автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование задачи инвестора в условиях интервальных исходных данных

На правах рукописи

Гречкин Виктор Алексеевич

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

ЗАДАЧИ ИНВЕСТОРА В УСЛОВИЯХ ИНТЕРВАЛЬНЫХ ИСХОДНЫХ ДАННЫХ

05 13 18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ставрополь - 2007

003173125

003173125

Работа выполнена в ГОУ ВПО «Ставропольский государственный университет»

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор Перепелица Виталий Афанасьевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Наац Игорь Эдуардович (Ставропольский государственный университет),

доктор физико-математических наук, профессор Наталуха Игорь Анатольевич (Кисловодский институт экономики и права)

Ведущая организация: Институт информатики и проблем регионального управления КБ НЦ РАН (г. Нальчик)

Защита состоится 16 ноября 2007 года в 16 00 на заседании диссертационного совета Д 212 256 08 при Ставропольском государственном университете по адресу 355009, Ставропольский край, г Ставрополь, ул Пушкина, 1, ауд 214

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Ставропольского государственного университета

Автореферат разослан " ^ ^ " октября 2007 года

Ученый секретарь /

диссертационного совета Копыткова Л Б

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы исследования В результате научно-технической революции в 20 веке произошел скачок в развитии человеческой деятельности, вследствие чего стало очевидным, что человек вносит в окружающую действительность все больше хаоса Если этой тенденции не противопоставить обратную - организующую, то неизбежны технологические катастрофы, способные погубить человечество Поэтому определение оптимальной последовательности или набора последовательностей выполнения операций некоторого техногенного процесса, в частности, процессов упорядочения при создании материальных благ (производства), является, несомненно, актуальной задачей практической деятельности человека

Выходом из данной ситуации является построение моделей производственных процессов и соответствующих методик решения задач упорядочения производственных операций, исследованию которых посвящено значительное число работ отечественных и зарубежных исследователей, среди которых В С Танаев, В В Шкурба, В А. Перепелица, В В Подиновский, В Д Ногин, В С Гордон, V. T'kindt, Н Hoogeveen, J К Lenstia, Е L Lawler, Е G Coffman, В Chen, С N Potts, G J Woeginger, Y M Liu, A Jaszkiewicz и другие

Вопрос выбора и применения моделей задач упорядочения на производстве в настоящее время недостаточно проработан Это связано с тем, что процессы упорядочения организационно сложны, и учет всех особенностей конкретного производства проблематично описать с помощью какой-либо одной универсальной модели К таким моделям предъявляют требование адекватности, точности получаемых решений и минимизации времени, затрачиваемого на достижение результата

Многие исследователи отмечают, что модели задач упорядочения на производстве должны учитывать нечеткие значения характеристик производственных процессов, например, времени выполнения операции Особенно это характерно для производственных процессов на опасных и ресурсоемких производствах, где неправильно принятое управленческое решение может обернуться экономической или экологической катастрофой

Актуальность диссертационного исследования определена необходимостью совершенствования методологической базы в области принятия производственных решений, разработки специализированной модели и методики решения задач упорядочения на производстве в условиях интервальных исходных данных

Объект исследования предприятие по производству продукции на заказ Предмет исследования процесс инвестирования ресурсов в технологические процессы производства

Цель исследования состоит в моделировании задачи инвестирования производственных ресурсов в технологические процессы производства в ус-

ловиях интервальных исходных данных, включающем разработку алгоритмов и методов ее решения

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи исследования

- произвести сравнительный анализ существующих подходов к решению задач упорядочения в условиях детерминированности исходных данных,

- построить математическую модель задачи инвестора с интервальными исходными данными и осуществить анализ ее временной сложности,

- разработать алгоритмы и методы для решения задачи инвестора с интервальными исходными данными,

- разработать прикладные программные средства, реализующие предлагаемые алгоритмы и методы

Методологической основой работы послужили методы комбинаторного анализа, дискретной оптимизации, векторной оптимизации, теории расписаний, теории временных рядов, методы динамического хаоса Использованы научные источники из книг, журнальных статей, материалов научных конференций авторов ВС Танаева,В В Шкурбы, В А Перепелицы, Я Хугивена, В Киндтаидр

Основные положения, выносимые на защиту

1 Адашация известной модели задачи инвестора для случая интерваль-но! о задания исходных данных

2 Доказательство труднорешаемости многокритериальной задачи инвестора с интервальными исходными данными

3 Условия существования полиномиально разрешимого подкласса задач упорядочения технологических операций с интервальными исходными данными

4 Методика и метод решения многокритериальных задач инвестора с интервальными исходными данными

5 Комплекс программ для решения задачи инвестора с интервальными данными

Научная новизна диссертационной работы заключается в развитии теоретического, методическою и инструментального обеспечения для математическою моделирования задачи инвестирования производственных ресурсов в технологические процессы производства в условиях неопределенности исходных данных Элементы научной новизны содержатся в следующих ре-зулыагах диссертационного исследования

1 Адаптированная модель задачи инвестора, позволяющая учитывать ин-тервальность исходных данных

2 Труднорешае'мость многокритериальной задачи инвестора с интервальными данными, определяющая отсутствие точных методов решения с полиномиальной трудоемкостью

3 Определены условия существования полиномиально разрешимого подкласса многокритериальных задач в случае введения дополнительных

условий директивные сроки выполнения операций равны нулю, а.интервальные значения принимает только один из параметров задачи

4 Методика и метод решения многокритериальной задачи инвестора с векторными параметрами, позволяющие решать сводимую к ней многокритериальную задачу инвестора с интервальными параметрами

Практическая значимость полученных результатов определена тем, что основные положения, выводы, рекомендации, модели, методы и алгоритмы диссертационного исследования ориентированы на широкое использование в организационно-экономическом, методическом, алгоритмическом обеспечении и инструментальных средствах, могут быть использованы промышленными предприятиями для управления инвестиционными потоками и принятия управленческих решений на различных уровнях социальной, экономической и административной деятельности

Предложенные методы, алгоритмы, модели и программы апробированы и оправдали себя Их корректность и адекватность подтверждена расчетами на конкретных данных производственных процессов

Достоверность и обоснованность полученных результатов подпер ждены адекватностью и достоверностью исходных моделей и методов, сфо-госгыо логических и математических выкладок, разработанной действующей программой и результатами экспериментов с применением методов многокритериальной оптимизации, теории расписаний и теории управления

Апробация и внедрение результатов исследования Основные положения диссертационной работы и вопросы их практического использования докладывались и обсуждались на 8 международных и всероссийских конференциях, семинарах, форумах, основными из которых являются

- Первая Международная научно-практическая конференция «Инфотелекоммуникационные технологии в науке, производстве и образовании» (Ставрополь, 2004),

- VII Международный симпозиум «Математическое моделирование и компьютерные технологии» (Кисловодск, 2005),

- IV Международная научно-практическая конференция «Математическое моделирование в образовании, науке и производстве» (Тирасполь, 2005),

