автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование ударных течений идеального и вязкого теплопроводного газа на основе дискретно-аналитического подхода

На правах рукописи

Адрианов Александр Леонидович

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ УДАРНЫХ ТЕЧЕНИЙ ИДЕАЛЬНОГО И ВЯЗКОГО ТЕПЛОПРОВОДНОГО ГАЗА НА ОСНОВЕ ДИСКРЕТНО-АНАЛИТИЧЕСКОГО ПОДХОДА

05.13.18— математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

]] ш

іт

Новосибирск-2013 г.

005535219

005535219

Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М.Ф. Решетнева», г. Красноярск.

Научный консультант: доктор физико-математических наук,

профессор, заведующий отделом дифференциальных уравнений механики ИВМ СО РАН, г. Красноярск, Андреев Виктор Константинович

Официальные оппоненты: Баутин Сергей Петрович,

доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой прикладной математики УрГУПС, г. Екатеринбург

Ковеня Виктор Михайлович,

доктор физико-математических наук, профессор, г.н.с. ИВТ СО РАН, г. Новосибирск

Матвеев Сергей Константнновнч,

доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой гидроаэромеханики СпбГУ, г. Санкт-Петербург

Ведущая организация: Федеральное государственное бюджетное

учреждение науки Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН, г. Москва

Защита состоится 20 ноября 2013 г. в 12 часов на заседании диссертационного совета ДМ 003.046.01 на базе Федерального государственного бюджетного учреждения науки Института вычислительных технологий Сибирского отделения Российской академии наук по адресу: 630090, г. Новосибирск, проспект Академика М.А. Лаврентьева, 6 (dsovet@ict.nsc.ni1

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИВТ СО РАН. Автореферат разослан 9 октября 2013 года

Отзывы и замечания по автореферату в двух экземплярах, заверенные печатью, просьба высылать по вышеуказанному адресу на имя ученого секретаря диссертационного совета

Ученый секретарь диссертационного совета,

к.ф.-м.н., доцент

А.С. Лебедев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Математическое моделирование ударных течений идеального, а также вязкого теплопроводного газа при больших числах Рейнольдса, на основе новых подходов, объединяющих положительные свойства численных и аналитических методов, представляет собой актуальное научное направление. Правильно сконструированный численно-аналитический метод-симбиоз может обладать значительно большей разрешающей способностью и (или) эффективностью при расчете газодинамических течении, содержащих скачки уплотнения (СУ), сдвиговые слои, а также множественные их взаимодействия, чем отдельные представители классов численных и аналитических методов. Методы, построенные на основе указанного симбиоза, способны дать новые сведения о деталях внутреннего устройства сложных двумерных, в частности, стационарных сверхзвуковых ударных газодинамических течении, выявить как раздельное так и совместное влияние таких факторов, как неравномерность невозмущенного течения перед СУ, краевой эффект (КЭ) за ним, формируемый догоняющими его возмущениями, вязкость-теплопроводность (ВТ), на исследуемый физический процесс.

В настоящей работе под численно- или разностно-аналитическим методом понимается метод-симбиоз, сконструированный на основе сложного объединения аппарата разностных схем (РС) и аналитического аппарата, применяемого локально {дискретно) на особенностях. При этом СУ представляются либо выделенными, либо схематизированными гладкой криволинейной поверхностью сильного газодинамического разрыва в зависимости от используемои математической модели течения сжимаемого газа: невязкой (идеальной) или вязкой с теплопроводностью при больших числах Рейнольдса соответственно. Основным мотивом для гладкого представления СУ с адекватным этому локальным применением аналитического аппарата является естественный (бесконечный в отсутствии других возмущений и, тем более, при учете фактора ВТ) порядок гладкости решения в касательном к скачку направлении, которым следует воспользоваться. Тогда, при выполнимости на схематизированном криволинейном СУ в неравномерном потоке идеального или вязкого теплопроводного газа обычных (типа Рэнкша-Гюгонио) либо обобщенных (с учетом фактора ВТ) соотношений 0-го порядка, требуется еще и выполнимость соответствующих уже «продолженных

соотношений» - соотношений 1 -го порядка (иначе, дифференциальных соотношений на СУ). С привлечением математического языка аппарата сплайнов (сплайн-функций), то же может быть сказано иначе: локально используемый аналитический аппарат позволяет в гладком представлении фронта СУ перейти к сплайну более высокого порядка. Важно, что при таком гладком представлении СУ уже отсутствует необходимость в поточечной постановке на нем соотношений 0-го порядка: в любой его расчетной точке они будут выполняться уже автоматически (!), а поэтому, могут быть задействованы в ходе расчета лишь с целью дополнительного поточечного контроля точности вычислений. Привлеченный в связи с гладкостью процесса дополнительный аналитический аппарат дифференциальных соотношений на СУ позволяет проанализировать влияние (совместное, в частности) основных физических факторов на эволюцию фронта самого скачка и, при необходимости управлять его поведением. Этими факторами являются: градиенты газодинамических величин в невозмущенном потоке перед СУ, КЭ за ним, а также фактор ВТ, при асимптотическом учете его в данных соотношениях. Заметим, что основываясь только на обычных (типа Рэнкина-Гюгонио) соотношениях 0 -го порядка и, соответственно, на аппарате ударных поляр, подобный анализ и управление поведением фронта СУ невозможны.

Необходимая в рамках дискретно-аналитического подхода схематизация разрывов (или газодинамических образований, которые можно считать таковыми при больших числах Рейнольдса) позволяет избежать таких отрицательных явлений, как дистракция (размазывание) разрыва и локальная (на нем) потеря аппроксимативных свойств численного решения, дефект насыщения вычислительного алгоритма, присущих методам сквозного счета. Кроме того, численные методы решения систем уравнений Эйлера (УЭ) и Навье-Стокса вязкого теплопроводного газа (УНСВТ) все еще требуют значительных вычислительных ресурсов, с чем, несмотря на появление СуперЭВМ с петафлопной производительностью, нельзя не считаться. В отличие от этого, как показано в настоящей работе, схематизация проникающего в сдвиговый слой одиночного СУ при некоторых дополнительных допущениях позволяет свести (редуцировать) краевую постановку задачи для указанных систем уравнений к задаче Коши для системы ОДУ. Такая редукция в плане постановки вязкой задачи исключительно важна для практики, поскольку позволяет в процессе мате-

магического моделирования в рамках единого вычислительного ал™ „а ПЭВМ

ГУНСВТ) занимает минуты или даже секунды. В такой постановке задачи сохраняется естественный порядок гладкости решения в каса Гльном к СУ направлении, что и явилось основным мотивом для

ттпимрнения дискретно-аналитического подхода.

Отмеч^ные преимущества численно-аналитических методов и соот°етс у« им подходов к решению задач сверхзвуковой аэрогазодинамики имеют немаловажное ^Т^^ зания новых и оптимизация существующих рабочих физических ппоиессов В энергетических установках, их выходных характеристик и ^к следствие^ сокращения сроков разработки и проектирования

мои с лок" ьным (на особенностях) применением аналитического —таиСоответствующих методик расчета ударных газодинами-Z:^meVZ, следуй выделить пионерские

ственных ученых. Своими исследованиями они внесли крупный вГд В данное научное направление, обеспечив приоритет советской, а затем и российской науки.

строенГи анализ используемых в его рамках --ислитель ь -нов и их алгоритмов) и математическое моделирование на его основе

—Й ВД—обГнГаннГю ппопповодного газа. Данный подход предполагает обоснованную

схеммшш^ скачков уплотнения гладкой криволинейно« поверх-но^ью сшьного газодинамического разрыва в вязком теплопроводам гае Три больших числах Рейнольдса и допускает выделение множ^тва газодинамических особенностей (разрывов) различного типа в случае идеального газа.

