автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование волноводных переходов

На правах рукописи

Буткарев Иван Андреевич

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ВОЛНОВОДНЫХ ПЕРЕХОДОВ

05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 2004

Работа выполнена на кафедре математики физического факультета Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор А.Н. Боголюбов.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор А.С. Логгинов,

доктор физико-математических наук М.К. Трубецков.

Ведущая организация:

Институт Математического Моделирования Российской Академии Наук.

Защита диссертации состоится октября 2004 г. в час. ООул.ин. на

заседании Диссертационного совета К 501.001.17 в Московском государственном университете им. М.В. Ломоносова по адресу: 119992, Москва, ГСП-2, Ленинские горы д. 1, стр.2, МГУ, Физический факультет, аудитория

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке физического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова.

Автореферат разослан

сентября 2004г.

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор физико-математических наук, профессор

П.А. Поляков

2005-4 12511

ФМсро^Ь

ОБЩАЯХАРАКТЕРИСТИКАРАБОТЫ

Актуальность темы. В современной СВЧ технике, волоконной и интегральной оптике широко используются волноводы различных типов. Волноводы также входят в состав различных дискретных устройств, например, антенн, полупроводниковых лазеров, транзисторов, передатчиков. Для сопряжения волноводов используются согласующие волноводные переходы самых разных систем. Выполняя важную роль по оптимальному согласованию входного и выходного волноводов, волноводные переходы являются важными узлами волноведущей системы, в значительной степени определяющими эффективность ее функционирования. Поскольку современные волноводные переходы имеют, как правило, весьма сложную геометрию и неоднородное заполнение, то разработка эффективных численных методов их расчетов представляет собой крайне важную и актуальную проблему. Этим проблемам посвящены исследования многих авторов, в частности А.С. Беланова, А.С. Ильинского, Б.З. Каценеленбаума, Г.В. Кисунько, А. Г. Свешникова, В. П. Шестопалова и многих других. Настоящая работа посвящена математическому моделированию двух типов волноводных переходов: волноводных переходов соединяющих два металлодиэлектрических волновода с различными параметрами заполнения и разной формой поперечного сечения и волноводных переходов, соединяющих прямоугольный и планарный волноводы.

При математическом моделировании волноводных переходов рассматриваются две основные задачи: прямая задача расчета волноводного перехода и задача синтеза (математического проектирования) волноводного перехода с требуемыми техническими характеристиками. Основной проблемой при решении задачи синтеза является то, что данная задача не является корректно поставленной. Волноводные переходы с различными

параметрами могут иметь

частоте.

При решении задачи синтеза обычно задается допуск на требуемое значение характеристик перехода, и, кроме того, расчет волноводного перехода осуществляется с определенной погрешностью. Все это приводит к появлению множества практической эквивалентности, т.е. множества различных конфигураций волноводного перехода, любая из которых может считаться решением задачи синтеза. Для ее решения наиболее эффективным является метод регуляризации А.Н. Тихонова. В процессе решения обратной задачи синтеза возникает необходимость в многократном решении прямой задачи расчета характеристик волноводных переходов, что подразумевает наличие достаточно эффективного алгоритма решения прямой задачи. Отметим, однако, что повышение производительности современных вычислительных систем в значительной степени снижает важность требования эффективности этого алгоритма.

Учитывая существующие тенденции в развитии вычислительной техники и появление кластерных вычислительных систем, большое значение приобретает создание распараллеленных численных алгоритмов и распараллеливание уже имеющихся. Поэтому в данной работе проведено распараллеливание алгоритма метода скользящего допуска, используемого в процессе решения задачи синтеза. Распараллеливание этого алгоритма позволяет увеличить скорость решения задачи синтеза, не прибегая к распараллеливанию алгоритма решения прямой задачи вычисления характеристик волноводных переходов. Совместное применение параллельных алгоритмов решения прямой и обратной задач позволяет еще более повысить эффективность использования процессоров в кластерной вычислительной системе.

Для расчета волноведущих систем используется большое число самых различных методов. Однако, один из наиболее мощных и универсальных методов — метод конечных разностей в прямой и вариационной формулировках (метод конечных элементов) стал применяться относительно

недавно, в частности в работах А.Н. Боголюбова. В то же время этот метод имеет такое неоспоримое преимущество, как широкая универсальность, что дает возможность создавать алгоритмы расчета волноводных переходов со сложной геометрией и сложным неоднородным, возможно, анизотропным заполнением. Отметим также простоту реализации алгоритмов на основе конечно-разностного подхода, возможность проведения расчетов с высокой точностью, достаточную простоту распараллеливания. Все это позволяет строить на основе метода конечных разностей эффективные алгоритмы решения прямых задач расчета волноводных переходов, а в сочетании с методом регуляризации А.Н. Тихонова строить эффективные алгоритмы синтеза таких систем.

Цель работы. Целью данной работы является:

— построение алгоритма решения задачи расчета волноводного перехода, соединяющего два металлодиэлектрических волновода;

— постановка задачи синтеза волноводного перехода, соединяющего два металлодиэлектрических волновода, и построение алгоритма ее решения;

— построение алгоритма решения задачи расчета волноводного перехода, соединяющего прямоугольный и планарный волноводы;

— постановка задачи синтеза волноводного перехода, соединяющего прямоугольный и планарный волноводы, и построение алгоритма ее решения;

— распараллеливание алгоритма решения задачи синтеза волноводных переходов и исследование его эффективности;

— исследование влияния входящих ребер на точность характеристик волноведущей системы, вычисленных с помощью метода конечных элементов.

