автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Модели и методы управления параметризованной структуры

На правах рукописи Ф5_£Лэ1С0

Фесько Олесь Владимирович

модели и методы управления параметризованной структуры

Специальность 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Улан-Удэ - 2013

1 I СЕН ¿013

005533010

Работа выполнена в федеральном государственном бюджетном учреждении науки Институте программных систем им. А.К. Айламазяна Российской Академии Наук

Научный руководитель:

кандидат физико-математических наук Трушкова Екатерина Александровна

Официальные оппоненты:

Данеев Алексей Васильевич

доктор технических наук, профессор Иркутский государственный университет путей сообщения

Трунин Дмитрий Олегович

кандидат физико-математических наук Бурятский государственный университет

Ведущая организация:

Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт динамики систем и теории управления СО РАН

Защита состоится 9 октября 2013 г. в /5~ часов на заседании диссертационного совета Д 212.022.10 при Бурятском государственном университете по адресу: 670000, Республика Бурятия, г. Улан-Удэ, ул. Смолина, д. 24а.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ФГБОУ ВПО «Бурятский государственный университет».

Автореферат разослан Ь.ОВ- Д^/3

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212.022.10, к.ф.-м.н.

1— Дармаев Тумэн Гомбоцыренович

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Известно, что математическое моделирование и проблема принятия решений при исследовании разнообразных процессов и систем тесно взаимосвязаны между собой. С этой целью строятся математические модели объектов, удобные для применения математических методов, в том числе методов современной теории оптимального управления, основы которых составляют принцип максимума Л.С. Понтрягина, метод динамического программирования, достаточные условия В.Ф. Кротова. Во многих достаточно регулярных случаях типичное предположение о классе процессов управления, в котором ищется оптимальное управление (предположение о кусочной непрерывности, при котором строятся такие модели), дает возможность непосредственной практической реализации получаемых решений. Однако также типичны и нерегулярные ситуации, характерные для нелинейных систем, когда решение в рассматриваемом классе не достигается, и речь идет о бесконечной минимизирующей последовательности, причем число переключений управления и/или величина управляющего воздействия неограниченно растет. Разумеется, возможны и регулярные случаи, при которых число переключений оптимального управления ограничено, но достаточно велико, либо оно меняется слишком быстро с точки зрения применения реальных управляющих устройств.

В таких случаях встает проблема изменения исходной модели так, чтобы она учитывала возможности практической реализации. Естественный путь ее решения — параметризация программ управления, когда множество допустимых составляют параметрические семейства процессов определенного типа с достаточно богатым набором параметров. При этом получаются модели и задачи той или иной общности. Как частный случай параметризации выступает дискретизация непрерывных систем путем задания на дискретных шагах непрерывного управления постоянным, линейным и возможно более сложным (с большим числом параметров).

В диссертации подробно рассматриваются дискретизованные модели управления простой структуры с постоянным и линейным законом изменения на шагах. Они приводят к двухуровневым дискретно-непрерывным моделям, как частным случаям более общего класса моделей, ориентированных на представление и исследование разнообразных систем неоднородной структуры [В.И. Гурман, И.В. Расина], которые широко представлены в литературе под различными терминами, такими как системы переменной структуры [C.B. Емельянов], дискретно-непрерывные системы [В.И. Гурман], логико-динамические системы [С.Н. Васильев, A.C. Бортаковский], гибридные системы [А.Б. Куржан-ский, П.А. Точилин, Е. Santis], импульсные процессы [Б.М. Миллер, Е.Я. Рубино-

вич] и т. п.

Часто к дискретизации прибегают для приближенного решения задач оптимального управления, непрерывных в исходной постановке (например, с помощью развитых пакетов нелинейного программирования [Ю.Г. Евтушенко, Н.И. Грачев, А.Ю. Горнов]), однако область применения предлагаемых моделей значительно шире.

В частности, в диссертации строится дискретизованная модель с кусочно-постоянным управлением для эффективного преобразования непрерывной системы с неограниченными управляющими воздействиями и соответствующей ей вырожденной задачи оптимального управления к новой модели, регулярной с точки зрения применения известных общих методов оптимального управления.

Цель работы и задачи исследования. Цель диссертационной работы — разработка моделей управления простой структуры на основе параметризации управления, их программно-алгоритмическая реализация в виде параллельных алгоритмов и апробация на тестовых и прикладных задачах.

Для достижения поставленной цели решаются следующие задачи:

1. Разработка моделей управления простой структуры как дискретно-непрерывных с кусочно-постоянным и кусочно-линейным управлением на дискретных шагах.

2. Разработка параллельных алгоритмов для поиска приближенно оптимального управления с использованием метода мультистарт и для поиска начального приближения управления на основе достаточных условий оптимальности Кротова.

3. Создание программного комплекса, реализующего предлагаемые алгоритмы на высокопроизводительной кластерной системе семейства «СКИФ», с соответствующим интерфейсом.

4. Разработка модели преобразования вырожденных задач оптимального управления к регулярным.

5. Проведение вычислительных экспериментов на тестовых и прикладных задачах.

Методы исследования включают численные методы решения задач Коши, задач конечномерной оптимизации, достаточные условия оптимальности Кротова, принципы расширения и локализации Гурмана [Гурман В.И. Принцип расширения в задачах управления - М.: Наука, 1997]. При программной реализации параллельных алгоритмов в среде OpenTS использовались языки программирования С++, Т++. Интерфейс созданного ПК «SControl» выполнен с использованием языка программирования Visual С++.

Научная новизна результатов. Новыми являются:

- разработанные и ориентированные на параллельные вычисления методы и алгоритмы улучшения управления на основе параметризации управления, поиска начального приближения управления на основе достаточных условий оптимальности;

- модель с кусочно-постоянным управлением для преобразования вырожденных задач оптимального управления к регулярным;

- полученные результаты численного исследования содержательных примеров и прикладных задач, которые иллюстрируют высокую эффективность разработанных методов на суперкомпьютерах семейства «СКИФ».

Теоретическая и практическая значимость результатов, полученных в диссертации, заключается в разработке методического, алгоритмического и программного обеспечения для решения задач управления, позволяющего реализовать предлагаемые подходы к поиску приближенных решений в среде параллельных вычислений, повышая тем самым показатели эффективности при решении прикладных задач.

На основании результатов работы разработан программный комплекс «5Соп1го1 1.0» и человеко-машинный интерфейс, предназначенный для удаленного решения задач оптимизации динамических систем на множествах управлений простой структуры. Получено свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ №2012613687 от 19 апреля 2012 года. Результаты диссертационной работы внедрены в учебный процесс НОУ ВПО «Университет города Переславля».

