автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Математическое моделирования некоторых задач физики космических лучей с использованием каскадно-вероятностного метода

6 Ой

5 дпр ¡393

министерство образования рлсиуеди1« казахстан а.тал-лтшюкий госудлрствшшл лкшярсптет ищт аблл

На правах гтрспяо^

1Ш1ГОВ Анатолий Констапгшоиэт

УДК 53.072; 53:581.3

штяши'-шжое модеялровашз некоторых задач яшки шсжчесш лучй,! С использованием кажадно-вкгсягносшсго mí5t0ДА

05.13.16 - Примнчгыв вотпслигельной гезняки, математического моделирогшпм л ¡т.гекятетзскях методов я p»yv¡vx

КССЛ9Д0В8НЮТ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации fía сопояялиэ учгноЧ сгепэнл

Ч л

кандидата 'рлзико-магематстоских наук

A-tva-Ars

Диссертация выполнена в лаборатории экспериментальной физики Алма-Атинского государственного университета им.Абая.

Научные руководители: член-корреспондент ЛН.РК,

доктор '{¡изико-У8те"атическпх наук, профессор БООС Э.Г.,

доктор физико-математических наук, профессор КЛГШЯ Л.И.

Официальные оппононтн:"гктор Физико-матегагических наук, п!.о]>;ссор СМЛГУЛОВ И.О.,

доктор -уизикс-катеиагичео.гпх наук ЕРЕМЕНКО Ю.А.

Ведущая организация: институт теоретической и прикладной математики АЧ РК

Залита диссертации состоится . КУЗ г. в 10.00

на заседании специализированного сонета К 0B8.0I.I6 в Казахском ГОсулт°1'®енвом университете им.Аль-5араби по адресу: 460012, г.Алма-Ата, факультет механики и прикладной гпте::атики, аул,316.

С диссертацией ксяяо ознакомиться в библиотеке КазГУ им.Аль-Яарябп.

Авторе:!ера? разослан

" 1уэз г.

Учений -секретарь

сьеп/лл-пзгроранного сов'^в

к си.с:.!*:-',

ФизиК0-.":1Т0!:!/;нч?сг.пх

пргфесаор тРБВЯТЪЕВ И.ф.

- 3 -

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В настоящее ьреыя практически любая область науки и техники ле мелет обойтись без применения методов и средств математического моделирования, математических методов и вычислительной техник» с их программным и математическим обеспечением. Создание математических моделей, описывающих какие-либо процессы, явления, системы, использование численных алгоритмам ц их реализация на ЭВМ являются эффективным средством а научни/ исследованиях. Эти методы применили н ко всему многообразия Физических явлений, куда относятся также задачи космофизического аспекта исследования космического излучения. Одной из ваял их запач физики космических лучей является перзход от изменений интенсивности на уровне регистрации по данньы наблюдений на поперхносщ Земли, на различных высотах в атмосфере и под Землей к соответствующим параметрам на границе атмосферы. Эта задача может быть ре-сена с помощью метода коэффициентов связи мезду вариациями интенсивности на глубине наблюдения и потока первичных частиц. При этом коэффициенты связи определяется интегральной кратностью генерации вторичных частиц (чпегэи частиц, образованных от одной первичной частицы определенной энергии и регистрируемых прибором). При прохождении космических лучей 'через атмосферу происходит каскадный процесс-образования и взаимодействия ядерноактивинх частиц. Поэтому при создании математических моделей пнтегравьнмх кратное-тей 1<й-мезонноЯ и нейтронной компонент возникает необходимость

учитывать множество факторов различного характера и'испольаосать

1 )

получивпай широкое развитие и распространение касяаДио-вероятност ннЯ метод (КВШ, заключающийся а получении

функций (К8Ф) дкя различные частиц и применении при решении задач прохождения их через иыдеоГЕО, и частности, через атмосферу Зеы-ли. На кзмакение условий генерации и прохождения*частиц через атмосферу существенное влияние оказывают также вариации давлений и ' ¡температуры, ito приводи" к изменении интегральной кратности, определяющему метеорологические эффекты. Следовательно, КВ-ыетод используется и при получении барометрических и температурных коэффициентов ью-ие&нмр. и нейтронной 'компонент. Представляют также определенный интерес такие задачи иосмофиэики, кап расчеты потоков нуклонов в атмосфере, энергетических спектров Cjb -мезонов, интенсивности шо-мезонов, исследование спектров вариаций с поаодьв г.озс^ициентоъ сяяьи, для решений которых коано успешно применять i-Sí. Пгречислзньые задачи связаны с нахождением многократных интегралов, ü поэтому возникает необходимость выбора аффективных методов г.х вычисления по точности получения результата и по наиыень-uím затратам машинного времени.