Объектом исследования являются ударные течения невязкого и вязкого теплопроводного газа при больших числах Рейнольдса, описываемые различными моделями.

Предмет исследования - математические модели разной сложности, включая асимптотические, на основе тех или иных законов сохранения, описывающие класс ударных течений, численно-аналитические методы, вычислительные алгоритмы и методики расчета газодинамических течений.

Методами исследования являются: методы математического и асимптотического анализа, методы вычислительной и прикладной математики, метод дифференциальных связей, а также теоретические основы и конструирование вычислительных алгоритмов решения задач математической физики.

Основные научные результаты и их новизна. В работе получены следующие новые научные результаты:

1. Впервые получены обобщенные дифференциальные соотношения (ОДСС) на схематизированном криволинейном скачке уплотнения (СУ) в двумерном (плоском или осесимметричном) неравномерном потоке вязкого теплопроводного совершенного газа при больших числах Рейнольдса. Вязкие слагаемые в ОДСС учтены асимптотически в приближении сдвигового слоя. Окончательно ОДСС представлены в матричной форме с малым параметром £'2 = (Яеоо)"1 при старших производных и нелинейных членах. В процессе получения ОДСС и следующих из них уравнений применяются средства компьютерной алгебры.

2. Найден универсальный способ замыкания ОДСС с помощью расширенной дифференциальной связи, допускающий учет реального краевого эффекта (КЭ) за СУ, а также замену его модельным КЭ (в частности, исключающим условием), например, когда реальный КЭ неизвестен или необходимо оценить степень влияния того или иного КЭ на эволюцию СУ с учетом фактора вязкости-теплопроводности (ВТ). Выявлены допустимые границы (значений коэффициентов) в задании КЭ за СУ с помощью изобарической дифференциальной связи.

3. Разработаны, включая алгоритмизацию и программирование, оригинальные эффективные итерационные (на шаге) методы численного интегрирования нелинейной системы ОДУ, получаемой из ОДСС после их замыкания, не предполагающие нормализацию уравнений.

4 Предложена последовательная двухэтапная схема математического моделирования ударных течений вязкого теплопроводного газа при больших числах Рейнольдса на основе асимптотических ОДСС На первом (аналитическом) этапе единовременно под конкретную задачу (класс задач) средствами компьютерной алгебры генерируются ОДСС и следующая из них система дифференциально-разностных рабочих уравнений (РУ) (система ОДУ), фиксирующая, конкретный вид дифференциальной связи, учет (неучет) отдельных "оричных вязких членов, порядки асимптотических разложении и разностных аппроксимаций старших производных за СУ, газодинамические и другие константы, и т.п. На втором (расчет-То^ этапе на основе сгенерированных РУ проводятся все необходимые расчеты. Л^^потип 5 Предложена эффективная стационарная дискретно-

аналитическая модель взаимодействия СУ со сдвиговым слоем, обобщающая «невязкую» вгаревую модель, в которои число Рси-нольдса фигурирует лишь как внешний параметр, определяющий поперечные масштаб и компоненту скорости невозмущенного сдвигового течения. В новой модели на основе асимптотических ОДСС, наряду с таким вхождением, фактор ВТ присутствует явно в интегрируемых дифференциальных уравнениях, и поэтому частично, а в ряде случаев значительно, определяет возмущенное сверхзвуковоетече-ние Предлагаемая модель лишена таких негативных механизмов, как схемная вязкость и дистращия СУ, присущих Разностнымметод

6 Получено аналитическое (в расширенном смысле) решение стационарной задачи о проникновении СУ в сдвиговый слои. С у четом допущений исходная начально-краевая задача для уравнении На-вье-Опокса вязкого теплопроводного газа (УНСВТ) сведена к задаче Коши щ* сложной нелинейной системы ОДУ (РУ), выполняющихся

7 Проведено математическое моделирование проникновения СУ в сдвиговый слой с применением вязких и невязких моделей разной сложности. Показано, что неучет фактора ВТ в явном виде в дифференциальных соотношениях на СУ (в ОДСС) при расчете возмущенного течения в слое может привести к неверному конечному результату. В частности, показана неадекватность вшревои модели взаимодействия на основе полностью невязких дифференциальных соотношений на СУ в случае высокоградиентного, имеющего вязкую предысторию, течения перед ним. Выявлено как раздельное, так и

совместное влияние таких физических факторов, как неравномерность невозмущенного течения перед СУ, краевой эффект за ним, вязкость-теплопроводность, на исследуемый ударный газодинамический процесс.

8. Разработан высокоточный метод расчета сложных двумерных (плоских и осесимметричных) стационарных сверхзвуковых газодинамических течений, содержащих множество дискретных особенностей {разрывов). Оригинальная конструкция несогласованной с выделяемыми поверхностями (ВП) разрывов разностной сетки делает метод выделения разрывов (МВР) более мобильным, позволяя вести выделение сотен взаимодействующих между собой и с границами расчетной области разрывов с автоматическим переходом на сквозной счёт отдельных из них, в зависимости от изначально выбранных критериев качества (разрешающей способности МВР). В процессе счета допускается появление новых и исчезновение вырожденных, утративших свою силу, особенностей. ВП могут являться фактические разрывы {сильные и слабые) всех существующих типов и направлений, а также фиктивные разрывы (характеристики) соответствующих семейств. Предложен оригинальный эффективный фильтр ВП на основе решения локальной «задачи о взаимодействии двух произвольных плоских однородных сверхзвуковых потоков», позволяющий ограничивать разрешающую способность (детализацию) вычислительного алгоритма МВР при образовании «сгустков» из ВП, замедляющих расчет.

9. Проведено масштабное вычислительное моделирование плоских и осесимметричных стационарных струйных и канальных газодинамических течений с множеством разрывов. Показаны высокая разрешающая способность, быстрая сходимость и эффективность данного МВР, а также качественное и количественное отличия численных решений, полученных на одних и тех же расчетных сетках, данным МВР и методом сквозного счета.

10. Разработаны объемные комплексы вычислительных программ, реализующие на практике дискретно-аналитический подход.

Достоверность полученных результатов подтверждается:

■ сопоставлением с частными теоретическими и расчетными результатами, полученными другими авторами (по другим методикам);

- внутренним (в рамках вычислительного алгоритма) пошаговым и интегрГньш контролем точности выполнения основных и дополнительных законов сохранения; ™ап„ями ясимптоти-. оценками погрешностей от варьирования порядками асимптота

решений к точным решениям или решениям, получаемым с помощью альтернативных методик расчета.

Трппетическая значимость результатов состоит:

Л получении (впервые) асимптотических обобщенных (с учетом фактора"вязкости-теплопроводности) дифференциальных законов Сохранения на схематизированном

»„«и гпелуюшей из них нелинейной системы ОДУ со специфиче Гими свойствами; в разработке оригинальных эффективных методов

^ГКСГ^ задачи о проникновении « в сдвиговый слой -¡^^ водного газа при больших числах Рейнольдса и получении соответ^ ствуюшеш аналитического (в расширенном смысле) решения данной задаГпри произвольном краевом эффекте; в теоретическом анализе и выявлении допустимых границ в его задании;

. в теоретическом доказательстве исключающего (краевой эффект)

Еретическом анализе конструкций разработанных алгоритмов, а также выводов о возможности их обобщения на случаи более сложных моделей газовых сред и соответствующих систем уравнении (законов сохранения).

