автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.12, диссертация на тему:Методы анализа нелинейных интегральных радиотехнических схем в системах автоматизации схемотехнического проектирования

На правах рукописи УДК 681.3.06: 621.382

4052596

Ульянов Сергей Леонидович

Методы анализа нелинейных интегральных радиотехнических схем в системах автоматизации схемотехнического проектирования

05.13.12 - Системы автоматизации проектирования

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук

Москва-2011

1 СЕН 2011

4852596

Работа выполнена в Учреждении Российской академии наук Институте пробл' проектирования в микроэлектронике РАН.

Научный консультант

член-корреспондент РАН, доктор технических наук, профессор Русаков Серг Григорьевич.

Официальные оппоненты

доктор технических наук, профессор Норенков Игорь Петрович

доктор технических наук, профессор Казеннов Геннадий Георгиевич

доктор технических наук, профессор Соколов Александр Георгиевич

Ведущая организация

ФГУП «Научно исследовательский институт микроэлектронной аппаратур «Прогресс»

Защита состоится ««££» сентября 2011 года в 11 часов на заседании

диссертационного совета Д 002.078.01 при Учреждении Российской академии нау Институте проблем проектирования в микроэлектронике РАН по адресу: 12436 Москва, Зеленоград, ул. Советская, дом 3.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИППМ РАН, с авторефератом - н сайте ИППМ РАН www.ippm.ru.

Автореферат разослан « /<? » августа 2011 года.

Ученый секретарь Совета Д 002.078.01 по защите докторских и кандидатских диссертаций, к.т.н., доцент

Жаров М.М.

Общая характеристика работы

Актуальность исследования

Современный этап развития интегральных схем характеризуется переходом к элементам схем с глубоко субмикронными и нанометровыми размерами, применением элементов на новых физических принципах работы и появлением технологий, позволяющих создавать на одном кристалле смешанные (аналогово-цифровые) схемы и системы с высокой степенью интеграции. Области применения таких схем включают радиотехнические схемы и системы; схемы высокоскоростной беспроводной, цифровой и спутниковой связи; системы позиционирования; автомобильные радары и радары в авиации; схемы управления и дистанционного измерения в промышленности; схемы визуализации и многое другое.

Проектирование такой широкой номенклатуры аналоговых схем для радио и высокочастотных приложений невозможно без широкого применения систем автоматизированного проектирования (САПР), составной частью которых являются комплексы программ схемотехнического моделирования. Для успешного применения в процессе проектирования современные программы схемотехнического моделирования должны иметь в своем составе средства для проведения полного цикла расчетов основных характеристик аналоговых и радиотехнических схем. Наряду с традиционными видами анализа аналоговых схем, включая анализ по постоянному току, расчет переходных процессов, частотный анализ, анализ шумов, программы должны обеспечивать расчет периодического установившегося режима и расчет основных характеристик радиотехнических схем в периодическом режиме.

Проведенные до настоящего времени отечественными и зарубежными специалистами теоретические и практические исследования заложили основы для создания программного обеспечения автоматизации схемотехнического проектирования. Среди отечественных исследователей, внесших значительный вклад в создание математического обеспечения систем автоматизации схемотехнического проектирования, могут быть названы: Анисимов В.И., Архангельский А.Я., Баталов Б.В., Бсиенсон З.М., Ильин В.Н., Казеннов Г.Г., Норенков И.П., Петренко А.И., Петросянц К.О., Сигорский В.П., и другие. Прогресс в области специализированных методов

расчета радиотехнических схем связан с работами Ильина В.Н., Бененсона З.М., Норенкова И.П., Соколова А.Г., спектральных методов анализа и применением теории рядов Вольтерра - с работами Ланцова В.Н., Алексеева О.В., Соловьева A.A. и других.

Несмотря на достигнутый прогресс, существует необходимость в новых и более эффективных методах анализа аналоговых и радиотехнических схем. Эта потребность обусловлена появлением глубоко субмикронных и манометровых технологий, уменьшением топологических размеров элементов схем, повышением степени интеграции СБИС и повышением рабочих частот схем. Необходимость учета влияния паразитных элементов схем, электромагнитного взаимодействия и усложнение моделей для учета высокочастотных эффектов приводит к резкому росту сложности моделируемых схем. Применение низковольтного питания в схемах обуславливает рост нелинейности характеристик элементов схем. Таким образом, для моделирования схем, изготовленных по глубоко субмикронным и нанометровым технологиям, необходимо иметь методы позволяющие радикально повысить эффективность моделирования.

Разработка высокоэффективных методов и алгоритмов автоматизации проектирования радиотехнических интегральных схем является в настоящее время одним из наиболее актуальных научно-исследовательских направлений развития САПР. Диссертационная работа посвящена решению важной научно-технической проблемы - разработке новых методов и алгоритмов анализа нелинейных радиотехнических схем, которые позволяют создать программные средства для автоматизации схемотехнического проектирования современных радиотехнических интегральных схем на базе перспективных технологий.

Наиболее важным является анализ установившегося режима, по результатам которого рассчитываются основные характеристики радиотехнических схем. Высокая размерность задач в методе гармонического баланса определяется произведением двух факторов - размерностью схемы и числом гармоник, необходимых для моделирования. Применение прямых методов решения линейных алгебраических" систем не позволяет создать эффективные методы гармонического баланса для моделирования схем большой размерности. Использование итерационных методов решения линейных алгебраических систем устраняет это ограничение, однако с ростом нелинейности анализируемых схем применение известных реализаций метода оказывается невозможным вследствие резкого

роста вычислительных затрат. Это является основным препятствием использования метода для анализа установившегося режима и нелинейных искажений в сильнонелинейных схемах. Расширение возможностей метода гармонического баланса для анализа таких схем является актуальным направлением исследований современных методов моделирования и разработки на их базе программного обеспечения моделирования радиотехнических схем.

При проектировании схем для радио и высокочастотных приложений одним из основных требований является их линейность по отношению к полезному сигналу. Стандартные характеристики нелинейных искажений определяются при воздействии на схему одного или двух тестовых гармонических сигналов и включают : коэффициент гармонических искажений, коэффициенты пнтермодуляциоиных искажений второго или третьего порядка, точку компрессии на 1 дБ, точки интермодуляционных искажений второго или третьего порядка 1Р2,1РЗ, и т.п.

При проектировании схем для современных цифровых систем связи, где широко применяется цифровая модуляция сигналов, стандартных характеристик нелинейных искажений оказывается недостаточно. В качестве альтернативы рассматриваются метрики, для расчета которых тестовый сигнал задан сложным полигармоническим воздействием, содержащим большое количество тонов.

Разработанные в последние годы коммерческие специализированные программы схемотехнического моделирования аналоговых и радиотехнических схем (ЯР симудяторы) обеспечивают широкий набор видов анализа радиотехнических схем, включая расчет периодического и квазипериодического установившегося режима, малоенгналышй периодический (квазипериодический) анализ: частотный, шумовой, расчет передаточной функции. Однако специальные виды анализа нелинейных искажений отсутствуют, а для анализа гармонических и интермодуляционных нелинейных искажений применяются методы расчета квазипериодического установившегося режима.

Однако вследствие значительных вычислительных затрат такого моделирования целесообразно разработать и применять специальные методы, обеспечивающие существенное ускорение в сравнении с методами расчета квазипериодического

установившегося режима. В настоящее время такие методы отсутствуют.

Для анализа нелинейных искажений в 70-90е годы разработаны специальные методы, использующие аппарат теории рядов Вольтерра. Эти методы имеют ряд ограничений и недостатков при применении их для схемотехнического моделирования современных радиотехнических и высокочастотных схем.

Для анализа схем с цифровой модуляцией сигналов и расчета метрик со сложными полигармоническими воздействиями непосредственное применение известных методов в частотной или временной областях невозможно вследствие чрезмерно высокой размерности задачи и неприемлемо больших временных затрат. Поэтому требуются новые подходы и разработка новых методов решения данной задачи.

Цель н задачи исследования

Целью исследования является разработка теоретических основ, методов и алгоритмов анализа нелинейных радиотехнических схем в системах автоматизации схемотехнического проектирования.

Для достижения поставленной цели необходимо решение следующих задач:

- анализ проблем моделирования нелинейных радиотехнических схем и применяемых для моделирования методов,

- разработка эффективных методов анализа установившегося режима в аналоговых и радиотехнических схемах,

- разработка специального метода для схемотехнического моделирования нелинейных искажений в аналоговых и радиотехнических схемах в установившемся режиме по постоянному току,

- разработка специальных методов для схемотехнического моделирования нелинейных искажений в аналоговых и радиотехнических схемах в периодическом установившемся режиме,

- разработка методов для схемотехнического моделирования радиотехнических схем при сложных полигармонических воздействиях,

- разработка методов малосигнального и шумового анализа в периодическом установившемся режиме.

Методы исследования

При разработке методов анализа нелинейных радиотехнических схем были использованы теория электрических цепей, теория радиотехнических сигналов, методы математического моделирования схем, элементы теории функций комплексных переменных, методы линейной алгебры, теория и численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений, элементы теории вероятностей и математической статистики, численные методы решения линейных и нелинейных алгебраических уравнений.

Достоверность результатов диссертационной работы обеспечена обоснованием основных теоретических положений, а также большим объемом численных экспериментов, для выполнения которых было разработано специализированное программное обеспечение. Полученные результаты согласуются с современными научными представлениями и данными отечественных и зарубежных информационных источников, подтверждаются обсуждением в научных изданиях и выступлениях на научных конференциях н использованием их при практическом проектировании.

На защиту выносятся

Новый метод гармонического баланса для анализа установившегося режима в нелинейных аналоговых и радиотехнических схемах,

Новый метод пристрелки для анализа установившегося периодического режима автоген ераторов,

Метод для схемотехнического моделирования нелинейных искажений в аналоговых и радиотехнических схемах в установившемся режиме по постоянному току,

Новые специальные методы для схемотехнического моделирования нелинейных искажений в аналоговых и радиотехнических схемах в периодическом установившемся режиме в частотной и временной области,

Метод для схемотехнического моделирования радиотехнических схем с цифровой модуляцией и сложными полигармоническими воздействиями,

Новый вычислительный метод для расчета фазового шума в автогенераторах.

Результаты получены лично автором.

Научная новизна

1) Разработан новый метод гармонического баланса для расчета установившегося режима нелинейных радиотехнических схем, в котором эффективность достигается за счет применения итерационных методов решения высокоразмерных линейных систем уравнений с предобуславливанием. Предложены методы предобуславливания на основе дополнения Шура и оценки нелинейности переменных и на основе частотной декомпозиции переменных, которые позволяют распространить этот метод с сохранением его преимуществ на класс сильно нелинейных схем.

2) Получены уравнения нового метода пристрелки для анализа установившегося периодического режима автогенераторов, в котором проблема обеспечения единственности решения решена за счет введения дополнительного условия окончания процесса интегрирования и который поэтому не требует задания дополнительной информации. Разработана вычислительная схема нового метода, которая основана на комбинации методов пристрелки и Ньютона для решения краевых задач и использует неявное определение периода колебаний в процессе интегрирования.

3) Предложен новый подход для конструирования вычислительных методов расчета нелинейных искажений на базе применения численного анализа и итерационных методов решения нелинейных уравнений. Показано, что вычислительный метод состоит из рекурсивной процедуры, которая в отличие от итерационных методов включает три шага решения систем линейных уравнений меньшей размерности.

4) Разработан новый специальный метод для схемотехнического моделирования нелинейных искажений в аналоговых и радиотехнических схемах в установившемся режиме по постоянному току, который устраняет ограничения методов на базе рядов Вольтерра. Получены выражения метода на основе применения упрощенного метода Ньютона к уравнениям гармонического баланса.

5) Предложена методика расчета покомпонентных индивидуальных вкладов в общие нелинейные искажения. Для практически важного случая определения нелинейных искажений в выходном узле введены векторная форма для искажений второго порядка и

матричная форма для искажений третьего порядка. Показано, что матричная форма позволяет получать различную информацию о влиянии нелинейностсй схемы на величину нелинейных искажении.

6) Разработаны новые методы анализа нелинейных искажений в периодическом установившемся режиме в частотной и временной области, которые дают значительное сокращение вычислительных затрат по сравнению с методами определения квазипериодического установившегося режима.

7) Разработан новый метод анализа радиотехнических схем с цифровой модуляцией, полученный на основе упрощения уравнений гармонического баланса с переменными коэффициентами Фурье, который позволяет рассчитывать метрики нелинейных искажений при сложных полигармонических тестовых сигналах на этапе схемотехнического проектирования. Разработана вычислительная схема анализа, которая включает этап построения амплитудных и фазовых зависимостей схемы и этап вычисления выходных характеристик с использованием полученных зависимостей.

8) Разработан новый вычислительный метод для расчета фазового шума в автогенераторах, который в отличие от известных методов этого класса устраняет трудности при расчете спектральной плотности шума вблизи частоты собственных колебаний генератора и который пригоден для расчетов в широком диапазоне смещений.

Практическая значимость и реализация результатов работы

Все методы, разработанные в рамках данной работы, реализованы в виде программного обеспечения системы автоматизации схемотехнического проектирования аналоговых и радиотехнических схем. Методы позволяют проводить полный цикл моделирования нелинейных высокочастотных радиотехнических схем при их практическом проектировании и исследовании их характеристик, а также позволяют снять ряд ограничений применяемых в настоящее время программ схемотехнического моделирования. Система автоматизации схемотехнического проектирования аналоговых и радиотехнических схем разработана в соответствии с объектно-ориентированным подходом в программировании, написана на языке С и допускает установку на различных вычислительных платформах.

Результаты работы в виде программного обеспечения системы автоматизации схемотехнического проектирования аналоговых и радиотехнических схем были использованы при практическом проектировании интегральных схем на ряде предприятий электронной промышленности, в том числе ФГУП «Научно-производственное предприятие «Пульсар», ФГУП «Научно-исследовательский институт электронной техники», ОАО «Ангстрем-М», ГУ «Научно-исследовательский институт микроэлектроники и информационно-измерительной техники МИЭМ».

Апробация работы

Основные результаты диссертации докладывались н обсуждались на следующих конференциях:

Международный форум по нанотехнологиям (Rusnanotech), Москва, ноябрь 2010;

IEEE/ACM International Conference on Computer-Aided Design (ICCAD), 1998, 1999, 2008 rx;

Asia and South Pacific Design Automation Conference (ASP-DAC), 1999,2000,2001 nr.;

IEEE International Symposium on Circuits and Systems (ISCAS), 2000,2006,2008 nr.;

Design Automation and Test in Europe (DATE) Conference, 2003, 2008 r.r.;

European Conference on Circuit Theory and Design (ECCTD), 2005,2007,2009;

MTT-S International Microwave Symposium, 1997, 1999,2004 r.r.;

European Microwave Circuits Conference, 2004,2006, 2007,2008 r.r.;

International Conference on Scientific Computing in Electrical Engineering (SCEE), 2008, 2010;

IEEE East-West Design & Test Symposium (EWDTS), 2007, 2009 r.r.;

IMACS World Congress on Scientific Computation, Applied Mathematics and Simulation, 2000,2005 nr.;

Conference Mathematical and Informational Technologies MIT 2009, Serbia, Montenegro, 2009;

Всероссийская научно-техническая конференция "Проблемы разработки перспективных микро- и наноэлектронных систем", 2005,2006,2008 и 2010 г.г.;

Научно-техническая конференция :"Электроника, микро- и наноэлектроника", Москва,

2005, 2006, 2007,2008, 2009,2010 r.r.;

Третья Международная научно-техническая конференция, Москва, ноябрь 2000.

Публикации

Основные результаты работы опубликованы в одной монографии, 36 статьях в изданиях, рекомендованных ВАКом и в международных изданиях, входящих в систему цитирования Web of Science и Springer.

На предложенный метод анализа нелинейных искажений в периодическом установившемся режиме во временной области получен патент на изобретение.

Общее число публикаций по теме диссертации составляет 71.

Структура н объем диссертации

Диссертация состоит из введения, 7 глав, заключения и списка литературы из 242 наименований. Объем диссертации составляет 331 страниц (без приложений), число рисунков - 69, таблиц - 24.

Содержание диссертации

Во введении обоснована актуальность темы исследования, сформулированы цель и задачи диссертационной работы, описаны научная новизна, практическая значимость работы и положения, которые выносятся на защиту.

В первой главе проведен анализ основных проблем автоматизации проектирования радиотехнических интегральных схем (ИС) с помощью систем автоматизации схемотехнического проектирования.

Современный этап развития технологии изготовления ИС позволяет создавать на одном кристалле смешанные (аналогово-цифровые) схемы и системы с высокой степенью интеграции. При проектировании таких схем и систем применяется как методология нисходящего проектирования (сверху-вниз), так и методология восходящего проектирования. Маршрут проектирования включает применение систем автоматизации схемотехнического проектирования на этапах разработки отдельных блоков системы и на этапе верификации проекта.

Средства автоматизации схемотехнического проектирования используются для решения следующих задач:

- анализа и расчета характеристик отдельных блоков радиосистемы,

- совместного со средствами системного уровня моделирования,

- характеризации поведенческих моделей, которые затем будут использованы на системном уровне моделирования.

На основе проведенного анализа известных систем автоматизации схемотехнического проектирования радиотехнических ИС сформулированы требования по составу, функциональным возможностям и видам анализа, которые необходимо иметь в системе для решения перечисленных задач. Наряду с традиционными видами анализа аналоговых схем, включая анализ по постоянному току, расчет переходных процессов, частотный анализ, анализ шумов, средства автоматизации схемотехнического проектирования радиотехнических схем должны обеспечивать ряд специальных видов анализа, включая расчет периодического и квазипериодического установившегося режима, расчет частотных характеристик, нелинейных искажений, шумовой анализ схем в периодическом режиме. Периодические малосигнальные виды анализа позволяют определить частотные характеристики, коэффициент усиления, входной и выходной импеданс, передаточную функцию, шумовые характеристики и основаны на линеаризации схемы около периодической рабочей точки и представления схемы в виде периодически нестационарной системы.

Проведен анализ методов расчета установившегося периодического и квазипернодического режима и приведена их классификация (Табл. 1). Показано, что необходимо иметь как временные так и частотные методы анализа. Для анализа установившегося периодического режима в частотной области применяется метод гармонического баланса, во временной области - метод пристрелки. Для расчета квазипериодического установившегося режима в частотной области используется квазипериодический гармонический баланс, во временной области квазипериодический метод пристрелки (смешанный частотно-временной метод).

Виды анализа на основе моделирования огибающей высокочастотного сигнала предназначены для расчета переходных процессов и характеристик радиотехнических

схем, управляемых модулированными сигналами. В основе анализа огибающей во временной области лежит применение метода пристрелки. Анализ Фурье огибающей основан на комбинации численного интегрирования ОДУ и метода гармонического баланса с переменными коэффициентами Фурье. Одно из основных назначений этого вида анализа - моделирование схем с цифровой модуляцией сигналов.

