автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Методы математического моделирования пассажиропотоков в транспортных системах

На правах рукописи

Плаксина Нина Владимировна

МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ПАССАЖИРОПОТОКОВ В ТРАНСПОРТНЫХ СИСТЕМАХ

05.13.18 -математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

005556858

Петрозаводск - 2014

005556858

Работа выполнена на кафедре теории вероятностей и анализа данных ФГБОУ ВПО «Петрозаводский государственный университет»

Научный доктор физико-математических наук, профессор,

руководитель: Мазалов Владимир Викторович

Официальные Колногоров Александр Валерианович, доктор

оппоненты: физико-математических наук, доцент, заведующий

кафедрой прикладной математики и информатики ФГБОУ ВПО «Новгородский государственный университет имени Ярослава Мудрого»

Корников Владимир Васильевич, кандидат физико-математических наук, доцент, доцент кафедры управления медико-биологическими системами ФГБОУ ВПО «Санкт-Петербургский государственный университет»

Ведущая организация:

ФГБОУ ВПО «Российский государственный педагогический университет им. А.И. Герцена»

Защита состоится «21» ноября 2014 г. в 14:00 часов на заседании диссертационного совета Д 212.190.03 на базе ФГБОУ ВПО «Петрозаводский государственный университет» по адресу: 185910, г. Петрозаводск, пр. Ленина, 33.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Петрозаводского государственного университета и на сайте petrsu.ru.

лг

Автореферат разослан сентября 2014 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Воронов Роман Владимирович

Общая характеристика работы Актуальность темы исследования.

Исследование транспортных систем с математической точки зрения ведется уже более века. Так еще в 1654 году французский математик Блез Паскаль обратился в парижскую мэрию с решением задачи оптимизации движения городского пассажирского транспорта. В его работе предлагалась методика по организации «регулярного движения многоместных пассажирских карет». Особенность методики заключалась в том, что стоимость проезда была фиксирована, и вычислялась с учетом «субъективной оценки ценности времени».

Среди современных математиков, исследовавших проблемы в области дорожного трафика можно выделить следующие работы: «Обращение X-формы фундаментальной диаграммы» (Коши и др., 1983 г.), «Управление дорожным транспортом» (Иносэ, Хамада, 1983 г.), «Падение пропускной способности» (Холл и Агиманг-Дуа, 1991 г.).

Первая транспортная модель, разработанная независимо М. Лайтхиллом, Дж. Уиземом, П. Ричардсом появилась в 1955 году. В модели Лайтхилла-Уизема (-Ричардса) был совершен переход от статических функциональных зависимостей характеристик потока транспорта к описанию их динамической связи по координате и времени. Такой переход удалось достичь за счет формального применения представлений гидродинамики. В модели транспортный поток рассматривался как поток одномерной сжимаемой жидкости и описывался законом сохранения количества автомобилей. Основными параметрами модели были: плотность транспортного потока - число единиц транспортных средств, проходящих через точку дороги в единицу времени и его средняя скорость. Эти параметры изображались в виде графика — фундаментальной диаграммы. Тем не менее фундаментальная диаграмма имела свои недочеты, поэтому был предложен ряд модификаций модели, в том числе, модель Танака (1963 г.), модель Пэйна (1971 г.) и т.д. Попытки улучшить фундаментальную диаграмму продолжаются и в настоящее время.

И. Пригожин, Р Херман (1961 г.) предложили использовать кинетическую теорию для описания транспортной модели. Транспортный поток в модели предлагалось описывать кинетическим уравнением. Однако в силу большой трудоемкости математического моделирования эта теория практически не развивалась.

В последнее время в задачах, связанных с оптимизацией работы транспортных систем, стали активно использоваться методы некооперативной теории игр п лиц. Это направление получило название сетевые игры (Networking Games). Большая часть других методов рассматривает только возможные стратегии поведения для стороны, в интересах которой проводится исследование, соответственно и выбор - ее оптимальных вариантов происходит без «прямого» учёта вероятных действий других участников конфликта. В отличие от них теоретико-игровое моделирование позволяет в явном виде оценить, как влияет на развитие

конфликта деятельность всех участников событий по реализации ими собственных целей, что существенно повышает адекватность и надёжность получаемых результатов.