Связь исследований с научными программами. Результаты диссертационной работы использованы при выполнении следующих проектов: НИР «Методы исследования гибридных систем с переменной структурой» (номер государственной регистрации-01201255131), РФФИ — №12-01-00256-а, №12-01-16088-моб_з_рос и №09-01-00170-а, РГНФ — №11-02-00171, Научно-техническая программа Союзного государства «СКИФ-ГРИД», НИОКР «Параллельный алгоритм оценки приближенно оптимальных управлений» (контракт с НИУ ИТМО №11X534.31.0019).

Соответствие диссертации паспорту научной специальности. Диссертация соответствует формуле специальности 05.13.18 и ее областям: пункты 2,4, 5.

Степень достоверности и апробация результатов. Достоверность полученных результатов обеспечивается корректным применением математического аппарата, подтверждается проведенными численными экспериментами и результатами решения прикладных задач.

Основные результаты представлены автором на следующих научных мероприятиях: Молодежная научная конференция «Наукоемкие информационные технологии» (Переславль-Залесский, 2009); Молодежный симпозиум с международным участием «Теория управления: новые методы и приложения» (Переславль-Залесский, 2009); Международная научная конференция «Параллельные вычислительные технологии (ПаВТ) 2010» (Уфа, 2010); Школа-семинар «Приближенные методы оптимального управления в параллельных вычислениях» (Переславль-Залесский, 2011); Международная научная конференция «Параллельные вычислительные технологии (ПаВТ) 2011» (Москва, 2011); IV сессия научной школы-практикума молодых ученых и специалистов «Технологии высокопроизводительных вычислений и компьютерного моделирования» (Санкт-Петербург, 2011); Школа-семинар «Модели, оптимизация и приложения импульсных и гибридных систем» (Геленджик, 2011); Международная научная конференция «Параллельные вычислительные технологии (ПаВТ) 2012» (Новосибирск, 2012); Семинары молодых ученых в рамках международных конференций ПаВТ'2010, ПаВТ'2011, ПаВТ'2012; International Young Scientists Conference "High Performance Computing and Simulation" (Netherlands, Amsterdam, 2012); Школа-семинар «Модели и методы исследования гетерогенных систем» (Геленджик, 2012).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 13 работ, из них 3 в журналах, рекомендованных ВАК Минобрнауки РФ. В работе [8] автором проводилась оптимизация природоохранной деятельности в водосборном бассейне реки с использованием двухуровневой модели сетевой структуры. В статье [9] автором решалась задача управления квантовой системой. Получено свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ [4].

Основное содержание работы

Диссертация состоит из введения, заключения, 3 глав, списка литературы и приложения.

Во введении обоснована актуальность темы исследований, сформулированы цель работы и решаемые задачи, представлен обзор приближенных методов теории управления.

Глава 1. Модели параметризации задач управления

В данной главе строится параметризованная модель управления кусочно-постоянными и кусочно-линейными функциями, предлагается применение различных подходов к исследованию соответствующих задач оптимального управления.

Рассматриваемый управляемый процесс имеет вид:

*(о = /а,*(0.и(0), * (о) = х/. fe [f/.ip], (pi)

И(0 е Ои (о = {и(01 И(0 < и(0 < Й(0} , (Р2)

I = F(x(tP)) ->infe£>. (РЗ)

Здесь x(i) — и-мерный вектор состояний, х,(0. ' = 1. и — кусочно-гладкие, и(0 — р-мерный вектор кусочно-непрерывных управлений, м(0 и ¡7(0 — заданные кусочно-непрерывные функции в IFF, t — время, D — множество допустимых элементов т = (x(t), и (/)), удовлетворяющих условиям (PI), (Р2).

Вводится множество кусочных управлений U (b (t, w), т), где b(t, w) — непрерывная базовая вектор-функция, зависящая от векторных параметров w = (и),,..., и>к)Т, m S Z+— число моментов переключений управления при разбиении временного отрезка tj = тп < т, < т2 < ... < тт+1 = i^-. Размерность каждого параметра i = I, к зависит от от. Выбор базовой функции в виде постоянной вектор-функции b(t, w) = (wuw2.....wp)r, к = p приводит к классу

кусочно-постоянных управлений, а ее задание в виде линейной вектор-функции bit, w) = (w,t + w2, w3t + w4,..., w2p-\t + w2p)T, к = 2p образует класс кусочно-линейных управлений.

Вместо исходной задачи оптимального управления на множестве допустимых управлений Du (f) рассматривается суженная задача (Р1) - (РЗ) на множестве кусочных управлений U(b (/, w), m), которое, очевидно, вкладывается в множество допустимых управлений исходной задачи.

Предлагаемое сужающее преобразование позволяет для решения исходной задачи использовать методы и алгоритмы решения дискретных задач, что существенно сокращает объемы вычислений в силу дискретизации времени и применения рекурсивных соотношений вместо их непрерывных аналогов — уравнений в частных производных. Отметим, что в процессе программной реализации алгоритмов улучшения управления для непрерывных задач оптимального управления подобное сужающее преобразование, как правило, осуществляется для постоянных или линейных базовых функций.

Суженная исходная задача (Р1) - (РЗ) на множестве кусочных управлений сводится к задаче условной конечномерной минимизации дифференцируемой функции многих переменных F (х (tF)) = G (w), где w — совокупность всех параметров управления.

На практике существует класс задач (например, задачи с релейным управлением), для которых увеличение моментов переключений не приводит к улучшению функционала, а важны сами моменты переключения [R. Luus]. Это мотивирует к модификации классического метода параметризации управления — варьированию точек переключений т,,/' = 1 ,ш. Таким образом, моменты пере-

ключений включаются в качестве оптимизируемых параметров функции G(w, г). Размерность целевой функции при таком подходе возрастает, расширяется и пространство поиска.

Далее рассматривается задача оптимального управления в следующей постановке:

±(0 = /(».*(0,и(0), ie^ff], x(tj)=xj, u(t) е U(b(t,w),m),

где x(t) — п-мерный вектор состояний, лг,(г). i = 1, и — кусочно-гладкие, и(1) — р-мерный вектор кусочно-непрерывных управлений.

Выбором параметров управления w и точек переключений т необходимо минимизировать терминальный функционал качества

J=F0(x(tF)) (2)

и удовлетворить фазовым ограничениям: внутри интервала времени x(t) входит в заданную допустимую полосу

xf<x(t)<xи, te[t„tF), (3)

а в конце процесса управления — в заданный отрезок

xeF < х (tF) < xuF, (4)

где xf, хи, xeF, xuF e FT.