тематические моделиударных течений, численно-аналитические методыи вычислительные алгоритмы реализованы в виде программ-

аналитических выкладок с целью получения используемых далее (в расчетных программных ГдуляхГсимвольных продуктов: обоб^ых соотношении ш скач-ТР ушотнения 0-го к 1 -го порядков, а также следующих из них, по-с^Т замыкания и аппроксимации старших производных за скач-

ком, дифференциально-разностных рабочих уравнений, якобианов к ним и т.п.; (п/среда «REDUCE (LISP)»);

- для проведения самих расчетов (моделирования на основе сгенерированных рабочих уравнений (системы ОДУ)) по проникновению скачка в сдвиговый слой вязкого теплопроводного газа при больших числах Рейнольдса; (п/среда «Compaq Visual Fortran + библиотека IMSL»);

- для проведения расчетов сложных двумерных (плоских и осе-симметричных) стационарных сверхзвуковых невязких газодинамических течений, содержащих множество дискретных особенностей (разрывов)',

- для обработки результатов расчетов и отображения сложной графической информации о геометрии выделяемых поверхностей разрывов в расчетной области; (п/среды «Fortran + специальные библиотеки», «MathCAD»).

■ С практической точки зрения важно, что разработанная дискретно-аналитическая модель взаимодействия скачка со сдвиговым слоем позволяет в рамках единого вычислительного алгоритма проходить насквозь от газодинамической до диффузионной стадии эволюции скачка в слое. Этим достигается значительная экономия вычислительного ресурса: счет на ПЭВМ вместо многих часов (уравнения Навье-Стокса вязкого теплопроводного газа) занимает минуты или даже секунды, что позволяет проводить эффективные расчеты, не прибегая к использованию дорогостоящих высокопроизводительных ЭВМ.

■ Сделанные в диссертации выводы и разработанные вычислительные алгоритмы, могут оказаться полезными при конструировании и оптимизации технических устройств, энергетических установок, использующих ударные газодинамические процессы.

■ Полученные результаты могут быть использованы при конструировании нестационарных аналогов разработанных вычислительных методик и алгоритмов, а также при распространении дискретно-аналитического подхода на турбулентные и многофазные реагирующие течения, где его ожидаемая эффективность должна быть еще выше.

Положения, выносимые на защиту:

1. Получение обобщенных дифференциальных соотношений (ОДСС) на схематизированном криволинейном скачке уплотнения

(СУ) В двумерном неравномерном потоке вязкого теплопроводного совершенного газа при больших числах Рейнольдса.

2 Универсальный способ замыкания ОДСС с помощью расширенной дифференциальной связи, допускающий учет всевозможных краевых эффектов за СУ, включая реальные и модельные.

3 Эффективные итерационные (на шаге) методы численного интегрирования нелинейной системы ОДУ, получаемой из ОДСС после их замыкания, не предполагающие нормализацию Уравнении.

4 Двухэтапная, включающая аналитическии и расчетный этапы', схема математического моделирования двумерных стационарны * ударных течений вязкого теплопроводного газа при больших числах Рейнольдса на основе асимптотических ОДСС

5 Стационарная дискретно-аналитическая модель взаимодеи-ствияСУ со сдвиговым слоем и получаемое с ее помощью аналитическое (в расширенном смысле) решение задачи. Результаты математического моделирования на основе настоящей и других моделей разной сложности, сопоставление и сравнительный анализ полученных результатов. Выводы по влиянию основных физических факторов на исследуемый ударный газодинамический процесс, а также о необходимости явного учета фактора вязкости-теплопроводности в

решаемой задаче. ,v

6 Высокоточный метод численного моделирования сложных двумерных стационарных сверхзвуковых газодинамических течении с выделением множества дискретных особенностей (разрывов) на

несогласованной сетке. Результаты математического моделирования

двумерных газодинамических течений, содержащих большое количество взаимодействующих разрывов различного типа.

Представление результатов. Основные результаты по теме диссертации докладывались и обсуждались на: V (Казань, 1984) и VII (Кемерово, 1988) Всесоюзных семинарах «Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов решения задач математической физики», XV (Абрау-Дюрсо, 2004) Всероссийской конферен ции памяти К.И. Бабенко; школе-семинаре «Комплексы программ математической физики и архитектура ЭВМ» (Шушенское 1985), Всесоюзном совещании по механике реагирующих сред (Красноярск 1988)' XIII (Ленинград, 1984), XIV (Новосибирск, 1987), XXII (Санкт-Петербург, 2010) Всесоюзных семинарах по струйным, отрывным и нестационарным течениям; неоднократно «а семинарах ЛМИ и ВЦ СО АН СССР (г.Красноярск); семинарах ВМК М1 У

(Москва, 1988), ИТПМ СО АН СССР (Новосибирск, 1988), ИПМ им. М.В. Келдыша АН СССР (Москва, 1989); института механики УНЦ РАН (Уфа, 2006); IX школе по пакетам прикладных программ (Иркутск, 91); Международных конференциях по задачам со свободными границами (Новосибирск, 1991), «Математические модели и численные методы механики сплошной среды» (Новосибирск, 1996), «Математические модели и методы их исследования» (Красноярск, 1997, 1999); неоднократно на семинаре «Математическое моделирование в механике» ВЦ СО РАН (ИВМ СО РАН); Всероссийской научно-практической конференции с Международным участием «Достижения науки и техники - развитию сибирских регионов» (Красноярск, 1999); Всероссийских конференциях «Математика в приложениях», приуроченных к 70- и 80-летию академика С.К.Годунова (Новосибирск, 1999, 2009); IV сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике «ИНПРИМ-2000» (Новосибирск, 2000); Международной научно-практической конференции «САКС-2001» (Красноярск, 2001); Всероссийской конференции «Актуальные проблемы прикладной математики и механики», посвященной 70-летию со дня рождения академика А.Ф.Сидорова (Екатеринбург, 2003г.); III, IV, VI, XI Международных школах-семинарах «Модели и методы аэродинамики» (Евпатория, 2003, 2004, 2006, 2011); VII и VIII Международных конференциях «Забабахинские научные чтения», организованных РФЯЦ-ВНИИТФ (Снежинск, 2003, 2005); XX Всероссийской школе-семинаре «Аналитические методы и оптимизация процессов в механике жидкости и газа (САМГОП)» (Абрау-Дюрсо, 2004); XXI Всероссийской школе-семинаре «Аналитические методы в газовой динамике (САМГАД)» (Санкт-Петербург, 2006); X Международной научной конференции «Решетневские чтения», посвященной памяти генерального конструктора ракетно-космических систем академика М.Ф. Решетнева (Красноярск, 2006); XXVI и XXVII (посвященной 150-летию К.Э.Циолковского, 100-летию С.П.Королева и 60-летию Государственного ракетного центра «КБ им. академика В.П. Макеева») Российских школах по проблемам науки и технологий (Миасс, 2006, 2007); Всероссийской конференции «Проблемы механики сплошных сред и физики взрыва», посвященной 50-летию института гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН (Новосибирск, 2007); IV Международной научно-практической конференции «Исследование, разработка и применение высоких технологий промышленности» (Санкт-Петербург, 2007); Всероссийской

конвенции «Новые математические модели механики сплошных

• РАН" С.К. Годуновым (Новосибирск, ИМ им. С.Л. Соболева СО РАН, 2013).

