автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Методы определения параметров многоэкспонентных кривых в данных физического эксперимента

. ' ' Санкт - Петербургский государственный университет

На правах рукописи

Тайбнн Борис Залмановнч

МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ МНОГОЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫХ КРИВЫХ В ДАННЫХ ФИЗИЧЕСКОГО ЭКСПЕРИМЕНТА.

специальность: 05.13.16 - применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных

исследованиях.

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико - математических наук

Санкт-Петербург - 1995

Работа подготовлена на первой кафедре общей физики физического факультета Санкт - Петербургского государственного университета.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор П.Н.Зашеин

доктор физико-математических наук С.И.Виницкий

Ведущая организация — Институт лазерной физики при Всероссийском Научном Центре "Государственный Оптический Институт им. С.И .Вавилова".

Защита диссертации состоится " ^ " 1996 года

в ^ ^часов на заседании диссертационного совета Д 047.01.04 при лаборатории вычислительной техники и автоматизации Объединённого института ядерных исследований по адресу: 141980, г. Дубна Московской области.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ОИЯИ. Автореферат разослан " * 1996 года.

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат физико - математических наук

З.М. Иванченко

Общая характеристика работы.

Актуальность темы работы. Во многих разделах физики сталкиваемся с проблемой анализа сложных кривых, получаемых в процессе установления некоторого равновесного состояния через определенные промежутки времени. Например, в задачах ядерного магнитного резонанса подлежит определению время продольной и поперечной релаксации, в задачах химической кинетики ищется время индикации нового равновесного состояния. В задачах ядерного распада и спектроскопических явлениях пристальное внимание уделяется процессам релаксации возбужденных ансамблей атомов, при этом особый интерес представляет нахождение средней продолжительности жизни процесса или просто "времени жизни", т.е. времени изменения интенсивности в е раз. Активация системы некоторым внешним возмущением с последующим выходом регистрируемой величины на стационарное состояние является общим принципом релаксационных явлений и характеризуется представлением экспериментального сигнала 5(<) совокупностью экспоненциально изменяющихся процессов вида:

S(t) = £ Nmexp(-t/rm) = £ Nmexp(-jmt),

m=l m=l

где предэкспоненциальный множитель Nm отражает интенсивность процесса в начальный момент времени наблюдения, тт — "время жизни" процесса перехода с одного энергетического уровня на другой, и, связанная с этим временем, обратная величина 7Щ — затухание процесса за время перехода.

Такая форма аппроксимации релаксационных кривых и приводит к необходимости разработки способов определения нелинейных параметров -показателей экспонент 7га и интенсивностей Nm, а также числа М — количества экспоненциальных процессов. Реализация этих способов тесно связана с задачей минимизации функций многих переменных на основе ранее созданных различными авторами методов нелинейного программирования разной степени сложности.

Цель настоящей работы заключается в разработке новых методов определения параметров многоэкспоненциальных кривых релаксации в данных наблюдений с привлечением численного моделирования затухающих процессов при наличии шумов.

Научная новизна и значимость работы определяется тем, что в ней впервые:

— для обработки многоэкспоненциальных кривых релаксации на основании энергетических соображений установлена связь между полосой частот

и шагом наблюдений, позволяющая выбрать оптимальный шаг и допустимое число отсчетов;

— исследованы вопросы экспоненциальной фильтрации данных измерений с выбором интервала экспоненциального сглаживания с помощью энергетических соображений;

— предложены фильтрующие сита для определения параметров 2-х и 3-х зкепонецнальных процессов, для которых даны геометрические образы;

— разработаны геометрические методы: метод скользящих касательных и его модификация с помощью дополнительных весовых множителей Лагранжа, метод подсвечивания для уменьшения влияния субъективных оценок наблюдений при обработке с конца кривой релаксации;

— созданы аналитические методы: метод комплексных составляющих преобразования Фурье, метод разностных уравнений, метод дробно - рациональной аппроксимации, метод на основе Ъ - преобразования, ХР - метод;

— предложена оценка интегрального преобразования Фурье при наличии шумов, а также построена оценка для линейного интегрального преобразования во временной области в зависимости от корреляционной функции помехи;

Эти основные положения и выносятся на защиту.

