автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Метод последовательных приближений в задачах анализа и оптимизации надежности

Академия наук Украинской ССР Ордена Ленина Институт кибернетики имени В. М. Глушкова

На правах рукописи

НАКОНЕЧНЫЙ Александр Николаевич

УДК 519.248

МЕТОД ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ В ЗАДАЧАХ АНАЛИЗА И ОПТИМИЗАЦИИ НАДЕЖНОСТИ

05.13.16—применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Киев 1990

Л-«? . ' /' л

•/ '" / У /

Работа выполнена в ордена Ленина Институте кибернетики имени В. М. Глушкова АН УССР.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических

наук, профессор, академик АН УССР ЕРМОЛЬЕВ Ю. М„

доктор физико-математических наук, профессор КАШТАНОВ В. А.,

доктор физико-математических наук, профессор, академик АН УССР КОРОЛЮК в. с.

Ведущая организация: Институт проблем кибернетики

АН СССР.

Защита состоится «-» К^РрЬ 19^£>г в ^^

часов на заседании специализированного совета Д016.45.01 при Институте кибернетики имени В. М. Глушкова АН УССР по адресу:

252207 Киев 207, проспект Академика Глушкова, 20.

С диссертацией можно ознакомиться в научно-техническом архиве института.

Автореферат разослан < ^ » -- 19^ г.

Ученый секретарь специализированного совета

АНДОН Ф. И.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Важнейшим качеством любой сложной системы является ее надежность, • т.е. способность безотказно выполнять в течение требу «юга времени возложенные на нее функции. Один из создателей отечественной кибернетики академик А.И.Берг назвал надежность "проблемой номер один современной техники". Этот тезис не утратил своего значения и в наше время. Как и прежде, многие научные коллективы заняты разработкой математических моделей для описания процессов в реальных системах и методов анализа и оптиытащш их надежности. В Советском Союзе большой вклад в теорию и практику надежности внесли научные школы Москвы, Ленинграда, Киева, Минска, Риги и других городов.

Надежность - проблема комплексная. Ее теоретическое решение связано в первую очередь с проникновением в глубину физ;.ко-химичееких процессов износа материалов, усталостного разрушения и других подобных явлений, приводящих к отказам элементов сложных систем. Определенную роль здесь играют также и математические методы анализа и оптимизации надежности сложных систем в рамках тех или иных принятых моделей их функционирования.

Усилиями многих исследователей Си советская школа надежности сыграла здесь важную роль) разработана теория расчета характеристик надежности систем, основанная на общих и специальных методах теории случайных процессов. Большие успехи достигнуты как в выводе точных формул (когда это возможно), так и в разработке приближенных методов. Упомянем в этой связи работы 6. В. Гнеденко. Ю.К.Беляева. А.Д.Соловьева, И. Н. Коваленко, В. С. Королюка, А. Ф. Турбина, В. В. Калашникова, В.В.Анисимова, Д. С.Сильвестрова и многих других. Экстремальные значения характеристик надежности при неполной информации (минимаксный подход) изучались в работах Е. О. Барзиловича, В.А.Каштанова, И.Н.Коваленко, Л. С. Стойковой.

В последние годи выявился ряд новых С преимущественно оптимизационных) задач надежности,к которым, к сожалению, развитые методы анализа оказываются неприменимыми. Л именно, в диссертации сводится понятие экстремальной задачи с редкими событиями, обобщающее многие встречающиеся на практике "частные" задачи тэкзго рода. Ланное памп в первой главе определение продотавляе? собой иелюе иостргччшг. ьи-полненное при пемоыи таких 'простейших тнтай)' "зк малы!; наргр.

возмущение, бесконечно малая при' £->0 функция, вероятностное пространство и задача математического программирования; рассмотрены наиболее интересные Сиз ныне известных) классы таких задач; введено понятие сингулярной зависимости ее решения от малого параметра.

Решение указанных выше задач сводится к отысканию неподвижных точек (вообще говоря нелинейных) сингулярно возмущенных отображений в функциональных пространствах; причем информация об отоораже-нии содержится лишь в последовательности наблюдений результатов некоторого вероятностного эксперимента. Но в таком случае чисто детерминированные способы отыскания неподвижных точек невозможны; при-сближения случайны. Простейшим примером случайных приближений служит закон больших чисел и основанный на нем метод Монте-Карло, позволявший находить неподвижные точки линейных отображений.

Для отыскания неподвижных точек нелинейных отображений широкое распространение получили методы стохастической аппроксимации, рекуррентного оценивания, стохастического программирования. В частности, в Институте кибернетики им.В. М.Глушкова АН УССР Ю. М. Ермольевым и его учениками развит стохастический квазиградиентный метод отыскания неподвижных точек нелинейных отображений, который может быть использован для решения рассматриваемых задач. Но этот метод практически не применялся для решения задач с вырождающимися (при £-»0) неподвижными точками. Поэтому, естественно, возникают вопросы: каковы условия аффективного применения указанного выше метода к решению сингулярных экстремальных задач с редкими событиями и каковы механизмы построения вычислительного процесса, обеспечивающие выполнение таких условий. В рамках имеющейся теории сходимости ответов на них нет,

Явление сингулярности в математических моделях анализа высоконадежных систем известно достаточно давно; оно изучалось в рамках чисто аналитического подхода теории фазового укрупнения сложных систем в трудах B.C.Королюка, А.Ф.Турбина и их учеников. Для преодоления затруднений, связанных с сингулярностью имитационных статистических моделей анализа высоконадежных систем, И. Н. Коваленко и его учениками развит аналитико-статистический метод. Полученные здесь результаты фактически содержат механизмы обеспечения эффективного отыскания неподвижных точек линейных конечномерных сингулярно возмущенных отображений. '

Таким образом, зктуальндсть_преалагаемдго_5иссертац,и^ ДОйЭДИЯ обусловлена появившимся в последнее время рядом новых прик-

ладных задач, к которым традиционные методы анализа надежности ок>. гэалнсь непригодными.

Ц§льв_преалагаемдгд_2иссерта послужила зада-

ча распространения методов оценки неподвижных точек сингулярно возмущенных отображений в .область нелинейных отображений в функциональных пространствах. Полученные в этом направлении результаты стали, по существу, основанием единого подхода к решению задач анализа и оптимизации надежности, казавшихся еще недавно Сс методической точки зрения) совершенно различными.

