автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Методы моделирования объектов с нестабильным функционированием и неопределенностью в данных

^НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

МЕТОДЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ ОБЪЕКТОВ С НЕСТАБИЛЬНЫМ ФУНКЦИОНИРОВАНИЕМ И НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЬЮ В ДАННЫХ

Специальность 05.13.16 - применение штельной техники, математического моделирования и ттематических методов в научных исследованиях

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук

На правах рукописи

Носков Сергей Иванович

УДК 519.862

Новосибирск - 1994

Работа выполнена в Иркутском вычислительном центре СО РАН.

Официальные оппоненты:

- докюр физико-математических наук, профессор Ю.А.Воронин

- доктор экономических наук В.И.Суслов

- доктор технических наук, профессор А.И.Тятшкин

Ведущая организация: Международный научно-исследовательский институт проблем управления (г. Москва)

Защита состоится " I" марта 1994 г. в М часов на заседании специализированного совета Д.063.98.01 при Новосибирском государственном университет" по адресу: 630090, г.Новосибирск, ул.Пирогова,2

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке НГУ

I

Автореферат разослан ЧМ 1994 Г.

Ученый секретарь специализированного Совета, кандидат технических наук

Ю.И.Еремин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность исследований. Метода математического моделирования являются признанным инструментом научного анализа сложных, с множеством внутренних и внешних взаимосвязей объектов различной природы. Они позволяют на модельном уровне формализовывать закономерности, присущие этим объектам, посредством разработки га качественных абстрактных образов, что открывает широкие возможности в повышении эффективности вырабатываемых управляющих воздействий, поскольку при этом экспериментирование может проводиться не с "живой" системой, а с ее математической моделью.

Прикладная значимость этих методов весьма высока. Они давно и успешно используются в самых различных отраслях знаний, во многом способствуя лучшему пониманию изучаемых процессов. Традиционно одной из наиболее широких сфер применения методор математического моделирования является экономика, которая в силу своей специфики особенно восприимчива к новым достижениям, появляющимся в этой области. Выраженную актуальность такое явление приобрело в последнее время, поскольку стремительная переориентация народного хозяйства страны на рыночные отношения породила целый спектр исключительно сложных для анализа проблем различного характера и масштаба. В этих условиях чрезвычайно важно уметь оценивать прямые и опосредованные последствия принимаемых на всех уровнях управления социально-экономических и политических решений, чему во многом может способствовать построение соответствующих математических моделей с последующим проведением на их основе многовариантшх прогнозных расчетов и всесторонним содержательным анализом полученных результатов.

Один из наиболее эффективных подходов к моделированию с целью прогнозирования развития исследуемых объектов основывается на методах прикладной статистики , совокупность которых принято называть также анализом данных. Традиционная схема применения этого подхода предполагает формализованное описание функционирования объекта в прошлом с привлечением для обработки статистической или экспериментальной информа-

ции соответствующих специальных ■ методов экстраполяционного характера на этапах формирования модельных спецификаций и оценивания неизвестных параметров. Процесс прогнозирования при этом состоит в варьировании значений внешних переменных на периода упреждения прогноза в рамках заданных сценариев с расчетом соответствующих значений внутренних переменных модели.

Такой подход вполне обоснован и оправдан при исследовании методами математического моделирования хорошо изученных объектов, функционирование которых подчинено устойчивым закономерностям на периоде основания прогноза, а степень инерционности процесса такова, что нет оснований предполагать их нарушения на периоде упреждения прогноза и, кроме того, если вся исходная информация, включая ретроспективную и прогнозную (об экзогенных переменных), полностью определена.

Вместе с тем, при исследовании многих сложных процессов эти предпосылки нарушаются, а именно:

- степень изученности объекта не позволяет при описании его функционирования ограничиться только формальными средствами, не привлекая знаний специалистов в данной предметной области на различных этапах исследования;

- присущие объекту внутренние закономерности функционирования претерпевают значительные изменения уже в ретроспективном периоде;

- тенденции функционирования объекта на периодах основания и упреждения прогноза не совпадают;

- имеет место неопределенность в статистической, прогнозной или экспертной информации.

Применение в рамках анализа данных только классической методологии моделирования сложных объектов, характеризующихся указанными свойствами, оказывается явно недостаточным для построения математических моделей, вполне адекватных исследуемым процессам. Необходима значительная адаптация известных и разработка новых методов для создания качественных моделей таких объектов.

Решению этой проблемы и посвящена настоящая диссертационная работа. Она выполнена в рамках НИР ИрВЦ СО РАН,_ регио-

налыюй научно-исследовательской программы "Сибирь" и- государственной научно-технической программы "Безопасность".

Цель работа состоит в создании в рамках анализа данных мзтодолого-инструментальной базы для моделирования объектов с изменяющимися тенденциями функционирования и интервальной неопределенностью в статистической, прогнозной и экспертной информации.

Реализация этой цели предполагает: расширение традиционного арсенала модельных конструкций при описании взаимосвязей между переменными; разработку методов и алгоритмов оценивания параметров аппроксимирующих функций применительно к различным по характеру выборкам; формирование критериев адекватности моделей с целью выявления новых характеристик качества модельного описания; разработку алгоритмической схемы организации "конкурса" моделей с выбором лучшей модели из множества ее альтернативных вариантов по векторному критерию; разргботку методов учета интервальной неопределенности в исходных данных на различных этапах построения и применения моделей; решение проблем совместного использования статистической и экспертной информации при моделировании в детерминированных постановках; создание соответствующего прораммного обеспечения.

Научная новизна, В настоящей диссертации впервые в рамках единого подхода, основанного на методах анализа данных, предложена 'комплексная методология моделирования .объектов, функционирование которых нестабильно на периоде основания прогноза- или характеризуется несовпадением тенденций в прошлом и будущем, а исходная информация содержит данные с интервальной неопределенностью.

Получены следующие результаты: предложены простые способы уточнения оценок параметров степенной аппроксимирующей функции и функции с постоянными пропорциями, а также способы выделения совокупности наиболее информативных переменных из множества возможных; разработан метод построения I - множества параметров регрессии в двухкритериальной задаче оценивания, а также алгоритмы определения компромиссных оценок; получены новые алгоритмы оценивания параметров аддитивной за-

висимости, зависимости в виде дискретных функций времени, кусочно-линейной зависимости с одновременным определением точек переключения; введены новые критерии согласованности поведения и информативности выборки, расширяющие спектр частных критериев оценки адекватности моделей;построены алгоритмы реализации "конкурса" моделей; разработан алгоритм оценивания параметров статистической зависимости с учетом заданного упорядочения объясняющих переменных по значимости; предложен способ унифицированного описания множеств решений и квазирешений интервальной системы линейных алгебраических уравнений; разработаны метода множественного и точечного оценивания параметров линейной зависимости на основе информации с интервальной неопределенностью; предложен подход к прогнозированию разг ;тия исследуемых объектов по дискретной динамической линейной модели при не вполне опре-делевдх значениях экзогенных переменных на периоде упреждения; разработаны методы использования при моделировании экспертной информации для корректировки оцениваемых параметров, выбора формы связи между переменными, конструирования модели с переменной структурой, комбинирования частных гтогнозов; разработан программный комплекс построения математических моделей для объектов, характеризующихся изменяющимися тенденциями функционирования и неопределенностью в исходной информации.

