритмов, зависящих от выбора начальных условий в более точных численных расчетах.

Внедрение научных результатов

Предложенные модели и алгоритмы были внедрены в производственный процесс филиала ООО «Аптека-Холдинг 1» в г. Воронеже, что подтверждается соответствующим актом внедрения.

Апробация работы

Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на следующих Всероссийских и Международных конференциях:

Международная школа-семинар «Современные проблемы механики и прикладной математики», Московский государственный университет, Воронежский государственный университет, Воронежская государственная технологическая академия, 2005 год;

Ежегодная научно-практическая конференция докторантов, аспирантов и преподавателей межфакультетских кафедр», Елецкий государственный университет им. И.А. Бунина, 2008 год;

Международная научно-практическая конференция», Российский университет дружбы народов, инжиниринговая компания «Тесис», 2009 год;

XLV юбилейная Всероссийская конференция по проблемам математики, информатики, физики и химии», Российский университет дружбы народов, 2009 год.

Научная сессия Воронежского государственного университета», 2009 год.

Публикации

По теме диссертации опубликовано 10 научных работ и 5 тезисов докладов конференций.

Личный вклад автора заключается в следующем:

1) диссертационная работа выполнена автором самостоятельно;

2) автор лично разработал оригинальное программное обеспечение для реализации собственных и предложенных соавторами алгоритмов в пунктах [14, 15, 58];

3) самостоятельно разработал алгоритм обработки информации на основе дискретной модели математического бильярда с учетом предложений соавторов [79, 80];

4) под руководством научного руководителя проявил непосредственное участие в постановке задач и проведении математических расчетов для их решения [58-60];

5) разработал математическую модель распространения вредоносных программ в дискретном представлении, наиболее активно участвовал в исследовании известных и выявлении новых свойств дискретных отображений, их практическом применении [18, 57, 79, 80];

6) автор участвовал в исследовании взаимосвязи моделей природных объектов с делением в крайнем и среднем отношении (золотой пропорцией), проявления самоподобия и фрактальных свойств природных объектов, дискретных отображений, графических данных [18,19, 53,57];

7) в пунктах [55, 76] наравне с другими соавторами участвовал в сборах материалов по теме и изучении свойств исследуемых моделей;

8) провел часть математических расчетов в специализированных программных пакетах, участвовал в разработке графического анимационного представления получаемых данных [18, 59, 60, 86];

9) автором также самостоятельно разработан комплекс программ, моделирующий процесс распространения компьютерных вирусов в локальной сети. Наряду с макетами вирусов в комплекс входят программы для отслеживания их распространения в процессе эксперимента, графического представления результатов. Несколько программ направлены на исследование свойств дискретных отображений и числовых последовательностей, порождаемых различными отображениями.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Таким образом, кинематико-геометрический подход оказался весьма эффективным во многих вопросах, рассматриваемых в работе. В итоге были получены следующие основные результаты:

1. На основании математических расчетов в разработанном комплексе программ и дополнительных программных пакетах получены новые свойства дискретных отображений (в том числе логистического), связанные с бифуркационными значениями параметров и теорией числовых последовательностей.

2. Разработаны математическая модель распространения вредоносного программного обеспечения в компьютерной сети и комплекс программ для проведения экспериментов, изучения свойств полученной модели и других моделей динамических систем, отличающийся удобством и наглядным представлением результатов расчетов, высокой точностью численного анализа исследуемых моделей, возможностью расширения функциональности благодаря открытому исходному коду.

3. Предложен алгоритм обработки информации на основе дискретной модели математического бильярда, реализованный в отдельном программном продукте.

