автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Математическое моделирование волноведущих систем

гч.

о

а ^ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ^ имени М.В. ЛОМОНОСОВА

ФИЗИЧЕСКИМ ФАКУЛЬТЕТ

На правах рукописи

БОГОЛЮБОВ АЛЕКСАНДР НИКОЛАЕВИЧ

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ВОЛНОВЕДУЩИХ СИСТЕМ

Специальность 05.13.16 - применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание учёной степени доктора физико-математических наук

Москва—1997

Работа выполнена на кафедре математики физического факультета Московского государственного университета имени М.В.Ломоносова

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор А.С.Беланов доктор физико-математических наук, профессор А.С.Ильинский доктор физико-математических наук, профессор Е.Е.Тыртышников

Ведущая организация: Институт математического моделирования РАН

Защита состоится ¿г 1997 г. в час.

на заседании диссертационного Совета Д 053.05.41 при Московском государственном университете им. М.В.Ломоносова по адресу: 119899, Москва, Воробьевы горы, МГУ, физический факультет, ауд.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке физического факультета МГУ.

Автореферат разослан 1997 г.

Ученый секретарь диссертационного С' доцент

И.А.Квасников

Общая характеристика работы.

Актуальность темы. Создание микроминиатюрных интегральных оптических систем на основе планарных и волоконных световодов стало технической реальностью. Особо необходимо подчеркнуть большие возможности применения интегрально-оптических схем в сочетании с волоконно- оптическими системами передачи информации, перспективность которых обусловлена возможностью передачи огромного количества информации на большие расстояния при малых затратах энергии. Основные свойства волоконно-оптических линий связи - широкопо-лосность, высокая помехозащищенность, малые потери, возможность работать во взрывоопасной среде, незначительная масса и габариты -определили их быстрое внедрение практически во всех системах связи.

Широкое использование оптических волноведущих систем передачи информации в определенной мере сдерживается трудностями, связанными с затуханием и рассеянием волн при соединении и ответвлении волноводов, что приводит к сильному искажению передаваемого сигнала п к потере информации. Для устранения искажений обычно используются одномодовые оптические волокна. При сильных искажениях используются ретрансляторы, усиливающие и корректирующие сигнал. Современные волоконно-оптические линии связи (ВО Л С) кроме оптических волокон включают в себя ответвители, поляризаторы, трансформаторы, фильтры и т.д.

В настоящее время широкое применение находят волоконно- оптические датчики различных конструкций, использующие волоконные и планарные световоды со сложной геометрией поперечного сечения и неоднородным диэлектрическим заполнением сердцевины. В то же время в сверхвысокочастотной электродинамике все большее применение находят диэлектрические и металлодиэлектрнческие волноводы нерегулярной геометрии и неоднородного заполнения и различные системы и устройства на их основе.

Развитая современная техника высокочастотных измерений в области сверхвысокочастотной электродинамики, волоконной и интегральной оптпки требует особо точных методов расчета. Это исключает возможность использования приближенных аналитических методов и приводит к необходимости создания мощных, высокоточных алгоритмов численного расчета конкретных систем.

Для расчета волноведухцих систем применяется целый ряд методов.

Одним из достаточно универсальных методов является метод ступенчатой аппроксимации, в котором показатель преломления аппроксимируется кусочно-постоянной функцией. Метод ступенчатой аппроксимации, являясь достаточно универсальным, не обладает высокой точностью. Для расчета градиентных световодов весьма широко используется метод разложения в степенной ряд функции, описывающей профиль показателя преломления сердцевины световода. Сходимость построенных рядов резко ухудшается с ростом частоты и существенно зависит от вида профиля диэлектрической проницаемости. Поскольку хорошей сходимостью построенные степенные ряды обладают только вблизи оси градиентного световода, то область применения указанного метода является достаточно узкой. Гораздо более распространенным для расчета градиентных световодов является метод ВКБ расчета траекторий лучей. Однако в методе ВКБ накладываются весьма жесткие ограничения на гладкость функции, описывающей профиль диэлектрической проницаемости. Кроме того этот метод применяется в основном в скалярной постановке.

В теории волноведущих систем широкое применение получил метод нормальных волн, к которому можно отнести метод поперечных сечений, предложенный Краснушкиным П.Е. и Щелкуновым С.А. и развитый в работах Свешникова А.Г., Ильинского А.С.,Каценеленбау-ма Б.З., Шевченко В.В., Моденова В.П., Быкова A.A. Его основная идея заключается в представлении поля в любом сечении волновода в виде бесконечной суммы полей волн, распространяющихся в обоих направлениях, причем коэффициентами разложения являются функции продольной координаты, удовлетворяющие бесконечной системе дифференциальных уравнений первого порядка. Для усечения этой системы обычно используется неполный метод Галеркина. Численное решение получаемых жестких систем вызывает значительные трудности. Кроме того область применения метода поперечных сечений существенно зависит от вида неоднородности рассматриваемой волнове-дущей системы, что прежде всего связано с возможностью построения базисных функций. Скорость сходимости также зависит от характера неоднородности системы.

Один из самых мощных и универсальных численных методов - метод конечных разностей (МКР) в прямой и вариационной постановках, в частности, метод конечных элементов (МКЭ), развитый в основополагающих работах A.A.Самарского, до последнего времени использовался в электродинамике при расчете волноведущих систем весьма

ограниченно.

Применение метода МКР для математического моделирования волноведущих систем позволяет создавать чрезвычайно универсальные и эффективные алгоритмы для исследования широкого класса систем и устройств интегральной и волоконной оптики и высокочастотной, электродинамики с нерегулярной геометрией и неоднородным заполнением в широком частотном диапазоне. Использование МКР позволяет строить эффективные универсальные алгоритмы для решения обратных задач синтеза широкого круга волноведухцих систем с заданными эксплуатационными характеристиками. Математическое моделирование на основе конечно-разностного подхода является эффективным, универсальным и относительно дешевым методом глубокого и всестороннего исследования волноведущих систем и устройств сверхвысокочастотной электродинамики, оптики и акустики.