Научная новизна. На основе единообразного подхода с использованием методов конечных разностей и конечных элементов и метода регуляризации А.Н. Тихонова в диссертации поставлены и решены две задачи синтеза волноводного перехода. Первой задачей является задача синтеза волноводного перехода, соединяющего два соосных металлодиэлектрических волновода с различными характеристиками заполнения и различной геометрией сечения. Второй задачей является задача синтеза волноводного перехода, соединяющего прямоугольный и планарный волноводы. Для повышения скорости решения задач математического проектирования нами разработан параллельный алгоритм поиска минимума функционала на основе метода скользящего допуска. Проведено исследование эффективности применения этого метода при расчетах на кластерном компьютере. Для волноводного разветвления специального вида, имеющего входящие ребра, проведено сравнение результатов его расчета с помощью метода конечных элементов с аналитическими результатами. Кроме того, разработан специальный метод, учитывающий особенность поля на ребре, и исследовано его применение.

Практическая ценность. Разработаны и реализованы в виде комплекса программ эффективные алгоритмы решения задач анализа и синтеза волноводных переходов двух различных типов для соединения металлодиэлектрических волноводов и для соединения прямоугольного и планарного волноводов. Программы построены по модульной схеме, что позволяет использовать их для решения задач синтеза волноводных переходов практически любых типов. Настройка на определенный тип волноводного перехода осуществляется путем замены модуля решения прямой задачи. Проведено распараллеливание метода скользящего допуска, используемого при поиске минимума сглаживающего функционала, и написана программа для кластерного компьютера.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались на конференциях «Международная конференция студентов и аспирантов по фундаментальным наукам «Ломоносов 2001» и «Ломоносов 2004», научном семинаре «Численные методы электродинамики» МГУ им. М.В. Ломоносова под руководством профессоров А. Г. Свешникова и А. С. Ильинского и на симпозиуме "Inverse problems, design and optimization symposium" Рио-де-Жанейро, март 2004г.

Публикации. Основные результаты опубликованы в 5 работах, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Работа состоит из 3 глав, введения, заключения и приложения. Объем работы составляет 129 страниц, включая 45 рисунков и список литературы, содержащий 83 работы.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

В первой главе диссертации рассматриваются основные этапы построения алгоритма решения задачи синтеза волноводных переходов.

В первом параграфе излагается алгоритм решения прямой задачи расчета волноведущих систем. Рассматривается общая схема метода конечных элементов как проекционно-сеточная схема, реализованная на основе метода Галеркина. Рассмотрены также вопросы построения конечномерных подпространств и триангуляции области, в которой ищется решение.

Для решения задач синтеза рассматриваемых волноводных переходов применяется метод регуляризации А.Н. Тихонова. Схема этого метода применительно к задачам синтеза приводится во втором параграфе. Здесь дается общая формулировка задачи синтеза волноводного перехода, рассматривается сглаживающий функционал. Для численной реализации алгоритма минимизации сглаживающего функционала применяется метод

скользящего допуска, который базируется на методе деформируемого многогранника. Нелдер и Мид ввели в этот метод возможность ускорения поиска путем растягивания или сжатия многогранника. Метод скользящего допуска отличается от метода Нелдера и Мида по существу лишь наличием возможности поиска минимума в областях при наличии ограничений. Эти методы описаны в третьем параграфе.

Решение задачи синтеза является очень ресурсоемкой задачей и для ее решения целесообразно использовать параллельные вычислительные системы, например кластерные компьютеры, которые становятся все более доступными. В третьем разделе параграфа три первой главы приводится процедура распараллеливания метода скользящего допуска и исследуется эффективность полученного алгоритма.

Рис. 1. Геометрия перехода между двумя соосными металлодиэлектрическими волноводами.

Вторая глава посвящена решению задачи математического проектирования волноводного перехода между двумя соосными металлодиэлектрическими волноводами, изображенного на рис. 1. В первом параграфе дается постановка задачи. Граница волноводов и перехода предполагается идеально проводящей и звездной. Диэлектрическое заполнение волноводов и перехода предполагается изотропным, может быть неоднородным и определяется функцией Решение прямой задачи

расчета волноводного перехода сводится к решению системы уравнений

8

Максвелла в области включающей волноводный переход, причем ищется квазистационарное распределение поля. Для решения этой задачи продольные компоненты электромагнитного поля исключаются из системы уравнений Максвелла. Кроме того, проводится замена переменных

р = гг0/т1{(р,2), где Т — — функция, описывающая форму

поперечного сечения волноведущей системы, которая позволяет привести область, в которой вычисляется поле, к прямому круговому цилиндру радиуса г0. Боковые стенки волноводов и волноводного перехода считаются идеально проводящими. Задача решается в параболическом приближении, с помощью которого удается построить устойчивый алгоритм решения задачи в прямом круговом цилиндре. Используя параболическое приближение, можно получить следующую задачу:

0*. К ™(1п»7)„V+02*, = О)

Начальные условия: = У0 - заданная вектор-функция, (3)

где — боковая поверхность, — матрицы

размерности 4x4, Е, — касательная компонента вектора напряженности электрического поля. В качестве начальных условий выбирается мода входного волновода. На функции накладывается условие гладкости

второго порядка.

Во втором параграфе рассматривается постановка разностной задачи. Вводится разностная сетка

где / — длина перехода. Для задачи (1)-(3) строится двухслойная разностная схема с весами. Приводятся выражения для коэффициентов построенной разностной схемы. В результате разностная схема сводится к системе линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), решение которой позволяет определить распределение поля на следующем шаге вдоль продольной оси г волноведущей системы. Матрица полученной СЛАУ является ленточной, что позволяет построить экономичный алгоритм ее решения.