ОснЭ10М§_ЕёЗУЯЬтатн_щссеБтациднногд_исс состоят в том,

что:

- введено я исследовано понятие экстремальной задачи с редкими событиями и ее сингулярности; показано, что задачи анализа и оптимизации надежности сводятся к отыскании неподвижных точек нелинейных сингулярно возмущенных отображений в функциональных пространствах, причем задачам анализа соответствуют линейные отображения;

- описаны классы неотрицательных Спочти монотонно в среднем) сходящихся к нулв случайных последовательностей; доказаны новые теоремы о сходимости случайных приближений квазиградиентного типа в банаховом и гильбертовом пространстве; выяснены дополнительные условия их сходимости и равномерной сходимости при решении сингулярно возмущенных экстремальных задач с редкими событиями;

- предложен метод аддитивных функционалов для конструктивного определения стохастических квазиградиеитов в последовательности приближений при решении различных "частных" экстремальных задач с редкими событиями; данный метод использован для анализа и построения алгоритмов решения отдельных классов таких задач.

Все перечне ленные_результ^ они могут быть ква-

лифицированы как новде_певспективное_яапЕавление в области приложений теоретико-вероятностных и статистических методов в моделях анализа и оптимизации надежности сложных систем.

1'ёЧхЛЬтаты_аИсс§ЙХаЦЙ5ЙН0Г0_Н552§а91 ПРИ Раз~

работке математических моделей анализа и оптимизации надежности су— довых электроэнергетических систем, фазированных антенных решеток, атомных электростанций, комплектов ЗИП, сценках деятельности опера-торос АСУ и др. Отдельные алгоритмы и реализующие их программы внедрены в ряде научно-исследовательских и проектных организаций.

Результата .»иссертзвдн докладывались на международных, всессгоиыу

и республиканских конференциях, семинарах. В_целом диссертационная, работа доложена на семинарах Института кибернетики имени В. М.Глуш-кова АИ УССР "Алгоритмизация анализа высоконадежных систем" Срук. И.Н.Коваленко} и "Математические методы исследования операций" (рук. Й. М.Ермольев); Института математики АН УССР "Теория вероятностей и математическая статистика" Срук. В. С. Королвк).

ДисеёЕХация^состоит из трех глав и списка литературы; ее объем -7 печатных листов. По теме диссертации опубликовано 20 статей и заметок, одна монография; получено авторское свидетельство об изобретении.

Считав своим долгом назвать здесь тех, кто оказал существенное влияние на мои научные взгляды и, тем самым, предопределил цель и содержание данного исследования. В первую очередь я благодарен своим университетским профессорам - академикам АН УССР Ю. М.Березанскому С три семестра функционального анализа), В.С.Королику С три семестра асимптотических методов теории случайных процессов, руководство курсовой и дипломной работами), А.В. Скороходу (три семестра теории вероятностей и математической статистики, два семестра теории случайных процессов). Я глубоко благодарен своему учителю - академику АН УССР И. Н. Коваленко за все, чему он меня научил и за те благоприятные условия, которые им созданы в отделе математических методов теории надежности сложных систем Института кибернетики для выполнения этой работы. Я также признателен академику АН УССР Ю.М.Ермольеву за неизменный интерес и поддержку настоящего исследования. Трудно переоценить ту помощь, которую на протяжении десяти лет мне оказывал доктор тькничоских наук Н.Ю.Кузнецов; я также благодарен старшим научным сотрудникам В. А. Арентову и В. Д. Шпаку.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Глава 1. Введение

1.1. Современная теория возмущений представляет собой разнообразные методы исследования во многих областях математики, физики и техники, основанные на возможности анализа изучаемой системы с помощью "ицеальнои" (невозмущенной) математической модели, описывающей ее т-ьуление при предельных ("идеальных") значениях задающих величия. Поведение системы при "реальных" (произвольных} точениях этих веян-

чин описывается возмущенной математической моделью. Формальным признаком теории возмущений является наличие малого параметра Спри обр цении параметра в нуль возмущенная модель переходит в идеальную).

Пусть (П,ГО - измеримое пространство с заданным на ном семейством вероятностных мер Р , £еЮ,ео). Событие ПоеН называется редким, если Р..СО ) - бесконечно малая фун"ция при £-«0, т.е. ПтР.СП )=0.

С О £ О

Таким образом, в "идеальной" вероятностной модели редкое событие -невозможное событие; в возмущенной модели оно же имеет положительную, но стремящуюся к нулю вместе с с вероятность.

Пусть теперь X - непустое подмножество п-мерного евклидова пространства Т: Х->К1, : Х^1, 1=Г7пъ - заданные функции. Обозначим

дСх)=Сд1 Сх),...,дпСх))т, т - знак транспонирования (т.е. конечномерные векторы считаются столбцами).

В качестве "идеальной" модели примем хорошо известную задачу математического программирования: лип(ГСх) | д(х)<0; хеХ).

Возмущенную модель определим так:

пйпа^Сх) ( д£Сх)<0; хеХ>, (1)

где деСх)=Сд£1Сх).....9£тСх:1:>Т' а

Г„Сх)=ГСх)+/ Г(х,м)с)РЧх,ы), £ П

О

д£1 (х) =д1 (х) +.Г д^Сх.оМР^Сх.ы), 1=171.

Предположим, что для любого сеЮ.е^] и хеХ Р^Сх,.) - вероятностная мера на СП, ¡0, а П , - редкие события; причем,

Г£(х,и), д£1Сх,ы), 1=ГГш, - И-измернмьте (при любом хеХ и £е!0,£о]) функции ы, они же почти наверное ограниченные функции х при ссех к>0 Впервые, по-видимому, задача вида (1) рассматривалась И.Н.Коваленко в 1975 г. в связи с оптимизацией управления сетями массового обслуживания при условии редкой потери требования. Данное выше определение введено и изучено нами в 1103.

Различают дба вида зависимости возмущенной модели от малого параметра: регулярную и сингулярную. Если изучаемая характеристика возмущенной модели стремится к аналогичной характеристика "идеальной",

то говорят о регулярной зависимости; в противном случае зависимость сингулярная. Обозначим через Г* минимальное значение функции в задаче С13, а Т* ~ аналогичное значение (Чх) в невозмущенной задаче. Задача С1) сингулярна С сингулярно возмущена), если значение

ПгаГ* вообще говоря не равно Г? Понятие сингулярности, в рассмат-£-»0 е

риваемом нами случае, служит абстрактным двойником такого интуитивного Сне имеющего четкой смысловой границы) понятия, как существенность Скепренебрегаемость) ущерба, связанного с наступлением редких событий 110], т.е. с практической точки зрения.интерес представляет именно сингулярные задачи С1).

Можно выделить два основных класса задач вида (1). Первый - задачи с простыми ограничениями; а именно: пйпС^Сх) | хеХ>, Здесь отсутствует ограничения вида д£С х)<0. Простота ограничений хеХ СХ - выпуклый компакт в К") понимается в том смысле, что оператор проектирования на множество X допускает элементарную численную реализацию (например, Х=<х«:^: а2х£Ь>, а, Ь - п-мерные векторы; сравнение векторов осуществляется покоординатно).

