автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Математическое моделирование в задачах оптимизации процессов с распределенными параметрами

? Г Ь У >"<

^НАЦИОНАЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ НАУК КЫРГЫЗСКОЙ РЕСПУБЛИКИ ИНСТИТУТ АВТОМАТИКИ

На правах рукописи

СМАТОВ Косы

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ В ЗАДАЧАХ ОПТИМИЗАЦИИ ПРОЦЕССОВ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

Специальность 05. 13.16. - Применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико - математических наук

Бишкек -1998

Работа выполнена в Казахском Национальном Техническом университете (г. Алматы, Республика Казахстан).

Научные консультанты: доктор технических наук,

профессор Д:Ж.Сыздыков; доктор физико-математических наук, профессор М.Т.Дженалиев.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Р.Р.Рафатов; доктор физико-математических наук, профессор Ш.С.Смагулов; доктор физико-математических наук, профессор А.С.Саадабаев.

Ведущая организация (предприятие): Институт проблем управления (Автоматика и телемеханика) Российской академии наук, г. Москва.

Защита состоится "24 " «гпуеця 1998 года в часов на заседании Специализированного Совета Д 05. 95.40 по присуждению ученых степеней доктора и кандидата физико-математических и технических наук в Институте автоматики HAH Кыргызской Республики.

С диссертацией можно ознакомиться в Институте автоматики HAH Кыргызской Республики.

Автореферат разослан " 1998 г.

Отзывы на автореферат просим прислать по адресу 720071, г. Бишкек, Чуйский проспект 265, Институт автоматики Специализированный Совет Д 05.95.40.

Ученый секретарь Специализированного

Совета, кандидат технических наук,

старший научный сотрудник К.А. Пресняков

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Каждый объекгг управления требует решения двуединой задачи: идентификации, математического моделирования в задачах оптимизации и обеспечения наилучшего режима работы объекта управления. Данная работа посвящена решению этих задач. В настоящее время получены значительные результаты в решении проблем математического моделирования в задачах идентификации и оптимального управления сложными технологическими процессами. Прежде всего, это касается задач параметрической идентификации объектов высокой размерности и оптимизации процессов, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями и дифференциальными уравнениями в частных производных. Здесь отметим работы J1. С. Понтрягина, В.Г. Болтянского, Е.Ф. Мищенко, Р.В. Гамкрелидзе, Р. Беллмана, А.Г. Бутков-ского, А.И. Егорова, В.Ф. Кротова, В.И. Гурмана, М.М. Хрусталева, П. Эйк-хоффа, ЯЗ. Цыпкина, P.M. Юсупова, Н.С. Райбмана, В.А. Потоцкого и др.

Используемые на практике, методы идентификации, несмотря на всю их разнообразность, можно свести к следующей схеме: на основания априорной информации об объекте выбирается структура модели с точностью до некоторого числа неизвестных параметров; затем эти параметры с помощью соответствующих методов математической статистики оцениваются на основании имеющихся экспериментальных наблюдений за функционированием объекта.

К таким методам можно отнести методы множественной регрессии, корреляционного анализа, наименьших квадратов, максимума правдоподобия, максимума апостериорной вероятности и т.п.

При применении этих методов обычно считается, что помеха, имеющаяся на выходе объекта, является случайной, стационарной, и имеется достаточная априорная информация об ее специфических свойствах.

Наибольшее распространение получил метод наименьших квадратов (МНК). Этот метод используется в тех случаях, когда нет никаких априорных сведений о свойствах оцениваемых параметров и ошибках измерений. С вы-

числительной точки зрения при реализации МНК обычно принимается, что требуемый объем оперативной памяти и количество вычислений пропорционален квадрату размерности объекта. На практике при идентификации объектов большой размерности использование МНК приводит к значительным затратам объема памяти машины, громоздким вычислениям и ошибкам оценивания. Следовательно, как метод идентификации нестационарных объектов большой размерности МНК является практически нереализуемым. Количество вычислений и требуемый объем памяти при применении метода максимума правдоподобия на порядок выше по сравнению с МНК.

В реальных условиях при наличии корреляции входных сигналов, ненулевых математических ожиданиях, помехах измерения, скорость сходимости одношаговых алгоритмов существенно снижается, оценки получаются смещенными, и вычислительные затраты и объем памяти, пропорциональные размерности решаемой задачи идентификации, являются неоправданными.

В связи с этим для оценки параметров объектов большой размерности нашли применение приближенные методы оценки параметров, обладающие простотой реализации и получившие название: метод общего параметра.

Одним из возможных путей к улучшению процесса идентификации служить подход, основанный на разбиении неизвестных параметров по тому или иному признаку, с сохранением достоинств метода общего параметра этот подход может обеспечить минимум выходной ошибки между объектом и моделью. Этот подход, разрабатываемый в данной работе, назван: методом группового общего параметра.

Важнейшую роль при математическом моделировании оптимальных процессов управления играют вопросы унификации получения и исследования необходимых условий оптимальности (условие Вейерштрасса, вариационное неравенство, принцип максимума и метод динамического программирования), а также проблема существования и единственности оптимального управления. Кроме того в работах А.Г. Бутковского развиты специальные подходы: метод

