автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Методы и алгоритмы моделирования распределенных систем с переменными границами фазовых состояний

ЛЕШНГРАДСШ ИНСТИТУТ ИНФОРЖГИКИ И АВТОМАТИЗАЦИИ АН СССР

На правах рукописи УДК 539.182:536.27:621.362

СОЛОВЬЕВ Александр Евгеньевич

ШЭД И АЛГОРИТМ МОДЕЛИРОВАНИЯ РАСПРЕДЕЛЕННЫХ СИСТЕМ С ПЕРЕАЕННЬШИ ГРАНИЦАМ ФАЗОВЫХ СОСТОЯНИЙ (на примере энергетических установок)

05.13.16 - Применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук

Ленинград 1101

Работа выполнена в Ленинградском институте информатики и автоматизации АН СССР.

Официальные оппоненты:

доктор технических наук, профессор ФРАНЦЕВ Р.Э.,

доктор физико-математических наук, профессор СМОКГИЙ О.И.,

доктор технических наук, профессор РУМЯНЦЕВ И.А.

Ведущая организация (предприятие): Санкт-Петербургский государственный университет.

на заседании специализиров; .. .62.01 при

Ленинградское институте информатики и автоматизации АН СССР по адресу: I99I78, г.Ленинград, В.О., 14 линия, д.39.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке специализированного совета Д 003.62.01.

Отзыв просим направлять по адресу: I9QI78, г.Ленинград, В.О., 14 линия, д.39.

Защ 1та состоится

часов

Автореферат разослан

Ученый секретарь специализированного

совета Д 003.62.01 ,. -кандидат технических наук,

В.Е.Марлей

. Общая характеристика диссертационной работы.

Диссертация посвящена разработке систем численного модели-звапия в реальном масштабе времени объектов энергетических ус-зловок с переменными границами фазовых переходов, обобщению магматических моделей в сосредоточенных и распределенных парамет-IX установок водо-водяного и жидкометаллического типа и термо-чектрогенераторов, оценке их адекватности, разработке численных этодов решения краевых задач с переменной областью определения • э пространственной координате, исследованию алгоритмов, органи-ации пакета прикладных программ по их моделированию.

Актуальность проблемы и объекты исследования.

Развитие атомной энергетики за последнее десятилетие выд-януло к решения ряд новых научных и технических проблем. Одной з них является получение адекватных, обобщенных математических эделей объектов энергетических установок (ЭУ) с переменными раницами фазовых переходов и многослойными композициями в рас-ределенных параметрах, а также разработка численных методов эделирования задач динамики таких объектов совместно со структурами управления на вычислительных машинах (Ш) в реальном 1сштабе времени.

В решении данных задач при изучении нестационарных режимов аботы ЭУ заинтересованы как разработчики самих объектов, так и ястем управления ими.

К таким объектам с переменными границами фазовых переходов гносятся парогенераторы (ПГ) с естественной и многократной при-рдительной циркуляцией по второму контуру водо-водяных и жидко-зталлических ЭУ, кипящие реакторы, а также термоэлектрогенера-эры (ТЭГ), применяемые в установках с прямым преобразованием томной энергии в электроэнергию. По подобию класса уравнений в руг рассматриваемых в диссертации задач попадает проблема решетя на ЕМ процессов сварки и наплавки металла, а также задачи шьтрации в гидротехнике.

У ПГ транспортных атомных ЭУ по паро-водяному тракту можно еделить экономайзерный, испарительный и пароперегреватель-лй участки. Границы между этими участками в зависимости от эдводиной и отбираемой от ПГ мощности изменяются во вре-

мени. Данные границы характеризуют одновременно переход от одт го фазового состояния рабочего тела в другое.

В ТЭГах сталкиваемся с проблемой разработки математической модели для многослойной композиции разнородных материалов с учетом градиента температур вдоль греющего и охлаждающего контуров и с учетом эффектов Джоуля, Пельт-ье, Томсона и Зеебека, которая позволила бы получить его динамические характеристики как объекта управления.

С математической точки зрения модели объектов ЭУ с переменными границами фазовых переходов представляют собой смешанную задачу для систем уравнений в частных производных с переменной областью определения по пространственной координате. Уравнения движения подвижных границ в нестационарных режимах неизвестны. Границы фазовых переходов заданы неявно на самой структуре уравнений.

Проблема решения систем нелинейных уравнений в частных производных смешанного типа с переменной областью определения по пространственной координате имеет свою историю. Впервые такая проблема возникла в теории теплопередачи в связи с постановками задач Стефана и известна как Стефановекая проблема, а также с задачами фильтрации в гидротехнике - задача Веригинг В вышеназванных задачах переменная граница обычно определена одним из законов, например, Дарси в задачах фильтрации.

В рассматриваемых в работе математических моделях как в сосредоточенных, так и в распределенных параметрах с переменными границами фазовых переходов законы движения границ неизвестны. Учитывая вышесказанное, решение подобных задач с переменными границами на ВМ производится методом последовательных приближений с "размазыванием" теплотехнических параметров по границе фазового перехода, что усложняет моделирование подобных задач в реальном масштабе времени.

Применяемые в настоящее время математические модели паро< генераторов в сосредоточенных параметрах для многих режимов работы ЭУ и задач исследования не удовлетворяют требованиям точности. При отсутствии экспериментальных данных погрешность такой модели может быть оценена только сравнением с "эталоном Таким "эталоном" может быть решение математической модели в распределенных параметрах, полученной при минимальных допуще-

:ия. ■ Необходимо также учитывать, что "эталон" решения необхо-;имо тесть при разработке комплексной системы автоматического •правления (КСАУ) на стадиях эскизного и технического проекти-ювания, когда достоверные экспериментальные динамические харак-'еристики отсутствуют.

Вышеуказанное говорит о необходимости иметь обобщенные декватные модели ЭУ для всех режимов работы и численные методы IX решения.