- X Международная научно-практическая конференция «Системный анализ в проектировании и управлении» (Санкт-Петербург, 2006),

- XIV Международная конференция «Математика Экономика Образование» (Новороссийск, 2006),

- 9-я Международная конференция «Интеллектуальные системы и компьютерные науки» (Москва, 2006),

- 8-я Международная конференция «Информационная безопасность-2006» (Таганрог, 2006),

- II Международная научно-практическая конференция «Трансформационные процессы в экономике страны и регионов» (Запорожье, 2006)

Результаты решения частных научных задач регулярно обсуждались на заседаниях научных семинаров при кафедре компьютерной безопасности Ставропольского государственного университета

Отдельные рекомендации, вытекающие из диссертационного исследования, были использованы при решении задачи инвестирования производственных ресурсов в технологические процессы при производстве продукции под заказ в ОАО «Ставропольмебель» Результаты исследования использовались при выполнении гранта Российского фонда фундаментальных исследований 06-01-00020 «Структурирование, выявление несоответствий и прогнозирование эволюционных дискретных процессов и систем при наличии долговременных корреляций»

Публикации Основные результаты диссертационной работы были опубликованы в 12 печатных работах, из которых 2 статьи в рецензируемых журналах ВАК Общий объем публикаций составляет 2,5 п л , из них автору принадлежит 1,5 п л

Структура диссертации Диссертация состоит из введения, четырех тематических разделов, заключения, списка литературы, приложений Работа изложена на 137 страницах основного текста, содержит 24 рисунка, 12 таблиц, список литературы насчитывает 79 наименований

ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность исследований в области разработки и анализа методик решения задачи инвестора в условиях неопределенности данных, сформулированы цель и задачи работы, определена практическая ценность и научная новизна выносимых на защиту результатов, охарактеризована структура диссертационной работы

В первом разделе «Анализ моделей и подходов, используемых при решении задач упорядочения на производстве» рассмотрено предприятие по производству некоторой продукции Особенностями этого объекта являются следующие производство выполняется на заказ, что обуславливает необходимость своевременного его выполнения (преждевременность приводит к увеличению затрат хранения, транспортировки и переналадки, а запаздывание приводит к увеличению сроков выпуска товара), параметры технологических операций имеют неопределенный характер Другими словами организация производства на объекте построена по одной из классических моделей бережливого производства, рассматриваемого в работах Р А Фатхутдиного, Л М Джоржа, С Шинго, С В Питеркина и др, и сводится к упорядочению технологических операций, выполняемых исполнителями Рассмотрены ос-

новные подходы, используемые при решении задач упорядочения на производстве, различие между которыми заключается в методах, применяемых для упорядочения операций конкретными исполнителями

Методы решения задач упорядочения на производстве рассматривались в работах В Киндта, И М Лю, С Ланды, А Дунаес, В С Танаева, В А Перепелицы и др В >;оде сравнительного анализа методов выявлено, что наиболее подходящими для решения задач упорядочения на производстве являются методы полиномиальной трудоемкости нахождения приближенных решений без гарантий качества Достоинствами указанных методов является отсутствие ограничения размерности решаемых задач и возможность решения ОТ- полных постановок задач Основными недостатками являются отсутствие алгоритмов нахождения решений задач с неопределенными исходными данными и группировка решений в областях локальных оптимумов В силу многокри-териальности рассматриваемых задач определены критерии оценки методов решения, среди которых выбраны наиболее полно выражающие предпочтения руководства предприятия На основе выявленных противоречий поставлена основная научная задача диссертационного исследования

Во втором разделе «Математическая модель задачи инвестирования ресурсов в технологические процессы в условиях интервальное™ исходных данных» рассмотрена задача инвестирования производственных ресурсов в технологические процессы при изготовлении изделий под заказ (задача инвестора), которая состоит в следующем На предприятии производятся изделия нескольких типов Причем каждое из изделий имеет несколько видов или марок Для каждого изделия являются известными время, необходимое для его производства, время, необходимое для производства составляющих его деталей

В качестве инвестора выступает менеджмент и руководство предприятия Инвестор обладает следующими видами ресурсов материальные (руб), людские (чел) и временные (ед времени) Посуточно на производство поступают заказы покупателей, которые выполняются в течение месяца, что позволяет зшружать производство равномерно

В диспетчерском отделе на все виды заказанных изделий составляются технологические карты, в которых указан порядок выполнения технологических операций, время изготовления каждой детали, а также общее время исполнения продукции Неопределенность значений характеристик технологических операций обусловлена процессами планирования и прогнозирования производства ,

На предприятии существует функционально общий производственный участок с универсальным станком Данный станок имеется в единственном экземпляре и его замена не представляется возможным по экономическим соображениям (нерентабельность замены) Технологические операции, выполняемые этим станком, являются общими для всех производственных процессов Важно и то, что вы-

полнение технологических операций (резка материала) на этом станке предшествует всем технологическим операциям при производстве любого вида изделий *

Кроме того, каждый заказ характеризуется директивным сроком, в течение которою необходимо отгрузить готовую продукцию, в против] юм случае предприятию будет начислена пеня Руководство предприятия определяет приоритет выполнения заказов исходя из субъективных (договоренность, личные предпочтения, риск потери инвестиционной привлекательности) и объективных (пеня, сроки изготовления продукции) причин Этот приоритет определяется плановым отделом предприятия в виде лингвистической переменной, выражающей срочность выполнения заказа (несрочно, срочно, сверхсрочно)

Целью инвестора является такое распределение ресурсов, которое, с одной стороны, уменьшает число несвоевременно выполненных заказов и технологических процессов в соответствии с выбранными приоритетами, а с другой стороны, уменьшает затраты, связанные с хранением отдельных деталей и готовых изделий в цехах и на складах

Задача инвестора в математической постановке формулируется как задача упорядочения технологических операций на универсальном станке с интервальными данными времени выполнения Т, =[7'|1,7'(2], приоритетом операции

а, [«,',а,2] и директивным сроком выполнения операции О, Те для технологических операций занумерованных г = 1,2, , п всякий допустимый порядок выполнения однозначно представляется одной из и' перестановок д: = (г,,г2, ,ги) чисел 1,2, ,п На множестве допустимых решений (МДР) X = {х} всех л1 перестановок х = , ;2, , 1п ) задана векторная целевая функция (ВЦФ)

состоящая из минимизируемых критериев (частных целевых функций), заданных интервально

К (х) = {<ру (х), (х), у/у (.х), (х)}, 1 < V < N, (2)

|де

<ру (х) = ,Г та* [£, £^ Г -Я*,О

* = 1 V, 1 = 1 5=1

М*)=¿К ]" -[¿Г'.^^г.о

4=1

1=1

тах^,1 ,ог,2 ]" шах

V

5=1

• ПИП ,

■ шш ,

->шт,

(3)

(4)

(5)

—> Ш1П

(6)

• ^г тах

V 5=1 5 = 1

Содержагельный смысл ЦФ (3) и (5) сосюиг в минимизации потерь инвестора, выражающихся в выплате шграфа (пеня) в связи с запаздыванием выполнения заказов и технологических операций на участке с универсальным станком, а содержательный аспект ЦФ (4) и (6) имеет логистический смысл чем позже выполняется технологическая операция /к на участке с универсальным станком, тем меньшую площадь необходимо выделять для хранения комплектующих изделия

В работе произведено сведение многокритериальной задачи инвестора с интервальными критериями (3)-(6) к многокритериальной задаче с векторными критериями, для которой ВЦФ (1) состоит из минимизируемых критериев

ру (4 = \р1 (4 <р1 (4 <¡>1 (4 ¥У (-Ф/л' (4 (4ул! (4 </л2 (4), (7)

1<у<К,

где

к--\ 1^=1

и ( к ^

тах

-> тт,

^=1

а, тах

к

тах а, тах

1 <к<.п к

5=1

—> тт,

тт,

-» тт,

тт.