моментов и концепция финитного управления. Однако ряд скрытых особенностей практических задач, таких как отсутствие искомого элемента (решения) в числе сравниваемых, не единственность решений, удовлетворяющих необходимым условиям оптимальности, наличие особого управления, "вырожденность " задач управления, более того не всегда удается получить соотношения для определения сопряженных переменных в методе принципа максимума и т.п., вызывают значительные трудности и требуют разработки специальных подходов. Определенные перспективы для решения таких задач открывает предложенная в начале 60 - годов В.Ф. Кротовым теория достаточных условий оптимальности. Особо следует отметить на возможность создания новых вычислительных алгоритмов для математического моделирования приближенного решения задач оптимального управления, основанных на достаточных условиях оптимальности. Исследования В. Ф. Кротова и его последователей подтвердили плодотворность методов, основанных на достаточных условиях оптимальности, при решении ряда задач из техники, динамики полета, экономики, экологии и др., описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями и уравнениями в частных производных. Данная работа посвящена развитию подхода В. Ф. Кротова к проблемам математического моделирования в задачах оптимизации с параметрами в банаховых пространствах, включающим в себя объекты управления описываемые обыкновенными дифференциальными уравнениями и уравнениями частными производными и т.д. Особенностью предлагаемого подхода является то, что нет необходимости приведения исходной системы уравнений к нормальной форме (что не всегда практически осуществимо). Следует также отметить, что приведение исходных уравнений к нормальной форме требует введения дополнительных управляющих функций, при котором задача управления, полученная в результате такого преобразования, вообще говоря, может оказаться неэквивалентной исходной задаче (до преобразования), если не учитывать того , что полученная совокупность управляющих функций не совсем "свободна". Эти управления связаны условиями интегрируемости

(совместности) системы уравнений в нормальной форме. Как правило, это порождает дополнительные трудности при исследовании таких задач. Отметим также, что многие практические задачи оптимального управления распределенными системами неизбежно приводят к необходимости рассматривать разрешимость краевых задач процессов управления в обобщенном смысле.

Поэтому разработка процедур математического моделирования в задачах идентификации и оптимизации процессов с распределенными параметрами определило цель и содержание данной диссертационной работы.

Цель работы и методика ее исследования. Целью настоящей работы является:

1) Разработка методов и алгоритмов группового общего параметра идентификации объектов высокой размерности в темпе реального времени, определение условий их эффективного использования и практического применения.

2) Описать и обосновать математическую модель задачи нелинейного программирования с управляющими параметрами и с операторными ограничениями в банаховом пространстве, которая включала бы в себя как стационарные, так и нестационарные задачи оптимизации, описываемые обыкновенными дифференциальными уравнениями и (или) неравенствами, а также уравнениями и (или) неравенствами в частных производных; .

3) математическое моделирование абсолютного минимума для поставленной задачи оптимизации;

4) математическое моделирование относительного минимума, в частности, разработать метод Лагранжа -Понтрягина;

5) применить полученные результаты по математическому моделированию к задачам оптимизации процессов в эллиптических и параболических системах;

6) установить связь полученных результатов с известными результатами;

7) разработать математические модели по проведению вычислительных экспериментов, основанные на достаточных условиях оптимальности;

8) провести практическую проверку эффективности предложенных алгоритмов при решении ряда задач, в том числе задачи по выбору наилучшего температурного режима в химическом реакторе (вычислительный эксперимент).

Теоретические исследования проводились на основе методов математического моделирования, идентификации (метода общего параметра), теории дифференциальных уравнений, вариационного исчисления, функционального анализа, математической теории оптимального управления и, в частности, теории достаточных условий оптимальности В. Ф. Кротова.

Научная новизна, теоретическая и практическая значимость результатов работы. Разработан метод группового общего параметра идентификации объектов высокой размерности, отличающийся от известных тем, что перестраиваемые общие параметры определяются по выделенным группам параметров, в результате чего уменьшается размерность решаемой задачи идентификации. Это обеспечивает более высокую скорость сходимости по сравнению с методами оценки параметров при одновременной перестройке всех параметров по результатам эксперимента и более высокую точность практических оценок относительно метода общего параметра, где перестраивается всего один общий параметр, что является существенным и новым в задачах высокой размерности.

Для метода группового общего параметра получены условия и скорость сходимости, а также комбинированные методы оценки параметров объектов управления.

Разработан метод математического моделирования абсолютного и локального минимумов для задач оптимизации с параметром в банаховом пространстве, основанный на достаточных условиях оптимальности, установлена их взаимосвязь с методом принципа максимума. Эти обобщения соответствующих результатов В.Ф. Кротова являются нетривиальными, новыми; они эффективны и в том случае, когда известный подход не применим (приведены примеры).

На основе полученных результатов разработаны новые вычислительные алгоритмы решения задач оптимального управления, которые позволяют получить не только приближенную оптимальную программу, но и приближенный синтез обратной связи. Эти алгоритмы были апробированы при решении ряда задач, в том числе и нелинейной задачи оптимального управления температурным режимом в трубчатом химическом реакторе. Результаты численных экспериментов подтверждают достаточную эффективность предложенных алгоритмов.

Полученные в работе достаточные условия оптимальности динамических систем не требуют приведения исходной математической модели объекта к нормальной форме, что является существенным и новым, так как не всегда дифференциальные уравнения можно записать в нормальной форме.

Новыми являются вычислительные алгоритмы, основанные на нетривиальном обобщении конструкций достаточных условий оптимальности и принципа оптимальности В.Ф. Кротова.

Разработанный в диссертации метод и полученные на их основе алгоритмы идентификации доведены до программной реализации и применяются для решения задач адаптивного управления технологическими процессами, имеющими народнохозяйственное значения.

Модели, алгоритмы и программы методов группового общего параметра математического моделирования оптимальных процессов были включены в подсистемы идентификации адаптивных систем управления: температурно -скоростным режимом горячей прокатки полос на стане 1700 Карметкомбинат; были использованы в процессе проведения работ по созданию математического и программного обеспечения для автоматизации технологических процессов флотационного обогащения полиметаллических руд для обогатительной фабрики ОФ - 2 ЖЦМ (г. Жезказган).

Основные результаты работы использованы при подготовке и чтении спец. курсов " Моделирование и идентификации объектов управления "," Опта-

мальные и адаптивные системы " и применяются в курсовом и дипломном проектировании, а также НИРС (для студентов спец. 36.01).

Апробация работы. Основные положения диссертационной работы докладывались и обсуждались на VII межвузовской конференции по математике и механике (г. Караганда, 1981 г.), I, II республиканских конференциях по автоматизации в черной металлургии (г. Караганда, 1978-79 г.г.), на I, И, III конференциях преподавателей и сотрудников КазПТИ (г. Алма-Ата, 1978 - 80 г.г.), на международной конференции, посвященной 50 - летию развития математики в Академии наук Казахстана (г. Алмагы, 1996 г.), на международной научно-практической конференции - ИНФО - 97 (г. Алматы, 1997г.), Международная конференция по интервальным и стохастическим методам в науке и технике (интервал - 92) (Москва, Россия. 1992г.)