Актуальность данной проблемы вытекает из "Энергетической [рограм.ми" научно-технического прогресса Ленинграда и Ленинградской области на период 1986-20С0 гг. по "Повышению эффективности ■опливно-энергетического комплекса страны" и непосредственно фоблемн развития атомной энергетики.

Цель работы.

Диссертационная работа посвящена решению следующей важной ) научно;.! и практическом отношении проблемы: разработать теоре-'ические основы получения адекватных, обобщенных математических юделей и численные методы моделирования в реальном масштабе ¡ремени нестационарных систем уравнений с переменными границами заэошх переходов объектов энергетических установок на вычисли-'ельных машинах.

Методы исследования.

При проведении исследований используются методы математи-. геского, имитационного, численного и натурного моделирования, шпарат булевой алгебры, математической физики, численные методы зешения систем неоднородных линейных и нелинейных алгебраических фавнений, численные методы решения систем нелинейных обыкновении дифференциальных уравнений, систем нелинейных уравнений па-«аболического и гиперболического, а также смешанного типов, ме-?оды проверки счетной устойчивости разностных схем и оценки точ-юсти аппроксимации, методы-квадратуры с использованием разложе-1ия по ортогональны!.! полиномам, а также методы технической кибернетики анализа адекватности математических моделей объектов травления.

Основные математические модели и разработанные в работе меленные методы проверены и подтверждены экспериментально на эеальньгх объектах ЭУ.

Научная новизна.

Новые научные результаты, полученные в работе, состоят в следующем:

1. Получены обобщенные, адекватные модели основных объектов водо-водяных, жидкометаллических установок и установок с прямым преобразованием атомной энергии в электроэнергию на основе термоэлектрогенераторов:

- двухзонного и трехэонного парогенераторов как в сосредоточенных, так и в распределенных параметрах с учетом гидродинамики двухфазной среды испарительного участка;

- термоэлектрогенераторов с учетом распределенности параметров и градиентов температур со стороны греющего и охлаждаю щего контуров с учетом эффектов Зеебека, Пельтье. Томсона и Джоуля;

- токов утечки и потерь энергии в ТЭГах;

- аккумулирующей способности металла стенок в объектах ЗУ;

- тепловых процессов при дуговой сварке и наплавке металла

2. Разработан аналитический метод исследования величины токов утечки и потерь энергии в ТЭГах.

3. Получена методика расчета стационарного поля температур и переменных границ для парогенераторов.

4. Разработана методика и предложен метод сведения систв! уравнений в частных производных смешанного типа с неявной и переменной областью определения по пространственной координат! к задаче Коти с одной и с двумя переменными границами.

5. Предложен метод сеток с "подвижными" узлами решения н: ЭВМ систем уравнений в частных производных сметанного типа с переменной областью определения по пространственной координат« применительно к задачам атомных ЭУ и исследования процессов сварки.

6. Разработан способ и изложена методика сведения систем одномерных и двумерных нелинейных уравнений параболического .'ипа к системе нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, используя разложение в квадратуные формулы по ортогональным полиномам Лежандра.

7. Выполнен анализ методов аппроксимации и решения на ЭН

б

:истем уравнений объектов ЭУ с одной переменной границей облачи определения.

8. Изложена методика уточнения уравнений в сосредоточенных [араметрах путем введения краевых производных из уравнений в ^определенных параметрах, используя разложение в квадратурные юрмулн полиномов Леяандра.

9. Предложенные в работе методы позволяют моделировать ЭУ i реальном масштабе времени на вычислительных машинах совмест-га со структурой управления.

Прт.ктическая ценность.

Большинство полученных в работе теоретических результатов юведенн до конкретных инженерных методик и проиллюстрированы иогочисленными примерами расчетов энергетических установок. Основные практические результаты работы сводятся к следующему:

1. Полученные обобщенные математические модели парогенерато-юв, теплообмена в активной зоне реактора, теплоэлектрогенера-■ора обобщены на ПГ любых конструкций.

2. Разработанные методы и методики решения уравнений объек-■ов ЭУ с переменными границами фазовых 1.ереходов позволяют сс-ледовать их динамические характеристики как самостоятельно, 'ак и в структуре ЭУ в целом с учетом структуры работы систем .втоматического управления (регуляторов, систем логико-диагно-:тического управления).

3. Изложенная методика уточнения уравнений в сосредоточенных :араметрах путем введения краевых производных из уравнений в 1аспредоленшх параметрах позволяет моделировать уравнения объ-ктов ЭУ на цифро-аналоговых комплексах с большей точностью.

4. Разработанный математический метод исследования нестацио-;арных процессов термоэлектрогенератора пригоден для термо-лектрогенораторов любых конструкций.

5. Расчет уравнений ТЭГ предложенным в работе методом на

•ВМ требует на (40 + 50)7, меньше машинного времени по сравнению

методом сеток и позволяет моделировать уравнения в частных роиэводных на аналоговых вычислительных машинах, поскольку ешаемая задача сводится к задаче Коли.

6. В работе получены обобщенные модели физических процессо следующих объектов:

- трехзонного ПГ с водо-водяным теплоносителем,

- двухзонного ПГ с жидкометаллическим теплоносителем,

- термоэлектрогенераторов,

- величины токов утечки и потерь энергии в термоэлектрогенераторах,

- аккумулирующей способности металла стенок в каналах объектов ЭУ,

- тепловых процессов при дуговой сварке и наплавке металла.

7. Полученные методы и методики использовались при создании систем управления и решении моделей водо-водяных и жкдеометал-лических установок для отработки возможных законов и структур систем управления, при создании тренажеров, при проведении меж ведомственных испытаний (МВИ), при проектировании робототехни-ческих комплексов (ВНИИ ЭСО, Минэлектротехпром, г.Ленинград).

Реализация результатов работы.

