автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Методы и алгоритмы восстановления и прогнозирования функции объемов потребительского спроса

На правах рукописи

СОТНИКОВ АНДРЕЙ НИКОЛАЕВИЧ

МЕТОДЫ И АЛГОРИТМЫ ВОССТАНОВЛЕНИЯ И ПРОГНОЗИРОВАНИЯ ФУНКЦИИ ОБЪЕМОВ ПОТРЕБИТЕЛЬСКОГО СПРОСА

Специальность 05 13 18-Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Тверь 2004

Работа выполнена в Тверском государственном университете

Научный руководитель Заслуженный деятель науки РФ

доктор технических наук, профессор Катулев Александр Николаевич

Официальные оппоненты.

доктор экономических наук, профессор Бобров Александр Львович

доктор физико-математических наук, профессор Климок Виктор Иванович

Ведущая организация

Факультет вычислительной математики и кибернетики МГУ им. Ломоносова

Защита состоится «24» сентября в 12.00 на заседании диссертационного совета Д 212 263 04 в Тверском государственном университете по адресу: г. Тверь, ул Желябова, 33.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Тверского государственного университета

Автореферат разослан

« И »

2004 г.

Ученый секретарь диссертационного

совета Д 212.263 04

доктор технических наук профессор

В II Михно

2005-4 12189

I

Общая характеристика работы

Актуальность темы

Предметом исследования является прогнозирование оптимальных объемов потребительского спроса в условиях недетерминированности рынка. Недетерминированность рынка означает, что цена и денежный доход могут меняться случайно, а величина спроса на товар или услугу - в зависимости от их соотношения и потребительских предпочтений индивида или группы потребителей.

К настоящему времени предложено достаточно большое количество статистических математических моделей прогнозирования экономических показателей, в том числе прогнозирования спроса, цены, дохода

Принцип прогнозирования сводится к следующему Имеется совокупность (выборка) наблюдений случайной величины (по цене, доходу, спросу) к текущему моменту времени Т. По этой совокупности прогнозируется ее значение на момент времени T+h Прогнозное значение вычисляется как условное математическое ожидание при предположениях о стационарности временного ряда и постоянстве параметров модели

Существующие экономико-математические модели прогнозирования основаны на экспоненциальном сглаживании, авторегрессионных методах и скользящем среднем, а также их комбинациях (методы Бокса-Дженкинса), на параметрических регрессионных методах, моделях рыночного равновесия, на решении оптимизационной задачи с критериальным функционалом, заданным в виде функции полезности потребителя.

Все приведенные методы хорошо зарекомендовали себя в условиях стабильного функционирования рынка и экономики в целом. Однако они не подходят для нестабильных рынков, к которым относится исследуемый в работе рынок потребительских товаров с характерными скачками и флуктуациями объемов спроса и цен на товары

В то же время возникает много задач исследования и прогнозирования экономических показателей именно в условиях нестабильных рынков

Таким образом, поиск новых и универсализация имеющихся подходов в прогнозировании объемов спроса, когда и цены, и доход не являются постоянными величинами, представляется актуальной задачей Решение такой задачи и охватывает тема настоящей диссертационной работы.

Цель и задачи исследования

Целью диссертационной работы является разработка комплекса математических моделей, методов и алгоритмов восстановления функции объемов потребительского спроса и прогнозирования цен в условиях нестационарности рынка.

Для ее достижения в работе ставятся и исследуются следующие задачи:

• Построение математической модели динамики цен.

• Прогнозирование значений вектора цен

• Прогнозирование величины потребительского дохода

• Восстановление функции объемов потребительского спроса.

• Прогнозирование объемов потребительского спроса на фиксированный набор продуктов.

• Оценка и анализ характеристик качества методов прогнозирования с последующей экономической интерпретацией результатов и формулировка предложений по возможности адаптации методов и алгоритмов к различным конкретным условиям.

Для решения поставленных задач прогнозирования цен и потребительского спроса был выбран рынок продовольственных товаров г Твери за 1997-2002 гг.

Ни защиту выносится

Комплекс математических моделей, обеспечивающий решение задач

- описания динамики цены; г-» НАЦИОНАЛЬНАЯ

- восстановления функции объемов потребительского спрЬса, ' __ иптгкА |

- прогнозирования цен и объемов потребительского спроф •' *

, I О»

БЛМОТЕКА I

Комплекс включает:

1. Математическую модель динамики цены, сформированную в виде стохастического дифференциального уравнения на основе предположения о том, что случайные изменения цены описываются винеровским и пуассоновским случайными процессами.

2. Метод прогнозирования цены, основанный на минимизации апостериорного риска потерь, вызванных ошибками прогнозирования;

3. Метод прогнозирования цены, основанный на модификации метода последовательных приближений Пикара, для решения стохастического дифференциального уравнения, описывающего динамику значений цены во времени с учетом флуктуационной и скачкообразной случайной составляющей

4. Метод прогнозирования цены, основанный на модифицированном фильтре Калмана-Бьюси Модификация касается уравнения состояния, описывающего динамику значений цены во времени с учетом флуктуационной и скачкообразной случайной составляющей.

5. Метод восстановления функции объемов потребительского спроса, основанный на решении дифференциального уравнения Слуцкого посредством раскрытия общего решения в виде кубического сглаживающего сплайна по двумерной выборке.

Научная новизна и значимость результатов исследования Основные результаты:

• Разработана математическая модель динамики цены, в которой, в отличие от известных, учитываются скачкообразные изменения рыночных цен.

• Разработаны алгоритмы прогнозирования цены, реализующие

- минимизацию риска потерь от ошибок прогнозирования;

экстраполяцию решения стохастического дифференциального уравнения, описывающего динамику цены во времени,

- разложение процесса динамики цены в базисе собственных функций;

- оптимальную фильтрацию нестационарного процесса в рамках теории Калмана-Бьюси.

• Разработан алгоритм восстановления функции объемов потребительского спроса.

Полученные результаты расширяют теоретическую и инструментальную базу прогнозирования потребительского спроса и цен в условиях нестационарности и изменчивости определяющих их факторов, когда рыночные механизмы отличаются от их существующих моделей

Все полученные результаты являются новыми.

Практическая значимость работы

Результаты диссертационного исследования могут быть использованы на практике для прогнозирования объемов потребительского спроса и цен в масштабах региона в условиях рынка, для анализа поведения потребителя на основе статистических данных и восстановления его функции объемов спроса на фиксированный набор товаров, а также при создании пакетов прикладных программ анализа нестационарных временных рядов экономических показателей.

Погрешность прогнозов при прогнозировании цен предложенными методами составляет порядка 10%, погрешность прогноза величины оптимального спроса не превышает 20%.

Методы исследования

В процессе исследования нашли применение методы математического анализа, элементы теории случайных процессов, методы решения систем дифференциальных уравнений, экономического и статистического анализа.

Достоверность результатов

Все сформулированные теоретические положения имеют строгое математическое доказательство. Построенные математические модели тестируются и сравниваются с существующими на основе эмпирических данных и применения статистических критериев, разработанных в математической статистике.

Апробация работы

Основные идеи и результаты работы докладывались и обсуждались на научно технических конференциях МКБ «Электрон» (2000, 2001 гг.), на конференции, посвященной 70-летию акад. В.А. Мельникова (1999 г), на научно-исследовательских семинарах Межведомственного суперкомпыотерного центра (2002 г) и факультета Вычислительной математики и кибернетики МГУ им. Ломоносова (2002 г.)

Публикации

Основные результаты работы опубликованы в 6 статьях и в виде тезисов 3 докладов на научно-технических конференциях.

Структура диссертации

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Работа изложена на 100 листах, содержит 11 рисунков и 19 таблиц. Список литературы составлен из 88 источников.

Краткое содержание работы

В автореферате сохраняется нумерация утверждений и формул, используемая в диссертации.

Во введении обосновывается актуальность выбранной темы, изложены основные понятия и сущность задачи исследования, формулируются цели и задачи исследования, приведена информация о публикации результатов и структуре работы.

В первой главе в разделе 1.1 дан обзор следующих методов прогнозирования экономических показателей: метода Холта, модификации метода Брауна, методов параметрической регрессии, различных видов трендов, излагаются их математические модели, отмечаются особенности и недостатки этих методов.

В частности, особенностью метода Холта является то, что вычисление прогнозного значения Щ включает в себя вычисление прошлого показателя роста 1)1.1, адаптируясь тем самым к предыдущему значению линейного тренда. Достоинство метода Брауна в однопараметричности и простоте вычислений В моделях линейно-аддитивных и линейно мультипликативных трендов и их комбинациях учитываются сезонные изменения, что требует определения трех параметров А,В,С. Параметрические регрессионные модели позволяют учитывать отдельные факторы, воздействующие на прогнозируемый экономический показатель.

К недостаткам метода Холта относится необходимость задавать два параметра А и В (для метода Брауна - один). Подбор этих параметров необходимо проводить для каждого конкретного случая. Кроме того, их недостаток - в ориентации на устойчивость прогнозируемого показателя

В моделях линейно-аддитивных и линейно мультипликативных трендов не учитываются скачкообразные изменения, не связанные с сезонностью. Прогноз по тренду учитывает факторы развития только в неявном виде, и это не позволяет проигрывать разные варианты прогнозов при разных возможных значениях факторов, влияющих на изучаемый признак.