!'г."гг. настоящего исследования является получение и анализ аналитических выражений каскадно-аероятностньк функций дяя неста-üiuibHu;: частиц ( r¿- и ц,- мезонов), интегральных кратностей и ко-^/¡ициеьтой связи мв-мзэонной и нейтронной компонент космического кь лучения, барометрических и температурных эффектов для этих компонент, потоков нуклоноз и спектров -мезонов, а также разра-ioífta численных алгоритмов нахождения указанных величин и расчеты Щ «a при различных параметрах.

Научная искана. Получена аналитические выражения КВ-функций ;\хл - у^ -меьонов, исследоаани их свойства, предельные случаи, указани особенности расчета на oí¿i. Полученные КВФ использованы IV.к яыводе м&т&м&тичьск'лх моделей интегральных кратностей и коэф- '

фиЦКЗНТОВ связи мю-иозокноЯ и нейтронной компонент космических лучей, а тагсхо барометрических и томпорптурнчк эффектов этих компонент. Реализация указанны* модегей на ЭВМ связана с анализом пп»дратурних формул вычисленяя кратких интегралов. 3 результате этево анализа предпочтение получил метод оптимальных коэффициентов. В связи с нестабильность??. ^ -мезонов (распадом на ^ -ыеэонц), с трудностью получения экспериментальных данных по энергетическим спектрам пкокоя и отсутствием до последнего време'нп длшшх эксперимента был рогргботан алгоритм расчета энергетике-гих спектров (¡1- -мезонов для л?збих глубин ¡Ь и углов 0 .

Практическая ценность работы состо-.т в том, что реализация па СЕМ математических иодэлзй рассмс-тривеемых величин даот розмоп-ноегь получить их значения при различны.: параметрах без непосредственных измерений, а также без проведения экспериментов, упк-правило, дорогостоящих.

Ка защиту вшюсятся:

1. Катематичэсвдз модели, алгоритма, прогршлы и результат!' расчетов Ш-функциЛ для $ - и у, -мезонов.

2. Математические модели, числешшо алгоритмы, программы и результаты расчетов интегральных крзтностеЯ и козДкциеитой евт- . •за !'п-!'егоннсГ1 и нейтронной компонент космического излучения.

3. "атематичзсиие модели,- чцсл»нкь-о алгоритм!-', программы к результат» ресчзтов барометрических и температурных эффектов кв-иезонсв и'нейтронов.

4. "атеяаппеские модели задач расчетл потоков нуклонов в лг-ксс-феро, пнтенсиг.ности кв-чезэнм и исследования спектров г-ярнацяй с псио'дья метода коэффициентов связи-

5. Математическая модель, численный алгоритм, программа и результаты расчетов энергетических спектров -мезонов.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались :

- на Международной конференции по физике космических лучей (США, Г.Денвер, 1973);

- на Всесоюзных конференциях по физике космических лучей (г.Ташкент, 1968; г.Тбилиси, 1971; г.Апатиты, 1972);

- на II республиканской конференции ''Проблемы вычислительной математики и автоматизации научных исследований" (г.Алма-Ата, 1938);

- на IX республиканской межвузовской научной конференции по математике и механике (г.Алма-Ата, 1989);

- на научной итоговой годичной конференции профессорско-преподавательского состава КазГУ (г.Алма-Ата, 1971);

- на 39-42 годичных научных конференциях профессорско-преподавательского состава и аспирантов КаэГПУ (г.Алма-Ата, 1988-1991).

Структура и объем работы. .Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка использованных источников из 161 наименования.

Она изложена на 202 страницах машинописного текста, иллюстрируется 22 рисунками.

СОДОШНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы, новизна,, описана структура диссертации, кратко изложено содержание.