Результаты работы использованы при выполнении научно-исследовательских и проектно-конструкторских работ при проектировании систем управления водо-водяных и жидкометаллнческих установок в организациях: НПО "Аврора", ЦНИИ им.акад.А.Н.Крылова, опытно-конструкторских работ по созданию систем управления энергетических установок с прямым преобразованием атомной энергии в электроэнергию с помощью термоэлектрогенераторов при создании математической модели водо-водяной энергетической установки и отработки алгоритмов управления, а также при проведении межведомственных испытаний при выполнении проектно-конструкторских работ во Всесоюзном научно-исследовательском институте электросварочного оборудования (ВНИИЭСО, г.Ленинград), в Институте геофизики им.С.И.Субботина АН СССР и при вы полнении научно-исследовательских работ.

Предложенные в диссертации численные методы и ыатематичес , кие модели оформлены в виде пакета программ и внедрены на пред приятиях'НПО "Аврора". (г.Ленинград), ВНИИЭСО (г.Ленинград).

Апробация работы. Результаты работы докладывались и обсу* дались: на Всесоюзной конференции по судовой электротехнике и

технологии (г.Ленинград, 1969), на 1У и У конференциях НТО 'Судпром" (г.Ленинград, 1971, г.Севастополь, 1973), на семина-зе в Институте проблем управления (ИЛУ) АН СССР (г.Москва, [974), на междуведомственном семинаре ИЛУ АН СССР (г.Москва, [973), на семинаре кафедры "Судовой автоматики и измерений" [Ленинградский кораблестроительный институ, 1980), на семинаре кафедры ТЭУ (Ленинградский политехнический институт, 1980), та семинаре ВНШЭСО (1982 г.), на ХХХ1У итоговом совещании по работам в области сварки (г.Ленинград, ЛПИ, 1983), на семинаре 1ИИАН АН СССР (г.Ленинград, 1985).

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 70 ра-5от, основные результаты работы отражены в 22 печатных трудах. Зреди них два авторских свидетельства.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Изложена на 369 цистах: из них 64 листа - рисунки, 13 листов - таблицы и 24 ли-зта - литература.

Краткое содержание работы

Во введении выполнен обзор литературы по исследованию нестационарных процессов объектов ЭУ с распределенными и сосредоточенными параметрами, по исследованиям нестационарных режимов работы ТЭГ, приближенным численным методам решения систем нелинейных уравнений в обыкновенных и частных производных с переменной областью определения, а также сформулированы цели и задачи диссертационной работы.

Первая глава диссертационной работы посвящена обобщению уравнений нестационарных режимов работы объектов ЭУ с переменными границами фазовых переходов и термоэлектрогенераторов.

Парогенератор (ПГ), в котором происходит передача тепловой энергии теплоносителя первого контура теплоносителю второго контура, является одним из наиболее сложных в математическом отношении динамических звеньев пароэнерготической установки (ПЭУ). По второму контуру ПГ можно выделить три участка с различными фазовыми состояниями:

- экономайзерный участок - вода под давлением,

- испарительный участок - пароводяная смесь при температуре насыщения,

- пароперегревательный участок - перегретый пар.

Адекватное математическое описание парогенераторов для

обобщенной схемы типа "труба в трубе" приводит к необходимости рассмотрения и решения краевой задачи для системы дифференциальных уравнений в частных производных смешанного типа с неявной и переменной областью определения по пространственной координате К такой эквивалентной системе, используя данные теплогидравли-ческих расчетов для стационарного состояния, могут быть приведены большинство ПГ с естественной и принудительной циркуляцией с одной и с двумя переменными границами.

При принятых в работе допущениях уравнения тепловой динамики ПГ с двумя переменными границами, в общем случае, могут быть описаны системой уравнений: пароперегревательный участок -

(2) (3)

(апф-сЛч -^)П(вз-7,Ь (I)

(О ^ = кГМЭгЪ) - кл ,

испарительный участок - * ^ (з^а^Й

- - -Ц, ' (б)

^[тг." ) = 5+>

экономайзерный участок - х^о^г^-с))

= (7)

При соответствующих граничных

ъм-ы*^)* • (ю)

. П -п-н, (2-Я ()2).

10

'.2 температура насыщения,

и начальных условиях

- -- , < (X), (£ =<2,3), (II)

коэффициенты: К "(<*), , К(и<^ ? , Ка(&6) -

в общем случае, переменные.

В качестве функций распределения температуры на экономай-зерном, испарительном и пароперегревательном участках (¿ = I, 2, 3), соответственно температуры теплоносителей первого контура, стенки, водо-пароводяной смеси и перегретого пара, рассматриваются достаточно гладкте функции.

Трудность решения такой задачи для ПГ ЭУ обусловлена переменностью во времени границ экономайзерного с испарительного участков (?2('г:) и 2((Г)), определяемых неявным образом исходной системой уразкений (I 4-9), системой начальных (II) и граничных (10) условий. Переменность границ во времени обусловлена перемещением последних в зависимости от количества подводимой и отводимой тепловой мощности ПГ. Законы изменения границ во времени неизвестны.

В уравнениях (I + II) приняты следующие обозначения:

- переменные длины экономайзерного и испарительного участков; А - длина ПГ;су,д-- относительный расход теплоносителя и пара; С - теплоемкость; У- плотность; площадь;^-- периметр; ь - толщина; <-п , , ¡- - теплосодержание перегретого пара, насыщенного пара, воды; &- расход;У3 - коэффициент объемного паросодержания; с - время; индексы: т - теплоноситель, ст -стенка, п - перегретый пар, в - вода,Х-к°0рЭината-,р-эа8"вние.

