автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Метод вариационных итераций в задачах статики пластин и оболочек сложной геометрии с разнотипными на участках контура граничными условиями

На правах рукописи

МАРТЫНОВ Андрей Артемьевич

МЕТОД ВАРИАЦИОННЫХ ИТЕРАЦИЙ В ЗАДАЧАХ СТАТИКИ ПЛАСТИН И ОБОЛОЧЕК СЛОЖНОЙ ГЕОМЕТРИИ С РАЗНОТИПНЫМИ НА УЧАСТКАХ КОНТУРА ГРАНИЧНЫМИ УСЛОВИЯМИ

05.13.16 - применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях (механика)

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

КАЗАНЬ -1997

Работа выполнена на кафедрах "Сопротивление материалов" Казанского государственного технического университета им. А.Н.Туполева и "Прочность и материаловедение" Казанского филиала Московского энергетического института (технического университета)

Научные руководители:

член-корреспондент АН Татарстана, доктор физико-математических наук, профессор В.Н.Паймушин; доктор физико-математических наук, профессор Ю.Я.Петрушенко

Официальные оппоненты:

член-корреспондект АН Татарстана, доктор физико-математических наук, профессор В.А.Иванов

доктор физико-математических наук, профессор И.X.Сайтов

Ведущая организация:

Казанский государственный университет (г.Казань)

Защита состоится " 1998г. в /V ч. на заседании

диссертационного совета Д.063.43.03 в Казанском государственном техническом университете им.А.Н.Туполева по адресу: 420111, г.Казань, ул.К.Маркса, 10, зал заседаний Ученого совета.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке КГТУ им. А.Н.Туполева (420111, г.Казань, ул.К.Маркса, 10)

Автореферат разослан "3/" /9/_199</ г.

Ученый секретарь диссертационного .

совета, кандидат фю.-мат.наук П.Г.Данилаев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. Конструкции современных образцов техники характеризуются наличием большого количества элементов, которые можно отнести к классу пластин и оболочек. Эти элементы часто имеют геометрическую форму неканонического очертания и сложные условия закрепления. Повышение технических требований к конструкциям и срокам их проектирования заставляет постоянно совершенствовать методы и алгоритмы их расчета. В том числе - методы и алгоритмы, связанные с исследованием напряженно-деформированного состояния (НДС). В связи с широким внедрением вычислительной техники получили развитие численные методы расчета, позволяющие учитывать реальные условия эксплуатации изделий и существенно сократить объемы дорогостоящей экспериментальной отработки конструкции на стадии проектирования.

Задача исследования НДС пластин и оболочек сложной геометрии с различными условиями их закрепления на контуре может быть с успехом решена хорошо разработанными численными методами, например методом конечных элементов (МКЭ). Применение МКЭ позволяет детально описать поле напряжений и деформаций во всей области исследуемого объекта, однако требует значительных ресурсов ЭВМ по объему оперативной памяти и времени счета. При проектировочных расчетах исследовать полное поле НДС, как правило, не обязательно, достаточно определить максимальные значения параметров НДС в некоторых характерных точках исследуемого объекта. В связи с этим актуальной является задача создания приближенных численных методов, для реализации которых требуются небольшие ресурсы ЭВМ, позволяющих проводить многовариантные проектировочные расчеты НДС пластин и оболочек и получать решение с приемлемой точностью.

Этим требованиям удовлетворяют некоторые вариационные методы. Среди них - методы вариационных итераций (МВИ) и суперитераций (МВСИ), позволяющие достичь максимально возможной точности при ограниченном числе членов ряда в представлении приближенного решения. Приведенные в работах ряда авторов результаты численных исследований НДС с использованием МВИ и МВСИ показали эффективность их применения к исследованию задач механики пластин и оболочек канонической геометрии с неизменными вдоль каждой линии опорного контура граничными условиями. Однако для исследования НДС пластин и оболочек сложной геометрии и с разнотипными на участках линий контура граничными условиями названные методы не применялись.

Целью настоящей работы является:

- развитие и применение МВИ в сочетании с методом построения специальной параметризации, позволяющей свести исходную краевую задачу в неканонической области к классическому виду, к решению задач статики пластин и оболочек сложной геометрии с различным сочетанием типов граничных условий на участках контурных линий;

- численная реализация разработанного варианта МВИ для исследования НДС пластин и оболочек рассматриваемого класса с различными граничными условиями вдоль линий их опорного контура.