Для решения задачи (1) - (4) рассматривается вспомогательная задача без фазовых ограничений

х(0 = f{t, x(t), н(0), х (/,) =Xj, t е [tIt if],

X(t) = <5(x(0), Я (tj) = 0, ii(i) eU(b (t, w),m), F(x (tF) , Я (tF)) = A,F0 (x (tF))+ ß[X (tF) + %6F (x (tF)) - min.

Здесь A(t) отвечает за учет отклонения траектории от допустимой полосы (3), а <5(х) и öF(x) — штрафные функции типа квадратов «срезок»:

<5,(х) = (min {О,х,- - xf})2 + (max {(), х, - х,"})2, SF(x) = (min {О, х( - xfF})2 + (max {0,x, - x';F} f,

i = 1 ,n, ßQ € U, ß,,ß2 G R", ß0,ß1,ß2 > 0. Весовые коэффициенты функционала F(x (tF) , Я (tF)) выбираются из условия удовлетворения фазовых ограничений (достаточно большими).

В результате полученная задача сводится к задаче условной конечномерной минимизации функционала G (ш,T,ßQ,ßl,ß2).

В этой же главе рассматривается дискретная задача оптимального управле-

8

ния:

х(/ + 1) = Жх(0,и(0), иеи, 1=Р(х((Р)), Т= {//,... ,^}их(/,) = х1 заданы. Поиск минимума функционала ведется через решение задачи улучшения. Задан элемент т1 — {х1, и1) Е Б, требуется найти элемент/«" = [х11, и11) Е Б такой, что I (т11) < I (т1). Построение алгоритма ведется с помощью принципа локализации, а именно, исходная задача дополняется новым уравнением

х° (I + I) = х° (!) +(и-ц/(0)2, и вводится вспомогательный функционал 1а /„ = (1-«)*■(*

Процедура улучшения управления для данной задачи состоит в решении полученной задачи для различных а е [0,1], вычислении Р(ха (*/■)), где ха — решение задачи со вспомогательным функционалом, и дополнительной минимизации по а на каждой итерации, т. е.

Задачу (Р1) - (РЗ) на множестве управлений и(Ь(/, ш),т) можно представить в виде задачи оптимального управления для дискретно-непрерывной системы

2 (/ + 1) = г (/, *(/), ш(1)), г(0) = 2„ = х„ 2. е К", и>(1)еЖ= {и>(1)\ш<ш(1)< Щ сК\ 1 = 07т, (5)

+ 1)) шш,

где т — число точек переключений управления при разбиении временного отрезка = т„ < г, < т2 < ... < тт+1 =(ра функция g (/, г(1), и>(1)) — решение задачи Коши

X(4) = /(£ *(|)М1и>(/))), 4 е [т„т<+1], X (г,) = 2(О, (6)

взятое в точке 4 = т;+1. Непрерывная система (6) нижнего уровня в данном случае не содержат управлений, в то время как дискретная система верхнего уровня содержит к управлений. Заметим, что непрерывная задача (Р1) - (РЗ) на множестве управлений 17(6 (Г, и>),т) и дискретная задача (5) эквивалентны.

По аналогии с достаточными условиями оптимальности Кротова вводится в рассмотрение функция ср{1, £) и строятся следующие конструкции:

Я(/, 2, ш) = <р(1 + 1, /(/, г,ш))~ ср(1, г), = Дг) + (р{т +\,г)- <р(0, г,,).

Положим L = G(z(m+ 1)) - ^ R(l, z, w).

1=0

Теорема. Пусть {z*, w*} — допустимая пара в задаче (5) и существует <р, такие что R(l, z*, w*) = шах R(l, z, w) и G(z*) = min G(z). Тогда пара (z*, w*} — решение

шёЖ,г z

задачи (5).

Функцию <р(/, z) предлагается искать из условий (схема Кротова-Беллмана)

<p(/,z) = max <р(/ + l,g(l,z,w)),

шеК* ^

cp(m + l,z) = -F(z), 1 = 0, т.

Поиск начального приближения управления можно осуществлять из достаточных условий оптимальности.

Глава 2. Методы управления

Во второй главе предлагаются вычислительные алгоритмы решения поставленных задач управления.

Первый алгоритм предназначен для поиска приближенно оптимального управления с помощью параметрических множеств управлений простой структуры и основан на сведении задачи (PI) - (РЗ) на множестве управлений U(b(/, w), т) к задаче многомерной оптимизации функции G(w,t, /?0, 02)> где моменты переключений т выступают тоже как параметры. При этом для решения задачи Коши (Р1) использовался численный метод интегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений (Рунге-Кутта 4-го порядка/Рунге-Кутта-Фельберга), а сама задача оптимизации решалась комбинацией методов 1-го и 2-го порядков (градиентный метод и метод Ньютона с адаптивным шагом). Метод предполагает декомпозицию основной области значений параметров управления w на равновеликие непересекающиеся подобласти, в каждой из которых производится улучшение начального управления за счет минимизации функции G. Схема метода приведена на рис. 1.

Алгоритм очевидным образом ориентирован на параллельную программную реализацию, т. к. поиск минимума может выполняться независимо в каждой подобласти (метод мулыпистарт).

Во втором алгоритме осуществляется поиск начального приближения к решению во всей допустимой области значений w на основе достаточных условий оптимальности за счет разрешения рекурсивной цепочки (7) (соотношения Кротова-Беллмана) относительно функции cp(I, z) на сетке управлений {м;, ш + h,...,Тй — h,~w} с шагом h (см. блок А на рис. 2). После того как найден оптимальный узел сетки, соответствующее ему управление выбирается в качестве начального и подается в блок улучшения управления (см. блок В на рис. 2).

Блок численного решения задачи Коши (РК/РКФ«!

|Л(0 =«(*(«)), А№)= О

Улучшение управления

Подсчет минимизируемого функционала

С(и/, т.Ро.РъРг)

Выбор штрафных коэффициентов

Ро,РЪР2

условия не выполнены

Комбинация градиентного спуска и метода Ньютона-Рафсона. проверка условий останова

условия выполнены

м? ,т

Рис. 1: Вычислительная схема улучшения управления

При этом рекурсивное вычисление функции Кротова ср(1, г) в блоке А может выполняться независимо для различных наборов управлений, сгенерированных при построении сетки, за счет чего алгоритм допускает параллельное исполнение. Распараллеливание вычислительного процесса осуществляется по схеме процессорной фермы. Главный процессор считывает входные данные и формирует сетку по управлению, после чего распределяет наборы управлений между процессорами-подчиненными, на которых производится рекурсивный расчет функции Кротова; после этого главный процессор собирает результаты.

