автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.11, диссертация на тему:Методы, алгоритмы и программы приближенного решения задачи управления

УЧРЕЖДЕНИЕ РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК ИНСТИТУТ ПРОГРАММНЫХ СИСТЕМ им. А.К.Айламазяна РАН

003485867

На правах рукописи

Сачкова Елена Федоровна

Методы, алгоритмы и программы приближенного решения задачи управления

05.13.11 — Математическое обеспечение вычислительных машин, комплексов и компьютерных сетей

05.13.01 — Системный анализ, управление и обработка информации (технические науки)

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

- 3 ДЕК 2009

Переславль-Залесский — 2009 г.

003485867

Работа выполнена в Исследовательском центре процессов управления Учреждения Российской академии наук Института программных систем им. А.К.Айламазяна РАН

Научный руководитель

доктор технических наук,

профессор Владимир Иосифович Гурман

Официальные оппоненты:

доктор технических наук,

профессор Анатолий Михайлович Цирлин;

кандидат физико-математических наук Дмитрий Юрьевич Карамзин

Ведущая организация:

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Владимирский государственный университет»

Защита диссертации состоится «

ХаоЯ года в час. на заседании Диссертационного совета ДМ 002.084.01 при ИПС им. А.К.Айламазяна РАН по адресу: 152021, Ярославская область, Переславский район, с. Веськово, ул. Петра I, д.4а.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИПС им. А.К.Айламазяна РАН

Автореферат разослан «

¿^О —2009 г.

Ученый секретарь

Диссертационного совета ДМ 002.084.01

кандидат технических наук С— С.М. Пономарева

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Современные программные комплексы управления техническими объектами сталкиваются с проблемами управления неголономными системами. Такие системы традиционно представляют трудности для теоретического анализа в механике, а их широкое использование в современной робототехнике и инженерии (мобильные роботы, роботы-манипуляторы) делают весьма актуальной разработку новых математических, алгоритмических и программных средств для управления неголономными системами.

Для неголономных систем двухточечная граничная задача управления оказывается весьма нетривиальной, и ее решению (точному либо приближенному) посвящен целый ряд работ в теории управления и ро-ботике. Один из первых методов решения задачи управления для таких систем был предложен Дж. Лаферьером и X. Суссманом: для систем простой алгебраической структуры (нильпотентных систем) ими был разработан подход к получению точных решений задачи управления, а для систем общего вида они предложили итерационный метод приближенного решения задачи управления на основе замены системы ее нильпотент-ной аппроксимацией. Сходимость этого итерационного метода исследовал Ф. Жан. Понятие нильпотентной аппроксимации было разработано независимо в геометрической теории управления А. А. Аграчевым и А. В. Сарычевым, и X. Хермсом, а также в теории уравнений с частными производными и в анализе. Ввиду важности нильпотентной аппроксимации, было разработано несколько методов ее вычисления; наиболее простым и эффективным считается вычислительный алгоритм нильпо-тентизации, предложенный А. Беллаишем.

Методы решения двухточечной граничной задачи управления были разработаны для некоторых специальных классов систем: для систем в цепной форме (Р. Мюррей, С. Састри), для дифференциально плоских систем (М. Флисс), для кинематических моделей мобильного робота (X. Суссман, Ж.-П. Ломонд).

В нелинейной теории управления и робототехнике разработаны также методы управления неголономными мобильными роботами на основе использования обратной связи (для учета возможных помех и неточностей моделирования), и вероятностные методы (во избежание большой сложности методов полного планирования движения).

В силу высокой сложности двухточечной граничной задачи управления, найти ее точное решение для систем общего вида не представ-

ляется возможным. Приближенное решение этой задачи обычно представляется в виде вычислительного алгоритма, требующего реализации с помощью программных средств. За последние десятилетия разработан ряд комплексов для решения задач оптимального управления, которые могут быть применены к двухточечной задаче управления. Большой вклад в разработку алгоритмов и программных комплексов для решения задач оптимального управления внесли отечественные ученые: Пшеничный Б.Н., Данилин Ю.М., Васильев Ф.П., Евтушенко Ю.Г., Тятюш-кин А.И. (ПК КОНУС), Срочко В.А., Горнов А.Ю. (ПК ОРТССЖ), Жу-лин С.С. (ПК ОРТШиЭ). Рассматриваемые в данной диссертации линейные по управлению системы обладают специфическими свойствами неизотропности, связанными с неголономностью: такие системы могут быстро перемещаться в одних направлениях в пространстве состояний, но гораздо медленнее в других направлениях. Поэтому алгоритмы и программные средства общего назначения не всегда успешно решают задачу управления для таких систем. Данная работа нацелена на устранение этого недостатка, что определяет ее актуальность.

Цель работы и задачи исследования. Целью диссертационной работы является разработка математического, алгоритмического и программного обеспечения для решения двухточечной граничной задачи управления для нелинейных неголономных систем с линейными управлениями. Разрабатываемый программный комплекс должен обеспечивать не только автоматический, но и интерактивный режим работы с использованием экспертных знаний о предметной области — теории управления.

Для достижения указанной цели были поставлены и решены следующие задачи:

1) Разработка математических методов точного решения двухточечной граничной задачи управления для трехмерных нильпотентных систем с двумерным линейным управлением.

2) Разработка алгоритмов (в том числе параллельных) приближенного решения задачи управления для трехмерных неголономных нелинейных систем с двумерным линейным управлением.

3) Создание программного комплекса для приближенного решения задачи управления для указанного класса систем.

Общие методы исследования. Для решения поставленных задач использовались математическая теория управления, дифференциальная

геометрия, численный анализ систем обыкновенных дифференциальных уравнений, теория алгоритмов, методы программирования в системах компьютерной математики.

Научная новизна. В задаче оптимального управления неголоном-ным интегратором Брокетта с интегральным критерием качества впервые получено описание оптимального синтеза и функции цены.

Разработан новый метод построения комбинированного управления для решения задачи управления неголономным интегратором Брокетта.

Разработаны новые многометодные алгоритмы (включая параллельные) для вычисления приближенного решения двухточечной граничной задачи управления для нелинейных неголономных систем с трехмерным состоянием и двумерным линейным управлением.

Теоретическая и практическая ценность. Полученные теоретические результаты могут быть использованы в дальнейших исследованиях методов управления неголономными системами. Разработанный программный комплекс ШрСоп1го1, в совокупности с рекомендациями по его использованию, может применяться для исследования управляемых систем в механике, робототехнике, инженерных приложениях, а также при обучении студентов новым методам теории управления.

Достоверность результатов подтверждается корректным использованием математической теории управления. Основным понятиям, используемым в работе, даны точные определения. Все утверждения снабжены строгими математическими доказательствами.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на следующих научных конференциях и совещаниях:

1) Международная конференция «Программные системы: теория и приложения», ИПС РАН, 2006 г.

2) Международная конференция «Программные системы: теория и приложения», ИПС имени А.К. Айламазяна РАН, 2009 г.

3) Международная конференция «Современные проблемы математики, механики и их приложения», Москва, МГУ им. Ломоносова, 31.03-02.04, 2009 г.

4) Международная конференция по математической теории управления и механике, Суздаль, 02.07-07.07, 2009 г.