Для исследования нестационарных тепло-гидравлических процессов ПГ сделан вывод в удобной для решения на ЭВМ форме уравнений гидродинамики двухфазной среды испарительного участка с учетом распределенности параметров:

ар

аг

14

А \ аР

ьат

(13)

Зи/'

а? а-с

ЭР

Тк >/

агг"

«эр

г ЭГ ар

(14)

■о-я

эУ ар

-1

ЭУу7 ЭХ "

%

В уравнениях (12 4- 14) обозначено: V/ - скорость воды; К'пр- коэффициент проскальзывания; Р - давление; Ч3 - доля проходного сечения канала, занимаемая насыщенн паром; х - координата; т - время; У", й'1 - плотности насыщенног пара, воды; сь= сь( р ), (¿ = I, ..., 8) - коэффициенты; = = <=Ы у' , Г",^' , 1-", р. К'пр) - коэффициенты ( у= 1.....8).

Далее выведены приближенные уравнения гидродинамики испар тельного участка с допущением, что давление двухфазной среды н является функцией координаты и температура стенок труб,равна температуре насыщения.

При моделировании комплекса взаимосвязанных объектов ЭУ средствами вычислительной техники возникает проблема упрощени? системы уравнений, описывающей нестационарные режимы работы, при условии сохранения допустимой адекватности. Особенно острс встает вопрос получения приближенной модели при создании "эле! тронного имитатора" на основе аналоговых вычислительных машин (АВМ), которая используется для отработки структуры систем управления, отработки алгоритмов, создания тренажеров. Поскол! возможности АВМ для решения систем уравнений в частных производных ограничены, то желательно рассмотреть способы получени, . приближенных уравнений нестационарных режимов объектов с пере менными и неявными границами области определения. Вышеизложен ные вопросы рассмотрены для математической модели двухзонного ПГ с учетом распределенности параметров для одной переменной границы в зависимости от степени приближения подинтегральной функции:

- среднеарифметическим значением на заданном переменном промежутке изменения,

- значением функции на выходе переменного промежутка изме-

- значением функции на концах переменного промежутка изменения с учетом скорости ее изменения на них, используя квадратурные формулы разложения по ортогональным полиномам Лежандра.

Для сравнения и оценки погрешности в различных режимах работы сделан вывод уравнений динамики трехзонного ПГ в сосредоточенных параметрах с двумя переменными границами, который описывается системой нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений.

Поскольку увеличение мощности и эффективности ТЭГов обуславливает необходимость учета градиента температур по поверхностям теплообмена, возникающего вследствие охлаждения теплоносителя и нагрева охладителя при конечных значениях их расходов, сделан вывод математического описания нестационарных процессов в ТЭГах для двумерного случая, т.е. с учетом градиента теипера-тур вдоль греющего и охлаждающего контуров.

В соответствии с принятыми допущениями нестационарные процессы ТЭГ описываются системой неоднородных нелинейных уравнений параболического типа:

нения,

(15)

(16)

эс л

>

(17)

при соответствующих начальных и граничных условиях

(18)

(21)

(20)

(19)

и условиях сопряжения между слоями термоэлементов:

Х = 6], (23)

(25)

В уравнениях (15 25) приняты следующие обозначения:

- функции распределения температуры; X, У - координаты; Т- время;^^- коэффициенты температуропроводности материалов ТЭГ,^,-^- коэффициенты теплопроводности ;Т^ел- температура теплоносителя ТЭГ;7~ - температура охладителя; 1ГГ - изменение температуры за сек., вызванное теплотой джоуля,плотность те плового потока, обусловленная теплотой Пельтье, поглощаемой на горячих спаях термоэлементов;^ - плотность теплового потока, обусловленная теплотой Пельтье, выделяющейся на холодных спаях термоэлементов; К= - коэффициент; коэффициент теплообмена. т

Электрические характеристики ТЭГа (ток напряжение

-13

мощность - р ) выражены через функции распределения температуры для следующих трех расчетных схем:

- термоэлементы соединены последовательно, нагрузка ТЭГ -активная, токи утечки через электроизоляцию пренебрежимо малы, электрические характеристики выражаются через среднеинтеграль-ное представление функций распределения температуры;

- термоэлементы соединены последовательно, нагрузка ТЭГ активная, необходим учет токов утечки, электрические характеристики выражаются через среднеинтегральное представление функций распределения температуры;

- термоэлементы соединены последовательно, нагрузка ТЭГ активная, токи утечки через электроиэоляцию пренебрежимо малы, электрические характеристики выражаются через функции распределения температуры из условия постоянства градиента температуры вдоль направления потока на рассматриваемом участке разбиения.

В конце первой главы изложен приближенный аналитический метод исследования величины токов утечки и потерь энергии в ТЭГ и приведены экспериментальные данные по нахождению тока утечки и потерь энергии.

Во второй главе рассмотрены численные методы сведения систем уравнений в частных производных с неявной и переменкой областью определения по пространственной координате к задаче Ноши.

Предложен хорошо сходящийся алгоритм расчета стационарного поля температур и переменных границ модели ПГ в сосредоточенных параметрах и расчета стационарного поля температур ГЭГ с плоскими термоэлементами с учетом распределенности параметров.

Сущность предложенного в работе метода решения систем уравнений с неявной и переменной областью определения по пространственной координате состоит в нахождении явного дифференциального уравнения для переменных границ фазовых переходов и сведения исходной задачи к задаче Коши. Получаемая таким образом система обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений совместна.

Уравнение для изменяющейся во времени границы испарительного участка ^ ) получим из уравнения (9), которое рассмотрим в точке X =2,_0('г). Учитывая, что -Ь^ = Для рассмат-

риваемого ПГ, запишем выражение полного дифференциала:

_ I ^«¿-с + <£т. сАТ ат 1Х_,

При ^ ) индекс -о" означает, что производная рассматривается в точке X = (т), вычисленная со стороны экономайзерной зоны.