В третьем параграфе ставится задача синтеза волноводного перехода. Рассматривается синтез волноводного перехода между двумя круглыми , соосными металлодиэлектрическими волноводами с однородным различным заполнением. Строится переход с круглыми поперечными сечениями с однородным по сечению заполнением, обеспечивающий заданное отношение амплитуд составляющей поля , . в выходном и входном сечениях. Для этого необходимо определить две функции: которые ищутся в форме

кубического сплайна, состоящего из трех отрезков. Функция т]{£) описывает геометрию волноводного перехода, а функция £(г) — его заполнение. Использовался следующий сглаживающий функционал:

где — амплитуда поля во входном сечении, — амплитуда поля на выходе волноводного перехода, — требуемое значение отношения амплитуды поля в выходном сечении перехода к амплитуде поля на входе перехода, — набор синтезируемых параметров оптимизации, — параметр

регуляризации, О — стабилизирующий функционал. В качестве набора параметров д использовались координаты сшивки отрезков сплайнов: по два на функции В качестве параметра регуляризации использовалось

его квазиоптимальное значение.

В четвертом параграфе описана организация программы решения прямой и обратной задач расчета волноводного перехода. Точность алгоритма оценивалась при решении модельных задач. Кроме того, проведен расчет нескольких вариантов волноводных переходов: с круглого волновода на круглый и с круглого на овальный. В этом параграфе приведены также результаты решения задач синтеза.

Рис. 2. Геометрия перехода между прямоугольным и планарным волноводами: / — входное сечение, 2 — ребро, 3 — выходное сечение.

Третья глава посвящена решению задачи математического проектирования волноводного перехода между прямоугольным и планарным волноводами изображенного на рис. 2. В первом параграфе описана геометрия перехода и дается постановка задачи: рассматривается скалярная задача расчета z-компоненты магнитного вектора Герца:

11

(6)

(7)

(8) (9)

(10)

где — входное сечение, ^ — выходное сечение, — поверхности,

.(1.2) _

имеющие отличную от нуля 2-компоненту вектора нормали, у,

постоянные распространения мод прямоугольного и пленарного волноводов, „(1.2)

(р„ — функции сечения входного и выходного волноводов, щ — падающее поле, Я„ — амплитуды отраженных мод, Т„ — амплитуды мод, возбужденных в выходном волноводе. Соотношения (9)-( 10) представляют собой парциальные условия излучения. Компоненты электромагнитного поля могут быть получены по формулам:

£ = /—//гоШ™, Я=пйгоШ", с

(11)

где Пм = {0,0,и}, <я — циклическая частота, с — скорость света, ц —

магнитная восприимчивость.

Во втором параграфе строится алгоритм решения прямой задачи расчета волноводного перехода, т.е. задачи (6)-( 10). Для ее решения применяется метод конечных элементов. Сначала строится алгоритм разбиения области на тетраэдры. Затем строятся конечные элементы первого порядка. Применение метода конечных элементов производится по схеме описанной в первой главе. Во втором параграфе построен также алгоритм вычисления мод планарного волновода и приведены коэффициенты в итоговой системе линейных алгебраических уравнений. Матрица построенной СЛАУ является сильно разреженной, и для решения этой системы применялся метод минимальной степени.

Особенную сложность вызывает разбиение области на тетраэдры, т.к. переход включает в себя согласующее ребро, которое в общем случае имеет произвольную форму. Разбиение области с помощью универсальных методов получается очень мелким, что приводит к системам уравнений очень высокого порядка. Поэтому в данном случае был написан специальный алгоритм разбиения области на тетраэдры, учитывающий особенности геометрии волноводного перехода.

В третьем параграфе проводится исследование влияния различных параметров геометрии перехода на его характеристики. В данном случае имеется возможность изменять следующие параметры: Ь, I(рис. 2) и профиль согласующего ребра. Было установлено, что параметры Ь и / практически не влияют на характеристики волноводного перехода, которые в основном определяются формой профиля ребра. В соответствии с этими результатами, в четвертом параграфе ставится задача синтеза как поиск такого профиля ребра который обеспечивает заданный коэффициент отражения у

рассматриваемого волноводного перехода:

где Я — коэффициент отражения по энергии. При этом профиль ребра ищется в классе кусочно-линейных функций состоящих из трех отрезков, что дает 4 параметра оптимизации д — координаты точек излома, которые и требуется синтезировать. В сглаживающем функционале (12) использовалось квазиоптимальное значение параметра регуляризации а. Решением задачи синтеза является профиль ребра, обеспечивающий минимум сглаживающего функционала в заданном классе решений и для данного параметра регуляризации.

В пятом параграфе приводятся результаты решения задачи оптимизации. При этом выбор квазиоптимального значения параметра регуляризации осуществлялся следующим образом: для различных значений

параметра а численно вычислялось выражение Ца—— , и выбирался

Il Sa !

локальный минимум этого выражения по а наиболее близкий к 0. Заметим, что более точное вычисление параметра регуляризации сопряжено с большими вычислительными затратами.

В шестом параграфе проводится исследование точности метода конечных элементов при наличии входящих ребер в двумерном случае. Исследование проводилось на примере разветвления двухмерного волновода (рис. 3). При этом сравниваются аналитические результаты, приведенные в работе Р. Миттры и С. Ли, результаты, полученные с помощью метода конечных элементов, и результаты, полученные с помощью метода конечных элементов при специальном учете условий на ребре. Математическая постановка задачи относительно ^-компоненты напряженности электрического поля выглядит следующим образом:

ч

i к

Рис. 3. Разветвление двухмерного волновода.

АЕу +кгЕу =0, Ре fi, Еу= 0, P€dn\(SaUSb{jSe),

(13) (И) (15)

п

(16)

£,Ц = Т1? ехр('^'г)^3) (4

(17)

П

где — входное сечение, — выходные сечения двух волноводов,

— постоянные распространения мод соответствующих волноводов,

— функции сечения входного и выходных волноводов, — поле,

падающее из входного волновода, — амплитуды отраженных мод, —

амплитуды мод, возбужденных в выходных волноводах. Было установлено, что модули амплитуд коэффициентов отражения и пропускания в случаях, учитывающих условия на ребре и не учитывающих, практически совпадают и лишь на очень грубой сетке заметны различия. В сравнении с аналитическими результатами модули амплитуд этих коэффициентов на низкой частоте хорошо совпадают, а с ростом частоты начинается постепенное расхождение. Наибольший эффект учет условий на ребре при применении метода конечных элементов дает для аппроксимации фазы коэффициентов отражения и пропускания мод волноводов. Фаза коэффициентов вычисленных с учетом условий на ребре заметно ближе к аналитическим результатам, чем в случае, не учитывающем эти условия.

