автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Методы математического моделирования сингулярно закрепленной консоли

003055631

На правах рукописи

0Щ

Обласова Ирина Николаевна

МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ СИНГУЛЯРНО ЗАКРЕПЛЕННОЙ КОНСОЛИ

05 13 18 — Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Таганрог - 2007

003055631

Работа выполнена на кафедре прикпадной математики ГОУ ВПО «Северо-Кавказский государственны» технический университет»

Научный руководитель кандидат физико-математических наук,

доцент Денисенко Таисия Ивановна

Официальные оппоненты, доктор физико-математических наук,

профессор Сухинов Александр Иванович

доктор физико-математических наук, профессор Семенчин Евгений Андреевич

Ведущая организация. Воронежский государственный университет

Защита состоится « ХО» О^Г^Х/лАЛ. 2007 г в часов на

заседании Диссертационного совета ДМ 212 208 22 при Южном федеральном университете по адресу 347928, Таганрог, пер Некрасовский 44 корпус Д

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Технологического института Южного федерального > ниверситета в г Таганроге

Автореферат разослан «

2007 г

Ученый секретарь диссертационного совета.

доктор технических наук /^ АН Целых

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Общая характерней ика исследования.

В соответствии с паспортом специальности 05 13 18 «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ» предметом настоящей работы является разработка и обоснование методов математического моделирования нерегулярной консоли с целью создания математической базы исследования физически важных качественных свойств

Актуальность темы.

Одной из базовых математических моделей инженерной математики и строительной механики является уравнение

знакомое всем, например, по курсу "Сопротивление материалов" Это уравнение описывает упругие деформации стержня (балки), и не зависит от условий закрепления концов, которые в интересующем нас (и наиболее сложном в инженерном плане) случае имеют вид

Условия (2) означают, что левый конец наглухо защемлен, а (3) — что правый конец свободен Функция f(x) определяется внешней нагрузкой

Стандартные для инженерных справочников расчеты проводятся для случаев, когда Е — модуль Юнга и J(x) — момент инерции поперечного сечения постоянны Если при этом и f(x) = const, то уравнение (1) решается напрямик по обычным правилам студенческих учебников, заложенным в стандартные пакеты для ПК На возможности явно решить такое уравнение построены и все основные формулы "Сопромата"

(EJu") =/

(1)

и(0) = и'(0) = 0 и- (/) = „"(/) = 0

(2) (3)

Но уже в достаточно простой практической ситуации, когда стержень — по типу стрелы подъемного крана — нагружен в какой-то точке х = £ локальной силой (подвешен груз) и, кроме того, в некоторой точке х-г] находится под воздействием упругой опоры (трос, удерживающий стрелу), то в

г

этих точках перерезывающая сила (К/и") (х) испытывает скачок

В этих точках уравнение (1) нарушается и вместо одного уравнения и четырех условий (2), (3) (т е обычной краевой задачи) получается уже три уравнения (на трех кусках) с дополнительными условиями согласования Математически эти условия мало приятны, так как их трудно признавать за краевые

Еще сложнее оказывается задача с "хорошим", т е, однородным стержнем, если речь идет о колебаниях, когда вместо внешней силы / в точке х = 4 имеется сосредоточенная масса, т е уравнение (1) заменятся на

п

(ри") =со2ти,

где т(х) содержит, как говорят физики, дельта-функцию Кстати говоря, и в точке х = г\ наличие упругой опоры тоже означает присутствие £-функции, соответствующей сосредоточенному внешнему воздействию упругой опоры (троса).

Перед подобными задачами, инженерная актуальность которых очевидна, практическая наука долгое время была без всякой поддержки математиков К концу XIX в появился знаменитый трактат Стилтьеса, где он рассмотрел и проанализировал колебания физической системы с сосредоточенными массами (упругая нить с бусинками) Теоретические трудности Стилтьесу удалось преодолеть за счет введенного им нового типа интеграла (вида ] /¿а), получившего в дальнейшем его имя

В первой половине XX в проблему нерегулярного распределения масс для упругого стержня изучали М Крейн и Ф. Гантмахер Ими была изучена и

многоопорная балка, где помимо уравнения (1) и условий типа (2), (3) появляются еще дополнительные условия внутри вида zí(/7,) = 0 (i = l,m) Так как в этих точках уравнение (1) наверняка нарушалось, то о краевой задаче обычного типа говорить нельзя, и соответствующий математический анализ был проведен с использованием функции влияния Здесь важным было то, что между точками rjltrjltt многоопорная балка должна подчинятся уравнению вида

(EJu") = 0 Почему — мотивация из области физической интуиции равно, как и представление о функции влияния

Описание неудобных (нерегулярных) внешних параметров математически может быть охвачено — опять же с интуитивной точки зрения — с помощью уравнения

(ри") +Q'u = F' (=со2М'и) (4)

где Q,F (и М), разрывные функции и Q',F (и М') — их обобщенные производные

Развитая в середине XX в теория обобщенных функций, наиболее важные в прикладном плане свойства, не может даже описать, так как в уравнении (4) все слагаемые — не поточечные (при каждом х) определяемые функции, а абстрактные функционалы И стандартные методы дифференциального и интегрального исчисления, традиционные для практической математики, здесь бессильны

Недаром в 50-е годы даже для уравнения "стилтьесовской струны", т е для уравнения

~(ри') +Qu = F (= а>гМ'и) в обход этому ничего не дающему внешнему формализму обобщенного дифференцирования и Ф Аткинсон и М Г Крейн и С Кац использовали интегро-дифференциальное уравнение

-(pu'Yx)+(pn\){0) = U(s)dM(S) о

с интегралом Стилтьеса

В данной работе ставится задача построения математической модели для нерегулярной консоли, когда уравнение типа (1) может быть (пока условно) записано в виде (4), т.е

(ри) +(Уи = F (= согМ'и) когда и р{х) не обязательно гладкая функция, и взаимодействие нашего объекта с внешней средой не определяется непрерывными функциями, когда не только не применимы стандартные методы решения, но и использование даже общепринятых физических методов обоснования вызывают сомнения в их корректности

Цель работы.

