автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Методы идентификации и диагностики промышленных объектов с учетом запаздывания и нестационарности

На правах рукописи

003457476

ИАНАСОВ ВЯЧЕСЛАВ ВЛАДИМИРОВИЧ

МЕТОДЫ ИДЕНТИФИКАЦИИ И ДИАГНОСТИКИ ПРОМЫШЛЕННЫХ ОБЪЕКТОВ С УЧЕТОМ ЗАПАЗДЫВАНИЯ И НЕСТАЦИОНАРНОСТИ

Специальность 05.13.01 - Системный анализ, управление и обработка информации

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

1 г ДЕК 2008

Братск 2008

003457476

Работа выполнена в ГОУ ВПО «Братский государственный университет»

Научный руководитель:

Лузгин Владимир Васильевич кандидат технических наук, доцент

Официальные оппоненты: Мухопад Юрий Федорович,

доктор технических наук, профессор

Крутилин Денис Анатольевич, кандидат технических наук

Ведущая организация:

ГОУ ВПО «Иркутский государственный технический университет», г. Иркутск

Защита состоится 26 декабря 2008 года в 10 часов в аудитории 3203 на заседании диссертационного совета Д212.018.01 в ГОУ ВПО «Братский государственный университет» по адресу: 665709, г. Братск, ул. Макаренко, 40.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ГОУ ВПО «Братский государственный университет»

Автореферат разослан 25 ноября 2008 года

Ученый секретарь

диссертационного совета „

кандидат технических наук, доцент '¿Уф-г-г^Щ*? И.В.Игнатьев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В настоящее время решение триединой задачи: функционирования, идентификации и диагностики промышленных объектов (ПО) с учетом явлений нестационарности, запаздывания и нелинейности, при комплексной автоматизации технологических процессов - является необходимым условием обеспечения надежности, безопасности и конкурентоспособности производства.

В частности, в современных системах автоматического управления (САУ) перспективным является управление, в котором управляющие воздействия служат для обеспечения требуемого качества управления с учетом непрерывной идентификации и диагностики объектов управления. Например, дуальное управление, предложенное и обоснованное Фельдбаумом А. А. в начале 70-х годов прошлого столетия, применяют в САУ в том случае, когда априорная информация об объекте управления не является достаточной, и изучение поведения объекта управления может дать дополнительные сведения об его свойствах.

Следует отметить, что процесс идентификации носит также двойственный характер, так как одновременно решается две задачи - обеспечение требуемого качества функционирования ПО и формирование информации о его техническом состоянии.

Основная цель диагностики состоит в определении технического состояния различных, в первую очередь, сложных объектов и систем в целом.

Развитие автоматизации производства сопровождается ростом сложности и взаимосвязей элементов в САУ. Эти обстоятельства, обусловленные расширением круга решаемых задач при одновременном повышении требований к эффективности функционирования, приводят к снижению надежности и резко увеличивают материальные, временные и трудовые затраты на обслуживание ПО. Решением указанных противоречий наряду с повышением надежности элементов является совершенствование методов и средств определения технического состояния объектов, т. е. решение задач технической диагностики.

При исследовании ПО априори можно считать присутствие в динамическом процессе следующих явлений: нелинейности, нестационарности, временные запаздывания, которые в зависимости от целей и задач исследований должны быть соответствующим образом отображены в дифференциальных уравнениях. Например, для адекватного описания процессов, учитывающих временные запаздывания, обыкновенные дифференциальные уравнения уже не являются удовлетворительной математической моделью. Более точное математическое описание в этом случае дают функционально-дифференциальные уравнения, в частности, уравнения с запаздывающим аргументом.

Для исследования устойчивости нестационарных объектов существуют различные методы. Например, для нестационарных объектов с запаздыванием известен второй метод Ляпунова, с помощью которого для ряда конкретных систем и объектов получаются условия устойчивости путем построения подходящих функционалов Ляпунова. Однако, такой функционал носит характер догадки, а сколько-нибудь регулярные процедуры его построения отсутствуют. Поэтому возникает актуальная задача получения признаков, позволяющих по коэффициентам дифференциальных уравнений судить об устойчивости нестационарных объектов, которая является необходимым признаком их работоспособности.

В связи с этими обстоятельствами актуальность решения задач по разработке методов и алгоритмов идентификации и диагностики ПО с учетом явлений запаздывания и нестационарности является вполне обоснованной.

Цель диссертационной работы состоит в разработке методов и алгоритмов идентификации и диагностики ПО без учета и с учетом запаздывания и нестационарности, направленных на одновременное и непрерывное решение задач идентификации, диагностики и управления промышленными объектами в процессе их разработки, наладки и эксплуатации.

Для реализации сформулированной цели решались задачи:

- получение диагностических признаков устойчивости дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом для исследуемых ПО;

- разработка и теоретическое обоснование методов идентификации и диагностики по результатам восстановления дифференциальных уравнений 2-го и 4-го порядков с вещественными и сопряженно-комплексными корнями на примере электротепловых и электромеханических объектов;

- разработка метода вторичной идентификации с учетом запаздывания и нестационарности и апробация его на примере электротеплового и электромеханического объектов.

Основные методы исследования. Для решения поставленных в диссертационной работе задач использовались методы: теории автоматического управления, функционального анализа, функционально-дифференциальных уравнений, математического моделирования, параметрической идентификации, вычислительной математики, экспериментальных исследований и вычислительных экспериментов. В качестве основного инструмента для проведения вычислительных экспериментов использовалась программы Vtorld v. 1.00, Maple 9, а также разработанная с участием автора программа Time-Delayld v.l .00.

Достоверность полученных методов и алгоритмов обусловлена корректностью исходных математических положений, аргументированностью принятых допущений, а также результатами вычислительных экспериментов и экспериментальных исследований.

В диссертационной работе впервые получены, составляют предмет научной новизны и выносятся на защиту следующие результаты:

1. Диагностические признаки устойчивости, полученные на основе «W-метода», некоторых классов дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом, описывающих динамику ПО;

2. Теоретические обоснования метода восстановления коэффициентов дифференциальных уравнений 2-го и 4-го порядков по экспериментальным данным с вещественными и сопряженно-комплексными корнями;

3. Метод вторичной идентификации с учетом запаздывания и нестационарности, позволяющий существенно увеличить глубину и достоверность формируемого диагноза;

4. Эвристический метод анализа множества решений систем нелинейных алгебраических уравнений для исследования ПО диагностики 4-го порядка с сопряженно-комплексными корнями на примере трансформатора высоковольтных импульсов.

Практическая ценность полученных результатов состоит в решении актуальных научно-технических задач, связанных с идентификацией и диагностикой ПО с учетом запаздывания и нестационарности для последующего решения задач прогнозирования их постепенных отказов.

Полученные диагностические признаки ПО с запаздыванием могут быть использованы для формирования алгоритмов их диагностирования. Разработанные методы идентификации и диагностики, позволяют определять структурные параметры объек-

тов, которые не могут быть измерены или определены непосредственно, а задаются на основе справочных данных или для их определения требуется проводить трудоемкие и дорогостоящие эксперименты.

Результаты диссертационных исследований позволяют определять не только диагностическую ценность исходных математических моделей объектов диагностики, но и ачгоритмов их диагностирования, а также существенно увеличить глубину и достоверность формируемого диагноза.

Реализация и внедрение результатов работы. Основные результаты работы в виде методов, алгоритмов и программ использовались в Службе изоляции и перенапряжения ООО «ИЭСК» Северные электрические сети.

Материалы диссертации используются в учебном процессе Братского государственного университета.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на межрегиональных научно-технических конференциях "Естественные и инженерные науки - развитию регионов", Братск, 2005, 2006, 2007 гг.; на VIII Всероссийской конференции молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям, Новосибирск, 2007 г.; на XI Международной научно-практической конференции "Современные технологии в машиностроении", Пенза, 2007 г.

Публикации. Основные результаты исследований опубликованы в II научных статьях, 3 из которых в изданиях, рекомендованных ВАК для кандидатских диссертации, получено свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ в Федеральной службе по интеллектуальной собственности, патентам и товарным знакам.

Структура н объем диссертационной работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, библиографического списка и приложений. Работа изложена на 141 страницах машинописного текста, содержит 23 рисунка и 3 таблицы. Список литературы содержит 109 наименования.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность диссертационной работы, направленная на разработку методов и алгоритмов идентификации и диагностики ПО с учетом запаздывания и нестационарности. Сформулированы цель и основные задачи исследований, определена научная и практическая ценность работы.

В первой главе проведен обзор и анализ методов идентификации и диагностики ПО. Представлены классификации методов идентификации и диагностики, моделей объектов диагностики, которые в достаточной мере соответствуют сущности проводимых исследований.

Анализ методов и алгоритмов идентификации и диагностики ПО показывает, что, в первую очередь, следует уделять внимание таким методам, реализация которых позволила бы обеспечить необходимую глубину и достоверность диагноза и оптимальную по быстродействию и стоимости стратегии поиска неисправности исследуемого объекта. Для исследуемых в работе объектов использованы детерминированные методы диагностики как наиболее простые, корректные и, в известном смысле, универсальные.

Показано, что решения дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом могут быть получены только приближенно, например, с помощью операторного

метода, или метода шагов, а также, предложенного автором, разложения е* в ряд Маклорена.