Ч ( к

шI (х) = тах «2" тах У Г.2' - £>" ,0

(//'(х)= тах а,1 '' тах

У

у/I{х) = тах а21 тах йГ - У Г2" ,0

\<к<п К * Т

-> тт,

тт,

-> тт

(В) (9) (10) (И) (12)

(13)

(14)

(15)

Результатом этого сведения является следующая

Теорема I Для перестановок х = (/,, 12 , , /„ ) задача инвестора с интервальными критериями вида (3)-(6) сводится к задаче инвестора с векторными критериями вида (8)-(15) Паретовское множество и полное множество альтернатив задачи инвестора с векторными критериями (8)-(15) однозначно определяет собой паретовское множество задачи инвестора с ВЦФ (1) и интервальными критериями (3)-(6)

В работе исследована максимальная мощность полного множества альтернатив (ПМА) двукритериальной задачи инвестора с векторными параметрами Ь зависимости от комбинации критериев, входящих в состав ВЦФ (возможны следующие комбинации МЖБЦМ, М1№ЦМ, МШБиМ, МШМАХ; МШМАХ, М1ЫМАХ) Показано, что двукритериальная задача инвестора труднорешаема, при этом для задачи размерности п максимальная мощность полного множества альтернатив ограничена снизу экспонентой 2"_| Далее по индукции показано, что и многокритериальная задача инвестора с векторными параметрами также грудно-решаема, а мощность полного множества альтернатив ограничена снизу экспонентой 2"'[ В процессе нахождения вычислительной сложности задач упорядочения технологических операций на универсальном станке доказано, что соответствующая задача с векторными параметрами обладает свойством полно гы Это обусловливает труднорешаемость соответствующей ей задачи инвестора с интервальными параметрами, которую определяет следующая

Теорема 2 Алгоритмическая проблема нахождения ПМА для задачи инвестора с интервальными данными ВЦФ (1) и произвольным числом интервальных критериев вида (3), (4), (5), (6) является труднорешаемой При этом для задачи размерности п максимальная мощность ПМА ограничена снизу экспонентой 2" ~'

В виду доказанной труднорешаемости задачи инвестора с интервальными данными особого внимания заслуживает вопрос о выявлении полиномиально разрешимых подклассов задачи инвестора с интервальными данными, или выявлении условий, при которых для этой задачи существует решающее правило нахождения

оптимального решения х° е X

В работе показано, что оптимум х 0 = (/,, г2, • , („ )е А' определяется существованием такого упорядочения инвестируемых объектов гк, к = \,п, при котором выполняются бинарные отношения (БО)

где БО [а] -< [от', а^ ] означает выполнение неравенств а\ < а] и аг,2 ¿а*, из которых хотя бы одно является строгим

Существование решающего правила возможно и в том случае, когда длк-тельносш принимают интервальные значения |Т(',7'(2], а приоритеты а,, 1 = \,п принимают ненулевые действительные значения Оптимум х° -('1>г2> .'„)е ^ определяется существованием такого упорядочения инвестируемых объектов гк, к = 1, и, при котором выполняются БО

—ГСХ]'-—[¡К^ ^(17)

а. ' а, 2 2 а,

М '2 и

В третьем разделе «Разработка методики решения многокритериальной задачи инвестора с интервальными параметрами» предложена методика для решения задачи инвестора с интервальными параметрами, учитывающая, с одной стороны, особенности задачи инвестора, а с другой - позволяющая за допустимый промежуток времени производить поиск решений Методикой решения задачи инвестора с интервальными параметрами является совокупность взаимосвязанных методов и правил их применения для сбора, анализа и представления информации о задаче инвестора для определения последовательностей исполнения технологических операций, удовлетворяющих предпочтениям инвестора Структурно методика состоит из трех этапов

На первом этапе методики решения задачи инвестора с интервальными параметрами производится ее математическая постановка Выявляются основные характеристики исследуемого объекта, возможности прерывания, стадийность, значения характеристик технологических операций (время, директивный срок, приоритет), вырабатывается решение о характере прогноза (краткосрочный, долгосрочный) параметров задачи, определяются критерии, включаемые в математическую постановку задачи инвестора

На втором этапе методики решения задачи инвестора производится определение характеристик технологических операций, имеющих неопределенный характер Для долгосрочной оценки параметров задачи инвестора предложено использовать метод «Дельфи» с интервальными экспертными оценками Краткосрочная и среднесрочная оценка параметров задачи инвестора производится в соответствии с методикой, предлагаемой Перепелицей В А , в основе которой лежат методы фазового и фракшльного анализа, а также методы прогнозирования на основе клеточных автоматов

На третьем этапе методики производится решение многокритериальной задачи инвестора с векторными параметрами гибридом полиномиальных методов решения задач упорядочения (многокритериальная симуляция отжига и многокритериальный локальный поиск), который получил название «метод композиции преобразований» В данном методе предложена стратегия выхода из локального оптимума при поиске решений путем объединения и моди-

фикации известных стратегий (стратегии направленного поиска, композиции преобразований, гибридный подход).

Для описания гибридного метода композиции преобразований необходимо ввести некоторые вспомогательные структуры. Для задачи инвестора с ВЦФ (1) и допустимого порядка инвестирования х = (/,, г2,..., ;'„ ) на МДР Xопределено множество допустимых преобразований £ = ,$2,• ■ •,}, р >0, отображающее

X в некоторое конечное множество х° = ,..., х'г'} 1 2 г < п\ путем

изменения порядка инвестирования без нарушения принятых ограничений. Т.е. 5Дх)с при этом в общем случае Х° Ф Х°, /' ф у. Множество Х°р

называется соседями процесса X . Для элементов множества преобразований 5 определены следующие операторы: Ф,® - соответственно операторы объединения и композиции преобразований.

Определение /. Для заданного МДР X и множества допустимых преобразований 5 = } операцией объединения преобразований будем

называть операцию © 52 Ф...Ф 8р такую, что для допустимого порядка инвестирования х - (ц,12,■•-,'„) ее результат эквивалентен объединению множеств 5, (х) II52 (х) и ■.. и Бр (х) .

