автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Метод конечных объемов для задачи конвекции-диффузии и моделей двухфазных течений

004616272

На правах рукописи

Никитин Кирилл Дмитриевич

Метод конечных объемов для задачи конвекции-диффузии и моделей двухфазных течений

05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

- 9 ДЕК 2010

Москва - 2010

004616272

Работа выполнена в Учреждении Российской академии наук Институт вычислительной математики РАН.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

доцент,

Василевский Юрий Викторович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

доцент,

Нечепуренко Юрий Михайлович

кандидат физико-математических наук, доцент,

Богачев Кирилл Юрьевич

Ведущая организация: Институт прикладной математики им.

М. В. Келдыша РАН

Защита состоится «24» декабря 2010 г. в 14 часов на заседании диссертационного совета Д 002.045.01 при Учреждении Российской академии наук Институт вычислительной математики РАН, расположенном по адресу: 119333, г. Москва, ул. Губкина, д. 8, ауд. 727.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Учреждения Российской академии наук Институт вычислительной математики РАН.

Автореферат разослан «Л.4 » ноября 2010 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета,

доктор физико-математических наук

Общая характеристика работы

Актуальность работы. При моделировании процессов переноса и фильтрации в пористой среде часто приходится сталкиваться с сильно неоднородными свойствами среды и проводить расчеты на произвольных сетках с многогранными ячейками. Важным требованием к используемым схемам является сохранение неотрицательности получаемого численного решения, поскольку отрицательные значения таких величин, как концентрация или насыщенность, могут порождать сложности при расчете свойств жидкостей и химических взаимодействий. По этой причине востребованными являются монотонные консервативные схемы дискретизации, работающие на произвольных неструктурированных расчетных сетках и позволяющие решать задачи в неоднородных средах. При изучении динамики вязкой несжимаемой жидкости со свободной поверхностью важным критерием является достоверный расчет положения и характеристик свободной поверхности. Эффективное решение подобных задач требует использования динамических адаптивных расчетных сеток высокого разрешения и экономичных методов численного моделирования совместной динамики жидкости и свободной поверхности.

Цель диссертационной работы. Целями диссертационной работы являются разработка монотонной консервативной схемы дискретизации уравнения конвекции-диффузии с компактным шаблоном дискретизации потока, создание на ее основе численной модели процессов двухфазной фильтрации в пористой среде, разработка экономичной технологии моделирования трехмерных течений вязкой несжимаемой жидкости со свободной границей.

Научная новизна. В работе предложена и исследована монотонная нелинейная схема дискретизации конвективного потока для уравнения кои-векцнн-диффузии па неструктурированных сетках с многогранными ячейками. Проведен сравнительный анализ использования традиционной линейной

и новой нелинейной схем дискретизации потока с двухточечным шаблоном на примере задачи двухфазной фильтрации. Разработана и исследована экономичная технология моделирования течений вязкой несжимаемой жидкости со свободной границей.

Практическая значимость. Практическая значимость диссертационной работы заключается в создании комплекса программ для приближенного решения уравнения конвекции-диффузии на сетках с многогранными ячейками и численного моделирования процесса двухфазной фильтрации в пористой среде, описывающего разработку нефтегазовых месторождений. Создана технологическая цепочка, включающая в себя задание расчетной области, численное моделирование течения вязкой несжимаемой жидкости со свободной поверхностью и последующую визуализацию.

На защиту выносятся следующие основные результаты:

1. Предложена и исследована новая монотонная нелинейная схема дискретизации уравнения конвекции-диффузии на основе метода конечных объемов на сетках с многогранными ячейками.

2. На основе предложенной схемы дискретизации разработана численная модель двухфазной фильтрации в пористой среде и проведен сравнительной анализ предложенной схемы дискретизации с традиционной линейной схемой.

3. Разработана экономичная технология, включающая численные методы, алгоритмы, структуры данных и комплекс программ, для моделирования трехмерных течений вязкой несжимаемой жидкости со свободной границей.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались автором и обсуждались на научных семинарах Института вычислительной математики РАН, Института прикладной математики РАН, Вычисли-

тельного центра РАН, Московского физико-технического института, Механико-математического факультета МГУ им. М.В.Ломоносова, Upstream Research Center of ExxonMobil corp. г.Хыостон (США) и на следующих научных конференциях: конференция "Тихоновские чтения" (МГУ, Москва, ноябрь 2007); конференции "Ломоносов" (МГУ, Москва, апрель 2008, апрель 2010); конференции "Ломоносовские чтения" (МГУ, Москва, апрель 2009, апрель 2010); конференция молодых ученых "Технологии высокопроизводительных вычислений и компьютерного моделирования" (СПбГУ ИТМО, С.-Петербург, апрель 2009); международная конференция "SIAM Geosciences 2009" (Лейпциг, Германия, июнь 2009); международная конференция "Computational Methods in Applied Mathematics: CMAM-4" (Познань, Польша, июнь 2010); международные конференции "NUMGRID-2008" и "NUMGRID-2010" (ВЦ РАН, Москва, июнь 2008, октябрь 2010); международный научный семинар "Advances on Numerical Methods for Multiphase and Free Surface Flows" (ИВМ PAH, Москва, июнь 2009); международный научный семинар "Computational Mathematics and Applications" (Технологический университет Тампере, Тампере, Финляндия, сентябрь 2009).

Публикации. Основные материалы диссертации опубликованы в 7 печатных работах: 4 статьи - в рецензируемых журналах, входящих в перечень ВАК, [1-4] и 3 статьи - в сборниках научных трудов [5-7].

Личный вклад автора. В совместных работах [1, 6, 7] вклад автора заключался в разработке вычислительного ядра технологии моделирования течения вязкой несжимаемой жидкости со свободной границей и проведении численных экспериментов.

В совместной работе [2) вклад автора заключался в разработке нелинейной схемы дискретизации уравнения конвекции-диффузии в трехмерном пространстве, программной реализации метода и проведении численных экспериментов.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, обзора используемой терминологии, трех глав, заключения и списка литературы из 95 наименований. Диссертационная работа содержит 28 рисунков и 12 таблиц. Общий объем диссертационной работы - 105 страниц.

Содержание работы

Во введении определяется область практического применения предлагаемых в работе методов, обосновывается актуальность диссертационной работы, приводится обзор работ, посвященных решению уравнений конвекции-диффузии, моделированию двухфазной фильтрации и течений со свободной границей, формулируются основные результаты, описывается структура диссертации.

В обзоре используемой терминологии дано краткое разъяснение используемых в работе понятий и терминов.

В первой главе диссертации описывается метод конечных объемов для стационарной задачи конвекции-диффузии на произвольных сетках с многогранными ячейками, полным анизотропным кусочно-непрерывным тензором диффузии и кусочно-непрерывным полем скорости [2]. Метод основан на консервативной монотонной схеме дискретизации диффузионного и конвективного потоков.

В разделе 1.1 дана постановка задачи. Пусть О, - трехмерная многогранная область с границей, состоящей из двух частей: Г = Г,у и Гд, таких что ГдгПГд = 0, и множество Гд замкнуто и непусто: Гд = Гд, Гд ф 0. Предположим, что О. представима в виде объединения конечного числа многогранных подобластей г = таких что П = и¿П* и = 0 для г ф На за-

мыкании каждой подобласти определяется симметричный, положительно определенный, полный, возможно анизотропный, непрерывный тензор диффузии К(х) с компонентами из Ь2(И{) и непрерывное поле скорости у(х) с

компонентами из причем ¿х < 0, \/и> € Сд(П), ю > 0.