Теоретическую и методологическую основу исследований в связи с многоплановостью решаемых в работе проблем составил широкий спектр методов анализа данных, теории принятия решений, интервального анализа, исследования операций.

Практическая значимость. Разработанные в диссертации метода, алгоритмы и программный комплекс для ПЭВМ прошли практическую проверку в ходе научно-технических работ, выполненных под руководством автора для ряда организаций: Иркутский областной исполнительный комитет (разработка автоматизированной системы моделирования, построение системы математических моделей и проведение многовариантных прогнозных расчетов социально-экономического развития Иркутской, области); Вычислительный центр .СО РАН (внедрение отдельных

модулей программного комплекса построения моделей); Новосибирский государственный университет (внедрение программного комплекса КЭМ реализации "конкурса" моделей); Филиал *5 Института биофизики Министерства здравоохранения России (внедрение программного комплекса построения моделей, проведение анализа влияния окружающей среды на здоровье населения крупного города); Всероссийский научно- исследовательский институт по проблемам гражданской обороны и чрезвычайных ситуаций (построение системы математических моделей социально-экономического развития крупного города и проведение вариантного анализа на ее основе последствий возможного землетрясения ).

Применение предложенных методов позволяет существенно повысить качество модельного описания объектов с нестабильным функционированием и неопределенностью в информации в рамках реализации подхода, основанного на анализе данных.

Отдельные полученные автором результаты использованы при подготовке методических пособий в Иркутском политехническом институте.

Апробация работы. Основные результаты работы неоднократно докладывались на Международных, Всесоюзных, Республиканских и Региональных конференциях, совещаниях, школах и семинарах: Всесоюзной конференции "Теория, методология и практика системных исследований" (г. Москва,1985 г.); Первой (г. Алма-Ата, 1985 г), второй (г. Тамбов, 1987 г.) и третьей (г. Апатиты, 1989 г) Всесоюзных школах-семинарах "Прикладные проблемы управления макросистемами"; VII Всесоюзной конференции "Проблемы теоретической кибернетики" (г. Иркутск, 1985 г.); Региональном семинаре "Проблемы материально-технического снабжения и пути их решения в территориально- производственных комплексах и зонах хозяйственного освоения Сибири и Дальнего Востока" (г. Иркутск, 1985 г.); V Международной конференции IFAC/IFORS " Динамическое моделирование и управление национальной экономикой (г. Будапешт, 1986 г.); Всесоюзной конференции "Территориальные неоднородные информационно-вычислительные системы" (г. Новосибирск, 1988 г.); Всесоюзной конференции "Ускорение социально-экономического

развития и системное моделирование народнохозяйственных межотраслевых территориальных пропорций (г. Ленинград, 1988 г); Региональной конференции "Организация систем управления производством в условиях функционирования целостного хозяйственного механизма" (г. Воронеж, 1989 г); V Сибирской научно-практической конференции "Надежность научногтехнических прогнозов (г. Новосибирск, 1990 г.); Республиканской конференции "Моделирование плановых расчетов и диалоговая оптимизация" (г. Севастополь, 1990 г.); II Международной конференции "Применение математики в экономике" (г. Свшцтов, Болгария, 1990 г.); Международном семинаре "Методы и программное обеспечение для систем автоматического управления (г. Иркутск, 1991 г.); I Международном совещании ЮНЕСКО - АН СССР "Модели, методы и программные средства .анализа глобальной и региональной устойчивости развития (г. Москва, 1991 г.); VII Международной конференции П'АС/П'ОВЗ/ПАБА "Моделирование и управление национальной экономикой" (г. Пекин, 1992 г.); Международном симпозиуме 1РАС/1Р0Й5/1МАСЗ "Большие системы: теория и приложения" (г. Пекин, 1992 г.); Международной конференции "Интервальные и стохастические методы в науке и технике" (г. Москва, 1992 г.).

Кроме того, результаты работы докладывались на семинарах в Иркутском вычислительном центре СО РАН, Новосибирском государственном университете, Институте экономики и организации промышленного производства, Вычислительном центре СО РАН, на сессиях Координационного совета подпрограммы "Анализ и моделирование развития административных областей (краев) в условиях Сибири" региональной научно-исследовательской программы "Сибирь", Иркутском политехническом институте.

Публикации. Результаты исследований по теме диссертации опубликованы в 53 научных работах (в том числе в одной монографии и одной коллективной монографйи), а также в ряде отчетов по НИР.

Объем и структура диссертации. Работа содержит 383 страницы машинописного текста, включая 3 таблицы и 29 рисунков. .Список литературы насчитывает 193 наименования.

Диссертация состоит из введения, семи глав, заключения,

списка использованной литературы и трех приложений.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении показана актуальность исследования, указаны цель работы, научная новизна и практическая значимость полученных результатов.

В первой главе обсуждаются основные теоретические и прикладные проблемы математического моделирования объектов с нестабильным функционированием и неопределенностью в обрабатываемой статистической, прогнозной и экспертной информации с позиций анализа данных, проводится обзор имеющихся в этой области результатов.

При создании комплексных статистических моделей объектов различной природы опыт их разработчиков и знания специалистов в соответствующих предметных областях позволяют наметить общие контуры взаимосвязей между переменными и сформировать спецификационные схемы таких моделей. После этого собственно построение модели состоит в выборе конкретных аппроксимирующих функций и определении численных оценок их параметров на* основе обработки исходных данных специальными методами. Именно такие методы применительно к информации дискретного характера и рассматриваются в настоящей работе.

В соответствии с точкой зрения известного специалиста по анализу данных С.А.Айвазяна существует два подхода к статистической обработке информации, которые условно могут быть названы вероятностным и аппроксимационным. В настоящем исследовании комплекс вопросов, связанных с адаптацией традиционной методологии анализа данных применительно к проблемам моделирования объектов с указанными свойствами, рассматривается с позиций второго подхода, не предполагающего наличия никаких априорных сведений о вероятностной природе данных, но базирующегося, как и первый, на решении различных оптимизационных задач.

Такая адаптация осуществляется в работе в нескольких различающихся характером особенностей исследуемых объектов, взаимосвязанных направлениях, каждому из которых соответствует своя группа разработанных методов.