Результаты диссертации докладывались и обсуждались на научно-исследовательских семинарах: исследовательского центра процессов управления ИПС имени А.К. Айламазяна РАН, исследовательского центра системного анализа ИПС имени А.К. Айламазяна РАН, на семинаре «Проблемы теории управления» кафедры оптимального управления ВМК МГУ.

Научные исследования по теме диссертации были поддержаны следующими грантами: РФФИ - 02-01-00506-а («Оптимальный синтез, конструктивная управляемость, и стабилизация нелинейных неголономных систем управления»), РФФИ - 05-01-00703-а («Исследование задач оптимального управления субримановой геометрии методами геометрической теории управления»). Параллельные алгоритмы, разработанные в диссертации, были использованы в Научно-технической программе Союзного государства «Развитие и внедрение в государствах-участниках Союзного государства наукоемких компьютерных технологий на базе мультипроцессорных вычислительных систем» (Шифр «ТРИАДА»),

Публикации. Все результаты диссертации опубликованы в 9 работах автора, список которых приводится в конце автореферата. Работы [1]-[4] опубликованы в журналах, рекомендованных ВАК РФ.

Личный вклад. Все результаты диссертации получены автором самостоятельно.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из шести глав (первая из них является введением, а последняя — заключением), которые разбиты на 19 пунктов. Основной текст диссертации составляет 139 страниц. Библиография включает 91 наименование. Приложение к диссертации содержит фрагменты листингов программ комплекса №1рСойго1 на языке системы компьютерной математики Мар1е.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Первая, вводная, глава диссертации посвящена общим определениям, постановке задачи управления, истории рассматриваемых вопросов, а также краткому изложению результатов работы. В диссертации рассматривается важный в теоретическом плане и для приложений класс управляемых систем следующего вида:

х = щХ^х) + и2Х2{х), х е К3, и = (щ, и2) € К2, (1)

где Хь Х2 — гладкие векторные поля в М3, такие, что поля ^(а;), Х2(х), [Х1, Х2](х) линейно независимы для всех х £ К3. 1 Для систем (1) исследуется точное решение двухточечной граничной задачи управления:

а;0, х1 £ К3, Т > 0, е > 0, ®(0) = х°, |х{Т) - я1! < е. (3)

В работе существенно различаются следующие два случая:

• расстояние между граничными точками а;0, х1 достаточно мало, тогда задача управления называется локальной;

• расстояние между граничными точками х°, х1 произвольно, тогда задача управления называется глобальной.

Глава 2 диссертации посвящена исследованию системы

¿1 = ии ¿2 = и2, г3 = (и2г1 - щг2)/2, г = (2ь г*, г3) £ К3, и = (щ, и2) £К2,

и решению для нее задачи управления вида (2):

Важность системы (4) обусловлена тем, что она доставляет фундаментальную локальную аппроксимацию (нильпотентную аппроксимацию) системы общего вида (1). Система (4) известна как неголономный интегратор Брокетта. Точные решения задачи управления (5) для этой системы получены в нескольких классах управлений.

В параграфе 2.1 рассматриваются простейшие классы управлений, а именно: кусочно-постоянные управления (с одним переключением) и тригонометрические управления. В этих классах с помощью прямого аналитического метода найдены однопараметрические семейства программных управлений.

В параграфе 2.2 рассматривается задача управления (4), (5) в классе оптимальных управлений в смысле минимума функционала

Х0,!1?!3, Т> 0, :г(0) = а;0, х(Т)=х\

(2)

и ее приближенное решение:

г{0) = = 4, 4), г{Т) = 0.

(5)

Через [ХьЛг] = д — Х^--—-— Хг обозначается коммутатор векторных полей Х2.

дХх

дх дх

Получены явные формулы для оптимальных процессов, а также оптимальный синтез. Оптимальные траектории в задаче (4), (6) с граничными условиями

2(0) = 0, г{Т) = (7)

являются спиралями (с параметрами р, сб! \ {0}, 6 £ К)

„;__/о (8)

zx(t) = p(sin(ci + Ь) — sin Ь),

z2(t) = p(cos b — cos (ct + b)), z${t) = p2(ct — sinci)/2,

или лучами (с параметрами а > 0, b G К)

zi(t) = atcosb, z2{t) = atsinb, z3(t) = 0. (9)

Для оптимальной траектории (8) с граничными условиями (7) параметры р = p(z°), с = c(z°), b = b(z°) вычисляются по следующим формулам2

р(г)=/±2ЖЩ' " ф c(z) = ±t/T,

[±ч/ЫЛг, z3^0, г = 0,

jip t/2, Z3 Ф 0, .

&(*)=■{ . ,n ±=Slgn Z3.

Используемая выше функция t = t(z) определяется следующим образом:

1) если z-ь ф 0, г ф 0, то t — единственный корень уравнения {t — sin i) г2 = 8|^з| sin2(i/2), t G (0,2тг),

2) если гз ф 0, г = 0, то t = 27г,

3) если гз = 0, г ф 0, то t = 0.

Значения параметров а — a(z°), b = b(z°) для оптимальной траектории (9) с граничными условиями (7) вычисляются по формулам ф) = r/T, b(z) = v».

Для задания оптимальных программных управлений в задаче (4)-(6) вводятся следующие функции:

ф(2) = <р±Щ ± = signz3, d{z) = \W> (10)

[г, z3 = 0.

Основные результаты параграфа 2.2 приведены в следующей теореме, дающей полное решение задачи (4)-(6).

23десь Г — V^l + z2 ' полярный радиус, (р — полярный угол ТОЧКИ (¿1,

Теорема 1. 1) Заданная формулой (10) функция ¿{г) есть функция цены в задаче оптимального управления (4)-(6).

2) Программные управления, дающие решение задачи (4)-(6), определяются формулами:

3) Оптимальный синтез в задаче (4)-(6) задается формулами ui(z) = —cosip(z), u2(z) = —sinф(г).

В параграфе 2.3 разрабатывается метод комбинированного управления, суть которого заключается в последовательном перемещении системы (4) сначала на плоскость z3 = 0, затем по радиус-отрезку в начало координат. Построение соответствующих комбинированных программных управлений сводится к выбору кривых r(t) на плоскости z\z2, выражающих геометрическое свойство системы (4): если z(t) — траектория этой системы, то приращение третьей компоненты z^(t) равно алгебраической площади сектора, который описывает радиус-вектор r(t) = (-zi(i), z2{t))-Одним из способов построения плоских кривых с нужными свойствами является отыскание траекторий подходящих векторных полей на плоскости. Доказана следующая теорема, дающая достаточные условия для векторных полей на плоскости, траектории которых могут охватывать секториальные площади, равные произвольным наперед заданным значениям.

Теорема 2. Пусть v(z) = (vi(zi,z2),v2(zi,z2)) — гладкое векторное поле на плоскости z\z2, удовлетворяющее условиям:

1) поле v полно, т.е. любая траектория z(t) = (zi(t), z2(t)) автономного дифференциального уравнения

u2{t) =

щ{1) =

—d/T cos(x[i — ct), 23^0,

-d/Tcos-ф, z$=0,

-d/Tsin(i/>-ct), z® Ф 0,

—d/Tsinip, ¿3=0,

где d = d(z°), с = c{z°), ф = ф{г°).