Разработка методики построения и анализа математической модели протяженной одномерной упругой системы типа балки—консоли с нерегулярными взаимодействиями с внешней средой

Поставленная цель достигается за счет решения следующих задач

• построение и обоснование математической модели напряженного состояния нерегулярного стержня в виде интегро-дифференциального уравнения

(ри")'(х) + J udQ = F(x)-F(0) + (ри")'( 0), (5)

о

• анализ математической корректности этой задачи,

• точное математическое определение для нерегулярной консоли функции влияния, как ключевой характеристики модели,

» изучение качественных свойств функции влияния;

• изучение абстрактных свойств интегрального оператора

(Аи)(х) = ]

о

методами теории полуупорядоченных пространств,

• анализ ведущей собственной частоты, соответствующей главной критической вибрации,

• проверка возможности переноса на изучаемую модель классических проекционных методов приближенных вычислений, для чего — разработка алгоритма проекционного метода типа конечных элементов и проведение численного эксперимента

Новые результаты, установленные в работе:

- построено интегро-дифференциальное уравнение (5), моделирующее малые деформации упруго опертой консоли,

- на основе вариационных принципов механики проведено обоснование адекватности модели относительно натурального (физического) объекта,

- исходя из вариационной природы уравнения (5) дано точное определение функции влияния изучаемого объекта

- доказаны основные свойства функции влияния, уподобляющие ее функции Грина, несмотря на диаметрально противоположную (минуя аксиомы) методологию ее введения,

- показана положительность интегрального оператора, обращающего (9) при условиях закрепленного левого и свободного правого концов,

Методика исследования.

Опора на разработку новых средств, внешне аналогичных классическому дифференциальному исчислению с использованием интегралов Стилтьеса Основная идеология - методологическая параллель классической теории, но на

базе новых понятий и терминов, охватывающих существенно более глубокий класс физических объектов

Степень обоснования научных положений, выводов и рекомендаций, сформулированных в диссертации.

Все результаты диссертации строго обоснованы в форме четких математических доказательств

Научная ноптана.

В диссертации изучается интегро-дифференциальное уравнение, описывающее малые деформации сингулярно закрепленной консоли Для такого уравнения строится и изучается функция влияния, дается корректное определение и исследуются ее свойства, чего в отмеченных выше работах не делалось

Теоретическая и практическая значимость

Работа носит теоретический характер Полученные в ней результаты могут быть использованы в математической физике, теории дифференциальных уравнений, теории меры и интеграла В работе показана эффективность разработанных методов для теоретического доказательства важнейших физических свойств

Установленные в работе результаты позволяют сепарировать приближенные методы по степени их пригодности и эффективности в задачах упругой статики одномерных сингулярных континуумов

На защиту выносятся следующие положения:

1. Конструктивные возможности вариационных принципов в построении математической модели нерегулярной консоли в виде задачи

\и(ри")'+)и<Н24<1Р (=«>2Ь«йЛ

^ о о о V о } (6)

![и(0) = и'(0) = 0, «'(/) = «"(/) = о,

2 Доказательство математической корректности задачи (6)

3 Математическая формализация понятия фуш_,ии влияния исходной консоли Доказательство интегрального представления реальной формы консоли через внешние силы

и(х) = \н(х,*)с{Г{1) о

где Р(х) — сила, приложенная на отрезке [о, х]

4 Установлен комплект свойств функции влияния, аналогичный пакету аксиом классической функции Грина и позволяющих однозначно построить функцию влияния

5 Доказана строгая положительность Н(х,я) при 0 < х, .у На основании этого доказано, что интегральный оператор

(Аи)(х) = \н(х,5)и(х)с1М(а)

о

со строго возрастающей (и не непрерывный даже) функцией, определяющей произвольное распределение масс, строго положителен в пространстве, полуупорядоченным конусом Крейна-Красносельского

6 Доказана алгебраическая простота ведущего собственного значения этого оператора, что соответствует единичной кратности (и отсутствию присоединенных функций) для критических частей главных поперечных вибраций, когда амплитудная функция не имеет внутренних узлов и когда соответствующие уравнение имеет вид

\dipu")' >г]ис{д = \^)ис1\4

ООО

7. С опорой на предыдущие свойства построен алгоритм проекционного метода по типу метода конечных элементов и проведен численный эксперимент, показывающий уверенную и быструю сходимость

Личный вклад автора в получении научных результатов, изложенных в диссертации

Задача диссертационного исследования была поставлена и выполнена совместно с научным руководителем, принимавшим участие, как в обосновании, так и в обсуждении конкретных моделей Все аналитические и компьютерные расчеты проведены автором самостоятельно

Апробация работы

Основные результаты диссертации докладывались на заседаниях кафедры высшей математики и кафедры прикладной математики Северо-Кавказского Государственного Технического Университета, на V, VIII региональных научно-технических конференциях "Вузовская наука — Северо-Кавказскому региону" (2001, 2004г ), на VI Международной конференции "Циклы" (2004г), на первой и второй международной научно-технической конференции «Инфотелекоммуникационные технологии в науке и технике» (г Ставрополь 2004г, г Кисловодск 200бг), на международной научной конференции «Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования» (г. Воронеж 2005г), на Воронежской весенней математической школе «Понтрягинские чтения - XVII» (г Воронеж 2006г.), на третьей международной конференции «Нелокальные краевые задачи и родственные проблемы математической биологии, информатики и физики» (Нальчик 200бг)

Публикации.

По материалам диссертации опубликовано 10 печатных работ, из них 5 статей, в том числе одна в журнале из перечня ВАК, 5 тезисов докладов

Структура диссертации.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка цитируемой литературы Объем работы 126 страниц машинописного текста, включая 24 рисунка и библиографию, содержащую 103 наименования

Автор выражает глубокую признательность и благодарность кандидату физико-математических наук, доценту Денисенко Таисии Ивановне за постановку задач и общие рекомендации к их выполнению, обсуждение полученных результатов, оказанную помощь и поддержку при работе над диссертацией

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, формулируются цели, задачи, объект и предмет исследования, научная новизна, теоретическая и практическая значимость работы

В первой главе приводятся необходимые понятия и факты из современного анализа и теории краевых задач

Во второй главе строится и исследуется интегро-дифференциальное уравнение

(pii"f(x) + ]ii(s)dQ(s) = F(x) +const, (7)

о

в предположении, что р, Q и F — функции ограниченной вариации, а штрих означает обычную производную Решения ищется в классе непрерывно дифференцируемых функций, вторые производные которых имеют

ограниченную на [0,1] вариацию, и производные (ри")' имеют конечное на [0,1] изменение

Генезис такого уравнения объясняется в §1 - для случая, когда уравнение (7) имеет физическую природу, возникая из задачи минимизации функционала энергии

(8)

(9)

I ри"2 ^ и2 1 о 2 о 2 о

для консоли Здесь же доказывается условия разрешимости (7) Теорема 2.1,2. Краевая задача

(ри-ум=р(х)+(Ри"т,

о

"(0) = 0, {«'(0) = 0, и"( 1) = 0,

(р«7(1) = о,

I

невырождена

Во втором дается точное математическое определение функции влияния рассматриваемой системы Мы исходим из физического понимания этой функции Н(х, х) как реакция системы на единичное внешнее возмущение в точке х = £ Используя вариационные законы механики, как инструмент моделирования, мы приходим к определению Н(х,.ч) как минимали функционала (8) при Г(х) = ©(х-£) где ©(*) - функция Хевисайда (те ©(.*) = 0 при х < 0 и ©(л) = 1 при л: > 0) Это значит, что

(к 4 , о 2

#(*,£) -» тт

о 2 о 2 ^

Теорема 2.2.1. Функция влияния К(х,з) задачи

Ф —» тт

определяется равенством

К{х, s) = g(x, j) - i I, (g(, s))p, (x), (11)

где точка (•) вместо аргумента показывает по какому аргументу применяется функционал /,

В третьем параграфе устанавливается податливость классической консоли, а именно доказываются теоремы.