Степень разработанности темы исследования. Изучение транспортных систем с помощью методов математического моделирования ведется уже почти сто лет. В работах А. А. Артынова, Б. Н. Четверушкина, Е. А. Нурминского, А. Б. Куржанского, И. В. Спирина, В. И. Приходько, В. И. Швецова, К. В. Рудакова, Т. Акаматсу, Д. Г. Вардропа, А. В. Гасникова рассматриваются различные подходы при исследовании транспортных систем. Также стоит отметить работы П. У. Бонсала, М. Е. Корягина, В. И. Астрахана, касающиеся проблем анализа и оценки пассажиропотоков для транспортных систем. Однако до сих пор в этой области остается много пробелов.

В данном диссертационном исследовании продолжено развитие направления, заключающегося в анализе механизма управления городской транспортной системой в условиях конфликта интересов ее участников.

Цель работы: повышение эффективности управления транспортной системой в условиях активного взаимодействия ее участников. Для достижения цели были поставлены следующие задачи:

1. анализ существующих механизмов и методов оптимизации городской транспортной системы в условиях конфликта интересов ее участников;

2. разработка модели системы с пассажиропотоками для получения числовой информации о показателях подвижности населения и коэффициентах неравномерности перевозок, а также разработка алгоритма для обработки полученной числовой информации;

3. разработка общей модели распределения транспортных потоков по маршрутам и анализ разработанной модели транспортной сети на предмет появления парадокса Браесса;

4. разработка алгоритма оптимизации движения городского пассажирского транспорта с учетом «пассажировместимости»;

5. разработка модели конкуренции сервисов с дополнительными услугами;

6. компьютерная реализация вышеперечисленных алгоритмов и создание комплекса программ для поиска равновесных решений. Методология и методы исследования: в диссертационной работе

используются методы теории игр, теории массового обслуживания, вычислительной математики, математического моделирования, математической статистики.

Положения, выносимые на защиту:

1. Модель распределения пассажиропотоков по различным маршрутам городского пассажирского транспорта, разработанная на основе сочетания натурных экспериментов и методов математической статистики.

2. Численный метод определения характеристик городских транспортных маршрутов, позволяющий оценить целесообразность строительства новых дорог.

3. Программная реализация численных методов для определения оценки распределения пассажиропотоков по маршрутам.

4. Программный комплекс для определения оптимальных интервалов движения городского общественного транспорта по маршрутам, учитывающий интересы пассажиров и транспортных операторов. Научная новизна работы заключается в применении статистических и

теоретико-игровых методов для оценки параметров пассажиропотоков и оптимального управления ими с целью увеличения их производительности.

Теоретическая и практическая значимость. Разработанный метод получения информации о показателях подвижности населения и коэффициентах неравномерности перевозок позволяет прогнозировать спрос на перемещение населения города общественным транспортом. Также результаты диссертационной работы могут быть использованы при проектировании новых городских дорог, при оптимизации расписания движения городского общественного транспорта.

Степень достоверности. Достоверность результатов проведенных исследований подтверждена использованием современного математического аппарата, сочетающего методы теории игр, теории массового обслуживания, вычислительной математики, математического моделирования, математической статистики, разработкой и применением современного программного обеспечения для реализации практического использования предложенных методов.

Апробация работы. Материалы диссертационного исследования докладывались и обсуждались на различных конференциях, среди них:

1. Международная конференция «Stochastic Optimal Stopping» (Петрозаводск, 2010 г.);

2. Третий Северный Триангулярный семинар (Санкт-Петербург, 2011 г.);

3. Восьмая Международная Петрозаводская конференция «Вероятностные методы в дискретной математике» (Петрозаводск, 2012 г.).

По теме диссертации опубликовано 13 научных работ, 3 из них входят в список ВАК.

Разработанное программное обеспечение было апробировано на городской системе общественного транспорта г. Петрозаводска. Данный программный комплекс был зарегистрирован в Объединенном фонде электронных ресурсов «Наука и образование» (ОФЭРНиО) № 18990 от 04.03.2013 г. Для определения величин пассажиропотоков на маршрутах городского пассажирского транспорта также разработано программное обеспечение. Данное программное обеспечение зарегистрировано в Федеральной службе по интеллектуальной собственности Роспатент, Свидетельство № 2014614268 от 21.04.2014 г.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 6 глав, заключения и библиографического списка использованной литературы (108 наименований), имеет объем 131 страницу машинописного текста, включая б страниц приложений, содержит 20 рисунков и 28 таблиц.