Построен комплекс программ «БСоп^оЬ на основе разработанных параллельных алгоритмов. Комплекс снабжен графическим интерфейсом, который предназначен для ввода постановки задачи, ее параметров, выбора метода решения задачи, управления потоками данных, визуализации и сохранения результатов расчета. При этом отправка данных на кластерное вычислительное устройство и получение результатов обеспечивается за счет протоколов ввЬ и вйр.

Все параллельные алгоритмы реализованы в системе автоматического динамического распараллеливания программ на языке Т++ в рамках Т-системы с открытой архитектурой (ОрепТБ), что позволяет более эффективно загружать узлы суперкомпьютера. Т-система автоматически (без участия программиста) выполняет распараллеливание фрагментов кода в программе, планировку вычислений, синхронизацию параллельных фрагментов кода, обмен данными между фрагментами программы и распределение данных по различным узлам кластера. Причем эти действия определяются и выполняются в динамике, во время исполнения программы.

Описание задачи, задание входных параметров

Блок А: Вычисление начального приближения

Инициализация

г,И

Построение сетки по управлению

Рекурсивный расчет (р (0, ) из соотношений

(р{т + \,г) = -Р^г)

2(0) = г0, ?(/ + 1) = ^(/,г(/),уР(/))

у

Блок В: Улучшение управления

Рис. 2: Вычислительная схема поиска начального приближения и улучшения управления Глава 3. Вычислительные эксперименты и приложения

В третьей главе строится модель с кусочно-постоянным управлением для исследования важного класса вырожденных задач оптимального управления, дающая возможность их практической реализации. Также решается ряд тестовых и прикладных задач из области химической и биохимической инженерии с использованием предложенной модели (подпитываемый биореактор по производству пенициллина, управление экзотермической химической реакцией в реакторе идеального вытеснения, нелинейная модель системы из двух химических реакторов с непрерывным перемешиванием, задача об оптимизации бифункциональной каталитической смеси, оптимальное производство белка в биореакторе, реактор идеального вытеснения с сингулярным управлением, задачи с последова-

12

тельной и параллельной реакцией). Исследована эффективность параллельных версий программ, приводится сравнение полученных результатов с известными.

В следующей задаче используется дискретизованная модель с кусочно-постоянным управлением для эффективного преобразования непрерывной системы с неограниченными управляющими воздействиями и соответствующей ей вырожденной задачи оптимального управления к новой модели, регулярной с точки зрения применения известных общих методов оптимального управления.

Рассматривается представленное в работе [М. Murphy, T. Calarco] уравнение Шредингера вида

z = -IН{и, v)z, H = Н0 + diag{hj(v)}u, veVc HSP,

где i — комплексная единица, H() — постоянная действительная симметричная матрица, z(t) — комплекснозначная кусочно дифференцируемая и-мерная вектор-функция, u(t) — кусочно-непрерывная р-мерная вектор-функция, V— компактное множество, hj(v) — действительные непрерывные функции.

В соответствии с общей теорией вырожденных задач [В.И. Гурман, Ни Минь Кань] для него выписывается соответствующая предельная система, находится семейство интегралов w = //(z, г, и) = diag{e,','(tJ)r'! }z предельной системы с параметром и и соответствующее семейство производных систем

w = diag {eih>('»T} Я(| diag {e~,h'(v)T} w.

Начальное состояние на каждом элементарном участке получается при rt = = 0: Wj = Zj. Далее делается переход к действительным переменным, строится итерационный процесс улучшения в соответствующей дискретной системе.

Расчеты проводились для п = 3 и

(-и)2

h{v) =

( -1 1 1 -2 0 1

0 1 -1

0 0

0 0 (1 - V)2 0 0 (2 - и)2

где v(t) — кусочно-постоянна.

С учетом обозначений и> ■ = yj+iyn+J производная система в действительных переменных получается следующей:

у{ =sin((2i> - 1)г)у2 + cos((2i; - 1)т)у5 - у4, у2 = — sin((2u - 1)т)у, + cos((2i; - 1)г)у4+

+ sin((2u - У)т)уъ + cos((2u - 3)т)у6 - 2у5, Уз = — sin((2n - Ъ)т)уг + cos((2u - 3)т)у5 - у6, у4 = - cos((2f - 1 )т)у2 + sin((2f - 1)т)у5 + у

у5 = - cos((2î; - 1 )т)у{ - sin((2t; - 1)т)у4-

- cos((2ü - 3)T)y3 + sin((2ü - 3)r)y(l + 2y2, y6 = - cos((2ü - 3)т)у2 - sin((2t> - 3)т)у5 + y3, y(0) = (1,0,0,0,0,0)г, Ы<3,Ы<3, iE [0,1]. Минимизируемый функционал производной задачи в действительных переменных: 7 = 2^1 — ^/(^з)2 + (Уб)2^ ■

Производная система была дискретизирована, и была поставлена задача улучшения начального кусочно-постоянного управления для различного числа шагов дискретной системы, используя метод локального улучшения управления первого порядка. В качестве начального управления были взяты т = 0, v — 2. Значение функционала на этом управлении = 1.17989.

В таблице 1 содержатся найденные в процессе улучшения управления значения функционала J для различного числа шагов р. Из этой таблицы следует, что с увеличением р значение функционала уменьшается. На рис. 3 представлены оптимальные кусочно-постоянные управления для р = 100 и соответствующие им оптимальные траектории.

Таблица 1: Изменение значения функционала с увеличением числа шагов

Число шагов, р 5 10 15 30 50 100

Значение функционала J 1.15812 1.15651 1.15620 1.15602 1.15597 1.15595

0.8

0.4

1.2

0.8

0 4

-0.4

Рис. 3: Оптимальные кусочно-постоянные управления и, г и оптимальные траектории, р

= 100

Рассматривается задача динамической оптимизации подпитываемого биореактора для производства пенициллина путем анаэробной ферментации глюкозы, которая изучалась в работах [^11. Вап§а], [1.Е. СиЛгеП], [Т. Шгта^ег], [7.А.Е. Лаггова] и [1^. Ьиив]. Задача оптимального управления заключается в максимизации общего количества производимого пенициллина, используя в качестве управления интенсивность подачи субстрата (скорость подпитки, в л/ч). Необходимо максимизировать функционал р(х (¡р)) = х2 х4 (1Р) в соответствии с динамикой системы, описываемой системой дифференциальных уравнений

и ■ X1 и ■ х2

Х,(0 = - ——, х2(?) = Н2х, - 0.01х2 - ■

500х4 ¿w z ' z 500х4

= _ hâl _ 0 029*1*з и_ Л _ хз.4 *sU 0.47 1.2 0.0001+х3 х4 \ 500/

х4(г) = и/500, х(0) = (1.5,0,0,7) , х{ е [0,40], х3 е [0,25], х4 е [0,10],

0.1 lx, 0.0055х3 h, =---, Л, =---, и € [0,50].

