автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Методы исследования динамики и синтеза управления для химико-технологических систем

ПЕРЕЧЕНЬ УСЛОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ И СОКРАЩЕНИЙ.

ВВЕДЕНИЕ.

1. Постановка задачи.

2. Основные концепции.

1. МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ ХТС.

1.1. Модели нижнего уровня.

1.1.1. Статические модули.

1.1.2. Динамические модули.

1.2. Модели отдельных аппаратов ХТС

1.3. Построение модели ХТС в целом.

1.3Л. О выборе метода формального описания ХТС.

1.3.2. Исследование особенности рассматриваемого класса ХТС

1.4. Вопросы идентификации параметров моделей

2. АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ ХТС И СИНТЕЗ САУ.

2.1. Сверточные алгебры и их свойства.

2.1.1. Алгебры с носителем на R+.

2.1.2. Алгебры с носителем на R

2.2. Свойства операторов объекта

2.3. Анализ устойчивости

2.4. Синтез регулятора.

3. РАЗРАБОТКА ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ

И ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ АЛГОРИТМОВ.

3.1. Построение передаточных матриц.

3.2. Численный анализ передаточных матриц

3.3. Построение взаимно-простой факторизации передаточной матрицы.

3,4. Численное обращение преобразования Лапласа

4. ПРАКТИЧЕСКОЕ ИСПОЛЬЗОВАНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ

ИССЛЕДОВАНИЙ.

4.1. Модель динамики участка подготовки окислов азота процесса производства слабой азотной кислоты.

4.2. Стабилизация места окончания спекания в агломерационном производстве.

4.2.1. Построение динамической модели стадии спекания агломерационной машины.

4.2.2. Вопросы синтеза регулятора.

I. Постановка задачи.

Целью работы является разработка инженерных методов исследования динамики химико-технологических систем (ХГС) и синтеза систем автоматического управления для них. Как объект управления, ХГС характеризуются значительной сложностью и указанная проблема имеет различные аспекты: математический, вычислительный, технологический. В работе рассматривается инженерный взгляд на проблему, объединяющий некоторым образом вышеперечисленное. Под инженерными методами здесь понимаются доведенные до уровня вычислительных алгоритмов и. прикладных программ методы качественного и количественного исследования динамики, достаточно простые и пригодные для использования инженерами в области проектирования ХГС и систем управления к ним, основанные на современных результатах теории управления. При этом предполагается включение разрабатываемых методов в качестве математического ядра в систему автоматизированного проектирования.

В качестве объекта управления рассматриваются ХГС с непрерывным характером производства - типичные представители сложных /12,49,85/ или, по другой терминологии, больших систем /24,119/, подсистемами которых являются отдельные аппараты (блоки) технологического процесса - реакторы, теплообменники, трубопроводы, компрессоры и другие. Взаимосвязи между подсистемами осуществляются потоками вещества и информации (предполагается, что отдельные подсистемы могут иметь локальные регуляторы ).

Характерными свойствами ХГС являются: многомерность, много-связность, инерционность, наличие запаздываний, разнородность отдельных подсистем, среди которых встречаются статические, динамические, объекты с сосредоточенными (ОСП) и распределенными параметрами (ОРП). При этом в работе рассматриваются лишь ОРП с сосредоточенными управлениями, у которых управляющие воздействия приложены или на границах объекта (параметры входных или выходных потоков), или в отдельных точках, число которых невелико. Среди объектов химической технологии таких объектов большинство.

Характерной особенностью данной работы является то, что объекты рассматриваются с учетом газодинамики и сжимаемости потоков. В литературе по моделированию ХГС эти эффекты обычно не учитываются, по-видимому,по причине того, что их влияние на статических режимах не столь заметно. При исследовании динамических режимов оказывается, что газодинамика и сжимаемость потоков существенно влияют на переходные процессы в системе и удовлетворительно управлять динамикой ХГС невозможно без учета этих явлений.

Рассмотрим основные факторы, определяющие актуальность изучаемой темы.

При управлении технологическим процессом (ТП) в реальных условиях нельзя избежать эффектов, связанных с тем, что ТП обладает инерционностью. Поэтому при строгом решении общей задачи синтеза оптимального управления необходимо учитывать динамику ТП. Такая задача весьма сложна для большинства технологических процессов, так как относится, как правило, к нелинейным.

Существует обширный класс технологических процессов, у которых естественным образом можно выделить статические стационарные состояния и основное время функционирования которых приходится на эти режимы. Для таких ТП задачу управления обычно разбивают на три части:

1. Нахождение оптимального при заданных условиях стационарного состояния.

2. Стабилизация ТП в окрестности выбранного стационарного состояния в присутствии возмущений.

3. Перевод ТП в другое стационарное состояние при изменении условий функционирования.

Задача I, относящаяся к статическим, в настоящее время достаточно хорошо изучена и во многих случаях успешно решается в рамках АСУТП. Задачи 2,3, относящиеся к динамическим, изучены мало и решаются в основном с помощью человека-оператора, осуществляющего стабилизацию и компенсацию возмущений. Успешному решению им этих задач способствует то обстоятельство, что большинство ХТС проектируются с достаточно большим запасом устойчивости.

Возрастание единичной мощности аппаратов, сложности ХТС и повышение требований к их эффективности, характерные для современного этапа технического прогресса, требуют замены человека-оператора замкнутой системой автоматического управления или повышения его квалификации путем обучения на специальных тренажерах. Оба эти пути связаны с необходимостью изучения динамики ХТС.

Существует и другой фактор, определяющий актуальность темы. Анализ литературы по химической технологии показывает усиление исследований по динамическим режимам функционирования химических реакторов. Работы в этой области ведутся по двум направлениям.

В работах первого направления изучается сравнительная эффективность стационарных и нестационарных режимов функционирования. Под нестационарным режимом понимается любой режим, возбуждаемый во времени серией управляющих воздействий. Эти воздействия - периодические, обычно ступенчатые /121/ или гармонические /104/ функции времени. В работах установлено, что нестационарные режимы могут быть более эффективны чем стационарные, особенно для процессов сепарации (экстракция, абсорбция, дистилляция) /83,104,121/, а также для реакторов с существенно нелинейными выражениями для скоростей реакций /26,104/. Нестационарные режимы приводят к увеличению конверсии и дают эффект, эквивалентный увеличению емкости реактора. Понятно, что для успешного функционирования ТП в нестационарном режиме необходимо наличие САУ.