Личный вклад автора. Результа™

ликованы в 68 научных работах. 28 - статьи (из них '

соавторства, 15 - в рецензируемых изданиях 10 - В ^ Ш

1„ш идк России 1 - в иностранной печати), 1 - моногра ТпТаТопора?38тези'сы. Автор принимал участие: в написании 4 х маучнь^ отчетов 2-х научно-методических трудов; в выполнении 4~х грантов^ (иГ них: 2-х научного и 2-х учебно-методического про-1'иля) Разработка дискретно-аналитического подхода (включая раз-паботку ^анализ отдельных вычислительных методов и алгоритмов) а также математическое моделирование на его основе двумерных стационарных ударных течений идеального и вязкого теплопроводного гТа при больших числах Рейнольдса выполнены автором само-стоятелшо Все программное обеспечение, реализующее на практике

подход, разработано автором также самостоятельно.

Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения ™ ав заключения, списка цитируемой литературы (по разделам), икшоч'а1ощего 203 ^пользованных источников. Каждая из глав дис-сертации^шеет свою вводную часть, посвященную конкретно*.нрсн ГмГке. Работа содержит 307 страниц машинописного текста, 68

рисунков.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

показаны научная новизна и практическая значимость полученных научных результатов.

Глава 1. Обобщенные соотношения нулевого и первого порядков на криволинейном скачке уплотнения. Во вводной части к первой главе сделан обзор работ, где рассматривались дифференциальные соотношения (ДС), выполняющиеся на схематизированных фронтах криволинейного СУ и ударной волны, движущейся с ускорением. Далее, после обоснования основных допущений, дается последовательный вывод обобщенных соотношений 0 -го и 1 -го (дифференциальных) порядков на криволинейном СУ в двумерном (плоском или осе-симметричном) стационарном неравномерном потоке вязкого теплопроводного совершенного газа при больших числах Рейнольдса. СУ при этом схематизирован поверхностью сильного газодинамического разрыва. «Обобщение» соотношений касается асимптотического учета в них фактора вязкости-теплопроводности (ВТ) на самом СУ и в его окрестности; в газодинамическом отношении они являются точными. В связи с тем, что обобщенные соотношения 0-го порядка (в невязком случае - обычные соотношения на косом СУ) часто встречаются в научной литературе и применяются в практических вычислениях, основное внимание сосредоточено на выводе обобщенных соотношений 1-го порядка (иначе, обобщенных дифференциальных соотношений (ОДСС)), впервые полученных автором настоящей работы. Существенно, что в трудоемком процессе их вывода применяется система символьных преобразований на ЭВМ (средства компьютерной алгебры) «REDUCE». Вязкие слагаемые при этом учитываются в приближении сдвигового слоя с асимптотическим порядком 0(1) при Re„ —> оо.

Приведем окончательную запись ОДСС в матричной форме с малым параметром при старших производных и нелинейных членах.

O = (w,0,p,h)T; i,j = 1,...,4, где (1)

¿ = 0(J = 1); *2=(Re„)-'; AT = */(фД,(ф,)п ,Ф., Ф., к.

в (1) применено суммирование по повторяющемуся индексу у, величины К и к:= а2п/ак2 представляют собой продольную кривизну СУ (в отличие от радиальной кривизны 1 /у в осесимметричном (5= 1) случае) и производную от нее; вектор N объединяет нелинейные слагаемые (произведения младших производив« и кривизны) Предполагается, что все величины обезразмерены. В обозначениях кривизны и ее производной „ в - координата в продольном к СУ

направлении (см. рис. 1) обозначена малой „ (в отличие от модуля скорости Щ. В (1) р- давление; р- плотность; Л - энтальпия; в и

0 = 0 + 0- углы наклона линии тока к оси ОХ декартовой (цилиндрической) системы координат ХОУ до и за СУ соответственно; все производные представлены в локальной системе естественных координат {3, п) (за СУ - ил)). На рис. 1 острый угол а между вектором скорости N и СУ (между 5 и ? ) определяет интенсивность

СУ: Ы > а , где «М = агсзт(1/м) - угол Маха, а знак 7 этого угла определяет семейство, к которому принадлежит СУ (характеристика, при о-=лга'м) в предельном невязком случае.

Рис. 1. Системы «собственных координат», связанные со скачком уплотнения и линией тока

Тогда (пои £2 = 0) ОДСС (1) переходят в невязкие ДС линейные относительно первых производных, что позволяет после замыкания соотношений найти явные аналитические зависимости для производных. Функциональные матрицы (векторы) коэффициентов А...С сложным

образом зависят от газодинамических величин по обе стороны СУ. Важно, что в невязком случае коэффициенты А...Б в (1) после соответствующих допустимых преобразований в точности приводятся к аналогичным коэффициентам, полученным в независимом литературном источнике, где использована другая (удобная для невязкого случая) группа зависимых переменных.

Далее производится анализ ОДСС (1) с точки зрения их практического использования, в частности, делается вывод о необходимости замыкания соотношений.

Глава 2. Исключение краевого эффекта и модельная кривизна скачка уплотнения в неравномерном потоке идеального газа.

Вторая глава диссертационной работы посвящена проблеме замыкания ОДСС в частном случае, когда отсутствует действие фактора ВТ (в (1) £2 = 0). Поскольку в предельном невязком случае полученные асимптотические соотношения переходят в невязкие ДС, но проблема, связанная с их замыканием, сохраняется (!) даже при полной определенности газодинамических параметров по обе стороны СУ и производных от них в течении до СУ, вполне разумно поиск недостающего уравнения осуществить сначала в более простой постановке - при отсутствии фактора ВТ, что и делается в настоящей главе работы.

Для замыкания ДС необходимо задать какую-либо из производных за СУ или их комбинацию, то есть определить краевой эффект (КЭ) за СУ. В качестве таковой может быть использована дополнительная (по отношению к ОДСС) дифференциальная связь, в частности, исключающая КЭ; связь в этом случае имеет точный смысл и строго выводится из основных законов сохранения. Необходимость введения термина «КЭ» вызвана, прежде всего, нестандартной (не краевой) постановкой задачи для исследуемого стационарного ударного течения и лишь частичным смысловым совпадением с общепринятым термином «краевое (граничное) условие», использующимся обычно при решении краевых (начально-краевых) задач. КЭ за СУ имеет производный (дифференциальный) смысл от термина «краевое условие» применительно к задней поверхности скачка; КЭ имеет отношение к продолженной системе соответствующих законов сохранения и необходим для замыкания соотношений 1-го порядка на СУ. КЭ может совпадать или не совпадать с реальным краевым условием того же порядка, например, когда СУ оказывается

присоединенным к границе ®

точникового члена в каждой с Ткущей

интенсивностью СУ. например, нр й интеНсивности при-

^■етгжї- Кэ „о.

„.Гсун™

ж - _

те „свана вдоль фро- скачка. Прнчеь, в д=м с^чае -0)

линейные относительно Д™ »Р»™"

общем виде и наити явные — кие^ ^ ^^

™ — КЭ "^ь определен, то есть должны быть зада-

Гко^твые К0,ффи= Гвания >»ффе-

Рассматривается важный частный слу Р ^

рещиапьно» сея,« „ Гь,^скачка вместо ре-

—»і о—

чающее условие) будет иметь вид (см. рис. 1):

(2)

Р б т ' ш ГУ-

\ М -1

где ; -угол Маха за СУ (м > О- Видно, что коэффициент в (2) фиксирует в )-кооРДинатах за СУ наклон

^^^^^ ИЛИ ЛОКаЛЬНУЮ ДЛииТОЧЄК На 3аД" Гей поверхности СУ юобаричность в этом направлении.