¿1 = Vl(zi, Z2), ¿2 = V2(zU Z2) продолжается на всю ось t S (—00, +00);

2) det(ii(z), z) ф 0 для всех z = (21, z2) ф 0;

(И)

Jr+oo fO

' (zi¿2 — Z2¿i)dt, / (zi¿2 — Z2¿\)dt расходятся на О J-00

любой траектории (zi(í), Z2(t)) уравнения (11).

Тогда для любого начального состояния z° G IR3, (zj)2 + (z®)2 ф О, существует единственный момент времени t = tp > 0 такой, что следующие программные управления являются решением задачи управления (4), (5):

f±i;i(z(t)), г 6 [о, У, f±«2(z(í)), t g [o,íp],

[ - cos ifp, t G (tp, T], [ - sin ifip, t G (tp, T],

где ± = sign(z30¿°); =

Vo z° vl Z1

„0 ,0

= v^), v°2 = v2(z°); z(t) -

решение задачи Коши для системы (11) с начальным условием z(0) = (Vpirp) ~ полярные координаты точки 2? = z(±tp); Т = tp + гр — общее время движения.

На основе теоремы 2 построены семейства допустимых процессов и законов управления, использующие простейшие векторные поля на плоскости (постоянные, линейные типа центр и фокус). Все эти управления имеют одно переключение; на первом промежутке времени они выражаются через тригонометрические функции и экспоненту, а на втором временном промежутке постоянны.

В параграфе 2.4 представлены основные результаты главы 2:

1) создание библиотеки программных управлений NilpLib для задачи управления (4), (5);

2) метод комбинированного управления и создание алгоритмов вычисления комбинированных управлений для задачи (4), (5).

Библиотека управлений NilpLib для системы (4) представляет собой набор явных формул для программных управлений, являющихся точными решениями двухточечной граничной задачи управления (4), (5) с фиксированным терминальным временем Т в четырех классах управлений:

1) кусочно-постоянные PieceConst,

2) тригонометрические Trig,

3) оптимальные (в смысле минимума функционала (6)) Optimal,

4) комбинированные Combine.

Метод комбинированного управления и прямой аналитический метод дают возможность расширять библиотеку NilpLib.

В отличие от однозначно определенных оптимальных управлений, в классах управлений PieceConst, Trig, Combine построены параметрические семейства программных управлений, доставляющих решение задачи (4), (5). Возможность настройки этих параметров для улучшения качества управления (например, уменьшения количества переключений или амплитуды) используется в описанном в главе 4 программном комплексе NilpControl.

В главе 3 приближенное решение задачи управления (3) для системы (1) получено в виде вычислительного алгоритма, построенного на основе теоретической схемы, предложенной Дж. Лаферьером и X. Суссманом.

Основные результаты главы 3:

1) найдены явные формулы для вычисления коэффициентов канонической нильпотентной аппроксимации исходной системы в терминальной точке (см. ниже п. 1), 2) теоремы 3);

2) доказана глобальная эквивалентность всех канонических нильпо-тентных аппроксимаций систем вида (1); найдены явные формулы преобразования г н-> G(z), переводящего произвольную каноническую нильпотентную аппроксимацию (12) к системе (4) (см. ниже п. 3) теоремы 3).

3) посредством приведенного на стр. 12,13 автореферата вычислительного алгоритма конструктивно найдено приближенное решение локальной задачи управления (1), (3).

Теорема 3. 1) Каноническая нилъпотентная аппроксимация системы (1) имеет следующую треугольную форму:

¿1 = мь ¿2 = и2,

¿3 = Ui(cnZi + C12Z2) + U2{c2iZi + C22Z2), С12 ф С21.

2) Коэффициенты c,j нильпотентной системы (12) вычисляются по формулам:

Qj — {.^>ii9j)t — 1; 2,

Pj=Xj(x1), ^ = 3 = 1,2

(13)

k = 1,2,3,

/з(х) — третья строка матрицы F~1(x), а 3x3 матрица F(x) составлена по столбцам из векторов Xi, X2 правой части системы (1) и их коммутатора [Х\,Х2];

3) произвольная каноническая нилъпотентная аппроксимация (12) преобразуется в систему (4) при замене переменных

„ 1 Л С21 + С12„ _ Сц 2 С22 2\\

ад - {*>- -у-я* - т21 - т**)) ■

(14)

Алгоритм приближенного решения локальной задачи управления (1), (3)

Входные данные: векторные поля Xi(ar), Х2{х); точки х°, х1 € К3; терминальное время Т > 0; точность е > 0; класс управлений пс б {PieceConst, Trig, Optimal, Combine}; параметры управлений par.

Выполняемые действия:

1. Проверка условия достижения цели: если — ат11 < е, то цель достигнута, алгоритм выдает управление u(t) = 0 и останавливается. Далее предполагается, что \xQ — xl\ ^ е.

2. Вычисление нильпотентной аппроксимации исходной системы (1) в окрестности терминальной точки ж1: вычисляются коммутатор Х3 = Х^], матрица F(x) = (Хх,Х2,Хз){х), коэффициенты Cij, i, j — 1,2 по формуле (13).

3. Итерационный процесс. В качестве начального приближения на первой итерации берется q° = х°. Пусть qn~l — приближение к терминальной точке х1, полученное на (п — 1)-ой итерации.

(a) Вычисляется представление начальной точки qn~x в специальных координатах, центрированных в терминальной точке х1:

2n-i = _ а}), (15)

(b) Вычисляются координаты уначальной точки qn~l в системе координат {у\, у2, уз) системы (4) по правилу у11'1 = G(cij, zn~l), где отображение G задано формулой (14).

(c) По формулам главы 2 вычисляются управления и11, переводящие систему (4) из точки уп~1 в точку 0 £ R3 за время Т в классе управлений nc S {PieceConst, Trig, Optimal, Combine}, с использованием выбранных параметров управлений par.

(d) Решается задача Коши для исходной системы (1) с управлениями и":

х = ЭД.ВД + T%(t)X2(x), х(0) = qn~\ t Е [О, Т\\

ее решение обозначается через xn(t).

(e) В качестве следующего приближения берется точка qn = хп(Т).

(f) Проверяется условие достижения цели: если \qn — < е, то цель достигнута и итерационный процесс останавливается. Если | qn — х1! ^ то совершается переход к следующей итерации, к пункту 3 (а), ив качестве начального приближения берется qn. Из сходимости алгоритма при достаточно малом \х° — гг1! следует, что на некоторой итерации N выполнится условие \qN— хг\ < е, и итерационный процесс остановится.

4. Приближенное решение локальной задачи управления дается последовательным применением управлений й1,..., uN, вычисленных на каждой итерации и перепараметризованных соответствующим образом:

Nul(Nt), te[0,T/N],

Nu2(Nt-T), t € [T/N,2T/N],

NuN{Nt-(N-l)T), te[T{N-l)/N,T\.

Выходные данные: управление и(Ь) = х°, х1, Т, е, пс), полученное с помощью формул (16), переводит систему (1) за время Т > 0 из точки х° в точку х1 с заданной точностью е > 0, следовательно, является приближенным решением локальной задачи управления (1), (3).

В главе 4 описывается программное обеспечение, разработанное для приближенного решения двухточечной граничной задачи управления (1), (3):

• модуль ГтсЮоп^о1Ргос для приближенного решения локальной задачи управления (т.е. задачи (1), (3) для достаточно близких точек

г1),

• программный комплекс NilpControl для приближенного решения глобальной задачи управления (для произвольных точек х°, х1), с возможностью учета фазовых ограничений

x(t)eD, ie[0,T], (17)

где D — задаваемая пользователем область в К3, которой принадлежат граничные точки х°, х1.

