автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Численное исследование широких атмосферных ливней космических лучей сверхвысоких энергий

На правах рукописи

ИВАНОВ Анатолий Александрович

ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ШИРОКИХ

АТМОСФЕРНЫХ ЛИВНЕЙ КОСМИЧЕСКИХ ЛУЧЕЙ СВЕРХВЫСОКИХ ЭНЕРГИЙ

Специальность 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Якутск 2005

Работа выполнена в Институте космофизических исследований и аэрономии им. Ю.Г. Шафера СО РАН

Научный консультант:

доктор физ.-мат. наук, академик Крымский Г.Ф.

Официальные оппоненты:

доктор физ.-мат. наук, профессор Вабищевич П.Н. доктор физ.-мат. наук, профессор Головизнин В.М. доктор физ.-мат. наук, профессор Голиков И.А.

Ведущая организация:

Физический институт им. П.Н. Лебедева РАН, г. Москва

Защита диссертации состоится " 2005г. в ^ на заседании

диссертационного совета Д 212.306.04 при Якутском государственном университете им М.К. Аммосова по адресу: 677016, г. Якутск, ул. Кулаковского, 48.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Якутского государственного университета.

Автореферат разослан

Ученый секретарь Совета: доктор физ.-мат. наук

Яковлев Б.В.

Общая характеристика работы

Диссертационная работа посвящена разработке и применению методов математического моделирования широких атмосферных ливней (ШАЛ) космических лучей (КЛ) и анализу данных Якутской установки ШАЛ в сопоставлении с методами, применяемыми на других гигантских установках в мире. Применение численных методов моделирования каскада элементарных частиц, инициируемого первичным космическим излучением (ПКИ) в атмосфере, позволяет решить нетривиальную задачу восстановления астрофизических параметров КЛ по экспериментальным данным установок ШАЛ.

Актуальность работы. Космические лучи, генерируемые галактическими и внегалактическими объектами - остатками сверхновых, черными дырами, нейтронными звездами и/или ударными волнами в межзвездном пространстве, имеют энергетический спектр, простирающийся вплоть до очень высоких энергий (Е > Ю20 эВ). В области энергий выше 1016 эВ единственным методом исследования КЛ является метод регистрации ШАЛ, порождаемых в атмосфере Земли первичными частицами. Ввиду малой интенсивности ПКИ с требуются гигантские по области

контроля установки для регистрации ШАЛ.

В настоящее время работают три такие установки: Akeno Giant Air Shower Array (AGASA) в Японии, High Resolution Fly's Eye (HiRes) в США и Якутская установка в России. Имеются также каталогизированные данные установок Haverah Park (Англия), Volcano Ranch (США) и Сиднейской установки (SUGAR, Австралия), которые прекратили регистрацию ливней.

Актуальной проблемой физики космических лучей является загадка происхождения частиц с энергией выше эВ,

связанная с так называемым реликтовым обрезанием спектра КЛ Грейзена-Зацепина-Кузьмина (ГЗК). Интенсивность КЛ должна резко уменьшаться при энергии выше этого порога из-за взаимодействия ПКИ с фотонами реликтового микроволнового излучения, если частицы приходят с космологических расстояний. Результаты измерений на Якутской установке и HiRes согласуются с этим, но большое число событий ШАЛ, зарегистрированных установкой AGASA, энергия которых оценивается выше эВ, противоречит такому выводу.

Направления прихода частиц таких энергий не коррелируют явным образом с вероятными источниками в Галактике, локальной группе галактик или в локальном их суперкластере, скорее, согласуются с изотропией, что резко контрастирует с анизотропным распределением видимого света от источников в пределах 50 Мпк от Земли.

Массовый состав частиц ПКИ в области энергий выше 1016 эВ не определен

в настоящее время из-за экспериментальных трудностей, также отсутствует непротиворечивая теория, которая бы объяснила происхождение частиц КЛ сверхвысоких энергий (СВЭ) и всю совокупность имеющихся данных наблюдений.

Для интерпретации имеющихся данных измерений на установках ШАЛ необходимы сложные и трудоемкие вычисления характеристик развития ливня в атмосфере и отклика детекторов. Применение методов математического моделирования, развитого в работах отечественных математических школ Н.С. Бахвалова, В.И. Крылова, Г.И. Марчука, А.А. Самарского, С.Л. Соболева, А.Н. Тихонова, Н. Н. Яненко и др. позволяет решить проблему восстановления астрофизических параметров первичного космического излучения по наблюдаемым характеристикам ШАЛ элементарных частиц на уровне наблюдения. Выполнение трех последовательных этапов «модель-алгоритм-программа» предполагает: построение математической модели развития ШАЛ; моделирование измерений на установке и процедуры анализа полученных данных; разработку численных алгоритмов решения уравнений; программную реализацию алгоритмов для выполнения расчетов на компьютерах.

Построение математической модели развития ШАЛ существенным образом основано на теории сильных и электрослабых взаимодействий элементарных частиц и разработанных на ее основе моделях множественной генерации адронов, используемых для экстраполяции ускорительных данных на область сверхвысоких энергий, где исследуются космические лучи. В разработке моделей взаимодействия адронов используются результаты, полученные советской/российской школой физиков, включающей таких исследователей как В.Н. Грибов, И.М. Дремин, Г.Т. Зацепин, А.Б. Кайдалов, ВА. Кузьмин, Л.Д. Ландау и др.

Расчеты развития ШАЛ сверхвысоких энергий выполнялись для интерпретации данных установок ШАЛ, работавших и продолжающих работать в России. Данная работа опирается на результаты, полученные группами Л.Г. Деденко, А.Д. Ерлыкина, Н.Н. Калмыкова, АА. Лагутина, Т.М. Рогановой и других.

Целью работы является разработка эффективных методов математического моделирования, применимых для описания развития каскада частиц КЛ сверхвысоких энергий в атмосфере; численное моделирование процедуры измерений и анализа данных на Якутской установке ШАЛ; применение результатов моделирования для разработки новых методов анализа и интерпретации экспериментальных данных, полученных на гигантских установках ШАЛ.

Научная новизна. Якутская установка ШАЛ является комплексом детекторов элементарных частиц, нацеленных на измерение разных компонент ливня: электронов, мюонов, фотонов излучения Вавилова-Черенкова (черенковского света), обладающим рядом особенностей. Область сверхвысоких энергий космических лучей, для изучения которой предназначена установка, характеризуется малостью числа регистрируемых событий, неизвестными параметрами взаимодействия элементарных частиц, образующих ливень и т.д. Все это предполагает разработку новых методов анализа данных, предназначенных для применения в данном случае.

В работе впервые проведено математическое моделирование измерений на Якутской установке с использованием разработанного автором комплекса программ численного решения интегро-дифференциальных уравнений, описывающих развитие ШАЛ в атмосфере. Определены экспериментальные ошибки измерения параметров ШАЛ, доли первичной энергии, уносимой вторичными компонентами, вычислена приемная функция установки. Доказана слабая зависимость энергии первичной частицы, оцененной с использованием измерений полного потока черенковского света и числа электронов и мюонов на уровне моря, от использованной модели взаимодействия частиц в атмосфере. Применение результатов моделирования для построения первичного энергетического спектра КЛ по измерениям атмосферного излучения Вавилова-Черенкова (ИВЧ) позволило получить впервые в мировой практике спектр в широком интервале энергий от 1015 до 3 х 1019 эВ с использованием данных черенковских детекторов Якутской установки.

Разработан метод анализа направлений прихода КЛ, применимый в условиях малой статистики регистрируемых событий ШАЛ, который позволил найти и оценить размеры области небесной сферы, где имеется избыточный поток частиц. Показано, что в окрестности эВ имеется

отклонение от изотропии, уточняющее ранние указания на анизотропию КЛ в этой области энергий. Обнаружена северо- южная асимметрия в распределении космических лучей по галактическим широтам в этой же области энергий, которая может быть объяснена заметной примесью тяжелых ядер галактического происхождения в изотропном потоке внегалактических частиц.

Применение гармонического анализа к распределению в горизонтальной системе направлений прихода ливней, наблюдаемых на Якутской установке, позволило впервые обнаружить и оценить величину азимутальной модуляции в геомагнитном поле частоты событий ШАЛ космических лучей с фиксированной плотностью заряженных частиц. Влияние геомагнитного эффекта на распределение заряженных частиц в наклонных ливнях приводит к искажению энергетического спектра ПКИ и распределения направлений

прихода первичных частиц в пределах 20% в зависимости от зенитного угла.

Научная и практическая значимость работы. Совокупность разработанных автором методов анализа экспериментальных данных вместе с комплексом программ для численного решения каскадных уравнений и моделирования измерений на установке ШАЛ образует фундамент, на котором, в свою очередь, основаны программы обработки данных на Якутской установке. Все вместе они составляют интеллектуальную начинку (software) установки, способствовавшую ее превращению в физический прибор с уникальными возможностями, измеряющий характеристики космических лучей в области сверхвысоких энергий.

С помощью разработанных численных методов коллективом Якутской установки получен ряд приоритетных результатов по физике космических лучей, признанный в России и за ее пределами. Выборка из банка данных установки за период времени регистрации 1974-1986 гг., с энергией Eq > 1019 эВ, опубликована в каталоге World Data Center for Cosmic Rays наряду с данными установок Volcano Ranch (США), Haverah Park (Англия) и SUGAR (Австралия). Эти данные в настоящее время выложены на сайте Якутской установки <http://eas.ysn.ru> и доступны для общего пользования в WWW.

Якутская установки ШАЛ включена в Перечень уникальных научных установок России наряду с 50 другими установками федерального значения.

Обоснованность и достоверность Математические модели и численные методы, предложенные в работе, базируются на апробированных и хорошо известных разработках, в основном, отечественной математической школы, которые применены в конкретных условиях исследования космических лучей сверхвысоких энергий. Особое внимание уделялось проверке численных алгоритмов на тестовых примерах, допускающих аналитическое решение. Использовалось также сопоставление с решениями, полученными с помощью классических численных методов, где это было возможно. Методы моделирования измерений ШАЛ, являющиеся существенной частью анализа данных, прошли многолетнюю практическую проверку на Якутской установке. Сравнение полученных результатов с работами, ведущимися на других установках, показало применимость предложенных методов и достоверность полученных выводов.

Вклад автора. Постановка проблемы, разработка численных методов исследования, создание программ для математического моделирования развития ШАЛ и измерений на Якутской установке полностью выполнены автором. Ему же принадлежит ведущая роль в анализе экспериментальных данных с применением разработанных методов и в получении физических результатов, описанных в диссертации. Результаты, касающиеся развития ливня в атмосфере, получены совместно с М.Н. Дьяконовым и СП.

Кнуренко. Анализ распределения направлений прихода ПКИ СВЭ выполнен совместно с А.Д. Красильниковым и М.И. Правдиным. Квазикалориметрический метод оценки энергии первичной частицы ШАЛ и методы построения энергетического спектра КЛ разрабатывались усилиями многих сотрудников Якутской установки. Следует особо отметить вклад Д.Д. Красильникова, Н.Н. Ефимова, И.Е. Слепцова, М.И. Правдина и СП. Кнуренко.

Апробация результатов работы. Численные методы, описанные в диссертации, интенсивно используются при анализе и интерпретации данных Якутской установки на протяжении многих лет. Некоторые из методов применимы и на других установках. Так, пакет программ численного решения каскадных уравнений в конечно-разностной аппроксимации, описанный в диссертации, применялся в Физическом институте им. П.Н. Лебедева при анализе данных Тянь-Шаньской установки ШАЛ.

Методы анализа направлений прихода КЛ, разработанные диссертантом, использовались при совместном анализе данных установок Haverah Park, SUGAR и Якутска, проведенном с группой Даремского университета (University of Durham, UK).

Результаты, изложенные в диссертации, были доложены автором на И всесоюзных/российских и международных конференциях и симпозиумах; опубликованы в научной периодике - более 90 статей в соавторстве с коллегами из Якутской коллаборации и других научных групп. Автор написал две главы в коллективной монографии, опубликованной в Сибирском отделении издательства «Наука». Кроме того, автор был/является руководителем 5 проектов, поддержанных грантами РФФИ.

Публикации. Основное содержание диссертации отражено в 36 публикациях [1-36], в том числе в одной коллективной монографии [14].

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав и заключения. Общий объем диссертации составляет 228 страниц, в том числе 53 рисунка, 15 таблиц и список литературы, насчитывающий 226 наименований.

Основное содержание работы

Во Введении обоснована актуальность темы, сформулирована основная цель работы. Освещены научная новизна и значимость полученных результатов, а также их апробация и личный вклад автора. Кратко изложено содержание разделов диссертации.

В Первой главе описаны постановка задачи и методы решения, использованные в работе. Система интегро-дифференциальных уравнений

где Njtfi, E)dE - число адронов сорта к в интервале энергии (Е, Е + dE)

на глубине атмосферы X; - спектр генерации адронов сорта к при

■ ndecay

взаимодеиствии адронов сорта г, Hik - то же, но при распаде адрона сорта i; А* " длина свободного пробега частиц; В^ - ионизационные потери и постоянные распада адронов; суммирование производится по всем сортам адронов. Граничные условия задаются при х = 0: Ni(0,Е) = ö(E — Eq).

В некоторых случаях удается получить аналитическое решение уравнений для упрощенных видов спектра генерации адронов. Аналогичные случаи разбираются в теории переноса излучения, например, решение задачи Милна методом Винера-Хопфа или применение метода разложения но сингулярным собственным функциям оператора переноса. Для реальных же спектров генерации применяются численные методы решения уравнений (1).

К первой группе можно отнести методы, использующие сведение интегро-дифференциальных уравнений к системе дифференциальных уравнений, и затем применяющих известные методы, скажем, итерационные, конечно-разностные или вариационные для их решения. Замена интеграла столкновений в каждом уравнении квадратурной формулой приводит к системе линейных уравнений, называемых «многоскоростными». Метод итераций основан на общей идее (принцип сжатых изображений), применимой для решения уравнений с неизвестными любой природы -операторных уравнений, интегральных или дифференциальных уравнений и т.д. В данном случае - к системе линейных дифференциальных уравнений. Конечно-разностные методы основаны на аппроксимации производных явными и неявными разностными схемами. Для решения полученных уравнений развита теория разностных схем. В вариационных методах используются разновидности метода Ритца, Галеркина, и др.

Во второй группе методов уравнения преобразуются в интегральные, а затем применяются методы численного решения интегральных уравнений. Наиболее распространенными методами здесь являются: решение системы линейных алгебраических уравнений, получающихся при замене интеграла квадратурной формулой; аппроксимация вырожденным ядром с известными решениями; применение итерационного метода.

К третьей группе методов можно отнести метод статистических испытаний (метод Монте-Карло) и метод функций Грина. Моделирование случайных процессов в каскаде частиц с помощью большого числа испытаний на

компьютере и построение статистических оценок основано на усиленном законе больших чисел Колмогорова. Метод функций Грина также применяется в теории переноса частиц, например, в форме ядра линейного оператора переноса.

В физике космических лучей, и в частности, в исследовании ШАЛ сверхвысоких энергий, применяются некоторые из перечисленных методов численного решения интегро-дифференциальных уравнений. В первой главе описаны работы Г.Т. Зацепина, И.Л. Розенталя, Л.Г. Деденко, А.Д. Ерлыкина, Н.Н. Калмыкова, А.А. Лагутина и др., приводится описание метода Монте-Карло в применении к моделированию ШАЛ КЛ. Указаны преимущества и недостатки применяющихся методов.

Спектры генерации, длины свободного пробега и другие параметры, характеризующие взаимодействия частиц, определяются в моделях множественной генерации адронов, которые на основе теоретических представлений экстраполируют измеренные значения в область сверхвысоких энергий. Экспериментальные данные, относящиеся к сечениям неупругого взаимодействия адронов и ядер, имеются при энергии до ~ 1013 эВ. Эти данные безусловно должны описываться моделями, но основная их задача применительно к физике космических лучей - предсказание поведения сечений при высоких энергиях, вплоть до эВ. В настоящее время

имеется большое разнообразие моделей взаимодействия адронов с адронами и ядрами, а также ядер с ядрами. Некоторые из них кратко описаны в первой главе. Средние параметры взаимодействия, вычисленные в моделях взаимодействия адронов, служат входными параметрами для программ, моделирующих развитие каскада вторичных частиц в атмосфере.

Численное решение уравнений, описывающих развитие ливня в атмосфере, показано на примере краевой задачи для заряженных пионов:

где 7г(£, Е) - плотность заряженных пионов; - плотность других

адронов, порождающих пионы; Хо - уровень наблюдения.

