автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Метод сопряженных уравнений в математическом моделировании задач газовой смазки

РГб од

_ ^ На правах рукописи

" Григорьев Борис Семенович '

МЕТОД СОПРЯЖЕННЫХ УРАВНЕНИЙ В МАТЕМАТИЧЕСКОМ ----. --------МОДЕЛИРОВАНИИ ЗАДАЧ ГАЗОВОЙ" СМАЗКИ "

Специальность: 05.13Л6 - Применение вычислительной техники, математического моделирования и магэиатических методов в научных исследованиях (машиноведение, машиностроение)

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук

- Санкт-Петербург 1995

Работа выполнена в Санкт-Петербургской техническом университете.

Официальные оппоненты: доктор технических наук, старший научный сотрудник С.А. Харламов, доктор физико-математических наук, профессор В.П. Шидловский, доктор физико-математических наук, профессор П.А. Хилин.

Ведущая организация: Государственный научный центр РФ ЦНИИ '"Электроприбор" (Санкт-Петербург).

Защита состоится " / " Ш-&КА 1995 г. а часов на ааовдании диссертационного совета Д 063.38.18 в Санкт-Петербургской государственной техническом университете (адрео:195251. Санкт-Петербург, Политехническая ул., 29, корп. 1 , ауд.Ч! )«

С диссертацией можно ознакомимся в фундаментальной библиотеке университета.

Автореферат разослан 1995 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор фяяико-матеиатячеоких наук

СЛ. Реяин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работа. Одним из перспективных направлений современного машиностроения является использование газовой смазки в различных опорных и уплотнительшх узлах машин и приборов. Основное преимущество газовой смазки - ее малая вязкость - позволяет достичь высоких скоростей вращения, а отсутствие скачков силы трения при относительном перемещении поверхностей, разделенных смазочным слоем, дает возможность осуществлять перемещения с минимальной скоростью скольжения. Подшипники с газовой смазкой, не теряя своих эксплуатационных качеств, могут работать в условиях повышенной радиации, в широком диапазоне температур и давлений окружающей среды.

Однако широкому внедрению газовой смазки в практику препятствуют, в частности, трудности, возникающие при расчете конкретных вариантов конструкций. Между тем в процессе поиска оптимальных в том или ином смысле проектных решений приходится многократно решать задачи такого рода. В связи с этим важным представляется создание математических моделей, алгоритмов и программных средств, позволяющих эффективно решать возникающие в процессе проектирования задачи.

В значительной степени это касается решения нестационарных задач, где приходится рассматривать совместно уравнение для давления в сма- * эочном слое - нелинейное уравнение в частных производных - и уравнения динамики подвижных элементов опорного узла - интегро-дифференцй-альные уравнения. Задачи исследования устойчивости, колебаний, переходных процессов и другие, как правило, требуют привлечения ЭВМ, обладающих большой памятью и быстродействием, но даже тогда время, необходимое для получения решения с достаточной точностью, может оказаться недопустимо большим.

Например, задача о поведении подшипника на газовой смазке в окрестности границы области устойчивости в-принципе может бить решена с помощью прямого, численного интегрирования упомянутой системы уравнений. Однако, так как продолжительность переходных процессов неограниченно возрастает по мере приближения к границе устойчивости, практически оказывается невозможным установить характер получаемых решений в этой области.

Отметим сложность проведения экспериментальных исследований в газовой смазке. Малая толщина смазочного слоя (в несколько микрон) предъявляет- повышенные требования к точности изготовления и сборки

Т •

деталей подшипников. Неизбежные при этом погрешности вносят искажения, которые трудно надежно оценить. Вместе с тем средняя толщина зазора входит в некоторые безразмерные критерии подобия в третьей или даже пятой степени. Особенно затруднены эксперименты по определению поведения подшипника при переходе через границу области устойчивости, так как теоретически этот вопрос изучен очень, слабо и последствия потери устойчивости непредсказуемы. В связи со сказанным роль математического моделирования в изучении проблем газовой смазки особенно велика.

Существенное снижение трудоемкости решения задач газовой смазки, особенно нестационарных, может быть достигнуто при использовании метода сопряженных уравнений. В сочетании с методом возмущений он поз' воляет преобразовать исходные математические модели газовой смаэки в другие, использующие так называемые сопряженные функции и обладавшие рядом преимуществ по сравнению с традиционными.

Метод сопряженных уравнений, по-видимому, впервые широко стал использоваться в задачах физики ядерных реакторов, позднее в вопросах проектирования конструкций при анализе их чувствительности к изменениям проектных решений. В сочетании с аппаратом теории возмущений метод был распространен Г .И.Марчуком на широкий класс задач математической физики..

Цель работы. Разработка, обоснование и реализация метода сопряженных уравнений в задачах газовой смазки. Создание на его основе ал-0) горитмов для решения ряда стационарных и нестационарных задач. Демонстрация эффективности и надежности разработанного подхода на примере тестовых задач. Применение построенного математического аппарата к расчету конкретных, используемых на практике конструкций.

В целом проведенные исследования ориентированы на создание методов и алгоритмов, достаточно, эффективных для того, чтобы их использовать в программном обеспечении, предназначенном для исследования и проектирования узлов машин и приборов, использующих газовую смазку.

Научная новизна. Развит новый подход к решению задач газовой смазки опорных и уплотнительных узлов машин и приборов, позволяющий Существенно снизить трудоемкость процессов их математического моделирования, а также получить новые результаты качественного характера.

В рамках метода возмущений построены сопряженные задачи для важнейших проблем газовой смазки. Выведены формулы для возмущений реакции смазочного слоя через сопряженные функции. Изучены свойства со-

пряженных функций, возникающих в задачах газовой смазки. Дана их "физическая" интерпретация.

Разработаны алгоритмы анализа чувствительности характеристик смазочного слоя к изменению определяющих конструктивных параметров с использованием сопряженных уравнений.

. Получено новое уравнение динамики подвижных элементов опорного узла, решаемое отдельно от задач)! описания смазочного слоя. На его основе разработаны экономичные алгоритмы решения нестационарных задач .

С использованием предложенных методов решен ряд новых задач газовой смазки опорных и.уплотнительных уЗлов, изучены их статические и динамические характеристики.

Предложен метод анализа нелинейных нестационарных проблем газовой смазки с использованием сопряженных уравнений, на основе которого рассмотрен ранее не исследовавшийся вопрос о математическом моделировании процессов, происходящих в подшипниках при переходе через границу области устойчивости.

Практическая значимость. Разработанные в диссертации математические мзтоды и программные средства предназначены для применения в машиностроении и Машиноведении. Они позволяют упростить и снизить трудоемкость решения задач, связанных с исследованием и проектированием опорных и уплотнитсльнъгх узлов на газовой смазке.

В наибольшей степени это относится к решению нестационарных задач, где использование сопряженных уравнений позволяет расщепить полную систему уравнений газовой смазки на независимо решаемые подсистемы, одна из которых описывает смазочный слой, а другая - динамику подвижных элементов опорного узла.