Рассмотрим обязательный элемент любой статистической модели - зависимость (уравнение) общего вида

Ук = *(хк1- хк2.....хкп' а) + * = "^п • (1)

где ук и - значения зависимой (эндогенной, выходной, объясняемой) и 1-ой независимой (экзогенной, входной, объясняющей) переменных в й-ом наблюдении, Р - вещественная ап-проксимируицая функция, а - вектор подлежащих оцениванию параметров, ек - ошибка аппроксимации, п - длина выборки.

Первая группа упомянутых методов направлена на достижение приемлемого качества (в смысле некоторого векторного критерия) модели изучаемого реального процесса в случае, когда функционирование объекта нестабильно уже на предыстории (периоде основания прогноза). С этой целью необходимо разработать некоторые новые г. Зкие формы связи между переменными ( типы аппроксимирующей функции Р ), а также метода оценивания параметров а, охватывающие достаточно широкий класс свойств обрабатываемых выборок. Альтернативность в описании некоторой эндогенной переменной, вызванная наличием значительного числа возможных модельных конструкций и методов их параметрической идентификации, в общем случае приводит к построению множества вариантов одного уравнения, что при наличии векторного критерия оценки их качества вызывает необходимость разработки специальных методов организации "конкурса" моделей с целью выбора лучшей зависимости.

Вторая группа охватывает методы решения различных проблем, связанных с моделированием объектов, тенденции функционирования которых на периодах основания и упреждения прогноза не совпадают. Это означает, что достигнутые при аппроксимации малые погрешности в уравнении (I) не гарантируют от значительных ошибок при использовании построенной модели в режиме прогнозирования. Данное обстоятельство предопределяет необходимость: привлечения экспертов в данной предметной области; выявления способов формализации экспертной информации, выраженной высказываниями относительно общего характера по поводу изменения указанных тенденций; разработки методов учета этой информации наряду со статистической при корректировке значений оцениваемых параметров, выборе формы связи

между переменными, построении модели с переменной структурой, комбинировании частных прогнозов.

Третья груша методов направлена на преодоление при моделировании трудностей, вызванных неопределенностью (главным образом, интервального характера) в задании статистической, прогнозной или экспертной информации. Она включает способы аналитического описания множества решений интервальной системы линейных алгебраических уравнений (ИСЛАУ) в различных трактовках, а также алгоритмы оценивания параметров линейной по параметрам зависимости с интервалыю заданной статистической информацией, обработки данных с пропусками, прогнозирования по линейной дискретной динамической модели на основе не вполне определенной экспертной информации относительно значений экзогенных переменных на периоде упреждения прогноза.

Кроме того, разработано программное обеспечение процесса построения моделей объектов, характеризующихся отмеченными свойствами, встроенное в соответствующую технологию моделирования и основывающееся на предложенных в диссертации методах.

Во второй главе представлены методы параметрической идентификации статистических моделей, построения областей их определения и выбора наиболее информативной совокупности объясняющих переменных.

После оценки параметров зависимости (I) использование ее при прогнозировании осуществляется подстановкой в правую часть вектора 2 = (г..... гт) значений независимых переменных и простым вычислением соответствующего ему значения уг переменной у. Однако пропорции между компонентами г или их значения могут не соответствовать тем, которые в среднем сложились на предыстории процесса и нашли отражение в выборке, что при совпадении прошлых и будущих тенденций приведет к некорректности использования уравнения (I). Для того, чтобы иметь возможность выявлять такие ситуации, необходимо наряду с построением этого уравнения строить и область его определения Нр, называемую также нормальной областью.

Предлагаемый способ построения такой области основан на

преобразовании уравнения (I) посредством замены зависимой переменной на наименее значимую ]-ую независящую, а у - на константу, оценивании параметров полученной таким образом новой регрессии и учете рассчитанных по ней ошибок аппроксимации. Построение области позволяет оценивать как допустимость каждого нового вектора независимых переменных, так и степень информативности выборки, выражающуюся шириной Ир при фиксированной функции Р.

Рассмотрены две трактовки области определения. Если вектор г а Нр, то при жесткой трактовке он объявляется недопустимым для уравнения (I), которое необходимо в этом случае перестраивать. При мягкой же трактовке этой области из некоторого заданного класса аддитивных функций 7 = ... ,Р1)

следует выбрать ту из них I*, для которой расстояние р(г, Яр*) минимально. В рамках сделанных в работе некоторых упрощающих предположений эта задача сведена к последовательному решению ряда задач линейного программирования (Ш).

Оценивание параметров уравнения (I) производится минимизацией выбранной функции потерь ^(а), где V указывает на метрику. Наиболее популярными являются метода наименьших

п

квадратов (МНК) = ^ е^) и наименьших модулей (МНМ)

а) = последний из которых относится к массу

Н=1

робастных, т.е. устойчивых к аномальным наблюдениям. Противоположным по смыслу по отношению к МНМ является антиробаст-

ное оценивание = тах\ек\), эффективное в случаях,

К

когда каждое наблюдение выборки уникально.

Поскольку заранее свойства исследуемой выборки часто неизвестны, целесообразно производить оценивание таким образом, чтобы не выпустить из поля зрения какую-либо "хорошую" оценку. С этой целью поставлена задача двухкритериального оценивания с векторной функцией потерь J(a)= иг(а), ^(а)). Предложены два способа ее решения для случая линейной зависимости

т

Ук = ¿Хк1 + ек , й=ТТп. (2)

Первый из них основан на применении многокритериального симплекс-метода для специальным образом сформированной задачи ЛП с векторным критерием, а второй - на переборе узлов, заданной на интервале (0,1) равномерной сетки для значений у

линейной свертки критериев 7Га; = + (1-у^ю(а) и ре-

шении для каждого узла задачи ЛП.

Решением этой задачи оценивания является так называемое Ь-множество оценок, представляющее собой множество Паре-то не,улучшаемых решений в данной многокритериальной задаче. Поскольку оперировать с таким множеством не всегда удобно, предложены способы поиска компромиссных точечных оценок - в одном случае между всеми Х-оценками, в другом - между ¿-множеством и МНК-оценкой. Для выделения из ¿-множества какой-либо оценки по другим признакам необходимо привлекать дополнительные соображения, например, использовать предложенный в четвертой главе СП-критерий.

Весьма часто при моделировании возникает задача выделения заданного числа наиболее информативных в некотором смысле независимых переменных из их заведомо избыточной совокупности. В данной главе эта задача для линейного уравнения (2) при определении МНМ - оценки сведена к задаче частично-целочисленного линейного программирования (ЧЦДП). Аналогично решается задача выявления таких переменных (без фиксации их числа) при заданном ограничении сверху на функцию потерь.

В том случае, когда у исследователя есть основания полагать, что модель специфицирована верно, можно посредством специального выбора весов наблюдений выборки существенно улучшить прогностические характеристики модели, применив один из взвешенных методов оценивания. Предложенный способ взвешивания наблюдений основан на установлении согласованности между значениями независимых переменных на периодах основания и упреждения. В качестве меры такой согласованности может использоваться одна из разработанных в теории сходства мер. При этом каждому вектору независимых переменных на пе-

риоде упреждения будет соответствовать своя система весов.