Заменой переменных уравнение (2) преобразуется в интегральное уравнение Вольтерра:

2

тг(х,Е) = Г dte*WB£- Л dun^u^E, и)

л) ¿л- je

+

+е-ф„х-В„,Е £ ¿^/К^/Е £ £ и) (3)

Решение интегральных уравнений для адронов в ШАЛ можно получить непосредственным вычислением резольвенты методом последовательных приближений на сетке Такой подход полезен для вычисления средних

характеристик каскада частиц без учета флуктуаций в развитии ливня. В этом случае не требуется многократное вычисление парциальных лавин для применения метода статистических испытаний и нет ограничений по затратам времени процессора.

Вместо количества пройденного вещества в качестве продольной переменной на сетке выбрано расстояние вдоль оси ливня в изотермической атмосфере с глубиной хо = 1020 вес 9 г/см2 и параметром высоты /г0 = 6.9 км: к = ко зесв\п(хо/х). Продольная быстрота у, связанная с энергией Е = \]т1 |- (р±)2совк{у), удобнее энергии при решении уравнений переноса адронов. Численное решение уравнения (3) проведено на прямоугольной сетке: ук = кбу, к — 0,..., М\ ^ = ¿¿/г, г = 0,..., N.

Используя ту или иную квадратурную формулу для приближенного вычисления, получим решение в виде сеточной функции 1С{к, равномерно сходящейся к точному решению при

-2. ' и I1 2 м

ттЛ = е к 6И £ ' [--6у £ А'^^г +

1=0 т 1~к

ом м от п

+Е „-¿у Е ад + Е^Е А^-У1], (4)

т ОЛт 1=к т 1=к х]г'1

здесь квадратурные коэффициенты, обеспечивающие равенство сумм

интегралам.

Разностные методы решения краевых задач для дифференциальных уравнений, развитые в работах А.Н. Тихонова, А.А. Самарского, С.К. Годунова, Г.И. Марчука, Н.Н. Яненко и др., широко применяются при решении разнообразных задач математической физики. Идея разностных методов состоит в следующем. Заменим все функции, определенные в области изменения переменных, таблицами их значений в точках сетки (сеточными функциями), а уравнения для этих функций - алгебраическими уравнениями, получающимися при разностной аппроксимации производных. Решая алгебраические уравнения, получим приближенные решения в виде сеточных функций, которые при стремлении шагов сетки к нулю сходятся к точному решению исходных уравнений. Использование теории разностных схем и методов построения экономичных

алгоритмов решения задач математической физики, в данном случае интегро-дифференциальных каскадных уравнений, позволяет создавать эффективные программы для вычисления параметров ливня. Наличие быстрых вычислительных алгоритмов, обладающих достаточной точностью моделирования парциальных лавин позволяет, в свою очередь, реализовать комбинированный вариант расчетов развития ШАЛ с приближенным вычислением флуктуирующих параметров лидирующих частиц.

Рассмотрим решение ядерно-каскадных уравнений разностным методом на примере заряженных пионов, для которых введем сеточную функцию 7Г*, аппроксимирующую значения тт(х}у) в узлах с е так,^Д л я введенной таким образом сеточной функции напишем конечно-разностный аналог уравнения (2) с заданной функцией источников F(x,y), заменяя интеграл квадратурной формулой с узлами в точках а производные - разностями сеточной функции в соседних узлах.

В случае явной схемы мы должны использовать «разность вперед»:

тг*+1 -nf Л -I-L — —I--1-

5хк

В,г

2 n

A j Xfcmx cosh t/j

K + iE^w + ij. (5)

i=j

для неявной схемы используем «разность назад»:

-—i = -(-r +

1

B„

5xk

Aj ifc+imi cosh у j

+ ^ E + fj (6)

6 i=j

с нулевыми краевыми условиями. Теперь мы можем, используя уравнения (5) или (6), выразить 7т]:+1 для всех ] = 0,..., N через и значения функции, лежащие правее на шкале быстрот. Вместе с граничными условиями это полностью определяет задачу, т.к. мы можем последовательно найти значения функции во всех узлах сетки. В результате решения конечно-разностного уравнения (5) или (6) получим сеточную функцию тг*, которая в пределе 5х,ёу —> 0 стремится к решению исходного интегро-дифференциального уравнения (2) в точках поскольку при 5у —>

О квадратурная формула стремится к значению интеграла, а разности аппроксимируют производную при 8х —+ 0. Сходимость результирующих сеточных функций к точному решению обеспечивает основная теорема теории разностных схем о сходимости.

Выбор подходящих формул для аппроксимации производных и интегралов определяется требуемой точностью решения каскадных уравнений. В большинстве случаев точности достаточно, поэтому применяется

простая схема Эйлера первого порядка (5) с аппроксимацией интегралов по квадратурной формуле Симпсона. Для более точного решения, например, уравнений для плотности каонов, Кк = К(Хк,Е), с учетом их распада,

применяется неявная «формула трапеций»:

W«»-^+- +

где значения Ffc определяются интегралами по энергии от К{хь, Е)еХк^к и с заданными спектрами генерации. Решение получающейся системы уравнений (7) с соответствующими граничными условиями возможно методом прогонки.

Численная реализация разработанных вычислительных методов решения уравнений переноса частиц в ШАЛ выполнена на персональных компьютерах. Для программирования алгоритмов был выбран язык Fortran-90, независимый от конкретной операционной системы, доступный на всех вычислительных платформах.

Программы имеют модульную структуру, где каждый модуль относится к какой-либо конкретной компоненте ливня, и вычисляет определенные характеристики этой компоненты. Передача параметров между модулями реализована через механизм USE-ассоциирования. В ходе работы была создана обширная библиотека готовых модулей для вычисления наиболее часто используемых при обработке и анализе данных наблюдений параметров ШАЛ. Для каждого конкретного расчета компонуется программа, состоящая из основного модуля, который последовательно вызывает требующиеся процедуры, содержащиеся в подключаемых модулях. Параметры модели взаимодействия задаются во всех модулях, где они требуются, при помощи интерфейсного блока или в разделе описания модуля с атрибутом PUBLIC.

Вычисление интегралов на узлах сетки выполнялось методом Симпсона, а также с помощью кубических сплайнов, когда требовалась большая точность вычислений. Все спектры генерации, пробеги частиц и другие параметры взаимодействий, а также искомые функций задаются в виде матриц на сетке {hityk}. При вычислении резольвенты пределы интегрирования по h € (0,оо) ограничиваются справа условием малости приращения суммы. Граничные условия для сплайнов задаются с помощью дискретных аналогов вторых производных функций, вычисленных по трем крайним узлам сетки.

Для проверки точности вычисления интегралов по высоте, в случае резольвенты, и точности аппроксимации производной по I в разностных методах использована 5-модель со спектрами генерации в виде ы(Е,Ер) =

где - энергия налетающей частицы, множественность выбранного сорта вторичных частиц. В этой простой модели длины свободного пробега частиц приняты постоянными и равными; все коэффициенты неупругости равны единице. Рассмотрим решение

на примере заряженных каонов. Если ливень инициируется начальным нуклоном с энергией ¿?сь то каждое последующее поколение каонов имеет энергию Еш = £'*/пг,(£у, г = 0,..., N. Подставляя в уравнение (3) функцию N(1, Е) — ехр(—х/\)6(Е — Е()) для инициирующего нуклона и учитывая, что каоны не образуются в результате распада других адронов, получим первое поколение:

Повторяя вычисление г раз, получим выражение для г-то поколения каонов

К,

/ххЩЕ-Е^ * па(Е:,-.,)

Л'

Д з+В/Е3-

Решение уравнения (3) в форме числа заряженных каонов на глубине атмосферы х получается суммированием всех поколений:

К(х,Е>0)=е-"*ХйП

^ Л О

1 А +

(8)

Результаты применения этого решения для проверки программ численного решения уравнений для заряженных пионов показаны на Рис. 1.

Аналогично, для проверки интегралов по быстроте используем аналитически решаемую модель со спектром генерации, обладающим свойством масштабной инвариантности (скейлинга) в форме и)(у, и) =

1ии(и — у) во всей кинематической области. В простейшем случае это И) (и — у) = 1 для 0 < у < и. Множественность вторичных частиц при этом равна а суммарная энергия вторичных частиц

гутах I

Е3 = у0 гп± созЪ(у)(1у =

т\ ■

т-Щу

Для иллюстрации получим аналитическое решение для каскада пионов (пренебрегая их распадом), порождаемого одиночным первичным нуклоном

Положим свободные пробеги частиц равными и постоянными, коэффициенты неупругости - равными 1. Уравнение для пионов напишем в виде

дтг(х,у) _ тг{х,у) дх А

+ | Г йш(х,и) + \е х/х.

л ■'у Л

Глубину х будем измерять в единицах А, функции плотности пионов и нуклонов подставим в виде тт(х,у)е~х и А1(х,у)е~х. Тогда уравнение упрощается:

Дифференцируя по у, получим гиперболическое уравнение второго порядка

¿РФ,У)

дхду

■ + тт(х,у) - 0.

(10)

Граничные условия на верхней и правой границе области (7г(0,у) = 0,7г(ж, уо) = х) определяют краевую задачу. Характеристики симметричного самосопряженного уравнения х — const и у = const совпадают с сеткой. Решение, не меняющееся вдоль характеристик, ищется в виде G(z), где г2 = Х{У ~ 2/о). Подставим функцию G в уравнение (10) и заменим производные:

Если заменить z — 2^х(у — уо), то получается уравнение Бесселя, имеющее решение

Можно проверить, что решение в виде xJo{yJx(y — уц)) удовлетворяет граничным условиям. Тогда окончательное выражение для решения исходного уравнения (9) принимает вид:

х(у-уо).

(И)

На Рис. 2 приведены результаты сравнения численного решения, полученного в программе, с точным выражением, соответствующим модели скейлинга. Из сопоставления численных решений с аналитическими видно, что выбор величины шага по высоте по быстроте

и количества итераций п > 15 для вычисления резольвенты обеспечивают точность численного решения не хуже 1% во всем интервале значений х =

Во Второй главе описывается численное моделирование измерения характеристик ливней космических лучей на Якутской комплексной установке ШАЛ.

Якутская установка расположена около поселка Октемцы, географические координаты ее - 61.7° с.ш., 129.4° в.д., высота над уровнем моря 105 м. В каждой основной станции расположены два пластических сцинтилляционных

1од„(Е/10'

Рис. 1. Сравнение вычисленной плотности Рис. 2. Сравнение вычисленной в

заряженных пионов тг{х0,Е) в программе программе плотности заряженных пионов

для разной величины шага по высоте п(х, у = 2) с точным решением для модели (№//го = 0.05,..., 0.5 с точным решением для с и>(у,и) = 1 в зависимости от количества

¿-модели. итераций в программе п = 4,... ,15.

детектора, работающих на совпадение, и детектор черенковского света, состоящий из одного или трех фотоумножителей.

Отбор событий ливней (отбраковка фоновых событий) производится на установке с помощью метода совпадений: для того, чтобы отличить истинные ливни от случайных срабатываний детекторов и сигналов, вызванных регистрацией фона космических лучей малой энергии, применяется критерий совпадения сигналов в пределах 2 мкс от двух детекторов в станциях наблюдения; кроме того, требуется, чтобы совпали сигналы по крайней мере от трех соседних станций (в пределах 40 мкс). Из-за неравномерного расположения станций на установке реализуются два вида треугольников, составленных из соседних станций. Так называемый «триггер-500» образуют станции с раздвижением ~ 500 м, а «триггер-1000» составлен из станций с раздвижением 1000 м.

Для оценки точности определения параметров ливней мы использовали пошаговое моделирование измерений и обработки их результатов на искусственных ливнях с помощью программ, вычисляющих наблюдаемые величины, исходя из заданных параметров ПКИ и взаимодействий. При этом нас интересует, в первую очередь, точность определения основных параметров ШАЛ, которыми являются углы прихода, положение оси ливня и плотности частиц, используемые в качестве параметров мощности ливня. В этой главе приводятся результаты моделирования измерений, определяющие зависимость точности нахождения положения оси и классификационного параметра ливня от энергии первичной частицы ШАЛ и места

попадания ливня на установку, которые важны для практики обработки событий ШАЛ на Якутской установке.

Для моделирования ливней КЛ выбрана модель кварк-глюонных струн,

1плотность заряженных частиц на расстоянии 600 м от оси ливня

предложенная в работах А.Б. Кайдалова, К.А. Тер-Мартиросяна и Ю.М. Шабельского, т.к. результаты расчетов, выполненных Н.Н. Калмыковым, J. Кпарр и др. показывают, что по совокупности наблюдаемых параметров она лучше других моделей описывает экспериментальные данные ШАЛ.

Вычисление функции пространственного распределения (ФПР) электронов в парциальных электромагнитных каскадах, образующихся в ШАЛ от 7-квантов при распаде нейтральных пионов и каонов, для целей моделирования производилось с использованием двух видов ФПР, описываемых аппроксимацией Грейзена результатов Нишимуры-Каматы (с мольеровским радиусом Rm и с уменьшенной шириной ФПР):

NK

„NKG

(r ,) = А Г(4.5 — s) _r_ jr_

R2M 27iT(s)r(4.5 — 2s) Rm У Rm'

■ß

(12)

а также масштабно-инвариантной функцией, предложенной А.А. Лагутиным и др.:

г г

F( )=0.28(-_

г1'2(1+£Т>'

¿Mn.s

3.33

-)2)

-0.6

(13)

ЧОЯт..

ФПР мюонов вычислялась по методике, разработанной Л.Г. Деденко, и в нашей группе. Для вычисления плотности заряженных частиц пороговая энергия мюонов выбрана равной 0.1 ГэВ, а для электронов - 10 МэВ.

Энергия первичной частицы подбиралась так, чтобы получалось заданное среднее значение Флуктуации в развитии ливня моделировались,

используя распределение коэффициента неупругости и положения точек взаимодействия лидирующего нуклона. Каскадные уравнения для адронов и мюонов решались методом разностных схем. Ввиду того, что наблюдения в Якутске ведутся только в холодное время года, принята модель изотермической атмосферы с приведенной высотой В зимних условиях Якутска температурный профиль атмосферы ближе к этой модели, чем к стандартной атмосфере.

Кроме флуктуаций в развитии ливня в атмосфере, на точность измерения плотности частиц в детекторах влияют аппаратурные ошибки. Здесь использованы результаты измерения флуктуаций отклика сцинтилляционных детекторов Якутской установки:

(14)

pS cos в

где с? = 0.2 - дисперсия отклика сцинтилляционного детектора на одиночную частицу; /3 = 0.16 - относительная погрешность амплитудных измерений. Вместе с пуассоновыми флуктуациями для числа частиц ps cos в, падающих на детектор, это определяет полную аппаратурную дисперсию отклика сцинтилляционного детектора установки.

Положения оси разыгрывались из равномерного распределения в пределах 4 км от центра установки. Для каждого заданного значения Ео и углов прихода генерировалось 10000 искусственных ливней. Моделирование работы установки в каждом разыгранном ливне производилось следующим образом. Вычислялись плотности заряженных частиц в каждой станции наблюдения с учетом погрешностей, вносимых аппаратурой. Если плотность частиц в обоих детекторах мастерных станции больше пороговой и таких станций не менее трех, то ливень регистрируется. Плотности частиц в детекторах записываются в файл, затем все ливни обрабатываются по программам обработки событий ШАЛ.

На Рис. 3 приведены результаты моделирования измерения плотности заряженных частиц на расстоянии 600 м от оси ливня, 5бщ.

Расстояние от центра установки до ее периметра вдоль радиуса, проходящего через координату «истинной» оси, принято за единицу в каждом ливне. Ошибка лоцирования оси ливня и параметра 5боо приблизительно одинакова по всей площади установки. За пределами же ее периметра происходит катастрофическое возрастание ошибки определения оси ливня (а также 56оо) с ростом расстояния до центра установки. Это устанавливает пределы применимости программ обработки событий ШАЛ.

В этой главе описан также метод вычисления приемной функции установки для анализа направлений прихода ливней. В этом случае произведение для каждого участка небесной сферы является функцией времени суток и времени года (а также географической широты места расположения установки) из-за вращения Земли вокруг оси и Солнца. Так как «разрешенный» интервал зенитных углов и энергии для всех участков неба одинаковый, употребляется также термин «относительная экспозиция» каждого участка или просто экспозиция.