На научных семинарах по теории управления (рук. д.т.н., проф. Айсага-лиев С. А., Алматы, КазГУ им. Аль - Фараби); по теории управления (рук. д.т.н., проф. Ахметгалиев И.И., С - Петербург ЛИАП); по приложениям дифференциальных уравнений (рук. д. ф-м.н., проф. Дженалиев М.Т. ИТПМ МН - АН РК), по идентификации (рук. д.т.н. проф. Потоцкий В.А., Москва, ИЛУ РАН); по теории идентификации (рук. д. т. н., проф. Сыздыков Д. Ж. , Алматы, Каз-НТУ); по вычислительной и прикладной математике (рук. д. ф - м.н, проф. Сма-гулов Ш.С.), по системам автоматического управления и оптимизации (рук. д.т.н., проф. Шаршеналиев Ж.Ш., Бишкек, ИА НАН КР) и др.

Публикации. По теме диссертационной работы опубликовано тридцать одна работы.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка использованной литературы и приложений. Основное содержание диссертации изложено на 241 страницах машинописного текста.

Основные результаты работы

Во введении сделан краткий обзор методов параметрической идентификации и математического моделирования в задачах оптимизации. Рассмотрены

особенности решения задач идентификации и оптимального управления. Здесь же приведены основные результаты работы. 1

В 1- й главе рассматривается задача параметрической идентификации высокой размерности. Для ее решения в работе обоснован и разработан метод группового общего параметра и полученные результаты по исследованию свойств алгоритмов, предложенных на его базе, является развитием теории практической идентификации.

Рассмотрены задачи, направленные на разработку упрощенных методов и алгоритмов параметрической идентификации объектов высокой размерности, обеспечивающих требуемую точность и скорость сходимости.

Рассмотрим результаты главы 2. Пусть У, и, У г - банаховы пространства, А, (у, и) У х и -> Я, 1 = 1, ... , I - заданные нелинейные операторы, 1"(у,и): Ух и~» Я - заданный функционал; пара {у,и} еВ), если для них выполнены ограничения:

V, = {{у,и}| уеУс,и еис(у)} с У = У х и, (1)

А;(у,и) = 0У2,1 = 1,...,^, (2)

А;(у,и)>Оу2,*= (3)

Полагаем, что Ф 0. Задача оптимизации состоит в следующем: ^(У>и) = Ду>и) • (4)

Будем считать, что {у,и} е02, если {у, и} удовлетворяет ограничениям (1) и определим функционал

ЫУ>») = %.«) - 1< ВДЛСУ") >, (5)

¡=1

где А.4(у):¥->У2^ = 1,...,€1ДКУ):У->Р*, (6)

1 = + ..., I, Р*- конус, сопряженный конусу положительных элементов из У2-

Справедлива следующая теорема об абсолютном и локальном минимумах.

ТЕОРЕМА 1. Пусть существуют

а) операторы А,;, ¡ = 1, ..., I, удовлетворяющая условиям (6);

б) последовательность допустимых процессов управления {{уь^}, б еср| с с В}(ф = {1, 2, ...}) такие что

Шп-^у и) = 12=тП2. (7)

Тогда последовательность {{у^Ч]}, б еф} сБ! является минимизирующей для задачи « , , и любая минимизирующая последовательность для задачи « В \, ]удовлетворяет условию (7).

ТЕОРЕМА 2. Пусть существуют пара состояние - управление {у, й} еО] и операторы ¡ = 1, ..., £, удовлетворяющие условиям теоремы 1. (У5 = У> и5 = й при V э £ф) и дополнительно следующим: 1°. Множество не зависит от у; 2° уеМУс;

3°. при фиксированном управлении й еис функционал у Ду,й) принадлежит классу С^УД), а операторы (у-> А(у,и)} еС'(У;У2), и {у -> Л.;(у), VI =1, ..., £},еС1(У^) в точке у.

Тогда пара состояние - управление {у, и}и операторы Х'1, \ = !,...,£, удовлетворяют соотношениям формализм Лагранжа первого порядка:

=А](у)й) = Оу2, ¡ = 1. (8)

-Вх.Н = А{(у,и)>0^,= £,+1 ,...,£, (9)

(

ЪуМ=иу1{-^(Оу.А^Х^Оу., (10)

Xj еР*, < A/j, Aj(y, и) >= 0 для (11)

Vj = <j+1, ..., I,

H = H(y, А0 .И) = inf Н(у, Х°, u); (12)

ueUc

H = f(y,u)-i<Ä.i(y),Ai(y,u)>. (13)

i—i

ТЕОРЕМА 3. Для того чтобы задача минимизации « Di, J) » на паре состояние - управления {у, и} имела сильный относительный минимум, когда множество Uc не зависит от у, достаточно, чтобы выполнялись следующие условия:

1°. функционал и->Н(уД%) достигает строгого минимума в точке и; 2°. функционал {у -> f (у, U)} е с 2 (Y; R), операторы {у->А;(у,й), Vi = 1, ..., £} eC2(Y,Y2), {y-^j(y), Vi = 1, ..., £} e C2(Y; Y2*) в точке у;

3°. существуют операторы Я® е Y2,i = 1, .... t, X1, е ^/¡(Y; Y2*), i = 1,..., I, такие, что выполнены условия теоремы 2, причем,

ll > 0у2 - при Aj (у, и) = Оу2 и i е С(у, и), (14)

где С(у,и) = {i | А;(у,и) = Оу2, i = +1, } , и справедливо неравенство (где 5у = у - у, 5u = и - й, с = const > 0)

<DUH, 5и> + — <5у,<DyH- ¿(л1, *DyÄ, +(DyÄi)*X-),5y»+<5y,

t 2 _ I"' _ (15)

<D^H- Z^'DuAi, 5u»+-<6u, <D2H, 8и»>с|ру||у+||3и!|2j

для любых (у,и} eDjcH>

Dich = {{У.Ч}|11У ~ 5% * s, M eDj}.