Научная новизна работы состоит в развитии и применении методов вариационных итераций и суперитераций в сочетании с методом построения специальной параметризации к решению задач статики тонких слоистых пластин и оболочек сложной геометрии с граничными условиями разного типа на участках контурных линий.

Достоверность результатов работы обеспечивается строгим математическим обоснованием ряда формулируемых положений, решением тестовых задач с использованием различных альтернативных численных методов, сравнением полученных результатов с известными решениями других авторов, проведением исследования сходимости решений в зависимости от выбора Оазисных функций, числа расчетных сечений, количества итераций и суперитераций.

Практическая ценность диссертации заключается в разработке и реализации на персональном компьютере (ПК) эффективного метода расчета параметров НДС пластин и оболочек сложной геометрии с различным сочетанием типов граничных условий на участках контурных линий при действии произвольного статического нагружения. С помощью разработанного метода проведены многовариантные численные эксперименты по определению параметров НДС пластин и оболочек различных очертаний с различным сочетанием типов граничных условий на участках контурных линий при действии внешнего статического давления. В качестве практического приложения разработанного варианта МВИ исследовано напряженно-деформированное состояние защитного окна камеры подводного наблюдения и откидной части фонаря самолета, имеющей сложную форму срединной поверхности, с разнотипными граничными условиями на участках контура.

На защиту выносятся:

1. Численный метод и алгоритм, основанные на кинематической модели Кирхгофа-Лява и применении МВИ и МВСИ к решению задач статики пластин канонического очертания с различным сочетанием типов граничных условий на участках контурных линий.

2. Численный метод и алгоритм,' основанные на кинематической модели типа Тимошенко и применении МВИ совместно с методом построения специальной параметризации к решению задач о напряженно-деформированном состоянии пластин и оболочек сложной геометрии с

различным сочетанием типов граничных условий на участках контурных линий.

3. Результаты численного исследования сходимости и точности разработанных методов и алгоритмов и их применение для определения параметров НДС пластин и оболочек рассматриваемого класса.

4. Результаты расчетов параметров НДС ряда реальных объектов.

Публикации и апробация работы. Основное содержание исследований по теме диссертации опубликовано в 6 работах. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на итоговой научно-технической конференции Казанского государственного технического университета (КАИ, 1991); на Всероссийской научно-технической конференции "Техническое обеспечение создания и развития воздушно-транспортных средств (экранопланов и сверхлегких летательных аппаратов)" (Казань. 1994); на XVII Международной конференции по теории оболочек и пластан (Казань, 1995); на Республиканской научной конференции "Проблемы энергетики"(Казань, 1997); на седьмой межвузовской конференции ''Математическое моделирование и краевые задачи" (Самара. 1997).

В целом диссертация обсуждалась и получила одобрение на семинаре по тессии пластик и оболочек под руководством члень-копреспонттента АНТ Паймушина В.Н.(КГТУ, Казань).

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, библиографического списка, включающего 235 наименований, и содержит 187 страниц машинописного текста. В том числе 30 таблиц и 93 рисунка.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дан краткий обзор по современному состоянию исследуемой проблемы, обоснованы актуальность и практическая ценность диссертации, сформулированы цель, научная новизна, практическая ценность работы и основные научные положения, выносимые на защиту.

В основу большинства из известных методик прочностного анализа слоистых оболочек положены соотношения, базирующиеся на моделях Кирхгофа-Лява и типа Тимошенко. Модель Кирхгофа-Лява не учитывает деформации поперечного сдвига и поэтому не позволяет с достаточной точностью описывать деформирование оболочек из композитных материалов. Область применимости модели, базирующейся на гипотезах Кирхгофа-Лява, в существенной степени зависит от геометрических параметров оболочки и физико-механических параметров материала. В связи с этим при описании деформирования анизотропных оболочек и оболочек некоторых других анализ широкое распространение получили

различные варианты теории типа Тимошенко, в которых учитываются деформации поперечного сдвига.