В работах второго направления изучается множественность стационарных режимов, их устойчивость и технологическая эффективность. При этом часто возникает ситуация, когда наиболее эффективный стационарный режим оказывается неустойчивым и функционирование в таком режиме без системы стабилизации невозможно /97,118/. Возможны следующие основные случаи.

1. При экзотермических и особенно автотермических реакциях возможно существование нескольких стационарных состояний, которые определяются из пересечения кривых тепловыделения реакции и теплопоглощения системой охлаждения (так называемая диаграмма Ван-Хирдена). Низкотемпературное устойчивое состояние для ряда процессов возможно при небольшой разности температуры между реагентом и хладоагентом, для чего необходимо снижать интенсивность процесса или сильно увеличивать поверхность теплоотвода. Выбор высокотемпературного устойчивого режима часто ограничен термостойкостью аппаратуры. Поэтому в ряде случаев оптимальные условия отвечают средним, неустойчивым стационарным режимам. Например: окисление этилена, синтез винилацетата /64/, сжигание топлива, синтез аммиака /123/.

2. При экзотермических обратимых реакциях кривая скорости реакции загибается вниз, так как равновесие смещается в сторону реагентов и нежелательность работы в высокотемпературной точке может быть вызвана малой конверсией /123/. Аналогичная картина может быть вызвана эффектами вязкости в реакциях полимеризации /III/ или эффектами отравления катализатора /99/.

3. Многие важные промышленные реакции проходят в несколько стадий (последовательно, параллельно), при этом желаемым продуктом является промежуточный продукт (например: хлорирование, нитрирование, алкирование). В этих случаях высокая избирательность желаемого продукта достигается при низкой конверсии, а при высокой конверсии - низкая избирательность (например: процесс хлорирования декана /103/). Поэтому целесообразно вести реакцию в компромиссном режиме между избирательностью и конверсией. Этот режим может попадать в область неустойчивых состояний.

Во всех указанных выше работах рассматриваются динамические свойства только отдельных реакторов. Естественно ожидать, что динамические эффекты в ЖС еще более разнообразны. Однако, подобные исследования для ХГС сопряжены с большими трудностями, связанными не только с большой размерностью и сложностью системы, но также и с недостаточной разработанностью методов исследования динамики для них.

Остановимся кратко на положении дел в области исследования динамики ХГС. Имеется большое число работ (как монографий,так и журнальных публикаций), посвященных исследованию динамики отдельных аппаратов химической технологии. Как примеры можно отметить работы /16,62,64,67,118/. В них рассматриваются вопросы моделирования динамики, анализа устойчивости и синтеза реакторов для отдельных объектов химической технологии с сосредоточенными и распределенными параметрами.

Значительно меньшее число работ посвящено динамике технологической совокупности аппаратов - ХТС. Рассмотрим основные из них.

В работах /1,2/ сформулирована динамическая модель ХТС в виде "балансовых уравнений" (системы обыкновенных дифференциальных уравнений), в которых автор учитывает только процессы аккумуляции массы, энергии, компонентов. При этом, сложные физико-химические взаимодействия между и внутри потоков заменяются некоторыми случайными процессами. Для такой модели ХТС автор исследует наблюдаемость и оценку состояния.

В работе /20/ рассмотрен один метод расчета и оптимизации ХТС, формально описываемых в виде общего операторного уравнения, позволяющий для некоторых систем провести декомпозицию и осуществлять расчет без разрыва обратных связей.

В работе /79/ сформулированы достаточные условия устойчивости сложной системы, состоящей из взаимосвязанных подсистем, описываемых линейными дифференциальными уравнениями в частных производных.

Работа /65/ содержит раздел, посвященный исследованию устойчивости стационарных режимов ХТС. Здесь рассмотрены вопросы получения передаточных матриц отдельного блока, построения передаточной матрицы ХТС, условия устойчивости в виде частотного критерия типа Найквиста. Необходимо отметить, что полученное разложение передаточной матрицы ОРП по степеням комплексной переменной s (чему в пространстве оригиналов соответствует разложение по степеням производной от -функции) не обладает достаточной степенью физической наглядности.

В работе /66/ рассматриваются вопросы численного моделирования на ЭВМ нестационарных режимов ХТС. Для расчетов используются методы численного интегрирования по времени с аппроксимацией ОРП по длине методом прямых. Авторы отмечают очень большую трудоемкость подготовки задачи для ЭВМ, большое время счета (7 часов для модели ХТС получения винилацетата), а также малое число публикаций по динамике ХТС.

Анализ литературы показывает, что вопросы исследования динамики ХТС изучены в настоящее время недостаточно. В немногочисленных имеющихся работах, как правило, рассматриваются отдельные вопросы моделирования динамики и исследования устойчивости и некоторые частные случаи ХТС. Практически отсутствуют работы по синтезу САУ. Обращает на себя внимание также отсутствие комплексного рассмотрения всех основных проблем, связанных с моделированием динамики, анализом и синтезом САУ для ХТС.

Описанное положение дел в изучаемой области привело к тому, что диссертационная работа направлена на достижение двух результатов. С одной стороны, малая изученность рассматриваемых вопросов в литературе обусловила необходимость выработать единую концепцию моделирования динамики ХТС и синтеза САУ и в рамках этой концепции выбрать и/или разработать методы анализа и решения поставленных задач. При этом в работе используются новые теоретические результаты по теории систем с обратной связью /89,93,94,102/. С другой стороны, инженерная направленность работы требовала доведения предлагаемых методов до практической реализации в виде вычислительных алгоритмов и прикладных программ, так как для изучаемых объектов даже элементарный анализ невозможен без применения ЭВМ. Это обусловило необходимость тщательной проработки вычислительных аспектов разрабатываемых методов и вопросов их реализации на ЭВМ.

При разработке методов моделирования учитывалась также необходимость исследования динамики на стадии проектирования ХТС совместно с системой управления.

2. Основные концепции,

В работе рассматривается, применительно к ХТС, традиционная задача автоматического управления - стабилизация динамического объекта в окрестности стационарного состояния в присутствии возмущений. При этом изучается линеаризованная динамика и используются линейные методы синтеза регулятора, что,естественно,сужает класс решаемых задач, но позволяет довести разрабатываемые методы до практической реализации.