Подставив выражение [ из (26) в уравнение (9),

получим: 'х=г,-0

На границе экономайзерного и испарительного участков имеем Из выражения (28) следует:

• (29)

оПГ Эр о(.С

Подставив (29) в (27), получим уравнение для переменной границы закипания:

I-эЗГ1х=^ ат1х

1 < , ^ (30)

»■да п л эх1л=г-°

Уравнение переменной границы перегретого пара - '£,(выводится из уравнения (3). Для пароперегревательного участка-¿3 = , выражения полного дифференциала записываются

для точки X =

^ = (31)

При ^) индекс \о* означает, что производная рассматривается в точке X = Ег("С"), вычисляемая со стороны пароперегревательного участка.

На границе испарительного и пароперегревательного участков

(32)

откуда

(33)

с1Т ар «¿т

Подставив выражение гйНхгН из в УРавнение (3) и

учитывая выражение (33), получим уравнение для переменной грани цы пароперегревательного участка

_ /и _ ^^Л/г+х, (34)

-Рр "«¿т -ьр -СУ Я^п +

их 1 Х-2

Для сведения системы уравнений в частных производных к задаче Коши.используется метод сеток с "подвижными" узлами. Сущность метода сеток с "подвижными" узлами состоит в том. что

аждый из участков ПГ (I + II) разбивается соответственно на коечное количество равных интервалов, длины которых являются функ-,иями времени: экономайзерныЯ на п. , испарительный на т., а паро-ерегрзвательный на к частей соответственно.

х^.ах^.-^и, = , (35)

= (* ^ а -- ад+ х. (т) = н2 &+д х у =^ и+у (^лМ 3?)

Функции, заданные на системе уравнений (I + II), соответственно температуры теплоносителя первого контура стенки -7^-I второго контура --¿-¿(1= I, 2, 3), будем рассматривать в "под-зижных" узлах (35 + 37).

Найдем дифференциальные уравнения, которые определяют тем-1ературы в "подвижных" узлах участков. Поскольку все температуры (77 , 1= I, 2, 3), условно обозначаемые в дальнейшем через и.^* С^),^ для сокращения записи ; являются функциями координаты и времени, запишем выражения полного дифференциала г Ъи.СХ1) cLXL Г/г. Эи(Х;)

са4Л(т);<г] = - ^^тч- _- (38)

где I У(о^г)

Подставив в уравнение (38) значения ^ из (35 + 37) для соответствующих участков, получим

о (т)

эЩк) эи(х4 Г I (39)

а-с = с(.т эх I- п. алг J ^

2,(5)-^Гг (Я

Э¿.иСъ) -ъи-сх^ гаг. (40)

-С.Т ЭХ 1737Е~0 т.'сие А >

£^1= - Г (41)

•отг с^т ЪХ >

После замены частных производных по времени в исходных уравнениях (I + II) полученными выражениями (39 * 41) в соответствии

с типом участка и введения конечно-разностных соотношений с соблюдением условия устойчивости счета и выведенных уравнений для переменных границ мы получим систему нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений.

Из рассмотрения введенной сетки видно, что ее размеры для задач с переменной областью по пространственной координате являются функциями времени. Если ввести конечно-разностные схемы для решения уравнений в частных производных без учета зависимости скоростей изменения длин участков, то конечно-разностные уравнения не содержат членов с производными от переменных длин по времени. Отсутствие в решаемой конечно-разностной системе уравнений таких членов приводит к неучету нестационарности переменных границ, а, следовательно, они отражают только одно из приближений влияния переменности границ на распределение температур и других величин в ПГ.

Б данной главе рассмотрена также методика введения систем уравнений в частных производных с неявной и переменной областью определения по пространственной координате к задаче Коши для ПГ с одной переменной границей.

При совместном решении уравнений в частных производных ПГ ЭУ с переменными границами как тепловой динамики, так и уравнений гидродинамики двухфазной среды испарительного участка имеются особенности.

Уравнение для изменяющейся границы начала испарительного участка выводится аналогично изложенному выше.

Уравнение переменной во времени границы перегретого пара выводится из уравнения для коэффициента объемного ("Г) или весового СХ) паросодержания в точке X = 2г.

Поскольку^ = ^, записывается выражение полного дифференциала для4?, которое рассматривается с учетом =

= 0ичР(1а,Т) = 1на концах участка. Для сведения системы уравнений для давления, объемного паросодержания и скорости пара к задаче Коши вводится, аналогично изложенному, сетка с "подвижными" узлами конечно-разностной схемы. Если исследователя устраивает гидродинамическая модель испарительного участка ПГ в сосредоточенных параметрах, то уравнение для ?2 находится из уравнений тепловой динамики.

Третья глава посвящена применению формул квадратуры разло-кения по ортогональным полиномам Лежандра для интегрирования систем уравнений в частных производных.

Во многих задачах физики и техники возникает необходимость при интегрировании функции использовать ее значение и производные до "к " порядка включительно только в двух предельных точках интервала определения. Это особенно важно для кранвых задач атомной энергетики. Обычное разложение в ряд Тейлора использует разложение функции бесконечно близко к одной точке интервала определения, что во многих случаях не удовлетворяет исследователя. Квадратурные формулы разложения по ортогональным полиномам Лежандра позволяют выразить интеграл вида через значение подинте-

гральной функции 3 (* ) и ее производных по X на концах промежутка интегрирования.

ТЛ

к к|(_п--«)1 ' - порядок аппроксимации.

Для решения систем нелинейных уравнений параболического типа путем сведения к задаче Коши предлагается использовать квадратурные формулы разложения по ортогональным полиномам Лежандра.

Сущность данного метода в применении к системе уравнений в частных производных состоит в том, что решение исходной системы сводится к решению системы обыкновенных дифференциальных уравнений от одной независимой переменной. При этом получаемая система имеет, обычно, сравнительно небольшой порядок.