Задача исследования НДС пластин и оболочек, имеющих форму срединной поверхности или опорного контура неканонического очертания, является достаточно трудоемкой, и получение аналитического решения в этом случае представляется достаточно проблематичным. Вследствие этого при решении таких задач нашли широкое применение численные методы, среди которых наибольшее распространение получили методы конечных разностей, конечных и граничных элементов. Указанные методы реализованы в большом количестве комплексов программ для ЭВМ и позволяют с той или иной степенью точности решить практически любую краевую задачу. Однако существуют отдельные классы задач, для решения которых применение этих методов нецелесообразно, так как их можно решить проще и с меньшими затратами машинного времени и объема памяти. Этими достоинствами обладают вариационные методы, наибольшее распространение среди которых получили методы Ритца, Бубнова-Галеркина, Канторовича-Власова.

Важным достижением вычислительной математики стала разработка экономичных методов решения многомерных задач математической физики - методоз переменных направлений, дробных шагов, локально-одномерного и других, объединяемых под названием методов расщепления. Основная идея этих методов состоит в замене сложной многомерной задачи последовательностью более простых задач меньшей размерности. Для задач теории упругости методы расщепления разрабатывались и обосновывались в работах М.М.Карчевского, А.Д.Ляшко, А.Н.Коновалова, А.А.Самарского, Я.З.Бурмана.

В процессе развития вариационных методов выявилась потребность в разработке метода, заключающейся в том, чтобы: 1) достичь симметрии приближенного решения, если такая симметрия характерна для точного решения задачи; 2) добиться максимально возможной точности при ограниченном числе членов ряда в представлении приближенного решения. Наилучшим образом этим требованиям удовлетворяет метод вариационных итераций, представляющий собой первую суперитерацию метода вариационных суперитераций и уходящий своими корнями в начало двадцатого столетия. Согласно МВИ каждая искомая функция в общем случае записывается в виде ряда:

<р = 1А,Х1(х)*У1(у), (1)

¡=1

где п - число одновременно удерживаемых членов ряда, которое определяет номер приближения МВИ и может быть сколь угодно большим; А! - амплитудные значения искомого решения. Повышение точности решения в рамках МВИ возможно единственным путем -

увеличением числа п. что, однако, приводит к росту порядка системы обыкновенных дифференциальных уравнений в математической модели.

Данный метод получил свое развитие в работах В.З.Власова,

B.М.Фролова, В.В.Петрова, В.А.Крысько, В.В.Неверова, А.Г.Федоровой,

C.П.Павлова. И.И.Трянина, Р.Д.Баглая, К.К.Смирнова, М.Л.Аграновского, A.D.Kerr, B.J.Milne, S.H.Leventhal и др. МВИ применялся авторами при решении линейных и нелинейных задач статики, устойчивости и колебаний пластин и оболочек.

Обобщением МВИ явился метод вариационных суперитераций, единственный из вариационных методов, допускающий оба способа повышения точности решения - по приближениям и по суперитерациям, что позволяет применять его для решения задач механики многосвязных областей.

Среди работ, посвященных исследованию механики деформирования пластин и оболочек сложной геометрии, следует отметить работы М.С.Корншшша, В.Н.Паймушина и их учеников.

А среди работ, посвященных исследованию НДС пластин и оболочек с сочетанием различных типов граничных условий на участках контура, следует отметить труды В.Л.Рвачева. Л.В.Курпы, Е.А.Федотовой, М.С.Корнишина. А.Н.Ши.хранова, А.М.Маркова.

В заключении краткого обзора сделан вывод о том, что несмотря на разработанность многих вопросов механики пластин и оболочек, исследования НДС пластин и оболочек сложной геометрии с граничными условиями разного типа на участках линий опорного контура малочисленны, а методы, сочетающие в себе простоту и возможность численной реализации с достаточно высокой точностью и позволяющие проводить на ПК многовариантные проектировочные расчеты элементов конструкций сложной геометрии с разнотипными на участках контурных линий граничными условиями, практически отсутствуют. В связи с этим разработка таких методов представляется важной актуальной научной задачей.

Первая глава посвящена разработке методологии решения задач механики деформирования пластин и оболочек с различным сочетанием типов граничных условий на участках контурных линий методом вариационных итераций и методом суперитераций; рассмотрены вопросы точности и критерии сходимости решения по МВИ; приведено обоснование необходимости введения условий сопряжения подобластей для улучшения сходимости получаемого решения.