Как известно, проектирование замкнутой системы управления состоит из трех этапов: моделирование объекта, анализ, синтез регулятора /102/. Каждый из этапов в отдельности может быть выполнен различными методами. Однако в инженерной практике эти этапы взаимосвязаны,и выбор метода на одном из них должен производиться с учетом возможностей на остальных. Особенно это касается таких сложных объектов, какими являются ХТС. Таким образом, выбор концепции (совокупности методов) при проектировании замкнутой системы управления в данном случае представляет собой нетривиальную задачу.

Рассмотрим основные возможные подходы к моделированию, анализу и синтезу с целью выбора приемлемого варианта. Предварительно кратко сформулируем исходные положения (более подробное их обоснование приведено в главе I).

ХТС будем представлять как сложную систему 3 , состоящую из подсистем (отдельных аппаратов) Sk^ K-J,2,.,M , взаимосвязи между которыми и системными входами и выходами задаются уравнениями (I) (см. рис. I.I.):

Хк(Ч]= £ AKj4iM+XKXs(t); usM«£YKu*(t), (I) jH 0 ° KM *> где и Xs , Ljs - векторы входов и выходов подсистемы Sk и системы S соответственно; вектор Хк включает в себя параметры входных потоков и управляющие воздействия, при этом Xs= [Us 7 ttiV ]т 9 Us - вектор системных управлений, vf% - вектор системных возмущений; Akj ,XKfYk - постоянные матрицы типа матриц инциндентности.

Исходные соотношения, описывающие произвольную подсистему формулируются в аналитическом виде /22,27,37,65/ и представляют собой в зависимости от типа аппарата систему алгебраических, обыкновенных дифференциальных (ОДУ) или дифференциальных уравнений в частных производных (ДУЧП), записанную для вектора Zk параметров потоков подсистемы S* . Таким образом, в общем случае пространство состояний /25/ отдельных подсистем и, следовательно, системы $ бесконечномерно.

Различия в рассматриваемых далее подходах определяются видом математической модели, принятой для описания подсистем , формальное задание которой определяет вид модели системы S и класс методов анализа и синтеза.

Первый подход заключается в следующем. Модель подсистемы формулируется в терминах бесконечномерного пространства состояний, то есть сохраняется исходный вид моделей. Тогда систему S можно описать в виде некоторой граничной задачи для системы ДУЧП. Сформулируем ее.

Учитывая различия в типах аппаратов, общий вид модели подсистемы SK будет следующий: рк (2к(1д М1Ь , (2) граничные условия:

D" (BnV tt'UrO-Ux.Ct),

3) начальные условия:

2к(0,О*Ч>к(О 7 (4) где Г,,Гг. - границы области, предполагая, что длина всех аппаратов нормирована - £€-[ 0получим, что Г«: , Гг1Н .

Вп (z W), ) и Brz(z(t,£)> - операторы сужения на границы Гн и Гг ;

EKjFKjGKlDlKJ (t,j = u) - векторные функции соответствующей размерности. При этом для ОСП выполняется: LK 7 (j* 7 В* ?1)к 7 Вк =0 7 ВКгг - тождественный оператор; для статических объектов, кроме этого - Ек -0

Обозначим: Аа (Al]}t,j=tf,.,M ; L - diag [ Li,Lm ] и аналогично Br, 7 Вгг, F, (ji = . Тогда, учитывая уравнения взаимосвязи (1)? получим граничную задачу, описывающую систему $ (5)*(7) и уравнения выходов (8).

8ECZ) ГГз D D т iL hC2,Dr<7on ?Xs)+ CJV 7 ~W~J) ^

ЪКЪг^ + Ъп(ЪГгУ1к[ъЧЪг>ЪгХЪгг)]-- LXxs, (6) z(o,t) = (?) ys-Y[D21(bri>r(BrJ]. (8)

Отметим, что полученная граничная задача обладает большой м размерностью ( N=ZIriK, где П.к = 3-Ч0 - число переменных в векторе состояний подсистемы $к ), наличием граничных управлений и нерегулярной структурой, которая проявляется в том, что входящие в нее векторные функции E7F7G7L7D имеют различную структуру в зависимости от к и, в частности, для некоторых к обращаются в нуль. Таким образом, задачу нельзя отнести к какому-либо классу (параболическая, гиперболическая, эллиптическая).

Введем функционал, отражающий цели управления: т

1= J Ф( Ijs ?us 7 urSj Xs") di (9) о и поставим задачу синтеза регулятора, минимизирующего I : определить оператор С : Us -C(tJs) доставляющий минимум функционалу 1 при заданных tffs , где Xs - некоторые дополнительные входные воздействия, характеризующие желаемое поведение замкнутой системы при ограничениях (5)*(8).

Задачи оптимального управления и синтеза регуляторов для систем с распределенными параметрами изучались многими авторами, например /13,14,28,58,75,113,114/.

Так в /58/ на случай симметричных, положительных неограниченных операторов в бесконечномерных пространствах обобщена классическая линейная теория для ОДУ с квадратичным функционалом без ограничений на управления и фазовые переменные. В эту схему удалось вложить задачи для параболических уравнений с различными типами управлений и наблюдений. При этом, ядро оператора обратной связи удовлетворяет интегродифференциальному уравнению Риккати.

В /113/,развитые в /58/,методы синтеза распространены на линеаризованную систему уравнений Навье-Стокса с "точечными управлениями" и "финальными наблюдениями", а в /П4/-на плохо обусловленные системы (параболическо-эллиптические).

Что касается рассматриваемого здесь случая сложных систем, то можно отметить лишь работу /75/, в которой получены необходимые условия существования оптимального управления для последовательности однотипных аппаратов, описываемых системой гиперболических ДУЧП.

Анализ литературы показывает, что, как правило, изучаются системы, принадлежащие вполне определенному классу ДУЧП (что соответствует в рассматриваемом здесь случае отдельной подсистеме), а также, что решение задачи синтеза в настоящее время имеется для некоторых частных случаев линейных систем с распределенными параметрами.

Нетрудно показать, что оператор, порождаемый линеаризованной граничной задачей (5)*(8), не обладает свойствами, позволяющими применить теорию /58/.

Из вышесказанного можно сделать вывод, что строго решения задачи (5)*(9) в настоящее время нет и этот подход, таким образом, для практического применения нереализуем.

Второй подход, часто используемый при исследовании ОРП, заключается в аппроксимации системы ДУЧП совокупностью систем ОДУ. Здесь существует большое число методов : конечно-разностные /73/, Галеркина /60/, конечных элементов /78/, коллокации /105/.