о

Рассматривается стационарная задача конвекции-диффузии для неизвестной концентрации с:

' сИу (ус - КУс) = д в П,

< с = д0 на Гд, (1)

—(КУс) • п = ды па Гдг,

где д Е Ь2(С1) - внешние источники, п - вектор внешней нормали, а до и дм - заданные граничные условия. Обозначим через Гои4 - часть границы Г, на которой V • п > 0, а через Г;„ = Г \ Гои4. Предполагается, что Гдг С Г01й.

При вышеописанных условиях и соответствующих ограничениях на до, д.¡у, задача (1) имеет единственное обобщенное решение с € Предпо-

лагается, что выполняются достаточные условия неотрицательности решения с(х): д(х) > 0, д0 > 0, дм < 0.

В разделе 1.2 формулируется метод конечных объемов для задачи конвекции-диффузии с двухточечной аппроксимацией полного потока q = — КУс+ су на сеточной грани /:

Ч)-П/ = М/СГ+ -М]СТ_,

где Ст± - среднее значение концентрации в ячейке Т±, / - общая грань для Т+ и Т1, вектор нормали п^ - внешний для Т+, а q^■ - средняя плотность потока на грани /. Коэффициенты М*(С) = -Су (С) + А^(С) зависят от значений концентрации С в соседних ячейках и представляются как сумма коэффициентов для диффузионной и конвективной составляющих потока, соответственно.

Разработанная дискретизация конвективного потока основана на монотонной противопотоковой схеме, использующей кусочно-линейное разрывное восполнение решения с ограничителем наклона на многогранных ячейках.

Для аппроксимации диффузионного потока используется двухточечная схема, предложенная А.А.Даниловым и Ю.В.Василевским (RJNAMM, 2009, 24(3)).

В разделе 1.3 предлагается алгоритм формирования системы нелинейных уравнений для вектора неизвестной концентрации С:

М(С) С — G(C). (2)

Для решения системы (2) применяется метод итераций Пикара: решается система линейных уравнений M(Cfc-1)Cfc = G(Ck~l), пока относительная невязка ||М(С*)С* - G{Ck)|| / ||М(С°)С0 - G(C°)|| не станет меньше £mn.

Формулируются и доказываются две следующие теоремы:

Теорема 1.1. Пусть Гдг = 0, g > 0, div v > 0 в ß, до > 0 на Гц = dti и решение С для (2) существует. Тогда С > 0.

Теорема 1.2. Пусть g > 0, gD > 0, gN < 0 и ^ 0 в (1). Если С0 > 0 и линейные системы в методе Пикара решаются точно, тогда Ск > 0 для к> 1.

В разделе 1-4 описываются расчетные сетки, используемые в экспериментах, вводятся дискретные нормы для оценки ошибки дискретизации, приводятся результаты численных экспериментов.

Новый метод показывает второй порядок сходимости в дискретной L2-1 юр-ме для концентрации и, как минимум, первый порядок для потоков на гладком решении в задаче с доминирующей диффузией, а также вторые порядки сходимости для концентрации и потоков в задаче с доминирующей конвекцией па гексаздральных, призматических и тетраэдральных сетках. В задаче с разрывными тензором диффузии и полем скорости нелинейная схема сохра-

пяет второй порядок сходимости на гладком решении для концентрации и первый - для потоков. По числу осцилляций и диссипативности для тестового сингулярно возмущенного уравнения конвекции-диффузии новая схема не уступает лучшим линейным и нелинейным конечно-элементным схемам [2]. Получаемое дискретное решение является неотрицательным при выполнении условий теоремы 1.2, однако может не удовлетворять дискретному принципу максимума.

Во второй главе рассматривается численная модель, основанная на представлении двухфазных течений через насыщенности двух фаз [3]. Данная модель используется для моделирования второго этапа разработки нефтегазового месторождения, во время которого закачиваемая в нагнетательные скважины вода вытесняет из пористой среды нефть, добываемую па производящей скважине.

В разделе 2.1 описываются уравнения двухфазной фильтрации в пористой среде:

д (фраБЛ (/9аиа\

к

иа = ——- радУг), а = ю, о, (4)

¡¿а

+ & = 1, (5)

Ро-Ри1 = Рс{8и1). (6)

В этих уравнениях а - фаза жидкости (гу - вода или о - нефть), ра - неизвестное давление фазы а, Ба - неизвестная насыщенность, иа - неизвестная скорость Дарен, К - тензор абсолютной проницаемости, ра - фазовая плотность, /¿а = цп(р) - вязкость, Ва = Вп(р) - фактор сжатия, кга = кга(8) - относительная проницаемость фазы а, рс(3) - капиллярное давление,0 = ф(р) - пористость, д - гравитационный член, г - глубина, а да - источник или сток для скважины. На границе расчетной области задается условие пепро-

текания, а на скважинах - фиксированное забойное давление.

В разделе 2.2 описывается метод интегрирования по времени системы уравнений двухфазной фильтрации (З)-(б) неявный по давлению и явный по насыщенности (IMPES - Implicit Pressure, Explicit Saturation). Метод состоит из последовательного решения уравнения для давления (неявная схема) и явного решения уравнения для насыщенности.

В разделе 2.3 рассматривается полностью неявная схема для интегрирования по времени системы уравнений (3)-(6). Выписывается неявная схема и нелинейная невязка для уравнения (3) в ячейке :

R1 • =

"a,j

Ti

<t>sa\l Л^Лп + дг+1Л1уиа_<ь4'

dx, а = w,o,

В а ) { V ) i \ Р<* у

для 1-го приближения к значению на временном шаге п + 1.

Получаемая нелинейная система Ra= 0 для а = w,o решается методом Ньютона:

J{xl)5xl = - R(xl), =xl+Sxl,

где х = | ^° ] - вектор независимых переменных по всем ячейкам сетки, Sw

R(x) = I - вектор нелинейных невязок по всем ячейкам сетки, а

, X / Т^М 1

3(х) = ■ - явно формируемая матрица якобиана.

V /

В разделе 2.4 описывается построение линейной и нелинейной схем дискретизации фильтрационного потока. Рассматривается использование нелинейной противопотоковой аппроксимации для значений насыщенности на гранях сетки на основании линейного восполнения с ограничителем наклона, введенного в первой главе.

В разделе 2.5 приводятся численные эксперименты, демонстрирующие преимущества новой нелинейной схемы дискретизации потока с двухточечным шаблоном по сравнению с линейной схемой: (¡) Нелинейная схема имеет традиционный линейный шаблон в случае ортогональных расчетных сеток с изотропным или анизотропным, но сонаправленным сетке тензором абсолютной проницаемости; (11) Нелинейная схема позволяет получать более точное воспроизведение формы фронта обводнения, времени водяного прорыва и дебйтов нефти и воды на добывающей скважине в случае неортогональных сеток и полного анизотропного тензора проницаемости; (¡11) Использование новой дискретизации вместе с полностью неявной схемой сравнимо по вычислительной сложности с использованием традиционной линейной дискретизации.

В третьей главе диссертации рассматривается подход к представлению двухфазного течения через явную границу раздела фаз.