Вторая глава посвящена исследованию алгоритмов и методов идентификации и диагностики ПО. Автором получены теоретические обоснования предложенного метода восстановления дифференциальных уравнений, сущность которого заключается в следующем. Если возникшие изменения структурных параметров (СП) повлияли на выходной процесс так, что его динамика относительно выходных сигналов описывается дифференциальным уравнением или системой дифференциальных уравнений того же вида, что и при исправном состоянии, т. е. имеют место лишь постепенные отказы (внезапные отказы отсутствуют), то эти СП можно определить на основании расчета коэффициентов известного вида дифференциальных уравнений по выходному процессу и решения нелинейных алгебраических систем, уравнения которых выражают зависимости коэффициентов дифференциальных уравнений от СП.

В общем виде реализация этого метода может быть представлена следующим образом. Известно, что объект диагностики описываются дифференциальным уравнением вида

/»>+¿>,/>=0. (1)

По известному выходному процессу, состоящему из алгебраической суммы графиков частных решений фундаментальной системы, определяем значения функции и ее производные в точках координаты времени

яа/ча-у-чо,*^. (2)

Подставляя значения (2) в уравнения (1), получим систему из п линейных алгебраических уравнений

/"ЧО+£аЛ) = 0,* = !Я (3)

1-Л-1

Решая систему (3), определим искомые коэффициенты а0, а,,..., .

Погрешности в определении коэффициентов дифференциальных уравнений зависят от следующих факторов:

- степени идентичности решения дифференциального уравнения и выходного процесса;

- степени влияния коэффициентов дифференциальных уравнений на выходной процесс, т. е. доминирующие коэффициенты определяются с меньшей погрешностью;

- погрешности измерения выходной величины и ее производных;

- величины порядка дифференциального уравнения.

Установить функциональную зависимость величины погрешности определения коэффициентов дифференциальных уравнений от перечисленных факторов не представляется возможным, поэтому погрешности можно определить для каждого конкретного объекта диагностики на основании экспериментальных исследований и вычислительных экспериментов.

Приведем обоснование предложенного метода для наиболее распространенных ПО 2-го порядка, динамика которых описывается дифференциальным уравнением

У(0 + а,/(0 + <у(0 = 0. (4)

Рассмотрим два наиболее распространенных случая:

1. Корпи характеристического уравнения вещественные. Решение уравнения (4) можно записать в форме

>•(/) = с,е<" + с2е°".

В соответствии с предложенным методом, получим следующую алгебраическую систему, составленную из общего решения у(1) и его первой производной У(0, определенных в моменты времени и /2

с^е"1'1 + c2a2Vi', + а, (с1а1е°л + с2а2е"''') + а0 (с1е"л + с2е"Л) = 0; 1 ^^

Система (5) будет иметь единственное решение, если ее определитель не равен нулю, т. е.

с,сс,е"л + сга2е°л схе°л + с2е"й

Д =

с.е"1'1 + с2е°Л

* 0.

(6)

Раскрыв определитель (6), получим

Д = с,с2(а, (е"">-]). (7)

В этом выражении с, * 0 и сг * 0. В противном случае нарушается условие о наличии всех частных решений фундаментальной системы в исследуемом выходном процессе. Выражение e{a,~"'x'~h) так как (», — a2)(íl -/,) * 0. Следовательно, Д*0.

2. Корни характеристического уравнения сопряженно-комплексные.

Пусть kl2 = а±fti - корни характеристического уравнения (4). Общее решение уравнения (4) будет иметь вид

y(f) = c,e" cos fit + с2еа sinpt. (8)

Тогда система алгебраических уравнений, составленная из общего решения (8) и его производных y\t) и y"(t), определенных в моменты времени t, и t1

ещ [(сга2 - 2срР + с,/?2)sin/9/, + (с,а2 + 2с2ар - c,y32)cos/fr,] + + [(с2а - с,Р) sin /?/, +(cta + с2Р) cos ptl ] + + а/™1 [с, cos fit, + с2 sin/?/,] = 0;

е'"'[(с2а2 - IcflP + c2/?2)sin fit2 + (с,а2 + 2с,а/? - c,/32)cos/?/J + + а,е'"'[(с2а - с,Р)sin fit, + (с,а + с2Р)cospt2] + + а0еа' [с, cos pt2 + c2 sin pt2 ] = 0.

Убедимся, что определитель системы (9) не обращается в нуль,

е"' [(с2а - схР) sin pt, +(c,a + c2/?)cos/?/1] с'"1 [с, cos/Jí, +c2sin/?f,]| еа'[(сга-схР)sin/Й2 + (с,а + сгР)cospt2] cos/Й2 + c2sin/?/2j

Раскрыв определитель (10), получим

Д = ~/?(с2 + c¡)ea"'*h) sin Pit, -12).

Откуда следует, для того чтобы определитель (10) не обращался в нуль, необходимо выполнить условие sin P(tt -í2) * 0 или

(9)

Д =

(10)

Если динамика объекта описывается дифференциальным уравнением 4-го порядка

/"(') + а,уя(1) + а,/«) + а,/(/) + аау(1) = 0 (12)

с сопряженно-комплексными корнями, при этом низкочастотная и высокочастотная составляющие явно выделяются (переходная функция обладает свойством бифуркации), то необходимо, чтобы выполнялись условия (11), как для низкочастотной, так и для высокочастотной составляющих.

Исходя из вышеизложенного, алгоритм идентификации по результатам восстановления коэффициентов дифференциальных уравнений представлен на рис. 1.

Рис. I. Алгоритм идентификации по результатам восстановления коэффициентов дифференциальных уравнений.

Показано применение предложенного метода восстановления коэффициентов дифференциальных уравнений 3-го порядка при наличии в выходном процессе как апериодической, так и колебательной составляющей.

Следующим этапом процесса диагностики является определение величин СП диагностируемого объекта д1г <72, ..., по коэффициентам дифференциальных уравнений. Если дифференциальное уравнение составлено относительно таких переменных так, что его коэффициенты однозначно определяют параметры диагностируемого объекта, то устанавливают соответствие величин коэффициентов их номинальным значениям с учетом допуска и принимают решение о состоянии устройства. При достаточном количестве уравнений, образующих систему нелинейных алгебраических уравнений

?.) = «,,./' = «, л-1 (13)

и возможности ее решения, определяют СП диагностируемого объекта на основании решения системы (13). Если уравнений недостаточно, можно использовать метод функциональных проб для получения необходимого результата.

В целом погрешности определения СП диагностируемого объекта зависят от погрешностей определения коэффициентов дифференциальных уравнений и степени их влияния на величину этих коэффициентов. Поэтому погрешность в определении того или иного СП, при прочих равных условиях, будет минимальной в том случае, если, во-первых, его величина отображена в выражении доминирующих коэффициентов дифференциальных уравнений и, во-вторых, если степень влияния его величины в этих доминирующих коэффициентах будет наибольшей.

Приводится метод определения допусков структурных параметров ПО. В ПО переходные процессы являются теми выходными процессами, на основании анализа которых ставится диагноз о состоянии ПО на уровне его СП. Общее состояние ПО как объекта диагностики определяется одним или несколькими обобщенными параметрами, величины которых для исправного состояния ПО должны соответствовать номинальным значениям основных эксплуатационных характеристик. Поэтому, как правило, основные эксплуатационные характеристики и являются обобщенными параметрами ПО. Обобщенными параметрами могут быть мощность, момент, скорость, напряжение, время и характер протекания переходного процесса и др. при воздействии различного рода возмущений.

В свою очередь, обобщенные параметры можно подразделить на основные и вспомогательные. Под основным (в дальнейшем будем обозначать ООП) понимается параметр, по величине которого можно определить общее состояние устройства по закону "исправно-неисправно", при этом зависимость обобщенного параметра от СП позволяет определить необходимую глубину диагноза. Определение общего состояния устройства по закону "исправно-неисправно" является первым и необходимым этапом диагностики, и если ограничиться только этим этапом, то необязательно исследовать устройство как объект диагностики, так как достаточно измерить с определенной точностью ООП и сравнить его с номинальным значением. Диагностика на таком уровне по существу не является диагностикой, а представляет собой простейшие контрольные операции. Если устройство оказывается неисправным, то необходимо локализовать эту неисправность, т. е. определить состояние устройства на уровне СП, в чем и заключается задача процесса диагностики.

Если удается получить зависимость ООП от структурных, то такая зависимость часто бывает сложной и громоздкой, особенно для многоэлементных устройств, что затрудняет ее анализ. Поэтому целесообразно находить зависимость ООП от тех промежуточных параметров выходного процесса, которые можно достаточно просто измерить. Естественно, что такой промежуточный параметр представляет собой зависимость от некоторой совокупности СП, являющейся частью общей совокупности СП, на уровне которых необходимо определить состояние устройства в процессе диагностики. Такие промежуточные параметры также являются обобщенными, но в отличие от ООП они, во-первых, зависят только от части общей совокупности СП, во-вторых, по измерению их величин не всегда можно определить общее состояние устройства, и поэтому такие обобщенные параметры можно отнести к вспомогательным (ВОП). Взаимосвязь входных [/„, выходных сигналов и СП: <у1, д2,..., может быть выражена различными функциональными зависимостями:

1. Объекты, вход и выход которых связаны функциональной зависимостью

У- =/(?.. Яг. (14)

где д,, дг2,.... д„ - СП;

2. Объекты, связь входа и выхода которых определяется функционалом

г

= (15)

о

3. Объекты, связь входа и выхода которых определяется оператором

= 0- (16)

Оператор А(Р) является полной характеристикой объекта и представляет собой сокращенную запись дифференциального уравнения, описывающего свойства динамических объектов.