Ограничением прогнозирования на основе регрессионною уравнения служит условие стабильности или, малой изменчивости других факторов и условий изучаемого процесса, не учитываемых в модели. Кроме того, к числу главных ограничений регрессионных методов

относится то, что эти методы применяются для относительно краткосрочного прогнозирования Они не позволяют предсказывать эволюцию спроса, так как при их использовании не могут быть выявлены какие-либо качественные изменения в структуре спроса. В лучшем случае, они дают возможность быстро учесть уже произошедшие изменения

Из проведенного обзора методов прогнозирования можно заключить, что эти методы ориентированы на работу в стационарных условиях, которые характерны для совершенного рынка и не учитывают воздействия случайных факторов, вызывающих резкое изменение структуры динамики показателя В условиях нестабильности рынка для повышения точности прогнозирования таких экономических показателей как объем спроса и цена, требуется разработка альтернативных методов, учитывающих нестационарность факторов, определяющих изменения прогнозируемых показателей

В разделе 1 2 производится анализ временных рядов объемов потребительского спроса, цен и дохода. Основываясь на исходных данных о динамике цен на все продукты из набора, выделим все имевшие место скачки и построим для них гистограмму их появления в течение •ода

•- —

0 1 2 3 4 5 6

Рис. 1 4. Гистограмма числа скачков цен за год

Гистограмма числа скачков за год дает основание провести проверку гипотезы о пуассоновской функции распределения скачков по критерию Таблица 1.1. Значения скачков цен и их характеристики.

Ряд 1 2 3 4 5 6 7 8

кол-во скачков 7 4 4 6 9 6 10 8

Ср знач

величины 4,59 6,65 4,81 9,60 0,56 3,73 1,95 1,00

скачков

Ср. знач. числа скачков в год 1,17 0,67 0,67 1,00 1,50 1,00 1,67 1,33

дисперсия 0,47 0,22 0,56 1,00 0,58 0,67 3,22 1,22

Вычислим среднее значение и дисперсию для данных по всем 8 рядам Получим соответственно 1.13 и 1.15. Близость значений первого и второго моментов дает основание полагать, что скачки распределены по пуассоновскому закону.

По данным из таблицы 1.1 вычислены оценки характеристик пуассоновского процесса, которым моделируются скачки цен, и теоретические вероятности р,'. Установлена непротиворечивость исходным данным гипотезы о пуассонсвском законе распределения числа скачков Полученное значение критерия Х2=157 для 4 степеней свободы соответствует вероятности порядка 0 8. Эта величина не является малой, поэтому гипотеза о пуассоновском распределении скачков не противоречит исходным данным.

После исключения скачков выделяется трендовая неслучайная и флуктуационная составляющие. Сглаживание произведено кубическим полиномом p(t) = -0,0002и3 + 0,0294^ - 0,5582t + 17,146 Вычисленные остатки представляют собой отклонения значений ряда от гренда и имеют среднее значение и дисперсию, равные соответственно 0.00 и 1.41. Гистограмма остатков приведена на рис. 1 6.

Рис.1 6 Гистограмма распределения числа остатков по интервалам после исключения тренда и скачков из временного ряда динамики цен.

На основании вычисленного значения критерия хг=1 96 для 4 степеней свободы установлена непротиворечивость исходным данным гипотезы о нормальном законе распределения остатков ряда динамики цены с этими характеристиками Таким образом, для прогнозирования значений пены целесообразно использовать математическую модель динамики цены, позволяющую на основе числовых характеристик цены как случайного процесса свести все воздействующие на нее факторы к флуктуационно и скачкообразно изменяющим цену. Далее проведем анализ временного ряда динамики потребительского дохода с целью установления параметров соответствующей математической модели

Аппроксимация временного ряда динамики потребительского дохода полиномом произведена с использованием метода наименьших квадратов Выявлена наилучшая квадратичная модель в виде

1(1)= 0,235712 + 0,33131 + 115,77

На основании вида гистограммы остатков временного ряда динамики дохода после исключения тренда и вычисления значения критерия X* сделан вывод о непротиворечивости гипотезы об их нормальном распределении исходным данным

Таким образом, результаты анализа исходных данных обусловливают следующие принципы для построения моделей динамики объемов спроса, цен и потребительского дохода с учетом выявленных особенностей соответствующих временных рядов -моделирование скачков и флуктуации случайными процессами,

-формирование моделей динамики цен и дохода в виде функций по одной переменной 1, -использование при моделировании и прогнозировании объемов спроса значений цен и дохода, что следует из экономической сущности и высокой степени их корреляционной связи с величиной объемов спроса

Согласно этим принципам, в разделе 1 3 сформулируем математическую постановку задачи и структурную схему метода ее исследования

Научная задача, исследуемая в диссертации, заключается в построении методов и алгоритмов для решения задачи прогнозирования объемов потребительского спроса

*,(<)- хМО.Щ), 1 = 1 ..л

на фиксированный набор товаров х = (хь..., хп.).

В основу постановки примем следующие исходные данные математические модели динамики значений цен и дохода, а также временные ряды значений объемов потребительского спроса В качестве основного метода восстановления функции объемов потребительского спроса будем использовать метод сглаживания двумерным кубическим сплайном

х(о - - - р,пт-^У. (25)

минимизирующим функционал

(2.1)

/,(дг) - т+11 />>;'(*, - г#°>2

где х - искомая функция спроса, г - фактические значения объемов спроса, Дх) — функционал, определяющий выполнение условий гладкости.

Постановка задачи требует последовательного решения следующих задач: прогнозирования цены, дохода, восстановления функции и прогнозирования объемов спроса. Задача прогнозирования цены. Дано: модель динамики цены

МО - Р„ +/ДМ>(0)Л +/F(t,p(t))da> (0 + j£<v,>5(/

где f(t,p(t)) и F(t,p(t)) - коэффициенты сноса и диффузии, v(At,A) - случайная пуассоновская мера с параметром A.(t), v - случайная величина, вызывающая случайное скачкообразное приращение цены c(v).

Требуется, основываясь на данной модели, построигь методы прогнозирования и соответствующие алгоритмы и получить прогнозируемую величину вектора цен.

Задача прогнозирования объемов потребительского дохода.

Дано: функция динамики величины потребительского дохода/fti.

I(t)=0,2357t2 + 0,3313t + 115,77

Требуется получить прогнозные значения величины потребительского дохода I(t) в заданные моменты времени t.

Задача восстановления функции объемов потребительского спроса и получения прогнозов объемов спроса.

Дано: прогнозные значения цен p(t) и величины потребительского дохода I(t), а также значения объемов оптимального спроса x(t) за период.

Требуется построить сглаживающий двумерный сплайн для фактических значений объемов спроса и вычислить прогноз объемов спроса на заданный момент времени t. Для полученных прогнозных значений определить характеристики качества прогнозирования -математическое ожидание ошибки оценки, дисперсию и доверительные интервалы.

В разделе 1.4 изложена структура метода решения задачи прогнозирования спроса, приводится соответствующая блок-схема и ее описание.

Во «торой главе разработан метод и алгоритм восстановления функции объемов спроса, основанный на сглаживании экспериментальных данных кубическим сплайном.

В разделах 2.1-2.3 излагается метод и алгоритм построения сглаживающего кубического сплайна для случая двух переменных и предлагается блок-схема программной реализации.

Покажем, что вычисление коэффициентов кубического сплайна сводится к решению системы из 16 уравнений с 16 неизвестными.

Пусть pjG[po,... ,Pn], Ij6[Io,... ,1м]

На всей области определения кубический сглаживающий сплайн по аналогии с (2.5) представим в виде

(2-11)

Будем решать задачу (2.1) с нулевым значением J(x), где в качестве х(р,1) возьмем (2.11). Получим

А - УУ\У Ув-rf/i-С I -min, (2.12)

Дифференцируя J последовательно по всем получим систему линейных уравнений

и приравнивая производную к нулю,

(2.13)

(Л',(зл=0: 2|J(S,,-о,

или в окончательном виде:

^Цмм

Я1/35 ГЯ Т% TZ уП)

7-0 /-с 7Яэ>-Е 755 /-о 7-5

(2Л4)

Таким образом, получили систему линейных уравнений для определения коэффициентов а^р сглаживающего кубического сплайна Для решения этой системы вычисляются все двойные суммы при неизвестных коэффициентах и, далее, применяется метод Гаусса.

В третьей главе сгрошся и исследуется стохастическая математическая модель динамики иены. Предложен ряд методов прогнозирования пены в условиях нестационарности

В разделе 3.1 на основе понятия избыточного спроса и описания случайных факторов винеровским и пуассоновскими случайными процессами выводится модель динамики цены в виде стохастического дифференциальною уравнения

МО - /(Л Р«)№+П'. р(•) Уш (0 vMdt, dv) (3.7)

где f(t,p(t)) и F(t,p(t)) - коэффициенты сноса и диффузии, v(AtД) - случайная пуассоновская мера с параметром X(t), v - случайная величина, вызывающая случайное скачкообразное приращение цены c(v) согласно закону P(c(v)), в моменты времени tk, с экспоненциальным законом распределения.