Практическая значимость работы заключается в том, что развитые в ней методы определения нелинейных параметров - показателей экспонент доведены до конкретных рабочих программ и могут быть использованы для широкого круга исследований в разных областях науки.

Структура работы. Работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка цитируемой литературы 52 наименований; она содержит 121 страницу текста, включая 11 рисунков, оглавление и список литературы.

Апробация работы и публикации. Два метода по теме работы опубликованы в журнале "Опт. и спектр.",1992, Т.73, Вып.2, с.253-268, еще один метод - в журнале "Вестн. Санкт-Петербург, ун.-та", 1993, Сер. 4, Вып. 1 (Ы 4), с.87-90. Пять материалов работы, связанных с методом рекуррентных соотношений, получившим в работе дальнейшее развитие, включены в 1976-1978 годы в Государственный фонд алгоритмов и программ СССР. Ряд методов определения параметров релаксации содержится в учебном по-' собии, СПбУ, 1994. 104 с.

Содержание работы.

Во введении сформулированы основные задачи работы, дал обзор литературы по опубликованным работам последних десятилетий и очень давним работам из области определения нелинейных параметров - показателей экспонент. Сначала объясняется появление процессов с экспоненциальным изменением наблюдаемой величины, когда скорость ее изменений пропорциональна самой величине и решение возникающего дифференциального уравнения описывается двумя параметрами: F(x) = Аехр(7ж) , где А отражает интенсивность процесса, а 7 в зависимости от знака указывает либо на экспоненциальное затухание процесса (7 < 0), либо на экспоненциальный рост (7 > 0). Для процессов, обладающих синим уровнем насыщения, вместо вышеприведенной функции F(x) вводится понятие модифицированной экспоненты: F(x) = С + Лехр(7г), характеризуемой уже тремя параметрами и применяемой в различных областях физики, в которых наблюдается выход процесса затухания или возрастания на некоторый асимптотический уровень. Tax, например, в методе обратного рассеяния света при посылке короткого оптического импульса в волоконный световод встречаемся с задачей нахождения показателя экспоненты 7, определяющего затухание сигнала при распространения света вдоль волокна и предельного значения С, а также амплитуды А, связанных с энергетикой процесса. Следующим обобщением является появление процессов, обладающих двумя уровнями насыщения с разной степенью устойчивости. Эти процессы наблюдаются тогда, когда скорость изменения некоторой регистрируемой величины изменяется параболически, сначала нарастая до максимального значения В, а затем убывая до минимальной величины F(0). В этом случае для функции F(x) имеем запись:

F[x) = BF(0)¡ {F(0) + [В - F(0)] exp(-7*)} .

Использование этой логистической функции в данной работе объясняется ее свойствами усиления сигнала на участке наклона и ослаблением помех, особенно в высокочастотной части их спектра. Фильтрующие ее свойства следуют из характера изменения спектра логистической функции, убывающего по закону ы~п (п = 2,3,...), где ы — круговая частота. Замена логистической функции F(x) на участке от х(пер.) — 2/7 до х(пср.) + 2/7 прямой линией, проходящей через точку перегиба х(пер.) с тангенсом угла наклона прямой, равным значению первой производной в этой точке, приводит к появлению в спектре такой ступенчатой функции иного характера убывания спектра, пропорционального ш~2.

Переход к представлению экспериментальных данных в виде линейной комбинации некоторого числа экспонент приводит к задаче нахождения числа экспонент, их показателей 7та и предэкспоненциальных множителей Nm.

Для метода Прони, существующего уже 200 лет, впервые предложена его геометрическая интерпретация для случая двух и трех экспонент, изучены его асимптотические свойства при изменении числа слагаемых в сумме М. Этот факт выхода значений мультипликаторов Хт = ехр{~7тг} (г — шаг) на уровень насыщения при изменении М ранее не отмечался. Метод Прони является точным, не зависит от выбора начального приближения, он работает за одну стадию вычислений, стремясь приблизить кривую в каждой точке. Этот метод также мало чувствителен к отбрасыванию хвоста кривой, т.е. нет необходимости в полном затухании процесса при больших значениях аргумента, что становится сущгственным в методе Паде -Лапласа и гР - методе.