При стандартном воздействии на входе и„ (/) и совпадении амплитуды выходного сигнала и,шт с ООП приведенные функциональные зависимости (14-16) после соответствующих преобразований и будут искомыми. Например, если на входе ПО действует единичный скачок, а обобщенным параметром является амплитуда выходного сигнала, то путем преобразования (16) можно получить функциональную зависимость

=Л&. б», Чо Яг. <7»)> (17)

где <2„<2г,..., & - ВОП; и,шт - ООП.

Полученная зависимость (17) позволяет найти те СП, которые необходимо определять в случае выхода величины ООП за пределы допуска. Найденная таким образом совокупность СП и является исходной для разработки алгоритма диагностики. Для оценки влияния СП на обобщенные параметры используют коэффициенты влияния или чувствительности. Выражения для коэффициентов влияния имеют вид

А^„=ЕРаАО,(18) (=1 /=1

р .... 6„, ?,„,.■■, ?„о) р Ч.о) /1 п\

рл _ , ^ _ ^ ^

где Ра - коэффициент влияния ВОП <2, на ООП; Рц - коэффициент влияния СП д, на ООП.

Определение коэффициентов влияния (19) по известной функциональной зависимости (18) не представляет трудностей и может быть определено методом символьного дифференцирования зависимости (17) по каждому из параметров £>, и Ч, или методом численного дифференцирования на ЭВМ. Если же решение уравнения (16) в аналитическом виде получить трудно, то значение коэффициентов влияния можно вычислить методом дифференцирования каждой зависимости (17), полученных на основании математического моделирования уравнения (16) при вариации каждого в отдельности параметров и </, при номинальных значениях остальных.

По известным значениям допусков и вычисленным коэффициентам влияния СП можно определить по формуле (18), составленной относительно СП, допуск ООП. Если задан допуск только обобщенного параметра и требуется найти допуск СП, то в этом случае задача становится математически неопределенной, так как заданную величину допуска ООП можно получить по различным совокупностям допусков СП.

Для устранения этой неопределенности можно предположить, что допуски на СП пропорциональны обратным величинам коэффициентов влияния, и это соответствует действительности, так как СП, имеющие большие коэффициенты влияния, должны иметь меньшие допуски и наоборот. Исходя из этого предположения, задачу определения допусков СП по заданному допуску ООП и вычисленным коэффициентам влияния можно решить, используя принцип равных влияний. Согласно этому принципу составляющие формулы (18) оказывают разное влияние на допуск ООП £/,„„, тогда формула (18), относительно только СП, можно записать в виде

ь-

Из этой зависимости можно определить допуск каждого СП по формуле

(20)

Таким образом, для того чтобы определить допуски СП по формуле (20), необходимо иметь функциональную зависимость ООП от СП и задаться или определить величину допуска ООП.

В третьей главе автором на основе «(Г-метода» получены диагностические признаки устойчивости ПО в результате теоретических исследований дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом.

При решении практических задач часто возникает необходимость в исследовании динамики ПО как с постоянными, так и с переменными параметрами. Математическим аппаратом для исследования вопросов устойчивости может служить теория дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом, которые являются представителями класса функционально-дифференциальных уравнений (ФДУ).

Рассматривается функционально-дифференциальное уравнение вида

Цл)(0 = /(0 ,/е[в,»), (21)

где I: ¿)" -> Ь" - линейный ограниченный оператор; О" = й"[а, со) - банахово пространство абсолютно непрерывных функций х:[а, °о) —> /Г; £" = Ь"[а, °о) - банахово пространство суммируемых функций у: [а, со) —> IV.

Важную роль в теории ФДУ играет уравнение (21) с вольтерровым оператором Ь (так называемые уравнения с последействием).

Определение 1. Линейный оператор Ь: X -> У, где X и У -линейные пространства измеримых на [а, со) функций, называется вольтерровым по А.Н. Тихонову, если для каждого с е [а, а>) (£х)(г) = 0 на [а, с] для всех таких х е X, что х(1) - 0 на [а, с].

При рассмотрении различных практических задач регулирования существенную роль играет теория устойчивости. В исследовании устойчивости ФДУ весьма плодотворным оказался «(К-метод» Н.В. Азбелева, схема которого состоит в следующем.

Выбирается вспомогательное "модельное" уравнение Ь0х = 2, обладающее такими свойствами, которые желательно обнаружить у исходного уравнения (21). Решение вспомогательного уравнения записывается в виде

дг(0 = Х0(/)дг(а)+ ¡1У(1,

где IV Ц, я) - матрица Коши уравнения Ь0х = г, Х0(() - фундаментальная матрица этого уравнения.

Цель достигается, если удается установить обратимость в соответствующем пространстве оператора ИГ. Если «модельное» уравнение интегрируется, то оператор Ж , а, следовательно, и оператор ¿IV записывается в явном виде. Таким образом, применение «^-метода» сводится к нахождению такого оператора IV, чтобы оператор был бы обратим в некотором пространстве. При естественных предположениях относительно уравнения (21) его общее решение задается формулой Коши

х(1) = Х(1)х(а) + )с(/, , (22)

где С(г, 5) - матрица Коши, Х(<) - фундаментальная матрица уравнения (21).

Из формулы Коши следует, что асимптотические свойства уравнения (21) полностью определяются асимптотическим поведением матриц С(1, и Х(0.

Так как по формуле Коши (22) решение уравнения (21) выражается через матрицы С(/, з) и Х(1), то положительность этих матриц дает возможность сравнивать решения. Приведем одно из утверждений о сравнении решений.

Теорема 1. Пусть Ь: £>" ->£"- линейный вольтерров оператор, для уравнения ¿X = / справедлива формула Коши (22). Для того чтобы из условий £х = /, Ly = g, х(а) — у (а), / следовало, что х <. у, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство С(/, з) £ 0.

Если фундаментальная матрица Х(() уравнения (21) положительна, то справедливо следующее утверждение.

Теорема 2. Пусть /,:£>"->/."- линейный вольтерров оператор, для уравнения

(21) справедлива формула Коши (22). Для того чтобы из условий Ьх = /, Ly = g, х(а)йу(а), /следовало, что х<,у, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись неравенства С(/, л) 5: 0, Х(1) ^ 0.

Как следствие теоремы 1, приведем утверждение, позволяющее сравнивать фундаментальные матрицы разных уравнений.

Следствие 1. Пусть Ь,Т, Р:Б" -> П- линейные вольтерровы операторы, для уравнений 1х = /, 1лх = Ьх — Тх- /, Ь2х = Ьх + Рх = / справедлива формула Коши

(22), матрица Коши уравнения (21) положительна. Если для фундаментальных матриц X, и Х2 уравнений Цх = 0, Ьгх — 0 имеют место неравенства

РХ2 2:0, то для фундаментальной матрицы X уравнения Ьх = 0 выполняются неравенства

х2<;х^х,.

Приведенные общие утверждения позволяют получать признаки устойчивости конкретных классов дифференциальных уравнений, описывающих динамику ПО с запаздыванием.

Приведем достаточные признаки устойчивости для ПО, динамика которых описывается дифференциальными уравнениями 1-го и 2-го порядков с запаздывающим аргументом. Пусть динамика ПО описывается нестационарным линейным дифференциальным уравнением с запаздывающим аргументом

(Лх)(0 = АО + £ Я* (')] = ДО, I е [а, ■»), (23)

= О, если ^ < а.

В уравнении (23) функции 1!к, / :[а, со) —» Я - суммируемы, функции г*: [а, Я - измеримы, тк (/) £ / при почти всех / е[а, оо), к = \,т. Отметим, что последние неравенства обеспечивают вольтерровость оператора суперпозиции Н: £) -> Ь, определяемого равенством

4-1

Обозначим

[1, если тк(1) е [а, <ю),

а,'(,) ^'0, если g [а, то).

Теорема 3. Пусть существует y:R-> R* Г>'(0 = 0, ' < а) измеримая и ограниченная в существенном функция, для которой выполняется неравенство

± я;(/К, (0 expí >•(/).

м W1' >

Тогда уравнение (23) устойчиво.

«W-метод» можно применять и для уравнений высших порядков. Рассмотрим нестационарное дифференциальное уравнение 2-го порядка с запаздывающим аргументом

(Lx)(í) s х'(0 + a(t)x\t) + b(t)x(t) + c(0*M0] = ДО, < е [а, со),

*(£) = 0, если £,<0, ^ '

где функции а, Ь, с, f :[а, оо) —► R измеримы и ограничены в существенном; функция г:[a, oo)->i? измерима и удовлетворяет 5-условию: существует такое S>0, что t - r{t) < <5, кроме того, r(r) ^ t для почти всех t е [а, оо).

Теорема 4. Пусть с(1)аг(()> 0, r(t) удовлетворяет 8-условию и существует такое а > 0, что при почти всех t е [а, оо) выполняется неравенство

a1 -aa(t) + b(t) + c(.t)a,(l)eaS <0,

тогда уравнение (24) асимптотически устойчиво.

Рассмотрим САР температурой теплоэлектронагревателя (ТЭН). Структурная схема регулирования температурой ТЭНа с пропорциональным регулятором представлена на рис. 2.