Рассмотренные в работе модели могут широко применяться в практической деятельности. В компьютерных сетях различных предприятий проблема вредоносных программ часто является одной из самых важных проблем, т.к. всё более изощренные способы проникновения делают уязвимыми даже самые защищенные компьютеры. Известная компания «Лаборатория Касперского», предоставляющая эффективные антивирусные продукты, приводит на своем официальном сайте www.kaspersky.ru перечень наиболее опасных вредоносных программ, обнаруженных за последнее время. Среди самых распространенных способов проникновения на компьютер приводятся: подбор паролей к сетевым ресурсам, распространение через внешние носители, использование уязвимостей операционной системы. Регулярное обновление компонентов операционной системы и антивирусных программ в большинстве случаев позволяет избежать заражения, тем не менее, новые вирусы успевают вызвать целые эпидемии до того момента, как окажутся в антивирусных базах данных. Например, эпидемия сетевого червя Kido, который по оценкам экспертов, успел заразить около пяти миллионов компьютеров по всему миру. Kido ежедневно обновлял свои версии с огромного количества серверов и в то же время блокировал обновление защитных компонентов операционной системы, отключал службы безопасности, блокировал доступ к списку сетевых ресурсов, среди которых присутствовали сайты антивирусных компаний. Данный вирус загружал ещё несколько вредоносных программ, которые использовали компьютер в своих целях. Среди них — почтовый червь Iksmas, использующий адресные книги, хранящиеся на компьютере, для дальнейшей рассылки своих копий. Как показывает практика, вирус Kido присутствует на многих компьютерах до сих пор, несмотря на множество уже известных способов борьбы с ним, что говорит о необходимости обучения пользователей хотя бы базовым методам защиты своих компьютеров. Неосведомленностью пользователей по всему миру стали злоупотреблять и создатели «лжеантивирусов» или, так называемых, FraudTool-ов, которые за деньги предлагают услуги поиска и уничтожения вирусов. При этом никаких действий по уничтожению программой не производится. Интересным вирусом является Net-Worm.Linux.PsybOt.a. Эта вредоносная программа заражает сетевое оборудование. Для захвата уязвимого маршрутизатора или DSL-модема червь использует bruteforce-атаки, основанные на переборе популярных связок «логин—пароль», и эксплуатацию уязвимостей в программном обеспечении. С помощью небольшого словаря популярных логинов и паролей злоумышленники получили доступ к десяткам тысяч маршрутизаторов. Это говорит о том, что большинство пользователей либо никогда не меняли пароль по умолчанию, либо вводили очень простые пароли.

По мнению экспертов, существующие методы распространения вредоносных программ ещё не являются достаточно совершенными, и существует угроза появления более эффективного вредоносного кода. Таким образом, разработанная модель и комплекс программ требуют постоянной доработки, что и планируется делать в дальнейшем.

1. Адерсон, Дж. А. Дискретная математика и комбинаторика Текст. : Пер. с англ. / Джеймс А. Адерсон. - М.-СПб.-Киев: Издательский дом "Вильяме", 2003. - 960 с.

2. Анищенко, В. С. Нелинейная динамика хаотических и стохастических систем. Фундаментальные основы и избранные проблемы Текст. / B.C. Анищенко, Т. Е. Вадивасова, В. В. Астахов ; под ред. В. С. Анищенко. — Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1999. — 368 с.

3. Бахвалов, Н. С. Численные методы. Анализ, алгебра, обыкновенные дифференциальные уравнения Текст. / Н. С. Бахвалов. -М.: Наука, 1975.-632 с.

4. Бахвалов, Н. С. Численные методы Текст. : учеб. пособие для вузов / Н. С. Бахвалов, Н. П. Жидков, Г. М. Кобельков. -М.: Наука, 1987. 600 с.

5. Бейли, Н. Т. Дж. Математическая теория эпидемий Текст. / Н. Т. Дж. Бейли. -Хафнер.: 1957.

6. Белых, В. Н. Элементарное введение в качественную теорию и теорию бифуркаций динамических систем Текст. / В. Н. Белых. -Соросовский Образовательный Журнал.: 1997. № 1. С. 115 121.