Рассмотрим уравнения ТЭГ в виде:

ат -Л э х*-

эиг э / -г эиэ х (42)

(47)

при соответствующих начальных и граничных условиях

и ¿. (*»«>)*?£.(*)> (¿=1,2,3) (43)

и условиями сопряжения между слоями разнородных материалов:

* = *<> (46)

^ -л ^ Ч»

Выходные параметры ТЭГ: ток (X), напряжение (II) и мощное (Р) определяются следующим образом:

1 =----->

гпг ? > Р

Рассмотрим применение методики только для первого уравнения системы (43 + 45).

Проинтегрируем первое уравнение (42) в пределах отХоДоХ^

^^-"иМ""^*01*' (48

Затем проинтегрируем ото уравнение дважды: один раз от X«, до х а второй раз - от до : х,, *

Хо

Далее интегрируем это уравнение трижды: два раза от хо до X и третий раз - от хв до :

Хо Хо *о

Используя квадратурные формулы, двойной интеграл в форму-ле^(49) выразим чертз одиночный при П. = 3, считая за 5"(х) =

= \и.с!-х ( а в уравнении (50) - тройной через одиночный при

п.= 4, считая 3*(х) = \cLxjй-л¿-х и введем обозначения:

X о Хо Уч

(51)

Введя обозначения (51) и дополнив систему уравнениями (45, 46), получим:

-га « ь.,(Тгепл-г4),

_ ( _ у в) г2 *,-*-) я Ч X - ¿Г

Как видно, в результате выполненных преобразований получена система нелинейных уравнений первого порядка в обыкновенных дифференциалах.

Начальные условия для записанной системы имеют вид:

(53)

Л О

В уравнениях (52) приняты обозначения: 1 / ах '

эгг ^ у

На примере одномерных нелинейных систем уравнений параболического типа термоэлектрогенератора изложена методика преобразования их в систему нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, используя квадратурные формулы. В результате выполнения преобразований получается система нелинейных уравнений первого порядка в обыкновенных дифференциалах, которая легко решается известными численными методами на ЭВМ и АШ.

Предложенная в работе методика распространена на решение двумерного уравнения параболического типа на примере уравнения конечного стержня ^83 , используя двойное разложение по квадратурным формулам ортогональных полиномов Лежандра координат X и У, что позволяет составить стандартные программы решения на ЭВМ двумерных параболических уравнений с различными граничными условиями.

Используя систему нелинейных двумерных уравнений ТЭГ с плоскими термоэлементами, изложена методика сведения их к систе-•ме обыкновенных дифференциальных уравнений, с применением двойного разложения по квадратурным формулам координат X и У.

Минимальные упрощающие допущения обычно принимаются при выводе уравнений нестационарных режимов работы объектов ЭУ для получения математических описаний в виде системы нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных, называемых обычно системой уравнений в распределенных параметрах. Решение такой

системы при моделировании комплекса взаимосвязанных технических средств (ТС) ЭУ на ЭВМ затруднительно из-за высокого порядка системы и необходимости введения сетки по координатам X, У, 2 и времени т . Для упрощения решения задачи обычно переходят к составлению математического описания в виде системы обыкновенных линейных или нелинейных уравнений, т.е. к сосредоточенным параметрам, вводя упрощающие допущения. Однако в этом случае мы не получаем адекватности математического описания объекта из-за больших погрешностей, вносимых принятыми допущениями.

Учитывая вышеизложенное, в данной главе изложен один из возможных способов уточнения уравнений в сосредоточенных параметрах путем введения краевых производных из уравнений в распределенных параметрах, используя разложение по квадратурным формулам полиномов Лежандра на примере уравнений теплообмена в активной зоне реактора как объекта регулирования.

В случае необходимости для уточнения математической модели в сосредоточенных параметрах могут быть введены производные в краевых точках выше первого порядка.

В последнем параграфе третьей главы выполнзн анализ и сделано обобщение математических моделей, учитывающих аккумулирующие способности металла стенок и корпуса в каналах атомных объектов ЭУ, как в сосредоточенных, так и в распределенных параметрах.

В четвертой главе приведены экспериментальные и расчетные результаты исследований нестационарных режимов работы объектов атомных ЭУ и сделана оценка сходимости, точности и устойчивости предложенных численных методов.

Для подтверждения предложенного математического описания нестационарных режимов работы ТЭГ была собрана лабораторная установка и проведены экспериментальные исследования.

Полученные экспериментально переходные процессы реакции ТЭГ на линейное возмущение по греющей среде и их сравнение с аналитически полученными дробно-рациональными передаточными функциями показали, что порядок численных значений постоянных времени в аппроксимирующей передаточной функции математического описания ТЭГ правилен и погрешность между расчетными и экспериментальными переходными процессами не превосходит:

- в режиме нагрузки ТЭГа .... 11%.

Экспериментально снятое статическое распределение температурного поля в ТЭГе подтверждает правильность принятого допущения но результатам расчета на ЭШ о возможности пренебрежения перепадом температур на стенках трубопровода и коммутационных пластинах по сравнению с перепадом температур, получаемом на изоляционном и полупроводниковом материале.

• Погрешность расчетов нестационарных режимов работы ТЭГ по системе нелинейных неоднородных уравнений в частных производных на ЭВМ и по приближенным дробно-рациональным передаточным функциям не превосходит 5°о. 1

По полученным аналитическим соотношениям для расчета стационарного поля температур и переменных границ для парогенераторов в распределенных параметрах как с одной, так и с двумя переменными границами были выполнены расчеты для водо-водяной и жид-кометаллической установок. Выполненные расчеты подтверждают правильность аналитических соотношений и допустимость получаемой погрешности из-за принятых допущений при выводах.

Выполненные исследования по предлагаемому алгоритму расчета стационарного поля температур и переменных границ для модели ПГ в сосредоточенных параметрах для стенда ЭУ подтвердили хорошую его сходимость и правильность результатов.

Выполненные расчеты парогенератора жидкометаллической установки, используя предложенный в работе способ сведения систем уравнений в частных производных с переменной областью определения по пространственной координате к задаче Коши, подтвердили его правильность. Расчеты показали устойчивость предлагаемого способа, а, следовательно, и метода сеток с "подвижными" узлами.

