автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование воздействия отсоса внешнего потока на концевые вихри

г>г>г— п 1— I и лг А оосщпгтс:.**

1. МОДЕЛИРОВАНИЕ СТАЦИОНАРНЫХ ПЛОСКИХ ТЕЧЕНИЙ С ОТСОСОМ ПОТОКА.

1.1. Физическая постановка задачи.

1.2. Математическая постановка задачи.

1:3. Численное решение задачи.

1.4. Результаты расчетов.

1.5. Интерпретация дельта-функции.

2. МОДЛЕРИРОВАНИЕ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ПЕЧЕНИЙ С ОТСОСОМ ПОТОКА.

2.1. Физическая постановка задачи.,.

2.2. Математическая постановка задачи.

2.3. Численное решение задачи.

2.4. Результаты расчетов.

3. ИССЛЕДОВАНИЕ ВОЗМОЖНОСТИ РАЗРУШЕНИЯ КОНЦЕВЫХ ВИХРЕ/1.

3.1. Условия расчета. Пластина без отсоса.

3.2. Устройство отсоса расположено на нижней поверхности крыла.

3.2.1. Отсос с нижней поверхности в виде линии, расположенной е»доль хорды крыла.

3.2.2. Устройство отсоса в виде линии, расположенной вдоль размаха крыла.

3.2.3. Устройство отсоса в виде точки.

3.3. Устройство отсоса расположено на верхней поверхности крыла.

3.3.1. Устройство отсоса в виде линии, расположенной вдоль хорды крыла.

3.3.2. Устройство отсоса в виде линии, расположенной вдоль размаха крыла.

3.3.3. Устройство отсоса в виде точки.

3.4. Количественная оценка влияния отсоса на концевые вихри.

3.5. Форма концевых вихрей при расчете без учета симметрии.

Во всем мире наблюдается устойчивая тенденция роста воздушного движения, интенсивность перевозок пассажиров и грузов по воздуху постоянно растет. Безопасность полетов в такой ситуации, особенно в районах крупных аэродромов, в значительной степени связана с воздействием атмосферных неоднородностей, к которым относятся порывы, сдвиги ветра, турбулентность атмосферы и вихревые (спутные) следы, образующиеся при полете самолетов. Спутный след со временем сворачивается в два вихря, которые достаточно долго сохргиияются в атмосфере и представляют опасность для других самолетов.

По статистике ИКАО примерно 20% всех авиационных инцидентов происходит из-за влияния перечисленных выше внешних условий. Сюда включены и авиационные инциденты, связанные с попаданием самолетов в спутный след. По данным национального комитета безопасности перевозок авиации общего назначения США, таких происшествий бывает от 13 до 17 в год. Приведем несколько характерных случаев попадания JTA в спутный след, описанных в отечественной и зарубежной литература [1.1].

Самолет Cessna Т-37 на расстоянии 7,5 км попал в концевой жгут спутного следа самолета В-747. Несмотря на действия летчика по парированию крена, самолет сделал двойную бочку. Угловая скорость по крену составила 200 град/с. с потерей высоты примерно 1200 м летчику удалось выровнять самолет. Самолет BE-18 потерпел катастрофу из-за воздействия спутного следа самолета L-1011. Условия катастрофы не сохранились. Исходя из переговоров экипажа L-1011, они поздно заметили идущий впереди на одной высоте с ними самолет BE-18.

Самолет DC-9 (масса 80 т) при заходе на посадку на высоте 46 м попал в спутный след самолета «Тристар» (масса 185 т), который находился на расстоянии 11 км от него. В результате DC-9 резко накренился и, несмотря на немедленно принятые пилотом меры, угол крена достиг 35 град. На высоте приблизительно 20 м удалось выровнять самолет и избежать столкновения с землей. В результате расследования было установлено, что ОС-9 попал в концевой жгут самолета «Тристар», который при скорости бокового ветра 1-2,5 м/с удерживался на траектории посадки до 3 мин. 17 января 1987 г самолет Як-40 (масса 16 т) взлетел вслед; за самолетом Ил-76 (масса 160 т). Временной интервал между самолетами составил 65 секунд. На высоте 20 м Як-40 испытал сильный крен влево, потерял высоту и столкнулся с землей. Угол крена при этом составил 80 град. Причиной катастрофы самолета Як-40 явилось попадание в правый концевой жгут самолета Ил-76, который под действием слабого бокового ветра справа сместился к центру ВПП и «завис» над ней в течение 1.5-2 мин. Момент крена, который испытал самолет Як-40, примерно в 2 реза превысил располагаемый поперечный момент от элеронов, поэтому, несмотря на то, что летчик до конца отклонил элероны на парирование возникшего момента, устранить крен самолета Як-40 не удалось и он столкнулся с землей. Эти факты подтверждают актуальность решения проблемы существования концевых вихрей спутного следа.

Уже в 50-е годы началось изучение закономерностей образования и развития спутных следов за различными летательными аппаратами (ЛА). Но первые же исследования в этой области натолкнулись на серьезные трудности. Структура воздушного потока в спутном следе оказалась достаточно сложной и зависящей от множества факторов, среди которых выделяются главные - это аэродинамическая компоновка ЛА, режим полета, состояние атмосферы. Возник вопрос о выборе пода ода к изучению характеристик спутного следа. Естественно, что наиболее достоверные сведения о спутном следе могли бы дать натурные полеты. Но, как показал опыт таких полетов, они имеют высокую стоимость, небезопасны и малоэффективны [1.1].

В настоящее время благодаря развитой теории численных методов решения сингулярных интегральных уравнений [1.18, 2.34, 2.35, 2.36] и уровню развития цифровых вычислительных машин возможно с высокой эффективностью использовать математическое моделирование и численный эксперимент для исследования структуры воздушного потока в спутном следе за ЛА несмотря на его сложность.

Математическое моделирование при исследовании спутных следов впервые применил Ю.А. Кибардин в ВВИА им. Н.Е. Жуковского [2.32, 2.33], который использовал основные положения и выводы линейной теории крыла. В основе его модели лежал метод дискретных вихрей [1.7, 1.10], основные положения которого разработал С.М. Белоцерковский, а математическое обоснование применения метода дискретны к вихрей для задач аэродинамики сделано И.К.Лифановым [1.18, 2.36]. Данный метод был развит на многочисленные задачи в работах В.И. Бушуева, А.И. Желанникова, И.К. Лифанова, М.И. Ништа и др.

Для решения проблемы негативного влияния интенсивных концевых вихрей рассматриваются различные подходы. В основном это организационные мероприятия, направленные на сокращение безопасной дистанции между самолетами за счет совершенствования организации движения. В этом случае проводятся исследования, направленные на выяснения закономерностей образования и существования следов в зависимости от различных условий, а также их структуры. Результатом этих исследований являются рекомендации по выбору интервалов движения, взлета и посадки летательных аппаратов. Это отражено в заботах А.И. Желанникова, П.Е. Иванова и др. Как один из возможных путей повышения пропускной способности аэропортов при этом рассматривается использование ночного времени суток, что требует снижения шумового воздействия авиации на окружающую среду в зоне аэропорта.

Другим способом исключить попадание летательного аппарата в интенсивный спутный след является его ослабление или разрушение. Под этим понимают такой процесс изменения состояния с путного следа, в результате которого наблюдаются: перестройка картины течения в концевых жгутах, затухание возмущенных скоростей в концевых жгутах и в окрестности их до величин, соизмеримых с пульсациями скорости в атмосфере, изменение пространственного положения концевых жгутов.