а

Невязкий поток

поляра

Л=1пс7

^поляра 3

Рис. 2. Схема взаимодействия скачка уплотнения со сдвиговым слоем в невязкой (вихревой) плоской постановке: а - физическая плоскость; б - плоскость поляр

Условие (2), перезаписанное в терминах только нормальных производных, будет иметь вид:

д!п р

Л

дп

+ *Г(м)

дв д . * -+ — БшЯ

дп

У

= о, г(м)

УМ

\М -1

с /с

р/ ^

(3)

где переменный коэффициент Г(м), м > ь введенный В.Н.Усковым,

имеет, как и переменный коэффициент в (2), ясный физический

т

смысл и представляет собой модуль наклона ударной поляры 3, изображенной на рис. 2, б, в начале ее системы координат - точке С^.

На рис. 2, а схематично, в невязком приближении, представлен физический процесс проникновения СУ в непрерывный вихревой сдвиговый слой: %=-1 для падающего СУ, 1...3 - основные элементы рефракции СУ, 4 - догоняющие возмущения, несущие КЭ, а г и г - одна и та же линия тока до и за СУ соответственно, являющаяся вырожденным тангенциальным разрывом (ТР): его интенсивность обратно пропорциональна количеству разбиений непрерывного профиля скорости. На рис. 2,6 с большей степенью схематизации (исключен КЭ 4), представлена динамика этого процесса в плоскости

ударно-волновых поляр (УВП) в координатах (ДЛ-ВД), где ß = e-d- угол преломления вектора скорости на СУ (см. рис. 1; на

рис 2 а для проникающего СУ ему соответствует ß2), а J = р/р " интенсивность СУ. Поляры 1 п 2 соответствуют двум соседним линиям ?ока В невозмущенном течении (рис. 2,«) С малым различием (в силу непрерывности заданного профиля) чисел Маха, а поляра 3 отвечает линии тока за падающим СУ (числу Маха м)-

Сделаем важное дополнение. Таким образом условие (2), исключая влияние догоняющих возмущений с задней стороны фронта СУ дГлает тем самым форму этого фронта полностью зависимой от иетвномерностей (градиентов величин) натекающего потока и на-Гия Гвой симметрии в нем; кривизна СУ при большой Очевидно, что при общей постановке задачи внешнего сверхзвукового обтекания исключение указанных возмущении некор-рекРтно! посколькУ они значимы и вносят основной вклад в процесс

формирования ударного фронта.

В рамках присоединенной к (1) дифференциально» связи (2) представляющей собой исключающее условие и имеющем в связи с —™мысл, рассмотрены другие особые значения ее направляющего коэффициента: д.-*, когда A=-l, А->±« (усеченная

модель: =0 вместо (2))и А-ХК^ = 0 вместо (2)). При исследовании ограничений в задании КЭ вводятся понятия правого и левого комплексов (А = 1,-1 соответственно), инварианта Ускова при А -1 ГвыроГеиии СУ в «абыйлЧР« W

мые границы в задании КЭ за СУ рассмотрены в главе 3 настоящей

ДИССХсТое"ная приближённая модель СУ с КЭ, искл—им влияние догоняющих возмущений, оказывается полезной в ряде прак тических^ приложений, в которых влияние указанных возмущении не-значительио и исходная краевая задача может быть упрощена переходом к предложенной модели СУ с соответствующей редукцией основных дифференциальных (в частных производных) законов со-

Х%ГриГзТеД— сравнительные расчеты проникновения СУ В осесимметричный тонкий вгаревой слой (TBC), выполненные с привлечением полной двумерной (уравнения Эйлера с различными

вариантами краевых условий в точке падения СУ на TBC; метод характеристик с выделением фронта СУ) и рассмотренных выше приближенных моделей.

Рис. 3. Распределения параметров по толщине TBC вдоль задней поверхности СУ для разных моделей (/? в градусах): 1 - рефракционная модель (исключено влияние догоняющих возмущений); 2 - усечённая модель; 3 - полная двумерная модель (метод характеристик) с граничным условием - прямолинейная линия тока за СУ в начальной точке; 4 - то же, с граничным условием - постоянство давления вдоль линии тока за СУ в начальной точке; 5 - профили скорости и энтальпии в невозмущённом (до СУ) TBC

Невозмущенный модельный TBC задавался с вырожденными (постоянными) профилями полной энтальпии, давления и наклона линий тока; профиль числа Маха — в виде кубического полинома с непрерывным переходом по 1 -й и 2 -й производным от параметров внешнего (невязкого) потока, помеченных далее индексом «да». Вычислительные координаты х (вдоль оси симметрии) и у (поперёк TBC) были обезразмерены толщиной самого слоя, так что он в начальной точке падения СУ имел единичную толщину. Значения без-

размерных газодинамических параметров внешнего потока и параметров на оси, совместно определяющие невозмущённый TBC, были следующими: Моо = 2,5; pa = \\Wa = \ при у = 1 и Му=0 = 1,01

при у = 0. Полная энтальпия и давление определялись из соотноше-

ний: H=hm+wl/2, Лв=й£/[(г-1)м^]; P = PKhJr-\)lr> а Угол

наклона линий тока <9 = 0. Текущая энтальпия внутри TBC рассчитывалась по известному профилю числа Маха м = м(у), у е (0,1].

h = н !\\ + (у—1)/2 • м21- всех расчётах начальная интенсивность

падающего СУ JlX(t0/} = составляла = 25% от логариф-

ма Л8 = 1п( сТд) звуковой интенсивности скачка.

В приведенных на рис. 3 графических зависимостях (особенно для скорости и энтальпии) заметного отличия между возмущенными (т.е. за СУ) решениями, полученными с помощью различных полных и приближенных моделей, не наблюдается, отчасти в силу «сильно работающего» осесимметричного эффекта, учитываемого всеми математическими моделями. Различие в профилях интенсивности з и углов преломления Р между моделями уже заметно; при этом все кривые лежат в узком (максимальная относительная ошибка менее 10%) коридоре величины.

На этих же графиках хорошо заметен универсальный характер рефракционной модели: сплошная кривая 1 располагается внутри коридора конкретной величины, ближе к его середине. Заметим, что только эта модель исключает влияние догоняющих возмущений.

Глава 3. Замыкание ОДСС с помощью дифференциальной связи. В третьей главе, сначала только на примере невязкого нетеплопроводного газа, рассмотрен уже общий - универсальный способ замыкания ОДСС (1) (е2 = 0), допускающий в рамках привлеченной для этой цели дополнительной расширенной дифференциальной связи

с параметрами Ь и с, задание, как реального краевого эффекта за СУ, когда о нем имеется априорная информация, так и любого модельного КЭ, в противном случае: например, для изучения влияния

ОО

(4)

тех или иных КЭ на динамику скачка. При этом в частном случае изобарической связи (с=О в (4)) значение ее параметра Ь-1 будет

соответствовать исключающему условию (2), а Ь= * ~_1> где

, , 4 / л\ _ угол Ускова (согласно авторству

; =1Е(агм)> шу=18(ау)» У

одного из ранних соотношений), — запрещенным сильным КЭ за СУ. Данный угол по своим значениям оказывается близким к значениям

угла Маха за СУ а, и поэтому может рассматриваться как некоторый «двойник» известного угла. Однако в отличие от последнего, угол Ускова имеет отношение исключительно к задаче 1 -го порядка-к продолженной системе законов сохранения (соотношении) на гладком криволинейном СУ, но сам при этом никак не зависит от его формы и существует, в том числе и за плоским скачком. Приведены расчеты, показывающие незначительное отличие вышеуказанных углов в зависимости от числа Маха набегающего потока и интенсивности СУ (предполагается м > 1).