Таблица 1 Методы определения квазипериодического режима при двухчастотном воздействии с

периодами 7/, Т2

Метод Область анализа процессов Переменные

т, Т2

Гармонический баланс частотная частотная Двумерное множество гармоник

Смешанный частотно-временной временная частотная Гармоники нач. значений по периоду быстрого сигнала Т{

Фурье огибающей (вариант: ГБ с переменными коэффициентами Фурье) частотная временная Гармоники, зависящие от времени

Продолжения огибающей временная временная Нач. значения по периоду быстрого сигнала Г/

Дифференциальных уравнений в частных производных временная временная Двумерное множество временных точек

Основным методом расчета установившегося режима в частотной области является гармонический баланс. Метод очень эффективен для схем невысокой размерности, работающих в относительно слабо нелинейном режиме. Однако с ростом размерности схемы и/или степени нелинейности размерность решаемых задач растет очень быстро, что ограничивает применение метода гармонического баланса для практически важных случаев. Создание эффективных методов гармонического баланса связано с расширением его возможностей для моделирования а) схем большой размерности, б) схем, работающих в сильно-нелинейном режиме.

Рассмотрены формулировка метода пристрелки для анализа периодического установившегося режима во временной области и особенности реализации метода для моделирования автономных схем.

Одной из важнейших задач при проектировании радиосистем является обеспечение требуемого уровня искажений сигнала, которые обусловлены нелинейностью характеристик отдельных блоков системы. Для этого в составе программ схемотехнического моделирования должны быть предусмотрены специальные виды анализа нелинейных искажений, обеспечивающие эффективное и точное моделирование характеристик и расчет необходимых метрик. Проведенный анализ показал, что в коммерческих системах схемотехнического моделирования для анализа гармонических и интермодуляционных нелинейных искажений применяются методы расчета квазипериодического установившегося режима. Специальные методы, основанные на аппарате рядов Вольтерра, имеют ряд ограничений и недостатков при применении их для схемотехнического моделирования современных радиотехнических и высокочастотных схем (Табл. 2).

Таблица 2 Сравнительные характеристик» методов анализа нелинейных искажений

Метод Достоинства Особенности и ограничения

методы рядов Вольтерра (варианты: расчет ядер Вольтерра, нелинейных токов, времязависимых рядов Вольтерра) рекурсивная процедура: три шага решения линейных уравнений 1) необходимо представление нелинейных зависимостей в виде степенного ряда, 2) неприменимы к сильнонелинейным схемам (усилители класса АВ, В, С, некоторые типы смесителей) 3) не позволяют определять границу области применимости 4) в основном применяются для расчета схем со статической рабочей точкой

гармонический баланс 1) произвольные нелинейные зависимости 2) применим к умеренно-нелинейным схемам 3) хорошо отработанный алгоритм 1) итерационный метод 2) резкий рост затрат при увеличении уровня нелинейности 3) неприменим при большом количестве тонов

Таблица 2 Сравнительные характеристики методов анализа нелинейных искажений

Метод Достоинства Особенности и ограничения

гармонический баланс с переменными коэффициентами Фурье 1) произвольные нелинейные зависимости 2) применим к сильнонелинейным схемам 3) расчет схем с сложно-модулированными сигналами 1) итерационный метод 2) не включает элементы с распределенными параметрами 3) для расчета схем, периодическая рабочая точка которых определяется в частотной области

При проектировании схем для современных цифровых систем связи применяются специальные тестовые сигналы в виде полигармонического воздействия и специальные метрики, основанные на спектральной плотности мощности сигнала. Для расчета коэффициента мощности соседнего канала АСРЯ на схему подается входное воздействие, спектр которого располагается в полосе частот основного канала. Спектр выходного сигнала имеет компоненты в полосе частот основного и соседнего каналов (Рис. 1). Коэффициент АСР11 рассчитывается как отношение мощности сигнала в полосе частот соседнего канала к мощности в полосе частот основного канала.

Рис. 1 Спектральная плотность мощности входного 8|(ш) и выходного 80(сй) сигнала при мультитональном тестовом сигнале

®и ' , М;л ■> 0)и2 " частоты нижнего и верхнего соседнего каналов соответственно.

. ем

¡Ца)

V

а,, <вц йщ о>щ

-н-

Для расчета таких метрик нелинейных искажений применение известных методов в частотной или временной областях затруднительно вследствие чрезмерно высокой размерности задачи и неприемлемо больших временных затрат.

Во второй главе рассмотрены проблемы расчета периодического и квазипериодического установившегося режима в частотной области. Основным методом расчета в частотной области является гармонический баланс. Модель схемы во

временной области может быть задана следующей системой интегро-дифференциальных уравнений

t

r(v,í) = í(v(/)) + 9(v(0)+ \y{t-x)v{t)dx + u{t) = О

-00

Здесь в соответствии с узловым методом v(7), i(v(t¡), q(v(t)) - вектор-функции напряжений в узлах схемы, узловых токов и зарядов соответственно, ti(í) - вектор токов источников, у - матрица импульсных характеристик элементов с распределенными параметрами. Уравнения гармонического баланса для расчета периодического и квазипериодического установившегося режима имеют вид R(V) = I(V)+ jO.Q( V)+ YV+ U = О где вектора R, V,I,Q,U получены с помощью преобразования Фурье соответствующих векторов v(t), i(vft)), q(v(t)), u(t) iiíl- диагональная матрица.

Проведен анализ методов решения нелинейных уравнений гармонического баланса. Наиболее эффективным и надежным является применение метода Ньютона

J(lÁJ>)AV(J> = -R(l'i!>), где J(l/J>) - матрица Якоби.

Сформулированы особенности блочной структуры матрицы Якоби и матриц узловых проводимостей G и емкостей С для двух случаев перенумерации переменных, когда блочный индекс соответствует либо частоте либо номеру узла = Gm¿k-l)+jrnkCmn(.k-l) Здесь m, п - номера узловых переменных, k, I - номера гармоник. Матрицы гармоник узловых проводимостей и емкостей имеют вид теплицевых,

циркулянтных матриц Gmn = с/>с[^(0) С( 1 ) <7(2) G(-2) С(1)]Г< Показано, что это

свойство позволяет избежать вычисления и хранения всех коэффициентов матриц.

Структура матрицы гармонического якобиана с внешней формой преобразования (блочный индекс соответствует частоте) имеет следующие возможные преимущества:

- высокая вероятность получения матрицы с доминирующей диагональю, так как диагональные блоки содержат только нулевые гармоники узловых проводимостей и емкостей, которые во многих случаях являются доминирующими,

- возможность построения эффективной поблочной обработки матрицы на основе многократного ¿¿/-разложения блоков с тем же самым портретом.

Наиболее трудоемкая часть анализа связана с решением линейной системы, так как требуется формировать и факторизовать матрицу Якоби большого размера. Показано, что повышение вычислительной эффективности метода гармонического баланса при решении высокоразмерных задач связано с использованием итеративных алгоритмов на базе методов подпространств Крылова. Предложена формулировка метода гармонического баланса

Я(У) = П(Г1К)+/'ПГ9(Г110 + Г1/ = 0 , где Г - преобразование Фурье. При решении этих уравнений методом Ньютона

матрица Якоби имеет вид У = ГСГ"1+7ПГСГ"1, который позволяет не выполнять формирование и хранение матрицы Якоби, а обеспечивать лишь хранение элементов матриц проводнмостей и емкостей во временной области. При решении системы итерационным методом, умножение матрицы Якоби на очередной вектор выполняется с помощью комбинации операций сложения, умножения, прямого и обратного

преобразования Фурье = ГСГ х2 г]ПГСГ хг.

Проведен анализ итерационных крыловских методов для решения линейной системы гармонического баланса. В качестве базового метода для построения вычислительных процедур анализа выбран метод ОМЯЕБ и его разновидность FGMR.ES, которая позволяет применять изменяющийся на каждом шаге предобуславливатель. Так как непосредственное применение итерационных крыловских методов сталкивается с проблемой надежности и скорости сходимости, проведен анализ типа предобуславливания задачи. В качестве основного типа предобуславливатсля выбран

правый Л' 1Р&У = -К так как а) критерий окончания итераций определяется по исходному вектору невязки, б) он позволяет в рамках РСМ(1£3 использовать непостоянный, а изменяющийся на каждом шаге предобуславливатель.

Выполнен анализ методов предобуславливания линейной системы гармонического баланса для решения итерационными крыловскими методами. Приведены как достоинства, так и недостатки каждого из подходов. По результатам анализа сделан

вывод о том, что не существует одного универсального метода, пригодного для решения всего спектра задач. Поэтому для практического применения программ моделирования схем методом гармонического баланса необходимо иметь два-три вида предобуславливателей. Для решения слабо и средне нелинейных задач целесообразно применять блочно-диагональный предобуславливатель в частотной области Р = сЛа^У). По мере возрастания нелинейности задачи, а также при расчете квазипериодического установившегося режима блочно-диагональный предобуславливатель теряет свою эффективность и требуются другие виды предобуславливателей.

Разработаны два варианта адаптивного предобуславливателя. Адаптивный предобуславливатель с учетом степени нелинейности переменных позволяет формировать матрицу предобуславливателя в виде аппроксимации матрицы Якоби с переменным числом ненулевых элементов. Результирующий вычислительный выигрыш достигается для сильно нелинейных схем, для которых стоимость линейных итераций высока.

Разработаны методы предобуславливания на основе дополнения Шура и оценки нелинейности переменных и на основе частотной декомпозиции переменных. Показано,

что норму компонент вектора В = —(У—/>)£) где Э = diag{J}, можно использовать в качестве оценки степени нелинейности переменных. Такую оценку предлагается проводить в начале каждой ньютоновской итерации, что позволяет разделить все N переменных на два подмножества: линейные и нелинейные Л^ (Л^ + Л'дг^ЛО. Матрица

./ может быть представлена в форме блочной матрицы вида У

Е К О Н

, где блок Е

соответствует только линейным переменным, блок Я - только нелинейным.

Операция получения вектора предобуславливателя 2 = РХ1 соответствует приближенному решению системы уравнений с блочной матрицей У и включает решение системы с матрицей блочно-диагонального предобуславливателя Э для нахождения компонент вектора 2, соответствующих линейным переменным декомпозицию и решение линейной системы с матрицей Я размерности (2К+\)Ы^ для нахождения

компонент вектора, соответствующих нелинейным переменным = 2. При частотной декомпозиции переменных вектор неизвестных представляется в виде

А К = АУ2 ДК3] , где ДК,, ДК3 - подвектора высокочастотных гармоник, &У2 -подвекгор низкочастотных гармоник. Линейная система на ньютоновской итерации

\\ •Л 2 "Лз д К,' Л,

•^22 ^23 ДГ2 = - «2

/31 ■Ьг ^33 АУ3

В отличие от ранее применявшихся методов предобуславливания на основе частотной декомпозиции, в которых вектор предобуславливателя определяется из решения линейных систем с диагональными блоками этой матрицы, предлагается уточнение вектора предобуславливателя с помощью блочного метода Якоби

•^''--Л/ЧЯ^'-Ч¿=1,2,3

Для вычисления уточнения необходимо добавить только процедуру умножения диагонального блока на соответствующий подвекгор.

Разработанные методы предобуславливания позволяют распространить метод гармонического баланса с сохранением его преимуществ на класс сильно нелинейных схем (табл. 3,4).

Таблица 3 Моделирование схемы выпрямителя

Метод #пе\УЮп__кегз #gmres_iters ускорение

СМИЕЗ+ВО 153 64473 1

СМЯЕЗ+ЗСНиК 35 59 21.8

Таблица 4 Моделирование схемы фильтра

Метод #пе\У1оп_Пеге #;»тге5_кег8 время, сек

СМ11ЕЗ+ВО 141 13611 91

СМИЕБ+ЗСНШ 141 6092 48

В третьей главе рассмотрены проблемы моделирования установившихся периодических режимов в нелинейных цепях во временной области. Особенностью задач определения установившегося режима в нелинейных цепях является то, что они

требуют значительно больших вычислительных затрат, чем традиционные задачи анализа переходных процессов. Поэтому для анализа установившихся периодических режимов следует применять методы решения краевых задач, которые позволяют избежать длительного многопериодного численного интегрирования системы ОДУ схемы.

Рассмотрены основные подходы решения краевых задач. Конечно-разностные методы решения краевой задачи приводят к необходимости решения высокоразмерных задач и их целесообразно применять в случаях, когда другие методы оказываются недействующими или неэффективными. Метод пристрелки является наиболее перспективным для использования в системах автоматизации схемотехнического проектирования в силу относительной легкости алгоритмической организации и возможности применения стандартных программ численного интегрирования ОДУ

ф(л(0),0, Г)-л(0) = 0,

где х(0) - вектор состояния в начальный момент времени, ф(х(0), 0, 7) - вектор-функция, отражающая переход состояния в начальный момент времени в состояние в момент времени Т,Т- период.

Рассмотрены основные направления совершенствования метода пристрелки с целью уменьшение числа итерационных шагов решения нелинейных систем, сокращения вычислительных затрат на выполнение шага итерации и адаптации процедур численного интегрирования для решения периодических задач. Проведено сравнение различных подходов для конструирования вычислительных схем метода пристрелки - итерационных алгоритмов ньютоновского типа, экстраполяционных алгоритмов и оптимизационных алгоритмов.

Рассмотрены проблемы расчета периодического установившегося режима автономных генераторов во временной области. В отличие от случая систем с внешним возбуждением, величина периода Г установившихся колебаний или соответствующее ей значение частоты является дополнительной неизвестной, которую необходимо определять в процессе решения. Другая особенность этой задачи для автономных схем заключается в существовании бесконечного множества решений с одинаковой формой сигнала, отличающихся лишь сдвигом во времени.

При разработке методов моделирования к уравнениям системы и условиям периодичности необходимо добавить условие единственности, которое всегда позволяет однозначно определить одно из бесконечного множества невырожденных решений одинаковой формы. Дополнительное условие и включение новой независимой переменной требует внесения изменений в алгоритмы формирования матрицы Якоби и алгоритмы решения линейных систем при использовании методов подпространств Крылова. В отличие от гармонического баланса, при разработке метода пристрелки условие единственности является дополнительной проблемой, так как может приводить к несовместности системы уравнений пристрелки.

Рассмотрены различные подходы к решению проблемы условия единственности при разработке метода пристрелки для расчета периодического установившегося режима автономных генераторов во временной области. Показано, что метод фиксации начального значения или некоторой линейной комбинации начальных значений всех переменных может приводить к несовместности системы уравнений пристрелки, а метод фиксации переменной с наибольшей по модулю производной может не соответствовать ньютоновскому итерационному процессу.

Получены уравнения нового метода пристрелки для анализа установившегося периодического режима автогенераторов, в котором проблема обеспечения единственности решения решена за счет исключения периода из числа неизвестных переменных ф(х(0), 0, 7\*(0)))-л(0) = О

и введения дополнительного условия окончания процесса интегрирования иГ[ф(*(0),0,Г(х(0)))-х(0)] = О

где вектор п представляет касательную к траектории х(1) в точке х(0). Система уравнений для вычисления ньютоновской поправки имеет вид

Разработана вычислительная схема нового метода моделирования установившегося

с^-Я + ср

—г ДУ(0) = -(ф(4О),О,Г(Д/(0)))-У(0))

Здесь Е- единичная матрица, фг = —-—ф(х(0), О, Г), фг =

±Ф(х(0),0,Г).

дТ

периодического режима автогенераторов во временной области. Вычислительная схема основана на комбинации методов пристрелки и Ньютона для решения краевых задач и использует неявное определение периода колебаний в процессе интегрирования. Такой способ определения устраняет необходимость задавать дополнительную информацию, что делает предложенный метод достаточно универсальным и эффективным средством моделирования.

В четвертой главе предложен общий подход для конструирования вычислительных методов расчета нелинейных искажений на базе применения численного анализа и итерационных методов решения нелинейных уравнений и разработан вычислительный метод анализа нелинейных искажений в установившемся режиме по постоянному току.

Достоинством методов теории функциональных рядов Вольтерра по сравнению с методами анализа квазипериодического режима является вычислительная эффективность, так как полученная с их помощью вычислительная схема анализа нелинейных искажений включает лишь три шага решения линейных систем и

обеспечивает погрешность решения flx^'CO -*(/)! = О(||и(0»4). Существенным недостатком с точки зрения применения таких методов в системах автоматизации схемотехнического проектирования является необходимость представления всех нелинейных зависимостей в моделях полупроводниковых приборов отрезком степенного ряда, что фактически означает разработку множества новых моделей, которая характеризуется очень высокой трудоемкостью, длительностью и требует высокой квалификации.

Общий подход для конструирования вычислительных методов расчета нелинейных искажений основан на применении упрощенного метода Ньютона для решения систем нелинейных уравнений Дх) + е = 0, где е - малый параметр

Г(х(0>)Ах^ = -[Дх0)) + Е] = х^ + Дх^

Показано, что рекурсивная процедура, использующая упрощенный метод Ньютона, и включающая три итерации метода, обеспечивает тот же порядок точности, что и методы

теории возмущений 0(е4) .

Применение предложенного подхода к системе нелинейных уравнений гармонического баланса Я(У) = ¡{V) + + и = 0, где и - вектор малого

возбуждения, позволило разработать рекурсивную процедуру, которая обеспечивает тот же порядок точности, что и применение методов теории рядов Вольтерра. В отличие от этих методов предлагаемый метод не требует вычисления второй и третьей производных в нелинейных зависимостях, используемых в моделях приборов. Разработан вычислительный метод анализа нелинейных искажений в установившемся режиме по постоянному току. Разработанный метод сохраняет преимущества методов рядов Вольтерра в вычислительной эффективности по сравнению с полным нелинейным анализом, обеспечивая 20-30 кратное ускорение расчетов. Аналогично методам рядов Вольтерра предложенный метод предназначен для анализа нелинейных искажений в слабонелинейных схемах (рис. 2).

Рис. 2 Зависимость третьей гармоники от амплитуды входного сигнала, полученная различными методами: DST -предложенный метод, DISTO - метод рядов Вольтерра, НВ -гармонический баланс.

В рамках предложенного подхода разработана методология и вычислительные схемы для расчета покомпонентных индивидуальных вкладов в общие нелинейные искажения. Для практически важного случая определения нелинейных искажений в выходном узле введены векторная форма для искажений второго порядка и матричная форма для искажений третьего порядка. Показано, что матричная форма позволяет получать

различную информацию о влиянии нелинейностей схемы на величину нелинейных искажений. В частности, сумма всех элементов матрицы равна величине искажений третьего порядка, сумма элементов /-ой строки и /-го столбца полностью определяет влияние /-ой нелинейности и равна разности между величинами искажений, рассчитанными с учетом и без учета этой нелинейности, а сумма элементов /-ой строки отражает индивидуальный вклад этой нелинейности при условии пренебрежения взаимодействием между нелинейностями.