Более интересным с практической точки зрения является второй класс задач, имеющий широкие приложения в теории надежности:

папШх) | Р£(х,£11)5А1£ , 1=Г7т; хеХ>, С 2)

А1Л1>0. Это частный случай (1); целевая функция невозмущена, а ограничения легко приводятся к стандартному виду.

В разделе 1.1 обсуждаются некоторые результаты и примеры'I10], связанные с задачей (1); дано также конструктивное определение редкого события и экстремальной задачи с редкими событиями (на вероятностном пространстве, элементарными событиями которого служат всевозможные последовательности ы={<о >к® со значениями на отрезке (0,13), что служит важной предпосылкой численной реализации алгоритмов минимизации на ЭВМ.

1.2. Благодаря трудам Н. П. Бусленко, И.Н.Коваленко, В. В. Калашникова и их учеников метод имитационного статистического моделирования завоевал прочные позиции в практике надежности; он позволяет учитывать в математических моделях такие особенности функционирования сложных систем, которые недоступны строгому аналитическому анализу. Применительно к рассматриваемой в диссертации задаче это означает, что информация о возкук-киях содержится лшп> в последовательности

наблюдений результатов некоторого вероятностного эксперимента. Поэтому ясно, что С13 мокно рассматривать как особый класс задач сток стического программирования Спричем, достаточно гладких). В этой связи естественным является вывод о возможности использования стохастического квазиградиентного метода.

Остановимся очень кратко на формализме его использования, не касаясь пока вопроса об эффективности. Введем случайную последовательность (вообще говоря зависящую от с, что в обозначениях не отмечается) :

гк+' =л2(2к-5|с?к), СЗ)

где г1 - произвольное начальное приближение, 5^0 - случайные множители, ~ оператор проектирования на выпуклое замкнутое множество 2. Размерность Ъ и случайные векторы ?к определяются в контексте решае-емой задачи. 'Гак, для упоминавшегося выше класса задач с простыми ограничениями можно положить 2=Х и М(?к |8(;)=7Г£Схк)+/Зк при всех ее[0,ео1; здесь - а-алгебра, порожденная случайными векторами

г' ,.. . ,2к; /?к, к21 - 3^-измеримые случайные векторы, в каком-то смысле стремящиеся к нулю при кчга С иными словами, £к - асимптотически несмещенная оценка градиента целевой функции).

Для общей задачи С13 можно полокить 2=ХхК"' Сй"={ХеКт: х4>0

у1=Г7т» и КС?к|^)=С7х1£Сх1:,ик),-7цЬг;Схк,ик))+(Зк усеЮ.с^З.

Здесь (7и) - градиент по переменкой х (и); Ь£Сх,и) - функция Ла-гранжа задачи (1); 2=(х,и).

В каждом из рассмотренных случаев, по существу, с помощью случайной последовательности (3) должна быть найдена неподвижная точка некоторого отображения (определяемого необходимыми условиями экстремума), служащая (при определенных условиях) решением интересующей нас задачи. В первом случае это 7Г£: Х-»!?", а во втором - Ь ,-7ЦЬ£):

Если же (в силу разных причин) статистику градиента построить не удается, то мокно воспользоваться известными методами неградиентной минимизации (например, циклического покоординатного спуска). Для этого на некотором отрезке (в выбранном направлении спуска, накрывающем точку очередного полученного приближения) строим чебышевские приближения целевой функции или функции Лагранжа. Но при этом снова

возникает задача отыскания неподвижной точки линейного сингулярно возмущенного отображения в функциональном пространстве (порожденном полиномами Чебышева). Подобная же задача возникает и в случае анализа зависимости характеристик высоконадежных систем (например, вероятности безотказной работы или нестационарного коэффициента готовности 3 от времени, периодичности контроля, режимов использования и др.

Теперь мы остановимся подробно на тех трудностях принципиального характера, которые возникает при решении рассматриваемой в диссертации задачи. Действительно, пусть вероятность отказа системы равна с> >0. В результате имитации траектории функционирования системы определяется реализация случайной величины и=0, если в данной траектории отказ не наблюдался и, к=1 в противном случае. Оценкой вероятности отказа в результате к: независимых реализаций будет выборочное среднее.

Описанная модель сингулярна, но сингулярность здесь неявная, скрытая. Действительно, пронормируем случайную величину к: Т)=с~1 к (при этом погрешность перестает зависеть от абсолютного значения оцениваемой величины). В результате нормирования мы приходим к такой модели: с вероятностью с и т)=0 с вероятностью 1-е. Но в этом случае число реализаций, необходимое для достижения заданной точности оценки при определенной достоверности, стремится к бесконечности при ^-»0 (стремятся к бесконечности и все моменты и кроме первого).

Но при чем здесь сингулярность? Действительно, рассматривая распределение г? как возмущенную модель, находим ее характеристику (математическое ожидание), равную единице при всех с>0. Невозмущенная модель (при е-0): троо с вероятностью 0 и т]=0 с вероятностью 1 стохастически эквивалентна (т.е. практически неотличима в вероятностном эксперименте) модели: т}=0 с вероятностью 1. Но последняя (модель) имеет характеристику, равную нулю, т. е. мы наблюдаем то, что принято называть сингулярной зависимость» от малого параметра.

С другой стороны, в рассмотренном примере решается задача отыскания неподвижкой точки линейного отображения ГК1-*!?1, определяемого равенством Г(х)=х-Мт}. Это отображение сингулярно возмущено в том' смысле, что его неподвижная точка (как функция г) терпит разрыв при £->0. Что же здесь является источником сингулярности"'' Источником яб-г-отся наличие маяокероятпих Ео&мущекий аоследстагьи.носто пабявде-" неограниченно возрастающей интенсивностью. Та кг картина на-

создаётся II в общем случае отыскания неподвижных точек нелинейных отображений, определяющих решения сингулярной задачи (1).

Например, рассмотрим задачу пипСх"1 |Р(С£<х)<£; х>0>, где ( -случайная величина с функцией распределения 1-ехрС-ех), х£0. Так как частные производные функции Лагранжа Ь Сх,и)=х"1 +и(РС!; <х)-е), х,и>0 имеют различные порядки ¿?/<Эх1,£(х,и)=0(1) и дУди1£Сх,и}=0Сг),

• введем замену переменных й-си. Найдем I, (х,й)=х~' йх

хСР((£<х)-г:), х,й>0, причем д/Зх^С х, й) =0(1) и д/(ЭиЬ£(х,й)=Оа).