Теорема 2.3.1. Если F(x) (Ф const) не убывает на [0,1], то решение и(х) задачи

(ptf)'(x) = F(x) + const, и(0) = 0,

¡i/(0) = 0, (12) if(l) = 0,

[(я/)'(1) = 0, положительно в интервале (0,1).

Теорема 2.3 2. Пусть F(x) (Ф const) не убывает на [0,1] Тогда для решения краевой задачи (12) справедливо неравенство

и"{ 0)>0. (13)

В четвертом параграфе вводится аналог определителя Вронского и исследуются его свойства

В пятом - устанавливается интегральная обратимость исходной задачи, а именно доказывается теорема

Теорема 2.5.1. Если K(x,s) функция влияния краевой задачи

(рг/)\х) + J u(s)dQ(s) = F{x) + const, о

u(0) = 0,

!«'(0) = 0, (14)

m"(1) = 0, {pu")( l) = 0,

I

то решение представимо в виде

и(х) = j K(x, s)dF(s). (15)

о

Последний интеграл понимается по Риману-Стилтьесу В третьей главе изучается такое важное для приложений свойство, как податливость

В первом параграфе вводится понятие Н -положительного оператора Определение 3.1.1. Оператор В назовем Н -положительным, если для некоторого hu > 0 0) и любых ие К

Ви "2. \\Bu\\h0

Доказывается справедливость теоремы Теорема 3 1.1. Интегральный оператор

BF(x) = \K0(x,s)dF(s), о

где K0(x,s) - функция влияния задачи

' (ри")'(х) = F(x) + const, и( 0) = 0, ¡и'(0) = 0, «"0) = 0, [(р«')'(1) = 0)

является Н -положительным

Во втором параграфе изучаются свойства интегрального оператора, обращающего краевую задачу

(16)

(17)

(18)

Введем обозначения

(BFXx) = {K0(x,s)dF(s) (19)

о

и

(i4«X*) = U0(*,jM5)rfS(i) (20)

о

Теорема 3.2.1. Существует функция g0 (х) такая, что для любого re К справедливо неравенство

Bz < ¡5z||g0, (21)

причем

Ag,<PK (22)

при некотором ¡3

В третьем параграфе устанавливается податливость модели, а именно доказывается теорема

Теорема 3 3.2. Пусть К0 (х, s) - функция влияния краевой задачи

' (ри"){х) = F(x) + const, и( 0) = 0,

!"'(0) = 0, (23)

ри"( 1) = 0, [(p«")'(l) = 0,

функция Q{x) - произвольная неубывающая функция (t 0), непрерывная на концах [0,1] Тогда величина

.K0(x,t)K0(t,s)

kq = sup J ' ° 'dQ{t) (24)

о K0{x,s)

конечна и при kq < 1 задача

(puJ(x) + U(t)dQ(t) ~ F(x) + const,

0

м(0) = 0,

^(0) = 0, (25)

pu(l) = 0, (pu"KD = o,

[

положительно обратима

В четвертом параграфе показывается положительность ведущей частоты Теорема 3.4.1. Пусть Ка (х, s) — функция влияния краевой задачи

' (ри)'(х) = F(x) + const, и{ 0) = 0,

¡1/(0) = 0, (26) ри"{\) = 0, [(р«")'(1) = 0,

функция Q(x) — произвольная неубывающая функция (Ф 0), непрерывная на концах [0,1] Величина

| Ka(x,t)K,(t,s)

к о =sup/

о А'о (х, i)

-dQ(t)

удовлетворяет условию

kq< 1

(27)

(28)

Тогда ведущее собственное значение задачи

(рг/)'(х) + ] u{t)dQ(t) = Л] u{s)ds + const, о о

и(0) = 0, ¡|/(0) = 0, ри"{ 1) = О, (ргП{\) = О,

является простым, положительным собственным значением, которому соответствует положительная в (ОД] собственная функция

В 5 — 8 параграфах обсуждается возможность построения для интегро-дифференциального уравнения рассмотренного вида с сильными особенностями приближенно проекционных методов типа метода конечных элементов Производится апробация на конкретных задачах

В этом плане в начале строится (§ 5) метод конечных элементов для и.чтегро-дифференциального уравнения, моделирующего деформации сингулярной струны В качестве базисных берутся функции стандартные для обычного уравнения с гладкими коэффициентами Численный эксперимент (§ 6) показал достаточно высокую эффективность такого подхода

В седьмом параграфе построен алгоритм для приближенного решения уравнений на основе метода конечных элементов для интегро-дифференциальных моделей сингулярно нагруженного стержня

В восьмом параграфе приводятся два тестовых примера для построенного алгоритма в случае р(х) = 1 и 0(х) = О, показавшие достаточно быструю сходимость Так как функция влияния в этих случаях известна, то моясно получить точные решения Первый случай соответствует ситуации, когда непрерывная составляющая внешней силы равна нулю, а второй — имеет вид

В качестве базисных были взяты функции типа кубических сплайнов После применения алгоритма были получены приближенные решения для п~ 10 и п = 100 (на рис 1 и 3 показаны точные и(х) и приближенные решения, тонкой линией изображено приближенное решение, на рис 2 и 4 изображены погрешности |ы(лг) — при разбиении на 10 и 100 частей)

Рис. 1 Приближенное и точное решения

Рис 3 Приближенное и точное решения

Рис 2 Погрешность

Рис 4 Погрешность

Следующие рисунки (5 — 8) показывают аналогичную картину для случая наличия непрерывной составляющей

Рис 5 Приближенное и точное решения Рис 6 Погрешность

Рис 7 Приближенное и точное решения Рис 8 Погрешность

В заключения приведены основные результаты, полученные в диссертационной работе

Основные результаты и выводы.

В диссертации разработана и обоснована новая математическая модель сингулярно закрепленной консоли и получены следующие новые результаты

1 Выполнено обоснование вариационной постановки задачи о сингулярно закрепленной консоли и исследована ее корректность

2 Построена математическая формализация функции влияния для модели, описывающей деформацию консоли с сингулярностями, и получено интегральное представление функции, определяющей форму консоли через внешние силы.