В рамках предложенного подхода решены конкретные задачи для используемых на практике конструкций. Рассмотрены как самоподдерживающиеся подшипники, так и подшипники с наддувом. Среди самоподдерживающихся подшипников- выбрани подшипники и уплотнения со спиральными канавками, широко применяемые в приборостроении и газовых уплотнениях валов турбокомпрессорных машин. В задачах с наддувом рассматривается вал, опирающийся на один или два подшипника с двумя рядами устройств наддува. ■

Выявленные в процессе решения этих задач закономерности представляются важными для рационального проектирования узлов и деталей

машин, использующих газовую смазку.

- Ряд результатов работы внедрен.в НИИАП (г.Москва), ШО "Азимут". (С.-Петербург), использован в НПО ЦКТИ (С.-Петербург). По итогам ряда разработок, связанных с задачами, рассмотренными в диссертации, получены 3 авторских свидетельства.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на Всесоюзной конференции "Трение и износ в машинах" (Челябинск, 1979), на Всесоюзном координационном совещании "Исследование и применение опор скольжения с газовой смазкой" (Винница, 1983), на Всесоюзной конференции "Трение и смазка в машинах" (Челябинск, 1963), на выстав--ке "Машины и приборы на опорах с газовой смазкой" (ВДНХ СССР, 1986, серобр.медаль), на Пятой научно-технической конференции "Вопросы проектирования И отработки гироскопических комплексов" (Ленинград, 1987), .на Всесоюзной научно-технической конференции "Системы и комплексы ав-' тематического управления" (Москва, 1988), на Всесоюзном научно-координационном совещании "Газовая смазка в машинах и приборах" (Ростов-на-Дону, 1989), на Региональной научно-технической конференции "Прогрессивные материалы, технологии и конструкции в машино- и приборостроении" (Калуга, 1990), на школе-семинаре "Надежность роторных'систем на газовой смазке" (Новороссийск, 1990), на школе-семинаре с международным участием "Триболог-бМ" (Ростов Великий, 1990), на школе-семинаре "Проектирование и технология изготовления газовых опор экологически чистых машин" (Ростов-на-Дону, 1991), а также на семинарах в СПбГСУ на кафедрах Гидроаэродинамики (1979, 1986, 1990), Прикладной математики (1994). ■

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 27 печатных работ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, спи-'ска обозначений, семи глав, выводов, приложений и списка литературы. В тексте содержатся II таблиц, 41 страница с рисунками. Общий объем работы составляет 312 страниц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении показана актуальность теш, сформулированы цели работы, указаны основные положения, выносимые на защиту, приведено распределение материала по главам.

Первая глава носит вводный характер. В ной обсуждаются математические модели газовой смазки, используемые в данной работе и численные методы ¡к исследования.

В и.1.1 приводится классическое уравнение Рейкольдса газовой смазки п еледумцсм безразмерном виде

31

где $ и А - боэраомернью комплексы, назыяаеше обычно числом сдавливания и числом сжимаемости, р - давление, Л - толщина смазочного слоя, У - вектор скорости скольжения-одной из смазываемых поверхностей (другая считается неподвижной).

Полагаем, -что п смазочном слов введена ортогональная криволинейная система координат X, , X,. , х} , оси X, , которой ориентированы вдоль смазочного слоя, а Х^ - поперек. Смазочный слой занимает область

{ Хъ (X, л, Ин (х, ¿) £ (X, {)}1

причем функции кн , определяют положение смазываемых поверхностей и Л - - .

Так как.давление поперек смазочного слоя не меняется, то решение' уравнения (I) ищется в двумерной области -П. , границу которой будем считать липшщопой. На части границы, соприкасающейся с окружающей« средой, имсидой давление рл , ставится условие />/г>л. ~ Р«- • Часто толщина смазочного слоя по одной из переменных изменяется периодически, тогда по отой переменной ставится условие периодичности. Задается такжо некоторое начальное распределение давления.

Полная постановка нестационарной задачи газовой смазки должна включать в себя уравнения динамики подвижных элементов опорного узла. Будем считать, что такие элементы не деформируются во время движений. Тогда их положение может быть задано с помощью конечного числа пара- ' метров, совокупность которых объединим в вектор К . Уравнения динамики запишем в виде

Л(£, Е, . (2)

где V/ - вектор гидродинамической силы, действующей со стороны смазочного слоя, ? - внешняя нагрузка. Для уравнения (?.) ставится эп~

дача Коши.

Совокупность функций Щ) определяет толщину смазочного слоя /, а А (х, ¿; £М) • которая входит в уравнение (I). В то же время через решение последнего вычисляется обобщенная сила V/ по форцуле

Ш~](1>-Р.)?М<*Л, (3)'

.л

где У(х) - заданная функция. Таким образом уравнения (I) и (2) образуют систему,

В п.1,2 обсуждаются трудности, возникающие при численном решении уравнения (I) в случае бистро осциллирующих функций Л , которые появляются, например, при расчете подшипников, на поверхностях которых выполнен профиль в виде микроканавок периодической структуры. Учет особенностей течения смазки в таких зазорах или формальное осреднение '•уравнения Рейнольдса приводит к так называемому асимптотическому уравнению Теории узких канавок, которое в безразмерном виде записывается следупцим образом

И ^-сЛУ)]*

(4)

Зх^м и Ъх, У/

Здесь I, , 11 - коэффициенты Ламе, I/ - величина вектора скорости скольжения, направленного вдоль координатной линии X, , коэффициенты уравнения зависят от параметров канавок.

Так как уравнение (4) далее широко используется, остановимся на вопросе о том., насколько согласуются между собой решения уравнений (I) и (4). С этой цельр уравнения (IV и (4) решались численно для упорного полусферического подшипника со спиральными канавками и полученные поля давлений, а также величины несущей способности сравнивались между собой. Проведенный анализ показал, что численное решение уравнения (I) при большим числе канавок несколько занижает несущую способность, в то время как уравнение (4) завышает ее. В то же время оптимальные по несущей способности параметры канавок, полученные на основании решения уравнений (I) и (4), согласуются между собой. Известно также, что устойчивость сферического подшипника со спиральными канавками слабо зависит от числа канавок. Привлекая кроме того имею-

цисся экспериментальные данные, можно заключить, что уравнение (4) {ачественно верно описывает закономерности, свойственные подшипникам ; микроканавками. В тех случаях когда погрешность его применения мо-кет быть велика, для проверки и уточнения результатов следует привле-<ать уравнение (I),

В п.1.3 вводятся используемые далее соотношения для задач газовой смазки с наддувом. Рассматриваются устройства наддува типа простой и кольцевой диафрагм,, для моделирования которых применяется метод источников или линий наддува. При этом на линии наддува ставятся условия непрерывности давления и баланса расхода

[р31 = 0, í>[Q^Щ = mhrQ(f>)-<5v'^:, (5)

где символ [ ]* обозначает разность предельных значений стоящей в зкобках величины, вычисленных с разных сторон от линии наддува, п■ -нормаль к линии наддува, т - коэффициент реяима (основной критерий подобия в задачах с наддувом), 9(р)- функция истечения, V -объем карманов устройств наддува, Г - параметр, задающий вид дросселирования: г я 0 - для простой диафрагмы; г = I - длд-кольцевой. • >

В п.1.4 обсуждаются принципы построения конечно-разностных и вариационно-разностных схем (метод конечных элементов) для решения задач газовой смазки. Конечно-разностные схемы строятся исходя не из ^ дифференциального уравнения, а из соответствующего ему интегрального соотношения баланса расхода смазки. Вяриационно-разностные схемы получаются на основе интегрального тожде^т^а, определяющего обобщенное решение. Отмечается, что построение аппроксимации по методу конечных элементов существенно более трудоемко, чем по методу конечных разностей. Вследствие этого метод конечных разностей предпочтительнее, кроме, может быть случаев сложной геометрии смазочного слоя. Например, когда литии разрыва толщины смазочной пленки не удается совместить с линиями разностной сетки, ;

При решении нестационарных задач в случае одной пространственной переменной хорошие результаты дает схема Кранка-Николсона. Для двух пространственных переменных при расчете на больших интервалах времени явная схема оказывается предпочтительнее неявилх.