Целью диссертации является математическое моделирование на основе модифицированных конечно-разностных методов широкого круга задач волоконной и интегральной оптики, сверхвысокочастотной электродинамики и акустики, развитие эффективных численных методов исследования построенных моделей, создание на основе разработанной методики алгоритмов для решения задач анализа и синтеза волноведущих структур и реализация этих алгоритмов для расчета конкретных волноведущих систем и устройств.

Научная новизна и практическая ценность. В диссертации развит новый подход в математическом моделировании волноведущих систем на основе разработки и реализации новых конечно-разностных алгоритмов решения волноводных задач. В основе этого подхода лежит построение эффективных алгоритмов для обработки разреженных конечно- разностных матриц, возникающих при дискретизации исходной дифференциальной задачи. Такой подход позволяет на основе относительно простых математических моделей получить ряд глубоких и чрезвычайно важных в практическом отношении результатов.

В диссертации рассмотрены два класса задач, методика применения метода конечных разностей к решению которых совершенно различна: спектральные задачи и задачи возбуждения волноведущих структур. Наряду с прямыми задачами в работе широко исследованы задачп синтеза волноведущих систем с заданными техническими характеристиками.

Задачи синтеза волноведущих систем рассматриваются в полной математической постановке и для их решения используются два мощных метода: метод регуляризации А.Н.Тихонова и метод конечных разностей. Использование вариационной постановки, приводящей к поиску экстремума оценочного функционала, впервые позволило построить универсальные конечно-разностные алгоритмы для решения целого ряда задач синтеза. В частности, решены задачи синтеза плоских и трехмерных волноводных переходов, включая переходы типа скрутки. Решена задача синтеза диаграммы направленности плоского волновод-ного перехода с системой щелей. Впервые выписаны оценочные функционалы для решения основных практически важных задач синтеза волоконных световодов с заданными свойствам, с помощью которых построены и реализованы эффективные алгоритмы решения этих задач.

На основе предложенной в работе принципиально новой постановки спектральной краевой задачи теории волноводов впервые исследованы спектральные свойства металло-диэлектрического волновода с произвольным кусочно-непрерывным заполнением. Разработанный подход позволяет рассматривать обобщенную задачу на собственные значения с линейным вхождением спектрального параметра. Причем спектральный параметр не входит в граничные условия, условия сопряжения и дополнительные условия, выделяющие функциональное пространство, в котором рассматривается задача. Такой подход позволяет провести анализ спектральных характеристик волноведущей системы не только для произвольного кусочно-постоянного заполнения, как это делается обычно, но и для случая произвольной кусочно-непрерывной функции диэлектрической проницаемости. Предложенный подход легко обобщается на случай анизотропных сред, когда диэлектрическая и магнитная проницаемости являются тензорными величинами.

Построено функциональное пространство, в котором доказана компактность оператора исходной волноводной спектральной задачи. Установлена дискретность спектра операторного пучка с линейным вхождением спектрального параметра /З2. Доказана эквивалентность задач о линейном и квадратичном операторных пучках, что позволяет свести задачу нахождения присоединенных векторов квадратичного пучка к значительно более простой задаче вычисления присоединенных векторов линейного пучка. Доказана теорема о полноте системы собственных и присоединенных функций металло-диэлектрического волновода с кусочно-непрерывным заполнением.

В работе получен ряд важных оригинальных результатов по решению прямых задач расчета волноведущих систем. Построены точные эффективные граничные условия для расчета градиентных световодов методом конечных разностей. Предложен новый выбор базисных функций бесконечных элементов и разработан алгоритм саморегулирующейся сетки, сохраняющие линейность спектральной задачи для волоконных световодов. Разработаны два принципиально новых метода расчета частот отсечки, не связанные с получением и решением дисперсионного уравнения.

В диссертации выделен специальный тип сверхразреженных матриц, возникающих при решении волноводных задач методом конечных разностей, и разработаны эффективные алгоритмы для их обработки. Разработан и реализован эффективный алгоритм, основанный на методе типа Ланцоша, для решения обобщенной алгебраической проблемы собственных значений в случае симметричных, но незна-коопределенных матриц. Предложен новый вариант векторной бета-постановки с диагональной матрицей масс и построен экономичный алгоритм на основе МКЭ для расчета диэлектрических волноводов.

Детально исследован вопрос о причинах появления нефизических решений при использовании векторной вариационной постановки и предложен метод их устранения, основанный на использовании смешанных конечных элементов.

Разработанные в диссертации методы численного исследования волноведущих систем реализованы в виде эффективных программ, ориентированных на использование ЭВМ средней мощности, в частности ПЭВМ. Предложенные методы математического моделирования волноведущих систем на основе конечноразностного подхода носят универсальных характер и могут быть использованы при решении многих практически важных задач волоконной и интегральной оптики, сверхвысокочастотной электродинамики и акустики.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на 7-м Всесоюзном симпозиуме по дифракции и распространению волн (Ростов - на - Дону, 1977), на 4-м Всесоюзном совещании "Оптические сканирующие устройства и измерительные приборы на их основе" (Барнаул, 1988), на Всесоюзнох! научно- технической конференции "Проектирование радиоэлектронных устройств на диэлектрических волноводах и резонаторах" (Тбилиси, 1988), на научно-технической конференции "Системы и средства передачи дан-

ных" (Черкассы, 1989), на конференции "Быстродействующие элементы и устройства волоконнооптических и лазерных информационных систем" (Севастополь, 1990), на 1-м Украинском симпозиуме "Физика и техника мм и субмм радиоволн" (Харьков, 1991), на 5 и 6-й Международной научно-технической конференции "Лазеры в науке, технике, медицине" (Суздаль, 1994 и 1995 гг.), на 51-й научной сессии Российского НТО радиотехники, электроники и связи им. Попова A.C. (Москва, 1996), на Международной конференции, посвященной памяти академика А.Н.Тихонова "Обратные и некорректно поставленные задачи" (Москва, 1996), на Ломоносовских чтениях 1989,1992, 1994,1996 гг. (Москва), на научном семинаре по граничным задачам электродинамики физического факультета МГУ, на научном семинаре кафедры математики физического факультета МГУ, на научном семинаре по дифракции волн ИРЭ РАН.