3 Установлена совокупность свойств функции влияния, аналогичных свойствам классической функции Грина и позволяющих однозначно построить функцию влияния.

4 Установлена и строго обоснована положительность в пространстве, полуупорядоченным конусом Крейна-Красносельского, интегрального оператора (с ядром - функцией влияния), в случае строго возрастающих функций, описывающих произвольное распределение плотности масс.

5 Установлены спектральные свойства данного оператора, в том числе алгебраическая простота ведущего собственного значения этого оператора, что соответствует единичной кратности (и отсутствию присоединенных функций) для критических частей главных поперечных вибраций, когда амплитудная функция не имеет внутренних узлов

6 Выполнено численное моделирование для ряда модельных задач на основе проекционного (метода конечных элементов) метода, результаты которого согласуются с реальным процессом деформации закрепленной упругой консоли с сингулярностями, что свидетельствует об адекватности построенной модели

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1 Обласова, И Н Об одном варианте метода ускорения сходимости монотонных приближений к решению уравнений вида 5 =Ád+f / Я С Ладченко, И Н Обласова, О А Иванова // Материалы шестой международной конференции «Циклы» Т II - Ставрополь СевКавГТУ, 2004 - С 29-34

2 Обласова, И Н Уточнения оценок решений операторных уравнений / И Н Обласова - Деп в ВИНИТИ 15 07 2004. № 1242 - В2004 Ставрополь СевКавГТУ, 2004,-18с

3 Обласова, И Н. Интегральные неравенства для операторов, имеющих особенность в ядре / И Н Обласова // Высокие технологии — 2004 Сб тр науч -техн форума с междунар участием 4 2- Ижевск Изд-во ИжГТУ, 2004 -С 86-92

4 Обласова, И Н Двусторонние оценки решения операторных уравнений с положительными операторами / И Н Обласова // Сборник научных трудов СевКавГТУ Серия «Естественнонаучная» №1 - Ставрополь СевКавГТУ, 2005 - С 29 - 37.

5 Обласова, И Н Математическое моделирование функции влияния сингулярно закрепленной консоли / И.Н. Обласова // Материалы международной научной конференции «Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования» - Воронеж ВГУ, 2005 - С 170

6 Обласова, И Н Строгие оценки в операторных неравенствах / И Н Обласова // Известия вузов Северо-Кавказский регион Естественные науки -Ростов-на-Дону, 2005 -№3 -С 8-10

7 Обласова, И Н Положительность функции влияния сингулярно закрепленной консоли / И Н Обласова // Сборник научных трудов СевКавГТУ Серия «Естественнонаучная»№2-Ставрополь СевКавГТУ, 2006 -С 41-44

8 Обласова, ИН Новые методы математического моделирования сингулярно закрепленной консоли / И Н Обласова // Материалы второй международной научно-технической конференции «Инфотелекоммуникационные технологии в науке и технике» — Ставрополь СевКавГТУ, 2006 -С 71-72

9 Обласова, И Н Об одном методе математического моделирования сингулярно закрепленной консоли / Ф В Голованева, И Н. Обласова // Материалы конференции "Современные методы теории краевых задач" на Воронежской весенней математической школы "Понтрягинские чтения — XVII" - Воронеж, 2006 - С 43-44

10 Обласова, ИН Методы математического моделирования сингулярно закрепленной консоли / Т И Денисенко, И Н Обласова // Материалы третьей международной конференции «Нелокальные краевые задачи и родственные проблемы математической биологии, информатики и физики» - Нальчик НИИ ПМ и А КБНЦ РАН, 2006 - С 88-89

В работах, опубликованных в соавторстве, лично автору принадлежат

следующие результаты в работе [1] — — часть, в работах [9,10] - —части

Подписано в печать 07 03 2007 г Формат 60\84 1/16 Уел печ л - 1 37 Уч - изд л - 0 9 Бумага офсетная Печать офсетная Заказ 878 Тираж 100 экз ГОУ ВПО «Сеиеро-Кавказскии государственный техническим чниверситст» 355029, г Ставрополь пр К\такова 2

Издательство Северо-Кавказского государственною технического университета Отпечатано в типографии СевКавГТУ

I Вспомогательные сведения 18 1.1 Классическая модель консоли

1.2Некоторые факты из теории краевых задач

1.2.1 Общая теория краевых задач.

1.2.2 Функция Грина и функция влияния.

1.2.3 Свойства функции Грина.

1.3Элементы полуупорядоченных пространств

1.4Функции ограниченной вариации

1.5Интеграл Римана-Стилтьеса

1.60собенности интеграла Стилтьеса

II Свойства интегро-дифференциальной модели 41 2.10боснование модели с помощью вариационных законов 41 2.2Функция влияния 51 2.3Свойства функции влияния при Q(x) = const 54 2.4Свойства аналога определителя Вронского 61 2.5Интегральная обратимость краевой задачи

Ill Податливость модели

3.1 Свойство Я-положительности

3.2Свойства интегрального оператора при Q(x) ф const

З.ЗПодатливость консоли

3.4Положительность ведущей частоты

3.50 методе конечных элементов для интегро-дифференциальных моделей сингулярно нагруженной струны 90 3.5.1 Построение алгоритма.

З.бТестовые примеры

3.6.1 Внешняя сила состоит из сосредоточенных усилий.

3.6.2 Внешняя сила имеет непрерывную составляющую.

3.70 методе конечных элементов для интегро-дифференциальных моделей сингулярно нагруженного стержня

3.7.1 Построение алгоритма.

3.8Тестовые примеры

3.8.1 Внешняя сила состоит из сосредоточенных усилий.

3.8.2 Внешняя сила имеет непрерывную составляющую.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Одной из базовых математических моделей инженерной математики и строительной м механики является уравнение с которым студенты любого технического вуза знакомятся в курсе "Сопротивление материалов". Это уравнение, введенное более 200 лет назад Эйлером и Бернулли, описывает упругие деформации стержня (балки). Это уравнение не зависит от условий закрепления концов, которые в интересующем нас случае (и наиболее сложном в инженерном плане) случае имеют вид

Условия (2) означают, что левый конец наглухо защемлен, а (3) — что правый конец свободен. Функция f(x) определяется внешней нагрузкой.

Стандартные для инженерной практики рассчеты проводятся для случаев, когда Е — модуль Юнга и J(x) — момент инерции поперечного сечения постоянны. Если при этом и f(x) = const, то уравнение (1) решается напрямик но стандартным правилам, изложенным в студенческих учебниках и заложенных в стандартные пакеты для ПК. На возможности решить такое уравнение явно построены и все основные формулы сопромата.