Результаты сравнения математических моделей ПГ жидкометаллической установки показали что модель в сосредоточенных параметрах по сравнению с моделью в распределенных параметрах на принятые в работе возмущения дает следующие погрешности:

- по температуре в среднем на 103,

- по относительному расходу - на 70?,

- по переменной длине испарительного участка на 8СЙ.

Моделирование на ЭШ алгоритмов "Сброс аварийной защиты I

рода" (сброс АЗ-1 рода) и быстрое снижение мощности по специальной программа со ЮОТ, до 4% (ВС?,! СП ЮСЙ до А%) еще раз подтвердили предложенный в работе способ решения систем уравнений в

частных производных с переменной и неявной областями определения по пространственной координате.

Расчет системы нелинейных неоднородных уравнений параболического типа ТЭГа выполнен двумя методами: методом сеток и применением формул квадратуры разложения по ортогональным полиномам Лежандра.

Выполнено сравнение точности решения по аппроксимирующим дробно-рациональным передаточным функциям ТЭГа с решением методом сеток на ЭВМ. Погрешность не превышает

Расчет способом сведения нелинейных неоднородных систем уравнений параболического типа ТЭГа в систему нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений с использованием формул квадратуры требует в среднем на (40 * 50)^ меньше машинного времени по сравнению с методом сеток и упрощает также моделирование уравнений в частных производных на аналоговых вычислительных машинах (АЕМ), поскольку решаемая смешанная задача сводится к задаче Коши.

Выполненные расчеты данным методом показали хорошую его сходимость и устойчивость счета.

Введение уточнений в уравнения теплообмена в реакторе в сосредоточенных параметрах путем учета краевых производных из уравнений в распределенных параметрах, используя два первых члена разложения квадратурных формул, снизило погрешность в переходном режиме в среднем на 4%.

Оценка погрешности решения методом сеток с "подвижными" узлами систем уравнений в частных производных сделана для задачи о движении границы раздела двух сред. Данная задача при определенных граничных условиях имеет аналитическое решение, что позволяет сделать оценку погрешности предлагаемого метода. Максимальная суммарная погрешность на границе раздела сред (2) по сравнению с аналитическим значением (Н ) составила 0,00692, а максимальная суммарная приведенная погрешность - 0,00478. Данные оценки получены для количества подвижных узлов в твердой и жидкой фазе и = = т = Ю и времени интегрирования аг = 10~°с.

Аналитическая оценка погрешности методом квадратур, используя разложение по ортогональным полиномам Лежандра, показала, что коэффициенты матрицы в нормальней системе в форме Коши являются, в общем случае, полиномами различной степени от величины дискретизации по пространственной координате. В этом случае погрешность

интегрирования такой системы зависит не только от величины квантования по времени, но и от величины дискретизации по пространственной координате. Учитывая нелинейную зависимость коэффициентов матрицы от величины дискретизации по пространственной координате, оценку погрешности целесообразно проводить расчетами на ЭВМ.

Оценка устойчивости счета, как показано в работе, производится для однородной системы уравнений известными методами теории для систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

В заключение 4 главы изложены результаты обобщения и систематизации математических моделей объектов ЭУ, а также изложены требования и дано описание пакета прикладных программ моделирования ЭУ на вычислительных машинах.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Основные научные и технические результаты работы состоят в следующем:

1. Разработаны теоретические основы получения адекватных и обобщенных математических моделей следующих объектов атомных энергетических установок как с учетом распределенности параметров, так и в сосредоточенных параметрах:

- трехзонного парогенератора установок с водо-водяным теплоносителем с выводом уравнений гидродинамики испарительного участка;

- двухзонного парогенератора установок с жидкометаллическим теплоносителем;

- термоэлектрогенераторов с плоскими термоэлементами с учетом распределенности параметров для трех расчетных схем.

2. Сделано обобщение влияния аккумулирующей способности металла стенок в каналах объектов энергетических установок на динамические характеристики.

3. Для решения Стефановской проблемы разработан метод сеоок с "подвижными" узлами моделирования систем уравнений смешанного типа с неявной и переменной областью определения по пространственной координате (фазового перехода), который апробирован на:

- решении систем уравнений в распределенных параметрах парогенераторов водо-водяных и жидкометаллических установок;

- решении задачи о движении границы раздела двух сред при упругом режиме, используемой в гидротехнике и при эксплуатации нефтеносных и газоносных пластов (задача Н.Н.Веригина);

- решении уравнений тепловых процессов при сварке и наплавке металлов.

4. Получена методика преобразования одномерных и двумерных нелинейных систем уравнений параболического типа на примере конечного стеряня- в систему обыкновенных дифференциальных уравнений, используя^разложение по полиномам Лежандра.

5. Разработан метод интегрирования с использованием разложения по ортогональным полиномам Лежандра систем нелинейных неоднородных двумерных уравнений параболического типа термоэлектрогенератора в установках с прямым преобразованием атомной энергии в электроэнергию.

6. Предложен аналитический метод исследования величины токов утечки и потерь энергии в термоэлектрогенераторах.

7. Разработана методика уточнения уравнений в сосредоточенных параметрах путем введения краевых производных из уравнений в распределенных параметрах, используя разложение по ортогональным полиномам Лежандра.

8. Разработанные методы и методики нашли практическое применение в конкретных системах управления при выполнении научно-исследовательских и опытно-конструкторских работ в организациях: ШО "Аврора", ЦНИИ юл.акад.А.Н.Крылова, опытно-конструкторских работ по созданию систем управления энергетических установок с прямым преобразованием атомной энергии в электроэнергию с помощью термоэлектрогенераторов, при создании математических моде-1ей энергетических установок и стендов в НПО "Аврора", при моделировании процессов дуговой сварки и наплавки (ВНШЭСО, г.-Ленин-?рад), при выполнении работ в институте геофизики им.С.И.Субботина АН УССР.