Публикации. Диссертация написана на основании 30 работ автора, указанных в конце автореферата.

Структура и объем диссертации.

Диссертация состоит из введения, шести глав основного текста и списка цитируемой литературы, включающего 230 наименований. Объем диссертации составляет 304 страницы текста, набранного в издательской системе BTjpC.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ.

Во введении содержится обоснование выбора темы исследования, его актуальность и формулируется цель работы. В нем определяется круг рассматриваемых вопросов, дается обзор основных публикаций (189 наименований) по выбранному направлению исследований и приводится описание структуры диссертационной работы.

Каждая глава имеет следующую структуру. В начале главы содержится краткое введение, в котором указывается круг рассматриваемых вопросов и их связь с материалом других, глав. В конце приводится перечень основных результатов, полученных в данной главе.

В конце введения приводится перечень основных оригинальных результатов, полученных в диссертации.

Первая глава диссертации посвящена применению метода конечных разностей в сочетании с методом параболического уравнения к исследованию задач возбуждения волноведущих систем интегральной и волоконной оптики и сверхвысокочастотной электродинамики.

В первом параграфе рассматривается постановка задачи возбуждения для исследования диэлектрических и металло-диэлектрпческих волноводов произвольного поперечного сеченпя. Отображая поперечное сечение на круг, получаем задачу в прямом круговом цилиндре для системы уравнений, коэффициенты которых содержат функцию, задающую границу сечения волновода, и ее производные. В качестве граничных условий используются условия весьма общего вида.

Для устойчивого решения полученной начально-краевой задачи для системы уравнений эллиптического типа используется метод опорной волны, являющийся обобщением метода параболического уравнения. В результате получается начально-краевая задача для системы уравнений параболического типа в прямом круговом цилиндре.

Во втором параграфе с помощью интегро-интерполяционного метода строится консервативная разностная схема, аппроксимирующая поставленную начально-краевую задачу.

Третий параграф посвящен исследованию конечно-разностной задачи, поставленной во втором параграфе. Показано, что погрешность аппроксимации разностной задачи имеет порядок 0(/гг + —С использованием метода энергетических неравенств доказаны теоремы устойчивости и сходимости векторной разностной задачи и ее скалярного аналога в разностных энергетических нормах со скоростью

ofa + w + hfyy/bk?).

В четвертом параграфе построенные разностные схемы используются для исследования двух конкретных типов волноведущих систем: газово-диэлектрического световода с переменной толщиной стенки трубки и закрытого трехмерного волноводного перехода.

Применение предложенной в данной главе конечно-разностной модели позволяет рассчитать электромагнитное поле газово- диэлектрического световода и с высокой степенью точности определить положение резонансных пиков, соответствующих резонансной толщине стенки, при которой происходит интенсивное вытекание электромагнитного поля из трубки световода.

Закрытый волноводный переход соединяет два регулярных волновода овального сечения, граница которых в цилиндрической системе координат задается функцией г = щ (1 + а (2) cos2 <р). Наличие зависящей от продольной координаты функции а (г) позволяет рассчитывать переходы типа скруток, которые могут выполнять роль волноводных трансформаторов.

Основными оригинальными результатами первой главы являются следующие:

в Получение стандартных задач возбуждения, моделирующих широкий класс волноведущих систем высокочастотной электродинамики и волоконной оптики, построение аппроксимирующих эти задачи консервативных конечно-разностных схем и их исследование.

• Применение разработанной методики к расчету конкретных волноведущих систем: газово-диэлектрического световода и трехмерного волноводного перехода между двумя волноводами овального сечения.

Во второй главе рассматривается использование разностных и вариационно-разностных методов для исследования спектральных характеристик диэлектрических волноводов.

В первом параграфе исследуется задача расчета дисперсионных характеристик регулярных диэлектрических волноводов со сложным заполнением в прямой (не вариационной) постановке. Применение прямой постановки имеет определенные преимущества, поскольку приводит при использовании конечно-разностной технологии к стандартной,

а не к гораздо более сложной обобщенной, алгебраической проблеме собственных значений

(1)

где А - разреженная матрица блочно-трехдиагональной структуры, у - вектор-столбец решений, (З2 - квадрат постоянной распространения, являющийся собственным значением.

Интегро-интерполяцшягаым методом строится и исследуется консервативная разностная схема, аппроксимирующая исходную дифференциальную спектральную задачу с порядком 0(/г2 + на цилиндрической сетке.

Построены эффективные граничные условия, являющиеся точными и позволяющие сводить спектральную задачу для расчета градиентных световодов к задаче в пределах сердцевины оптического волокна. На основе эффективных граничных условий разработан метод обработки конечно-разностных матриц А задачи (1), позволяющий получать характеристическое уравнение в виде равенства нулю определителя матрицы второго порядка при любом порядке матрицы А. Это дает возможность строить экономичные разностные алгоритмы решения спектральных задач для диэлектрических волноводов градиентного типа.

Во втором параграфе исследуется задача расчета регулярных диэлектрических волноводов со сложным заполнением в вариационной постановке в скалярном приближении. Большое достоинство скалярной постановки заключается в том, что при ее использовании не возникают фиктивные решения. По сравнению с прямой в вариационной постановке проще учесть поведение поля на бесконечности. Кроме того, она оказывается более эффективна в случае сложной геометрии области и сложного диэлектрического заполнения.