Единственная седловая точка функции 1,£(х,иЗ определяется равенством Сх*,й*)=С1+0Сг:), 1+ОСе]). Заметим, что до введения замены переменных седловая точка определялась равенством (х*,и*)=(1+0(г;) ,е~' + +0С1)), т.е. при выровдалась. рассматриваемая задача имеет при всех £>0 следующее решение: х*=1+0(с). 'Невозмущенная задача т1п<х"1 |х20> также_имеет очевидное решение: х =ш, т.е. модель сингулярна.

Для нахождения седловой точки (или, что то же самое, неподвижной точки отображения СЗ/дхЦ.Сх.иЗ.-З/ди!. (х,и)) используем последовательность СЗ): хк+'=тах(0, х^+а+кГ1 ?и**' =тах(0, ик+(1+кГ'х х?*}, где ?^=-Схк)"г+йк'ехр(-£;хк) - неслучайно и совпадает с З/дх^Сх" ,йк), а СЩ*<х*)-е); I - индикатор редкого события в

скобках и - независимые реализации случайной величины (т.е.

"Практическое" отсутствие сходимости введенной последовательности при с->0 объясняется наличием редких возмущений большой интенсивности, при этом все моменты (кроме первого) ■ стремятся к бесконечности: маф'^х*)=£?(£-*'), уеЕО,и.

Теперь определим иначе: ?*=хкехрС-а ехк)-1, где с^- независимые и равномерно распределенные в £0,1] случайные величины. По-прежнему М( ?к | хк)=д/ди1£Схк,йк), но уже М((?^)1+Г|хк)=0(1) при любом уе 6(0,1], т.е. моменты выше первого равномерно ограничены по £е[0,со].

Заметим также, что не вырождается при е*0: Пт?|с=х,с-1. При с-О

2 с*0 2

введенная последовательность приближений сходится к седловой точке

"предельной функции Лагранжа": НтЬ (х,й)=х"гш(х-1), х,й20.

Таким образом, вырождение неподвижной точки сингулярно возмущенного отображения отнюдь не предопределяет вырождения сходимости пос-

ледовательности случайных приближений. Все дело в выборе вектора направления движения Качественной характеристикой "удачного" выбора служит замена редких интенсивных возмущений эквивалентными им ограниченными и постоянно действующими возмущениями [ 10].

1.3. Этот раздел содержит изложение основных результатов диссертационного исследования.

Глава 2. Отыскание неподвижных точек.

2.1. Известно, что анализ сходимости разнообразных методов стохастической оптимизации сводится к доказательству сходимости неотрицательных случайных последовательностей к нуле. Пусть на вероятностном пространстве СО,N.РЗ заданы четыре случайные последовательности: Ук>0, ык>0, $к>0, ^>0, к>1. Причем , ^ -

-измеримы при всех к>1 (В^еИ - неубывающая последовательность с-алгебр), уо=0. Будем предполагать, что

М(ук+1 (Зу^-з^ ; С 4)

IV + )' Не!, '.со-, 1 к = 1 к

го

(IV + )• М, '.со-,

со

1\ ); 5. =ю)---1; с6)

к=1 к

если выполнено неравенство РСПлппГу>0)>0, то также справедливо

к-мя

и неравенство

РСИтлпГи >0>>0. (73

к-к» *

Справедливо следующее утверждение 1131.

Теорема 1 СО глобальной сходимости). Если выполнены условия (43- (7), то РСПшу =0)=1, к-»ю к

Условия С4)-С73 определяют'класс неотрицательных почти монотонно убывающих в среднем случайных последовательностой, сходящихся к ку-лп. Этот класс можно существенно расширить. А именно, пусть суаест-ву'т !!>0, такое, что

с1=2Г' (Му + £ Ш.Х1 1 к=1 к

С8)

и, если справедливо неравенство РШпипГу.>0 | шах V. <1Ш0, то

к+т к 1<к<со к

также выполнено и неравенство

РШпипГи. >0 I шах V, <КЭ>0. С9)

Ысо к 1<к<ш к

Справедливо следующее утверждение [131.

Теорема 2 СО локальной сходимости). Если выполнены условия С4),

С6), С8), (9), то РС шах у,Ш>1-б; РСПшу. =0 I шах у.Ш=1;

1<к<со к к-»со к 1<к<аз к

РШшу. =0)>1-± к-«о

Ограничения теореш 2 при любом фиксированном значении й описывают некий класс условно сходящихся к нулю случайных последовательностей. В частности, если выполнены условия теореш 1, то также справедливы и условия теоремы 2 при К=®, т. е. первое из этих утверждений является следствием второго.

Пусть выполнено С-1) и 5к>5к*', Ж^сЗк*2^; в, с!

- положительные постоянные, причем 50>1, а ¡'«С0,13; пусть также Му < <ю. При этих предположениях справедливо утверждение 1141, содержащее оценку скорости сходимости к нулю по вероятности (подобные оценки в 1976 году били получены Б.Т.Поляком).

Теорема 3. Выполняется неравенство Р(шаху^<5)>1-(5"< Ск"'

+оСк"1 , где С=2б[2+(50-1)-Ч, б>0„ ^

2.2. На основании теоремы 2 во второй главе диссертации получен ряд новых утверждений о сходимости стохастических квазиградиеитных алгоритмов в функциональных пространствах. При иных исходгчх предпосылках такие алгоритмы в сепарабельном гильбертовом пространстве изучали Ю. М. Каниовский, П. С.Кнопов, 3. В. Некрылова, Н.М.Новикова; в рефлексивном банаховом пространстве - Д.Б.Юдин, А.С.Немировский.

2.2.1. Пусть X - вещественное банахово пространство с нормой Ц. ¡¡, а X* - сопряженное с ним с нормой ||. ||? Будем называть отображение у. Хч[0,ю) отображением класса С'+Г(Х), если ||у'Сх)-у'(у)]|*<Щх-у||>', где ¿.>0, 0<}-<1, у'(х)еХ* - производная Фреше отображения V (его еще называют отображением с гельдеровой производной).

Теперь мы остановимся на условиях сходимости случайных приближений в терминах функций Ляпунова класса С1+^(Х). Пусть фиксировано

некоторое отображение V6C1+J/CXJ и соответствующий ему "шар" UR=ixeX:

vCxXR' +y>, R>0; причем sup ||v'Cx3 Ц*<СК*\ С>0.

xe°R

Определим обрывающуюся последовательность случайных элементов со значениями в UR:

xk+l=xk-s,ik, СЮ)

x'eliR - случайное начальное приближение; sk>0 - случайные * - случайные элементы в X; u=infik>l: xkeUE, xk-

-sfc?4UR>

Доопределим последовательность СЮ) при полагая и

£к=0. Пусть 8к - сг-алгебра, порожденная случайными элементами х',,..,хк; предположим, что - 8^-измеримы. Обозначим МС£к|Вк) =

-7к+/Эк; при к>и+1, очевидно, ?к=0 и /Зк=0. Элемент будем понимать как условное' ере"нее • "полезной составляющей" ?к; например, если решается уравнение ГСх)=0, хеХ, то может быть 7к=ГСхк), а ||(Зк|| в каком-либо смысле стремится к нулю.