В последних методах аппроксимация Паде строится относительно точки г0) принимающей для метода Прони бесконечное значение. ХР- метод основан на сочетании Е- преобразования дискретного множества значений сигнала

ВД = *•(*) = £ Я/**

и аппроксимации Паде порядка [Ь/М] функции ^Хг) относительно точки г0 рациональной функцией: ^(г) — где Рь(.г),<2м(.г) — мно-

гочлены степени Ь и М соответственно = 1), ряд Тейлора которой

в этой точке совпадает с рядом Тейлора исходной функции -Р(г). Порядок многочлена (2м{г) равен числу экспонент М. Выбор Ъ преобразования обусловлен тем,что оно для экспоненциальных функций является точным. Схема действии в методе ЪР включает в себя вычисление функции на основании £ преобразования в точке х0 и ее производных в этой же точке последовательно нарастающих порядков до 2М - 1 включительно. С помощью значений функции и ее производных осуществляется аппроксимация Паде порядка \М — 1/М] относительно точки г„. Коэффициенты этой аппроксимации находятся линейным образом, затем определяются нули ит функции <Эм(г), на основании которых и приходим к условию для нахождения затуханий процессов ут: ит + г0 — ехр(-утт) = .

Предэкспоненциальные множители находятся по методу наименьших квадратов (МНК) из решения системы линейных уравнении М- го порядка. Проверка работоспособности этого метода, а также других, рассматриваемых в работе, осуществлялась при мультипликативном характере шума,

в

т.е. когда значение регистрируемой величины U(t) связано с величиной невозмушенного сигнала S(t) по формуле: U(t) = 5(<) + e(t)\/S(t) , где e(t) — независимая, нормально распределенная случайная величина с нулевым средним и единичной дисперсией. Такая форма записи сигнала и шума характерна для физических процессов, сопровождающих распад ансамбля возбужденных атомов гелия при наличии столкновений или при распаде ансамбля радиоактивных ядер.

Одним из новых подходов к проблеме анализа многокомпонентных кривых релаксации является использование геометрических представлений на оснозе введения безразмерных координат, сформированных как отношение значений наблюдаемых величин C7(i + tr)/Z7(f), где » = 1,2 для случая даух экспонент а » = 1,2,3 для случая трех экспонент. С помощью этих координат геометрическим образом суммы двух экспонент становится прямая линия с тангенсом угла наклона и свободным членом, связанными с показателями экспонент, при отсутствии шумов в регистрируемом сигнале или этим образом является эллипс рассеяния при наличии шумов. В случае суммы трех экспонент геометрическим образом становится плоскость без учета влияния шума и эллипсоид вращения в их присутствии. Ряд условий, сформированных в работе, играют роль сита, отсекающего все значения, выпадающие из границ этих ограничений, совместное же применение которых дает возможность выявить область устойчивости решений в присутствии шумов.

Метод Леонтьева при выполнении условий с > 0 ,с > Rez0 и jm < 7 < 7m+i, сводящийся к применению взвешенного обратного преобразования Лапласа:

¿7 Г!° Я*)«Р(7*) dz/z = £ Nm

¿XI Je-ioo ^

¿7 С™ F(z) exp(7z) dz/zl+k = j: Nm(7 - 7m)k

и теоретически полностью решающий проблему определения предэкспо-ненциальных множителей Nm и показателей экспонент к сожалению, неприменим на практике, так как требует перехода от вещественных экспериментальных данных на комплексную плоскость.

Компенсационные методы, развиваемые в последнее время основываются на численном решении интегрального уравнения Фредгольма первого рода типа свертки для нахождения Nm и 7т. Поясним идею получения этого уравнения. Представление сигнала S(t) в виде совокупности экспонент записывается в виде интегрального уравнения с экспоненциальной функцией

типа Лапласа:

S(t) = g(j)exp(-yt) dy, где ff(y) — плотность распределения затуханий процесса и равна

<7(7) = Е ~ 7m) •

msl

Затем после введения новых переменных 7 = ехр(—y),t = ехр(х) получим:

5[ехр(х)] = G(y)K(x - y)dy,

где G{y) = ff[exp(-y)] ехр(-у), К(х -у) = ехр[-ехр(х - у)].