Для воздействия на вихри, образующиеся при обтекании крыла, обычно предполагается применение конструктивных мероприятий. Характерным примером является запатентованное устройство [3.1] в виде панелей, устанавливаемых на нижней поверхности крыла. Панели отклоняются перпендикулярно потоку, когда возникает опасность попадания летящего следом самолета в спутный след, например, на взлете и посадке. Однако такие способы имеют существенные недостатки. В «рабочем» положении такое устройство приводит к ухудшению несущих свойств из-за увеличения сопротивления, что должно компенсироваться за стет двигателя. При этом значительно возрастает радиолокационная замстность ЛА - как известно, острые углы и кромки аэродинамической компоновки вносят наибольший вклад в эффективную поверхность рассеивания )1А. Большую часть времени полета устройство находится в убранном положении и представляет собой балласт к тому же усложняющий конструкцию ЛА. Существует еще ряд работ также основанные на изменении конструкции крыла, например, [3.2, 3.3].

Реализация новых подходов, в частности, энергетически* методов для воздействия на спутный след позволила бы избежать всех существенных недостатков, присущих перечисленным выше способам борьбы со спутным следом. В общем случае к энергетическим методам относят попорот вектора тяги силовой установки, выдув струи вдоль поверхности отклоненных закрылков и из задней кромки крыла (струйный закрылок), эжекторные системы выдувания (струйно-эжекторный закрылок), огоос пограничного слоя и внешнего потока с поверхности крыла (как правило, эти два вида воздействия отличаются мощностью энергетического возмущения, вносимого в поток), обдув струями реактивных двигателей верхней поверхности крыла или щелевых закрылков. Несмотря на большой интерес со стороны специалистов, отношение к энергетическим методам из-за их большой «энергоемкости» и сложности исследования до недавнего времени было довольно скептическое. Тем более, что в ситуации, когда ставится задача поиска новых явлений при воздействии на спутный след, обойтись только экспериментальным путем не только затруднительно, но и практически невозможно. Однако достигнутые в последние годы успехи в создании современных силовых установок, развитие теоретических методов исследования [1.4, 2.24] позволяют рассматривать энергетические методы как реальные уже в ближайшей перспективе.

Исследования по различным направлениям применения энергетической механизации ведутся уже довольно давно, основные результаты отражены в работах [2.17, 2.18, 2.19, 2.20, 2.23, 2.27, 2.31, 2.38, 2.39, 2.40, 2.41, 2.43]. По результатам исследований предполагается применять энергетическую механизадию для улучшения аэродинамических характеристик, характеристик устойчивости и управляемости и для управления аэродинамическими силами и моментами, действующими на летательный аппарат. Но помимо этого существуют проблемы/связанные с образованием вихрей на различных частях конструкции Л А и, что особенно важно для тяжелых летательных аппаратов, в спутном следе.

Накопленный опыт теоретических исследований позволяет сделать вывод о возможности применения энергетической механизации для борьбы с концевыми вихрями спутного следа. В данной работе для воздействия на концевые вихри предполагается использовать отсос внешнего потока с одной из поверхностей крыла.

Научная новизна данной работы заключается в следующем.

1. Предложен новый подход к моделированию отсоса внешнего потока с поверхности обтекаемого тела. В первых работах по моделированию отсоса потока при выполнении граничного условия непротекания на профиле с той стороны, где расположен отсос, приходили к сингулярному интегральному уравнению, в правой части которого стояла гладкая функция. Затем, через исследование касательных составляющих поля скоростей в точках профиля показывалось, что решение получаемого сингулярного интегрального ураЕ.ненил должно иметь в точке отсоса неинтегрируемую особенность тип а —. При х построении численного метода в этом случае приходилось использовать дополнительную информацию об искомом решении в то чке отсоса, из-за чего вычислительные методы усложнялись. В работе [2.24] было предложено граничное условие непротекания выполнять на стороне профиля, противоположной расположению отсоса. При этом приходили к тому же сингулярному интегральному уравнению, но в правой части появляется 5- функция с носителем в точке расположения отсоса. Наличие 8— функции в правой части позволило упростить алгоритмы численного решения сингулярного интегрального уравнения, а для пространственного случая построить новый, более простой, атгоритм численного решения.

2. Введено понятие пространственной 8— функции с носителем на кривой. Дана дискретная интерпретация данной функции, позволяющая эффективно использовать ее при математическом модел ировании.

3. Создана математическая модель для исследования воздействия отсоса внешнего потока на спутный след с целью разрушения концевых вихрей.

4. Проведены методические исследования, подтверждающие возможность разрушения концевых вихрей при помощи отсоса внешнего потока с. поверхности крыла. Установлено, что расположение, форма и интенсивность устройства отсоса в значительной степени влияют на поведение спутного следа. При оптимальном выборе форм ы и расположения устройства отсоса достигнуть разрушения вихрей можно уже при относительно небольшой его интенсивности. Показано, что влияние отсоса внешнего потока приводит к потере устойчивости концевых вихрей.

Диссертационная работа состоит из трех глав и выводов по работе. В первой главе предлагается новый подход к решению задачи о нахождении поля скоростей при обтекании жидкостью тонкого профиля с отсосом внешнего потока с одной из сторон его поверхности. При этом дана интерпретация 8- функции с носителем на линии. В предлагаемом подходе отсос учитывается при записи правой части граничного условия с использованием аппарата обобщенных функций. Гоани^лое условие непротекания при этом выполняется на стороне профиля, противоположной расположению отсоса. При этом в правой части появляется 8- функция с носителем в точке расположения отсоса. Проводится сравнение предложенного способа моделирования отсоса и способа с выделением особенности, применявшегося ранее.

Рассматривается стационарное безвихревое обтеасаниз пластинки бесконечного размаха (тонкого профиля) потоком идеальной несжимаемой жидкости с постоянной скоростью на бесконечности под у глом атаки а.

Через щель, расположенную вдоль размаха (в точке Мд тонкого профиля) производится отсос внешнего потока устройством, имеющим постоянную производительность (2. Отсос производится с одной из сторон профиля.

Профиль расположен на отрезке [-1, 1] оси Ох прямоугольной декартовой системы координат. Отсос осуществляется с нижней поверхности, п- положительный вектор нормали. Рассматриваются бесциркуляционное (выполняется условие равенства нулю циркуляции скорости по любому контуру, проведенному в жидкости вокруг профиля) и циркуляционное (удовлетворяет постулату Чаплыгина-Жуковского о конечности скоростей на задней кромке профиля) виды обтекания профиля. Полагаем, что течение идеальной несжимаемой жидкости всюду вне профиля безвихревое. Введем функцию Ж(М) = 0(М')~ Йг0 возмущенная скорость, V (М) - скорость жидкости в любой точке пространства. Тогда задача определения стационарного псля скоростей Ж(М) на плоскости Оху при. обтекании тонкого профиля сводится к уравнениям

Скорость в точке М индуцированную отсосом будем обозначать ]¥0{М).