Первая глава содержит литературный обзор по основам касчадно-версятностного метода к его использованию 'при решении задач фиэи-

ки космических лучей. Даются теоретический основы КВ-функцяй н

их связь со специальншп дискретными распределениями вероятностей случайных величин (Пуассона, Попа, Бернулли, гкпергеометри-ческим, отрицательным!биномиальны!! и гипергесметрическкы и др.). Показано, что КВ-функции входят в решения иктегродифференцкальньк уравнений каскадного процесса. Приводятся принципы создания математических моделей интегральных кратностей, коэффициентов связи, метеорологических эффектов (барометрических и тестературны::) мв-аезонной а нейтронной компонент на основе учета различных факта-pos кос«сфнзического аспекта и применения каскадно-вероятностного ызтодз с использованием численных методов прикладного анализа к с£У. Показан: i акте ьозмояность применения КШ дзя регагая других задач уязкки космических лучей: потека нуклонов в атмосфера; спектры íji1 -мезонов; исследование вариаций космических лучей о помоцьи

козффкциснтов^вяэи и д>.

Вторая глава посвящена применение каскадно-вероятностного ио-тода к расчстсм интегральной краткости н коэффициентов свягя ira-мезоннэЯ'и нейтронной компонэн? косыичзского иэлучгния.

В первом параграф получена ШЗ-функция -мазонов, смысл вероятности того, что п-.фн, гэ!:эр:<роЕан!;'.г:1 я среда с постоянной пяптдастш jl,. на глубкно ¡1, под уггем 0. с окгргиой £го , достигнет глубины |ь после" и» соудярсний:

(I)

где 1. = - + -д азГ , — (т.= б^> ;

л т.х с . £. х а р —

*= = Т^с ' Л" * '

- соответственно пробег, угол вылета и энергия пиона после 'т.-го взаимодействия; т-у и Ху - месса и время жизни пи-мезона в пс кое; С - скорость света.

Проводится детальный математический анализ КВ-функции (I); рассматриваются различные предельные случаи. Показаны свойства, связанные с нестабильностью пионов, условия перехода функции (I) в каскадно-вероятностную функцию У для стабильных частиц. Приведен также вывод КВ$ для пионов при прохождении ими атмосферы Земли с учетом зависимости плотности атмосферы ,

где (Л '-универсальная газовая постоянная, Т -

средняя температура в атмосфере, ^ - ускорение силы тяжести):

^^•■«-(тсьу-рс-ь^-)'

(2)

где

На основе подробного математического анализа показаны свойства КВ-функции (2). Приведены расчеты Ш (I) и (2) на ЕВМ.

Во втором параграфе выводятся ЬЗ-функции -мезонов ( £«,8,Ь1,Ь) для случаев , р=а + ЬЬ.

Приводится также вероятность , обрезащая поток мюонов с

энергией , менызей пороговой й :

Г , р . 1 Г „ с К ("1

I Г К (К-И.) 1 . ^ММЙ - > (3)

де + * -А-ГДЕ. +

^ё--* ~ с^зё I>

где X = пу / пг* • пг^. - масса мюона в покое: К. -

коэффициент удельных ионизационных потерь. Каскадно-вероятностнке

'функции Р и Уц рассчитаны на ЭВМ при различных параметрах. \ г Г |

При переходе от энергии Ь^ на уровне генерации к энергия

| на-уровне регистрации вероятность'достижения мюоном глубины К<

выражается формулой ........

' Г « Х...

В третьем параграфе рассматривается связь КВ-функций с уравнениями каскадного процесса. Показано, что уравнения для различных моделей распространения чэстиц имеют решения, в которые входят простейшая и обобщенная каскадно-вероятностные функции.

В четвертом параграфе на основе КВ-функций построена математическая модель интегральной кратности мю-мезонной компоненты космических лучей в общем случае:

(Мл (У

м ^ ■

Г _£_Л сьь

ехр 1 ~ Л,Ср5е " ]" '

X

г I : _] ч \ л.,'

к

где Ецпхзс. - максимальная энергия -мезонов на уровне генерации Уъ ; -АС-МИЛ- Дифферсштиальннй энергетический спектр $ * -иеоонов; Л^(£.л) ■ аппрокс-гигустся "а основе экспериментальных данных;

я: ' ' ' '

•Г^Тт^

л • К„( Е1.1- м") _ .