На давайте представим себе достаточно реальную практическую ситуацию, когда наш стержень — по типу стрелы подъемного крана — нагружен в какой-то точке х = £ локальной силой (подвешен груз) и, кроме того, в некоторой точке х = ?] находится под воздействием упругой опоры (трос, удерживающий стрелу).

EJu")" = f

1) и( 0) = u'(0) = О, и"{1) = и"'{1) = 0.

2) (3)

Тогда, как хорошо известно, в этих точках перерезывающая сила (.ЕЗи")' (х) испытывает скачок, причем в точке х = £ величина этого скачка известна заранее — она равна сосредоточенной в этой точке внешней нагрузки, а в точке х = г] величина этого скачка неизвестна.

В этих точках уравнение (1) нарушается и мы вместо одного уравнения и четырех условий (т. с. обычной краевой задачи) имеем уже три уравнения (на трех кусках) с дополнительными условиями согласования, математически очень неприятными, так как эти условия трудно признавать за краевые.

Еще сложнее оказывается задача с "хорошим", т. е. однородным стержнем, если речь идет о колебаниях, когда вместо внешней силы / в точке х = £ имеется сосредоточенная масса, т. е. уравнение (1) заменятся на и\4 1 [ри ) = со ти, где т(х) содержит, как говорят физики, дельта-функцию. Кстати говоря, и в точке х = Г) наличие упругой опоры тоже означает присутствие ¿-функции, соответствующей сосредоточенному внешнему воздействию упругой опоры (троса).

Перед подобными задачами, практическая актуальность очевидна, практическая наука долгое время была без всякой поддержки математиков. К концу XIX в. появился знаменитый трактат Стилтьеса, где он рассмотрел и проанализировал колебания физической системы с сосредоточенными массами (нить с бусинками). Теоретические трудности Стилтьесу удалось преодолеть за счет введенного им нового типа интеграла (вида J /<), который с тех пор носит его имя — в отличие от интеграла Римана.

В первой половине XX в. проблему нерегулярного распределения масс для упругого стержня изучали М. Крейн и Ф. Гантмахер. Ими была изучена и задача нерегулярного взаимодействия балки с окружающей средой — многоопорная балка, где помимо уравнения (1) и уравнений типа (2), (3) появляются еще дополнительные условия вида и{1ъ) = О (г = Т~т), где Г}\ < щ < . < т]т — координаты промежуточных упругих опор. Так как в этих точках уравнение (1) наверняка нарушалось, то о краевой задаче обычного типа говорить нельзя, и соответствующий математический анализ был проведен с опорой на функцию влияния. Здесь использовалось то, что между точками многоопорная балка должна подчинятся уравнению вида (£</«") = 0. По чему — мотивация из области физической интуиции равно, как и представление о функции влияния.

Описание неудобных (нерегулярных внешних параметров), математически может быть описана — опять же с интуитивно-понятной точки зрения — уравнения ри!')" + Я'и = Е'{= и? М'и), (4) где .Р (и М) — вообще говоря — разрывные функции и ^ и М' - их обобщенные производные.

Теория обобщенных функций, развитая в середине XX в., наиболее важная в прикладном плане не может даже описать, так как в уравнении (4) все слагаемые — не поточечные (при каждом х) определяемые функции, а абстрактные функционалы. И стандартные методы дифференциального и интегрального исчисления здесь бессильны.

Недаром в 50-е годы даже для уравнения "стилтьесовской струны", т. е. для уравнения

- (ри')' + д'и = Е'{= иРМ'и) в обход этому ничего не дающему внешнему формализму и Аткинсон и

М. Г. Крейн и С. Кац писали интегро-дифференциальное уравнение X

- {ри') {х) + {ри'+) (0) = I и(а)йМ{8) о с интегралом Стилтьеса.

В моей работе ставится задача построения математической модели для нерегулярной консоли когда уравнение типа (1) может быть пока условно записано в виде ри")" + С/и = ¥\= и2М'и), т. е. когда и р(х) не обязательно гладкая функция, и взаимодействие нашего объекта с внешней средой не определяется непрерывными функциями, когда не только не применимы стандартные методы решения, но и использование даже общепринятые физические методы обоснования вызывают сомнения в их корректности.

Отсутствие наработанных методов постановки и анализа нестандартных краевых задач для анализа физических объектов.

Цель работы. Разработка методики построения и анализа математической модели протяженной одномерной упругой системы типа балки — консоли с нерегулярными взаимодействиями с внешней средой.

Достижения поставленной цели достигается за счет решения следующих задач:

- вариационное обоснование математической модели напряженного состояния нерегулярного стержня в виде интегро-дифференциального уравнения;

- анализ математической корректности этой задачи;

- точное математическое определение функции влияния для нерегулярной консоли;

- изучение качественных свойств функции влияния;

- изучение абстрактных свойств интегрального оператора I

Аи)(х) = I Н(х,з)и(з)<1М(з) о методами теории полуупорядоченных пространств;

- анализ ведущей собственной частоты, соответствующей главной критической вибрации;

- проверка возможности переноса на изучаемую модель классических проекционных методов приближенных вычислений, для чего — разработан алгоритм проекционного метода типа конечных элементов и проведение численного эксперимента.

Методика исследования. Вариационный метод, известный в естествознании уже пару столетий, применяемый в начале XX в. (Курант, Гильберт) для мотивации уравнения (1) как описания линии, дающей минимум потенциальной энергии

Последнее выражение распространено в работе на нерегулярную консоль в форме функционала

1 //2 1 2 1 У(и) = I ^-йх + У у ¿Я - I ийР

О 0 0 минимизация чего приводит к уравнению (4).

Здесь при истолковании этого интегро-дифференциального уравнения мы опирались на соображения ранее использовавшиеся для стилтьесовской струны М. Крейиом и Аткинсоном.

Определение функции влияния так же проведено на основе вариационных принципов физики. Анализ уравнения (1) и функции влияния осуществляется в значительной степени за счет методов общей теории меры и интеграла Стилтьеса. Свойства ведущей собственной частоты устанавливались с помощью абстрактных методов теории пространств, упорядоченных в смысле М. Крейна.

Научная новизна. В диссертации изучается интегро-дифференциальное уравнение, описывающее малые деформации сингулярно закрепленной консоли. Для такого уравнения дается корректное определение функции влияния и исследуются ее свойства, чего ранее не делалось.

Положения, выносимые на защиту.

1. Конструктивные возможности вариационных принципов в построении математической модели нерегулярной консоли в виде задачи

Т Зи X лС

I ¿{ри")' +111(1(2 = I ^ (=и;2/ иШ)

О 0 0

0) = и'(0) = 0, и"(1) = и"'{1) = 0

2. Доказательство математической корректности задачи

3. Математическая формализация функции влияния исходной консоли.

