автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.06, диссертация на тему:Последовательная параметризация управляющих воздействий и полубесконечная оптимизация алгоритмов управления технологическими объектами с распределенными параметрами

На правах рукописи

Плешивцева Юлия Эдгаровна

003470509

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНАЯ ПАРАМЕТРИЗАЦИЯ УПРАВЛЯЮЩИХ ВОЗДЕЙСТВИЙ И ПОЛУБЕСКОНЕЧНАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ

АЛГОРИТМОВ УПРАВЛЕНИЯ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИМИ ОБЪЕКТАМИ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

Специальность 05.13.06 - «Автоматизация и управление

технологическими процессами и производствами (промышленность)»

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук

1 1 Шй 2иь9

Самара - 2009

003470509

Работа выполнена на кафедре «Управление и системный анализ в теплоэнергетике» Государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Самарский государственный технический университет».

Научный консультант: Заслуженный деятель науки РФ,

доктор технических наук, профессор Дилигенский Николай Владимирович

Официальные оппоненты: - член-корреспондент АН Республики

Башкортостан, Заслуженный деятель науки и техники РФ, доктор технических наук, профессор ИЛЬЯСОВ Барый Галеевич

- доктор технических наук, профессор КЛИМОВИЦКИЙ Михаил Давидович,

- доктор технических наук, профессор АБАКУМОВ Александр Михайлович

Ведущая организация:

Саратовский государственный технический университет, г. Саратов

Защита диссертации состоится 25 июня 2009 г. в 10 часов на заседании диссертационного совета Д 212.217.03 ГОУ ВПО «Самарский государственный технический университет» по адресу: 443010, Россия, г. Самара, ул. Галактионовская, 141, ауд. 28.

Отзывы по данной работе в двух экземплярах, заверенные печатью, просим направлять по адресу: Россия, 443100, Самара, ул. Молодогвардейская, 244, Главный корпус на имя ученого секретаря диссертационного совета Д 212.217.03; факс: (846) 278-44-00.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Самарского государственного технического университета (ул. Первомайская, 18).

Автореферат разослан _ 2009 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 212.217.03 Н.Г.Губанов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы

Перспективы дальнейшего развития ведущих отраслей промышленности неразрывно связаны с повышением удельного веса энерготехнологических процессов, возрастанием их энерго- и материалоемкости. В этих условиях необходимо обеспечить достижение предельно возможных технико-экономических показателей работы промышленного оборудования, что требует разработки методов усовершенствования его конструкционных характеристик и соответствующей организации режимов функционирования, оптимальных по принятым критериям эффективности. Серьезные трудности, возникающие на этом пути, определяются высоким уровнем сложности большинства ответственных энерготехнологических процессов, функции состояния которых, прежде всего, характеризуются ярко выраженной неравномерностью их распределения в пределах пространственной области, занимаемой объектом.

Указанная проблема может быть решена в основных своих аспектах на базе современной теории и техники оптимального управления системами с распределенными параметрами (СРП). К числу СРП относится широкий круг управляемых объектов, охватывающих, как традиционные, так и новейшие технологии в самых различных областях техники. Практическая реализация таких технологий с требуемыми качественными показателями невозможна без построения соответствующих алгоритмов автоматического управления, что и явилось главным стимулом к созданию теории и методов управления СРП. Задачи оптимального управления СРП оказываются качественно более сложными по сравнению с аналогичными задачами управления системами с сосредоточенными параметрами в виду целого ряда принципиальных особенностей этих систем, связанных с пространственной распределенностью управляемых величин.

Начиная с основополагающих работ А.Г. Бутковского, к настоящему времени в теории управления СРП получен целый ряд фундаментальных результатов. Здесь можно, прежде всего, отметить работы Г.Л. Дегтярева, А.И. Егорова, Ю.В. Егорова, В.А. Коваля, Ж.-Л. Лионса, К.А. Лурье, И.М. Перши-на, В.И. Плотникова, Л.М. Пустылышкова, Э.Я. Рапопорта, Т.К. Сиразетди-нова, А.В.Фурсикова, Ф.Л. Черноусько и многих других отечественных и зарубежных ученых.

В последние годы интерес к проблеме оптимального управления СРП значительно возрастает. Однако, общая теория управления СРП вынужденно оперирует абстрактными теоретическими схемами, в которые не вписываются практические требования и многие принципиальные особенности конкретных прикладных задач. Это приводит к абстрагированию от целого ряда принципиальных для прикладных задач факторов, учет которых необходим для получения приемлемых на практике инженерных решений. При этом СРП характеризуются практически неограниченным спектром существенных осо-

бенностей, что приводит к возникновению отдельных задач управления применительно к каждому классу исследуемых процессов. Эффективные решения таких задач могут быть получены только на основе адаптации общетеоретических результатов к конкретной предметной области и максимального учёта ее базовых физических закономерностей.

Одной из центральных проблем в теории управления СРП применительно к целому ряду прикладных задач, представляющих самостоятельный интерес, остается разработка конструктивных методов решения краевых задач оптимизации СРП по переводу объекта в требуемое конечное состояние с экстремальными значениями оптимизируемых показателей качества в целях построения алгоритмов программного управления и методики синтеза замкнутых систем с обратными связями. Широко распространенные на практике подходы к этой проблеме, базирующиеся на приближенных описаниях СРП в терминах систем с сосредоточенными параметрами, характеризуются рядом существенных недостатков или вообще оказываются неприемлемыми. Точные решения задач оптимального управления для исходных моделей технологических объектов с распределенными параметрами (TOPIJ) по традиционной схеме с фиксированным правым концом траектории, игнорирующей особенности большинства прикладных задач, либо не могут быть получены даже теоретически, либо существуют в классе нереализуемых управляющих воздействий.

Это вызывает необходимость разработки новых эффективных и реализуемых на практике методов поиска алгоритмов оптимального управления в подобных задачах, учитывающих практически всегда существующие допуск» на отклонение от номинальной точки, фиксируемой в исходной двухточечной схеме.

Диссертация посвящена разработке, теоретическому обоснованию, построению вычислительных алгоритмов и практическому применению нового конструктивного метода точного решения краевых задач оптимизации ТОРП с подвижным правым концом траектории в бесконечномерном фазовом пространстве координат системы, базирующегося на предлагаемом специальном методе последовательной конечномерной параметризации управляющих воздействий и существенном использовании базовых закономерностей предметной области оптимизируемых процессов.

Диссертация выполнена в соответствии с плапом фундаментальных научно-исследовательских работ Самарского государственного технического университета (СамГТУ), выполняемых по заданию Минобрнауки РФ. Работа поддержана грантами РФФИ (проекты 06-08-00041-а, 07-08-00342-а) и совместными грантами Минобрнауки РФ и Германской Службы Академических Обменов (DAAD).

Целью работы является разработка основ теории и техники применения эффективного метода точного решения краевых задач оптимизации ТОРП с заданным целевьм множеством конечных состояний и построение на базе это-

го метода вычислительных алгоритмов для решения широкого круга прикладных задач оптимального управления энерготехнологическими процессами.

Для достижения указанной цели в диссертации поставлены следующие основные научные задачи:

- разработка основных теоретически положений и общей схемы реализации точного метода решения краевых задач оптимального управления (ЗОУ) с заданным целевым множеством конечных состояний для широкого класса ТОРП в постановке, адекватной реальным требованиям промышленных технологий;

- построение и разработка вычислительных алгоритмов предлагаемого точного метода решения ЗОУ технологическими объектами с распределенными параметрами;

- построение и исследование алгоритмов оптимального управления применительно к ряду процессов технологической теплофизики;

- оптимизация конструкционных характеристик и режимов работы энерготехнологических комплексов обработки металла давлением по системным критериям качества;

- разработка методик и вычислительных алгоритмов параметрической идентификации математических моделей ТОРП на примере обратных граничных задач теплопроводности (ОЗТ).

Научная новизна работы определяется тем, что она расширяет и углубляет теоретические представления об общих закономерностях оптимальных процессов в краевых задачах управления СРП; предлагает новые методы их качественного и количественного описания, исследования и синтеза соответствующих алгоритмов оптимизации; устанавливает способы детализации общих закономерностей применительно к целому ряду прикладных ЗОУ ТОРП, представляющих самостоятельный интерес.

В работе получены следующие основные научные результаты в указанном направлении:

- созданы основы теории и техники применения нового метода точного решения широкого круга краевых задач оптимизации ТОРП, отличающегося конструктивным способом построения алгоритмов оптимального управления, которые гарантируют перевод объекта в соответствующую исходным требованиям область допустимых конечных состояний с предельно достижимыми технико-экономическими показателями оптимизируемых энерготехнологических процессов;

- на этой базе разработаны алгоритмы оптимального управления широким кругом процессов технологической теплофизики, обеспечивающие, в отличие от известных, заданную точность равномерного приближения к требуемому конечному состоянию ТОРП;

- предложена не имеющая известных аналогов методика решения нового класса актуальных задач параметрической оптимизации объектов технологического нагрева с пространственно-распределенными и пространственно-

временными управляющими воздействиями, позволяющая распространить предлагаемую методологию исследования ЗОУ ТОРП на комплексную проблему оптимального проектирования технологического оборудования и последующей оптимальной организации режимов его функционирования;

- разработаны алгоритмы оптимизации по системным критериям качества энерготехнологических комплексов обработки металла давлением в производственных системах «индукционная нагревательная установка - пресс», устанавливающие и реализующие оптимальные начальные температурные кондиции прессуемого металла в процессе предварительного градиентного нагрева, которые, согласно существующим методикам, априори фиксируются технологическими инструкциями;

- предложен метод параметрической идентификации математических моделей в обратных граничных задачах нестационарной теплопроводности, не требующий, по сравнению с известными подходами, применения специальных регуляризирующих алгоритмов и обеспечивающий поиск идентифицируемых внешних воздействий в классе физически реализуемых функций.

Научная значимость работы. В диссертации разработан новый конструктивный метод точного решения краевых задач оптимального управления технологическими объектами с распределенными параметрами, представляющий собой методологическую основу построения алгоритмов оптимизации по основным технико-экономическим критериям широкого круга производственных процессов в различных отраслях промышленности с гарантированными качественными показателями конечной продукции.

Практическая ценность работы

Предложенные в диссертации инженерные методики и способы организации вычислительных процедур распространяют предлагаемый метод точного решения краевых задач оптимизации ТОРП на ряд актуальных задач оптимального управления процессами технологической теплофизики, представляющих самостоятельный интерес для ведущих отраслей промышленного производства. Разработанное специальное математическое, алгоритмическое и программное обеспечение, на базе которого созданы пакеты прикладных программ для подсистемы автоматизированного расчета оптимальных алгоритмов управления, может быть непосредственно использовано для решения конкретных задач оптимизации энерготехнологических объектов.

Применение разработанных методов и алгоритмов оптимального управления к решению практических задач обеспечивает существенные технико-экономические преимущества перед с типовыми технологиями и известными методами оптимизации ТОРП по всем основным качественным показателям оптимизируемых процессов. При этом по сравнению с существующими типовыми алгоритмами управления в среднем достигается выигрыш по времени, и, как следствие, увеличение производительности труда до 15 ч-25% ; повышение в 1,5 -ьЗ раза точности достижения требуемых кондиций конечной

продукции; снижение брака и материальных потерь на 5-15%; экономия производственных площадей до 2 раз; сокращение износа и времени простоя деформирующего оборудования в технологических комплексах обработки металла давлением.

Основные положения, выносимые на защиту:

- метод последовательной параметризации управляющих воздействий на конечномерном подмножестве граничных значений бесконечного числа сопряженных переменных в условиях чебышевских оценок целевых множеств, позволяющий осуществить точную редукцию исходной задачи оптимизации ТОРП к принципиально более простой конечномерной задаче полубесконечного программирования;

- принцип минимальной сложности параметризованной структуры оптимальных управляющих воздействий, устанавливающий минимально возможное число параметров, характеризующих эту структуру, в зависимости от величины допуска на отклонения от требуемого конечного состояния ТОРП, оцениваемые в равномерной метрике;

- процедура точной редукции в одном классе задач оптимизации ТОРП с заданным целевым множеством к эквивалентной задаче управления конечномерным объектом, описываемым сосредоточенной подсистемой уравнений исходной модели;

- вычислительные алгоритмы, базирующиеся на операции построения отображений параметризуемых структур управляющих воздействий на множество параметров в пространственно-временной области их определения, последующей процедуре точной редукции к задаче полубесконечной оптимизации и её решении альтернансным методом;

- инженерные методики, способы организации вычислительных процедур и алгоритмы оптимального управления, распространяющие предлагаемый метод точного решения ЗОУ ТОРП на ряд актуальных для ведущих отраслей промышленного производства задач оптимизации процессов технологической теплофизики;

- метод совместного решения задач оптимального проектирования и управления объектами технологического нагрева с пространственно-распределенными и пространственно-временными управляющими воздействиями;

- метод параметрической идентификации математических моделей в обратных граничных задачах нестационарной теплопроводности с управляющим воздействием по ограниченным значениям вторых производных идентифицируемых воздействий;

- результаты анализа и реализации алгоритмов оптимального управления процессами технологической теплофизики.

Методы исследований. Для решения поставленных задач использовались методы, основанные на системном подходе к решаемой проблеме, в том числе методы теории оптимального управления системами с распределенны-

ми параметрами, теории тепло- и массопереноса, аппарат конечных интегральных преобразований, методы численного и компьютерного моделирования, экспериментальные методы исследования ТОРП.

Достоверность и обоснованность полученных в диссертационной работе научных результатов, выводов и рекомендаций обеспечивается корректным использованием применяемого математического аппарата, теории управления и методов математического моделирования СРП. Справедливость выводов относительно адекватности используемых математических моделей, достоверности, работоспособности и эффективности предложенных алгоритмов управления подтверждена результатами математического моделирования и промышленными экспериментами.

Реализация результатов исследований.

Полученные в работе теоретические положения и практические результаты использованы:

- при выполнении с фундаментальной ПИР «Создание основ теории и способов реализации точных методов определения алгоритмов оптимального управления объектами с распределенными параметрами», проводимой в СамГТУ по заданию Минобрнауки РФ;

- при выполнении НИР, проводимых СамГТУ в рамках Программы совместных научных исследований с Институтом Электротехнологий Университета им. Лейбница (г. Ганновер, Германия) в области оптимизации электротермических процессов;

- при выполнении НИР «Модели последовательной конечномерной параметризации управляющих воздействий, модельный анализ и методы полубесконечной оптимизации в краевых задачах оптимального управления распределенными объектами механики сплошных сред» по Программе №22 «Процессы управления» фундаментальных исследований Президиума РАН;

- при выполнении НИР по проектам Российского Фонда Фундаментальных Исследований «Разработка основ теории и методов реализации стратегии гарантированного результата в процессах идентификации и управления техническими системами с распределенными параметрами» (проект 06-0800041) и «Разработка методов математического моделирования и оптимального управления взаимосвязанными электромагнитными и тепловыми полями в энерготехнологических процессах и установках промышленных производств» (проект 07-08-00342);

- при выполнении НИР по заданиям Рособразования в рамках аналитической ведомственной целевой программы «Развитие научного потенциала высшей школы (2006-2008 годы)»: «Алгоритмы оптимального управления технологическими процессами индукционного нагрева с гарантированными критериями качества» (Проект 2.2.2.3.9691); «Оптимальное управление технологическим комплексом «нагрев - обработка давлением» (Проект

2.2.2.3.10157); «Оптимизация процессов нагрева алюминиевых заготовок, вращающихся в магнитном поле постоянного тока» (Проект 2.2.2.3.16170);

- при проектных разработках систем управления технологическим оборудованием в ОАО «СМЗ» (Самарский металлургический завод, г. Самара) и на Уральском машиностроительным заводе (г. Миасс Челябинской обл.);

- в учебном процессе Самарского государственного технического университета при подготовке инженеров по специальностям 220201 «Управление и информатика в технических системах», 220301 «Автоматизация технологических процессов и производств» и магистров техники и технологии по направлению «Автоматизация и управление».