Разработана вычислительная схема анализа для расчета покомпонентных индивидуальных вкладов в общие нелинейные искажения. Для практически важного случая расчета вкладов на выходе схемы применение метода сопряженной системы уравнений позволило значительно сократить количество решаемых на третьем шаге рекурсивной процедуры линейных систем до одной на каждую частотную точку. На рис. 3 показаны зависимости третьей гармоники выходного сигнала усилителя и индивидуальных вкладов от элементов схемы.

(.Гц

Рис. 3 Третья гармоника и индивидуальные вклады.

В пятой главе разработан новый метод для схемотехнического моделирования нелинейных искажений в аналоговых и радиотехнических схемах в периодическом установившемся режиме в частотной области. Применение предложенного подхода к системе нелинейных уравнений

квазипериодического гармонического баланса Я( V) = 1(У) + ]С1()(У) + и + и = 0, где и -

вектор внешнего воздействия, который определяет периодический установившийся режим в схеме, С/ - вектор малого возбуждения, позволило разработать рекурсивную процедуру, которая состоит из трех шагов решения систем линейных уравнений размерности (2К+Щ, где К - число гармоник.

Вычислительная схема метода включает определение периодического установившегося режима методом гармонического баланса и рекурсивную процедуру. Разработанный метод расчета периодических нелинейных искажений позволяет исключить вычисление старших производных нелинейных зависимостей моделей, обеспечивает желаемую точность вычисления нелинейных искажений, и 20-30 кратное ускорение в сравнении с полным анализом установившихся процессов с помощью квазипериодического гармонического баланса. В табл. 5 представлены размерности линейных систем в методе гармонического баланса (НВ) и предложенном методе (РБНВ) и временные затраты на анализ для двух схем смесителей.

Таблица 5 Сравнение методов анализа нелинейных искажений в периодическом

режиме

Схема Линейная система Время расчета, сек

N размерность нв РБНВ НВ РОИВ

1 30 91140 1860 360 13

2 50 79380 1500 399 15

Разработан специальный метод для схемотехнического моделирования нелинейных искажений в аналоговых и радиотехнических схемах в периодическом установившемся режиме во временной области.

Метод основан на применении упрощенного метода Ньютона к решению уравнений смешанного частотно-временного метода. Вычислительная схема метода включает определение периодического установившегося режима методом пристрелки и рекурсивную процедуру из трех шагов. По сравнению с полным нелинейным анализом установившихся квазипериодических процессов данный метод имеет значительно меньшие вычислительные затраты. Для практически важного случая расчета вкладов на выходе схемы предложено использовать решение сопряженной ОДУ и получены выражения метода решения сопряженной системы ОДУ. Метод решения сопряженной

системы ОДУ позволяет исключить многократное численное решение систем ОДУ на третьем шаге рекурсивной процедуры. Разработана вычислительная схема анализа для расчета покомпонентных индивидуальных вкладов в общие нелинейные искажения, включающая решение сопряженных систем уравнений в обратном времени.

В шестой главе разработаны методы для схемотехнического моделирования нелинейных радиотехнических схем с цифровой модуляцией и при сложных полигармонических воздействиях.

Предложен вычислительный метод расчета практически важной характеристики нелинейных искажений - коэффициента мощности шума (№11). Метод основан на статистическом подходе и применении двухтонового гармонического баланса, и обеспечивает моделирование на схемотехническом уровне. В отличие от других вариантов гармонического баланса применение двухтонового гармонического баланса позволяет получить компактное представление спектра входного воздействия и выходного узкополосного сигнала.

Разработан метод моделирования, основанный на гармоническом балансе с переменными коэффициентами Фурье. Метод позволяет находить временные

О)

зависимости коэффициентов Фурье схемных переменных v(t) = ^Г /)е *'Ю|', где

А, = -со

У(к{, г) - зависящие от времени коэффициенты Фурье. Система уравнений метода записывается в виде системы дифференциальных уравнений

Вычислительная схема метода включает численное решение системы ОДУ и выполнение гармонического баланса на каждом временном шаге в процессе решения. Разработаны оригинальные алгоритмы численного интегрирования системы ОДУ с переменным шагом и порядком, схема контроля локальной погрешности и алгоритм безматричного гармонического баланса.

В рамках метода гармонического баланса с переменными коэффициентами Фурье для получения результирующего спектра выходного сигнала и расчета метрик нелинейных искажений предложено применить вместо быстрого преобразования Фурье интеграл

Фурье. Получены выражения и разработаны алгоритмы для расчета интеграла Фурье с учетом применяемого алгоритма интегрирования ОДУ с переменным шагом и порядком. Достоинством метода по сравнению с известными вариантами гармонического баланса с переменными коэффициентами Фурье является то, что исключается предварительная обработка данных, чтобы обеспечить равномерное распределение точек отсчета для применения быстрого преобразования Фурье и повышается точность расчетов.

Разработан специальный метод анализа нелинейных радиотехнических схем с цифровой модуляцией и при сложных полигармонических воздействиях. Уравнения метода получаются на основе упрощения уравнений гармонического баланса с

переменными коэффициентами Фурье при = О

/*«о,&(Дг)) + 7*(Д0) + й( 0 = О

Решение полученной системы (2К+1) алгебраических уравнений относительно (2К+1) гармоник огибающей для каждого момента времени позволяет найти зависимость

гармоник огибающей от гармоник огибающей входного сигнала Л"*(0 = /(6'(/)).

Для случая возбуждения узкополосным сигналом со спектром около частоты о,,

приложенным к одному входному узлу, зависимость гармоник огибающей имеет вид

функции одной переменной = /(м(/)). Располагая только зависимостью от

амплитуды входного сигнала можно получить зависимость гармоник

огибающей в виде Лк(и(0) = ШЫ')\)' •

Разработана вычислительная схема анализа, которая включает этап построения амплитудных и фазовых зависимостей схемных переменных от величины входного воздействия А^(|г/(/)!) и этап вычисления выходных характеристик с использованием полученных зависимостей. Разработанный метод обеспечивает эффективный расчет важных характеристик нелинейных искажений ЫРЕ1 и АСРЯ в системах автоматизации схемотехнического проектирования.

_j__j__^____ ___ Расчет коэффициента ACPR для

. rift---------- биполярного усилителя. На схему подается

_________________

___^yfti v*u сигнал с частотой 960 МГц с DQPSK

ГХ'^^Ч, - г-

-I--—---——р—|---l модуляцией. Спектр входного сигнала

содержит 256 частотных точек. Разнос

-*wV. __in^-s^^^ каналов 30 кГц и односторонняя полоса

4 ... - .. .. частот для измерения 16.4 кГц. Значение

Рис. 4 Спектр выходного сигнала усилителя ACPR прн входпой моЩ1ЮСТи -10 дБм равно -при мощности входного сигнала -10 дБм

64.8 дБ. Расчет потребовал около 30 сек ПЭВМ Pentium с частотой 2 ГГц.

Основные вычислительные затраты в методе анализа обусловлены многократным выполнением однотонового гармонического баланса на этапе построения амплитудных и фазовых зависимостей схемных переменных от величины входного воздействия. По сравнению с методом гармонического баланса с переменными коэффициентами Фурье предложенный метод является на порядок более эффективным. Область применимости специального метода анализа включает схемы, в которых низкочастотные динамические эффекты малы.

В седьмой главе рассматривается частный случай многочастотного стационарного анализа схем, управляемых одним большим периодическим сигналом и несколькими малыми. Специальные методы анализа, использующие предположение о малости сигнала, позволяют значительно уменьшить вычислительные затраты по сравнению с методами анализа квазипериодического установившегося режима.

Разработан метод малосигнального анализа в периодическом режиме во временной области. Вычислительная схема малосигнального анализа включает решение систем линейных уравнений, полученных с помощью метода конечных разностей. Предложенная вычислительная схема позволяет избежать формирования, хранения и факторизации большой матрицы Якоби. При условии, что диагональные блоки матрицы вычислены и хранятся в факторизованной форме, вычислительная схема включает лишь решение линейных систем размерности схемы.

rit*

'I.

имХ /WW, Чл ■''Vr.v >4

■> I ГЦ' V,

Wy 'Г 1 1 М' W-7

Метод малосигнального анализа в периодическом режиме в частотной области разработан на базе гармонического баланса. Вычислительная схема малосигнального анализа включает решение систем линейных уравнений относительно гармоник малосигнального решения

А1Г - гармонический сигнал малой амплитуды, ,1к[ = С(к-1) + Дкю 1 + со,)С(к-1) - блоки матрицы./, со,, ы3 - частоты большого и малого сигналов.

Для выполнения анализа при изменении частоты , вычислительная схема включает

решение систем линейных уравнений с многими правыми частями итерационным методом. Предложена модификация итерационного алгоритма, которая позволяет существенно сократить временные затраты анализа при вариации частоты малосигнального возбуждения за счет уменьшения затрат матрично-векторного умножения и использования накопленных в процессе решения векторов подпространства Крылова (табл. 6).

Таблица 6 Характеристики малосигнального анализа

Схема К порядок ускорение

системы сек

Смеситель 20 460 120 52.1

40 920 130 24

60 1380 210 24.2

Преобразова 20 656 57 5.7

тель частоты 40 1296 83 3.95

60 1952 110 3.3

Смеситель 20 2419 370 4.4

Гильберта 40 4779 660 3.14

60 7139 970 2.8

Разработанные методы малосигнального анализа в периодическом установившемся режиме пригодны для построения алгоритмов шумового анализа важного класса схем

Д У(-К) 0

ДК(0) = ли

А У(К). 0

при периодических внешних воздействиях.

Выполнен анализ известных методов расчета шума в схемах автогенераторов. Показано, что метод анализа шума, основанный на использовании стационарных моделей источников шума и стационарной линейной модели электронной схемы, не позволяет рассчитывать шумовые характеристики современных радиотехнических схем. Полученные на основе этой теории выражения для расчета шума приводят к значительным отклонениям от экспериментальных результатов.

Рассмотрены математические модели источников шума в элементах интегральных схем. Так как шум в электронных схемах имеет случайный характер, то и математической моделью источника шума должен быть случайный процесс. Стационарный гауссовский белый шум является математической моделью теплового и дробового шума элемента схемы при постоянном напряжении, которые описываются спектральной плотностью S,i,(f) = 2kTG, и Ssh{j) = ql, где G - проводимость и 1 - ток. Модулированный стационарный гауссовский белый шум есть математическая модель теплового и дробового шума элемента схемы при изменяющемся во времени напряжении S,h(f,t) = 2kTG(t), s,h{t,f) = q!(t). Для моделирования фликкер шума рассмотрены несколько моделей, основанных на обобщении модели стационарного случайного процесса. Наиболее удобной для применения в шумовом анализе электронных схем является модель источника шума в виде нестационарного случайного процесса с

мгновенной спектральной плотностью S(t,f) = m2(t)S(f), где m(t) = Jf, S(f) = - ,/-

/'

частота, a, b, К- параметры.

Вычислительные методы, построенные на базе теории возмущений, имеют ряд ограничений. Во-первых, получение векторов Флокс, необходимых для анализа шума, сталкивается с серьезными вычислительными трудностями. Во-вторых, методы позволяют определять компоненту шума, обусловленную фазовыми отклонениями, которая является доминирующей при приближении к собственной частоте колебаний автогенератора. В случае расчета шума для достаточно больших смещений от собственной частоты колебаний методы дают погрешность, так как влияние амплитудных отклонений не учитывается.

Метод расчета шумовых характеристик в периодическом установившемся режиме основан на линейной нестационарной модели схемы в частотной области со) • АХ = В

где В - это вектор гармоник возбуждения, АХ - вектор малосигнального решения, J(Aш) = J(í + у Дм ■ С - матрица Якоби при заданном отклонении Дш частоты возбуждения от собственной частоты генератора ш0, У0 - матрица Якоби на частоте ш0. Его применение к автогенераторам вызывает трудности из-за вырожденности матрицы Якоби J() в точке собственной частоты автогенератора. Эта вырожденность вызывает плохую обусловленность матрицы Якоби в области малых отклонений от собственной частоты, н приводит либо к нестабильности оценки шума в области малых отклонений от собственной частоты, либо к неверному наклону графика спектральной плотности мощности шума автогенератора (рис. 5).

Рис. 5 Спектр фазового шума кварцевого генератора, вычисленный с различной точностью.

Предложено эквивалентное преобразование линейной системы уравнений, описывающей линейную периодически нестационарную модель схемы автогенератора

где V - левый собственный вектор матрицы Якоби, к, I - номера гармоники и узла подключения источника шума. Показано, что получившаяся в результате преобразования матрица эквивалентной системы уравнений является невырожденной при собственной частоте автогенератора.

Разработан новый вычислительный метод для расчета фазового шума в автогенераторах, который основан на линейной нестационарной модели системы. В отличие от известных методов этого класса предложенный метод устраняет трудности при расчете спектральной плотности шума вблизи частоты собственных колебаний генератора (рис. 6).

В сравнении с методами, основанными на нелинейной теории возмущений и расчете векторов Флоке, предложенный метод дает корректные результаты при больших отклонениях от частоты собственных колебаний генератора, т. е. метод пригоден для расчетов в широком диапазоне смещений (рис. 7). Для случая расчета шумовых

150

отклонение частоты, Гц

Рис. 6 Сравнение СПМ шума 1.С осциллятора вычисленной по стандартному и новому

методам

характеристик только в одном узле и для одной гармоники разработан вычислительный метод, использующий решение сопряженной системы уравнений, который позволяет значительно сократить вычислительные затраты.

Рис. 7 СПМ шума 15.1 МГц осциллятора, выполненного по 90 нм БиКМОП технологии (идеальный фазовый шум получен методом теории возмущений)

В приложении приведены акты внедрения основных научных и практических результатов диссертационной работы, общая характеристика разработанного программного обеспечения системы автоматизации схемотехнического проектирования радиотехнических схем и примеры ее применения для расчета характеристик радиотехнических схем: малошумящего усилителя, смесителя, автогенератора, усилителя мощности и приемо-передающего тракта.

Заключение

Совокупность проведенных в диссертационной работе исследований является решением крупной научно-технической проблемы, заключающейся в создании и развитии нового поколения методов анализа нелинейных радиотехнических схем, решение которой имеет важное значение, так как обеспечивает применение систем автоматизации схемотехнического проектирования в цикле разработки современных радиотехнических интегральных схем на основе перспективных технологий с

проектными нормами в субмикронном и нанометровом диапазонах.

Основные результаты работы состоят в следующем:

1) Разработан новый метод гармонического баланса для расчета установившегося режима и анализа нелинейных искажений в режиме большого сигнала в радиотехнических схемах, в котором эффективность достигается за счет применения итерационных методов решения высокоразмерных линейных систем уравнений с предобуславливанием и который, в отличие от ранее применяемых методов, позволяет анализировать схемы большой размерности с числом узлов в несколько тысяч. Предложена формулировка метода гармонического баланса, при которой не выполняется формирование и хранение матрицы Якоби, а обеспечивается лишь хранение элементов матриц проводимостей и емкостей во временной области. Разработана процедура умножения матрицы Якоби на вектор с помощью комбинации операций сложения, умножения, прямого и обратного преобразования Фурье. Разработаны методы предобуславливания на основе дополнения Шура и оценки нелинейности переменных и па основе частотной декомпозиции переменных, которые позволяют распространить метод гармонического баланса с сохранением его преимуществ на класс сильно нелинейных схем.

2) Получены уравнения нового метода пристрелки для анализа установившегося периодического режима автогенераторов, в котором проблема обеспечения единственности решения решена за счет введения нового дополнительного условия окончания процесса интегрирования. Разработана вычислительная схема нового метода, основанная на комбинации методов пристрелки и Ньютона для решения краевых задач, которая использует неявное определение периода колебаний в процессе интегрирования. Такой способ определения устраняет необходимость задавать дополнительную информацию, что делает предложенный метод достаточно универсальным и эффективным средством моделирования.

3) Предложен новый подход для конструирования вычислительных методов расчета нелинейных искажений на базе применения итерационных методов решения нелинейных уравнений. Разработана рекурсивная вычислительная процедура, включающая три шага решения линейных алгебраических систем уравнений.

Существенным достоинством нового подхода по сравнению с методами рядов Вольтерра является то, что в нем не требуется вычисления коэффициентов разложения в ряд всех нелинейных зависимостей в моделях полупроводниковых приборов.

Показано, что рекурсивная процедура обеспечивает тот же порядок точности, что и применение методов рядов Вольтерра. Применение предложенного подхода позволяет получить новые методы анализа нелинейных искажений схем в установившемся режиме по постоянному току и в установившемся периодическом режиме.

4) Предложен новый специальный метод для схемотехнического моделирования нелинейных искажений в аналоговых и радиотехнических схемах в установившемся режиме по постоянному току. Метод основан на применении упрощенного метода Ньютона к уравнениям гармонического баланса. Разработана рекурсивная вычислительная процедура, включающая три шага решения линейных алгебраических систем. По сравнению с полным нелинейным анализом установившихся периодических (квазипериодических) процессов данный метод имеет значительно меньшие вычислительные затраты, сравнимые по порядку величины с методами рядов Вольтерра, обеспечивая в среднем 20-30 кратное ускорение расчетов. Метод позволяет рассчитывать метрики гармонических и интермодуляционных искажений.

5) Разработана методика и вычислительные схемы для расчета покомпонентных индивидуальных вкладов в общие нелинейные искажения. Для практически важного случая определения нелинейных искажений в выходном узле введены векторная форма для искажений второго порядка и матричная форма для искажений третьего порядка. Показано, что матричная форма позволяет получать различную информацию о влиянии нелинейностей схемы на величину нелинейных искажений.

6) Разработан новый метод для схемотехнического моделирования нелинейных искажений в аналоговых и радиотехнических схемах в периодическом установившемся режиме в частотной области. Вычислительная схема метода включает определение периодического установившегося режима методом гармонического баланса и рекурсивную процедуру нз трех шагов. Разработанный метод расчета периодических нелинейных искажений обеспечивает желаемую точность вычисления нелинейных искажений, и 20-30 кратное ускорение в сравнении с полным анализом установившихся

квазипериодических процессов методом гармонического баланса.

7) Разработан специальный метод для схемотехнического моделирования нелинейных искажений в аналоговых и радиотехнических схемах в периодическом установившемся режиме во временной области. Метод основан на применении упрощенного метода Ньютона к решению уравнений смешанного частотно-временного метода. Вычислительная схема метода включает определение периодического установившегося режима методом пристрелки и рекурсивную процедуру. По сравнению с полным нелинейным анализом установившихся квазипериодических процессов данный метод имеет значительно меньшие вычислительные затраты.

8) Разработаны методы для схемотехнического моделирования нелинейных радиотехнических схем с цифровой модуляцией и при сложных полигармонических воздействиях.