Рис.1. о дх ду дх ду и условию убывания возмущений при бескинечним удалении от профиля

При использовании традиционной схемы при выполнении граничного условия непротекания на профиле с той стороны, где расположен отсос, приходили к сингулярному интегральному уравнению в правой части которого стояла гладкая функция. Затем, через исследование касательных составляющих поля скоростей в точках профиля показывалось, что решение получаемого сингулярного интегрального уравнения должно йметь в точке отсоса неинтегрируемую особенность типа —. л:

На поверхности профиля ставится условие непротекания, которое в данном случае имеет вид положительной и отрицательной сторон соответственно. При использовании нового подхода условие непротекания принимает вид:

Г;(М)п = -#0п-^(М)п, М=(х,0), хе (-1,1), М (М) п = -Ж0п - Щ{М)п, М=(х,0), х е (-1,1), где и Ж - краевые значения функции РГ(М) на профиле с

М) п = -¡¥0п -Щ(М)п, М=(х,0), х е (-1,1), х Ф хе.

Отсос потока моделируется стоком интенсивности О > который размещается в точке Мд и в точке М индуцирует скорости, определяемые по

- / \ <2 м-м0 формуле Жд J = -у— ———^ ^ . Поле скоростей ищется в классе функций представляемых в окрестности 5,± точки Мд в виде Ж М ,]¥ = Ме где Й/*± - функции непрерывные в областях снизу и сверху от профиля.

Поверхность профиля моделируем вихревым слоем. Тогда скорость жидкости в каждой точке, не лежащей на профиле, определяется формулой и(М0) = Ж0+ ]>(х) Жг(М0,М)^+Жд(М0,Мс),

М = (х,0),М0 = (х0,0);Ме =(хе,0) .

М - точки профиля. 1¥0 - вектор скорости от стока интенсивности (), IV - вектор скорости от вихря единичной интенсивности.

В рассматриваемом случае (тонкий профиль) уравнение для определения интенсивности имеет вид

Г — У(х0),л;0 € ( 1,1), х0 Ф х^,

1 -Л- <> V — V и х0 X причем /(х0) = -№0$та при использовании схемы с выделением особенности так как 1¥д(М)п = 0, М * Мд на отрезке [-1,1] и /С*о) - + 5 при использовании схемы с 8-функцией. В зависимости от рассматриваемого вида обтекания профиля для выделения единственного решения ставятся дополнительные условия 1 0 или ^(1) = 0.

-1

Задача решается численно, при помощи метода дискретных вихрей. Расчетные схемы, приведенные для случая циркуляционного обтекания, имеют вид: уравнения старой схемы уравнения новой схемы

Я ,=1 ¿Л, |=1 X(|J -Л|.

40

Г -Г =

1 у+1 1 з Л где /(х0;) = -Ж0 эта для старой схемы и =бш«, ^ у^;

-Ж0Бт а + ^=ПРИ новой схеме, а поле скоростей определяется по формуле 1

Сравнение результатов решения задачи в различной постановке по двум численным схемам и точного решения показывает, что использование 8 -функции позволяет получать более простые и удобные чисгенные схемы. Расчеты представлены для случая бесциркуляционного обтекания. На рис.2 показано распределение интенсивности вихревого ело я по поверхности профиля у(х), когда Т¥0 Ф 0 и £) ^ 0. Результаты полученные по старой схеме практически совпадают, а их отличие от точного решения наблюдается лишь в точках, близких к концам профиля. г-* -1,0 1

-0,5

4п

Ж *

-2

-4 У -ж ж * ж ** х

Ж—Ж у»----1

1,3

0,5

Рис.2, точное решение, —«старая» схема, —<>—«новая» схема.

При отсутствии скорости набегающего потока - = 0, ^ 0, рис.3, выводы о результатах те же - численные решения совпадают, а их отличие от результатов точного решения наблюдается только в точках у концов отрезка. Этого нельзя сказать о случае, когда ^ 0, а 0 - рис. 4. Здесь, помимо различия решений на концах профиля, численное решение по старой схеме в районе точки стока имеет на графике особенность в виде «полочки» (рис. 5). Численное решение, полученное по новой схеме, лишено этого недостатка и когда (3 = 0 вблизи точки х(} имеет гладкий вид.

-,---г— . - . 2 - п У

I и^ ,0 -0,5 .Ж^О / - 1 . и:——----—--4— -в—*—*--*-*-■*-*—*—1 0 0,5

Рис.3, неточное решение, —А— «старая» схема, —<>— «новая» схема.

-1

У

1-

1 - £ -Л ~ ¡к--Л

0 " " 0 -1 - 0 0,5

-Ж /

-1 -

Л -2-

Й/ ж ж

Рис. 4. -^-точное решение, —л— «старая» схема, —О— «новая» схема.

-1,0

Рис. 5. Увеличенный участок графика в районе точке стока при 0 = 0, точное решение,—'^«старая» схема, —о— «новая» схема.

При этом численные решения, полученные по новой схеме, расположены ближе к точному решению.

Во второй главе дана математическая постановка задачи нахождения поля скоростей при нестационарном трехмерном обтекая ш тонкого крыла конечного размаха идеальной несжимаемой жидкостью с отсосом внешнего потока и реализована математическая модель для решения такс го рода задач. Новизна предложенной модели заключается в том, что на каждом временном шаге рассматривается краевая задача Неймана с обобщенными граничными условиями. Построена численная схема решения задачи, основанная на методе дискретных вихревых рамок и приводятся примеры результатов расчетов, иллюстрирующих работоспособность предложенной модели.

Предполагаем, что течение идеальной несжимаемой жидкости является потенциальным всюду вне поверхности крыла и вихревых следов, возникающих при отрыве потока с линий отрыва, причем вихревые следы представляют собой поверхности, на которых имеется разрыв касательной составляющей поля скоростей. Поверхность крыла обозначим сг,, и будем считать, что отсос задан на кривой на поверхности крыла, которая задана параметрически: М = где 5 - естественный параметр длины дуги кривой Ьд в каждый момент времени t. Вихревой след образует поверхность <т2 (?), а совокупность линий отрыва образует заданную кусочно-гладкую кривую Ьа. При этом должно выполняться соотношение ах сл <т2(/) = £0. (1) т.е. поверхности тел и вихревых следов стыкуются по линиям отрыва).

Пусть есть скорость жидкости в любой точке пространства

М в момент времени t. Введем функцию описывающую возмущенное поле скоростей, где Ж0 - скорость набегающего потока, 1¥1д(М) - скорость, индуцированная в точке М линией отсоса.

Тогда сформулированная задача о нахождении поля скоростей при нестационарном отрывном обтекании пластины идеальной несжимаемой жидкостью в рассматриваемой постановке сводится к отысканию потенциального поля скоростей

Ж(М,/) = (р(М,\), определенного всюду вне поверхности крыла и поверхности вихревого следа. Здесь М = {х1,х2,хг)- точки пространства, а / - время.

Определение поля возмущенных скоростей в силу свойства несжимаемости жидкости сводится к поиску функции (р(М, которая удовлетворяет уравнению Лапласа

А<р(М,л) = 0, (2) при этом должно выполняться условие убывания: возмущений на бесконечном удалении от поверхностей сг, и <т2 (7): <^(М) | —> 0,| |-»0 при | М |-»оо. (з)

На поверхности крыла ставится условие непротекания 11п = О, приводящее к уравнению на стороне поверхности крыла, где расположена линия отсоса и на противоположной стороне крыла д(р{М, 0 - л л = М еа{, (5) где 1¥0 - скорость набегающего потока, И7,ДМ,/) - поле скоростей, индуцируемое линией стока.

Для учета отсоса внешнего потока на линии будем использовать понятие обобщенных краевых значений функции и ее нормальной производной, введенные в работах [2.44, 2.45, 2.46].