Обозначим 2К(*0 для ОСП и Д для ОРП - аппроксимация вектора , полученная одним из перечисленных методов. Тогда, для отдельной подсистемы $к получим приближенную модель d£»<f'Ct» * &с(1*М,х«Ю), сю) rj где для статических подсистем по-прежнему Ек-0 .

Учитывая уравнения (I), получим модель системы S : id у.- Бг.

Для синтеза регулятора по модели (II) можно использовать стандартные методы для конечномерных динамических систем /11,57,70/, в частности, для линеаризованной системы (II) - хорошо разработанную линейно-квадратическую теорию /5,39,80,120/.

Такому подходу присущи существенные недостатки. Первый из них связан с очень большой размерностью полученной задачи. Если для одного ОРП размерность вектора состояний гк уже достаточно велика, то для более-менее сложной ХТС она достигает неприемли-мой для практических расчетов величины. Так, например, для рассматриваемого в данной работе ТП производства слабой азотной кислоты, содержащего 49 аппаратов, 25 из которых - ОРП, при дискретизации последних на 10 уровней и средней размерности вектора параметров потока для одного аппарата равной б получаем, что система (II) содержит приблизительно 1500 уравнений. Необходимо учесть также, что размерность задачи синтеза регулятора будет еще выше, так как в нее войдет задача построения динамического наблюдателя, позволяющего оценить по 10*15 наблюдениям вектор состояния размерностью 1500.

Второй недостаток вызван тем, что как известно /70/, при аппроксимации 0РП теряется структура исходной задачи; свойства полученной модели существенно зависят от метода аппроксимации, расположения точек дискретизации. В результате чего применяемые в дальнейшем методы носят формальный характер, мало учитывающий специфику исходной задачи. Здесь можно отметить трудности с построением наблюдателя и выбором весовых матриц в квадратичном критерии, от которых существенно зависит качество переходных процессов в замкнутой системе /80/.

Третий недостаток связан со степенью оптимальности получаемого в результате управления. Известно, что полученное в результате конечномерной аппроксимации граничной задачи оптимальное управление может не сходится в пределе к оптимальному решению исходной задачи /45/, и доказательство подобной сходимости является сложной математической задачей, актуальной в настоящее время /28/.

Указанные выше обстоятельства делают нежелательным применение данного подхода.

Третий подход основан на переходе от моделей подсистем в пространстве состояний к моделям "вход-выход" (ВВ), то есть построении оператора Wk , связывающего входы и выходы подсистемы:

УкО) = W* ХкСО . (12)

Учитывая уравнения (I) и вводя такие же как и ранее векторные обозначения^ получим модель ВВ системы S :

Ijs -Y(I-WAT'Kxs-WsXs. (13)

Функционал и задача синтеза остаются при этом прежними.

Преимущество этого подхода заключается прежде всего в существенном сокращении размерности. Действительно, поскольку взаимодействия между подсистемами осуществляется через конечномерные векторы входов и выходов и управления сосредоточенные, то при построении модели системы можно оперировать моделями подсистем небольшой размерности, при этом внешняя структура их (оператораWk ) будет одинаковой для ОСП и СРП, что важно при численной реализации на ЭВМ. С другой стороны, размерность пространства входов и выходов системы S также невелика,и. наличие модели ВВ для S позволяет решать задачу синтеза малой размерности.

Применение этого подхода также не лишено трудностей. Одна из них связана с представлением моделей ВВ. Для их получения часто используют экспериментальные методы /27/. Однако, полученные в результате модели справедливы обычно в узком диапазоне изменения параметров объекта и их невозможно получить на этапе проектирования, что является необходимым условием в данной работе.

Поэтому здесь используются модели ВВ, полученные в результате решения аналитических уравнений в пространстве состояний\(2)*: (4) относительно входных и выходных переменных. При этом, точное представление для вход-выходного оператора Wk не всегда возможно или удобно получить из-за сложности граничной задачи (2)*(4). Для линейных инвариантных во времени систем это можно сделать, используя преобразование Лапласа по временной переменной и получить точное представление для Wk в частотной области в виде пеА редаточной матрицы WK(s) . Отметим, что во временной области матрицу WkOO можно получить даже в этом случае лишь приближенно, применяя либо численные методы обращения преобразования Лапласа, либо многократно численно решая граничную задачу (2)*(4) со специальным образом подобранными граничными условиями. Использование преобразования Лапласа представляет также удобства с вычислительной точки зрения, так как для последующей работы с передаточными матрицами достаточно применение методов линейной алгебры в поле комплексных чисел. Инвариантность во времени не является серьезным ограничением в данном случае, поскольку переходные процессы в системах рассматриваемого класса протекают обычно намного быстрее, чем проявляется нестационарность параметров системы.

После получения модели системы S дальнейший анализ и синтез регулятора возможен во временной или в частотной области. Во временной области возможны два пути: синтез непосредственно по оператору \л/5(Оили переход с помощью методов теории абстрактной реализации к модели системы в дифференциальной форме /48/, кото-рал, например,в дискретном случае может иметь вид: u(KAl)=E МЫЫй) + £ Wz(jAt)xsCj*t). (14)

В обоих случаях модель является весьма приближенной и при оценке степени оптимальности получаемого в результате управления возникает проблема сходимости, так:же как и при втором подходе.

Таким образом, более корректным представляется синтез в часл тотной области, основанный на точном представлении оператора Ws(s). На этом пути также возникают определенные трудности, связанные с тем, что для систем, описываемых моделями ВВ в частотной области, методы анализа и синтеза менее развиты. Действительно, с 60-х годов в теории управления большее распространение и развитие получили методы пространства состояний. Однако, возрождение в последние годы интереса к методам ВВ /115/ привело к появлению новых результатов в этой области. Рассмотрю.! некоторые из них, имеющие непосредственное отношение к данной работе.

В работах /4,10,50/ разработан и развит аналитический метод синтеза в частотной области оптимального регулятора для конечномерных, линейных, инвариантных во времени систем. Идея метода заключается в специальном выборе варьируемой матрицы в теории оптимальной фильтрации Винера-Хопфа.