В рамках метода гармонического баланса с переменными коэффициентами Фурье для получения результирующего спектра выходного сигнала и расчета метрик нелинейных искажений предложено применить вместо быстрого преобразования Фурье интеграл Фурье. Получены выражения и разработаны алгоритмы для расчета интеграла Фурье с учетом применяемого алгоритма интегрирования ОДУ с переменным шагом и порядком. Достоинством метода по сравнению с известными вариантами гармонического баланса с переменными коэффициентами Фурье является то, что исключается предварительная обработка данных, чтобы обеспечить равномерное распределение точек отсчета для применения быстрого преобразования Фурье и повышается точность расчетов.

9) Предложен специальный метод анализа на основе упрощения уравнений гармонического баланса с переменными коэффициентами Фурье. Разработана вычислительная схема анализа, которая включает этап построения амплитудных и фазовых зависимостей схемы и этап вычисления выходных характеристик с использованием полученных зависимостей. Область применимости специального метода анализа включает схемы, в которых низкочастотные динамические эффекты малы. Разработанный метод обеспечивает эффективный расчет важных характеристик нелинейных искажений №11 и АСРЯ в системах автоматизации схемотехнического проектирования. Основные вычислительные затраты в методе анализа обусловлены

многократным выполнением однотонового гармонического баланса на этапе построения амплитудных и фазовых зависимостей схемных переменных от величины входного воздействия. По сравнению с методом гармонического баланса с переменными коэффициентами Фурье предложенный метод является на порядок более быстрым.

10) Разработаны методы малосигнального анализа в периодическом режиме в частотной и временной области.

Предложена вычислительная схема малосигналыюго анализа во временной области, которая позволяет избежать формирования, хранения и факторизации большой матрицы Якоби. При условии, что диагональные блоки матрицы вычислены и хранятся в факторизованной форме, вычислительная схема включает лишь решение линейных систем размерности схемы.

Разработана вычислительная схема малосигнального анализа в частотной области, включающая решение систем линейных уравнений с многими правыми частями итерационным методом. Показано, что предложенная модификация итерационного алгоритма позволяет существенно сократить временные затраты анализа при вариации частоты малосигналыюго возбуждения за счет уменьшения затрат матрично-векторного умножения и использования накопленных в процессе решения векторов подпространства.

11) Показано, что вырожденность матрицы Якоби в точке собственной частоты автогенератора вызывает плохую обусловленность матрицы Якоби в области малых отклонений от собственной частоты, которая приводит либо к нестабильности оценки шума в области малых отклонений от собственной частоты, либо к неверному наклону графика спектральной плотности мощности шума автогенератора при расчета шумовых характеристик в периодическом установившемся режиме методами, основанными на линейной нестационарной модели схемы.

12) Предложено эквивалентное преобразование линейной системы уравнений, описывающей линейную периодически нестационарную модель схемы автогенератора. Показано, что получившаяся в результате преобразования матрица эквивалентной системы уравнений является невырожденной при собственной частоте автогенератора.) Разработан новый вычислительный метод для расчета фазового шума в автогенераторах,

который основан на линейной нестационарной модели системы. В отличие от известных методов этого класса предложенный метод устраняет трудности при расчете спектральной плотности шума вблизи частоты собственных колебаний генератора. В сравнении с методами, основанными на теории возмущений и расчете векторов Флоке, предложенный метод дает корректные результаты при больших отклонениях от частоты собственных колебаний генератора, т. е. метод пригоден для расчетов в широком диапазоне смещений.

13) Разработано прикладное программное обеспечение системы автоматизации схемотехнического проектирования аналоговых и радиотехнических схем. Предложенные методы анализа позволяют проводить полный цикл моделирования нелинейных высокочастотных радиотехнических схем при их проектировании и снять ряд ограничений применяемых в настоящее время программ схемотехнического моделирования. Система автоматизации схемотехнического проектирования использовалась при практическом проектировании интегральных схем на ряде предприятий электронной промышленности.

Список публикаций

Монография

1. Актуальные проблемы моделирования в системах автоматизации схемотехнического проектирования / под ред. А.Л. Стемпковского. - М.: Наука, 2003. - 430 с.

Статьи в отечественных изданиях, рекомендованных ВАК

2. М.М.Гурарий, М.М.Жаров, С.Г.Русаков, С.Л.Ульянов, Адаптивный метод гармонического баланса // сб. трудов Всероссийской научно-технической конференции "Проблемы разработки перспективных микроэлектронных систем - 2005" (МЭС-2005), М.: ИППМ РАН, 2005, С. 13-18.

3. М.М.Гурарий, С.Л.Ульянов, Метод моделирования нелинейных искажений радиотехнических схем с цифровой модуляцией в системах автоматизации схемотехнического проектирования // сб. трудов Всероссийской научно-технической конференции "Проблемы разработки перспективных микроэлектронных систем - 2006" (МЭС-2006), М.: ИППМ РАН, 2006, С. 61-65.

4. М.М.Гурарин, М.М.Жаров, С.Г.Русаков, С.Л.Ульянов, Методы возмущении и селективные методы в задачах редукции высокоразмерных моделей // В сб. трудов Всероссийской научно-технической конференции "Проблемы разработки перспективных микроэлекгроиных систем - 2008" (МЭС-2008), М.: ИППМ РАН, 2008, С. 86-91.

5. М.М.Гурарин, М.М.Жаров, С.Г.Русаков, С.Л.Ульянов, Метод малосигнального анализа для моделирования многочастотных радиотехнических схем // В сб. трудов Всероссийской научно-технической конференции "Проблемы разработки перспективных микроэлектронных систем - 2008" (МЭС-2008), М.: ИППМ РАН, 2008, С. 71-76.

6. С.Л. Ульянов, М.М. Гурарий, Метод пристрелки для расчета установившегося периодического режима автономных генераторов // Известия ВУЗов. Электроника. 4(78),

2009,С. 78-83.

7. М.М. Гурарий, С.Л. Ульянов, Анализ условий синхронизации автогенератора // Известия ВУЗов. Электроника. 5(79), 2009, С. 57-65.

8. М.М. Гурарий, М.М. Жаров, С.Л. Ульянов, Вычислительный метод расчета фазового шума в автогенераторах И В сб. трудов Всероссийской научно-технической конференции "Проблемы разработки перспективных микро- и наноэлектронных систем - 2010" (МЭС-2010), М.: ИППМ РАН, 2010, С. 96-101.

9. М.М. Гурарий, С.Г. Русаков, С.Л. Ульянов, Разработка методов анализа режима взаимной синхронизации автогенераторов в интегральных схемах // В сб. трудов Всероссийской научно-технической конференции "Проблемы разработки перспективных микро- и наноэлектронных систем - 2010" (МЭС-2010), М.: ИППМ РАН,

2010, С. 138-143.

Статьи в изданиях, входящих в систему цитирования Web of Science

10. М. Gourary, S. Rusakov, S. Ulyanov, M. Zharov, et al., "Iterative Solution of Linear Systems in Harmonic Balance Analysis" // IEEE MTT-S International Microwave Symposium Digest, Denver, 1997, pp. 1507-1510.

11. M. M. Gourary, S. G. Rusakov, S. L. Ulyanov, M. M. Zharov etal, "Simulation of Higher Oscillators" // Proc. of Int. Conf. on Computer-Aided Design, San Jose, 1998,pp. 162-169.

12. M. M. Gourary, S. G. Rusakov, S. L. Ulyanov, M. M. Zharov et al, A New Numerical Method for Transient Noise Analysis of Nonlinear Circuits // Proc. of the Asia and South Pacific Design Automation Conference, Hong-Kong, Jan. 1999, pp. 165-168.

13. M. M. Gourary, S. G. Rusakov, S. L. Ulyanov, M. M. Zharov et al, A New Technique to Exploit Frequency Domain Latency in Harmonic Balance Simulators // Proc. of the Asia and South Pacific Design Automation Conference, Hong-Kong, Jan. 1999, pp. 65-68.

14. M. M. Gourary, S. G. Rusakov, S. L. Ulyanov, M. M. Zharov et al, "Adaptive Preconditioners for the Simulation of Extremely Nonlinear Circuits Using Harmonic Balance"/ / IEEE MTT-SInternational Microwave Symposium Digest, Anaheim, 1999, vol.2, pp. 779-782.

15. M. M. Gourary, S. G. Rusakov, S. L. Ulyanov, M. M. Zharov et al, New Methods for Speeding up Computation of Newton Updates in Harmonic Balance // IEEE/ACM Int. Conf. on Computer-Aided Design, San Jose, 1999, pp. 61-64.

16. M. M. Gourary, S. G. Rusakov, S. L. Ulyanov, M. M. Zharov et al, The Enhancing of Efficiency of the Harmonic Balance Analysis by Adaptation of Preconditioner to Circuit Nonlincarity // Proc. of the Asia and South Pacific Design Automation Confcrcncc, Yokohama, Jan. 2000, pp. 537-540.

17. M. M. Gourary, S. L. Ulyanov, M. M. Zharov, S. G. Rusakov, B. J. Mulvaney, "A robust and efficient oscillator analysis technique using harmonic balance"// Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, vol. 181(4), 2000, pp. 451-466.

18. M. M. Gourary, S. G. Rusakov, S. L. Ulyanov, M. M. Zharov et al, A New Approach for Computation of Timing Jitter in Phase Locked Loops // Proc. of Design, Automation and Test in Europe Conference, Paris, March 2000, pp. 345-349.

19. M. M. Gourary, S. G. Rusakov, S. L. Ulyanov, M. M. Zharov et al, Computational Method of Stability Investigation for Large Analog Circuits // Proc. of IEEE International Symposium on Circuits and Systems (ISCAS 2000), Geneva, May 2000, pp. II-168-11-171.

20. M. M. Gourary, S. G. Rusakov, S. L. Ulyanov, M. M. Zharov et al, An Optimum Fitting Algorithm for Generation of Reduced-Order Models // Proc. of the Asia and South Pacific Design Automation Conference, Yokohama, Jan. 2001, pp. 209-213.

21. M. M. Gourary, S. G. Rusakov, S. L. Ulyanov, M. M. Zharov et al, Time-domain non-Monte-Carlo method for noise simulation in CMOS imager sensors // Proc. SPIE Vol. 4761, p.

206-214, Second Conference on Photonics for Transportation, Sochy,2001, Published: 2002.

22. M. M. Gourary, S. G. Rusakov, S. L. Ulyanov, M. M. Zharov et al, Approximation Approach for Timing Jitter Characterization in Circuit Simulators // Proc. of Design, Automation and Test in Europe Conference DATE 2003, Munich, March 2003, pp. 156-161.

23. M. M. Gourary, S. G. Rusakov, S. L. Ulyanov, M. M. Zharov et al, A New Simulation Technique for Periodic Small-Signal Analysis // Proc. of Design, Automation and Test in Europe Conference DATE 2003, Munich, March 2003, pp. 244-249.

24. M. M. Gourary, S. G. Rusakov, S. L. Ulyanov, M. M. Zharov et al, New Computational Technique for Periodic Distortion Analysis of Communication Circuits // MTT-S Intern. Microwave Symposium Digest, Fort Worth, Texas, June 2004, vol. 2, pp. 941-944.

25. M. M. Gourary, S. G. Rusakov, S. L. Ulyanov, M. M. Zharov et al, Applying harmonic newton method for distortion analysis of electronic circuits // 34th European Microwave Conference, Amsterdam, Oct. 2004, Vol. 1, pp. 233- 236.

26. M. M. Gourary, S. G. Rusakov, S. L. Ulyanov, M. M. Zharov et al, Frequency Adjusting Numerical Technique for Oscillator Simulation // Proc. of the European Conference on Circuit Theory and Design ECCTD 2005, Cork, Ireland, August 2005, v. 3, pp. 121-124.

27. M. M. Gourary, S. G. Rusakov, S. L. Ulyanov, M. M. Zharov et al, Spice-oriented Iterative Technique for Distortion Analysis // Proc. of the IEEE Int. Symposium on Circuits and Systems (ISCAS 2006), Kos, Greece, May 2006, pp. 3990-3993.

28. M. M. Gourary, S. G. Rusakov, S. L. Ulyanov, M. M. Zharov et al, Efficient Computational Method for Modulation Analysis of Communication Circuits // Proc. of the 36th European Microwave Conference, Manchester, 2006, pp. 172-175.

29. M. M. Gourary, S. G. Rusakov, S. L. Ulyanov, M. M. Zharov et al, A Numerical Technique for Time Domain Noise Analysis of Oscillators // 8th European Conference on Circuit Theory and Design ECCTD 2007, Sevilla, Spain, August 2007, pp. 1002-1005.

30. M. M. Gourary, S. G. Rusakov, S. L. Ulyanov, M. M. Zharov et al, New Numerical Technique for Cyclostationary Noise Analysis of Oscillators // Proc. of the 37th European Microwave Conference, Munich, 2007, pp. 1173-1176.

31. M. M. Gourary, S. G. Rusakov, S. L. Ulyanov, M. M. Zharov et al, Analysis of Oscillator Injection Locking by Harmonic Balance Method // Proc. of Design Automation and Test in

Europe (DATE) Conf., Munich, March 2008, pp. 318-323.

32. M. M. Gourary, S. G. Rusakov, S. L. Ulyanov, M. M. Zharov et al, Injection Locking Conditions under Small Periodic Excitations // Proc. of 2008 IEEE Int. Symposium on Circuits and Systems (ISCAS 2008), Seattle, USA, May 2008, pp. 544-547.

33. M. M. Gourary, S. G. Rusakov, S. L. Ulyanov, M. M. Zharov et al, New Macromodeling Approach to Phase Noise Analysis of Locked Oscillators // Proc. of the 3 European Microwave Circuits Conf., Amsterdam, 2008, pp. 326-329.

34. M. M. Gourary, S. G. Rusakov, S. L. Ulyanov, M. M. Zharov et al, Smoothed Form of Nonlinear Phase Macromodel for Oscillators // IEEE/ACM Int. Conf. on Computer-Aided Design, San Jose, 2008, pp. 807-814.

35. M. M. Gourary, S. G. Rusakov, S. L. Ulyanov, M. M. Zharov et al, Improved Harmonic Balance Technique for Analysis of Ring Oscillators // 9th European Conference on Circuit Theory and Design ECCTD 2009, Antalya, Turkey, August 2009, pp. 327-330.

Статьи в изданиях, входящих в систему цитирования Springer

36. M. M. Gourary, S. G. Rusakov, S. L. Ulyanov, M. M. Zharov et al, Evaluation of Oscillator Phase and Frequency Transfer Functions // Scientific Computing in Electrical Engineering, Book series: Mathematics in Industry, Subseries: The European Consortium for Mathematics in Industry, Vol. 14, Springer, 2010, pp. 183-190.

37. M. M. Gourary, S. G. Rusakov, S. L. Ulyanov, M. M. Zharov, Network reduction by inductance elimination // Model Reduction for Circuit Simulation Series: Lecture Notes in Electrical Engineering (LNEE), Vol. 74, Springer, 2011, pp. 149-161.

Статьи в журналах и сборниках трудов

38. M. М. Gourary, S. G. Rusakov, S. L. Ulyanov, M. M. Zharov, A preconditioning method based on partition of unknowns for harmonic balance analysis // 8th Int. Conf. on Scientific Computing in Electrical Engineering (SCEE 2010), Toulouse, 2010, pp. 23-24.

39. M. M. Gourary, S. G. Rusakov, S. L. Ulyanov, M. M. Zharov, Mutual Injection Locking of Oscillators under Parasitic Couplings // 8th Int. Conf. on Scientific Computing in Electrical Engineering (SCEE 2010), Toulouse, 2010, pp. 79-80.

40. М.М.Гурарий, М.М.Жаров, С.Г.Русаков, С.Л.Ульянов, Метод расчета коэффициента мощности соседнего канала при схемотехническом моделировании радиосхем с

импульсной модуляцией // Сборник научных трудов научно-технической конференции :"Электроника, микро- и наноэлектроиика", М.: МИФИ, 2010, С. 239-244.

41. М.М.Гурарий, М.М.Жаров, С.Г.Русаков, С.Л.Ульянов, Автоматизированный расчет джиггера в схемах фазовой автоиодстройкн частоты // Сборник научных трудов научно-технической конференции :"Электроника, микро- и наноэлектроиика", М.: МИФИ, 2010, С. 270-277.

42. М.М. Gourary, S.G. Rusakov, A.L. Stempkovsky, S.L. Ulyanov, M.M. Zharov, Numerical Aspects of Adaptive Harmonic Balance Method in Circuit Simulation // Zbornik radova konfcrencije MIT 2009, Beograd, Serbia, 2010, pp. 155-162.

43. M.M. Gourary, S.G. Rusakov, S.L. Ulyanov, M.M. Zharov, A technique to accelerate the vector fitting algorithm for interconnect simulation // Proc. of IEEE East-West Design & Test Symposium (EWDTS'09), Moscow, Russia, September 2009, pp. 59-62.

44. M.M. Gourary, S.G. Rusakov, S.L. Ulyanov, M.M. Zharov, Frequency Domain Techniques for Simulation of Oscillators // Proc. of IEEE East-West Design & Test Symposium (EWDTS'09), Moscow, Russia, September 2009, pp. 63-66.

45. М.М.Гурарий, М.М.Жаров, С.Г.Русаков, С.Л.Ульянов, Новый метод анализа фазового шума синхронизированного автогенератора // Сборник научных трудов научно-технической конференции :"Электроника, микро- и наноэлектроиика", М.: МИФИ, 2009, С. 178-184.

46. М.М.Гурарий, М.М.Жаров, С.Г.Русаков, С.Л.Ульянов, Параметрическая редукция моделей межсоединений СБИС // Сборник научных трудов научно-технической конференции ¡"Электроника, микро- и наноэлектроника", М.: МИФИ, 2009, С. 82-88.

47. M.M. Gourary, S.G. Rusakov, S.L. Ulyanov, M.M. Zharov, Evaluation of Oscillator Phase Transfer Functions // 7th Int. Conf. on Scientific Computing in Electrical Engineering (SCEE 2008), Helsinki, 2008, pp. 101-102.

48. M.M. Gourary, S.G. Rusakov, S.L. Ulyanov, M.M. Zharov, Convergence Issues of Ring Oscillator Simulation by Harmonic Balance Technique // 7th Int. Conf. on Scientific Computing in Electrical Engineering (SCEE 2008), Helsinki, 2008, pp. 145-146.

49. M.M. Gourary, S.G. Rusakov, S.L. Ulyanov, M.M. Zharov, Fast Linear Solver for Vector Fitting Method // 7th Int. Conf. on Scientific Computing in Electrical Engineering (SCEE

2008), Helsinki, 2008, pp. 175-176.

50. М.М.Гурарий, М.М.Жаров, С.Г.Русаков, С.Л.Ульянов, Аппроксимация передаточных функций в САПР БИС с автоматическим выбором порядка редуцированных моделей // Сборник научных трудов научно-технической конференции ¡"Электроника, микро- и наноэлектроника", М.: МИФИ, 2008, С. 40-47.