Ураьнеяке (3.7) может быть переформулировано в виде

fit) - Pa t'j^civMt-tJlt (ЗЛО)

Для использования полученных уравнений в качестве модели динамики цены были сформулированы условия существования решения уравнения (3.10) в виде теоремы 3.1. Теорема 3.1

Решение стохастического интегрального уравнения (3.10) существует и ограничено, если выполняется следующие условия:

- функции f(t,p(!)) и F(t,p(t)) непрерывны по совокупности переменных и ограничены на промежутке [т,Т],

• амплитуды скачков ct(v) - ограниченные величины.

- v(t) - случайная величина, вызывающая скачкообразное приращение цены Ck(v) в моменты времени tk, с экспоненциальным законом распределения

В разделе 3.2 -предлагается метод и алгоритм прогнозирования цен, основанный на принципе миьлмизашш апостериорного риска в рамках модели 3.7. Апостериорный риск представляется выражением

JMP„r,p„T),) - Щ$Щ,Р1,р,Щр,} (3.16)

т

где L(t,Pt,Pt") - ограниченная функция потерь. В работе использовалась квадратическая функция потерь (p(t) - p*(t))2.

Пусть функции из выражений (3.7, 3.10) представляют собой зависимости f(t,p(t),p*(t)) и F(t,p(t)). Представим их в виде линейных аппроксимаций.

Л'.р.р')- Л-^Лр + Ар'

Н1,р)-Ц>*&р где Ао, Ах, Кг, Во, В1 - функции переменной (. Утверждение 3.1.

Выражение для минимизирующей функционал (3.16) оптимальной цены р функции переменных вир представляется в виде

35

(3.20)

2р-Л,

Р —

Эр_

(3.21)

Здесь 8(1, рф) - минимальное значение функционала (3 16).

Следствие.

В случае, когда функции (3.20) не зависят от р , тс есть у фирмы производителя нет возможности своей ценой влиять на процесс ценообразования, выражение (3.21) сводится к виду

рпр (3.22)

Вид выражения для 80, р(0) может быть получен представлением в виде ряда по степеням Р0)

ЗДОЛ - Ш+ЦШО+й2(0Л«) (3-23)

Коэффициенты И, могут быть получены из решения системы дифференциальных уравнений

с граничными условиями Здесь

-К-4Л-+ вХ++1ьс(у) А

-И, - <л + А^ +2(4 т ЗД

Й«(Т; Ч>, А,(Г) кг(Т) Н).

(3.25)

(3.26)

В случае (3.22) система (3.25) имеет вид

-К - Л'<1 +

-к - 4А,+2(4 +Ф)К (З-27)

-л2 .(2 а,

с граничными условиями (3 26)

Структурная схема алгоритма прогнозирования цены

1 .Задать функции 0), Р(1,р(ф в виде (3 20).

2. Представить Я(/,р(1)) в виде степенного ряда (3.23).

3. Решить систему (3.25) для случая (3.21) или (3.27) для случая (3.22).

4. Задать для момента времени (¡:, на который строится прогноз значения цены, требуемый уровень минимума средних потерь 5г 0.

5. Решить уравнение (3.23) относительно рк*, обеспечивающей в момент & требуемое значение средних потерь.

В разделе 3.3 разработан метод и алгоритм прогнозирования цены, основанный на модификации метода последовательных приближений. Приводятся вторые итерации метода для случаев, когда скачок цен не влияет на их значения в последующие моменты времени и когда такое влияния есть.

р(1,„) - р('„) + /4 + -<«((,)] +

, Ш, Д/ М* (»Р а/Г1 ар \-ш(«,)]Д | (3.31)

\д< ар ) 2 [ар ар др ) 2

+ -+С,(у)6(Г,-(4)

/ = 1.Х, где £ - количество скачков на отрезке [т,Т], распределенное по закону Пуассона. Величину скачка с/(у) будем считать равномерно распределенной и будем моделировать ее с помощью стандартных процедур генерации случайных чисел. Значения Аш определим как Лак - ¡¿М, где - независимые случайные величины, распределенные по нормальному закону с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией.

Во втором случае, когда р((), при ! > ¡1, где и - моменты скачков, зависит от с/(у), будем рассматривать функцию

К(1,р,о(у))= С((уЖ«) + 5(1,р), (3.32)

где первое слагаемое описывает скачок в момент времени а второе — известную функцию последействия, определенную следующим образом

5 :[т,Г1х Р — Р ¡ш = 0.

Здесь Р- область принимаемых значений функции р(0-

Разложим (3.32) в ряд Тейлора до первой производной в окрестности точки Если в этот момент наблюдается скачок, то функция будет недифференцируема в этой точке.

- ^(,,,/4))+ М <р"<( (I- «ь)+о(до Вторая итерация после выполнения действий, аналогичных произведенным в первом случае, будет иметь вид

М'ы) - рСМ+А + зь+р+

[а & Ф я вр Ф )2 ар ф ар

Ф )

2 др 2

В результате структура алгоритма прогнозирования цены на основе решения уравнения (3.7) методом Пикара в обоих случаях включает следующие операции:

1. Задать начального значения рп.

2. Задать момент времени 1ч - конец интервала прогнозирования.

3. Задать шаг Л дтя итерационного метода Пикара.

4. Определить вероятное время скачка кратного Д.

5. Вычислить значения частных производных функций ("Дв по I и р в момент и.

6. При 1к получить прогноз по формуле (3.31) или (3.34), иначе п. 9.

7. Индекс к увеличить на 1.

8. Если к<М+1, то п.5. Иначе - п. 13.

9. Вычислить величину скачка с/(у).

10. Применить формулы (3.31) или (3.34).

11. Индекс к увеличить на 1.

12. Перейти к п. 4.

13. Формирование результата.

В разделе 3.4 предлагается метод и алгоритм прогнозирования цены, построенный на модификации фильтра Калмана-Бьюси. Модификация связана с представлением уравнения состояния уравнением динамики цены

- /с, м> ^с, т у\ « ¿V) (з.зб)

и полученным на его основе уравнением оптимального фильтра

^--f(t,m+mw)'!Kt)h \т,ъм*, до**.)* (3-45>

Л ¿г

где cp(v,At) - оценка соотношения

Mljc(yMdv,dt)yr(b )]( Щр(г)уТ(т2 ) f

Y

p(l) - значение оценки, K(t) - коэффициент усиления фильтра, определяемый из соотношения

K(t)=R(!)[R!p(l)+R(t)]-1, (3.46)

В этом соотношении R(t)=M[ p(t) - p(t) ][ p(l) - p{t) ] - дисперсия ошибок оценки; и R/t) = М[п(1)п(т)]=С(1)&(1-т)-дисперсия ошибки измерений определены на этапе анализа исходных данных.

Прогнозное значение цены в дискретный момент времени tt+i получается путем численного решения уравнения (3 45)

Структура алгоритма представляется последовательностью операций:

1. Задать начальные приближения из условия p(t0 ). ¿(<0 ) : p(ia ) - р„ ; щеа ) - 0.

Производя операции 2-4 для всех к = 1,..,п, получим траекторию предсказанных на шаг вперед значений цены.

2. Вычислить коэффициент усиления K(tk) по формуле (3.46).

3. Получить оценку цены p(ltA ) как численное решение уравнения (3 45), записанного s разностной форме.

4. Вычислить значение R(!k+i).

В разделе 3.5 изложен метод и алгоритм прогнозирования цены, основанный на разложении Карунена-Лоэва.

Наилучшее предсказанное значение получаем по формуле, предложенной Карукеном

Р»(«*дn.jpSÏijiM. (3.50)

Здесь X, - собственные значения интегрального уравнения; (p^'fHAt) — продолженные до точки (t+At) собственные функции интегрального уравнения для корреляционной функции рассматриваемого процесса; а, - случайные величины, такие, что математические ожидания M[aJ = 0, а М[а,а,] = 8Ч, где

i.-J1 lipU 1_j*

¡0 при 1 * j.

Структура штгоритма прогнозирования цены согласно изложенному методу включает следующие операции'

1. Вычислить автокорреляционную матрицу f(t,T)

2 Для матрицы r(t,T) получить собственные числа и собственные векторы.

3 Представить собственные векторы собственными функциями cpt(t).

4. Получить значения (fk(i+At).

5. Применить формулу (3.50) дня получения прогноза.

В четвертой главе обоснована организация вычислительного эксперимента с целью осуществления оценки и анализа характеристик качества прогнозирования значений цен, дохода и объема потребительского спроса. Производится сравнение результатов прогнозирования с результатами, полученными при применении существующих методов. Дается заключение и рекомендации по применений методов в реальных условиях.

В разделе 4.1 в рамках созданного комплекса математических моделей осуществляется вычислительный эксперимент, включающий прогнозирование цен, прогнозирование дохода, восстановление функции спроса и вычисление ожидаемых значений оптимального спроса.