Для ее вычисления в случае плоской наземной установки проще всего использовать метод Монте-Карло. Идея следующая: пусть каждый участок неба непрерывно испускает частицы, равномерно распределенные по углам а, 6 в экваториальной системе. Они падают на плоскую установку единичной площади, расположенную на поверхности Земли, в точке с астрономической широтой фо. В горизонтальной системе координат, связанной с установкой, количество частиц в телесном угле sin в<Ш<1ф пропорционалюнбв каждый момент времени суток. Если теперь мы обратим задачу, т.е. установка будет непрерывно испускать античастицы, распределенные

и равномерно распределенные по азимуту, то уходя по прямой в бесконечность, в течение суток они покроют небо точками с угловыми координатами в местах попадания. Плотность точек пропорциональна

экспозиции соответствующего участка небесной сферы.

Результаты вычисления экспозиции как функции склонения для трех

A S600=100 • S600=1 ■ S600=10

R/Rperim

Рис.3. Относительная ошибка определения параметра £>600 в зависимости от координат оси и величины ливня. в — 0.

с, Yakutsk □ Auger о AGASA

Рис 4 Экспозиции устаиовок AGASA Auger и Якутской как функции склонения.

наземных установок показаны на Рис. 4.

В заключительной части главы анализируются потери черепковского света в атмосфере, которые самым непосредственным образом сказываются на оценке энергии первичной частицы ШАЛ, поскольку методика ее оценки на Якутской установке основана на измерении ИВЧ.

В Третьей главе описываются методы оценки энергии первичной частицы, инициирующей ШАЛ в атмосфере. Определение энергии частиц ПКИ, порождающих ядерно-электромагнитный каскад частиц в атмосфере, является одной из главных задач, решаемых на установках ШАЛ. В начале главы описаны основные методы, применяемые на других установках. Затем обсуждается метод, применяемый на Якутской установке ШАЛ, основанный на измерении доли энергии, передаваемой в основные компоненты ливня. Главной отличительной особенностью нашей установки является измерение ИВЧ, генерируемого релятивистскими электронами ливня в атмосфере. Полный поток ИВЧ, измеряемый на уровне моря, связан с ионизационными потерями электронов в атмосфере; это позволяет оценить основную долю энергии первичной частицы модельно-независимым способом. Дополняя измерения черенковского света данными других детекторов установки - электронов и мюонов, мы получаем возможность экспериментально определять свыше 90% энергии ливня. Такой метод определения Е0 МОЖНО назвать квази-калориметрическим. Ни на одной из действующих в мире гигантских установок ШАЛ такой возможности нет.

Для того, чтобы моделировать процедуру определения энергии, рассмотрим распределение доли энергии, передаваемой в различные компоненты ливня. Вычисление энергии для каждой компоненты можно провести, интегрируя уравнения переноса частиц в ШАЛ. Обозначим Еъ соответственно, энергию, передаваемую нуклонам,

заряженным пионам, каонам, мюонам и нейтрино, электронам и фотонам. Выявим основные параметры взаимодействия частиц, определяющие соотношение Е^ - баланс энергии компонент ШАЛ.

Вычисление энергии компонент в ливне рассмотрим на примере заряженных пионов, образующих каскадный ливень от первичного нуклона. Интегрирование уравнения (2) по энергии приводит к уравнению для энергии пионной компоненты на глубине

с условием на границе атмосферы Е„(0) = 0; где Еж(х) = ,Е)ЕйЕ\

остающаяся у лидирующего нуклона; Щ}е1 - коэффициент неупругости во

взаимодействиях нуклонов, принятый постоянным.

Как видно из уравнения, в области энергий Е Вп параметрами, определяющими энергию заряженных пионов, являются только и Х„. Это означает, что энергия, передаваемая заряженным пионам, не зависит от формы спектра вторичных пионов, образуемых в процессах множественной генерации адронов. Поэтому в общем случае мы можем использовать простую ¿-модель, в которой энергии всех вторичных адронов одинаковы: - множественность вторичных

частиц во взаимодействии, для вычисления баланса энергии в ливне. В области энергии такая модель перестает быть точной, нужно

использовать более реалистичную модель для вычисления энергии мюонов и нейтрино. Но вся доля энергии первичной частицы, передаваемая в эти компоненты, не превышает 10%, поэтому ошибки из-за применения упрощенной модели должны быть второго порядка малости. Таким образом, параметрами модели, определяющими соотношение энергии вторичных компонент ливня, в первом приближении являются: средние коэффициенты неупругости, свободные пробеги, множественность вторичных частиц во взаимодействиях адронов в атмосфере и скорость фрагментации первичных ядер в ливнях, инициированных ядрами. Остальные характеристики модели - такие как, например, форма распределения по быстротам конституентных кварков, слабо влияют на баланс энергии в ливне.

Основная часть энергии первичной частицы уносится электромагнитной компонентой ливня, которая связана с черенковским излучением ШАЛ в атмосфере. Число фотонов ИВЧ в интервале длин волн (А^Аг), излучаемых релятивистским электроном со скоростью на длине в классической теории Тамма и Франка равно:

где а - постоянная тонкой структуры, п - коэффициент преломления среды. Подставляя пороговую энергию Ethr ~ тс^/^щ — 1)р(х)/ро и отбрасывая члены высокого порядка относительно малого параметра тс?/Е, получим число фотонов, излучаемых на длине 1 г/см2:

Л2 Ai Ро

Выражение для полного потока ИВЧ приводится к виду

жо Ео

Q(E0,x0) — J dxk(x,xo) J dEN(E0,E,x)d(x,E),

о etht

где N(Eq, E, x) - спектр электронов в ливне на глубине х\ к(х, Жо) коэффициент ослабления света в атмосфере.

Используя приближение «равновесного спектра» электронов, соответствующего максимуму ливня, можно связать ионизационные потери электронов в атмосфере (Ei) с полным потоком ИВЧ на уровне моря с точностью не хуже 5%:

Из полученных соотношений, связывающих Q(Eo,xq) с ионизационным интегралом, следует, что эта связь определяется только коэффициентом поглощения света и глубиной максимума ливня в атмосфере, но не зависит от модельных предположений о взаимодействиях адронов ШАЛ. В этом состоит преимущество измерения черенковского света от ШАЛ, используемого для оценки энергии, теряемой ливнем в атмосфере.

Далее дано описание метода построения энергетического спектра ПКИ, основанного на результатах численного моделирования развития ливня, и методов измерения и анализа данных, применяемых в Якутской группе. Приведены оценки экспериментальных ошибок доли первичной энергии для измеряемых на уровне наблюдения компонент ШАЛ.

В результате впервые построен энергетический спектр ПКИ в широком диапазоне энергий от 1015 до 10 20 эВ, использующий измерения атмосферного черенковского излучения ШАЛ детекторами Якутской установки. Подтверждена сложная форма спектра, которая при её аппроксимации степенным законом имеет два излома: при энергии 4 х 1015 эВ («колено») и

~ 1019 эВ («лодыжка»). Обсуждаются особенности полученного спектра в сравнении с данными других установок и с результатами расчетов в различных моделях происхождения и распространения ПКИ.

В Четвертой главе описываются методы численного моделирования развития ШАЛ космических лучей в атмосфере, которые привели к новым

физическим результатам, касающимся развития каскада и массового состава ПКИ, с помощью анализа данных Якутской установки.

Установки, основанные на измерении ионизационнго свечения, вызываемого ливнем КЛ в атмосфере, имеют в своем распоряжении метод прямого измерения положения максимума развития ШАЛ Т.к. интенсивность света пропорциональна числу частиц, то продольный профиль каскадной кривой ливня, проходящего наклонно над оптическим детектором, восстанавливается по изображению, полученному на мозаике из фотоэлектронных умножителей. Нами развит и успешно применен на Якутской установке другой метод определения глубины максимума ливня - по измерениям наклона функции пространственного распределения черенковских фотонов и заряженных частиц связанным с Аналогичная методика впоследствии применялась (для черенковских фотонов) на установке САвА-ВЬАЫКА в США. Метод основан на том, что существует корреляция между высотой где число электронов

достигает максимума, и показателем наклона ФПР частиц на периферии ливня. Расчеты для разных моделей развития ливня показали, что в хорошем приближении можно аппроксимировать ее линейной функцией от слабо зависящей от модели.

Величина аппаратурных ошибок, вносимых при измерениях наклона ФПР, и погрешности, связанные с процедурой обработки данных ШАЛ, были найдены с помощью программы математического моделирования Якутской установки, описанной во второй главе. В данном случае получены распределения параметров и их ошибки. Для этого были разыграны искусственные ливни в программе моделирования развития ШАЛ, воспроизводились условия запуска триггера установки, накладывались случайные ошибки, связанные с аппаратурой. Далее выполнялась стандартная процедура обработки событий ШАЛ: лоцирование оси, определение классификационного параметра, функций пространственного распределения и ее наклона для каждого ливня. В главе описываются полученные оценки флуктуаций параметров в индивидуальных событиях ШАЛ, которые складываются из трех составляющих - физических флуктуаций в развитии ливня, случайных искажений, вносимых в ходе измерений, и обработки данных. Всего было разыграно 104 искусственных ливней в интервале энергий для выбранных характерных

позиций оси ШАЛ в пределах периметра установки.

Применение разработанного метода позволило получить из данных Якутской установки оценки среднего значения и дисперсии ее

распределения. Важное значение для оценки среднего массового состава

ПКИ имеет скорость смещения глубины максимума ШАЛ с энергией

которая также получена по имеющимся экспериментальным данным.

Сравнение полученных результатов с модельными расчетами развития ШАЛ показывает, что хотя результаты разных установок имеют некоторые расхождения и предстоит большая работа по доработке методов восстановления и его распределения, удалось получить первые

предварительные сведения о среднем массовом составе ПКИ СВЭ и характеристиках средней каскадной кривой ШАЛ.

Доля протонов в предположении двухкомпонентного состава ПКИ (Р+Бе), которая следует из данных Якутской установки по Хтах, равна 0.54 ± 0.15 ± 0.2 при Е0 = 1018 эВ, и 0.72±0.28±0.2 при Е0 = 1019 эВ. Приведены вклады в ошибку из-за экспериментальных ошибок в данных (первое слагаемое) и из-за неопределенности выбора модели (второе слагаемое) между QGSjet и 8йэуИ.

Магнитное поле Земли оказывает выраженное влияние на развитие наклонных ШАЛ в атмосфере. Специфика этого влияния определяется двумя обстоятельствами. Во-первых, при больших зенитных углах каскад адронов развивается на большой высоте, далеко от установки - в условиях, благоприятствующих образованию мюонной компоненты и ее эффективному отклонению геомагнитным полем. Поскольку величина отклонения обратно пропорциональна энергии мюона и имеет противоположный знак для разноименных зарядов, то установка ШАЛ, регистрирующая такие ливни, превращается в своеобразный магнитный спектрометр, использующий магнитное поле Земли для разделения по зарядам и энергии мюонов в ШАЛ. Во-вторых, большая толщина проходимого ливнем количества вещества (от 2 до 6 атмосфер при 60° < в < 80°) позволяет исследовать каскадные кривые ШАЛ далеко за максимумом развития, изучать характер поглощения потоков энергии адронной компоненты по пробегу поглощения мюонов и электронов.

Численное моделирование наклонных ШАЛ позволило впервые извлечь сведения о величине геомагнитного эффекта в широких атмосферных ливнях КЛ из наблюдательных данных в области энергий первичных частиц 1018 — 1020 эВ, где не имеется других экспериментальных возможностей.

Распределение ливней в интервале зенитных углов (67°, 78°), имеющих среднюю энергию первичных частиц по величине

азимутальной асимметрии ФПР в зависимости от геомагнитного параметра д2 показано на Рис. 5.

2р — 81п£ вес2 0, где £ - угол между вектором магнитного поля и осью ливня

Рис. 5: Наблюдаемая асимметрия ФПР мюонов в сильно наклонных ШАЛ, характеризуемая средним отношением расстояния от оси вдоль направления силы Лоренца (о) к перпендикулярному (6), где плотности частиц равны.

Установлено, что в представленных данных, несомненно, имеется геомагнитный эффект, выходящий за пределы экспериментальных ошибок. Доверительный интервал среднего значения г/д = (а/Ь) по 12 событиям сильно наклонных ШАЛ есть (1.73,3.13) с надежностью 0.99. Значение^ = 1 выходит за пределы этого интервала.

Наблюдаемая зависимость Г)(д) согласуется с ожидаемой (пунктир), вычисленной в приближении точечного источника мюонов на глубине х = 500 г/см2, с равномерным в интервале 10 < Е^ < 30 ГэВ дифференциальным спектром и средним поперечным импульсом

Пд=0 \

1 + —'1

Вычисление коэффициента т)(д) в других моделях дает также согласующийся с этой простой моделью результат.

Другой эффект, связанный с деформацией ФПР в геомагнитном поле, проявляется на установках с широким раздвижением детекторов, когда для отбора ливней используется плотность заряженных частиц на некотором расстоянии от оси (например, но не полное число частиц. В этом случае

в каждом ливне определяется по показаниям некоторого, в большинстве случаев, небольшого количества детекторов. По найденному значению ливню приписывается энергия первичной частицы. При этом для малых ливней, где срабатывает 4-6 детекторов, нет возможности учитывать овальность ФПР. В результате, для ливней с одинаковым зенитным углом должна наблюдаться систематическая модуляция частоты событий ШАЛ по азимуту, вызванная степенным спектром КЛ (а также изменением Sef / с энергией) - небольшое изменение энергии влечет за собой сильное изменение интенсивности потока ПКИ

Такой эффект характерен для Якутской установки, где для классификации

ф *>

а и

и й о

£

ливней используется ¿зоо/^боо. кроме того, сам отбор событий ШАЛ здесь производится с помощью аппаратного триггера по условию превышения порогового значения плотности заряженных частиц.

Здесь приводятся результаты исследования геомагнитного эффекта в наклонных ШАЛ с использованием массива данных наблюдений на Якутской установке. Было проанализировано более 3 х 105 ливней с энергией выше 5 х 1016 эВ в интервале зенитных углов (0°, 80°). Все ливни были разбиты на интервалы зенитных углов шириной 10°. В каждом интервале 9 построено распределение по азимуту (Рис. 6) нормированного числа событий ШАЛ. Штриховой линией показаны функции где

амплитуда и фаза первой гармоники.

Амплитуда первой гармоники существенно отличается от нуля в интервалах зенитных углов В этих интервалах можно отвергнуть

равномерное распределение по азимутальному углу с вероятностью

1 А -14

погрешности менее 10 , основываясь на вероятности для равномерного распределения иметь амплитуду первой гармоники больше Ai'. Р(> Aj) = exp(-nAj/4). Фаза первой гармоники совпадает с магнитным меридианом в Якутске.

Малость отклонения вектора магнитного поля в районе Якутска от вертикали приводит к преобладанию первой гармоники

распределения по азимуту для 20° < в < 70°. Для других установок картина может быть иной. Например на экваторе, где поле направлено горизонтально, должна преобладать вторая гармоника распределения. В промежуточной же области будут выражены и первая, и вторая гармоники для углов в > 50°. Интересно, что для северной и южной обсерваторий Auger знаки геомагнитного эффекта будут противоположными.

S Zenith

bins (deg.)

О 90 180 270 360

Azimuth (deg.)

Рис. 6: Азимутальное распределение частоты событий ШАЛ в зависимости от зенитного угла.

Определена зависимость геомагнитного эффекта в ШАЛ от зенитного угла и энергии первичной частицы. Оценено влияние на наблюдаемый спектр ШАЛ и распределение направлений прихода в небесных координатах.

В Пятой главе изложены численные методы, разработанные для анализа направлений прихода ПКИ на основе моделирования процедуры измерений. Описаны результаты применения этих методов автором совместно с коллегами к данным наблюдений на установках ШАЛ сверхвысоких энергий.

Неравномерность приемной функции установок по склонению, и напротив, равная экспозиция участков неба по прямому восхождению в суточном цикле вращения Земли, предопределили выбор гармонического разложения распределения интенсивности КЛ по прямому восхождению в качестве первого метода поиска анизотропии в распределении ПКИ по углам прихода, оо оо

/(а) = Со + £{аксов(А;а) + Ькат(*:а)) = со + X! ск сое{ка - ка°к), (16) к=1 к=1

где 4 = а| + Ъ\\ а°к = агс^(Ьк/ак)-, со = /ы/(27г). При энергии

меньше 1017 эВ распределение ПКИ практически изотропно: С1 < 0.1%. В области сверхвысоких энергий может стать заметным избыточный поток со стороны плоскости Галактики, что должно привести к амплитуде первой или второй гармоники, отличной от нуля. Если, например, интенсивность КЛ аппроксимируется функцией

1{а) = со + С! сов(а - а0)

с фазой максимума Оо, то параметр анизотропии г = сх/со, что объясняет физический смысл амплитуды первой гармоники.