51. М.М. Gourary, S.G. Rusakov, S.L. Ulyanov, M.M. Zharov, Numerical Approach for Distortion Analysis without High-order Derivatives in Device Models // Proc. of IEEE East-West Design & Test Symposium (EWDTS'07), Yerevan, Armenia, September 2007, pp. 527532.

52. М.М.Гурарий, М.М.Жаров, С.Г.Русаков, С.Л.Ульянов, Моделирование интегральных спиральных индуктивностей для проектирования систем на кристалле с радиотехническими блоками // Сборник научных трудов научно-технической конференции ¡"Электроника, микро- и наноэлектроника", М.: МИФИ, 2007, С. 101-105.

53. М.М.Гурарий, М.М.Жаров, С.Г.Русаков, С.Л.Ульянов, Метод моделирования кольцевых генераторов в частотной области // Сборник научных трудов научно-технической конференции ¡"Электроника, микро- и наноэлектроника", М.: МИФИ, 2006, С. 51-56.

54. М.М.Гурарий, М.М.Жаров, С.Г.Русаков, С.Л.Ульянов, Моделирование автогенераторных схем методом искусственного зонда // Сборник научных трудов 7 научно-технической конференции ¡"Электроника, микро- и наноэлектроника", М.: МИФИ, 2005, С. 35-39.

55. М.М. Gourary, S.G. Rusakov, S.L. Ulyanov, M.M. Zharov, et al, Numerical Simulation of Timing Jitter in Nonlinear Electrical Circuits Based on Interval Evaluation // 7th IMACS WORLD CONGRESS on Scientific Computation, Applied Mathematics and Simulation, Paris, July 2005.

56. M.M. Gourary, S.G. Rusakov, S.L. Ulyanov, M.M. Zharov, et al, Krylov Subspace Method for Solving Parameterized Linear Systems with Multiple Right-Hand Sides // 7th IMACS WORLD CONGRESS on Scientific Computation, Applied Mathematics and Simulation, Paris, July 2005.

57. М.М.Гурарий, М.М.Жаров, С.Г.Русаков, С.Л.Ульянов, Метод моделирования

шумовых характеристик нелинейных электронных схем И Третья Международная научно-техническая конференция, М.: МИЭТ, ноябрь 2000, С. 222-223.

58. М.М.Гурарнй, М.М.Жаров, С.Г.Русаков, С.Л.Ульянов, Вычислительный метод исследования устойчивости больших аналоговых схем //Третья Международная научно-техническая конференция, М.: МИЭТ, ноябрь 2000, с. 224-225.

59. М.М.Гурарнй, М.М.Жаров, С.Г.Русаков, С.Л.Ульянов, Алгоритм нестационарного шумового анализа нелинейных оптоэлектронных схем // XI Международная научно-техническая конференция "Лазеры в науке и технике", г. Сочи, сентябрь 2000.

60. М.М. Gourary, S.G. Rusakov, S.L. Ulyanov, M.M. Zharov, et al, Adaptive Preconditioning of Strong Nonlinear Harmonic Balance Problems for Electrical Networks // Proc.I6th IMACS WORLD CONGRESS 2000 on Scientific Computation, Applied Mathematics and Simulation, Lausanne, August 2000.

61. M.M. Gourary, S.G. Rusakov, S.L. Ulyanov, M.M. Zharov, et al, A New Computational Approach to Simulate Highly Nonlinear Systems by Harmonic Balance Method // Proc.I6th IMACS WORLD CONGRESS 2000 on Scientific Computation, Applied Mathematics and Simulation, Lausanne, August 2000.

62. M.M. Gourary, S.G. Rusakov, S.L. Ulyanov, M.M. Zharov, et al, Simulation of oscillators // Proc. 16th IMACS WORLD CONGRESS 2000 on Scientific Computation, Applied Mathematics and Simulation, Lausanne, August 2000.

63. S. L. Ulyanov, EXTRARIS: The Model Parameter Identification System // Proceedings of Fourth Int. Workshop PATMOS-94, Barcelona, 1994., pp. 1-12.

64. S. L. Ulyanov, The investigation of Global Optimization Method for Model Parameter Extraction // Proceedings of 3rd International Design Automation Workshop, Moscow, 1993, pp. 194-202.

65. Баталов Б.В., Русаков С.Г., Жаров M.M., Ульянов С.Л. и др., Интерактивная система схемотехнического моделирования на персональных компьютерах II Микропроцессорные средства и системы, 1990, N 5, С. 36-38.

66. Лялинский А.А., Мочкин B.C., Стуканов В.П., Ульянов С.Л., Экономичная модель МДП транзистора для схемотехнического моделирования аналоговых схем // Техника средств связи, Сер. Микроэлекгронная аппаратура, 1988, вып. I, С. 45-49.

67. Баталов Б.В., Русаков С.Г., Ватагин В.П., Жаров М.М., Ульянов С.Л., Система схемотехнического моделирования АРИС // Управляющие системы и машины, 1988, N1, С. 94-96.

68. Русаков С.Г., Ульянов C.J1., Диалоговая система параметрической идентификации моделей элементов ИС // Изв. ВУЗов MB и ССО СССР-Радиоэлектроника, 1986, т. 29, N 9, С. 77-79.

69. Ватагин В.П., Русаков С.Г., Ульянов C.JI., Хабаров А.Н., Диалоговая система формирования и тестирования моделей компонентов и фрагментов ИС // В сб. "Автоматизация проектирования в электронике", Киев, 1986, выи.35, С. 49-55.

70. Стуканов В.П., Ульянов C.JI., Идентификация параметров моделей МДП транзистора для схемотехнического моделирования КМДП аналоговых схем // Техника средств связи. Сер. Микроэлекгронная аппаратура, 1985, вып.1-2 (6-7), С. 58-63.

71. Баталов Б.В., Русаков С.Г., Хабаров А.Н., Фролов В.В., Ватагин В.П., Жаров М.М., Ульянов СЛ., Комплекс программ автоматизированного расчета электрических характеристик интегральных схем на мини-ЭВМ (мини-АРИС) // В сб. "Микроэлектроника и п/п приборы", М.: Радио и связь, 1984, выгг.9, С. 157-174.

Патент на изобретение

Method and apparatus for distortion analysis of nonlinear circuits, US Patent 7,007,253B2, 28 Feb. 2006.

Заказ № . Тираж 100 экз. Уч.-изд. л. 1,3. Формат 60x84 1/16. Отпечатано в типографии ООО <ПРИНТ>. 124683, Москва, Зеленоград, ул. 1 мая, д.З.

Введение .б

1 Проблемы автоматизированного анализа нелинейных радиотехнических схем

1.1. Состояние проблемы моделирования нелинейных радиотехнических схем

1.1.1. Виды анализа нелинейных радиотехнических схем.

1.1.2. Классификация' методов анализа установившегося режима

1.1.3. Методы анализа шумовых характеристик.

1.2. Проблемы нелинейных искажений в радиотехнических схемах.

1.2.1. Функциональная схема радиосистемы.

1.2.2. Прохождение сигнала через нелинейную систему

1.2.3. Метрики нелинейных искажений при однотональном воздействии

1.2.4. Метрики нелинейных искажений при двухтоиальном воздействии

1.2.5. Метрики нелинейных искажений при мультитональном воздействии

1.3. Состояние проблемы автоматизированного анализа нелинейных искажений в схемотехническом моделировании

1.3.1. Методы анализа гармонических и интермодуляционных искажений

1.3.2. Методы анализа схем с цифровой модуляцией сигналов.

1.4. Задачи исследования.

2 Разработка метода гармонического баланса для анализа установившегося режима и нелинейных искажений в режиме большого сигнала

2.1. Периодический и квазипериодический установившийся режим.

2.2. Принцип гармонического баланса

2.3. Узловая формулировка метода гармонического баланса для зарядовой модели схемы.

2.4. Мегод гармонического баланса для расчета квазипериодического установившегося режима.

2.5. Решение системы нелинейных уравнений гармонического баланса.

2.5.1. Выбор метода решения системы нелинейных уравнений

2.5.2. Метод Ньютона.■.

2.5.3. Структура матрицы Якоби.

2.6. Совершенствование метода гармонического баланса для анализа нелинейных искажений в режиме большого сигнала

2.6.1. Формулировка метода гармонического баланса, не требующего явного формирования матрицы Якоби.

2.6.2. Вычисление матрично-векторного произведения.

2.6.3. Оценка сложности вычислений.

2.7. Решение линейной системы уравнений в методе гармонического баланса

2.7.1. Выбор итерационного метода.

2.7.2. Выбор типа предобуславливателя.

2.7.3. Блочно-диагональный предобуславливатель.

2.8. Разработка методов предобуславливания в задачах гармонического баланса

2.8.1. Методы предобуславливания в задачах гармонического баланса.

2.8.2. Адаптивный предобуславливатель.

2.8.3. Метод предобуславливания на основе дополнения Шура и оценки нелинейности переменных

2.8.4. Метод предобуславливания на основе частотной декомпозиции переменных

2.9. Выводы.

3 Исследование и разработка методов анализа установившегося периодического режима во временной области

Актуальность исследования

Современный этап развития интегральных схем характеризуется переходом к элементам схем с глубоко субмикронными и нанометровыми размерами, применением элементов на новых физических принципах работы и появлением технологий, позволяющих создавать на одном кристалле смешанные (аналогово-цифровые) схемы и системы с высокой степенью интеграции. Области применения таких схем включают радиотехнические схемы и системы; схемы высокоскоростной беспроводной, цифровой и спутниковой связи; системы позиционирования; автомобильные радары и радары в авиации; схемы управления и дистанционного измерения в промышленности; схемы визуализации и многое другое.

Проектирование такой широкой номенклагуры аналоговых схем для радио и высокочастотных приложений невозможно без широкого применения систем автоматизированного проектирования (САПР), составной частью которых являются комплексы программ схемотехнического моделирования. Для успешного применения в процессе проектирования современные программы схемотехнического моделирования должны имегь в своем составе средства для проведения полного цикла расчетов основных характеристик аналоговых и радиотехнических схем. Наряду с традиционными видами анализа аналоговых схем, включая анализ по постоянному току, расчет переходных процессов, частотный анализ, анализ шумов, программы должны обеспечивать расчет периодического установившегося режима и расчет основных характеристик радиотехнических схем в периодическом режиме.

Проведенные до настоящего времени отечественными и зарубежными специалистами теоретические и практические исследования заложили основы для создания программного обеспечения автоматизации схемотехнического проектирования. Среди отечественных исследователей, внесших значительный вклад в создание математического обеспечения систем автоматизации схемотехнического проектирования, могут быть названы: Анисимов В.И., Архангельский А.Я., Баталов Б.В., Бененсон З.М., Ильин В.Н., Казсниов Г.Г., Норенков И.П., Петренко А.И, Петросянц К.О., Сигорский В.П., и другие. Прогресс в области специализированных методов расчета радиотехнических схем связан с работами Ильина В.Н., Бененсона З.М., Норенкова И.П., Соколова А.Г., спектральных методов анализа и применением теории рядов Вольтерра - с работами Ланцова В.Н., Алексеева О.В., Соловьева A.A. и других.

Несмотря на достигнутый прогресс, существует необходимость в новых и более эффективных методах анализа аналоговых и радиотехнических схем. Эта потребность обусловлена появлением глубоко субмикронных и нанометровых технологий, уменьшением топологических размеров элементов схем, повышением степени интеграции СБИС и повышением рабочих частот схем. Необходимость учета влияния паразитных элементов схем, электромагнитного взаимодействия и усложнение моделей для учета высокочастотных эффектов приводит к резкому росту сложности моделируемых схем. Применение низковольтного питания в схемах обуславливает рост нелинейности характеристик элементов схем. Таким образом, для моделирования схем, изготовленных по глубоко субмикропным и нанометровым технологиям, необходимо иметь методы позволяющие радикально повысить эффективность моделирования.

Разработка высокоэффективных методов и алгоритмов автоматизации проектирования радиотехнических интегральных схем является в настоящее время одним из наиболее актуальных научно-исследовательских направлений развития САПР. Диссертационная работа посвящена решению важной научно-технической проблемы - разработке новых методов и алгоритмов анализа нелинейных радиотехнических схем, которые позволяют создать программные средства для автоматизации схемотехнического проектирования современных радиотехнических интегральных схем на базе перспективных технологий. t

Наиболее важным является анализ установившегося режима, по результатам которого рассчитываются основные характеристики радиотехнических схем. Высокая размерность задач в методе гармонического баланса определяется произведением двух факторов - размерностью схемы и числом гармоник, необходимых для моделирования. Применение прямых методов решения линейных алгебраических систем не позволяет создать эффективные методы гармонического баланса для моделирования схем большой размерности. Использование итерационных методов решения линейных алгебраических систем устраняет это ограничение, однако с ростом нелинейности анализируемых схсм применение известных реализаций метода оказывается невозможным вследствие резкого роста вычислительных затрат. Это является основным препятствием использования метода для анализа установившегося режима и нелинейных искажений в сильнонелинейных схемах. Расширение возможностей метода гармонического баланса для анализа таких схем является актуальным направлением исследований современных методов моделирования и разработки на их базе программного обеспечения моделирования радиотехнических схем.

При проектировании схем для радио и высокочастотных приложений одним из основных требований является их линейность по отношению к полезному сигналу. Стандартные характеристики нелинейных искажений определяются при воздействии на схему одного или двух тестовых гармонических сигналов и включают : коэффициент гармонических искажений, коэффициенты интермодуляционных искажений второго или третьего порядка, точку компрессии на 1 дБ, точки интермодуляционных искажений второго или третьего порядка 1Р2,1РЗ, и т.п.

При проектировании схем для современных цифровых систем связи, где широко применяется цифровая модуляция сигналов, стандартных характеристик нелинейных искажений оказывается недостаточно. В качестве альтернативы рассматриваются метрики, для расчета которых тестовый сигнал задан сложным полигармоническим воздействием, содержащим большое количество тонов.

Разработанные в последние годы коммерческие специализированные программы схемотехнического моделирования аналоговых и радиотехнических схем (КБ симуляторы) обеспечивают широкий набор видов анализа радиотехнических схем, включая расчет периодического и квазипериодического установившегося режима, малосигнальный периодический (квазипериодический) анализ: частотный, шумовой, расчет передаточной функции. Однако специальные виды анализа нелинейных искажений отсутствуют, а для анализа гармонических и интермодуляционных нелинейных искажений применяются методы расчета квазипериодического установившегося режима.

Однако вследствие значительных вычислительных затрат такого моделирования целесообразно разработать и применять специальные методы, обеспечивающие существенное ускорение в сравнении с методами расчета квазипериоднческого установившегося режима. В настоящее время такие методы отсутствуют.

Для анализа нелинейных искажений в 70-90е годы разработаны специальные методы, использующие аппарат теории рядов Вольтерра. Эти методы имеют ряд ограничений и недостатков при применении их для схемотехнического моделирования современных радиотехнических и высокочастотных схем.

Для анализа схем с цифровой модуляцией сигналов и расчета метрик со сложными полигармоническими воздействиями непосредственное применение известных методов в частотной или временной областях невозможно вследствие чрезмерно высокой размерности задачи и неприемлемо больших временных затрат. Поэтому требуются новые подходы и разработка новых методов решения данной задачи.

Цель и задачи исследования

Целью исследования является разработка теоретических основ, методов и алгоритмов анализа нелинейных радиотехнических схем в системах автоматизации схемотехниче ского пр о ектир ования.

Для достижения поставленной цели необходимо решение следующих задач:

I 1

- анализ проблем моделирования нелинейных радиотехнических схем и применяемых для моделирования методов,

- разработка эффективных методов анализа установившегося режима в аналоговых и радиотехнических схемах,

- разработка специального метода для схемотехнического моделирования нелинейных искажений в аналоговых и радиотехнических схемах в установившемся режиме по постоянному гоку,

- разработка специальных методов для схемотехнического моделирования нелинейных искажений в аналоговых и радиотехнических схемах в периодическом установившемся режиме,

- разработка методов для схемотехнического моделирования радиотехнических схем при сложных полигармонических воздействиях,

- разработка методов малосигнального и шумового анализа в периодическом установившемся режиме. I

Методы исследования

При разработке методов анализа нелинейных радиотехнических схем были использованы теория электрических цепей, теория радиотехнических сигналов, методы математического моделирования схем, элементы теории функций комплексных переменных, методы линейной алгебры, теория и численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений, элементы теории вероятностей и математической статистики, численные методы решения линейных и нелинейных алгебраических уравнений.

Достоверность результатов диссертационной работы обеспечена обоснованием основных теоретических положений, а также большим объемом численных экспериментов, для выполнения которых было разработано специализированное программное обеспечение. Полученные результаты согласуются с современными научными представлениями и данными отечественных и зарубежных информационных источников, подтверждаются обсуждением в научных изданиях и выступлениях на научных конференциях и использованием их при практическом проектировании.

На защиту выносятся

Новый метод гармонического баланса для анализа установившегося режима в нелинейных аналоговых и радиотехнических схемах,

Новый метод пристрелки для анализа установившегося периодического режима автогенераторов,

Метод для схемотехнического моделирования нелинейных искажений в аналоговых и радиотехнических схемах в установившемся режиме по постоянному току,

Новые специальные методы для схемотехнического моделирования нелинейных искажений в аналоговых и радиотехнических схемах в периодическом установившемся I режиме в частотной и временной области,

Метод для схемотехнического моделирования радиотехнических схем с цифровой модуляцией и сложными полигармоническими воздействиями,

Новый вычислительный метод для расчета фазового шума в автогенераторах.

Результаты получены лично автором.

Научная новизна

1) Разработан новый метод гармонического баланса для расчета установившегося режима нелинейных радиотехнических схем, в котором эффективность достигается за счет применения итерационных методов решения высокоразмерных линейных систем уравнений с предобуславливанием. Предложены методы предобусдавливания на основе дополнения Шура и оценки нелинейности переменных и на основе частотной декомпозиции переменных, которые позволяют распространить этот метод с сохранением его преимуществ на класс сильно нелинейных схем.

2) Получены уравнения нового метода пристрелки для анализа установившегося периодического режима автогенераторов, в котором проблема обеспечения единственности решения решена за счет введения дополнительного условия окончания процесса интегрирования и который поэтому не требует задания дополнительной информации. Разработана вычислительная схема нового метода, которая основана на комбинации методов пристрелки и Ньютона для решения краевых задач и использует неявное определение периода колебаний в процессе интегрирования. I

3) Предложен новый подход для конструирования вычислительных методов расчета нелинейных искажений на базе применения численного анализа и итерационных методов решения нелинейных уравнений. Показано, что вычислительный метод состоит из рекурсивной процедуры, которая в отличие от итерационных методов включает три шага решения систем линейных уравнений меньшей размерности.

4) Разработан новый специальный метод для схемотехнического моделирования нелинейных искажений в аналоговых и радиотехнических схемах в установившемся режиме по постоянному току, который устраняет ограничения методов на базе рядов Вольтерра. Получены выражения метода на основе применения упрощенного метода

I \

Ньютона к уравнениям гармонического баланса.