Показано, что суперитерационный процесс включает в себя процесс последовательных уменьшений невязок решения и процесс вариационных итераций. В пределах каждой суперитерации решение задачи формируется в результате вариационных итераций, при которых происходит поитерационное уточнение аппроксимирующих функций. При этом искомые аппроксимирующие функции зависят только от одной

переменной, что позволяет свести решение исходной двумерной задачи к одномерной.

Показано, что наиболее корректный подход к решению задач статики пластин и оболочек с граничными условиями разного типа на участках контурных линий заключается в том, что решение ищется для любой подобласти а непрерывность искомой функции прогибов

обеспечивается записью соответствующих условий сопряжения подобластей по кинематическим и силовым факторам, которые вводятся на границах подобластей.

Приведено изложение вопросов сходимости МВИ для положительно определенных операторов. Рассматриваются оценки сходимости решения в конкретных приложениях для уравнения изгиба пластин и при произвольном сочетании граничных условий на участках контура.

Во второй главе на примере тонкой прямоугольной пластины со сторонами а, Ь и толщиною Ъ, отнесенной к декартовой системе координат и находящейся под действием произвольной поперечной статической нагрузки, рассмотрены основные положения предлагаемого варианта МВИ. Предполагается, что граничные условия вдоль каждой из кромок пластины могут быть однотипными и разного типа, то есть вдоль кромки возможно сочетание участков с различными условиями закрепления.

Функция прогиба внутри каждой подобласти представляется в виде:

(х, У) = <рУ(х)* ЦМУ), (2)

где фу(х), \|/3(у) - искомые одномерные функции, для определения которых строятся две группы уравнений. Из решения первой из них определяются функции, зависящие от X, а из решения второй - функции, зависящие от у.

Для заданного представления функции прогибов у) в виде (2) на основе кинематической модели Кирхгофа-Лява дано развитие и применение МВИ к исследованию механики деформирования пластины, в соответствии с которыми: а) записаны соответствующие вариационные уравнения тонких жестких пластин; б) получены соотношения для условий сопряжения подобластей при расчете пластин с разнотипными на участках линий контура граничными условиями; в) построены уравнения граничных условий; г) разработан алгоритм численной реализации метода на основе методов вариационных итераций и суперитераций; д) проведены численные исследования точности и сходимости решений, полученных методом вариационных итераций, для пластин с различным сочетанием типов граничных условий на участках контурных линий пластины. На основании анализа результатов численных исследований пластин с различным сочетанием типов граничных условий сделан вывод о том, что предложенный алгоритм на основе метода вариационных итераций обладает в целом хорошей сходимостью и приемлемой точностью по

прогибам и моментам. Дальнейшее уточнение полученного решения возможно либо путем удержания большего числа членов ряда в представлении функции прогиба, либо с помощью метода суперитераций, позволяющего уменьшить невязку решения.

Проведены численные исследования улучшения сходимости общего решения с использованием метода суперитераций; определены достаточные при заданной точности расчета сочетания количеств вариационных итераций и суперитераций для различных типов граничных условий на контуре пластины; разработана программа для ПК расчета тонких жестких пластин, находящихся под действием произвольной статической нагрузки при различных условиях закрепления краев пластины.

В третьей главе на основе уточненной кинематической модели типа Тимошенко без учета поперечного обжатия дано развитие и применение МВИ к исследованию механики деформирования пластин и оболочек сложной геометрии с различным сочетанием типов граничных условий на участках линий контура.

Функции перемещений внутри каждой подобласти представляются в

виде:

12 1 2 -

£](з,у)(а ,а ) = ф^у)(а )*\|/з(3)(а ); ^ = 1,5;

г, = VI; £2 = у1; £3 = у2; = и].; £5 = М2), (3)

п 2

где (О.') / д)(0С ) - искомые функции.

Используя принятое представление функций перемещений в виде (3) и метод специальной параметризации областей сложной геометрии, построены кинематические соотношения тонких слоистых оболочек типа Тимошенко, а также выведены обобщенные вариационные уравнения равновесия с учетом произвольного нагружения, которые имеют вид

ак

. .-сх^Ф; + [(р^фм+(32>;+.. .+р£0ф' каЧ

а1

ак

+с21= {ч^аЬскх1, 1 = {1,5}. (4)

а"

С использованием метода механических квадратур и метода конечных сумм, базирующегося на полиномах Лагранжа, получена система разрешающих алгебраических уравнений и построены уравнения сопряжения подобластей.