На каждом этапе получены характеристики качества прогнозирования предложенными методами, математическое ожидание ошибки, стандартное отклонение, а также доверительные интервалы

Таблица 4.2 Средняя ошибка прогнозирования и среднеквадратическое отклонение цены

яд 8) в к раткосрочном и долгосрочном пе риоде

Алго Краткосрочный прогноз Долгосрочный прогноз

ритм Ср ошибка,% Ср-квадр отел Ср ошибка,% Ср-квадр отел

I 0.00 71.21 23.39 106.68

2 -0.90 38.65 2.11 60.35

3 -0.09 62.56 -13.12 131.80

4 -2.37 35.16 -13.12 131.80

5 -0.95 46.93 0.81 72.99

6 -5.15 396.48 -14.82 34.51

7 0.02 61.02 - -

8 2.90 109.39 -4.43 37.21

Таблица 4 3 Стандартное отклонение и прогнозирования пены (ря д 8)

доверительный интервал (а=005) для ошибок

Краткосрочный прогноз

№ Станд. OTKJI Дов интервал Станд откл Дов интервал

1 8.44 252 10.33 5.84

2 6.22 1.90 7.77 4.40

3 7.91 2.42 11.48 6.50

4 5.93 1.81 11.48 6.50

5 6.70 2.05 854 4.83

6 19.48 5.96 5.88 3.33

7 7.63 2.33 - -

8 10.22 3.13 6.10 3.45

Долгосро чный прогноз

В этих таблицах номером 1 обозначен метод прогнозирования на основе тренда; 2 -метод Холта с параметрами а=0.9, р~0.1,3- метод Брауна (Linear) с параметром а=0.99; 4 -метод Брауна (Simple) с параметром а-0.99; S - метод экстраполяции на основе численного решения уравнения (12); 6 - метод протезирования с использованием разложения Карунена-Лоэва; 7 - метод, основанный на модифицированном фильтре Калмана-Бьюси; 8 -метод минимизации апостериорного риска r/ри заданном значении минимальных средних потерь S(tk,p)=0.

Из сравнения результатов следуют выводы.

1. В краткосрочном периоде все методы (за исключением метода 6) дают практически одинаковые результаты, и могут быть использованы для практического применения.

2. В долгосрочном прогнозировании без корректировки авторегрессяошше методы обладают большим среднеквадратическим отклонением от истины, чем методы, предложенные в главе

3.

Таблица 4.7. Параметры модели прогнозирования дохода и численные характеристики оценки точности. Доверительный интервал для а=0.05.

Год А b Ср.ошибка прега Станд. откл Дов. инт-л

1998 121.83 3.70 10.80 17.29 9.79

1999 Г 103.08 11.65 -657 5.75 3.25

2000 7007 8.22 - - -

Таблица 4 11 Характеристики качества прогнозирования спроса (для величины отклонения

%) I Год рогноза от и Характерно тика стин 1 ого з 2 начени 3 я) 4 5 6 7 8

Ср значение 0.6 1.1 -0.7 -15 0.2 -0.8 -1.9 2.2

1997 Станд. откл-е 10.3 7.4 10.3 НА 10.0 10.9 15.9 6.4

Дов Интервал 5.83 4.17 5.84 8.16 5.67 6.17 9.00 3.59

Ср значение 0.7 2.0 -8.9 -1.6 0.5 -0.7 -5.4 4.1

1998 Станд откл-е 13 8 7.7 31.3 14.0 10.9 10.4 25.4 7.9

Дов Интервал 7.80 4.37 17.68 7.92 6.14 5.91 14.4 0 4.45

Ср значение 0.4 0.6 -1.9 -1.6 0.1 -0.3 -1.4 1.1

1999 Станд откл-е 6.4 3.8 12 0 13.9 4.0 6.9 10.9 4.7

Дов Интервал 3.61 2.17 6.81 7.84 2.27 3.88 6.14 2.68

Таблица 4 12 Характеристики качества прогнозирования спроса (для величины отклонения

5 % 1 прогноз Алгоритм а от истинного з Ср ошибка начения) альтернат Станд ивными метод Дов

отклонение интервал

1 4.38 26.73 16.56

2 -3.24 14.14 8.76

Здесь номером 1 обозначен метод Холта с параметрами 0=0.5, Р=0 1, номером 2 -метод Брауна (Linear) с параметром а=0.9.

Сравнение с результатами прогнозирования дает основание заключить, что оценки качества прогнозирования новым методом превосходят результаты прогнозирования приведенными в работе известными методами Кроме того, полученные оценки объемов потребительского спроса достаточно хорошо отражают реальную динамику этого экономического показателя Таким образом, в численном эксперименте подтверждается адекватность предложенного метода

Результаты проведенного численного эксперимента подтверждают перспективность предложенных численных методов и соответствующих им алгоритмов прогнозирования п аких нестационарных случайных процессов как объемы спроса и цена Точность прогнозов не уступает, а в отдельных случаях превосходит точность прогнозирования известными авторегрессионными методами Следует отметить, что с течением времени происходит изменение потребительских предпочтений (снижается точность прогнозирования) В связи с этим необходимо корректировать функцию объемов спроса путем пересчета параметров кубического сплайна всякий раз, когда будет превышена допустимая погрешность прогноза В заключении излагаются основные выводы

1 Одним из важнейших вопросов математической экономики, носящих прикладной характер, является прогнозирование таких основных экономических показателей, как объем спроса, значение цен, величина потребительского дохода

2 В настоящее время для его решения используется широкий спектр математических моделей и методов Одним из возможных направлений повышения точности

прогнозирования в нестационарных условиях является более широкое применение результатов теории случайных процессов и основанных на них алгоритмов.

3. Предложенный в работе метод и алгоритм восстановления функции спроса по статистической информации о значениях цен, дохода и объемах спроса за определенный период в прошлом позволяет восстанавливать функцию объемов спроса как кубический сплайн, не привлекая потребителя для выявления системы его предпочтений, а используя информацию о произведенных им выборах. Ошибка при прогнозировании объемов спроса в эксперименте не превышает 20%

4. Модель динамики цены, построенная с учетом случайных воздействий флуктуационного и скачкообразного характера адекватно отражает поведение цены в условиях нестационарности рынка.

5. Разработанные на базе изложенной модели динамики цены методы прогнозирования цены в усповиях нестационарности, не уступают, а в ряде случаев превосходят известные авторегрессионные методы по точности. В результате проведенного эксперимента ошибка прогнозирования цен составила порядка 10%.

6. Дальнейшее исследование целесообразно проводить в направлении расширения исследуемого набора товаров и услуг и создания комплекса программного обеспечения для принятия управленческих решений (например, на региональном уровне) об оптимальном производстве на основе статистической информации и предложенных алгоритмов прогнозирования цен, восстановления функции спроса и прогнозирования его объемов.

Основные результаты исследования опубликованы в следующих работах Тезисы докладов:

1. Сотников А.Н. Метод и алгоритм восстановления функции полезности // Конференция, посвященная 7С-летию акад. В.А. Мельникова. М., 1999.

2. Сотников А.Н. Восстановление функции полезности для прогнозирования спроса на рынке радиотоваров. 8-я НТК «Современное телевидение». М., 2000.

3. Сотников А.Н. Математические модели механизма прогнозирования цены отдельного вида продукции. 9-я НТК «Современное телевидение». М., 2001.

4. Катулев АН., Сотников А.Н. Стохастические модели прогнозирования цены // Сложные системы: моделирование и оптимизация: Сб. науч. тр. Тверь, 2001.

5. Сотников А.Н. Метод и алгоритм прогнозирования цен // Программные продукты и системы. № 2002. Тверь, 2002.

6. Сотников А.Н. Математическая модель динамики и прогнозирования цены // Экономический рост России. Развитие городов. Перспективы и проблемы. Тверь, 2002.

7. Сотников А Н. Методы и алгоритмы восстановления функции полезности // Экономика и менеджмент: проблемы теории и практики / Науч. ред. Н.В.Сычев, Научные труды МИМ ЛИНК, выпуск 5, Издательство международного института менеджмента ЛИНК, 2002. С. 69-79.

8. Катулев А.Н, Согаиков А.Н. Стохастические модели прогнозирования цены // Дискретный анализ и исследование операций. Новосибирск, 2002. Сер. 2. Т. 9, № 1.

9. Сотников А.Н. Математические модели механизма прогнозирования цены отдельного вида продукции // Вопросы статистики. М., 2002. № 6.

Статьи.

»из«*

РНБ Русский фонд

2005-4 12189

Технический редактор Т.В.Малахова Подписано в печать 23.07.2004. Формат 60 х 84 Vie-Бумага типографская № 1. Печать офсетная. Усл.печ.л. 1,0. Уч.-изд.л. 0,8. Тираж 100 экз. Заказ № 552. Тверской государственный университет, Редакционно-издательское управление. Адрес: Россия, 170000, г. Тверь, ул. Желябова, 33. Тел. РИУ: (0822) 42-60-63.