Спектр космических лучей описывается круто падающей степенной зависимостью от энергии. Это приводит к систематическому росту с энергией амплитуд изотропного распределения из-за уменьшения числа частиц, что имитирует ожидаемый рост амплитуд гармоник галактических КЛ.

Приводится зависимость ожидаемой амплитуды к- ой гармоники и с.к.о. от объема выборки для изотропного распределения:

(17)

Принимая число частиц пропорциональным интенсивности ПКИ (1(Е) ос получим зависимость амплитуд от энергии первичной частицы

(ск) ос (18)

Описывается также влияние неоднородности приемной функции установки и вариации атмосферных условий на частоту событий ШАЛ,

(ск) =

8ск =

4 - ж

N

учет которых существенно уменьшает наблюдаемые амплитуды для всех векторов анизотропии по звездному, антизвездному и солнечному времени, в области энергии Е < 1018 эВ.

В области 1018 < Е < 4 X 1019 эВ галактическая компонента КЛ должна проявлять две особенности в угловом распределении, которые могут быть использованы для ее обнаружения: поток частиц преимущественно из экваториальной области и северо-южная асимметрия распределения по галактической широте. Первая следует из того, что наблюдаемая плотность источников КЛ должна коррелировать с плотностью вещества в Галактике при энергии выше 1018 эВ, когда Ларморовский радиус становится больше размера рукавов, вдоль которых направлено регулярное магнитное поле Галактики. Вторая же асимметрия должна возникать в переходной области из-за эффекта, впервые предсказанного СИ. Сыроватским - искривление траекторий заряженных частиц в регулярном магнитном поле приводит к превышению потока частиц с южной полусферы над северной, приходящих из направления антицентра Галактики (для положительно заряженных частиц), если источники КЛ распределены равномерно в галактическом диске.

Поэтому был проанализирован весь накопленный массив данных Якутской установки с привлечением имеющихся данных других установок ШАЛ с целью выяснения вклада галактической компоненты космических лучей сверхвысоких энергий в общий поток ПКИ. В качестве параметров, отражающих свойства моментов распределения по галактической широте, использовались величины соотношение

числа частиц, приходящих из северной (пм) и южной галактической полусферы (пз), и ЯвРЕ = {пцак ~ Пакет)/{"■«¡¡«к + П-^Нег) " Доля частиц, приходящих из экваториальной области В данном

случае эти соотношения, связанные со средним значением и дисперсией, удобнее для обработки экспериментальных данных измерения ШАЛ. Среднеквадратичные отклонения этих величин, получающиеся из формулы для биномиального распределения, однотипны:

ел = 2

п^пз

{пц + Пв)3'

5Коре = 2,

(п<И $к + по(Лег)3

(19)

Вычисление ожидаемого значения коэффициентов и при

изотропном распределении ПКИ для конкретной установки удобнее всего проводить методом Монте-Карло, используя программу для вычисления экспозиции.

Результаты анализа данных Якутской установки показывают (Рис. 7), что имеется отклонение 1Ш$А ОТ ожидаемого для изотропии значения в области энергии 5 X 1018 < Е < 2 X 1019 эВ на уровне 3(7. Чтобы исключить методические ошибки эксперимента, имитирующие ожидаемый физический

0.4

0.2

0.0

■в -0.2

-0.4

-0.6

1 111 - »УакйБк

А АОАЭА

ЬоНорк

\

Ч РИЛ)!» /

1 , , , .....| ,

10

10

Ргшшу епе^у [еУ]

10

Рис. 7: Отклонение параметра асимметрии Дюл распределения углов прихода ПКИ по галактической широте от значений, ожидаемых для изотропного распределения

эффект, данные были разделены на две части - ливни, приходящие из направления центра Галактики и со стороны антицентра. Оказалось, что коэффициент асимметрии меняет знак из-за смены знака вектора силы Лоренца, что показывает астрофизическую природу эффекта.

Гармонический анализ распределения направлений прихода ШАЛ по прямому восхождению имеет очевидный недостаток - сложность обобщения на двумерный случай из-за неравномерной приемной функции установок как функции склонения. Другой недостаток гармонического анализа в данном применении - невозможность определить ширину обнаруженной области, где расположен источник КЛ. Эти недостатки можно обойти, используя всйвлет-анализ.

Непрерывное вейвлет-преобразование функции /(£) определяется как:

■ш(Я,Ь) = /Ф(К,Ь;х) = (20)

где Ь) - вейвлет-образ функции с параметром масштаба Я

в точке с координатами изотропный «материнский»

вейвлет. Необходимыми и достаточными условиями применимости этого преобразования, а также обратного синтеза, являются: баланс положительных и отрицательных значений, /<1хф = 0; нормировка, ]ёхф2 = 1; обратимость, (2тг2) ¡dqq~iф2(q) < оо, где ф{д) - Фурье-образ функции ф(х).

Степень отклонения отношения наблюдаемой/изотропной амплитуд вейвлет- коэффициентов /\¥{80*°!Лс от единицы в интервале энергии,

для заданных значений параметров, может служить мерой отклонения от изотропного ожидания. На Рис. 8 показано такое отношение, полученное в результате обработки данных Якутской установки ШАЛ. Здесь использован одномерный вейвлет Марра на круге прямых восхождений для распределения

Рис. 8 Марра направлений по прямым Вертикальные показывают

Амплитуда вейвлета для распределения прихода КЛ восхождениям.

черточки статистические

ошибки; горизонтальными чертами показаны интервалы энергии.

направлений прихода, проинтегрированного по склонениям.

В области Е > 1019 эВ наблюдается значимое отклонение амплитуды вейвлета Марра от «изотропной» амплитуды: \^"Ь8егЖ11— 2.52 ± 0.52. Фазе этой амплитуды соответствует положение максимума вейвлета 2.7Л прямого восхождения с ошибкой ~ Д/2 = ]Л Уровень значимости отклонения амплитуды от изотропного ожидаемого значения, вычисленный методом Монте-Карло для наблюдаемого числа частиц N=361, попадающих в эту область, равен 0.7%.

Применение двумерного вейвлета позволяет уточнить направление преимущественного прихода КЛ в распределении по склонениям и, в определенных пределах, оценить величину параметра масштаба вейвлета. Вычисление интеграла с двумерным вейвлетом Марра в экваториальных координатах с последующей оценкой амплитуды первой гармоники по прямому восхождению приводит к отношению наблюдаемой и изотропной амплитуд, имеющему выраженный максимум в области 1019 < Е <

с параметром масштаба вейвлета Найденная область уточняет положение вероятного источника избыточного потока КЛ, характеризуемого северо-южной асимметрией в распределении галактических широт в переходной области.

В Заключении сформулированы основные результаты работы.

Основные результаты, выносимые на защиту:

1. Разработаны математические модели, описывающие развитие широких атмосферных ливней элементарных частиц в атмосфере, порождаемых первичным космическим излучением сверхвысокой энергии. Для их исследования построены методы численного решения системы ядерно-каскадных уравнений, применимые для моделирования основных компонент ливня, для широкого класса моделей взаимодействия частиц с ядрами атомов в атмосфере. Методами теории разностных схем сконструированы явные и неявные схемы, аппроксимирующие исходную систему уравнений с соответствующими дополнительными

условиями. Создан комплекс программ для реализации разработанных вычислительных алгоритмов на основе выбранных разностных схем, а также резольвенты уравнения Вольтерра. Показана применимость полученных решений к анализу данных измерений на установках ШАЛ.

2. Проведено математическое моделирование измерений на Якутской установке ШАЛ, получены оценки ошибок измерения параметров ливней, вычислена приемная функция установки в рабочих пределах изменения энергии и углов прихода первичных частиц, определены пределы применимости используемых методов анализа данных. Выполнены детальные расчеты развития каскада частиц, учитывающие особенности детекторов, географические и метеорологические условия в районе расположения установки и методики обработки событий ШАЛ, необходимые для восстановления астрофизических свойств первичного космического излучения.

3. Проведено численное моделирование распределения энергии первичной частицы ШАЛ по различным компонентам ливня для распространенных моделей ядерных взаимодействий. Показана слабая модельная зависимость доли энергии, уносимой различными компонентами ШАЛ. Оценены экспериментальные ошибки измерения этих величин. Полученные результаты использованы для обоснования используемого на Якутской установке «квази-калориметрического» метода оценки первичной энергии, основанного на измерении полного потока черенковского света, излучаемого релятивистскими электронами ливня, а также числа электронов и мюонов на уровне наблюдения.

Впервые построен энергетический спектр ПКИ в широком диапазоне энергий от 1015 до 3 х 1019 эВ по данным измерений атмосферного черенковского излучения ШАЛ детекторами Якутской установки. Подтверждена сложная форма спектра, которая при её аппроксимации степенным законом имеет два излома: при энергии 4 х 1015 («колено») и ~ 1019 эВ («лодыжка»).

4. Применение результатов математического моделирования сильно наклонных ливней на Якутской установке позволило впервые установить эффект влияния магнитного поля Земли на заряженные частицы ШАЛ, обнаружить и измерить амплитуду азимутальной модуляции в геомагнитном поле частоты событий ШАЛ космических лучей с фиксированной плотностью заряженных частиц. Определена величина геомагнитного эффекта, влияющего на наблюдаемый энергетический спектр ШАЛ и распределение направлений прихода первичных частиц.

5. Разработаны методы анализа направлений прихода КЛ СВЭ, основанные на результатах моделирования измерений на Якутской установке. Показано, что в окрестности 1019 эВ имеется отклонение от изотропии на уровне значимости 0.005, характеризуемое избыточным потоком частиц из области небесной сферы l.7h < а < 3.7Л; 45° < J < 60°, уточняющее ранние указания на анизотропию распределения КЛ по прямому восхождению. В этой же области энергий обнаружена северо-южная асимметрия в распределении космических лучей по галактической широте, которая может быть объяснена заметной примесью тяжелых ядер галактического происхождения в изотропном потоке внегалактических частиц. Такой характер анизотропии ожидается, если вклад внегалактических источников в наблюдаемый поток КЛ возрастает с ростом энергии и становится преобладающим при Е > 1019 эВ над вкладом галактических источников КЛ.

Список основных публикаций автора по теме диссертации

1. Иванов А.А. Метод разностных схем численного решения ядерно-каскадных уравнений // Исследования по космофизике и аэрономии. Якутск: ЯФ СО АН СССР. 1975.-С. 99-102.

2. Дьяконов М.Н., Иванов АА, Кершенгольц И.М. и др. О продольном развитии ШАЛ с энергией первичных частиц выше 1017 эВ // Изв. АН СССР. Сер. физ. 1976.-Т. 40. № 5.-С. 1017-1019.

3. Дьяконов М.Н., Егоров ТА., Иванов А.А. и др. Энергетический спектр КЛ в области 1017 - 1020 эВ // Изв. АН СССР. Сер. физ. 1978.-Т. 42. № 7.-С. 1449-1452.

4. Dyakonov M.N., Ivanov AA., Knurenko S.P. et al. Simulation of measurements at the Yakutsk complex EAS array // Proc. 17й ICRC. Paris. 1981.-V. 6-P. 78-81.

5. Ivanov A. A. Analytic solution of EAS particle transport equations for scaling models // Proc. H" ICRC. Paris. 1981.-V. 6-P. 276-279.

6. Иванов А.А. Две разностные схемы для расчета развития ШАЛ // БНТИ: Проблемы космофизики и аэрономии. Якутск: ЯФ СО АН СССР. 1982.-С. 17-20.

7. Ivanov А.А. On the numerical solution of EAS hadron transport equations by the difference scheme method // Proc. 18th ICRC. Bangalore. 1983.-V. 6-P. 147-150.

8. Dyakonov M.N., Ivanov AA, Knurenko S.P. et al. Fluctuations of development maximum depth and nuclear composition of PCR // Proc. 19'" ICRC. La Jolla. 1985.-V. 2.-P. 182-186.

9. Дьяконов М.Н., Егорова В.П., Иванов АА. и др. Оценки некоторых параметров множественной генерации частиц при Е > 1017 эВ по измерениям черенковского света ШАЛ // Изв. АН СССР. Сер. физ. 1986.-Т. 50.-JY 11.-С. 2168-2171.

10. Дьяконов М.Н., Егорова В.П., Иванов А.А. и др. Изменение ядерного состава ПКИ в области 1017 - 1019 эВ // Письма в ЖЭТФ. 1989.-Т. 50.-№ 10.-С. 408-410.

11. Иванов А.А. О возможности измерения наклонных мюонных ливней от ПКИ с Е > 1 ЭэВ // Ядерная физика. 1990.-Т. 51.-№ 6.-С. 1820-1821.

12. Ivanov A.A., Makarov I.T., Pavlov V.N. et al. Analysis of inclined showers at the Yakutsk EAS array // Proc. 6й Intern. Symp. on VHE CR Interactions. Tarbes. 1990. V. l.-P. 17-20.

13. Иванов А.А., Красильников А.Д., Никольский СИ. Эффект ограниченной статистики в наблюдаемом распределении направлений прихода КЛ СВЭ // Краткие сообщения по физике. 1990.-Д0 6.-С. 30-32.

14. Дьяконов М.Н., Егоров Т.А., Ефимов Н.Н., Иванов А.А. и др. Космическое излучение предельно высокой энергии // Новосибирск: Наука. 1991. - 252с.

15. Иванов А.А., Красильников А.Д., Никольский СИ. Анализ распределения направлений прихода ПКИ с Е > 5 ЭэВ // Изв. АН СССР. Сер. физ. 1993.-Т. 57.-№4.-С.-78-91.

16. Chi X., Dudarewicz A., Ivanov А.А. et al. Cosmic rays above 4 x 1019 eV // J. Phys. G: Nucl. Part. Phys. 1993.-V. 19. -No. 9.-P. 1393-1397.

17. Chi X., Ivanov A.A., Wolfendale A.W. The trajectories of CRs at the highest energies: I. Calculations for particles originating in the Galactic Plane // J. Phys. G: Nucl. Part. Phys. 1993.-V. 19.-No. ll.-P. 1975-1985.

18. Chi X., Dudarewicz A., Ivanov A.A. et al. The trajectories of CRs at the highest energies: II. Sensitivity of the anisotropy predictions to model parameters // J. Phys. G: Nucl. Part. Phys. 1994.-V. 20.-No. 4.-P. 665-672.

19. Chi X., Dudarewicz A., Ivanov A.A. et al. The trajectories of CRs at the highest energies: III. Applications of predictions to the results from extensive air shower arrays // J. Phys. G: Nucl. Part. Phys. 1994.-V. 20.-No. 4.-P. 673-679.

20. Иванов А.А., Красильников А.Д., Никольский СИ., Правдин М.И. Поиск корреляции направлений прихода КЛ СВЭ с крупномасштабной структурой Вселенной // Изв. РАН. Сер. физ. 1997.-Т. 61.-№ З.-С 522-525.

21. Ivanov A.A., Kolosov V.A., Krasilnikov A.D. et al. Observation of the galactic latitude distribution of UHECR with the Yakutsk array // Proc. 25th ICRC. Durban. 1997,-V. 4.-P. 181-183.

22. Ivanov A.A. Galactic cosmic rays at 1019 eV // J. Phys. G: Nucl. Part. Phys. 1998.-V. 24.-No. l.-P. 227-233.

23. Иванов А.А., Егорова В.П., Колосов В.А. и др. Азимутальная

модуляция частоты событий ШАЛ КЛ геомагнитным нолем // Письма в ЖЭТФ. 1999.-Т. 69.-№ 4.-С. 263-268.

24. Иванов А.А., Егорова В.П., Кнуренко СП. и др. Изучение наклонных ливней КЛ СВЭ на Якутской установке ШАЛ // Изв. РАН. Сер. физ. 2001.-Т.

65.-№ 8.-С. 1221-1223.

25. Egorova V.P., Glushkov A.V., Ivanov A.A. et al. Recent results from the Yakutsk array experiment // Journ. of Phys. Soc. of Japan (Suppl. B) 2001.-V. 70.-P. 9-14.

26. Правдин М.И., Иванов А.А., Красильников А.Д. и др. Анализ анизотропии К Л E ~ 1017 эВ по данным Якутской установки ШАЛ // ЖЭТФ. 2001.-Т. П9.-№ 5.-С. 881-885.