Далее результаты этих теорем используются для получения условий оптимальности для задач управления эллиптическими системами.

Установлена связь этих результатов с условиями оптимальности, полученных В. Ф. Кротовым, и в то же время существенное их различие. Условия В.Ф. Кротова требуют приведения уравнений к нормальной форме, тогда как в наших теоремах в этом нет необходимости. Приведены примеры иллюстрирующие последнее обстоятельство.

Наконец, в этой же главе предлагается алгоритм последовательного улучшения, основанный на установленных условиях оптимальности.

Алгоритм последовательного улучшения.

Рассмотрим задачу оптимального управления при операторных ограничениях

в которой отсутствуют ограничения в форме неравенств , т. е.

А1(у,и) = Оу2, ¡= 1, ... , I, (¿¿п ) , (16)

у^г..,/}, иМи1,...,-^}; 1

{у,и}€Ус»уеУс, иеис(у); (17)

у еУ, и е 17, (У, и - функциональные пространства); (18)

;1(у,и) = Г(у,и)->шС (19)

где множество допустимых пар состояние - управление {у, и} определяется следующим образом:

О, = {{у,и} |(16) -(18)} (20)

Итак, имеем задачу оптимизации « Бь I)» . Предлагается следующий алгоритм улучшения : 1). Задается начальное приближение управления иа;

2). Определяется множество допустимых состояний у при управлении uo; Y = {yiyeY (18), у е Yc (17), = Оъ,

i=l, (16)} (21)

3). на множестве Y0 (21) решается задача минимизации функционала

Ji(y, uo), т.е. находится элемент y0 = arg inf f(y,u0),

у eY°

либо последовательность {{yos}, s eS} с: Y° такая, что lim f(y0s> uo)= inf f(y,uo);

в последнем случае, за элемент уо принимается элемент последовательности {{yosbS6S}> обеспечивающий требемую точность при решении задачи «Y°;J, (у,uo)»;

4). находятся операторы Я.®(у), i= 1, ... , I, из условия

Н(Уо, П<'>(у0), 1(1\уо)) = sup ЩуУЧу),^), (22)

yeYc

где

Н(у,иД) = f(y,u) - 1< Х;(у), А;(у, и) >, (23)

i=l

SU)(y) = arg inf Н(у,иД(1))(у)); (24)

ueU£(y)

5). определяется состояние yi как решение задачи минимизации функционала Jj(y,Ii®(y)) = f(y,nm(y)) на множестве

У1 ={у | у еУ, у еУс> АКу,11(,)(у)) = Оу2, 1 = 1, ... ,£} ,

т. е. у!=агв ^ Г(у,и{1)(у)); уеУ1

6). определяется управление 1ц = и®(у1); и далее, переход к п. 4) ал-

горитма и т. д.

Справедливо следующее утверждение.

Теорема 4. Для последовательности пар состояние - управление {{у5,ц5},з еБ} с: О], генеруемой вышеуказанным алгоритмом улучшения, имеет место неравенство

Причем, знак равенства в (25) возможен только при выполнении условия

В главе 3 рассматриваются задачи оптимального управления нестационарными процессами, описываемых уравнениями первого порядка. Пусть Уь Уг, Иь иг - банаховы пространства, 1(=(0,Т)с!1- временный интервал, Т < У, с: У2 - плотно и непрерывных;

;)(у5,и5)<11(у5_ьи5_]) для каждого эеБ

(25)

Н(У,_1, и,.,, я(5)(у5_1)) = Н(у3,и3,^>(у5)).

(26)

(27)

где 1 <рг<р1 <со;

Щ = Ьрз (0,Т;и,), Рз > 1; и2 = и2; г/2=и2;

У = У", и1 = и{, 1/2=1/|; {у(1), и(0}

ун(0с Ух и1 х и2, у(1) еун(0,и,0) еин0,у(0), и2еис(уа),у(0),у(Т)) = ис(у), Ун(0 = {{у(1), и(1)}|у(0 еУнО),иО) € ин(1,у(1))}

(29)

(28)

Будем говорить, что {y(t), u(t)} 6D),если она удовлетворяет условиям (10)-(15), (27-30) и

_Mi) + Ai(t,y(t),u(t)) = 0Y2, (31)

i = 1, ..., для почти всех t е(0,Т);

- + Ai(t,y(t), u(t)) > 0Y2, (32)

i = ii + 1, ..., n, для почти всех t е(0,Т);

A„+i(y(Û), уСГ). u2) = 0Xi,i = l, ..., £2; (33)

An+i(y(0),y(T),u2)>OXi,i = ^2 + l, ..., n<2n. (34)

Полагаем, что Dj ^ 0. На множестве Dj определим функционал, характеризующий качество допустимого процесса. Т

Jl(y,u) = Jf0(t,y(t), u(t))dt + fi(y(0),y(T),u2) (35)

о

требуется найти решение задачи оптимизации

Jl((y,u)-»inf (36)

D>

Теперь определим множество D2:

= {{У«, u(t)}|(21), (30)}, (37)

а также функционал J2:

Т

J2(y>u) = G(y(0),y(T), u2) - jRit.yiO.uit)^, (38)

о

где

G(Ç,t|,u2) = fi«,4,u2) + Ф(Т,тО - q>(0,ij) -^ (39)

i=l

R(t,y,u) = |-q>(t,y)+ i<Xi(t,y), Ai(t,y,u)>-f0(t,y,u), (40)

Я,: (0,Т) х Lpj(0,T; Y)—>L . (О, T;Y2*), (41)

Рг

i = l, ■...I/1,Pi1+P^1 = l;

Х{: (0,Т) х Lpj(0,T;Y) ->Р*, i = +1, ..., п; (42)

Р*- конус, сопряженный с конусом положительных элементов из ЬРз (О, Т; Y2);

9;:Х х Х~» X*, i = 1,... , 12, (43)