Работа частично поддержана Российским Фондом Фундаментальных Исследований (проект 13-01-91158-ГФЕН) и Программой стратегического развития ФГОУ ВПО ПетрГУ.

Содержание работы Во введении содержится обоснование актуальности темы диссертации, формулируется цель диссертации, представлены основные результаты, научная новизна, практическая значимость работы, а также описание структуры диссертации.

В первой главе рассматриваются особенности городского дорожного движения, а также анализируются существующие методики по оптимизации дорожного движения с учетом наличия в системе пассажиропотоков.

Для разрешения ситуации с пробками, а также сопутствующими транспортными проблемами применяются различные способы. Однако построение адекватной модели транспортной системы для ее оптимизации во многом затрудняется из-за ее особенностей. К таким особенностям относятся:

1. изменчивость транспортных потоков, т.е. характеристики потока возможно прогнозировать только с определенной вероятностью;

2. неравномерность транспортных потоков, которая зависит от времени суток, дней недели и т.д.;

3. отсутствие полной управляемости, т.е. даже при наличии полной информации о потоках и возможности информирования водителей о необходимых действиях, эти требования носят рекомендательный характер;

4. множественность критериев качества, таких как задержка в пути, средняя скорость движения, прогнозируемое число дорожно-транспортных происшествий, и т.д., причем большая часть характеристик взаимосвязана и выделить какую-либо одну практически невозможно;

5. сложность измерения основных характеристик, таких как, например, интенсивность движения транспорта.

При построении транспортной модели также необходимо учитывать присутствие в системе пассажиропотоков, которые перемещаются по различным маршрутам. От количества пассажиропотоков на маршрутах частично зависит интенсивность и направление движения автобусов.

Все эти особенности транспортных систем во многом затрудняют построение аналитической модели, учитывающей все нюансы системы, а также конфликт интересов ее участников. Для решения проблемы управления транспортными потоками, пассажиропотоками применяются

различные методики. Разработанные методики способствуют более качественному обслуживанию пассажиров, развитию городской дорожно-транспортной сети, сокращению количества пробок, однако до сих пор в этой области остается много пробелов.

Исследование существующих методик по оптимизации городской транспортной системы показало, что для достижения поставленной цели необходимо продолжать развивать и дорабатывать существующие методики. Задачи, поставленные в данном диссертационном исследовании, являются следствием данного вывода.

Во второй главе исследуется проблема анализа и оценки пассажиропотоков. Для сбора информации о показателях подвижности населения и коэффициентах неравномерности перевозок в диссертационном исследовании предлагается использовать методику, сочетающую натурные эксперименты и статистические методы.

Под пассажиропотоком в данном исследовании подразумевается движение пассажиров в одном направлении маршрута. Пассажиропоток может быть. в прямом направлении и в обратном. Особенностью пассажиропотоков является их неравномерность, т.е. изменчивость по времени (по часам, суткам, дням недели, сезонам года). Пассажирообразующая способность отдельного района определяется в зависимости от количества населения, показателей его подвижности и коэффициентов неравномерности перевозок по времени.

В общем случае транспортная модель может быть представлена графом, вершины которого являются остановками, а ребра описывают транспортные коридоры. Выберем какой-нибудь маршрут транспортного средства, который представляет собой последовательность остановок, соединенных ребрами.

Рассмотрим случай, когда на маршруте имеется К остановок. Предположим, что есть потоки пассажиров между этими остановками в прямом направлении. Под направлением подразумевается маршрут следования автобуса. Задача состоит в том, чтобы определить доли пассажиров из общего пассажиропотока и направление движения, по которым перемещаются эти доли. Например, для десяти пассажиров, находящихся на остановке, какое-то количество едет до конечной остановки, а какое-то количество выйдет на промежуточных остановках. Для этого проведем серию экспериментов г, г — 1, ..., N. В качестве одного эксперимента будем рассматривать одну поездку автобуса от начальной остановки до конечной. Цель эксперимента состоит в фиксации информации о количестве вошедших и вышедших из автобуса на каждой остановке пассажиров. Пусть ц/[,ц/гг,...^г'к — количество пассажиров, вошедших на остановках /= 1,..., К соответственно, в эксперименте г, г = 1, ..., N. Пусть (р[ /р'к — количество пассажиров, вышедших на остановках у = 1, ..., К соответственно, в эксперименте г, г = 1, ..., N. Обозначим через р долю пассажиров, вошедших на остановке / и вышедших на остановке у, ее можно