27. Правдин М.И., Иванов А.А., Красильников А.Д. и др. Анизотропия КЛ по данным Якутской установки ШАЛ // Изв. РАН. Сер. физ. 2002.-Т.

66.-№ 11.-С. 1594-1597.

28. Ivanov A.A., Krasilnikov A.D., Pravdin M.I., Sleptsov I.Ye. A search for sources of VHE CRs detected with the Yakutsk array // VHE Phenomena in the Universe (Proc. 36th Rencontres de Moriond). The Gioi. 2003.-P. 213-217.

29. Ivanov A.A., Knurenko S.P., Sleptsov I.Ye. The energy spectrum of CRs above 1015 eV derived from air Cherenkov light measurements in Yakutsk // Nuclear Physics В (Proc. Suppl.) 2003.-V. 122.-P. 226-230.

30. Иванов А.А., Красильников А.Д., Правдин М.И. Поиск анизотропии направлений прихода КЛ СВЭ с применением вейвлета Марра на экваториальной сфере // Письма в ЖЭТФ. 2003.-Т. 78.-№ 11.-С. 1207-1211.

31. Ivanov A.A., Krasilnikov A.D., Pravdin M.I. A wavelet-based approach to UHECR arrival direction analysis // Proc. 28th ICRC. Tsukuba. 2003.-V. l.-P. 341-344.

32. Ivanov A.A., Knurenko S.P. Analysis of the energy estimation algorithm of UHECRs detected with the Yakutsk array // Proc. 28h ICRC. Tsukuba. 2003.-V.

1.-P. 385-388.

33. Иванов А.А. Численное решение уравнений переноса адронов в ШАЛ КЛ // Труды Межд. конф. по вычисл. математике. Новосибирск. 2004.-Т.

2.-С. 493-497.

34. Иванов А.А. Применение методов математического моделирования для исследования ШАЛ КЛ // Тезисы докл. IV Межд. конф. по матем. моделированию. Якутск. 2004.-С.69-70.

35. Egorova V.P., Glushkov A.V., Ivanov A.A. et al. The spectrum features of UHECRs below and surrounding GZK // Nuclear Physics В (Proc. Suppl.) 2004.-V. 136.-P. 3-11.

36. Правдин М.И., Глушков А.В., Егорова В.П., Иванов А.А. и др. Спектр КЛ с энергией выше 1017 эВ // Изв. РАН. Сер. физ. 2004.-Т. 68.-№ 11.-С. 1621-1623.

Подписано в печать 19.04.2005. Формат 60х 84/16. Бумага тип. №2. Гарнитура «Тайме». Печать офсетная. Печ. л. 2,0. Уч.-изд. л. 2,5. Тираж 100 экз. Заказ 85. Издательство ЯГУ, 677891, г. Якутск, ул. Белинского, 58.

Отпечатано в типографии издательства ЯГУ

Oö. 42 ' OS /з

( Г

246

MtäH ■

t Введение

1 Численное решение уравнений переноса частиц в ливне

1.1 Уравнения переноса адронов в ШАЛ

1.2 Модели взаимодействия частиц.

1.3 Решение уравнений переноса адронов в области фрагментации вперед.

1.4 Решение уравнений переноса адронов в области пионизации . 36 1.4.1 Резольвента уравнения Вольтерра на сетке. 1.4.2 Применение конечно-разностных методов.

1.5 Реализация алгоритмов в виде программ.

1.6 Проверка результатов численных расчетов в аналитически решаемых моделях.

2 Моделирование измерений на Якутской установке ШАЛ

2.1 Основные характеристики Якутской комплексной установки . 56 ф 2.2 Моделирование работы детекторов заряженных частиц и методики обработки данных.

2.2.1 Вычисление функции пространственного распределения заряженных частиц.

2.2.1.1 Аналитическая аппроксимация результатов электромагнитной каскадной теории.

2.2.1.2 Сравнение результатов расчета пространственного распределения заряженных частиц с экспериментальными данными.

2.2.2 Оценка точности определения параметров ШАЛ на

Якутской установке.

2.3 Вычисление приемной функции установки

2.4 Оценка потерь черепковского света в атмосфере.

Алгоритм оценки энергии первичной частицы ШАЛ

3.1 Методы оценки энергии первичной частицы, используемые на установках ШАЛ.

3.2 Квази-калориметрический способ измерения энергии широких атмосферных ливней космических лучей.

3.2.1 Баланс энергии компонент ШАЛ.

3.2.2 Связь полного потока излучения Вавилова-Черенкова от ШАЛ с ионизационными потерями электронов ливня в атмосфере.

3.2.3 Оценка энергии, проносимой электронно-фотонной компонентой ниже уровня наблюдения

3.2.4 Оценка энергии мюонной компоненты и доли энергии, не измеряемой Якутской установкой ШАЛ.

3.3 Определение энергии первичной частицы на Якутской установке ШАЛ.

3.4 Методы построения энергетического спектра космических лучей но данным Якутской установки.

Численное моделирование параметров развития ШАЛ: массовый состав ПКИ и влияние геомагнитного поля

- 44.1 Связь параметров развития ШАЛ в атмосфере с массовым составом первичных частиц.

4.1.1 Оценка глубины максимума развития ШАЛ

4.1.2 Флуктуации глубины максимума.

4.2 Влияние геомагнитного поля па развитие каскада заряженных частиц в атмосфере j 4.2.1 Ожидаемая картина развития ливня в толстом слое вещества атмосферы.

4.2.2 Экспериментальное изучение сильно наклонных ливней

4.2.3 Азимутальная модуляция частоты событий ШАЛ в геомагнитном поле.

• 5 Методы анализа распределения направлений прихода ПКИ

5.1 Гармонический анализ по прямому восхождению.

5.1.1 Влияние ограниченного объема выборки в 5.1.2 Влияние вариации атмосферных условий.

5.2 Анализ моментов распределения по галактической широте

5.3 Применение вейвлет-преобразования в экваториальных координатах.

5.3.1 Распределение по прямому восхождению: одномерный вейвлет Марра.

5.3.2 Экваториальные координаты: двумерный вейвлет Марра

Диссертационная работа посвящена разработке и применению методов математического моделирования широких атмосферных ливней (ШАЛ) космических лучей (KJI) и анализу данных Якутской установки ШАЛ в сопоставлении с методами, применяемыми на других гигантских установках в мире. Применение численных методов моделирования каскада элементарных частиц, инициируемого первичным космическим излучением (ПКИ) в атмосфере, позволяет решить нетривиальную задачу восстановления астрофизических параметров КЛ по экспериментальным данным установок ШАЛ.

Актуальность проблемы

Космические лучи, генерируемые галактическими и внегалактическими объектами - остатками сверхновых, черными дырами, нейтронными звездами и/или ударными волнами в межзвездном пространстве, имеют энергетический спектр, простирающийся вплоть до очень высоких энергий (Е > Ю20 эВ). В области энергий выше 1016 эВ единственным методом исследования КЛ является метод регистрации ШАЛ, порождаемых в атмосфере Земли первичными частицами. Ввиду малой интенсивности ПКИ с Е > 101G эВ, требуются гигантские по области контроля установки для регистрации ШАЛ.

В настоящее время работают три такие установки: Akeno Giant Air Shower Array (AGASA) в Японии, High Resolution Fly's Eye (HiRes) в США и Якутская установка в России. Имеются также каталогизированные данные установок Haverah Park (Англия), Volcano Ranch (США) и Сиднейской установки (SUGAR, Австралия), которые прекратили регистрацию ливней.

Актуальной проблемой физики космических лучей является загадка происхождения частиц с энергией выше Eqzk ~ 8 х 1019 эВ, связанная с так называемым реликтовым обрезанием спектра KJI Грейзена-Зацепина-Кузьмина (ГЗК). Интенсивность KJI должна резко уменьшаться при энергии выше этого порога из-за взаимодействия ПКИ с фотонами реликтового микроволнового излучения, если частицы приходят с космологических расстояний. Результаты измерений на Якутской установке и HiRes согласуются с этим, но большое число событий ШАЛ, зарегистрированных установкой AGASA, энергия которых оценивается выше Ю20 эВ, противоречит такому выводу.

Направления прихода частиц таких энергий не коррелируют явным образом с вероятными источниками в Галактике, локальной группе галактик или в локальном их сунеркластере, скорее, согласуются с изотропией, что резко контрастирует с анизотропным распределением видимого света от источников в пределах 50 Мпк от Земли.

Массовый состав частиц ПКИ в области энергий выше 101(3 эВ не определен в настоящее время из-за экспериментальных трудностей, также отсутствует непротиворечивая теория, которая бы объяснила происхождение частиц KJI сверхвысоких энергий (СВЭ) и всю совокупность имеющихся данных наблюдений.

Для интерпретации имеющихся данных измерений на установках ШАЛ необходимы сложные и трудоемкие вычисления характеристик развития ливия в атмосфере и отклика детекторов. Применение методов математического моделирования, развитого в работах отечественных математических школ Н.С. Бахвалова, В.И. Крылова, Г.И. Марчука, А.А. Самарского, С.Л. Соболева, А.Н. Тихонова, Н. Н. Яненко и др. позволяет решить проблему восстановления астрофизических параметров первичного космического излучения но наблюдаемым характеристикам ШАЛ элементарных частиц на уровне наблюдения. Выполнение трех последовательных этапов «модель-алгоритм-нрограмма» предполагает: построение математической модели развития ШАЛ; моделирование измерений на установке и процедуры анализа полученных данных; разработку численных алгоритмов решения уравнений; программную реализацию алгоритмов для выполнения расчетов на компьютерах [1].

Построение математической модели развития ШАЛ существенным образом основано на теории сильных и электрослабых взаимодействий элементарных частиц и разработанных на ее основе моделях множественной генерации адронов, используемых для экстраполяции ускорительных данных на область сверхвысоких энергий, где исследуются космические лучи. В разработке моделей взаимодействия адронов используются результаты, полученные советской/российской школой физиков, включающей таких исследователей как В.Н. Грибов, И.М. Дремин, Г.Т. Зацепин, А.Б. Кайдалов, В.А. Кузьмин, Л.Д. Ландау и др.

Расчеты развития ШАЛ сверхвысоких энергий выполнялись для интерпретации данных установок ШАЛ, работавших и продолжающих работать в России. Данная работа опирается на результаты, полученные группами Л.Г. Деденко, А.Д. Ерлыкина, Н.Н. Калмыкова, А.А. Лагутина, Т.М. Рогановой и других.

Цель работы

Основные цели работы - разработка эффективных методов математического моделирования, применимых для описания развития каскада частиц КЛ сверхвысоких энергий в атмосфере; численное моделирование процедуры измерений и анализа данных на Якутской установке ШАЛ; применение результатов моделирования для разработки новых методов анализа и интерпретации экспериментальных данных, полученных на гигантских установках ШАЛ.

Научная новизна

Якутская установка ШАЛ является комплексом детекторов элементарных частиц, нацеленных на измерение разных компонент ливня: электронов, мюонов, фотонов излучения Вавилова-Черепкова (черепковского света), обладающим рядом особенностей. Область сверхвысоких энергий космических лучей, для изучения которой предназначена установка, характеризуется малостью числа регистрируемых событий, неизвестными параметрами взаимодействия элементарных частиц, образующих ливень и т.д. Все это предполагает разработку новых методов анализа данных, предназначенных для применения в данном случае.

В работе впервые проведено математическое моделирование измерений на Якутской установке с использованием разработанного автором комплекса программ численного решения интегро-дифференциальных уравнений, описывающих развитие ШАЛ в атмосфере. Определены экспериментальные ошибки измерения параметров ШАЛ, доли первичной энергии, уносимой вторичными компонентами, вычислена приемная функция установки. Доказана слабая зависимость энергии первичной частицы, оцененной с использованием измерений полного потока черепковского света и числа электронов и мюонов на уровне моря, от использованной модели взаимодействия частиц в атмосфере. Применение результатов моделирования для построения первичного энергетического спектра КЛ по измерениям атмосферного излучения Вавилова-Черепкова позволило получить впервые в мировой практике спектр в широком интервале энергий от 1015 до 3 х 1019 эВ с использованием данных черепковских детекторов Якутской установки.

Разработан метод анализа направлений прихода КЛ, применимый в условиях малой статистики регистрируемых событий ШАЛ, который позволил найти и оцепить размеры области небесной сферы, где имеется избыточный ноток частиц. Показано, что в окрестности Eq = 1019 эВ имеется отклонение от изотропии, уточняющее ранние указания на анизотропию КЛ в этой области энергий. Обнаружена северо-южная асимметрия в распределении космических лучей ио галактическим широтам в этой же области энергий, которая может быть объяснена заметной примесью тяжелых ядер галактического происхождения в изотронпом потоке внегалактических частиц.

Применение гармонического анализа к распределению в горизонтальной системе направлений прихода ливней, наблюдаемых на Якутской установке, позволило впервые обнаружить и оценить величину азимутальной модуляции в геомагнитном поле частоты событий ШАЛ космических лучей с фиксированной плотностью заряженных частиц. Влияние геомагнитного эффекта на распределение заряженных частиц в наклонных ливнях приводит к искажению энергетического спектра ПКИ и распределения направлений прихода первичных частиц в пределах 20% в зависимости от зенитного угла.

Научная и практическая значимость работы

Совокупность разработанных автором методов анализа экспериментальных данных вместе с комплексом программ для численного решения каскадных уравнений и моделирования измерений на установке ШАЛ образует фундамент, на котором, в свою очередь, основаны программы обработки данных на Якутской установке. Все вместе они составляют интеллектуальную начинку (software) установки, способствовавшую ее превращению в физический прибор с уникальными возможностями, измеряющий характеристики космических лучей в области сверхвысоких энергий.

С помощью разработанных численных методов коллективом Якутской установки получен ряд приоритетных результатов по физике космических лучей, признанный в России и за ее пределами. Выборка из банка данных установки за период времени регистрации 1974-1986 гг., с энергией Eq > 1019 эВ, опубликована в каталоге World Data Center for Cosmic Rays наряду с данными установок Volcano Ranch (США), Haverah Park (Англия) и SUGAR (Австралия). Эти данные в настоящее время выложены на сайте Якутской установки <http://eas.ysn.ru> и доступны для общего пользования в WWW.

Якутская установки ШАЛ включена в Перечень уникальных научных установок России наряду с 50 другими установками федерального значения (целевая программа финансирования Министерства науки и образования РФ «Астрофизическая установка для регистрации ШАЛ», per. #01-30).

Обоснованность и достоверность

Математические модели и численные методы, предложенные в работе, базируются на апробированных и хорошо известных разработках, в основном, отечественной математической школы, которые применены в конкретных условиях исследования космических лучей сверхвысоких энергий. Особое внимаиие уделялось проверке числениых алгоритмов на тестовых примерах, допускающих аналитическое решение. Использовалось также сопоставление с решениями, полученными с помощью классических численных методов, где это было возможно. Методы моделирования измерений ШАЛ, являющиеся существенной частью анализа данных, ирошли многолетнюю практическую проверку на Якутской установке. Сравнение полученных результатов с работами, ведущимися на других установках, показало применимость предложенных методов и достоверность полученных выводов.

Вклад автора

Постановка проблемы, разработка численных методов исследования, создание программ для математического моделирования развития ШАЛ и измерений на Якутской установке полностью выполнены автором. Ему же принадлежит ведущая роль в анализе экспериментальных данных с применением разработанных методов и в получении физических результатов, описанных в диссертации. Результаты, касающиеся развития ливня в атмосфере, получены совместно с М.Н. Дьяконовым и С.П. Кнуренко. Анализ распределения направлений прихода ПКИ СВЭ выполнен совместно с А.Д. Красилышковым и М.И. Правдиным. Квазикалориметрический метод оценки энергии первичной частицы ШАЛ и методы построения энергетического спектра КЛ разрабатывались усилиями многих сотрудников Якутской установки. Следует особо отметить вклад Д.Д. Красилышкова, Н.Н. Ефимова, И.Е. Слепцова, М.И. Правдина и С.П. Кнуренко.

Апробация работы

Численные методы, описанные в диссертации, интенсивно используются при анализе и интерпретации данных Якутской установки на протяжении многих лет. Некоторые из методов применимы и на других установках. Так, пакет программ численного решения каскадных уравнений в конечно-разностной аппроксимации, описанный в диссертации, применялся в Физическом институте им. П.Н. Лебедева при анализе данных Тянь-Шаньской установки ШАЛ.

Методы анализа направлений прихода КЛ, разработанные диссертантом, использовались при совместном анализе данных установок Haverah Park, SUGAR и Якутска, проведенном с группой Даремского университета (University of Durham, UK).