1 О.ООбх, + х3 2 0.0001 +х3(1 + 10х3)

Здесь х1;х2 и х3 — концентрации биомассы, пенициллина и субстрата соответственно (в r/л), а х4 — объем культуры (в л). Общее время протекания процесса фиксировано: tF = 132 ч.

С помощью параллельного алгоритма мулътистарт, основанного на разбиении области управления, была численно решена рассматриваемая задача в классе кусочно-постоянных управлений с шестью нефиксированными моментами переключений. При этом в процессе расчета область поиска управления была покрыта 128 подобластями.

Ниже указаны результаты, касающиеся той подобласти, в которой найдено оптимальное решение задачи. Начальное управление w = (12.5,12.5,37.5, 12.5,12.5,12.5,12.5)г, моменты переключений интенсивности подпитки т = = (5,10,15,20,25,50)г.

В ходе работы программы удалось добиться улучшения управления w* = = (14.54, 11.24,37.05,13.89,13.77,12.75,9.41)г, сдвига моментов переключений т* = (4.07,11.12, 15.33,19.04,24.84,54.9)т и удовлетворения фазовых ограничений, доставив при этом значение функционалу F* = 89.1, что является наилучшим результатом среди известных работ. В частности, в работе [J.A.E. barrosa] было получено значение F = 88.013 с двадцатью точками переключений кусочно-постоянного управления. Значение траекторий в конце процесса: х (tF) = (28.65, 8.85,0.001,10.07)т. Итоговое оптимальное управление и соответствующие траектории представлены на рис. 4.

50 45 40 35 30

20 15 10 5 0

Рис. 4: Оптимальное управление (слева) и соответствующие траектории (справа)

Далее решается задача об оптимизации бифункциональной каталитической смеси. В трубчатом реакторе протекает процесс получения бензола из метил-циклопентана. Процедура состоит из смешения двух монофункциональных каталитических компонентов, приводящих к реакциям гидрирования и изомеризации. Роль управления и играет массовая доля гидрирующего катализатора. Задача оптимизации состоит в отыскании оптимальной каталитической смеси по всей длине реактора с целью максимизации концентрации бензола: Г (х (1 р)) = = х7 ->• гпах.

Имеющие место химические реакции описываются системой дифференциальных уравнений

Х](0 = —X], х2(?) = кхХ\ — (к2 + к3) х2 + £4X5, х3(0 = к2х 2, х4(0 = ~к6хА + к5х5,

х5(0 = /с3х2 + к(,х4 — (/с4 + к5 + кК + к9) х5 + к7х6 + ки)х7,

*б(0 = ^8*5 ~ Мб- ^7(0 = к9х5 - к\пхт

х(0) = (1,0,0,0,0,0,0)г, 0.6 < и < 0.9, = 2000,

где константы скорости протекания реакций к1 = сю + с(1и + спи2 + с(3и3, (' = = 1,10. Переменные состояния представляют собой молярные концентрации химических соединений: при г = 1 для метилциклопентана, при г = 7 — бензола.

Трудность решения поставленной задачи заключается в том, что она имеет около 30 локальных максимумов. Была поставлена задача поиска управления простой структуры, а именно, кусочно-линейного управления с двумя моментами переключений, используя при этом алгоритм выбора начального приближения на основе достаточных условий оптимальности.

Рис. 5: Оптимальное управление (слева) и соответствующие ему траектории (справа)

При поиске начального кусочно-линейного управления (блок А схемы 2) с шагом по управлению h = 0.05 были найдены параметры управления Си = = (0.65,0.7, 0.65, 0.7,0.9, 0.9)т. Значение функционала на этом управлении составляет F = 0.01006.

На этапе улучшения управления (блок В) найдено w* = (0.648,0.683,0.674, 0.675,0.9, 0.9)т. При этом значение функционала улучшилось до F* = 0.0100956 против F = 0.0100942, найденного в работе [R. Luus, J. Dittrich, F.J. Keil], где выполнялся поиск кусочно-постоянного управления с 10 точками переключений.

На рис. 5 изображены оптимальное кусочно-линейное управление и соответствующие ему траектории (на логарифмической шкале). В таблице 2 приведены результаты времени счета задачи оптимизации бифункциональной каталитической смеси на высокопроизводительном вычислительном кластере «BLADE» ИПС им. А.К. Айламазяна РАН.

Таблица 2: Анализ эффективности параллельной версии программы

Число узлов (процессов), р 1(1) 1 (4) 1(8) 2(16) 4(32) 6 (48)

Время, t (с) 18972.2 5039 2628.8 1505.5 1135.7 765.7

Ускорение, tt/tp 1 3.76 7.21 12.6 16.7 24.77

Эффективность, t^tp/p 1 0.94 0.9 0.79 0.52 0.52

Примеры демонстрируют эффективность разработанных подходов в сравнении с известными результатами.

В заключении представлены основные положения, выносимые на защиту, научная новизна, практическая и теоретическая значимость результатов, апробация, публикации и личный вклад автора, связь исследований с научными про-

17

граммами.

В приложении описаны особенности программной реализации алгоритмов в рамках разработанного программного комплекса, содержатся свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ «SControl» и акт о внедрении результатов.

Основные научные результаты работы

1. Разработаны модели управления параметризованной структуры с кусочно-постоянными и кусочно-линейными функциями.

2. Построены параллельные алгоритмы последовательного улучшения и поиска начального приближения для предлагаемых моделей на основе достаточных условий оптимальности Кротова.

3. Разработана модель с кусочно-постоянным управлением для преобразования вырожденных задач оптимального управления к регулярным, получены решения модельных задач, которые иллюстрируют сравнительную эффективность предложенных подходов.