трактовать как вероятность того, что пассажир, вошедший на остановке /, выйдет на остановке у,

Предполагается, что случайные величины у/' и взаимно-

независимые. Тогда можно решить уравнения (1) относительно неизвестных вероятностей /г (здесь г < у, у = 1, ..., К) либо методом наименьших квадратов, либо методом минимизации суммы абсолютных величин разностей.

Для получения оценки распределения пассажиропотоков по маршрутам разработана программа, которая состоит из двух модулей. Первый модуль позволяет генерировать экспериментальные пассажиропотоки на основе известных данных о среднем количестве пассажиров на остановках. Количество необходимых экспериментов определяет пользователь.

Для обработки значений численных экспериментов (результатов натурных наблюдений, либо данных модуля генерации экспериментов) разработан модуль, который позволяет вычислять доли пассажиров и направления, по которым хотят переместиться эти доли. Поиск решения осуществляется либо при помощи метода наименьших квадратов, либо при помощи метода минимизации абсолютных величин разностей. Результат работы модуля представлен в виде таблицы, где для каждого пассажиропотока указаны начальная и конечная остановки.

В третьей главе исследуется задача моделирования потоков общественного транспорта (автобусов). В данном исследовании предлагается методика по определению оптимальных интервалов движения автобусов по маршрутам с учетом интересов транспортных операторов (перевозчиков) и пассажиров, а также функции «вместимости».

Для описания модели определим переменные и параметры, входящие в модель. N — количество остановочных пунктов (остановок), которые обслуживают перевозчики. К - количество конкурирующих между собой перевозчиков. Ьк- количество маршрутов, которые использует к- й перевозчик (£ = 1, ...,К). А — интенсивность пуассоновского потока пассажиров, которые прибывают в единицу времени на ¡-ю остановку, с намерением попасть нау-ю остановку (>0, Ла =0, /,у' = 1,...,ЛО- Значения

Л1} возможно найти при помощи метода поиска пассажиропотоков на маршрутах на основе численных данных о количестве входящих и выходящих пассажиров на каждой остановке, описанного в главе 1. ¡3 -стоимость проезда на городском пассажирском транспорте, ак, - затраты (себестоимость) перевозчика к за один рейс по /-му маршруту (/ = \,...,Ьк, к = \,...,К). А" = 1, если по /-му направлению к-то перевозчика можно переехать с /-й остановки на у-ую, иначе А" = 0 (/,_/'= 1,...,.Л/',/ = 1,...,Ьк, к — \,...,К). Ук~ ограничение на количество одновременно перевозимых

(1)

пассажиров для перевозчика к (пассажировместшюстъ), у"- ограничение на количество одновременно перевозимых пассажиров (количество свободных мест) на 1-м маршруте к-го перевозчика для пассажиров, отправляющихся в единицу времени с г'-й остановки на j-yю (у" < Ук). ¡ли -интенсивность движения автобусов для к-го транспортного оператора движущихся по 1-му маршруту (1 = 1,...,Ьк, к = 1,...,К). Очевидно, что /ла>0, для 1 = 1,...,Ьк, к = \,...,К.

В диссертационном исследовании рассматривается случай конкурентной борьбы К транспортных операторов, которые осуществляют перевозку пассажиров и получают доходы в зависимости от интервалов движения автобусов. Для сокращения количества вычислений в диссертационном исследовании рассматривается случай, когда один транспортный оператор обслуживает один транспортный маршрут. В таком случае прибыль перевозчика (доходы от оплаты пассажирами проезда за минусом затрат на перевозку пассажиров) в единицу времени составит:

я, ({л., }„.!*)=£££•

¡-1 у-1

V*1 Я

-«и/Лн к = 1,...,К.