Устройство отсоса внешнего потока моделируется линией стоков, которая индуцирует поле скоростей где МеО) - точки на линии стоков Ьа, Q(s,t) - функция, задающая

ИТ" { \/Г\ 1 М интенсивность отсоса воздушного потока, г¥0(М) =-----—-у - поле

4яг А' скоростей, индуцируемое единичным стоком, размещенным в начале координат. При этом поле,И^(М) является потенциальным и его потенциал имеет вид:

Ра(М)=Л 1

4лг \М[ а потенциал поля скоростей \¥1о имеет вид:

7)

Суммарный потенциал возмущенного поля скоростей ищется в виде: р(М, 0 = <рх (М, /) + <р2 (М, 0 + <р, (Л/,./)

8) где фх и. (рг — потенциалы двойного слоя, размещенных на поверхностях от, и <т2 - соответственно:

I дпм

1 1 gt{Mtt)dGiM,i = \i2 gi(M,t) - плотность потенциала двойного слоя расположенного на поверхности <т. При этом возмущенная скорость жидкости в каждой точке, не лежащей на поверхностях <т, и <т2 (7), определяется формулой: щм0, ыд [дИм , V чММоуу

М^сг^+Й^М,. 0, (9) а для точек поверхности с^ и <х2 справедливы соотношения: м г (10) где Ж±(М,/) - предельные значения функции fT в точке М при подходе к ней с положительной и отрицательной сторон поверхности (7¡ lj (72, W(M,t) - значение функции ЙГ в точке М, получаемое непосредственно из выражения (10), W*(M,t) и Wn(M,t) -- нормальные составляющие векторов W±{M,t) и W(M,t) соответственно.

Движение вихревой пелены моделируется обычным образом, принятым в методе дискретных вихрей [1.10, 1.18]. При этом уравнение движения поверхности вихревого следа <т2 (/) принимает вид:

8M(s,T,t) , ч ч

-= U(M(s,T,t),t),T<t,s:M(s)eL0, (11) tit при начальных условиях

M(s,T,t)I = M(s), ' (12)

V / u=r а для функции g2 (M,t) справедливо соотношение: g2(M(s, T,t),t)= g2(s, г), г< í , s:M(»eX0 . (13)

В [2.46] показано, что функция <р{М-MQ), MQ и а, имеет на поверхности <Tj обобщенные нормальные производные v дп j +—S(M-MQ), где ö{M-Mq) - £-функция, т.е. функционал, действующий по формуле: (S{M-MQ),f) -- f(MQ), где е D(a), ДМ) = f(s,t) при М = M(s,t).

В данной задаче с>-функция рассматривается с носителем на кривой Lq и определяется по формуле:

S(M,LQ),f(M))= jS(M,LQ)f(M)da = \f{M)dl.

Тогда Л v дп у 2 эквивалентно уравнению 1 +—SLq g на поверхности <х,. Поэтому условие (6)

47c^dnMJdnM\KMMQ) 2 е ^

MöGö-,,M £Lg.

Наконец взаимосвязь функций (М, и £2и,/) описывается следующим соотношением, вытекающим из постулата Чаплыгина-Жуковского о конечности скорости в районе острой задней кромки: g2(s,t)= (s),t), s:M(s)eLq,

Таким образом, задача отрывного обтекания крыла идеальной несжимаемой жидкостью свелась к решению замкнутой системы уравнений и соотношений (9)-(15) для функций g^(M,t),g2(s. т). При этом если эти функции являются решением указанных уравнений, го потенциал (р{М,?), определяемый формулой (8), соответствующее ему поле скоростей

М,{), определяемое выражением (9), удовлетворяют задаче (1)-(5).

Численно задача решается методом дискретных замкнутых вихревых рамок [1.18], который состоит в следующем. Поверхность крыла сгх и вихревого следа сг2 аппроксимируются в дискретные моменты времени ячейками четырехугольной формы, на каждой из которых плотность потенциала двойного слоя постоянна. Линия на которой осуществляется отсос потока, аппроксимируется ломаной линией проходящей через контрольные точки Мш , т - количество рамок, через контрольные точки которых проходит линия Ьд. Интенсивность отсоса в этом случае т представляется как сумма 6 = где ^ - участок ы Чъ линии , попадающий в рамку с номером г ((), = 0 если линия стоков не проходит чрез данную рамку). При этом полная скорость жидкости (М)«£/(М, в каждый момент времени 1к ищется в виде, аппроксимирующем выражение (9):

N Ык т (м)=+Yтk]wj (м)+(м)+(м - мч)' (16) у=1 . у=1 '=1 где и>. (М) и ч>ку (М) - скорости, индуцируемые в точке М вихревой рамкой единичной циркуляции, если ее разместить по контуру у - ой ячейки разбиения поверхности тела <ух и г-ой ячейки разбиения поверхности вихревого следа а2 соответственно, - поле скороегеи, ¡индуцируемое стоком единичной интенсивности, как и в формуле (6).

Если предположить, что в некоторый момент времени t известна форма поверхности вихревого следа сг2 и плотность потенциала двойного слоя g2, размещенного на этой поверхности, то уравнение (14) можно переписать в виде

1 а г а /

Г--Ь,(М,0^сг1Л, =-1¥м{МЛ---8г ,

4л- дпщ1дпм{мМ,;А ^ ° ' 2 ^

С л \

1 д

4л дпКЛ дп к (м> №<Т2М, М0 5 сг,

ММ»

М0 <Т2 .V/ \ ЛГ±1Г1() / и рассматривать его как уравнение для неизвестной функции g^(M,t). При этом дельта-функция аппроксимируется :сак функционал, определяемый в соответствии с формулой а 1 о

5ь0,о = гДе ЛГ01 - контрольные точки, . площадь рамки разбиения тела с номером /', / еВ'(<т), /(я,/) - /(М) при М = М(я, /). Поэтому неизвестные циркуляции предлагается искать из системы линейных уравнений следующего вида N

-к хк

У=1

17)

01 где = (#у.(М0,.),Я;), =-К,Я<)-2]«5г(^(М0<скорости #. (М) и (М) имеют тот же смысл, что и в выражении (16), п1 - вектор

Военно-воздушная инженерная академия

Щ> нормали к поверхности тела в контрольной точке M0j, s; - площадь z - той вихревой рамки.

Было проведено сравнение распределения интенсивности вихревого слоя у(х) на тонком профиле и в сечении плоскостью Оху тонкого прямоугольного крыла конечного размаха. Положение точки стока xQ =0,25, угол атаки а = 10°, модуль скорости невозмущенного набегающего потока = 1, безразмерная интенсивность устройства отсоса для отрезка

Q = —^~ = 0,5, где q,— - объемная интенсивность устройства отсоса, / -. W0l с размах пластины. На пластине производится отсос интенсивности Qt в центре каждой рамки по размаху. Для сравнения с отрезком интенсивность Qi необходимо пересчитать по формуле Qi = QAlt где Л/, -размер рамки по размаху. В результате приближенно получаем Qi - 0,07.

Результаты сравнения представлены в виде графиков на р яс.6, 7, 8. Ось абсцисс - номер дискретного вихря или (в пространственном случае) номер отрезка в сечении, ось ординат - значение интенсивности вихревого слоя. В случае, когда интенсивность отсоса равна нулю, рис. 6. отличий в интенсивностях вихревого слоя профиля и пластины практически нет. При наличии стока (рис. 7 - набегающий поток отсутствует W0 == 0, рис. 8

W0 =], Q = 0,5,Qi,— 0,07) результаты также хорошо согласуются, хотя совпадение не такое точное, это может быть связано с приближенным значением Qt при пересчете.