После применения к этому уравнению преобразования Фурье получим выражение G(w) = S(oj)/K(lj) , где S(w) — спектр сигнала, К(ш) — спектр ядра. Совершая обратное преобразование Фурье имеем:

G(y) = ¿г jT S(w) exp(iwy) du/K(u),

при этом, если частота w стремится к бесконечности и спектры S(w) и К{и) стремятся к нулю, так, что их отношение стремится также к нулю, то последний интеграл сходится и решение 3(7) существует и является единственным. Из - за влияния шумов сходимость нарушается и для обеспечения большей разрешимости спектр К{ш) заменяется некоторым управляемым фильтром с коэффициентом передачи:

[1/ад» • {I * И р /[| К{Ш) I2 +ами]}е,

где M(w) = £¡¡»0 AyJ2k (Ai > 0). Варьируя параметры b,c получаем известные частные случаи: b = 1,е = 0 — инверсный фильтр с характеристикой 1 jK[w)\b = 1,с = 1 — регуляризация по А.Н.Тихонову: К'{ы)!{\ К{ы) р +aM(w)]\0 < Ь < 1 , с = 1 — управляемая компенсация искажений. Эти методы, требующие выбора параметров фильтра и ширины соответствующего спектрального окна, оправдывают себя только при относительно низком уровне шумовых осцилляции.

В главе 1 выведено соотношение неопределенности между полосой частот и шагом наблюдений по времени для сигналов экспоненциального типа, позволяющее выбрать оптимальный шаг наблюдений и допустимое число отсчетов. Это соотношение получено на основе энергетических соображений, применяемых дня сигнала во временной и частотных областях. Сначала находится находится время tq, в продолжении которого энергия

одиночного процесса со "временем жизни" п составит q% от полной энергии сигнала при f —► оо : tq - А,п, где А, = -0.5/п(1 - 3). Для полосы частот внутри которой также сосредоточено столько же процентов энергии сигнала имеем: Fq = Bq/r\, где Bq = tg(qn/2)/2ir , откуда искомое соотношение примет вид = A^Bq и, следовательно, для шага г и числа отсчетов N получаем т = T\\2Bq ; N - 1 = 2AqBq. В случае присутствия многих экспоненциальных 1фоцессов выбираются две величины априорных значений тт;„ и г^ и тогда г = rmin/2Bq , N - 1 = 2AqBtTmax/Tmin. Величины энергетических коэффициентов для разных уровней энергии сигнала сведены в таблицу:

q 0.9 0.95 0.99 0.995 Ад 1.15 1.5 2.3 2.65 В, 1.01 2.02 10.13 20.26

Например, при анализе кривой с двумя экспонентами с ГпиП = 30 не. , Ттах — 900 не. требуемое число точек наблюдений растет с увеличением доли энергии д, а шаг падает

q 0.9 0.95 0.98 0.99 0.995 N- 1 70 182 468 1401 3211 откуда видно, что выбор значений q в диапазоне 0.9 — 0.98 обеспечивает реалистическое число наблюдений.

Экспоненциальная фильтрация при соответствующем выборе интервала сглаживания вдвое выгоднее, чем часто применяемое сглаживание с помощью скользящего среднего. Показано, что при экспоненциальном сглаживании видоизменяются только амплитудные значения и сохраняются неизменными показатели затухания. В области высоких частот экспоненциальный фильтр ведет себя как (w2/)-1, ограничивая высокие шумовые частоты, амплитуда которых падает в (шТ/) раз. На основании предложенной оценки любого линейного преобразования У(<) = /0* h{t - т)Х{т) dr имеем для средней мощности случайного процесса | Y(i) |2 = 2сг2 /0' R(v) dv h(t — u)h(t — u — v) dun для экспоненциального окна h(t) = ехр(—i/T/)/T/ имеем | Y(t) |2 = a7/2Tf, а для простого сглаживания | Y(t) |2 = сг2/Т/, т.е. интервал сглаживания Т/ для экспоненциального окна в два раза уже, чем у простого. Энергетика экспоненциального фильтра дает возможность выбора его ширины L = 1.5 + 1/2Ь в зависимости от параметра 6, связанного со значением модуля коэффициента передачи этого фильтра на найквнето-вой частоте. В ходе обработки многоэкспоненциальных кривых с разными значениями "времен жизни" в диапазоне от до Ттах следует обращать внимание на два момента: во-первых, ширина окна фильтрации должна

быть меньше минимальной длительности Tm¡n, а во-вторых, энергетическая полоса фильтра должна соответствовать полосе частот, отвечаюшай минимальному процессу.