Одной из наиболее распространенных форм связи между переменными является степенная зависимость. Предложенный способ оценивашя ее параметров позволяет уменьшить аддитивную ошибку аппроксимации по сравнению с известными методами.

В третьей главе предложены способы оценивания параметров некоторых форм связи между переменными, позволяющих без существенного уменьшения числа степеней свободы улучшить качество аппроксимации по сравнению с традиционными формат при моделировании объектов с изменяющимися на предыстории закономерностями.

К числу таких форм относятся, в частности, следующие.

а)-Аддитивная зависимость

т

где f.l - вещественная функция с номером наиболее приемлемая в смысле минимума функции потерь для (-ой объясняющей переменной и выбранная из набора Т(х) = (/0(х), ^(х),..., Т^х)}, В качестве 1 ^.х) могут использоваться элементарные функции ехр х, 1п х, яг, х3, 1/х и т.д.. При этом /0(х) н х.

Предложены два алгоритма построения этой зависимости, позволяющие осуществить выбор преобразующей функции для Каждой независимой переменной и осуществить оценивание

параметров а1, I = 1Цп. Первый из них при использовании МНК дает приближенное решение задачи и основан на так называемом методе включения. Для отыскания точного решения (с функцией потерь J1(a)) необходимо решить специальным образом сформированную задачу Ч1Щ1.

б) Зависимость с параметрами в виде дискретных функций времени

т

Уг = ао * + (4)

1=1

В качестве переменной х1± берется одна из переменных набора 1хь1, хг1о\а),..., xtia^{t)}, где ojí't) - дискретные

функции времени, параметры которых определены отдельно для

каждого из уравнения Ус/яс1 = о^а), I = 77т, J = ТГТ с помощью МНК. Алгоритм выбора функции времени для каж-

дой независимой переменной также базируется на методе включения.

Использование зависимости (4) особенно эффективно в ситуациях, когда влияние переменных х1, 1=Т^т на у претерпевает динамические изменения на предыстории процесса, в) Кусочно-линейная зависимость

т-1

Ун = ) Мм ' Г(^) * е*.

(5)

где

/(х) =

при х х1

агГг(х),

при х1 < X ^ Х2

. ОрГрШ, при X > Хр_г

Предложенный в работе способ совместного оценивания параметров р1, I = 1,т-1, а у J = ТТр .и точек переключения

х*. з = 1 ,р-1 при реализации МИЛ сводится к решению задачи ЧЦЛП. При известных точках переключения оценки параметров определяются посредством решения линейно-программной задачи.

Зависимость (5) следует применять при различном характере влияния т-ой независимой переменной на у в каждой области, ограниченной соседними точками переключения. ■

Кроме того, в данной главе предложен способ оценивания параметров аппроксимирующей функции с постоянными пропорциями

ук = т1п ГаА1,

атхкт} + ек>

предполагающий перебор узлов т-мерной сетки на множестве

Ук

Л = (а е | а. е I т(п I пах { 1=1,т),

1 к Хк1 к

поскольку в работе доказано, что пересечете его с множеством оценок, доставляющих минимум функции потерь, непусто.-

В четвертой главе рассматриваются вопросы, связанные с разработкой некоторых новых критериев адекватности статистических моделей и процедур реализации "конкурса" моделей с целью выбора лучшей из них в условиях наличия вектора частных характеристик качества.

В настоящее время в рамках анализа данных разработано значительное число критериев адекватности моделей: множественной детерминации, Фишера, Дарбина-Уотсона, смещения, средних ошибок аппроксимации на обучающей и экзаменующей выборках и т.д.. Вместе с тем, адекватность модели - понятие многогранное, заключающее в себе множество частных свойств.

Предлагаемый критерий согласованности поведения (СП -критерий).Ф не связан с расчетом ошибок аппроксимации, в отличие от перечисленных выше, а отражает степень соответствия характера изменения расчетных и фактических значений зависимой переменной на различных наблюдениях выборки. Рассмотрены

две форш представления СП-критерия - дискретная п-1

ф1(а) = ) з1е^(ук+1-ук) ун)

к=2

и непрерывная

ф (а^У-г , г 4'^' ,ПРИ ^Ун+гк^^ГУк)-1 2 ' к' к I О» в противном случае,

где ук - к-ов вычисленное по модели значение переменной у.

В зависимости от формы представления СП-критерия уточнение оценок параметров линейного уравнения (2) с функцией потерь J1(a) с целью оптимизации Ф1(а) или Ф2(а) сводится соответственно к задачам ЧЦЛП или Ж.

Разработан также критерий информативности состава объясняющих переменных уравнения, основанный на субъективных представлениях исследователя относительно важности вхождения каждой такой переменной в зависимость (I).

При построении каждого конкретного соотношения разработчик модели часто вынужден перебирать множество его альтернативных вариантов посредством варьирования аппроксимирующей функции ? в (I), изменения состава объясняющих переменных с учетом их преобразований, использования различных ме-

тодов оценивания параметров. Проблема выбора наиболее приемлемого варианта формулируется следующим образом:

Пусть построено множество Л = , М2,..., Ms) вариантов одной зависимости, среди которых необходимо выбрать лучший (провести "конкурс" моделей), руководствуясь критериями Kj, Кг..... Kj, т.е. матрицей К. = ||K1(Mj)\l, I =771,

J = Т7з. (Всего в работе используются П традиционных и предложенных в ней новых критериев). Из множества Л выделяется

подмножество М. s М вариантов, допустимых относительно наперед заданных ограничений на значения критериев и' знаки коэффициентов о^, назначаемых исходя из формальных или содержательных соображений.

Элементы матрицы К преобразуются к виду, позволяющему считать значение каждого критерия тем лучше, чем оно выше.

Как показывает опыт автора, часто характер решаемой исследователем при моделировании проблемы и его уровень компетентности позволяют упорядочить критерии по важности. Пусть для определенности они упорядочены, например, так:

Кл t К1+1, i -- 1,1-1, где fc - отношение нестрогого предпочтения .

Для решения проблемы многокритериального выбора с упорядоченными по важности критериями в теории принятия решений разработан метод уступок, приводящий в данном случав к,следующей последовательности действий. Вначале строится множество Парето Л* = М недоминируемых альтернатив. Затем определяется значение 11 = max^KJM) и назначается уступка д1, на нал

которую разработчик модели может пойти по критерию Кг, чтобы увеличить значения остальных критериев. После этого формируется множество Л1=(Ы£М* | KJ(M)zl1-ö1} и находится значение

12 = тах^К2(М). Этот процесс завершается отысканием альтернативы 1 = arg тах^^СЯ).