2 1 1 О -1 -1 -2

Рис. 6.

У

1 9 13

17

1,0 = 0,-О— профиль, пластина.

У О -------

1 6 ^ег-®""® 1д1 а 8 9 911 нй>~ 16

Т --------

1 .

Рис. 7. К 0, £ = 0,5, = 0,07, —О— профильпластина.

7 ©

Г

1

16

1 6 и

Рис. 8. 1, 6 = 0,5,6, = 0,07,—о— профиль,пластина.

В третьей главе приводятся результаты методических исследований для определения основных параметров устройства отсоса внешнего потока.

Регулярность течения, характерная для устойчивого концевого вихря, предполагает вполне определенную его форму и положение. Изменение пространственного положения . концевых вихрей и их формы при воздействии отсоса свидетельствует о нарушении устойчивости или даже разрушении концевых вихрей [1.1, 2.51, 2.53, 2.54]. Поэтому на начальном этапе исследований оценка влияния различных вариантов, расположения и интенсивности устройства отсоса потока на концевые вихри производилась при помощи их визуализации.

Показано, что положение и протяженность линии отсоса определенным образом влияют на структуру и положение концевых вихрей. Найдены такие варианты расположения и формы устройств?, отсоса, при которых отсос оказывает значительное влияние на концевые вихри, которое приводит к потере устойчивости.

Затем оценивалось влияние отсоса на концевые в]::хри при помощи количественных критериев, характеризующих кинетическую энергию и регулярность структуры концевых вихрей. Расчеты также л одтверждают, что при воздействии отсоса вихри теряют устойчивость.

Расчетные параметры используются в безразмерном виде: скорость набегающего потока Ж0 = 1; объемная интенсивность устройства отсоса

2 = ——, где д, —, - объемный расход воздуха через устройство отсоса при И^^ с выбранном режиме работы силовой установки, <!>- площадь консоли, Ж0-модуль скорости набегающего потока; крыло обтекается без скольжения,

Ц7 I

5 = 0°; угол атаки а = 10°; безразмерное время, т=--3-, чгрез которое ъ происходит сход.очередного вихря в поток постоянно т = 0,2.

Расчет формы спутного следа для пластины без отсосе, показал, что концевые вихри очень устойчивы и долгое время сохраня ются практически без изменений, рис.9. Затем исследовалось влияние на концевые вихри устройства отсоса в виде линии, расположенной вдоль хорды пластины по всей ширине крыла. Расчеты показали, что максимальное воздействие происходит при расположении устройства отсоса в ряду рамок, образующем боковую пластины крыла. При увеличении расстояния от устройства отсоса до боковой кромки влияние отсоса распространяется в основном на вихревую пелену, сходящую с задней кромки, рисунки 10 и 11.

Рис. 9. Форма следа, случай без отсоса.

Рис.10. = 0,3, устройство отсоса во второй рамке от законцовки консоли.

Рис.11. <2 - 0,3, устройство отсоса в четвертой рамке от законцовки.

Приведенные результаты получены при большой интенсивности отсоса, которую на практике реализовать практически невозможно. При меньшей интенсивности отсоса и таком же расположении устройства отсоса, влияние его на концевые вихри резко снижается и практически незаметно.

Дальнейшие исследования . были направлены яг. выяснение закономерностей при обтекании пластины с устройством отсоса расположенным вдоль размаха крыла. Расчеты показали, что, как и в случае расположения устройства отсоса вдоль хорды, наиболее интенсивное влияние на концевые вихри наблюдается в случае, когда отсос примыкает к боковой кромке. И это влияние заметно уже при интенсивности отсоса 0 = 0,1.

Также влияют на картину обтекания расстояние от задней кромки крыла, рис. 12, 13 и длина линии отсоса, рис.14. Наибольший эффект дает расположение отсоса в рамках, образующих заднюю кромку Увеличение длины линии отсоса снижает воздействие на вихри.

Рис.12. Устройство отсоса расположено в 1-й рамке от задней кромки, во 2-й рамке от боковой кромки, длина линии отсоса 2 рам га.

Рис.13. Устройство отсоса расположено в 3-й рамке от задней кромки, во 2-й рамке от боковой кромки, длина линии отсоса 2 рамки. во 2-й рамке от боковой кромки, длина линии отсоса 4 рамки.

При размещении устройства отсоса в одной рамке - минимальная длина (форма устройства близка к точке), интенсивность воздействия на концевые вихри максимальна, рис.15.

Рис.15. Устройство отсоса в виде точки в 3-й рамке от задней кромки, 2-я рамка от боковой кромки.

Расположение отсоса на нижней поверхности крыла отрицательно сказывается на несущих свойствах пластины. Отсос, осуществляемый с верхней поверхности, наоборот, положительно влияет на несущие свойства.

При расчетах с отсосом на верхней поверхности пластины интенсивность его также равна £) = 0,1. Как и при отсосе с нижней поверхности, максимальное воздействие на концевые вихри оказывается в случае расположения устройства отсоса в рамках, образующих боковую кромку и ближе к задней кромке. На рис.16 показана форма спутного следа при расположении устройства отсоса в одной рамке (точечный отсос), рамка примыкает к боковой кромке.

Рис. 16. Устройство отсоса в виде точки в 1-й рамке от задней кэомки, отсос потока происходит с верхней поверхности крыла.

Количественно оценивались такие показатели вихря, как регулярность его структуры и уровень кинетической энергии. Критерий КЕ, характеризующий кинетическую энергию вихря, рассчитывается по формуле кЕ = 1

18) где IV - возмущенная скорость; Бр - площадь контрольной плоскости, по которой производится интегрирование. Контрольная плоскость выбирается таким образом, чтобы ось вихря находилась примерно в ее центре.

Критерий, характеризующий регулярность структуры вихря (обозначен Км) вычисляется следующим образом: где Д — радиус вектор i -той точки; Wi - возмущенная скорость в г -той точке; N - количество точек в контрольной плоскости, выбиравшихся для расчета критерия.

Для исследования, по результатам пунктов 3.2 и 3.3, был выбран вариант расположения и формы устройства отсоса, при котором влияние на форму концевых вихрей максимально, рис. 17.

НИЩИ-►

Устройство отсоса расположено в одной 11 II II II рамке.

Ш/

Рис. 17. Расположение устройства отсоса.

Критерии рассчитываются для трех случаев: а) отсос потока осуществляется с нижней поверхности пластины; б) отсос с верхней поверхностей пластины; в) пластина без отсоса. При этом контрольная плоскость располагалась на расстояниях одного, трех и шеста: размахов от задней кромки пластины. В первом случае контрольная плоскость находится в зоне формирования спутного следа. Расстояние три размаха примерно соответствует концу зоны формирования и началу зоны устойчивого спутного следа, а на расстоянии шести размахов должен существовать устойчивый концевой вихрь [1.1]. Результаты расчетов представлены в виде графиков зависимостей KM(Nr) и KE(NT), где NT - колячестЕЮ временных шагов. Значения критериев рассчитываются через пять временных шагов.