Апробация работы. Основные научные положения и результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на Всесоюзных, Российских и Международных конференциях и коллоквиумах, в том числе на Международном Научном Коллоквиуме «Modeling for Electromagnetic Processing» (MEP-08).- Ганновер, Германия, 2008; Х-й Международной конференции «Проблемы управления и моделирования в сложных системах»,- Самара, 2008; Международной научно-технической конференции «Мехатроника, автоматизация и управление»- Москва, 2007; IX-й Международной конференции «Проблемы управления и моделирования в сложных системах»,- Самара, 2007; Международном Семинаре «Heating by Electromagnetic Sources» (HES-07). - Падуя, Италия, 2007; Седьмой Международной научно-практической конференции «Методы и алгоритмы прикладной математики в технике, медицине и экономике». - Новочеркасск, 2007; Третьей Всероссийской научной конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» - Самара, 2006; VIII-й Международной конференции «Проблемы управления и моделирования в сложных системах».- Самара, 2006; Х-й Международной научно-практической конференции «Системный анализ, проектирование и управление». - Санкт-Петербург, 2006; 2-й Всероссийской научно-технической конференции с международным участием «Мехатроника, автоматизация, управление». - Уфа, 2005; 5-ом Минском международном форуме по тепло- и массообмену. -Минск, 2004; Международном Семинаре «Heating by Electromagnetic Sources» (HES-04). - Падуя, Италия, 2004; V-й Международной конференции «Проблемы управления и моделирования в сложных системах»,- Самара, 2003; Международном Научном Коллоквиуме «Modeling for Electromagnetic Processing» (MEP-03).- Ганновер, Германия, 2003; Четвертой Международной конференции «Обратные задачи: идентификация, проектирование и управление». -Москва, 2003; Международном Семинаре «East-West Electrotechnobgy Network».- Санкт-Петербург, 2002; IV-й Международной конференции «Проблемы управления и моделирования в сложных системах».- Самара, 2002; Международном Семинаре «Induction Heating Seminar» (IHS-01). - Падуя, Италия, 2001; Международном Форуме «Тепломассообмен ММФ-2000. Теплопроводность и задачи оптимизации теплообмена». - Минск, 2000; Международном Симпозиуме «International Symposium on Electromagnetic Fields in Electrical En-

gineering» (ISEF 99). - Павия, Италия, 1999; 8-ом Международном Семинаре «Induction Heating». - Флорида, США, 1998; Международном Научном Конгрессе «Молодежь и наука- третье тысячелетие». - Москва, 1997; Всероссийской научно-технической конференции «Надежность механических систем». - Самара, 1995; V Международной научно-технической конференции «Математическое моделирование и САПР систем сверхбыстрой обработки информации на объёмных интегральных схемах (ОИС) СВЧ и КВЧ». - Сергиев-Посад, 1995; Международном Симпозиуме «Научные проблемы технологических процессов, связанных с вопросами сбережения энергоресурсов и экологии». -Санкт-Петербург, 1994.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 45 научных работах, в том числе в 1 монографии и 15 статьях, опубликованных в периодических научных изданиях, рекомендованных ВАК России для опубликования результатов докторских диссертаций.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка использованных источников, содержащего 198 наименований. Диссертационная работа содержит 416 страниц машинописного текста, включающего 124 рисунка, 26 таблиц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность исследуемой проблемы, формулируются цель и основные задачи работы, кратко характеризуются научная новизна и практическая ценность полученных результатов, приводятся основные положения, выносимые на защиту.

В первой главе проводится анализ проблемы оптимального управления технологическими объектами с распределенными параметрами, который приводит к необходимости дальнейшей разработки конструктивных методов точного в рамках используемых моделей решения краевых задач оптимизации СРП с заданной допустимой погрешностью приближения к требуемому конечному состоянию объекта.

Рассматриваются содержательные постановки, основные типы задач оптимального управления СРП и анализируются основные методы современной теории оптимального управления СРП.

Как следует из приведенного анализа, центральной проблемой в теории управления системами с распределенными параметрами остается разработка конструктивных методов решения краевых задач оптимизации СРП по переводу объекта в требуемое конечное состояние с экстремальными значениями оптимизируемых показателей качества в целях построения алгоритмов программного управления и методики синтеза замкнутых систем с обратными связями, в том числе, при неполном измерении состояния.

Широко распространенные на практике подходы к этой проблеме, связанные с использованием конечномерных аппроксимаций при описании ТОРП, характеризуются рядом существенных недостатков или вообще ока-

зываются неприемлемыми в виду неуправляемости объекта относительно желаемого в идеале конечного состояния. При этом точные решения задач оптимального управления для исходных моделей ТОРП по традиционной схеме с фиксированным правым концом траектории фактически не могут быть получены из-за бесконечной размерности определяющих систем уравнений, характеризующих поведение СРП в соответствующем пространстве состояний.

Применительно к широкому кругу прикладных задач оптимизации СРП эффективный путь преодоления указанных затруднений состоит в учете практически всегда существующих допусков на отклонение от номинальной точки, фиксируемой в исходной двухточечной схеме. Оценка этих допусков в заданной метрике приводит к постановке оптимальной задачи с подвижным правым концом в бесконечномерном фазовом пространстве СРП, целевое множество в котором однозначно характеризуется допустимой погрешностью приближения к желаемому в идеале конечному состоянию объекта.

В последующих разделах диссертации показывается, что алгоритмы оптимального управления в подобных задачах оказываются вполне реализуемыми. Поиск этих алгоритмов сводится, путем применения специальной процедуры предварительной параметризации управляющих воздействий и последующей операции точной редукции, к разрешаемым известными способами конечномерным экстремальным задачам, размерность которых непосредственно определяется требуемой точностью попадания в номинальную точку и в большинстве реальных ситуаций оказывается невысокой. При этом весьма продуктивным оказывается подход к организации вычислительных алгоритмов с использованием параметризации искомых оптимальных управлений на конечномерном множестве параметров, отличных от составляющих бесконечномерного вектора начальных значений сопряженных переменных, естественным образом выступающего в этой роли при использовании аналитических условий оптимальности в форме стандартных процедур принципа максимума Понтряшна.

В соответствии со сказанным, задача исследования сводится к разработке и теоретическому обоснованию нового метода точного решения краевых задач оптимизации ТОРП с заданным целевым множеством конечных состояний; построению конструктивных вычислительных алгоритмов, способов их реализации и применения для широкого круга прикладных задач управления технологическими объектами, представляющих самостоятельный интерес в соответствующих предметных областях.

Вторая глава посвящена описанию и теоретическому обоснованию предлагаемого точного метода решения краевых задач оптимального управления ТОРП.

В качестве базовой модели ТОРП в диссертации рассматриваются линейные краевые задачи, допускающие максимальные возможности для их аналитического исследования, получения фундаментальных результатов об-

щего характера и в то же время оказывающиеся достаточно представительными для качественного и количественного описания широкого круга реальных управляемых процессов. В дальнейшем в работе демонстрируются возможности распространения получаемых результатов на задачи управления гораздо более сложными моделями ТОРП.

Управляемая функция состояния ) распределенного объекта описывается в зависимости от пространственной координаты х е [х0,х,] и времени 7 типовым пространственно-одномерным уравнением второго порядка в частных производных параболического типа:

дt дх дх (!)

х0<х<х1гО

моделирующим, в частности, в линейном приближении широкий круг процессов тешюмассопереноса в технологической теплофизике, с заданными начальными:

2(х,0) = &(х);х0<х<х, (2)

и граничными условиями:

дх дх

распределенным внутренним и (или) сосредоточенными граничными управляющими воздействиями, соответственно и{х,1), и0(?), и, (г) при заданных

постоянных ( 4>ао>а1'Ро>р1 ) и в общем случае координатно-зависимых

(С(х), В(х),С, (х)) коэффициентах.

В настоящей работе при формальных исследованиях общего характера предполагается использование точных описаний поведения управляемой величины в рамках рассматриваемого класса моделей, сохраняющих основные качественные особенности ТОРП и исключающих тем самым потерю сущностных физических свойств СРП, связанную с типовыми схемами исходной дискретизации уравнений модели объекта. Неизбежные при конкретном анализе приближения, в частности, цифровые модели объектов, применяются лишь на конечном этапе численного решения задач оптимизации по уже найденным алгоритмам управления, т.е. используется метод завершающей дискретизации.

Общая постановка краевой задачи оптимального управления формулируется для описания модели ТОРП бесконечной системой уравнений в нормальной форме Коши:

^Мд,и4(Ч(0) = Ч°, (4)

т

относительно вектора q фазовых переменных дп, и = 1,сс , конкретный содержательный смысл которых определяется используемым способом редукции уравнений модели (в частности, (1)-(3)) к виду (4).

Здесь и - вектор управляющих воздействий u,(t), i = \,r, 1<г<оо , которые для широкого круга прикладных задач описываются в классе кусочно-непрерывных функций и связываются с u(x,t), u0(t), u{(t) в (1), (3) выбираемой схемой приведения к модели (4). В реальных условиях изменение во времени управляющих воздействий ограничивается некоторой заранее заданной замкнутой областью U их допустимых значений:

u(f)eU. (5)

В общем случае требования к конечному состоянию объекта q(iK) при t = tK формулируются в виде условий его принадлежности некоторому множеству S, бесконечномерного фазового пространства переменных qn :

q(OeS,. (6)

Качество процесса управления оценивается интегральным функционалом I с заданной подынтегральной функцией /0(-), которая предполагается непрерывной по совокупности аргументов и непрерывно дифференцируемой по фазовым координатам:

1у

'о

В работе формулируется следующая базовая задача оптимального программного управления объектом (4).

Задача 1. Среди допустимых управляющих воздействий (5), переводящих объект управления (4) из заданного начального в желаемое конечное состояние, согласно (6), требуется найти такое оптимальное управление

и""" (0 и отвечающую ему фазовую траекторию q"'""(/), для которых критерий оптимальности (7) принимает экстремальное значение.

Применение стандартной процедуры принципа максимума Понтрягина, распространяющегося на задачу 1, приводит к весьма сложной бесконечномерной краевой задаче оптимального управления. Для данной краевой ЗОУ формально существует решение относительно искомых управляющих воздействий, представляемых в форме существенно нелинейных параметрических зависимостей от начальных значений уя(0), п = 1,2,.... бесконечного числа сопряженных переменных vy„(/). Трудности фактического вычисления таких решений приобретают принципиальный характер в классической двухточечной постановке с вырождением множества S, в (6) заданную точку

Ч(',„) = q'1'. поскольку из-за отсутствия информации о значениях

1|/„(0), и = 1,2,.... исходная ЗОУ сводится к практически неразрешимой относительно »{/(0) бесконечной системе равенств заданным величинам конечных значений фазовых координат :

?в(у(0)) = ?<'>, « = 1,2,....

Зависимости #„(ч/(0)) от неизвестного вектора \у(0) представляются в явной форме после интегрирования уравнений объекта (4) с параметризованными на множестве 1]/(0) управляющими воздействиями.

Кроме того, в целом ряде типичных требований к заданному конечному пространственному распределению функции состояния @ (х), объект либо оказывается неуправляемым относительно требуемого конечного состояния, либо заданное конечное состояние достигается в классе технически нереализуемых оптимальных управлений. В диссертации показано, что широко распространенные на практике способы приближенного решения этих задач, реализуемые по схеме исходной дискретизации, обладают рядом существенных недостатков, либо вообще оказываются неприменимыми в случае неуправляемости исходной модели ТОРП относительно заданного конечного состояния Q (х).

В качестве эффективного пути преодоления указанных затруднений предлагается отказаться от традиционной схемы с фиксированным концом фазовой траектории уже на стадии постановки задачи, рассматриваемой для точной бесконечномерной модели ТОРП в рамках исходного описания управляемого процесса. Классическая формальная двухточечная схема, как правило, не соответствует практически предъявляемым требованиям к конечному состоянию Q(x,tк), для которого во всех реальных ситуациях существуют некоторые ненулевые допуски на отклонение от желаемого распределения <2* (х) .Это означает, что на самом деле можно ограничиться постановкой задачи с эквивалентным требованию (6) заданным целевым множеством в конечных состояний

ам^в, (8)

каждое из которых отвечает допустимой величине такой погрешности, оцениваемой заранее выбираемым способом. Реально предъявляемым требованиям в большинстве наиболее характерных прикладных задач соответствуют оценки этой погрешности в равномерной метрике по максимальной величине

г абсолютного отклонения <2(х,(к) от в пределах пространственной области, занимаемой объектом. Применительно к рассматриваемому классу задач управления ТОРП, при заданном допустимом значении г = е0 соответствующее целевое множество автоматически исключает недопустимые локальные отклонения конечного пространственного распределения управляе-

мой величины от заданного состояния и описывается следующим соотношением:

max Ых,1к)-д\х)\<вй. (9)

В связи со сказанным в диссертации предлагается постановка задачи оптимизации ТОРП с заданным в бесконечномерном фазовом пространстве достижимым целевым множеством (9), что создает потенциальные возможности сё точного решения в классе технически реализуемых алгоритмов оптимального управления.

Применение к уравнениям объекта (1)-(3) конечных интегральных преобразований по пространственному аргументу с ядром, равным его собственным функциям Ф„(ц„,.т),я = 1,2,..., где ц„ - собственные числа, приводит к представлению модели TOPII (4) бесконечной системой линейных уравнений относительно коэффициентов (временных мод) О„(ц„,0 разложения Q(x,t) в бесконечный ряд по 9„(ц„, х):

Щь-И=_L(_ ,)++doMt)+d А (0);

dt Aj (10)

ев(ц»»о)=а(цв); и=иг...,».

с последующим восстановлением управляемой функции состояния СРП по известным модам в виде суммы ряда:

= (11)

11=1

Здесь г7„((.1„,0 , О0 (р„) - моды разложения внутреннего распределенного воздействия u{x,t) и заданного начального распределения Q0(x) в бесконечные ряды вида (11); d0n и d\n - постоянные коэффициенты. Ограничения на поведение сосредоточенных управлений u0(t) и ux(t), фигурирующих в граничных условиях (3), чаще всего представляются в простейшей форме с заданными границами и0пип, и0тах, wlmin, и,тах диапазона их возможного изменения:

«ошь *и0Ц)<и0шш;и1Ш < м,(0 < и1шах, i > 0. (12)

Аналогичным образом формулируются ограничения на внутреннее распределенное управляющее воздействие, включаемое непосредственно в уравнение объекта (1):

u^ < и(х,0 < и^, W > 0;х е [х0,. (13)

Тем самым на модальные управления накладывается связанное ограничение:

«пт* рах, ¿^(И^ОфД^.^ри^. (14)

При моделировании ТОРП системой уравнений (10), (И) целевому множеству (9) в бесконечномерном фазовом пространстве переменных ()п отвечает допустимая область конечных состояний объекта в (6) следующего вида:

для заданной величины е0 равномерного приближения к в'(х) на

отрезке [х,,,^] изменения пространственной переменной. Интегральный функционал качества (7) при управлении объектом (10) с заданной подынтегральной функцией /0 векторов управляющих воздействий

^(/) = (м„(ц„,0,«1(/),и0(0),я = 1,2,- и фазовых переменных О = (б„ (!■*„, 0) может быть записан в следующей форме:

Теперь задача 1 конкретизируется следующим образом.