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1 АНАЛИЗ ИСХОДНЫХ ДАННЫХ. ПОСТАНОВКА НАУЧНОЙ ЗАДАЧИ

1.1 Обзор методов прогнозирования экономических показателей

1.2 Анализ особенностей динамики объемов спроса, цен и дохода. Исходные данные

1.3 Математическая постановка задачи исследования

1.4 Выводы по главе

ГЛАВА 2 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ВОССТАНОВЛЕНИЯ ФУНКЦИИ СПРОСА^

2.1 Метод восстановления функции объемов потребительского спроса

2.2 Алгоритм метода восстановления функции спроса

2.3 Блок-схема алгоритма метода восстановления функции спроса

2.4 Выводы по главе

ГЛАВА 3 АЛГОРИТМЫ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ ПЕН В УСЛОВИЯХ НЕ СТАЦИОНАРНОСТИ

3.1 Математическая модель динамики цены

3.2 Алгоритм прогнозирования цены, основанный на принципе минимизации апостериорного риска

3.3 Алгоритм прогнозирования цены, основанный на решении стохастического дифференциального уравнения

3.4 Алгоритм прогнозирования цены, основанный на модификации фильтра Калмана-Бьюси

3.5 Алгоритм прогнозирования цены, основанный на разложении Карунена-Лоэва

3.6 Выводы по главе

ГЛАВА 4 ОПЕНКА И АНАЛИЗ ХАРАКТЕРИСТИК КАЧЕСТВА

ПРОГНОЗИРОВАНИЯ;

4.1 Организация вычислительного эксперимента

4.1.1 Прогнозирование цен

4.1.2 Прогнозирование потребительского дохода

4.1.3 Восстановление функции объемов потребительского спроса

Предметом исследования является разработка методов и алгоритмов прогнозирования оптимальных объемов потребительского спроса и цен в условиях недетерминированности рынка, когда лицу, заинтересованному в получении прогнозов, доступна лишь статистика за определенный период этих, а также предопределяющих их показателей, например, потребительского дохода. Недетерминированность рынка означает, что цена и денежный доход могут меняться случайно, а величина спроса на товар или услугу - в зависимости от их соотношения и потребительских предпочтений индивида или группы потребителей.

К настоящему времени предложено достаточно большое количество статистических математических моделей прогнозирования экономических показателей, в том числе прогнозирования спроса, цены, дохода.

Потребность в таких моделях объективно обусловлена необходимостью развития социально-экономического хозяйства. Наибольшее практическое применение они получили для краткосрочного прогнозирования спроса. При этом исходные данные по исследуемому показателю представляются в виде временного ряда по фиксированным промежуткам времени (квартал, месяц, неделя). Принцип прогнозирования сводится к следующему. Имеется совокупность (выборка) наблюдений случайной величины (по цене, доходу, спросу) к текущему моменту времени Т. По этой совокупности прогнозируется ее значение на момент времени Т+Ь, в условиях, когда известно совместное распределение вероятности наблюдаемых и прогнозируемых значений, а значит, известно условное распределение вероятностей прогнозируемых значений относительно наблюдаемых. Прогнозное значение вычисляется как условное математическое ожидание при предположениях о стационарности временного ряда и постоянстве параметров модели.

Существующие экономико-математические модели прогнозирования основаны на экспоненциальном сглаживании, авторегрессионных методах и скользящем среднем [2,20,21], а также их комбинациях (методы Бокса-Дженкинса), на параметрических регрессионных методах, моделях рыночного равновесия [13], либо на решении оптимизационной задачи с критериальным функционалом, заданным в виде функции полезности потребителя.

Сущность экспоненциального сглаживания такова: пусть имеется ряд {х;} значений экономического показателя и константа сглаживания 0 < а < 1, тогда экспоненциально сглаженный ряд записывается в виде

У1 = ах4 + (1-а)хц, 1=1,2.п Прогноз на момент времени I = п+1 равен

Уп+1 = ах„ + (1- а)хп1

Заметим, что экспоненциальное сглаживание есть частный случай сглаживания фильтром Калмана-Бьюси или

У |+Ц1 = к^ + (1 - К1Н1 )у ^, А где - прогнозное математическое ожидание на 1+1 момент, А

У1|я - прогнозная оценка на момент {,

Xi - наблюдаемое значение показателя в момент \, А

К{-дисперсия оценки У.

При неизвестных Кь И; принимается, что К* = а, а (1- КД) = (1 - а) и тогда фильтр Калмана-Бьюси вырождается в фильтр экспоненциального сглаживания, для которого необходимо обосновать значение а,, выбрать начальное значение уо и момент начала сглаживания \ = 1. Такое обоснование, очевидно, возможно только эвристически. В связи с этим, широко применяется метод обучающей выборки: временной ряд разбивают на две части, по первой — оценивают коэффициенты, по второй -осуществляют прогноз. Такой метод адаптирован в моделях Холта, Брауна, Бокса-Дженкинса и других, реализующих метод экспоненциального сглаживания.

Сущность метода авторегрессии исходит из предположения, что значение прогнозируемого показателя зависит от всей предыстории и от целого набора факторов, в том числе, от времени. Тогда модель для прогноза может быть представлена в виде x¡ + ал.1 + а2Х12+. + анХ1.н= Б^ где хь х2, Х{.н - выборка значений показателя (реализации показателя) в моменты времени М, ьЫ, аь аг, ам - параметры модели, подлежащие оценке, 8(1) — ошибка измерений с известным средним и конечной дисперсией - погрешность модели N - порядок модели авторегрессии (величина предыстории).

Оценки модели находятся по методу наименьших квадратов, то есть, из условия п N и™ Е (х1-Еа^-у)2

N+1 ¿=1 или, что то же, из решения системы уравнений п N

N+1 j=l

Авторегрессионные методы применяются для временных рядов, которые формируются как результат композиции большого числа малозначимых факторов» что обусловливает стационарный характер динамики зависимой переменной. Кроме того, существующие методы авторегрессии в чистом виде, то есть без сведения временного ряда к стационарному, не могут быть применены для прогнозирования временных рядов с ярко выраженной скачкообразной составляющей, определяемой внешними факторами.

Из этой модели можно получить модель скользящего среднего. Так, в случае, когда- дискретный случайный процесс можно описывать только математическим ожиданием, то есть, величиной, подлежащей оценке, прогнозирование этого показателя выполняется по выражению N где прогнозное значение, как результат усреднения N предшествующих наблюденных значений показателя.

В параметрических регрессионных моделях прогнозируемый показатель представляется как функция влияющих на него факторов. Факторы классифицируются на существенные (в том числе время) и случайные — несущественные г|ь---ДЬ- Тогда функция прогнозируемого показателя представляется в виде после разложения в ряд Тейлора которой получаются выражения, описывающие параметрическую регрессионную модель к п

4 = а0 +0(Д<Г) + 1>уА77У +о(АТ]) во=• • • л Л• • • ль°), щс?,.,т}°а) ¡=1 к ь - ; — 1 п

Д£= С» - ЛгЬ = — П]0

Математические ожидания МАту = 0.

Порядок модели обосновывается в зависимости от характера влияния факторов на прогнозируемый показатель. Коэффициенты ао, а,, Ъ}, оцениваются по выборке наблюдений с использованием метода наименьших квадратов. Прогноз осуществляется подстановкой значений факторов £ь.,0с в оцененную функцию.

Для методов параметрической регрессии к недостатку, связанному с невозможностью учета скачков, добавляются возможные трудности в выявлении и оценке значимости набора неслучайных факторов воздействующих на прогнозируемый параметр. Регрессионные модели, таким образом, являются хорошей аппроксимацией, когда легко может быть выделен набор переменных, значения которых сильно коррелируют со значениями рассматриваемого процесса. Область применения этих методов -краткосрочное прогнозирование, поскольку оцененная функциональная зависимость с течением времени меняется вследствие изменения значимости отдельных факторов.

Суть методов прогнозирования, основанных на моделях рыночного равновесия, состоит в использовании теоретически обоснованных макро или микроэкономических зависимостей, связывающих, как правило, затраты на производство, цены, налоги, величину спроса, предложения и некоторые другие. Так, в моделях Курно, Бертрана, Штакельберга, общего конкурентного равновесия Вальраса, межотраслевого баланса Леонтьева и других [4,13,14,40,42,43,48,85], основанных на зависимостях между затратами, выпуском и ценой, полагают функцию спроса известной. Поэтому для их применения возникает необходимость в получении функций цен и спроса. На практике, когда число различных по своим свойствам товаров велико, построить функцию спроса в зависимости только от цены данного товара или дохода будет недостаточно. Необходимо учитывать цены товаров-заменителей, а также потребительские предпочтения, которые в случае единственного товара не проявляются - у потребителя нет выбора

Например, рыночная цена на основе паутинообразной модели [14] с известными линейными функциями спроса х(£) = а — Ьрф и предложения з(1)= с + <1р(0 в любой дискретный момент времени вычисляется как

-Л

0 = (Л-А) Ре где ро — цена в начальный момент времени, рн = (a-c)/(d+b) - равновесная цена. Здесь b — коэффициент эластичности спроса по цене, d — коэффициент эластичности предложения по цене, а, с - константы.