4. Доказательство интегрального представления реальной формы консоли через внешние силы I и[х) = о где Р(х) — сила, приложенная на отрезке [0, гг].

5. Установлен комплект свойств функции влияния, аналогичный пакету аксиом классической функции Грина и позволяющих однозначно построить функцию влияния.

Например, функция Н{х) = Н(х^) удовлетворяет краевым условиям, а при х £ — однородному уравнению J ¿(рН")' + J ИсК^ = 0, а при х = £ — о о равенству рЛ")'(£ + 0) - (рЛ")'(е - 0) + + 0) - д« - 0) = 1

6. Доказана строгая положительность Н(х, в) при 0 < х, 5.

7. Доказано, что интегральный оператор I

Аи)(х) = I Н(х, о со строго возрастающей (и не непрерывный даже) функцией, определяющей произвольное распределение масс, строго положителен в пространстве, полуупорядоченным конусом Крейна-Красносельского.

8. Доказана алгебраическая простота ведущего собственного значения этого оператора, что соответствует единичной кратности (и отсутствию присоединенных функций) для критических частей главных поперечных вибраций, когда амплитудная функция не имеет внутренних узлов и когда соответствующие уравнение имеет вид х х ри'У +1ШЙЭ = ъ? I ийМ

ООО 9. С опорой на предыдущие свойства построен алгоритм проекционного метода по типу метода конечных элементов и проведен численный эксперимент, показывающий уверенную и быструю сходимость.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на заседаниях кафедры высшей математики и кафедры прикладной математики Северо-Кавказского Государственного Технического Университета, на V, VIII региональных научно-технических конференциях "Вузовская наука - Северо-Кавказскому региону"(2001, 2004г.), па VI Международной конференции "Циклы"(2004г.), на первой и второй международной научно-технической конференции «Инфотелекоммуникационные технологии в науке и технике» (г. Ставрополь 2004г., г. Кисловодск 2006г.), на международной научной конференции «Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования» (г. Воронеж 2005г), на Воронежской весенней математической школе «Понтрягинские чтения — XVII» (г. Воронеж 2006г.).

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 10 печатных работ.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка цитируемой литературы из 103 наименований и содержит 126 страниц.

Заключение

В диссертации разработаны новые методы моделирование сингулярно закрепленной консоли, которые позволили установить следующие результаты.

1. построено интегро-дифференциальное уравнение X сри")' (х) + J udQ = F(x) - F(0) - (pu")' (0), о моделирующее деформацию (под воздействием внешней нагрузки) нерегулярной консоли;

2. проведено вариационное обоснование адекватности модели относительно натурального (физического) объекта;

3. исходя из вариационной природы уравнения х ри")' (х) + J udQ = F(x) - F(0) - (pu")' (0), о дано точное определение (функции влияния изучаемого объекта. Доказаны основные свойства функции влияния, уподобляющие ее функции Грина, несмотря на диаметрально противоположную (минуя аксиомы) методологию ее введения;

4. показана положительность интегрального оператора, обращающего X ри")' (х) + J udQ = F(x) - F(0) - (pu")' (0), о при естественных условиях закрепленного левого конца и свободного правого.

5. доказана положительность и простота ведущего собственного значения (соответствующей спектральной задачи).

Полученные результаты позволяют обосновывать численные методы, в том числе позволяет давать оценки норм интегральных операторов, обращающих соответствующие модели, скорости сходимости итерационных процессов.

1. Айне, Э.Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения / Э.Л. Айне. -ОНТИ, НКТБ. Харьков, 1939. 676 с.

2. Антосик, П. Теория обобщенных функций: пер. с англ. / П. Антоеик, Я. Минусинский, Р. Сикорский. М.: Мир, 1976. - 312 с.

3. Аткинсон, Ф. Дискретные и непрерывные граничные задачи / Ф. Аткинсон. М.: Мир, 1968. - 749 с.

4. Ахиезер, Н.И. Лекции по вариационному исчислению / Н.И. Ахиезер. -М.: Гостсхиздат, 1955. 248 с.

5. Ахиезер, Н.И. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве / Н.И. Ахиезер, И.М. Глазман. М.: Наука, 1966. - 544 с.

6. Ахиезер, Н.И. Теория нелинейных операторов в гильбертовом пространстве / Н.И. Ахиезер, И.М. Глазман. М.: Наука, 1966. -136 с.7| Басакер, Р. Конечные сети и графы / Р. Басакер, Т. Саати. М.: Наука, 1974. - 368 с.

7. Бахтин, И.А. Исследование уравнений с положительными операторами: Дисс.д-ра физ.-мат. наук. / И.А. Бахтин Ленинград, 1967. - 320 с.

8. Беккенбах, Э.Ф. Неравенства: пер. с англ. / Э.Ф. Беккенбах, Р. Беллман. М.: Мир, 1965. - 276 с.

9. Беллман, Р. Квазилинеаризация и нелинейные краевые задачи / Р. Беллман, Р. Калаба. М.: Мир, 1968. - 270 с.

10. И. Белов, В.В. Теория графов / В.В. Белов, Е.М. Воробьев, В.Е. Шаталов-М.: Наука, 1976. 392 с.

11. Берс, Л. Уравнения с частными производными / Л. Берс, Ф. ДЖон, М. Шехтер. М.: Мир, 1966. - 352 с.

12. Брело, М. Основы класической теории потенциалов / М. Брело. М.: Мир, 1964. - 214 с.

13. Вулих, Б.З. Введение в функциональный анализ / Б.З. Вулих. М.: Наука, 1967. - 415 с.

14. Вулих, Б.З. Введение в теорию полуупорядоченных пространств / Б.З. Вулих. М.: Наука, 1961. - 407 с.

15. Гантмахер, Ф.Р. Осцилляционные матрицы и ядра и малые колебания механических систем / Ф.Р. Гантмахер, М.Г. Крейн. М.-Л.: Гостехиздат, 1950. - 360 с.

16. Гилбарг, Д. Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка / д. Гилбарг, М.Н. Трудингер. М.: Наука, 1989. - 464 с.

17. Данфорд, Н. Линейные операторы / Н. Данфорд, Дж.Т. Шварц. М.: ИЛ, 1962. - 4.1.Общая теория. - 895 с.

18. Данфорд, Н. Линейные операторы. Спектральная теория: пер. с англ. / Н. Данфорд, Дж.Т. Шварц. М.: ИЛ, 1966. - 1064 с.

19. Дыхта, В.Я. Оптимальное импульсное управление с приложениями / В.А. Дыхта, О.Н. Самсошок. М.: Физматлит, 2000. - 256 с.

