автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.02, диссертация на тему:Метод квазирасщепления динамических систем и его приложение к вопросам стабилизации и диссипативности бинарных систем прямого цифрового управления

Введение

§ O.I. Обзор основных методов исследования динамических систем и описание метода квазирасщепления

§ 0.2. Дискретная модель процесса прямого цифрового управления непрерывными динамическими системами

§ 0.3. Постановка задачи и краткий обзор возможных подходов к ее решению.

§ 0.4. Основные определения и обозначения, используемые в тексте диссертации.

Глава I. Метод квазирасщепления в задачах анализа регулируемых систем

§ I.I. Алгебраические проекторы в /Рп и их свойства

§ 1.2. Применение алгебраических проекторов для квазирасщепления непрерывных регулируемых систем.

§ 1.3. Применение алгебраических проекторов для квазирасщепления уравнений дискретных регулируемых систем.

§ 1.4. Об одной форме необходимых и достаточных условий стабилизируемости регулируемых систем

§ 1.5. Квазирасщепление регулируемых систем при наличии координатных возмущении.

Глава П. Исследование динамики дискретных управляемых процессов методом квазирасщепления.

§ 2.1. Признаки инвариантности множеств типа G$p на решениях квазирасщепленных уравнений.

§ 2.2. Асимптотические свойства управляемых процессов, принадлежащих множеству G^.ЮЗ

§ 2.3. Признак сходимости к нулю управляемых процессов, не принадлежащих множеству Q-^ ^

§ 2.4. Теорема о "блуящающих" решениях.

Глаза Ш. Стабилизация квазирасщепленных систем прямого цифрового регулирования.НО

§ 3.1. Линейный закон управления. III

§ 3.2. JL - алгоритм управления.

Глава 1У. Синтез алгоритмов управления свободным движением бинарных систем прямого цифрового регулирования

§ 4.1. Релейная координатно-параметрическая обратная связь.

§ 4.2. Динамическая координатно-параметрическая обратная связь.

Глава У. Синтез алгоритмов управления вынужденным движением в классе бинарных систем прямого цифрового регулирования.

§ 0.1. Обзор основных методов исследования динамических систем и описание метода квазирасщепления

Многообразие дискретных и непрерывных динамических систем, встречающихся в литературе [3,11,20,40,43,51,62,64,66 и др.],приводит к недимости строго определить, что понимается под термином "динамическая система" в данной работе.

Динамической системой в работе называется система дифференциальных или конечно-разностных уравнений вида: эс(Ь - А(Ьос(Ь + 4- В(Ьис!) (0.1) здесь при любом / € % с Р параметры системы (0.1) принадлежат допустимым множествам Д с Ц?пхп, /3 С /Рп*т, В С /Рпх^ соответственно, причем вид множеств А , 1В, 1) может зависеть от некоторого скалярного параметра т , который допускает варьирование в ограниченных пределах Т £ \т~, г + ] ив этом случае множества допустимых значений параметров системы (0.1) будем обозначать Д ^ /Зт , Ют • Предполагается, что множество допустимых состояний системы (0.1) совпадает с пространством Рп, то есть при каждом / е" Та сс(Ь е Рп множество допустимых сигналов управления - с пространством Рт, то есть для любого / € % ис-1) е. Р т , множество допустимых величин возмущений - с пространством р* , допустимое множество функций управления и(£) будем обозначать через ^ , а множество допустимых функций-возмущений - через 2 ; кроме того, если то оператор - есть оператор дафференщгрования р = ^ и предполагается, что функция ос(4) допускает применение к ней оператора р , если же ;г = ^ ^ # | , то оператор = определяется соотношением: при каждом р/г .

Для случая, когда » П°Д решением системы (0.1) будем погашать непрерывную вещественную вектор-функцию эссЬ » удовлетворяющую всюду уравнению (0.1). Предполагается, что функции 4С^), 3^) , , ¿/г/; , 2,(4) определены так, что решение системы (0.1) существует, единственно и неограниченно продолжило на всю полуось / ^ .