В разделе 3.1 описывается математическая модель течения вязкой несжимаемой жидкости в изменяющейся во времени расчетной области Граница области Ш^) = Го и Г(<), где - меняющаяся часть неподвижной границы, а Г(£) - свободная граница.

Течение жидкости описывается системой уравнений Навье-Стокса:

где и - векторное поле скорости, р - кинематическое давление, Г - внешняя сила (например, сила тяжести), р - плотность и и - кинематическая вязкость.

Определяются начальные и граничные условия. На Гд задается условие Дирихле для скорости и. На свободной поверхности накладываются кинематическое условие па нормальную компоненту скорости на свободной границе г>г = и|г • пг и условие компенсации нормальной компоненты тензора папря-

V • и = О

жения сг = l/[Vu + (Уи)г]/2 — рI силами поверхностного натяжения тк и внешним давлением рех1: <тпг|г = ткпг — Рех^г- Здесь к - сумма главных кривизн, а г - коэффициент поверхностного натяжения.

Вводится скалярная функция уровня ф и уравнение движения свободной поверхности в продолженном с поверхности гладком поле скорости и:

~ + п- Уф = 0 в М3 х (О,Т]. (8)

В разделе 3.2 описывается метод дробных шагов для интегрирования по времени уравнений (7), (8). Временной шаг алгоритма разбивается на подша-ги:

• Вычисление нового положения свободной поверхности, состоящее из 4 подшагов. (¡) Полулагранжев перенос функции уровня ф{Ь+Д£) по текущему полю скорости. (11) Перенос частиц по текущему полю скорости. (111) Коррекция объема жидкости, (¡у) Восстановление функции уровня ф(Ь + Д£) как расстояния со знаком до поверхности.

• Адаптивное перестроение расчетной сетки.

• Вычисление нового поля скорости и(4+Д£), состоящее из 4 подшагов. (1) Полулагранжев перенос и(£ + Д4) по полю скорости и(<) с предыдущего шага. (И) Обновление и^ + Д£) с учетом вязкости и внешних сил. (ш) Проекция и(£ + Д^ на подпространство бездивергентиых скоростей, (¿у) Продолжение и(£ + Д£) с поверхности на внешнюю часть объема жидкости.

• Выбор нового шага по времени из СРЬ-условия.

В разделе 3.3 рассматриваются динамические гексаэдральные сетки типа восьмеричное дерево. С учетом особенностей структуры сеток вводятся дискретизации основных дифференциальных операторов: градиента давления,

дивергенции скорости, оператора Лапласа скорости. Определяются операторы коррекции объема и восстановления расстояния со знаком до поверхности.

В разделе 3.4 приводятся два численных эксперимента, показывающие сравнение результатов численного моделирования с реальными физическими экспериментами.

В первом эксперименте рассматривается задача об обрушении дамбы, показывается соответствие результатов численного моделирования экспериментальным данным.

Во втором эксперименте изучается задача о падении капли внутри контейнера, частично заполненного жидкостью. Исследуется процесс образования "капли" во время обратного всплеска. Анализируются вычислительная сложность используемых алгоритмов и показывается линейная зависимость времени работы шага алгоритма от числа расчетных ячеек, заполненных жидкостью.

В заключении кратко сформулированы результаты диссертационной работы и сделаны выводы о ее теоретической и практической ценности.

Основные результаты и выводы

Диссертационная работа посвящена разработке и исследованию численных методов, применяемых для трехмерного моделирования двухфазных течений.

В работе предложена и исследована новая монотонная нелинейная схема дискретизации уравнения конвекции-диффузии на основе метода конечных объемов па сетках с многогранными ячейками. Предлагаемая схема гарантирует сохранение неотрицательности дискретного решения, является низко-диссипативной и показывает второй порядок сходимости в дискретной L2-110р-ме для концентрации и первый порядок для потоков на гладком решении.

На основе предложенной схемы дискретизации разработана численная модель двухфазной фильтрации в пористой среде и проведен сравнительный анализ предложенной схемы дискретизации потока с традиционной линейной схемой. Результаты экспериментов с использованием двух схем дискретизации по времени - неявной по давлению, явной по насыщенности IMPES-cxe-мы и полностью неявной схемы - демонстрируют устойчивость решения к неортогоналыюсти расчетной сетки и анизотропии тензора проницаемости, а также невысокую вычислительную сложность новой схемы.

Разработана экономичная технология, включающая численные методы, алгоритмы, структуры данных и комплекс программ, для моделирования трехмерных течений вязкой несжимаемой жидкости со свободной границей. Технология основана на одновременном решении уравнений Навье-Стокса и уравнения функции уровня, описывающего динамику свободной поверхности. Ключевые составляющие технологии - динамические гексаэдральные расчетные сетки, метод дробных шагов для дискретизации по времени и эффективные конечно-объемные и конечно-разностные схемы для дискретизации по пространству.

Список публикаций

1. Nikitin К., Vassilevski Yu. Free surface flow modelling on dynamically refined hexahedral meshes // Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling. 2008. Vol. 23, no. 5. Pp. 469-485.

2. Nikitin K., Vassilevski Yu. A monotone finite folume method for advection-dif-fusion equations on unstructured polyhedral meshes in 3D // Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling. 2010. Vol. 25, no. 4. Pp. 335-358.

3. Никитин К. Д. Нелинейный метод конечных объемов для задач многофазной фильтрации // Математическое моделирование. 2010. Т. 22, № 11. С. 131-147.

4. Никитин К. Д. Реалистичное моделирование свободной водной поверхности на адаптивных сетках типа восьмеричное дерево // Научно-технический вестник СПбГУ ИТМО. 2010. Т. 70, № 6. С. 60-64.

5. Никитин К. Д. Технология расчёта течений со свободной границей с использованием динамических гексаэдральных сеток // Численные методы, параллельные вычисления и информационные технологии. М.: МГУ, 2008. С. 183-198.

6. Никитин К. Д., Сулейманов А. Ф., Терехов К. М. Технология моделирования течений со свободной поверхностью в реалистичных сценах // Труды Математического центра им. Н.И. Лобачевского. 2009. Т. 39. С. 305-307.

7. Nikitin К. D., Olshanskii М. A., Terekhov К. М., Vassilevski Yu. V. Preserving distance property of level set function and simulation of free surface flows on adaptive grids // Численная геометрия, построение расчетных сеток и высокопроизводительные вычисления. 2010. Pp. 25-32.

Заказ № 173-^11/2010 Подписано в печать 22.11.2010 Тираж 85 экз. Усл. п.л. 0,6

ООО "Цифровичок", тел. (495) 649-83-30 www.cfr.ru; е-таИ:info@cfr.ru

Введение

Обзор используемой терминологии

Глава 1. Монотонная консервативная схема для задачи конвекции-диффузии

1.1. Стационарное уравнение конвекции-диффузии.

1.2. Монотонная нелинейная схема конечных объемов на сетках с многогранными ячейками.

1.3. Сеточная система и свойства дискретного решения.

1.4. Численные эксперименты.

Глава 2. Численная модель двухфазной фильтрации в неоднородной пористой среде.

2.1. Уравнения двухфазной фильтрации.

2.2. Схема, неявная по давлению, явная по насыщенности (1МРЕЭ)

2.3. Полностью неявная схема.