В условиях, когда возможно установить систему предпочтений потребителя и, кроме того, есть основания считать ее неизменной в течение определенного периода времени, применяется метод прогнозирования спроса, основанный на решении оптимизационной задачи

U(x(t))-> max хеХ p(t),x(t)><I(t) p(t) > 0, x(t)Z0. где U(x(t)) - функция полезности, то есть, отображение U : X -» R+, действующее из множества товаров и благ в множество положительных чисел. При этом, в качестве основных свойств, для исследования потребительского выбора в условиях ограниченности ресурса как в статике [27], так и в динамике с учетом дисконтирования [10], обычно полагают эту функцию непрерывной и вогнутой. p(t),x(t)> ^ I(t) - бюджетное ограничение, I(t) eR+, p(t) eRn+- вектор цен, x(t) eRn+- вектор объемов спроса, t eR+- время.

Значение оптимальных объемов спроса при этом определяется, на. основании ожидаемых значений цен и потребительского дохода. Основная трудность при реализации данного метода состоит в выявлении критерия — функции полезности, отражающей потребительские^ предпочтения.

Сущность простейшего варианта восстановления функции полезности заключается в следующем:

- предъявить потребителю как лицу, принимающему решения, все возможные продукты (наборы продуктов) и предложить упорядочить их по предпочтительности;

- составить граф бинарных отношений предпочтения на множестве продуктов;

- проверить, имеются ли классы эквивалентности и, если имеются, то выбрать из каждого по представителю, затем скорректировать граф;

- определить «наибольший» и «наименьший» (по предпочтительности) элементы графа;

- «наименьшему» элементу присвоить единичную полезность;

- предложить лицу, принимающему решения, установить полезности всем другим элементам по сравнению с «наименьшим»;

- построить табличное представление функции полезности.

Более строгие методы построения функции полезности основываются на статистической информации о поведении потребителя или на аксиоматике ее существования. В этом варианте используются исходные данные о множестве наборов товаров, о системе предпочтения потребителя, о детерминированном эквиваленте лотереи [30,31] и склонности потребителя к риску, о параметрических классах функций полезности и требованиях к качеству восстановления функции [66,67,71]. Под лотереей понимается тройка

Ь = (х',р, х"), х',х" е [х0, Х1] Детерминированный эквивалент (ДЭ) лотереи это величина, которую потребитель принимает равноценной лотерее, так что справедлива запись и(ДЭ) = ЩхОрСхО + и(хо)(1-р(х,)), где XI - наилучшая альтернатива для потребителя, хо - наихудшая, р(х|) — вероятность получения альтернативы хь (1-рСхО) - вероятность получения альтернативы х0, и - функция полезности из параметрического семейства функций полезности, которое устанавливается на основании выявления склонности к риску данного потребителя.

Известен также подход А. С. Тангяна [74], предложившего алгоритм построения сепарабельных функций полезности по информации о замещении для каждой пары благ.

Тем не менее, субъективность предпочтений отдельно взятого индивида и допущение о неизменности отношения предпочтения вынуждают отказаться от применения метода максимизации функции полезности на практике, что порождает необходимость поиска новых подходов и методов в . прогнозировании объемов спроса.

Все приведенные выше методы хорошо зарекомендовали себя в условиях стабильного функционирования рынка и экономики в целом. Однако они не подходят для нестабильных рынков, к которым относится исследуемый рынок потребительских товаров с характерными скачками и флуктуациями объемов спроса и цен на товары. В то же время возникает много задач исследования и прогнозирования экономических показателей именно в условиях нестабильных рынков, в так называемый «переходный период» [3,20,25,37,41,47]. Важность и необходимость их решения очевидны — большинство моделей классической экономической теории не предусматривает реакции рынка на такие воздействия, разрушающие сложившуюся структуру потребительского спроса, как, например, смена политической ситуации в стране, стихийные бедствия, научные открытия. Однако владея информацией, например, о характеристиках флуктуаций и о частоте скачкообразных изменений динамики исследуемого процесса, можно [32,33,68-70,72] повысить точность прогнозов как в краткосрочном, так и в среднесрочном периоде.

Практически во всех приведенных методах и моделях для решения задачи прогнозирования спроса необходимо определять значение ожидаемых цен и потребительского дохода. Достоверность прогнозов, полученных при использовании этих методов, полностью определяется степенью приближенности взятой за основу рыночной модели к реальной ситуации. Важно отметить еще одно условие, влияющее на процессы построения моделей динамики и методов прогнозирования рыночных цен и объемов спроса - характер входной информации. В работе рассматривается применимость существующих моделей и методов прогнозирования цен и объемов потребительского спроса в условиях, приближенных к реальным, когда за основу статистической информации принимается статистика, доступная для исследования - динамические ряды значений цен, величины потребительского дохода и объемов спроса Для решения поставленных задач прогнозирования цен и потребительского спроса был выбран рынок продовольственных товаров г. Твери за 1997-2002 гг. Учет указанных особенностей позволяет говорить об адекватности отражения реальных рыночных условий в предлагаемых моделях и методах.

Таким образом, поиск новых и универсализация имеющихся подходов в прогнозировании объемов спроса, особенно в условиях рынка, когда и цены, и доход не являются постоянными величинами, представляется актуальной задачей. Решение такой задачи и охватывает тема настоящей диссертационной работы. Сущность задачи исследования

Основной задачей исследования, как уже отмечалось, является создание метода и- алгоритма восстановления функции объемов потребительского спроса, а также методов прогнозирования цен для решения задачи прогнозирования потребительского спроса на фиксированный набор товаров.

Функцией объема потребительского спроса, предъявляемого на конечный набор товаров -будем называть отображение х : Р х I —» X, представляемое положительно определенной вещественной вектор-функцией х(1) = х(р(0, Щ), где РсК.п+ -множество значений цен, р(£)еР- п-мерный вектор цен, 1сК+- множество допустимых значений потребительского дохода, 1(1) е I — величина, описывающая доход потребителя в момент времени 1

Под ценой продукта будем понимать значение средней цены в регионе за определенный прошедший период (например, один месяц). Тогда функция цены представляет собой отображение р(0 : Т -> Р, Т с ]*+, Р с 11п+, где Т — временной отрезок; Р- множество значений цен.

При таком определении, в условиях совершенной конкуренции, значение цены будет соответствовать средней рыночной цене единицы продукта, равной предельным издержкам на ее производство.

На стадии перераспределения национального дохода в результате вычитания налоговых и страховых отчислений из доходов участников производства и добавления трансфертных выплат у населения образуется располагаемый доход - доход, который может быть использован на личное потребление и личные сбережения.

Потребительский доход это часть располагаемого дохода, расходуемая на приобретение фиксированного набора товаров х = (хь хг, хп), п ^ М. Здесь М — количество наименований продуктов, доступных для приобретения потребителем.

На величину потребительского дохода как завершающего звена при распределении национального дохода влияет множество факторов. В целях упрощения модели динамики потребительского дохода без потери содержательного смысла, будем рассматривать потребительский доход как функцию одной переменной - времени I.

В работе принят принцип восстановления функции объемов потребительского спроса, заключающийся в сглаживании экспериментальных данных, представляющих случайную выборку значений цены, потребительского дохода и соответствующих им объемов спроса, двумерным кубическим сплайном.

Прогноз значений спроса в этом случае осуществляется путем подстановки вычисленных в конкретный момент времени I прогнозных значений цен и дохода в восстановленную функцию объемов потребительского спроса. Методы исследования

В процессе исследования нашли применение методы математического анализа, элементы теории случайных процессов, методы решения систем дифференциальных уравнений, экономического и статистического анализа

Цель и задачи

Целью диссертационной работы является разработка методов и алгоритмов восстановления функции объемов потребительского спроса и прогнозирования цен в. условиях нестационарности рынка.

Для ее достижения в работе ставятся и исследуются следующие задачи:

• Построение математической модели динамики цен.

• Прогнозирование значений вектора цен.

• Прогнозирование величины потребительского дохода.

• Восстановление функции объемовтготребительского спроса.

• Прогнозирование объемов потребительского спроса на фиксированный набор продуктов.

• Оценка и анализ характеристик качества методов прогнозирования с

1 1 последующей экономической интерпретацией результатов и формулировка предложений по возможности адаптации методов и алгоритмов к различным конкретным условиям. Положения, выносимые на защиту

На защиту выносится: Комплекс математических моделей, обеспечивающих решение задач

- описания динамики цены

- восстановления функции объемов потребительского спроса;

- прогнозирования цен и объемов потребительского спроса и включающий в себя следующие модели и методы

1. Математическую модель динамики цены, сформированная в виде стохастического дифференциального уравнения на основе предположения о том, что случайные изменения цены описываются винеров ским и пуассоновским случайными процессами.

2. Метод прогнозирования цены, основанный на минимизации апостериорного риска потерь, вызванных ошибками прогнозирования;

3. Метод прогнозирования цены, основанный на модификации метода последовательных приближений Пикара, для решения стохастического дифференциального уравнения, описывающего динамику значений цены во времени с учетом флуктуационной и скачкообразной случайной составляющей.