В данном исследовании предполагается, что у каждого перевозчика есть свое ограничение на количество одновременно перевозимых им пассажиров.

Задача состоит в том, чтобы определить оптимальные интервалы движения автобусов по маршрутам для каждого транспортного оператора так, чтобы максимальное количество пассажиров было перевезено и доходы перевозчиков не уменьшились.

На примере дорожно-транспортной сети г. Петрозаводска для перевозчиков найдены оптимальные интервалы движения автобусов по маршрутам, т.е. равновесные значения к = \,...,К.

Для поиска оптимальных интервалов движения общественного транспорта разработан программный комплекс, который включает программу, обрабатывающую подготовленные ранее данные о существующей городской дорожно-транспортной системе, и находит оптимальные интервалы движения автобусов по маршрутам. Итоговая информация представляет собой огромные массивы числовых данных, поэтому в качестве выходных результатов программа формирует три файла. В первый файл записывается информация о суммарном количестве пассажиров на каждой остановке. Для каждого перевозчика в программе предусмотрена детализация его маршрута по прямому и обратному направлениям. Для каждой остановки фиксируется информация о количестве вошедших и вышедших из автобуса пассажирах, эта информация заносится во второй файл. Также для каждого перевозчика программа записывает в третий файл информацию по оптимальным интервалам движения автобусов

и возможную прибыль, если перевозчики не будут отклоняться от равновесных стратегий.

Для наглядной демонстрации найденного равновесного решения разработано приложение, которое формирует таблицы и рисует графики на основе полученных в программе файлов. Приложение реализовано с помощью Visual Basic for Application в среде Microsoft Office Excel. Найденные характеристики распределяются между тремя вкладками приложения.

Первая вкладка содержит общую справочную информацию о перевозчиках (номера автобусов, стоимость проезда, протяженность маршрутов, информацию по затратам), а также информацию об оптимальных интервалах движения автобусов и возможных доходах перевозчиков. Для сравнения в справочной информации о перевозчиках приведены данные по фактическим интервалам движения автобусов по данным городских порталов. Также на первой вкладке размещена информация по общему количеству пассажиров на всех остановках, по суммарному количеству приехавших на остановку пассажиров, и суммарному количеству уехавших с остановки пассажиров для каждой остановки. По данным из таблиц формируются графики, которые наглядно демонстрируют пассажиропотоки на остановках.

Вторая вкладка содержит детализацию информации относительно маршрутов перевозчиков. Для каждого маршрута в виде таблицы представлена информация по каждой остановке в прямом и обратном направлении. Для остановки в таблице представлена информация по количеству вошедших и вышедших из автобуса пассажиров. Для наглядности информация по каждому маршруту представлена также и в виде графика. Для каждого маршрута формируются два графика: один для прямого рейса, второй для обратного рейса.

Третья вкладка содержит детализацию информации относительно прибыли перевозчиков. В таблице для каждого перевозчика представлена информация по доходам и расходам, итоговой прибыли перевозчиков и количеству перевезенных ими пассажиров в состоянии равновесия. На основе данных о доходах и расходах перевозчиков формируется диаграмма.

В четвертой главе рассматривается задача распределения транспортных потоков по маршрутам. Предлагается методика по определению характеристик маршрутов транспортной сети, основанная на идее формирования непересекающихся транспортных маршрутов. Такой подход разработан на основе исследований, согласно которым использование несколькими маршрутами одной и той же дороги или системы дорог всегда приводит к возникновению пробок (парадокс Браесса) при нарастании потока во времени.

В качестве модели системы в диссертационном исследовании рассматривается модель Вардропа, основанная на двух принципах. Согласно первому принципу: «Время передвижения по всем используемым маршрутам одинаково для всех участников движения, и меньше времени, которое

потратит любой участник движения, изменив свой маршрут», а согласно второму принципу: «Среднее время передвижения является минимальным».

В модели в качестве транспортной сети рассматривается граф, состоящий из двух узлов (районы отправления и прибытия) и п параллельных дуг.