2.4. Схемы дискретизации потоков.

2.5. Численные эксперименты.

Глава 3. Численная модель течения несжимаемой жидкости со свободной поверхностью.

3.1. Математическая модель.

3.2. Численное интегрирование по времени.

3.3. Пространственная дискретизация на адаптивных сетках

3.4. Численные эксперименты.

При решении современных инженерных и научных задач часто возникает необходимость численного моделирования двухфазных течений. В настоящей работе рассматриваются два подхода к представлению двухфазного течения: две фазы либо заполняют один объем, выражаясь при этом через насыщенности, либо имеют явную границу раздела.

В первом случае будем рассматривать модель двухфазной фильтрации в пористой среде, которая описывает вторую стадию добычи нефти (называемую заводнениель). На этой стадии вода закачивается в нагнетательную скважину, вытесняя нефть, которая выходит через производящую скважину. Численное моделирование этого процесса необходимо для построения оптимальной стратегии разработки нефтегазового месторождения.

Во втором случае будем изучать течение вязкой несжимаемой жидкости со свободной границей. Данная модель позволяет описывать как течение двух жидкостей с явной границей раздела, так и систему жидкость-воздух или жидкость-вакуум. Рассматриваемый класс задач включает движение I морских волн, заливание и обтекание объектов, падение капель, образование брызг и многое другое. Моделирование подобных явлений представляет собой технологически сложную задачу в связи с необходимостью отслеживать динамику жидкости в области с постоянно изменяющейся границей.

Процесс решения задач математической физики можно разделить на несколько этапов: построение расчетной сетки, дискретизация [10, 11, 21], позволяющая преобразовать дифференциальное уравнение в систему алгебраических уравнений, и решение системы алгебраических уравнений [9, 12, 24, 82]. В данной работе центральную часть занимают дискретизации.

Рассмотрим детально первый подход к представлению двухфазных течений. В приложениях, связанных с моделированием процесса разработки нефтегазового месторождения, широко используются неструктурированные сетки разных типов, например, гексаэдральные, призматические или гибридные, состоящие из ячеек разного типа (тетраэдральных, призматических, гек-саэдральных). Данные сетки подпадают под определение конформных сеток с многогранными ячейками.

В инженерном сообществе востребованы простые консервативные схемы, применимые на произвольных неструктурированных сетках для задач с анизотропными свойствами среды. Кроме того, во многих практических задачах важно, чтобы численное решение отвечало определенным физическим требованиям, например, было неотрицательно. Консервативные линейные схемы на неструктурированных сетках хорошо известны: это метод конечных объемов с многоточечной дискретизацией потока [27] (MPFA - multipoint flux approximaion), метод смешанных конечных элементов [39] (MFE - mixed finite element), метод опорных операторов [20, 61] (MFD - mimetic finite difference). Они имеют второй порядок точности, однако не являются монотонными, в том смысле, что не гарантируют сохранение неотрицательности дискретного решения для полных анизотропных тензоров диффузии или иеортогональ-иых сеток. Метод конечных объемов со степенями свободы, связанными с центрами ячеек, и линейной двухточечной дискретизацией потока является монотонным, однако может не обеспечивать аппроксимации при решении задач с анизотропными коэффициентами на неструктурированных сетках. Тем не менее, именно этот метод традиционно используется для решения задач моделирования процессов фильтрации в пористой среде в силу своей монотонности, простоты его реализации на ЭВМ и возможности получения решения на произвольных многогранных сетках.

В первой главе диссертационной работы рассматривается метод конечных объемов для задачи конвекции-диффузии, который обеспечивает аппроксимацию потоков и сохраняет неотрицательность дискретного решения. Метод принадлежит к классу методов с нелинейной дискретизацией потока [1, 6, 46, 58, 59, 62-64, 72, 95]. Предлагаемый метод основан на схеме дискретизации уравнения диффузии с полным анизотропным разрывным тензором диффузии на неструктурированных сетках с многогранными ячейками [4, 46]. В настоящей работе предлагается расширение данной схемы на случай уравнения конвекции-диффузии с разрывным полем скорости [72]. Стоит отметить, что вопрос эффективного решения систем уравнений, возникающих при дискретизации задачи конвекции-диффузии, не рассматривается в данной работе. Этому вопросу посвящен ряд публикаций [19, 30, 45, 50]

Одной из основных трудностей при решении уравнений конвекции-диффузии является подавление нефизичных осцилляций в численном решении. Такие осцилляции могут возникать в задачах с доминирующей конвекцией в пограничных и внутренних слоях, а также в задачах с доминирующей диффузией на неортогональных сетках и в случае сильно анизотропной среды.

В методах конечных элементов распространенным способом подавления нефизичных осцилляций является метод SUPG (Streamline Upwind / Pet-rov-Galerkin) [40]. Однако, осцилляции все равно могут появляться при решении задачи методом SUPG. Методы, уменьшающие нефизичных осцилляции, (SOLD - Spurious Oscillations at Layers Diminishing) [56] являются обобщением метода SUPG и удовлетворяют дискретному принципу максимума, по крайней мере, на некоторых модельных задачах.

Для дискретизации конвективных потоков можно использовать проти-вопотоковую аппроксимацию, контролируемую через ограничение наклона [37, 42, 60] или внесение искусственной вязкости [35, 67]. Предлагаемая в диссертационной работе дискретизация конвективного потока является расширением предложенного в [64] двумерного метода на случай трехмерного пространства. Метод основан на идее монотонной противопотоковой схемы для законов сохранения (MUSCL - Monotone Upstream-centered Schemes for Conservation Laws) [93] и использует кусочно-линейное разрывное восполнение с ограничителем наклона [54] для решения на многогранных ячейках. Суть линейного восполнения заключается в том, что на каждой ячейке восстанавливается линейная функция, которая минимально отклоняется от значений в заданных точках и при этом отвечает условиям монотонности схемы.

Для дискретизации диффузионного потока применяется нелинейная двухточечная дискретизация потока на многогранных ячейках, предложенная в [46]. Идея монотонного метода конечных объемов для параболических уравнений на треугольных сетках предложена К. ЛеПотье в [58]. В дальнейшем метод был распространен на более широкий класс сеток и уравнений [1, 6, 62, 95] и требовал интерполяции решения с основных переменных, определенных в ячейках, на вспомогательные переменные, определенные в узлах сетки. Использование интерполяции влияет на точность решения, а также на скорость итерационного решения нелинейной системы. Была разработана двумерная схема, не зависящая от интерполяции [63], которая впоследствии была расширена на трехмерный случай в [46]. Последняя схема формально не является безинтерполяционной и может потребовать интерполяции для небольшого числа вспомогательных переменных. Тем не менее, это не влияет на свойства схемы, поскольку большая часть интерполяций выполняется на основании физических принципов, таких как непрерывность полного потока на гранях сетки, по которым идет разрыв тензора диффузии.

Предлагаемый метод конечных объемов точен на линейных решениях. Благодаря этому на задачах с гладким решением можно ожидать второй порядок сходимости в сеточной Z/2-норме, что подтверждается численными экспериментами. Кроме того, эксперименты демонстрируют монотонность метода в смысле сохранения неотрицательности численного решения. Двухточечная дискретизация потока привлекательна с технологической точки зрения благодаря компактности получаемого шаблона дискретизации и формированию разреженной матрицы даже на сетках с1 многогранными ячейками. Отметим, что для задачи диффузии с диагональным диффузионным тензором на кубических сетах шаблон сводится к традиционному семиточечному шаблону.