Во второй главе рассматривается применение метода сопряженных

уравнений в стационарных задачах газовой смазки. Здесь он позволяет более экономично и точно, по сравнению с существующими методами, определить чувствительность характеристик подшипники к мслым изменениям определяющих параметров. Знание чувствительности в указанном смысле важно при рациональном выборе допусков на изготовление и сборку деталей опорного узла. Кроме того жесткость подшипника определяется по его реакции на малое определенное изменение формы смазочного слоя, то есть является одним из показателей, характеризующих чувствительность,

Запишем стационарную задачу для давления в смазочном слое п операторном вцде

Л|>;П] = 0, рб ЫЛ), (6)

где" /7 - некоторый функциональный или.числовой параметр, входящий в задачу, например, функция А или число Л ; 2)(Л) - область определения оператора Я . По распределению давлений исчисляется функционал вида (3).

Обозначим через П„ номинальное значение параметра, которому соответствует давление ре в силу задачи (6). Пусть Л получает малое приращение 5П и может быть представлено ь виде Л = Л, ♦ <ГЯ "Причем II£пII « II П. Ц , где //•// - какая-либо подходящая норма для оценки характерной величины параметра.

Найдем влияние изменения параметра на величину функционала. Прямое решение задачи осуществляется следующим образом. Предстлшм деление в виде р^рл-,Ьр ., где добавка, виз ванная изменением 5/7 и имеющая тот же порядок малости. Из (б), отбрасывал нелинейные слагаемое, получим задачу для возведения 8р

решив которую определим изменение функционала по формуле

(Ь)

л

Недостатком такого обычно используемого подхода является неявная зависимость ¿М от £Л через посредства уравнения (?). Явная связь может быть найдена с «спольоованием сопряженных уравнений. Введем оператор , определяемый равенством

л л

и положим

Тогда из (9), учитывая (7), получим формулу

или

SW=-isnJ>í'пvc!л (12)

Так как функция V -решение уравнения (10) не зависит от £П то коль скоро она найдена, чувствительность функционала к изменению любого параметра П определяется"по формуле (12). В то же время при использовании формулы (8) требуется заново решать уравнение (7) для каждого нового исследуемого параметра

■Уравнение (10) называется сопряженным к уравнению (7) в связи с заданным функционалом, а функция V - сопряженной к (р функцией. Сопряженная функция имеет определенный "физический" смысл. Рассмотрим вместо (7) уравнение , где правая часть есть дельта-

функция, сосредоточенная в точке . Это соответствует помещению

в точку £ источника возмущений единичной интенсивности. Любая пра-» ■ вая часть может'быть записана как суперпозиция таких источников. Из формулы (II) для данной правой части вытекает , то есть

значение сопряженной функции в некоторой точке равно измене-

нию величины функционала, вызванному источником возмущений единичной интенсивности, помещенным в этой точке.

В п.2.2 приведенные общие рассувдения конкретизируются для уравнения Рейнольдса. Пусть конфигурация смазочного слоя в подшипнике претерпевает малые изменения, задаваемые функцией 5И . Уравнение (7) в этом случае имеет вид

(13)

Для определенности считаем заданными условия первого рода ^р/эл = = 0. Задача (10) для сопряженной функции V запишется следующим образом

(14)

После ее решения изменения функционала IV/ , вызываемые различными вариациями формы смазочного слоя могут быть вычислены по формуле

л

Отметим, что полученная формула является и более точной, чем формула (8). Дело в том, что уравнение (13) для £/> содержит в правой части вторые производные от функции />„ , определяемой численно, что может внести заметную погрешность в решение. При использовании сопряженных уравнений операция численного дифференцирования />„ появляется лишь под знаком интеграла в формуле (15), который сглаживает допускаемую ошибку.

Если изменение толщины смазочного слоя происходит за счет стати-_ческого смещения Л подвижного элемента подшипника, то в этом случае обычно ¿ГА можно представить в виде Ек (х) а ?(х)<Г£. . Тогда из (15) получается следующая формула для жесткости смазочного слоя по направлению данного перемещения

(16)

Аналогично можно получить формулы, выражающие чувствительность Тизменению других параметров. Например, для Л и М будем иметь соответственно ,

л

где индекс С указывает, что соответствующая величина вычисляется в. точке расположения источника. При этом сопряженные функции остаются теми же самыми, что и для £Л , так как они не зависят от типа параметра. . '

В конце пункта рассматривается вопрос о построении конечно-разностной схемы для численного решения уравнения (14).

В п.2.3 особенности алгоритмической реализации метода изучаются на конкретной задаче о чувствительности к отклонению формы статора от сферической в упорном полусферическом подшипнике со спиральными канавками. Предполагается, что профилированный статор имеет форму эллипсоида вращения. В качестве функционала выбрана осевая несущая способность. Число канавок считается конечным.

При изучении зависимости чувствительности от ориентации эллипсоида применение метода сопряженных уравнений позволяет на порядок сок-

ратить необходимое время счета по сравнению с традиционным способом исследования. Дело в том, что для последнего требуется при каждом угле, задающем ориентацию эллипсоида, решать уравнение (13), в то время как сопряженная функция от этого угла не зависит и уравнение (14) для нее (к тому же более простое, чем (13)) решается только один раз» Кроме того, используя ту же сопряженную функцию, можно с помощью лишь формулы (15) изучать искажения формы любого другого вида.

, В п.2.4 решается важная для практики приборостроения задача об оптимизации опоры ротора гироскопа, показанной на рис.1. Она состоит из двух полусферических подшипников, профилированных спиральными канавками.. Требуется подобрать параметры канавок: глубину А 1 угол наклона , ширину х ■ и границу стыка гладкой и профилированной зон 9, , доставляющие максимум жесткости К или отношению жесткости к моменту трения относительно оси вращения К/Мг при дополнительных условиях равенства радиальной

Кг и осевой Къ жесткостей и нулевого угла положения Ф -угла между направлением нагрузки и смещением ротора в радиальной плоскости. Известно решение этой задачи при Л = 174,7 (Китинг и Пэн). В данно^, работе получены результаты для произвольных Л . Поиск оптимальных параметров осуществлялся методом обобщенного приведенного градиента. Жесткости вычислялись с использованием сопряженных функций и теории узких канавок.