Для случая, когда ~ Рк » под решением системы (0.1) будем понитть вещественную векторную последовательность любые два соседних члена которой удовлетворяют уравнению (0.1). Предполагается, что Лт 9 Вт у ^т , - допустимые множества такие, что решение уравнения (0.1) существует, единственно и неограниченно продолжило при всех / ^ 4

Эффективным средством упрощения анализа динамических систем являются методы, основанные на построении вспомогательной системы, как правило, меньшей размерности, свойства которой определяют свойства исходной системы. Методика построения таких систем зависит от используемого для этой цели математического аппарата, класса исходных динамических систем и целей исследования. Приведем краткий обзор подобных методов.

Метод интегральных многообразий (МИМ). МИМ возник в нелинейной механике, идея метода принадлежит И.Н.Боголюбову и была сформулирована им в 1945 г. в монографии "0 некоторых статистических методах в математической физике". В МИМ рассматриваются две системы - точная и приближенная, разница между правыми частями которых величина асимптотически малая. Суть метода основана на установлении соответствия между интегральными многообразиями этих систем. Как правило, размерность интегрального многообразия приближенной системы меньше, чем точной системы. Асимптотическое поведение (при / —■решений точной системы определяется свойствами интегрального многообразия приближенной системы.' Применение ШИЛ весьма эффективно для анализа систем с периодической или почти периодической правой частью, содержащей малый или большой параметр, а также для систем, описываемых нерегулярно возмущенными диТхТ]еренщсал ъными уравнениями с запаздывающим аргументом, и для некоторых других классов динамических систем [бб] .

Метод векторных функций Ляпунова (МВФ) берет свое начало в трудах Н.Г.Четаева и получил широкое развитие в работах В.М.Мат-росова (см., например, [61,62]). Идея метода состоит в том, что для исходной системы строится система сравнения с векторной функцией Ляпунова, с помощью которой можно судить об асимптотических свойствах исходной системы. Нужно отметить, что для конкретного динамического свойства строится своя система сравнения. При применении МВФ к конкретным системам, как и во времена Ляпунова,остается трудность, связанная с отсутствием алгоритма построения систем сравнения для любой произвольной системы [61] •

Метод точечных отображений (МТО).восходит к трудам А.Пуанкаре и Дж.Биркгофа [II]. МТО состоит в том, что в пространстве состояний исходной непрерывной системы выделяется "секущая поверхность", которая пересекается траекториям! системы без касания и так, что промежутки между последующшли пересечениями ограничены сверху. При выполнении условий, гарантирующих единственность решения и непрерывную зависимость их от начальных условий траектории системы порождают некоторое точечное отображение секущей поверхности в себя. Об асимптотических свойствах какого-либо решения можно судить по структуре порождаемого им точечного отображенин. Метод точечных отображений для непрерывных систем излагается в ряде работ, например, в монографии [68] . Для дискретных систем модификация МТО предлагается в [51] и основана на выделении в пространстве состояний некоторой области, которая выполняет роль "секущей поверхности" при непрерывном времени. Об асимптотике (при решений исследуемой системы судят по асимптотическому поведению точек, лежащих внутри выделенной области.

Другим эффективным средством упрощения анализа динамических систем являются методы, основанные на идеях преобразования исходной системы к совокупности подсистем меньшей размерности с последующим исследованием каждой подсистемы в отдельности. Одним из таких методов является метод экспоненциального расщепления (МЭР). В этом случае осуществляется преобразование исходной системы к совокупности не связанных менаду собой подсистем (всегда меньшей размерности в случае конечномерности пространства решений исходной системы) с различными генеральными показателями.Варианты этого метода широко освещены в литературе [1,20,60,72,97, 98] и восходят к работе 0.Перрона [105] . Область применения МЭР в основном ограничивается так называемыми э-дихотомическими системами. Так, например, стационарная система вида: $ocd) = Aocd) , / £ 774) $ -днхотомична тогда и только тогда, когда матрица Д £ /Рп*п не имеет собственных чисел с вещественной частью, равной нулю [72]. Возмущенную систему вида

Гх(1) = Aocch + éucl) , t€fo где /I 6/Рп'\ Ó£/Pn при каждом ¿gT0 oc(he/Pn, ud)¿P можно представить в виде совокупности независимых подсистем меньшей размерности тогда, когда $ е У Г А) , где ) - инвариантное подпространство матрицы А [45] . Однако типичным для теории управления является положение обратного характера, а именно