4. Метод прогнозирования цены, основанный на модифицированном фильтре Калмана-Быоси. Модификация касается уравнения состояния, описывающего динамику значений цены во времени с учетом флуктуационной и скачкообразной случайной составляющей.

5. Метод восстановления функции объемов потребительского спроса, основанный на решении дифференциального уравнения Слуцкого посредством раскрытия общего решения в виде кубического сглаживающего сплайна по двумерной выборке.

Научная новизна результатов исследования и вклад в математическую экономику

Полученные результаты расширяют теоретическую и инструментальную базу теории прогнозирования цен и потребительского спроса в условиях нестационарноста и изменчивости определяющих их факторов, когда рыночные механизмы отличаются от их существующих моделей.

Основные результаты:

• Разработана математическая модель динамики цены, в которой, в отличие от известных, учитываются скачкообразные изменения рыночных цен.

• Разработаны алгоритмы прогнозирования цены, основанные

- на минимизации риска потерь от ошибок прогнозирования;

- на экстраполяции решения стохастического дифференциального уравнения, описывающего динамику цены во времени;

- на разложении процесса динамики цены в базисе собственных функций;

- на оптимальной фильтрации нестационарных процессов в рамках теории Калмана-Быоси.

• Разработан алгоритм восстановления функции объемов потребительского спроса.

Все полученные результаты являются новыми. Практическая значимость работы

Результаты диссертации могут быть использованы на практике для решения задач прогнозирования спроса и цены, анализа поведения потребителя на основе статистических данных и восстановления его функции спроса на фиксированный набор товаров, а также при создании пакетов прикладных программ анализа нестационарных временных рядов экономических показателей. Погрешность прогнозов при прогнозировании цен предложенными методами составляет порядка 10%, погрешность-прогноза величины оптимального спроса не превышает 20%. Апробация работы

Основные идеи и результаты работы докладывались, обсуждались и были положительно оценены на конференции, посвященной 70-летию акад. В.А. Мельникова {1999 г), на научно технических конференциях МКБ «Электрон» (2000, 2001 гг.), на научно-исследовательских семинарах Межведомственного суперкомпьютерного центра (2002 г) и факультета Вычислительной математики и кибернетики МГУ им. Ломоносова (2002 г.) Достоверность результатов

Достоверность результатов исследования обосновывается доказательствами в виде теорем и утверждений. Адекватность полученных моделей устанавливается путем сравнения результатов вычислительных экспериментов с реальными данными в качестве входной информации. Публикации

Основные результаты работы опубликованы в 6 статьях в научных сборниках и журналах и 3 докладах в материалах научно-технических конференций и семинаров. Структура работы

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Работа изложена на 99 листах, содержит II рисунков и 19 таблиц. Список литературы включает 88 источников.

3.6 Выводы по главе 3

Основными результатами главы 3 являются следующие:

1. В динамике цены, рассматриваемой как нестационарный случайный процесс могут быть выделены детерминированная составляющая и две случайные составляющие, одна из которых описывает флуктуационное изменение цены, а вторая — скачкообразное.

2. В качестве модели динамики цены было предложено дифференциальное уравнение (3.7).

3. Были сформулированы условия, при которых существует траектория (3.10), являющаяся решением уравнения (3.7) и реализацией случайного процесса динамики цены.

4. Были рассмотрены четыре метода, позволяющие эффективно осуществлять прогнозирование в рамках построенной модели.

Методы из разделов 3.2, 3.3 и 3.4 представляют собой модификации известных методов, ориентированные на получение прогноза цены в условиях поставленной задачи. В численном эксперименте, осуществленном в главе 4 осуществлено тестирование этих методов и сравнение их с существующими методами прогнозирования. Направленность предложенных методов на прогноз цен как нестационарного случайного процесса и результаты тестирования, дают основание рассматривать их как качественное расширение класса инструментов для решения задач прогнозирования экономических показателей.

Глава 4 Оценка и анализ характеристик качества прогнозирования

В главе обоснована организация вычислительного эксперимента с целью осуществления оценки и анализа характеристик качества прогнозирования экономических показателей, таких как цена, доход и объем потребительского спроса. Производится сравнение результатов прогнозирования с результатами, полученными. при применении существующих методов. Дается заключение и рекомендации по применению методов в реальных условиях.

4.1 Организация вычислительного эксперимента

В параграфе проведена организация вычислительного эксперимента и излагается анализ численных характеристик оценок прогнозируемых показателей при реализации алгоритмов прогнозирования цен, дохода и восстановления функции объемов спроса в рамках решения задачи прогнозирования потребительского спроса.

Вычислительный эксперимент разобьем на четыре этапа:

1. Прогнозировайие цен.

2. Прогнозирование дохода.

3. Восстановление функции спроса.

4. Вычисление ожидаемых значений оптимального спроса.

На каждом этапе будем получать характеристики качества прогнозирования предложенными методами: математическое ожидание ошибки, стандартное отклонение, а так же доверительные интервалы. Кроме того, там, где это возможно, будем использовать известные методы прогнозирования, производить их сравнение с предложенными в работе и давать рекомендации по применению. Результаты исследования будут представлены в виде таблиц и графиков.

4.1.1 Прогнозирование цен

На основании статистических данных, пользуясь предложенными в главе 3 методами, осуществим прогнозирование цен на набор из 8 товаров. Обратимся к статистической информации. Данные о ценах и объемах потребительского спроса возьмем за период 1997-2002 гг.

Заключение.

Проведенное исследование позволяет сформулировать следующие выводы.

1. Материальное производство и производство услуг составляет основу функционирования экономической системы. В связи с этим одним из важнейших вопросов математической экономики является прогнозирование экономических показателей, связанных с производством и потребительским выбором. К таким показателям прежде всего относятся объем потребительского спроса на заданный набор продуктов, доход потребителя, а также цены продуктов.

2. В настоящее время для целей прогнозирования используется широкий спектр математических моделей и методов. Одним из возможных направлений повышения точности прогнозирования в нестационарных условиях является более широкое применение результатов теории случайных процессов и основанных на них алгоритмов.

3. Предложенный в работе метод и алгоритм восстановления функции спроса по статистической информации о значениях цен, дохода и соответствующих объемах спроса за определенный период в прошлом позволяет восстанавливать функцию объемов спроса как кубический сплайн, не привлекая потребителя для выявления системы его предпочтений, а используя информацию о произведенных им выборах.

4. Модель динамики цены, построенная с учетом случайных воздействий флуктуационного и скачкообразного характера адекватно отражает поведение цены в условиях нестационарности рынка.

5. На базе изложенной модели динамики цены разработаны методы прогнозирования цены товара в условиях нестационарности, не уступающие, а в ряде случаев превосходящие известные авторегрессионные методы по точности.

6. Дальнейшее исследование целесообразно проводить в направлении расширения класса используемых в модели товаров и услуг, а также создание комплекса программного обеспечения для принятия управленческих решений об оптимальном производстве на основе статистической информации, предложенных методов прогнозирования цен, восстановлении, функции спроса и моделей производственного процесса.

1. Агрегирование векторных критериев, интерактивное информирование и самоорганизация в задачах принятия решений. -Л. : Ленинградский институт информатики и автоматизации, 1990.

2. Айвазян С. А., Енюков И. С., Мешалкин И. Д. Прикладная статистика: Исследование зависимостей. М.: Финансы и статистика, 1985.

3. Алле М. Современная экономическая наука и факты.// Теория и история экономических и социальных институтов и систем, 1994, т.2, вып.4.

4. Бем-БаверкЕ. Основы теории ценности хозяйственных благ. Л., 1929.

5. Бокс Дж., Дженкинс Г. Анализ временных рядов. Прогноз и управление. М.: Мир, 1972.

6. Бутуханов А.В, Москальонов С.А. Применение динамической оптимизации в прогнозировании спроса экономического агента. http://www.marketing.spb.rU/conf/9/2.htm

7. Вальтух К.К. Математический и статистический анализ функции потребления. —Новосибирск: Наука, 1986.

8. Вапник В.Н. Восстановление зависимостей по эмпирическим данным. М.: Наука, 1979.

9. Васильев В.П Численные методы решения экстремальных задач. —М.: Наука, 1980

10. Ю.Веденов Д.В. и др. О некоторых свойствах логарифмической функции полезности. // Экономика и математические методы, 1996, т.32, вып.2.

11. Вентцель А.Д. Курс теории случайных процессов. -М.: Наука 1996.

12. Вилкас Э.И. Оптимальность в играх и решениях. -М.: Наука, 1990.

13. Войтинский В. Рынок и цены: Теория потребления, рынка и рыночных цен. СПб., 1906. С.280.

14. Гальперин В.М. и др. Микроэкономика. Т 1, 2 -СПб.: Изд-во Экономическая школа, 1998.

15. Гихман И.И. Скороход A.B. Введение в теорию случайных процессов.-М.: Наука, 1965.

16. Глинский В. В. Статистический анализ /Учеб. пособие. -М.: Филинъ. 1998.

17. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. -М., Наука, 1961.

18. Голубков Е. П. Маркетинговые исследования: теория, методология и практика. М., Финпресс, 1998.