- поперечный инпульс; - Доля заряженных 911 -мезонов;

Кд,- коэффициент неупругости; И - «асса нуклона; Е ¡_= Е,{1-К>^У"> Е0- энергия первичной лидирующей частицы; N

1,- угол иежду направлением движения первичного нуклона и ето-ричного -незона; ^ - угол относительно сертикалн дм нуклонов;

т,х § ь, - ^ л! ^ - ^

Со**- ОкАСоьб + 'ьиг.А С^Ч1-

Ф _ п?ииутальн1.:П угол. Максимальная и минимальная энергии -мезонов связаны с энергией у}- -мезонов нп уровне генерации соотношениями:

' I

Получена также математическая модель интегрально!} ¡фатиоети

4

мвонов в виде четырехкратного интеграла для вертикально ячдякдих частиц путем предельного перехода в фор;>уле (4) при'.1 9 —♦ О .

Б связи с тем, что задача расчета интегральных кратностей связана с вычислением многократных интегралов с переменными пределами интегрирование, в пятом параграфе проведен анализ алгоритмов различных квадратурных формул (методы Монте-Карло, оптимальных коэффициентов). Результаты показали преимущество'теоретикочис-лового метода по основным критериям: погрешности вычисления и затратам времени счета на ЗШ. Вычисление кратного интеграла производится по формуле: i- 1 -

■ J ...|t («.....«О =

-vtwm.....•

где р - простое число или произведение двух простых p = pt.f3; ^ \ - дробная часть нисла; (Ц- оптимальные коэффициенты; - функция, с помощью которой производится периодизация подынтегральной функции | (,Х4 .

Рассмотрены различные методы периодизации и выполнен их анализ с целью выбора определенного метода в каждом конкретном случае вычисления кратного шаеграла. В основном используются метод простейшей периодизации Ч'(х) ~ Sin,1 2L х и метод полной периодизации ( ^ t

V*) - \ ^ At *

В шестом n«.' ¡úpale метод оптимальных коэффициентов используется'-'для вычисления интегральных кратностей ц,* -мезонной. ком-

поненты космических лучей, а также при вычислении коэффициентов саван

где Фр(Е К) - дифференциальный энергетический спектр первичных протонов; К. - ког,]ф|!ЦиеЛТ модуляции; Мр - интенсивноси» мю-ыезонной компонента-жесткость геомагнитного обрезами«.

При вычислении кратних интегралов для получения заданной точности £ результатов используется итерационная обработка

17. - 1р I <■ Ь (К.-0,1,1,...-)

I - ^ КИ I'* I '

где 1рк>1 и I - значения кратного интеграла, вычисленные методом оптимальных коэффициентов при двух последовательных значениях Рк»4 и рк .

В 7-9-м параграфах получены математические модели интегральной кратности и коэффициентов связи нейтронной компоненты космических лучей в общем случае. Для некоторого эффективней) зенитного угла "¡Гэ* и азимутальной симметрии интегральная кратность имеет вид: •

Е' I (5)

е&т«*.

~ и -

где , , ^(б^^^.к.) - парциальные

дифференциальные энергетические спектры соответственно атмосферных нейтронов, протонов и уд1 -мезонов; №.и(ЕР) , тн(Б, гам(ьк) - кратности в нейтронной мониторе, т.е. число нейтронов, детектируемых п нейтронном мониторе и образованных соответственно атмосферными протонами, нейтронами и -мезонзми. Интегральная кратность, коэффициенты связи и все входящие- в формулу (5) величины 33> и >"% рассчитаны на ЗБУ при различных параметрах.

Третья глава посвящена метеорологическим эффектам комических лучей.

Б первом параграфе получены аналитические выражения для барометрического коэффициента мю-мезонной компоненты космических лучей, неходя из математической модели интегральной кратности «ионов (4), как для общего случая 6-г О ', так и для предельного случая

0 = 0 . Барометрический коэффициент представлен в виде суммы пяти составляющих его-членов:

5

ьДЕР,М)- £ йг(ЕГ1Н,,в) , (б)

где

ЕЛ,еь>и,,м) . (7)

Величина определяет п конечном счете первый

член соотношения (б), который обусловлен флуктупциями верхнего предела интегрирования по глубине 'Ь, генераци! -мезонов, ппи'-еи \ >о при д1с>0' . Второй чле;; формул'1 (6), оп-

ределяемый соотношением (7), учитывает изменение потока мкюнол, связанное с флуктуация,ш верхнего предела интегрирования по знер-гиям -мезонов, который является функцией глубины регистрации детектируемых мвонов за счет потерь их энергии при прохождении через атмосферу Земли. При лЬ->0 величина . Третий