Введем три случайные,последовательности: ук=у(хк), №к=<у'Скк) ,ук> (<Ь,х> - значение функционала ЬбХ* на элементе хбХ), с^^^х

. Лемма 9. Случайные величины у^., с! - 8к-измеримы и ук-1

Таким образом, в утверждении леммы 3 содержится проверка условия С4). Заметим также, что V , з^, с! - неотрицательны по определению. Предположим также, что и

ик=<у'Схк),7к>>0 ук>1. СИ)

Приведенное ниже утверждение [14], [151 является очевидным следствием леммы 9 и теоремы 2.

Теорема 4. Если выполнены условия С6), С8), (9), СИ), то

РСПгау(хк)=0)>1-с1. к-»со

Можно также доказать сходимость СЮ) и в произвольном множестве 2сХ, если икс2, РСх'еи ЗЮ и тюлнены те же условия. В этом случае

Р(11 шуС хк) =0) >( 1 -б) Р( X1 еис 3 > 0. кчоз К

Пусть (хк(1)>^\ 1^Ксо - независимый и стохастически эквивалентные СЮ) последовательности случайных элементов. 'Определим необры-вающуюся последовательность со значениями в ик:

2к= £ КтСШ^тП+Шх^'^'П), где тС0)=1; г( j+l)=тCj)+vCj) ,' j=0

^0; 1С.) - индикатор события в скобках. В качестве следствия, теоремы 4 получаем следующее утверждение [14], С151.

Теорема 3. Если выполнены условия (6), (8), С9), СИ), то

РС11ШУ(2к)=0)=1. к-юз

Можно также доказать сходимость (гк> и в произвольном множество 2сХ Сем. замечание к теореме 4),

Из теоремы 1 и леммы 9 следует еще одно утверждение о глобальной сходимости СЮ) [14], [15] (оно содержится в теореме 6. главы 2) при ик=Х и /З^гО.

Приведенные утверждения, очевидно, верны и в том случае, когда X - гильбертово пространство"; значение функционала Ь на элементе х: <Ь,х> - представляет собой скалярное произведение. Особый интерес представляет тот частный случай функции Ляпунова в гильбертовом пространстве, который мы сейчас рассмотрим. А именно, пусть у(х)=<х,х>= = ||х||? В этом случае уеСгСХ), так как у'(х)-2х; причем если иЕ=(хеХ: ||х||г<Кг>, то ||у'(х)р2Е при всех хе11Е.

Теперь ясен геометрический смысл условия (11): Ук~2<хк ,^>¿0. Действительно, вектор хк "указывает" на неподвижную точку (0?, а ук - основная (доминирующая) компонента условного среднего вектора направления движения Поэтому для "сближения" элементов последовательности (хк> с неподвижной точкой (0> угол между указанными векторами не должен превышать я/2, т.е. скалярное произведение должно быть неотрицательным. Ясен также и смысл условия (7) (или (9)); для тех реализаций (хк>, для которых ПгаапГЦх1с||г>0, также должно , ^ к*00 быть и ПттГ<х ,? >>0. Иначе не исключена была бы возможность для

к к

подпоследовательности пар векторов х и 7 в пределе образовывать угол л/г, что, очевидно, привело бы к потере сходимости.

2. 2.2. Теперь определим последовательность случайных элементов со значениями в выпуклом замкнутом (в сильной топологии, порождае-

мой нормой) ограниченном множестве 2 сепарабельного гильбертова пространства X:

zk+1 =nzCzk-sk?k); (12)

здесь z' eZ - случайное начальное приближение; sk-0, к2:1, - случайные

множители; (к, к£1,- случайные элементы в X; п^: X-+Z -.отображение,

значения которого на произвольном элементе хеХ определяется из ра-

ьэнства ||я7( х) -х ü2 =mi n ||z-x Ц2.

zeZ

Пусть Бк - cr-алгебра, порожденная случайными элементами z\...,z , и sfc - ^-измеримы. По-прежнему обозначаем KCfk |8 )=7k+ßk, понимая

7k>как "полезную" составляющую статистики ik. Приведем условия сходимости (12) к элементам непустого замкнутого выпуклого подмножества YcZ.(понимаемого, в частности, как множество неподвижных точек некоторого отображения).

Введем три случайные последовательности: v =min|izk-;, \\г; w =

k yeY *

-ЛуСгк),7к> C<.,.> - скалярное произведение); d =

=sfM(|Kk||a |S >t-2Cs ü^lj, где C=max max||z-y|J. Что касается значений

k к к zeZ yeY

V sk, dk, k21, то они неотрицательны по определению. Что же касается wk, то это не гак. Предположим, что

<zk-irYCzk),7k>>0 ук>1. (13)

Лемма 11. Случайные величины vfc, , d^ - -измеримы и ykäl

)5v, -s, w, +d, . k+i 1 к к к к к

Таким образом, здесь содержится проверка условия (4); следствием леммы 11 и теоремы 1 будет такое утверждение С143.

Теорема 7. Если выполнены условия С5)-(7) и С13), то

PC 1 Im min|!zk-y||a =03=1. k-»oo yeY

В теореме 8 главы 2 содержится аналогичное следствие [143 леммы 11 и теоремы 2 (утверждение о локальной сходимости (12)).

Из равенства lim min|jzk-y||2=0 eii'o не следует, что соответствую-k-»co yeY

щая реализация случайной последовательности (12) имеет хотя бы одну предельную точку в Y, т.е. она может и не иметь ни одной сходящейся

подпоследовательности. Однако если предположить, что Z - выпуклый компакт, то можно доказать единственность предельной точки [14].

Условие С13) заменим более жестким: при любом уеУ выполнено неравенство

iz^-y.V^O ук>1. С14)

Теорема 9. Если Z - выпуклый компакт в X и справедливы предположения С5)-С7) и С14), то произвольная реализация случайной последовательности (12) имеет в У единственную предельную точку почти наверное.