Для ограничения области в поперечном направлении разработан алгоритм модифицированных бесконечных элементов для расчета открытых диэлектрических волноведущпх систем с произвольной геометрией сечения. Особенностью предложенной методики является линейность вхождения спектрального параметра в'2, что существенно увеличивает эффективность построенных на ее основе алгоритмов.

Для экономичного расчета открытых диэлектрических волноведу-щих систем предложен новый эффективный метод построения полярных неравномерных сеток - метод саморегулирующейся сетки.

Разработаны два принципиально новых метода расчета частот отсечки волоконных световодов - метод импедансного граничного условия и метод спуска по дисперсионной кривой. Особенностью предложенных методов является то, что при их использовании не требуется строить и решать дисперсионные уравнения. Приведено детальное описание этих методов и проведено их сравнение с известными методами расчета частот отсечки диэлектрических волноводов.

Для учета особенности системы уравнений в начале полярной системы координат предложен метод, основанный на рассмотрении декартовых поперечных компонент электромагнитного поля в полярной системе координат.

В третьем параграфе исследуется задача расчета диэлектрических и металло-диэлектрических волноводов в наиболее полной векторной вариационной постановке. Одной из причин, определяющей необходимость создания алгоритмов на основе векторной формулировки, является все более широкое использование диэлектрических волноводов инфракрасного диапазона, для которых условие применимости скалярного приближения - слабое изменение показателя преломления - может не выполняться. В отличие от оптических волноводов, для которых практически достигнут теоретический минимум потерь в 0.2 Дб/км, теоретические потери для инфракрасных волноводов могут быть снижены до 0.01 Дб/км.

Использование векторной вариационной постановки приводит к обобщенной алгебраической проблеме собственных значений

Ау = А Ву, (2)

где А = /?2 (/^-постановка) или А = к'2 (^-постановка).

Значительные трудности при построении экономичных вариационных алгоритмов в векторной формулировке связаны с появлением фиктивных решений, которым не отвечают реальные физические моды. В диссертационной работе проанализированы причины появления нефизических решений при использовании лагранжевых конечных элементов и выборе в качестве спектрального параметра квадрата волнового числа к2. Одной из причин является неточная аппроксимация нулевого собственного значения к2 = 0 при дискретизации задачи и появление ряда фиктивных собственных значений, которым соответствуют фиктивные нефизическис моды. Установлена также возможность появления нефизических решений, не связанных с неточной аппроксимацией

нулевого собственного значения.

В диссертации развиваются априорные подходы к решению проблемы исключения широкого класса фиктивных решений градиентного типа. Критически рассмотрены применяемые современные априорные методы устранения фиктивных решений. Предложен эффективный метод исключения широкого класса нефизилеских решений, основанный на использовании аппарата смешанных конечных элементов, что позволяет выписать нефизические решения достаточно широкого класса в явном виде и использовать процедуру исчерпывания. В работе предложены различные варианты метода исчерпывания: основанные на сведении исходной краевой задачи к задаче для системы уравнений меньшего порядка, спектр которой не содержит собственного значения к2 — 0, основанные на проведении процедуры ортогонализации и основанные на специальном задании стартового вектора процесса Ланцоша, исключающим появление нефизических решений.

В четвертом параграфе проведено исследование спектральных свойств волновода с произвольным кусочно-непрерывным заполнением.

В основе исследования лежит предложенная в работе принципиально новая постановка спектральной краевой задачи теории волноведутцих систем, где в качестве основных выбираются шесть уравнений Максвелла, содержащих производную по продольной координате г. Предложенный подход позволяет рассматривать обобщенную задачу на собственные значения с линейным вхождением спектрального параметра /З2, который не входит в граничные условия и условия сопряжения. Задача сводится к исследованию эллиптического оператора. Показано, что спектральные свойства рассматриваемой задачи эквивалентны спектральным свойствам операторного пучка с линейным вхождением спектрального параметра 01. Доказана теорема, позволяющая установить эквивалентность задач о линейном и квадратичном пучках, то есть возможность вычисления присоединенных векторов квадратичного пучка через присоединенные векторы линейного пучка, для которого задача с вычислительной точки зрения гораздо проще. Установлена компактность эллиптического оператора в определенном функциональном пространстве, выделяемом дополнительным дифференциальным условием, не содержащим параметра /З2. Показана дискретность спектра операторного пучка. Установлено, что рассматриваемая задача сводится к задаче на характеристические числа для слабовозмутценно-го самосопряженного оператора. Доказана теорема, устанавливающая

свойство полноты системы собственных и присоединенных функций исходной задачи.

Во второй главе получены следующие оригинальные результаты.

• Построены точные эффективные граничные условия для расчета диэлектрических волноводов градиентного типа и. предложен экономичный метод получения характеристического уравнения для расчета частот отсечки.

• Разработаны два принципиально новых метода расчета частот отсечки волоконных световодов, не связанные с построением дисперсионного уравнения.

• Предложен новый метод выбора базисных функций бесконечных элементов, который в сочетании с разработанным алгоритмом саморегулирующейся сетки позволяет ограничивать область при использовании МКЭ для расчета волоконных световодов, сохраняя линейность спектральной задачи.

© Предложен новый вариант векторной /3-постановки, приводящей к обобщенной алгебраической проблеме собственных значений (2) с диагональной матрицей масс В и позволяющей строить эффективные МКЭ-алгоритмы для расчета диэлектрических волноводов.

• Детально исследован вопрос о причинах появления нефизических решений при использовании векторной МКЭ-постановки и предложен экономичный априорный метод их устранения, основанный на использовании смешанных конечных элементов.

• Исследованы спектральные свойства металло-диэлектрического волновода с произвольным кусочно-непрерывным заполнением на основе предложенной принципиально новой постановки спектральной краевой задачи теории волноведущих систем. Доказана эквивалентность спектральных свойств рассматриваемой задачи и линейного операторного пучка с дискретным спектром. Доказана теорема о полноте системы собственных и присоединенных функций исходной задачи.