По экспериментальной переходной характеристике ТЭНа при первичной и вторичной идентификации были получены следующие значения: постоянная времени объекта Т0 =306с; коэффициент передачи к„ = 1680'С/Л ; постоянная времени запаздывания г = 24с.

Передаточная функция замкнутой системы имеет вид

Рис. 2. Структурная схема САР регулирования температуры ТЭНа: g(t) - входной сигнал (сила тока); к0, Г0, г - соответственно, коэффициент передачи, постоянная времени и время запаздывания ТЭНа; кр - коэффициент передачи регулятора; ©(/) - выходной сигнал (температура),

Передаточной функции (25) соответствует дифференциальное уравнение с запаздывающим аргументом вида

л'(0 + ^40 + ^ 1(/-г), *е[0, со),

'л -«Л 'Л

(26)

*(£) = 0,£<0.

Применив неравенство теоремы 3 к уравнению (26), получим следующее условие

устойчивости

Г„ Кке

'а "-о "■р"

которое и является диагностическим признаком, определяющим наличие в данной системе неустойчивых явлений.

В диссертации также предлагается прикладной метод исследования динамики САР с запаздыванием для различных значений коэффициента передачи регулятора кр (рис. 3.), сущность которого заключается в следующем.

6(0,-с"

®(0, "С

/

/ .95 -1( ГА/' п

г,с

©(0. 'с,

/

/

1г = 0.03 А/'Г /

К, /

/

У

ис

Рис. 3. Переходные процессы при различных значениях коэффициента передачи регулятора к

Как известно, аналитического решения уравнение (26) не имеет, так как число корней характеристического полинома этого уравнения бесконечно.

Это можно показать, разлагая е^в ряд Маклорена,

в- =_!_ =_}_

1! 2! 3! "' п!

Приближенное уравнение переходного процесса может быть получено, если в разложении экспоненты ограничиться несколькими членами ряда (например, тремя членами), тогда передаточная функция (25) будет иметь вид

к

Ф{Р)--

(Т,Р + 1)(Т2Р2 + 2^Г2/> +1)'

(27)

где к - коэффициент передачи САР; 7] и Т2 - постоянные времени, характеризующие суммарную инерционность ТЭНа и терморезистора.

Коэффициенты к, 7], Тг и £, являющиеся диагностическими параметрами в соответствии с передаточной функцией (27) можно определить на основании решения системы нелинейных алгебраических уравнений

К

Т„+т

1 + квкр

2^Г2 + Г22 =

2гГ0 + г; . 2(1 + к0кр)'

ТТ =-

ту

2(1+Ккр)

Изображение выходного сигнала, соответствующее передаточной функции (27)

@(Р)=-

ЩР +1 )(Г/Р2 + 2$Т2Р +1)

Изображению (28) будет соответствовать оригинал

©С) = kg.il - Се'" бшЦг -в)- С.е"],

1 ^ Т,2

где С =

с, =—

г2 1 л-

ЛТ. X

—; О = агс1д-1--arct.ii—;

{\-2ГТх)Т1 + ТУ 1-У?; г

(28)

' ^Т21(1-2у7]) + Т11

г г 11

Четвертая глава содержит результаты вычислительных экспериментов и экспериментальных исследований алгоритмов идентификации и диагностики промышленных объектов.

Рассматривается алгоритм идентификации электротеплового объекта на примере теплоэлектронагревателя, передаточная функция которого представляется апериодическим звеном 2-го порядка

ЩР) =

(Г,Р + 1)(Г2Р + 1)'

(29)

где Г, и Т2 - постоянные времени; г - время запаздывания.

Передаточной функции (29) соответствует переходная характеристика Л(0 = 1 + Л,е"0'"-" - Л2е-°>«-'\

где А, =

Т -Т

. 4 =

т,-т.

V

1

Степень идентичности экспериментальной йэ(1) и расчетной Ир (/) переходных характеристик определяется величиной суммарной абсолютной погрешности

=ЁМ<,)-М'.)|->о.

(30)

Выражение (30) является целевой функцией процессов первичной и вторичной идентификаций.

Точность идентификации определяется величиной интегральной ошибки

5

А =-

-■100%.

1мо

¡»I

Сущность вторичной идентификации заключается в определении оптимальных величин параметров переходного процесса Гр Т2 и г, минимизирующих значение выражения (30), а диапазоны изменения параметров диагностируемого объекта определяются по результатам первичной идентификации.

При использовании метода вторичной идентификации с учетом запаздывания была получена следующая переходная характеристика ТЭНа, при этом суммарная абсолютная погрешность = 0.094 (интегральная ошибка Д = 0.49%, см. рис. 4):

АР (0 = 1 + 0.10\е-°°38<М8) -1.101е"°006('-,8>.

Переходные характеристики объекта

— Расчетная -•- Экспериментальная Рис. 4. Переходные характеристики ТЭНа при вторичной идентификации

1440 С

При аппроксимации методами Ольденбурга-Сарториуса, интегральных площадей и интерполяционным методом суммарная абсолютная погрешность и интегральная ошибка соответственно составили: = 0.6136 (Д = 3.21%), ¿'„=0.342 (Д = 1.82%),

=0.397 (Д = 2.12%).

Таким образом, на основании проведенного анализа использование метода вторичной идентификации позволяет существенно уменьшить интегральную ошибку идентификации по сравнению с существующими методами.

Расчетная и экспериментальная переходные функции и отдельно высокочастотная составляющая ТВИ при первичной идентификации представлены на рис. 5. При этом интегральная погрешность Д = 10.81%.

После вторичной идентификации определяется уточненная расчетная переходная функция. При этом интегральная погрешность Д = 6.80%. Переходные функции ТВИ при вторичной идентификации представлены на рис. 6.

«2(0, В

«2(0, в -

/ \

л / \ /

/

— \ / N

— Ноиилпмля — Эгепвомммт»лы«я —Висов^стогиш с

Рис. 5. Переходные характеристики ТВИ при первичной идентификации.

Рис. 6. Переходные характеристики ТВИ при вторичной идентификации.

По результатам вторичной идентификации при аппроксимации кубическими сплайнами показателей качества трансформатора определяется расчетная переходная функция (рис. 7.). При этом интегральная погрешность Д = 4.68%.

На рис. 8. представлены результаты восстановления нестационарного дифференциального уравнения 4-го порядка описывающего динамику ТВИ.

»2(0,-8 | ] и II II II II °о(0 ",(0

I

&

р; г

*- асгармшипльим —

Рис. 7. Идентификация экспериментальной кривой ТВИ кусочно-полиномиальной аппроксимацией кубическими сплайнами показателей качества и введением чистого запаздывания.

Рис. 8. Зависимость изменения коэффициентов дифференциального уравнения от времени

В диссертации приводятся результаты исследования алгоритмов диагностики структурных параметров ТВИ, динамика которого описывается системой дифференциальных уравнений составленных относительно напряжений

а5и"+ аАи" + а}и[ + а2и[ + о,ы2 + а0и1 = Vа

Ь5и" + Ь,и"+ Ь}и'г + Ьги[ + Ьхиг + Ьйи{ = 0. Схема замещения ТВИ показана на рис. 9.

(31)

Рис. 9. Схема замещения ТВИ. _±_.

Зависимость структурных параметров ТВИ от коэффициентов дифференциальных уравнений системы (31) имеет вид нелинейной алгебраической системы, состоящей

из 12 уравнений и 9 неизвестных: 1+-^- = а0; = а,; —---—+ С2/?,=а2;

К,с, Кш

= = ЦС^а,; Ьа = 1; 1 + -^- = ^; =

КУС, "пи,

=6,; Л/С, = А4; ЬгСг -МС1 -Ь5.

Структурные параметры Л,, И2, Кус., Ц, 12, М, С,, С2, определяются на основе эвристического метода анализа множества решений системы нелинейных алгебраических уравнений, по результатам которого формируется диагноз состояния ТВИ. Каждый из полученных параметров ТВИ характеризует состояние конкретного элемента.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИОННОГО ИССЛЕДОВАНИЯ

1. Разработаны методы первичной и вторичной идентификаций, которые позволяют в значительной мере уменьшить интегральную ошибку идентификации динамики промышленных объектов по сравнению с существующими методами (Ольденбур-га-Сарториуса, интерполяционного, интегральных площадей) с учетом возможности физической интерпретации восстановленных коэффициентов дифференциальных уравнений или передаточных функций.

2. Предложен алгоритм диагностики промышленных объектов по результатам восстановления коэффициентов дифференциальных уравнений и эвристического анализа решений систем нелинейных алгебраических уравнений, позволяющий опера-

тивно определять значения диагностируемых параметров, которые не могут быть измерены или определены непосредственно, а задаются на основе справочных данных или для их определения требуется проводить трудоемкие и дорогостоящие эксперименты.

3. Предварительный расчет коэффициентов влияния и допусков обобщенного, вспомогательных и структурных параметров позволяет определить диагностическую ценность исходных математических моделей объектов диагностики и алгоритмов их диагностирования.

4. На основе «И^-метода» получены диагностические признаки, которые позволяют оценить возможность возникновения неустойчивых состояний промышленных объектов с запаздыванием.

5. Показано, что при решении прикладных задач динамики промышленных объектов с запаздыванием вполне приемлемое для инженерной практики приближенное решение дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом может быть получено на основе суммы трех первых членов разложения е* в ряд Маклорена.