При расположении контрольной плоскости на расстоянии половины размаха, т.е. в зоне формирования спутного следа, рисунки 18 и 19, значение критериев для каждого из исследуемых вариантов быстро устанавливается и

Военно-воздушная инженерная академия остается практически постоянным даже при наличии отсоса. Это говорит о том, что непосредственно за пластиной влияние отсоса не проявляется. Данный факт подтверждается и при визуализации вю:ря. Максимальное значение критериев, как Км{Мт) так и КЕ(МТ), наблюдается при расположении устройства отсоса внешнего потока на верхней поверхности пластины. Это можно объяснить увеличением перетекания потока с нижней поверхности на верхнюю, интенсивность вихревого движения возрастает, кинетическая энергия и момент потока за крылом увеличиваются. При размещении отсоса на нижней поверхности величина критериев минимальна, так как отсос в этом случае тормозит поток на нижней поверхности и перетекание на верхнюю поверхность снижается. В случае без отсоса значение критерия занимает промежуточное положение.

0,2

0,15

0,1

0,05

0 4--1-------^----]--------^---------1

0 50 100 150 200 250 300

Рис. 18. КЕ(НТ), расстояние от задней кромки р>авно половине размаха. 5

Км 4 3 2

А—отсос снизу о

50 100 150 200 250 300

Рис. 19. Км{Ыг), расстояние от задней кромки половина размаха.

Результаты расчетов при расположении контрольной плоскости на расстоянии трех размахов от задней кромки пластины показаны на рис. 20 и 21. У пластины без отсоса при данном расположении контрольной плоскости величина и поведение зависимостей во времени практически не изменяются по сравнению с плоскостью, расположенной на расстоянии половины размаха. Наличие на пластине отсоса резко изменяет поведение критериев. При достижении вихрем контрольной плоскости наблюдаются хаотические пульсации. В случае отсоса с верхней поверхности амплитуда пульсаций меньше и затухают они гораздо быстрее, чем при отсосе с нижней поверхности пластины. В случае отсоса с нижней поверхности критерий Км, рис! 21, стремится установиться, как и при расположении плоскости на расстоянии половины размаха, на значении меньшем, чем во всех остальных рассмотренных случаях. А вот значение критерия Кк, рис. 20, устанавливается на величине, близкой к значению для случ ая отсоса потока с верхней поверхности. Такое поведение зависимостей можно объяснить тем, что на данном расстоянии уже заметно проявляется влияние отсоса. Но так как происходит затухание пульсаций и установление течения, что подтверждается зависимостями и внешним видом концевого вихря, то это влияние незначительно. Его недостаточно для того, чтобы на данном расстоянии устойчиво существовали возмущения в структуре концевого вихря.

50

100 150 200 250 300

Рис. 20. КЕ(МТ), расстояние от задней кромки три размаха.

3 2 1 0 без отсоса отсос сверху отсос снизу

N.

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 Рис. 21. Км (Мт), расстояние от задней кромки три р азмаха.

Поведение критерия на расстоянии шесть размахов от задней кромки пластины показано на рисунках 22 и 23. Установления значений критериев уже не наблюдается, пульсации со временем не затухают. Поведение критерия Км (Ит) говорит о том, что регулярность течения отсутствует. Для критерия, характеризующего кинетическую энергию потока можно лишь выделить некоторое среднее значение. Причем среднее значение критерия

КЕ(1\ГТ) практически совпадает для обоих случаев с отсосом потока. Это может говорить о том, что в исследуемой плоскости уровень энергии соответствует уровню энергии турбулентного потока, в котором отсутствует всякая структура. Исходя из этого, можно сделать вывод о том, что в данном случае происходит, как минимум, потеря устойчивости кон цевого вихря.

О 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

Рис. 22. КЕ{КТ), расстояние от задней кромки шесть размахов.

6 5 4 3 2 1 0

Км без отсоса -■—отсос сверху -а— отсос снизу

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 Рис. 23. Км (NT), расстояние от задней кромки шесть размахов.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Работа посвящена разработке и реализации на ЭЕ.М математической модели для изучения влияния отсоса на крыле внешнего потока на концевые вихри. Основные результаты, полученные в работе, заключаются в следующем:

1. Разработан и реализован на ЭВМ метод математическо го моделирования отсоса на крыле внешнего потока с использованием нового подхода, при котором решение сводится к сингулярному интегральному уравнению, в правой части которого появляется 8— функция с носителем в месте расположения отсоса. Введено понятие пространственной Ь — функции с носителем на кривой. Дана дискретная интерпретация данной функции, позволяющая эффективно использовать ее при математическом моделировании.

2. Создана математическая модель для исследования воздействия отсоса внешнего потока на спутный след с целью разрушения концевых вихрей. В модели реализован новый, более простой, алгоритм численного . решения сингулярного интегрального уравнения. Данный способ моделирования с использованием 8 — функции позволяет исследовать произвольные форму и расположение устройства отсоса (н том числе и точечное), что при использовавшемся ранее подходе было невозможно.

3. Подтверждена возможность влияния на концевые вихри, приводящая к изменению их формы и структуры, при помощи отсоса внешнего потока с поверхности крыла. Установлено, что расположение, форма и интенсивность устройства отсоса в значительной степени влияют на поведение концевого вихря.

136

-:- Военно-воздушная инженерная академия------

4. Показано, что воздействие отсоса приводит к потере устойчивости концевых вихрей. При оптимальном выборе формы и расположения устройства отсоса возмущения концевых вихрей, свидетельствующие о потере ими устойчивости, достигаются на расстоянии менее двух размахов.

1. Аубакиров Т.О., Желанников А.И., Иванов П.Е., Ништ М.И. Спутные следы и их воздействие на летательные аппараты. Моделирование на ЭВМ. -Алматы. 1999. 280с.

2. Бураго Г.Ф. Аэродинамика, часть 1. ВВИА им. проф. Н.Е. Жуковского, 1957.

3. Бураго Г.Ф., Вотяков В.Д. Аэродинамика, часть 2. ВВИА им. проф. Н.Ё. Жуковского, 1961.

4. Вайникко Г.М., Лифанов И.К., Полтавский Л.Н. М. Численные методы в гиперсингулярных интегральных уравнениях и их приложения. М.: «Янус-К». 2001. 508с.

5. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1981.

6. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.: Наука, 1987.

7. Белоцерковский С.М. Тонкая несущая поверхность :з дозвуковом потоке газа. М.: Наука, 1965.

8. Белоцерковский С.М., Котовский В.Н., Ништ М.И., Федоров P.M. Математическое моделирование плоскопараллельного отрывного обтекания тел. М.: Наука, 1988.

9. Белоцерковский С.М., Лифанов И.К. Численные методы в сингулярных интегральных уравнениях. М.: Наука, 1985.

10. Белоцерковский С.М., Ништ М.И., Отрывное и безотрывное обтекание тонких крыльев идеальной жидкостью, М.: Наука, 1978.

11. Белоцерковский С.М., Скрипач Б.К. аэродинамические производные летательного аппарата и крыла при дозвуковых скоростях. М.: Наука, 1975.

12. Белоцерковский С.М., Скрипач Б.К., В.Г. Табглников. Крыло в нестационарном потоке газа. М.: Наука, 1971.

13. Биркгоф Г., Сартонелло Э. Струи, следы и каверны. М.: Мир, 1964.

14. Бушуев В.И., Ганиев Ф.И., Локтев Б.Е., Ништ М.И., Шамшурин А.Д. Аэродинамическая компоновка и характеристики летательных аппаратов. М.: Машиностроение, 1991.