2.2.3. В этом разделе рассмотрена задача оценки неподвижной точки отображения ГСх)=х-Мг)(; Спо наблюдениям г/:) в пространствах Х= =1г(а,Ь;сг) функций х, для которых произведение xzor интегрируема на отрезке fa.b). Приведены примеры весовых пространств, порождаемых полиномами Чебышева. Также показано, как использовать известные методы ускоренного моделирования в сочетании с процессом приближений в весовых гильбертовых пространствах для определения зависимости характеристик надежности от времени; приведены оценки точности и правило остановки процесса приближений. Возможно использование такого рода приближений для анализа чувствительности тех или иных характеристик надежности относительно вариации (не временных) параметров системы.

2.3. Примеры раздела 1.2 указывают на то, что нарушение сходимости стохастических квазиградиентных методов при решении экстремальных задач с редкими событиями связано с неограниченностью моментов

выше первого при е-*0 или, что эквивалентно Сзто следует из теорем 4-9), с вырождением условий (5) и/или (7). При этом, как следует из анализа теоремы 2 (ранее то же самое замечено чисто эмпирически, на основании опыта вычислений [10, с.139]), последовательность приближений при е-Ю совершает колебания все большей амплитуды и с вероятностью стремящейся к 1 уходит из любой окрестности неподвижной точки. Из теоремы 3 следует также, что число итераций для достижения определенной точности при заданной достоверности результата стремится к бесконечности.

Такам -..¿разом, ¿¡споли.пьп.?.ограниченном, накладывавши при решении рассг/атряьааш:'. и диссертация задач, должно быть требование .раьнг.iM'.-piсгр.-чгач.пш.хгти шш-нтль и-пли равномерной сходимости

ряда С5) (при £€[0,£oJ).

Представляет также значительный интерес и те дополнительные условия, которые обеспечивают равномерную С по £etO,£oD сходимость почти всех реализаций последовательности приближений (равномерная сходимость в среднем и по вероятности изучалась нами в [6, 8, 10] и др.).

2.2.1. Пусть на вероятностном пространстве (0.N.P) задана последовательность случайных элементов Cz*)®^ со значениями в вещественном банаховом пространстве X,- причем эти элементы зависят от параметра ££[0,£ 3. Будем предполагать, что при любом eetO.c ] limHz^-y Н=

0 0 k-ив £ £

=0 почти наверное, где -у - Сбыть может случайный) элемент X.

Теперь введем условие [13], позволяющее также утверждать, что

PC lira max flz'i-y 1|=0)=1. Обозначим (МыеП: Hz* -г* |)<?|с -с | при кчео 0<£<£ £ £ ci г 1 2

о

всех k>v и любых с ,с еЕО.е ]}; здесь - независимая от с и' с

i г о ' 12

целочисленная случайная величина; £>0 - независимая от к, е и £г

случайная величина; причем v=u(to) и i=£Cu) ограничены пр.; всех иеП,

Лемма 13. Если при любом eetO.e ] lim||zk-y |j=0 почти наверное и Й

--0 lc-nn

- достоверное событие, то предельная функция у , cei0,£q], равномерно непрерывна с вероятностью 1; PC 11т шах ||z*-yJ|=0:>=l.

k-мо 0<с<£ £ s

о

Заметим, что смысл требования достоверности события Й состоит в том, что, начиная с некоторого конечного номера у, почти все реализации случайной последовательности Cz£) образуют равностепенно непрерывное семейство функций £е[0,£о1. В качестве следствия леммы 13 и теоремы 7 в главе 2 получено утверждение (теорема 10) о равномерной сходимости (12) к единственной неподвижной точке нелинейного отображения в сепарабельном гильбертовом пространстве (14].

В заключении главы 2 условия сходимости алгоритмов решения задачи (1), содержащиеся в теоремах И, 12 Сони получены в качестве следствия теоремы 7), сформулированы на языке выпуклого анализа (а именно, условия (73, (13) являются следствием свойства выпуклости целевой функции и ограничений задачи С13). Отличие от хорошо известных результатов; полученных Ю.М.Ермольевым, 3. В. Некрыловой еще в конце 60-х годов, состоит в дополнительной использовании (вообще говоря) случайных матриц масштабирования стохастического .квазиградиента [14]

(алгоритмы с масштабированием при иных исходных предпосылках изучались также Дж. Саридисом, Б. Т. Поляком, Я. 3. Ципкиным, С. П. Урясьевым, В. М. Горбачуком). Необходимость масштабирования обусловлена возможностью различных порядков частных производных функции Лагранжа задачи С1). Использование метода регуляризации позволяет ослабить требование сильной выпуклости целевой функции (13, заменив его выпуклостью.

Глава 3. Решение экстремальных задач с редкими событиями

Официальной датой рождения асимптотического метода (т.е. метода, использующего разложения в ряд по малому параметру или предельные теоремы в схеме серий) в анализе высоконадежных систем можно считать 1964 год, когда в сборнике "Кибернетику - на службу коммунизму" и журнале "Техническая кибернетика" был опубликован ряд основополага-вдих работ Б. В. Гнеденко, А.Д.Соловьева, И.Н.Коваленко. С конца 60- • начала 70-х активность в этой области поддерживается также работами В. С. Королюка, А. Ф.Турбина, В. В.Калашникова, В. В.Анисимова, Д.С.Силь-вестрова и их учеников.

С начала 60-х используется также метод имитационного моделирования (Монте-Карло). 0 его недостатке (медленной сходимости) при оценке характеристик высоконадежных систем мы уже говорили; но он имеет и существенное преимущество: позволяет учитывать в модели такие особенности функционирования сложных систем, которые недоступны строгому аналитическому анализу.

В 1967 году И.Н.Коваленко предложил идею сочетания преимуществ каждого из упомянутых подходов и устранения присущих им недостатков. Характеристики надежности были представлены в виде ряда по степеням малого параметра, а коэффициенты разложения оценивались методом Монте-Карло. Этот подход получил название анчлитико-статистического метода (его трактовка в дальнейшем существенно расширилась). С начала 80-х автор также принял участие в работах данного направления; в качестве основного полученного здесь результата можно назвать метод • аддитивных функционалов.

3.1. Его существо состоит в том, что при определенных условиях функция распределения момента первого наступления редкого события С определяемого пк поп-здание траектергк гчрковского пр.-гдг?сса в заданную ч'.'тлеть l-.j3i.Boro прготраиетгч >иксироваиноп ттгыс-шюн ий-

тервале) может быть представлена'в виде среднего от аддитивного однородного стохастического функционала.

Пусть {F.N.P > - необрыващийся однородный марковский процесс в измеримом топологическом фазовом пространстве (U,$); траектории процесса: u(t-), t£0 - будем предполагать непрерывными справа, а множество точек разрыва конечным в любом конечном интервале. Обозначим U =U\R (R - непустое собственное измеримое подмножество U); ( = =inf<t>0: u(OeR | ц(0)=и), ueU .