7. Бордовский, Г. А. Физические основы математического моделирования Текст. / Г. А. Бордовский, А. С. Кондратьев, А. Д. Р. Чоудери. М. : Издательский центр «Академия», 2005. - 320 с.

8. Бронштейн, Е. М. Новое о квадратном трехчлене Текст. / Е. М. Бронштейн / Соровский образовательный журнал.: 1999. - № 9. -С. 123-127.

9. Бронштейн, И. Н. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов Текст. / И. Н. Бронштейн, К. А. Семендяев. М.: Наука, 1980. - 986 с.

10. Бухгольц, Н. Н. Основной курс теоретической механики. 4.1. Текст. / Н. Н. Бухгольц. М.: Наука, 1972. - 468 с.

11. Вильке, В. Г. Теоретическая механика Текст. : Учебник. 2-е изд., перераб. и доп. / В. Г. Вильке. - М.: Изд - во МГУ, 1998. - 272 с.

12. Вирт, Н. Систематическое программирование Текст. / Н. Вирт. -М.: Мир, 1977.-С. 94-164.

13. Воронков, Б. Н. Методическое пособие по разработке средств защиты информации в вычислительных сетях Текст. / Б. Н. Воронков, В. И. Тупота. — Воронеж: Воронежский государственный университет, 2000.

14. Вул, Е. Б. Универсальность Фейгенбаума и термодинамический формализм Текст. / Е. Б. Вул, Я. Г. Синай, К. М. Ханин. Успехи мат. наук. 1984, т. 39, вып. 3(237). С. 1-37.

15. Выгодский, М. Я. Справочник по высшей математике Текст. / М. Я. Выгодский. М.: Наука, 1966. - 872 с.

16. Глазков, А. В. Моделирование процесса распознавания образов на основе нейросетей Текст. / А. В. Глазков, А. В. Крутов, Д. В. Семенюта / Информация и безопасность. ВГТУ, Межд. ин-т копм. технологий. Воронеж, 2009, вып. 2. - С. 207-216.

17. Гулд, X. Математическое моделирование в физике Текст.: в 2-х частях. Пер. с анг. / X. Гулд, Я. Тобочник. М.: Мир, 1991.

18. Дарахвелидзе, П. Г. Программирование в Delphi 5 Текст. / П. Г. Дарахвелидзе, Е. П. Макаров, О. А. Котенок. СПб. : БХВ - Санкт-Петербург, 2000. - 784 с.

19. Дейкстра, Э. Структурное программирование Текст. / Э. Дейкстра, У. Дал, К. Хоор. М.: Мир, 1975. - С. 24-97.

20. Жалнин, А. Ю. О возможности реализации в физической системе странного нехаотического аттрактора Ханта и Отта Текст. /

21. A. Ю. Жалнин, С. П. Кузнецов. Журнал технической физики, 2007, том 77, вып. 4. - С. 10-1

22. Журавлев, В. Ф. Прикладные методы в теории колебаний Текст. /

23. B. Ф. Журавлев, Д. М. Климов. М.: Наука. 1988. - 326 с.

24. Журавлев, В. Ф. Исследование нелинейных колебаний составного маятника Текст. / В. Ф. Журавлев. Изв. РАН. МТТ. № 3. 1996. С. 160-166.

25. Журавлев, В. Ф. Основы теоретической механики Текст. / В. Ф. Журавлев. М. : Наука. Физматлит, 1997. - 320 с.

26. Зарубин, В. С. Математическое моделирование в технике Текст.: Учеб. для вузов / Под ред. В. С. Зарубина, А. П. Крищенко. 2-е изд., стереотип. М. : Изд-во МВТУ им. Н.Э. Баумана, 2003. - 496 с.

27. Зельдович, Я. Б. Строение и эволюция Вселенной Текст. / Я. Б. Зельдович, И. Д. Новиков. М. : Наука, 1975. - 735 с.