Задача 2. Среди стесненных заданными ограничениями (12), (14) управляющих воздействий , переводящих бесконечномерный объект управления (10) из заданного начального состояния <20(ци),и = 1,2,„. в требуемое конечное состояние (15), необходимо найти оптимальное управление « "пт (?) и соответствующую ему оптимальную траекторию (¿'^Ц), для которых критерий оптимальности (16) принимает наименьшее значение.

Точное решение сформулированной бесконечномерной ЗОУ ТОРП с помощью известных аналитических условий оптимальности связано с серьезными затруднениями и оказывается практически невыполнимым. Ситуация с негладким целевым множеством (15), кроме того, принципиально усложняется отсутствием классических условий трансверсальности для определения конечной точки оптимального процесса на его границе.

В диссертации разработан новый конструктивный метод решения задачи 2, существенно использующий ряд свойств целевых множеств (15). Для этого предлагается реализуемый в процессе применения стандартных процедур принципа максимума специальный способ конечномерной параметризации управлений на множестве значений бесконечного числа сопряженных переменных (/,.), / = 1,2,..., в конце оптимального процесса с числом параметров, однозначно определяемым величиной е0 в (15). На этом множестве формируется такая упорядоченная определенным образом последовательность конечного числа 5 параметров, однозначно характеризуют!« зависящую от выбора Я структуру оптимального управления, которая обеспечивает с возрастанием 5 попадание под действием этого управления в сужающиеся с

(15)

I = [тш .

(16)

о

уменьшением е0 к заданной номинальной точке целевые множества (15). Тем самым гарантируется возможность достижения уменьшающихся с увеличением 5 отклонений е от требуемого в идеале конечного состояния ТОРП. В качестве указанной последовательности выбирается 5-мерный вектор

= (Ц1,), г = 1,5, Ц), ~ финитных значений у, первых 5 сопряженных функций, соответствующих первым 5 модам Оп, п = 1,5, управляемой величины, при равных нулю всех остальных значениях (/,.), г > 5:

Ч»(Я) = ЫО)=Ш ' = V/(О = о, г = 5 +1,5 + 2,...; 5 > 1 (17)

Равенства (17) представляют собой условия трансверсальности на правом конце траектории в бесконечномерном фазовом пространстве СРП. При этом, согласно известным соотношениям, связывающим эти условия с положением конца фазовой траектории оптимального процесса, первые 5 составляющих соответствуют некоторым (априори неизвестным для каждого вектора \|/5)) фиксированным конечным значениям <2/Л первых 5 мод бл(Рк>0э = 1,5, а остальные, равные нулю, составляющие означают свободу выбора величин ()п(\1п,1к) , п > 5, на числовой оси Е1 для остальных модальных переменных. Тогда для вектора модальных переменных в конечный момент оптимального процесса выполняются следующие условия:

= = а(ц„Л)е£',и>5. (18)

С этой точки зрения параметры (17) представляют собой опосредованное отображение в пространстве сопряженных переменных возможных вариантов конечного состояния части фазовых координат объекта ()п,п = \,8, для каждого из которых конечные значения остальных компонент п > 5 вектора

(2 автоматически определяются при решении краевой задачи принципа максимума (П-системы) из условий минимизации критерия оптимальности (16).

Стандартная процедура принципа максимума приводит путем решения П-системы в условиях (17) к параметрическому представлению искомого

программного оптимального управления «'(\|/<5),0 на конечномерном множестве 5 параметров = ({¡/,), г = 1,5 . При этом для каждого достижимого значения га в (15) оптимальное управление следует искать именно в этом классе управляющих воздействий, поскольку они учитывают все возможные комбинации 5 первых величин <2пк в (18), и конечные значения остальных мод находятся из условий минимизации функционала (16). Интегрирование уравнений объекта с управлениями приводит к параметрическому

представлению конечного состояния системы = 0(х,1К). В классе

управлений те(*)/<'';) ,0 достигается в равномерной метрике некоторое отличное от нуля минимально возможное отклонение е^ (минимакс) конечного состояния объекта от требуемого <2* (х):

шах ¡б(хУХ) )-£*(*)!

(19)

jelxa.xj

Соотношение между величинами минимаксов в (19) для различных значений S устанавливает следующее утверждение, доказательство которого приводится в диссертации.

Минимально достижимые в классе управлений w(i|/s,,i) значения е^

ошибки s равномерного приближения Q(x,tK) к Q*{x) в (19) образуют не-

возрастающую (как правило, убывающую) последовательность неравенств: о0> > о(2) > > £(?) > о(М) > > р(Р) _ F >0 f2(n

mill mi о ' ** mb ' ьшщ ^ — ^ bmin fcinf - « • V-^j

Здесь при некотором р < оо минимакс с^ совпадает с минимально возможной ошибкой равномерного приближения к Q* (х), достижимой на множестве управлений w(v|/(,s,,f) с любым числом S параметров vj};. в (17).

В силу неравенств (20) значениям s < = 1,р , отвечают целевые множества С/, вида (15):

от _

max

(21)

сужающиеся к номинальной точке ((2*),п = 1,2,..., при у р , согласно (20), вплоть до значения = ъы, где точная нижняя грань еы больше или равна нулю, соответственно, для неуправляемых или управляемых относительно объектов, и, следовательно, Ор сС7рЧ с...сСу|| с... с С, (рисунок 1). Для целевых множеств с непустой внутренностью при е0 > 0, е0 > ем неравенства (20) определяют потенциальную возможность выполнения условий (15) при конечном числе Б, что принципиально упрощает соответствующую краевую задачу.

Сложность структуры оптимальных управлений при их описании параметрическими зависимостями луопт(1|/('?о),/) определяется соответствующей

размерностью 5 = 50 вектора в (17). Если оптимальное управление характеризуется вектором параметров , то его размерность 50, как это непосредственно следует из (20) по самому определению (19) величины мини-макса, должна отвечать неравенству:

'Ь'о>о ди всех е0 :в%> < е0 < е^ , и е {1, р}, (22)

определяющему, тем самым, нижнюю границу требуемого числа параметров 50, при котором лу°"г(»/"',с),г) обеспечивает заданную точность е0 приближения к номинальной точке, но оставляющему открытый вопрос о конкретном выборе 50 по заданной величине в0 в (15).

Решение этой задачи исчерпывается установленным в работе принципом минимальной сложности у'5-1 - параметризованной структуры оптимальных программных управлений, который формулируется следующим образом. Размерность Яа вектора параметров оптимального управляющего воздействия совпадает со своей нижней границей в (22) и находится по правшу

- и д™ кех £0 < е0 < е^"1' , и е (йр} (23)

согласно которому \уопт принадлежит к классу управляющих, воздействий, характеризуемых минимальным числом 50 параметров <(),.,/ = Г,50 из всех чисел 5 > , при котором еще оказывается возможным осупцествитъ перевод объекта в заданное целевое множество (15), и, следовательно, оптимальное управление отличается структурой минимальной сложности по сравнению со всеми другими, обеспечивающими выполнение требований (15) к конечному состоянию объекта (рисунок 2).

Рисунок 2 - Принцип минимальной Рисунок 1 - Семейство целевых мно- ,^

жеств (1,2 - фазовые траектории, при управ- сложности -параметризованной лениях, определяемых векторами парамст- структуры оптимальных управлений

ров и 1|/0>1))

Согласно (23), Б0 определяется по месту заданного допуска е0 в последовательности неравенств (20) для значений минимаксов е^ , } = 1, р, кото-

рые должны рассматриваться в качестве дополнительных неизвестных в процессе решения ЗОУ. Проблема их вычисления представляет собой самостоятельный интерес.

Если в рассматриваемой задаче 2 оптимального управления из условий (17) следует, что все сопряженные переменные, начиная с S+1-ой, тождественно равны нулю:

V/(i) = 0,г = 5 + 1,5 + 2,..., (24)

а в качестве аргументов /0 в (16) фигурируют не более 5 первых составляющих 0„, п = 1,5, вектора Q :

/o(Q.w,0 = /o(ä.ß2-.ßs.w,0, (25)

то в таком случае функция Понтрягина в задаче 2 будет иметь вид:

________I $ _

H{Q,w,4,t)=-/о(Й>&.-..,&;»,*)+—+"„+^л)- (26)

Л1 и=1

Вместе с условием максимума Н на оптимальном управлении, ограничениями (12), (14) и первыми 5 уравнениями объекта (10) уравнения сопряженной системы для / = 1,5

^ = + = 1,2,... (27)

dt 5Qt А,

образуют краевую задачу принципа максимума для управления конечномерной подсистемой 5 уравнений объекта (10) при г = 1,5 для каждой совокупности фиксируемых величин Qnk, п = 1,5 , в (18). Таким образом, при выполнении допущений (24), (25) оптимальное управление S первыми модами функции состояния ТОРП в задаче с любыми закрепленными значениями их величин в конце оптимального процесса одновременно является решением исходной ЗОУ точной бесконечномерной моделью объекта с теми же краевыми условиями для учитываемых модальных переменных в (18). Следовательно, в рассматриваемом частном, но достаточно характерном для приложений случае структура оптимального управления TOPII устанавливается в задаче оптимизации конечномерного объекта, что кардинальным образом упрощает решение исходной ЗОУ.

Для преодоления трудностей решения П-системы, связанных со сложным характером зависимости искомых управляющих воздействий от граничных значений сопряженных переменных, в диссертации предлагается осуществить переход от вектора v/S] к соответствующему вектору параметров \(S) = (Д.) . / = 1,5, другой природы, непосредственно характеризующему управления w(\|/(5),/) оптимальной структуры в пространственно-временной

области их определения. Сопоставление параметризованных

структур с учетом общих свойств функции Понтрягина и особенностей кон-

кретной задачи во многих случаях создают возможности построения однозначных отображений —> А"' в форме соответствующей замкнутой системы соотношений, связывающих компоненты векторов и А(5). В более простых ситуациях соответствующие условия оптимальности позволяют сразу получить А(Л') -параметризованные представления оптимальных управлений, минуя этап *|/Л) -параметризации.

Предлагаемая в работе процедура параметризации в ЗОУ ГОРП отличается от известных, связанных, в основном, с исходной дискретизацией моделей СРП, отсутствием соответствующей погрешности моделирования; меньшей размерностью задачи по числу переменных; иным физическим смыслом компонент вектора параметров А. В роли обычно небольшого числа параметров Д, чаще всего фигурируют длительности во времени или протяженности по пространственным координатам отдельных интервалов изменения искомых управляющих воздействий по заранее фиксируемым с помощью рассматриваемых условий экстремума оптимальным зависимостям от соответствующих аргументов. При выборе А^ в виде упорядоченной определенным образом последовательности 5 параметров Д,,Д2,...,Д5, подобно

\\г,1 = 1,5 , в (17), конкретный характер которой диктуется знаниями предметной области применительно к каждой конкретной задаче оптимизации, минимально достижимые значения б0 = е^ в классе управлений, однозначно характеризуемых величиной 5, определяемые, подобно (19), на множестве значений А':5> и численно равные е,^, монотонно убывают с возрастанием 5 е {1, р}, подобно (20).

В широком классе задач А(Л) -параметрической оптимизации сохраняется принцип (23) минимальной сложности структуры оптимальных управлений. Переход к параметрическому представлению оптимальных управлений

\у(Д№),Г) вместо \у(\]/Н(1\0 позволяет исключить сложную процедуру решения П-системы относительно \|/5о), обращаясь к другим эффективным способам фактического решения оптимальной задачи. Интегрирование уравнений объекта с А(?) - параметризованными управляющими воздействиями «'(Д^.О позволяет получить конечное состояние объекта 0(х.) и значение критерия оптимальности (16) в виде явных функций, соответственно £>(х,А(5)) и /(А,,?)) вектора А'5). В результате, без каких-либо погрешностей в рамках используемых моделей, осуществляется точная редукция исходной ЗОУ СРП к специальной задаче полубесконечной оптимизации (ЗПО)

/(Д(5>)-»тш; (28)

max \Q(x, HiS)) - O' (x)| < s0; (29)

на минимум функции /(A<S)) конечного числа S переменных A,, / = 1,5 , с бесконечным числом ограничений для всех xe[jc0,x,], записываемых в форме одного условия (29). Задача (28), (29) не содержит сопряженных переменных и отыскание её экстремалей не связано с наиболее сложной процедурой решения П-системы принципа максимума.

Решение достаточно широкого круга ЗПО вида (28), (29) с учетом правила (23) относительно всех характеристик оптимального процесса, включая

число S = S0 и величины А,, / -1,50 , составляющих вектора параметров A.(i'o), однозначно определяющего искомые управляющие воздействия, а также априори неизвестные значения минимаксов при е0 = е^ , j е {1, р} в (29), может быть получено в условиях малостеснительных ограничений аль-тернансным методом.

Метод базируется на специальных альтернансных свойствах вектора A(So) оптимальных решений ЗПО (28), (29), являющихся аналогом известных условий экстремума в теории нелинейных чебышевских приближений, и дополнительной информации о конфигурации пространственного распределения результирующего состояния Q(x,AiS">) управляемой величины, диктуемой закономерностями предметной области конкретной рассматриваемой задачи.

Согласно альтернансным свойствам, равные допустимой величине s0

одинаковые значения максимальных отклонений max \Q{x,S.iSo))-Q" (ху,

'Фо.Ч] I '

достигаются в некоторых точках на отрезке [х0,х,], общее число которых оказывается равным числу искомых неизвестных в ЗПО (28), (29). Последующая редукция данных равенств на основании дополнительных сведений о форме кривых Q(x,A.ISo)) на [х0,] к соответствующей системе уравнений относительно этих неизвестных, конструируемой по определенной совокупности правил, и последующее ее решение известивши и проблемно-ориентированными численными методами исчерпывают решение исходной ЗОУ ТОРП.

В диссертации предложена и подробно описана регулярная процедура построения вычислитель mix алгоритмов точного решения достаточно широкого круга задач оптимизации ТОРП в рассматриваемой постановке, базирующаяся на полученных результатах общего характера (рис. 3). Рекомендуемая методика предполагает обязательное использование основных закономерностей предметной области и распространяется в последующих разделах диссертации на целый ряд прикладных задач оптимизации с сосредоточенными, пространственно-распределенными и пространственно-временными

Рисунок 3 - Регулярная процедура точного решения задач оптимизации ТОРП

Рисунок 4 - Задачи оптимизации объектов технологической теплофизики

управляющими воздействиями более сложных объектов с распределенными параметрами по сравнению с их типовыми моделями (рис. 4).

В третьей главе представлены результаты эффективного применения предлагаемого точного метода решения краевых задач оптимального управления ТОРП применительно к широкому кругу актуальных задач оптимизации процессов технологической теплофизики, характерных для целого ряда типичных технологий термической обработки металлических полуфабрикатов перед последующими операциями пластической деформации.