В общем случае, с помощью управления свободными параметрами Ь и с связи (4), могут быть заданы, в том числе и реальные КЭ

за СУ

Приводятся демонстрационные расчеты, выявляющие роль направляющего коэффициента изобарической дифференциально« связи (4) Из этих расчетов следует, что при малых и даже средних симметричных отклонениях параметра ь = (1 ± Л); VЛ > 0 направляющего коэффициента в (4) получаемые возмущенные решения мало различимых и сливаются с решением, полученным строго по рефракционной модели (Ь= 1). При этом графики газодинамических параметров за СУ практически эквидистантны соответствующим графикам невозмущенных параметров в сдвиговом слое (перед СУ). Данное свои-юъа рефракционной модели позволяет практически без ущерба игнорировать слабые КЭ и обходиться приближеннои постановкой задачи Совершенно иная ситуация возникает, когда в (4) значения параметра Ья-1, точнее задаются выражением Ь = [ /^ 1(1 + А);

УД > О А - 0 в окрестности запрещенного значения, определяемого

углом Ускова. В этом случае при Д-+0 имеет место своего рода «градиентная катастрофа» в прямом (скачок резко увеличивает

свою интенсивность) либо в обратном (с7-> 1, СУ—>СЛР) направлениях. В обоих случаях радиус такого принудительного разворота СУ стремится к нулю (кривизна СУ —» + оо), что соответствует образованию угловой точки на нем.

В случае использования модели вязкого теплопроводного газа и асимптотических ОДСС (1) (£2ф0) отмеченные выше ограничения в задании определенных КЭ становятся особо жесткими, поскольку большие кривизны СУ вызывают нарушение основных допущений, при которых были получены сами ОДСС. Необходимо отметить, что в вязком случае задание КЭ с помощью (4) подразумевает также использование и дифференциального следствия этой связи.

При полной определенности газодинамических параметров перед СУ, после дополнения ОДСС (1) уравнениями, представляющими связь (4) и ее следствие (в вязком случае), окончательная система рабочих уравнений (РУ), полученных из ОДСС, оказывается замкнутой и может быть численно проинтегрирована вдоль фронта скачка по ходу его эволюции.

Глава 4. Математическое моделирование ударных течений вязкого теплопроводного газа на основе асимптотической модели. В

четвертой главе, после проведенных в главах 1—3: математического вывода ОДСС (1) и их анализа, изучения возможных способов задания различных КЭ за СУ с помощью расширенной дифференциальной связи (4), моделируется процесс взаимодействия скачка со сдвиговым слоем в вязкой и невязкой постановках задачи. СУ схематизируется криволинейной поверхностью сильного газодинамического разрыва, на которой выполняются ОДСС, асимптотически учитывающие фактор ВТ. Во вводной части к главе 4, посвященной математической постановке вязкой задачи о взаимодействии СУ со сдвиговым слоем, дополнен список основных допущений (с обоснованием), сформулированных в первой главе. Анализируются, с точки зрения вычислительных затрат и качества получаемого решения (т.е. эффективности), различные подходы к математическому моделированию рассматриваемой задачи взаимодействия. Делается обоснованный вывод, подтверждаемый впоследствии математическими расчетами в настоящей главе (см. основные научные результаты или общие выводы), что явный учёт в рамках применяемых ОДСС фактора ВТ необходим для правильного воспроизведения физической картины проникновения СУ в сдвиговый слой.

Лается детальное описание вычислительных методов и алгоритмов РУ, следующих из ОДСС после их замыкания^и постно аппроксимации старших производных за СУ. Вначале иГагается^вычислительный алгоритм для частного случая - интегри-изла „V (а плгг т £ = 0). Рассмотрены два способа

з;»'— «а „Иегр„Ро,а„„й

I I выражения только для кривизны скачка и исиользо-для нахождения всех параметров за СУ. Второй на и Р Р Несмотря на то, 4! требуется поточечная постановка

дагж^----

'""палее излагается вычислительный алгоритм для общего случая -„„те^р— вязких

нормализацию ^ совета масш,

ІЇГ^^ІЇ^ без о— —

^Приведем математическую запись обоих итерационных процессов (см. ОДСС (1)).

х'-^-^^^ФТ^М^ІГ0'1.....к

= - неизвестный вектор производных за СУ

I п' п' о

(„., исключены дифференциальной связью (4), представленной

" л ^ пп

в форме (3) через нормальные производные), Х° - нулевое (невязкое) приближение (є2 = 0) вектора X, к — итерационный индекс.

Второй (ньютоновский) итерационный процесс может быть представлен следующим образом:

Л*ДХ = -Р*, ДХ = Х*+1-Х\ .І(Х) = В¥(Х)/ВХ, к=0,1,..„К, (6)

где Р(Х) - вектор правых частей, содержащий компоненты невязок в системе дифференциально-разностных РУ при подстановке в нее текущего значения Хк. В (5), (6) вторые (старшие) производные за СУ аппроксимированы с помощью разностных представлений через первые и, следовательно, якобиан .І(Х) в (6), в отличие от матрицы А в (5), зависит от фактора ВТ, что положительно сказывается на скорости сходимости итерационного процесса. В (6) в качестве Х° в каждой расчетной точке СУ берется уже не невязкое приближение А"'Ь° (5), а найденное в предыдущей точке СУ значение X с учетом фактора ВТ.

По завершении итерационного процесса по нелинейности нахождения X в новой расчетной точке пересчитываются форма и положение СУ, определяются газодинамические параметры перед и за ним либо 1 -м, либо 2 -м способом (см. выше). Далее весь процесс определения формы СУ повторяется до достижения сходимости. Существенно, что в процессе интегрирования (2 -м способом) удается обходиться без поточечной постановки обобщенных соотношений 0-го порядка на СУ: эти условия с высокой точностью будут выполняться уже автоматически (!).

Получено стационарное аналитическое (в расширенном смысле) решение задачи проникновения СУ в сдвиговый слой. Проведено сравнение математических решений задачи, полученных с применением вязких и невязких моделей разной сложности. Приведено множество графических зависимостей по результатам моделирования. Показано, что неучет в явном виде фактора ВТ в дифференциальной модели при расчете возмущенного течения в слое может привести к неверному конечному результату.

В ходе многочисленных расчетов, где использовалась стационарная модель на основе ОДСС (1), было замечено: если имеет место сильный ослабляющий или усиливающий СУ КЭ, то влияние фактора ВТ на процесс проникновения скачка в слой больше и кривые, соответствующие вязким И невязким решениям расходятся сильнее. Это вполне объяснимо, так как исключение КЭ (фактически разглаживание течения за СУ) уменьшает влияние фактора ВТ: градиенты газодинамических параметров входят в величины вязких напряжении и

теплового потока.

На рис 4 показан характеристический коридор для вязких и невязких решений с КЭ и без такового для начальной интенсивности СУ і7м(і% = 63,7%), проникающего в плоский сдвиговый слой (взята сверхзвуковая часть пограничного слоя (ПС)).

Я1 и »

т и

а Т»-5 N Ш и «5

Рис 4. Характеристический коридор: слева — перед СУ; в центре на СУ- справа - за СУ; 1 - вязкое решение при КЭ, ослабляющем СУ; 2 - невязкое решение при КЭ, ослабляющем СУ; 3 - вязкое решение без КЭ (исключающее условие)-, 4 - невязкое решение без КЭ; 5- вязкое решение при КЭ, усиливающем СУ; 6 -невязкое решение при КЭ, усиливающем

СУ

Здесь ^ = ^/%/100%; Js — звуковая интенсивность СУ, соответствующая м = 1 • Конкретные значения безразмерных газодинамических параметров внешнего потока и на плоскости симметрии, совместно определяющие невозмущенный ПС, были следующими: 7=1,4; Mm = 2,5; ра= 1; Wx= 1 при у = 1 и Wy=0= ву=о = 0 при у = 0; Rex = p^W^x/цх, ~1,3*103 в начальной точке падения СУ на ПС; Pr= 1.