20. Дьяченко, М.И. Мера интеграла / М.И. Дьяченко, П.Л. Ульянов. М.: Изд-во "Факториал Пресс", 2002. - 160 с.

21. Егоров, Ю.В. Линейные дифференциальные уравнения главного типа / Ю.В. Егоров. М.: Наука, 1984. - 360 с.

22. Завалищин, С.Т. Импульсные процессы: модели и приложения / С.Т. Завалищин, А.Н. Сесекин. М.: Наука, 1991. - 255 с.

23. Калафати, П.Д. О функциях Грина обыкновенных дифференциальных уравнений / П.Д. Калафати // Докл. АН СССР. 1940. - Т. 26, №6. - С. 535-539.

24. Камке, Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям / Э. Камке. М.: ИЛ, 1950. - 828 с.

25. Канторович, Л.В. Функциональный анализ в полуупорядоченных пространствах / Г.П Акилов, Л.В. Канторович. М.: Физматгиз, 1959.- 684 с.

26. Канторович, Л.В. Функциональный анализ в нормированных пространствах / Л.В. Канторович, Г.П. Акилов. М.: Наука, 1977.- 496 с.

27. Коддингтон, Э.А. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений / Э.А. Коддингтон, Н. Левинсон. М.: ИЛ, 1958. - 573 с.

28. Колмогоров, А.Н. Элементы теории функций и функционального анализа / А.Н. Колмогоров, C.B. Фомин. М.: Наука, 1968. - 496 с.

29. Колмогоров, А.Н. Элементы теории функций и функционального анализа / А.Н. Колмогоров, C.B. Фомин. М.: Наука, 1981. - 543 с.

30. Красносельский, М.А. Позитивные линейные системы: метод положительных операторов / М.А. Красносельский, Е.А. Лившиц, A.B. Соболев. М.: Наука. 1985. - 256 с.

31. Красносельский, М.А. Положительные решения операторных уравнений / М.А. Красносельский. М.: Физматгиз, 1962. - 394 с.

32. Красносельский, М.А. Приближённое решение операторных уравнений / М.А. Красносельский, Г.М. Вайникко, П.П. Забрейко и др. М.: Наука, 1969. - 456 с.

33. Крейн, М.Г. Линейные операторы, оставляющие инвариантным конус в пространстве Банаха / М.Г. Крейн, М.А. Рутман // Успехи мат. наук, 1948, Т.З.Вып.1 - С. 3-95.

34. Кудрявцев, Л.Д. Краткий курс математического анализа / Л.Д. Кудрявцев. М.:Наука, 1989. - 736 с.

35. Курант, Р. Методы математической физики / Р. Курант, Д. Гильберт. -М.: Гостехиздат, 1951. Т.1. - 476 с.

36. Левитан, Б.М. Разложение по собственным функциям / Б.М. Левитан. -Гос. изд. тех.-теор. лит. Москва, Ленинград, 1950. 159 с.

37. Михайлов, В.П. Дифференциальные уравнения с чатными производными / В.П. Михайлов. М.: Наука, 1976. - 392 с.

38. Моришима, М. Равновесие, устойчивость, рост / М. Моришима. М.: Наука, 1972. - 280 с.

39. Наймарк, М.А. Линейные дифференциальные операторы / М.А. Наймарк. М.: Наука, 1969. - 526 с.

40. Натансон, И.П. Теория функций вещественной переменной / И.П. Натансон. М.: Наука, 1974. - 480 с.

41. Никайдо, X. Выпуклые структуры и математическая экономика / X. Никайдо. М.: Мир, 1972. - 517 с.

42. Ope, О. Теория графов / О. Ope. M.: Наука, 1968. - 352 с.

43. Петровский, И.Г. Лекции по обыкновенным дифференциальным уравнениям / И.Г. Петровский. М.: МГУ, 1984. - 296 с.

44. Петровский, И.Г. Лекции об уравнениях с частными производными / И.Г. Петровский. М.: ГТТИ, 1950. - 304 с.

45. Покорный, Ю.В. О знакорегулярпых функциях Грина некоторых неклассических задач / Ю.В. Покорный // Успехи мат. наук. 1981. -Т.36, вып.4 - С. 205-206.

46. Покорный, Ю.В. Интеграл Стильтьеса и производные по мере в обыкновенных дифференциальных уравнениях / Ю.В. Покорный // Доклады РАН. 1999. - Т.364, №2 - С. 167-169.

47. Покорный, Ю.В. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с обобщенными коэффициентами / Ю.В. Покорный, С.А. Шабров. // Труды математического факультета ВГУ, 1999. вып.4 - С. 84-96.

48. Покорный, Ю.В. О функции Грина для локально взаимодействующей системы обыкновенных уравнений разного порядка / Ю.В. Покорный, Т.В. Белоглазова, Е.В. Дикарева, Т.В. Перловская // Мат. заметки. 2003. -Т. 74, № 1. - С. 146-149.

49. Покорный, Ю.В. О дефектах аксиоматики функции Грина / Ю.В. Покорный, A.B. Боровских // Доклады РАН. 2002. Т. 284. №4. С. 460-464.

50. Покорный, Ю.В. Дифференциальные уравнения на геометрических графах / Ю.В. Покорный, О.М. Пенкин, В.Л. Прядиев, A.B. Боровских, К.П. Лазарев, С.А. Шабров. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. - 272 с.

51. Покорный, Ю.В. Оценка вторых собственных значений для некоторых классов положительных операторов / Ю.В. Покорный // Математические заметки. 1971. - Т. 9, т 1. - С. 27-33.

52. Покорный, Ю.В. О неклассической задаче Валле-Пусссна / Ю.В. Покорный ДУ, 14:6 (1978). - С. 1018-1027.

53. Покорный, Ю.В. Некоторые условия разрешимости двухточечной задачи Валле-Пуассона / Ю.В. Покорный. Тр. М., в. 64 (1975). - С. 15-21.

54. Покорный, Ю.В. Некоторые осцилляционные теоремы для многоточечных задач / Ю.В. Покорный, К.П. Лазарев // Дифференц. уравнения. 1987. - Т. 23, №4. - С.658-670.

55. Покорный, Ю.В. О позитивной обратимости некоторых краевых задач для уравнения четвертого порядка / Ю.В. Покорный, Р. Мустафокулов // Дифференц. уравнения. 1997. Т. 33, №10. С. 1358-1365.

56. Покорный, Ю.В. О положительности функции Грина линейных краевых задач для уравнений четвертого порядка на графе / Ю.В. Покорный, Р. Мустафокулов // Известия вузов. Математика. 1999. Т. 441, №2. - С. 75-82.