6j:Xx X—> Pj*, i = £2 + 1, ... , л,,

Pj -конус, сопряженный с конусом положительных элементов из Xi; причем, от операторов A.j, i= 1, ... , n, (41) - (42) требуется, чтобы они были потенциальными, т.е. существовал такой функционал (потенциал) Ф :[0, Т] х У R, что

Dyq)(t,y)=X(t,y) = {bi(t,y), .... X„(t,y)}. (44)

Далее, пусть:

|i(t) = sup R(t,y,u) почти всюду на (О, Т), (45)

{у(0. u(0}eVH{1)

MeL,(0,T), (46)

m= , inf С(£,л,и2), (47)

}sX0 хХт xUc K,ri)

m > -oo (48)

Класс функционалов cp(t,y) и операторов 0;(£,г|), i = l, ..., П], удовлетворяющих условиям (38) - (48), обозначим через Фи Он соответственно. Установлена следующая ТЕОРЕМА 5. Пусть существуют

а) функционал <p(t,y) еФ, 6(у(0), у(Т)) е Он;

б) последовательность допустимых процессов управления {{ys(t),us(t)},sеф}сDi, такие что

lim J, (ys(t), us(t)) = / = m - Jn(t)dt (49)

S->CO 0

Тогда последовательность {{ys(t), us(t)}, secp} является минимизирующей для задачи « Di; Ji », и любая минимизирующая последовательность для задачи « Di; Ji » удовлетворяют условию (49).

На основе теоремы 5 установлены условия оптимальности локального минимума (аналоги теорем 2,3)

В 4 - главе результаты 2 и 3 - глав конкретизируются и развиваются для систем, описываемых параболическими уравнениями. Существенным здесь является представление исходных задач моделей процесса в виде интегральных тождеств, а градиенты вспомогательного функционала X[t,y] будут играть роль пробных функций в этих тождествах.

Пусть управляемый процесс описывается векгор-функцией у (t,x) = (y' (t,x), . . . , yn (t,x)) s у cE" , удовлетворяющей уравнениям

dy'Jl'XLA] у' (t,x) + 0J (t, x,y , y„ U) j = l,...,n (50)

где t eT = (t„, tj) - время, t0 < tx < со.

x eX с Em - пространственная переменная,

X - открытое ограниченное множество с кусочно - гладкой границей д X.

А;= У faL (t, х, у, ух)~—I- эллиптические операторы, (j = l, ... ,п)

aik> ~ определенные функции своих аргументов, начальным условиям

yj(t0,x) = y£(x) VxeX (j = l„,.,n) (51)

и одной из следующих граничных условий

yj (t, х) = Ф] (t, х, у, о) (j= lTn), t eT, хе дК (52)

(условия первого такта),

Определим множество допустимых процессов D как совокупность функций у (t, х), u (t, х), и (t, х), удовлетворяющих следующим условиям

1°. (у (t, х), ух (t, х), u (t, х) g W (t, х)) при фиксированных t 6 Т, х е X ,

2°. (у (t, х), U (t, х) SÔW (t, х)) при фиксированных teT, хеХ,

3°. u (t, х) ell , u (t, х) e 3, U, S - некоторые функциональное прстранства с нормами ||| |||а,

4°. каждая пара допустимых управлений u (t, х) e(u|u eU, u s Wu(t, x, y, yx)J,

и (t, x) e{u]o еЭ , и e5Wu (t, x, y) } определяет обобщенное решение краевых задач (50)-(52) y(t, x)eWp,1(TxX), удовлетворяющих системе интегральных тождеств

Jyjpj ;:dx-jj|yjpjt - £ajkyjkpjXj +Pj0j}dXdT = O (53)

X t'Xl i, k=l J

Vpj(t,x) = 0 при teT,xe3X, j = l, n

(граничные условия первого типа), и условиям

tluno|[yj(to+t,x)-yj(x)]ej(x)dX = 0 j=l,...,n (54)

для любых

PjMeW'(TxX), 0j(x)eLq(X), yj(x)eLp(x)

11,

- + - = 1; р>1 р q

t', t" - моменты времени, удовлетворяющие условию t0 <t' < t" < tj. На множестве допустимых процессов D задан фунцкионал

1 [у. и' = /11фо0. х> У. Ух> и)ах+ /ф0 (1, х, у, и)13Х с1Т +

ах .]

т (.х

+ К (х,у(1ьх))с1Х5

где Ф0, ф0, ф^ -заданные функции, причем функции Ф, ф0 удовлетворяют условиям

1+А1

||ф0 X, у, Ух, и)ахат=|Ф0 (х, х, у, у„ и)ах , (56)

IX

¡+дг

1ш1 — Л Фо (*> х> У> и)с1Хс1Т = |<;>0 (с, х, у, о)13Х ,

(57)

|ЭХ

ах

Задача 1. Найти минимизирующую последовательность (М. п.) вектор -функций сй5(1,х)= [у^х), иД^х), и5((.х)|еО (б=1, 2, ...) для функционала •К®) (55).

Основная теорема об абсолютном минимуме. Для получения достаточных условий абсолютного минимума для поставленный задачи введем в рассмотрение

а) скалярный функционал К(1, у), который определен и непрерывен на прямом произведении множеств Т х \¥р(Х), непрерывные дифференцируем по ( и, как функционал , дифференцируем по Фреше по у при всех 1еТ с нормой

|гМР + 2

¡=1

ЭгМ)

Зх4

с!Х

Производная Фреше по у от функционал К(1, у) обозначим через х, у). От функционала К(1, у) дополнительно потребуем, чтобы

р(1,х,у(и))е'\¥(;(ТхХ), 1 + 1 = 1, р>1

Р Ч

при любом допустимом у (1, х) е (Т х X).