Полученные в работе результаты являются новыми, обладают рядом преимуществ перед известными в силу обоснованных в главе 2 общих преимуществ предлагаемого подхода, представляют самостоятельный интерес в соответствующих предметных областях и базируются на фундаментальных закономерностях нестационарных температурных полей, моделирующих поведение реальных промышленных объектов.

Из анализа решенных в диссертации задач следует, что разработанный метод обеспечивает точную редукцию исследуемых ЗОУ к конечномерным экстремальным задачам невысокой размерности, что, в свою очередь, приводит к искомым управляющим воздействиям сравнительно просто реализуемой структуры и резко упрощает технологию вычислительных процедур по их параметрическому синтезу.

В §3.1 общая методология применяется для решения типовой модельной задачи минимизации эффекта термохимических взаимодействий при нагреве металлических заготовок под обработку давлением, затраты на которые (в первую очередь, потери металла в окалину) являются одной из главных статей себестоимости производства конечной продукции технологических комплексов "нагрев - обработка давлением".

В целях получения приемлемых на практике инженерных решений задача минимизации потерь на термохимические взаимодействия формулируется в диссертации применительно к линейному одномерному неоднородному уравнению теплопроводности в относительных единицах вида (1), (2) с краевыми условиями третьего рода при а0 =0, а, =1 , [?0 =(3, >0 в (3), позволяющему моделировать температурное поле Q(x,t) заготовки цилиндрической формы, изменяющееся в процессе нагрева по радиальной координате х е [0,1] и во времени t e[0.ij с последующим переходом к модели вида (10) путем разложения Q(x,i) в ряд по собственным функциям Бесселя нулевого порядка. Требования к конечному температурному состоянию, максимально согласующиеся с реальными технологическими инструкциями, могут быть описаны применительно к базовой модели объекта в форме условия вида (9) достижения с допустимой погрешностью в0 равномерного распределения

температуры в*(х) = 0* = const в конце процесса нагрева при t = tK. Величина потерь металла в окалину в процессе индукционного нагрева описывается

интегральным функционалом / = j/0(9(l, t))dt —» min со свободным временем процесса íK, где подынтегральная функция представляется заданной нелинейной степенной зависимостью /0 от температуры 0(1, f) поверхности

нагреваемого тела. В работе найдена структура алгоритма программного оптимального управления по суммарной удельной мощности внутреннего тепловыделения u(t) , произведена его i|/<V) - параметризация. Для типичного случая е0 = построена регулярная вычислительная процедура последующего отображения вектора на множество параметров А№ во временной области определения управляющих воздействий и двухпараметрического представления оптимальной программы изменения во времени мощности нагрева, состоящей из интервала нагрева с максимально допустимой мощностью и интервала особого управления, вычисляемого с требуемой точностью (рисунок 5,а). В роли искомых параметров Aj и Л2 выступают при этом момент tH выхода на особый участок и длительность tK процесса оптимального управления. Далее производится редукция исходной ЗОУ к задаче полубесконечной оптимизации вида (28), (29) и её решение относительно tH, tK с помощью альтернансного метода, базирующееся на априори опознаваемой форме кривой пространственного распределения управляемой величины в конце оптимального процесса (рисунок 5,6). Приводятся результаты решения задачи для случая нагрева стальных или титановых заготовок до температур

порядка 1000°С токами промышленной частоты.

\

U-1

Рисунок 5 - Алгоритм двухпараметрического оптимального управления, минимизирующего потери металла в окалину (а), и распределение температуры 0* в конце оптимального процесса (б).

В §3.2 предложенный метод решения краевых ЗОУ ТОРП используется в задаче двухканальной оптимизации по быстродействию процесса индукционного нагрева металлических полуфабрикатов перед обработкой давлением до

заданной температуры с требуемой точностью е0 с одновременным управлением по мощности источника питания у(/) и частоте питающего тока .

Показано, что данная задача сводится к управлению ^-мерной подсистемой 5 первых уравнений вида (10) для температурных мод в силу выполнения в рассматриваемом случае условий (24), (25). В типичном случае е0 = в (9) при 5 = 50 = 2 , согласно правилу (23), стандартная процедура принципа максимума для усеченной модели СРП второго порядка определяет на множестве двух параметров ф,,ф2 следующее ц/(г)-параметрическое представление искомых программных управлений, стесняемых ограничениями

т^пЛ^У, 40£[0,1]:

ь*(0 =

_ 1

ф2

, [1, 0</<*3; пт ^ [0, /3 < ? < /

где А, В, т — известные константы, и моменты времени и ^связыва-

ются условиями непрерывности §*(/) с величинами соотношениями

= = +У1е& =0 , (31)

У2 4*2 ?2

которые можно рассматривать как правила отображения -» А(,У) при переходе к Л(У) -параметрическому представлению алгоритмов оптимального управления на множестве параметров = А(2) =(г3, , непосредственно характеризующих поведение управляющих воздействий во времени.

Дальнейшая проблема сводится к определению оптимальных значений параметров /3, , исходя из предъявляемых требований достижения за минимально возможное время заданной точности нагрева б0 = . Альтер-нансный метод решения этой задачи предусматривает на первом этапе редукцию рассматриваемой ЗОУ к задаче полубесконечной оптимизации

г^тт; тах|б(л:,Дст)-е*|<8^,А№ = (?3,гД (32)

где о(х, А<5)) - радиальное распределение температуры в конце оптимального по быстродействию процесса управления, получаемое интегрированием полной бесконечномерной системы уравнений исходной модели ТОРП при параметризованных управляющих воздействиях и с*(?3, в виде явной функции от искомых параметров =А(2) =(/3, /..) и пространственной координаты х.

Альтернансные свойства и известный характер радиального температурного распределения в конце оптимального по быстродействию процесса повторяющий форму кривой рисунка 5,6, сводят ЗПО (32) к решению стандартными способами замкнутой системы уравнений альтернансного метода относительно искомых неизвестных f ,, tK и s® .

В §3.3 предлагаются новые эффективные способы точного аналитического решения сформулированной в главе 2 общей задачи применительно к пространственно-временному оптимальному по быстродействию управлению типовыми моделями технологических процессов тепломассопереноса.

С целью изучения основных закономерностей в работе используется типовая базовая модель процесса нагрева, описываемая линейным одномерным неоднородным уравнением теплопроводности в относительных един идах д ля управляемого температурного поля с краевыми условиями второго рода а0 = ctj =0; Р0 = Pj > 0 в (3) и распределенным управлением u{x,t) по мощности внутреннего тепловыделения, стесненным ограничением (13) при «■ =0-

С помощью аппарата теории распределенной проблемы моментов устанавливается релейный характер пространственно-временного управления

u\x,t) = ^(l+signg(x,t)) , (33)

rfleg(x,i) = 0 - уравнение на пространственно-временной плоскости линии переключения управления u(x,t), фактическое определение которой в форме явной зависимости x = f(t) на прямоугольнике Е = {x,F. хе [0,l],f е [0,ij} известными способами представляет собой трудноразрешимую задачу. В диссертации предлагается новый способ определения линии переключения x = f(t) путем решения "вторичной" вспомогательной задачи быстродействия. При этом в роли искомой экстремали выступает сама линия переключения, стесняемая ограничением 0< f(t)< 1 принадлежности к Е, а в роли дополнительных дифференциальных связей фигурируют уравнения математической модели объекта управления с управляющими воздействиями (33), описываемые бесконечной системой дифференциальных уравнений вида (10) относительно температурных мод 0П :

^=Ро+«тах (1 - /(/>), е0 (0) - о,

J (34)

-5- = -п2п\ + р0(-1)" -3=S-sin(7ш/(0), п = 1,2,... , at пп

где величина р0 = const характеризует уровень тепловых потерь с поверхности нагреваемого тела.

В силу выполнения условий (24), (25), структура линии переключения находится путем решения принципиально более простой задачи оптимального по быстродействию управления ^-мерной подсистемой первых 5 уравнений модели (34). Для типового случая £0 = еть в (15) анализ поведения функции Поитрягина при 5 = ^ = 2 по правилу (23) непосредственно приводит, применительно к типичным физическим особенностям технологических процессов гепломассопереноса, к следующему Д(2) - параметрическому представлению искомой зависимости * = /(/) (рисунок 6):

Решение исходной задачи быстродействия, сводимой к определению алгоритма оптимального управления (33) с линией переключения (35), исчерпывается вычислением Д,, Д2 и по общей схеме альтернансного метода с использованием известных свойств формы кривой температурного распределения в конце оптимального процесса при е0 = е^, опять совпадающей с показанной на рисунке 5,6.

Сложности технической реализации зависимостей вида (35) приводят к поиску квазиоптимальных по быстродействию управлений в классе ступенчатых аппроксимаций линий переключения. В §3.3.2 предлагается процедура последовательной А(Х) -параметризации такой квазиоптимальной программы м*в(х>0 на множестве соответствующих точек переключения на координатных осях пространственно-временной области её определения, минуя началь-

(35)

I А

шах

0,4

ный этап у'5' -параметризации. Параметрическое представление ит задается

для всех <г0 < е^" , 5 <р, вектором параметров А(Л) = (Д,,Д2,...,Д?);

А[ =х*Л, =?/_1,г' = 3, а соответствующий алгоритм распределенно-

го управления описывается выражением (рисунок 7):

(36)

-[1+ НГ], (г«< и, Г = 1,5-2, =/,„/£ (/„О-

Интегрирование исходных уравнений теплопроводности с управляющим воздействием (36) обеспечивает редукцию к задаче полубесконечной оптимизации вида (28), (29) при/(А(,У)) = 1К, последующее решение которой производится по предложенной общей схеме с использованием установленных в диссертации закономерностей радиального распределения результирующих температур при пространственно-временном управляющем воздействии.

Организация программных управлений (36) для всех е0 < обеспечивается конструктивным исполнением объекта с двумя релейными автономными управляющими воздействиями а*кЛ и игЛ , равномерно распределенными по пространственной координате на промежутках соответственно (0,лг*) и (х*,1), переключающимися во времени при г = 1г,г = 1,5-2 , если е0 < , или реализующими стационарные алгоритмы управления в случае

р(2) <р <ри тш - ъ0 - гшл

,0)

Рисунок 7 - Ступенчатая линия переключения и1в(х,{) на координатно-временной плоскости при е^ < е0 < >'>1 В § 3.4 метод параметрической оптимизации распространяется на новый класс актуальных задач оптимального управления стационарными режимами

работы проходных индукционных нагревательных установок (ИНУ) с непрерывной выдачей заготовок под обработку давлением.

Типичная задача проектирования индукционного нагревателя непрерывного действия с постоянной скоростью V= const перемещения заготовок сводится к обеспечению в стационарном режиме работы ИНУ заданной абсолютной точности приближения к требуемой температуре на выходе из индуктора минимально возможной длины в условиях принятых ограничений. Для описания процесса нагрева используются аналитические и цифровые модели двумерного температурного поля 0(1, у), учитывающие передачу тепла теплопроводностью при нагреве изделий цилиндрической формы как в радиальном (по координате /),так и в осевом (по координате у) направлении. Применительно к линейной модели объекта в относительных единицах:

ASM, f. i^-tr*m.wm(y,.„,

öl I 81 оу ду (37)

0</<1;0<7< /;ß = const > 0;

с типовыми начальными и граничными условиями, учитывающими тепловые потери в окружающую среду, задача сводится к отысканию распределения

мощности нагрева IV'(у) по длине ИНУ, рассматриваемой в качестве пространственного управляющего воздействия, стесненного ограничением 0<W^(y) <W]m3x, 0<у<у°, которое в условиях заданного радиального распределения W'(i) интенсивности внутреннего тепловыделения обеспечивает требуемую точность г0 приближения температуры на выходе ИНУ к заданной величине 9* = const при минимально возможной длине индуктора у0:

у° min; тах|0(/,/)-О*|<ео

Стандартные процедуры принципа максимума приводят к определению W{* (у) в классе кусочно-постоянных функций, попеременно принимающих

свои предельно допустимые значения, фиксируя тем самым A(S) -параметризованное представление искомого алгоритма с длинами соответствующих секций нагревателя в роли параметров А,,/= 1,5, после чего задача (38) редуцируется к форме ЗПО (28),(29):

s

/(A(S)) = YA: ~>min; maxie(/,/,A(S))-e1<e0 (39)

¿-f Д<5) /е[0,1]' 1

и далее решается по общей схеме альтернансного метода.

Показано, что структура алгоритма Jf[' (у), качественный характер радиального распределения температуры на выходе из индуктора, а, следовательно, и базовые системы уравнений альтернансного метода остаются неизменными и при использовании уточненных цифровых моделей электромагнитных и температурных полей в процессе непрерывного индукционного нагрева. В диссертации приведены результаты решения на основе таких численных моделей задачи (39) проектирования ИНУ для различных конструкций односекционных, двухсекционных и трехсекционных нагревателей и широкой номенклатуры нагреваемых изделий для случая е0 efs^e™,]. Показана возможность учета при расчете Щ*(у) времени транспортирования нагретого изделия к деформирующему оборудованию и основного технологического ограничения на максимально допустимую температуру в процессе нагрева.

Для многосекционной ИНУ заданного конструктивного исполнения с за-pauee фиксированным числом N и размерами отдельных секций рассмотрена задача выбора неизменных во времени в стационарных режимах работы нагревателя напряжений питания Uu U2,...,UN секционных индукторов, обеспечивающих максимальную точность приближения к требуемой температуре на выходе ИНУ, оцениваемую в равномерной метрике. Интерпретация вектора U = (L/,, U2,..., UN) при подключении N индукторов по схемам с S<N

автономно управляемыми секциями в качестве A(:V) -параметрического представления искомого управляющего воздействия обеспечивает редукцию подобной задачи к виду:

/(U) = max 1е(/, j°,u)-e*i min , (40)

,1 I и

где результирующее температурное распределение б(/, j0,ü) определяется в зависимости от U путем численного моделирования температурного поля загрузки ИНУ. В диссертации разработана методика фактического решения задачи (40), базирующаяся на предлагаемом общем подходе, и на основе полученных качественных результатов исследованы при характерных управляющих воздействиях рассмотренного вида некоторые типичные задачи оптимизации для комплексной электротепловой модели температурного поля ферромагнитной загрузки. Приведены результаты решения задачи оптимизации режимов работы индукционных установок различного конструктивного исполнения, состоящих из одного, трех, четырех и десяти индукторов, предназначенных для нагрева стальных изделий широкой номенклатуры. Предложен базирующийся на установленном в работе принципе минимальной сложности структуры управляющих воздействий способ компоновки индукторов с одинаковыми напряжениями питания в автономно управляемые секции, число которых однозначно характеризуется предельно достижимой точностью нагрева в ИНУ с соответствующей схемой электроснабжения. Проанализиро-

32

ваны различные варианты по выбору числа секций нагревателя и различные схемы включения индукторов в секции, а также зависимости параметров оптимальных процессов от производительности ИНУ. На рисунке 8 приведены

Т--г

123456789

Число индукторов во второй секции

Рисунок 8 - Зависимости значений е^, и 0тах- 0* от числа индукторов во второй секции при максимальной производительности нагревателя

С С 1260 1120 9Б 0

840 700

560 420

230 140

0

№1| |№2| 1 №3 1 №41 1 №51 1№б1 1 №71 1№81 1№9| №10

/ ч

г \ 2

М 1

/

А /

/

м|

Л

3 г г

м

0.76 1.51 2.28 3.03 ЗЯ 4.56 532 б.ОБ 6.84 7.6 8.4 0

0.17

Рисунок 9 - Распределение температур центра (I) и поверхности (2) заготовки по длине нагревателя и по радиусу заготовки на выходе из нагревателя (3) при двухсекционном управлении ИНУ, работающей в режиме максимальной производительности с

точностью нагрева е0 —

полученные для одного из примеров при Б = 80 - 2, N = 10 зависимости величины и максимального превышения температуры над заданной 9шах-0*

от числа индукторов, включаемых во вторую секцию ИНУ, наглядно свидетельствующие о целесообразности выбора проектного решения двухсекционного нагревателя при Я, = 4 с минимальным значением 0шах -6* при практически не зависящей от ./V, величиной , как правило, удовлетворяющей технологическим требованиям. Изменение температур в центре заготовки (кривая 1), на её поверхности (кривая 2) по длине ИНУ и радиальное распределение на выходе ИНУ (кривая 3) иллюстрируются для одного из примеров на рисунке 9. Дня всех исследуемых случаев получен существенный выигрыш по выбранным функционалам качества оптимизируемых процессов по сравнению с типовыми технологиями.