57. Покорный, Ю.В. Осцилляционные свойства растнутой цепочки стержней / Ю.В. Покорный, В.А. Шуринов // Нелинейные колебания и теория управления. Устинов. 1985. №5. С. 58-63.

58. Покорный, Ю.В. Некоторые оценки функции Грина задачи Валле-Пуссоиа / Ю.В. Покорный. Тр. НИИМ ВГУ, Воронеж, 19 (1975). - С. 95-103.

59. Ректорис, К. Вариационные методы в математической физике и технике / К. Ректорис. М., "Мир". 1985. - 590 с.

60. Рисс, Ф. Лекции по функциональному анализу / Ф. Рисе, Б. Секефальди-Надь. М.: Мир, 1978. - 587 с.

61. Розенфельд, A.C. Переходные процессы и обощенные функции / A.C. Розенфельд, Б.И. Яхинсон. М.: Наука, 1966. - 448 с.

62. Рудин, У. Основы математического анализа: пер. с англ. / У. Рудин. М.: Мир, 1976. - 320 с.

63. Сакс, С. Терия интеграла / С. Сакс. М.: ИЛ, 1949. - 494 с.

64. Сансоне, Дж. Обыкновенные дифференциальные уравнения / Дж. Сансоне. М.: Госиноиздат, 1954. - Т.1. - 346 с.

65. Трикоми, Ф. Дифференциальные уравнения / Ф. Трикоми. М.: ИЛ, 1962. - 386 с.

66. Урысон, П.С. Труды по топологии и другим областям математики / П.С. Урысон. Т.1. - М.-Л.: Гостехиздат, 1951.

67. Уэрмер, Дж. Теория потенциала / Дж. Уэрмер. М.: Мир, 1980. - 136 с.

68. Фам, Ф. Введение в топологическое иссследование особенностей Ландау / Ф. Фам. М.: Мир, 1970. - 184 с.

69. Филиппов, А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью / А.Ф. Филиппов. М.: Наука, 1985. - 224 с.

70. Халанай, А. Качественная теория импульсных систем: пер. с рум. / А. Халанай, Д. Венслер. М.; Мир, 1971. - 312 с.

71. Харари, Ф. Теория графов / Ф. Харари. М., 1973. - 304 с.

72. Харари, Ф. Перечисление графов / Ф. Харари, Э. Палмер. М., 1977. -328 с.

73. Хартман, Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения / Ф. Хартман. М.: Мир, 1970.

74. Хейман, У. Субгармонические функции / У. Хейман, П. Кеннеди. М.: Мир, 1980. - 304 с.

75. Япг, JI. Лекции по вариационному исчислению и теории оптимального управления: пер. с англ. / Л. Янг. М.: Мир, 1974. - 488 с.

76. Яно, К. Кривизна и числа Бетти / К. Яно, С. Бахнер. М.: ИЛ, 1957. -152 с.

77. Шилов, Г.Е. Интеграл, мера и производная. Общая теория / Г.Е. Шилов, Б.Л. Гуревич М.: Наука. - 1967.

78. Ando, Т. On fundamental properties of a Banach space with a cone / T. Ando // Pacific T. Math. 12. 1962. №4. - P. 1-12.

79. Bonsall, F.F. Linear operators in complete positive cones / F.F. Bonsall // Proc. London Match. Soc. 8, 1958. P. 53-75.

80. Friedman, A. Partial Differential Equations / A. Friedman. Holt: Rinehart and Winston, 1969. - 262 p.

81. John, F. Partial Differential Equations / F. John. Springer Verlag, 1986. -250 p.

82. Karlin, S. (Карлин С.) Positive operators / S. Karlin //J. Math. Mech. -1955. V.6, M. - P. 907-937.

83. Lagnese, J.E. Modelling analysis and control of dynamic clastic multi-link structures / J.E. Lagnese, G. Leugering, E. J.P.G. Schmidt. Boston: Birkhaus-er, 1994.

84. Pazy, A. Semigroups of Linear Operators and Applications to Partial Differential Equations / A. Pazy. Berlin: Springer-Verlag, 1983. - 280 p.

85. Thompson, A.C. On certain contraction mappings in a partitally ordered vector space / A.C. Thompson // Proc. Amer. Math. Soc. 14. 1963, №3. P. 438-443.

86. Обласова, И.Н. Применение численных методов для вычисления поверхностных интегралов / И.Н. Обласова // Третья межрегиональная научная конференция «Студенческая наука Экономике России». T. I. -Ставрополь: СевКавГТУ, 2002. - С. 7.

87. Обласова, И.Н. Об одном варианте метода ускорения сходимости монотонных приближений к решению уравнений вида x=Ax+f / И.Н. Обласова // Шестая международная конференция «Циклы». T. II. -Ставрополь: СевКавГТУ, 2004. С. 29-34.

88. Обласова, И.Н. Уточнения оценок решений операторных уравнений / И.Н. Обласова. Деп. в ВИНИТИ 15.07.2004. № 1242 - В2004 Ставрополь: СевКавГТУ, 2004. - 18 с.

89. Обласова, И.Н. Обобщенная норма интегральных операторов и матриц / И.Н. Обласова. Деп. в ВИНИТИ 22.09.2004. № 1500 - В2004 Ставрополь: СевКавГТУ, 2004. - 18 с.

90. Обласова, И.Н. Интегральные неравенства для операторов, имеющих особенность в ядре / И.Н. Обласова // Высокие технологии — 2004: Сб. тр. науч.-техн. форума с между нар. участием. Ч. 2. Ижевск: Изд-во ИжГТУ, 2004. - С. 86-92.

91. Обласова, И.Н. Двусторонние оценки решения операторных уравнений с регулярными операторами / И.Н. Обласова // III Международная научно-техническая конференция "Материалы и технологии XXI века": Сборник статей. Пенза, 2005. - С. 148-151.

92. Обласова, И.Н. Двусторонние оценки решения уравнений с положительными операторами / И.Н. Обласова // Сборник научных трудов СевКавГТУ. Серия «Естественнонаучная» №1 Ставрополь: СевКавГТУ, 2005. - С. 29-37.

93. Обласова, И.Н. Строгие оценки в операторных неравенствах / И.Н. Обласова // Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. Ростов-на-Дону, 2005 - №3. - С. 8-10.

94. Обласова, И.Н. Математическое моделирование функции влияния сингулярно закрепленной консоли / И.Н. Обласова // Международная научная конференция «Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования» Воронеж: ВГУ, 2005. - С. 170.

95. Обласова, И.Н. Положительность функции влияния сингулярно закрепленной консоли / PI.H. Обласова // Сборник научных трудов СевКавГТУ. Серия «Естественнонаучная» №2 Ставрополь: СевКавГТУ, 2006. - С. 41-44.