В заключении даются основные результаты работы.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

— Разработана общая схема решения задачи математического проектирования волноводных переходов с использованием метода конечных разностей в прямой и вариационной (метод конечных элементов) постановках, метода регуляризации А.Н.Тихонова и процедуры распараллеливания.

— Разработан и реализован алгоритм решения прямой задачи расчета волноводного перехода между двумя соосными металлодиэлектрическими волноводами.

— Поставлена и решена обратная задача синтеза волноводного перехода между соосными металлодиэлектрическими волноводами.

— Разработан и реализован алгоритм решения прямой задачи расчета волноводного перехода между прямоугольным и планарным волноводами.

— Поставлена и решена обратная задача синтеза волноводного перехода между прямоугольным и планарным волноводами.

— Исследована точность метода конечных элементов при расчете волноведущих систем имеющих входящие ребра.

— Проведено распараллеливание алгоритма минимизации по методу скользящего допуска.

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ

1. БуткаревИ.А. Синтез трехмерного волноводного перехода // Международная конференция студентов и аспирантов по фундаментальным наукам «Ломоносов-2001». Секция «Физика». Сборник тезисов. М.: Физич. ф-т МГУ. 2001. С. 70-71.

2. Боголюбов А.Н., Буткарев И.А. Синтез трехмерного волноводного перехода // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 3. Физ. Астрон. 2002. № 2. С. 3-5.

3. БоголюбовА.Н., БуткаревИ.А. Применение метода конечных элементов к исследованию волноводного перехода // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 3. Физ. Астрон. 2003. № 4. С. 6-9.

4. Боголюбов А.Н., Буткарев И.А. Математическое проектирование трехмерных волноводных переходов // Журнал Радиоэлектроники (электронный журнал http://jre.cplire.ru). 2003. № 12.

5. БуткаревИ.А. Синтез перехода между прямоугольным и копланарным волноводами // Международная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых по фундаментальным наукам «Ломоносов-2004». Секция «Физика». Сборник тезисов. М.: Физич. ф-т МГУ. 2004. С. 144146.

ООП Физ.ф-та МГУ. Заказ 103400-04

4 2

РНБ Русский фонд

2005-4 12511

Введение

I Математическое моделирование волноведущих систем

1 Решение прямой задачи расчета волноведущих систем

1.1 Основные подходы к моделированию волноведущих систем.

1.2 Метод конечных разностей в волноводных задачах.

1.3 Схема метода конечных элементов

2 Метод регуляризации А.Н. Тихонова применительно к задачам синтеза

3 Решение задачи синтеза

3.1 Метод Нелдера и Мида.

3.2 Метод скользящего допуска

3.3 Распараллеливание метода Нелдера и Мида.

II Синтез волноводного перехода между двумя соосными цилиндрическими волноводами

1 Постановка прямой задачи расчета волноводного перехода между двумя соосными цилиндрическими волноводами

1.1 Постановка задачи.

1.2 Параболическое приближение.

2 Разностная схема

3 Постановка задачи синтеза волноводного перехода

4 Результаты решения прямой и обратной задач

4.1 Решение прямой задачи расчета волноводного перехода.

4.2 Решение задачи синтеза волноводного перехода.

III Синтез волноводного перехода между прямоугольным и копланарным волноводами

1 Постановка задачи

2 Алгоритм решения прямой задачи расчета волноводного перехода

2.1 Расстановка узлов сетки

2.2 Разбиение области на тетраэдры.

2.3 Построение конечных элементов.

2.4 Метод конечных элементов.

2.5 Моды прямоугольного волновода.

2.6 Моды копланарного волновода.

2.7 Исследование построенного алгоритма.

3 Исследование волноводного перехода

4 Постановка задачи синтеза

5 Результаты решения задачи синтеза

6 Исследование точности метода конечных элементов в областях с входящими ребрами

6.1 Явное выделение особенности.

6.2 Численные результаты

Интенсивное развитие электродинамики и ряда других областей физики повлекло за собой быстрое развитие средств связи, появление электроники, радио- и теле-вещания, радиолокации, и т.п., что вызвало в свою очередь развитие теории волноведущих систем. Особое влияние на развитие теории волноводов оказало появление и бурное развитие вычислительной техники. Быстрый рост степени интеграции различных электронных устройств во второй половине прошлого века привел к появлению интегральных схем, что потребовало развития теории планарных волноведущих систем.

Появление полупроводниковых лазеров обеспечило возможность высокоскоростной связи на большие расстояния с помощью оптических волоконных линий связи. Их применение начинается в 70-е годы прошлого века. При этом возникла потребность в соединении различных оптических устройств с применением волноводных переходов.

В современной СВЧ технике широко используются волноводы различных типов. Так, для соединения самых разных устройств используются коаксиальные и прямоугольные волноводы, в интегральных схемах используются планарные линии: полосковые, копланарные, щелевые волноводы. Кроме того существуют разнообразные модификации этих волноводов. Для соединения волноводов различных типов между собой также широко применяются волноводные переходы [18], [19], [78].

В зависимости от области использования к волноводным переходам помимо обеспечения согласования предъявляются различные требования. Например, для массового производства требуются легкие в изготовлении дешевые переходы, а при необходимости передавать большую мощность, волноводный переход должен быть устойчив к высоким температурам и не менять своих свойств при нагревании. Часто важным требованием является компактность перехода (особенно в авиационной и космической технике).