В процессе решения было обнаружено, что условие Кг~Кг может быть удовлетворено при любых А , а требование <Р = 0 - лишь при достаточно больших. £ак если границы смазочного слоя - 30°, = - 90°, то оно не выполняется при Л<30. В табл.1 приведено сравнение результатов оптимизации, полученных Китингом иПэном (первая строка) и автором (вторая строка), а также, как пример, результаты при Л = 55, когда в качестве функционала выбиралась жесткость (третья строка) или отношение жесткости к моменту тренич (четвертая строка).

ш

Рис. 1

К <Р° Мг 'Шт А X. А;

13,75 = 0 151,8 0,091 2,40 о.ео 31,6 51,0

14,02 0,46 163,8 0,086 2,58 0,79 28,0 51,6

6 »46 0,032 61,7. 0,105 1,86 0,53 27,12 51,8

5,90 0,020 53,4 0,110 2,13 0,75 28,58 49,4

Третья глава посвящена применению метода сопряженных уравнений для решения нестационарных задач газовой смазки.

В п.3.1 дается анализ основных методов решения таких задач. Отмечается, что многочисленные экспериментальные и расчетные данные свидетельствуют о близком к линейноцу поведению подашпников на газовой смазке в значительном диапазоне смещений подвижных элементов. В связи с этим широко применяется линеаризация задачи в малой окрестности равновесного состояния. Среди методов, использующих линеаризацию, можно выделить методы» предназначенные для решения отдельных классов задач и универсальные.

К первым относятся спектральный метод, его упрощенный вариант - •' метод круговой траектории, частотные методы, метод динамических коэффициентов. Эти методы применяются для нахождения параметров установившихся периодических режимов, в том числе определения границы области устойчивости. Их общий недостаток заключается в том, что уравнения, описывающие смазочный слой, и уравнения динамики подвижных элементов подшипника связаны между собой через частоту колебаний рассматриваемого движения. Поэтому при переходе к новой частоте требуется заново решать всю систему уравнений, а это непростая задача. Особенно трудоемкой она становится для подшипников с несколькими подвижными элементами, имепцих большое число степеней свободы. Между тем при определении границы устойчивости или вычислении частотных характеристик в общем случае приходится многократно изменять частоту.

К универсальным методам относится метод Лунда и метод ступенчатого воздействия. Первый из них сохраняет отмеченный недостаток предыдущих методов. Метод ступенчатого воздействия основан на предварительном определении "пробных" реакций подшипника на скачкообразное изменение толщины смазочного слоя по направлениям различных степеней свободы подвижных элементов и последующем использовании их для записи

реакции при произвольном перемещении. Коль скоро "пробные" реакции определены, уравнения движения решаются отдельно от уравнения Рейнольд-са. Однако метод имеет серьезный недостаток, заключающийся в сильной зависимости результатов от величины скачка толщины смазочного слоя при определении "пробных" реакций. Это объясняется тем, что данные реакции определяются по сути с помощью операции численного дифференцирования по величине скачка толщины смазочного слоя. Для того, чтобы возникающая при этом ошибка была минимальной, требуется осуществлять ту или иную процедуру регуляризации.

Применение метода сопряженных уравнений приводит к уравнениям динамики, решаемым отдельно от уравнения, описывающего смазочный слой, и в то же время здесь не возникает отмеченных выше трудностей.

В п. 3.2 строится сопряженная задача и выводится выражение для возмущенной реакции смазочного слоя через сопряженную функцию.

Примем за равнодесное состояние установившееся (стационарное йли периодическое по t ) решение системы уравнений (I),' (2), определяемое давлением />„ и вектором смещений £„ . Для широкого класса ис- . пользуемых на практике подшипников выражение для толщины смазочного слоя при отсутствии деформаций смазываемых поверхностей можно записать в виде h (х, t) - hc (*) + , где hc и ? - известные

функции.

Пусть подшипник находится в равновесном состоянии и в некоторый момент времени t = te в результате внешних воздействий функции S , i или F получают приращения Si{te) , ¿"¿ft,) , SF(t) itsij. Полагая возмущения малыми, то есть HSZ(t„)H « max // £.МЦ и

т.д., представим давление и перемещения в виде p(x,t) = рс(х,Ц*^р(х,Ц, I It) = * > гДе fy и - отклонения от равновесных

значений, имеющие тот же порядок малости, что и вызвавшие их возмущения. Пренебрегая нелинейными слагаемыми, запишем уравнения для 5р и

+ (17) •

il«Z+«st + m*5W + S? CIS)

Здесь операторы Ке и Я^ - по форме те же, что и в уравнении (13),

УЛ:? 7>„ 3 ht * £„• ? . На границе смазочного слоя для

определенности положим = 0. Начальное условие для Fp зеда-

ется исходя из равенства р1\ * сатЬ , отражащего изотермичность и неразрывность потока газовой смазки. Для уравнения.(18) задаются начальные возмущения. Добавочная реакция смйзрчного слоя определится по формуле,

&йа)=]Хр(х,*)Т(х)!/л (19)

л

Введем вектор-функцию ^ , определенную в области Лг=Л причем = 0, Т - некоторый фиксированный момент времени.

Число компонент иг равно числу компонент вектора t .

Умножим обе части уравнения (IV) на I?,. и проинтегрируем по области лт . В полученном равенстве произведем интегрирование по частям, "перебрасывая" производные с £р на йс .В результате будем иметь

х —

г

(20)

Положим

= / ¡ЪхЬ,5р1 с1л

+ Л Л

«

бА«1г (21)

V/ * ?М (22)

где Ч" - функция из формулы (19) для ¿V . При условии (22) первый интеграл в левой части равенства (20) есть не что иное как ,

второй интеграл в силу (21) равен нулю. В итоге из (20) после несложных преобразований получаем формулу т

+ (23)

где обозначено '

$м*фл?<*л, ". (24)

Л 1 -Л =*» ,

Здесь произведение векторов понимается как диада, ' в уравнении (21) и Д* - матричные диагональные операторы, диагональными эле-

ментами которых являются соответственно Я* и Я^

Полученная форцула (23) для ¿¡V в отличие от (19) содержит явную зависимость от Бь и ВЬ . Входящая в нее сопряженная функция % , как видно из (21), (22), не зависит от этих величин. В итоге уравнение движения (10), использующее формулу (23), уже не образует систему ни с уравнением для ¿Гр (эта функция вообще не входит в (23)) ни с уравнением для йт . В этом основной смысл введения сопряженной функции. пре

Для ее интертации аналогично стационарному случаю рассмотрим уравнение (17) с правой частью в виде дельта-функции '

) при условии •<г£^в} = .0. Тогда получим -

= % ( £ в) • то есть значение сопряженной функции равно изменению величины функционала 5"й? в момент X , вызванному источником возмущений единичной интенсивности, помещенным в точку в момент t = = 0. Таким образом сопряженная функция характеризует влияние предыстории процесса.