При использовании нелинейного метода конечных объемов, возникает необходимость решать системы нелинейных уравнений. Для решения последних используется метод последовательных приближений (метод Пикара), который гарантирует сохранение неотрицательности решения на каждом шаге. Использование метода Пикара повышает вычислительную сложность нелинейного метода конечных объемов по сравнению с линейным, поскольку требует решения нескольких систем линейных уравнений вместо одной.

На основании предложенных схем дискретизации диффузионного и конвективного потоков строится численная модель двухфазной фильтрации в пористой среде [5, 16, 23, 31, 43]. Для дискретизации по времени используются два наиболее популярных метода: метод, неявный по давлению, явный по насыщенности (ШРЕЭ-метод) и полностью неявный метод. Оба метода подразумевают использование дискретизации диффузионного потока Дарси на гранях ячеек. Стабилизация схемы осуществляется путем использования про-тивопотоковой аппроксимации для значений насыщенности на гранях. Для сохранения второго порядка значения на гранях вычисляются на основании линейного восполнения с ограничителем наклона, аналогичного тому, который разработан для конвективного потока в первой главе диссертации.

Модель используется для описания процесса заводнения, при котором закачиваемая в нагнетательные скважины вода вытесняет из пористой среды нефть. Дебит нефтяной скважины (то есть объем добычи) - один из основных ее технико-экономических показателей. Точность его определения и предсказания напрямую влияет на эффективность добычи как отдельной скважины, так и их совокупности. Специфика процесса заводнения такова, что в тот момент, когда фронт обводнения достигает производящей скважины и происходит водяной прорыв, добыча нефти на производящей скважине резко сокращается. По этой причине, одной из важных задач моделирования процесса двухфазной фильтрации является точный расчет времени водяного прорыва и картины распространения фронта обводнения.

Цель второй главы диссертации - показать, что качество дискретизации диффузионного потока оказывает большое влияние на основные показатели моделирования разработки месторождения, такие как объем добычи, время прорыва и поведение водяного фронта. Производится сравнение двух схем дискретизации диффузионного потока с двухточечным шаблоном: традиционной линейной схемы и новой нелинейной. Многоточечная аппроксимация потока в данной работе не рассматривается в силу ее высокой арифметической сложности и немонотонности [27].

В случае, когда расчетная сетка ортогональна, а тензор проницаемости изотропен или анизотропен, но сонаправлен сетке, коэффициенты для линейной и нелинейной схем дискретизации потоков совпадают. В противном случае линейная схема не обеспечивает аппроксимации, в то время как нелинейная схема сохраняет первый порядок аппроксимации потока.

В третьей главе диссертации рассматривается подход к представлению двухфазного течения через явную границу раздела фаз.

Возможны разные подходы к эффективному и точному моделированию течений со свободной поверхностью. Они включают в себя методы, явно отслеживающие свободную границу [90, 91], и методы, основанные на неявном восстановлении поверхности [79, 88]. Методы конечных разностей [53], конечных объемов [51] и конечных элементов [33, 34] применяются для дискретизации задачи по пространству.

Самые важные процессы, описывающие поведение жидкости, обычно происходят вблизи свободной поверхности, а сама поверхность может претерпевать серьезные топологические изменения. В связи с этим распространенной практикой является использование адаптивных сеток, сгущающихся к текущему положению свободной границы [36, 51].

Большинство адаптивных технологий основаны на локально сгущающихся треугольных (тетраэдральных) сетках и конечно-элементных дискретизациях [36, 49], которые позволяют отслеживать сложные формы, возникающие при продвижении свободной поверхности. Недостатком подобного подхода для задач с постоянно меняющимся положением поверхности являются высокие вычислительные затраты, связанные с перестроением расчетной сетки, хранением и обработкой данных. Адаптивные декартовы сетки, напротив, хорошо подходят для динамического сгущения или разгрубления сстки. По этой причине динамические сетки типа восьмеричное дерево традиционно используются в обработке изображений [89], визуализации дыма и воды [66] и других приложениях, в которых могут возникать поверхности сложной нетривиальной формы [69].

Дискретизации, основанные на сетках типа четверичное или восьмеричное дерево активно используются при моделировании течений со свободной поверхностью [70, 80, 87], однако точные и эффективные схемы для подобных сеток все еще требуют дополнительного изучения.

В диссертационной работе предложена эффективная экономичная технология, основанная на конечно-объемных дискретизациях на декартовых сетках типа восьмеричное дерево, которая предполагает простую структуру данных, позволяет динамически перестраивать расчетные сетки, пригодна для многопроцессорной реализации и обладает достаточной точностью для изучения поведения трехмерных течений со свободной поверхностью.

Традиционная математическая модель, описывающая течение вязкой несжимаемой жидкости со свободной границей, основана на одновременном решении уравнений Навье-Стокса и уравнения функции уровня, описывающего поведение свободной поверхности [85]. Помимо известных сложностей, связанных с расчетом течения жидкости, обработка свободной поверхности привносит дополнительные трудности. Во-первых, нахождение области, в которой решаются уравнения Навье-Стокса, само по себе должно быть частью вычислительного процесса. Во-вторых, свободная граница может претерпевать серьезные изменения, такие как слияние и разделение фронтов. Для отслеживания подобных изменений требуется адаптивно сгущать расчетную сетку вблизи поверхности. В-третьих, для корректного воспроизведения сил поверхностного натяжения необходимо вычислять вектор нормали и локальную кривизну свободной поверхности. Это, в свою очередь, требует, чтобы функция уровня, описывающая положение свободной границы, определяла расстояние (со знаком) до поверхности.

Предлагаемый подход основан на методе дробных шагов для дискретизации по времени [26]. Схема расщепления разбивает каждый временной шаг на отдельные подшаги для вычисления скорости, давления и функции уровня. Используются декартовы гексаэдральные сетки типа восьмеричное дерево, динамически сгущающиеся к поверхности в каждый момент времени. Для дискретизации операторов дивергенции, градиента и Лапласа используются компактные конечно-объемные и конечно-разностные схемы. Свойство расстояния до поверхности восстанавливается путем решения дискретного уравнения Эйконала (так называемая операция реинициализации). Метод частиц

47] дополняет метод функции уровня и позволяет лучше сохранять объем жидкости.

Актуальность работы. При моделировании процессов переноса и фильтрации в пористой среде часто приходится сталкиваться с сильно неоднородными свойствами среды и проводить расчеты на произвольных сетках с многогранными ячейками. Важным требованием к используемым схемам является сохранение неотрицательности получаемого численного решения, поскольку отрицательные значения таких величин, как концентрация или насыщенность, могут порождать сложности при расчете свойств жидкостей и химических взаимодействий. По этой причине востребованными являются монотонные консервативные схемы дискретизации, работающие на произвольных неструктурированных расчетных сетках и позволяющие решать задачи в неоднородных средах. При изучении динамики вязкой несжимаемой жидкости со свободной поверхностью важным критерием является достоверный расчет положения и характеристик свободной поверхности. Эффективное решение подобных задач требует использования динамических адаптивных расчетных сеток высокого разрешения и экономичных методов численного моделирования совместной динамики жидкости и свободной поверхности.