Третья глава посвящена проблемам обработки разреженных матрнц, возникающих при решении спектральных волноводных задач. Матрицы Л и В задач (1) и (2) являются разреженными матрицами специального типа, для обработки которых существующие алгоритмы не всегда являются эффективными.

В первом параграфе дан анализ основных идей технологиях разреженных матриц применительно к задаче расчета диэлектрических волноводов. Анализируется процесс обработки матриц А и В, сохраняющий их разреженность, осуществляемый в ленточных, профильных, блочных методах, алгоритме вложенных сечений. Выделяется особый класс разреженных матриц - матрицы типа СЛМ (сверхразреженные ленточные матрицы), возникающих при решении спектральных волноводных задач.

Критически рассмотрены различные способы организации структуры данных и на основе проведенных вычислительных экспериментов предпочтение отдается диагональной схеме хранения.

Второй параграф посвящен критическому анализу основных методов обработки разреженных матриц высокого порядка - методов. Кро-уфорда, обратных итерации и метода Ланцоша. Несмотря на очевидные достоинства метода Кроуфорда - устойчивость, независимость времени вычисления от того, является лп собственное значение крайней точкой спектра нли внутренней (что особенно важно в плане борьбы с нефизическими решениями), метод представляет весьма высокие требования как к временным затратам, так и к запросам памяти. Метод обратных итераций, требующий факторизации матрицы жесткости А задачи (2), при определенных условиях является достаточно конкурентоспособным по отношению к методу Ланцоша. Однако при неудачном выборе сдвига сходимость метода обратных итераций оказывается катастрофически медленной.

Стандартный метод Ланцоша далеко не всегда является эффективным методом обработки разреженных матриц высокого порядка, возникающих при исследовании волноводных задач методом конечных разностей.

В диссертации разработан п реализован оригинальный алгоритм, основанный на методе типа Ланцоша, для решения обобщенной алгебраической проблемы собственных значений (2) в случае симметричных, но незнакоопределенных матриц А и В, оказавшийся практически более эффективным, чем вышеперечисленные методы.

В третьем параграфе приводится описание оригинального прямого

алгоритма для обработки матриц типа СЛМ - комплексного алгоритма. Разработанный алгоритм в качестве основы использует классический метод Гивенса и идею Шварца модификации этого метода для ленточных матриц. Критический анализ данных методов в плане их применимости для обработки сверхразреженных матриц, в частности, типа СЛМ, позволил создать синтетический алгоритм, эффективно решающий задачи расчета спектральных характеристик диэлектрических волноводов и оптических световодов со сложным профилем показателя преломления.

Основными оригинальными результатами, полученными в третьей главе, являются следующие:

» Разработан и реализован эффективный алгоритм, основанный на методе типа Ланцоша, для решения алгебраической проблемы собственных значений в случае симметричных, но незнакоопределен-ных матриц.

• Выделен специальный тип матриц: СЛМ - сверхразреженные ленточные матрицы, возникающих при решении волноводных задач.

е Разработан комплексный алгоритм для обработки СЛМ, синтезирующий классический метод Гивенса и модификацию идеи Шварца с использованием найденного явления перекатывания диагоналей - "волн Гивенса".

В четвертой главе рассматривается применение разработанных во второй и третьей главах методик к исследованию прямых задач расчета спектральных характеристик волноведущих систем.

В первом параграфе рассматривается расчет спектральных характеристик градиентных диэлектрических волноводов в прямой конечно-разностной постановке. Для градиентных волокон система уравнений Максвелла, записанная в цилиндрической системе координат сводится к двум связанным дифференциальным уравнениям второго порядка относительно поперечных компонент электромагнитного поля. Основным преимуществом этой системы является то, что при изучении мо-довых решений спектральный параметр /?2 входит в нее1 линейно. Для ограничения области используются построенные во второй главе эффективные граничные условия, которые ставятся на границе сердцевина - оболочка, сводя задачу к решению только в пределах сердцевины волокна.

С помощью построенной конечноразностной модели исследован широкий класс градиентных диэлектрических волноводов и световодов ,и рассчитаны их основные технологические характеристики, времена задержки мод, интегральный импульсный отклик, а также распределение электрического и магнитного полей.

Второй параграф посвящен изучению на основе вариационной скалярной формулировки регулярных диэлектрических волноводов круглого сечения с произвольной формой функции диэлектрической проницаемости в поперечном направлении. При этом существенно используются результаты второго параграфа второй главы, в частности, ограничение области с помощью модифицированных бесконечных элементов и использование алгоритма саморегулирующейся сетки.

С помощью разработанной методики рассчитаны основные характеристики градиентных диэлектрических волноводов, в частности, частоты отсечки и дисперсионные кривые. Сравнение полученных результатов с имеющимися в литературе показывает, что применение алгоритма саморегулирующейся сетки в сочетании с методом импе-дансного граничного условия позволяет экономично строить дисперсионные характеристики и вычислять частоты отсечки с высокой точностью. Особый интерес представляет сравнение данного метода с методом, предложенным: в первом параграфе настоящей главы. Проведенные исследования показали, что с точки зрения экономичности оба метода имеют примерно равные характеристики. Поэтому целесообразность использования того или иного метода связана с применением для решения спектральных волноводных задач МКР в прямой постановке или МКЭ.

С помощью предложенного алгоритма исследованы основные характеристики оптических волноводов со сложной зависимостью показателя преломления от поперечных координат. Исследован ряд градиентных волоконных световодов с разнообразными профилями коэффициента преломления. Изучено распределение поля в волокне типа несимметричная панда и показано, что вдали от отсечки магнитное поле перекачивается в область с большей оптической плотностью. Подробно проанализирован сложный оптический волновод, состоящий из двух сердцевин с параболическим профилем показателя преломления. Выделены два первых типа колебаний п рассмотрены для них распределения поля поперечной магнитной составляющей. Магнитные поля в первом типе колебаний колеблются в фазе, а во втором - в противофазе.

В четвертой главе получены следующие оригинальные результаты.