При невозможности упорядочения критериев по важности может быть использован метод "идеальной" точки, предполагаю-

щий поиск альтернативы из- М, образ которой наиболее близок в смысле какой-либо метрики к вектору, составленному из оптимальных значений каждого критерия.

При построении крупного модельного комплекса для разработчика модели не вполне рационально проводить "конкурс" по каждой отдельной зависимости с применением реализующей его системы КЭМ в режиме диалога с ЭВМ. Значительно технологичнее использовать конечные результаты однократно проведенного "конкурса" для формализации выявленных в его ходе индивидуальных субъективных предпочтений исследователя относительно сравнительной важности критериев и альтернатив путем формирования агрегированного критерия, например, в виде свертки частных критериев. В работе предложены способы построения

линейной ^(М) = у а^^И) и линейно-квадратичной

1=1 1

Кг(М)

У^ Р^О!) + ^ 71^К1(М) К^М) сверток, для определения коэффициентов которых необходимо решить специальным образом сформированные задачи ЛИ.

Пятая глава посвящена изложению методов построения и использования при прогнозировании статистических моделей в ситуациях, когда либо не вполне определена информация о прошлом периоде функционирования исследуемого объекта (имеет место интервальная неопределенность в данных), либо отсутствуют надежные предпосылки для формирования точных значений экзогенных переменных на периоде упреждения прогноза.

Центральной проблемой, связанной с решением различных задач моделирования по данным с интервальной неопределенностью, является формальное описание множеств решений интервальной системы линейных алгебраических уравнений (ИСЛАУ). В терминах задачи оценивания параметров линейного уравнения (2) эта система имеет вид:

1Г, Х+] а = [у", у+], (6)

где X , у и Х+, у* - матрицы и вектора соответственно нижних и верхних наблюдаемых на предыстории значений независи-

мых и зависимой переменных, причем предполагается, что любые соображения, уточняющие расположение этих переменных внутри указанных интерзалов, отсутствуют.

В литературе встречается несколько трактовок множества решений системы (6). Одним из наиболее распространенных является так называемое объединенное множество решений: Кг = (а € R™ I 3 С € иГД+] Зсе ly~,y*l Ca = с) = • = (а\ Я"1 | (1Х~,Х+1 а) П [у-,</] Ф 0). (7)

Кро'ме того, известны допустимое множество решений И2, а также множество Я3, впервые рассмотренное Ю.И, Шокиным и H.A. Хлебалиным при решении интервальной задачи модального управления, и множество К4 всех точечных'алгебраических интервальных решений (6), причем К3 и К4 ранее явно не выписывались. Эти множества различаются вхождением кванторов всеобщности и существования в свои определения. В диссертации предлагается еще одна трактовка множества решений ИСЛАУ, в

какой-то мере обобщающая Ri, I = Т73, поскольку включает элементы соответствующих им определений: R5=fa€RmK[JC],xJ]ajn[yJJiRv 3astyJ,y^), ia2.

Ш3, a&J, (8)

Кг П К = 0, г / р, I_J К » (1,2,...,п), . _ p=i н _

где через Xj обозначена J-ая строка матрицы X .

Поскольку заранее неизвестно, какое из множеств Tii,

1=775 выбирать в каждом конкретном случае, предложен простой эвристический прием, облегчающий такой выбор.

В работе доказывается возможность представления множества в виде

Viai~а21,а2с/;?, fCLj,а2}=0, Гагх\$у\ х\~х~аг^у~) (Э) На основе (9) сформированы аналогичные описания для Ri,

I= 1,3,4,5. (Описание дано И. Роном). Причем описание Ях эквивалентно известному представлению В.Оеттли и В.Прагера. От нелинейно!'О условия (а2,а2) в (9) можно избавиться посредством расширения размерности задачи введением т булевых переменных.

Случай, когда требуемое множество оценок линейной зави-

сти (2) с интервальной выборкой пусто, встречается на практике особенно часто. Поэтому по аналогии с теорией решения некорректных задач задачу построения такого множества имеет смысл определять как некорректную и искать ее квазирешение, характеризующееся тем свойством, что оно обеспечивает минимальное (в смысле выбранной метрики) нарушение условий, задающих соответствующее ( е 11,....5). В этом смысле МНК-и МНМ-оценки также являются, квк правило, квазиоценками, поскольку в реальных задачах оценивания параметров а в (I) с

точечной выборкой обычно существуют номера к £ (1,2.....п)

такие, для которых ек и 0.

Для поиска квазирешения (квазиоценки) а(И1) по отношению к множеству Я., следует решить следующую задачу математического программирования

где степень V указывает на'метрику (при Л1 представляет собой сумму модулей невязок, при у=2 соответствует евклидовой метрике и т.д.).

Аналогично определяются квазиоценки для других множеств решений ИС1АУ.

Поскольку с множествами оценок оперировать не всегда удобно, в работе предложен ряд способов точечного оценивания параметров уравнения (2) по интервальной выборке: среднеин-тервальный, минимаксный, а также различные точечные аппроксимации этих множеств.

. В том случае, когда заранее известны знаки параметров

уравнения 1=77т, при описании соответствующих множеств оценок и квазиоценок можно обойтись без нелинейного условия (ах,а2)=0.

Часто подлежащая обработке выборка содержит пропуски в данных. Лредложенный в работе метод оценивания параметров линейного уравнения (2) не предполагает точечного заполнения

а =

п

(Ю)

пропущенных значений независимых переменных, а основывается на аппарате интервального оценивания. При этом вся выборка делится на комплектную (X1.у1) и некомплектную (X2,у2) части. Пропущенные значения второй из них заменяются интервалами либо на основе совокупности алгоритмов точечного заполнения, либо с использованием экспертной информации. В предположении, что гапк X1 = и, отыскивается ЫНК- или МШ-оценка

А

а по комплектной выборке, после чего рассматриваются случаи:

а). П3(Х2,у2)=0, б), а £ И3(Хг ,угИ0, в), а е Л3(Х2,у2). Для каждого из них проблема оценивания параметров уравнения сводится к решению задачи ЛП с возможностью поиска компромисса между комплектной и некомплектной частями информации. Рассмотрим дискретную динамическую модель вида

у*=а** £ £ $ * г £ и* <и>

1=1 \=1 7=? л=о

где з я р - число эндогенных и экзогенных переменных соответственно; - значения (-ой эндогенной и /-ой экзоген-

к. к.