Цель диссертационной работы. Целями диссертационной работы являются разработка монотонной консервативной схемы дискретизации уравнения конвекции-диффузии с компактным шаблоном дискретизации потока, создание на ее основе численной модели процессов двухфазной фильтрации в пористой среде, разработка экономичной технологии моделирования трехмерных течений вязкой несжимаемой жидкости со свободной границей.

Научная новизна. В работе предложена и исследована монотонная нелинейная схема дискретизации конвективного потока для уравнения конвекции-диффузии на неструктурированных сетках с многогранными ячейками. Проведен сравнительный анализ использования традиционной линейной и новой нелинейной схем дискретизации потока с двухточечным шаблоном на примере задачи двухфазной фильтрации. Разработана и исследована экономичная технология моделирования течений вязкой несжимаемой жидкости со свободной границей.

Практическая значимость. Практическая значимость диссертационной работы заключается в создании комплекса программ для приближенного решения уравнения конвекции-диффузии на сетках с многогранными ячейками и численного моделирования процесса двухфазной фильтрации в пористой среде, описывающего разработку нефтегазовых месторождений. Создана технологическая цепочка, включающая в себя задание расчетной области, численное моделирование течения вязкой несжимаемой жидкости со свободной поверхностью и последующую визуализацию.

На защиту выносятся следующие основные результаты:

1. Предложена и исследована новая монотонная нелинейная схема дискретизации уравнения конвекции-диффузии па основе метода конечных объемов на сетках с многогранными ячейками.

2. На основе предложенной схемы дискретизации разработана численная модель двухфазной фильтрации в пористой среде и проведен сравнительной анализ предложенной схемы дискретизации с традиционной линейной схемой.

3. Разработана экономичная технология, включающая численные методы, алгоритмы, структуры данных и комплекс программ, для моделирования трехмерных течений вязкой несжимаемой жидкости со свободной границей.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались автором и обсуждались на научных семинарах Института вычислительной математики РАН, Института прикладной математики РАН, Вычислительного центра РАН, Московского физико-технического института, Механико-математического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова, Upstream Research Center of ExxonMobil corp. г.Хыостон (США) и на следующих научных конференциях: конференция "Тихоновские чтения" (МГУ, Москва, ноябрь 2007); конференции "Ломоносов" (МГУ, Москва, апрель 2008, апрель 2010); конференции "Ломоносовские чтения" (МГУ, Москва, апрель 2009, апрель 2010); конференция молодых ученых "Технологии высокопроизводительных вычислений и компьютерного моделирования" (СПбГУ ИТМО, С.-Петербург, апрель 2009); международная конференция "SIAM Geosciences 2009" (Лейпциг, Германия, июнь 2009); международная конференция "Computational Methods in Applied Mathematics: CMAM-4" (Познань, Польша, июнь 2010); международные конференции "NUMGRID-2008" и "NUMGRID-2010" (ВЦ РАН, Москва, июнь 2008, октябрь 2010); международный научный семинар "Advances on Numerical Methods for Multiphase and Free Surface Flows" (ИВМ PAH, Москва, июнь 2009); международный научный семинар "Computational Mathematics and Applications" (Технологический университет Тампере, Тампере, Финляндия, сентябрь 2009).

Публикации. Основные материалы диссертации опубликованы в 7 печатных работах: 4 статьи - в рецензируемых журналах, входящих в перечень ВАК, [16, 17, 71, 72] и 3 статьи - в сборниках научных трудов [15, 18, 73].

Личный вклад автора. В совместных работах [18, 71, 73] вклад автора заключался в разработке вычислительного ядра технологии моделирования течения вязкой несжимаемой жидкости со свободной границей и проведении численных экспериментов.

В совместной работе [72] вклад автора заключался в разработке нелинейной схемы дискретизации уравнения конвекции-диффузии в трехмерном пространстве, программной реализации метода и проведении численных экспериментов.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, обзора используемой терминологии, трех глав, заключения и списка литературы из 95 наименований. Диссертационная работа содержит 28 рисунков и 12 таблиц. Общий объем диссертационной работы - 105 страниц.

Выводы по третьей главе

В третьей главе представлена экономичная технология моделирования течений вязкой несжимаемой жидкости со свободной поверхностью, основанная на одновременном решении уравнений Навье-Стокса и уравнения функции уровня, описывающего динамику свободной границы. Ключевые составляющие технологии - динамические гексаэдральные расчетные сетки, метод дробных шагов для дискретизации по времени и эффективные конечно-объемные и конечно-разностные схемы для дискретизации по пространству.

Приведенные численные эксперименты демонстрируют соответствие получаемых результатов реальным физическим экспериментам, а также эффективное и экономичное использование вычислительных ресурсов.

Заключение

Диссертационная работа посвящена разработке и исследованию численных методов, применяемых для трехмерного моделирования двухфазных течений.

В работе предложена и исследована новая монотонная нелинейная схема дискретизации уравнения конвекции-диффузии на основе метода конечных объемов на сетках с многогранными ячейками. Предлагаемая схема гарантирует сохранение неотрицательности дискретного решения, является низко-диссипативной и показывает второй порядок сходимости в дискретной 1/2-порме для концентрации и первый порядок для потоков на гладком решении.

На основе предложенной схемы дискретизации разработана численная модель двухфазной фильтрации в пористой среде и проведен сравнительный анализ предложенной схемы дискретизации потока с традиционной линейной схемой. Результаты экспериментов с использованием двух схем дискретизации по времени - неявной по давлению, явной по насыщенности 1МРЕ8-схе-мы и полностью неявной схемы - демонстрируют устойчивость решения к неортогональности расчетной сетки и анизотропии тензора проницаемости, а также невысокую вычислительную сложность новой схемы.

Разработана экономичная технология, включающая численные методы, алгоритмы, структуры данных и комплекс программ, для моделирования трехмерных течений вязкой несжимаемой жидкости со свободной границей. Технология основана на одновременном решении уравнений Навье-Стокса и уравнения функции уровня, описывающего динамику свободной поверхности. Ключевые составляющие технологии - динамические гексаэдральные расчет- -ные сетки, метод дробных шагов для дискретизации по времени и эффективные конечно-объемные и конечно-разностные схемы для дискретизации по пространству.

1. Василевский Ю. В., Капырин И. В. Две схемы расщепления для нестационарной задачи конвекции-диффузии на тетраэдральных сетках // Ж. Выч. Мат. и Мат. Физ. 2008. Т. 48, № 8. С. 1429-1447.

2. Воеводин В. В., Кузнецов Ю. А. Матрицы и вычисления. М.: Наука, 1984.

3. Гилбарг Д., Трудингер Н. Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка. М.: Наука, 1989.

4. Данилов А. А. Технология построения неструктурированных сеток и монотонная дискретизация уравнения диффузии: Кандидатская диссертация / ИВМ РАН. Москва, 2010.

5. Каневская Р. Д. Математическое моделирование гидродинамических процессов разработки месторождений углеводородов. Москва, Ижевск, 2003.

6. Капырин И. В. Семейство монотонных методов численного решения трёхмерных задач диффузии на неструктурированных тетраэдральных сетках // Доклады Академии Наук. 2007. Т. 614, № 5. С. 588-593.

7. Ладыженская О. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.: Наука, 1973.