Синтез волноводных переходов с заданными характеристиками является важной задачей математической физики. Данная задача является некорректно поставленной, т.к. одни и те же характеристики могут иметь переходы с отличными параметрами. Кроме того, обычно вычисление характеристик волноводного перехода осуществляется с определенной погрешностью, а также на них задается допуск. Т.е. задача имеет неединственное решение, и можно определить множество практической эквивалентности. Выбор конкретного варианта перехода произволен или осуществляется на основе других соображений. Т.к. обратная задача не является корректной, диаметр множества практической эквивалентности может быть сколь угодно большим в заданном классе решений. Для решения некорректно поставленных задач можно использовать метод регуляризации А.Н. Тихонова [67], который определяет алгоритм выбора элемента из множества практической эквивалентности. Применение данного метода подразумевает введение сглаживающего функционала. Элемент, на котором достигается минимум сглаживающего функционала считается решением задачи синтеза.

В процессе минимизации сглаживающего функционала возникает потребность в многократном вычислении харктеристик волноводных переходов с различными параметрами, что подразумевает наличие эффективного алгоритма решения прямой задачи расчета волноводного перехода. С ростом производительности вычислительной техники и расширением доступности суперкомпьютеров расширяется применение достаточно медленных методов решения прямых задач: метода конечных элементов, метода конечных разностей и др. Эти методы обладают большой гибкостью и позволяют рассчитывать волноведущие системы любой сложности с большей точностью [20], [25], [69], [70], [79].

Основной целью данной работы является разработка алгоритмов решения задач синтеза волноводных переходов как некорректных задач с использованием метода регуляризации, метода конечных разностей и с применением процедуры распараллеливания. В данной работе рассматривается два класса волноводных переходов: всшноводные переходы, соединяющие соосные регулярные металлодиэлектрические волноводы имеющие достаточно гладкую границу; волноводные переходы, соединяющие прямоугольный и копланарный волноводы.

Наиболее перспективным направлением развития вычислительных машин является построение параллельных вычислительных систем и, в частности, кластерных компьютеров. Большинство наиболее производительных суперкомпьютеров в данный момент являются вычислительными кластерами. Для эффективного использования таких компьютеров требуется распараллеливание алгоритма решения задачи. Распараллеливание алгоритма решения прямой задачи является достаточно сложной процедурой. В данной работе проведено распараллеливание алгоритма метода скользящего допуска, который используется при решении задачи синтеза волноводного перехода [4]. Построенный алгоритм может применяться при решении любых задач минимизации функционалов. Он не требует интенсивного межпроцессорного обмена информацией и не накладывает практически никаких требований на скорость обмена информацией между узлами кластера.

Практика показала, что применение кластерных компьютеров очень эффективно при решении численных задач. Распараллеливание алгоритма решения задачи позволяет существенно увеличить скорость расчетов, кроме того появляется возможность решать сразу несколько задач с различными значениями параметров. Для реализации параллельных алгоритмов существуют различные технологии [1]. В данной работе использовалась технология MPI (Message Passing Interface).

Данная работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и приложения. В первой главе рассмотрены общие подходы к решению задач синтеза волноведущих систем и представлены основные методы, которые использовались в данной работе. Во второй главе поставлена и решена задача синтеза всшноводного перехода между двумя металлодиэлектрическими волноводами. В третьей главе поставлена и решена задача синтеза волноводного перехода между прямоугольным и копланарным волноводами. Приложение содержит текст программы реализующей параллельную процедуру поиска минимума функции.

Часть I

Математическое моделирование волноведущих систем

При математическом моделировании волноведущих систем обычно рассматриваются два типа задач: прямые задачи анализа волноведущих систем и обратные задачи синтеза волноведущих систем. В задачах анализа по заданным параметрам волноведущей системы нужно определить характеристики ее функционирования. Задачи синтеза заключаются в построении такой волноведущей системы, которая обладала бы заданными характеристиками. Такие задачи называются также задачами математического проектирования. В случае волноводных переходов основной интерес представляют задачи синтеза.

Общий подход к решению задачи синтеза волноведущих систем был предложен А.С. Ильинским и А.Г. Свешниковым в работах [2, 3]. При таком подходе задача синтеза рассматривается как типичная некорректная задача и для ее решения применяется метод регуляризации А.Н. Тихонова. При этом в процессе минимизации оценивающего функционала необходимо многократно решать прямую задачу расчета волноведущей системы.

Общую схему решения задач математического моделирования волноведущих систем рассмотрим применительно к моделированию волноводных переходов. Для решения задач синтеза волноводных переходов целесообразно использовать следующую схему:

1. Выбор предварительной конструкции волноводного перехода.

2. Постановка прямой задачи расчета характеристик волноводного перехода.

3. Разработка алгоритма решения поставленной прямой задачи.

4. Исследование влияния различных параметров волноводной структуры на ее характеристики.

5. Постановка задачи синтеза волноводного перехода с учетом требований предъявляемых к нему.

6. Разработка алгоритма решения поставленной задачи синтеза.

7. Анализ полученных результатов.

На этапе 1 производится выбор предварительной конструкции перехода, при этом учитываются типы соединяемых волноводов и требования предъявляемые к переходу.