28. Иванов, Д. Ю. Критическое поведение неидеализированных систем Текст. / Д. Ю. Иванов. М. : ФИЗМАТЛИТ, 2003. - 248 с.

29. Камке, Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям Текст. / Э. Камке. М.: Наука, 1976. - 576 с.

30. Коробко, В. И. Золотое сечение и проблемы гармонии систем Текст. / В. И. Коробко. М. : Издательство Ассоциации строительных вузов стран СНГ, 1998. - 373 с.

31. Короновский, А. А. Изменение зависимости длительности переходных процессов от начальных условий в системах с дискретным временем Текст. / А. А. Короновский, А. Е. Храмов. — Письма в ЖТФ, 2002, том. 28, вып. 15. С. 61-68.

32. Корт, С. С. Методы обнаружения нарушителя Электронный ресурс. / С. С. Корт. Режим доступа: http://www.ssl.stu.neva.ru/sa m/IDS%20Methods.htm.

33. Кривошапко, С. Н. Геометрия и прочность торсовых оболочек Текст. : Реферативная информация / С. Н. Кривошапко. — М.: Изд-во АСВ, 1995.-273 с.

34. Крутов, А. В. Геометрические аспекты задач небесной механики и космического полета Текст. / А. В. Крутов // Информационные технологии и системы. Науч. Изд. — Вып. 4. — Воронеж. Гос. Технол. Акад. Воронеж, 2001. - С. 172-178.

35. Крутов, А. В. Некоторые свойства конических сечений Текст. / А. В. Крутов // Современные методы в теории краевых задач "Понтрягинские чтения XII" Тезисы докладов. - Воронеж, ВГУ, 2001. -С. 187-188.

36. Крутов, А. В. Геометрические модели на основе гармонической пропорции Текст. / А. В. Крутов // Математические модели и операторные уравнения. Т. 2. Воронеж: Воронеж, ун-т, 2003. - С. 90-93.

37. Крутов, А. В. Интегрирование функций и его геометрико-кинематическая трактовка Текст. / А. В. Крутов // Понтрягинские чтения VIII. Тезисы докладов. - Воронеж, ВГУ, 1997. - 204 с.

38. Крутов, А. В. Кинематико-геометрическое моделирование в задачах механики и прикладной математики Текст. : дис. . док. физ.-мат. наук. Воронеж, 2003. - 465 с.

39. Крутов, А. В. Классификация и уравнения кривых Текст. / А. В. Крутов. Веста. ВГУ. Сер. 2, Естественные науки. 1996. № 2. С. 210-217.

40. Крутов, А. В. Линии раздела кривых-контуров формуемых заготовок Текст. / А. В. Крутов / Информационные технологии и системы. Науч. Изд. -Вып. 4. Воронеж. Гос. Технол. Акад. -Воронеж, 2001. — С. 161-166.

41. Крутов, А. В. Механизм сложения гармонических зависимостей Текст. / А. В. Крутов. — Известия вузов. Машиностроение. 2002. № 4. С. 75-80.

42. Крутов, А. В. Некоторые прикладные задачи: геометрико-кинематические модели Текст. / А. В. Крутов. — М.: Изд-во РУДН, 2001. 252 с.

43. Крутов, А. В. Некоторые свойства конических сечений Текст. / А. В. Крутов // Современные методы в теории краевых задач "Понтрягинские чтения XII" Тезисы докладов. - Воронеж, ВГУ, 2001. -С. 187-188.

44. Крутов, А. В. О движении, определяемом центроидно-траекторными парами Текст. / А. В. Крутов. — Известия вузов. Машиностроение, 2001. № 2-3, С. 3-6.

45. Крутов, А. В. Об одном подходе к описанию программных движений Текст. / А. В. Крутов / Воронеж, ун-т. — Воронеж, 1987.- 61 с.