15. Гельфанд И.М., Шилов Е.Г., Обобщенные функции и действия над ними. Физматгиз, 1959.

16. Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика, часть 1, М.: ГИ ФМЛ, 1963.

17. Кюхеман Д. Аэродинамическое проектирование самолетов. М.: Машиностроение, 1983.

18. Лифанов И.К. Метод сингулярных интегральных уравнений и численный эксперимент. М.: ТОО «Янус». 1995.

19. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.: Наука, 1987.

20. Мусхелишвили Н.И. сингулярные интегральные уравнения. М.: Наука, 1968.

21. Под ред. Ништа М.И. Аэродинамика летательных аппаратов и гидравлика их систем. ВВИА им. проф. Н.Е. Жуковского, 1981.

22. Роуч П. Вычислительная гидродинамика. М.: Мир, 1980.

23. Седов Л.И. Механика сплошной среды. М.: Наука, 1976.

24. Сетуха A.B. Уравнения математической физики. ВВИА, 1998.

25. Тихонов А.Н., Самарский A.A., Уравнения математической физики. М.: Наука, 1972.2. Статьи.

26. Апаринов В.А., Белоцерковский С.М., Квалев Е.Д., Ништ М.И., Соколова О.Н. Численный эксперимент по изучению нелинейныххарактеристик и вихревых структур тонких крыльев различной формы в плане. Труды ВВИА им. проф. H.E. Жуковского, 197 9, вып. 1309.

27. Ацаринов В.А., Дворак A.B. Метод дискретных вихрей с; замкнутыми вихревыми рамками: применение ЭВМ для исследования аэродинамических характеристик летательных аппаратов. Труды ВВИА им. проф. Н.Е. Жуковского, 1986, вып. 1313.

28. Апаринов . В.А., Белоцерковский С.М., Соколова О.Н. О математическом моделировании в идеальной жидкости отрывного обтекания крыла и разрушения вихревой пелены. Доклады АН СССР. 1976. №4(227).

29. Апаринов В.А., Дегтярев Н.М., Ковалев Е.Д., Ништ М.И. Расчет нелинейных характеристик схематизированных компоновок летательных аппаратов. Труды ЦАГИ, 1978, вып. 1915.

30. Арнольдов В.Н., Золотько Е.М., Стратинский А.Б. Аэродинамические особенности энергетических систем увеличения подъемной силы и анализ техники короткого взлета и посадки. Труды ЦАГИ, 1977, вып. 1958.

31. Баскин Б.Е. О движении пространственной диффундирующей вихревой трубки в несжимаемой вязкой жидкости. Доклады АН СССР. 1965. №6(165).

32. Белоцерковский С.М., Дворак А.В;, Желанников А.И., Котовский В.Н. Моделирование на ЭВМ турбулентных струй и следов. Проблемы турбулентных течений. М.: Наука, 1987.

33. Бушуев В.И., Ганиев Ф.И., Локтев Б.Е., Нишг М.И., Шамшурин А.Д. Аэродинамическая компоновка и характеристики летательных аппаратов. М.: Машиностроение, 1991.

34. Гельфанд И.М., Шилов Е.Г., Обобщенные функции и действия над ними. Физматгиз, 1959.

35. Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика, часть 1, М.: ГИФМЛ, 1963.

36. Кюхеман Д. Аэродинамическое проектирование самолетов. М.: Машиностроение, 1983.

37. Лифанов И.К. Метод сингулярных интегральных уравнений и численный эксперимент. М.: ТОО «Янус». 1995.

38. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.: Наука, 1987.

39. Мусхелишвили Н.И. сингулярные интегральные уравнения. М.: Наука, 1968.

40. Под ред. Ништа М.И. Аэродинамика летательных аппаратов и гидравлика их систем. ВВИА им. проф. Н.Е. Жуковского, 1981.

41. Роуч П. Вычислительная гидродинамика. М.: Мир, 1980.

42. Седов Л.И. Механика сплошной среды. М.: Наука, 1976.

43. Сетуха A.B. Уравнения математической физики. ВВИА, 1998.

44. Тихонов А.Н., Самарский A.A., Уравнения математической физики. М.; Наука, 1972.2. Статьи.

45. Апаринов В.А., Белоцерковский С.М., Квалев Е.Д., Ништ М.И., Соколова О.Н. Численный эксперимент по изучению нелинейныххарактеристик и вихревых структур тонких крыльев различной формы в плане. Труды ВВИА им. проф. Н.Е. Жуковского, 1979, вып. 1309.

46. Апаринов В.А., Дворак A.B. Метод дискретных вихрей с замкнутыми вихревыми рамками: применение ЭВМ для исследования аэродинамических характеристик летательных аппаратов. Труды ВВИА им. проф. Н.Е! Жуковского, 1986, вып. 1313.

47. Апаринов В.А., Белоцерковский С.М., Соколова О.Н. О математическом моделировании в идеальной жидкости отрывного обтекания крыла и разрушения вихревой пелены. Доклады АН СССР. 1976. №4(227).

48. Апаринов В.А., Дегтярев Н.М., Ковалев Е.Д., Ништ М.И. Расчет нелинейных характеристик схематизированных компоновок летательных аппаратов. Труды ЦАГИ, 1978, вып. 1915.

49. Арнольдов В.Н., Золотько Е.М., Стратинский А.Б. Аэродинамические особенности энергетических систем увеличения подъемной силы и анализ техники короткого взлета и посадки. Труды ЦАГИ, 1977, вып. 1958.

50. Баскин Б.Е. О движении пространственной диффундирующей вихревой трубки в несжимаемой вязкой жидкости. Доклады АН СССР. 1965. №6(165).

51. Белоцерковский С.М., Дворак A.B., Желанников А.И., Котовский В.Н. Моделирование на ЭВМ турбулентных струй и следов. Проблемы турбулентных течений. М.: Наука, 1987.

52. Белоцерковский С.М., Лифанов И.К., Михайлов А.А. Моделирование на ЭВМ отрывного обтекания профилей с угловыми точками. ДАН СССР, т. 285, №6, 1985.

53. Белоцерковский С.М., Ништ М.И. Аэродинамические модели. Вопросы кибернетики. Проблемы создания и применения математических моделей в авиации. М.: АН СССР, 1983.

54. Белоцерковский С.М., Ништ М.И. Нестационарная нелинейная теория тонкого крыла произвольной формы в плане. Известия АН СССР. МЖГ, 1974. №4.

55. Белоцерковский С.М., Ништ М.И. Отрывные течения и нелинейные характеристики тонких несущих поверхностей в несжимаемой жидкости. Итоги науки и техники. М.: Механика жидкост и и газа. Т. П, 1978.

56. Белоцерковский С.М., Ништ М.И. О моделировании турбулентного следа в идеальной среде. Турбулентные течения. М.: Наука, 1977.

57. Белоцерковский С.М., Ништ М.И. Расчет структуры турбулентного следа за пластиной. Труды ЦАГИ, вып. 1621, 1974.

58. Бондаренко В.М., Желанников А.И. Расчет основных характеристик дальнего аэродинамического следа за летательным аппаратом. Прикладные задачи аэромеханики. Харьков, ХАИ, 19 87.

59. Бучнев В.А., Бушуев В.И., Довгий С.А., Козлов Л.Ф., Курочкин В.Н., Максимов С.Л. Теоретические и экспериментальные исследования влияния отсоса потока на аэродинамические характеристики крыла сложной формы в плане. Инв. №2/86, ИГМ, Киев, 1986.