Введём обозначения: / - номер маршрута, г е {1 ,п}; X > 0 - объём общего транспортного потока из района отправления в район прибытия; ^>0- объём транспортного потока, направляемого по г'-му маршруту; х = (х^...,хп) - вектор распределения транспортных потоков по п маршрутам; 1° - минимальное время свободного движения по г-му маршруту. Для транспортной сети предполагается, что время, потраченное на поездку по маршруту г, не может быть меньше минимального . с, > 0 - пропускная способность ;-ого маршрута. Пропускная способность определяет максимальное количество автомобилей, способных проехать по участку дороги в единицу времени. d¡ (х:) > 0 - функция задержи потока х на маршруте г,

\2

х.

, для V i е {1, и}.

d.M'i^+f

Математическая формализация первого и второго принципов Вардропа возможна в виде задач минимизации с ограничениями. Для реализации первого принципа Вардропа необходимо минимизировать функционал вида:

= + du, (2)

а в соответствии со вторым принципом необходимо минимизировать функционал вида:

= + (3)

В качестве ограничений для функционалов (2) и (3) будут выступать:

±х,=Х, (4)

i=i

х, >0, V/ = 1,...,7V. (5)

Таким образом, получаем две задачи оптимизации: задачу (2) с ограничениями (4), (5), решение которой приводит транспортные потоки к конкурентному равновесию (user-equilibrium), и задачу (3) с ограничениями (4), (5), решение которой приводит транспортные потоки к системному оптимуму (system optimum).

На практике реализуется некоторый промежуточный принцип поведения. Водители вынуждены при движении учитывать не только собственные, но также и системные интересы.

Лемма 1. х" приводит транспортный поток к конкурентному равновесию (задача (2), (4), (5)) тогда и только тогда, когда существует неотрицательное со" (множитель Лагранжа) такое, что

А\ + /= при х<' >

с. ) |>й)", при х" =0, для V г е {1, п} и х'° приводит транспортный поток к системному оптимуму (задача (3)-(5)) тогда и только тогда, когда существует неотрицательное а>'° (множитель Лагранжа) такое, что

|'1 + :

+ 2/,°

1 + ^

= со", при х"" > 0, > а>'°, при х" = О,

С1 V с/ для V / е {1,л}.

Без умаления общности перенумеруем маршруты таким образом, чтобы <Г° <...<г°, и введем обозначения:

V

Я, (?) = ',"

1+-

+ 2е° —

\ + 3-

1 + ^- | для V г б {I, и}.

Теорема 1. Пусть / = 1, ..., к-\ является решением системы

уравнений: а (*'") = г = 1, ..., к — 1, тогда если выполняются условия: к-2 к-1

Xх,"" < X < Xх,'*' > то входящий поток распределяется по к -1 ¡=1

маршрутам и соответствующие потоки можно найти из системы: л, + х, + ...+дс^, = Х,

Теорема 2. Пусть х'1', 7 = 1, ...,к — 1 является решением системы уравнений: 6Дх'*)) = Г°, / = 1, ..., к — \, тогда если выполняются условия:

к-2 Л-1

Xх,"" <Х < Xх!", то входящий поток распределяется по к - 1 маршрутам 1=1 ,-!

и соответствующие потоки можно найти из системы: х, + х2 + = X,

. Ь1(х1) = со",

Значения х':к) вычисляются следующим образом:

аГ'ОГ) Для теоремы 1, х'к) =Ь~\с°к) для теоремы 2.

На основе аналитических результатов проведено исследование транспортных маршрутов г. Петрозаводска. Найдены характеристики некоторых маршрутов транспортной сети г. Петрозаводска, получены рекомендации относительно строительства путепровода.

В пятой главе исследуется модель конкурентной борьбы между поставщиками (провайдерами), предлагающими дополнительные услуги на примере парковочного сервиса.

Клиент (пользователь) паркует свою машину на стоянке, чтобы затем воспользоваться услугами другого сервиса. Согласно этому примеру, провайдер, который предоставляет место на парковке «parking-provider» (в модели будем обозначать парковщик), а другой - «service-provider» (далее -сервис). Схематически данная модель представлена на рисунке 1.

Рисунок 1. Схема системы с дополнительными сервисами. На схеме Л - интенсивность входного потока пользователей, // -интенсивность обслуживания пользователей, р, - вероятность того, пользователь решит воспользоваться услугами первого сервиса, р2 -второго, р[ + рг = 1.