пой переменной в момент т и ф 1 - максимальные лаги {-ой эндогенной и ]-ой экзогенной переменных в к-оы уравне-

К к1 Н1

нии; от, рл , 7Л - известные параметры; t = 1,2.....п,

п+1,...,п+б - дискретное время; в - длина-периода упрежде-Ш1Я. При неизвестных точных значениях экзогенных переменных на периоде упреждения традиционные методы прогнозирования

переменных у*, й=Т7з, неприменимы. Предположим, что экспертами в данной предметной'области могут быть высказаны Ь суждений относительно будущих закономерностей во взаимосвязи между эндогенными и (или) экзогенными переменными. Сравнительно широкий класс таких суждений представим линейными неравенствами

ГЦ-5 Б Р

Е (ИМ+ ¿УМ} < с1- (12>

\=п+1 1=1

Системы уравнений (II) и неравенств (12) посредством известного приема могут быть расширением пространства пере-

меншх сведены соответственно к ограничениям Аг=Ъ и дг^с, где вектор г содержит текущие и лаговые значения экзогенных и эндогенных переменных.

В рамках рассматриваемого подхода к прогнозированию с неопределенностью в прогнозной' информации решены задачи: описания множества У допустимых прогнозных траекторий; отыскания прогнозной траектории из У, минимизирующей максимально возможную ошибку прогноза; проверки принадлежности некоторой фиксированной траектории множеству У; оценки максимально возможной ошибки прогноза, если у € У, или расстояния от у до У в противном случае.

В шестой главе рассматриваются вопросы построения экс-пертно-статистических моделей, отличающихся от статистических тем, что на различных этапах- их разработки привлекается экспертная информация, обрабатываемая специальными методами, некоторые из которых излагаются ниже.

Необходимость такого привлечения может быть вызвана несовпадением тенденций функционирования объекта на периодах основания и упреждения, вследствие чего даже при достигнутых на первом из них низких значениях ошибок аппроксимации прогностические характеристики модели оказываются неудовлетворите льнымч.

В том случае, если у исследователя есть убежденность в правильности выбранной спецификации модели, экспертную информацию следует использовать для корректировки оцениваемых параметров. Такая информация может выражаться в суждениях относительно существовашя верхней или нижней границы для зна .ений эндогенной переменной у на части периода упреждения, монотонности изменения значений у и т.д.. Экспертные суждения могут иметь условный характер и выражаться в виде импликаций, отражающих свойства как переменной у, так и переменных 1=Т7гя.

Широкий класс экспертных высказываний формализуется в вкде следующих ограничений на параметры а:

где у*(а) - значение переменной у, выраженное через а с по-

(13)

мощью уравнения (I).

В этом случае задача оценивания параметров уравнения (I) сводится к минимизации выбранной функции потерь при ограничениях (13). Для линейной зависимости (2) поиск МНМ-оце-нки с учетом экспертной информации сводится к решению задачи ЛП.

Если экспертные суждения имеют более сложный усповный характер,то они представимы в виде дизъюнктивной нормальной формы логики высказываний, что требует при корректировке параметров уравнения решения нескольких задач математического программирования.

При взаимной противоречивости экспертных высказываний или их несогласованности со статистической информацией возникает проблема уменьшения влияния этих явлений. Она решена в работе в двух постановках. Задачи максимизации числа взаимно непротиворечивых высказываний и минимизации суммарного нарушения ограничений (13) сводятся соответственно к задачам ЧЩП и ЛП.

Экспертная информация наряду со статистической может быть использована" для решения проблемы выбора наиболее адекватной исследуемому процессу формы связи между независимыми переменными.

Пусть экспертные высказывания представимы совокупностью импликаций вида х € Ак => у £ Гк, к € К2, ук € Ук ■* х е Ак, к К3, х ь Ак о у £ Ук, к е К4 с интервальными векторами Ак и числами Ук, где х - вектор независимых переменных.

Тогда данная проблема для совокупности линейных по параметрам аппроксимирующих функций сводится к отысканию квазиоценок а(И5) для каждой из них с последующим выбором функции, квазиоценка параметров для которой обеспечивает минимум функции потерь. Сформированная при этом выборка состоит из двух частей - точечной для статистической и интервальной для экспертной информации.

Одной из причин, вызывающих резкое ухудшение прогностических характеристик модели, может быть неучет в ней незначимых на предыстории факторов, влияние которых может резко усилиться на периоде упреждения прогноза. Не всегда эксперт-

ная информация относительно характера такого усиления приводит к построению одной удовлетворительной зависимости. В этом случае необходимо предусмотреть возможность изменения аналитической формы связи между переменными (структуры модели) с помощью специального формального правила.

Пусть экспертная информация представима выражениями

(х € As) Л (г i гг) - у i Ysl, (в,l) € Р, (14)

где z -вектор неучтенных в модели в явном виде переменных, а As и Zj - интервальные вектора.

Сформируем |Р| состоящих, как и раньше, из двух частей выборок, последнее наблюдение в которых имеет интервальный характер и отражает одно из высказываний (14).

Подберем для каждой из них квазиоценку asl (Пр) для допустимого множества оценок 112, обеспечивающую минимальное значение соответствующей функции потерь среда всех аддитивных функций из некоторого их набора В случае, если в качестве функции потерь принять J1(а), такой выбор приводит к решению серии задач ЛП.

Тогда правило изменения структуры модели формализуется построением линейной по параметрам кусочной зависимости

' .....aw all)t (х € VAi"2 € V

У к =

• • • 'XkJ aSl)' (Х € V/VZ € V

где е Т для всех (8,1) (. Р, /0 - аппроксимирующая функция построешая только по статистической информации.

Не всегда альтернативность форм связи между переменными в модели эффективно разрешать назначением лучшей в заданном смысле формы, поскольку каждая из них может иметь свои привлекательные свойства. В таких случаях более рационально использовать экспертную информацию для формирования агрегированной зависимости, например, в виде линейной свертки всех II построенных частных аппроксимаций

.....хкш> + 4' 1

Пусть имеется Ь экспертных высказываний вида х = х* =»

» у e [a,. bk], k=TTZ. -Требуется построить агрегированную

N

аппроксишфующую функцию F(x; а) = ) piFi(x; а1) посредством соответствующего выбора взвешивающих коэффициентов

N

pJ > О, ^ р1 = 1. Эта аппроксимация должна хорошо приб-i=i

лижать предыстории процесса и быть согласованной с экспертной информацией.

Введем обозначения: У = {Fi(x*, а1)}, -г-г. ,

L i-l.H

[a,t>] = х Ца., b. 3. Рассматриваются четыре возможных слу-к=1 '

чая: а), [а, Ь] * 0, [а, Ы П ? / 0; б), [a, £>] = 0,

I J[ak,b, ] П У * 0; в).[а,Ь) П У = 0; r).I_Jtak,tU П У = 0, rt Jt k=J * к

для каждого из которых поиск коэффициентов fi1, i-TTft сводится к решению соответствующей задачи ЛИ.

В седьмой главе описывается программная система построения моделей (СШ), основанная на представленных в предыдущих главах методах и алгоритмах и входящая в состав разработанной под научным руководством автора экспериментальной версии автоматизированной системы моделирования.