8. Лебедев В. И. Разностные аналоги ортогональных разложений, основных дифференциальных операторов и некоторых краевых задач математической физики // ЖВМиМФ. 1964. Т. 4. С. 449-465,649-659.

9. Лебедев В. И., Агошков В. И. Операторы Пуанкаре-Стеклова и их приложения в анализе. М.: ОВМ АН СССР, 1983.

10. Марчук Г. И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1989.

11. Марчук Г. И., Агошков В. И. Введение в проекционно-сеточные методы. М.: Наука, 1981.

12. Марчук Г. И., Кузнецов Ю. А. Итерационные методы и квадратичные функционалы // Методы вычислительной математики. Новосибирск: Наука, 1975.

13. Михлин С. Г. Вариационные методы в математической физике. М.: Наука, 1970.

14. Научно-популярная передача: Time Warp, http://time-warp.ru/.

15. Никитин К. Д. Технология расчёта течений со свободной границей с использованием динамических гексаэдральных сеток / / Численные методы, параллельные вычисления и информационные технологии. М.: МГУ, 2008. С. 183-198.

16. Никитин К. Д. Нелинейный метод конечных объемов для задач многофазной фильтрации // Математическое моделирование. 2010. Т. 22, № 11. С. 131-147.

17. Никитин К. Д. Реалистичное моделирование свободной водной поверхности на адаптивных сетках типа восьмеричное дерево // Научно-технический вестник СПбГУ ИТМО. 2010. Т. 70, № 6. С. 60-64.

18. Никитин К. Д., Сулейманов А. Ф., Терехов К. М. Технология моделирования течений со свободной поверхностью в реалистичных сценах // Труды Математического центра им. Н.И. Лобачевского. 2009. Т. 39. С. 305-307.

19. Ольшанский М. А. Анализ многосеточного метода для уравнений конвекции-диффузии с краевыми условиями Дирихле // ЖВМ и МФ. 2004. Т. 44, № 8. С. 1450-1479.

20. Пергамент А. X., Семилетов В. А. Метод опорных операторов для эллиптических и параболических краевых задач с разрывными коэффициентами в анизотропных средах // Математическое моделирование. 2007. Т. 19, № 5. С. 105-115.

21. Самарский А. А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1982.

22. Самарский А. А., Вабищевич П. Н. Численные методы решения задач конвекции-диффузии. М.: Эдиториал УРСС, 1999. 248 с.

23. Сухинов А. А. Математическое моделирование процессов переноса примесей в жидкостях и пористых средах: Кандидатская диссертация / ИММ РАН. Москва, 2009.

24. Тыртышников Е. Е. Методы численного анализа. М.: Издательский центр "Академия", 2007.

25. Чернышенко А. Ю. Разработка новой разностной схемы на сетках типа восьмеричное дерево для моделирования течения вязкой несжимаемой жидкости. Динломная работа, Мех.-мат. ф-т. МГУ им. М.В.Ломоносова, Москва, 2010.

26. Яненко Н. Н. Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики. Новосибирск: Наука, 1967.

27. Aavatsmark I., Eigestad G., Mallison В., Nordbotten J. A compact multipoint flux approximation method with improved robustness // Num. Meth. for Part. Diff. Eqs. 2008. Vol. 24, no. 5. Pp. 1329-1360.

28. Adalsteinsson D., Sethian J. A. The fast construction of extension velocities in level set methods //J. Comput. Phys. 1999. Vol. 148. Pp. 2-22.

29. Adalsteinsson G. D., Sethian J. A. On maximum principles for monotone matrices // Linear Algebra Appl. 1986. Vol. 78. Pp. 147-161.

30. Agoshkov V., Gervasio P., Quarteroni A. Optimal control in heterogeneous domain decomposition methods for advection-diffusion equations // Mediterranean Journal of Mathematics. 2006. Vol. 3. Pp. 147-176.

31. Aziz K., Settari A. Petroleum Reservoir Simulation. London: Applied Sci. Publ. Ltd, 1979.

32. Bank R. E., Dupont T. F., Yserentant H. The hierarchical basis multigrid method // Numer. Mathem. 1988. Vol. 52. Pp. 427-458.

33. Bansch E. Finite element discretization of the Navier-Stokes equations with a free capillary surface // Numer. Math. 2001. Vol. 88. Pp. 203-235.

34. Behr M. Stabilized space-time finite element formulations for free surface flows // Comm. Numer. Meth. Engrg. 2001. Vol. 11. Pp. 813-819.

35. Benson D. A new two-dimensional flux-limited shock viscosity for impact calculations // Comput. Meth. Appl. Mech. Engr. 1991. Vol. 93. Pp. 39-95.

36. Bertakis E., Gross S., Grande J. et al. Validated simulation of droplet sedimentation with finite-element and level-set methods // Chem. Eng. Science. 2001. Vol. 65. Pp. 2037-2051.

37. Bertolazzi E., Manzini G. A cell-centered second-order accurate finite volume method for convection-diffusion problems on unstructured meshes // Mathematical Models k Methods In Applied Sciences. 2004. Vol. 14, no. 8. Pp. 1235-1260.

38. Bramble J., Pasciak J., Xu. J. Parallel multilevel preconditioners // Math. Comp. 1990. Vol. 88. Pp. 1-22.

39. Brezzi F., Fortin M. Mixed and Hybrid Finite Element Methods. New York: Springer-Verlag, 1991.

40. Buscaglia G. C., Dari E. A., Mut F. A new mass-conserving algorithm for level set redistancing on unstructured meshes // Mecanica Computacional. 2004. Vol. 23. Pp. 1659-1678.

41. Chavent G., Jaffre J. Mathematical models and finite elements for reservoir simulation. B.V., Netherlands: Elsevier Science Publishers, 1986.

42. Chen Z., Huan G., Ma Y. Computational Methods for Multiphase Flows in Porous Media. SIAM, 2006.

43. Chorin A. Numerical solution of the Navier-Stokes equations // Math. Comp. 1968. Vol. 22. Pp. 745-762.

44. Cleary A., Falgout R., Henson V. et al. Robustness and scalability of algebraic multigrid // SIAM J.Sci.Comp. 2000. Vol. 21. Pp. 1886-1908.

45. Danilov A., Vassilevski Yu. A monotone nonlinear finite volume method for diffusion equations on conformal polyhedral meshes // Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling. 2009. Vol. 24, no. 3. Pp. 207-227.

46. Enright D., Fedkiw R., Ferziger J., Mitchell I. A hybrid particle level set method for improved interface capturing //J. Comp. Phys. 2002. Vol. 183. Pp. 83-116.

47. Enright D., Losasso F., Fedkiw R. A fast and accurate semi-Lagrangian particle level set method // Comput. Struct. 2005. Vol. 83. Pp. 479-490.

48. Esser P., Grande J., Reusken A. An extended finite element method applied to levitated droplet problems // Int. J. for Numer. Meth. in Engineering. 2010. Vol. 84, no. 7. Pp. 757—773.

49. Garbey M., Kuznetsov Yu., Vassilevski Yu. Parallel Schwarz method for a convection-diffusion problem // SIAM J.Sci.Comp. 2000. Vol. 22, no. 3. Pp. 891-916.