Результаты, изложенные в диссертации, были доложены автором на 11 всесоюзных/российских и международных конференциях и симпозиумах; опубликованы в научной периодике - более 90 статей в соавторстве с коллегами из Якутской коллаборации и других научных групп. Автор написал две главы в коллективной монографии, опубликованной в Сибирском отделении издательства «Наука». Кроме того, автор был/является руководителем 5 проектов, поддержанных грантами РФФИ.

Структура диссертации

Диссертация состоит из введения, 5 глав, заключения и списка литературы.

Основные результаты, выносимые на защиту:

1. Созданы математические модели, описывающие развитие широких атмосферных ливней элементарных частиц в атмосфере, порождаемых первичным космическим излучением сверхвысокой энергии. Для их исследования разработаны методы численного решения системы ядерно-каскадных уравнений, применимые для моделирования вторичных компонент ливня, для широкого класса моделей взаимодействия частиц с ядрами атомов в атмосфере. Методами теории разностных схем сконструированы явные и неявные схемы, аппроксимирующие исходную систему уравнений с соответствующими дополнительными условиями. Создан комплекс программ для реализации разработанных вычислительных алгоритмов на основе выбранных разностных схем, а также резольвенты уравнения Вольтерра. Показана применимость полученных решений к анализу данных измерений на установках ШАЛ.

2. Проведено математическое моделирование измерений на Якутской установке ШАЛ, получены оценки ошибок измерения параметров ливней, вычислена приемная функция установки в рабочих пределах изменения энергии и углов прихода первичных частиц, определены пределы применимости используемых методов анализа данных. Выполнены детальные расчеты развития каскада частиц, учитывающие особенности детекторов, географические и метеорологические условия в районе расположения установки и методики обработки событий ШАЛ, необходимые для восстановления астрофизических свойств первичного космического излучения -спектра, состава, направлений прихода частиц ПКИ но измерениям характеристик ШАЛ на уровне моря.

3. Проведено численное моделирование распределения энергии первичной частицы ШАЛ по вторичным компонентам ливня для распространенных моделей ядерных взаимодействий. Показана слабая модельная зависимость доли энергии, уносимой компонентами ШАЛ. Выявлены основные параметры взаимодействия частиц, определяющие баланс энергии в ливне, и оценены экспериментальные ошибки доли первичной энергии для измеряемых на уровне наблюдения компонент ШАЛ. Полученные результаты использованы для обоснования используемого на Якутской установке 'квази-калориметрического' метода оценки первичной энергии, основанного на измерении полного потока черепковского света, излучаемого релятивистскими электронами ливня, а также числа электронов и мюонов на уровне наблюдения.

На этой основе разработан метод построения энергетического спектра космических лучей по данным Якутской установки. В результате впервые построен энергетический спектр ПКИ в широком диапазоне энергий от 1015 до Ю20 эВ, использующий измерения атмосферного черепковского излучения ШАЛ детекторами Якутской установки. Подтверждена сложная форма спектра, которая при её аппроксимации стененпым законом имеет два излома: при энергии 4 х 1015 ('колено') и ~ 1019 эВ ('лодыжка').

4. Применение результатов математического моделирования сильно наклонных ливней на Якутской установке позволило впервые надежно установить эффект влияния магнитного поля Земли на заряженные частицы ШАЛ. Разработанные методы анализа позволили обнаружить и измерить амплитуду азимутальной модуляции в геомагнитном ноле частоты событий ШАЛ космических лучей с фиксированной плотностью заряженных частиц. Определена величина геомагнитного эффекта, влияющего на наблюдаемый энергетический спектр ШАЛ и распределение направлений прихода первичных частиц.

5. Разработаны методы анализа направлений прихода К Л СВЭ, опирающиеся на результаты моделирования измерений на Якутской установке. В результате их применения показано, что в окрестности 1019 эВ имеется отклонение от изотропии на уровне значимости 0.005, характеризуемое избыточным потоком частиц из области небесной сферы 1.7h < а < 3.7/j; 45° < 5 < 60°, уточняющее ранние указания на анизотропию распределения КЛ по прямому восхождению. В этой же области энергий обнаружена северо-южная асимметрия в распределении космических лучей но галактической широте, которая может быть объяснена заметной примесью тяжелых ядер галактического происхождения в изотропном потоке внегалактических частиц. Такой характер анизотропии ожидается, если вклад внегалактических источников в наблюдаемый поток КЛ возрастает с ростом энергии и становится преобладающим при Е > 1019 эВ над вкладом галактических источников КЛ.

Автор благодарен всему коллективу Якутской установки ШАЛ, без помощи и поддержки которого работа не могла быть выполнена, а также научному консультанту Г.Ф. Крымскому. Глубокая благодарность Е.Г. Бережко, А.В. Глушкову, В.П. Егоровой, С.П. Кнуренко, В.А. Колосову, А.Д. Красилышкову, М.И. Правдииу и И.Е. Слепцову за многолетнее плодотворное сотрудничество и обсуждение вопросов, возникавших в ходе работы. Следует отметить, что без финансовой поддержки через гранты Министерства науки и образования РФ, Российского фонда фундаментальных исследований и INTAS работа коллектива установки и диссертанта, в частности, не была бы успешной.

Заключение

1. А. А. Самарский, П.Н. Вабищевич. Математическое моделирование и вычислительный эксперимент. <www.imamod.ru/~vab/matmod/MatMod.htm>. - 2000.

2. С. 3. Беленький. Лавинные процессы в космических лучах. М.: ОГИЗ- Гостехиздат. 1948. -247с.

3. Л. Д. Ландау. Угловое распределение частиц в ливнях // ЖЭТФ. -1940. Т.10, т. - С.1007-1016.

4. К. Грейзен. Широкие атмосферные ливни // Физика космических лучей. Т.З. / Под ред. Дж. Вильсона. М.: Иностранная литература.- 1958. 444с.

5. A. A. Lagutin, R. I. Raikin, N. Inoue, A. Misaki. Electron lateral distribution in air showers: scaling formalism and its implications // Journ. Phys. G: Nucl. Part. Phys. 2002. - V.28. - P.1259-1274.

6. Г. Б. Христиансен, Г. В. Куликов, Ю. А. Фомин. Космическое излучение сверхвысокой энергии. М.: Атомиздат. 1975. - 256с.

7. J. V. Jelley. Cherenkov Radiation and its Applications. Pergainon Press. -1958. 1060p.

8. Л. Ван-Хов. Адроны и кварки в соударениях при высоких энергиях // УФН. 1978. - Т. 124, №2. -С.509-534.

9. К. Kamata, J. Nishimura. The lateral and angular structure function of electron showers // Progr. Theor. Phys. 1958. - V.6, No.l. - P.93-155.

10. D. Heck, J. Knapp, J. N. Capdevielle, G. Schatz, T. Thouw. CORSIKA: A Monte Carlo code to simulate extensive air showers. Forschungszentrum Karlsruhe GmbH. 1998. -98p.

11. S. J. Sciutto. AIRES: A system for air shower simulations. Universidad National de la Plata. 1999. -216p.

12. JI. Г. Дедепко. Характеристики взаимодействия адронов и первичное космическое излучение в области энергии выше 1017 эВ: Дис. . д-ра физ.-мат. наук. МГУ. 1990. - 345 с.

13. А. А. Иванов. Численное моделирование электронной и мюонной компонент ШАЛ с энергией первичных частиц 1017 — 1018 эВ. Дис. . канд. физ.мат. наук. ФИАН им П.Н. Лебедева. 1981.- 146с.

14. К. Кейз, П. Ф. Цфайфель. Линейная теория переноса. М.: Мир. 1972. - 384с.

15. Г. И. Марчук, В. И. Лебедев. Численные методы в теории переноса нейтронов. М.: Атомиздат. 1971. -496с.

16. В. И. Крылов, В. В. Бобков, П. И. Монастырский. Вычислительные методы. Т.2. М.: Наука. 1977. -399с.

17. А. Н. Тихонов, А. А. Самарский. Уравнения математической физики. М.: Наука. 1972. - 735с.

18. С. К. Годунов, В. С. Рябенький. Разностные схемы. М.: Наука. 1973. -400с.

19. Г. И. Марчук. Методы и проблемы вычислительной математики // Международный конгресс математиков в Ницце (1970). Доклады советских математиков. М.: Наука. 1972. -352с.

20. Н. Н. Яиепко. Математика. Механика: Избр. тр. М.: Наука. 1991. -415с.

21. А. А. Самарский. Теория разностных схем. М.: Наука. 1983. - 616с.

22. Г. И. Марчук. Методы вычислительной математики. М.: Наука. 1980. -536с.

23. И.А. Голиков. Исследование схем расщепления уравнения непрерывности для ионов. // Электродинамика и распространение волн. Томск: ТГУ. 1982. - С.40-44.

24. С. Г. Михлин. Вариационные методы в математической физике. М.: Наука. 1970. - 575с.

25. В.М. Головизнин, А.А. Самарский, А.П. Фаворский. Вариационный принцип для уравнений магнитной гидродинамики в смешанных эйлерово-лагранжевых неременных // ЖВМиМФ. 1981. - Т.21, №2. - С.409-422.

26. А. М. Кольчужкин, В. В. Учайкин. Введение в теорию прохождения частиц через вещество. М.: Атомиздат. 1978. - 256с.

27. И. Г. Петровский. Лекции по теории интегральных уравнений. М.: Наука. 1965. -120с.

28. Н. С. Бахвалов, Н.П.Жидков, Г.М. Кобельков Численные методы. М.: Физматлит. 2001. - 630с.

29. И. М. Соболь. Численные методы Монте-Карло. М.: Наука. 1973. -311с.

30. С. М. Ермаков. Метод Монте-Карло и смежные вопросы. М.: Наука. -1971. 327с.

31. Г. А. Михайлов. Некоторые вопросы теории методов Монте-Карло. Новосибирск: Наука. 1974. - 142с.

32. В. Я. Арсении. Методы математической физики и специальные функции. М.: Наука. 1974. -431с.

33. С. JI. Соболев. Уравнения математической физики. М.: Наука. 1966.- 444с.

34. Г. Т. Зацепин, И. JI. Розепталь. К общей теории ядерно-каскадного процесса // ДАН СССР. 1954. - Т.99, №3. - С.369-373.

35. В. Вольтерра. Теория функционалов, интегральных и интегро-дифферепциальных уравнений. М.: Наука. 1982.

36. И. JI. Розенталь. О ядерно-касадном процессе в широких атмосферных ливнях космических лучей // ДАН СССР. 1951. - Т.80, №6. - С.731-734.

37. А. А. Иванов. Численное решение уравнений переноса адронов в широких атмосферных ливнях космических лучей // Труды Международной конференции по вычислительной математике. Новосибирск. 2004. - Т.2. - С.493-497.

38. A. D. Erlykin, N. P. Kuzina. Application of multigroup method for the analysis of cosmic ray propagation // Proc. 15th ICRC. Plovdiv. 1977. -V.7, - P.447-452.

39. А. А. Иванов. Метод разностных схем численного решения ядерно-каскадных уравнений // Исследования но космофизике и аэрономии.- Якутск: ЯФ СО АН СССР. 1975. - С.99-102.

40. А. А. Беляев, И. П. Иваненко, Б. JL Каневский, А. А. Кириллов, В. В. Макаров, Ю. И. Пасхалов, Т. М. Роганова, Г. Ф. Федорова. Электронно-фотонные каскады в космических лучах при сверхвысоких энергиях. М.: Наука. 1980. - 306с.

41. А. М. Hillas. Shower simulation: Lessons from MOCCA // Nucl. Phys. В (Proc. Suppl.) 1997. - V.52, No.l. - P.29-42.

42. K. Werner, V. Chernatkin, R Engel, N. N. Kalmykov, S. Ostapchenko, T. Pierog. UHECRs: some general features, and recent developments concerning air shower computations. ArXiv: astro-ph/0407165. 2004. -lip.

43. В. С. Мурзин, JI. И. Сарычева. Взаимодействия адронов высоких энергий. М.: Наука. 1983. - 287с.

44. К. Хуан г. Кварки, леитоны и калибровочные ноля. М.: Мир. 1985. -382с.

45. Л. Б. Окунь. Лептоны и кварки. М.: Наука. 1990. - 345с.

46. К. Hagiwara, К. Hikasa, К. Nakamura et al. Review of particle properties // Phys. Rev. D (Particles and Fields). 2002. - V.66, No.l. - P.010001.

47. L. W. Jones. The accelerator data cosmic ray monte carlo interface // Proc. 28*/l ICRC. Tsukuba. - 2003. - V.l. - P.1563-1567.

48. J. Ranft. Hadronic collisions: physics, models and event generators used for simulating the cosmic ray cascade at the highest energies // Proc. Monte Carlo meeting. Lisboa. 2000. - P.l-16.

49. И. M. Дремин. Множественное рождение частиц и квантовая хромодинамика // УФН. 2002. - Т.172, №5. - С.552-571.

50. А. Б. Кайдалов. Особенность Померанчука м взаимодействия адронов при высоких энергиях // УФН. 2003. - Т.173, №11. - С.1153-1170.

51. Т. Regge. Introduction to complex orbital momenta //II Nuovo Cimento.- 1959. V.14. - P.951-976.

52. В. H. Грибов. О возможном асимптотическом поведении упругого рассеяния // ЖЭТФ. 1961. - Т.41, Ш - С.667-669.

53. R. J. Glauber. Lectures in theoretical physics. V. 1. New York: Interscience Publisher. 1959.

54. В. H. Грибов. Глауберовские поправки и взаимодействие адронов с ядрами при высоких энергиях // ЖЭТФ. 1969. - Т.56, №3. -С.892-901.

55. В. Н. Грибов. Взаимодействие гамма-квантов и электронов с ядрами при высоких энергиях // ЖЭТФ. 1969. - Т.57, №. - С. 1306-1323.

56. А. Б. Кайдалов, К. А. Тер-Мартиросян. Множественное образование адронов при высоких энергиях в модели кварк-глюонных струн. Теория // Ядерная физика. 1984. - Т.39, №6. -С.1545-1558.

57. А. Б. Кайдалов, К. А. Тер-Мартиросян. Множественное образование адронов при высоких энергиях в модели кварк-глюонных струп. Сравнение с экспериментом // Ядерная физика. 1984. - Т.40, №1.- С.211-220.

58. А. Б. Кайдалов, К. А. Тер-Мартиросян, Ю. М. Шабельский. Инклюзивные спектры вторичных частиц в протон-ядерных столкновениях в модели кварк-глюоииых струн // Ядерная физика. -1986. Т.43, №5. - С. 1282-1289.

59. Yu. A. Fomin, N. N. Kalmykov, G. В. Khristiansen et al. The quark-gluon string model to analyse the superhigh energy cosmic ray experimental data // Proc. 20th ICRC. Moscow. 1987. - V.8. - P.151-153.

60. N. N. Kalmykov, G. В. Khristiansen. Cosmic rays of super-high and ultrahigh energies // Journ. Phys. G: Nucl. Part. Phys. 1995. - V.21. - P.1279-1301.

61. T. Sjostrand. QCD interconnection effects // Сотр. Phys. Comm. 1986.- V.39. P.347-352.

62. J. Ranft. Dual parton model at cosmic ray energies // Phys. Rev. D (Particles and Fields). 1995. - V.51, No.l. - P.64-84.

63. H. J. Drescher, M. Hladik, S. Ostapchenko, T. Pierog, K. Werner. Cosmic ray air shower characteristics in the framework of the parton-based Gribov-Regge model NeXus // Phys. Rep. 2001. - V.350. -P.93.

64. S. S. Ostapchenko, T. Pierog, K. Werner. Very high energy hadronic interactions solution of the main puzzle // Proc. 27th ICRC. Hamburg. -2001. - V.l. - P.446-449.

65. J. Knapp, D. Heck, S.J. Sciutto, M.T. Dova, M. Risse. Extensive air shower simulations at the highest energies // Astropart. Phys. 2003. - V.19, No.l.- P.77-99.

66. H. H. Mielke, M. Foller, J Engel, J. Knapp. Cosmic ray hadron flux at sea level up to 15 TeV // Journ. Phys. G: Nucl. Part. Phys. 1994. - V.20, No.4. - P.637-649.

67. G.B. Yodh, S.C. Tonwar, Т.К. Gaisser, R.W. Ellsworth. Proton-proton cross sections from 1 to 100 TeV // Phys. Rev. D (Particles and Fields). -1983. V.27, No.5. - P.1183-1186.