Фактически на первом этапе производится физическая постановка проблемы. На этапе 2 производится постановка математической задачи расчета волноводного перехода, при этом могут вводиться различные упрощения как в конструкцию перехода, так и в физическую модель (например, отказ от учета второстепенных факторов, которые предположительно не влияют существенным образом на результат). Кроме того, существуют различные подходы к постановке прямой задачи. Наиболее точным подходом является непосредственное вычисление поля в переходе. При этом задача может ставиться как в вектороной, так и в скалярной постнановке (в том случае, если заполнение волноводного перехода является однородным). На этапе 3 разрабатывается численный алгоритм решения поставленной задачи. Фактически этот этап представляет наибольшую трудность. Обычно требуется, чтобы алгоритм был как можно более эффективным, т.к. при решении задачи синтеза требуется многократно решать прямую задачу расчета характеристик волноводного перехода. В настоящее время существенным требованием к алгоритму решения прямой задачи является возможность его распараллеливания с последующим использованием кластерных вычислительных систем. На этом этапе могут использоваться самые разнообразные методы в зависимости от постановки задачи. При непосредственном вычислении поля обычно используются либо метод конечных разностей, либо вариационные методы. В некоторых случаях удается построить аналитическое решение, но при расчете волноводных переходов со сложным заполнением или геометрией построить аналитическое решение обычно не удается. На этапе 4 производится исследование влияния различных параметров перехода на его характеристики. Это позволяет выделить основные параметры, которые и будут синтезироваться. Пятый этап включает в себя выбор целевого функционала (т.е. выбор синтезируемых характеристик перехода), выбор параметров оптимизации (с учетом результатов предыдущего этапа), задание ограничений на выбранные параметры, и, в соответствии с методом регуляризации А.Н. Тихонова, построение сглаживающего функционала. Задача синтеза является некорректно поставленной и для ее решения используется комбинация метода регуляризации и одного из методов минимизации функций. Дополнительную сложность вызывает определение параметра регуляризации, т.к. точное определение погрешности вычисления характеристик волноводного перехода затруднено. На этапе б производится разработка алгоритма минимизации сглаживающего функционала и выбор параметра регуляризации. В зависимости от вида сглаживающего функционала и размерности пространства решений применяются различные методы. В конечном счете все сводится к минимизации функции в ограниченной области п-мерного пространства. Существует много методов для поиска минимума функции: метод секущих, Ньютона, сопряженных градиентов, симплекс-метод и др.

В данной работе на третьем этапе для решения прямой задачи расчета волноводного перехода использовались метод конечных разностей и метод конечных элементов. На шестом этапе для решения задачи минимизации использовался метод скользящего допуска.

В данной главе приведено описание основных методов, используемых для решения задач математического моделирования волноведущих систем. Кроме того, в параграфе 3 описана процедура распараллеливания метода Нелдера и Мида разработанная автором [4].

Основные результаты работы содержатся в следующих публикациях автора: [4, 72, 73, 79, 83] и получены самостоятельно при участии научного руководителя, поставившего основную задачу и участвовавшего в обсуждении результатов.

Заключение

Среди результатов данной работы следует отметить следующие:

1. Разработана общая схема решения задачи математического проектирования волноводных переходов с использованием метода конечных разностей в прямой и вариационной (метод конечных элементов) постановках, метода регуляризации А.Н. Тихонова и процедуры распараллеливания.

2. Разработан и реализован алгоритм решения прямой задачи расчета волноводного перехода между двумя соосными металлодиэлектрическими волноводами.

3. Поставлена и решена обратная задача синтеза волноводного перехода между соосными металлодиэлектрическими волноводами.

4. Разработан и реализован алгоритм решения прямой задачи расчета волноводного перехода между прямоугольным и копланарным волноводами.

5. Поставлена и решена обратная задача синтеза волноводного перехода между прямоугольным и копланарным волноводами.

6. Исследована точность метода конечных элементов при расчете волноведущих систем имеющих входящие ребра.

7. Проведено распараллеливание алгоритма минимизации по методу скользящего допуска.

Все основные алгоритмы реализованы в виде комплекса программ на языке С++. Часть вспомогательных алгоритмов, которые не используются непосредственно при решении задачи синтеза, реализована в виде процедур MATLAB, в частности, в виде таких процедур реализован алгоритм вычисления мод копланарного волновода и алгоритмы обработки результатов. Модульная организация программ позволяет путем замены отдельных модулей получить программы для решения задач синтеза различных типов волноведущих систем.

1. Воеводин В.В., Воеводин Вл.В. Параллельные вычисления. СПб.: БХВ-Петербург. 2002.

2. Свешников А.Г. Прямые и обратные задачи электродинамики // Проблемы математической физики и вычислительной математики. М.: Наука. 1979. С.287-297.

3. Свешников А.Г., Ильинский А.С. Задачи проектирования в электродинамике // ДАН СССР. 1972. Т.204. ф 5. С.1077-1080.

4. Боголюбов А.Н., Буткарев И.А. Математическое проектирование трехмерных волноводных переходов // Журнал Радиоэлектроники (электронный журнал http://jre.cplire.ru). 2003. ф 12.

5. Schmidt R., Russer P. Modeling of Cascaded Coplanar Waveguide Discontinuities by the Mode-Matching Approach // IEEE Trans. Microwave Theory Tech. 1995. Vol.43. No.12. P.2910-2917.

6. Lindenmeier S., Russer P. Design of Planar Circuit Structures with an Efficient Magnetostatic-Field Solver // IEEE Trans. Microwave Theory Tech. 1997. Vol.45. No.12. P.2468-2473.

7. Suh Y., Chang K. Coplanar stripline resonators modeling and applications to filters // IEEE Trans. Microwave Theory Tech. 2002. Vol.50. No.5. P.1289-1296.

8. Tentzeris E., Krumpholz M., Dib N., Yook J., Katehi L. FDTD characterization of waveguide-probe structures // IEEE Trans. Microwave Theory Tech. 1998. Vol.46. No.10. P.1452-1460.

9. Боголюбов A.H., Делицын A.JI., Могилевский И.Е., Свешников А.Г. Проблема вычисления волноводных мод при наличии входящих ребер / / Журнал Радиоэлектроники (электронный журнал http://jre.cplire.ru). 2001. ф8.

10. Боголюбов А.Н., Делицын А.Л., Могилевский И.Е., Свешников А.Г. Асимптотическое представление электромагнитного поля волновода в окрестности ребра границы // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 3. Физ. Астрон. 2002. ф 1. С.3-6.

11. Cai Z., Kim S. A finite element method using singular functions for the Poisson equation: corner singularities // SIAM J. Numer. Anal. 2001. Vol.39. No.l. P.286-299.