' о

. Пусть yse[0,h3, h>0, выполнено неравенство sup dP(s,u,R)/cjs<C <m

ueu '

0

(P(s,u,B)=PuCu(.): u(s)eB) - В-измеримая вероятность перехода марковского процесса). Обозначим Fu(x,B)=Pu((u<x, uC(u)eB | u(0)=u), ueUo, Be$R CBR - о--алгебра, порожденная множествами вида BnR, Ве£);

X (B)=lirrih"PCh,u,B). u h*0

Справедливы следующие утверждения : F„(x'B)sMA*C (Ю'

^ U

sup MCvWr CB)]z<2[sup F (x,В)]a ; U€U u X/<u ueU u

о о

хЧ

где ip » СВЗ= S u X CB)dt, алЬ=яип{а, Ь); эти утверждения пределы о и

тавляют собой формальное ядро метода аддитивных функционалов [2, 10]. Если достижение множества (ueUo: Xu(R)*0) траекториями процесса в рассматриваемом временном интервале само является редким событием, то оценка распределения F (х,В) строится рекуррентно.

В [4, 5, 7, 10} и, частично, til] этот метод был использован при решении различных "частных" экстремальных задач с редкими событиями С а именно, он применялся для построения реализаций fk стохастического квазиградиента).

Смысл первого из приведенных утверждений состоит в том, что редкие возмущения большой интенсивности Счто, как мы ужо установили, является источником нарушения сходимости) во многих случаях могут быть заменены эквивалентными им ограниченными постоянно действующими возмущениями; .второе утверждение' позволяет установить ограниченность второго момента при с-*0 (что, как мы уже говорили, является тем дополнительным требованием, которое предъявляется к алгоритмам

Ш

решения сингулярных экстремальных задач с редкими событиями).

В разделе 3.1 приведены примеры аддитивных функционалов С определяющих распределение момента наступления редкого события) для процессов восстановления с марковскими приращениями [11], неоднородных цепей Маркова о непрерывным временем, кусочно-линейных марковских процессов. Приведено сравнение численных результатов оценки распределения времени до поглощения одного полумарковского процесса и распределения момента отказа нагруженной дублированной системы (с произвольными законами, времени безотказной работы и восстановления ее элементов) с аналогичными результатами, полученными методами теории фазового укрупнения сложных систем и методами Монте-Карло Сос-нованными на иных принципах).

3.2. Основным результатом нашей статьи [71 послу «шо описание стохастических градиентов одного класса экстремальных задач с редкими событиями и простыми ограничениями в терминах аддитивных функционалов. В разделе 3.2 приведены два примера наиболее интересных целевых функций этого класса. А именно, в первом из них рассмотрено уравнение относительно переменной х50 [4]; РуСг;и<х)=£; установлена связь с решением соответствующей ему одномерной выпуклой гладкой экстремальной задачи с редкими событиями; приведен алгоритм решения. В качестве иллюстрации практического применения этого уравнения рассмотрена задача вывода рабочей ячейки канального уран-графитового ядерного реактора из эксплуатации [10] (ее функционирование описывается неоднородной по времени конечной цепью Маркова); приведен численный пример. Заметим,- что неоднородные по времени процессы вызывают большие затруднения у системных аналитиков, так как основные методы анализа надежности развиты все же для однородных. Возможность сведения неоднородного процесса к однородному расширением фазового пространства переводит проблему из плоскости методических в плоскость вычислительных затруднений. Что же касается метода аддитивных функционалов, то неоднородность процесса не служит препятствием для его эффективного применения.

В другом примере раздела 3.2 рассмотрена задача минимизации функции

Пи,х)=х"1 [а+м ГСх-С ЗсСиСг; )Ш( <хЛ С15)

Ц XI и ^ и

по переменно:: х£0. Здесь а>0, сСи), иёК - неотрицательная огрзни-

чекная функция; fix), х20, - непрерывно дифференцируема, причем f'(x)>f'Cy)>0 при х2у>0 и fСО)=0; uCt) - траектории описанного выше марковского процесса.

Если интерпретировать RcU как множество отказовых состояний, то -момент, а uC(u) - вид отказа системы, описываемой марковским процессом. Пусть х - априори заданное время функционирования системы, а - ее стоимость, f(x-(u)c(uCCu)) - потери в случае ее отказа до момента х. При этом функция fCu,x) определяет средние потери в еди-ьицу времени, а решение задачи CIS) Сзависящее, вообще, от и, что в обозначениях отмечаться не будет) определяет оптимальную длительность ее функционирования. Подобные функционалы при неполных исходных данных исследовали Е. Ю. Барэилович, В.А.Каштанов, Л. С. Стойкова.

Для всех ueUo, таких, что ХиСЮ*0 функция множеств wCu,B) = =\u(B)/Xu(R) является вероятностной мерой на BR CßR - о-алгебра, порожденная множествамичвида BnR, ВеЮ. Пусть wCu,B)=0 для тех х, для которых XuCR)=0. Таким образом, эта функция определена на Uq.

Введем случайнуп величину ( : если у - (R)=0, то (ц=0; в про° ^ ц

тивном случае ( имеет функцию распределения ^^^„дт

Е ^ U

S6t0,x/<u3. Для всех ueUo обозначим через уСи) случайный элемент в R, определяемый следующим образом. Если ue<usUQ: X.u(R)*0}, то y(u) имеет распределение w(u,B), в противном случае уСи) можно положить равным произвольному элементу множества R. Справедливы следующие утверждения (7), [103:

1) функция i'Cu,x) непрерывно дифференцируема no х в открытом интервале СО,га), причем f'Cu,xD=M ?Сх),

где £Сх)=х-2[у/х .. CR)Cxf'Cx-Cu)-fCx-Cu))cCy(uC!;u)))-a];

2) если выполнено неравенство

lim М сСуСиСС ШхГСх-С )-fCx-f >)Щ >х)>а, CIS)

хчао " 1 u

то функция fCu,x) строго унимодальна в [0,со) и имеет единственную точку минимума х^еСО.со);

к

3) если выполнено условие (16), то функция G Сх)=М it/'iCt)dt

строго выпукла в [0,<я) и имеет ту же точку минимума, что и fCu.x),

4) справедлива оценка

D ? (x)£2x~*(supc(y))s(f 4x))aCsup Р (Г <х))2 yS U€U * u

' a

С здесь Du? =Мц?а-С M^);"!);

5) функция f'i,u,5of удовлетворяет по х условию Липшица в любом ограниченном интервале.

В частности,.¿ectfff f(x)=x, то неравенство (16) можно существенно /простить: Мц(цс(и(^))>а; в случае с(у)=с условие строгой унимодальности имеет особенно простой вид 110): Mu(u>a/c, а стохастический

градиент определяется формулой ?(х)=х"г(с^ . СRJC -а).