В § 3.5 предложенный в главе 2 точный метод решения краевых задач ЗОУ СРП применяется к задаче оптимизации по критерию быстродействия инновационной технологии нагрева цилиндрических алюминиевых слитков, вращающихся в магнитном поле постоянного тока, создаваемом в сверхпроводящих обмотках возбудителя, с использованием двумерных цифровых моделей электротепловых полей, полей термонапряжений и деформаций в нагреваемых изделиях.

Изменение частоты вращения заготовки во времени, позволяющее целенаправленно изменять температурное поле заготовки, рассматривается в качестве сосредоточенного управляющего воздействия, подобного управлению по мощности индукционного нагрева, осуществляемого по типовой технологии.

Аппарат принципа максимума Понтрягина опять определяет Д(8) -параметрическое представление искомого алгоритма оптимального управления в классе релейных функций с точностью до длительностей А,, г = 1,5, 5 чередующихся интервалов поддержания скорости вращения на максимальном уровне и снижении её до нуля. В итоге, опять осуществляется процедура редукции исходной задачи быстродействия к задаче полубесконечной оптимизации:

= ->1пш; ; шах|0(х,А(5))-О1<8о, (41)

где зависимости 0(х,А(Х)) радиального распределения температуры от Д№ в пренебрежении температурной неравномерностью по длине слитка находятся по численной модели объекта.

Аналогии с закономерностями температурного распределения в типовых процессах оптимального по быстродействию индукционного нагрева приводят к сохранению в рассматриваемой задаче (41) соответствующих этим процессам оптимальной формы кривой радиального распределения результи-

34

ругащих температур и его альтернансных свойств, что позволяет использовать для решения задачи общую схему альтернансного метода. Для случая

ео 6[Бй>п'Етш]в работе представлены результаты расчета оптимального по быстродействию процесса нагрева алюминиевых цилиндрических заготовок до температуры 500°С. Рассматривается постановка и решение сформулированной задачи быстродействия с учетом основного технологического ограничения на максимально допустимую температуру в процессе нагрева.

В §3.6 приводятся методики использования расчетных алгоритмов программного оптимального по быстродействию управления объектами технологической теплофизики в целях синтеза замкнутых систем с обратными связями в ЗОУ с сосредоточенными и распределенными управляющими воздействиями при неполном измерении состояния СРП.

-|"т

0|

РЙ

ч&р-

чйк-ЕЕЬ------^

У V

и2№

X

о;

Рисунок 10 - Структурная схема квазиоптимальной системы управления с распределенным управляющим воздействием

В задачах с сосредоточенными управляющими воздействиями синтез сводится к построению релейных систем автоматического регулирования с линейными обратными связями по управляемым величинам в некоторых различных точках пространственной области определения выхода ОРП, число которых однозначно определяется требуемой точностью достижения задан-

ного конечного состояния объекта и совпадает с числом ^ параметров (длительностей интервалов постоянства) -параметризованной структуры программных оптимальных алгоритмов. Автоматическая отработка этих алгоритмов обеспечивается соответствующим выбором коэффициентов обратных связей на надлежащем множестве начальных состояний объекта.

В задачах с распределенными управляющими воздействиями реализация найденных алгоритмов программного квазиоптимального управления с кусочно-постоянной аппроксимацией линии переключения обеспечивается в достаточно общем случае, согласно (36), двухзонным исполнением управляющего устройства с равномерным распределением по длине каждой зоны автономных сосредоточенных воздействий, синтезируемых путем построения для каждого из них своей релейной системы автоматического регулирования (рисунок 10).

Организация оптимальных по быстродействию режимов функционирования в системах модального управления с автономными контурами регулирования временных мод управляемых функций состояния ТОРИ существенно усложняется связанным ограничением (14) на модальные управляющие воздействия. В работе предлагается способ их декомпозиции по отдельным составляющим путем разложения в ряды по собственным функциям модели объекта программных алгоритмов (36).

В четвертой главе предлагаемый метод решения краевых задач оптимизации ТОРП распространяется на задачи оптимального управления и проектирования производственных систем, представляющих собой единый технологический комплекс для изготовления полуфабрикатов путем горячего прессования предварительно нагреваемых в ИНУ металлических заготовок. Технологический комплекс «нагрев - прессование» характеризуется совокупностью процессов тепловой обработки заготовок на всех стадиях технологического цикла, включая нагрев в индукторе, передачу нагретой заготовки к прессу и собственно процесс прессования. При этом требуемая точность описания температурных состояний, как правило, обеспечивается, лишь при их моделировании пространственно-многомерными распределениями температуры по объему обрабатываемых изделий.

Температурное поле цилиндрической заготовки в процессе ее индукционного нагрева (д1(/,у,()) , последующего транспортирования к прессу (9,(/,}',0) и горячего прессования (93 (/, >',/)) описывается в относительных единицах системой двумерных уравнений теплопроводности, учитывающих процессы распределения тепла в радиальном I и осевому направлениях:

аду.О = д\(1,у,1) + 1 ад у, о + 2 д\Ц,у,0

й д12 I 81 ду2

I,у,е (0,1); 0<г < = сот( > 0,

р, у* = const > 0; /,7 6 (0,1); t°„ + Ar < t < l°K

о

с типовыми граничными условиями, учитывающими существенно различающиеся уровни тепловых потерь в процессе нагрева, передачи заготовки к прессу и прессования. В (42)-(44) W;I (/, у) - функция, характеризующая пространственное распределение электромагнитных источников тепла в процессе индукционного нагрева; u{t) е [0, мтах ] - суммарная удельная мощность источников тепла; Vt и Vy - пространственные распределения скоростей течения прессуемого металла в радиальном и осевом направлениях, зависящие от скорости прессования Vn= const ; W'{l,y,Vn) - объемная плотность источшжов тепла, определяемых энергией пластического формоизменения деформируемого изделия, t°H, Аг = const, t° - длительности процессов нагрева, транспортирования и полного цикла обработки заготовки соответственно.

Существенной особенностью производственной системы является последовательная смена во времени периодов функционирования ее отдельных участков, основные взаимосвязи которых определяются равенствами температурных состояний на границах t = tnH at- t°tt +hT перехода от одной стадии технологического цикла к другой:

В условиях Vn - const, фиксирующих производительность пресса, задача оптимального управления технологическим комплексом "нагрев - прессование" решается в два этапа. Сначала рассматривается задача оптимизации процесса прессования на максимум точности приближения температуры 6,(^,1,0 в фильере матрицы l = lk,y = 1 к её заданной технологическими требованиями величине 0,лр, обеспечивающей необходимое качество структуры материала пресс-изделий и энергетических характеристик прессового оборудования, с критерием оптимальности:

+АТ)4 +АГ). (45)

Ht^rfj

max e3(/A.,l,i)-e3 -> min

*ижЛ„, fUll Т f С,-И >, АК

Ы'.УГи^т)

и управляющим воздействием по начальному температурному состоянию е;(/,М°+Аг) обрабатываемого изделия после его загрузки в контейнер пресса. Затем ставится задача на максимум производительности нагревательной установки (задача быстродействия) с управлением по мощности нагрева u(t)e[0,ишах] в (42) в условиях заданной точности s0 приближения

92{l,y,t°H +Аг) к оптимальному по критерию (46) распределению температуры 9з(I,y,t* + Аг ) > определяемому на первом этапе:

I2 = fn min; гжкр2(1,у4 + Ат) - B\(l,y,t°K + Ar)| < е0 (47)

и I,у I 1

Для решения задачи (46) используется, в пренебрежении радиальной неравномерностью начального температурного состояния, А(Л) параметризованное представление управляющего воздействия в форме кусочно-линейной функции, повторяющей требуемый характер распределения температуры по длине слитка при его градиентном нагреве, который обеспечивает достаточно малую величину /,:

Уо 1 ^

1-^01

Зависимость (48) определяет набор температурных профилей, в качестве оптимизируемых параметров которых выступают значения температур 0ос, 0О2 на концах j=0, у= 1 заготовки по ее длине при 900 > 0О2, температура 0О1 при 0О2 < 901 < 0ОО в точке ym < 1 и сама координата у0). В результате параметризованное управление (48) характеризуется вектором A(S) =(A,),z' = l,S, 2 < S < 4 : Ar = 600 ; Д2. = ö02; А3 = ym ; А4 = 0O1, где для 5=2 принимается 0О2 = 901, у01 = 1, а при S=3 выполняются соотношения 0О1 = 0О2, у01 < 1.

В результате, без каких-либо погрешностей в рамках используемых моделей, осуществляется точная редукция задачи (46) к виду:

7(A(S>) = max j03(/„l,i,A^)-03J->mm. (49)

где температура в фильере матрицы в форме явной зависимости от A( V) находится решением уравнения (44) с начальным температурным состоянием, задаваемым в виде (48), и соответствующими граничными условиями.

Решение задачи (49) для каждого S е {2,3,4}, где по определению

3(/,^°+Ar) = 0°(y,A(i)) =

№

шах !е3(/А.,/,А(5))-9

'Злу

(50)

может быть получено в условиях малостеснительных ограничений по общей схеме альтернансного метода. Однако, существенным отличием задачи (49) от рассмотренных выше примеров является ее формулировка в терминах ошибок равномерного приближения управляемой величины к вжр не в пространственной, а во временной области ее определения, что требует проведения выполненных в диссертации дополнительных исследований альтер-нансных свойств по форме оптимальной кривой изменения во времени температуры пластической зоны в процессе прессования с постоянной скоростью.

В условиях требуемой точности е0 рассмотрены примеры

решения задачи (49) параметрической оптимизации температурного распределения по длине цилиндрической заготовки перед прессованием с использованием численной модели температурного поля прессуемого металла, построенной на основе известных зависимостей для поля скоростей деформации, рассчитываемых в соответствии с гипотезой сферических сечений. Некоторые расчетные результаты приведены на рисунке 11. т\°с

УаИ

Рисунок 11 - Оптимальная зависимость температуры от времени в фильере матрицы в процессе прессования (а) и оптимальный профиль начальной темпера-

туры заготовки перед прессованием (б) при ед ■

Оптимальное по быстродействию управление и* (г) в задаче (47) определяется вектором Д(5с) длительностей чередующихся интервалов нагрева с максимальной мощностью ишах и выравнивания температур при u'(t) ^ О , где S0 опять находится по правилу (23) в зависимости от величины s0 в (47). В результате такая задача трансформируется к виду ЗПО:

XA,.->min; maxl02(/,7,Ar,Aw-0;(/,y,i„o + Ar)|<8o, (51)

где результирующее температурное поле нагреваемого слитка перед прессованием 63(/,_у, Аг,А(5)) вычисляется в форме явной зависимости от своих аргументов решением системы двумерных уравнений теплопроводности (42), (43) при A(S) -параметризованном управляющем воздействии u(t), а его требуемое пространственное распределение y,i° +АГ) - в форме (48) с оптимальными значениями параметров Öqq , 805,602, у0\.

В работе предложена общая схема использования альтернансного метода для решения задачи (51) и построения вычислительного алгоритма применительно к численной реализации рассматриваемой двумерной модели температурного поля. Данная схема усложняется разработанной в диссертации процедурой опознания пространственной конфигурации результирующего распределения температур в конце оптимального процесса управления.

Типичные пространственные распределения электромагнитных источников тепла в ИНУ периодического действия с общим управляющим воздействием по мощности индуктора, как правило, обеспечивают достижение заданной величины s0 лишь при слабо выраженной неравномерности температурного состояния в (48). Альтернативным способом реализации оптимальных режимов работы ИНУ, позволяющим обеспечить градиентный нагрев с требуемой точностью, является его организация в многосекционной нагревательной установке с автономными управляющими воздействиями по мощности нагрева на различных участках по длине слитка.

В диссертации рассматривается задача оптимального по быстродействию управления процессом градиентного нагрева цилиндрической заготовки в двухсекционной ИНУ периодического действия. В качестве управляющего воздействия принимается вектор удельных мощностей р = {ри р2) автономно управляемых секций, ограничиваемых их заданными предельными значениями:

V<Pk{t)<Pkm:lx,0<t<tl,k = Tä,P2max >Рхmax. (52)

с заменой WA(l,y)n(t) в (42) на сумму lVjn(l, y)pi(t) + W;n(l,y)p7{t). В результате задача сводится к виду (51), где в роли искомых параметров при синхронном переключении обоих управлений релейной формы опять высту-

40

В г

Рисунок 12 - Заданное и полученное температурные распределения по объему

заготовки в процессе нагрева в ИНУ (а), отклонение полученного температурного

распределения от заданного по длине (б), объему (в) и радиусу (г) заготовки при

8(2) <р <г0) пил ^ ь0 ^

пают длительности интервалов нагрева при рх =/}тах , р2 = /? тах и выравнивания температур при р] = р2 = 0 . Решение данной задачи, полностью

укладывающееся в общую схему альтернансного метода, выполнено в работе на примере процесса нагрева алюминиевой заготовки цилиндрической формы

для типового случая <е0<е^п . Полученные результаты иллюстрирует

рисунок 12.

Переход к совместной задаче оптимального управления процессом нагрева и параметрической оптимизации конструкции нагревателя обеспечивает достижение максимальных качественных показателей по рассматриваемым

критериям оптимальности. С этой целью, помимо длительностей интервалов

нагрева и выравнивания температуры в индукторе А1; Д2, ..., As в число искомых параметров включаются значения максимальных мощностей секций нагревателя I\ гаах , Р2 тах, а в качестве критерия оптимальности рассматривается точность равномерного приближения конечного температурного состояния после передачи заготовки к прессу к заданному температурному распределению Ql(l,y,t°H +ДГ) перед процессом прессования при фиксированной величине t°. В итоге задача совместной оптимизации формулируется в "обращенном" по сравнению с (51) виде на расширенном множестве параметрических характеристик:

/= тах|в2(/>ЛД7-,А^,?1пах>Р2пш)-вз(/,Л^+А7.)|-»' „min ;

(53)

I*-4-

i—\

Решение задачи (53) укладывается в схему решения ЗОУ градиентам нагревом и приводится в диссертации применительно к процессам индукционного нагрева цилиндрических слитков из алюминиевых сплавов.