Если А0 не зависит от t , что соответствует положению статического равновесия подшипника, будет зависеть от времени только через разность t~T . Тогда введение новой независимой переменной

позволяет исключить зависимость от Т и индекс г в обо-"" значении сопряженной функции можно опустить. Далее, сделав замену независимой переменной, сохраним за ней прежнее обозначение t , опуская штрих. Кроме того, удобно положить iв = 0. В итоге для функции V получим задачу

о, % -Ш-/г-л- ' 4.9 вИ.1я)

у'

Для Ш будем иметь формулу х

о

где . в

л. -п.

В п.3.3 выводятся некоторые свойства сопряженной функции. Количественное убывание V с.о временем, для любой компоненты 1ГК оцени-

(25)

(26)

Т.5

вается неравенством л

где постоянные ал>0 . и °1>о определяются по равновесному состоянию и не зависят от числа сдавливания б . Данная оценка позволяет качественно охарактеризовать влияние предыстории процесса в зависимости от величины параметра б .

Между сопряженными функциями для стационарной задачи V«. и нестационарной 5? существует связь

оа .

(29)

о

которая в свою очередь позволяет доказать формулу

_ «о

K=J&tt)<tt> (30)

=» - . . о

где /С - матрица статической жесткости подшипника,

В пп.3.4, 3.5 рассматриваются метода исследования устойчивости и вынужденных колебаний. Уравнение движения в отсутствие внешней нагрузки, используя формулу (26), запишем в вцде х

(Л01ё)(г)+1[за)Ес(т-*)*б(*нё<т-*)]А*-За){Ш, (31)

0 ~ = Л1 => ы -

где для краткости введено обозначение Лв ^¿г*^ • По-

ложению статического равновесия соответствует тривиальное решение

ШгО уравнения. (31). Известно следующее утверждение об устойчивости: для того чтобы тривиальное решение уравнения (31) было асимптотически устойчивым необходимо и достаточно, чтобы уравнение

* (32)

4 о о

.не имело корней в правой полуплоскости (включая мнимую ось) комплексного переменного А = ?* IV . При этом должны быть выполнены условия

/е"//а, ¡е <зз>

• о

с постоянной У » О . Если У* О , то устойчивость является экспоненциальной. Исходя из оценки (28) нетрудно доказать, что условия (33) выполняются при 0 й У *

Рассмотрим вынужденные колебания, которые устанавливаются под действием периодической силы 5РЮ по истечении достаточно большо-

го промежутка времени. Для их нахождения перейдем в формуле (23) к пределу при . В итоге для случая статического положения рав-

новесия получим уравнение

00

(Зг0 + ! 1гМ1ит-±)*&шт*'Ь)]сн*!ъы (34)

о

_ _ ¿уг

Известно, что уравнение (34) при действии силы <5Т = 5е имеет решение 5£(т) = 2е' , если только А«£У не является корнем уравнения (32). В противном случае решение существует только для правой части, удовлетворяющей условию

а-а"О (35)

где у - амплитуда решения уравнения

0 о

где верхний индекс Т обозначает операцию транспонирования» но

—. ^ 1 га А яя^, °

Остановимся на алгоритмических преимуществах метода, сопряженных 'уравнений по сравнению с традиционными методами. При исследовании устойчивости в них также возникает то или иное характеристическое уравнение относительно некоторого параметра Л . При этом оно содержит величину 5р(Л) , то есть связано с уравнением для давлений. Так как для нахождения корней приходится использовать приближенные'методы, то для каждого пробного значения А необходимо заново решать уравнение в частных производных, определяющее 5р . Ясно, что эта процедура чрезвычайно трудоемка, особенно, если корней несколько. В то время в методе сопряженных уравнений характеристическое уравнение (32) решается автономно, так как входящая в него сопряженная функция не зависит от Л . Аналогичная ситуация имеет место и при построении частотных характеристик, где для каждой новой частоты вынуждающей силы приходится- определять давление в смазочном слое и, следовательно, снова решать соответствующее уравнение с част^ными производными. При использовании сопряженных функций соответствунцев уравнение с частными производными решается лишь однократно, так как от частоты не зависит.

В'п.3.6 построенная теория иллюстрируется на примере бесконечно длинного цилиндрического-подшипника. Здесь удается аналитически решить задачу (25) и найти выражения для сопряженных функций

t

<

Получающаяся система интегро-дифференциальных уравнений вида (31) может быть преобразована в систему двух обыкновенных дифференциальных уравнений третьего порядка. Отметим, что в общем случае такой переход невозможен. Это является отражением того факта, что подшипник на газовой смазке представляет собой механическую систему-с распределенными параметрами.

В четвертой главе разработанная методика прилагается к решению задач динамики для опоры, показанной на рис.1.

В п,4Л строится сопряженная задача и выводятся формулы для динамической реакции'смазочного слоя.

В п.4.2 исследуется устойчивость равновесного положения ротора относительно осевых' и радиальных возмущений при различных значениях статического смещения £в , Уравнение (32) относительно Априводится к системе двух уравнений, которая при £0 = 0 имеет вид

где М - безразмерная масса, коэффициенты Я, , <7* определяются через элементы матриц О и & , а также ¡> и V . При решении этой системы удобно задавать величину р и находить М и V . При этом для V получается отдельное уравнение, корни которого отделялись методом половинного деления, а затем уточнялись методом парабол. Аналогично решалась подобная система и в случае £„ / 0.

Меняя р , можно построить годограф! корней на комплексной плоскости А . Каждой точке годографа отвечает определенное значение параметра М . Так "как о неустойчивости свидетельствует наличие корней в правой полуплоскости, то можно ограничиться построением годографов тех корней, которые Прй изменении параметра М пересекают мнимую ось,' переходя из одной полуплоскости в другую.„Поэтов при решении кокрет-ных задач целесообразно начинать решение системы (36) с нахождения чисто мнимых_ корней. Тем самым выделяются ветви годографа,'Требующие дальнейшего исследования для идентификации областей устойчивости. В

(36)

о

результате находятся значения Мг и V^ , определяющие границу устойчивости, которые далее будем называть граничными.

Изучение зависимостей значений Нг от параметров канавок показало, что наилучшие с точки зрения статических характеристик величины . параметров, в частности, найденные в результате оптимизации в п.2.4, оказываются чуть ли не наихудщими с точки зрения устойчивости. Однако, расчеты, проведенные для типичных эксплуатационных условий, в которых работает данная опора, показали,что она .обладает достаточным запасом устойчивости (значения в несколько раз превышают реальную массу ротора).

Результаты по устойчивости относительно радиальных возмущений при £„ = 0 сравнивались с данными Кктшга и Пана, приведениями :ши для Л= 77,3. При одинаковых параметрах опоры и одинаковых масштабных множителях для безразмерных величин наши расчеты дают \ = 2,48, 0,94, расчеты Китинга и Пэна - соответственно 2,65 и 0,82.