и четвертый члени связаны с вариациими интегральной кратности из-за изменения верхнего и нижнего пределов интегрирования по энергии дь* -мезонов, распадающихся на чюоны, поскольку эти пределы имеют вполне определенные значения, зависящие от энергетических потерь мю-мезонов к(И1-11) • При б1г>0 выполняются соотношения и . Последний член суммы (6) характеризует изменение потока ¡/конов, связанное с вариацией глубины регистрации мю-мезонов в вероятностных формулах для Р^ и (3) для , которые являются функциями К/ .

Во втором параграфе производится анализ результатов машинного эксперимента с целью выбора значения Р и фикции Ч,С'30 для периодизации подинтегральпых выражений в кратных интегралах, входящих в (7). На примере расчетов барометрических коэффициентов показано, что для функции Ч^С^О = 5х.1-2,хъ при кратности . - $ = 3 и Р = 701 метод оптимальных коэффициентов и метод повторного интегрирования с использованием квадратурной формулы Гаусса с IX = 8 узлами практически дают одинаковые результаты ( отличие ^ 0,3-0,5 %);

В третьем параграфе разработана .математическая модель температурных коэффициентов мю-мезонной компоненты космических лучей для различных глубин в атмосфере Земли. За основу взята -¡юрмуля интегральной кратности ¡'Тонов в виде, несколько отличном от '■!):

А 1

Шзс Я V _

Ь. £_цг<ал СзГшиХ, (Со»У) I»«.

* | Ае^ \ с1Е5 \

о _ Ея^и. (Со^) mi.iv

\ _соД£а) _(К.)

/ о

1 Гсчс^'

I

1С.

к I."

ш1). | а г

где Т(к) " зависимость температуры от уровня- 1ъ !

. Га»с К # н^сК.

Ч»= Г-^ .-■■- > ^г—;

Парциальный температурный коя^ициент представлен ч

^ (ЕДК) - -

»

виде:

(9)1

Первый член в (9) обусловлен изменением температуры атмосферы на переменной глубине 1г распада пионов и генерации мюоноа (О £ Парциальный температурный коэффициент ^¿.ДЕрДИ.}

определяется вариациями температуры, влиякцеП на прохоядение пно-ноа п атмосфере от уровня генерацзи £ до уррвня распада ¡^ { Ь." 1г )• Третий член езязан с иэаензниеи температу-

ры, влиящей на вероятностное прохондение мюонов части атмосферы толщиной Показано, что <5т.^,>0 , а и

отрицательны. При расчетах принята зависимость

№

{220 , к * 200 V

0,06К. , Н>20О .

В четвертом параграфе на основе общего выражения для интегральной кратности нейтронной компоненты космических лучей в трехмерной модели .элементарного акта получены математические модели барометрических и температурных коэффициентов для нейтронов путем нахождения вариаций интегральной кратности соответственно по высоте Ь/ и по температуре Т .

Получены расчеты метеорологических эффектов мю-ыезонной и нейтронной компонент космических лучей при определенных параметрах.

Четвертая глава посвяцена применении каскадно-вероятностного метода в задачах расчета потоков вторичных частиц и вариаций кос-

I

нических лучей.

В первом параграфе рассмотрены алгоритмы определения потоков нуклонов в атмосфере Земли на любой глубине К/ и при различных зенитных углах. :

Во втором параграфе получена математическая модель энергетических спектров -мезонов на основе интегральной кратности

ГПдД ^цЕ^Ь^.Й) пионов первого поколения и дифференциального энергетического спектра З^СЕ^К) первичных протонов. Проведены соответствующие расчеты интегрального энергетического спектра пионов для сравнения о имеющимся экспериментальным спектром, полученным на высокогорной станции Арагац с помощью установки "Пион" {. = 700 г/см2, В =0, область энергий пи-мезонов 600-2000 ГэВ). Получено хорошее согласование результатов с экспериментом. Расчеты на ЬШ интегральной кратности т^ДЬ^Е ,£,^.,0) п дифференциальных энергетических спектров сезонов представлены в виде графиков .

В третье».; параграфе в рамках каскадно-вероятностного метода получены математические код'ели для нахождения интэнсивносги ^ -мезонноГ; компоненты космического излучения в различных представлениях.