ЯА) •

Если же исходная регулируемая система относится к классу параметрически неопределенных динамических систем, то есть таких, параметры которых заданы с точностью до множества равномерно ограниченных функций и меняются произвольным образом в широких пределах, то применение некоторых из указанных выше методов (например, МЭР) становится невозможным из-за отсутствия необходимой информации и следовательно, параметрическая неопределенность системы делает невозможным ее преобразование (декомпозицию) к совокупности не связанных между собой подсистем меньших размерностей. Другие методы (например, МВФ) позволяют дать лишь интегральные оценки качества переходных процессов, возникающих в исходной системе, в то время как на практике часто требуется выполнение некоторых Функциональных соотношений, определенных на решениях исходной динамической системы. Считая функциональные соотношения новыми переменными, называемые в теории агрегирования агрегатами, возможно преобразование исходной системы к динамической системе, описывающей изменение во времени агрегатов. Однако такой способ, как отмечается в литературе по агрегированию [69] , делает процедуру преобразования сравнимой по сложности с "лобовым" решением поставленной задачи. Поддержание на состояниях исходной регулируемой системы некоторых функциональных соотношений возможно и при помощи методов теории систем с переменной структурой [25]; в этом случае цель достигается применением разрывных управлений и организацией скользящих режимов вдоль специальным образом выбранных многообразий в пространстве состояний исходной системы [25,84].

Предложенный в диссертации метод квазирасщепления ориентирован на достижение той же цели, что и перечисленные выше методы, однако его применение, в отличие, например, от МЭР, приводит к совокупности взаимосвязанных динамических подсистем. При некоторых условиях специфика взаимосвязей подсистем такова, что возможно самостоятельное исследование динамики каждой из подсистем в отдельности на соответствующих интегральных многообразиях меньшей размерности, чем размерность всего пространства состояний, с последующим учетом взаимного влияния подсистем. Опишем в общих чертах идею метода квазщ)асщепления. Пусть [xd)}^^. — (далее называемый также управляемым процессом) решение системы (0.1) при некотором управлении Ufi) £ ^¿l , причем для каждого / £ J XU) G Р% •

Представим р" в виде прямой суммы *4 , (0.2) где ¿С. - некоторые подпространства в //?£ , то есть G Р£ ( L = 1,2). Тогда при каждом / е Та управляемый процесс\pccb\^ можно представить в виде суммы эс({') = oc{d) + oc2ch f (О.з) где значения п -мерных вектор-функций ос rd) и эс2(1) принадлежат подпространствам ^ и Х2 соответственно. Пусть dim Ji{ = rtf , dim j[2 = n2 , тогда nf + пг = n . Так как nL<n (/ = 1,2), то каждой функции ocl'd) '( L- 1,2) могут быть поставлены в соответствие функции со значениями из /Р^ и Р^ соответственно. Обозначим первую из них yd) е //?£? , другую <od) £ /Рп* • ^ли для рассматриваемого управляемого процесса

ОС xd) 1 -г шлеет место неравенство

1 -'гб 'о

II(5(Ь II с frlydA + £ , ieTa (0.4)

То при некоторых положительных ¿^ и ¡? , то из (0.3), (0.4) следует оценка вида:

IIX(h\ <. trl -и+дУ\у(Ь\ + II тп , /е т0 здесь Г £ /Ршп - невырожденная матрица перехода от координат ос к координатам ( ¿/, <5 ), то есть ос = 11 норма вектора понимается как сумма модулей его компонент. Следовательно, асимптотическое стремление к нулю процесса fQ приводит к ограниченности решения { xfi) } ¿¿^ • Заметим, что dim Х{ < п , поэтому асимптотические свойства управляемого процесса в этом случае определяются свойствами процесса меньшей размерности. Поскольку с? = (о foe), у = у Сэс) (ос е /Р£ ) , то неравенство (0.4) выделяет в Р£ некоторое множество а^ш {х 6 : Iи ¿11 + ь j возможный вид которого в случае п - 3 показан на рис. I при £ > О и на рис. 2 при £—0 • Задание некоторого множества Gfr^ в /р£ порождает три вида управляемых процессов: XIf Х,7, X/7/ , которые могут возникнуть в системе (0.1) при некотором ud) £ <21 . Для каждого представителя из класса Xj при е Т0 выполнено включение occh £ G-fr.b » ^ ^fi) из X* напротив - xch € % > 0 представителях класса Х^ нельзя сделать определенного заключения, так как они блуждают, назовем из блуждающими решениями системы (0.1).