В главе 2 содержится описание геометрических методов: метода скользящих касательных и его модификация с помощью дополнительных множителей Лагранжа и метод подсвечивания, предназначений для уменьшения влияния субъективных оценок наблюдений при обработке с хвоста кривой релаксации. Эти методы основаны на переходе измереных значений U(t) к логарифмическому масштабу Y(t) = ln[U(*)] и использованию некоторых рекуррентных соотношений. Переход к логарифмам наблюденных значений позволяет построить функционал с минимизацией суммы квадратов отклонений от каждой из прямых с параметрами 01,61,03,62 при наличии условия связи, т.е. использовании точки пересечения прямых tm: (ai - a2)tm + (61 - 62) = 0:

F{au 03,61,62, А) = £[F¿ - 011¡ - 6i]4 1=1

E [Y¡ - a2ti - 6j]2 + 2A[(ai - a2)tm + (61 - b2)¡.

i=Af

Такая форма записи функционала позволяет последовательно проходить всю кривую Y(t), изменяя М от 2 до N — 1. Доказанная положительная определенность матрицы Гессе гарантирует существование минимума у этого функционала и значения параметров 01,61,02,62 получаются по аналитическим формулам. Если исходить из того факта, что прямые являются асимптотами процесса, тогда для каждого i должны выполнятся условия:

Y¡ — oi<¿ - 61 > 0 (» = 1,2,..., Af) Y¡ - a2ti - 62 > 0 (i = M,M + Í,...,N) .

Избыточность этих условий приводит к двум системам уравнений относительно пар oi,6i и 02,62 и предоставляет возможность выразить мно-.-житель Лагранжа А через некоторые начальные значения параметров о 10,610,020,620 и поправок к ним dai,dbi,da2,dbí. Предложенный метод поиска помимо своей наглядной геометрической интерпретации существенно снижает уровень произвола в выборе области хвоста кривой, пригодной для анализа. Следующим обобщением этого метода скользящих касательных является введение весовых множителей Лагранжа перед каждой из сумм в функционале F.

Другим методом выбора точки на хвосте кривой релаксации является метод подсвечивания, суть которого заключается в следующем: ищется такое

положение точки, из которой еся кривая высвечивается так, чтобы время распространения света от этой точки до всех остальных было бы минимальный. Например, для случая двух точек (.Х^У) (Х2,У2) полное время пропорционально сумме двух величин:

= - Хгу + (У, - У^ + - Х,у + (У2 - ¥,У ,

где Х„У, — координаты расположения источника, при этом время минимально, если

(Х.-ХхУуЦХ. - х,у + (У. - - х.у + (У2 - У,)3 = о

(Уг-У0Л/№, - Хг)' + (У, - У1у-(У2-У,)/^Х2 - Хз)* + (У2 - Уг)2 = 0 ,

решением которых служит координаты X, — {Хх+Х^)/!-, У, = (У1 +У2)/2. В случае N точек функция Г(Х,,У,) примет вид

П*., У.) = £ \/{Х1-х.у + {ъ-у,у

м

и найти оптимальные значения удается только итерационным процессом со стартовыми начальными значениями в виде средних: X, = Е^ У, =

Е-1]. Например, для эта итерационная процедура записывается в виде:

[(X,- - Х<>к)у + - У«)=]

Несомненно, что вычисление медленно меняющейся части процесса представляет большой интерес для практиков, особенно, если учесть влияние шумов н тот факт, что измеряемые величины малы по сравнению со значениями начальной стадии процесса, поэтому и такой способ имеет право на существование. Предложенные во второй главе способы имеют четкое аналитическое обоснование и в этом смысле превосходят распространенный способ проведения прямых на хвосте кривой релаксации "на глаз", для которого требуется обязательно выполнение условия: *г,. > [т/п10 + Ьъ^х^^Кчх — 72), где tI>, — время, начиная с которого влиянием пер-вого(быстро затухающего) процесса можно пренебречь и рассматривать второй процесс в интервале (¿„..Т), т — показатель порядка у десятичной степени, показывающий уровень затухания первого процесса. Величина есть функция пяти параметров и поэтому выбор подходящего интервала

и

для анализа хвостовой части представляет собой сложную задачу, пличем субъективный подход наблюдателя расширяет вероятность ошибки.