5) Предложена методика расчета покомпонентных индивидуальных вкладов в общие нелинейные искажения. Для практически важного случая определения нелинейных искажений в выходном узле введены векторная форма для искажений второго порядка и матричная форма для искажений третьего порядка. Показано, что матричная форма позволяет получать различную информацию о влияний нелинейно стей схемы на величину нелинейных искажений.

6) Разработаны новые методы анализа нелинейных искажений в периодическом установившемся режиме в частотной и временной области, которые дают значительное сокращение вычислительных затрат по сравнению с методами определения квазипериодического установившегося режима.

7) Разработан новый метод анализа радиотехнических схем с цифровой модуляцией, полученный на основе упрощения уравнений гармонического баланса с переменными коэффициентами Фурье, который позволяет рассчитывать метрики нелинейных искажений при сложных полигармонических тестовых сигналах на эгапе схемотехнического проектирования. Разработана вычислительная схема анализа, которая включает этап построения амплитудных и фазовых зависимостей схемы и этап вычисления выходных характеристик с использованием полученных зависимостей.

8) Разработан новый вычислительный метод для расчета фазового шума в автогенераторах, который в отличие от известных методов этого класса устраняет трудности при расчете спектральной плотности шума вблизи частоты собственных колебаний генератора и который пригоден для расчетов в широком диапазоне смещений.

Практическая значимость и реализация результатов работы

Все методы, разработанные в рамках данной работы, реализованы в виде программного обеспечения системы автоматизации схемотехнического проектирования аналоговых и радиотехнических схем. Методы позволяют проводить полный цикл моделирования нелинейных высокочастотных радиотехнических схем при их практическом проектировании и исследовании их характеристик, а также позволяют снять ряд ограничений применяемых в настоящее время программ схемотехнического моделирования. Система автоматизации схемотехнического проектирования аналоговых и радиотехнических схем разработана в соответствии с объектно-ориентированным подходом в программировании, написана на языке С и допускает установку на различных вычислительных платформах.

Результаты работы в виде программного обеспечения системы автоматизации схемотехнического проектирования аналоговых и радиотехнических схем были использованы при практическом проектировании интегральных схем на ряде предприятий электронной промышленности, в том числе ФГУП «Научно-производственное предприятие «Пульсар», ФГУП «Научно-исследовательский институт электронной техники», ОАО «Ангетрем-М», ГУ «Научно-исследовательский институт микроэлектроники и информационно-измерительной техники МИЭМ».

Апробация работы

Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на следующих конференциях:

Международный форум по нанотехнологиям (Rusnanotech), Москва, ноябрь 2010;

IEEE/ACM International Conference on Computer-Aided Design (ICCAD), 1998, 1999, 2008 r.r.;

Asia and South Pacific Design Automation Conference (ASP-DAC), 1999, 2000, 2001 nr.;

IEEE International Symposium on Circuits and Systems (ISCAS), 2000, 2006, 2008 r.r.;

Design Automation and Test in Europe (DATE) Conference, 2003, 2008 r.r.;

European Conference on Circuit Theory and Design (ECCTD), 2005, 2007, 2009;

MTT-S International Microwave Symposium, 1997, 1999, 2004 r.r.;

European Microwave Circuits Conference, 2004, 2006, 2007, 2008 r.r.;

International Conference on Scientific Computing in Electrical Engineering (SCEE), 2008, 2010;

IEEE East-West Design & Test Symposium (EWDTS), 2007, 2009 r.r.;

IMACS World Congress on Scientific Computation, Applied Mathematics and Simulation, 2000, 2005 r.r.;

Conference Mathematical and Informational Technologies MIT 2009, Serbia, Montenegro, 2009;

Всероссийская научно-техническая конференция "Проблемы разработки перспективных микро- и наноэлекгронных систем", 2005, 2006, 2008 и 2010 г.г.;

Научно-техническая конференция '."Электроника, микро- и наноэлектроника", Москва, 2005, 2006, 2007, 2008, 2009, 2010 г.г.;

Третья Международная научно-техническая конференция, Москва, ноябрь 2000.

Публикации

Основные результаты работы опубликованы в одной' монографии, 36 статьях в изданиях, рекомендованных ВАКом и в международных изданиях, входящих в систему цитирования Web of Science и Springer.

На предложенный метод анализа нелинейных искажений в периодическом установившемся режиме во временной области получен патент на изобретение. Общее число публикаций по теме диссертации составляет 71.

Основные результаты работьтсостоят в следующем:

1) Разработан; новый метод, гармонического баланса для расчета установившегося режима и анализа нелинейных искажений в режиме большого сигнала в радиотехнических схемах, в котором эффективность достигается;: за счет применения итерационных методов: решения* высокоразмерных линейных, систем уравнений с предобусдавливанием, и который, в отличие от ранее применяемых методов, позволяет анализировать схемы; большой размерности с числом узлов в несколько тысяч. Предложена формулировка метода гармонического баланса, при которой не выполняется формирование и хранение матрицы Якоби, а обеспечивается лишь хранение элементов матриц проводимостей: и емкостей во временной области. Разработана процедура умножения,- матрицы Якоби на вектор с помощью комбинации операций сложения, умножения, прямого:'и обратного преобразования Фурье. Разработаны, методы предобуславливания на основе дополнения Шура и оценки нелинейности переменных и на основе .частотной декомпозиции переменных, которые позволяют распространить метод гармонического- баланса с сохранением его преимуществ: на класс сильно нелинейных схем.

2) Получены: уравнения нового метода пристрелки для анализа установившегося: периодического режима автогенераторов, в котором проблема обеспечения единственности решения решена за счет введения нового дополнительного условия окончания процесса интегрирования. Разработана вычислительная схема нового метода, основанная на комбинации методов пристрелки и Ньютона для решения краевых задач, которая использует неявное определение периода колебаний в процессе интегрирования.

Такой способ определения устраняет необходимость задавать дополнительную информацию, что . делает, предложенный? метод . достаточно универсальным и эффективным средством моделирования; , ,

3)' Предложен новый подход для/; конструирования .вычислительных; методов' расчета нелинейных: искажений на базе: применения- итерационных: методрв решения • нелинейных' уравнений! 'Еазработанааг. рекурсивная? ^вычислительная» процедура, включающая , три шага решения линейных, алгебраических: систем1; уравнений. . Существенным достоинством>новогоподхода по сравнению с методами рядов Вольтерра является то, .что в нем! не:требуется вычисления коэффициентов1 разложеният;ряд всех: нелинейных зависимостей в,модешх.полуироводниковых приборов:

Показано, что рекурсивная; процедура: обеспечивает тот же; порядок точности; что и применение методов^ рядов В ольтерра, Применение. предложенного подхода позволяет получить-новые методьъанализашелииейных искажений схем в .установившемся режиме . по постоянно^ току и:в у становившемся периодическом режиме. . .

4) Предложен новьш: специальный метод: для схемотехнического моделирования нелинейных, искажений; в аналоговых и радиотехнических схемах в установившемся режиме по постоянному току. Метод основан: на применении: упрощенного , метода Ньютона к уравнениям гармонического баланса. Разработана рекурсивная вычислительная процедура, включающая три шага решения линейных алгебраических систем. По сравнению^ полным нелинейным анализом установившихся периодических, (квазипериодических)' процессов данный: метод имеет значительно меньшие вычислительные затраты, сравнимые по порядку величины с методами рядов В ольтерра, обеспечивая в среднем 20-30 кратное ускорение расчетов. Метод позволяет рассчитывать метрики гармонических и интермодуляционных искажений.

5) Разработана методика и вычислительные схемы для; расчета покомпонентных индивидуальных вкладов в обпще. нелинейные'искажения. Для практически важного случая.определения нелинейных искажений:в выходном узле введены векторная форма для искажений второго порядка и матричная форма для искажений третьего порядка. Показано, что матричная форма позволяет получать:различную информацию о влиянии нелинейно стей схемы на- величину нелинейных искажений.

6) Разработан новый метод для-, схемотехнического моделйрования . нелинейных искажений в аналоговь1Х и радиотехнических схемах в периодическом установившемся режиме в частотной области; Вычислительная схема метода включает определение, периодического установившегося; режима • методом, гармонического-' баланса и рекурсивную процедуру из трех шагов. Разработанный? метод расчета периодических нелинейных искажений ; обеспечивает желаемую - точность вычисления; нелинейных искажений, и 20-3 0 кратное,ускорение в сравнений с полным анализом установившихся :. квазипериодических процессов методом гармонического баланса. •

7) Разработан специальный метод для:схемотехнического моделирования нелинейных искажений в: аналоговых и радиотехнических- схемах в периодическом установившемся режиме во временной области. Метод, основан на применении* упрощенного метода. Ньютона к .решению г уравнений смешанного V частотно-временного . 'метода. Вычислительная;схема метода включает определение'периодического установившегося режима методом пристрелки и рекурсивную • процедуру. По сравнению с полным нелинейным анализом установившихся квазипериодических процессов данный; метод . имеет значительно меньшие вычислительные затраты.

8). Разработаны методы для; схемотехнического моделирования, нелинейных радиотехнических схем с цифровой модуляцией и при сложных полигармонических воздействиях. • '•

В рамках метода гармонического баланса с переменными коэффициентами Фурье для получения результирующего спектра .выходного; сигнала и расчета метрик, нелинейных искажений предложено-применить вместо быстрого преобразования Фурье интеграл Фурье. Получены выражения и разработаны алгоритмы для расчета интеграла Фурье с учетом применяемого алгоритма интегрирования ОДУ с переменным шагом и порядком. Достоинством метода по сравнению с известными вариантами гармонического баланса с переменными коэффициентами Фурье является то, что исключается; предварительная обработка данных, чтобы обеспечить равномерное распределение точек отсчета для применения быстрого преобразования Фурье-.и повышается точность расчетов.

9) Предложен специальный метод анализа на основе упрощения уравнений гармонического баланса с переменными коэффициентами Фурье. -Разработана вычислительная схема анализа, которая, включает этап построения- амплитудных и фазовых зависимостей- схемы и этап вычисления выходных; характеристик с использованием полученных зависимостей; Область применимости специального метода; анализа включает схемы,; в которых низкочастотные динамические, эффекты малы. Разработанный: метод обеспечивает эффективный: расчет важных характеристик нелинейных: искажений N14%. и АСР11 в системах автоматизации схемотехнического проектирования. Основные вычислительные затраты в методе анализа обусловлены многократным выполнениемоднотонового. гармонического баланса на этапе построения амплитудных; и фазовых зависимостей, схемных- переменных от величины входного, воздействия; По сравнению с методом гармонического баланса с переменными коэффициентами Фурье предложенный метод является на порядок более быстрым.

10) Разработаны . методы малосигнального анализа; в периодическом режиме: в частотной и временной области.

Предложена вычислительная; схема мало сигнального, анализа во временной области, которая позволяет избежать формирования, хранения и факторизации большой матрицы Якоби. При условии, что диагональные блоки; матрицы вычислены и хранятся в факгоризованной форме, вычислительная схема включает лишь решение линейных систем размерности схемы.

Разработана вычислительная: схема малосигнального анализа в частотной области, включающая решение, систем линейных уравнений с многими правыми частями итерационным .методом: Показано, что предложенная: модификация итерационного алгоритма позволяет: существенно сократить, временные затраты анализа при вариации частоты малосигнального возбуждения-за счет уменьшения затрат матрично-векторного умножения и использования накопленных в процессе решения векторов подпространства. 1

11) Показано, что вырожденность матрицы Якоби в точке собственной частоты автогенератора вызывает плохую обусловленность матрицы Якоби в области малых отклонений от собственной частоты, которая приводит либо к нестабильности оценки шума в области, мальгх. отклонений от собственной,частоты, либо к неверному наклону графика спектральной;плотности мощности шума автогенератора при расчета шумовых характеристик в периодическом установившемся режиме методами, основанными на линейной нестационарной модели схемы.

12) Предложено эквивалентное преобразование линейной системы уравнений, описывающей линейную периодически нестационарную модель схемы автогенератора. Показано, что получившаяся в результате преобразования матрица эквивалентной системы уравнений является невырожденной при собственной частоте автогенератора. ) Разработан новый вычислительный метод для расчета фазового шума в автогенераторах, который основан на линейной нестационарной модели системы. В отличие от известных методов этого класса предложенный метод устраняет трудности при расчете спектральной плотности шума вблизи частоты собственных колебаний генератора В сравнении с методами, основанными на теории возмущений и расчете векторов Флоке, предложенный метод дает корректные результаты при больших отклонениях от частоты собственных колебаний генератора, т. е. метод пригоден для расчетов в широком диапазоне смещений.

13) Разработано прикладное программное обеспечение системы автоматизации схемотехнического проектирования аналоговых и радиотехнических схем. Предложенные методы анализа позволяют проводить полный цикл моделирования нелинейных высокочастотных радиотехнических схем при их проектировании и снять ряд ограничений применяемых в настоящее время программ схемотехнического моделирования. Система автоматизации схемотехнического проектирования использовалась при практическом проектировании интегральных схем на ряде предприятий электронной промышленности. ' '

Заключение:

Совокупность проведенных в диссертационной: работе исследований, является решением; крупной научно-технической проблемы, заключающейся в создании и развитии' нового' поколениям методов анализам нелинейных радиотехнических схем, решение которой; имеет важное значение, так как обеспечивает применение систем автоматизации схемотехнического проектирования в цикле разработки современных радиотехнических интегральных схем на основе перспективных технологий с проектными нормами в субнанометровом и нанометровом диапазонах.

1. Алексеев О.В., Асович П.Л., Соловьев АА. Спектральные методы анализа нелинейныхрадиоустройств с помощью ЭВМ. М.: Радио и связь, 1985. - 152 с.

2. Анисимов E.H., Хотунцев Ю.Л. О возможностях спектрального метода расчетастационарного режима. // Радиотехника и электроника, 1981, т. 26, №2, с. 371-376.

3. Асович П.Л., Соловьев A.A. Метод ускоренного расчета амплитудных и частотныххарактеристик нелинейных радиотрактов. // Радиотехника, 1983, т. 38, № 4, с. 81-84.

4. Баскаков С.И., Радиотехнические цепи и сигналы М.: Высш. шк., 2000. - 462 с

5. Баталов Б.В., Егоров Ю.Б., Русаков С.Г., Основы математического моделирования большихинтегральных схем на ЭВМ. М.: Радио и связь, 1982. - 168 с.

6. Бахвалов Н.С., Численные методы. М.: Наука, 1973. - 631с.

7. Беллман Р, Калаба Р.,Квазилипеаризация и нелинейные краевые задачи. М.: Мир, 1968. - 184с.

8. Моделирование и оптимизация на ЭВМ радиоэлектронных устройств/ Под ред. З.М.

9. Бененсона М.: Радио и связь, 1981. - 272 с.

10. Богданович Б.М. Нелинейные искажения в приемноусилительных устройствах. М.- Связь,1980.-279 с.

11. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория случайных процессов и ее инженерные приложения.1. М.: Наука, 1991.-384 с.

12. Вержбицкий В.М. Численные методы (линейная алгебра и нелинейные уравнения) М.:1. Высш. шк., 2000. 266 с.

13. Влах И., Сингхал К., Машинные методы анализа и проектирования электронных схем. М.:

14. Радио и связь, 1988. 560 с.

15. Воеводин В.В., Кузнецов ЮА. Матрицы и вычисления. М.: Наука, 1984. - 320 с.

16. Волков ЕА.,'Нечес И.О., Пирогова Н.Д. Моделирование радиоприемных трактов на основерядов Вольтерра // Радиотехника, 1993, No 2, С. 25-27.

17. Груненков A.A., Калинин В.В. Анализ умножителей частоты на диодах с барьером Шоттки

18. Радиотехника,* 1982, т. 37, №.10, с. 40-43.

19. Гурарий М.М., Русаков С.Г., Зарудный Д.И., Моделирование на ЭЦВМ периодическихпроцессов в интегральных схемах // Автоматика и вычислительная техника, 1973, №1, с 83-85.

20. М.М.Гурарий, М.М.Жаров, С.Г.Русаков, С.Л.Ульянов, Моделирование автогенераторныхсхем методом искусственного зонда // Сборник научных трудов научно-технической конференции : "Электроника, микро- и напоэлектроника", М.: МИФИ, 2005, С. 35-39.

21. М.М.Гурарий, М.М.Жаров, С.Г.Русаков, С.Л.Ульянов, Метод моделирования кольцевыхгенераторов в частотной области // Сборник научных трудов научно-технической конференции : "Электроника, микро- и наноэлекгроника", М.: МИФИ, 2006, С. 51-56.

22. М.М. Гурарий, C.JI. Ульянов, Анализ условий синхронизации автогенератора // Известия

23. ВУЗов. Электроника, 2009, 5(79), с. 57-65.

24. М.М.Гурарий, М.М.Жаров, С.Г.Русаков, С.Л.Ульянов, Новый метод анализа фазового шумасинхронизированного автогенератора // Сборник научных трудов научно-технической конференции :"Электроника, микро- и наноэлектроника", М.: МИФИ, 2009, С. 178-184.

25. Данилов Л.В. Электрические цепи с нелинейными R-элементами. Л.: Связь, 1974. - 135 с.

26. Демидович Б.П., Марон И.А., Шувалова Э.З., Численные методы анализа. М.: Физматгиз,1963.- 400 с.

27. Демидович Б.П., Лекции по математической теории устойчивости. М.: МГУ, 1998.- 480 с.

28. В. Денисенко, Компактные модели МОП транзисторов для СБИС // ЭЛЕКТР011ИКА:НТБ,2004, № 6, с. 60-63.

29. Деруссо П., Рой Р., Клоуз Ч., Пространство состояний в теории управления. М.: Наука, , 1970. - 620 с.

30. Ильин В.Н., Жигалов И.Е., Ланцов В.Н., Методы автоматизированного схемотехническогопроектирования нелинейных радиотехнических цепей. //Изв. Вузов, Радиоэлектроника, 1985, №6, с. 7-17.

31. Ильин В.Н., Ланцов В.Н., Жигалов И.Е., Расширение возможностей применения аппаратарядов Вольтеррав программах АСхП.// Изв. Вузов, Радиоэлектроника, 1985, №9, с. 5761.

32. Заяц В.М., Ускоренный поиск установившихся режимов в высокочастотных I автогенераторах с длительными переходными процессами. // Изв. Вузов,

33. Радиоэлектроника, 1993, №3, с. 26-31.

34. Казеннов Г.Г. Основы проектирования интегральных схем и систем. М.: Бином, 2005. - 295с.

35. Канторович Л.В., Акилов Г.П., Функциональный анализ в нормированных пространствах.

36. М.: Физматгиз, 1959. 752 с.

37. Ланцов В.Н., Жигалов И.Е., Метод расчета нелинейных радиоэлектронных устройств сиспользованием ортогональных полиномов. // Радиотехника.-1985.- № 6.- с. 36-38.