Для получения уравнений, которые описывают порознь изменение во времени переменных yfl) и б(-1) в работе используются неортогональные алгебраические проекторы. С их помощью система (0.1) (для простоты считаем, что z(b а О ) может быть представлена в виде:

Рис. I dCf!

X9.1t) x^t)

Рис. 2

ГугЬ ~Аи(Ьу(Ь + , 4еТ0 ^

ТбЖ -Аб(Ьб(Ь +Н6(Ьу(Ь +В&с1)шЬ , ¿£Т0 , (0.6) где А £ (Ь , А в (!), сЬ , Д* (4) - некоторые матричные параметры, определенным образом связанные о, А(I) и начальные условия для (0.5),(0.6) определяются из (0.3) при / = ^ .

Параметры Ну (-1) в (0.5) и (-1) в (0.6) определяют взаимосвязь между подсистетми (0.5) и (0.6). Если эта связь пренебрежимо мала или отсутствует вовсе, то все определяется систе-шми сравнения вида

РусЬ = А^ (4) , 4 6 То (0.7)

-Аб(Ьб(Ь+&б(ЬшЬ , /ё Т0 (о.8) каждая из которых имеет порядок меньше, чем исходная система (0.1), что существенно упрощает исследование.

Обычно душ регулируемых систем \Му(Ь\ и отличны от нуля и приходится иметь дело не с расщепленными уравнениями (0.7),(0.8), а с квазирасщепленными (0.5),(0.6). Отсюда, в частности, и происходит название метода.

Если зир || Ни (4) || ^ и система (0.7) экспоненциально /е <г устойчива, то можно указать такие константы и £ , что решения системы (0.1) из класса X? будут диссипативны, а при £ - О асшлптотически стремится к нулю пространство . Таким образом, динамические свойства решений из класса X? полностью определяются асимптотикой решений системы (0.7). Аналогичным образом молено показать, что асимптотические свойства решений из класса Xй определяются системой (0.8).

Следовательно, если управление иг-1) выбирать так, что блуждающие решения переходят с течением времени в какой-либо из классов Х2 или X ^ , то исследование исходной системы можно свести к исследованию систем (0.7),(0.8) порознь. В этом состоит смысл метода квазирасщепления.

Описанная выше формальная схема исследования динамических систем применяется в диссертации для анализа и синтеза одного класса бинарных систем прямого цифрового управления, о математических моделях которых говорится в последующих параграфах введения,

Основные результаты проведенного исследования могут быть сформулированы в виде следующих выводов.

1. Предложен новый параметрический класс дискретных регулируемых динамических систем; показано, что такой класс математических моделей описывает процессы в системах прямого цифрового управления непрерывными динамическими системами в условиях параметрической неопределенности, в импульсных системах при использовании комбинированных видов модуляции, при численном решении обыкновенных дифференциальных уравнений; определены условия и установлены соотношения, при которых такая дискретная модель точно или приближенно представляет процессы в непрерывных системах.

2. Развит метод квазирасщепления уравнений регулируемых динамических систем, позволяющий свести исследования параметрически неопределенной динамической системы к совокупности подсистем меньшей размерности; указан класс систем, для которых применение этого метода наиболее эффективно. В рамках метода квазирасщепления предложен общий подход к построению систем автоматического управления параметрически неопределенными и возмущенными динамическими системами; получена совокупность достаточных условий, выполнение которых гарантирует реализуемость предложенного подхода; сформулированы общие результаты об асимптотическом поведении решений регулируемой системы и ее подсистем.