В работе рассматривается задача совместной оптимизации процессов нагрева и прессования металла в комплексе "ИНУ - пресс" с нефиксируемым

заранее распределением температуры по объему заготовки Q3(l,y,t° +АТ) перед прессованием, которое тем самым автоматически устанавливается искомыми алгоритмами управления из условия достижения предельных величин минимизируемых функционалов качества. В качестве критерия оптимизации комплекса в целом рассматривается функционал (46), а в качестве управляющего воздействия выступает вектор удельных мощностей P~{PvPi) автономно управляемых секций, стесненных ограничениями вида (52). Тогда для объекта, описываемого системой неоднородных уравнений Фурье (42)-(45) с соответствующими краевыми условиями требуется найти управляющее воздействие ~р it), стеснённое ограничениями (52), минимизирующее величину критерия (46) при заданной скорости прессования Vn = const. Частные варианты данной постановки могут меняться в зависимости от особенностей производственных условий и конкретных технологических требований. Например, требование согласования работы комплекса и минимизации простоя деформирующего оборудования может привести к учету дополнительного условия равенства суммарного времени нагрева и транспортировки длительности процесса прессования.

Схема решения подобной задачи совместной оптимизации в целом укладывается в описанную выше схему решения краевых задач с той принципиальной особенностью, что само температурное распределение перед процессом прессования исключается из систем уравнений альтернансного метода.

В пятой главе предлагаемый метод решения ЗОУ ТОРП распространяется на класс представляющих большой самостоятельный интерес некорректных задач параметрической идентификации математических моделей ТОРП в вариационной постановке применительно к граничным обратным задачам теплопроводности (ОЗТ).

Формальная постановка граничной ОЗТ приводится в работе для широко используемой на практике линейной одномерной модели нестационарного процесса теплопроводности, описываемого однородным уравнением Фурье в относительных единицах при граничных условиях второго рода, включающих искомую плотность теплового потока u(t) на границе тела. Требуется по

заданной температурной зависимости 0*(i) в некоторой фиксированной точке х е [0,1) определить плотность теплового потока u(t) па границе х = 1, минимизирующую невязку между 0*(/) и решением 0(х',() соответствующей

краевой задачи, отвечающим искомой функции u'(t).

При оценке данной невязки в равномерной метрике, искомая зависимость u(t), рассматриваемая в роли управляющего воздействия, стесненного ограничением u(t) е V, t > 0 , должна обеспечивать на заданном временном интервале [0,t°] достготше минимакса

/(и) = шах |ö(x*,0 -9*(Ol min . (54)

Ie[0,(u]l I

Специфической особенностью задачи (54) является необходимость сужения множества V допустимых значений u(t) до класса достаточно гладких функций, исходя из физических особенностей идентифицируемых процессов. В этих целях в работе предлагается принять за управляющее воздействие вместо u(t) его вторую производную w(t) = — - , подчиненную типо-

dt

вому ограничению

|n<0|<|wmaxj, ie(0, (55)

что гарантирует условно-корректную постановку задачи идентификации на компактном множестве непрерывных шесте со своей первой производной функций u{t) и не требует применения специальных методов регуляризации.

Последующее применение аппарата принципа максимума Понтрягина приводит к параметризации искомого воздействия w*(t) , определяемого с

точностью до длительностей Д,.,г' = 1,и, интервалов постоянства в классе релейных функций, попеременно принимающих значения ±wm2X .

В итоге, 0(х*,0 в (54) представляется решением рассматриваемой краевой задачи нестационарной теплопроводности при релейных воздействиях

w"(t) указанного типа в форме явной зависимости Q{x*,t,Aw) от вектора параметров AlS) = (A,«(0),ii'(0),wmax) , S -п+2 , включающего в качестве своих компонент кроме длительностей А = (Д,), i = 1, п -1, (п-1 )-го интервалов постоянства w*(t) при заданном времени процесса идентификации, априори неизвестные начальные значения и(0) и м'(0) идентифицируемой величины u(t) и предельного уровня >стм управляющего воздействия. В итоге задача (54) приводится к А(Л) -параметризованному виду:

/(A(S)) = max ¡0(jc*,A(sr>)-0e(/)|->min . (56)

/efO,;0]1 1 Л№

Решение последовательности задач (56) для возрастающего ряда значений п = 1,2,...,я0, вплоть до величины п°, отвечающей согласованному с по* i "i грешностью задания 8 (?) значен™ минимакса s;"in , обеспечивает решение

исходной задачи идентификации с требуемой точностью. На каждом шаге этого процесса для отыскания А(Х> используется альтернансный метод, реализуемый по устанавливаемым для каждого значения п альтернансным свойствам кривой температурной невязки во временной области на протяжении процесса идентификации заданной длительности. Во многих случаях ошибки восстановления искомой функции nil) оказываются достаточно малыми уже

при п" = 1-^3 . Рисунок 13 иллюстрирует полученные результаты при /7 = 1

(кривые 1) и п = 3 (кривые 2) для одного из примеров задания 0* (/) в форме точных решений уравнения теплопроводности при изменении граничного воздействия по гармоническому закону.

Рисунок 13 - Погрелшости приближения температур 0(дг*,7,Ат)- б (0 (а) и идентифицируемой плотности теплового потока и0(?) — м*(?) (б)

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

1. Разработан точный метод решения краевых задач оптимального управления технологическими объектами с распределенными параметрами в условиях чебышевских оценок заданных целевых множеств, базирующийся на предложенных в работе процедурах последовательной параметризации управляющих воздействий и редукции к задачам полубесконечной оптимизации.

2. Предложены инженерные методики и конструктивные вычислительные алгоритмы реализации предлагаемого метода, существенно использующие, наряду с аналитическими условиями оптимальности, базовые закономерности предметной области рассматриваемых прикладных задач оптимизации.

3. Разработаны алгоритмы оптимального по ряду основных технико-экономических критериев управления широким кругом процессов технологической теплофизики с сосредоточенными, пространственными и пространственно-временными управляющими воздействиями.

4. Предложены методология и алгоритмы совместной оптимизации процессов тепловой обработки металлических полуфабрикатов в технологических комплексах "нагрев-прессование".

6. Разработан новый метод параметрической идентификации математических моделей в обратных граничных задачах нестационарной теплопроводности, не требующий применения специальных регуляризирующих алгоритмов.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ ОПУБЛИКОВАНО В СЛЕДУЮЩИХ РАБОТАХ:

МОНОГРАФИЯ

1. Rapoport Е., Pleshivtseva Yu. Optimal Control of Induction Heating Processes. - CRC Press/Taylor & Francis Group, London, New York, 2007 - 349 pp.

СТАТЬИ В ЖУРНАЛАХ, РЕКОМЕНДОВАННЫХ ВАК РОССИИ

2. Плешивцева Ю.Э., Рапопорт ЭЛ., Метод последовательной параметризации управляющих воздействий в краевых задачах оптимального управления системами с распределенными параметрами. // Известия РАН. Теория и системы управления, 2009, №3. С. 32-43.

3. Рапопорт Э.Я., Плешивцева Ю.Э., Специальные методы оптимизации в обратных задачах теплопроводности. // Известия РАН. Энергетика, 2002. № 5. С. 144-155.

4. Плешивцева Ю.Э. Точная редукция к конечномерным моделям в одном классе задач оптимального управления системами с распределенными параметрами // Мехатроника, автоматизация и управление, 2008, №7 (88). С. 9-13.

5. Плешивцева Ю.Э. Краевая задача минимизации термохимических взаимодействий при управлении нагревом металла под обработку давлением // Известия высших учебных заведений. Северо-Кавказский регион. Технические науки, 2008, №3. С. 28-32.

6. Плешивцева Ю.Э. Алгоритмы оптимального по быстродействию пространственно-временного управления объектами с распределенными параметрами параболического типа. // Известия высших учебных заведений. Северо-Кавказский регион. Технические науки, 2008, №4. С. 14-17.

7. Плешивцева Ю.Э., Афиногентов A.A. Оптимальное управление энерготехнологическими процессами в производственных комплексах. // Известия высших учебных заведений. Электромеханика, 2008, №3. С. 51-55.

8. Плешивцева Ю.Э. Параметрическая оптимизация с чебышевскими оценками целевых множеств в краевых задачах оптимального управления системами с распределенными параметрами// Вестник Самарского гос. техн. ун-та. Сер. «Технические науки». Самара: СамГТУ, 2009. №1(23). С. 54-64.

9. Плешивцева Ю.Э. Оптимальное управление стационарными режимами нагрева металла в индукционных печах с непрерывным движением заготовок. // Вестник Самарского гос. техн. ун-та. Сер. «Технические науки». Самара: СамГТУ, 2007. №1(19). С.158-166.

10. Плешивцева Ю.Э. Структурно-параметрический синтез оптимальных по быстродействию систем модального управления объектами с распределенными параметрами. // Вестник Самарского гос. техн. ун-та. Сер. «Технические науки». Самара: СамГТУ, 2006. Вып. 41. С. 31-39.

11. Плешивцева Ю.Э. Альтернансный метод в задачах оптимизации проходных индукционных нагревателей по экономическим критериям качества. // Вестник Самарского гос. техн. ун-та. Сер. «Технические науки». Самара: СамГТУ, 2005. Вып. 33. С. 60 - 66.

12. Плешивцева Ю.Э. Possibilities of optimal control methods for optimization of transient modes of induction through heaters. // Вестник Самар. гос. техн. ун-та. Сер. «Технические науки». Самара: СамГТУ, 2002. Специальный вып. №2. С. 117-126.

13. Плешивцева Ю.Э., Израйлев A.C., Израйлева H.A. Параметрическая оптимизация замкнутой системы автоматического управления качеством приготовления подпиточной воды в цехе ХВО СамТЭЦ. // Вестник Самарского гос. техн. ун-та. Сер. «Технические науки». Самара: СамГТУ, 2001. Вып. 13. С. 150- 158.

14. Плешивцева Ю.Э., Каргов А.И. Алгоритмы оптимального по быстродействию пространственно-временного управления процессами нагрева тела цилиндрической формы. // Вестник Самарского гос. техн. ун-та. Сер. «Технические науки». Самара: СамГТУ, 1998. Вып. 5. С. 191-194.

15. Рапопорт Э.Я., Лившиц М.Ю., Плешивцева Ю.Э. Конечномерные приближения в одном классе задач оптимизации систем с распределенными параметрами. // Вестник Самарского гос. техн. ун-та. Сер. «Физ.-мат. науки». Самара: СамГТУ, 1996. Вып. 4. С. 24 - 36.

16. Плешивцева Ю.Э., Гущин Б.Л., Каргов А.И., Сипухин Р.И. Пространственно-временное управление процессом нестационарной теплопроводности. // Вестник Самарского гос. техн. ун-та. Сер. «Технические науки». Самара: СамГТУ, 1994. Вып. 1. С. 208 - 219.

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ В ДРУГИХ ЖУРНАЛАХ, СБОРНИКАХ НАУЧНЫХ ТРУДОВ, МАТЕРИАЛАХ МЕЖДУНАРОДНЫХ И ВСЕРОССИЙСКИХ НАУЧНЫХ КОНФЕРЕНЦИЙ

17. Yu. Pleshivtseva. "Transportation" Problem of Time-Optimal Heating. // Int. Journal of Materials & Product Technology (IJMPT), Vol. 29, Nos. 1/4, Special issue "Induction Heating & Hardening" (USA), 2007. p. 137-148..

18. Плешивцева Ю.Э. State-of-the-art of applied optimal control theory and system implementation methods for industrial electro-thermal installations. // В сб.: Труды VIII Междунар. конф. "Проблемы управления и моделирования в сложных системах". Самара: СНЦ РАН, 2006. С. 189-194.

19. Плешивцева Ю.Э. Алгоритмы субоптимального пространственно-временного управления системой с распределенными параметрами. // Сб.: Элементы и системы оптимальной идентификации и управления технологическими процессами. Тула: ТулГТУ, 1994. С. 80-91.

20. Рапопорт Э.Я., Плешивцева Ю.Э. Структурно-параметрический синтез оптимальных по быстродействию систем управления с распределенными параметрами. // В сб.: Труды X Междунар. конф. "Проблемы управления и моделирования в сложных системах". Самара: СНЦ РАН,, 2008. С. 73-86.

21. Плешивцева Ю.Э., Афиногентов А.А., Наке Б. Оптимальное управление технологическим комплексом нагрев-обработка металла давлением. // Proceedings of Seminar of DAAD scholars, Moscow, Russia, April 18-19, 2008, pp. 164-166.

22. Yu. Pleshivtseva, N. Zaikina, B.Nacke A.Nikanorov. Time-optimal control of energy-efficient heating of aluminum billets rotating in DC magnetic field. // Przegrad Electrotechniczy (Electrical Review), ISSN 0033-2097, R. 84 NR 11/2008, pp. 120-123.

23. Рапопорт Э.Я., Плешивцева Ю.Э. Модели и методы полубесконечной оптимизации в краевых задачах оптимального управления системами с распределенными параметрами. // Мехатроника, автоматизация, управление. Материалы Междунар. научно-технической конф. (МАУ-2007). Таганрог - Москва, 2007. С.123-129.

24. Yu. Pleshivtseva, B.Nacke. Optimal control of induction heating processes for forging industry. // Procedings of Seminar of DAAD scholars, Moscow, Russia, April 16-17,2007, p. 170-172.

25. Рапопорт Э.Я., Плешивцева Ю.Э. Условно-корректная постановка и методы алгоритмически точного решения краевых задач оптимального управления системами с распределенными параметрами. // В сб.: Труды IX Между-нар. конф. "Проблемы управления и моделирования в сложных системах". Самара: СНЦ РАН, 2007. С. 126-139.

26. Yu. Pleshivtseva, E.Rapoport, A. Efimov, B.Nacke, A.Nikanorov. Optimal design and control of induction heaters for forging industry // Proceedings International Seminar "Heating by Electromagnetic Sources" HES-07, Padua, Italy, June 19-22,2007. p. 251-258.

27. Плешивцева Ю.Э., Заикина H.B. Оптимизация переходных режимов работы нагревателей непрерывного действия но экономическим критериям качества. // Седьмая Междунар. научно-практическая конф. «Методы и алгоритмы прикладной математики в технике, медицине и экономике», Новочеркасск, 2007. С.20-26.

28. Yu. Pleshivtseva, E.Rapoport, A. Efimov, B.Nacke, A.Nikanorov. Special methods of parametric optimization of induction heating systems. // Proceedings: International Scientific Colloquium "Modelling for Electromagnetic Processing". Hannover, Germany, 2008. pp. 229-234.

29. Рапопорт Э.Я., Плешивцева Ю.Э. Оптимальные системы модального управления объектами с распределенными параметрами, описываемыми уравнениями параболического типа. // В сб.: Труды VIII Междунар. конф. "Проблемы управления и моделирования в сложных системах". Самара: СНЦ РАН, 2006. С. 206-215.

30. Рапопорт Э.Я., Плешивцева Ю.Э., Осипова Ю.А. Локально-оптимальные алгоритмы управления переходными режимами работы индукционных нагревательных установок непрерывного действия. // В сб.: Тр. 2-й Всерос. научно-технич. конф. с международным участием "Мехатроника, автоматизация, управление". Уфа: УГАТУ, 2005. С. 65-70.

31. Плешивцева Ю.Э., Осипова Ю.А. Оптимальное управление переходными режимами работы индукционных нагревателей непрерывного действия. // В сб.: Компьютерное моделирование. Труды шестой Междунар. конф. С-Петербург: СпбГТУ, 2005. С. 80-83.