60. Бушуев В.И. исследование на ЭВМ влияния отсоса потока и механизации крыльев на их аэродинамические характеристики. Межвузовский сборник. Гидродинамика больших скоростей. -Красноярск: КПИ, 1986.

61. Бушуев В.И., Лифанов И.К. Численное решение сингулярных интегральных уравнений в классе сингулярных функций и задача отсоса потока в аэродинамике // ЖВМ и МФ. 1986. - .42 10 - 15721577/.

62. Бушуев В.И., Демидов В.В., Лифанов И.К. К расчету аэродинамических характеристик летательного аппарата со струйно-эжекторной механизацией. Научно-методические материалы по аэродинамике летательных аппаратов, ч.П. ВВИА им. проф. Н.Е. .Жуковского, 1980.

63. Вайникко Г.М., Лифанов И.К. Моделирование задач аэродинамики и дифракции волн и расширение интегральных операторов типа Коши на замкнутых и разомкнутых кривых. Дифференциальные уравнения, т.36, №9- 1184-1195,2000.

64. Ганич ТА. и др. Экспериментальное исследование модели эжекторного увеличения подъемной силы самолета. Труды ЦАГИ, 1978, вып. 1929.

65. Дворак A.B. Дискретные гидродинамические особенности. Формулы для безразмерных скоростей, потенциалов и их производных. Научно-методические материалы по численным методам. ВВИА, 1985.

66. Демидов В.В. Расчет аэродинамических характеристик летательного аппарата со струйно-эжекторной механизацией. Научно-методические материалы по аэродинамике летательных аппаратов!. Линейные характеристики. ВВИА им. проф. Н.Е. Жуковского,!981.

67. Дворак A.B. Дискретные газодинамические особенности. Формулы для безразмерных скоростей, потенциалов и их производных. Научно-методические материалы по численным методам. ВВИА им. проф. Н.Е. Жуковского, 1985.

68. Дворак A.B., Лифанов И.К., Тимофеев И.Я. Численное решение двумерного сингулярного интегрального уравнения на пластине произвольной формы в плане. Тезисы доклада. Харьков, 1985.

69. Димйтрогло М.Г., Лифанов И.К., Сетуха A.B. О новом способе расчета обтекания тонкого профиля идеальной жидкостью с: отсосом внешнего потока. НММ, ВАТУ, 2002.

70. Димитрогло М.Г., Лифанов И.К., Сетуха A.B. Расчет обтекания крыла конечного размаха с отсосом внешнего потока. НММ, ВАТУ, 2002.

71. Кибардин Ю.А., Киселев A.M. Физика спутного следа. Авиация и космонавтика, №3, 1978. 3.71 Ж.

72. Кибардин Ю.А., Киселев A.M. В спутном следе. Авиация и космонавтика, №4, 1978. 3.72 Ж..

73. Лифанов И.К. О некорректности и регуляризации численного решения сингулярных интегральных уравнений первого рода. Докл. АН СССР, 1980, т. 255, №5.

74. Лифанов И.К. О сингулярных интегральных уравнениях с одномерными и кратными интегралами типа Коши. ¿1ДН СССР, т. 239, №2,1978.

75. Лифанов И.К. О математических вопросах метода дискретных вихрей и сингулярных интегральных уравнениях. Труды ВВИА им. проф. Н.Е. Жуковского, 1979, вып. 1309.

76. Лифанов И.К. Система интегро-дифференциальных уравнений отрывного обтекания тел. В кн.: Применение ЭВМ для исследования аэродинамических характеристик летательных аппаратов. Труды ВВИА им. проф. Н.Е. Жуковского, 1986, вып. 1313.

77. Лифанов И.К. Некоторые точные решения для сбтекшия круглого цилиндра при наличии отсоса внешнего потока. Числеогаые методы интегральных уравнений в прикладных задачах ВВИА им. Н.Е. Жуковского, 1992.

78. Лифанов И.К., Полянский Ю.Н. Некоторые результаты исследований вязкого обтекания телесного профиля с отсосами внешнего потока. Научно-методические материалы. Численные методы интегральных уравнений в прикладных задачах. ВВИА им. Н.Е. Жуковского, 1992.

79. Лифанов И.К., Михайлов A.A., Тицкий C.B. Управление обтеканием передней кромки телесного профиля с помощыо эжектирования потока. Тез. докл. IV Всесоюзного симпозиума «Методы дискретных особенностей в задачах математической физики» 4.IL, Харьков, 1989.

80. Полянский Ю.Н. Изучение возможностей управления подъемной силой крыла с помощью отсосов внешнего потока на верхней поверхности. V Всесоюзный симпозиум «Методы дискретныхособенностей в задачах математической физики». Тезисы докладов. Одесса, 1991.

81. Полянский Ю.Н. Методика расчета телесного профиля с отсосами потока методом дискретных вихревых пар. Научно-методические материалы. Численные методы, интегральных уравнений в прикладных задачах. ВВИА им. Н.Е. Жуковского, 1992.

82. Сетуха A.B. Краевая задача Неймана в нолупространстве. Дифференциальные уравнения, т.36, №9, 2000г.

83. Сетуха A.B. Краевая задача Неймана с граничным условием на плоской разомкнутой поверхности. Дифференциальные уравнения, т.37, №10, 2001г.

84. Сетуха A.B. О построении фундаментальных решений краевой задачи Неймана в области вне разомкнутой плоской поверхности. Дифференциальные уравнения, т.38, №4, 2002г.

85. Сетуха A.B. О плоской краевой задаче Неймана с обобщенными граничными условиями. ДУ, 2002, №9.

86. Тицкий C.B. Управление обтеканием вязкой жидкостью толстого крыла с помощью эжектирования потока. Научно-методические материалы. Численные методы решения интегральных уравнений и их приложения. ВВИА им. проф. Н.Е. Жуковского, 1990.

87. Чаплыгин С.А. Работы по индуктивному сопротивлению крыла. ПММ, 1942. Выпуск 2.

88. Adler J.N., Luttges M.W. Three-dimensionality in unsteady flow about a wind. AIAA Pap. 1985, №0132.--:- Военно-воздушная инженерная академия-----

89. Anders J.B., Watson R.D. Airfoil large-eddy breakup devices for turbulent drag reduction. AIAA Pap. 1985, №520.

90. Devenport William J., Rite Michael C., Liapis Stergics L. Structure and development of wing end vortex. J. Fluid Mech. 1996, №312.

91. Leibovich Sidney. Vortex stability and breakdown: survey and extension. AIAA Journal. 1984, №9.

92. Tavella D.A., Wood N.J., Harrits P. Influence of tip blowing on rectangular winds. AIAA Pap. 1985, №5001.

93. Wu J.M., Vakili A.D., Gilliam F.T. Aerodynamic interactions of Wingtip flow with discrete winding jets. AIAA Pap.1984, №22063. Патенты.

94. Подкрыльевое устройство для ослабления вихрей, сходящих с крыла. Патент США №5230486, МПК6 В64С23/06.

95. Устройство для ослабления . вихревого следа механизированного крыла. Патент РФ №2174483 С2 7 В64С23/06.

96. Законцовка несущей поверхности летательного аппарата. Патент РФ №2116936 С1 6 В64С23/06.

97. Крыло самолета. Патент РФ №2086475 С1 6 В64С23/06.