В диссертационном исследовании рассматривается случай, когда провайдеры хотят максимально увеличить свою прибыль. Если ожидаемый доход пользователя больше нуля, провайдеры увеличивают цены (чтобы при этом количество пользователей не сократилось) до тех пор, пока этот доход не станет равным нулю. В данном исследовании вычисляется равновесное решение задачи.

Для описания модели определим переменные и параметры, входящие в модель. Л = Л^+Л2, Л1=Лр1, Я, = Лр2\г-номер сервиса, / = 1, 2; <г> = а>, (А) -ожидаемое время пребывания пользователя в системе, учитывая

интенсивность поступления Л., со =—-—; С - стоимость единицы времени

// — Я,

пребывания в системе для пользователя; К - ожидаемый доход пользователя, С

К > —; Р5 - цена, назначенная сервисом /; Рк - цена за 1 минуту, М

назначенная парковшиком; и, - ожидаемая прибыль присоединившегося пользователя, воспользовавшегося сервисом /, и, =Я— Р5|— «у,— &> С, ¿= 1, 2; - ожидаемая прибыль за единицу времени для сервиса /, = Л Р51, 2; 7ГК - ожидаемая прибыль за единицу времени для парковщика,

Для поиска равновесного решения рассмотрено несколько возможных ситуаций, в зависимости от значения />,,/= 1, 2. Для случая, когда значение

р1 фиксировано и не меняется на протяжении всей игры (модель с фиксированным значением р,) получено равновесное решение в явном виде.

Для симметричного случая, т.е. когда значение ц одинаково для обоих сервисов, доказана следующая теорема:

Теорема 3. Существует единственное положение равновесия, где

<ц=а,2=-!-__ р51=р52=к_ ^

Л = 2

Я

М1~2р:) + 2р,

//С Я

Рн =З//УС211-С,

4р^МС2К-С)

Для несимметричного случая, т.е. когда значение ц различное для сервисов, доказана следующая теорема:

Теорема 4. Существует единственное положение равновесия, где

Р, ,¡—11—1^ + 4^1 . Р* =3ЛЬ-[л/АД+Л/^]2 -С,

с

Я V 4

КС2

[Т/Л+л/^ТГ -С

-2 + Х-

Д-Р,

Для случая, когда значение р:, /'= 1, 2 может меняться в ходе игры (модель с гибким значением рп г = 1, 2) разработана имитационная модель, позволяющая получать численное равновесное решение.

В шестой главе рассматривается возможность появления парадокса Браесса на некоторых участках городской транспортной сети. Под парадоксом Браесса подразумевается такое явление, при котором добавление новых дорог в существующей транспортной сети может ухудшить характеристики системы.

На примере участка транспортной сети г. Петрозаводска проводится исследование на предмет появления парадокса Браесса. В диссертационном исследовании рассматривается ситуация, когда большой поток транспортных средств едет с окраины в Центр. Такую ситуацию возможно наблюдать по будням в утренние часы.

Поиск парадоксальных участков дорожной сети проводится на основе методики, разработанной Т. Акаматсу и Б. Донг. Согласно данной методике в модели предполагается существование равновесного решения, т.е. динамического пользовательского равновесия (Dynamic User Equilibrium), которое соответствует естественному расширению статического пользовательского равновесия. Под равновесием подразумевается состояние, в котором ни один пользователь (водитель) не может сократить свое время путешествия в системе путем одностороннего изменения маршрута в произвольный период времени, т.е. равновесие по Нэшу.

Для поиска парадоксальных участков дорожной сети, необходимо вычислить общее время путешествия водителей по всем маршрутам дорожной сети из начального пункта в конечные за время от 0 до Т. В таком случае парадоксальной ситуацией в системе будет, если с увеличением пропускной способности некоторой дороги, общее время пребывания в системе для водителей также увеличится. Соответственно на этой дороге существует парадокс.

В диссертационном исследовании рассмотрено два случая. Сначала исследуется существующий участок транспортной сети г. Петрозаводска на предмет появления парадокса Браесса, затем рассматривается тот же участок транспортной сети, но с дополнительной дорогой.

В заключении формулируются результаты диссертационного исследования.

Заключение

Основными результатами диссертационного исследования являются:

1. Разработана модель, позволяющая собрать информацию о показателях подвижности населения и коэффициентах неравномерности перевозок сочетающая натурные эксперименты и методы математической статистики. Получена программная реализация численных методов для определения оценки распределения пассажиропотоков по маршрутам.