50. Ginzburg I., Wittum G. Two-Phase Flows on Interface Refined Grids Modeled with VOF, Staggered Finite Volumes, and Spline Interpolants //J. Comp. Phys. 2001. Vol. 166. Pp. 302-335.

51. Gross S., Reichelt V., Reusken A. A finite element based level set method for two-phase incompressible flows // Computing and Visualization in Science. 2006. Vol. 9, no. 4. Pp. 239-257.

52. Harlow F., Welch J. Numerical calculation of time-dependent viscous incompressible flow of fluid with free surface // Phys. Fluids. 1965. Vol. 8. Pp. 2182-2189.

53. Hubbard M. E. Multidimensional slope limiters for MUSCL-type finite volume schemes on unstructured grids //J. Comp. Phys. 1999. Vol. 155, no. 1. Pp. 54-74.

54. Hughes T. J. R., Mallet M., Mizukami A. A new finite element formulation for computational fluid dynamics. II. Beyond SUPG // Comp. Meth. Appl. Mech. Engrg. 1986. Vol. 54. Pp. 341-355.

55. John V., Knobloch P. On spurious oscillations at layers diminishing (SOLD) methods for convection-diffusion equations: Part I A review. // Comp. Meth. Appl. Mech. Engrg. 2007. Vol. 196.' Pp. 2197-2215.

56. Lachaud J.-O. Topological^ defined iso-surfaces // DGCI. 1996. Pp. 245-256.

57. LePotier C. Schema volumes finis monotone pour des operateurs de diffusion fortement anisotropes sur des maillages de triangle non structures // C. C. Acad. Sci. Paris, 2005. Vol. 341. Pp. 787-792.

58. LePotier C. Finite volume scheme satisfying maxcimum and minimum principles for anisotropic diffusion operators // Finite Volumes for Complex Applications / Ed. by R. Eymard, J.-M. Hérard. 2008. Pp. 103-118.

59. LeVeque R. J. Finite Volume Methods for Hyperbolic Problems. Cambridge Texts in Applied Mathematics, 2002.

60. Lipnikov K., Gyrya V. High-order mimetic finite difference method for diffusion problem on polygonal meshes // J. Comp. Phys. 2008. Vol. 227. Pp. 8841-8854.

61. Lipnikov K., Svyatskiy D., Shashkov M., Vassilevski Yu. Monotone finite volume schemes for diffusion equations on unstructured triangular and shape-regular polygonal meshes // J. Comp. Phys. 2007. Vol. 227. Pp. 492-512.

62. Lipnikov K., Svyatskiy D., Vassilevski Yu. Interpolation-free monotone finite volume method for diffusion equations on polygonal meshes //J. Comp. Phys. 2009. Vol. 228, no. 3. Pp. 703-716.

63. Lipnikov K., Svyatskiy D., Vassilevski Yu. A monotone finite volume method for advection-diffusion equations on unstructured polygonal meshes //J. Comp. Phys. 2010. Vol. 229. Pp. 4017 4032.

64. Lorensen W., Cline H. Marching Cubes: A High Resolution 3D Surface Construction Algorithm // Computer Graphics. 1987. Vol. 21, no. 4. Pp. 163-169.

65. Losasso F., Gibou F., Fedkiw R. Simulating water and smoke with an octree data structure // ACM Transactions on Graphics. 2004. Vol. 23, no. 3. Pp. 457-462.

66. Manzini G., Russo A. A finite volume method for advection-diffusion problems in convection-dominated regimes // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 2008. Vol. 197, no. 13-16. Pp. 1242-1261.

67. Martin J., Moyce W. An experimental study of the collapse of liquid columns on a rigid horizontal plane // Philos.Trans.R.Soc.Lond.Ser.A. 1952. Vol. 244. Pp. 312-324.

68. Meagher D. Geometric modeling using octree encoding // Computer Graphics and Image Processing. 1982. Vol. 19. Pp. 129-147.

69. Min C., Gibou F. A second order accurate level set method on non-graded adaptive cartesian grids // J. Comp. Phys. 2007. Vol. 225. Pp. 300-321.

70. Nikitin K., Vassilevski Yu. Free surface flow modelling on dynamically refined hexahcdral meshes // Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling. 2008. Vol. 23, no. 5. Pp. 469-485.

71. Nikitin K., Vassilevski Yu. A monotone finite folume method for advection-diffusion equations on unstructured polyhedral meshes in 3D // Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling. 2010. Vol. 25, no. 4. Pp. 335-358.

72. Olshanskii М. A. Analysis of semi-staggered'finite-difference method with application to Bingham flows // Comp. Meth. Appl. Mech. Eng. 2009. Vol. 198. Pp. 975-985.

73. Osher S., Fedkiw R. Level Set Methods and Dynamic Implicit Surfaces. Springer-Verlag, 2002.

74. Osher S., Sethian J. Fronts propagating with curvature-dependent speed: Algorithms based on Hamilton-Jacobi equations //J. Comp. Phys. 1988. Vol. 79. Pp. 12-49.

75. Peaceman D. W. Fundamentals of Numerical Reservoir Simulation. New York: Elsevier, 1977.

76. Peaceman D. W. Interpretation of Well-Block Pressures in Numerical Reservoir Simulation // SPEJ. 1978. Pp. 183-194.

77. Pilliod J. E., Puckett E. G. Second-order accurate volume-of-fluid algorithms for tracking material interfaces //J. Comp. Phys. 2004. Vol. 199. Pp. 465-502.

78. Popinet S. An accurate adaptive solver for surface-tension-driven interfacial flows //J. Comp. Phys. 2009. Vol. 228. Pp. 5838-5866.

79. Quarteroni A., Valli A. Numerical Approximation of Partial Differential Equations. Heidelberg: Springer-Verlag, 1994.

80. Saad Y. Iterative methods for sparse linear systems. SIAM, 2000.

81. Samet H. The Design and Analysis of Spatial Data Structures. New York: Addison-Wesley, 1989.

82. Samet H. Applications of Spatial Data Structures: Computer Graphics, Image Processing and GIS. New York: Addison-Wesley, 1990.

83. Sethian J. A. Level Set Methods and Fast Marching Methods: Evolving Interfaces in Computational Geometry, Fluid Mechanics, Computer Vision, and Materials Science. Cambridge: Cambridge University Press, 1999.

84. Strain J. Semi-Lagrangian methods for level set equations //J. Comput. Phys. 1999. Vol. 151, no. 2. Pp. 498-533.

85. Strain J. Tree Methods for Moving Interfaces //J. Comp. Phys. 1999. Vol. 151. Pp. 616-648.

86. Sussman M., Smereka P., Osher S. A level set approach for computing solutions to incompressible two-phase flow //J. Comp. Phys. 1994. Vol. 114. Pp. 146-159.

87. Szeliski R. Rapid octree construction from image sequences // CVGIP: Image Understanding. 1993. Vol. 58. Pp. 23-32.

88. Tryggvason G., Bunner B., Esmaeeli A. et al. A front-tracking method for the computations of multiphase flow //J. Comp. Phys. 2001. Vol. 169. Pp. 708-759.

89. Varga R. S. Matrix Iterative Analysis. Englewood Cliffs, NJ, USA: Prentice-Hall, 1962.

90. Yuan A., Sheng Z. Monotone finite volume schemes for diffusion equations on polygonal meshes //J. Comp. Phys. 2008. Vol. 227, no. 12. Pp. 6288 6312.