В качестве численного примера минимизации функций вида CIS) в юнце раздела 3.2 рассмотрена задача оптимизации времени функциони ювания системы с защитой до замены [3, 103.

3.3. Здесь рассмотрена следующая задача С91. Имеется система таксированной структуры, состоящая из и элементов. Все элементы раз [елены на п групп однотипных в каждой С группе). Длительность беэот-;азной работы элемента i-й группы имеет экспоненциальное распредели [ие со средним х4: l-expC4/xt), tiO, 1=Г7п. Обозначим через Р(х) 1ероятность отказа системы в заданном временном интервале ГОД), при аданных значениях средних х=Сх(,..., хп>. Пусть также задана выпук-ая и непрерывно дифференцируемая функция fCx), определявшая, напри ер, затраты на изготовление системы со средними длительностями бег; тказноЯ работы элементов х4, 1=17п-

Теперь мы можем дать точную формулировку задачи синтеза оптималь ой системы при заданных ограничениях на ее надежность:

min(fCx) | с'1 Р(х)-1<0; хеХ); (17)

цесь X=(xeR": x^Sx^x ' у1=17п> - множества в R", определяющее

раницы возможного изменения средних , i=r,~ri; 0<я<1 - заданное ребование к надежности системы (задача (17) представляет собой зстный случай-(2) с одним вероятностным ограничением; пример за 1чи со многими подобными ограничениями приведен в И0, с. 1631). Таким образом, в рассматриваемой математической модели оп-гимн -

зации подлежат лишь средние времена безотказной работы элементов. На самом деле, реальные задачи синтеза бывают значительно более сложными. Дополнительно варьируются и структура системы, и число ремонтных каналов, и величина ЗИП, и стратегии контроля-восстановления неисправностей и т.д. Алгоритмы решения таких задач оптимизации состоят в многократном обращении к различным методам дискретной оптимизации, стохастического градиентного и неградиентного поиска, одномерной минимизации типа метода Фибоначчи и т.д. В таком случае рассматриваемая задача синтеза - лишь элементарный фрагмент в решении более общих задач.

Нами показано/ что для достаточно широкого класса последовательно -параллельных схем теории надежности ограничение задачи С17) в первом приближении - строго выпуклая функция, .причем условие Слейтера всегда может бить удовлетворено за счет расширения возможного диапазона изменения средних х^, 1=Г7п. Отсюда следует, в частности, обоснованность сфор^лированных в теореме 12 главы 2 условий сходимости алгоритмов поиска седловой точки функции Лагранжа. Затем обсуждается процедура построения аддитивного функционала для оценки вероятности РСх); для оценки частных производных ¿РСх)/бх. , 1=Г7п, можно использовать конечно-разностную аппроксимацию. В заключении раздела 3.3 приведен пример решения задачи синтеза (17) для упрощенной структурной схемы АЭС Ш, содержащей т=19 элементов п=8 типов при заданной линейной функции цели ГСк).

Почти все рассмотренные в главе 3 численные примеры содержат два или три принципиально различных варианта решения. Кроме общего подхода, использующего стохастические квазиградиентные алгоритмы и метод аддитивных функционалов, применяются также и другие, основанные на индивидуальных особенностях решаемых задач.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Основной результат диссертационного исследования можно сформулировать так: впервые развит единый подход к решению широких классов задач анализа и оптимизации надежности сложных систем, содержащий теорию сходимости специальных классов случайных последовательностей для отыскания неподвижных точек сингулярно гозмущепных отображений и метод аддитивных функционалов для конструктивного определения членов указанных воследоватеяьнзстей при решении конкретных задач.

Список литературы

1. Кузнецов Н. Ю., Наконечный А. Н, К анализу надежости АЭС аналити-ко-статистическим методом // Электрон, моделирование.-1985.-НоЗ. -С. 77-81.

2. Наконечный А.Н. О представленгч вероятности безотказной работы системы в виде среднего от w-функционала обрывающегося марковского процесса // Кибернетика.-1985.-No5.-С.98-101.

3. Наконечный А. Н. Оптимизация моментов контроля и замены систем // Докл. АН УССР. Сер. А. -1985. -Но7. -С. 62-65.

4. Наконечный А. Н. Обращение функции распределения момента первого достижения области марковским процессом // Кибернетика.-1Q86.-Но 4.-С. 120-121.

5. Наконечный А.Н. Оптимальная замена систем по наработке // Математические методы анализа и оптимизации сложных систем, функционирующих в условиях неопределенности. -Киев: Ин-т кибернетики им. Б. М. Глушкова АН УССР, 1986. -С. 33-40.

6. Наконечный А.Н. Метод малого параметра в анализе стохастических экстремальных задач с редкими событиями // Анализ стохастических систем методами исследования операций и теории надежности. ■ Киев: Ин-т кибернетики им,В. М.Глушкова АН УССР, 1987.-С. 29-31.

7. Наконечный А.Н. Od одном классе стохастических экстремальных задач с редкими событиями // Кибернетика.-1988.-Hol.-С.80-83.

8. Наконечный А.Н. О сингулярно возмущенных стохастических экстремальных задачах // Математические методы анализа сложных стохастических систем.-Киев: Ин-т кибернетики им. В. М. Глушкова АН УССР, 1988.-С. 38-4Л

9. Коваленко И. Н. , Кузнецов Н. D., Наконечный А. Н. Оптимизация характеристик надежности на основе использования количественных оценок непрерывности и методов ускоренного моделирования // Проблемы устойчивости стохастических моделей. -М.: ВНИИ Системных исследований, 1988.-С. 42-48.

10. Коваленко И. Н., Наконечный А. Н. Приближенный расчет и оптимизация надежности. -Киев: Каук. думка, 1989. -184с.

И. Котляр В.Ю. , Наконечный А.Н. Процессы восстановления с марковскими приращениями // Кибернетика. -1989. -Nog. -С. 86-90.

12. Наконечный А.Н. О методе последовательных случайных приближений

/ Докл. АН УССР. Сер. А. -1989. -Мо9. -С. 16-18.

13 Наконечный А.Н. Теоретико-вероятностное обобщение второго метода Ляпунова // Докл. АН УССР. Сер. А. -1990,-Но2. -С. 18-19,

14 Наконечный А.Н. Метод последовательных приближений в задачах анализа и оптимизации надежности.-Киев, 1990.-29с. -Деп. в ВИНИТИ 03.04.90, Кошгг-вэо.

15. Наконечный А, й. Случайные приближения в функциональных пространствах // Докл. АН УССР. Сер. А.-1990.-N<>6.-С. 60-63.