В главе 3 рассматриваются аналитические методы, основанные на применении преобразования Фурье: метод комплексных составляющих преобразования Фурье, метод разностных уравнений, метод дробно - рациональной аппроксимации. Из полученной оценки погрешности преобразоваг ния Фурье для различных видов корреляционной функции помехи следует необходимость предварительного сглаживания исходной информации при применении указанных выше методов. Идея метода комплексных составляющих состоит в следующем: над дискретной функцией F(t), заданной в интервале [О, Т% выполняется преобразование Фурье. Для реальных и мнимых частей этого преобразования на отдельных частотах = kdut (du> = 2ж/Т — основная гармоника) запишем:

м м

Хк = £ JVm7m/(ll + оi); Yk = шк £ ЗД7т + ,

т=1 т=1

затем, используя различные значения комплексных составляющих Xk,Yk с разными индексами к+1, fc+2,..., приходим к алгебраическому уравнению степени М. Например, для М = 2 имеем систему:

V ^171 I N2 ъ Nx N2

+ 7? + "2 7i + 7г + wk „ Nui , JV272 n Ni , ^

+ ~ 7l + шк+1 72 + ^ifc+l

где Fj. = Yk/oJk- Умножим Я* и #i+i на 7j и вычтем результаты этого умножения из Хк и Хк+\'-

Хк - 7гНк = M(7i " ъ)/Ы +

- ъНк+1 = Щъ - 7з)/(7? .

откуда, исключая N1(71 — 72), получим:

(Xi - 72#fc)(7i + <"*) - {Хк+1 - 72ffi+i)(7? + ч'+i) = 0 •

Аналогичное уравнение получаем и при умножении Нк и Hk+i на 71 и вычитании результата этого умножения из Хк и .Xjt+i:

(Хк - ъЕкЫ + "Ь - (ХШ - ъВк+:)Ы + = 0 . Вычитая два последних уравнения друг из друга, приходим к условию:

-(71 + ъ)(Хк - Хш) + ЪЪ(Вк - Hk+i) - (НкШк - Hk+iUk+i) = 0 ,

которое перепишем в виде: рАк + цВк — Ск = О (Л = 1,2,..., и - 1), где введены следующие обозначения: Ак = Хк — Хк+и Вк — Ек — Ек+и С к — ЕкШк- Ек+1Ык+1] Р- ~{ъ +Ъ)', 9 = 7172В ышенапн санная рекуррентная связь для двух неизвестных р, д обладает избыточностью, поэтому к ней можно применить МНК и получить систему двух уравнений для нахождения р,

У-2 ЛГ—2 ЛГ-2

Р Е 4 + Я Е ЛкЛ = Е СкАк

Ь=0 Ь=0 *=0

ЛГ-3 ЛГ-2 ЛГ-2

р Е ЛкВк + д Е ^ = Е

*=о 4=0 ь=о

с помощью которой величины 71,72 находятся как корни квадратного уравнения 7а + Р7 + ? = 0. Аналогичным образом получаются условия связи и для случаев суммы трех экспонент при использовании комплексных составляющих с индексами к,к + 1,к + 2 к суммы четырех экспонент для составляющих с номерами к,к+ 1,к + 2,к + 3 и нахождением корней уравнений третьей и четвертой степени соответственно после получения коэффициентов этих полиномов из системы третьего и четвертого порядков. Вывод аналитического решения для М = 4 представляет собой чрезвычайно сложную задачу и это указывает на необходимость поиска иного метода. Таким методом становится метод разностных уравнений, опирающийся на известный факт: сумма взвешенных экспонент является решением дифференциального уравнения порядка М, при этом числа 7т есть корни характеристического уравнения степени М. Применяя к дифференциальному уравнению преобразование Фурье, получаем уравнения для реальных и мнимых частей, куда входят значения функции и ее производных в начальный момент времени. Выберем мнимую часть и, несколько раз вычитая из одного уравнения другое, придем к уравнениям, не содержащим постоянных слагаемых типа Решая возникающие при этом уравнения по МНК (число уравнений больше числа неизвестных), находим коэффициенты С;>т (»' = 1,2,..., т) дифференциального уравнения