2. Разработана методика по поиску оптимальных интервалов движения общественного транспорта по маршрутам с учетом функции «вместимости». Разработан программный комплекс для определения оптимальных интервалов движения городских автобусов по маршрутам с учетом интересов пассажиров и транспортных операторов.

3. Усовершенствована методика по определению характеристик маршрутов транспортной сети. Получены рекомендации относительно реконструкции путепровода.

4. Разработана модель конкурентной борьбы между сервисами, предлагающими дополнительные услуги на примере парковочного сервиса.

5. Рассмотрена возможность возникновения парадокса Браесса на некоторых участках городской транспортной сети. На примере участка транспортной сети г. Петрозаводска продемонстрирована методика по поиску парадоксальных ситуаций.

Публикации по теме диссертации

1. Плаксина Н. В. Равновесные цены для провайдеров в системе с очередями // Ученые записки Петрозаводского Государственного Университета. Серия «Естественные и технические науки». 2011. №2(115). С. 76-80.

2. Плаксина Н. В. Равновесное решение для задачи маршрутизации трафика // Научное обозрение. 2013. № 3. С. 191 - 195.

3. Буре В. М., Мазалов В. В., Плаксина Н. В. Вычисление характеристик пассажиропотоков в транспортных системах // Управление большими системами. 2014. Вып. 47. С.77 - 91.

4. Плаксина Н. В. Выявление транспортного парадокса в дорожной сети города // Современные направления теоретических и прикладных исследований '2012. Одесса: Черноморье. 2012. Т. 11. С. 12 - 16.

5. Плаксина Н. В. Исследование конкуренции в сетях // Информационная среда вуза XXI века: Материалы V Международной научно-практической конференции. Петрозаводск. 2011. С. 152 - 153.

6. Плаксина Н. В. К задаче оптимизации работы общественного транспорта // Научные исследования и их практическое применение. Современное состояние и пути развития '2011. Одесса: Черноморье.

2011. Т. 16. С. 54-56.

7. Плаксина Н. В. Оптимизация работы общественного транспорта // Перспективные инновации в науке, образовании, производстве и транспорте '2011. Одесса: Черноморье. 2011. Т. 8. С. 24 - 25.

8. Плаксина Н. В. Особенности моделирования дорожной сети города с учетом транспортного парадокса // Обозрение прикладной и промышленной математики. Москва: Редакция журнала «ОПиПМ».

2012. Т. 19. Вып. 2. С. 218.

9. Плаксина Н. В. Поиск оптимальных цен на услуги провайдеров в системе с очередями // Современные проблемы и пути их решения в науке, транспорте, производстве и образовании '2010. Одесса: Черноморье. 2010. Т. 8. С. 34 - 36.

Ю.Плаксина Н. В. Применение методов имитационного моделирования для оптимизации работы системы с двумя дополнительными сервисами // Современные направления теоретических и прикладных исследований '2011. Одесса: Черноморье. 2011. Т. 8. С. 40 — 42.

11 .Плаксина H. В. Применение теории игр в задаче многопорогового управления // Научные исследования и их практическое применение. Современное состояние и пути развития '2012. Одесса: Черноморье. 2012. Т. 2. С. 97-99.

12.Плаксина Н. В. Эффект транспортного парадокса при моделировании дорожной сети города // Сборник научных статей XIII Международной научно-инновационной конференции аспирантов, студентов и молодых исследователей с элементами научной школы «Теоретическое знания -в практические дела». Омск: Филиал ФГБОУ ВПО «МГУТУ имени К.Г. Разумовского», 2012. Ч. 2. С. 214 - 218.

13.Plaksina N. V. Equilibrium in prices for providers in queueing systems // Third Northern Triangular seminar. Programme and abstracts. 2011. P. 15.

Подписано в печать 19.09.14. Формат 60><84'/|б. Бумага офсетная. Печ. л. 1. Тираж 120 экз. Изд. № 267.

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение Высшего профессионального образования ПЕТРОЗАВОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСТИТЕТ

Отпечатано в типографии Издательства ПетрГУ Республика Карелия, 185910, г. Петрозаводск, пр. Ленина, 33.