Сформированы уравнения граничных условий для пластин и оболочек с граничными условиями разного типа на участках линий контура, разработан алгоритм численной реализации МВИ, а также проведены численные исследования точности и сходимости решений,

полученных методом вариационных итераций для четырехугольной пластины и панели цилиндрической оболочки с различными сочетаниями граничных условий на участках их контурных линий.

В результате проведенных численных исследований установлена нецелесообразность применения МВИ для расчета пластин со сложной геометрией в случае формирования изолированного решения для каждой полосы, без условий их сопряжения. Анализ результатов численных исследований оболочек показал, что использование алгоритма, в котором учитываются только условия сопряжения подобластей по направлению определения искомых функций фv, не позволяет получить достоверные результаты параметров НДС для панелей оболочек с разнотипными на участках контурных линий граничными условиями.

Для получения достоверного решения были предложены дополнительные условия сопряжения полосок вдоль соприкасающихся линий подобластей:

А.

..............(5)

А ' '

используя которые проведены численные исследования точности и сходимости решения для цилиндрической панели. На основании анализа результатов расчетов отмечены: а) достаточная для проектировочных расчетов точность полученного решения и б) хорошая сходимость итерационного процесса.

В четвертой главе разработанный вариант МВИ и реализующий его алгоритм применяются для численного исследования НДС реальных объектов. На основании анализа результатов решения тестовых задач сделан вывод о том, что решение по разработанному методу достаточно хорошо согласуется с результатами других авторов, полученными другими методами, вследствие чего можно ожидать эффективности его применения при определении параметров НДС пластин и оболочек сложного очертания с различными граничными условиями.

В качестве приложения МВИ было исследовано защитное стекло камеры подводного наблюдения, находящееся под действием гидростатического давления (рис.1). Алгоритм расчета основывался на разработанных МВИ и МВСИ для пластин с сочетанием разных типов граничных условий на участках линий опорного контура. При этом каждая суперитерация применялась после проведения 5 вариационных итераций. Результаты расчета показали, что для оценки параметров НДС достаточно проведения двух суперитераций. Причем в этом случае

относительная погрешность в определении прогибов не превышает 1,3%; изгибающих моментов - 2%.

I 2

Рис.1

100.00-

80.00-

60.00

\¥-103(м)

Ш-

. 0.02

0:02

■

0.05-

- 0.02

О

40.00-

20.00

0.00

<5

■а-

^ \ ч.

0>

-0.02-

; О.ОУ-

0.00 20.00 40.00 60.00 80.00 100.00 120.00 140.00

Рис.2

Дальнейшее применение разработанный вариант МВИ получил в задаче исследования НДС остекления фонаря самолета. Элемент фонаря, представляющий собой незамкнутую оболочку сложной геометрии (рис.3),

был рассчитан с использованием метода специальной параметризации В.Н.Паймушина при помощи созданной на основе МВИ программы.

Граничные условия элемента остекления рассматривались в двух вариантах: 1) жесткая заделка торцевых срезов и шарнирное опирание по боковым кромкам; 2) жесткая заделка торцевых срезов и сочетание условий заделки и шарнирного опирания по боковым кромкам.

Численное решение по МВИ рассматриваемой задачи получено на основе использования соотношений теории оболочек типа Тимошенко. В качестве внешнего нагружения принималось избыточное внутреннее равномерное давление. На рис.4 приведены изолинии перемещений для второго варианта граничных условий.

г

V ^ / / Я(х) Ко У* ^ч

к.

0 ь У

Рис.3 \У-103(м)

Рис.4

На основе анализа полученных результатов был сделан вывод о значительном влиянии защемленных угловых зон на общее НДС конструкции.

Кроме того, анализ численных результатов показал, что точность определения параметров НДС представленной оболочечной конструкции вполне приемлема. Однако скорость сходимости получаемого решения по сравнению с решениями для объектов канонической формы ниже, и для достижения заданной точности решения требуется проведение значительного числа вариационных итераций.