Определение 2. Для заданного МДР X и множества допустимых преобразований 51 = {51,52,...,>5'/)} операцией композиции преобразований будем называть

операцию б1, ®5"2 ®...®5р такую, что для допустимых порядков инвестирования Х1,Х2,...,Хр ее результат эквивалентен последовательности преобразований х2е£,(*,), х3е52(х2), ...,хр е(*,_,), 1 <г<р.

В разработанной методике определено множество допустимых преобразований 5 = {5,, 52} решения х .

Рисунок 1 - Допустимое преобразование 5,

Преобразование S,, представленное на рисунке 1, отображает допустимый порядок инвестирования х = (г,,г2,...,/„) в множество А'10 = |х11}, где х\ = {гь1г,■■■,i„) ■ Порядки инвестирования х и х\ определены таким образом, что для заданных 1 <1 <п, 1 < т < п, / Ф т имеет место

h = 1'к . ^ = 1,k^l, кФ т ; = i'm , im = i',.

Преобразование S2 отображает допустимый порядок инвестирования х = (г,,/2,...,/„) во множество Л"" = {xf,,...,}, где х]. = (г, ,i2,...,/„),

r =l,n(w-l) определен таким образом, что х;2 = 5,(х), г = 1,и(и-1), а для заданных 1 < I < п(п -1), 1 < т < п(п -1), т , имеет место xf Ф хЦ, . Графическое представление преобразования S2 представлено на рисунке 2.

Рисунок 2 - Допустимое преобразование S2

Предлагаемый на третьем этапе метод композиции преобразований состоит из двух фаз:

- инициализации;

- итерационного поиска решений.

На первой фазе решения задачи производится определение нижних границ Р = \р1,р2,...,рм| для каждого из критериев ВЦФ (1). Полученные ре-

шения образуют множество Х° = ,хм| При этом является важным

принципиальное утверждение, которое отражает следующая

Пемма 1 Если для Х° определены нижние границы Р = критериев, то не существует такого элемента х е X , для которого выполняется неравенство Рк(х')<Рк, к = 1,Ы

Из леммы 1 следует, что операция включения элемента х<= X в множество Х° = ^,х2, не приводит к изменению нижних границ Р = Щ,Р2, критериев и «ухудшению» качества решений Тогда является важным вопрос нахождения нижней границы критерия Р„(х) и определяющего его решения хи Для критериев вида (3)-(4) точные нижние

границы Ру, к = 1, Л/ могут быть найдены за 0(п2), согласно алгоритму Лоле Нахождение точных нижних границ для критериев вида (5)-(6) является № - трудной задачей, а их нахождение возможно с использованием полиномиальных методов решения без гарантий качества решений

На второй фазе рассматриваемого гибридного метода к решению, полученному на первой фазе, применяются модифицированный метод многокритериального локального поиска и модифицированный метод многокритериальной симуляции отжига

Суть модификации указанных методов заключается в том, что промежуточные решения, получаемые методом многокритериального локального поиска, исследуются методом многокритериальной симуляции отжига, а также в том, что для исследования критериального пространства в первом методе используется допустимое преобразование {¿¡^К а во втором используется допустимое преобразование 5 = 5, <8>^ На рисунке 3 приведены блок-схемы модифицированных методов, измененные элементы блок схем выделены

Основанием для применения указанных подходов и преобразований явилось предположение о том, что допустимые преобразования 5 = 52 и 5 = 5, позволяют значительно расширить исследуемую область критериального пространства и таким образом уменьшить число попаданий конечных решений в области локальных оптимумов

В работе указаны оценки сложности разработанного гибридного метода композиции преобразований, временная сложность метода равна 0(и6), пространственная сложность не превышает и2

Начало ^

Х-' <-Х

иг:

А'° <-.тт1Ьт(Х°)

X

►<диявсехД6А Л" *-ГуЛ,{Х')

1 Х° >юп(1от(Х )

т—

Начало ^

. •• V—

А"1 <- 0

х

■•^Для всех л е V

Конец^

а б

Рисунок 3 - Блок-схема модифицированного метода многокритериального локального поиска (а) и блок-схема модифицированного метода многокритериальной симуляции отжига (б)

В четвертом разделе «Верификация модели задачи инвестора в условиях интервальных исходных данных» представлены результаты апробации методики решения задачи инвестора с интервальными параметрами на примере предприятия по производству мебели под заказ ОАО «Ставропольмебель» и сравнительный анализ методов решения задачи инвестора.

Рассматривались метод многокритериального локального поиска (1), метод многокритериальной симуляции отжига (2), модифицированный гибрид-

ный метод композиции преобразований без фазы инициализации и множеством допустимых преобразований 5 = {>!?, (3), модифицированный гибридный метод композиции преобразований без фазы инициализации и множеством допустимых преобразований 5 = {5!} (4), гибридный метод композиции преобразований (5). Статистический материал для сравнительного анализа получен многократным решением исследуемыми методами 30 задач из разработанной тестовой библиотеки. Результаты вычислительного эксперимента обработаны и представлены в виде визуализаций и таблиц отклонений математического ожидания критериев от экстремума.

Критерий "Расстояние до идеального решения"

4000 3800 3600 3400 3200 3000 2800

— и ----- —

— — ¿у -

¿Щ 1 /г

Ме тод решения

Критерий "Протяженность решений"

80 70 60 50 40 30 20 10 0

4 5

Метод решения

а б

Рисунок 4 -Значения критериев «Расстояние до идеального решения» а) и «Протяженность решений» б)

Усредненные значения критериев, выражающих предпочтения инвестора («Расстояние до идеального решения», «Протяженность решений»), для исследуемых методов представлены на рисунке 4.

В результате вычислительного эксперимента установлено, что при увеличении размерности задачи инвестора гибридный метод композиции преобразований позволяет получать решения со значениями критерия «Расстояние до идеального решения» на 15,37%, а критерия «Протяженность решений» на 25,5% лучше по сравнению с методами многокритериального локального поиска и многокритериальной симуляции отжига.

Интеграция разработанных программных средств для решения индивидуальных задач инвестора с системой управления ресурсами, позволит создать программный комплекс управления ресурсами с возможностью учета многокритериального характера моделируемых процессов и их интервальных параметров.