в На основе разработанного конечно-разностного подхода с использованием эффективных граничных условий исследованы градиентные волоконные световоды, проведено сравнение с известными результатами и показана высокая эффективность конечно-разностного подхода.

• Для экспериментально промеренного профиля показателя преломления проведен расчет интегрального импульсного отклика и проведено сравнение с данными эксперимента.

в Исследованы спектральные свойства и получено распределение полей широкого класса волоконных световодов, в частности, волокон типа несимметричная панда и волокон с двойной цилиндрической сердцевиной.

Пятая глава диссертации посвящена проблеме синтеза волноводных переходов между однородными плоскими и существенно трехмерными волноводами.

Первый параграф содержит общую постановку задачи синтеза вол-новодного перехода как типично некорректной задачи с использованием двух мощных методов - метода регуляризации А.Н.Тихонова и метода конечных разностей - для ее решения. Такой подход позволяет строить достаточно точные математические модели.

Особенностью рассматриваемой задачи синтеза является то, что она представляет собой задачу с нелинейным и несамосопряженным оператором, вследствие чего большинство известных эффективных алгоритмов для ее решения неприменимо. После проведенного критического анализа имеющихся методов минимизации предпочтение отдано методу поиска по деформированному многограннику Нелдера-Мида, являющемуся одним из наиболее надежных и универсальных методов минимизации функционала при наличии ограничений, если нет дополнительной информации о свойствах минимизируемого функционала.

Вопрос о единственности решения, являющийся принципиальным для задач интерпретации, для рассматриваемых задач синтеза целесообразно даже не ставить, поскольку неединственность решения позволяет выбрать среди результатов наиболее приемлемые с технологической точки зрения.

Во втором параграфе исследована задача синтеза плоского полноводного перехода. Задача заключается в отыскании формы границы плавного перехода наилучшим образом согласующего два плоских волновода по оптимизации мощности, передаваемой из первого волновода в заданную моду второго. Граница волноводного перехода моделируется кубическими сплайнами. В результате получается многопараметрическая задача оптимизации относительно набора параметров, характеризующих границу. Многократно решаемая в процессе синтеза прямая задача аппроксимируется конечноразностюж и ее решение осуществляется путем прямого обращения матрицы полученной алгебраической системы.

В третьем параграфе рассматривается синтез диаграммы направленности излучения из плоского волноводного перехода с системой щелей. Ищутся оптимальные расположения щелей, при которых: а) обеспечивается максимум излучения в заданных направлениях и б) сформированная диаграмма направленности в определенном смысле близка к заданной.

Четвертый параграф посвящен исследованию задачи синтеза трехмерного волноводного перехода, согласующего два однородных коаксиальных волновода овального сечения, границы которых в цилиндрической системе координат описываются функциями вида г = го (1 + а (г) со82 (р). С помощью рассмотренного в первой главе преобразования переменных задача сводится к синтезу перехода, согласующего два регулярных круглых волновода с различными радиусами. Моделирование границы осуществляется кубическими сплайнами. Для решения прямой задачи используется рассмотренный в первой главе алгоритм, основанный на использовании параболического приближения с последующим решением параболического уравнения конечно-разностным методом.

Решены задачи синтеза трех волноводных переходов: между двумя регулярными круглыми волноводами различных радиусов, между круглым и овальным волноводами и между двумя овальными волноводами, большие полуоси которых повернуты по отношению друг к другу на прямой угол.

В пятой главе получены следующие оригинальные результаты.

• Поставлена общая задача синтеза волноводного перехода как некорректная задача, для решения которой применяется метод регу-

ляризацнп А.Н.Тпхонова п метод конечных разностей.

е Разработаны универсальные оптимизирующие алгоритмы синтеза волноводных переходов, не накладывающие принципиальных ограничений на форму и интенсивность входного сигнала, геометрию границы перехода и вид диэлектрического заполнения.

• Решена задача синтеза плоского волноводного перехода.

• Решена задача синтеза трехмерного волноводного перехода между двумя регулярными коаксиальными волноводами овального сечения разных диаметров, включая переход типа скрутки.

в Решена задача синтеза диаграммы направленности плоского волноводного перехода с системой щелей.

В шестой главе исследуется задача синтеза круглых регулярных диэлектрических волноводов (ДВ), в частности, градиентных волоконных световодов.

Первый параграф посвящен общей постановке задачи. Сформулированы шесть наиболее важных в практическом отношении задач синтеза ДВ, для которых выписаны соответствующие оценивающие функционалы:

1) Синтез ДВ с минимальной межмодовой дисперсией.

2) Создание ДВ с выравненными групповыми скоростями двух первых мод на заданной рабочей частоте, что позволяет увеличивать поперечные размеры сердцевины волновода при сохранении минимальной межмодовой дисперсии.

3) Проектирование ДВ с одинаковыми значениями фазовой скорости на кратных частотах в двух первых соседних модах.

4) Синтез ДВ с максимально плоской дисперсионной характеристикой на рабочем участке. Такие волноводы обладают малой фазовой чувствительностью к колебаниям их толщины и обладают меньшей волноводной дисперсией в силу слабой зависимости групповой скорости от частоты.

5) Проектирование ДВ, обладающих большой полосой частот одно-модового режима, что весьма важно при создании волоконно- оптических линий связи с частотным уплотнением каналов информации.

6) Синтез ДВ, обладающего дисперсионной характеристикой в определенном смысле близкой к заданной.

Решение задачи синтеза - функция диэлектрической проницаемости сердцевины ДВ - ищется в классе функций, представимых в виде разложения в ряд Фурье по азимутальному углу коэффициентами которого являются полиномы степени N от радиуса.

Для решения поставленных задач разработан алгоритм, основой которого являются эффективные методы решения прямых спектральных задач, рассмотренные во второй главе, с одной стороны, и разработанный на основе метода Нелдера-Мида алгоритм минимизации функции многих переменных на области с заданными неявно ограничениями, с другой.