Характеристический коридор представляет в каждой расчетной точке СУ значения величин | (перед СУ), |о-| (на СУ, см. рис. 1),

ß + ^а (за СУ) - модулей углов наклона СУ и характеристик одного с ним семейства по обе его стороны к текущей линии тока в невозмущенном течении.

Очевидно, что при полном вырождении СУ за счет КЭ или (и) ВТ все три однотипные кривые из различных семейств (см. рис. 4), соответствующие конкретному решению, должны пересечься в одной точке внизу: коридор «схлопывается». Из рис. 4 видно, что вне зависимости от того, является ли КЭ ослабляющим или усиливающим СУ, всегда имеет место частичное сужение характеристического коридора за счет ослабляющего действия фактора ВТ на СУ. Таким образом, если имеет место ослабляющий СУ КЭ, то в результате суммарного, направленного на ослабление скачка, действия обоих факторов сужение коридора оказывается более значительным.

Сформулированы многочисленные выводы по результатам математического моделирования проникновения СУ в сдвиговый слой.

Глава 5. Метод численного моделирования двумерных стационарных сверхзвуковых газодинамических течений с множеством разрывов. Пятая глава целиком посвящена математическому моделированию течений идеального газа. Во вводной части приводится краткий обзор численных методов (подходов), применяющихся для решения задач сверхзвуковой газовой динамики. При их анализе основной упор делается на логическую сложность алгоритма, представление искомых величин и качество получаемого решения. Дается описание маршевого численного метода расчета двумерных стационарных сверхзвуковых газодинамических течений с выделением множества разрывов (дискретных особенностей). В основе метода лежит адаптированная к особенностям комбинированная сетка с ди-

намически изменяющейся структурой. Ее регулярная часть -решетка^ несогласованна с разрывами) предназначена Для воспроизв -дения гладкой части решения, сингулярная - разрывной. Такая конструкция полной сетки совместно с локальным применением =-тического аппарата делает возможным массовое выделение возникающих в моделируемом течении ударно-волновых конфигурации — Р) из сильных и слабых разрывов (СЛР), выявляя детальное "во потока в соплах, каналах и струях. В процессе расчета допускается автоматический переход отдельных выделяемых поверхностей^ разрывов на их сквозной счет в зависимости от изна-чГно выбранных критериев качества (разрешающей способности) а« появление новых и исчезновение вырожденных, утративших

СВ°ЮВПЛмо^т'являться фактические разрывы (сильные и СЛР) всех существующих типов и направлений, а также фиктивные разрывы (х ад акте рист и к и ) соответствующих семейств, предложен оригиналь-ныГэффективнь й фильтр ВП на основе решения локальной «задачи ^взаимодействии двух произвольных плоских однородных сверхзвуковыхпотоков», позволяющий ограничивать разрешающую способность (детГизацию) вычислительного алгоритма метода выделения Ра1ы^вТит при образовании «сгустков» из ВП, замедляющих

расчет. ^ рлавы дано детальное описание: конструкции полной

расчётной сетки и комбинаторных операций над множеством ее не-

рных оранжевых) узлов; методов расчёта гладкой и раз-рьшной компонент решения с учетом локального (в пределах шага) определения формы ВП; процедуры выбора шага интегрирования по маршевой координате; решения задач интерференции, инициироваНИЯ Проведено^а^штабное вычислительное моделирование плоских И осесимметричных стационарных струйных и канальных газодинамивеских течений с множеством разрывов. Показаны высокая разрешающая способность, быстрая сходимость и зффе=с„ МВР а также качественное и количественное отличия численных решений, полученных на одних и тех же расчетных сетках, данным

МВР и методом сквозного счета (МСС). „ппрпиппм-

Приведем некоторые результаты математического моделирова

ния. На рис. 5, 6 моделируемые течения показаны в виде линии уровня значений газодинамических величин (функции). -

10* log {давление), число Маха, угол наклона линий тока (к оси ОХ), полное давление, причем маркировка линий уровня соответствует отрезку натурального ряда, если отсутствует дробная часть числа в маркере. Для удобства сопоставления результатов вычислений между собой при расчётах выполненных МВР и МСС линии уровня строятся в одном общем (для обоих расчётов) масштабе данной величины, при этом существенно, что интерполяция значений величин через ВП (для МВР) не делается. Траектории ВП на тех же рисунках представлены дискретно в виде последовательности точек, соответствующих расчётным слоям по маршевой координате х. Над расчётной областью выполнено аффинное преобразование с целью оптимального размещения её в пределах рамки рисунка, кроме того, из соображений экономии места внутренний цилиндр для осесимметричных кольцевых течений исключен. Для левых половинок рисунков ось OY, направлена от центра влево, для правых — от центра вправо. Ось ОХ совпадает с осью (либо лежит в плоскости) симметрии течения и направлена снизу вверх, таким образом, начальное сечение (слой) располагается снизу картинки.

На рис. 5 представлен расчёт осесимметричной задачи о движении (торможении) газа (у = 1,4 - воздух) в кольцевом сужающемся канале, имеющем излом верхней образующей в начальном сечении. Расчёт выполнен на разностной решётке с 21 узлом как в случае использования МВР, так и МСС (PC Лакса-Вендроффа). Заметим, что стационарная постановка такой задачи с целью проверки работоспособности маршевых методик вполне корректна. Параметры кольцевого канала в начальном сечении таковы: число Маха втекающего равномерного потока м = 3,0; нижняя граница располагается на расстоянии 0,5 входного калибра от оси симметрии течения, верхняя — на 1,5; излом верхней стенки Ав=-5°. Размещение на оси симметрии течения цилиндра объясняется желанием исключить режим нерегулярного (маховского) отражения СУ. Расчёт автоматически останавливался при достижении моделируемым течением местной скорости звука в одной из точек сечения.

Анализируя приведенный на рис. 5 расчёт можно утверждать: МВР обеспечивает значительно более высокое качество разрешения внутреннего устройства канального газодинамического течения, чем МСС. Заметим, что решение, полученное МСС на более мелкой разностной решётке (201 узел; в автореферате не приводится) практически сходится к решению, полученному МВР (21 узел решётки), а в

плоском случае точное решение аналогичной задачи получается МВР уже на одной (!) ячейке решётки. Если не принимать во внимание всплески, вызванные немонотонностью РС Лакса-Вендроффа (МСС), то результаты, полученные по обеим методикам, хорошо согласуются между собой.

..........- , И«»*™ Р^^гРи^^и^А^ стягш*

тттттггггг цоткоа а

р-тггт «птопи і л. VI. 5.Ш.5.00 5 оао.юо&ілшо --

/ ^"'-У \

у\

/

1

Хг\

-/10Г АРИГЛ ¿Ав/ІЕННЯ

- /ІОҐАРИГМ ¿Ав/ІЕННЯ

Рис 5 Расчет МВР и МСС торможения газа {у-1,4; М-3,0) в осесимметричном кольцевом сужающемся канале, имеющем излом (Д0=-5) верхней образующей в начальном сечении. С целью удобства сравнения решений, полученных МВР и МСС, оцифровка линий уровня величин в обоих расчетах единая

На рис 6 приведены расчёты МВР сверхзвуковых струй: плоской и осесимметричной кольцевой. Общие исходные параметры струй таковы: число Маха в выходном сечении сопла М - 4,0; показатель изэнтропы газа у = 1,3; нерасчётность при истечении в затопленное пространство л = 10 (недорасширение). В плоском случае расчёт выполнен на разностной решётке с 61 узлом, в осесиммет-ричном — с 201.