Аналогичные по форме результаты получены для конечномерных объектов в несколько более широкой постановке в работе /124/. Процедура получения оптимального регулятора здесь основана на следующем алгебраическом результате. Для объекта, передаточная матрица которого представима в виде:

W(s) - Na(s)KCs)=B";Cs)Nt(s), (15) л а л л где Nt DtjNejDt - взаимно-простые полиномиальные матрицы, (то есть существуют полиномиальные матрицы UT>Vt Ue Vfc для которых выполняется )5 любой регулятор, обеспечивающий устойчивость замкнутой системы,имеет вид:

С (У) = (VxCs) + kcs) NtWKUtM- адЬеСО)"1 , (16) где K(s) - любая дробно-рациональная матрица с полюсами в заданной области левой полуплоскости.

Этот простой по форме результат оказался фундаментальным для теории систем управления с обратной связью типа "вход-выход" и получил дальнейшее развитие в многочисленных публикациях /86,89, 94,98,102/.

Параллельно с этим, в работах /23,90,91,92,93,95,96/ интенсивно развивались методы анализа широкого класса линейных инвариантных во времени систем типа ВВ, включающего в себя 0СП,0РП и объекты с запаздыванием. Для их исследования был введен математический аппарат сверточных банаховых алгебр /82/ (нормированных колец в терминологии /19/). Для таких систем в /93,95/ построена алгебра передаточных функций, в /23,90,91,92,101/ получены критерии устойчивости различных видов замкнутых систем, в /94/ на основании результатов /124/ получен общий вид регулятора, дающего решение стандартной задачи автоматического регулирования: отслеживание входных сигналов независимо от возмущений из заданного класса и размещение заданным образом полюсов замкнутой системы. В работе /102/ результаты обоих направлений были объединены в аксиоматическую теорию анализа и синтеза с обратной связью на основе дробного представления оператора объекта и регулятора.

Указанные результаты послужили теоретической основой для разрабатываемых в данной работе методов.

Таким образом общая концепция, принятая в данной работе для моделирования, анализа и синтеза САУ для ХГС выглядит следующим образом.

1. ХТС представляется в виде сложной системы 3 ,состоящей из подсистем .

2. Исходные модели подсистем ь>к формулируются в виде дифференциальных уравнений различного типа в пространстве состояний.

3. Переход к моделям ВВ подсистем в частотной области с помощью преобразования Лапласа и решения полученных уравнений.

4. Построение модели ВВ в частотной области для всей системы S .

5. Анализ передаточной матрицы системы £> .

6. Синтез регулятора в частотной области.

7. Переход во временную область с помощью методов численного обращения преобразования Лапласа с целью получения закона регулирования и анализа поведения замкнутой системы. (Этот этап может осуществляться также после пунктов 3,4 при необходимости получения наглядной картины динамического поведения объекта).

Перечисленные выше пункты отражают также и структуру диссертационной работы, которая состоит из введения, четырех глав, заключения и приложения.

9. Результаты работы использованы для построения динамической модели технологического процесса производства слабой азотной кислоты под давлением 7,3 ата, а также для создания динамической модели стадии спекания агломерационной машины АКМ 312 и синтеза управления для задачи стабилизации места окончания спекания. Экономический эффект от внедрения результатов работы составляет 36,6 тыс. руб.

В плане дальнейшего развития работ по рассмотренной теме можно отметить следующее. Динамические задачи для ХТС лишь начинают изучаться и многие вопросы в настоящее время еще не решены. Данная работа не претендует на полноту исследования всех вопросов в этой области. Можно сказать, что в ней намечен один из возможных подходов, в рамках которого решены некоторые основные задачи. Круг проблем, требующих дальнейших исследований достаточно широк в теоретическом и прикладном плане. Так, по разделу моделирования динамики целесообразно расширение класса рассматриваемых ХТС за счет включения в него ОРП, описываемых другими типами уравнений в частных производных. По разделу синтеза регуляторов необходима разработка методов оптимального синтеза при наличии ограничений. В плане практической реализации желательно повышение эффективности разработанных численных методов, создание новых (быть может лучших) и проведение работ по объединению комплекса численных методов и прикладных программ в систему автоматизированного проектирования САУ для ХТС. Очевидно и более широкое направление дальнейших исследований - рассмотрение нестационарных и нелинейных случаев с использованием,быть может,других подходов.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данной работе сделана попытка рассмотреть с единых позиций весь комплекс задач, связанных с моделированием динамики, анализом устойчивости и синтезом САУ для таких достаточно сложных объектов, какими являются химико-технологические системы. При исследовании этого вопроса большое внимание уделялось возможности практической реализации разрабатываемых методов, а также возможности их применения на этапе проектирования ХТС совместно с САУ. С учетом этого в работе предложен подход,позволяющий получить практическую реализацию методов решения с достаточной точностью и приемлимыми затратами вычислительных мощностей. В рамках этой концепции были решены ряд задач теоретического и прикладного характера. При этом, хотя вопросам численной реализации на ЭВМ в работе уделено меньшее внимание, чем другим (в связи с ограниченным объемом), на взгляд автора,в данном случае они имеют не меньшее значение,чем теоретические проблемы.

Основное содержание диссертации опубликовано в работах: /7/, /31/, /34/, /40/ * /43/, /51/ * /56/.

Сформулируем основные результаты, полученные в работе.

1. Проведен анализ с единых позиций комплекса задач моделирования динамики ХТС, анализа устойчивости и синтеза САУ и предложен подход, позволяющий получить практическую реализацию методов решения этих задач с достаточной точностью и приемлимыми затратами вычислительных мощностей.

2. Получена формальная динамическая модель типа "вход-выход" в классе сверточных алгебр для ХТС? содержащих объекты с сосредоточенными и распределенными параметрами; разработаны методы ее построения в частотной и временной области.

3. Изучены особенности рассматриваемого класса ХТС и показано, что они обладают свойствами "полной связности".

4. Для идентификации параметров изучаемого класса объектов рассмотрено применение метода взвешенных моментов и получено условие идентифицируемости.

5. К рассматриваемым в работе объектам применены методы теории сверточных банаховых алгебр и методы синтеза регуляторов в них.

6. Изучены свойства "вход-выходного" оператора объекта с распределенными параметрами, описываемого системой дифференциальных уравнений в частных производных гиперболического типа.

7. Для адекватного описания рассматриваемого класса объектов с распределенными параметрами построено расширение сверточных алгебр в сторону непричинных операторов, что делает возможным распространение методов п.5 на более широкий класс объектов.