Заключение диссертационной работы содержит основные выводы исследования, имеющие теоретическую и практическую значимость:

1. Адаптирована известная модель задачи инвестора. Адаптация заключается во введении в ее состав «крайней» формы адекватного отражения неоп-

ределенности в виде интервального представления числовых значений параметров модели

2 Многокритериальная задача инвестора с интервальными параметрами в математической формулировке представляет собой задачу упорядочения технологических операций на универсальном станке, для которой в диссертации доказана ее труднорешаемость

3 Выделены полиномиальные подклассы задач упорядочения на универсальном станке при следующих условиях директивные сроки выполнения операций равны нулю, а интервальные значения принимает только один из параметров (Т1 или ах)

4 Произведено обоснованное сведение многокритериальной задачи инвестора с интервальными данными к многокритериальной задаче с векторными параметрами, что позволяет применять для ее решения полиномиальные алгоритмы решения без гарантий качества

5 Разработана методика решения многокритериальных задач инвестора с интервальными параметрами, в основе которой лежит гибрид методов многокритериальной симуляции отжига и многокритериального локального поиска

6 Разработан программный комплекс, позволяющий автоматизировать процесс решения задачи инвестора с интервальными данными, с использованием предлагаемой ме годики

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИОННОГО ИССЛЕДОВАНИЯ

1 Греч кип, В А Интервальная задача инвестора / В А Гречкин, К А Кульчицкий // Системный анализ в проектировании и управлении Труды X Междунар науч - практ конф - СПб Изд-во политехи ун-та, 2006 - Ч 2 - С 93-94

2 Гречкин, BAO фрактальном анализе временных рядов информационных систем (на примере yandex-почта) / В А Гречкин, К А Кульчицкий, А В Николаев // Инфотелекоммуникационные технологии в науке, производстве и образовании Первая Международная научно-практическая конференция (г Ставрополь, 19 декабря 2004 г) - Ставрополь Северо-Кавказский государственный технический университет - С 393-395

3 Гречкин, В А Оценка прогнозируемости поведения информационных систем на основе фрактального анализа / В А Гречкин, К А Кульчицкий, А В Николаев // Математическое моделирование и компьютерные технологии Материалы VII Международного симпозиума - Кисловодск Изд-во Кисловодск ин-та экономики и права, 2005 - С 155 -157

4 Гречкин, В А Выявление фрактальных характеристик одного временного ряда информационных систем / В А Гречкин, К А Кульчицкий, А В Николаев // Математическое моделирование в образовании, науке и производстве Материалы

IV Международной научно-практической конференции (Тирасполь 5-9 июня,

2005 г) - Тирасполь Изд-во Приднестр ун-та, 2005 - С 23-24

5 Гречкин, В А Актуальность прогнозирования коротких временных рядов / В А Гречкин, К А Кульчицкий, А В Николаев II XIV Международная конференция «Математика Экономика Образование» (Новороссийск, 28 мая - 3 июня 2006 г) - Ростов-н/Д Изд-во ООО «ЦВВР», 2006 - С 134 -135

6 Гречкин, В А Оценки сложности многокритериальной задачи инвестора / В А Гречкин // Материалы II Международной научно-практической конференции «Трансформационные процессы в экономике страны и регионов» (19-20 октября

2006 г) - Запорожье ЗНУ, 2006 - С 38-39

7 Гречкин, BAO вычислительной сложности двукритериальной задачи инвестора / В А Гречкин // Материалы IX Международной конференции «Интеллектуальные системы и компьютерные науки» (23-27 октября 2006 г) - М Изд-во механико-математического факультета МГУ, 2006 — Т 2, Ч 1 - С 94—97

8 Гречкин, BAO решении двукритериальной задачи инвестора / В А Гречкин // Материалы VIII Международной научно-практической конференции «Информационная безопасность» - Таганрог Изд-во ТРТУ, 2006 - С 73-76

9 Гречкин, BAO существовании центра симметрии решений в интервальной постановке задачи инвестора / В А Гречкин // Теоретические и прикладные вопросы современных информационных технологий Материалы VIII Всероссийской научно-технической конференции - Улан-Удэ Изд-во ВСГТУ, 2007 - С 28-31

10 Гречкин, В А Об одной методике решения задач упорядочения в условиях неопределенности / В А Гречкин // Труды XI Международной научно-практической конференции «Системный анализ в проектировании и управлении» (28 июня-10 июля 2007 г ) - СПб Изд-во политехи ун-та, 2007 - С 185 - 187

В рецензируемых научных журналах из перечня ВАК опубликованы следующие работы:

11 Перепелица, В А Задача инвестора с интервальными данными / В А Перепелица, В А Гречкин, Ф Б Тебуева // Вестник Ставропольского государственного университета -2005 -№43 -С 9-13

12 Перепелица, В А Исследование мощности множества альтернатив 2-критериальной задачи инвестора / В А Перепелица, В А Гречкин, Ф Б Тебуева, 1 М Шенкао // Вестник Ставропольского государственного университета -2006 -№47 - С 10-14

Подписано п печать 09 10 2007 Формат 60x84 1/16 Уел печ л 1,1 Уч-изд л 0,83

Бумага офсетная ГиражЮОэкз Заказ 157

Отпечатано в Издагельско-полиграфическом комплексе Ставропольского государственною университета 355009, Ставрополь, ул Пушкина, 1

Введение.

1 Анализ моделей и подходов, используемых при решении задач упорядочения на производстве.

1.1 Объект исследования и его особенности.

1.2 Некоторые понятия теории расписаний.

1.3 Анализ методов решения задач упорядочения на производстве.

1.3.1 Существующие подходы к решению задач упорядочения на производстве.

1.3.2 Методы решения дискретных экстремальных задач, возникающих при решении задач упорядочения на производстве.

1.3.3 Понятия многокритериальной оптимизационной задачи и критерии оценки методов решения.

1.4 Постановка задачи исследования.

Выводы по разделу 1.

2 Математическая модель задачи инвестирования ресурсов в технологические процессы в условиях интервальное™ исходных данных

2.1 Содержательное описание задачи инвестора.

2.2 Математическая постановка задачи инвестора при интервальных исходных данных.

2.3 Сведение задачи инвестора с интервальными параметрами к задаче инвестора с векторными параметрами.

2.3.1 Элементы интервальной арифметики.

2.3.2 Задача инвестора с интервальными параметрами и эквивалентная ей задача инвестора с векторными параметрами.

2.4 Исследование полного множества альтернатив задачи инвестора с интервальными параметрами.

2.4.1 Исследование максимальной мощности полного множества альтернатив двукритериальной задачи инвестора с векторными параметрами.

2.4.2 Исследование максимальной мощности полного множества альтернатив многокритериальной задачи инвестора с векторными параметрами.

2.5 Полиномиально разрешимые подклассы задачи инвестора с интервальными параметрами.

Выводы по разделу 2.

3 Разработка методики решения многокритериальной задачи инвестора с интервальными параметрами.

3.1 Моделирование и определение параметров задачи инвестора с интервальными исходными данными.

3.2 Гибридный метод композиции преобразований.

3.2.1 Вспомогательные структуры, применяемые при решении многокритериальной задачи инвестора с векторными параметрами.

3.2.2 Формальное описание гибридного метода композиции преобразований для решения многокритериальной задачи инвестора с векторными параметрами.

3.2.3 Модифицированный метод многокритериального локального поиска.

3.2.4 Модифицированный метод многокритериальной симуляции отжига

3.3 Оценка временной и емкостной сложности гибридного метода решения многокритериальной задачи инвестора с векторными параметрами.

Выводы по разделу 3.

4 Верификация модели задачи инвестора в условиях интервальных исходных данных.

4.1 Сравнительный анализ приближенных методов без гарантий качества при решении задачи инвестора.

4.1.1 Организация вычислительного эксперимента.

4.1.2 Описание программного модуля для решения задач инвестора с интервальными параметрами.