38. Ланцов В.Н., Жигалов И.Е., Меркутов Д.С., Быков В.И. Подсистема схемотехнического ' проектирования радиоэлектронных устройств. // Радиотехника.-1988.- № 10. с. 79-81.

39. Ланцов В.Н., Меркутов А.С., Алгоритм расчета квазипериодических процессов внелинейных радиотехнических устройствах. // Изв. Вузов, Радиоэлектроника, т.ЗЗ, 1990, № 6, с. 12-17.

40. Малахов А.Н. Флуктуации в автоколебательных системах. М.: Наука, 1967. - 662 с.

41. Марчук Г.И., Методы .вычислительной математики. М.: Наука, 1977. - 456 с.

42. На Ц., Вычислительные методырешения прикладных граничных задач. М.: Мир, 1982.-296с.

43. Скелбое С. Временной стационарный анализ нелинейных электрических систем. // ТИИЭР,т. 70, №Ю, 1982, с.89-111. Скляр Б., Цифровая связь. Теоретические основы и практическое применение. М :

44. Д. Трауб, Итерационые методы решения уравнений. М.: Мир, 1985. - 263 с. ,

45. Наукова Думка, 1966. 244 с. Шаманский В.Е., Об одной реализации метода Ньютона на ЭЦВМ. // УМЖ, 1966, т. 18, №6, с. 133-138.

46. Agilent Signal Studio for Noise Power Ratio. Technical Overview. Palo Alto, CA: Agilent

47. Technologies Inc., 2005. 8 p. Agilent RF system design guide. - Palo Alto, CA: Agilent Technologies Inc., 2005. - 100 p. Agilent EEsof EDA Advanced Design System. - Palo Alto, CA: Agilent Technologies Inc., 2010. -12 p.

48. T. J. Aprille, T. N. Trick. A Computer algorithm to Determine the Steady-state Response of73 74 [75 [76 [7778 79 [80 [8182 8384 85 [86 [87 [8889 90 [91 [9293 94

49. Nonlinear Oscillators. II IEEE Transactions on Circuit Theory, 1972, vol. CT-19, no. 4, pp. 354-360.

50. AWR Microwave Office V5.00. El Segundo, CA: Applied Wave Research Corporation, January 2002.

51. AWR APLAC RF Design Tool, Vol. I Programming, Analysis, and Optimization. El Segundo, CA: Applied Wave Research Corporation, 2006.

52. E. Bedrosian, S.O. Rice, The output properties of Volterra systems (nonlinear systems with memory) driven by harmonic and Gaussian inputs. // Proc. IEEE, 1971, v. 59, pp. 1688-1707.

53. P. Bolcato, R. Poujois, A New Approach for Noise Simulation in Transient Analysis. // in Proc. IEEE International Symposium on Circuits & Systems, 1992, vol. 2, pp. 887 890.

54. H.G. Brachtendorf,' G. Welsch, R. Laur, A. Bunse-Gerstner, Numerical steady state analysis ofelectronic circuits driven by multi-tone signals. II Electrical Engineering, 1996, 79, pp. 103112.

55. Virtuoso Spectre Circuit Simulator RF Analysis User Guide. San Jose, CA: Cadence Design Systems Inc., 2007. - 1116 p.

56. Virtuoso Spectre Circuit Simulator RF Analysis Theory. San Jose, CA: Cadence Design Systems Inc., 2007. - 280 p.

57. N. B. Carvalho and J. C. Pedro, Simulation of multi-tone IMD distortion and spectral regrowth using spectral balance. // IEEE MTT-S Symp. Digest, 1998, pp. 729-732.

58. N. B. Carvalho and J. C. Pedro, Multitone frequency-domain simulation of nonlinear circuits in large- and small-signal regimes. //IEEE Trans. Microwave Theoiy and Tech., 1998, vol. 46, No. 12, pp. 2016-2024.

59. N.B. Carvalho, K.A. Remley, D. Schreurs, K.G. Gard, Multisine signals for wireless system test and design. // IEEE Microwave Magazine, June 2008, pp. 122-138.

60. C.-R. Chang, M. B. Steer, and G. W. Rliyne, Frequency-domain spectral balance using the arithmetic operator method. // IEEE Trans. Microwave Theory and Tech., 1989, vol. 37, pp. 1681-1688.

61. S.-W. Chen, W. Panton, andR. Gilmore, Effects of nonlinear distortion on CDMA communication systems. /I IEEE Trans. Microwave Theoiy and Tech., 1996, vol. 44, No. 12, pp. 2743-2750.

62. J. Chen, D. Feng, J. Phillips, K. Kundert, Simulation and modeling of intermodulation distortion in communication circuits. // in Proc. IEEE Custom Integrated Circuits Conf., 1999, pp. 5-8.

63. S. Chisholm, L. Nagel, Efficient computer simulation of distortion in electronic circuits. // IEEE Trans. Circuit Theoiy, 1973, vol. CT-20, pp. 742-745.

64. O. Chua, C. Y. Ng, Frequency domain analysis of nonlinear systems: formulation of transfer functions. // IEEE J. Electronic Circuits and Systems, 1979, vol. 3, № 6, pp. 257-269. ,

65. O. Chua, A. Ushida, Algorithms for computing almost periodic steady-state response of nonlinear systems to multiple input frequencies. II IEEE Trans. Circuits and Systems, 1981, vol. CAS-28, №10, pp. 953-971.

66. A.M. Crosmun, S.A. Maas, Minimization of intermodulation distortion in GaAs MESFET small-signal amplifiers. II IEEE Trans. Microwave Theoiy Tech., 1989, MTT-37, pp. 1411-1417.

67. T. A. Davis, E. Palamadai Natarajan, Algorithm 907: KLU, a direct sparse solver for circuit simulation problems. // ACM Trans, on Mathematical Software, 2010, vol 37, no. 3.

68. A. Demir, A. Sangiovanni-Vincentelli. Analysis and Simulation of Noise in Nonlinear Electronic Circuits and Systems. Boston: Kluwer Academic Publishers, 1997. - 297 p.

69. Demir A., Mehrotra A., and Roychowdhury J., Phase Noise in Oscillators: A Unifying Theory and Numerical Methods for Characterization. IIIEEE Trans, on Circuits and Systems -1, 2000, vol. 47, pp. 655-674.

70. Demir A., Phase Noise and Timing Jitter in Oscillators with Colored-Noise Sources. II IEEE Trans, on Circuits and Systems -1,2002, vol. 49, No 12, pp. 1782-1791.

71. Demir A., Computing Timing Jitter From Phase Noise Spectra for Oscillators and Phase-Locked Loops With White and 1/f Noise. II IEEE Trans, on Circiuts and Systems -1,2006, vol. 53, No 9, pp. 1869-1884.'

72. G. Denk, W. Romisch, T. Sickenberger, Efficient Transient Noise Analysis in Circuit Simulation /

73. W. Jager and H.-J. Krebs (Eds.): Mathematics Key Technology for the Future. - Berlin: Springer, 2008, pp. 39-49.

74. V.D. Dmitriev, A.I. Silyutin, A method of designing broadband nonlinear circuits based on amodification of the nonlinear current method. // Radioelectron. Commun. Syst., 1986, v. 29, no 11, pp: 50-55.

75. P. Dobrovolny, G. Vandersteen, P: Wambacq, S. Donnay, Analysis and white-box modeling ofweakly nonlinear time-varying circuits. // Proc. DATE Conference, 2003, pp. 624-629.

76. W. Dong and P. Li, Hierarchical Harmonic-Balance Methods for Frequency-Domain Analog

77. Circuit Analysis. // IEEE Trans, on Computer-Aided Design oflntegr-ated Circidt and Systems, 2007, vol. 26, № 12, pp. 2089-2101.

78. W. Dong and P. Li, A Parallel Harmonic-Balance Approach to Steady-State and Envelope

79. Following Simulation of Driven and Autonomous Circuits. II IEEE Trans, on Computer-Aided Design of Integrated Circidt and Systems, 2009, vol. 28, № 4, pp. 490-501.

80. X. Duan and K. Mayaram, An Efficient and Robust Method for Ring-Oscillator Simulation Usingthe Harmonic-Balance Method. II IEEE Trans. Computer-Aided Design, 2005, vol. 24, No 8, pp. 1225-1233. ••

81. M. Faber, W. Gwarek, Nonlinear-linear analysis of microwave mixer with any number of diodes.

82. IEEE Trans, oh Microwave Theory and Techniques, 1980, vol. MTT-28, № 11, pp. 11741181.

83. Fattouh F.S., Rumin N.C., Blostein M.L. Computational technique for the periodic steady-stateanalysis of large nonlinear circuits. II IEEE Trans. Circuits Syst., 1980, vol. CAS-27, pp. 332335.

84. P. Feldmann, J. Roychowdhury, Computation of circuit waveform envelopes using an efficient,matrix-decomposed harmonic balance algorithm // in Proc. of Int. Conf. on Computer Aided Design, San Jose, 1996, pp. 295-300.

85. P. Feldmann, B. Melville, and D. Long, Efficient frequency domain analysis of large nonlinearanalog circuits. // in Proc. IEEE Custom Integrated Circuits Conf, San Diego, 1996, pp. 461464.

86. D. Feng, J. Phillips, K. Nabors, K. Kundert, J. White, Efficient Computation of quasi-periodiccircuit operating conditions via a mixed frequency/time approach. // in Proc. of 36 Design Automation Conference, New Orleans, 1999, pp. 635-640.

87. R. Freund, G.H. Golub, N.M. Nachtigal, Iterative solution of linear systems // Acta Numerica,1991, pp. 57-100!,

88. M. Frigo and S. G, Johnson, FFTW: An Adaptive Software Architecture for the FFT. // Proc.1.tern. Conf. on Acoustics, Speech, and Signal Processing, Seattle, 1998, vol. 3, pp. 13811384.

89. Gard K., Gutierrez H., and Steer M. B, Characterization of spectral regrowth in microwaveamplifiers based on the nonlinear transformation of a complex Gaussian process II IEEE Trans Microwave Theory and Tech., 1999, V. 47, № 7, PP. 1059-1069.

90. R. Gilmore, M.Steer, Nonlinear circuit analysis using the method of harmonic balance a reviewof the art. Part 1 Introductory Concepts. // Int. J. on Microwave and Millimeter Wave Computer Aided Engineering, 1991, vol. l,No. l,pp. 22-37.

91. A. Goldsmith, Wireless Communications. Stanford University Press, 2005. - 672 p.

92. M. Gourary, S. Rusakov, S. Ulyanov, M. Zharov, et al., Iterative Solution of Linear Systems in

93. Harmonic Balance Analysis. // IEEE MTT-S Inter-national Microwave Symposium Digest, Denver, 1997, pp. 1507-1510.

94. M. M. Gourary, S. G. Rusakov, S. L. Ulyanov, M. M. Zharov et al, Simulation of High-Q

95. Oscillators. II Proc. of Int. Conf on Computer-Aided Design, San Jose, 1998, pp. 162-169.

96. M. M. Gourary, S. G. Rusakov, S. L. Ulyanov, M. M. Zharov et al, Adaptive Preconditioners forthe Simulation of Extremely Nonlinear Circuits Using Harmonic Balance. // IEEE MTT-S International Microwave Symposium Digest, Anaheim, 1999, pp. 779-782.

97. M. M. Gourary, S. G. Rusakov, S. L. Ulyanov, M. M. Zharov et al, New Technique to'Exploit

98. Frequency Domain Latency in Harmonic Balance Simulators. // Proc. of the Asia and South Pacific Design Automation Conference, Hong-Kong, 1999, pp. 65-68.

99. M. M. Gourary, S. G. Rusakov, S. L. Ulyanov, M. M. Zharov et al, A New Numerical Method for

100. Transient Noise Analysis of Nonlinear Circuits // Proc. of the Asia and South Pacific Design Automation Conference, Hong-Kong, Jan. 1999, pp. 165-168.

101. M. M. Gourary, S. G. Rusakov, S. L. Ulyanov, M. M. Zharov, et al, New methods for speeding upcomputation of Newton updates in harmonic balance. II Proc. of Int. Conf. on Computer-Aided Design, San Jose, 1999, pp.61-64.

102. M:M. Gourary, S. G. Rusakov, S. L. Ulyanov, M. M. Zharov et al, The Enhancing of Efficiencyof the Harmonic Balance Analysis by Adaptation of Preconditioner to Cncuit Nonlinearity. // Proc. ASP-DAC, Yokohama, 2000, pp. 537-540.

103. M. M. Gourary, S. G. Rusakov, S. L. Ulyanov, M. M. Zharov, et al, Adaptive Preconditioning of

104. Strong Nonlinear Harmonic Balance Problems for Electrical Networks. // Proc. 16th IMACS World Congress on Scientific Computation, Applied Mathematics and Simulation, Lausanne, August 2000.

105. M. M. Gourary, S. G. Rusakov, S. L. Ulyanov, M. M. Zharov, et al, A New Computational

106. Approach to Simulate Highly Nonlinear Systems by Harmonic Balance Method. II Proc. 16th IMACS World Congress on Scientific Computation, Applied Mathematics and Simulation, Lausanne, August 2000.

107. M. M. Gourary, S. G. Rusakov, S. L. Ulyanov, M. M. Zharov, at al, Simulation of oscillators. //

108. Proc.n 16th IMACS World Congress on Scientific Computation, Applied Mathematics and Simulation, Lausanne, August 2000.

109. M. M. Gourary, S. G. Rusakov, S. L. Ulyanov, M M. Zharov, at al, A robust and efficientoscillator analysis technique using harmonic balance. // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 2000, vol. 181(4), pp. 451-466.

110. M. M. Gourary, S. G. Rusakov, S. L. Ulyanov, M. M. Zharov, at al, A New Simulation Techniquefor Periodic Small-Signal Analysis. // Proc. of DATE 2003 Conf., Munich, March 2003, pp. 244-249.

111. M. M. Gourary, S. G. Rusakov, S. L. Ulyanov, M. M. Zharov, Applying harmonic newton methodfor distortion analysis of electronic circuits. // Proc. 34th European Microwave Conf., Amsterdam, Oct. 2004, Vol. 1, pp. 233- 236.

112. M. M. Gourary, S. G. Rusakov, S. L. Ulyanov, M. M. Zharov, New Computational Technique for

113. Periodic Distortion Analysis of Communication Ciicuits. // MTT-S Intern. Microwave Symposium Digest, Fort Worth, Texas, June 2004, vol. 2, pp. 941-944.

114. M. M. Gourary, S. G. Rusakov, S. L. Ulyanov, M. M. Zharov et al, Frequency Adjusting

115. Numerical Technique for Oscillator Simulation // Proc. of the European Confeience on Circuit Theory and Design ECCTD 2005, Cork, Ireland, August 2005, v. 3, pp. 121-124.

116. M. M. Gourary, S. G. Rusakov, S. L. Ulyanov, M. M. Zharov et al, Spice-oriented Iterative

117. Technique for Distortion Analysis // Proc. of the IEEE Int. Symposium on Circuits and Systems (ISCAS 2006), Kos, Greece, May 2006, pp. 3990-3993.

118. M. M. Gourary, S. G. Rusakov, S. L. Ulyanov, M. M. Zharov et al, Efficient Computational

119. Method for Modulation Analysis of Communication Circuits // Proc. of the 36th European Microwave Conference, Manchester, 2006, pp. 172-175.

120. M. M. Gourary, S. G. Rusakov, S. L. Ulyanov, M. M. Zharov, et al, A Numerical Technique for

121. Time DomainNoise Analysis of Oscillators. II Proc. of 18th European Conf. on Circuit Theory and Design, Seville, 2007, pp. 1002-1006.

122. M. M. Gourary, S. G. Rusakov, S. L. Ulyanov, M. M. Zharov, et al, New Numerical Techniquefor Cyclostationary Noise Analysis of Oscillators. // Proc. of37th European Miciowave tonf, Munich, 2007, pp. 1173-1176.

123. M.M. Gourary, S.G. Rusakov, S.L. Ulyanov, M.M. Zharov, Numerical Approach for Distortion

124. Analysis without High-order Derivatives in Device Models // Proc. of IEEE East-West Design

125. Test Symposium (EWDTS'07), Yerevan, Armenia, September 2007, pp. 527-532.

126. M. M. Gourary, S. G: Rusakov, S. L. Ulyanov, M. M. Zharov et al, Analysis of Oscillator Injection1.cking by Harmonic Balance'Method // Proc. of Design Automation and Test in Europe (DATE) Conf., Munich, March 2008, pp. 318-323.

127. M. M." Gourary, S. G. Rusakov, S. L. Ulyanov, M. M. Zharov et al, Injection Locking Conditionsunder Small Periodic Excitations // Proc. of 2008 IEEE Int. Symposium on Circuits and ■ Systems (ISCAS 2008), Seattle, USA, May 2008, pp. 544-547. '

128. M. M. Gourary, S. G. Rusakov, S. L. Ulyanov, M. M. Zharov et al, New Macromodeling

129. Approach to Phase Noise Analysis of Locked Oscillators // Proc. of the 3 European Microwave Circuits Conf., Amsterdam, 2008, pp. 326-329.

130. M. M. Gourary, S. G. Rusakov, S. L. Ulyanov, M. M. Zharov et al, Smoothed Form of Nonlinear

131. Phase Macromodel for Oscillators // IEEE/ACM Int. Conf. on Computer-Aided Design, San Jose, 2008, pp. 807-814.

132. M.M. Gourary, S.G. Rusakov, S.L. -Ulyanov, M.M. Zharov, Convergence Issues of Ring

133. Oscillator Simulation by Harmonic Balance Technique // 7th Int. Conf. on Scientific Computing in Electrical Engineering (SCEE 2008), Helsinki, 2008, pp. 145-146.

134. M.M. Gourary, S.G. Rusakov, S.L. Ulyanov, M.M. Zharov, Improved Harmonic Balance

135. Technique for Analysis of Ring Oscillators. // Proc. of the European Conference on Circuit Theory and Design, Antalya, Turkey, August 2009, pp. 327-330.

136. M.M. Gourary, S.G. Rusakov, A.L. Stempkovsky, S.L. Ulyanov, M.M. Zharov, Frequency

137. Domain Techniques for Simulation of Oscillators. // Proc. IEEE East-West Design & Test Symposium EWDTS2009, Moscow, 2009, pp. 63-66.

138. M.M. Gourary, S.G. Rusakov, A.L. Stempkovsky, S.L. Ulyanov, M.M. Zharov, Numerical

139. Aspects of Adaptive Harmonic Balance Method in Circuit Simulation. // Zbomik radova konferencije MIT 2009, Kosovska Mitrovica : University of Pristina; Novosibirsk: Institute of Computational Technologies, 2010, pp. 155-162.

140. M. M. Gourary, S. G. Rusakov, S. L. Ulyanov, M. M. Zharov, A preconditioning method basedon partition of unknowns for harmonic balance analysis // 8th Int. Conf. on Scientific Computing in Electrical Engineering (SCEE 2010), Toulouse, 2010, pp. 23-24.