При решении задач синтеза отсутствует принципиальное для задач интерпретации требование единственности решения, что является существенным преимуществом, поскольку позволяет из синтезируемых профилей выбирать наиболее простые в плане их технической реализации.

Во втором параграфе приводятся результаты синтеза основных сформулированных в параграфе 1 задач для градиентных волоконных световодов.

Приведенные примеры решения задач синтеза показывают, что практически одинаковых результатов в рамках заданной невязки для построенного функционала можно достичь на профилях, значительно отличающихся по сложности конфигурацпи. Поэтому выбор конкретного решения определяется выделением множества технически реализуемых профилей, что математически осуществляется путем задания соответствующего сглаживающего функционала.

Многочисленные машинные эксперименты показали, что наряду с оценивающими функционалами при решении задач синтеза крайне целесообразно использовать ограничивающие функционалы, необходимые для того, чтобы устранить получение в результате синтеза профилей, не имеющих волноводного режима в заданном диапазоне волновод-ных параметров. В работе построен ряд оценивающих функционалов, применимых при решении задач синтеза ДВ.

В шестой главе получены следующие оригинальные результаты:

• Дана общая постановка задачи синтеза ДВ как некорректной задачи с использованием для ее решения метода регуляризации А.Н.Тихонова и метода конечных элементов.

• Выписаны оценочные функционалы для решения основных практически важных задач синтеза ДВ. Построены ограничивающие функционалы.

• Решены важные в практическом отношении задачи синтеза градиентных волоконных световодов и проанализированы результаты.

Основные оригинальные результаты, полученные в диссертации, приведены в конце введения. Они сводятся к следующему:

1. Предложены эффективные конечно-разностные алгоритмы решения прямых задач расчета волноведущих систем и с их помощью решен ряд задач возбуждения и спектральных задач расчета конкретных волноведущих систем.

2. Построены точные эффективные граничные условия, позволяющие сводить конечно-разностную задачу для открытых диэлектрических волноводов градиентного типа к задаче, решаемой в пределах сердцевины волокна.

3. Исследованы спектральные свойства металло-диэлектрических волноводов с произвольным кусочно-непрерывным заполнением на основе предложенной принципиально новой постановки спектральной краевой задачи теории волноводов. Доказана теорема о полноте системы собственных и присоединенных функций волновода с произвольным заполнением.

4. Предложен новый тип базисных функций бесконечных элементов и разработан алгоритм саморегулирующейся сетки, позволяющие ограничивать область при использовании метода конечных элементов для расчета диэлектрических волноводов, сохраняя линейность задачи.

5. Предложен новый вариант вариационной векторной /3-постановки с диагональной матрицей масс, позволяющий строить эффективные алгоритмы с использованием метода конечных элементов для расчета открытых диэлектрических и металлодиэлектрических волноводов.

6. Детально исследован вопрос о причинах появления нефизических решений при использовании векторной МКЭ-лостановки и предложен экономичный априорный метод их устранения основанный на использовании смешанных конечных элементов.

7. Выделен специальный тип матриц: CJIM - сверхразреженные ленточные матрицы, возникающих при решении волноводных задач методом конечных разностей. Разработаны эффективные алгоритмы на основе метода Ланцоша и метода Гивенса для обработки таких матриц.

8. Развита и реализована единообразная методика решения широкого круга задач синтеза волноведущих систем на основе разработанных разностных алгоритмов решения соответствующих прямых задач. Задачи синтеза рассматриваются в полной математической постановке с использованием метода регуляризации А.Н.Тихонова.

9. Поставлены и решены задачи синтеза волноводных переходов между двумя регулярными плоскими волноводами и трехмерными волноводами овального сечения, включая переходы типа скруток. Поставлена и решена задача синтеза диаграммы направленности излучения из плоского волноводного перехода с системой щелей.

Поставлены и решены шесть основных задач синтеза градиентных волоконных световодов, обладающих заданными характеристиками.

10. Разработаны два принципиально новых метода расчета частот отсечки волоконных световодов, не связанные с получением и последующим решением дисперсионных уравнений.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Боголюбов А.Н. Применение метода конечных разностей к расчету световодов // Материалы 7 Всесоюзн. Симпозиума по дифракции п распр.волн "Теория дифр. и распр. волн". Т.1. Ростов-на-Дону. 1977. С.82-84

2. Боголюбов А.Н., Свешников А.Г. Применение метода конечных разностей к: расчету световодов // Вычисл. методы и программ. Сб. ст. Выч. центра МГУ. Вып. 28. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1978. С. 104117.

3. Боголюбов А.Н., Свешников А.Г. Расчет плоского волноводного трансформатора конечно-разностным методом // Выч. методы и программ. Сб. ст. Выч. центра МГУ. Вып. 28. М.: Изд-во Моск. ун-та. 1978. С. 118-133.

4. Боголюбов А.Н., Свешников А,Г. Обоснование конечно- разностного метода расчета оптических волноводов // Журнал выч. мат. и мат. физ. 1979. Т. 19. N 6. С. 1496- 1505.

5. Боголюбов А.Н., Митина И.В., Свешников А.Г. Расчет духслой-ного световода методом конечных разностей // Журнал выч. мат. и мат. физ. 1982. Т. 22. N 5. С. 1187- 1194.

6. Боголюбов А.Н., Митина И.В., Свешников А.Г. Расчет газово-диэлектрического световода конечно-разностным методом // Радиотехника и электроника. 1982. Т. 27. N 3. С. 401-408.

7. Боголюбов А.Н., Митина И.В., Свешников А.Г. Расчет оптических волноводов методом конечных разностей // Математические методы прикладной электродинамики. М.; Изд-во МГУ, 1984. С. 136-155.

8. Боголюбов А.Н., Лопушенко В.В. Расчет дисперсионных характеристик градиентных оптических волокон // Радиотехника и электроника. 1988. Т. 33. N 11. С. 2296- 2300.