19. Горина Г.А. Ценообразование. Учебное пособие. -М.:ТОО «Люкс-арт», 1996. '

20. Гуриев С.М. Математическая модель стимулирования экономического роста посредством восстановления сбережений //Мат. моделирование. -1996. Т.8. - №5.

21. Джонстон Д. Эконометрические методы. М.: Статистика, 1980.

22. Дружинин Н. К. Математическая статистика в экономике. М., Статистика, 1971.

23. Елисеева И. И., Юзбашев М. М. Общая теория статистики. М., Финансы и статистика, 1996.

24. Завьялов Ю.С. Введение в теорию сплайнов. -М.: Наука, 1989. 25.3амков О.О., Толстопятенко A.B., Черемных Ю.Н. Математическиеметоды в экономике. -М.: ДИС, 1998.

25. Ивахненко А.Г. Лапа В.Г. Кибернетические предсказывающие устройства. -Киев: Наукова думка, 1965.

26. Интриллигатор М. Математические методы оптимизации и экономическая теория. -М: Наука, 1975.I

27. Ито К. Вероятностные процессы. -М.: Изд-во иностранная литература, 1963.

28. Карлин С. Математические методы в теории игр, программировании и экономике.-М.:Мир, 1967. '

29. Катулев А.Н., Колесник Г.В. Прикладные задачи исследования операций. Лабораторный практикум. -Тверь: Издательство Тверского государственного университета, 1998.

30. Катулев А.Н., Северцев Н.А. Исследование операций: принципы принятия решений и обеспечения безопасности. 2000.

31. Катулев А.Н., Сотников А.Н. Стохастические модели прогнозирования цены. // Сложные системы: моделирование и оптимизация. Сб. науч. тр. -Тверь: Твер. гос. ун-т, 2001.

32. Катулев А.Н., Сотников А. Н. Стохастические модели прогнозирования цены. // Дискретный анализ и исследование операций, серия 2, т. 9, N 1, Новосибирск, изд-во Института математики им. С.Л. Соболева, 2002.

33. Кемени Дж., Снелл Дж. Кибернетическое моделирование. М.: Советское радио, 1972.

34. Кини Р., Райфа X. Принятие решений при многих критериях: предпочтения и замещения. -М.: Радио и связь, 1981.

35. Клеменс М.П., Хендри Д.Ф. Прогнозирование в макроэкономике. // Обозрение прикладной и промышленной математики-1996, т. 3, вып. 6.

36. Колемаев В.А. Математическая экономика. —М.: ЮНИТИ, 1998.

37. Кротов Ф.В., Гурман В.И. Методы и задачи оптимального управления. -М.: Наука, 1973.

38. Кузьмин С.З. Цифровая обработка радиолокационной информации. -М.: Радио и связь, 1986.

39. Курс экономической теории. / Под ред. Проф. Чепурина М.Н., проф. Киселевой Е. А. Киров: Издательство АСА, 1998.(с 442-454).

40. Левин М.И. и др. Математические модели экономического взаимодействия.-М.: Наука, 1993.

41. Макконелл Кэмбелл Р., Брю Стенли Л. Экономикс: Принципы, проблемы и политика. В 2 т.: Пер. с англ. 11 изд. Т. 2. -М.: Республика, 1993. (с 276292).

42. Маленво Э. Лекции по микроэкономическому анализу. -М.: Статистика, 1985.

43. Маленво Э. Статистические методы эконометрии. -М.: Статистика, 1976.96

44. Малыхин В.И. Финансовая математика. М.: ЮНИТИ, 1999.

45. Матвеев Н.М. Дифференциальные уравнения. -М. 1988.

46. Математическое моделирование экономических процессов./ под ред. Е.Г. Белоусова, Ю.Н. Черемных, X Керта, К. Отто. -М.:Изд-во МГУ, 1990.

47. Менгер К. Основания политической экономии. Одесса, 1903.

48. Методы статистического моделирования. : Сб. научн. Трудов. Под ред. Г.А Михайлова. АН СССР Сиб. отд-ние ВЦ. Новосибирск, 1990.

49. Михлин С.Г. Лекции по линейным интегральным уравнениям. 1959.51 .Мостеллер, Ф., Тьюки, Дж. Анализ данных и регрессия. -М.: Финансы и статистика, 1982.

50. Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной. М.: Наука,1974.

51. Нейман, Дж. Фон, Моргенштерн О. Теория игр и экономическое поведение. М.: Наука, 1970.

52. Никайдо X. Выпуклые структуры и математическая экономика.-М.: Мир,1975.

53. Никитин H.H., Первачев C.B., Разевиг В.Д. О решении на ЦВМ стохастических дифференциальных уравнений следящих систем.// Автоматика и телемеханика. №4, 1975.

54. Оптимизация: Сб. научных трудов. -Новосибирск, Институт математики, 1971.

55. Параев Ю.И Введение в статистическую динамику процессов управления и фильтрации.- М: Сов. радио, 1976.

56. Песаран, М., Слейтер, JI. Динамическая регрессия: теория и алгоритмы. М: Финансы и статистика, 1984.

57. Прохоров Ю.В. Розанов Ю.А. Теория вероятностей. -М., Наука, 1967. С.326.

58. Разевиг В.Д. Цифровое моделирование многомерных динамических систем при случайных воздействиях. // Автоматика и телемеханика. N4 1980. С 177-186.

59. Розанов Ю.А. Введение в теорию случайных процессов. -М.: Наука, 1982.

60. Розов А.К. Алгоритмы последовательного обнаружения сигналов. -СПб., Машиностроение, 1992.

61. Розов А.К. Оценивание параметров случайных сигналов. -СПб., Машиностроение, 1990.

62. Россия в цифрах. Краткий статистический сборник. -М.:Госкомстат России, 1997-2000.

63. Сбережения средних слоев населения России // Экономика и организация промышленного производства. 1997. - №6. - С. 125-141.

64. Сотников А.Н. Метод и алгоритм восстановления функции полезности. // Конференция, посвященная 70-летию акад. В.А. Мельникова. -М, 1999 г.

65. Сотников А.Н. Восстановление функции полезности для прогнозирования спроса на рынке радиотоваров. 8-я НТК «Современное телевидение», -М, 2000.

66. Сотников А.Н. Математические модели механизма прогнозирования цены отдельного вида продукции. 9-я НТК «Современное телевидение», -М, 2001.

67. Сотников А.Н. Метод и алгоритм прогнозирования цен. // Программные продукты и системы. № 2002- Тверь, 2002.

68. Сотников А.Н. Математическая модель динамики и прогнозирования цены. // Экономический рост России. Развитие городов. Перспективы и проблемы.- Тверь, 2002.

69. Сотников А.Н. Методы и алгоритмы восстановления функции полезности. // Экономика и менеджмент: проблемы теории и практики /Научные труды МИМ ЛИНК, выпуск 5, Издательство международного института менеджмента ЛИНК, 2002, стр.69-79.

70. Сотников А.Н. Математические модели механизма прогнозирования цены отдельного вида продукции. // Вопросы статистики № 6, 2002 М: Государственный комитет РФ по статистике, 2002.

71. Срагович Г.В. Непараметрическое оценивание коэффициентов линейной регрессии. -М.: Сообщество по прикладной математике, 1985.

72. Тангян A.C. Математический аппарат экономического модлирования.// Сборник трудов сотрудников Новосибирского госуниверситета. -Новосибирск, 1983.

73. Тверская область в цифрах. Статистический ежегодник. / Тверской областной комитет государственной статистики. -Тверь, 1997-2000.

74. Тихонов В.И. Миронов М.А. Марковские процессы.-М., Сов. радио, 1997.

75. Тюрин Ю.Н. Макаров A.A. Статистический анализ данных на компьютере. -М.: Финансы и статистика, 1995.

76. Фишберн П.С. Теория полезности для принятия решений. М.: Наука, 1978.

77. Фомин A.C. Равновесная модель ценообразования при разработке системы массового обслуживания.// Экономика и математические методы. 1995, т.32, вып.2.

78. Фомин В.Н. Рекуррентные оценивания и адаптивная фильтрация. -М., 1987.

79. Хардле В. Прикладная и непараметрическая регрессия. -М.: Мир, 1993. С. 221-234.

80. Цветков Э.И. Нестационарные процессы и их анализ. -М., Наука, 1973. 83.Чернецкий В.И. Математическое моделирование стохастических систем. —

81. Петрозаводск: Изд-во Петрозаводского госуниверситета, 1994. 84.Ширяев А.Н Основы стохастической финансовой математики. Т.1 Факты.

82. Модели. -М.: ФАЗИС, 1998. 85.Экономико-математические методы и прикладные модели./под ред. В.В.

83. Федосеева. -М.: ЮНИТИ, 1999. 86.Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационноеисчисление. -М.: Наука, 1965. 87.Эфрон, Б. Нетрадиционные методы многомерного статистического анализа: Сб. статей. М.: Финансы и статистика, 1988.

84. Яненко H.H., Шокин Ю.И. Численный анализ: теория приближения функций. -Новосибирск: Изд-во НГУ, 1980.