Пакет прикладных программ по моделированию водо-водяных и сидкометаллических установок внедрен в НПО "Аврора" (г.Ленин-'рад), программы моделирования тепловых сварочных процессов пе-юданы в вычислительный центр ВНИИЭСО (г.Ленинград), метод сеток ! "подвижными" узлами внедрен для решения задач о движении фазо->ых границ в мантии Земли при исследовании тектонических меха-[измов образования и развития геологических структур в институте еофизики им.С.И.Субботина АН УССР.

2.7

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Соловьев Л.Е., Баранов А.П., Манасян Ю.Г. Расчетно-теорети-ческие исследования нестационарных процессов в термоэлектрогенераторах с использованием ЭВМ. - Инженерно-физический журнал (ШХ) АН БССР. - 1969. - Т. 17. - № 2.

2. Соловьев А.Е. Динамические характеристики термоэлектрогенератора с плоскими термоэлементами. - В тр.: Проблемы создания систем управления судовыми техническими средствами. - 1970. -

•■£.: Судостроение. - Вып.6.

3. Соловьев А.Е., Симаков И.П. Приближенное решение уравнений динамики прямоточного теплообменника на ЦВМ. - Инженерно-физический журнал (1Ш) АН БССР. - 1971. - Т.21. - № 6.

4. Соловьев А.Е. Математическое описание нестационарных режимов работы ТЭГ и ТЭХ с учетом распределенности параметров. - 1У конференция НТО "Судпром". - JI.: Судостроение, 1971.

5. Соловьев А.Е., Баранов А.П., Манасян Ю.Г. Математическое описание нестационарных.процессов в ТЭГ с учетом распределенности параметров. - ШК АН БССР. - 1971. - Т.21. - № 2.

6. Соловьев А.Е. Математическое описание нестационарных режимов работы ТЭГ с учетом распределенности параметров. - В тр.: ЦНИИ "Аврора". -JI.: Судостроение, 1972. - Вып. 15.

7. Соловьев А.Е. Приближенное решение системы уравнений параболического типа ТЭГ методом квадратуры Ланцоша. - Доклады III междуведомственного семинара ИЛУ АН СССР. - М.: 1973.

8. Соловьев А.Е., Моргуновская С.Х., Шеховцов A.A. Приближенное решение на ЦВМ двумерного параболического уравнения путем сведения к системе обыкновенных дифференциальных уравнений. -В тр.: 5 конференция НТО "Судпром". - Л.: Судостроение, -1973. - Вып.5.

9. Соловьев А.Е., Овечкин Ю.Д., Шифрин М.Ш. Количественные критерии сравнительной оценки приспособленности энергетических установок к автоматизации. - В тр.: Труды ЦНИИ "Аврора". -Л.: Судостроение, 1974. - Вып.23.

10. Соловьев А.Е., Бушмарин М.Н., Евтодьев А.И. Сравнение структур систем управления и регулирования энергетических устано вок по вероятности безотказной работы. - В тр.: Труды семинара ИПУ АН СССР. - М.: ИПУ АН СССР, 1974.

11. Соловьев А.Е., Манасян Ю.Г. Аналитический метод исследовани величины токов утечки и потерь энергии в ТЭГ. - Вопросы су-

28

достроения. - Л.: Судостроение, 1975. - Вып.9.

12. Соловьев А.Е. Аналитические соотношения для расчета стационарного поля температур и переменных границ в теплообменнике. - ИМ АН БССР. - 1979. - Т.35. - № 3.

13. Соловьев А.Е., Ященко Н.М. Решение задачи о движении границы раздела двух сред. - ИФЖ АН БССР. - 1981. - Т.П. - № 2.

14. Соловьев А.Е., Зайцев М.П., Колесников Л.П. Аналитический метод аппроксимации при измерении действующего значения сварочного тока. - В сб.: "Электросварка". - М.: Информэлектро. - 1981. - 3 3.

15. A.c. 3407869/25-27 СССР. Способ измерения коэффициента мощности однофазной контактной сварочной машиной / Соловьев А.Е., Колесников Л.П. / . - № I038I44. Заявлено 9.03.1982. Опубликовано 3.05.1988. - Бюллетень 32. - 3 с.

16. Соловьев А.Е., Колесников Л.П. Оценка погрешности метода аппроксимации при вычислении действующего значения сварочного тока. - В сб.: "Электросварка". - М.: Информэлектро. -1983. - :?> 6(81).

17. Соловьев А.Е. Метод сеток с "подвижными" узлами решения задач исследования процессов сварки. - В тр.: 34 итоговое совещание по работам в области сварки. - Л.: 1984.

18. Соловьев А.Е. Специальная тема. Диссертация кандидата технических наук. ВВМИОЛУ им.Ф.Э.Дзержинского. - Инв. № ЛБ-1720. -Л.: 1970. - 147 с.

19. Соловьев А.Е. Методика интегрирования систем нелинейных неоднородных уравнений параболического типа с использованием разложения в ортогональные полиномы Лежандра. Препринт № 8. -

,. Л.: ЛИИА АН СССР. - 1986.

20. Соловьев А.Е., Рунев О.В., Ткачев. Программы анализа эффективности проектных решений ГПС. - Препринт № 75. - Л.: ЛИИА АН СССР. № 1988.

21. Соловьев А.Е., Овсянников Е.К., Мячин В.Ф., Рунев О.В. Сравнительные критерии оценки экономической эффективности и научно-технического уровня проектных решений ГПС. Препринт № 27. - Л.: ЛИИА АН СССР,- 1987.

22. Соловьев А.Е., Попов В.Т., Жиров Ю.В., Марковская О.Д. Имитационное моделирование функционирования модулей ГПС для оценки их надежности. Препринт № 114. - Л.: ЛША АН СССР. - 1990.