12. Cai Z., Kim S., Woo G. A finite element method using singular functions for the Poisson equation: crack singularities // Numer. Linear Algebra Appl. 2002. No.9. P.445-455.

13. Cai Z., Kim S., Shin B. Solution method for the Poisson equation with corner singularities: numerical results // SIAM J. Sci. Comput. 2001. Vol.23. No.2. P.672-682.

14. Juntunen J.S., Tsiboukis T.D. On the FEM Treatment of Wedge Singularities in Waveguide Problems // IEEE Trans. Microwave Theory Tech. 2000. Vol.48. No.6. P.1030-1037.

15. El Sabbagh M.A., Hsu H.-T., Zaki K.A., Pramanick P., Dolan T. Stripline Transition to Ridge Waveguide Bandpass Filters // Progress In Electromagnetics Research. 2003. PIER 40. P.29-53.

16. Панин Д.Н., Зайцев В.В., Яровой Г.П. Метод синтеза плавных согласующих переходов // Журнал Радиоэлектроники (электронный журнал http://jre.cplire.ru). 2001. ф 12.

17. Туо J.S. Optimization of the ТЕМ feed structure for four-arm reflector impulse radiating antennas // IEEE Trans. Antennas Propagat. 2001. Vol.49. No.4. P.607-614.

18. Боголюбов A.H., Минаев Д.В. Синтез плоского волноводного перехода // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 3. Физ. Астрон. 1993. Т.34. ф 2. С.67-69.

19. Свешников А.Г., Боголюбов А.Н., Минаев Д.В. Расчет согласующего волноводного перехода между двумя коаксиальными волноводами овальной формы // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 3. Физ. Астрон. 1997. ф 4. С.50-52.

20. Боголюбов А.Н., Красильникова А.В., Минаев Д.В., Свешников А.Г. Метод конечных разностей для решения задач синтеза волноведущих систем // Математическое моделирование. 2000. Т.12. ф 1. С.13-24.

21. Свешников А.Г., Боголюбов А.Н., Красильникова А.В. Задачи синтеза круглых диэлектрических волноводов // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 3. Физ. Астрон. 1996. ф 5. С.12-17.

22. Самарский А.А. Теория разностных схем. М.: Наука. 1989.

23. Bogolyubov A.N., Delitsyn A.L., Mogilevskii I.E. Variational finite-difference method of waveguide-system modeling and spectral problems of waveguide theory // Journal of Communication Technology and Electronics. 2000. Vol.45. Suppl.2. P.S126-S130.

24. Боголюбов A.H., Едакина T.B. Применение вариационно-разностных методов для расчета диэлектрических волноводов // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 3. Физ. Астрон. 1991. Т.32. ф 2. С.6-14.

25. Боголюбов А.Н., Делицын A.JL, Красильникова А.В., Минаев Д.В., Свешников А.Г. Математическое моделирование волноведущих систем на основе метода конечныхразностей // Зарубежная радиоэлектроника. Успехи современной радиоэлектроники.1998. ф 5. С.39-54.

26. Свешников А.Г. Принцип излучения // ДАН СССР. 1950. Т.З. ф5. С.517-520.

27. Самарский А.А., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. М.: Наука. 1978.

28. Свешников А.Г., Боголюбов А.Н. Применение итерационного метода к исследованию волноводов с неоднородным заполнением // Журнал вычисл. матем. и матем. физики. 1974. Т.14. ф 4. С.947-954.

29. Боголюбов А.Н., Телегин В.И. Об одном численном методе решения линейных систем уравнений с трехдиагональной матрицей // Журнал вычисл. матем. и матем. физики. 1974. Т.14. фЗ. С.768-771.

30. Завадский В.Ю. Метод сеток для волноводов. М.: Наука. 1986.

31. Уфимцев П.Я., Яковлев Г.Д. Параксиальные пучки волн в регулярных и нерегулярных волноводах // Радиотехника и электроника. 1977. Т.22. фЗ. С.451-465.

32. Никольский В.В. Вариационные методы для внутренних задач электродинамики. М.: Наука. 1967.

33. Боголюбов А.Н., Делицын A.J1. Новая постановка задачи расчета мод диэлектрических ф волноводов методом конечных элементов // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 3. Физ. Астрон.1995. Т.36. ф 2. С.95-98.

34. Норри Д., де Фриз. Введение в метод конечных элементов. М.: Мир. 1981.

35. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. М.: Мир. 1975.

36. Сегерлинд Л.Д. Метод конечных элементов. М.: Мир. 1979.

37. Сьярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач. М.: Мир. 1980.

38. Oden J.T., Reddy J.N. An Introduction to the Mathematical Theory of Finite Elements. Wiley. New York. 1976.

39. Марчук Г.И., Агошков В.И. Введение в проекционно-сеточные методы. М.: Наука. 1981.

40. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. М.: Наука. 1973.

41. Babuska I., Guo B.Q. The h — p Version of Finite Element Method for Domains with Curved Boundaries // SIAM J. Numer. Anal. 1988. Vol.25. No.4. P.837-861.

42. Babuska I. The p and h — p Versions of the Finite Element Method, the State of the Art. Proc. Finite Element Workshop, Voigt R. ed., Springer, New York, 1987.

43. Oden J.T. Finite Elements: An Introduction, in: Handbook of Numerical Analysis, vol.2 ed. Ciarlet P.G., Lions J.L., North-Holland, 1991, pp.3-15.

44. Ciarlet P.G. Basic Error Estimates for Elliptic Problems, in: Handbook of Numerical Analysis, vol.2 ed. Ciarlet P.G., Lions J.L., North-Holland, 1991, pp.17-351.

45. Боголюбов A.H., Делицын A.JI. Расчет диэлектрических волноводов методом конечных элементов, исключающий появление нефизических решений // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 3. Физ. Астрон. 1996. ф 1. С.9-13.