СПМ имеет открытую архитектуру, позволяющую оперативно расширять состав включенных в нее методов, и содержит независимые программные процедуры, объединяемые в единый кош-лекс с помощью специализированной программы - монитора. Эти процедуры допускают и автономное использование. Возможности СПМ определяются следующим составом функциональных блоков: предварительной обработки данных, экспертно-статистического моделирования, обработки информации с интервальной неопределенностью, форм связи, методов оценивания параметров, реализации "конкурса" моделей, оценки адекватности моделей.

Наряду с представленными в диссертации алгоритмами СПМ включает в свой состав и традиционные методы, в частности, МНК и МНМ с различными ж модификациями. Настоящая версия СШ реализована на IBM - совместимых компьютерах в среде операционной системы DOS 3.0.

В Приложениях приведены экранные формы и меню программного комплекса КЭМ реализации "конкурса" моделей, а также описаны с целью иллюстрации эффективности разработанных в диссертации методов и программных средств результаты решения ряда прикладных проблем, связанных с моделированием и прогнозированием социально-экономического развития Иркутской области, анализом последствий для крупного города возможного землетрясения, 'исследованием влияния окружающей среды на здоровье населения. Кроме того, приведены акты и справки о практическом использовании полученных в работе результатов.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Проведенные исследования позволили выявить направления развития методологии анализа данных с целью его применения для моделирования объектов, характеризующихся нестабильностью функционирования и неопределенностью в исходной информации. Разработанные в рамках этих направлений методы, алгоритмы и программные средства могут составить инструментальную основу технологии построения комплексных моделей таких объектов для решения широкого круга прогнозных и аналитических проблем, имеющих важное прикладное значение.

Основные научные и практические результаты исследования состоят в следующем.

1. Изучены особенности исследования методами математического моделирования объектов с нестабильным функционированием и неопределенностью в обрабатываемой информации с позиций анализа данных. Показано, что эффективное решение возни-какмих при этом проблем возможно посредством разработки новых видов аппроксимирующих функций и методов параметрической идентификации, алгоритмических схем многокритериального выбора лучшей модели, методов оценивания параметров в условиях интервальной неопределенности, способов использования при моделировании экспертной информации, создания соответствующего программного обеспечения.

2. Расширен спектр методов оценивания параметров статистических зависимостей, направленных на учет свойств конкретных данных. В частности, разработаны методы: множествен-

ной и точечной параметрической идентификации в двухкритериа-льной задаче оценивания, выделения наиболее информативных независимых персмешшх из некоторой избыточной их совокупности, уменьшения аддитивной ошибки аппроксимации степенной зависимости, назначения весов наблюдений при применении взвешенных способов оценивания, построения области определения модели с целью выявления границ ее применимости.

3. Предложены способы определения оценок параметров некоторых форм связи между переменными в моделях: аддитивной, с параметрами в виде дискретных функций времени, кусочно-линейной с одновременным определением значений параметров и точек переключения. Использование этих форм позволяет, как правило, добиться приемлемого качества аппроксимации процессов, нестабильных на предыстории. Разработан простой способ приближенного оценивания параметров функции с постоянными пропорциями.

4. Разработаны методы, алгоритмы и программные средства проведения "конкурса" моделей, состоящего в построении множества альтернативных вариантов каждой модели с последующим выбором наиболее адекватного из них на основе векторного критерия качества с использованием аппарата теории принятия решений. С целью повышения технологичности такого "конкурса" предложены способы построения линейной и линейно-квадратичной сверток локальных критериев.

5. Развит подход к построению моделей на основе информации интервального характера, базирующийся на унифицированном описании множеств решений интервальной системы линейных алгебраических уравнений. В его рамках решены проблемы множественного и точечного оценивания параметров линейного уравнения по интервально заданной выборке, оценивания параметров при наличии пропусков в данных, прогнозирования по дискретной динамической линейной модели с не вполне определенной информацией о значениях экзогенных переменных на периоде упреждения.

6. Разработаны методы совместного использования при решении проблем моделирования и прогнозирования статистической и специальным образом формализованной экспертной информации.

Решены проблемы: корректировки оцениваемых параметров с учетом возможной взаимной противоречивости экспертных высказываний и их несогласованности с предысторией исследуемого процесса, выбора параметрического класса аппроксимирующих функций, построения модели с переменной структурой, агрегирования частных аппроксимирующих функций.

7. На основе предложенных в работе методов и алгоритмов разработана программная система построения моделей объектов, характеризующихся нестабильным функционированием и неопределенностью в данных.

8. Представленные в диссертации методы и программные средства положены в основу решения ряда важных прикладных проблем, связанных с количественной оценкой концепций управления Иркутской областью; разработкой мероприятий по снижению последствий возможного землетрясения в районе крупного города и методики оценки прямых, косвенных и сопряженных потерь; анализом влияния окружающей среды на здоровье населения.

Основные положения и результаты диссертации представлены в следующих публикациях:

1. Васильев С.Н., Селедкин А.П., Долгоаршинных Б.Г., Носков С.И. и др. Пакет прикладных программ по исследованию операций и автоматизации принятия решений // Алгоритмы и программы. Инф. бюллетень, 1984.-J62.-С.41-42.

2. Матросов В.М., Головченко В.Б., Носков С.И. Моделирование и прогнозирование социально-экономического развития административной области // Всес. конф. "Теория, методология и практика системных исследований". Тезисы докл. Москва, 1984.-С.143-144.

3. Головченко В.Б., Носков С.И. О комплексе программ сравнения эконометрических моделей на примере некоторых регрессионных зависимостей // Пакеты прикладных программ. Функциональное наполнение.-Новосибирск: Наука, 1985.-С.90-96.

4. Носков С.И. Об одном способе улучшения прогнозных свойств регрессионных уравнений // Пакеты прикладных программ. Функциональное наполнение. -Новосибирск: Наука, 1905.-

С.96-99.

5. Носков С.И. .Павлинская Л.II. Об одном способе выбора методов оценивания параметров в регрессионном анализе // VII Всес. конф. "Проблемы теоретической кибернетики". Тезисы докл. т.2. -' Иркутск,-1985. - С.80.

6. Головченко В.В., Носков С.И. Многокритериальный выбор наилучшего уравнения регрессии // Пакеты прикладных программ- Итоги и применение.-Новосибирск:Наука, 1986.-С.168-174.

7. Матросов В.М., Носков С.И. Математическая модель промышленности административной области // Прикладные проблемы ' управления макросистемами.-М: ЕНИИСИ,1986.-С. 107113.

8. Носков С.И. Использование некоторых типов преобразований переменных при построении регрессионных зависимостей // Пакеты прикладных программ. Итоги и применение.-Новосибирск: Наука, 1986.-С.174-179. •

9. Носков С.И. Некоторые вопросы построения регрессионных уравнений при эконометрическом моделировании // Дифферен-нциалыше уравнения и численные методы. -Новосибирск: Наука, 1986. - С.263-269.