3. Получена новая форма необходимых и достаточных условий стабшшзируемости регулируемых систем (непрерывных и дискретных), показана связь этих условий с задачей синтеза САУ с заданными свойствам!.

4. Предложены нелинейные алгоритмы управления: свободным и вынужденным движением дискретных параметрически неопределенных систем, обеспечивающие асимптотическую устойчивость замкнутой системы или сходимость управляемых процессов в любую наперед заданную окрестность нуля при близости или совпадении их свойств с эталонными; получены соотношения, позволяющие осуществить параметрический синтез САУ с такими алгоритмами управления, и показано, что отмеченные выше свойства достигаются при конечных коэффициентах передачи в обратной связи; проведено сравнение предложенных систем управления с линейной обратной связью и нелинейных систем управления.

5. Результаты теоретических исследований использованы при разработке и создании САУ электрообессолевающей установкой -атмосферно-вакуумной трубчаткой, которая внедрена на БНПЗ имени ХХП съезда КПСС; получен экономический эффект.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Абгарян К.А. Матричные и асимптотические методы в теории линейных систем. М.: Наука, 1973, 432 с.

2. Андреев Ю.Н. Управление конечномерными линейными объектами. М.: Наука, 1976, 424 с.

3. Бабушка И., Витасек Э., Прагер М. Численные процессы решения дифференциальных уравнений. ГЛ.: Мир, 1969, 368 с.

4. Бакакин A.B., Таран В.А. Применение цифровых вычислительных устройств в системах автоматического управления с переменной структурой. В сб.: Автоматическое управление и элементы вычислительной техники. Фрунзе, 1967.

5. Бакакин A.B., Таран В.А. Системы с переменной структурой,использующие в законе управления конечные разности. Изв. АН СССР. Техническая кибернетика, 1966, JS 2.

6. Барбашин А.Е. Введение в теорию устойчивости. М.: Наука,1967, 224 с.

7. Сабаева Т.А. Разделяющие многообразия в фазовом пространстве систем автоматического регулирования с переменной структурой. А. и Т., 1981, В II, с.1 49-53.

8. Беллман Р. Введение в теорию матриц. М.: Наука, 1969, 367 с.

9. Беллман Р. Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений. М.: Ш, 1954.

10. Бессекерский В.А. Цифровые автоматические системы. М.: Наука, 1976.

11. Биркгош Да.Д. Динамические системы. М.: ШТТЛ, 1941, 320 с.

12. Бромберг П.В. Матричные методы в теории релейного и импульсного регулирования. М.: Наука, 1967, 324 с.

13. Былов Б. а)., Виноград Р. Э., Гроб mir Д.М., Немыцкий В.В. Теория показателей Ляпунова. М.: Наука, 1966, 576 с.

14. Вазов В. Асимптотическое разложение решений обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1969.

15. Видаль П. Нелинейные импульсные системы. М. : Энергия, 1974, 336 с.

16. Викторова B.C. Цифровые регуляторы с переменной структурой. -В сб.: Системы с переменной структурой и их применение в задачах автоматизации полета. ГЛ.: Наука, 1967, с. 198-207.

17. Воронов A.A. Устойчивость, управляемость, наблюдаемость. М.: Наука, 1979, 336 с.18. 1&нтмахер Ф.Р. Теория матриц. М. : Наука, 1966, 576 с.

18. Гелиг А.Х., Леонов Г.А., Якубович В.А. Устойчивость нелинейных систем с не единственным положением равновесия. М.: Наука, 1978, 400 с.

19. Далецкий Ю.П., Крейн ГЛ. Г. Устойчивость решений джш)еренциалън пых уравнений в банаховом пространстве. М.: Наука, 1970,536 е.

20. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. ГЛ.: Наука, 1967, 472 с.

21. Деревицкий Д.П., Фрадков А.Л. Прикладная теория дискретных адаптивных систем управления. М. : Наука, 1981, 216 с.

22. Деруссо П., Рой Ч., Клоуз Ч. Пространство состояний в теории управления. ГЛ., 1970, 620 с.

23. Джури Э. Импульсные системы автоматического регулирования. М.: Физ. шт. гиз., 1963, 455 с.