46. Боголюбов А.Н., Минаев Д.В., Свешников А.Г. О расчете открытого согласующего волноводного перехода с использованием эффективных нелокальных граничных условий // Журнал вычисл. матем. и матем. физики. 2002. Т.42. ф4. С.514-521.

47. Боголюбов А.Н., Лопушенко В.В. Разностные методы расчета диэлектрических волноведущих систем // Электродинамика открытых структур миллиметрового и субмиллиметрового диапазонов. Сб. науч. Тр./АН УССР. Харьков. 1990. С.42-52.

48. Боголюбов А.Н., Лопушенко В.В. Расчет дисперсионных характеристик градиентных оптических волокон методом конечных разностей // Радиотехника и электроника. 1988. Т.ЗЗ. ф 11. С.2296-2300.

49. Bermudes A., Pedreira D.G. A finite element method for computation of waveguide // Numer. Math. 1992. Vol.61. No.2. P.39-57.

50. Свешников А.Г., Боголюбов A.H., Минаев Д.В., Сычкова А.В. Расчет диэлектрических волноведущих систем конечно-разностным методом // Радиотехника и электроника. 1993. Т.38. ф 5, С.804-809.

51. Noor А.К. Books and monographs on finite element technology // Finite Elements in Analysis and Design. 1985. Vol.1. No.l. P.101-111.

52. Babuska I., Suri M. The Optimal Convergence rate of the p-Version of the Finite Element Method // SIAM J. Numer. Anal. 1987. Vol.24. No.4. P.750-776.

53. Mercier В., Osborn J., Rappaz J., Raviart P. Eigenvalue Approximation by Mixed and Hybrid Methods // Mathematics of Computation. 1981. Vol.36. No.154. P.427-453.

54. Chatelin F. The spectral approximation of linear operators with applications to the computation of eigenelements of differential and integral operators // SIAM Review. 1981. Vol.23. No.4. P.495-522.

55. Chatelin F. Spectral Approximation of Linear Operators. Academic Press. New York. 1983.

56. Babuska I., Osborn J. Eigenvalue Problems, in: Handbook of Numerical Analysis, vol.2 ed. Ciarlet P.G., Lions J.L., North-Holland, 1991, pp.641-787.

57. Wahlbin L.B. Local Behavior in Finite Element Methods, in: Handbook of Numerical Analysis, vol.2 ed. Ciarlet P.G., Lions J.L., North-Holland, 1991, pp.353-521.

58. Fix G.J. Eigenvalue Approximation by the Finite Element Method // Advanced in Mathematics. 1973. Vol.10. No.2. P.300-316.

59. Nedelec J.C. Mixed Finite Elements in R3 // Numersche Mathematik. 1980. Vol.35. No.3. P.315-341.

60. Raviart P.A., Thomas J.-M. Primal Hybrid Finite Element Methods for 2nd Order Elliptic Equations // Mathematics of Computation. 1977. Vol.31. No.138. P.391-413.

61. Roberts J.E., Thomas J.-M. Mixed and Hybrid Methods, in: Handbook of Numerical Analysis, vol.2 ed. Ciarlet P.G., Lions J.L., North-Holland, 1991, pp.523-639.

62. Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов. М.: Мир. 1977.

63. Деклу Ж. Метод конечных элементов. М.: Мир. 1976.

64. Снайдер А., Лав Дж. Теория оптических волноводов. М.: Радио и связь. 1987.

65. Адаме М. Введение в теорию оптических волноводов. М.: Мир. 1984.

66. Маркузе Д. Оптические волноводы. М.: Мир. 1974.

67. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука. 1986.

68. Химмельблау Д. Прикладное нелинейное программирование. М.: Мир. 1975.

69. Bogolyubov A.N., Krasilnikova А. V., Minaev D. V. Mathematical modeling of guiding structures by finite-difference method // Journal of Communication Technology and Electronics. 2000. Vol.45. Suppl.2. P.S131-S.139.

70. Ильинский А.С. Распространение электромагнитных волн в нерегулярных волноводах с переменным сечением. Кандидатская диссертация. М. 1966.

71. Буткарев И.А. Синтез трехмерного волноводного перехода // Международная конференция студентов и аспирантов по фундаментальным наукам "Ломоносов-2001". Секция "Физика". Сборник тезисов. М.: Физич. ф-т МГУ. 2001. С.70-71.

72. Боголюбов А.Н., Буткарев И.А. Синтез трехмерного волноводного перехода // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 3. Физ. Астрон. 2002. ф 2. С.3-5.

73. Свешников А.Г., Боголюбов А.Н., Митина И.В. Расчет двухслойного световода методом конечных разностей / / Журнал вычислительной математики и математической физики. 1982. Т.22. ф5. С.1187-1194.

74. Боголюбов А.Н., Красильникова А.В. Расчет круглого диэлектрического волновода с произвольной формой профиля показателя преломления вариационно-разностным методом // Радиотехника и электроника. 1994. Т.39. ф 2. С.233-240.

75. Самарский А.А., Андреев В.Б. Разностные методы для эллиптических уравнений. М.: Наука. 1976.

76. Боголюбов А.Н., Красильникова А.В., Минаев Д.В., Свешников А.Г. Синтез волноведущих систем волоконной оптики и высокочастотной электродинамики // Радиотехника. 1997. ф 1. С.81-88.

77. Dalman G.C. A simple mm-wave transition from waveguide to coplanar waveguide // Microwave J. 1992. Vol.35. No.10. P.109.

78. Боголюбов A.H., Буткарев И.А. Применение метода конечных элементов к исследованию волноводного перехода // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 3. Физ. Астрон. 2003. ф4. С.6-9.

79. Ильинский А.С., Кравцов В.В., Свешников А.Г. Математические модели электродинамики. М.: Высшая школа. 1991.

80. Писсанецки С. Технология разреженных матриц. М.: Мир. 1988.

81. Миттра Р., Ли С. Аналитические методы теории волноводов. М: Мир. 1974.