10. Носков С.И., Павлинская Л.И. Один метод построения нелинейной регрессии // Деп. в ВИНИТИ, 1986. - ЖЕ283-В86. -5 с.

11. Matrosov V.M., IJoskov S.I. A dynamical model ior the administrative region // 5th IFAC/IFOES Conference on dynamical modelling and control of national economics. Abstracts. -Budapest. -1986. -P.74-75.

12. Лавров Н.Г., Носков С.И. Сравнительный анализ функционирования и развития однородных народнохозяйственных объектов на базе автоматизированной системы моделирования // Инструментальный аппарат моделирования экономических си. Стем.-М.:ЦЭМИ АН СССР, 1988.-С.37-43.

13. Носков С.Г., Власова О.В. Способ выбора весов наблюдений в регрессионном анализе // Деп. в ВИНИТИ, 1988.-Ш424-В88.-12 с.

14. Носков С.И., Жидиханов Б.Р., Доценко С.Г. Информацион-

ное обеспечение системы моделей функционирования и развития промышленности административной области // Инструментальные системы и моделирование. Новосибирск: Наука, 1988.-С.134-140.

15. Носков С.И. Некоторые вопросы эконометрического моделирования промышленности области // Приложение математических моделей к анализу эколого-экономических систем. - Новосибирск: Наука, 1988. -С.32-38.

16. Носков С.И., Каратуев В.Г. Применение инструментальной системы ВИКАР для разработки программного обеспечения некоторых этапов построения и использования эконометри-ческих моделей // Инструментальные системы и моделирование. - Новосибирск: Наука, 1988. - С.148-157.

17. Носков С.И., Потороченко H.A. Об одном подходе к организации "конкурса" зконометрических моделей // Всес. конф. "Территориальные неоднородные информационно-вычислительные системы". Тезисы докл. - Новосибирск, 1988. -С.94-96.

18. Матросов В.М., Головченко В.Б., Носков С.И., Жидиханов Б.Р. К созданию автоматизированной системы моделирования развития области // Информатизация и моделирование территориальных социально-экономических систем.-Новоси-бирск:ВЦ СО АН СССР, 1989.-С.77-97.

19. Головченко В.Б., Жидиханов Б.Р., Носков С.И. и др. Информационно-программное обеспечение автоматизированной системы моделирования социально-экономического развития области // Интеллектуализация программных средств.-Новосибирск: Наука, 1990.-С.178-187.

20. Головченко В.Б., Носков С.И. Оценивание параметров лине. йной регрессии с переключениями // Деп. в ВИНИТИ, 1990,

Ж5797-В90.-12 с.

21. Головченко В.Б., Носков С.И. Эконометрическое моделирование на основе статистической и экспертной информации // Всес. конф. "Информатизация и моделирование территориальных социально-экономических объектов". Тезисы докл. -ч.2.-Новосибирск, 1990.-С Л0-11.

22. Лавров Н.Г., Носков С.И., Карпов В.Г. Разработка распре-

деленных информационных технологий моделирования // Всес. конф. "Информатизация и моделирование территориальных социально-экономических объектов". Тезисы докл. 4.2. Новосибирск, 1990.-С.40-42.

23. Матросов В.М., Головченко В.Б., Носков С.И., Поторочен-ко H.A. Система моделей социально-экономического развития административной области: опыт разработки и применения // Всес. конф. "Информатизация и моделирование территориальных социально-экономических объектов". Тезисы докл. ч.2.-Новосибирск, 1990.-С.5-7.

24. Матросов В.М., Носков С.И. Методологические проблемы автоматизации моделирования социально-экономического развития административной области // 11-я Межд. конф. "Применение математических методов в экономике". Тезисы докл.-Г.Свищтов, Болгария, 1990.-С.33-35.

25. Носков С.И. Коррекция параметров регрессионных уравнений по критерию "согласованности поведения" // Всес. конф. "Информатизация и моделирование территориальных социально-экономических объектови. Тезисы докл. ч.2. -Новосибирск, 1990. .-С.12-14.

26. Носков С.И. Критерий "согласованности поведения" в регрессионном анализе //Два. в ВИНИТИ, 1990, - М674-В90. - 8 с.

27. Головченко В.Б., Носков С.И. Оценивание параметров эко-нометрической модели по статистической и экспертной информации // Автоматика и телемеханика. -1991. —J64.-С. 123 -132.

28. Лакеев A.B., Носков С.И. Конструктивное описание множества решений линейного уравнения с интервально заданными оператором и правой частью // Препринт ИрВЦ СО АН СССР, Иркутск, I99I.-J6I.-I6 с.

29. Матросов В.М., Головченко В.Б., Носков С.И. Моделирование и прогнозирование показателей социально-экономического развития области.-Новосибирск¡Наука, 1991.-144с.

30. Носков С.П., Головченко В.Б., Жидиханов Б.Р. Методы и технология моделирования социально-экономического развития области // Труды I Межд. совещ. "Модели, методы и

программные средства анализа глобальной и региональной устойчивости развития".-Москва, 1991.-С.128-139.

31. Носков С.И. Интервальные эконометрические модели: проблемы построения и использования при прогнозировании // Деп в ВИНИТИ, 1991.-Ш59-В91.-Ю с.

32. Носков С.И. Построение эконометрических моделей с переменной структурой на основе, экспертной информации // Деп. в ВИНИТИ, 1991. - Ж3159-В91. -12 с.

33. Головченко В.Б., Носков С.И. Выбор класса линейной по параметрам регрессии на основе экспертных высказываний // Кибернетика и сист. анализ.-1992.-JS5.-С.I09-II5.

34. Головченко В.Б., Носков С.И. Комбинирование прогнозов с учетом экспертной информации // Автоматика и телемеханика . -1992. -Ш. -С. 109-117.

35. Лакеев A.B., Носков С,И. Описание множества решений интервального уравнения в упорядоченном пространстве // Межд. конф. "Интервальные и стохастические методы в науке и технике". Тезисы докл. Москва, 1992.-С.87-89.

36. Носков С.И., Потороченко H.A. Диалоговая система реализации "конкурса" регрессионных зависимостей // Управл. системы и машины. - 1992. - JK3/4. -C.III-II6.

37. Головченко В.Б., Косков С.И. Прогнозирование на основе дискретной динамической модели с использованием экспертной информации // Автоматика и телемеханика.-1993.-МО. -С.140-148.

38. Лакеев A.B., Носков С.И. Описание множества решений линейного уравнения с интервально заданными оператором и правой частью // Докл. РАН, 1993.-т.330. -М. -С.430-433

39. Носков С.И., Жидиханов Б.Р. Опыт создания средств автоматизации процессов моделирования и прогнозирования развития региона // Управл. системы и машины.-1993.-Ю. -С.100-104.

LfrЪ