24. Емельянов C.B. Системы автоматического управления с переменной структурой. М.: Наука, 1967, 336 с.

25. Емельянов C.B., Коровин С.К. Новые типы обратных связей и их применение в замкнутых динамических системах. В кн.: Итоги науки и техники, серия "Техническая кибернетика". М.: ВИНИТИ, 1982, т. 15, с. 145-216.

26. Емельянов C.B., Коровин С.К. Применение новых типов обратных связей в задачах управления нестационарными динамическими системами. В кн.: Итоги науки и техники, серия "Техническая кибернетика". М.: ВИНИТИ, 1983, т. 16, с. 70-155.

27. Емельянов C.B., Коровин С.К. Применение принципа регулирования по отклонению для расширения множества типов обратных связей. Доклады АН СССР, 1981, т. 258, В 5, с. 1070-1074.

28. Емельянов C.B., Коровин С.К. Расширение множества типов обратных связей и их применение при построении замкнутых динамических систем. "Техническая кибернетика", 1981, J3 5,с. 173-183.

29. Емельянов C.B., Коровин С.К., Роменец К.В. Об устойчивости дискретных динамических систем. M., 1982, 12 с. Рукопись представлена ВНИИСИ ГКНТ и АН СССР, Деп. в ВИНИТИ 30 августа 1982 г., & 4687-82.

30. Емельянов C.B., Коровин С.К., Роменец К.В. Об одном подходе К исследован!®) разностных схем с разрывными параметрами. M., 1982, 17 с. Рукопись представлена ВНИИСИ ГКНТ и АН СССР, Деп. в ВИНИТИ 3 сентября 1980 г., 3988-80.

31. Емельянов C.B., Коровин С.К., Сизиков В.И. Принцип построения и свойства систем управления с интегральной координатно-пара-метрической обработкой связью. Изв. АН СССР, Техническая кибернетика, 1981, В 6, с. 140-152.

32. Емельянов C.B., Коровин С.К., Уланов Б.В. Бинарные системы управления вынужденным движением динамических объектов. М., Препринт МНИИПУ, 1983 , 70 с.

33. Жильцов К.К., Рабинович И.И. Системы автоматического регулирования с переменной структурой с мажоритарными звеньями. -"Техническая кибернетика", 1981, tè 1,2.

34. Желнин В.А. Об одном способе построения дискретной системы с переменной структурой для управления вынужденным движением нестационарного объекта. В кн.: Кибернетика и вычислительная техника, вып. 34. Киев: Наукова думка, 1976,с. 78-85.

35. Зубов В.И. Лекции по теории управления. М. : Наука, 1975, 495 с.

36. Зубов C.B. К вопросу построения систем стабилизации при наличии внешних ограниченных возмущений. "Автоматика и телемеханика", 1981, 1Ь II, с. 24-29.

37. Калман Р., Фалб П., Арбиб М. Очерки по математической теории систем. М.: Мир, 1971, 398 с.

38. Катковник В.Я., Полуэктов Р.А. Многомерные дискретные системы управления. М.: Наука, 1966, 416 с.

39. Квакернаак X., Сиван Р. Линейные оптимальные системы управления. М.: Мир, 1977, 651 с.

40. Коровин С.К., Роменец К.В. Применение принципа сравнения для анализа нестационарных дискретных систем. M., 1983, Рукопись представлена ВНШСИ ГКНТ и АН СССР, Деп. в ВИНИТИ 25 октября 1983 г., Jê 5821-83.

41. Коровин С.К., Мамедов И.Г. Метод квазирасщепления уравнений непрерывных регулируемых динамических систем. М. : ВНИИ системных исследований ГКНТ и АН СССР. Рукопись депонирована в ВИНИТИ 5 апреля 1984 г., tè 1967-84 Деп., 88 с.

42. Коровин С.К., Мамедов И.Г. Метод квазирасщепления уравнений дискретных регулируемых систем. М.: ВНИИ системных исследований IKHT и АН СССР. Рукопись депонирована в ВИНИТИ 5 апреля IS84 г., JЬ 1969-84 Деп., 36 с.