8. Разработан комплекс вычислительных алгоритмов и прикладных програш3реализующих изложенные выше методы моделирования динамики ХТС и синтеза регуляторов, в рамках которого : а) разработан экономичный алгоритм построения передаточной матрицы ХТС; б) разработан алгоритм численного анализа в комплексной плоскости особенностей передаточных матриц рассматриваемых объектов; в) разработан алгоритм численного обращения преобразования Лапласа на основе быстрого преобразования Фурье с предварительным выделением особенностей изображения по п. 86.

1. Аарна О.А. Обобщенная динамическая модель химико-технологической системы. В кн.: Труды Таллинского политехнического института, №519. - Таллин: 1981, с.93-100.

2. Аарна О.А. Балансовые модели для оценки состояний химико-технологических систем. Автоматика и телемеханика, 1984, IP5,с.125-133.

3. Авербух Я.Д. Процессы и аппараты химической технологии. Свердловск: 1973. - 306 с.

4. Алиев Ф.А., Ларин В.Б., Науменко К.И., Сунцев B.H. Оптимизация линейных инвариантных во времени систем управления. Киев: Наукова думка, 1978. - 327 с.

5. Андреев Ю.Н. Управление конечномерными линейными объектами. М.: Наука, 1976. - 425 с.

6. Арис Р. Анализ процессов в химических реакторах. Л.: Химия, 1967. - 328 с.

7. Беллман Р., Кук К. Дифференциально-разностные уравнения. М.: Мир, 1967. - 548 с.

8. Бенедек П., Ласло А. Научные основы химической технологии. -Л.: Химия, 1970. 376 с.

9. Блохин JI.H. Оптимальные системы стабилизации. Киев: Техника. 1982. - 142 с.

10. Брайсон А., Хо Ю-ШИ. Прикладная теория оптимального управления. М.: Мир, 1972. - 540 с.

11. Бусленко Н.П. Моделирование сложных систем. М.: Наука, 1978. - 398 с.

12. Бутковский А.Г. Теория оптимального управления системами с распределенными параметрами. М.: Наука, 1965. - 475 с.

13. Бутковский А.Г. Методы управления системами с распределенными параметрами. М.: Наука, 1975. - 568 с.

14. Бэр Г.Д. Техническая термодинамика. М.: Мир, 1977. - 518 с.

15. Вольтер Б.В., Сальников И.Е. Устойчивость режимов работы химических реакторов. М.: Химия, 1972. - 190 с.

16. Габелая А.Г., Иваненко В.И., Одарич О.Н. Стабилизируемость линейных автономных систем управления.- Кибернетика, 1975, №3, с. 69-72.

17. Гельфанд И.М. Об абсолютно сходящихся тригонометрических рядах и интегралах. Математический сборник, 1941, 9(51),с. 51-66.

18. Гельфанд И.М., Райков Д.А., Шилов Г.Е. Коммутативные нормированные кольца. М.: Физматгиз, I960. - 316 с.

19. Глузман С.С., Генкин Г.Г. и др. Расчет, и оптимизация динамических режимов ХТС произвольной структуры. Теор. осн. хим. техн., 1976, N95, с. 912-916.

20. Гроп Д. Методы идентификации систем. М.: Мир, 1979. - 302 с.

21. Девятов Б.Н. Динамика распределенных процессов в технологических аппаратах, распределенный контроль и управление. -Красноярск: 1976. 310 с.

22. Дезоер Ч., Видьясагар М. Системы с обратной связью: вход-выходные соотношения. М.: Наука, 1983. - 280 с.

23. Денисов А.А., Колесников Д.Н. Теория больших систем управления. Л.: Энергоиздат, 1982. -287 с.

24. Деруссо П., Рой Р., Клоуз Ч. Пространство состояний в теории управления. М.: Наука, 1970. - 620 с.

25. Дорогов Н.Н., Сучков В.П., Цирлин A.M. Условия оптимальности периодических установившихся режимов технологических процессов. Теор. осн. хим. техн., 1974, №5, с. 752-759.

26. Дудников Е.Г., Балакирев B.C., Кривсунов В.Н., Цирлин A.M. Построение математических моделей химико-технологических объектов. Л.: Химия, 1970. - 311 с.

27. Егоров А.И. Оптимальное управление тепловыми и диффузионными процессами. М.: Наука, 1978. -462 с.

28. Заде Л., Дезоер Ч. Теория линейных систем. М.: Наука, 1970.- 457 с.

29. Земанян А.Г. Интегральные преобразования обобщенных функций.- М.: Наука, 1974. 400 с.

30. Иваненко В.И., Колесник В.В., Барзилович Ю.В., Левков С.П., Патиоха А.А. Пакет прикладных программ "Анализ систем обыкновенных дифференциальных уравнений". Киев: ГосФАП СССР. N91006557,1983.

31. Идельчик Й.Е. Справочник по гидравлическим сопротивлениям. -М.: Машиностроение, 1975. 559 с.

32. Исследование и разработка методов стабилизации процессов оку-скования железорудного сырья. Отчет по НИР. Киев: ИК АН УССР, 1984, 50 с. - Рукопись деп. в ВИНИТИ, инв. №

33. Кафаров В.В., Выгон В.Г., Гордеев Л.С. Об оценке параметров математических моделей гидродинамической структуры потоков с статистическими методами. Теор. осн. хим. техн., 1968, №2, с. 266-271.

34. Кафаров В.В., Дорохов И.Н. Системный анализ процессов химической технологии. М.: Наука, 1976. - 498 с.

35. Кафаров В.В., Перов B.JI., Мешалкин В.П. Принципы математического моделирования химико-технологических систем. М.: Химия, 1974. - 343 с.

36. Кафаров В.В., Мешалкин В.П., Перов В.Л. Математические основы автоматизированного проектирования химических производств.-М.: Химия, 1979. 318 с.

37. Квакернаак X., Сиван Р. Линейные оптимальные системы управления. М.: Мир, 1977. - 645 с.

38. Колесник В.В., Левков С.П. Численный метод определения динамических характеристик одного класса объектов с распределенными параметрами. В кн.: Адаптивные системы управления. -Киев: ИК АН УССР, 1978, с.83-90.

39. Колесник В.В., Левков С.П. Динамическая модель участка подготовки окислов азота в технологическом процессе производства слабой азотной кислоты. В кн.: Адаптивные системы управления. - Киев: ИК АН УССР, 1980, с.9-17.