Модуль FindControlProc реализует алгоритм приближенного решения локальной задачи управления (1), (3), построенный в главе 3 (см. стр. 12, 13 автореферата). Для этого используются следующие компоненты:

• пакеты расширения Maple: linalg (линейная алгебра), DEtools (обыкновенные дифференциальные уравнения);

• разработанные автором программные модули:

— NilpApprox (вычисление коэффициентов сц нильпотентной аппроксимации исходной системы (1) в терминальной точке, см. теорему 3),

— ChangeCoords (замена переменных (15), (14)),

— NilpLibControl (получение точных решений задачи управления (4), (5) в одном из четырех классов управлений PieceConst, Trig, Optimal, Combine на основе библиотеки NilpLib, созданной в главе 2).

Программный комплекс NilpControl решает глобальную задачу управления (1), (3), (17), и создан с использованием следующих компонент:

• пакеты расширения Maple: linalg, DEtools, plottools (работа с графикой);

• модули NilpApprox, ChangeCoords, NilpLibControl, FindControlProc;

• программный модуль проверки полной управляемости исходной системы (1), проверяющий выполнение рангового критерия теоремы Рашевского-Чжоу;

• программный модуль Decompose, сводящий глобальную задачу управления к серии локальных задач на основе выбора стратегии декомпозиции strategy, состоящей из:

— способа вычисления количества и координат таких попарно близких точек р1,... G К3, что задачи управления для пар точек (рг_1,рг), г = 1,..., N, локальны, где р° = х°, pN = х1;

— набора классов управлений nc, € {PieceConst, Trig, Optimal, Combine} для пар точек (р,_1,р*), г = 1,..., ЛГ;

— параметров par управлений для классов PieceConst, Trig, Combine;

— точности промежуточных локальных задач управления е\

• программный модуль конкатенации, т.е. объединения управлений и1(t), ..., uN(t), вычисленных подпрограммой FindControlProc для пар точек {р°,р1), (р\р2),..., (р1~\рг), • • ■, (pN~\pN), в управление u(t) по формуле (16). Здесь через рг, \рг — р1\ < е\ обозначена конечная точка траектории системы (1), вычисляемая программным модулем FindControlProc на локальной задаче управления для пары точек (р1~\р1);

• модуль проверки превышения количества итераций подпрограммы FindControlProc над максимально допускаемым пользователем количеством итераций (Iter > Maxlter?);

• модуль проверки выполнения фазовых ограничений (17) (x(t) € ту,

• программный модуль проверки выполнения требуемой точности е решения задачи управления (1), (3) — xl\ < el). Здесь qN — pN\

• программный модуль текстового либо графического вывода вычисленного управления (Write u{t)).

Схема взаимодействия компонент программного комплекса NilpControl изображена на Рис. 1, а его блок-схема — на Рис. 2. Символ человека на этих схемах обозначает участие эксперта (интерактивный режим работы программного комплекса). Программный модуль FindControlProc, использующий стратегию декомпозиции strategy, обозначен на Рис. 2 как FCP(strategy).

Описанный подход к решению задачи управления обладает важным преимуществом многометодности: для каждой из локальных задач управления для пар точек {рг~1,рг), i = 1,.. ■, N, возможно использование любого из четырех классов управлений (па Е {PieceConst, Trig, Optimal, Combine}), причем для всех классов, кроме Optimal, возможен выбор

Пакеты расширения Maple linalg, DEtools, plottools

Рис. 1: Схема взаимодействия компонент программного комплекса NilpControl

параметров управлений par. Эта многометодноеть была использована в диссертации: были разработаны параллельные алгоритмы решения задачи управления, реализующие выбор лучшего управления из некоторого семейства. Качество управления понимается в смысле минимизации количества переключений, уменьшения амплитуды и т.п.

В главе 5 рассматривается экспериментальная эксплуатация описанного в предыдущих главах вычислительного инструментария при решении локальных и глобальных задач управления для нескольких содержательных систем:

1) для кинематической модели мобильного робота на плоскости (машины Ридса-Шеппа без ограничений на управление)

xi = щ cos:E3, х2 = щ sin2:3, £3 = щ, х = {xi,x2,x3) е Ж3, и = (щ,и2) G К2;

(18)

2) для системы, описывающей управление ориентацией сферы, катящейся по плоскости без проскальзывания и прокручивания

х2

¿1 = —^1X3 +и2х2, ±3 = UiXi — U2\Jl—x\ —

-и 1 „2

и2Х 1,

(19)

(20)

= {xux2,x3) е в3 = {х\ +х\ + х\ < 1} , и = (иии2) е К2; (21)

Рис. 2: Блок-схема программного комплекса №1рСоп1;го1

3) для системы в четырехмерном пространстве состояний с трехмерной орбитой

¿1 = — ЩХз + и2х2, ±2 = —ЩХ4 — U2XI, (22)

¿3 = U\X\ — U2X4, ¿4 = U1X2 + U2X3, (23)

1 = (ii,^,^!^) £ R4. u = (ui,U2) € К2; (24)

4) для предельной системы двухзвенного манипулятора

уз{уз + cosy2) sin 2/2

2 + 2уз cos у2 + Уз 2 + 2y3cosy2 + yi № = Щ, Уз =и2, и — {щ,и2) Е К2, (26)

- тг/2 < У1 < тг/2, -ж/2^у2^ж/2, (27)

Таблица 1 демонстрирует быстрое убывание расстояния от терминальной точки а;1 до точки д", вычисленной на n-ом шаге алгоритмом решения локальной задачи управления для системы (18).

На Рис. 3 и 4 приведены графики зависимости количества итераций (Iterations) от порядка точности (Power = — lg(er)) при решении локальной задачи управления для системы (19)—(21) в классах Optimal и Trig соответственно.

номер итерации п 0 1 2 3 4 5

к"-*1! 2,3 7-10"1 3 • КГ3 1 • 10"5 6 • 10"8 3 • 10"9

Таблица 1: Сходимость алгоритма для мобильного робота (18)

В заключении главы 5 приведены рекомендации по использованию наработанных экспертных знаний для успешного применения интеллектуальных возможностей программного комплекса NilpControl.

В заключительной главе 6 кратко сформулированы основные результаты, полученные в диссертации.

В приложении приведены фрагменты листингов программ комплекса NilpControl в системе компьютерной математики Maple.

Power Power

Рис. 3: Зависимость количества итераций от порядка точности, система (19)—(21), nc = Optimal

Рис. 4: Зависимость количества итераций от порядка точности, система (19)—(21), nc = Trig

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ

1) Для задачи оптимального управления неголономным интегратором Брокетта с интегральным критерием качества получено описание оптимального синтеза и функции цены.

2) Разработан метод построения комбинированного управления для решения задачи управления трехмерной нильпотентной системой с двумерным линейным управлением.

3) На основе разработанных математических методов создана библиотека программных управлений NilpLib, точно решающих двухточечную граничную задачу управления в классах кусочно-постоянных, тригонометрических, оптимальных в смысле минимума интегрального функционала, и комбинированных управлений.

4) Разработаны многометодные алгоритмы (включая параллельные) для вычисления приближенного решения задачи управления для нелинейных неголономных трехмерных систем с двумерным линейным управлением.