Список публикаций по теме диссертации

Публикации в периодических изданиях из списка ВАК

1. Фесько О.В. Параллельный алгоритм оптимизации динамических систем на множестве кусочно-линейных управлений / О.В. Фесько // Вестник Бурятского гос. ун-та. 2010. Вып. 9: Матем. и информатика. С. 79-87.

2. Фесько О.В. Алгоритм поиска кусочно-линейного управления с нефиксированными моментами переключений / О.В. Фесько // Вестник Бурятского гос. ун-та. 2011. Вып. 9: Матем. и информатика. С. 52-56.

3. Fesko О. А parallel approach to improvement and estimation of the approximate optimal control / O. Fesko // Journal of Computational Science 3(6). 2012. PP. 486491, DOI: 10.1016/j.jocs.2012.08.014.

Свидетельство о государственной регистрации программы

4. Фесько О.В. Свидетельство №2012613687 о государственной регистрации программы для ЭВМ «SControl 1.0».

Другие публикации

5. Фесько О.В. Программный комплекс оптимизации динамических систем на

множествах управлений / О.В. Фесько // Программные системы: теория и

приложения. 2010. №4(4). С. 53-66.

18

6. Фесько О.В. Алгоритм вычисления оценок приближенно оптимальных управлений простой структуры / О.В. Фесько // Программные системы: теория и приложения. 2011. №5(9). С. 83-89.

7. Фесько О.В. Параллельное вычисление оценки приближенно оптимальных управлений // Вестник Южно-Уральского гос. ун-та. 2012. №46(305): Вычислительная математика и информатика. С. 56-66.

8. Гурман В.И., Расина И.В., Фесько О.В. Моделирование водоохранных мероприятий в бассейне реки / В.И. Гурман, И.В. Расина, О.В. Фесько // Вестник Бурятского гос. ун-та. Матем. и информатика. 2013. С. 4-15.

9. Гурман В.И., Расина И.В., Фесько О.В. О практических преобразованиях вырожденных задач оптимального управления / В.И. Гурман, И.В. Расина, О.В. Фесько // Программные системы: теория и приложения. 2013. №2(16). С. 7182.

10. Фесько О.В. Оптимизация динамических систем на множестве кусочно-постоянных управлений / О.В. Фесько // Наукоемкие информационные технологии: тр. молодежной науч.-практ. конф. / УГП им. А.К. Айламазяна. Переславль-Залесский: Университет города Переславля, 2009. С. 206-217.

11. Фесько О.В. Параллельный алгоритм оптимизации динамических систем с управлением / О.В. Фесько // Параллельные вычислительные технологии (ПаВТ'2010): тр. междунар. науч. конф. (Уфа, 29 марта - 2 апреля 2010 г.) [Электронный ресурс]. - Челябинск: Издательский центр ЮУрГУ, 2010. С. 689.

12. Фесько О.В. Программный комплекс поиска оптимальных управлений на множествах простой структуры / О.В. Фесько // Параллельные вычислительные технологии (ПаВТ'2011): тр. междунар. науч. конф. (Москва, 28 марта -1 апреля 2011 г.) [Электронный ресурс]. - Челябинск: Издательский центр ЮУрГУ, 2011. С. 712.

13. Fesko О. A parallel approach to improvement and estimation of the approximate optimal control / O. Fesko // Proceedings of High Performance Computing and Simulation. 2012. PP. 41-42.

Подписано в печать %.09.3Ю-{?> Формат 60X84 1/16. Усл. печ. л. 1,15 Тираж 100 экз. Заказ №540 Издательство Бурятского госуниверситета 670000, г. Улан-Удэ, ул. Смолина, д. 24а E-mail: riobsu@gmail.com

Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт программных систем им. А.К. Айламазяна Российской Академии Наук

На правах рукописи

ФтиЬ1сО

04201361811

Фесько Олесь Владимирович

МОДЕЛИ И МЕТОДЫ УПРАВЛЕНИЯ ПАРАМЕТРИЗОВАННОЙ СТРУКТУРЫ

Специальность 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук

Научный руководитель: Трушкова Е.А.,

к.ф.-м.н.

Переславль-Залесский - 2013

Оглавление

Введение..................................................................4

1 Модели параметризации задач управления..........................13

1.1 Постановка задачи................................................13

1.2 Сведение задачи оптимального управления к задаче нелинейного программирования..........................................14

1.3 Задача оптимального управления с нефиксированными моментами переключений ..........................................17

1.4 Учет фазовых ограничений......................................18

1.5 Выбор начального приближения................................20

1.5.1 Дискретизация непрерывной системы....................20

1.6 Методы улучшения дискретного оптимального управления . 21

2 Методы управления....................................................26

2.1 Алгоритм на основе декомпозиции области управления ... 26

2.2 Алгоритм решения задачи оптимального управления на основе достаточных условий оптимальности......................27

2.3 Программная реализация алгоритмов..........................28

3 Вычислительные эксперименты и приложения......................31

3.1 Тестовые задачи....................................................31

3.1.1 Задача с нефиксированными моментами переключений 31

3.1.2 Нештатная посадка вертолета..............................34

3.1.3 Задача с фазовым ограничением..........................36

3.2 Приложение модели к преобразованию вырожденных задач оптимального управления........................................37

3.2.1 Предельная и производная системы......................39

3.2.2 Преобразование с использованием семейства производных систем........................................40

3.2.3 Пример. Преобразование управляемого уравнения Шредингера..................................................42

3.3 Прикладные задачи................................................45

3.3.1 Подпитываемый биореактор по производству пенициллина ..........................................................45

3.3.2 Управление экзотермической химической реакцией в реакторе идеального вытеснения..........................47

3.3.3 Нелинейная модель системы из двух химических реакторов с непрерывным перемешиванием..................50

3.3.4 Задача об оптимизации бифункциональной каталитической смеси................................................53

3.3.5 Оптимальное производство белка в биореакторе .... 56

3.3.6 Реактор идеального вытеснения с сингулярным управлением ........................................................58

3.3.7 Задача с последовательной реакцией......................60

3.3.8 Задача с параллельной реакцией..........................61

Заключение................................................................64

Список литературы......................................................68

Приложения..............................................................83

Введение

Известно, что математическое моделирование и проблема принятия решений при исследовании разнообразных процессов и систем тесно взаимосвязаны между собой. С этой целью строятся математические модели объектов, удобные для применения математических методов, в том числе методов современной теории оптимального управления, основы которых составляют принцип максимума Л .С. Понтрягина [56], метод динамического программирования [4], достаточные условия В.Ф. Кротова [40], [41]. Во многих достаточно регулярных случаях типичное предположение о классе процессов управления, в котором ищется оптимальное управление (предположение о кусочной непрерывности, при котором строятся такие модели), дает возможность непосредственной практической реализации получаемых решений. Однако также типичны и нерегулярные ситуации, характерные для нелинейных систем, когда решение в рассматриваемом классе не достигается, и речь идет о бесконечной минимизирующей последовательности, причем число переключений управления и/или величина управляющего воздействия неограниченно растет. Разумеется, возможны и регулярные случаи, при которых число переключений оптимального управления ограничено, но достаточно велико, либо оно меняется слишком быстро с точки зрения применения реальных управляющих устройств.