40. Колесник В.В., Левков С.П. О модальном управлении одним классом объектов химической технологии с распределенными параметрами. Там же, с.82-83.

41. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1968. - 495 с.

42. Красовский Н.Н. Теория оптимальных управляемых систем. В кн.: "Механика в СССР за 50 лет". - М.: Наука, 1968. с.179-244.

43. Кроу и др. Математическое моделирование химических производств. М.: Мир, 1973. - 388 с.

44. Крылов В.И., Скобля Н.С. Методы приближенного преобразования Фурье и обращение преобразования Лапласа. М.: Наука, 1974. - 219 с.

45. Крылов В.В. Построение моделей внутренней структуры динамических систем по входо-выходным соотношениям (теория абстрактной реализации). Автоматика и телемеханика, 1984,2, с.5-20.

46. Кухтенко А.Н. Основные направления развития теории управления сложными системами. В кн.: Сложные системы управления.- Киев: Наукова думка, 1968, с.6-24.

47. Ларин В.Б., Науменко К.И., Сунцев В.Н. Синтез оптимальных линейных систем с обратной связью. Киев: Наукова думка, 1973. - 148 с.

48. Левков С.П. Некоторые вопросы идентификации одного класса линейных распределенных объектов. В кн.: Адаптивные системы управления. - Киев: ИК АН УССР, 1980,с.27-32.

49. Левков С.П. Об устойчивости замкнутой системы с распределенным'.объектом гиперболического типа. Автоматика, №5, 1980, с. 15-21.

50. Левков С.П. Об одном методе синтеза регуляторов для класса объектов с распределенными параметрами. Автоматика, 1982, с.34-44.

51. Левков С.П. Об устойчивости одного класса объектов с распределенными параметрами. В кн.: Адаптивные системы автоматического управления. - Киев: Техника, 1982, с.92-99.

52. Ч 55. Левков С.П. Устойчивость замкнутой системы,содержащей объект с распределенными параметрами гиперболического типа. Автоматика, №5 1983, с.32-39.

53. Левков С.П. Устойчивость сложных химико-технологических систем. В кн.: Адаптивные системы управления. - Киев: ИК1. АН УССР, 1984, с.28-34.

54. Ли Э.Б., Маркус Л. Основы теории оптимального управления. -М.: Наука, 1972. 574 с.

55. Лионе Ж.Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями в частных производных. М.: Мир, 1972. - 414 с.

56. Маркушевич А.И. Краткий курс теории аналитических функций. -М.: Наука, 1966. 388 с.

57. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1977. - 454 с.

58. Математическая модель производства слабой азотной кислоты под давлением 7,3 ат для целей управления и проектирования. Отчет по НИР. - Киев: ИК АН УССР, 1978, 109 с. - Рукопись деп. в ВИНИТИ, инв. Ш Б777649.

59. Матрос 10. Ш. Нестационарные процессы в каталитических реакторах. Новосибирск: Наука, 1982. - 285 с.

60. Метод построения математической модели динамики процесса производства слабой азотной кислоты. Отчет по НИР. -Киев: ИК АН УССР, 1982, 80 с. - Рукопись деп. в ВИНИТИ,инв.№02830037624.

61. Орлик В.Н. и др. Стабилизация неустойчивых режимов в каталитических реакторах. Химическая промышленность, 1974, N96, с. 449-454.

62. Островский Г.М., Волин Ю.М. Моделирование сложных химико-технологических схем. М.: Химия, 1975. - 311 с.

63. Островский Г.М. и др. О моделировании нестационарных режимов сложных химико-технологических схем. Теор. осн. химич. техн. 1980, N42, с.268-274.

64. Перлмутер Д. Устойчивость химических реакторов. JI.: Химия, 1976. - 256 с.

65. Рабинер JI., Гоулд Б. Теория и применение цифровой обработки сигналов. М.: Мир, 1978. - 848 с.

66. Райбман Н.С., Богданов В.0., Кнеллер Д.В. Идентификация систем с распределенными параметрами. Автоматика и телемеханика, 1982, N96, с. 5-36.

67. Рей У. Методы управления технологическими процессами. М.: Мир, 1983. - 367 с.

68. Рид М., Саймон Б. Функциональный анализ. М.: Мир, 1977. - 356 с.

69. Рождественский Б.Л., Яненко Н.Н. Системы квазилинейных уравнений. М.: Наука, 1978. - 686 с.

70. Самарский А.А., Попов Ю.П. Разностные методы задач газовой динамики. М.: Наука, 1980. - 350 с.

71. Сейдж А., Мелса Д. Идентификация систем. М.: Наука, 1974.- 410 с.

72. Сиразетдинов Т.К. Оптимизация систем с распределенными параметрами. М.: Наука, 1977. - 480 с.

73. Слинько М.Г., Хартман К. Методы и программы для расчета химических реакторов. Лейпциг: 1972. - 435 с.

74. Стренг Г. Линейная алгебра и ее приложения. М.: Мир, 1980.- 454 с.

75. Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов. М.: Мир, 1977. - 368 с.

76. Удилов В.В. Об оценке устойчивости линейных взаимосвязных систем с распределенными параметрами. В кн.: Сложные системы управления. - Киев: Наукова думка, 1968, с.74-80.

77. Уонем М. Линейные многомерные системы управления. М.: Наука, 1980. - 375 с.

78. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. М.: Наука, 1969. - T.I, 607 с.

79. Хилле Э., Филипс Р. Функциональный анализ и полугруппы, М.: Изд. Иностранной литературы, 1962. - 830 с.

80. Ходоров Е.И., Вертешев М.С. К вопросу о преимуществах квазистационарного режима многосекционных аппаратов ступенчатого противотока. Теор. осн. хим. техн., 1974, К, с. 671-677.

81. Чермак И., Петерка В., Заворка И. Динамика регулируемых систем в теплоэнергетике и'химии. М.: Мир, 1972. - 623 с.

82. Шаракшанэ А.С., Железнов И.Г., Ивницкий В.А. Сложные системы. М.: Высшая школа, 1977. - 246 с.

83. Alos A.J. A Comparison Between Youla and Wolovich compensator. IEEE Trans, on Autom. Contr., 1982, v.AC-27, 2, p.455-457.

84. Anderssen A.S., White E.T. Parameter Estimation by the Weighted Moments Method. Chem.Eng.Sci., 1971,v.26, 8, p.203-212.