141. M. M. Gourary, S.(1G. Rusakov, S. L. Ulyanov, M. M. Zharov, Mutual Injection Locking of

142. Oscillators under Parasitic Couplings // 8th Int. Conf. on Scientific Computing in Electrical Engineering (SCEE 2010), Toulouse, 2010, pp. 79-80.

143. P. Gray, R. Meyer, Analysis and Design of Analog Integrated Circuits. John Wiley & Sons, 1984.

144. R. M. Gray, J.W. Goodman, Fourier transforms. An introduction for engineers. Boston: Kluwer

145. Academic Publishers, 1995.

146. M.S. Gupta, Thermal Noise in Nonlinear Resistive Devices and its Circuit Representation. //

147. Proceedings of the IEEE, 1982, vol. 70, n. 8, pp. 788.

148. Hajimiri A. and Lee T., A general theory of phase noise in electrical oscillators. II IEEE J. Sol.

149. State Circuits, 1998, vol. 33, pp. 179-194.

150. Hassun R. Comparing Analog and Digital Techniques for Measuring Noise Power Ratio //

151. Microwave J., 1997, PP. 88-98.

152. G. L. Heiter, Characterization of Nonlinearities in Microwave Devices and Systems // IEEE

153. Trans. Microwave; Theoiy and Tech., 1973, vol. 21, No. 12, pp. 797-805.

154. P. Heikkila, M. Valtonen, and T. Veijola, Harmonic Balance of Nonlinear Circuits with Miltitone

155. Excitation // Proc. 10th European Conf on Circuit Theoiy and Design, Copenhagen, 1991,1.tvol 2, pp. 802-811.

156. D.Hente, R.H.Jansen, Frequency domain continuation method for the analysis and stability investigation of nonlinear microwave circuits IIIEE Proceedings, 1986, part H, vol. 133, №5, pp. 351-362.

157. A. Howard, Simulate An I/Q Modulatoi // Microwaves & RF, February 2002

158. H. Jokinen, M. Valtonen, Small-signal harmonic analysis of nonlinear circuits. Helsinki.

159. Helsinki University of Technology, CT-23, Jan. 1995.

160. Kaertner, F X., Determination of the correlation spectrum of oscillators with low noise. II IEEE

161. Trans. Microwave Theoiy Tech., 1989, vol. 37, pp. 90-101.

162. Kaeitner, F.X., Analysis of white and fa noise in electrical oscillators. // Int. J. Circ. Theory Appl.,1990, vol. 18, pp. 485-519.

163. M. Kakizaki, T. Sugawara, A modified Newton method for the steady-state analysis. // IEEE

164. Trans, on Computer-Aided Design of Integrated Circuit and Systems, 1985, vol. CAD-4, № 4, pp. 662-667.

165. R. W. Koch, Random signal method of nonlinear amplitude distortion measurement // IEEE

166. Trans, on Instrum. andMeas1971, vol. 20, pp. 95-99.

167. K.S. Kundert, Sparse matrix techniques // In Cucidt Analysis, Simulation and Design, Part I,

168. North-Holland, Amsteidam, 1986, pp. 281-324.

169. K.S. Kundert, A. Sangiovanni-Vincentelli, Simulation of nonlinear circuits in the frequencydomain I I IEEE Trans, on Computer-Aided Design, 1986, vol. CAD-5, No 4, pp. 521-535.

170. K.S. Kundert, J. White, A. Sangiovanni-Vincentelli, Mixed frequency-time approach for findingthe steady-state solution of clocked analog circuits // Proc. IEEE Custom Integrated Circuits Conf., San Diego, 1988, pp. 6.2.1-6.2.4.

171. K.S. Kundert, J. White, A. Sangiovanni-Vincentelli, An envelope-following method for theefficient transient simulation of switching power and filter circuits // Proc. of Int. Conf on Computer Aided Design, San Jose, 1988, pp. 446-449.

172. K.S. Kundert, J. White, A. Sangiovanni-Vincentelli, Steady-State Methods for Simulating Analogand Microwave Circuits. Boston: Kluwer Academic Publishers, 1990. - 247 p.

173. K. Kundert, Accurate Fourier Analysis for Circuit Simulators II Proc. of IEEE CICC, San Diego,1994, pp. 25-28.

174. Kundert K.S. The designer's guide to SPICE and SPECTRE. Boston: Kluwer Academic1. Publishers, 1995.-382 p.

175. Kundert K.S., Simulation Methods for RF Integrated Circuits //in Proc. of Int. Conf on Computer

176. Aided Design, 1997, San Jose, pp. 752-765.

177. Kundert K.S., Introduction to RF Simulation and Its Application // J. of Solid-State Circuits,1999, vol. 34, No. 9, pp. 1298-1319.

178. K. Kundert, H. Chang, D. Jefferies, et al, Design of Mixed-Signal Systems on Chip. // IEEE Tians.on Computer-Aided Design of Integrated Circuits and Systems, 2000, vol. 19, No. 12, pp. 1561-1571.

179. K. Kundert, Accurate and Rapid Measurement of IP2 and IP3 7/ www.designers-guide.org.

180. Kundert K.S., Predicting the Phase Noise and Jitter of PLL-Based Frequency Synthesizers. //

181. August 2006, www.designers-guide.org.

182. Y. Kuo, Distortion analysis of bipolar transistor circuits // IEEE Trans. Circuit Theory, 1973, vol.1. CT-20, No 6, pp. 709-716.

183. D. Leeson, A simple model of feedback oscillator noise spectrum // Proc. IEEE, 1966, vol. 54,pp. 329-330.

184. P. Li and L. Pileggi, Efficient Per-nonlinearity Distortion Analysis for Analog and RF Circuits //

185. EE Trans. Computer-Aided Design, 2003, vol. 22, No. 10, pp. 1297-1309.

186. P. Li and L. Pileggi, Efficient harmonic balance simulation using multilevel frequencydecomposition //in Proc. IEEE/A CM Int. Conf. Comput.-AidedDes., Nov. 2004, pp. 677-682.

187. Wireless Symp., Jan. 2006, pp. 527-530.

188. R. C. Li, RF circuit-design. New Jersey: John Wiley & Sons, Inc., 2008.

189. D. Long, R. Melville, K. Ashby, and B. Horton, Full-chip harmonic balance // in Proc. IEEE Custom Integr. Circuits Conf, May 1997, pp. 379-382.

190. P. J. Lunsford, G. W. Rhyne, and M. B. Steer, Frequency-domain bivariate generalized power series analysis of nonlinear analog circuits // IEEE Trans. Microwave Theory and Tech , 1990, vol. 38, pp. 815-818.

191. M. D. McKinley, K. A. Remley, M. Myslinski, et al., EVM Calculation for Broadband Modulated Signals // in 64st ARFTG Conf. Dig.; Orlando, Dec. 2004, pp. 45-52.

192. A. Mehrotra, A. Somani, A Robust and Efficient Harmonic Balance (HB) using Direct Solution of HB Jacobian // in Proc. IEEE Design Automation Conf., San Francisco, July 2009, pp. 370375.

193. B. Melville, P. Feldman, J. Roychowdhury, Efficient multi-tone distortion analysis of analog integrated circuits // in Proc. of the IEEE Custom Integrated Circuits Conf, San Diego, 1995, pp. 241-244.

194. Eldo RF High-Performance RF IC Verification. Wilsonville, Oregon: Mentor Graphics Corporation, 2009.

195. J. A. Murdock, Perturbations: Theory and Methods. New Yoik: Wiley Interscience, 1991.

196. Nagel L.W., Spice2: A Computer Program to Simulate Semiconductor Circuit, Memorandum No. ERL-M520, Electronic Research Laboratory, University of California, Berkeley, May 1975.

197. M.S. Nakhla, J. Vlach, A Piecewise Harmonic-BalanccTechniquc for Determination of Periodic Response of Nonlinear Systems II IEEE Trans, on Circuits and Systems, 1976, vol. CAS-23, 2, pp. 85-91.

198. M.S. Nakla, F.H. Branin, Determining the periodic response of nonlinear system by gradient method // Int. J. of circuit theory application, 1977, vol. 5, № 3, pp. 255-273.

199. Numerical recipes in C : the art of scientific computing / William H. Piess et al. 2nd éd., Cambridge Univeisity Press, 1992.

200. S. Narayanan, Transistor distortion analysis using Volterra series representations // Bell Syst. Tech. J., 1967, vol. 46, No 5, pp.991-1024.

201. O. J. Nastov and J. K. White, Time-mapped harmonic balance // in Proc IEEE/ACM Des Au torn Conf, 1999, pp. 641-646.

202. O. Nastov, Spectral methods for circuit analysis, Ph.D. dissertation, Dept. Elect. Comput. Sci., MIT, Cambridge, MA, 1999.

203. Ngoya, E., Laicheveque, R., Envelop transient analysis: a new method for the transient and steady state analysis of microwave communication circuits and systems // IEEE MTT Symposium Digest, 1996, pp.1365-1368.

204. M. Okumura, T. Sugawara, H. Tanimoto, An efficient small signal frequency analysis method of nonlinear circuits with two frequency excitations II IEEE Trans on CAD, 1990, vol. 9, № 3, pp. 225-235.

205. Okumura M., Tanimota H., A Time-Domain Method for Numerical Noise Analysis of Oscillatoi s // Proc. of the Asia South Pacific Design Automation Conf, 1997, pp. 477-482.

206. J. R. Parkhurst, L. L. Ogbom, Determining the steady-state output of nonlinear oscillatory circuits using multiple shooting // IEEE Trans, on Computer-Aided Design, 1995, vol. 14, pp. 882-889.

207. Pedro J. C., De Carvalho N. B.' On the Use of Multitone Techniques for Assessing RF Components' Intermodulation Distortion // IEEE Trans. Microwave Theory and Tech.-1999.

208. V. 47 № 12 - PP. 2393-2402.

209. Pedro J. C., Carvalho N. B. Intermodulation distortion in microwave and wireless circuits.

210. Boston: Artech House, 2003. 432 p.

211. J.C. Pedro and N.B. Carvalho, Designing band-pass multisine excitations for micxowavcbehavioral model identification // in IEEE MTT-S Int. Microwave Symp. Dig., June 2004, vol. 2, pp. 791-794.

212. L.R. Petzold, An efficient numerical method for highly oscillatory ordinary differential equations

213. SI AM J. on Numerical Analysis, 1981, vol. 18, № 3, pp. 455-479.

214. Philips J., Kundert K.S., An Introduction to Cyclostationary Noise // Proc. of the IEEE Custom1.tegrated Circuits Conf., May 2000., pp. 431-439.

215. T. Quarles, Spice3 version 3C1 users guide, Memorandum No. USB/ERL M89/46, Electronic 1 Research Laboratory, Univeisity of California, Berkeley, 1989.

216. B. Razavi, RF Microelectronics. Upper Saddle River: Prentice Hall PTR, 1998. - 352 p.

217. K.A. Remley, Multisine excitation for ACPR measurements // IEEE MTT-S Int. Microwave

218. Symp. Dig., June 2003, pp. 2141-2144.

219. RF and microwave circuits, measurements, and modeling: RF and miciowave handbook / ed by

220. Golio M., Golio J. 2nd ed. - London: CRC Press, 2008.

221. RheaR.W. Oscillator Design and Computer Simulation. -New York: McGraw-Hill, 1995. 303 P.

222. V. Rizzoli, A. Lipparini, E. Marazzi,- A general-purpose program for nonlinear microwave circuitdesign // IEEE Trans, on Microwave Theory and Techniques, 1983, vol. MTT-31, pp. 762-770.

223. V. Rizzoli, A. Cecchetti, A. Lipparini, F. Mastri, General-purpose harmonic balance analysis ofnonlinear microwave circuits under multitone excitation // IEEE Trans, on Microwave Theory and Techniques, 1988, vol. MTT-36, pp. 1650-1659.

224. V. Rizzoli, A. Lipparini, A. Costanzo, F. Mastri, C. Cecchetti, A. Nexi, D. Masotti, State-of-the

225. Art Harmonic-Balance Simulation of Forced Nonlinear Microwave Circuits by the Piecewise Technique I J IEEE Trans, on Microwave Theory and Techniques, 1992, vol. 40, No 1, pp. 1227.

226. V. Rizolli, A. Constanzo and A. Neri, Harmonic-Balance analysis of microwave oscillators withautomatic suppression of degenerate solution // Electronics Letters, 30th January 1992, vol. 28, No 3, pp. 256-257.

227. NPR Noise Power Ratio Signal Generation and Measurement, Application Note. - Munchen:

228. ROHDE & SCHWARZ GmbH & Co., 2001.

229. J. Roychowdhury, SPICE3 distortion analysis, Memo. no. UCB/ERL M89/48, Univ. of

230. California, Berkeley, 1989.

231. J. Roychowdhury, Efficient methods for simulating highly nonlinear multiiate ciicuits II in Proc.34th Design Automation Conf., Anaheim, 1997, pp. 269-274.

232. J. Roychowdhury, D. Long, P. Feldmann, Cyclostationary Noise Analysis of Large RF Circuitswith Multitone Excitations //IEEE J. of Solid-State Circuits, 1998, vol. 33, No 3, pp. 324-336.

233. Y. Saad, M.H. Shultz, GMRES: a generalized minimal residual algorithm for solvingnonsymmetric linear system // SIAM J. on Scientific and Statistical Computing, 1986, 7, pp. 856-869.

234. Y. Saad, Iterative Methods for Sparse Linear Systems. Boston: PWS Publishing Co., 1996. - 4471. P

235. J. Schoukens and T. Dobrowiecki, Design of broadband excitation signals with a user imposedpower spectrum and amplitude distribution // in Proc. IEEE Instrumentation and Measurement Technology Conf., May 1998, vol. 2, pp. 1002-1005.

236. D. Schreurs and K.A. Remley, Use of multisine signals for efficient behavioural modelling of RFcircuits with short-memory effects // in 61st ARFTG Conf. Dig., Nov. 2003, pp. 65-72.

237. D. Schreurs, K.A. Remley, D. R Williams, A Metric for Assessing the Degree of Device

238. Nonlinearity and Improving Experimental Design // IEEE MTT-S Int. Microwave Symp. Dig., Fort Worth, TX, June 8-11, 2004, pp. 795-798.

239. D. Sharrit, New method of analysis of communication systems // Proc. MTTS'96 WMFA.

240. Nonlinear CAD JVorlcshop, 1996.

241. Shilnikov L.R, Shilnikov A.L., Turaev D<V., Chua L.O. Methods of Qualitative Theory in

242. Nonlinear Dynamics. Singapore: World Scientific, 1998. — 392 R

243. T. Sickenberger, R. Winkler, Efficient transient noise analysis in circuit simulation // Pxoc. in

244. Applied Mathematics and Mechanics, 2006, Vol. 6, Issue 1, pages 55-58.

245. S. Skelboe, Computation of the periodic steady-state response of nonlinear networks byextrapolation methods II IEEE Trans on Circuit and Systems, 1980, vol. CAS-27, №. 3, pp. 161-175.

246. G.B. Sorkin, K.S. Kundert, A. Sangiovanni-Vincentelli, An almost-periodic Fourier transform foruse with harmonic balance // IEEE MTT-S Int. Microwave Symposium Digest, Denver, 1987, vol. 2, pp. 717-720.

247. M. B. Steer and R J. Khan, An algebraic formula for the output of a system with large-signal,multifrequency excitation // Proc. of the IEEE, 1983, vol. 71, pp. 177-179.

248. M. B. Steer, C-R.< Chang, G.W. Rhyne, Computer-Aided Analysis of Nonlinear Miciowave

249. Circuits using Frequency Domain Nonlinear Analysis Techniques: The State of the Art // Int. J. on Microwave and Millimeter Wave Computer Aided Engineering, 1991, Vol. 1, No. 2, pp. 181-200.

250. RH. Strohband, R. Laur, W.L. Engl, TNPT-an efficient method to simulate forced nonlinear RFnetworks in time domain H IEEE J. Solid-State Circuits, 1977, vol. 12, pp.243-246.

251. A. Suarez, Analysis and Design of Autonomous Miciowave Circuits. New Jersey: John Wileyand Sons, 2009. 704 p.

252. R. Telichevesky, K. Kundert, J. White, Efficient Steady-State Analysis based on Matrix-Free

253. Krylov-Subspace Methods // in Proc. of 32 IEEE Design Automation Conference, San Francisco, 1995, pp. 480-484.

254. R.Telichevesky, K. Kundert, I. Elfadel, and J.White, Fast simulation algorithms for RF circuits /in Proc. of the IEEE Custom Integrated Circuits Conf, San Diego, May 1996, pp. 437-444.

255. R. Telichevesky, K. Kundert, J. White, Efficient AC and Noise Analysis of Two-Tone RF Circuitsin Proc. of 33 IEEE Design Automation Conference, Las Vegas, 1996, pp. 292-297.

256. A. Ushida, L.Chua, Frequency-domain analysis of nonlinear circuits driven by multi-tone signals.

257. IEEE Trans, on Circuits and Systems, 1984, vol. CAS-31, №9, pp. 766-778.

258. A. Ushida, L. Chua, T. Sugawara, A Substitution Algorithm for solving nonlinear circuits withmultifrequency components. // Int. Journal on Circuit Theory and Applications, 1987, vol. 15, pp. 327-355.

259. E. van den Eijnde, J. Schoukens, Steady-state analysis of a periodically excited nonlineai systems

260. IEEE Trans. Circuits and Systems, 1990, CAS-37, pp. 232-242.

261. Vanassclie R, Gielen G. and Sansen W., On the difference between two widely publicizedmethods for analyzing oscillator phase behavior //in Proc. Int. Conf Computer-Aided Design, San Jose, 2003, pp. 229-233.

262. F. Veerse, Efficient iterative time preconditioners for harmonic balance RF circuit simulation II in

263. Proc. IEEE/ACM Int. Conf. Comput.-AidedDes., Nov. 2003, pp. 251-254.

264. Verspecht J., Root D. Polyharmonic Distortion Modeling // IEEE Microwave Magazine, 2006,

265. Vol. 47, № 12, PP. 2393-2402.

266. A. Vladimirescu The Spice book. New York: John Wiley, 1994. - 432 p.

267. P. Wambacq, W Sansen, Distortion Analysis of Analog Integrated Circuits. Norwell, MA:1. Kluwer, 1998. 501 p.

268. White et al., Method and apparatus for determining the noise power ratio (NPR) of a unit undertest, United States Patent 460864, Aug. 1986.

269. R. Winkler, Stochastic differential algebraic equations of index 1 and applications in circuitsimulation // J. Comput. Appl. Math., 2004, 163(2), pp. 435-463.

270. H.S. Yap, Designing to Digital Wireless Specifications Using Circuit Envelope Simulation //

271. Applied Microwave and Wireless Magazine, June 1998, pp. 84-89.

272. T. Yuan, A. Opal, Distortion analysis of periodically switched nonlinear circuits using timevarying Volterra series // IEEE Trans. Circuits and systems-I., 2001, vol. 48, No. 6, pp. 726738.33Z