43. Коровин С.К., Мамедов И.Г. Некоторые виды комбинированной импульсной модуляции и связанные с ними модели дискретных регулируемых систем. М. : ВНИИ системных исследований IKHT и

44. АН СССР. Рукопись депонирована в ВИНИТИ 5 апреля 1984 г., В 1-966-84 Деп., 28 с.

45. Коровин С.К., Мамедов И.Г. Линейные законы управления нестационарными дискретными системами при параметрической неопределенности. М.: ВНИИ системных исследований IKHT и АН СССР. Рукопись депонирована в ВИНИТИ 5 апреля 1984 г., J3 1968-84 Деп., 16 с.

46. Косякин А.А., Шамриков Б.М. Колебания в цифровых автоматических системах. М.: Наука, 1983, 336 с.

47. Кузин Л.Т. Расчет и проектирование дискретных систем управления. М.: Машгиз, 1963.

48. Кузнецов В.П. Динамика дискретных систем с неопределенными параметрами. В кн.: Автоматика и вычислительная техника. Мишек: Высшая школа, 1975, вып. 5, с. 64-70.

49. Кузовкин Н.Т., Карабанов C.B., Салычев О.С. Непрерывные и дискретные системы управления и методы идентификации. М.: Машиностроение, 1978, 222 с.

50. Лейбович А.В. (совместно с Горбуновым В.М. и др.). Об устойчивости импульсных систем с переменной структурой. "А. и T.", JS 4, 1972.

51. Ли Р. Оптимальные оценки, определение характеристик и управление. М.: Наука, 1966, 176 с.

52. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. М.: Физ-матгиз, 1959.

53. Мамедов И.Г. Об одном классе алгоритмов управления нестационарными дискретными процессами. Тезисы докладов всесоюзного научно-практического семинара "Прикладные аспекты управления сложными системами", М., 1983, с. 133-134.

54. Маркус ГЛ., Миик X. Обзор по теории матриц и матричных неравенств. М.: Наука, 1972, 232 с.

55. Массера X., Шеффер X. Линейные дифференциальные уравнения и функциональные пространства. Пер. с англ. М.: Мир, 1967, 456 с.

56. Матросов В.М. Метод векторных функции Ляпунова в системах с обратной связью. Доклад на 7 Всесоюзном совещании по проблемам управления. М., 1971.

57. Матросов В.М., Анапольский Л. 10., Васильев С.Н. Метод сравнения в математической теории систем. Новосибирск: Наука,1980, 480 с.

58. Мееров Н.В. Синтез структур систем автоматического регулирования высокой точности. М., 1959, 284 с.

59. Месарович М., Мако Д., Такахара И. Теория иерархических многоуровневых систем. М.: Мир, 1973, 344 с.

60. Митропольский 10.А., Лыкова О.Б. Интегральные многообразия в нелинейной механике. М.: Наука, 1973, 512 с.

61. Михайлов Ф.А., Теряев Е.Д., Булеков В.П. Динамика нестационарных дискретных систем. М.: Наука, 1980, 303 с.

62. Неймарк Ю.И, Динамические систеш и управляемые процессы. М.: Наука, 1978, 336 с.

63. Неймарк Ю.И. Метод точечных отображений в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1972.

64. Первозванский А.А., 1кйцгори В.Г. Декомпозиция, агрегирование и приближенная оптимизация. М.: Наука, 1979, 344 с.

65. Полак Э. Численные методы оптимизации. Единый подход. М.: Мир, 1974, 376 с.

66. Рисс , Секефальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу. М.: ИЛ, 1954, 499 с.

67. Розенвассер Е.Н. Показатели Ляпунова в теории линейных систем управления. М.: Наука, 1977, 344 с.

68. Руш Н., Абетс П., Лалуа Н. Прямой метод Ляпунова в теории устойчивости. М.: Мир, 1980, 300 с.

69. Сабаева Т.А. Разделяющие многообразия в фазовом пространстве систем автоматического регулирования с переменной структурой.-А. и Т., 1982, № II, с. 49-53.

70. Саридис Дж. Самоорганизующиеся стохастические системы управления. М.: Наука, 1980, 400 с.

71. Сейдж Э.П., Menea Дд.Л. Идентификация систем управления. М.: Наука, 1974, 246 с.