4.1.3 Результаты вычислительного эксперимента.

4.2 Практическое решение многокритериальной задачи инвестора с интервальными параметрами.

Выводы по разделу 4.

Актуальность темы исследования. В результате научно - технической революции в 20 - м веке произошел скачок в развитии человеческой деятельности, вследствие чего стало очевидным, что человек вносит в окружающую действительность все больше хаоса. Если этой тенденции не противопоставить обратную - организующую, то неизбежны технологические катастрофы, способные погубить человечество. Поэтому определение оптимальной последовательности или набора последовательностей выполнения операций некоторого техногенного процесса, в частности, процессов упорядочения при создании материальных благ (производства), является, несомненно, актуальной задачей практической деятельности человека.

Выходом из данной ситуации является построение моделей производственных процессов и соответствующих методик решения задач упорядочения производственных операций, исследованию которых посвящено значительное число работ отечественных и зарубежных исследователей, среди которых B.C. Танаев, В.В. Шкурба, В.А. Перепелица, В.В. Подиновский, В.Д. Ногин, B.C. Гордон, V. T'kindt, Н. Hoogeveen, J.K. Lenstra, E.L. Lawler, E.G. Coffman, B. Chen, C.N. Potts, G.J. Woeginger, Y.M. Liu, A. Jaszkiewicz и другие.

Вопрос выбора и применения моделей задач упорядочения на производстве в настоящее время недостаточно проработан. Это связано с тем, что процессы упорядочения организационно сложны, и учет всех особенностей конкретного производства проблематично описать с помощью какой-либо одной универсальной модели. К таким моделям предъявляют требование адекватности, точности получаемых решений и минимизации времени, затрачиваемого на достижение результата.

Многие исследователи отмечают, что модели задач упорядочения на производстве должны учитывать нечеткие значения характеристик производственных процессов, например, времени выполнения операции. Особенно это характерно для производственных процессов на опасных и ресурсоемких производствах, где неправильно принятое управленческое решение может обернуться экономической или экологической катастрофой.

Актуальность диссертационного исследования определена необходимостью совершенствования методологической базы в области принятия производственных решений, разработки специализированной модели и методики решения задач упорядочения на производстве в условиях интервальных исходных данных.

Объект исследования: предприятие по производству продукции на заказ.

Предмет исследования: процесс инвестирования ресурсов в технологические процессы производства.

Цель исследования состоит в моделировании задачи инвестирования производственных ресурсов в технологические процессы производства в условиях неопределенности исходных данных, включающем разработку методов и методик ее решения.

Для достижения поставленной цели были поставлены и решены следующие задачи:

- сравнительный анализ существующих подходов к решению задач упорядочения в условиях детерминированности исходных данных;

- построение математической модели задачи инвестора с интервальными исходными данными и анализ ее временной сложности;

- разработка методики и методов для решения задачи инвестора с интервальными исходными данными;

- разработка прикладных программных средств реализующих предлагаемую методику.

Методологической основой работы послужили методы комбинаторного анализа, дискретной оптимизации, векторной оптимизации, теории расписаний, теории временных рядов, методы динамического хаоса. Использованы научные источники в виде сведений из книг, журнальных статей, материалов научных конференций авторов B.C. Танаева, В.В. Шкурбы, В.А. Перепелицы, Я. Хугивена, В. Киндта и др.

Основные положения, результаты и выводы, выносимые на защиту:

1. Адаптация известной модели задачи инвестора для случая интервального задания исходных данных.

2. Труднорешаемость многокритериальной задачи инвестора с интервальными исходными данными.

3. Полиномиально разрешимый подкласс задач упорядочения технологических операций с интервальными исходными данными.

4. Методика решения многокритериальных задач инвестора с интервальными исходными данными.

5. Программный модуль для решения задачи инвестора с интервальными данными.

Научная новизна диссертационной работы заключается в развитии теоретического, методического и инструментального обеспечения для математического моделирования задачи инвестирования производственных ресурсов в технологические процессы производства в условиях неопределенности исходных данных. Элементы научной новизны содержат следующие результаты диссертационного исследования:

1. Адаптированная модель задачи инвестора позволяющая учитывать интервальность исходных данных.

2. Труднорешаемость многокритериальной задачи инвестора с интервальными данными, определяющая отсутствие точных методов решения с полиномиальной трудоемкостью.

3. Полиномиально разрешимый подкласс многокритериальных задач в случае введения дополнительных условий: директивные сроки выполнения операций равны нулю, а интервальные значения принимает только один из параметров задачи.

4. Сведение многокритериальной задачи с интервальными параметрами к многокритериальной задаче с векторными параметрами, для которой предложена авторская методика ее решения.

5. Программный модуль для автоматизации решения задач инвестора с векторными параметрами на базе разработанной авторской методики.

Практическая значимость полученных результатов определена тем, что основные положения, выводы, рекомендации, модели, методы и алгоритмы диссертационного исследования ориентированы на широкое использование в организационно-экономическом, методическом, алгоритмическом обеспечении и инструментальных средствах, могут быть использованы промышленными предприятиями для управления инвестиционными потоками и принятия управленческих решений на различных уровнях социальной, экономической и административной деятельности.

Предложенные методы, алгоритмы, модели и программы апробированы на реальных экономических временных рядах и оправдали себя. Их корректность и адекватность подтверждена расчетами на конкретных данных производственных процессов.

Достоверность и обоснованность полученных результатов подтверждены адекватностью и достоверностью исходных моделей и методов, строгостью логических и математических выкладок, разработанной действующей программой и результатами экспериментов с применением методов многокритериальной оптимизации, теории расписаний и теории управления.

Апробация и внедрение результатов исследования. Результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на 8 международных и всероссийских конференциях, семинарах, форумах, основными из которых являются:

- Первая Международная научно-практическая конференция «Инфоте-лекоммуникационные технологии в науке, производстве и образовании» (Ставрополь, 2004);

- VII Международный симпозиум «Математическое моделирование и компьютерные технологии» (Кисловодск, 2005);

- IV Международная научно-практическая конференция «Математическое моделирование в образовании, науке и производстве» (Тирасполь, 2005);

- X Международная научно - практическая конференция «Системный анализ в проектировании и управлении» (Санкт-Петербург, 2006);

- XIV Международная конференция «Математика. Экономика. Образование» (Новороссийск, 2006);

- 9-я Международная конференция «Интеллектуальные системы и компьютерные науки» (Москва, 2006);

- 8-я Международная конференция «Информационная безопасность -2006» (Таганрог, 2006);

- II Международная научно-практическая конференция «Трансформационные процессы в экономике страны и регионов» (Запорожье, 2006).

Результаты решения частных научных задач регулярно обсуждались на заседаниях научных семинаров при кафедре компьютерной безопасности Ставропольского государственного университета.

Отдельные рекомендации, вытекающие из диссертационного исследования, были использованы при решении задачи инвестирования производственных ресурсов в технологические процессы при производстве продукции под заказ в ОАО «Ставропольмебель». Результаты исследования использованы при выполнении гранта Российского фонда фундаментальных исследований 06-01-00020 «Структурирование, выявление несоответствий и прогнозирование эволюционных дискретных процессов и систем при наличии долговременных корреляций».