Полученные результаты дали основание сделать вывод о возможности применения разработанного метода для исследования параметров НДС оболочечных конструкций сложной геометрии с разнотипными на участках линий контура граничными условиями.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Исходя из соотношений линейной теории пластин и оболочек, базирующейся на моделях Кирхгофа-Лява и типа Тимошенко в тензорной форме, основных положений MBH и МВСИ, а также применения метода построения специальной параметризации для поверхностей сложной формы и областей неканонического очертания, дано развитие и применение МВИ и МВСИ к решению задач статики многослойных пластин и оболочек сложной геометрии, имеющих переменную толщину слоев, анизотропию свойств материала и различные сочетания типов граничных условий на участках контурных линий.

2. На основе МВИ и МВСИ и применения метода конечных сумм разработаны численные методики, алгоритмы и соответствующее программное обеспечение, ориентированные на экономию ресурсов ПК и проведение многовариантных проектировочных расчетов НДС пластин и оболочек рассматриваемого класса.

3. Проведены численные исследования сходимости и точности разработанных методов и алгоритмов на примерах их применения к определению параметров НДС пластин и оболочек различного очертания, а также реальных конструкций: защитного стекла камеры подводного наблюдения и элемента остекления фонаря самолета при различных сочетаниях типов граничных условий на участках контурных линий.

4. Выявлены особенности применения МВИ и МВСИ к решению задач статики пластин и оболочек рассматриваемого класса и на их основании разработаны рекомендации, заключающиеся в необходимости:

- выбора базисных функций, близких по форме к кривой статического деформирования балки при заданных на участках контурных линий граничных условиях:

- построения как уравнений сопряжения подобластей в пределах отдельной полосы, так и уравнений сопряжения полос между собой;

- более точного учета параметров крепления на участках контурных линий для оболочек сложной геометрии;

- проведения для пластин и оболочек неканонического очертания большего числа вариационных итераций по сравнению с пластинами и оболочками канонического вида;

- построения суперитерационного процесса для пластин и оболочек рассматриваемого класса.

Установлено, что выполнение данных рекомендаций позволяет достичь приемлемой для проектировочных расчетов точности и улучшить итерационный процесс сходимости получаемого решения.

Основное содержание диссертации опубликовано в работах:

1. Мартынов A.A., Петрушенко Ю.Я. К расчету напряженно-деформированного состояния тонких пластин с неоднородными граничными условиями методом вариационных итераций / Казан, гос. техн. ун-т. - Казань, 1995. - 40 с. • Деп. в ВИНИТИ 04.07.95. № 1973 - В95.

2. Мартынов A.A., Петрушенко Ю.Я. Метод вариационных итераций в задачах механики оболочек сложной геометрии со смешанными граничными условиями на участках контура // Труды XVII Международной конференции по теории оболочек и пластин. - Т. 2. -Казань, 15-20 сентября 1995 г. - КГУ. - 1996. - С. 167-171.

3. Мартынов A.A., Петрушенко Ю.Я. Метод вариационных итераций для исследования напряженно-деформированного состояния пластин сложной формы с неоднородными граничными условиями / Казан, гос. техн. ун-т. - Казань, 1995. - 36 с. - Деп. в ВИНИТИ 04.07.95, N° 1972 - В95.

4. Петрушенко Ю.Я., Мартынов A.A. Исследования напряженно-деформированного состояния элементов JIA сложной геометрии со смешанными граничными условиями методом вариационных итераций // Техническое обеспечение создания и развития воздушно-транспортных средств (экранопланов и сверхлегких летательных аппаратов). - Тез. докл. Всерос. науч.-техн. конф. Казань. 1994. С.53.

5. Мартынов A.A., Петрушенко Ю.Я. Математическая модель механики оболочек со смешанными граничными условиями на контуре, базирующаяся на методе вариационных итераций // Материалы докладов Респ. науч. конференции "Проблемы энергетики". Казань: Изд-во КФМЭИ.ч.З., 1997. С.25-26.

6. Мартынов A.A., Петрушенко Ю.Я. Математические модели статического деформирования защитного стекла // Труды седьмой межвуз. конференции "Матем. моделирование и краевые задачи". Самара: Изд-во Самар. гос. техн. ун-та, ч.1., 1997. С.91-93.