5) В системе компьютерной математики Maple создан программный комплекс NilpControl, реализующий указанный многометодный алгоритм, с поддержкой как автоматического, так и интерактивного режимов работы пользователя.

6) Проведена экспериментальная эксплуатация программного комплекса NilpControl для решения ряда содержательных задач управления: кинематическая модель мобильного робота на плоскости; ориентация сферы, катящейся по плоскости без проскальзывания и прокручивания; система в четырехмерном пространстве состояний с трехмерной орбитой; предельная система двухзвенного манипулятора.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

[1] Сачкова Е. Ф. Решение задачи управления для нильпотентной системы // Дифференциальные уравнения, 2008, том 44, № 12, с. 1704 1707.

[2] Сачкова Е. Ф. Приближенное решение задачи управления на основе нильпотентной аппроксимации // Дифференциальные уравнения, 2009, том 45, № 9, с. 1355-1364.

[3] Сачкова Е. Ф. Приближенное решение двухточечных граничных задач для систем с линейными управлениями// Автоматика и телемеханика, 2009, № 4, с. 179-189.

[4] Сачкова Е.Ф. Программная реализация алгоритма приближенного решения задачи управления// Программные продукты и системы, 2009, № 2, с.84-88.

[5] Sachkov Yu.L., Sachkova E.F. Motion planning for linear in control systems // Generalized solutions in control problems. IFAC workshop, Pereslavl-Zalessky, 2004. M.: FIZMATLIT, 2004. P. 227-235.

[6] Сачкова E. Ф. Решение задачи управления на основе нильпотентной аппроксимации // Программные системы: теория и приложения. / Труды международной конференции, ИПС РАН, г. Переславль-Залесский, октябрь 2006 / Под редакцией С. М. Абрамова. В двух томах.—М.: Физматлит, 2006, Т.2, с. 57-81.

[7] Сачкова Е. Ф. Реализация и анализ работы алгоритмов приближенного решения задачи управления // Труды международной конференции «Программные системы: теория и приложения», ИПС РАН, г. Переславль- Залесский, май 2009, Т.1, с. 59-75.

[8] Сачкова Е.Ф. Приближенное решение задачи управления на основе нильпотентной аппроксимации. «Современные проблемы математики, механики и их приложения». Материалы международной конференции, посвященной 70-летию акад. В.А.Садовничего. — М.: Издательство «Университетская книга», 2009, С. 207.

[9] Сачкова Е. Ф. Решение двухточечных граничных задач для систем с линейными управлениями. Международная конференция по математической теории управления и механике, Суздаль, 02.07-07.07, 2009 г. Тезисы докладов под ред. акад. Е.Ф. Мищенко и A.A. Давыдова. С. 137, 138.

В работе [5] автору принадлежит разработка программы решения двухточечной граничной задачи управления для кинематической модели мобильного робота на плоскости, и вычислительные эксперименты, демонстрирующие сходимость алгоритма приближенного решения задачи управления на основе нильпотентной аппроксимации в данной задаче.

1 Введение

1.1 Основные определения и постановка задачи управления.

1.2 Обзор литературы по управляемости и методам решения задачи управления.

1.2.1 Управляемость автономных систем.

1.2.2 Методы решения задачи управления.

1.2.3 Программные средства для решения задачи управления.

1.3 Краткое содержание работы.

2 Явные формулы и алгоритмы для решения задачи управления нильпотентной системой

2.1 Простейшие классы управлений.

2.1.1 Кусочно-постоянные управления

2.1.2 Тригонометрические управления

2.2 Оптимальные управления.

2.2.1 Постановка задачи и схема решения

2.2.2 Принцип максимума Понтрягина.

2.2.3 Исследование оптимальности экстремальных траекторий.

2.2.4 Явные формулы для оптимальных процессов.

2.3 Комбинированные управления.

2.3.1 Геометрическое свойство симметричной системы.

2.3.2 Метод комбинированного управления.

2.3.3 Теорема о подходящих векторных полях.

2.3.4 Алгоритмы построения управлений.

2.3.5 Комбинированные управления, построенные с помощью векторных полей типа центр.

2.3.6 Комбинированные управления, построенные с помощью векторных полей типа фокус.

2.3.7 Комбинированные управления, построенные с помощью постоянных полей.

2.3.8 Основные формулы параграфа

2.4 Основные результаты главы.

3 Алгоритмы приближенного решения задачи управления

3.1 Теоретические сведения.

3.2 Каноническая нильпотентная аппроксимация.

3.3 Вычисление коэффициентов аппроксимации.

3.4 Замена переменных, приводящая нильпотентную аппроксимацию к симметричной системе.

3.5 Последовательный алгоритм решения задачи управления.

3.6 Параллельные алгоритмы для решения задачи управления.

4 Программный комплекс NilpControl для решения задачи управления

4.1 Описание программы FindControlLoc.

4.1.1 Описание программных модулей программы FindControlLoc

4.1.2 Схема программы FindControlLoc.

4.2 Программный комплекс NilpControl.

5 Апробация и анализ работы программ решения задачи управления

5.1 Управление мобильным роботом на плоскости.

5.2 Управление ориентацией катящейся сферы

5.2.1 Пример работы программы FindControlLoc.

5.2.2 Анализ работы программы FindControlLoc.

5.3 Системы с трехмерной орбитой.

5.3.1 Метод карт.

5.3.2 Метод аппроксимации скобки Ли.

5.3.3 Сравнение алгоритмов 3 и 4.

5.4 Управление предельной системой для двухзвенного манипулятора

5.5 Рекомендации по использованию ПК NilpControl.

1.1 Основные определения и постановка задачи управления

Современные программные комплексы управления техническими объектами сталкиваются с проблемами управления неголономными системами. Такие системы традиционно представляют трудности для теоретического анализа в механике, а их широкое использование в современной робототехнике и инженерии (мобильные роботы, роботы-манипуляторы) делают весьма актуальной разработку новых математических, алгоритмических и программных средств для управления неголономными системами.

Цель данной диссертации — разработка методов, алгоритмов и программ решения двухточечной граничной задачи управления для нелинейных систем с трехмерным состоянием и двумерным линейным управлением. Прежде чем дать точную формулировку этой задачи, напомним базовые определения. Рассмотрим управляемую систему х = Х(х,и), sGln, ueU сГ, (1.1) с гладкой правой частью Х(х, и), кусочно-непрерывными управлениями u(t) и кусочно-гладкими траекториями x{t). Если x(t) = X(x(t),u(t)) для почти всех моментов времени t, то говорят, что траектория x(t) соответствует управлению u(t), а пара (u(t), x(t)) называется управляемым процессом для системы (1.1). Если при этом ж(0) = х°, х(Т) = .т1 для некоторых точек х°, х1 £ Кп, то траектория x(t) (или управление u(t)) переводит систему (1.1) из точки х° в точку х1.

Зафиксируем точки х°, х1 & К", время Т > 0, и рассмотрим следующую задачу управления: найти управление u(t), t £ [О, Т], переводящее систему (1.1) из точки х° в точку х1.