Публикации. Основные результаты диссертационной работы были опубликованы в 12 печатных работах, из которых 2 статьи в рецензируемых журналах ВАК. Общий объем публикаций составляет 2,5 п.л., из них автору принадлежит 1,5 п.л.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех тематических разделов, заключения, списка литературы, приложений. Работа изложена на 137 страницах основного текста, содержит 24 рисунка, 12 таблиц, список литературы насчитывает 79 наименований.

Выводы по разделу 4

1. При увеличении размерности задачи инвестора гибридный метод композиции преобразований позволяет получать решения со значениями критерия К5, на 15,37%, а критерия К7 на 25,5% лучше по сравнению с методами многокритериального локального поиска и многокритериальной симуляции отжига.

2. Интеграция разработанного программного модуля для решения индивидуальных задач инвестора с системой управления ресурсами, позволит создать программный комплекс управления ресурсами с возможностью учета многокритериального характера моделируемых процессов и их интервальных параметров.

Заключение

Результаты теоретических и экспериментальных исследований, а также опыт внедрения основных научных результатов диссертационной работы позволяют сделать следующие выводы:

1. Адаптирована известная модель задачи инвестора. Адаптация заключается во введении в ее состав «крайней» формы адекватного отражения неопределенности в виде интервального представления числовых значений параметров модели.

2. Многокритериальная задача инвестора с интервальными параметрами в математической формулировке представляет собой задачу упорядочения технологических операций на универсальном станке, для которой в диссертации доказана ее труднорешаемость.

3. Выделены полиномиальные подклассы задач упорядочения на универсальном станке при следующих условиях: директивные сроки выполнения операций равны нулю, а интервальные значения принимает только один из параметров (Tt или at).

4. Произведено обоснованное сведение многокритериальной задачи инвестора с интервальными данными к многокритериальной задаче с векторными параметрами, что позволяет применять для ее решения полиномиальные алгоритмы решения без гарантий качества.

5. Разработана авторская методика решения многокритериальных задач инвестора с интервальными параметрами, в основе которой лежит гибрид методов многокритериальной симуляции отжига и многокритериального локального поиска.

6. Разработан программный модуль, позволяющий автоматизировать процесс решения задачи инвестора с интервальными данными, с использованием авторской методики.

1.M. и др. Советский энциклопедический словарь. - М.: Сов. энциклопедия, 1987. - 1600 с.

2. Фединский Ю.И. Справочник официальных определений и терминов по экономике и финансам. М.: Экзамен, 2002. - 640 с.

3. Фатхутдинов Р.А. Организационный и производственный менеджмент. Спб.: ПИТЕР, 2006. - 496 с.

4. Джордж Л.М. Бережливое производство + 6 сигм. Комбинируя качество шести сигм со скоростью бережливого производства. М.; Альпина Бизнес Букс, 2006. - 360 с.

5. Shingo S. A Study of the Toyota Production System From an Industrial Engineering Viewpoint. Cambridge: Productivity Press, 1989. - 390 p.

6. Питеркин C.B. Точно вовремя для России. Практика применения ERP-систем. М.: Альпина Бизнес Букс, 2006. - 368 с.

7. Конвей Р.В, Максвелл В.Л., Миллер Л.В. Теория расписаний. М.: Наука, 1975.-360с.

8. Танаев B.C., Гордон B.C., Шафранский Я.М. Теория расписаний. Одностадийные системы. М.: Наука, 1984. - 384 с.

9. Перепелица В.А., Попова Е.В., Семенчин Е.А. Теория игр и исследование операций. Ставрополь: Изд-во СГУ, 2004. - 182 с.

10. T'kindt V., Billaut J. Multicriteria Scheduling. Berlin: Springer-Verlag, 2006. - 360 p.

11. Hoogeveen H. Multicriteria scheduling // European journal of operational research. 2005. - 16. -P. 592-623.

12. Chen В., Potts C., Woeginger G. A review of machine scheduling: Complexity, algorithms and approximability // Handbook of Combinatorial Optimization / Du D.Z., Pardalos P.M. Kluwer Academic Publishers, 1998. - P. 1-101.

13. Танаев B.C., Шкурба B.B. Введение в теорию расписаний. М.: Наука, 1975.-256 с.

14. Кофман Э.Г. и др. Теория расписаний и вычислительные машины. -М.: Наука, 1984.-334 с.

15. Graham R.L., Lawler E.L., Lenstra J.K., Rinnoy Kan A.H.G. Optimization and approximation in deterministic sequencing and scheduling: A survey. // Annals of Discrete Mathematics. 1979. - 5. - P. 287-326.

16. Харари Ф. Теория графов. M.: Едиториал УРСС, 2003. - 296 с.

17. Ногин В.Д. Принятие решений в многокритериальной среде: количественный подход. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. - 176 с.

18. Liu Y.M. Multiobjective Optimisation and Control. Baldock.: Research studies press ltd., 2004. - 330 p.

19. Landa S. An Introduction to Multiobjective Metaheuristics for Scheduling and Timetabling // Multiple Objective Metaheuristics (Paris, 2-4.11.2002). -2002.-P. 1-39.

20. Dunaec A., Petrovic D. A new approach to milti-objective machine scheduling problems under fiizziness // DSS2004 Conference Proceedings. 2004

21. Steuer R. Multiple Criteria Optimization: Theory, Computation and Application. New York: John Wiley, 1986. - 334 c.

22. Гэри M., Джонсон Д. Вычислительные машины и труднорешаемые задачи.-М.: Мир, 1982.-416 с.

23. T'kindt V., Hocine К., Esswein С. Counting and enumeration complexity with application to multicriteria scheduling // 40R (Quarterly Journal of the Belgian, French and Italian Operations Research Societies). Berlin: Springer-Verlag, 2005.-3.-P. 1-21.

24. Hoogeveen J.A. Single-Machine Bicriteria Scheduling.: PhD Thesis. -CWI, The Netherlands Technology, Amsterdam, 1992. 150 p.

25. Utku H. Complexity of single machine hierarchical scheduling: course IE 672 / Bilkent University. Ankara, 1999. - 12 p.

26. Rossi Doria O. A comparison of the performance of different metaheuristics on the timetabling problem // In Proceedings of the 4th international conference on the Practice Ant Automated Timetabling (PATAT 2002). -Belgium: Cent,2002.-P. 46-52.

27. Ehrgott M., Gandibleux X. Approximative solution methods for multiob-jective combinatorial optimization // TOP. 2004. - vol. 12(1). - P. 1-90.

28. Gaspero L. Local Search Techniques for Scheduling Problems: Algorithms and Software Tools.: Ph.D. Thesis. Universita degli Stidi di Udine, Udine,2003.- 151 p.

29. Подиновский B.B., Ногин В.Д. Парето-оптимальные решения многокритериальных задач. М.: Наука, 1982. - 256 с.