х

б) функционал

М [t, у, u, и]= [

х

РФ - I aLjyXjPx.-O0 ¡,j=i

dX+Kt[t, у]-

+ /[-Фо+(Л, Ф)]йЗХ,

дХ

(для задачи с граничными условиями первого типа), X(t, х) - множитель Лагранжа,

ц(0 = sup

(y,yx,u) eW(t,x), t eT, x edX, M[t, у, u, u]: (y, u) e <5W(t, x), t e T, x e 8X, y(t,x)eW^(X),teT

N[y]= J Ф, dX + K[t,, y(t„x)]-K[t0,y(t0,x)],

(60)

(61)

v = inf{N[y]: yeWy(t,,x), xeX}. (62)

Относительно функционала K[t, у] предположим дополнительно, что функция n(t) интегрируема на Т, т. е. p(t) eLj(T). Класс функционалов у], удовлетворяющих перечисленным требованиям, обозначим через К. ТЕОРЕМА 6. Пусть существуют

а) функционал K[t, у] е К,

б) п. функций {cos(t,x)} с D (S = 1,2,...,) такие, что i°. jM[t,ys(t,x), us(t,x), Ds(t,x)]dT-> Jjx(t)dT,

T T

2°. N[ys(t,S)]-> v>- да

Тогда {oo/t.x)} с D - m. п. и любая м. п. удовлетворяет условиям 1°, 2°. Для co(t,x) = (y(t,x), u(t,x), u(t,x)) eD справедливо

Д[ш(1,х)] = М{.Г[со]:к> е 0} и имеет место следующее утверждение.

ТЕОРЕМА 7. Пусть существуют

а), функционал К(х,Ъу)еК ,

б), тройка функций {у(х, 0,ш(х, О, й(х, 0} е Б , такие, что

1°. /М^у^х), о(1,х)] = ^(1) п. Ь на Т. 2°. Ы[у(г,х)] = у.

т

Тогда 55(^х) еП- миниамль и любая минималь удовлетворяет условиям

1°, 2°.

Эти результаты позволили установить математические модели относ-тельных минимумов, которые сформированы в виде теорем, сопровождаемых строгими математическими доказательствами. На основе этих условий в главе5 разработан алгоритм последовательного улучшения, как частный случай реализации выше приведенного алгоритма, а также способы его реализации для вычислительных экспериментов. При этом поиск функционала у] сводится путем его разложения в ряд вдоль решения у5_0(Ч,х), полученного на предыдущей итерации алгоритма, определению коэффициентов этого ряда:

К*М= 1|ч/5(1,х)ТДу(1,х) + ^Ду(1,х)Т|а5(1,х,х')Ау(1,х')аХ'} х XI 1 X' )

хс1Х+ . . ., где Ду(^х) = у(1,х)-у8_1(^х).

Дано обоснование сходимости алгоритма. Этот алгоритм является новым; его эффективность показано при решении ряда задач оптимального управления диффузионными процессами, например, задача по выбору наилучшего температурного режима в трубчатом химическом реакторе (глава 5).

Основные результаты диссертации являются новыми, опубликованы в работах автора [1 - 31] и внедрены. К ним могут быть отнесены:

1). Разработан и обоснован метод группового общего параметра идентификации объектов управления высокой размерности, отличающихся от известных тем, что перестраиваемые общие параметры определяются по выделенным группам параметров, и существенно уменьшается размерность решаемой задачи идентификации.

2). Установлены условия сходимости, скорости сходимости и оценки точности алгоритмов параметрической идентификации методом группового общего параметра, а также комбинированных способов его реализации, учитывающих их положительные свойства и преимущества методов перестройки всех параметров модели по результатам эксперимента на каждом шаге.

3). Предложен и математически обоснован общий метод математического моделирования оптимальных процессов, описываемых ограничениями в банаховых пространствах.

4). Разработан метод математического моделирования стационарных оптимальных процессов распределенными параметрами. Дано применение полученных результатов на примере управляемых эллиптических систем уравнений и неравенств. Разработана схема реализации предлагаемого метода математического моделирования для относительных оптимумов: метод Лагранжа. Показана взаимосвязь полученных результатов с известными теоремами по достаточ-

ным условиям оптимальности В. Ф. Кротова. Приведены примеры, иллюстрирующие преимущества предлагаемого в работе подхода,

5). Разработанный метод математического моделирования оптимальных процессов получил развитие для нестационарных распределенных систем управления. Установлено применение полученных результатов к управляемой параболической системе управлений и неравенств. Установлены основные соотношения при математическом моделировании относительного минимума: метод Лагранжа.

6) Разработанный метод математического моделирования оптимальных процессов конкретизирован и уточнен в случае, когда обобщенная разрешимость краевой задачи понимается в смысле интегрального тождества. Дана новая интерпретация пробных функций в интегральном тождестве.

7) На основе установленных результатов разработан и математически строго обоснован алгоритм приближенного математического моделирования оптимальных процессов.

8) Разработанные вычислительные алгоритмы по приближенному математическому моделированию оптимальных процессов применены к выбору наилучшего температурного режима в химическом реакторе, а также к ряду модельных задач.

9). Разработанные методы и алгоритмы по идентификации и математическому моделированию оптимальных процессов включены в технический проект математического обеспечения системы автоматического

управления формированием оптимального температурного режима полосы конца прокатки на листовом стане горячей прокатки. Эти результаты позволили значительно сократить время оценки параметров процесса формирования наилучшего температурного режима конца прокатки в непрерывных клетях листового стана горячей прокатки 1700 КарМК, что способствовало увеличение быстродействия САУ.

10). Научные результаты по адаптивным методам идентификации и математическому моделированию и выбору наилучших технологических режимов обогащения были использованы в процессе проведения работ по созданию математического и программного обеспечения для автоматизации технологических процессов флотационного обогащения полиметаллических руд для ОФ - 2 ЖЦМ (г. Жезказган).

11). Проведены вычислительные эксперименты на ЭВМ по численному моделированию оптимальных процессов, результаты которых приведены в приложениях.

Основные положения диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Дженалиев М.Т., Сматов К. Математическое моделирование оптимальных процессов управления (монография). - Алматы.: Рылым, 1997, с. 144.

2. Сматов К.С., Сон В.А. Метрология и электрические измерения (учебное пособие). - Алматы.: КазПТИ, 1987, с. 55.