9. Боголюбов А.Н., Лопушенко В.В. Расчет интегрального импульсного отклика конечно-разностным методом // Тез. докл. на 4 всесоюзн. совещании "Оптические сканирующие устройства и измерительные приборы на их основе". Ч. 2. Барнаул, 1988. С. 85-86.

10. Боголюбов А.Н., Лопушенко В.В. Расчет градиентных оптических волокон методом конечных разностей // Тез. докл. на всесоюз. научно-технич. конф. "Проектирование радиоэлектронных устройств на диэлектрических волноводах и резонаторах" Тбилиси. 1988. С. 114115.

11. Боголюбов А.Н., Лопушенко В.В., Свешников А.Г. Расчет градиентных оптических волокон конечно-разностным методом с использованием эффективных граничных условий // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 3. Физика. Астрономия. 1989. Т. 30. N 3. С. 86-88.

12. Боголюбов А.Н., Лопушенко В.В. Исследование градиентных волоконных световодов с помощью конечно- разностного алгоритма // Материалы конференции "Быстродействующие элементы и устройства волоконно- оптических и лазерных информационных систем". Севастополь, 1990. С. 169.

13. Боголюбов А.Н., Едакина Т.В. Расчет оптических волокон со сложной формой поперечного сечения // Материалы конференции "Быстродействующие элементы и устройства волоконно-оптических и лазерных информационных систем". Севастополь, 1990. С. 174.

14. Боголюбов А.Н., Минаев Д.В. Синтез плавного согласующего перехода между плоскими волноводами // Материалы 1 Украинского

симпозиума "Физика и техника мм и субмм радиоволн". Ч. 1. Харьков, 1991. С. 54.

15. Боголюбов А.Н., Лопушенко В.В., Сычкова A.B. Расчет дисперсионных характеристик одномодовых волоконных световодов со сложным профилем показателя преломления / / Тезисы докл. на 1 Украинском симпозиуме "Физика и техника мм и субмм радиоволн". Ч. 1. Харьков, 1991. С. 57.

16. Боголюбов А.Н., Едакина Т.В. Применение вариационно-разностных методов для расчета диэлектрических волноводов // Вестн.Моск. ун-та Сер. 3. Физика. Астрономия. 1991. Т. 32. N 2. С. 6-14.

17. Боголюбов А.Н., Едакина Т.В. Расчет диэлектрических волноводов со сложной формой поперечного сечения вариационно-разностным методом // Вестн.Моск. ун-та Сер. 3. Физика. Астрономия. 1993. Т. 34. N 3. С.72-74.

18. Боголюбов А.Н., Минаев Д.В. Синтез плоского волноводного перехода // Вестн.Моск. ун-та Сер. 3. Физика. Астрономия. 1993. Т. 34. N 2. С.67-69.

19. Боголюбов А.Н., Минаев Д.В., Свешников А.Г., Сычкова A.B. Расчет диэлектрических волноведущих систем конечно-разностным методом // Радиотехника и электроника. 1993. Т. 38. N 5. С. 804-809.

20. Боголюбов А.Н., Красилышкова A.B. Расчет круглого диэлектрического волновода с произвольной формой показателя преломления вариационно-разностным методом // Радиотехника и электроника. 1994. Т. 39. N 2. С. 233-240.

21. Боголюбов А.Н., Делицын А.Л., Красильникова A.B., Минаев Д.В. Конечно-разностные методы расчета волноведущих систем интегральной оптики // Тез. докл. на 5 междунар. научно-технич. конф. "Лазеры в науке, технике, медицине". Суздаль, 1994. С. 43-44.

22. Боголюбов А.Н., Красильникова A.B. Расчет волоконных световодов с помощью алгоритма саморегулирующиейся сетки // Вестн.Моск. ун-та Сер. 3. Физика. Астрономия. 1995. Т. 36. N 3. С. 3-7.

23. Боголюбов А.Н., Красильникова A.B., Минаев Д.В. Задача синтеза систем интегральной и волоконной оптики // Тез. докл. на б междунар. научно-технич. конф. "Лазеры в науке, технике, медицине". Суздаль. 1995. С. 86-87.

24. Боголюбов А.Н., Делицын А.Л. Новая постановка задачи расчета мод диэлектрических волноводов методом конечных элементов //

Вестн.Моск. ун-та Сер. 3. Физика. Астрономия. 1995. Т. 36. N 2. С. 95-98.

25. Боголюбов А.Н., Делицын A.JI. Расчет диэлектрических волноводов методом конечных элементов, исключающий появление нефизических решений // Вестн. Моек, ун-та. Сер. 3. Физика. Астрономия. 1996. Т. 37. N 1. С.9-13.

26. Боголюбов А.Н., Красильникова A.B. К задаче расчета диэлектрических волноводов // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 3. Физика. Астрономия. 1996. Т. 37. N 2. С. 86-89.

27. Боголюбов А.Н., Красильникова A.B., Свешников А.Г. Задачи синтеза круглых диэлектрических волноводов // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 3. Физика. Астрономия. 1996. Т. 37. N 5. С. 12-17.

28. Боголюбов А.Н., Красильникова A.B. Минаев Д.В. Синтез волно-ведущих систем волоконной оптики // Тез. докл. на 51 научной сессии, посвященной дню радио Российского НТО радиотехники, электроники и связи им. А.С.Попова. Ч. 2. М., 1996. С. 40.

29. Боголюбов А.Н., Красильникова A.B., Минаев Д.В., Свешников А.Г. Синтез волноведущих систем волоконной оптики и высокочастотной электродинамики // Радиотехника. 1997. N 1. С. 81-88.

30. Боголюбов А.Н., Делицын A.JI. Применение методов типа Лан-цоша в задачах расчета мод волновода // Вестн.Моск. ун-та Сер. 3. Физика. Астрономия. 1997. N 1. С. 69-70.

ООП Физ. ф-та МГУ Зак. 330-100-97