В таких случаях встает проблема изменения исходной модели так, чтобы она учитывала возможности практической реализации. Естественный путь ее решения — параметризация программ управления, когда

множество допустимых составляют параметрические семейства процессов определенного типа с достаточно богатым набором параметров. При этом получаются модели и задачи той или иной общности. Как частный случай параметризации выступает дискретизация непрерывных систем путем задания на дискретных шагах непрерывного управления постоянным, линейным и возможно более сложным (с большим числом параметров).

В диссертации подробно рассматриваются дискретизованные модели управления простой структуры с постоянным и линейным законом изменения на шагах. Они приводят к двухуровневым дискретно-непрерывным моделям, как частным случаям более общего класса моделей, ориентированных на представление и исследование разнообразных систем неоднородной структуры [25], [26], [58], которые широко представлены в литературе под различными терминами, такими как системы переменной структуры [33], дискретно-непрерывные системы [43], логико-динамические системы [8], гибридные системы [61], импульсные процессы [46] и т.п.

Часто к дискретизации прибегают для приближенного решения задач оптимального управления, непрерывных в исходной постановке (например, с помощью развитых пакетов нелинейного программирования [91]), однако область применения подобных моделей значительно шире.

В частности, в диссертации предлагается применение дискретизован-ной модели с кусочно-постоянным управлением для эффективного преобразования непрерывной системы с неограниченными управляющими воздействиями и соответствующей ей вырожденной задачи оптимального управления к новой модели, регулярной с точки зрения применения известных общих методов оптимального управления.

При этом для решения задач управления дискретными однородными системами в общем случае не разработано аналога принципа максимума, что делает актуальным развитие и применение конкретных методов их ре-

шения на основе общих достаточных условий Кротова для дискретных систем [3], [18], [21], [40].

Для оптимизации дискретизованных систем применимы подходы, основанные на методах нелинейного программирования для оптимизации динамических систем [13], [30], [32].

Диссертационная работа посвящена развитию и применению указанных подходов, в частности, разработке прикладного программного обеспечения для приближенного решения задач оптимального управления на кластерной высокопроизводительной системе.

К настоящему времени разработано большое число приближенных методов решения задач; их можно условно разделить на следующие группы.

К первой группе относятся методы, основанные на сведении задачи оптимального управления к краевой задаче за счет необходимых условий оптимальности (с применением принципа максимума Понтрягина или вариационного анализа). Описание данного подхода содержится в работах Г.Л. Гроздовского, Ю.Н. Иванова, В.В. Токарева, H.H. Моисеева, А. Брай-сона, Хо Ю-Ши, Ф.Л. Черноусько, В.Б. Колмановского, Р.П. Федоренко, Ф.П. Васильева, А.И. Тятюшкина, A.A. Любушина, В.А. Срочко, О.В. Васильева, В.А. Терлецкого, A.B. Аргучинцева [2, 5, 6, 10, 11,16, 45,48, 49, 50, 51,52, 53, 60, 67, 77].

Вторую группу составляют градиентные методы в пространстве управлений [5, 7, 9, 38, 43, 59, 67, 78, 79, 124], иногда в виде модификаций методов штрафных функций, условного градиента, возможных направлений, проекции градиента или сопряженных градиентов [5, 29, 31, 35, 55, 66, 67].

В основе методов третьей группы лежит метод динамического программирования [12,47,48,53,67]. Из разновидностей этого подхода выделяют метод локальных вариаций [44,76] и метод блуждающей трубки [48].

Четвертую группу составляют методы, основанные на применении алгоритмов нелинейного программирования к задачам оптимального управления, представленным в конечномерной форме [32, 53, 57]. В работе Ю.М. Ермольева, В.П. Гуленко [34] сведение задачи оптимального управления к конечномерной задаче осуществлено с помощью замены дифференциального оператора конечно-разностным. Вопрос об аппроксимации оптимального управления кусочно-постоянными функциями рассматривается в работе Ю.Н. Иванова [36]. В некоторых методах производится аппроксимация управления при помощи ортогональных функций или полиномов: и (t) « ^/Ii (0' ГДе {Ф/ (0) — семейство N ортогональных функций или полиномов [96, 107, 108, 110, 128, 129, 130, 131, 133]. Иногда таким способом аппроксимируется не только управление, но и траектории [82,84,100,101,106,107,108,112,126]. Как следствие, первоначальная задача оптимального управления сводится к задаче оптимизации, которая заключается в поиске параметров {a¡ (í)}. Выбирая разные {0/ (0} > мы получаем разные методы. Типичные примеры ортогональных функций: полиномы Чебышева [87, 111, 119], ряд Фурье [92, 120, 126] и Тейлора [99, 121, 123, 127], функции Уолша [83, 84, 85, 105], полиномы Ле-жандра [86, 102, 135] и Ляггера [101], сплайны [103, 107, 110] и некоторые другие [96, 129, 130, 131, 133, 136]. Однако наибольшей популярностью пользуется метод, при котором аппроксимируется только управление [134].

К пятой группе относятся методы, основанные на принципе расширения. С его помощью были сформулированы достаточные условия оптимальности. В основополагающей работе [43, 39] была предложена общая схема итеративного поиска функции Кротова. Эта работа послужила толчком к созданию целого ряда алгоритмов. Первые такие алгоритмы описаны в работах [39, 40, 42, 43]. Позже был разработан алгоритм последовательных улучшений, серия методов первого и второго порядков

слабого и сильного улучшений [3, 18, 21].