В п.4.3 проводится численное решение уравнения движения ротора (31) для случая воздействия постоянна нагрузки.ограниченной длительности. Определялись значения перегрузок и длительности их действия, при которых максимальное смещение ротора из центрального положения не превышало величины половины среднего зазора. Отметим, чте если воздействие достаточно продолжительно, то устанавливается новое положение статического равновесия.- При этом значения статического смещения и нагрузки для малых смещений хорошо согласуются с решением стационарной нелинейной задачи. После снятия нагрузки происходит возврат к первоначальному положению равновесия. Частота возникающих при этом свободных колебаний для расчетных параметров опоры оказалась равной окол№ 1800 Гц. Экспериментальные значения частоты лежат в диапазоне 1800-2500 Гц (НИИ АП).

В пятой главе рассматривается плоский упорный подшипник со спи-дальными канавками с открытым центром и газодинамическое уплотнение.

В п.5Л исследуется устойчивость по отношению к осевым возмущениям, при которых поверхности, образующие смазочный слой,, остаются параллельными друг другу. С качественной точки зрения полученные здесь результаты оказываются такими же как для полусферических подшипников, исследованных в гл.4.

В п.5.2 рассматривается вопрос об устойчивости по отношению к угловым возмущениям, то есть воздействиям, вызывающим перекос смазывае-

мых поверхностей. Если взвешенная деталь вращается, возникающий гироскопический эффект способствует стабилизации подшипника, благодаря чему при малых числах сжимаемости возникает зона безусловной устойчивости. Если взвешенная деталь не вращается, то при любых имеет место условная устойчивость.

В п.5.3 приводится методика расчета сухого газового уплотнения. Такие уплотнения находят в последнее время широкое применение. Расчет статического равновесного состояния проводится на основе численного интегрирования уравнения Рейнольдса методом конечных разностей. Исследование устойчивости положения равновесия осуществляется с использованием теории узких канавок по алгоритмам и программам, разработанным в п.5.1, 5.2.

В шестой главе рассматриваются нестационарные задачи газовой смазки с наддувом.

В п.6.1 для произвольной опоры с наддувом ставится основная задача и строится сопряженная к ней в связи с функционалом, определяющим несущую способность. Устройства наддува моделируются точечными источниками или линией наддува.

Примем в качестве равновесного положение статического равновесия подшипника. В этом случае для метода линий наддува сопряженная функция 17 удовлетворяет тому же уравнению (25) и граничным условиям, что и для сшоподдерживающих%одшипников. Кроме того добавляются условия на линии наддува

т**<>, (37)

а начальное условие принимает вид

(У>о,лелча) им (УзО.У*ел.) | ' о , ^>0,х&Г()

где - линии наддува. Равенство нулю начального значения V на линиях наддува при использовании устройств наддува с карманами \ ( V > 0) связано с тем, что вследствие больших размеров карманов':.по сравнению с местной толщиной смазочного слоя их влияние на процессы, в слое вапаздывает.

Выражения для возмущения реакции подшипника (26) и величины

2>М (27) сохраняются, а СгШ получает добавочное слагаемое, связанное с наддувом

Л Ц) Г;

причем суммирование проводится по всем линиям наддува.

В п.6.2 разработанный подход иллюстрируется на примере цилиндрического подшипника с двумя рядами устройств наддува, заменяемыми линиями наддува. При составлении конечно-разностной схемы для решения сопряженной задачи особое внимание уделялось аппроксимации условий (37). Обычно условия на линии наддува аппроксимируют, заменяя.входящие в них производные по пространственным переменным трехточечными ' -односторонними разностными отношениями второго порядка. Недостатком такой аппроксимации Является нарушение свойства консервативности разностной схемы. В работе предлагается аппроксимировать эти условия на основе интегрального соотношения, вытекающего из дифференциального уравнения с учетом условий (37), Свойство консервативности при этом сохраняется.

Исследование устойчивости такого подшипника проводилось многими авторами, поэтому данная задача может рассматриваться как тестовая, для- проверки новых методов. Было выполнено сравнение с результатами, полученными методом динамических коэффициентов (Зубарев, Малаховский) спектральным методом (Грудская и Карпов, Сипеннов), с экспериментальными данными (Каннингэм, Флеминг, Андерсен). Расхождение с теоретическими результатами, как правило, не превышало нескольких процентов, с экспериментальными - до 20%.

Кроме устойчивости здесь жз рассматривалась задача о вынуященных колебаниях вала, вызванных колебаниями корпуса подшипника в направлении, перпендикулярном оси вала. Тщательное построение частотных характеристик особенно вблизи резонансных пиков требует многократного изменения частоты возбуждения. Как уже отмечалось, при использовании традиционных методов для каждой новой частоты требуется решать уравнение

,для давлений. В методе сопряженных уравнений необходимо лишь "один раз решить уравнение для нахождения сопряженной функции. В итоге затраты времени счета на получение частотных характеристик при использовании сопряженных уравнений могут уменьшиться более чьм на порядок.

В п.6.3.метод сопряженных уравнений применяется к менее изученной задаче об устойчивости вала, опирающегося да один ил"и два подшип-

ника с наддувом по отношению к угловым возмущениям. Под последними понимаются возмущения, приводящие к движениям вала, при которых его продольная ось образует угол с осью подшипников, а центр масс остается неподвижным. Рассмотрены как гаэо статические подшипники ( Л = О, вал не вращается), так и гибридные ( Л £ 0>. Определяется влияние параметров наддува на положение границ устойчивости. Для однородного . симметричного вала изучается сравнительное расположение областей устойчивости относительно радиальных и угловых возмущений в пространстве параметров изучаемого опорного узла.

Седьмая глава посвящена нелинейным явлениям, проявляющимся в окрестности границы потери устойчивости. Как показывают экспериментальные данные, после потери устойчивости подшипники на газовой смазке могут переходить в режим автоколебаний и работать без касижия смазываемых поверхностей. С точки зрения безопасной эксплуатации подшипников такой переход представляет повышенный интерес. Мевду тем этот вопрос изучен слабо, так как эксперименты вблизи границы устойчивости сопряжены с риском аварии, а теоретический анализ связан с необходимостью решения полной нелинейной системы уравнений газовой смазки. Метод сопряженных уравнений, примененный к нелинейному уравнению Рейно-льдса, позволяет и здесь отделить уравнения движения и существенным образом упростить анализ проблемы.

В п.7.1 показано, что в окрестности границы области устойчивости наряду со стационарным решением однородной нелинейной системы уравнений газовой смазки, соответствующим статическому положению равновесия, появляется периодическое решение.

Запишем уравнение для возмущений давления, сохранив в правой части все нелинейные слагаемые

+ Л = (38)

ы

Уравнение движения возьмем в виде

(39)

л

Применяя метод сопряженных уравнений, получим для сопряженной функции ту же'самую задачу (25), что и ранее, а установившаяся реакция смазочного слоя запишется в виде

¿ГЙМ*/ ¡иас/лМ, (40)

О Л

где % - правая часть уравнения (38).

Будем полагать выполненными следующия условия: а) уравнение

имеет простую пару комплексно-сопряженных корней А= ( V ^ 0),

а вещественные части всох других корней отрицательны; б)

. -

' Условие а) выполняется при (в этом случае ),

то есть когда подшипник находится на границе устойчивости. При этом во всех рассмотренный выше задачах выполнялось и условие б).