68. M. Aglietta, B. Alessandro, P. Antonioli et al. The observed mean free path and the p-air inelastic cross section of proton primaries at E — (2—4) x 1015 eV // Proc. 26th ICRC. Salt Lake City. 1999. - V.l. - P.143-146.

69. R. M. Baltrusaitis, G.L. Cassiday, J.W. Elbert et al. Total proton-proton cross section at y/s = 30 TeV // Phys. Rev. Lett. 1984. - V.52, No.4. -P. 1380-1383.

70. M. Honda, M. Nagano, S. Tonwar et al. Inelastic cross section for p-air collisions from air shower experiments and total cross section for p-p collisions up to yfs = 24 TeV 11 Phys. Rev. Lett. 1993. - V.70, No.5. -P.525-528.

71. M.M. Block, F. Halzen, T. Stanev. Extending the frontiers: Reconciling accelerator and cosmic ray p-p cross sections // Phys. Rev. D (Particles and Fields). 2000. - V.62, No.7. - P.077501.

72. G.M. Frichter, Т.К. Gaisser, T. Stanev. Inelasticity in p-nucleus collisions and its application to high energy cosmic-ray cascades // Phys. Rev. D (Particles and Fields). 1997. - V.56, No.5. - P.3135-3142.

73. J. Alvarez-Muniz, R. Engel, Т. K. Gaisser, J. A. Ortiz, T. Stanev. Hybrid simulations of extensive air showers // Phys. Rev. D (Particles and Fields). 2002. - V.66, No.3. - P.033011.

74. А. К. Лиходед, П. В. Шляпников. Многочастичные и инклюзивные реакции // УФН. 1978. - Т.124, №1. - С.3-60.

75. С. Г. Михлин. Лекции по линейным интегральным уравнениям. М.: Физматгиз. 1959.

76. А. А. Иванов. Инклюзивные спектры адронов в области фрагментации и средние значения характеристик ШАЛ // Космические лучи сверхвысоких энергий. Якутск: ЯФ СО АН СССР. - 1979. -С.102-112.

77. В. А. Диткин, А. П. Прудников. Интегральные преобразования и операционное исчисление. М.: Наука. 1974. - 542с.

78. Д. Поттер. Вычислительные методы в физике. М.: Мир. 1975. - 392с.79. 10. А. Митронольский, Д. И. Мартынюк. Лекции по качественной теории разностных уравнений. Киев: Ин-т математики. 1972.

79. А. Халанай, Д. Векслер. Качественная теория импульсных систем. М: Мир, 1971. -312с.

80. В. И. Васильев, А. М. Максимов, Е. Е. Петров, Г. Г. Цыпкип. Тепломассоперенос в промерзающих и протаивающих грунтах. М.: Наука. 1997. - 224с.

81. A. A. Ivanov. On the numerical solution of EAS hadron transport equation by the difference scheme method // Proc. 18th ICRC. Bangalore. 1983. -V.6. - P. 147-150.

82. А. А. Самарский, П. H. Вабищевич. Разностные методы решения задач математической физики на нерегулярных сетках // Математическое моделирование. 2001. - Т.13, №2. - С.5-16.

83. П. Н. Вабищевич. Численное моделирование. М.: МГУ. 1993. -152с.

84. А. А. Иванов. Две разностные схемы для расчета развития ШАЛ // БНТИ: Проблемы космофизики и аэрономии. Якутск: ЯФ СО АН СССР. - 1982. - С. 17-20.

85. В.М. Головизнин, В.К. Коршунов, А. Сабитова, Е.А. Самарская. Об устойчивости вариационно- разностных схем газовой динамики // Дифф. уравнения. 1984. - Т.20, №7. - С.1173-1181.

86. A. A. Ivanov. Analytic solution of EAS particle transport equations for scaling models // Proc. 17th ICRC. Paris. 1981. - V.6. - P.276-279.

87. А. А. Иванов. Применение методов математического моделирования для исследования широких атмосферных ливней космическихлучей // Тезисы докладов IV Международной конференции но математическому моделированию. Якутск. 2004. - Т.1. - С.69-70.

88. А. Е. Чудаков, Н. М. Нестерова, В. И. Зацепин и др. Черепковское излучение широких атмосферных ливней космических лучей // Труды VI Междунар. конф. но космическим лучам. Москва. 1960. - Т.2. -С.47-55.

89. Г. Т. Зацепин, В. А. Кузьмин. О верхней границе спектра космических лучей // Письма в ЖЭТФ. 1966. - Т.4, №3. - С.114-116.

90. К. Greisen. End of the cosmic ray spectrum? // Phys. Rev. Lett. 1966. - V.16, No.l. - P.748-750.

91. A. V. Olinto. Rapporteur talk for UHECR: Messengers of the extreme universe // Proc. 28th ICRC. Tsukuba. 2003. - V. Rapporteur talks. -P.l-18.

92. M. H. Дьяконов, Т. А. Егоров, H. H. Ефимов, А. А. Иванов, В. А. Колосов, А. А. Михайлов, М. И. Правдин, И. Е. Слепцов. Космическое излучение предельно высокой энергии. Новосибирск: Наука. 1991. -252с.

93. В.А. Орлов. Установка для измерения зенитно-азимутальных координат осей ШАЛ КЛ: Дис. . канд. тех. паук. ФИАН им П.Н. Лебедева. 1973. - 147с.

94. И. Е. Слепцов. Экспериментальное исследование излучения Вавилова-Черенкова ШАЛ с Е > 1017 эВ: Дис. . докт. физ.-мат. наук. ФИАН им П.Н. Лебедева. 1991. - 65 с.

95. К. Greisen. Cosmic ray showers // Annual Review of Nuclear and Particle Sciences. 1960. - V.10. - P.63-108.

96. L. G. Dedenko, N. M. Nesterova, S. I. Nikolsky et al. The structure of EAS in the energy range 1014 1016 eV // Proc. Uth ICRC. Munchen. - 1975. - V.8. - P.2731-2735.

97. H. R. Allan, C. J. Grannell, J. H. Hough et al. The width of electron-photon cascades in air // Proc. Uth ICRC. Munchen. 1975. - V.6. - P.3071-3076.

98. A. M. Hillas, J. Lapikens. Electron-photon cascades in the atmosphere and in detectors // Proc. 15th ICRC. Plovdiv. 1977. - V.8. - P.460-465.

99. A. A. Lagutin, A. V. Plyasheshnikov, V. V. Uchaikin. The radial distribution of electromagnetic cascade particles in the air // Proc. 16th ICRC. Kyoto. 1979. - V.7. - P. 18-23.

100. A. A. Lagutin, A. V. Plyasheshnikov, A. I. Goncharov. The lateral distribution of the electrons in the electromagnetic air shower // Nucl. Phys. В (Proc. Suppl.). 1998. - V.60, No.l. - P.161-167.

101. T. Antony, W. D. Apel, F. Badea et al. Electron, muon, and hadron lateral distributions measured in air-showers by the KASCADE experiment // Astropart. Phys. 2001. - V.14. -P.245.

102. А. В. Глушков, M. И. Правдин, И. E. Слепцов, В. P. Слепцова, H. Н. Калмыков. Электроны и мюоны в ШАЛ при энергиях выше 3 х 1017 эВ: данные Якутской установки ШАЛ и модель QGSjet // Ядерная физика. 2000. - Т.63, №8. - С.1557-1568.

103. А. V. Glushkov, М. I. Pravdin, V. R. Sleptsova et al. Electrons and muons in EAS at E > 5 x 1017 eV // Proc. 26th ICRC. Salt Lake City. 1999. -V.l. - P.399-402.

104. Д. Д. Красилышков, С.П. Кнуренко, В.А. Колосов и др. Спектр ШАЛ сверхвысоких энергий // Космические лучи с энергией выше 1017. -Якутск: ЯФ СО АН СССР. 1983. - С.117-142.

105. А. М. Hillas. Derivation of the EAS spectrum // Acta Phys. Hung. (Suppl. 3). 1970. - V.29, No.3. -P.344-360.

106. P. Sommers. Cosmic ray anisotropy analysis with a full-sky observatory // Astropart. Phys. 2001. - V.14. - P.271-293.

107. D. J. Bird, H. Y. Dai, B. R. Dawson et al. Study of broad scale anisotropy of cosmic ray arrival directions from 2 x 1017 eV to Ю20 eV from Fly's Eye data // Astrophys. Journ. 1999. - V.511. - P.739.

108. R. Abbasi, T. Abu-Zayyad, J. F. Amann et al. Search for global dipole enhancements in the HiRes-I monocular data above 1018'5 eV // Astropart. Phys. 2004. V.21, No.2. - P.lll-123.

109. Y. Uchihori, M. Nagano, M. Takeda, M. Teshima, J. Lloyd-Evans, A. A. Watson. Cluster analysis of extremely high energy cosmic rays in the northern sky // Astropart. Phys. 2000. - V.13. - P.151-160.

110. Справочное руководство но небесной механике и астродинамике / Отв. ред. Г. Н. Дубошина. М.: Наука. 1971. - 584с.

111. М. И. Правдип, А. А. Иванов, А. Д. Красилышков и др. Анализ анизотропии космических лучей с энергией около 1017 эВ по данным Якутской установки ШАЛ // ЖЭТФ. 2001. - Т. 119, №5. - С.881-885.

112. М. И. Правдин, А. А. Иванов, А. Д. Красилышков и др. Анизотропия космических лучей но данным Якутской установки ШАЛ // Изв. РАН. Сер. физ. 2002. - Т.66, №11. - С.1594-1597.

113. А. А. Иванов, В. П. Егорова, В. А. Колосов, А. Д. Красилышков, М. И. Правдин, И. Е. Слепцов. Азимутальная модуляция частоты событий широких атмосферных ливней космических лучей геомагнитным нолем // Письма в ЖЭТФ. 1999. - Т.69, №4. - С.263-268.

114. Т. Yamamoto, М. Chikawa, N. Hayashida et al. Development of atmospheric monitoring system at Akeno Observatory for the Telescope Array Project // Nuclear Instruments and Methods in Physics Research A.2002. V.488, No.1-2. - p.191-208.

115. В. Ф. Сокуров. Результаты исследования спектра плотностей черепковского излучения ШАЛ // Космические лучи с энергией выше 1017. Якутск: ЯФ СО АН СССР. - 1983. - С.61-76.

116. Ф. Ф. Лищешок. Средняя прозрачность атмосферы над Якутской установкой ШАЛ // Космические лучи с энергией выше 1017. Якутск: ЯФ СО АН СССР, - 1983. - С.76-82.

117. М. A. Mostafa et al. (Pierre Auger collaboration). Atmospheric monitoring for the Pierre Auger fluorescence detector // Proc. 28t/l ICRC. Tsukuba.2003. V.l. - P.465-468.

118. M. Takeda, N. Sakaki, K. Honda et al. Energy determination in the AGASA experiment // Proc. 28t/l ICRC. Tsukuba. 2003. - V.l. - P.381-384.

119. C. Song, Z. Cao, B. R. Dawson, В. E. Fick, P. Sokolsky, X. Zhang. Energy estimation of UHECRs using the atmospheric fluorescence technique // Astropart. Phys. 2000. - V.14, No.l. - P.7-13.

120. M. H. Дьяконов. Пространственное распределение плотности потока черепковского света ШАЛ и модели развития ШАЛ: Дис. . канд. физ.-мат. наук. ИЯИ. 1981. - 151с.

121. Т. Abu-Zayyad, К. Belov, D.J. Bird et al. A measurement of the average longitudinal development profile of CR air showers between 1017 and 1018 eV // Astropart. Phys. 2001. - V.16, No.l. - P. 1-11.

122. Б. А. Хренов. Мюоны высокой энергии в составе ШАЛ и взаимодействие частиц К Л СВЭ с ядрами атомов воздуха: Дис. . д-ра физ.-мат. наук. МГУ. 1986.

123. A. A. Ivanov, S. P. Knurenko, I. Ye. Sleptsov. The energy spectrum of cosmic rays above 1015 eV derived from air Cherenkov light measurements in Yakutsk // Nucl. Phys. В (Proc. Suppl.) 2003. - V.122. - P.226-230.

124. A. V. Glushkov, A. A. Ivanov, S. P. Knurenko et al. Estimation of primary CR energy registered at the Yakutsk EAS array // Proc. 28th ICRC. Tsukuba. 2003. - V.l. - P.393-396.

125. B.N. Afanasiev, M.N. Dyakonov, V.P. Egorova et al. Some characteristics of EAS and PCR on Yakutsk array data // Proc. Intern. Symp. on EHECR: Astrophysics and Future Observatories. Tokyo. 1996. - P.32-49.

126. А. А. Иванов, В. П. Егорова, С. П. Кнуренко и др. Изучение наклонных ливней космических лучей сверхвысоких энергий на Якутской установке ШАЛ // Изв. РАН. Сер. физ. 2001. - Т.65, №8. -С.1221-1223.

127. М. Н. Дьяконов, А. А. Иванов, С.П.Кнуренко и др. Электромагнитные каскадные профили и флуктуации продольного развития ШАЛ // Космические лучи с энергией выше 1018 эВ. Якутск: ЯФ СО АН СССР. - 1983. - С.34-47.

128. М. N. Dyakonov, A. A. Ivanov, S.P. Knurenko et al. Simulations of measurements at the Yakutsk complex EAS array // Proc. 17th ICRC. Paris. 1981. - V.6. - P.78-81.

129. M. И. Правдин, А. В. Глушков, В. П. Егорова, А. А. Иванов и др. Спектр космических лучей с энергией выше 1017 эВ // Изв. РАН. Сер. физ. 2004. - Т.68, №11. - С.1621-1623.

130. V. P. Egorova, A. V. Glushkov, A. A. Ivanov et al. The spectrum features of UHECRs below and surrounding GZK // Nucl. Phys. В (Proc. Suppl.)- 2004. V.136. - P.3-11.

131. M. Nagano, A. A. Watson. Observations and implications of the Ultrahigh-Energy Cosmic Rays // Rev. of Mod. Phys. 2000. - V.72, No.3. - P.689-732.r>,

132. M. H. Дьяконов, Т. А. Егоров, А. А. Иванов и др. Энергетический спектр космических лучей в области энергий 1017 — Ю20 эВ // Изв. АН СССР. Сер. физ. 1978. - Т.42, №7. - С.1449-1452.

133. A. A. Lagutin, R. I. Raikin, N. V. Stanovkina et al. Mass composition of Ф the primary CRs in the energy region 1014 — Ю20 eV in anomalous diffusionmodel // Proc. 28th ICRC. Tsukuba. 2003. - V.l. - P.675-678.

134. A. D. Erlykin, A. A. lagutin, A. W. Wolfendale. Properties of the inter* stellar medium and the propagation of CRs in the galaxy // Astropart.

135. Phys. 2003. - V.19. - P.351-362.

136. J. Bahcall, E. Waxman. Has the GZK suppression been discovered? // Phys. Letters. 2003. - V.556, No.l. - P.l-11.

137. В.И. Яковлев. Длиннопробежная компонента и ГЗК-эффект // Изв. РАН. Сер. физ. 2004. - Т.68, №11. - С.1630-1632.

138. V.I. Yakovlev. Long flying component produced by protons at energiesabove 12 TeV in the ionization calorimeter // Nucl. Phys. В (Proc. Suppl.)- 2003. V.122. -P.417-421.

139. V. Berezinsky, A. Gazizov, S. Grigorieva. Propagation and Signatures of Ultra High Energy Cosmic Rays // Nucl. Phys. В (Proc. Suppl.) 2004. -V.136. - P.147-158.

140. J. W. Cronin. The highest-energy cosmic rays. ArXiv: astro-ph/0402487.- 2004. -43p.

141. V. S. Berezinsky, M. Kachelriess, A. Vilenkin. Ultrahigh energy cosmic rays without Greisen-Zatsepin-Kuzmin cutoff // Phys. Rev. Lett. 1997.- V.79, No.22. P.4302-4305.

142. D. F. Torres, L. A. Anchordoqui. Astrophysical origins of ultrahigh energy cosmic rays // Rep. Prog. Phys. 2004. - V.G7. - P.1G63-1730.

143. M. H. Дьяконов, В. П. Егорова, А. А. Иванов, и др. Изменение ядерного состава первичного космического излучения в области энергий 1017-1019 эВ // Письма в ЖЭТФ. 1989. - Т.50, №10. - С.408-410.

144. М. Н. Дьяконов, В. П. Егорова, А. А. Иванов и др. Оценки некоторых параметров мпож. геиер. частиц при > 1017 эВ ио измерениям черепковского света ШАЛ // Изв. АН СССР. Сер. физ. 198G. - Т.50, №11. - С.2168-2171.