Наряду с указанными вычислительными методами решения задач оптимального управления стоит выделить класс так называемых мулъти-методных алгоритмов. В их основе лежит идея применения в процессе решения не одного выделенного алгоритма, а последовательности различных методов, за счет чего ожидается повышение эффективности процесса вычислений. В работах А.И. Тятюшкина [64, 65] предлагается использование последовательности алгоритмов в диалоговом режиме, когда пользователь самостоятельно определяет алгоритм вычисления на каждом шаге оптимизации. Иная схема предложена в работе А.И. Тятюшкина и А.Ю. Горнова [15], в основе которой лежит параллельный запуск нескольких алгоритмов с последующим выбором наилучшего решения по заданному критерию и последующим повторением этой процедуры до достижения оптимума. Позднее, в работе В.И. Гурмана и Д.В. Белышева [20] были предложены многометодные интеллектуальные процедуры поиска оптимального управления — методика, заключающаяся в построении цепочек алгоритмов, содержащих в себе наряду с вычислительными процедурами, интеллектуальные операторы, управляющие дальнейшим процессом оптимизации.

Одновременно с развитием вычислительных методов решения задач оптимального управления велась разработка программных средств их решения: программный комплекс CONTROL (Р.П. Федоренко, B.C. Попов, ИПМ АН СССР им. Келдыша); программный комплекс ДИСО — «Диалоговая Система Оптимизации», в котором были реализованы методы сведения к задаче математического программирования (Ю.Г. Евтушенко, Н.И. Грачев, ВЦ АН СССР, блок «Оптимальное управление»); пакет прикладных программ ППП ЛЗОУ для линейных задач (А.И. Тятюшкин, ИрВЦ СО РАН); ППП МАПР — «Математическое программирование в многомерных задачах» (А.И. Тятюшкин, ИрВЦ СО РАН); пакет «ППП

для ЗОУ», реализующий методы, основанные на достаточных условиях оптимальности (В.И. Гурман, В.А. Бутурин); ППП КОНУС — «Комплексная Оптимизация Нелинейных Управляемых Систем» (А.И. Жо-лудев, ИрВЦ СО РАН, ЕС ЭВМ); программный комплекс OPTCON, в котором реализован мультиметодный подход решения ЗОУ (А.Ю. Горнов, ИДСТУ СО РАН), программный комплекс ISCON, в котором задействованы высокопроизводительные вычисления для приближенного решения задач улучшения и оптимизации законов управления динамическими системами (В.И. Гурман, Е.А. Трушкова, ИПС им. А.К. Айлама-зяна РАН); модуль RIOTS для MATLAB — «Recursive Integration Optimal Trajectory Solver» (A. Schwartz, E. Polak, Y. Chen); комплекс SOCS — «Sparse Optimal Control Software», реализующий алгоритмы последовательного квадратичного программирования (J. Betts, Boeing Computer Services); комплекс PDECON (К. Schittkowski, University of Bayreuth); DONLP2, LANCELOT, MINOS, SNOPT, LOQO (J. More, A. Bondarenko, D. Bortz, Argonne National Laboratory); комплекс MISER3, основанный на идеологии параметризации управления (K.L. Тео, C.J. Goh, Hong Kong Polytechnic University); пакет DIRCOL, реализующий методы редукции к задаче математического программирования (О. von Stryk, Technische Universität Darmstadt); пакет MINOPT для решения широкого круга оптимизационных задач (С. Schweiger, С. Floudas, CASL laboratory, Department of Chemical Engineering at Princeton University); коммерческий модуль PROPT для MATLAB для оптимизации динамических систем (Tomlab OPtimization Inc.); модуль DOTcvp для MATLAB для решения ЗОУ на основе сводения к задаче нелинейного программирования (Т. Hirmajer, Е. Balsa-Canto, J.R. Banga).

Большинство существующих методов оптимизации предназначены для поиска локального оптимума (требуя при этом хорошего начального приближения), однако на практике при решении задач оптимального

управления сталкиваются с проблемой многоэкстремальности. Методы поиска глобального экстремума в задачах оптимального управления сейчас находятся в стадии теоретической разработки. Одним из подходов к решению этой проблемы служит идея случайного мулътистарта [14].

Несмотря на значительные усилия многих специалистов, которые направлены на построение новых численных процедур поиска оптимума, решение практических прикладных задач оптимального управления до сих пор продолжает оставаться трудной злободневной проблемой. Одна из причин состоит в том, что разработанные алгоритмы часто требуют больших затрат машинного времени и объемов оперативной памяти. В сочетании с усовершенствованием вычислительных методов решением данной проблемы может служить применение высокопроизводительных вычислений.

Целью диссертационного исследования является разработка моделей управления простой структуры на основе параметризации управления, их программно-алгоритмическая реализация в виде параллельных алгоритмов и апробация на тестовых и прикладных задачах.

Для достижения поставленной цели в работе решаются следующие задачи:

1. Разработка моделей управления простой структуры как дискретно-непрерывных с кусочно-постоянным и кусочно-линейным управлением на дискретных шагах.

2. Разработка параллельных алгоритмов для поиска приближенно оптимального управления с использованием метода мультистарт и для поиска начального приближения управления на основе достаточных условий оптимальности Кротова.

3. Создание программного комплекса, реализующего предлагаемые алгоритмы на высокопроизводительной кластерной системе семейства

«СКИФ», с соответствующим интерфейсом.

4. Разработка модели преобразования вырожденных задач оптимального управления к регулярным.

5. Проведение вычислительных экспериментов на тестовых и прикладных задачах.

Методы исследования включают численные методы решения задач Коши (метод Рунге-Кутта и метод Рунге-Кутта-Фельберга с адаптивным шагом), задач конечномерной оптимизации (метод наискорейшего спуска, метод Ньютона-Рафсона), достаточные условия оптимальности Кротова, принципы расширения и локализации Гурмана [18]. При программной реализации параллельных алгоритмов в среде OpenTS использовались языки программирования С++, Т++. Интерфейс созданного ПК «SControl» выполнен с использованием Visual С++.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и приложения. Общее количество страниц — 106, рисунков — 31, таблиц — 6, наименований в списке литературы — 136.

В первой главе строится параметризованная модель управления кусочно-постоянными и кусочно-линейными функциями, предлагается применение различных подходов к исследованию соответствующих задач оптимального управления. Теоретически обосновывается возможность сведения задачи оптимального управления к задаче нелинейного программирования. Рассматривается задача управления с нефиксированными моментами переключений, а также предлагается подход к решению задачи оптимального управления, который учитывает фазовые ограничения. Непрерывная задача оптимального управления преобразуется к эквивалентной дискретно-непрерывной.

Во второй главе представлены вычислительные алгоритмы решения поставленной задачи двумя алгоритмами, а именно: параллельный алго-

ритм поиска приближенно оптимального управления с помощью параметрических множеств управлений простой структуры на основе метода мультистарт и параллельный алгоритм поиска н