6. На основе теоретического анализа и вычислительных экспериментов выявлено, что использование комбинированных методов идентификации и диагностики, включающих, например, первичную и вторичную идентификации, символьное дифференцирование, полиномиальную и трансцендентную интерполяции, эвристические методы анализа множества решений систем нелинейных алгебраических уравнений, с учетом запаздывания и нестационарности, позволяет существенно увеличить глубину и достоверность формируемого диагноза.

7. Установлено, что передаточные функции, формируемые в процессе исследования промышленных объектов как объектов диагностики, являются не только обобщенными показателями их состояния, но и позволяют определить с достаточной для практики глубиной и достоверностью их структурные параметры, на основании анализа которых может быть получена необходимая информация для последующего решения задач прогнозирования постепенных отказов объектов диагностики, а также принято решение о технологии их восстановления.

8. Системный анализ методов идентификации и диагностики промышленных объектов позволяет сделать вывод о том, что обеспечение высокого качества, надежности, безопасности и конкурентоспособности технологических процессов и производств возможно только при одновременном и непрерывном решении триединой задачи: идентификации, диагностики и управления промышленными объектами в процессе их разработки, наладки и эксплуатации.

СПИСОК РАБОТ, ОПУБЛИКОВАННЫХ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

В изданиях, рекомендованных ВАК:

1. Ларионов, A.C. Об устойчивости систем автоматического регулирования на примере электротеплового объекта [Текст] / A.C. Ларионов, В.В. Панасов // Вестник Бурятского университета. Серия 13. Математика и информатика. - Вып. 3. - Улан-Удэ: Изд-во Бурятского госуниверситета, 2006. - с. 232-236.

2. Лузгин, В.В. Прикладной метод исследования динамики систем автоматического регулирования с запаздыванием [Текст] / В.В. Лузгин, A.C. Ларионов, В.В. Папа-сов // Научный вестник НГТУ. - 2008. - №2(31). - с. 165-170.

3. Лузгин, B.B. Прикладной метод активной диагностики аналоговых промышленных объектов [Текст] / В.В. Лузгин, Д.С. Колтыгин, В.В. Панасов // Научный вестник НГТУ. - 2008. - №2(31). - с. 171-176.

В других журналах и изданиях:

4. Ларионов, A.C. Устойчивость регулируемой системы с последействием [Текст] / A.C. Ларионов, В.В. Лузгин, В.В. Панасов // Труды Братского государственного технического университета. — Том 1. - Братск: ГОУВПО "БрГУ", 2005. - с. 78-83 -(Естественные и инженерные науки - развитию регионов).

5. Ларионов, A.C. Об одном подходе к исследованию устойчивости систем автоматического регулирования [Текст] / A.C. Ларионов, В.В. Панасов // Труды Братского государственного университета: Серия Естественные и инженерные науки - развитию регионов Сибири. Т.2. - Братск: БрГУ, 2006. - с. 24-28.

6. Лузгин, В.В. Прикладной метод определения устойчивости и переходных характеристик САР температуры теплоэлектронагревателя с учетом запаздывания [Текст] / В.В. Лузгин, A.C. Ларионов, В.В. Панасов // Труды Братского Государственного Университета: Серия Естественные и инженерные науки - развитию регионов Сибири. Т.2. - Братск: БрГУ. - 2007. - с. 19-24.

7. Лузгин, В.В. Метод определения допусков структурных параметров аналоговых промышленных объектов [Текст] / В.В. Лузгин, В.В. Панасов // Труды Братского Государственного Университета: Серия Естественные и инженерные науки - развитию регионов Сибири. Т.2. - Братск: БрГУ. - 2007. - с. 25-30.

8. Лузгин, В.В. Алгоритмы идентификации промышленных объектов диагностики с учетом явлений запаздывания и нестационарности объектов [Текст] / В.В. Лузгин, В.В. Панасов // Труды Братского Государственного Университета: Серия Естественные и инженерные науки - развитию регионов Сибири. Т.2. - Братск: БрГУ. - 2007. -с. 31-38.

9. Панасов, В.В. Алгоритм диагностики линейных стационарных промышленных объектов [Текст] / В.В. Панасов // Современные технологии в машиностроении: сборник статей XI Международной научно-практической конференции. - Пенза,

2007.-с. 209-211.

10. Лузгин, В.В. Прикладной метод идентификации динамики промышленных объектов [Текст] / В.В. Лузгин, В.В. Панасов // Информационные системы контроля и управления в промышленности и на транспорте: Сб. науч. трудов / Под ред. Ю.Ф. Мухопада- Иркутск: изд-во ИрГУПС, 2007. - Вып. 15. - с. 36-41.

11. Ларионов, A.C. Метод исследования динамики систем автоматического регулирования с запаздыванием [Текст] / A.C. Ларионов, В.В. Лузгин, В.В. Панасов // Информационные системы контроля и управления в промышленности и на транспорте: Сб. науч. трудов / Под ред. Ю.Ф. Мухопада. - Иркутск: изд-во ИрГУПС, 2007. -Вып. 15.-с. 67-75.

12. Панасов, В.В. Идентификация передаточной функции с запаздыванием (Time-Delayld v.1.00) / В.В. Панасов, Д.С. Колтыгин, В.В. Лузгин // Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ №2008610406 от 21.01.08 (Федеральная служба по интеллектуальной собственности, патентам и товарным знакам). -

2008.

Подписано в печать 21.11.2008 Формат 60 х 84 '/16 Печать трафаретная Уч.-изд. л. 1,25. Усл. печ. л. 1,25 Тираж 100 экз. Заказ 218

Отпечатано в издательстве ГОУ ВПО «БрГУ» 665709, Братск, ул. Макаренко, 40

Введение.

1. Обзор и анализ методов исследования устойчивости, идентификации и диагностики промышленных объектов с запаздыванием.

1.1 Анализ методов идентификации промышленных объектов.

1.2 Анализ методов диагностики промышленных объектов и их моделей.

1.3 Анализ методов исследования динамики промышленных объектов с запаздыванием.

Актуальность проблемы

В настоящее время решение триединой задачи: функционирования, идентификации и диагностики промышленных объектов1 (ПО) с учетом явлений нестационарностей, запаздываний и нелинейностей, при комплексной автоматизации технологических процессов - является необходимым условием обеспечения надежности, безопасности и конкурентоспособности производства.

В частности, в современных САУ перспективным является управление, в котором управляющие воздействия служат для обеспечения требуемого качества управления с учетом непрерывной идентификации и диагностики объектов управления. Например, дуальное управление [96], предложенное и обоснованное Фельдбаумом А. А. в начале 70-х годов прошлого столетия, применяют в САУ в том случае, когда априорная информация об объекте управления не является достаточной и изучение поведения объекта управления может дать дополнительные сведения об его свойствах.

Следует отметить, что процесс идентификации носит также двойственный характер, так как одновременно решается две задачи - обеспечение требуемого качества функционирования ПО и формирование информации о его техническом состоянии.

Процесс идентификация ПО можно разделить на две задачи:

- определение структуры и параметров ПО;

- определение параметров ПО при заданной или принятой его структуре.

Часто решается вторая задача, так как в большинстве случае структуру ПО можно определить, основываясь только на априорных сведениях о ПО.

1 В данной работе под промышленными объектами понимаются не виртуальные или лабораторные объекты, а объекты выпускаемые промышленностью и находящиеся в эксплуатации.

Наиболее лаконичное, на наш взгляд, толкование идентификации предложено в работе [29]: "Идентификация есть определение такой системы из заданного класса систем, которой эквивалентна исследуемая система". В соответствии с таким подходом необходимо задавать класс объектов Ф, класс входных сигналов U и смысл понятия "эквивалентность". Когда эквивалентность определяется с помощью функции потерь, задача идентификации сводится к обычной задаче оптимизации: найти модель S е Ф, минимизирующую V, где V - функция потерь, являющаяся функционалом выходных сигналов объекта Y и его модели YK{, т. е. V = V(Y, Yu ).

При идентификации объектов методами активного эксперимента предполагается возможность подачи на вход исследуемого объекта известного сигнала (импульса, гармоники, белого или коррелированного шума, псевдослучайной двоичной последовательности и т. д.). При выборе входного сигнала желательно, чтобы он принадлежал к классу устойчивых возмущений порядка п. Как известно, возможность подачи различных пробных возмущений достаточна для получения состоятельных оценок. Однако в некоторых случаях задача определения состоятельных оценок ПО может быть решена только по результатам их нормального функционирования. В таких случаях применяют методы, позволяющие только на основе пассивного эксперимента получить необходимую информацию об исследуемых объектах.

Задача математического описания при организации активного эксперимента тесно связана с задачей оптимизации, т.е. определения области значений параметров, для которых выходной показатель стремится к экстремуму. Общая задача может быть разбита на два этапа. Первый этап - «крутого восхождения», при котором проведение эксперимента обычно планируется на двух уровнях, что позволяет получить линейную модель процесса и использовать ее для движения по градиенту к оптимуму. На втором этапе вблизи оптимальной области необходимо более тщательное изучение имеющей место зависимости, что приводит к более сложным схемам планирования эксперимента на трех уровнях [60].

Основная цель диагностики состоит в определении технического состояния различных, в первую очередь, сложных объектов и систем в целом.