1.2)

Соответствующее управление u(t) называется точным решением задачи (1.2). Будем называть в этом случае управление u(t), траекторию x(t), процесс (u(t), x(t)), t Е [О, Т], допустимыми для задачи (1.2). Если точное решение не удается найти, естественно рассмотреть приближенное решение задачи (1.2): зафиксируем х°, х1 £ R", Т > 0 и точность £ > 0, и потребуем найти управление u(t), t Е [О, Т], переводящее систему (1.1)

1.3) из точки ж0 в некоторую точку г- окрестности точки х1.

В данной диссертации рассматривается важный в теоретическом плане и для приложений класс управляемых систем следующего вида: х — щХ^х) +и2Х2{х), х Е R3, и — (щ, U2) G К2, (1.4) где Xi, Х2 — гладкие векторные поля в R3. Для таких систем исследуется точное решение задачи управления (1.2): х°, а^еМ3, Т>0, х(0) = ж°, х(Т) = х\ (1.5) и ее приближенное решение (1.3): х°, х1 £ Ш3, Т> 0, £>0, ж(0) = ж°, |ж(Т) — а,д| < е. (1.6)

В силу линейности системы (1.4) по управлениям и отсутствия ограничений па управление (и G R2), если управление u(t), t £ [0, Т], переводит эту систему из точки х° в точку х1, то для любого к > 0 управление u(t) — ku(kt), t Е [0, Т/к], также переводит эту систему из х° в х1 (соответствующая траектория есть x(t) = x(kt)). Эту возможность перепараметризации траекторий системы (1.4) мы неоднократно используем в дальнейшем. Благодаря ей, если задача (1.5) (или (1.6)) разрешима для некоторого Т > 0, то она разрешима и для любого Т > 0. Поэтому далее мы опускаем зависимость задачи управления для системы (1.4) от терминального времени Т в промежуточных рассуждениях, но сохраняем ее в окончательных формулах и алгоритмах для решения этой задачи.

Всюду далее система (1.4) рассматривается при некоторых условиях общего положения; для точной формулировки этих условий понадобятся еще несколько определений и фактов, которые для удобства использования в дальнейшем обзоре будут приведены для общих линейных по управлению систем т x = ^2uiXi(x)> и = (щ,.,ит) ЕШ.т. (1.7)

1=1

Система (1.1) называется вполне управляемой, если для любых х°, х1 Е К" задача управления (1.2) разрешима, то есть существует управление, переводящее эту систему из 1° в I1. Обозначим через etXi(x) траекторию векторного поля Xi, начинающуюся в точке х: etx'(x) = Xi(etx<(x)), etx<(x)\^ = x, а через etx' : М" —> R" поток поля Xi, то есть отображение, переводящее точку х Е К" в точку etx,(x) Е Ж". Очевидно, что свойства управляемости системы (1.7) существенно зависят от свойств коммутативности полей Х{. В частности, если потоки этих полей коммутируют между собой, то есть etXi Q esXj = csX3 о etXi a е R] то из любой точки х° Е R" достижимыми для системы (1.7) являются лишь точки, принадлежащие m-мерной поверхности etmX™ o.oetlXl{xQ)\

Мерой некоммутативности полей Х\. Х2 является их коммутатор (скобка Ли) — векторное поле [Xi, Х2], вычисляемое следующим образом:

Xlt Х2](х) = - ^Х2(х), в координатах:

Xi{x) = (XI ., Хр)(х), х = (xi, хп)Е К",

Хг, ХМ*) = Ё д~ВХ{{х) ~ £ ИГXi{x)' j=1 J 1 J

Рассмотрим алгебру JIu, порожденную полями Х\, ., Хт\ это линейное пространство, порожденное полями Х\, ., Хт и их коммутаторами произвольного порядка:

Lie(X1,.,Xm)=span(Xi,, [Хи Xs], [Xit [Xjt Xfc]],.).

Определим также линейное пространство, образованное значениями в фиксированной точке х £ R™ векторных полей из алгебры Ли Lie(X!,. Хт):

Liex(Xi,. ,,Хт) = span{X(a;)| X G Lie(Xb . ,Xm)} = span (Х{(х), [Xu Xj](x),.).

Теорема Рашевского-Чжоу [2,31] дает критерий полной управляемости аналитических систем (1.7): такие системы вполне управляемы тогда и только тогда, когда dim 1леж(Хх,., Хт) = п Уж G R". (1.8)

Условие (1.8) называется условием полного ранга для системы (1.7). Естественным достаточным условием для условия полного ранга (1.8) для трехмерных систем (1.4) является следующее условие: векторные поля Х^з;), Х2(х), [Xj, Х2](х) линейно независимы для всех х Е К3.

1.9)

Заметим, что системы (1.4) общего положения удовлетворяют условию (1.9).

В данной диссертации рассматриваются гладкие управляемые системы (1.4), удовлетворяющие условию (1.9). Для таких систем исследуется точное (1.5) и приближенное (1.6) решение задачи управления.

В работе существенно различаются следующие два случая:

• расстояние между граничными точками х°, х1 достаточно мало, тогда задача управления называется локальной;

• расстояние между граничными точками х°, х1 произвольно, тогда задача управления называется глобальной.

Основные результаты диссертации

1. Для задачи оптимального управления неголономным интегратором Брокетта с интегральным критерием качества получено описание оптимального синтеза и функции цены.

2. Разработан метод построения комбинированного управления для решения задачи управления нильпотентной системой.

3. На основе разработанных математических методов создана библиотека программных управлений NilpLib, точно решающих двухточечную граничную задачу управления в классах кусочно-постоянных, тригонометрических, оптимальных в смысле минимума интегрального функционала, и комбинированных управлений.

4. Разработан многометодный вычислительный алгоритм для нахождения приближенного решения задачи управления для нелинейных пеголономных систем общего положения с трехмерным состоянием и двумерным линейным управлением.

5. В системе компьютерной математики Maple создан программный комплекс NilpControl, реализующий указанный многометодный алгоритм, с поддержкой как автоматического, так и интерактивного режимов работы пользователя.

6. Проведена экспериментальная эксплуатация программного комплекса NilpControl для решения ряда задач управления: кинематическая модель мобильного робота на плоскости; ориентация сферы, катящейся по плоскости без проскальзывания и прокручивания; система в четырехмерном пространстве состояний с трехмерной орбитой; предельная система двухзвенпого манипулятора.

Полученные теоретические результаты могут быть использованы в дальнейших исследованиях методов управления неголопомными системами. Разработанный программный комплекс NilpControl, в совокупности с рекомендациями по его использованию, может применяться для исследования управляемых систем в механике, робототехнике, инженерных приложениях, а также при обучении студентов новым методам теории управления.

Заключение:

1. Аграчев А.А., Сарычев А.В. Фильтрации алгебры Ли векторных полей и иильпотентная аппроксимация управляемых систем //ДАН СССР,— 1987.— Т. 295.— С. 777-781.

2. Аграчев А.А., Сачков Ю.Л. Геометрическая теория управления. М.: Физматлит, 2005.

3. Антипина Н.В., Дыхта В.А. Неравенство Гамильтона-Якоби в вырожденных задачах динамической оптимизации с линейным неограниченным управлением. // Вестник БГУ. Математика и информатика. Улан-Удэ: Изд-во БГУ, 2008. — Вып. 9. — С. 3-10.

4. Бабичев А.В. Особые поверхности для управляемых динамических систем с плоским конусом допустимых направлений скорости // Автоматика и телемеханика.— 1989.— X2 4.— С. 43-53.