3. Яковлев В.Б., Сыздыков Д.Ж., Сматов К.С. и др. Построение моделей непрерывных технологических процессов (учебное пособие). - Алматы.: КазПТИ, 1988, с. 55.

4. Алимов А. А., Сыздыков Д. Ж., Заграничный А. В., Сматов К. С, Оценка параметров объектов большой размерности. - Сб.: Кибернетика и автоматика, вып.7. - Алма-Ата, 1977, с. 3-12.

5. Ашимов А. А., Сыздыков Д. Ж., Сматов К. С. Групповой метод общего параметра к оценке объектов большой размерности. - В кн.: Вопросы создания АСУ технологическими процессами и предприятиями. - Алма- Ата.: Каз-НТУ, 1980, с 10-15.

6. Заграничный А. В., Сматов К. С. Идентификация методом общего параметра при наличии корреляции входных сигналов и помех измерения. - В кн.: Вопросы создания АСУ технологическими процессами и предприятиями. - Алма-Ата.: КазПТИ, 1982, с. 27-33.

7. Сыздыков Д.Ж., Сматов К.С. и др. Адаптивные устройство идентификации объектов высокой размерности. Теория и практика средств информ. - управляющих систем. - Алматы.: КазПТИ, 1986 с. 42-47.

8. Сыздыков Д.Ж., Сматов К. и др. Об одной задаче управления билинейной системы. Межвузовский сборник научных трудов, 1989. Алматы, с. 96-101.

9. Сматов К., Ахметов Д.Ф. К идентификации сложных объектов методом общего параметра. Модели, методы и систем автоматизации производственно - технических процессов, 1990, Алматы, с. 83-87.

10. Мамиров С.У., Сматов К. Алгоритм решения задачи о назначении. Межвузовский сборник научных трудов. Проектирование информационно - измерительных и вычислительных систем. - Алматы, 1990, с. 79-83.

10. Сматов К., Ахметов Д.Ф. Оценивание порядка и параметров сложных систем. Межвузовский сборник научных трудов. Модели, методы и программные средства управления организационно - техническими средствами, Алматы, 1992, с. 80-84.

П.Сыздыков Д.Ж., Сматов К., Кабылдин K.M. Об особенностях построения систем идентификации для сложных технологических процессов. Международная конференция по интервальным и стохастическим методам в науке и технике (интервал - 92). Сб. тр. Москва. Россия, т.1. 1992. с. 173-176.

]2.Дженалиев М. Т., Сматов К., Табултаев С. С. Об одной сингулярной задаче оптимального управления для бигармонического управления. Сборник трудов факультета Автоматики и энергетики КазАТК. - Алматы, 1997. вып.1. -с. 140-146.

13.Дженалиев М.Т., Касымбекова A.C., Сматов К.С. Задача управления коэффициентами нагруженного управления теплопроводности. // Известия Mil -АН PK. Сер. физ. - мат. - 1997, №3, с. 26-32.

14. Сматов К. О приблеженном решении задач оптимального управления. Журнал " Тауар ", Научно-технический, экономический, отраслевой №1. 1998, с. 61-63.

15.Яковлев В.Б., Сыздыков Д.Ж., Сматов К.С. и др. Построение моделей технических процессов (методическое указание и задания к лабораторным работам на ЭВМ) - Алматы.: КазПТИ, 1988, с. 55.

16.Сматов К., Заграничный А.В. Оптимальные и адаптивные системы (задания и методические указания к выполнению курсового проекта для студентов специальности 21. 01 очного и заочного обучения) - Алматы.: КазНТУ, 1995, с. 37.

17.Сматов К.С. Лабораторной практикум по курсу " Телемеханика и связь ", (исследование передающего и приемного устройства системы телеизмерение типа ТНЧ - 4). - Алматы.: КазПТИ, 1986, с. 20.

18.Сматов К.С., Магомаев В.Ю., Малахова И.Н. Лабораторный практикум по курсу " Телемеханика и связь". - Алматы.: КазПТИ, 1986., с. 20.

19.Джангозин А.Д., Сматов К., Мусин Ш.А. Метрология и электрические измерения. Методические указания к лабораторным работам, часть I. - Алматы.: КазПТИ, 1982, с.20.

20. Сматов К., Заграничный А.В. Тшмд1 жэне адаитшт жуйелер (жобалауды орындауга арналган едютемелж нускаулар жэне тапсырмалар, 36.01 маман студенттер! унхш), - Алматы.: КдзУТУ, 1996. 39 б.

22.Сматов К,., Бесбаев Ж.Б. Телемеханика. Курстык, жобалауды орындауга арналган одктемелк нускду (36. 01 маман студентгер1 ушш), 1996. 28 б .

23.Ярмухамедова З.М., Сматов К.С. Физико-химические основы математической модели типовых технологических процессов (для ВУЗа по специальности 36. 03 — Автоматизация технологических процессов и производства), - МО РК , индекс СД 04. А. - Алматы, 1997, с. 5.

24. Ярмухамедова З.М., Сматов К.С. Идентификация объектов и систем управления (для ВУЗа по специальности 36. 03 - Автоматизация технологических процессов и производств), - индекс СД. 05. А, Алматы, 1997, с. 6.

25. Джангозин А. Д. Сматов К.С. Прикладная теория информации (для ВУЗа по специальности 36. 01 - Автоматика и управление в технических системах). -МО РК, индекс СД. 04. Э, Алматы, 1996, с. 6.

26. Сыздыков Д.Ж., Сматов К.С. Оптимальные и адаптивные системы (для ВУЗа по специальности 36. 01. Автоматика и управление в технических системах). - МО РК, индекс СД. 09. Э, Алматы, 1996, с. 8.

27. Ярмухамедова З.М., Сматов К,С- Объекгшердщ идентификациялануы жопе баскару жуйелер1 (пеннщ жогаргы ок,у орындаш 36. 03 - Техноло-гиялык процестер мен отнрютерд! автоматгандыру мамандышна арпалган) - К.Р БМ, индекс! МП. 05. А, Алматы, 1997,56.