В одной из первых работ [106] по диагностике состояния дискретных комбинационных устройств предполагалось, что процесс диагностики представляет собой процесс управления с многократной подачей на устройство управляющих воздействий (тестовых входных наборов). Так происходит почти во всех более или менее сложных случаях, причем управляющие воздействия могут быть более сложными, а их состав и последовательность подачи могут зависеть от ответов объекта диагностики на эти воздействия.

Иными словами, процесс проверки технического состояния некоторого объекта есть процесс управления этим объектом, выполняемый по определенной программе. Построение программы проверки, оптимальной в смысле экстремума той или иной целевой функции оптимизации, равносильно организации соответствующего оптимального процесса управления, результатом которого является определение технического состояния объекта.

Развитие автоматизации производства сопровождается ростом сложности и взаимосвязей элементов в САУ. Эти обстоятельства, обусловленные расширением круга решаемых задач при одновременном повышении требований к эффективности функционирования, приводят к снижению надежности и резко увеличивают материальные, временные и трудовые затраты на обслуживание ПО. Решением указанных противоречий наряду с повышением надежности элементов является совершенствование методов и средств определения технического состояния объектов, т. е. решение задач технической диагностики.

Динамика ПО всегда содержит какие-либо априорные явления: нелинейности, нестационарности, временные запаздывания и т. д. Например, для адекватного описания процессов, учитывающих временные запаздывания, обыкновенные дифференциальные уравнения уже не являются удовлетворительной математической моделью. Более точное математическое описание в этом случае дают функционально-дифференциальные уравнения, в частности, уравнения с запаздывающим аргументом.

Для исследования устойчивости нестационарных объектов существуют различные методы. В частности, для нестационарных объектов с запаздыванием известен второй метод Ляпунова, с помощью которого для ряда конкретных систем и объектов получаются условия устойчивости путем построения подходящих функционалов Ляпунова. Следует, однако, отметить, что такой функционал носит характер догадки, а сколько-нибудь регулярные процедуры их построения отсутствуют. В связи с этим возникает актуальная задача получения признаков, позволяющих по коэффициентам дифференциальных уравнений судить об устойчивости нестационарных объектов, которая является необходимым признаком их работоспособности.

В связи с этими обстоятельствами актуальность решения задач по разработке методов и алгоритмов идентификации и диагностики ПО с учетом явлений запаздывания и нестационарности является вполне обоснованной.

Цель работы и задачи исследований

Цель диссертационной работы состоит в разработке методов и алгоритмов идентификации и диагностики ПО без учета и с учетом запаздывания и нестационарности, направленных на одновременное и непрерывное решение задач идентификации, диагностики и управления промышленными объектами в процессе их разработки, наладки и эксплуатации.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

- провести обзор и анализ методов определения устойчивости, идентификации и диагностики стационарных и нестационарных ПО с запаздыванием;

- получение диагностических признаков устойчивости дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом для исследуемых ПО;

- разработка и теоретическое обоснование методов идентификации и диагностики по результатам восстановления дифференциальных уравнений 2го и 4-го порядков с вещественными и сопряженно-комплексными корнями на примере электротепловых и электромеханических объектов;

- разработка метода вторичной идентификации с учетом запаздывания и нестационарности и апробация его на примере электротеплового и электромеханического объектов.

Объект исследования

Электротепловые и электромеханические объекты, выбранные в качестве объектов исследования, составляют основу современной промышленности, а их состояние определяет экономическую эффективность, конкурентоспособность и безопасность того или иного предприятия. Решение задач идентификации и диагностики стационарных и нестационарных промышленных объектов с запаздыванием связано с решением вопросов определения их структуры и параметров. Априори известно, что все объекты в той или иной мере обладают явлениями запаздывания и нестационарности. Согласно принятой в диссертационной работе классификации эти ПО можно отнести к линейным, стационарным и нестационарным, с запаздыванием и без запаздывания объектам.

ПО можно считать линейным или квазилинейным при следующих условиях:

- в динамических режимах нелинейности «отключаются» и явно выделяются линейные части, параметры которых в основном и определяют состояние объекта и системы в целом;

- влияние нелинейностей незначительно и ими можно пренебречь;

- на нелинейной переходной характеристике явно выделяются линейные участки;

- нелинейная переходная характеристика может быть линеаризована;

- при кусочной линеаризации нелинейной переходной характеристики можно восстановить нелинейное дифференциальное уравнение, описывающее динамику реального ПО.

Методы исследования

В диссертационной работе использовались следующие методы: теории автоматического управления, функционального анализа, функционально-дифференциальных уравнений, математического моделирования, параметрической идентификации, вычислительной математики, экспериментальных исследований и вычислительных экспериментов; использовано следующее программное обеспечение: Visual Basic 6.0, Microsoft Excel, MathCad 2001, Maple 9, Vtorld vl.00, Time-Delayld vl.00.

Научная новизна работы

1. Диагностические признаки устойчивости, полученные на основе «FF-метода», некоторых классов дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом, описывающих динамику ПО;

2. Теоретические обоснования метода восстановления коэффициентов дифференциальных уравнений 2-го и 4-го порядков по экспериментальным данным с вещественными и сопряженно-комплексными корнями;

3. Метод вторичной идентификации с учетом запаздывания и нестационарности, позволяющий существенно увеличить глубину и достоверность формируемого диагноза;

4. Эвристический метод анализа множества решений систем нелинейных алгебраических уравнений для исследования ПО диагностики 4-го порядка с сопряженно-комплексными корнями на примере трансформатора высоковольтных импульсов.

Практическая ценность диссертации

Практическая ценность полученных результатов состоит в решении актуальных научно-технических задач, связанных с идентификацией и диагностикой ПО с учетом запаздывания и нестационарности для последующего решения задач прогнозирования их постепенных отказов.

Полученные диагностические признаки ПО с запаздыванием могут быть использованы для формирования алгоритмов их диагностирования. Разработанные методы идентификации и диагностики, позволяют определять структурные параметры объектов, которые не могут быть измерены или определены непосредственно, а задаются на основе справочных данных или для их определения требуется проводить трудоемкие и дорогостоящие эксперименты.

Результаты диссертационных исследований позволяют определять не только диагностическую ценность исходных математических моделей объектов диагностики, но и алгоритмов их диагностирования, а также существенно увеличить глубину и достоверность формируемого диагноза.

Реализация и внедрение результатов работы

Основные результаты работы в виде методов, алгоритмов и программ использовались в Службе изоляции и перенапряжения ООО «ИЭСК» Северные электрические сети (см. приложение 5).

Материалы диссертации используются в учебном процессе Братского государственного университета (см. приложение 5).

Апробация работы

Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на межрегиональных научно-технических конференциях "Естественные и инженерные науки - развитию регионов", Братск, 2005, 2006, 2007 гг.; на VIII Всероссийской конференции молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям, Новосибирск, 2007 г.; на XI Международной научно-практической конференции "Современные технологии в машиностроении", Пенза, 2007 г.

Публикации

Основные результаты исследований опубликованы в 11 научных статьях, 3 из которых в изданиях, рекомендованными ВАК для кандидатских диссертаций, получено свидетельство об официальной регистрации программ для ЭВМ в Федеральной службе по интеллектуальной собственности, патентам и товарным знакам.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, библиографического списка и приложений. Работа изложена на 141 страницах машинописного текста, содержит 23 рисунка и 3 таблицы. Список литературы содержит 109 наименований.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИОННОГО

ИССЛЕДОВАНИЯ

1. Разработаны методы первичной и вторичной идентификаций, которые позволяют в значительной мере уменьшить интегральную ошибку идентификации динамики промышленных объектов по сравнению с существующими методами (Ольденбурга-Сарториуса, интерполяционного, интегральных площадей) с учетом возможности физической интерпретации восстановленных коэффициентов дифференциальных уравнений или передаточных функций.

2. Предложен алгоритм диагностики промышленных объектов по результатам восстановления коэффициентов дифференциальных уравнений и эвристического анализа решений систем нелинейных алгебраических уравнений, позволяющий оперативно определять значения диагностируемых параметров, которые не могут быть измерены или определены непосредственно, а задаются на основе справочных данных или для их определения требуется проводить трудоемкие и дорогостоящие эксперименты.

3. Предварительный расчет коэффициентов влияния и допусков обобщенного, вспомогательных и структурных параметров позволяет определить диагностическую ценность исходных математических моделей объектов диагностики и алгоритмов их диагностирования.

4. На основе «fF-метода» получены диагностические признаки, которые позволяют оценить возможность возникновения неустойчивых состояний промышленных объектов с запаздыванием.

5. Показано, что при решении прикладных задач динамики промышленных объектов с запаздыванием вполне приемлемое для инженерной практики приближенное решение дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом может быть получено на основе суммы трех первых членов разложения ё1' в ряд Маклорена.

6. На основе теоретического анализа и вычислительных экспериментов выявлено, что использование комбинированных методов идентификации и диагностики, включающих, например, первичную и вторичную идентификации, символьное дифференцирование, полиномиальную и трансцендентную интерполяции, эвристические методы анализа множества решений систем нелинейных алгебраических уравнений, с учетом запаздывания и нестационарности, позволяет существенно увеличить глубину и достоверность формируемого диагноза.

7. Установлено, что передаточные функции, формируемые в процессе исследования промышленных объектов как объектов диагностики, являются не только обобщенными показателями их состояния, но и позволяют определить с достаточной для практики глубиной и достоверностью их структурные параметры, на основании анализа которых может быть получена необходимая информация для последующего решения задач прогнозирования постепенных отказов объектов диагностики, а также принято решение о технологии их восстановления.