5. Бабичев А.В., Бутковский А. Г., Jlene Н. Л. Особые множества на фазовых портретах динамических систем с управлением. I // Автоматика и телемеханика.— 1986.— № 5.— С. 34-31.

6. Бабичев А.В., Бутковский А. Г., Лепе Н. Л. Особые множества на фазовых портретах динамических систем с управлением. II // Автоматика и телемеханика.— 1986.— № 7.— С. 48-54.

7. Бабичев А.В., Бутковский А. Г., Лепе Н. Л. Декомпозиция фазового портрета динамической системы с управлением с помощью аппарата расслоений // Автоматика и телемеханика — 1989 — № 5.— С. 19-27.

8. Бартенъев О.В. Современный Фортран.— М.: Диалог-МИФИ, 2000.

9. Бутковский А. Г. Фазовые портреты управляемых динамических систем.— М.: Наука, 1985.

10. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач.— М.: Наука, 1980.

11. Вершик A.M., Гершкооич В.Я. Неголоиомиые динамические системы и геометрия распределений //Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Динамические системы. М.: ВИНИТИ.— 1986.— Т. 7.

12. Винберг Э.Б., Онищик А.Л. Семинар по группам Ли и алгебраическим группам.— М.: Наука, 1988.

13. Герц Г. Принципы механики, изложенные в новой связи.— М.: Изд-во АН СССР, 1959.

14. Горное А.Ю. Технология проектирования программных комплексов для задач оптимального управления // Вестник ИрГТУ. 2004. - Т. 17, № 2. - С. 148-153.

15. Гурман В.И. Принцип расширения в экстремальных задачах.— М.: Физматлит, 1997.

16. Гурман В.И., Сачков Ю.Л. Представление и реализация обобщенных решений управляемых систем с неограниченным годографом // Автоматика и Телемеханика.— 2008.— № 4,— С. 72-80.

17. Дьяконов В. Maple 6: учебный курс. СПб.: Питер, 2001.

18. Евтушенко Ю.Г. Методы решения экстремальных задач и их применение в системах оптимизации. —М.: Наука, 1982.

19. Емельянов С.В., Коровин С.К., Никитин С.В. Нелинейные системы. Управляемость, стабилизируемость, инвариантность. Итоги науки и техники. Серия "Техническая кибернетика",— Т. 23 — С. 3-107.

20. Емельянов С.В., Коровин С.К., Мамедов И.Г., Никитин С.В. Критерии управляемости нелинейных систем при фазовых ограничениях // Докл. АН СССР.— 1986.— Т. 290.— № 1.

21. Емельянов С.В., Коровин С.К., Никитин С.В. Управляемость нелинейных систем. Двумерные системы. Итоги науки и техники. Серия "Техническая кибернетика".— 1987.— Т. 21.- С. 3-67.

22. Жулин С. С. Численное решение задач оптимального управления с помощью системы OPTIMUS // Проблемы динамического управления: Сборник научных трудов факультета ВМиК МГУ Под ред. Ю.С.Осипова, А.В.Кряжимского — 2005.— Выпуск 1 — С. 158165.

23. Зеликин М. И. Оптимальное управление и вариационное исчисление. М.: Едиториал УРСС, 2004.

24. Керниган Б., Ритчи Д., Фъюэр А. Язык программирования Си. Задачи по языку Си. М.: Финансы и статистика, 1985.

25. Ли Э. Б., Маркус Л. Основы теории оптимального управления.— М.: Наука, 1972.

26. Лобри К. Динамические полисистемы и теория управления. Математика. Новое в зарубежной науке. Выпуск 14.— М.: Мир, 1979.

27. Мищенко А. С. , Фоменко А. Т. Курс дифференциальной геометрии и топологии. М.: Факториал, 2000.

28. Неймарк Ю.И., Фуфаев И.А. Динамика неголономных систем.— М.: Наука, 1967.

29. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Физматгиз, 1961.

30. Пшеничный Б.Н., Данилин Ю.М. Численные методы в экстремальных задачах. М.: Наука, 1975.

31. Рашевский П. К. О соединимости любых двух точек вполне неголономного пространства допустимой линией //Учен. зап. Моск. гос. пед. ин-та им. К. Либкпехта. Сер. физ.-мат.— 1938.— Т. 3.— №2,— С. 83-94.

32. Сачков Ю.Л. Множество Максвелла в обобщенной задаче Дидоны //Мат. Сборник.— 2006.- Т. 197,- № 4,- С. 123-150.

33. Сачков Ю.Л. Управляемость и симметрии инвариантных систем на группах Ли и однородных пространствах.— М.: Физматлит, 2007.

34. Сачкова Е. Ф. Решение задачи управления для нильпотентной системы // Дифференциальные уравнения, 2008, том 44, № 12,с.1704 1707.

35. Сачкова Е.Ф. Приближенное решение задачи управления на основе нильпотентной аппроксимации // Дифференциальные уравнения, 2009, том 45, № 9, с.1355-1364.

36. Сачкова Е. Ф. Приближенное решение двухточечных граничных задач для систем с линейными управлениями// Автоматика и телемеханика, 2009, № 4, с. 179-189.

37. Сачкова Е.Ф. Программная реализация алгоритма приближенного решения задачи управления// Программные продукты и системы, 2009, № 2, с.84-88.

38. Срочко В.А. Итерационные методы решения задач оптимального управления. М.: Физматлит, 2000.

39. Третьяк А. И. Достаточные условия локальной управляемости и необходимые условия оптимальности высшего порядка. Дифференциально- геометрический подход // Современная математика и ее приложения. Т. 24. Динамические системы-4.— М.: ВИНИТИ, 1996.

40. Тятюшкин А. И. Численные методы и программные средства оптимизации управляемых систем. —Новосибирск: Наука, 1992.

41. Тятюшкин А.И. Многометодная технология оптимизации управляемых систем. — Новосибирск: Наука, 2006.

42. Уиттекер Э.Е. Аналитическая динамика. М.: УРСС, 2004.

43. Чаплыгин С.А. Исследования по динамике неголономных систем.— М.: Изд-во ЛКИ, 2007.

44. Чхиквадзе И.Ю. Исследование фазовых портретов билинейных систем // Автоматика и телемеханика — 1989,— № 4.— С. 75-83.

45. Aeyels D. Global controllability for smooth nonlinear systems: a geometric approach // SIAM Journal on Control and Optimization.— 1985.— V. 23.— No. 3 — P. 452-465.

46. Agrachev A. Newton diagrams and tangent cones to attainable sets // Analysis of Controlled Dynamical Systems / Eds. B. Bonnard, B. Bride, J.P. Gauthier, I. Kupka.—Proc. col. Int. Lyon, Prance, 3-6 juillet, 1990—Birkhauser, 1991.—P. 11- -20.

47. Agrachev A. Is it possible to recognize Local Controllability in a finite number of differentiations? // Open Problems in Mathematical Systems and Control Theory.—London: Springer-Verlag, 1999.—P. 15-18.

48. Agrachev A., Gamkrelidze R.V. Local Controllability for families of diffeomorphisms // Systems and Control Letters.—1993,—V. 20.—P. 67-76.

49. Agrachev A., Gamkrelidze R.V. Local Controllability and semigroups of diffeomorphisms // Acta Appl. Math.—1993—V. 32.—P. 1-57.