32. Рапопорт Э.Я., Плешивцева Ю.Э. Модели и методы полубесконечной оптимизации в обратных задачах теплопроводности. // В сб.: 5-ый Минский международный форум по тепло- и массообмену. Тезисы докл. и сообщ. -Минск: Институт тепло и массообмена им. Лыкова НАНБ. - 2004. том №1. С. 274-276.

33. Yu. Pleshivtseva, E.Rapoport, A. Efimov, B.Nacke, A.Nikanorov, S.Galunin, Yu Blinov. Optimal Control of Induction Through Heating for Forging. // Proceedings International Seminar "Heating by Electromagnetic Sources" HES-04, Padua, Italy, June 23-25,2004. pp. 97-105.

34. Плешивцева Ю.Э., Данилушкин А.И. Оптимизация переходных режимов работы объектов технологической теплофизики с дискретно-распределенными управляющими воздействиями. // В сб.: Труды V Междунар.

конф. "Проблемы управления и моделирования в сложных системах". - Самара: СНЦ РАН, 2003. - С. 199-207.

35. E.Rapoport, Yu. Pleshivtseva. Optimal control by derivatives of identifiable control actions in the heat conductivity inverse problems. // В сб.: Обратные задачи: идентификация, проектирование и управление. Тр. четвертой Меж-дун. конф. Москва: 2003. С.6-12.

36. Yu. Pleshivtseva, E.Rapoport, A. Efimov, B.Nacke, A.Nikanorov, S.Galunin, Yu Blinov. Potentials of Optimal Control Techniques in Induction Through Heating for Forging. // Proceedings International Scientific Colloquium "Modelling for Electromagnetic Processing". Hannover, Germany, 2003. pp. 145-150.

37. Рапопорт Э.Я., Плешивцева Ю.Э. Альтернансный метод в обратных задачах теплопроводности. // В сб.: Труды III Российской национальной конференции по теплообмену, том 7. Москва: МЭИ, 2002. С. 240-243.

38. Лившиц М.Ю., Плешивцева Ю.Э. Распределенное оптимальное управление процессами технологической теплофизики. // В сб.: Труды IV Ме-ждунар. конф. "Проблемы управления и моделирования в сложных системах". Самара: СНЦ РАН, 2002. С. 253-258.

39. Yu. Pleshivtseva, E.Rapoport. Optimum control of electric heating by mobile internal sources. // Proceedings International Induction Heating Seminar IHS-01, Padua, Italy, September 10-14, 2001. p.p. 667-672.

40. Рапопорт Э.Я., Лившиц М.Ю., Плешивцева Ю.Э. Альтернансный метод в задачах оптимизации процессов технологической теплофизики: основы теории, вычислительные алгоритмы, опыт применения. // В сб.: Труды Международного Форума "Тепломассообмен ММФ-2000. Теплопроводность и задачи оптимизации теплообмена". Минск: НАНБ, 2000. С. 298-305.

41. E.Rapoport, Yu. Pleshivtseva, М. Livshits. Alternance Method in Problems of Induction Heating Processes: Basic Principles and Experience of Applications. // Proceedings ISEF'99, International Symposium on Electromagnetic Fields in Electrical Engineering. - Pavia, Italy, September 23-25, 1999. pp. 141-144.

42. E.Rapoport, Yu. Pleshivtseva, M. Livshits, P. Rudnev. Universal Method for Optimization of Induction Heating Processes. // Proceedings 8th International Induction Heating Seminar. - Kissimmee, Florida, November, 3-6, 1998.

43. Плешивцева Ю.Э., Гущин Б.Л., Каргов А.И., Сипухин Р.И. Математическое, алгоритмическое и программное обеспечение систем оптимального управления технологическими процессами тепломассопереноса.// Труды Международного Научного Конгресса "Молодежь и наука- третье тысячелетие". - Москва: НТА "Актуальные проблемы фундаментальных наук", 1997. т.1, П-82-33.

44. Плешивцева Ю.Э., Лившиц М.Ю., Уклейн Ю.А. Оптимальное управление процессом газовой цементации деталей машин. // Сб. Моделирование и оптимизация процессов промышленных технологий. Межвузовский сборник научных трудов. Куйбышев: КПтИ, 1988. С. 18.

45. Лившиц М.Ю., Плешивцева Ю.Э. Оптимизация процессов индукционного нагрева методами распределенного управления. // В сб.: Научные

проблемы технологических процессов, связанных с вопросами сбережения энергоресурсов и экологии. Труды Междунар. Симпозиума. Санкт-Петербург, 1994. С. 172-178

Автореферат отпечатан с разрешения диссертационного совета Д 212.217.03 ГОУ ВПО Самарский государственный технический уни-

верситет

(протокол № 1 от 19 марта 2009 г.)

Заказ № 356 Тираж 100 экз.

Отпечатано на ризографе. ГОУВПО «Самарский государственный

технический университет» Отдел типографии и оперативной печати 443100 г. Самара ул. Молодогвардейская, 244.

Введение

1 ПРОБЛЕМА ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ТЕХНИЧЕСКИМИ ОБЪЕКТАМИ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

1.1 Содержательная постановка задач оптимального управления технологическими объектами с распределенными параметрами

1.2 Основные типы задач оптимального управления системами с распределенными параметрами

1.3 Современные методы теории управления системами с распределенными параметрами

1.3.1 Необходимые условия оптимальности в форме принципа максимума и его модификаций для различных моделей СРП

1.3.2 Метод моментов в задачах управления СРП

1.3.3 Численные методы в задачах оптимизации СРП

1.3.4 Методы синтеза замкнутых систем управления с распределенными параметрами

1.4 Проблема управляемости и наблюдаемости распределенных систем

1.5 Идентификация математических моделей СРП

1.6 Содержательная постановка задачи исследования 50 Основные результаты и выводы

2 ТОЧНЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИМИ ОБЪЕКТАМИ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

2.1 Типовые модели распределенных объектов в задачах оптимального управления

2.2 Общая постановка краевой задачи оптимального управления ОРП

2.3 Анализ возможностей решения краевых задач оптимизации с помощью стандартных процедур принципа максимума Понтрягина

2.4 О двухточечных краевых задачах оптимального управления СРП

2.5 Целевые множества допустимых конечных состояний в бесконечномерном фазовом пространстве ОРП

2.6 Специальная процедура последовательной параметризации оптимальных управлений на множестве граничных сопряженных переменных

2.7 Принцип минимальной сложности \|/(5) -параметризованной структуры оптимальных программных управлений

2.8 Редукция к задаче управления конечномерной подсистемой уравнений модели СРП

2.9 Отображения на множество параметров в временной области определения программных управляющих воздействий (Д(5) - параметризация)

2.10 Редукция к задачам полубесконечной оптимизации

2.11 Организация вычислительных алгоритмов 107 Основные результаты и выводы

ОПТИМИЗАЦИЯ ПРОЦЕССОВ ТЕХНОЛОГИЧЕСКОЙ ТЕПЛОФИЗИКИ

3.1 Оптимизация процессов термохимических взаимодействий при нагреве металлических изделий под обработку давлением

3.1.1 Постановка задачи минимизации потерь металла в окалину

3.1.2 Структура алгоритмов программного оптимального управления

3.1.3 Параметризация управляющих воздействий

3.1.4 Редукция к задаче полубесконечной оптимизации

3.2 Двухканальная оптимизация процессов индукционного нагрева

3.2.1 Постановка двухканальной задачи оптимального быстродействия

3.2.2 Точная редукция к задаче управления конечномерной подсистемой

3.2.3 Параметризованные алгоритмы оптимального управления

3.3 Оптимальное по быстродействию распределенное управление нестационарными процессами теплопереноса

3.3.1 Точное решение задачи быстродействия в классе двухпараметри-ческих пространственно-временных управлений

3.3.2 Алгоритмы квазиоптимального по быстродействию управления при ступенчатых аппроксимациях линии переключения на пространственно-временной плоскости

3.4 Оптимальное управление непрерывными процессами индукционного нагрева металла

3.4.1 Проектирование нагревателя минимальной длины

3.4.2 Оптимизация процессов непрерывного нагрева с управлением по напряжениям питания индукторов нагревателя

3.5 Оптимальное управление процессом нагрева алюминиевых заготовок, вращающихся в магнитном поле постоянного тока

3.5.1 Инновационная технология нагрева алюминиевых заготовок перед прессованием

3.5.2 Математическое моделирование процесса нагрева алюминиевых заготовок, вращающихся в магнитном поле постоянного тока

3.5.3 Постановка и решение задачи оптимального по быстродействию управления

3.5.4 Решение задачи оптимального по быстродействию управления с учетом технологического ограничения на максимально допустимую температуру

3.6 Методы структурно-параметрического синтеза оптимальных по быстродействию систем управления объектами технологической теплофизики

3.6.1 Синтез оптимальных по быстродействию систем управления с сосредоточенными управляющими воздействиями

3.6.2 Синтез оптимальных по быстродействию систем управления с распределенными управляющими воздействиями

Диссертация посвящена разработке, теоретическому обоснованию, построению вычислительных алгоритмов и практическому применению нового конструктивного метода точного решения краевых задач оптимизации технологических объектов с распределенными параметрами с подвижным правым концом траектории в бесконечномерном фазовом пространстве координат системы, базирующегося на предлагаемом специальном методе последовательной конечномерной параметризации управляющих воздействий и существенном использовании базовых закономерностей предметной области оптимизируемых процессов.

АКТУАЛЬНОСТЬ ПРОБЛЕМЫ. Перспективы дальнейшего развития ведущих отраслей промышленности неразрывно связаны с повышением удельного веса энерготехнологических процессов, возрастанием их энерго- и материалоемкости. В этих условиях необходимо обеспечить достижение предельно возможных технико-экономических показателей работы промышленного оборудования, что требует разработки методов усовершенствования его конструкционных характеристик и соответствующей организации режимов функционирования, оптимальных по принятым критериям эффективности. Серьезные трудности, возникающие на этом пути, определяются высоким уровнем сложности большинства ответственных энерготехнологических процессов, функции состояния которых, прежде всего, характеризуются ярко выраженной неравномерностью их распределения в пределах пространственной области, занимаемой объектом [112].

Указанная проблема может быть решена в основных своих аспектах на базе современной теории и техники оптимального управления системами с распределенными параметрами (СРП). К числу СРП относится широкий круг управляемых объектов, охватывающих, как традиционные, так и новейшие технологии в самых различных областях техники. Практическая реализация таких технологий с требуемыми качественными показателями невозможна без построения соответствующих алгоритмов автоматического управления, что и явилось главным стимулом к созданию теории и методов управления СРП. Задачи оптимального управления СРП оказываются качественно более сложными по сравнению с аналогичными задачами управления системами с сосредоточенными параметрами в виду целого ряда принципиальных особенностей этих систем, связанных с пространственной распределенностью управляемых величин [112].

Начиная с основополагающих работ А.Г. Бутковского, к настоящему времени в теории управления СРП получен целый ряд фундаментальных результатов. Здесь можно, прежде всего, отметить работы Г.Л. Дегтярева, А.И. Егорова, Ю.В. Егорова, В.А. Коваля,

Ж.-Д. Лионса, К.А. Лурье, И.М. Першина, В.И. Плотникова, Л.М. Пустыльникова, Э.Я. Рапопорта, Т.К. Сиразетдинова, А.В.Фурсикова, Ф.Л. Черноусько и многих других отечественных и зарубежных ученых [17-20, 38, 39,45-48, 75, 76, 91, 113-117, 145, 167, 168].

В последние годы интерес к проблеме оптимального управления СРП значительно возрастает. Однако, общая теория управления СРП вынужденно оперирует абстрактными теоретическими схемами, в которые не вписываются практические требования и многие принципиальные особенности конкретных прикладных задач. Это приводит к абстрагированию от целого ряда принципиальных для прикладных задач факторов, учет которых необходим для получения приемлемых на практике инженерных решений. При этом СРП характеризуются практически неограниченным спектром существенных особенностей, что приводит к возникновению отдельных задач управления применительно к каждому классу исследуемых процессов. Эффективные решения таких задач могут быть получены только на основе адаптации общетеоретических результатов к конкретной предметной области и максимального учёта ее базовых физических закономерностей.

Одной из центральных проблем в теории управления СРП применительно к целому ряду прикладных задач, представляющих самостоятельный интерес, остается разработка конструктивных методов решения краевых задач оптимизации СРП по переводу объекта в требуемое конечное состояние с экстремальными значениями оптимизируемых показателей качества в целях построения алгоритмов программного управления и методики синтеза замкнутых систем с обратными связями. Широко распространенные на практике подходы к этой проблеме, базирующиеся на приближенных описаниях СРП в терминах систем с сосредоточенными параметрами, характеризуются рядом существенных недостатков или вообще оказываются неприемлемыми. Точные решения задач оптимального управления для исходных моделей технологических объектов с распределенными параметрами (ТОРП) по традиционной схеме с фиксированным правым концом траектории, игнорирующей особенности большинства прикладных задач, либо не могут быть получены даже теоретически, либо существуют в классе нереализуемых управляющих воздействий.

Это вызывает необходимость разработки новых эффективных и реализуемых на практике методов поиска алгоритмов оптимального управления в подобных задачах, учитывающих практически всегда существующие допуски на отклонение от номинальной точки, фиксируемой в исходной двухточечной схеме.

Диссертация посвящена разработке, теоретическому обоснованию, построению вычислительных алгоритмов и практическому применению нового конструктивного метода точного решения краевых задач оптимизации ТОРП с подвижным правым концом траектории в бесконечномерном фазовом пространстве координат системы, базирующегося на предлагаемом специальном методе последовательной конечномерной параметризации управляющих воздействий и существенном использовании базовых закономерностей предметной области оптимизируемых процессов.

Диссертация выполнена в соответствии с планом фундаментальных научно-исследовательских работ Самарского государственного технического университета (Сам-ГТУ), выполняемых по заданию Минобрнауки РФ. Работа поддержана грантами РФФИ (проекты 06-08-00041-а, 07-08-00342-а) и совместными грантами Минобрнауки РФ и Германской Службы Академических Обменов (DAAD).

Актуальность темы диссертации подтверждается материалами Всесоюзных, российских и международных конференций по проблемам управления и моделирования в сложных системах; системному анализу; мехатронике; индукционному нагреву; обратным задачам; тепло- и массообмену; электротехнологиям; краевым задачам и задачам оптимизации.

ЦЕЛЬЮ РАБОТЫ является разработка основ теории и техники применения эффективного метода точного решения краевых задач оптимизации ТОРП с заданным целевым множеством конечных состояний и построение на базе этого метода вычислительных алгоритмов для решения широкого круга прикладных задач оптимального управления энерготехнологическими процессами.

МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ. Для решения поставленных задач использовались методы, основанные на системном подходе к решаемой проблеме, в том числе методы теории оптимального управления системами с распределенными параметрами, теории тепло-и массопереноса, аппарат конечных интегральных преобразований, методы численного и компьютерного моделирования, экспериментальные методы исследования ТОРП.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА определяется тем, что диссертационная работа расширяет и углубляет теоретические представления об общих закономерностях оптимальных процессов в краевых задачах управления СРП; предлагает новые методы их качественного и количественного описания, исследования и синтеза соответствующих алгоритмов оптимизации; устанавливает способы детализации общих закономерностей применительно к целому ряду прикладных ЗОУ ТОРП, представляющих самостоятельный интерес.