8. Системный анализ методов идентификации и диагностики промышленных объектов позволяет сделать вывод о том, что обеспечение высокого качества, надежности, безопасности и конкурентоспособности технологических процессов и производств возможно только при одновременном и непрерывном решении триединой задачи: идентификации, диагностики и управления промышленными объектами в процессе их разработки, наладки и эксплуатации.

1. Азбелев, Н. В. Введение в теорию функционально-дифференциальных уравнений / Н. В. Азбелев, В. П. Максимов, JI. Ф. Рахматуллина — М.: Наука., 1991.-280 с.

2. Азбелев, Н. В. Элементы современной теории функционально-дифференциальных уравнений / Н. В. Азбелев, В. П. Максимов, JI. Ф. Рахматуллина. — М.: Институт компьютерных исследований, 2002. — 384 с.

3. Азбелев, Н. В. О линейных уравнениях с отклоняющимся аргументом / Н. В. Азбелев, Л. Ф. Рахматуллина // Дифференц. уравнения. 1970. - Т.6, №4.-с. 616-628.

4. Азбелев, Н. В. Функционально-дифференциальные уравнения / Н. В. Азбелев, Л. Ф. Рахматуллина // Дифференц. уравнения. 1978. - Т. 14, №5. -с. 771-797.

5. Айзерман, М. А. Теория автоматического регулирования / М. А. Айзерман -М.: Наука, 1966.-452 с.

6. Афанасьев, В. Н. Математическая теория конструирования систем управления: Учеб. пособие для втузов / В. Н. Афанасьев, В. Б.Колмановский, В. Р. Носов М.: Высш. шк., 1989. - 447 с.

7. Балагуров, В. А. Аппараты зажигания / В. А. Балагуров М.: Машиностроение, 1968.

8. Балакирев, В. С. Экспериментальное определение динамических характеристик промышленных объектов / В. С. Балакирев М.: Энергия, 1968.

9. Башарин, А. В. Примеры расчета автоматизированного электропривода на ЭВМ / А. В. Башарин, Ю. В. Постников Д.: Энергоатомиздат, Ленинградское отделение, 1990. - 512 с.

10. Березанский, Л. М. Положительность функции Коши и устойчивость линейных дифференциальных уравнений с последействием / Л. М. Березанский // Дифференц. уравнения. 1990. - Т.26, №9. - с. 1490-1500.

11. Березанский, Л. М. Положительность матрицы Коши линейного функционально-дифференциального уравнения / Л. М. Березанский, А. С. Ларионов // Дифференц. уравнения. 1988. - Т.24, №11.- с. 1843-1854.

12. Бесекерский, В. А. Сборник задач по теории автоматического регулирования и управления / В.А. Бесекерского М.: Наука, 1969. - 588 с.

13. Бесекерский, В. А. Теория систем автоматического регулирования. Изд. 2-е / В. А. Бесекерский, Е. П. Попов М.: Наука, 1972. - 767 с.

14. Буштрук, А. Д. Корреляционные методы идентификации нелинейных динамических объектов / А. Д. Буштрук. Братск: БрИИ, 1998. - 165с.

15. Быкодоров, А. К. Основы эксплутационной диагностики радиоэлектронной аппаратуры / А. К. Быкодоров, Л. И. Кульбак и др. М.: Высшая школа, 1968. - 325 с.

16. Воронин, В. В. Диагностирование технических объектов / В. В. Воронин Хабаровск.: Хаб. гос. тех. ун-т, 2002. - 184 с.

17. Глущенко, П. В. Техническая диагностика: моделирование в диагностировании и прогнозировании состояния технических объектов / П. В. Глущенко — М.: Вузовская книга, 2004. 248 с.

18. Гноенский, Л. С. Математические основы теории управляемых систем /Л. С. Гноенский, Г. А. Каменский, Л. Э. Эльсгольц М.: Наука, 1969. — 512 с.

19. ГОСТ 20911-89. Техническая диагностика: основные термины и определения. — М.: Издательство стандартов, 1989.

20. Гусаренко, С. А. Об одном обобщении понятия вольтеррова оператора / С. А. Гусаренко // Докл. АН СССР. 1987. - Т.295, №5. - с. 1046-1049.

21. Гусев, В. П. Расчет электрических допусков радиоэлектронной аппаратуры / В. П. Гусев М.: Советское радио, 1969.

22. Дойников, А. Н. Повышение достоверности идентификации путем оптимизации параметров быстрого преобразования Фурье / А. Н. Дойников, В. С. Ратушняк, Ю. Н. Ратушняк // Деп. ВИНИТИ 1999 г. №3080-В99. - 17 с.

23. Дунаев, М. П. Методы управления технологическим процессом контроля и наладки промышленного оборудования: дис. . докт. техн. наук: 05.13.06 / Дунаев Михаил Павлович. Иркутск, 2004. - 329 с.

24. Демидович, Б. П. Лекции по математической теории устойчивости: Учеб. пособие. 2-е изд. / Б. П. Демидович - М.: Изд-во Моск. ун-та, 1998. - 480 с.

25. Демидович, Б. П. Численные методы анализа / Б. П. Демидович, И. А. Марон, Э. 3. Шувалова М.: Физматгиз, 1963. - 400 с.

26. Емельянов, С. В. Алгоритмы управления и идентификации. Сб. науч. тр./ Ин-т системного анализа / С. В. Емельянов, С. К. Коровин Москва, МГУ, 1997.- 170 с.

27. Заде, Л. Теория линейных систем / Л. Заде, И. Дезоер М.: Наука, 1970. -297 с.

28. Заика, Ю. В. Управление и алгоритмы наблюдения и идентификации: Учеб. Пособие / Ю. В. Заика Петрозаводск: Петрозавод. гос. ун-т, 2001. - 163 с.

29. Карибский, В. В. Техническая диагностика объектов контроля / В. В. Карибский, П. П. Пархоменко М.: Энергия, 1967. - 346 с.

30. Кичатов, Ю. Ф. Определение нелинейных характеристик объектов управления при гауссовских воздействиях / Ю. Ф. Кичатов // Автоматика и телемеханика. 1965. - №3. - с. 470-474.

31. Клюев, А. С. Наладка авт оматических систем и устройств управления технологическими процессами. Справочное пособие / А.С. Клюева — М., "Энергия", 1977.-400 с.

32. Клюев, А. С. Автоматическое регулирование / А. С. Клюев М.: Высшая школа, 1989.-351 с.

33. Клюев, А. С. Наладка средств автоматизации и автоматических систем регулирования: Справочное пособие / А. С. Клюев М.: Энергоатомиздат, 1989.-368 с.

34. Колмановский, В. Б. Устойчивость и периодические режимы регулируемых систем с последействием / В. Б. Колмановский, В. Р. Носов — М.: Наука, 1981.

35. Кордуняну, К. Уравнения с неограниченным последействием / К. Корду-няну, В. Лакшмикантам // Автоматика и телемеханика . 1985. - №7. с. 545.

36. Краснов, М. Л. Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости / М. Л. Краснов, А. И. Киселев, Г. И. Макаренко М.: Наука, 1971. - 256 с.

37. Кузнецов, Н. И. Контроль и поиск неисправностей в сложных системах / Н. И. Кузнецов, Н. А. Пчелинцева М.: Советское радио, 1969. - 296 с.

38. Ли, Ю. В. Определение ядер Винера-Хопфа для нелинейных систем методом взаимной корреляции / Ю. В. Ли, М. Шецен // Техническая кибернетика за рубежом / Сб. переводов под ред. В.В. Солодовникова. М.: Машиностроение, 1968.-с. 165-166.

39. Лузгин, В. В. О построении прибора для диагностирования системы зажигания автомобиля. "Материалы XIX научной конференции". Сельскохозяйственный институт / В. В. Лузгин Благовещенск, 1971.

40. Лузгин, В. В. Метод диагностирования системы зажигания автомобилей. Научно-технический сборник "Тракторы и автомобили" / В. В. Лузгин Благовещенск, 1973.

41. Лузгин, В.В. Метод идентификации и диагностики аналоговых объектов / В. В. Лузгин, Д. С. Колтыгин // Информационные технологии и проблемы математического моделирования сложных систем. Иркутск: ИрГУПС, 2004.-Вып. 1.-С.23-30.

42. Лузгин, В. В. Модели объектов и методы диагностирования / В. В. Лузгин, Б. И. Лелянов, В. И. Тарасенко // Информационный листок №127-77, Хабаровск, 1977. 0.2 с.

43. Лузгин, В. В. Вторичная идентификация (Vtorld vl.00) / В. В. Лузгин, Д. С. Колтыгин, А. М. Патрусова // Авторское свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ. N2003612203 25.09.2003.

44. Лузгин, В. В. Экспериментальное исследование тепловых объектов как объектов диагностики на аналого-вычислительном комплексе АВК-31: Учебное пособие / В. В. Лузгин, А. М. Патрусова Братск: БрИИ, 1997. -74 с.

45. Лузгин, В. В. Алгоритм активной диагностики динамических систем. Труды Братского индустриального института: Материалы XIX научно-технической конференции / В. В. Лузгин, А. М. Патрусова Братск, 1998. -210 с.