При однородное уравнение (34) имеет установившееся пери-

одическое решение с частотой и амплитудой 0($) , где £ -

величина малая по сравнению со средней толщиной смазочного слоя. Когда М^Мц подшипник может потерять устойчивость и равновесное состояние нарушится. Можно ожидать, что при малых отклонениях М от Мь возникнет движение с частотой, близкой к , амплитуда и фаза которого будут модулироваться нелинейностями высшего порядка. Для описания результирующего движения введем две временные переменные: обычную t -быстрое время и дополнительную - медленное время. Так как

период решения по быстрому времени может медленно меняться, вместо t введем модифицированную переменную , где ,

по которой период фиксирован. Параметр М представим в виде разложения М = Мг + + . Приращения давления и вектора смещения, зависящие теперь от двух времен, также запишем в виде разложений

= ......

Проведя затем необходимые модификации операций дифференцирования по времени в уравнении (38) и уравнении движения, использующим формулу (40) для 5¿7 , получим уравнения для первого, второго и последующих приближений. . -

Для уравнения движения в первом приближении имеем

О

Будем искать решение этого уравнения в виде

Г В) 7

в,(^е) = а(е)Яе[2,е ' ], 6)^*^(9), <41)

где компоненты вектора г, являются нетривиальным решением однородной системы линейных алгебраических уравнений с определителем, равным нулю в силу условия а). Уравнение для р, совпадает с' уравнением (17) для Яр (лишь производную по t следует заменить на-производную по 5 ). Подставляя в правую часть решение <41), можно заключить, что р1 будет иметь вед

р, (&м = а(9)Яе[ё1(х)'1,еП$'е1]

Уравнение движения во втором приближении, являясь неоднородным, содержит в правой части первую гармонику с частотой .Из условия разрешимости (35) при выполнении условий а) и б) вытекают равенства М,= 0, р, = 0.

Аналогичным образом из условия раэрешииости уравнения движения в третьем приближении получаются соотношения

из которых находятся медленные функции й(в) и 'Р(б) . Здесь $> и У - некоторые числа, определяемые в процессе вывода уравнений (42). Постоянные Мг и ^ находятся из условий нормировки, накладываемых на установившееся решение системы (42). Кроме того, справедливо равенство

' В итоге получаем асимптотическое представление

описывающее осцилляции по быстрому времени, амплитуда и фаза которых медленно меняются.

Уравнения (42) имеют два установившихся решения д. = 0 ц а = = I, из которых первое соответствует положению статического равновесия, а второе - режиму автоколебаний. Устойчивость этих решений зависит от знака величины . При р - 0 (или Мг = 0) происходит бифуркация состояния равновесия. Амплитуда автоколебаний и их период удовлетворяют соотношениям

и^ОЦМ-М^),

^ 2Я-Т = — + 'а м

характерным для бифуркации рождения цикла.

На рис.2 при углевни /?е

>0

выполнявшемся, как правило, во всех рассмотренных внес задачах," попааои качественный вид бифуркационной диагрянмн. Она демоцстирует поведение амплитуд возможных установившихся режимов в окрестности точку, бифуркации . Сплошной линией нанесены устойчивые решения, пунктирной - неустойчивые. При возникновении устойчивых автоколебаний происходит мягкая потеря устойчивости равновесного положения, в противном случае - жесткая. Соответственно этому множество точек границы области устойчивости разделяется на безопасные и-опасние участки.

\

ч

\ /

\ с <_

о

Рнс.,2

М-Р),

0.8 I- -

О*

3/! г!

( / V N \ /

\ N ----ч у

// V ,

г

-0,4 О 0,Н н-нг

Рнс.З. 1-АЧ, 2-9, $-15,4-75

В п.7.2 описанные качественные, результаты конкретизируются для опоры ротора гироскопа (рис.1). За равновесное принималось соосное положение ротора н статора. С помецьк. численного решения системы, состоящей из нелинейного уупЕненкч для давления (4) и нелинейных уравнений движения ротора ¡3) разыскивались, значения параметра М , при которых ось ротора, сбредаясь вокруг ^си статору с постоянной часто-

той, описывает круговой цилиндр радиуса £„ . Такие решения нашись только вблизи границы устойчивости опоры. Соответствующие бифуркационные диаграммы показаны на рис.3. Пунктиром, как и ранее, нанесены неустойчивые решения. Вид кривых в окрестности точки бифуркации качественно согласуется с приведенным на рис.2.

На основе анализа бифуркационных диаграмм при различных значениях числа сжимаемости Л было проведено разбиение границы области устойчивости тространстве параметров И , А , полученной в гл.4 в результате ■гнейного анализа, на опасные и безопасные участки. Опасным оказался интервал значений Л в пределах 10 й А 6 25.

Отметим, что найденные при решении нелинейной задачи величины Нг и , определяющие границу области устойчивости при заданном Л , согласуются со значениями, вычисленными по линейной теории.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Основные результаты, полученные в диссертации, сводятся к следующему.

1. Разработана методология решения задач газовой смазки, основанная на использовании сопряженных уравнений.

2. В рамках метода возмущений построены сопряженные задачи для основных проблем газовой смазки. Выведены формулы для возмущений реакции смазочного слоя с использованием сопряженных функций. Изучены свойства сопряженных функций, возникающих в задачах газовой'Смазки.

3. Рассмотрен вопрос о чувствительности интегральных характеристик подшипников к изменению их параметров. Разработаны алгоритмы анализа чувствительности на основе сопряженных уравнений, позволяющие провести этот анализ более точно и экономично по сравнению с существующими методами.

4. С привлечением формул анализа чувствительности получено решение важной для практики приборостроения задачи об оптимизации опоры, -состоящей из двух полусферических подшипников со спиральными канавками, при дополнительных условиях равножесткости и нулевого угла положения. .

5. Использование сопряженных уравнений в математическом модели- . ровании нестационарных процессов газовой смазки позволило получить уравнения движения подвижных элементов опорного узла в окрестности равновесного положения, ресаемые независимо от уравнений, описывающих

смазочный слой.

6. На основе предложенного подхода разработаны экономичные алгоритмы численного моделирования основных нестационарных задач газовой смазки.

7. Разработанные алгоритмы применены к решению ряда задач динамики для используемых на практике самоподдерживающихся подшипников и уплотнений со спиральными канавками.

8. Изучены особенности, возникающие при применении метода сопряженных уравнений к задачам газовой смазки с наддувом.

9. Рассмотрен ряд задач динамики вала, опирающегося на один или два цилиндрических подшипника с наддувом.

. 10. Решение'конкретных задач подтвердило'эффективность разработанных алгоритмов. Сравнение с некоторыми известными решениями обнаружило хорошее совпадение результатов. Кроме того были получены новые данные по статическим и динамическим характеристикам рассмотренных конструкций опорных узлов.

II. В рамках высших приближений метода возмущений с использованием сопряженных уравнений рассмотрен вопрос о математическом моделировании нелинейных нестационарных процессов, происходящих в подшипниках при переходе через границу области,устойчивости. Показано, что здесь имеет место бифуркация рождения цикла. На конкретном примере продемонстрировано разбиение границы области устойчивости^а опасные и безопасные участки.