28. Джангозин А.Д., Сматов К,- К,олданбалы акдараттар теориясьг (36. 01 -Автоматика жэне техника жуйелершдсп баскару мамандык, бойынша жогаргы бшм орындарына арналган). - К,Р БМ, индекс! МП. 04. Э, Алматы, 1997, 76.

29. Сматов К., Ярмухамедова 3. М. Физико - химиялык непздер жоне типтЬс 1схноло1ия'шк процестщ математикалык, моде.'и. - К,!' БМ, индекса МП. 04. А., Алматы, 1997, 56.

30. Сыздыков Д.Ж., Сматов К,- Оптимальды жэне адаптшш жуйслер(36. 01 -Автоматика жене техника жуйелершдеп баскару мамандыга бойынша жогаргы бшм орындарына арналган). - К,Р БМ, индекс! МП. 09. Э, Алматы, 1996, 86.

31. Дженалиев М.Т. Сматов К. Международная научно-практическая конференция. Современные проблемы информатики, управления и создания информационных технологий и систем. - Алматы, 1997.

Балуштурулгон параметрлуу процесстерди оптимизациялоо маселелериндеги математикалык моделдоо

Бул эмгекте квп влчемдуу объектилерди идентификациялоо жана белуштурулгвн параметрлуу системалардагы оптималдык процесстерди математикалык моделдвв проблемалары чечилген. Бул максатга грутхпалык жалпы параметрдин жана жалпыланаган Лагранждын кебейтундулерунун ыкмалары (методлрру) иштелип чыккан жана математикалык жактан толук негизделген. Оп — тималдуулуктун жеткиликтуу шарттары тузулгвн жана алардын негизинде стационардык жана стационардык эмес процесстерди оптимизациялоо маселелериндеги абсолюттук жана локалдык минимумдардын математикалык квргвзулушу алынган. Бул на — тыйжалар эллипстик жана параболалык системалаларга колдо — нулган. Идентификациялоонун жана оптимизациялоонун алго — ритмдери иштелип чыккан, алардын жыйылуучулук баалары тузулгвн.

Алынган натыйжалар ысык прокаттык стандагы жалпак — талуучу металдын тилкесинин оптималдуу жылуу режимин адаптивдик башкаруусун тузуу учун жана полиметалдык руда — ларды флотациялык байытуунун технолигиялык процесстерин оптимизациялоо боюнча математикалык жана программалык жабдууну тузууде колдонулган.

Белуштурулгвн параметрлуу оптималдык процесстерди сандык моделдвв бонча ЭВМде эсептее эксперименттери

жургузулгвн.

Математическое моделирование в задачах оптимизации процессов с распределенными параметрами.

В работе решены проблемы параметрической идентификации объектов большой размерности и математического моделирования оптимальных процессов в системах с распределенными параметрами. Для этой цели разработаны и математически строго обоснованы методы группового общего параметра и обобщенных множителей Лагранжа. Установлены достаточные условия оптимальности, и на их основе получено математическое описание абсолютного и локального минимумов в задачах оптимизации стационарными и нестационарными процессами. Эти результаты применены к эллиптическим и параболическим системам. Разработаны алгоритмы идентификации и оптимизации, установлены оценки их сходимости.

Полученные результаты использованы для построения адаптивного управления формированием оптимального температурного режима полосы прокатки на листовом стане горячей прокатки, создания математического и програмного обеспечения по автоматизация технологических процессов флотационного обогащения полиметаллических руд.

Проведены вычислительные эксперименты на ЭВМ по численному моделированию оптимальных процессов с распределенными параметрами.

Smatov Kossy

Mathematic modelling in problems of optimizing of processes with distributed paramétrés

The solution of the problems of parametre identification of the objects of big size and mathematic modelling of optimal processes in the systems with distributed parametres are presented in this work. The methods of group general parametre and generalized multiplier of Lagrange have been developed and strictly grounded for this purpose. Sufficient optimal conditions are set up and on their basis mathematic describtion of absolute local minimum in the problems of optimizing by stationary and non- stationary processes was obtained. These solutions are applied for elliptic and parabolic systems. Algoiythms of identification and optimization have been developed, evaluation of their conformity was made.

The obtained results are vised for creation of adatable management by forming optimal temperature regime of rolled metal bar on the hot bar mill and creation of mathematic and programme supply on automatization of technological processes of flotation of dressing of polimetal ore.

Calculation experiments on electronic machines on digital modelling of optimal processes with distributed parametres have been undertaken.

Улеспрмел! параметрл1 процестсрд1 оптимизциялау меселелершдеп математикалык модельдеу

Жумыста кеп елшемд1 объектшсрд1 параметрлк идентифика-циялау жоне улеспрмсл1 параметрл1 жуйедеп процестерд1 оптимизациялау моселелершдеп математикалык, модельдеу проблемалары ше-шшген. Бул максатка жету ушш топтамалы жалпьг параметр жоне жалпылама Лагранж кобейтшдигер эдютер1 жасалып, математикалык турде катад непзделген. Оптимальдылыктьщ жсткшкп шарттары курылып, олардыц непзшдс стационарлы жэне стационарлы емес процсстерд1 оптимизациялау есептершдеп абсолютты жэне локальды минимумдардыд математикалык элштену1 алынган. Бул нэтижелер эллипепк жене параболалык жуйелерге колданылган. Идентифика-циялау жоне оптимизациялау алгоритмдер1 жасалган, олардыц жи-нактылык багалары курылган.

Алынган нотижелер ыстык жалпактау кацылтыр станындагы жалпакталушы металдьщ оптимальды жылу режимт жасаудагы адап-тивт1К баскаруды КУРУ У111™ жэне полиметалды кендерд1 флотация-лык байыту технологиялык процестерщ автоматтандыруда математикалык жэне багдарламалык камтамасыз ету уплн пайдаланылды. ЭЕМ (электрондык ссептеу машиналарында) улеепрмсл1 параметрл1 оптимальды процестерд1 сандык модельдеу тэж!рибелершщ eceптeyiш эксперименттер! журпзЬге.н