+ с^^-Щ +... + + с^т - о

и с их помощью разрешаем алгебраическое уравнение степени т с корнями 7т. Использование мнимой части объясняется тем, что сокращается число вычислений и к тому же мнимая часть содержит на единицу меньше слагаемых с постоянными величинами, подлежащими исключению, по сравнению с реальной частью. Более простые выражения для коэффициентов С1|ТП

в уравнениях третьего и четвертого порядков при использовании метода разностных уравнений по сравнению с методом комплексных составляющих Фурье преобразования указывают на преимущественное применение метода разностных уравнений. Тем не менее в разностном методе быстрее может наступить потеря точности из - за ограниченности разрядной сетки для представления экспериментальных чисел, особенно с ростом порядка разностей при переходе к большему числу т. Установленный практикой исследований порядок, при котором на выявление каждой т- ой экспоненты требуется существование в наблюдаемых числах не менее 2т значащих цифр, приводит к указанию на разработку нескольких методов сравнения, особенно необходимых в условиях шумов.

Важным методом для исследования становится и метод дробно- рациональной аппроксимации функции /(и,), полученной после преобразования Фурье. Аппроксимацию Функции f(u),) зададим в виде рациональной функции P{yj,)IQ[tLi>,), где P(iojt),Q(iu>t) суть полиномы с вещественными коэффициентами djybj , вещественными на мнимой оси:

м м

Р(»ы.) = Е Щш.У; Q(iw,) = Е Чгш.у {Ьм = W = 0)

;=0 ;=о

Составим функционал Ё1 = | /(¿w4) - P(iu,)/Q(iojt) |2. При его дифференцировании по параметрам aj, bj получим из условий минимума Е7 нелинейную систему уравнений, поэтому вместо минимизации Е7 запишем другую задачу на минимум выражения

<$2 = Е I №.)Q(b>.) ~ I2 i=i

и получения системы линейных уравнений для определения коэффициентов полиномов Р и Q. Если ввести обозначения А} = -(iwty, Bj = (ihjt)ft, f, = f{u},), тогда система для коэффициентов примет вид:

М / N __N _\

Е [bjRe Е ВД + ajRe £ В'А) = 0

j= о \ »=1 J=1 )

Е (bjRe Е + ajRe Е Ai Ajl = 0 (р = 0,1,... ,М - 1).

;=0 \ »=1 ,=1 )

Эту последнюю систему можно переписать в более простом виде, если ввести обозначения:

ZH=Ref:B;Wq, Zg = Rejt В'ТЦ, <j>,q = 0,1.....АО

«=1

гЦ ^Яе^А^-Щ, ¿» « Де £ АЩ

1=1

М-1

Е ДО, + ^Ч) =

Система является симметричной и матрица ее неотрицательна. Введенные коэффициенты выражаются через исходные данные /, = + и частоты ш,:

7» = I (_1)Я+' ^^ 1 и |2' Р + 9 = 2П) 34 \ 0, р+д = 2п+1,

7И _ - I (~1)П+*+1 Р + Я = 2п,

| (-^Е^и^»,, р + 9 = 2п + 1,

г22 = | ("1)п+7 "Г1, Р + Ч = 2П,

\ 0, р + ? = 2п + 1,

и тем самым коэффициенты находятся алгебраически. Производя разложение рациональной функции на простейшие дроби =

Е„„1 ит!(цо - 7т), найдем корпи 7т полинома <3, а амплитудные значения Ит определяются по МНК.

Все аналитические методы основаны на применении преобразования Фурье, которое само по себе обладает своеобразными фильтрующими свойствами в зависимости от корреляционной функции помехи, на что и обращается внимание в заключительной части 3 главы.