46. Крутов, А. В. Формирование и реализация одного программного движения Текст. / А. В. Крутов / Воронеж, ун-т. Воронеж, 1986.- 52 с.

47. Крутов, А. В. Характеристическое уравнение кривых и вынужденные колебания Текст. / А. В. Крутов, В. В. Сысоев // Проблемы механики и управления. Нелинейные динамические системы: Межвуз. сб. науч. тр. Перм. ун-т. Вып. 33. Пермь, 2001. - С. 11-26.

48. Крутов, А. В. Эволюционный подход в интегрировании Текст. / А.В. Крутов // Вестник факультета прикладной математики и механики: Вып. 1. Воронеж: ВГУ, 1998. - 177 с.

49. Крутов, А. В. Параметрическое представление и свойства логистических отображений, аспекты теории чисел Текст. /

50. A. В. Крутов // Вестник физико-математического факультета Елецкого государственного университета. Елец: Елецкий, гос. ун-т им. И. А. Бунина, 2007.-С. 211-221.

51. Крутов, А. В. Перспективы применения квантовых моделей вычислений и компьютеров Текст. / А. В. Крутов, Д. В. Семенюта,

52. B. И. Тасенко // "Инженерные системы 2009": Международная научно-практическая конференция: Тезисы докладов. Москва, 6-9 апреля 2009 г. -М.: РУДН, 2009.-С. 64-65.

53. Крутов, А. В. Программирование движения твердого тела, определяемого аксоидами, на основе обратной задачи динамики Текст. / А. В. Крутов // Воронеж, ун-т. Воронеж, 1988. - 27 с.

54. Крутов, А. В. Некоторые новые свойства логистических отображений нелинейной динамики Текст. / А. В. Крутов,

55. B. И. Тасенко, Д. В. Семенюта // "Инженерные системы 2009": Международная научно-практическая конференция: Тезисы докладов. Москва, 6-9 апреля 2009 г. - М.: РУДН, 2009. - С. 65-66.

56. Крутов, А. В. Геометрическая модель интегрирования Текст. / А. В. Крутов, Д.Ю.Гребенников, Д. В. Семенюта и др.//Вестник Елецкого госуниверситета им. И. А. Бунина. Вып. 8. Елец: ЕГУ им. И. А. Бунина, 2006. - С. 392-400.

57. Кузнецов, С. П. Динамический хаос: Курс лекций Текст. : Учеб. пособие для студ. вузов, обуч. по физич. специальностям /

58. C. П. Кузнецов. М. : Физматлит, 2001. - 295 с.

59. Кузовлев, В. П. Физическое моделирование. Эксперимент. Лабораторные работы Текст. / В. П. Кузовлев, Т. М. Боброва, Л. Н. Ипполитова, Е. Г. Киселев, А. В. Крутов, В. В. Токарев. Елец: Изд-во Елецкого госуниверситета им. И.А. Бунина, 2008. - 91 с.

60. Леонов, Г. А. Странные аттракторы и классическая теория устойчивости движения Текст. / Г. А. Леонов. СПб. : Изд-во С.-Петербургского ун-та, 2004. - 144 с.

61. Лоскутов, А. Ю. Введение в синергетику Текст. / А. Ю. Лоскутов, А. С. Михайлов. М.: Наука, 1990. - 272 с.

62. Магницкий, Н. А. Новые методы хаотической динамики Текст. / Н. А. Магницкий, С. В. Сидоров. М.: Едиториал УРСС, 2004. 320 с.

63. Майерс, Г. Надежность программного обеспечения Текст. / Г. Майерс. М.: Мир, 1980. - С. 127-154.

64. Макаров, П. В. Нагружаемый материал как нелинейная динамическая система. Проблемы моделирования Текст. / П. В. Макаров / Физическая мезомеханика. 2005. - Т. 8. № 6. - С. 39-56.

65. Макконнелл, С. Совершенный код Текст. / С. Макконнелл. -Питер, 2005.-874 стр.