46. Лузгин, В. В. Исследование системы зажигания как объекта диагностики методом математического моделирования / В. В. Лузгин, Н. С. Сапон // Автомобильный транспорт. 1984. №7. - с. 71-76.

47. Лузгин, В. В. Исследование ВСК подвески ГАЗ-24. Научно-техническая конференция: Тезисы / В. В. Лузгин — Винница, 1985. 135 с.

48. Лузгин, В. В. Методы определения технического состояния машин. Методы прогнозирования качества и надежности машин и приборов. Сборник / В. В. Лузгин, В. И. Тарасенко Ленинград, 1978. -115-117 с.

49. Лузгин, В.В. Диагностирование линейных динамических систем. Методы прогнозирования качества и надежности машин и приборов: Сборник / В. В. Лузгин, В. И. Тарасенко Ленинград, 1978. - с. 215-218.

50. Лузгин, В.В. Диагностирование транзисторной системы зажигания. Повышение эксплуатационной надежности и безопасности движения автомобильного транспорта: Сборник / В. В. Лузгин, Тен-Ун-Ге — Хабаровск, 1978. — с.234-236.

51. Ляпунов, А. М. Общая задача об устойчивости движения / А. М. Ляпунов М.; Л.: Гостехиздат, 1950. - 472 с.

52. Ляпунов, A.M. Исследование одного из особенных случаев задачи об устойчивости движения / А. М. Ляпунов // Собр. соч. Т.2. М.; Л.: Изд-во АН СССР, 1956. - с. 272-331.

53. Ляпунов, А. М. Собр. соч. Т.2 / А. М. Ляпунов М.; Л.: Изд-во АН СССР, 1956.-475 с.

54. Макаров, И. М. Линейные автоматические системы (элементы теории, методы расчета и справочный материал). 2-е изд., перераб. и доп. / И. М. Макаров, Б. М. Менский - М.: Машиностроение, 1982. - 504 с.

55. Мышкис, А. Д. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом / А. Д. Мышкис М.: Наука, 1972. - 352 с.

56. Марчук, Г. И. Методы вычислительной математики / Г. И. Марчук М.: Наука, 1980.-534 с.

57. Мухопад, Ю. Ф. Микроэлектронные информационно-управляющие системы: Учебное пособие / Ю. Ф. Мухопад Иркутск: ИрГУПС, 2004. - 404 с.

58. Налимов, В. В. Статистические методы планирования экстремальных экспериментов / В. В. Налимов, Н. А. Черкова- М.: Наука, 1965. 264с.

59. Нетушило, А. В. Теория автоматического управления / А. В. Нетушило -Учебник для вузов. Изд. 2-е, доп. и перераб. М., "Высшая школа", 1976. — с 400.

60. Осипов, О. И. Техническая диагностика автоматизированных электроприводов / О. И. Осипов, Ю. С. Усынин-М.: Энергоатомиздат, 1991. 160 с.

61. Оссовский, Л. М. Об одном классе нелинейных самонастраивающихся моделей с настройкой по фазовым и амплитудным характеристикам / Л. М. Осовский // Автоматика и телемеханика. — 1963. №3. - с. 369-381.

62. Отнес, Р. Прикладной анализ временных рядов. Основные методы / Р. Отнес, Л. Эноксон М.: Мир, 1982. - 428 с.

63. Пампуро, В. И. Анализ радиоцепей и их схемной надежности / В. И. Пам-пуро Киев, "Техшка", 1967.

64. Панасов, В.В. Алгоритм диагностики линейных стационарных промышленных объектов /В.В. Панасов // Современные технологии в машиностроении: сборник статей XI Международной научно-практической конференции. Пенза, 2007. - с. 209-211.

65. Панасов, В.В. Прикладной метод исследования динамики систем автоматического регулирования с запаздыванием /В.В. Панасов, А.С. Ларионов, В.В. Лузгин // Научный вестник НГТУ. 2008. - №2(31). - с. 165-170.

66. Панасов, В.В. Прикладной метод активной диагностики аналоговых промышленных объектов Текст] /В.В. Панасов, В.В. Лузгин, Д.С. Колтыгин // Научный вестник НГТУ. 2008. - №2(31). - с. 171-176.

67. Пархоменко, П. П. О технической диагностике / П. П. Пархоменко М.: Знание, 1969.-253 с.

68. Первозванский, А. А. Курс теории автоматического управления: Учеб. пособ. / А. А. Первозванский М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. -616 с.

69. Пересада, В. П. Автоматическое распознавание образов / В. П. Пересада -Л.: Энергия, 1970. 287 с.

70. Пономарев, Н. Н. Параметрическая идентификация динамических объектов в системах управления с микроЭВМ: Учебное пособие / Н. Н. Пономарев, Е. В. Ширяев, Н. И. Тюков Уфа, 1999. - 55 с.

71. Попов, Е. П. Теория линейных систем автоматического регулирования и управления: Учеб. пособие для втузов. 2-е изд., перераб. и доп. / Е. П. Попов- М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1989. - 304 с.

72. Пчелин Б. К. Специальные разделы высшей математики. (Функции комплексного переменного. Операционное исчисление). Учеб. Пособие для втузов / Б. К. Пчелин М.: "Высшая школа", 1973. - 464 с.

73. Рагозин, А. А. Обобщенный анализ динамических свойств энергообъединений на основе структурного подхода: дис. . докт. техн. наук: 05.14.02 / Рагозин Александр Афанасьевич. СПб., 1998.

74. Райбман, И. С. Адаптивные модели в системах управления / И. С. Рай-бман, В. М. Чадеев М.: Сов. радио, 1966. - 376 с.

75. Резван, В. Абсолютная устойчивость автоматических систем с запаздыванием / В. Резван М.: Наука, 1983.

76. Сейдж, Э. Идентификация систем управления / Э. Сейдж, Дж. Мелса М.: Наука, 1974.-315с.

77. Сергеева, Н. А. Непараметрические алгоритмы идентификации и управления линейными динамическими системами: дис. . канд. техн. наук: 05.13.14 / Сергеева Наталья Александровна. Красноярск, 1998.

78. Скляревич, А. И. Операторные методы в статистической динамике автоматических систем / А. И. Скляревич — М.: Наука, 1965. 243 с.

79. Солодовников, В. В. Статистическая динамика линейных систем автоматического управления / В. В. Солодовников М.: Физматгиз, 1960. - 312 с.

80. Солодовников, В. В. Основы теории и элементы систем автоматического регулирования. Учебное пособие для вузов / В. В. Солодовников, В. Н. Плотников, А. В. Яковлев — М.: Машиностроение, 1985. 536 с.

81. Тихонов, А. Н. О функциональных уравнениях типа Вольтерра и их применение к некоторым задачам математической физики / А. Н. Тихонов // Бюллетень Московск. ун-та, секц. А. Т.1, вып. 8. - 1938. - с. 1-25.

82. Топчеев, Ю. И. Задачник по теории автоматического регулирования. Учебное пособие для вузов / Ю. И. Топчеев, А. П. Цыпляков М.: Машиностроение, 1977. - 592 с.

83. Фельдбаум, А. А. Электрические системы автоматического регулирования: Учеб. Пособие. Изд. 2-е. / А. А. Фельдбаум М.: Оборонгиз, 1957. -807 с.

84. Фельдбаум, А. А. Основы теории оптимальных автоматических систем / А. А. Фельдбаум-М.: Физматигиз, 1963. 341с.

85. Фрезинский, М. JI. О напряжении, развиваемом катушкой зажигания / М. JI. Фрезинский // "Автомобильная промышленность", 1960, №3.

86. Хейл, Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений / Дж. Хейл М.: Мир, 1984.

87. Чаки, Ф. Современная теория управления / Ф. Чаки М.: Мир, 1975. -424с.

88. Шаронов, А. В. Идентификация систем. Методы идентификации. Параметрическая идентификация моделей объектов управления: Учебное пособие / А. В. Шаронов М.: 1996. - 123 с.

89. Шаталов, А. С. Теория автоматического управления. Учеб. пособие для вузов / А. С. Шаталов М., "Высш. школа", 1977. - 488 с.

90. Шелковников, Ф. А. Сборник упражнений по операционному исчислению. Учеб. пособие для втузов. Изд. 3-е. / Ф. А. Шелковников, К. Г. Та-кайшвили-М., "Высш. школа", 1976. 184 с.

91. Эйкхофф, П. Современные методы идентификации систем / П. Эйкхофф -М.: Мир, 1983.-400 с.

92. Эльсгольц, JI. Э. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом / Л. Э. Эльсгольц М.: Наука, 1964. - 128 с.

93. Юревич, Е. И. Теория автоматического управления / Е. И. Юревич Л.: "Энергия", 1969.-375 с.

94. Яблонский, С. В. О тестах для электрических схем / С. В. Яблонский, И. А. Чегис // Успехи математических наук, 1955, т. 10, вып. 4(10).

95. Яблонский, С. В. О тестах для электрических схем / С. В. Яблонский, И. А. Чегис // Успехи математических наук, 1955, т. 10, вып. 4(66).

96. Azbelev, N. V. Theory of linear abstract functional differential equations and applications / N. V.Azbelev, L. F. Rakhmatullina // Memoirs on Differential Equations and Mathematical Physics. Volume 8. 1996, 1-102.

97. Galey, J. M. Techniques for the diagnosis of switching orient failures / J. M. Galey, R. E. Norphy, J. P. Roth // JEEE Transactions on communication and Electronics, 1964, №4.