В заключении обсуждаются достоинства и недостатки каждого из методов, проявляющихся в условиях шумов, которые выводят решения из границ сравнительно узкой области устойчивости. Фильтрующие сита для ситуации с двумя или тремя экспоненциальными процессами позволяют оставаться в пределах этой области. При этом эллипсы или эллипсоиды рассеяния при заданной вероятности попадания в эти формы подчеркивают достоверность получаемых результатов и служат наглядными геометрическими представлениями образов суммы экспонент при наличии помех. При этом следует отметить также, что влияние шумов сводится не только к выпаданию из границ устойчивости, но и к появлению других наборов показателей экспонент и амплитуд, причем исследователь часто сталкивается с фактом существования приемлемых оценок по критерию близости в

рамках МНК, т.е., когда наблюдаемая функция может быть приближена с большей точностью другой функцией того же типа, но с отличающимися параметрами. Иногда совокупность нескольких экспонент удачно приближается набором экспонент с меньшим их числом. В методе разностных уравнений быстро наступает потеря точности, этим же недостатком, но в меньшей степени, обладает и метод дробно-рациональной аппроксимации. ZP - метод рекомендуется применять для нахождения начальных приближений в комбинации с другими, особенно с различными итерационными методами. _

Выводы.

1. На основании энергетических соображений установлена связь между полосой частот и шахом наблюдений, позволющая выбрать оптимальный шаг регистрации данных по времени и допустимое число отсчетов;

2. Исследованы вопросы экспоненциальной фильтрации данных измерений с выбором интервала экспоненциального сглаживания на основании энергетических соображений;

3. Предложены фильтрующие сита для определения параметров двух-и трех- экспоненциальных кривых во введённых координатах с наглядной геометрической интерпретацией данных наблюдений в виде прямой линии или плоскости в бесшумовой ситуации и в виде эллипса или эллипсоида рассеяния при учете шумов;

4. Разработаны геометрические методы для логарифмов наблюдений: метод скользящих касательных, его модификация с помощью дополнительных множителей Лагранжа, метод подсвечивания для уменьшения влияния субъективных оценок у исследователя при обработке с хвоста кривой релаксации;

5. Созданы аналитические методы: метод комплексных составляющих преобразования Фурье, метод разностных уравнений, метод дробно - рациональной аппроксимации, метод на основе ¿-преобразования, ZP- метод;

6. Предложена оценка интегрального преобразования Фурье при наличии шумов и найдена оценка для линейного интегрального преобразования во временной области в зависимости от корреляционной функции помехи, что позволяет получить численные оценки помехоустойчивости этих преобразований.

Основное содержание диссертации изложено в следующих работах:

1. Тайбнн Б.З. Методы обнаружения параметров многоэкспоненциальных кривых релаксации: Учебное пособие. СПб., 1994. 104 с.

2. Тайбин Б.З., Смирнов В.Б., Меркулов A.A. Новые идеи по разложению многоэкспоненциальных кривых в задачах спектроскопии с временным разрешением. //Вестн. СПб. ун.-та. 1993. Сер.4. Вын.1 (N4). С. 87-90.

3. Тайбнн Б.З., Смирнов В.Б., Меркулов A.A. Использование геометрических представлений при анализе многокомпонентных кривых в спектроскопии с временным разрешением. // Опт. и спектр. 1992. Т.73. Вып.2. С. 253-231.

4. Ивалоз С.А., Иванова В.Н., Смирнов В.Б., Тайбин Б.З. Z - преобразование и аппроксимация Паде в задаче определения параметров экспоненциально затухающих сигналов. // Опт. и спектр. 1992. Т.73. Вып.2. С. 262-268.

5. Тайбнн Б.З., Фридрих B.JI. Прямое и обратное преобразование Фурье для функций, заданных таблично с постоянным или переменным шагом по аргументу. // Государственный фонд алгоритмов и программ СССР. Информ. бюллетень "Алгоритмы и программы". П 003190. М. 1978. N6(26). 56. 26 с.

6. Тайбин Б.З., Фридрих B.JI. Обобщенный метод секущих для решения трансцендентных уравнений комплексного переменного, // Государственный фонд алгоритмов и программ СССР. Информ. бюллетень "Алгоритмы и программы". П 002385. М. 1977. N4(18). 47. 13 с.

7. Новак Н.И., Тайбин Б.З., Яневич Ю.М. Об одном способе приближенного вычисления искажений импульсных радиосигналов. // Вопросы радиоэлектроники. Сер. Общетехническая (ОТ). 1975. Вып.7. С. 40-44.

Подписано к печати 27.12.95. Заказ 473 Тираж 100 Объем I п.л. Ц0П СПГУ. 199034, Санкт-Петербург, наб. Макарова,6.