72. Срагович В.Г. Адаптивное управление. М.: Наука, 1981, 384 с.

73. Стренг Г. Линейная алгебра и ее применение. Пер. с англ. М.: Мир, 1980, 454 с.

74. Теория систем с переменной структурой. Под ред. С.В.Емельянова. М.: Наука, 1970, 592 с.

75. Ту Ю. Цийровые и импульсные системы автоматического регулирования. М.: Машиностроение, 1964, 703 с.

76. Уланов Г.М. Регулирование по возмущению, М.: Госэнергоиздат, 1960

77. Уланов Г.М. и др. Методы разработки интегрированных АСУ промышленными предприятиями, М: Энергоатомиздат, 1983, 264 с.

78. Уонэм М. Линейные многомерные системы управления: геометрический подход. М.: Наука, 1980, 376 с.

79. Уткин В.И. Скользящие режимы и их применение в системах с переменной структурой. М.: Наука, 1974, 262 с.

80. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. Математический сборник, 1960, т. 51 (93), J5 I.

81. Фомин В.Н., Фрадков А.Л., Якубович В,А. Адаптивное управление динамическими объектами. М.: Наука, 1981, 448 с.

82. Формальский А.М. Управляемость и устойчивость систем с ограниченными ресурсами. М.: Наука, 1974

83. Фурасов В.Д. Устойчивость и стабилизируемость дискретных процессов. М.: Наука, 1982, 192 с.

84. Халанай А., Векслер Д. Качественная теория импульсных систем. М.: Мир, 1971, 307 с.

85. Холл Дя. и Уатт Дд. Совремешше численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнении. M. : Мир, 1979, 312 с.

86. Цыпкин Я.З. Основы теории автоматических систем. М.: Наука, 1977, 560 с.

87. Чеховой Ю., Кунцевич В.М. Нелинейные системы управления с частотно- и широтно-шлпульсной модуляцией. Киев, 1970, 339 с.

88. Эйкхофф П. Основы идентификации систем управления. ГЛ., 1975, 683 с.

89. Devand Р.И., Caron I.Y. , Asymptotic Stability of Model Reference Systems with, bang-bang control. IEEE Trans, 1975, vol. AG-20, p. 694-696.

90. Drazenovic В., The Invariance Conditions in Variable Structure Systems, Automatica, Pergaman Press, 1969, vol,5, IT 3, p. 287-295.

91. Chan Y.T., Perfect Iiodel Folloing with a Real Ilodel, Proc. Join Autom. Control conf., 1973, p. 287-293.

92. Coppel IV.A. , Dichotomies and Reducibility. J. of Diff. Equations, 3,4, 1967, P» 500-521.

93. Coppel XI. A., Stability and asymptotic behavior of differential equations, D.C. Heath, Boston, 1965, 163 p.

94. Crosley T., Porter XI., Simple proff of the Simon-Hitter controllability theorem, Electronic Letters, 1973, vol. 9, IT 3, p. 51-52.

95. Harkus L. Continuons matrices and stability of differential systems, Hath. Z, 62, 1955, p. 310-319.

96. Mohler Ronald R., Bilinear Control Processes. With Applications to Engineering Ecology and Medicine. Academic Press,1973, P. 223.

97. Landaw I.D., Cantiol B., Design of Multivariable Adaptive Model Following Control Systems, Automatica, Pergamon Press,1974, vol. 10, p. 483-494.

98. Konvaritakis B., Shakad V., Asymptotic behavior of root-loci of linear multivariable systems, Int. I.Contr., 1976, vol.23, Ы 3, p. 297-340.

99. V/insor O.A., Roy R.I., Desigh of Model Reference Adaptive Control by Lyapunov's second Method, IEEE Trans, 1968, vol.AC-13, p.204.

100. Perron 0., Uber eine Matrix Transformation, Math. Z, 32, 3> 1930, 465-473.

101. Т^ЕГр^ ЙЩ НБПЗ fäic' .A^UE/jp //«>"// ; к*:сЛг;Ityс е йноцыхдлч о / /-rTvjl J - \4L I.1 : V i• •г // л