Основное содержание диссертации отражено в следующих публикациях

1. Григорьев B.C., Заблоцкий Н.Д., Измайлов Г.К. и др. Вл^ние газовых опор на точность измерительных приборов// Вестник машиностроения. - 1979. - № 4. - С.44 - 47.

2. Григорьев B.C. Один метод нахождения динамических-коэффициентов подшипников на газовой смазке// Известия АН СССР, сер. MKT. -<2980. - 1? 3. - С.184.

3. Болдырев Ю.Я., Григорьев B.C. Численное решение уравнения. Рейнольдса газовой смазки с помощью метода конечных элементов// Машиноведение. - 1982. - * 5. - С.78-84. ■ -

4. Болдырев Ю.Я., Григорьев Б.С., Прокулевич Л.А. Применение метода конечных элементов при исследовании характеристик у.рофилирован-ных газовых опор// Трение и смазка в машинах: Тезисы докладов Всесоюзной конференции." - Челябинск, 1983. --С.135-136.

5. Григорьев B.C., Измайлов Г.К. Профилированные опоры на газовой смазке// Гвдроаэродинамика: Сб.научн.тр./ ЛПИ им. М.И.Калинина. -Л., 1983. - С.77-82.■

6. Болдырев Ю.Я., Григорьев B.C., Смирнов В.И. Оптимизация сферической газовой опори со спиральными микроклнавкоми// Вопросы проектирования и отработки гироскопических комплексов: Научи.-техн. комф. (Ленинград, 1907): Тез.докл. - Л.: НТО Приборпром, 1987.

7. Болдырев Ю.Я., Григорьев B.C., Смирнов В.И. Оптимизация аэродинамических характеристик сферической газодинамической опоры// Ракетно-космическая техника. Научи.-техн. сб. - 19Ш. - Сер.10, вып.4. -С.76-81.

8. Григорьев Б.С.., Прокулевич Л.Л., Смирнов В.И. Исследование газодинамической опоры с виброусгойчнвой формой несущего микропрофи-дя// Всесоюзная научн.-техн. конф. "Системы и комплексы автоматического управления" (Москва, 1У88): Тез. докл. - М., 1980.

9. Болдырев D.Я., Григорьев B.C. Оптимизация сферических опор со спиральными канавками по различтш критериям качества// Газовая смазка в машинах и приборах: Всесоюзная научн.-коорд. совещание (Ростов-на-Дону - Новороссийск, 1989): Тез. докл. - М.: 1989. - С.33. •

10. Григорьев B.C. Применение метода сопряженных уравнений к решению задач динамики опор на газовой смазке// Там же.-С.Зб.

11. Григорьев Б.С., Прокулевич Л.А., Смирнов В.И. Исследование газодинамической опоры с виброустойчишм микропрофилем// Ракетно-космическая техника. Научно-техн.сб. - 1У8У. - Сер.5, внп.1.

12. Григорьев B.C., Измайлов Г.К., Коваленко А.Я. и др. Влияние технологических погрешностей на характеристики сферической газовой

• опоры со спиральными канавками// ЛПИ им.М.И.Калинина. - Л., 198У. -II с. - Деп. во В1ШТЭМР 28.04.69, if 130.

13. Болдырев Ю.Я., Григорьев B.C., Измайлов Г.К. Некоторые подходы к оптимизации опор на газовой смазке// Оптимизация эксплуатационных свойств опор скольжения: Гасшир. тезисы докл. семинара-школы "Триболог-бМ" с международным участием (Ростов, 1990). - Ярославль, 1990. - С.23-27.

14. Григорьев Б.С. Применение метода сопряженных уравнений к нестационарным задачей газовой смазки// Сопряженные уравнения в задачах математической физики/ Отдел внч.метем. АН СССР. - М., 19W. - С,47-63.

Ib. Григорьев Б.С. Численные методы в задачах газовой смазки -проблемы и перспективы//Региональнял научи.-техн. конф. "Прогрессивт ныо материалы, технологии И конструкции б машино- и приборостроении": Тез. докл. - Калуга, 1У90. - С. 6-7.

IG. Григорьев B.C. Метод сопряженных функций для стационарного уравнения Рейнольдса//Исследования по прикладной математике/ ЛГ1И им. М.И.Калинина. - Л., 1990. - С. 13-19. _ Деп. в ВШИТК 16.05.90, № 26bbJ390.

17. Григорьев B.C. Влияние погрешностей геометрии смазочного слоя на характеристики газодинамических опор//Падежность роторных систем с опорами на газовой смазке: Всео. школа-семинар (Новороссийск, 1990):'Тез. докл. - ¡¡.: 1990. -C.'2V. ' '

18. Григорьев B.C., Измайлов Г.К. Поведение сферических опор со спиральными канавкамй под воздействием ударных нагрузок/Дам же. -С. 28.

19. Борисов'Ю.В., Григорьев B.C., Коваленко А,Я. и др. Влияние эффекта проскальзывания первого пордцка на работоспособность сферических газовых подшипников со спиральными канавками//Смазка и трение в ; судовых машинах: Сб. научн. тр. - Николаев: ШИ, 1991. - С. 32-39.

20. Григорьев B.C., Лучина С.А. Устойчивость и вынужденные колебания упорных подшипников и уплотнений со спиральными канавками// Проектирование и технология изготовления газовых опор экологически чистых машин: Всес. школа-семинар (Ростов-на-Дону, 1991): "Тез. докл. -М., 1991. - С. 24.

21. Григорьев B.C., Измайлов Г.К., Прокулевич Л.А. Поведение газодинамических спор на границе устойчивости// Там же. - С. 22.

22. Волдырев Ю.Я., Григорьев B.C., Печенкин А.11. Динсмичеекие коэффициенты сферической газовой опоры со спиральными канавками// Прикладная математика: Сб. научн. тр. СПбГ'ХУ. - СПб., 1992. - С. 25-34.

. 23. Григорьев B.C., Измайлов Г.К. Устойчивость сферической газодинамической опоры со спиральными канавками//Проблемы машиностроения и надежности машин. - 1993. № 3. - С. 39-47. ■

24. Григорьев B.C. Устойчивость торцевых подшипников и уплотнений со спиральными канавками, работающих на газовой смазке/Арение и износ. - 1994. - Т. 15, № I. - С. 93-99.

25. Григорьев B.C. Применение метода сопряженных уравнений к задачам динамики подшипников на газовой смазке с наддувом/Д1роблкмы машиностроения и надёжности машин. - 1994. - № 4. - С. 29-37.

26. Болдырев Ю.Я., Григорьев Б.С., Лучин ГЛ. О расчесе сухих гаадвых тордевых уплотнений со спиральными канавками валов турбоком-прессорных машин// Компрессорная техника и пневматика. - 1994, вып. 4-5. - С. 59-62.

27. Григорьев Б.С. Устойчивость цилиндрических газовых подшипников и наддувом по отношения к угловым возиущвпиви// Проблемы машиностроения и надежности машин. - 1994. - 5. - С. 34-40.