50. Agrachev A., Marigo A. Nonholonomic tangent spaces: intrinsic construction and rigid dimensions // Electronic Research Announcements of the American Mathematical Society.— 2003,- V. 9 P. 111-120.

51. Avnaim F., Boissonnat J., Faverjon B. A practical exact motion planning algorithm for polygonal objects amidst polygonal obstacles // Int. IEEE Conf. on Robotics and Automation — Philadelphia.— 1988—P. 1656-1661.

52. Barraquand J., Latombe J.C. Robot motion planning: a distributed representation approach // International Journal of Robotics Research.— 1991.

53. A. Bellaiche and J.-J. Risler, editors, Sub-Riemannian Geometry. // Progress in Mathematics.— Birkhauser.— 1986.

54. Bellaiche A. The tangent space in sub-Riemannian geometry //In: Bellaiche A. and Risler J.-J. Eds. Sub-Riemannian geometry. Basel, Swizerland: Birkhauser.— 1996.— P. 1-78.

55. Bellaiche A., Laumond J.P., Chyba M. Canonical nilpotent approximation of control systems: application to nonholonomic motion planning // 32nd IEEE Conf. on Decision and Control.— San Antonio - 1993.

56. Bianchini R.M., Stefani G. Graded approximation and controllability along a trajectory // SIAM J. on Control and Optimization.— 1990.— V 28 — No. 4 — P. 903-924.

57. Boissonnat J.D., Cerezo A., Leblond J. Shortest paths of bounded curvature in the plane // In IEEE Int. Conf. on Robotics and Automation. — Nice.— 1992.

58. Bressan A., Rampazzo F. Impulse control systems without commutativity assumption. // J.Optim. Theory and Appl.— 1994. — V.81, N3. — pp. 435-457.

59. Bui X.N., Soueres P., Boissonnat J.D., Leblond J.P. Shortest paths Synthesis for Dubins Nonholonomic Robot // IEEE Int. Conf. on Robotics and Automation. — San Diego.— 1994.

60. Bushnell L., Tilbury D., Sastry S. Steering three-input nonholonomic systems: the four-truck example // International Journal of Robotics Research.— 1995.— V. 14.— P. 366-381.

61. Fliess M., Levine J., Martin P., Rouchon P. Flatness and defect of non-linear systems: introductory theory and examples // Int. Journal of Control.— 1995.— V. 61.— No. 6.— P. 1327-1361.

62. Goodman N. Nilpotent Lie groups// Springer Lecture Notes in Mathematics.— 1976.— V. 562.

63. Hermes H. Nilpotent and high-order approximations of vector field systems // SIAM Review.— 1991,— V 33.- No. 2.— P. 238- 264.

64. Isidory A. Nonlinear control systems: an introduction.— Springer-Verlag, 1985.

65. Jacob G. Lyndon discretization and exact motion planning // European Control Conference.— Grenoble.— 1991 — P. 1507-1512.

66. F. Jean. Sub-Riemannian geometry//Lectures on Dynamical and Control Systems, Trieste, 2003.

67. Jurdjevic V. Geometric control theory.— Cambridge University Press, 1997.

68. Kalman R., Ho Y. C., Narendra K. Controllability of Linear Dynamical Systems.// Contrib. Diff. Equations—1963—V. 1 — No. 2.

69. Kawski M. Combinatorics of nonlinear controllability and noncommuting flows // Mathematical control theory. ICTP Lecture Notes Series.—2002—V. 8.—P. 222-311.

70. Krener A. A generalization of Chow's theorem and the Bang-Bang theorem to non-linear control problems //SIAM J. Control—1974.-V. 12,—P. 43-51.

71. Laferriere G. and Sussmann H.J. A differential geometric approach to motion planning. //In: Nonholonomic Motion Planning. Zexiang Li and J.F. Canny Eds.— The Kluwer International Series in Engineering and Computer Science.—1992.— V. 192.

72. Latombe J.C. Robot Motion Planning.— Kluwer Academic Publishers, 1991.

73. Laumond J.P. Singularities and topological aspects in nonholonomic motion planning //In: Nonholonomic Motion Planning, Zexiang Li and J.F. Canny Eds, The Kluwer International Series in Engineering and Computer Science.- 1992.— V. 192.

74. Laumond J.P. Robot Motion Planning and Control. Lecture Notes in Control and Information Sciences.— Springer.—1998 — V. 229.

75. Laumond J.P., Risler J.J. Nonholonomic systems: controllability and complexity // Theoretical Computer Science.— 1996.— V. 157.— P. 101-114.

76. Li Z., Canny J.F. Eds., Nonholonomic Motion Planning.— Kluwer Academic Publishers, 1992.

77. Lobry C. Controllability of nonlinear systems on compact manifolds / / SIAM Journal on Control.—1974.-V. 12,—No. 1.— P. 1-4.

78. Markus L. Controllability of Nonlinear Processes.//J. SIAM, Ser. A. Control 3. —1965,—P. 78-90.

79. Murray R. M. Nilpotent bases for a class on nonintegrable distributions with applications to trajectory generation for nonholonomic systems // Math. Control Signal Syst.— V. 7.— 1994.— P. 58-75.

80. Murray R.M., Sastry S. Steering nonholonomic systems using sinusoids // IEEE Int. Conf. on Decision and Control.— 1990 — P. 2097-2101.

81. Nijmeijer II., van der Schaft A. Nonlinear dynamical control systems.— Springer-Verlag, 1990.

82. Nikitin S. Global controllability and stabilization of nonlinear systems.— World Scientific Publishing, 1994.

83. Rothschild L.P., Stein E.M. Hypoelliptic differential operators and nilpotent groups// Acta. Math.- 1976 V 137.- P. 247-320.

84. Sachkov Yu.L., Sachkova E.F. //Generalized solutions in control problems (IFAC workshop). M.: FIZMATLIT, 2004. P. 227-235.

85. Stefani G. On local controllability of a scalar-input system / In Lindquist Byrnes, editor // Theory and Appl. of Nonlinear Control Syst. North Holland, Amsterdam.— 1986.— P. 167-179.

86. Sussmann H. Lie brackets, real analyticity and geometric control // Geometric control Theory (Brockett R., Millman R. and Sussmann H., eds.) V. 27 of Progress in Mathematics, Michigan Technological University.— Birkhauser.— 1982.

87. Sussmann H. J. Lie brackets and local controllability: a sufficient condition for scalar-input systems 11 SIAM J. Control and Optimization—1983—V. 21—P.686-713.

88. Sussmann H. J. A general theorem on local controllability // SIAM J. Control and Optimization.—1987.—V. 25.—P. 158-194.

89. Sussmann H. J., Jurdjevic V. Controllability of non-linear systems // J.Diff. Equations.— 1972.-V. 12.—P. 95-116.

90. Sussmann H.J., Tang W. Shortest paths for the Reeds-Shepp car: a worked out example of the use of geometric techniques in nonlinear optimal control // Report SYCON-91-lO.— Rutgers University.— 1991.

91. Tilbury D., Laumond J.P., Murray R.M., Sastry S., Walsh G. Steering car-like systems using sinusoids //In IEEE Conf. on Robotics and Automation. — Nice.— 1992 — P. 1993-1998.

92. Wolfram S. Mathematica: a system for doing mathematics by computer, Addison-Wesley, Reading, MA 1991.