85. Birbaum I., Lapidus L. Studies in Approximation Methods.-Chem.Eng.Sci., 1978,v.33,p.415-470.

86. Bongiorno J.J., Youla D.C. On the Design of Single-Loop Single-Input-Output Feedback Control Systems in the Complex—Freqency Domain. IEEE Trans, on Autom. Contr., 1977, 3, p.416-423.

87. Callier F.M., Desoer C.A. Open-Loop Unstable Convolution Feedback Systems with Dinamical Feedbacks. Automatica, 1976, 12, 5, p.507-518.

88. Callier F.M., Chen W.S., Desoer C.A. Input-Output Stability Theory of Interconnected Systems Using Decomposition Theckniqes. IEEE Trans, on Circuits and Systems, v.CAS-23, 12,1976, p.714-725.

89. Callier F.M.,Desoer C.A. Stabilization, Tracking and Dis-turbans Rejection in Multivariable Convolution Systems. -Annales de la Societe Scientifique de Bruxelles, T.94, 1, 1980, p.7-51.

90. Callier P.M., Desoer G.A. Simplification and Claryfication on the Paper "An Algebra of Transfer Functions for Distriu-ted Lenear Time-Invariant Systems". IEEE Trans, on Autom. Contr., 1980,v.AC-27, 4, p.320-323.

91. Callier P.M., Cheng V., Desoer C.A. Dinamic Interpretationof Poles and Transmission Zeros for Distributed Multivariable Systems. IEEE Trans, on Circ. and Syst., 1981, v.CAS-28, p.300-306.

92. Cheng M., Schmitz R.A. Feedback Control of Unstable States in a Laboratory Reactor. Chem.Eng.Sci., 1975,v.30, p.837-845.

93. Cheng L., Pearson J.B. Frequency Domain Synthesis of Multi-variable Linear Regulators. IEEE Trans, on Autom. Contr., 1978, v.AC—23, p.3-15.

94. Dassau W.J. Wolfang G.H. Design of a Chemical Reactor by Dynamic Simulation. Chem.Eng. Progress, 1963, v.59, 4,p.43-51.

95. Desoer C.A., Wu M.J. Stability of Linear Time-Invariant Systems. IEEE Trans, on Autom. Contr., 1980,v.25, 3,p.245-250.

96. Desoer C.A., Wang J.T. On the Generalized Nyquist Stability Criterion. IEEE Trans, on Autom. Contr., 1980, v.25, 2, p.187-196.

97. Desoer C.A. et al. Feedback Systems Design. The Fractional Represantation Approach to Analysis and Synthesis. IEEE Trans, on Autom. Contr., 1980, v.25, 3, p.399-412.

98. Ding J.L., Sharma M.M., Luss D. Steady State Multiplicity and Control of the Chlorination of Liquid n-Decane. Ind. Eng. Chem. Fundum., 1974, v.13, 1, p.76-84.

99. Douglas J.M. Periodic Reactor Operation. Ind. Eng. Chem. Process Design and Development., 1967, v.67, 1, p.43-49.

100. Finlayson Б.A. The Method of Weighted Reaiduals and Variational Principles. New York, Academic Press, 1972.

101. Francis B.A. The Multivariable Servomechanism Problem from the Input-Output Viepoint. IEEE Trans, on Autom. Contr., 1977, v.22, 3, p.322-328.

102. Georgakis G., Aris R., Amudson N.R. Studies in the Control of Tubular Reactor. Chem. Eng. Sci., 1977,v.32, p.1359-1380.

103. Gibilaro L.G., Lees F.P. The Reduction of Complex Transfer Function Models to Simple Models Using the Method of Moment.- Chem. Eng. Sci., 1969, v.24, p.85-92.

104. Harary F. A Graph Theoretic Approach to Matrix Invertionby Partitioning. Numerical Mathematik, 1962,v.4,p.128-135.

105. Kevorkian K.A., Snoek J. Decomposition in Large Scale Systems. in Decomposition of Large Scale Problems. - Amsterdam, 1972, 380p.

106. Knorr R.S., O'Driscoll K.F. Multiple Steady States, Viscosity and High Convertion. Jorn. of Applied Polimer Sciens, 1970, v.14, 11, p.2683-2691.

107. Lees F.P. The Derivation of Simple Transfer Function Models.- Chem. Eng. Sci., 1971,v.26, p.1179-1186.

108. Lions J.L. Remarks on New Sty-sterns of Partial Differential Equations Related to Optimal Control. Math. Annal. and Appl. Ph., New York, 1981, p.499-512.

109. Lions J.L. Optimal Control of Nonwell Posed Distributed Systems. in Nonleanear Problems: Present and Future. Proc. I iConf. - Los Alamos, NM, March 1981, p.3-16.

110. MacFarlane A.G.J. The Development of Frequency Response Methods in Automatic Control. IEEE Trans, on Autom. Contr. 1979, v.24, 2, p.250-265.

111. Mixon P.O., Whitacker D.R., Orcutt J.C. Axial Dispersion and Heat Transfer in Liquid Spray Towers. AIChE Journal, 1967, v.13, p.21-26.

112. Polia M.P., Goodson fi.E. Parameter Identification in Distributed Systems. Rroceedings of the IEEE, 1976, v.64, 1, p.65-80.

113. Ramirez W.F., Turner B.A. The Dinamic Modelling, Stability and Control of CSTR. AIChE Journal, 1969, v.15, p.858-860.

114. Siljak D.D. Large Scale Dynamical Systems. New York, 1978, - 416p.

115. Sandell N.R. et al. Survey of Decentralized Control Mehods for Large Scale Systems. IEEE Trans, on Autom. Contr., 1978, v. AC-23, p.108-129.

116. Scrodt V.N. Unsteady State Processing. Ind. and Eng. Chem., 1967, v.59, 6, p.58-64.

117. Simon I.D., Mitter S.K. A Theory of Modal Control. Inf. and Contr., 1968, 13.

118. Van Heerden. Autothermic Process Properties and Reactor Design. Ind. Eng. Chem., 1953, v.45, 6, p.1242-1251.

119. Youla D.C. et al. Modern Wiener-Hopf Design of Optimal Controllers. IEEE Trans, on Autom. Contr., 1976, v.21,,3,p.319-338.

120. ЗЕРНДАЮ" юти ту та им.В.М.Глушкова Академик АН УССР В.С.МИХАЛЕВИЧ с&лГ**.1984 г.