145. А. А. Иванов. О возможности измерения наклонных мюонных ливней от нервичпого космического излучения с Е > 1 ЭэВ // Ядерная физика. 1990. - Т.51, №6. - С.1820-1821.

146. R. М. Baltrusaitis et al. The Utah Fly's Eye detector // Nuclear Instruments and Methods in Physics Research. 1985. - V.A240. - P.410-428.

147. R. U. Abbasi, T. Abu-Zayyad, G. Archbold et al. A study of the composition of Ultra High Energy Cosmic Rays using the High Resolution Fly's Eye. ArXiv: astro-ph/0407622. 2004. - 52p.

148. A. A. Watson. The mass composition of cosmic rays above 1017 eV. ArXiv: astro-ph/0410514. 2004. - 9p.

149. М. N. Dyakonov, S. P. Knurenko, V. I. Kozlov et al. Some features of large EAS with fixed atmospheric cherenkov light densities // Proc. 16th ICRC. Kyoto. 1979. - V.8. - P. 174-178.

150. А. А. Иванов, M. H. Дьяконов, Д. Д. Красилышков. Зависимость средней каскадной кривой UIAJI от распределения по быстроте в процессах множественной генерации адронов // БНТИ: Проблемы космофизики и аэрономии Якутск: ЯФ СО АН СССР. - 1979. - С.7-9.

151. Dyakonov M.N., Ivanov A.A., Knurenko S.P. et al. Fluctuations of development maximum depth and nuclear composition of primary cosmic radiation // Proc. 19^ ICRC. La Jolla. 1985. - V.2. - P. 182-186.

152. L. F. Fortson, J. W. Fowler, С. H. Jui et al. Composition results at the knee from CASA-BLANKA // Proc. 26th ICRC. Salt Lake City. 1999. -V.3. - P.125-128.

153. J. Linsley. Structure of large air showers at 834 g/cm2 // Proc. 15th ICRC. Plovdiv. 1977. - V.12. - P.56-60.

154. M. Ave, L. Cazon, J. A. Hinton et al. Mass composition of cosmic rays in the range 2 x 1017 — 3 x 1018 eV measured with the Haverah Park array // Astropart. Phys. 2003. - V.19, No.l. - P.61-75.

155. E. В. Вудко, А.В. Воеводский, В.А. Догужаев и др. Группы мюонов высокой энергии и химический состав первичных космических лучей // Изв. АН СССР. Сер. физ. 1985. - Т.49, №7. - С.1373-1376.

156. A. Haungs. Energy spectrum and mass composition around the knee by EAS measurements // Journ. of Phys. G: Nucl. Part. Phys. 2003. - V.29, No.5. - P.809-820.

157. М. Н. Дьяконов, А. А. Иванов, И. М. Кершенгольц и др. О продольном развитии ШАЛ с энергией первичных частиц выше 1017 эВ // Изв. АН СССР. Сер. физ. 1976. - Т.40, №5. - С.1017-1019.

158. М.Н. Дьяконов, Т.А. Егоров, В.П. Егорова и др. Эффект магнитного ноля Земли в сильно наклонных ШАЛ // БНТИ: Проблемы космофизики и аэрономии. Якутск: ЯФ СО АН СССР. - 1980. - С.6-8.

159. A. A. Ivanov, I. Т. Makarov, V. N. Pavlov et al. Analysis of inclined showers at the Yakutsk EAS array // Proc. 6th Intern.Symp. on VHE CR interactions. Tarbes. 1990. - V.l. - P. 17-20.

160. L. G. Dedenko, G. F. Fedorova, F. F. Kirillov. Charged particle separation in EAS by the geomagnetic field // Proc. 24</l ICRC. Rome. 1995. - V.l.- P.309-312.

161. A. M. Анохина, В. И. Галкин, Л. Г. Деденко и др. Широкие атмосферные ливни гигантских энергий // Ядерная физика. 1997.- Т.60, т. С.290-296.

162. Е. Е. Antonov, L. G. Dedenko, G. F. Fedorova et al. New energy estimates of the giant air showers // Proc. 26th ICRC. Salt Lake City. 1999. - V.l.- P.449-452.

163. E. E. Антонов, А. В. Глушков, Л. Г. Деденко и др. Рекордная энергия гигантского ливня // Письма в ЖЭТФ. 1999. - Т.69, №9. - С.614-619.

164. М. Ave, R. A. Vazquez, Е. Zas. Modelling horizontal air showers induced by cosmic rays // Astropart. Phys. 2000. - V.14, No.2. - P.91-107.

165. M. Ave, J. A. Hinton, R. A. Vazquez, A. A. Watson, E. Zas. Sensitivity of the Auger Observatory to ultra high energy photon composition through inclined showers // Phys. Rev. D (Particles and Fields). 2003. - V.67. -P.043005.

166. M. Ave, J. A. Hinton, R. A. Vazquez, A. A. Watson, E. Zas. New constraints from Haverah Park data on the photon and iron fluxes of UHECR // Phys. Rev. Lett. 2000. - V.85. - P.2244-2247.

167. В.И. Яковлев. Исследование особенностей взаимодействия адронов в области энергий 4-400 ТэВ: Автреф. дис. . докт. физ.-мат. наук. ФИАН им П.Н. Лебедева. 1991. - 39с.

168. S. Karakula, W. Bednarek. Can photons with E > Ю20 eV pass the Earth's magnetosphere? // Proc. 24t/l ICRC. Rome. 1995. - V.l. - P.266-269.

169. T. Stanev, H. P. Vankov. Nature of the highest energy cosmic rays // Phys. Rev. D (Particles and Fields). 1997. - V.55, No.3. - P.1365-1371.

170. X. Bertou, P. Billior, S. Dagoret-Campagne. LPM effect and pair production in the geomagnetic field: a signature of ultra-high energy photons in the Pierre Auger Observatory // Astropart. Phys. 2000. - V.14, No.2. -P.121-130.

171. Т. H. Johnson. The aziinuthal asymmetry of the cosmic radiation // Phys. Rev. 1933. - V.43, No.10. - P.834-835.

172. T. Futagami, Y. Fukuda, T. Hayakawa et al. Observation of the east-west anisotropy of the atmospheric neutrino flux // Phys. Rev. Lett. 1999. -V.82, No.26. - P.5194-5197.

173. A. A. Ivanov, V. P. Egorova, V. A. Kolosov, A. D. Krasilnikov et al. Az-imuthal effect on extensive air showers of cosmic rays // Proc. 26*/l ICRC. Salt Lake City. 1999. - V.l. - P.403-406.

174. А. А. Иванов, А. Д. Красильников, С. И. Никольский, М. И. Правдин. Поиск корреляции направлений прихода космических лучей сверхвысоких энергий с крупномасштабной структурой Вселенной // Изв. РАН. Сер. физ. 1997. - Т.61, №3. - С.522-525.

175. Астрофизика космических лучей / Отв. ред. В. JI. Гинзбург. М.: Наука. 1990. -528с.

176. N. Hayashida, М. Nagano, D. Nishikawa et al. The anisotropy of cosmic ray arrival directions around 1018 eV // Astropart. Phys. 1999. - V.10, No.4. - P.303-311.

177. J. A. Bellido, R. W. Clay, B. R. Dawson, M. Johnston-Hollitt. Southern hemisphere observations of a 1018 eV cosmic ray source near the direction of the galactic centre // Astropart. Phys. 2001. - V.15, No.2. - P.167-175.

178. X. Chi, A. Dudarewicz, A. A. Ivanov et al. The trajectories of cosmic rays at the highest energies: III. Applications of predictions to the results from EAS arrays // Journ. Phys. G: Nucl. Part. Phys. 1994. - V.20, No.4. -P.673-679.

179. A. A. Ivanov. Galactic cosmic rays at 1019 eV // Journ. Phys. G: Nucl. Part. Phys. 1998. - V.24, No.l. - P.227-233.

180. M. Takeda, N. Hayashida, K. Honda et al. Small-scale anisotropy of cosmic rays above 1019 eV observed with the Akeno giant air shower array // Astrophys. Journ. 1999. - V.522. - P.225-237.

181. R. U. Abbasi, T. Abu-Zayyad, J. F. Amann et al. A search for arrival direction clustering in the HiRes-I monocular data above 1019-5 eV // Astropart. Phys. 2004. - V.22, No.2. - P.139-149.

182. R. U. Abbasi, Т. Abu-Zayyad, J. F. Amann et al. Study of small-scale anisotropy of ultrahigh energy cosmic rays observed in stereo by HiRes // The Astrophys. Journ. 2004. - V.610, No.2. - P.L73-L76.

183. P. G. Tinyakov, I. I. Tkachev. Correlation function of ultra-high energy cosmic rays favors point sources // Письма в ЖЭТФ. 2001. - Т.74. -С.З.

184. С. В. Finley, S. Westerhoff. On the evidence for clustering in the arrival directions of AGASA's ultrahigh energy cosmic rays // Astropart. Phys. -2004. V.21, No.4. - P.359-367.

185. J. Linsley. Fluctuation effects on directional data // Phys. Rev. Lett. -1975. V.34, No.24. - P.1530-1533.

186. N. N. Efimov, A. A. Mikhailov. On galactic origin of cosmic rays with energy up to 1019 eV // Proc. 19</l ICRC. La Jolla. 1985. - V.2. - P.322-325.

187. A. D. Krasilnikov, A. A. Ivanov, M. I. Pravdin. Study of UHE particle arrival directions with the Yakutsk EAS array // Proc. 27th ICRC. Hamburg. 2001. - V.l. - P.398-401.

188. А. А. Иванов, А. Д. Красилышков, С. И. Никольский. Анализ распределения направлений прихода первичного космического излучения с энергией выше 5 ЭэВ // Изв. РАН. Сер. физ. 1993. -Т.57, №4. - С.78-91.

189. А. А. Иванов, А. Д. Красильников, С. И. Никольский. Эффект ограниченной статистики в наблюдаемом распределении направлений прихода космических лучей сверхвысоких энергий // Краткие сообщения по физике. 1990. - Т.б. - С.30-32.

190. Дж. В. Стрэтт (Лорд Рэлей). Волновая теория света. М.: Гостехиздат.- 1940.

191. V. P. Egorova, А. V. Glushkov, A. A. Ivanov et al. Recent results from the Yakutsk array experiment // Journal of Physical Society of Japan, Suppl. B. 2001. - V.70. P.9-14.

192. А. А. Михайлов, M. И. Правдин. Поиск анизотропии космических лучей сверхвысоких энергий // Письма ЖЭТФ. 1997. - Т.66, №5.- С.289-292.

193. R. N. Coy, J. Lloyd-Evans, М. Patel et al. Arrival directions of cosmic rays of energy 2 x 1015 to 2 x 1017 eV // Proc. IIth ICRC. Paris. 1981. - V.9.- P.183-186.

194. F. J. Farley, J. R. Storey. The sidereal correlation of extensive air showers // Proc. Phys. Soc. A. 1954. - V.67, No.ll. - P.996-1004.

195. E. G. Berezhko, L. T. Ksenofontov, H. J. Volk. Emission of SN1006 produced by accelerated cosmic rays // Astronomy and Astrophysics. 2002.- V.395. P.943-953.

196. X. Chi, A. Dudarewicz, A. A. Ivanov et al. Cosmic rays above 4 x 1019 eV // Journ. Phys. G: Nucl. Part. Phys. 1993. - V.19, No.9. - P.1393-1397.

197. X. Chi, A. A. Ivanov, A. W. Wolfendale. The trajectories of cosmic rays at the highest energies: I. Calculations for particles originating in the Galactic Plane // Journ. Phys. G: Nucl. Part. Phys. 1993. - V.19, No.ll. - P.1975-1985.

198. С. И. Сыроватский. Эффект фокусировки заряженных частиц в Галактических магнитных нолях. Препринт ФИАН, № 151. 1969.

199. D.D. Krasilnikov. Cosmic ray intensity anisotropy. Preprint IKFIA. Yakutsk. 1981.

200. P. V. J. Eames, J. Lloyd-Evans, C. Morello, R. J. O. Reid, A. A. Watson. Arrival direction distribution of cosmic rays of energy 1018 eV // Proc. 19th ICRC. La Jolla. 1985. - V.2. - P.254-257.

201. J. Wdowczyk, A. W. Wolfendale. Galactic cosmic rays above 1018 eV // Journ. of Phys. G: Nucl. Part. Phys. 1984. - V.10, No.10. - P.1453-1463.

202. Д. Д. Красильников, Т. А. Егоров, H. H. Ефимов, et al. Анизотропия космических лучей с энергией выше 1019 эВ // Изв. АН СССР. Сер. физ. 1975. - Т.39, №6. - С. 1245-1248.

203. A. D. Krasilnikov, A. A. Ivanov, S. I. Nikolsky. Analysis of arrival directions distribution of cosmic rays above 5 x 1018 eV // Proc. 23th ICRC. Calgary. 1993. - V.2. - P.60-63.

204. B. N. Afanasiev, M. N. Dyakonov, T. A. Egorov et al. The primary spectrum of cosmic rays of energy above 1018 eV by the Yakutsk EAS array data // Proc. 24th ICRC. Rome. 1995. - V.2. - P.756-759.

205. A. A. Ivanov, V. A. Kolosov, A. D. Krasilnikov et al. Observation of the galactic latitude distribution of UHE EAS with the Yakutsk array // Proc. 25th ICRC. Durban. 1997. - V.4. - P.181-183.

206. Catalogue of highest energy cosmic rays. V. 1 / ed. M. Wada. Tokyo: World data centre for cosmic rays. 1980. -99p.

207. M. S. Gillman, A. A. Watson. The arrival direction distribution of cosmic rays > 1018 eV // Proc. 23th ICRC. Calgary. 1993. - V.2. - P.47-50.

208. Catalogue of highest energy cosmic rays. V. 2 / ed. M. Wada. Tokyo: World data centre for cosmic rays. 1986. -127p.

209. Catalogue of highest energy cosmic rays. V. 3 / ed. M. Wada. Tokyo: World data centre for cosmic rays. 1988. -56p.

210. А. А. Иванов, А. Д. Красилышков, M. И. Правдин. Поиск анизотропии направлений прихода космических лучей сверхвысоких энергий с применением вейвлета Марра на экваториальной сфере // Письма в ЖЭТФ. 2003. - Т.78, №11. - С.1207-12И.

211. X. Chi, A. Dudarewicz, A. A. Ivanov et al. The trajectories of cosmic rays at the highest energies: II. Sensitivity of the anisotropy predictions to model parameters // Journ. Phys. G: Nucl. Part. Phys. 1994. - V.20, No.4. - P.665-672.

212. К. O. Thielheim, W. Langhoff. Trajectories of high-energy cosmic rays in the galactic disk // Journ. Phys. A: Math, and Gen. 1968. - V.l, No.6. -P.694-703.

213. B.JI. Гинзбург, С.И. Сыроватский. Происхождение космических лучей. М.: Изд. АН СССР. 1963. - 384с.

214. К. Asakimori, Т.Н. Burnett, M.L. Cherry et al. Cosmic ray composition and spectra: II Helium and г > 2 // Proc. 23th ICRC. Calgary. 1993. -V.2. - P.25-29.

215. С. И. Никольский. Энергетический спектр и ядерный состав первичных космических лучей // Проблемы физики космических лучей, М.: Наука. 1987. - С. 169-185.

216. В. Peters. Primary energy spectrum and airshowers // Proc. 6th ICRC. Moscow. 1960. - V.3. - P.157-160.

217. J. Swain. Anisotropics in ultrahigh energy cosmic rays. ArXiv: astro-ph/0401632. 2004. -20p.

218. I. Daubechies. Ten Lectures on Wavelets. Philadelphia: SIAM. 1991. -357p.

219. В. И. Воробьев, В. Г. Грибушш. Теория и практика вейвлет-преобразования. Санкт-Петербург: Изд. ВУС. 1999. - 208с.

220. И. М. Дремип, О. В. Иванов, В. А. Нечитайло. Вейвлеты и их использование // УФН. 2001. - Т.171, №5. - С.465-501.

221. В. П. Дьяконов. Вейвлеты. От теории к практике. М.: COJIOH-P. -2002. 448с.

222. J1. В. Новиков. Спектральный анализ сигналов в базисе вейвлетов // Научное приборостроение. 2000. -Т. 10, №3. - С.70-76.

223. A.A. Ivanov, A.D. Krasilnikov, M.I. Pravdin. A wavelet-based approach to UHECR arrival direction analysis // Proc. 28th ICRC. Tsukuba. 2003. -V.l. - P.341-344.