В четвертей параграфе показана возможность использования коэффициентов связи для исследования спектров вариаций космических . лучэй с применением численных методов интегрирования..

ЬНВОДЫ

I. Получены каокадпо-вероятностныо фупкплс. для ^С-к ^.-мезонов. - Выполнен пх подробный математический анализ, показаны свой-сте«, озоЗеквссгк шчмлзш-.и и связь с ннгегроки^рб«:ца&льнкии ура£нсн/.я;;ц каскадного процесса.

'•1. Получены математические попели интегральной кратности и коэ;Г..щ:бсгов связи -мезонной ко.'яюненты космических лучей и сСгцгг, случае. Рассмотрен предельный случай при 0 -' О .

3. Проездов анализ «аадрагурпюс формул кратких интегралов; за ссновшк, критерии прхпягц точность негода и обаг.Л объем вычислений.

4., Рассмотрены методы периодизации подынтегральных, функций, их достоинства и недостатки. Предложен алгоритм вычисления кратных интегралов с итерационной обработкой для получения заданной точности при определенном выборе метода периодизации.

5. Получены аналитические выражения для интегральной кратности и коэффициентов связи нейтронной компоненты космического излучения на основе определения парциальных энергетических спектров ■

. нуклонов и кратности в нейтронном мониторе ч зависимости от энергии атмосферных нейтронов и протонов.

6. На основе аналитических выражений, интегральных краткостей ^ -мезонной и нейтронной компонент космических лучей для них получены математические модели барометрических и температурных эффектов. Получение метеорологических коэффициентов позволяет учесть прямое влияние состояния атмосферы на космические лучи и, в свою очередь, возможно обратное влияние космического излучения на температуру и давление в различных слоях атмосферы.

7. Показана возможность применения каскадно-вероятностного ■ метода для решения задач расчета потоков нуклонов в атмосфере, интенсивности ню-мезонной компоненты, для исследования спектров вариаций космических лучей с помощью коэ-^фициентов связи.

I 8. В рамках каскадно-вероятностного метода предложен аналитический метод расчета энергетических спектров дь* -мезонов. Расчетный интегральный спектр, полученный в соответствии с разработанным численным алгоритмом, согласуется с экспериментом.

9. КВ-метод позволяет решать многие важные задачи космофизи-ческого аспекта исследования космических лучей. Использование полученных в диссертационной работе результатов позволяет глубже по-

нлть каскадные процессы, происходящие в атмосфере Земли, точнее определить различные характеристики космического излучения.

Осмвные результаты диссертационной работы опубликораны в следующих работах:

1. Боос Э.Г., Ефимов А.К., Коломеец Е.В., Купчишин А.И. Интегральная кратность мюонной компоненты космических лучей // Изв. АН КаэССР, сер.физ-мат. - 1972. -A4.- С.45-50.

2. Боос Э.Г., Ефимов А.К., Коломгец Е.В., Купчишин А.И. Расчет интегральной кратности мюонов // Прикладная и теоретическая физика. - Алма-Ата: КазГУ, 1971. - Вып.З. - С.I4I-I46.

3. Боос Э.Г., Ефимов А.К., Колсмеец Е.В., Купчишин АЛ!., Ши-гаев Б.Н. Расчет интегральной кратности кю-мезонов р области высоких энергий на ЭВМ теоретико-числовьгл методом // Из р. АН КазС-СР, сер.фкэ.-мат. - 1973. - № 6. - С.5&-62.

4. Ефимов А.К., Купчишин'А.И. Вычисление многократного интеграла интегральной краткости теоретико-числовым методом // Сборник по вопросом математики и механики. - Ахзга-Ата: КазГУ, 1973. - Вкл.2.

- С.3-9. ' .

5.Ефк;оэ АЛ'., Купчкаш А.И., Г^утузова Т.А., Оо:'йков С.С. Вычисление на ЕШ многократного интеграла барометрического кс.эффкцп интв различными методами // Вопросы прикладной математики и механики. -Алма-Ате: КззГУ, 1975. - Вып.2. - C.2II-2I6.

6. Ефим о п А.К., Коломеец Е.В., Купчикин А.И., Кутузова Т.А. Температурный аффект мсонноИ компоненты космических лучей // Прикладная и теоретическая физика. - Алма-Ата: Каз 'У, 1976". - Вып.Е?.