В работе получены следующие основные научные результаты: - созданы основы теории и техники применения нового метода точного решения широкого круга краевых задач оптимизации ТОРП, отличающегося конструктивным способом построения алгоритмов оптимального управления, которые гарантируют перевод объекта в соответствующую исходным требованиям область допустимых конечных состояний с предельно достижимыми технико-экономическими показателями оптимизируемых энерготехнологических процессов;

- на этой базе разработаны алгоритмы оптимального управления широким кругом процессов технологической теплофизики, обеспечивающие, в отличие от известных, заданную точность равномерного приближения к требуемому конечному состоянию ТОРП;

- предложена не имеющая известных аналогов методика решения нового класса актуальных задач параметрической оптимизации объектов технологического нагрева с пространственно-распределенными и пространственно-временными управляющими воздействиями, позволяющая распространить предлагаемую методологию исследования ЗОУ ТОРП на комплексную проблему оптимального проектирования технологического оборудования и последующей оптимальной организации режимов его функционирования;

- разработаны алгоритмы оптимизации по системным критериям качества энерготехнологических комплексов обработки металла давлением в производственных системах «индукционная нагревательная установка — пресс», устанавливающие и реализующие оптимальные начальные температурные кондиции прессуемого металла в процессе предварительного градиентного нагрева, которые, согласно существующим методикам, априори фиксируются технологическими инструкциями;

- предложен метод параметрической идентификации математических моделей в обратных граничных задачах нестационарной теплопроводности, не требующий, по сравнению с известными подходами, применения специальных регуляризирующих алгоритмов и обеспечивающий поиск идентифицируемых внешних воздействий в классе физически реализуемых функций.

ПРАКТИЧЕСКАЯ ПОЛЕЗНОСТЬ РАБОТЫ. Предложенные в диссертации инженерные методики и способы организации вычислительных процедур распространяют предлагаемый метод точного решения краевых задач оптимизации ТОРП на ряд актуальных задач оптимального управления процессами технологической теплофизики, представляющих самостоятельный интерес для ведущих отраслей промышленного производства. Разработанное специальное математическое, алгоритмическое и программное обеспечение, на базе которого созданы пакеты прикладных программ для подсистемы автоматизированного расчета оптимальных алгоритмов управления, может быть непосредственно использовано для решения конкретных задач оптимизации энерготехнологических объектов.

Применение разработанных методов и алгоритмов оптимального управления к решению практических задач обеспечивает существенные технико-экономические преимущества перед с типовыми технологиями и известными методами оптимизации ТОРП по всем основным качественным показателям оптимизируемых процессов. При этом по сравнению с существующими типовыми алгоритмами управления в среднем достигается:

- выигрыш по времени, и, как следствие, увеличение производительности труда до15 + 25%;

- повышение в 1,5 -f-З раза точности достижения требуемых кондиций конечной продукции;

- снижение брака и материальных потерь на 5-15%;

- экономия производственных площадей до 2 раз;

- сокращение износа и времени простоя деформирующего оборудования в технологических комплексах обработки металла давлением.

РЕАЛИЗАЦИЯ РЕЗУЛЬТАТОВ РАБОТЫ. Полученные в работе теоретические положения и практические результаты использованы:

- при выполнении с фундаментальной НИР «Создание основ теории и способов реализации точных методов определения алгоритмов оптимального управления объектами с распределенными параметрами», проводимой в СамГТУ по заданию Минобрнауки РФ;

- при выполнении НИР, проводимых СамГТУ в рамках Программы совместных научных исследований с Институтом Электротехнологий Университета им. Лейбница (г. Ганновер, Германия) в области оптимизации электротермических процессов;

- при выполнении НИР «Модели последовательной конечномерной параметризации управляющих воздействий, модельный анализ и методы полубесконечной оптимизации в краевых задачах оптимального управления распределенными объектами механики сплошных сред» по Программе №22 «Процессы управления» фундаментальных исследований Президиума РАН;

- при выполнении НИР по проектам Российского Фонда Фундаментальных Исследований «Разработка основ теории и методов реализации стратегии гарантированного результата в процессах идентификации и управления техническими системами с распределенными параметрами» (проект 06-08-00041) и «Разработка методов математического моделирования и оптимального управления взаимосвязанными электромагнитными и тепловыми полями в энерготехнологических процессах и установках промышленных производств» (проект 07-08-00342);

- при выполнении НИР по заданиям Рособразования в рамках аналитической ведомственной целевой программы «Развитие научного потенциала высшей школы (2006-2008 годы)»: «Алгоритмы оптимального управления технологическими процессами индукционного нагрева с гарантированными критериями качества» (Проект 2,2.2.3.9691); «Оптимальное управление технологическим комплексом «нагрев - обработка давлением» (Проект 2.2.2.3.10157); «Оптимизация процессов нагрева алюминиевых заготовок, вращающихся в магнитном поле постоянного тока» (Проект 2.2.2.3.16170);

- при проектных разработках систем управления технологическим оборудованием в ОАО «СМЗ» (Самарский металлургический завод, г. Самара) и на Уральском машиностроительным заводе (г. Миасс Челябинской обл.);

- в учебном процессе Самарского государственного технического университета при подготовке инженеров по специальностям 220201 «Управление и информатика в технических системах», 220301 «Автоматизация технологических процессов и производств» и магистров техники и технологии по направлению «Автоматизация и управление».

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Основные научные положения и результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на Всесоюзных, Российских и Международных конференциях и коллоквиумах, в том числе на Международном Научном Коллоквиуме «Modeling for Electromagnetic Processing» (MEP-08).- Ганновер, Германия, 2008; Х-й Международной конференции «Проблемы управления и моделирования в сложных системах».— Самара, 2008; Международной научно-технической конференции «Мехатроника, автоматизация и управление»- Москва, 2007; IX-й Международной конференции «Проблемы управления и моделирования в сложных системах».- Самара, 2007; Международном Семинаре «Heating by Electromagnetic Sources» (HES-07). - Падуя, Италия, 2007; Седьмой Международной научно-практической конференции «Методы и алгоритмы прикладной математики в технике, медицине и экономике». - Новочеркасск, 2007; Третьей Всероссийской научной конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» — Самара, 2006; VIII-й Международной конференции «Проблемы управления и моделирования в сложных системах»,- Самара, 2006; Х-й Международной научно-практической конференции «Системный анализ, проектирование и управление». - Санкт-Петербург, 2006; 2-й Всероссийской научно-технической конференции с международным участием «Мехатроника, автоматизация, управление». - Уфа, 2005; 5-ом Минском международном форуме по тепло- и массообмену. - Минск, 2004; Международном Семинаре «Heating by Electromagnetic Sources» (HES-04). - Падуя, Италия, 2004; V-й Международной конференции «Проблемы управления и моделирования в сложных системах».- Самара, 2003; Международном Научном Коллоквиуме «Modeling for Electromagnetic Processing» (MEP-03).- Ганновер, Германия, 2003; Четвертой Международной конференции «Обратные задачи: идентификация, проектирование и управление». -Москва, 2003; Международном Семинаре «East-West: Electrotechnology Network».- Санкт-Петербург, 2002; IV-й Международной конференции «Проблемы управления и моделирования в сложных системах».- Самара, 2002; Международном Семинаре «Induction Heating Seminar» (IHS-01). - Падуя, Италия, 2001; Международном Форуме «Тепломассообмен ММФ-2000. Теплопроводность и задачи оптимизации теплообмена». - Минск, 2000; Международном Симпозиуме «International Symposium on Electromagnetic Fields in Electrical Engineering» (ISEF 99). - Павия, Италия, 1999; 8-ом Международном Семинаре «Induction Heating». - Флорида, США, 1998; Международном Научном Конгрессе «Молодежь и наука- третье тысячелетие». - Москва, 1997; Всероссийской научно-технической конференции «Надежность механических систем». - Самара, 1995; V Международной научно-технической конференции «Математическое моделирование и САПР систем сверхбыстрой обработки информации на объёмных интегральных схемах (ОИС) СВЧ и КВЧ». - Сергиев-Посад, 1995; Международном Симпозиуме «Научные проблемы технологических процессов, связанных с вопросами сбережения энергоресурсов и экологии». - Санкт-Петербург, 1994.

ПУБЛИКАЦИИ. Основные результаты диссертации опубликованы в 45 научных работах, в том числе в 1 монографии и 15 статьях, опубликованных в периодических научных изданиях, рекомендованных ВАК России для опубликования результатов докторских диссертаций.

СТРУКТУРА И ОБЪЕМ ДИССЕРТАЦИИ. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка использованных источников, содержащего 198 наименований. Диссертационная работа содержит 416 страниц машинописного текста, включающего 124 рисунка, 26 таблиц.

Основные результаты и выводы

1. Предлагаемый метод решения краевых задач оптимизации ТОРП распространен на класс задач параметрической идентификации математических моделей объектов управления с распределенными параметрами применительно к центральным в инженерной теплофизике некорректным обратным задачам нестационарной теплопроводности.

2. Предложена условно-корректная вариационная постановка обратной граничной задачи теплопроводности с ограниченными управляющими воздействиями по второй производной от идентифицируемых воздействий по внешнему тепловому потоку, гарантирующая существование искомых решений на заведомо компактном множестве физически реализуемых гладких функций, непрерывных вместе со своими первыми производными, и не требующая на этом основании применения специальных методов регуляризации.

3. Выбор в качестве критерия оптимальности оцениваемой в равномерной метрике невязки между экспериментальными зависимостями и модельными представлениями температурного поля в точках его измерения, и последующая параметризация управляющий воздействий, выполняемая с помощью процедуры принципа максимума Понтрягина, обеспечивают точную редукцию исходной задачи идентификации к минимаксной задаче параметрической оптимизации, разрешаемой альтернансным методом по общей схеме используемых в диссертации конструктивных вычислительных алгоритмов.

4. Условно-корректная постановка задачи идентификации на компактном множестве гладких экстремалей обеспечивает получение ее решения предлагаемым методом с любой требуемой точностью путем выбора размерности параметрического представления искомых управляющих воздействий, отвечающей минимаксной оценке температурной невязки, согласованной с погрешностью измерения контролируемых температур.

5. Конкретные численные результаты, найденные предлагаемым методом в модельных задачах идентификации величины внешнего теплового потока по заданным температурным зависимостям, свидетельствуют об эффективности предлагаемого подхода к решению обратных граничных задач нестационарной теплопроводности и возможности получения удовлетворительных по точности результатов при минимальном числе искомых параметров (не более трех).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертационной работе получены следующие основные результаты:

1. Разработан точный метод решения краевых задач оптимального управления технологическими объектами с распределенными параметрами в условиях чебышевских оценок заданных целевых множеств, базирующийся на предложенных в работе процедурах последовательной параметризации управляющих воздействий и редукции к задачам полубесконечной оптимизации.

2. Предложены инженерные методики и конструктивные вычислительные алгоритмы реализации предлагаемого метода, существенно использующие, наряду с аналитическими условиями оптимальности, базовые закономерности предметной области рассматриваемых прикладных задач оптимизации.

3. Разработаны алгоритмы оптимального по ряду основных технико-экономических критериев управления широким кругом процессов технологической теплофизики с сосредоточенными, пространственными и пространственно-временными управляющими воздействиями.

4. Предложены методология и алгоритмы совместной оптимизации процессов тепловой обработки металлических полуфабрикатов в технологических комплексах "нагрев-прессование".

5. Разработан новый метод параметрической идентификации математических моделей в обратных граничных задачах нестационарной теплопроводности, не требующий применения специальных регуляризирующих алгоритмов.

Дальнейшие перспективы развития полученных результатов связаны с их распространением на:

• более широкий круг задач оптимизации объектов технологической теплофизики (включая термодиффузионные процессы химико-термической обработки, технологические комплексы нагрев-прокатка, процессы индукционной пайки и поверхностной закалки);

• задачи идентификации теплофизических характеристик нестационарных процессов теплопроводности,

• задачи управления нестационарными режимами работы производственных комплексов «нагрев-обработка давлением»;

• задачи управления технологическими объектами с распределенными параметрами, описываемыми волновыми уравнениями математической физики.

1. Автоматизация методических печей // Л.И. Буглак, И.Б. Вольфман, С.Ю. Ефроймо-вич, Г.К. Захаров, М.Д, Климовицкий, A.M. Сегаль. М.: Металлургия, 1981. 196 с.

2. Автоматизированные производства изделий из композиционных материалов / B.C. Балакирев, А.А. Большаков, А.В. Заев, И.Б. Зарецкий, В.А. Кощеев, В.И. Олексюк, Е.И.Фандеев М.: Химия, 1990.

3. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное управление. М.: Наука, 1979. 429 с.

4. Алифанов О.М. Обратные задачи теплообмена. М.: Машиностроение, 1988. 280 с.

5. Андреев Ю.Н. Оптимальное проектирование тепловых агрегатов. М.: Машиностроение, 1983. 231 с.

6. Афанасьев В.Н., Колмановский В.Б., Носов В.Р. Математическая теория конструирования систем управления. М.: Высшая школа, 2003.

7. Афиногентов А.А. Моделирование процесса деформации металлических заготовок цилиндрической формы // Вестник Самарского гос. техн. ун-та. Серия «Физико-математические науки». Самара: СамГТУ, 2007. №2(15). С. 170-172.

8. Афиногентов А.А. Моделирование и оптимальное управление технологическим комплексом "нагрев обработка металла давлением". Автореф. дис. . канд. техн. наук / Самара: СамГТУ, 2008.22 с.

9. Афиногентов А.А. Модели тепловых объектов в системах управления реального времени // Математическое моделирование и краевые задачи: Труды третьей всероссийской науч. конф. Самара: СамГТУ, 2006. Ч. 2. С. 24 - 28.

10. Бабичев А.В., Бутковский А.Г., Похволайнен С.К. К единой геометрической теории управления. М.: Наука, 2001. 420 с.

11. Бадамшин Р.А., Горбатков С.А., Клестов Е.А. Оптимальное терминальное управление системами с распределенными параметрами при неполном измерении их состояния. Уфа: УГАТУ, 1997.

12. Баке Э., У. Йорн, А. Мюльбауэр. Энергопотребление и эмиссия С0г при промышленном технологическом нагреве/ Пер. с немецкого под ред. В.Б. Демидовича, 2004.

13. Бардыбахин А.И. Оптимальный по расходу топлива нагрев металла в нагревательном колодце // Автоматика и телемеханика, 1981, № 11,- С. 5-15.

14. Бойков Ю.Н. Оптимальное проектирование и управление индукционным нагревателем непрерывного действия с дискретной выдачей заготовок широкой номенклатуры: Автореф. дис. . канд. техн. наук /М., 1984. 21 с.

15. Бутковский А.Г. Теория оптимального управления системами с распределенными параметрами. М.: Наука, 1965.

16. Бутковский А.Г. Методы управления системами с распределенными параметрами. -М.: Наука, 1975.

17. Бутковский А.Г. Структурная теория распределенных систем. М.: Наука, 1977.

18. Бутковский А.Г., Пустыльников J1.M. Теория подвижного управления системами с распределенными параметрами. М.: Наука, 1980.

19. Бутковский А.Г., Малый С.А., Андреев Ю.Н. Оптимальное управление нагревом металла. М.: Металлургия, 1972.

20. Бутковский А.Г. , Малый С.А., Андреев Ю.Н. Управление нагревом металла. М.: Металлургия, 1981.

21. Бутковский А.Г. Методы управления системами с распределенными параметрами // В кн.: Машиностроение. Энциклопедия. Т.1.4, Автоматическое управление. Теория. М.: Машиностроение, 2000. С. 642-6742425,26