66. Малинецкий, Г. Г. Хаос. Структуры. Вычислительный эксперимент. Введение в нелинейную динамику Текст. / Г. Г. Малинецкий. М.: УРСС, 2000. - 256 с.

67. Неймарк, Ю. И. Метод точечных отображений в теории нелинейных колебаний Текст. / Ю. И. Неймарк. — М.: Наука, 1972. — 472 с.

68. Неймарк, Ю. И. Стохастические и хаотические колебания Текст. / Ю. И. Неймарк, П. С. Ланда. М.: Наука, 1987. - 424 с.

69. Полезная информация. Протоколы локальных сетей. Электронный ресурс. — Режим доступа: http://www.hub.rn/archives/2026.1. Загл. с экрана.

70. Пригожин,И. Конец определенности. Время, хаос, и новые законы природы Текст. / И. Пригожин. Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика». - 2000. - 208 с.

71. Роберте, Ф. С. Дискретные математические модели с приложениями к социальным, биологическим и экологическим задачам Текст. / Ф. С. Роберте. -М. : Наука, 1986. 496 с.

72. Савелов, А. А. Плоские кривые: Систематика, свойства, применение. (Справочное руководство) Текст. / А. А. Савелов. — М. : Физматгиз, 1960. -293 с.

73. Самарский, А. А. Математическое моделирование: Идеи. Методы. Примеры. — 2-е изд., испр. Текст. / А. А. Самарский, А. П. Михайлов. М. : Физматлит, 2002. - 320 с.

74. Семенюта, Д. В. Применение моделей динамических систем в задачах защиты информации Текст. / Д. В. Семенюта, А. В. Крутов, А. В. Глазков // Информация и безопасность. ВГТУ, Межд. ин-т копм. технологий. — Воронеж, 2009, вып. 2. — С. 277-280.

75. Симо, К. Современные проблемы хаоса и нелинейности Текст. / К. Симо, С. Смейл, А. Шенсине и др. Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002. - 304 с.

76. Синай, Я. Г. Теория фазовых переходов. Строгие результаты Текст. / Я. Г. Синай. М.: Наука, 1980. - 208 с.

77. Справочное руководство по небесной механике и астродинамике Текст. / В. К. Абалакин, Е.П.Аксенов, Ю.А. Рябов и др. Под ред. Г. Н. Дубошина. 2-е изд. М. : Мир, 1974. - 597 с.

78. Тарасевич, Ю. Ю. Математическое и компьютерное моделирование. Вводный курс: Учеб. пособ. Изд-е 3-е, испр. Текст. / Ю. Ю. Тарасевич. -М.: Едиториал УРСС, 2003. 144 с.

79. Тасенко, В. И. Моделирование и исследование течения нефтеподобных сред с магнитными включениями Текст. / В. И. Тасенко, А. В. Крутов, Д. В. Семенюта // Вестник Воронежского гос. техн. ун-та. Воронеж, 2009. - Т. 5. - № 5. - С. 70-75.

80. Филиппов, А. Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям / Филиппов А.Ф. М.: Наука, 1970. - 96 с.

81. Четверушкин, Б. Н. Математическое моделирование задач динамики излучающего газа / Б. Н. Четверушкин. — М.: Наука, 1985. — 304 с.

82. Шустер, Г. Детерминированный хаос. Текст. / Г. Шустер. М.: Мир, 1988.-250 с.

83. Энциклопедия элементарной математики. Книга пятая -Геометрия. М.: Наука, 1966. — 624 с.

84. Andrea diSessa Orbit: A mini-environment for exploring orbital mechanics. In: Computers in Education Text. / Andrea diSessa ; eds. O. Lecarme, R. Lewis. North-Holland, 1975.-359 p.

85. Bartoli, F. Structure and self-similarity in silty and sandy soils: the fractal approach Text. / F. Bartoli, R. Phillipy, M. Doirisse and others. -J. Soil Sci., 1991, V. 42, P. 167-185.