- С. II-Ü3.

7. LVioc Э. Г.. Ефимов А. К., Коломеец Е.В., Кутузова Т.А., Нуп-

читан А.И. К расчету общего выражения для барометрического коэффициента июонной компоненты космических лучей // Прикладная и теоретическая физика. - Алма-Ата: КазГУ, 1975. - Выд.7. - С.159-165.

8. Айтбаев Ф.Б., Ефимов А.К., Купчишин А.И., Кутузова Т.Д. О применении метода математической индукции для расчета некоторых вероятностных соотношений // Вопроси прикладной математики и механики. - Алма-Ата: КазГУ, 1975.'- Еып.2. - С.313-319.

9. Айтбаеэ ¿'.Б., Ефимов А. К., Купчишин А. И., Кутузова Т. А.

О раскрытии неопределенности функции д. переменных // Вопросы прикладной математики и механики. - Алма-Ата: КазГУ, 1975. - Вып.2. -С. 306-312.

10. Купчишин А.И., Ефимов А.К. О периодизации подинтегральной функции многократного интеграла интегральной кратности // Сборник по вопросам математики и механики. - Алма-Ата: КазГУ, 1973. -Вып. 2. - С. Ют15.

11. Ефимов А.К., Купчишин А.И., Харасахал В.В. Некоторые особенности моделирования на ЭВМ каскадно-вероятностных функций для нестабильных частиц П Тезисы докл. IX республ. межвузовской научной конференции по математике и механике. Ч.П. Вычислительная математика, информатика. - Алма-Ата, 1989. - С.28.

12. Айтбаев , Купчиеин А.И., Ефимов А.К. О решении интег-родиф$еренциального уравнения каскадного процесса // Цзиклздная и теоретическая физика. - Алма-Ата: КазГУ, 1976. - Вот.8. - С. 170174. • ! :

13. Ефимов А.К., Айтбаеэ $.Б., Купчишин А.И., фтузопа Т.А. О решении уравнений каскадного процесса в двухмерной и трехмерной моделях элементарного акта // Вопросы прикладной ма'геиатцки н механики. - Алма-Ата: КазГУ, 1976. - Вш.З. - С.77-В2.'

- 22 -

14. Eflnov A.K. i Koloaeets E.V., Eupcbishlfc A.Ï., Boob E.G. Calculations of the coupling coefficients for cosaic raj mion and neutron components // 15-th Int.conf. of Cossic Rays. -

U3A, Dönver« 1975. - v.2. - Г.В65-86В.

15. Боос Э.Г., Ефимов A.K., Коломеец E.B., фпчшшн А.И. Ко-авдадленги оьязи мю-мезонной компоненты с учетом углового распределения первичного космического излучения // Изв.АН КазССР, сер. физ.-мат. - 1972, - )!> 4. - С.51-56.

16. Боос Э.Г., Ефимов А.К., Коломеец Е.В., йупчишин А.И., Кутузова Т. А. Метеорологические эффекты мю-мезонной компоненты космического излучения // Прикладная и теоретическая физика. -Алма-Ата: КазГУ, 1975. - Вып.7. - С. 166-172.

17. Купчшин А.И., Кутузова Т.Д., Ефимов А.К. Расчеты интегральной кратности нейтронной компоненты космического излучения

в трехмерно;! модели элементарного акта // Сборник по вопросам механики и прикладной математики. - Алма-Ата: КазГУ, 1977. - Бш.9. - 0.117-122.

IB. Ефимов А.К., Еооо Э.Г., Купчгашн А.И. К расчету спектров п^-мез.'нюв в атмосфере Земли // Взаимодействие нейтральных и заря-.v-ипих чаотнц с веществом. - Алма-Ата: КазГПУ, 1991. - C.I5-J7.

А,!гбэев i'. Б. I Ефимов А.К,, ¡^упчишин А.И.Харасахял Ь.В. О решении сдатеш уравнешй каскадного процесса для различных компонент // Вопроси математики и прикладной механики. - Алма-Ата: КазГУ, 1.977. _с. UW-140.

Ш. Ефимов А.К., Мдрзаяа A.C. О численном решении интегрального уравнения каскадного процесса // Вопросы физи;;и твердого тела и оптики. - An.ja-Ara: КазИИ, 1988. - С.34-36.