30. Jaszkiewicz A. A comparative study of multiple-objective metaheuristics on the bi-objective set covering problem and Pareto memetic algorithm: Working paper RA-003/01 / Poznan University of Technology. Poznan, 2001. - 23 p.

31. Zitzler E., Thiele L. Multiobjective evolutionary algorithms: a comparative case study and the strength pareto evolutionary algorithm // IEEE Transactions on Evolutionary Computation. 1999. - 3. - P. 257-271.

32. Deb K. Multi-Objective Optimization Using Evolutionary Algorithms. -New York: John Wiley, 2001. 244 p.

33. Zitzler E. Comparison of multiobjective evolutionary algorithms: empirical results // Evolutionary computation. 2000, - 8(2). - P. 172-195.

34. Hansen M. Evaluating the quality of approximations to the non-dominated set // IMM Technical report IMM-REP-1998-7 March 22. 1998

35. Крянев A.B., Лукин Г.В. Математические методы обработки неопределенных данных. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. -216 с.

36. Алефельд Г., Херцбергер Ю. Введение в интервальные вычисления. -М.: Мир, 1987.-360 с.

37. Шокин Ю.И. Интервальный анализ. Новосибирск: Наука, 1981

38. Перепелица В.А., Тебуева Ф.Б., Гречкин В.А. Задача инвестора с интервальными данными // Вестник Ставропольского государственного университета. 2005. - №43. - С. 9-13.

39. Перепелица В.А., Мамедов А.А. Исследование сложности и разрешимости векторных задач на графах. Черкесск: РИО К-ЧТИ, 1995. - 150 с.

40. Березовский В.А., Борзенко В.И., Кемпнер JI.M. Бинарные отношения в многокритериальной оптимизации. М.: Наука, 1981. - 256 с.

41. Вилкас Э.Й., Майминас Е.З. Решения: теория, информация, моделирование. -М.: Радио и связь, 1981. 560 с.

42. Дубов Ю.А., Травкин С.И., Якимец В.Н. Многокритериальные модели формирования и выбора вариантов систем. М.: Наука, 1986. - 268 с.

43. Фишер С., Дурмбуш Р., Шмалеизи Р. Экономика. М.: Дело, 1993.530 с.

44. Гречкин В.А., Кульчицкий К.А. Интервальная задача инвестора // Системный анализ в проектировании и управлении: Труды X Междунар. науч. практ. конф. Ч. 2. - Спб.: Изд-во Политехи. Ун-та, 2006. - С. 93 - 94.

45. Perepelitsa V.A., Kozina G.L. Interval Discrete Models and Multiobjec-tivity // Interval computations. -1993. -1. P. 51-59

46. Емеличев B.A., Перепелица B.A. Сложность дискретных многокритериальных задач // Дискретная математика. 1994. - Т.6, №1. - С. 3-33.

47. Костевич Л.С., Лапко А.А. Теория игр. Исследование операций. -Минск: Вышейшая школа, 1982. 256 с.

48. Гречкин В.А. Оценки сложности многокритериальной задачи инвестора // Материалы II международной научно-практической конференции «Трансформационные процессы в экономике страны и регионов», 19-20 октября 2006 г. Запорожье: ЗНУ, 2006. - С. 38-39.

49. Перепелица В.А., Гречкин В.А., Тебуева Ф.Б., Шенкао Т.М. Исследование мощности множества альтернатив 2-критериальной задачи инвестора // Вестник Ставропольского государственного университета. 2006. -№47.-С. 10-14.

50. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А., Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. М.: Наука, 1986. - 544с.

51. Гречкин В.А. О решении двукритериальной задачи инвестора // Материалы VIII Международной научно-практической конференции «Информационная безопасность». Таганрог: Изд-во ТРТУ, 2006. - С.73-76.

52. Кнут Д. Искусство программирования: в 3-х томах. Т. 3: Сортировка и поиск. М.: Мир, 1978. - 675 с.

53. Танаев B.C., Сотсков Ю.Н., Струсевич В.А. Теория расписаний. Многостадийные системы. М.: Наука, 1989. - 328 с.

54. Китаев Н.Н. Групповые экспертные оценки. М.: Знание, 1975. - 64с.

55. Панкова JI.A., Петровский A.M., Шнейдерман М.В. Организация экспертиз и анализ экспертной информации. М.: Наука, 1984. - 120 с.

56. Анфилатов B.C. Системный анализ в управлении: Учеб. пособие / B.C. Анфилатов, А.А. Емельянов, А.А. Кукушкин; Под. ред. А.А. Емельянова. М.: Финансы и статистика, 2003. - 386 с.

57. Касаева М.Д., Перепелица В.А. Прогнозирование природного временного ряда на базе модели клеточного автомата // Современные аспекты экономики. 2002. - №9 (22). - С. 201-207.

58. Перепелица В.А., Тебуева Ф.Б., Темирова Л.Г. Структурирование данных методами нелинейной динамики для двухуровневого моделирования. Ставрополь: Ставропольское книжное издательство, 2006. - 284 с.

59. Serafini P., Simulated annealing for multiple objective optimization problems I I Proceedings of the Tenth International Conference on Multiple Criteria Decision Making (Taipei 19-24.07.92). vol. 1. - pp. 87-96.

60. Ulungu E., Teghem J., Fortemps Ph., Tuyttens D. MOSA method: a tool for solving multiobjective combinatorial optimization problems. // Journal of Multi-Criteria Decision Analysis. 1999. - 8. - P. 221-236.

61. Hansen M. Tabu search for multiobjective optimization: MOTS // MCDM 97 (Cape town South Africa, January 6-10). - 1997. - P. 210 - 227.

62. Hansen M., Mladenovic P. An introduction to variable neighbourhood search // Vof3 S., Martello I.H., Roucairol C. Meta-Heuristics: Advances and Trends in Local Search Paradigms for Optimization. Kluwer Academic Publishers, 1999.-P. 433-458.

63. Lawler E.L. Optimal sequencing of a single machine subject to precedence Constraints // Management Science. -1973. 19. - P. 544-546.

64. Smith W.E. Various optimizers for single-stage production // Naval Research Logistics Quarterly. 1956. - 3. - P. 59-66.

65. Lenstra J.K., Rinnooy Kan A.H.G., Brucker P. Complexity of machine scheduling problems //Annals of Operations Research. 1977. - 1. - P. 343-362.

66. Du J., Leung J.Y. Minimizing total tardiness on one processor is NP-hard // Mathematics of Operations Research. 1990. - 15. - P. 483-495.

67. Andersen K.A., Jornsten K., Lind M. On bicriterion minimal spanning trees: An approximation // Computers and Operations Research. 1996. - 23. - P. 1171-1182.

68. Вентцель E.C. Теория вероятностей. M.: Высшая школа, 1998.

69. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. -М.: Высшая школа, 2003. 479 с.

70. Маркова Е.В., Лисенков А.Н. Комбинаторные планы в задачах многофакторного эксперимента. М.: Наука, 1979. - 345 с.