86. Ellner, S., Turchin P. Chaos in a noisy world: new methods and evidence from time-series analysis Text. // Amer. Nat., 1995, V. 145, P. 343-375.

87. Feigenbaum, M. J. Quantitative universality for a class of nonlinear transformation Text. / M. J. Feigenbaum // Journal of Statistical Physics, 1978, V. 19, № 1, P. 25-52.

88. Feigenbaum, M. J. Universal Behavior in Nonlinear Systems Text. / M. J. Feigenbaum // Los Alamos Sci. 1980. Vol. 1, №. 1. P. 4-27.

89. Florentin Smarandache Only Problems, not solutions! Text. / ISBN 1-879585-00-6. Phoenix * Chicago © Xiquan Publising House, 1993 (fouth edition).

90. Godfray, H. C. J. The continuing quest for chaos Text. / H. C. J. Godfray, B.T. Grenfell // Trends Ecol. Evol., 1993, V. 8, P. 43-44.

91. Grassberger, P. Generalized dimensions of strange attractors Text. / P. Grassberger//Phys. Lett., 1983, V. A97, P. 227-230.

92. Harold Abelson Velosity Space and the Geometry of Planetary Orbits Text. / Harold Abelson, Andrea diSessa, Lee Rudolph // Am. J. Phys., 43, 579. 1975.

93. Hastings, A., Horn C.L., Ellner S., Turchin P., Godfray H.C.J. Chaos in ecology: is mother nature a strange attractor? Text. // Ann. Rev. Ecol. Syst., 1993, V. 34, P. 1-33.

94. Henon, M. A two-dimensional mapping with a strange attractor Text. / M. Henon // Commun. Math. Phys. 1976. V. 50. P. 69-77.

95. Hentschel, H. G. E. The infinite number of generalized dimensions of fractals and strange attractors Text. / H. G. E. Hentschel, I. Procaccia // Physica, 1983, V. D8, P. 435-444.

96. Krivoshapko, S. N. Static analysis of shells with developable middle surfaces. Text. / S. N. Krivoshapko / (Transmitted by Associate Editors W Bewel and JG Simmons. ASME Reprint No AMR271$16). Appl. Mech. Rev. vol. 52, No 5, May, 1999. Pp. 731-746.

97. Krutov, A. Einige Begriffe und Wechselbeziungen in der kinematischen Geometrie. Beitrage zur Algebra und Geometrie. Text. / A. Krutov-Halle, 1990, 31, 87-102.

98. Kuznetsov, Y. A. Elements of Applied Bifurcation Theory Text. / Yuri A. Kuznetsov. 2nd ed. Springer-Verlag: New York, Inc.: vol. 112, 1998. - 591 p.

99. PSEUDOCODE STANDARD Electronic resource. — Режим доступа: http://users.csc.calpoly.ediV~jdalbey/SWE/pdlstd.html.—Загл. с экрана.

100. Ulam, S. M. On combination of stochastic and detexrninistic processes Text. / S. M. Ulam, von J. Neumann // Bull. Amer. Math. Soc. 1947. V. 53, № 11. P. 1120.

101. Verhulst, P. F. Notice sur la loi que la population suit dans son accroissement Text. /P. F. Verhulst// Com Math. atPhys., 1838, V.10,P.l 13-121.

102. Weaver, N. Warhol Worms: The Potential for Very Fast Internet Plagues Electronic resource. — Режим доступа: http ://www. cs .berkeley. edu/~n weaver/warhol.html

103. Williamson, M. W. and Leveille, J. «An epidemiological model of virus spread and cleanup» HPL-2003-39 Electronic resource. — Режим доступа: http://www.hpl.hp.com/techreports/2003/HPL-2003-39.pdf

104. Woods, F. S. Higher Geometry, Dover Publ., New York, 1961, pp. 120-137.