ПЛОСКАЯ СТРУЯ ПЛОСКАЯ СТРУЯ

-Ю-ЮВШВЖНИЕ)

ЧИСЛО ПАУЛ

УГОЛ НАКЛОНА ЛИНИИ ТОКА

ПОЛНОЕ ДАВЛЕНИЕ

Рис. 6. Расчет МВР плоской (сверху) и осесимметричной кольцевой струй газа (у= 1,3; М = 4,0), истекающих в затопленное пространство с нерасчетностью л = 10

В ходе расчётов применялась фильтрация ВП и, поэтому «жизнь» внутренних ВП характеристик центрированной волны раз-жжения (ВП не являющихся СЛР, ограничена моментом их касания противоположной границы расчётной области. Момент перехода крайних характеристик ВР, являющихся СЛР, в сильныи разрыв е последующим увеличением их интенсивности хорошо отслеживается

по ппобилю полного давления.

Для осесимметричной кольцевой струи (рис. 6 снизу), истекающей из конического кольцевого сопла в затопленное пространство, исходными параметрами, составляющими отличие от плоскои постановки задачи, являлись следующие: в начальном сечении нижняя границаТдилиндр) располагалась на расстоянии 0,5 входного калибра Госи симметрии течения, верхняя - на 1,5. Распределение^газодинамических параметров в начальном сечении соответствовало обобщенному на кольцевой случай «течению от источника» с углом полураствора а = 10 °, в плоском случае — равномерный поток.

В ходе всех расчётов контролировалась интегральная (по расходу массы) ошибка при переходе от одного расчётного слоя к другому, которая во всех случаях не превышала 0,05%.

ОБЩИЕ ВЫВОДЫ

1 Впервые получены обобщенные дифференциальные соотношения (ОДСС) на схематизированном криволинейном скачке уп-лотнетя(СУ) в двумерном (плоском или осесимметричном) нерав-ном™м потоке вязкого теплопроводного совершенного газа при больших числах Рейнольдса (Ке.>103). Вязкие

учтены асимптотически в приближении сдвигового слоя. ОДСС свя зывают нормальные к линиям тока частные производные 1...2-го по-рядкТот гаодинамических величин по обе стороны СУ с его геометрическими характеристиками. В предельном невязком случае полученные соотношения являются точными и после стандартных аналитических преобразований тождественно совпадают с известным ранее результатом. Окончательно ОДСС представлены в матричной форме с малым параметром ^(^У1 при старших производных и Нелинейных членах. Несмотря на применение асимптотических уп-пошений ОДСС и следующие после замыкания из них ОДУ представляют собой громоздкие математические выражения, поэтому, в

процессе их получения применяются средства компьютерной алгебры (система символьных преобразований на ЭВМ «REDUCE»).

2. Найден универсальный способ замыкания ОДСС с помощью расширенной дифференциальной связи, допускающий учет реального краевого эффекта (КЭ) за СУ, а также замену его модельным КЭ (в частности, исключающим условием), например, когда априорная информация о реальном КЭ отсутствует. Переход к модельным КЭ целесообразен и в том случае, когда необходимо оценить степень влияния на эволюцию СУ того или иного КЭ с учетом фактора вязкости-теплопроводности (ВТ). Выявлены допустимые границы (значений коэффициентов) в задании КЭ за СУ с помощью изобарической дифференциальной связи. Предполагается, что течение за СУ сверхзвуковое.

3. Разработаны, включая алгоритмизацию и программирование, оригинальные эффективные методы численного интегрирования получаемой из ОДСС нелинейной системы ОДУ, имеющей специфические свойства. По причине отсутствия старших (вторых) производных в первом из уравнений данной системы - законе сохранения массы, она, без дополнительных математических ухищрений, не может быть приведена к нормальной форме, которая к тому же лишена смысла при Re„ -> со: следовательно, для численного интегрирования уравнений системы нельзя воспользоваться стандартными методиками. В связи с этим разработаны эффективные итерационные (на эволюционном шаге) методы интегрирования указанной системы, не требующие ее нормализации: первый метод основан на использовании невязкого нулевого приближения, которое находится аналитически, второй представляет собой модификацию численного метода Ньютона в приращениях без обращения матрицы Якоби. Существенно, что в процессе интегрирования такой системы удается обходиться без поточечной постановки обобщенных или обычных условий на косом СУ: эти условия с высокой точностью будут выполняться уже автоматически (!). Постановка этих условий требуется только в начальной точке СУ, откуда начинается его эволюция.

4. Предложена последовательная двухэтапная схема математического моделирования двумерных стационарных ударных течений вязкого теплопроводного газа при больших числах Рейнольдса на основе асимптотических ОДСС. На первом (аналитическом) этапе единовременно под конкретную задачу (класс задач) средствами компьютерной алгебры генерируются ОДСС и следующая из них

система дифференциально-разностных рабочих уравнении (РУ) (система ОДУ) фиксирующая: конкретный вид дифференциальной связи, учет (неучет) отдельных вторичных вязких членов, порядки асимптотических разложений и разностных аппроксимаций старших производных за СУ, газодинамические и другие константы, и т.п. На вто-IТфаТчетном) этапе на основе сгенерированных РУ проводятся все необходимые расчеты. Далее следует обычный этап обработки графического представления результатов моделирования. Оформле ние процедуры машинного вывода уравнений как отдельного (первого) этапа математического моделирования вызвано значительной сложностью и громоздкостью ОДСС, конечных выражении для левых-прав^ частей системы РУ и якобиана к ней, которые затем компилируются в РОЯТЯАК-среде, где и проводятся все основные расчеты Допускается также возврат к первому этапу с целью модифи-

КТ(Х^ж1наУ' эффективная стационарная дискретно-аналитическая модель взаимодействия СУ со сдвитвым слоем обобщающая «невязкую» вихревую модель, в которои число Реи нольдса фигурирует лишь как внешний параметр, определяющий поперечные масштаб И компоненту скорости н-озмущенного СДВИГОВОГО течения. В НОВОЙ модели на основе асимптотических ОДСС на ряду с таким вхождением, фактор ВТ присутствует явно в интегрируемых дифференциальных уравнениях, и поэтому частично, а в ряде случаев значительно, определяет возмущенное сверхзвуковое течение Аналитические свойства дискретно-аналитическои модели позволяют сложное действие фактора ВТ расщепить и исследовать раздельно, выделяя его действие, например, только на ударном перехо Г Это же свойство позволяет легко практически осуществлять предельный переход по числу Рейнольдса в «невязкий случаи» при фиксировав интенсивности СУ. Выявлена степень^влияния на получаемое решение отдельных параметров дискретно-апатической модели, таких как порядок асимптотических разложений порядок аппроксимации разностных представлении и т.п.

жении, по^Д ^налитическое (в расширенном смысле) решение

стационарной задачи о проникновении СУ в сдвиговый слои. С учетом допущений исходная начально-краевая зада^^дл^^авненмм Яа-

вье-Стокса вязкого теплопроводного газа (УНСВТ) сведена к заоаче для сложной нелинейной системы ОДУ (РУ), выполняющихся

вдоль СУ.

7. Проведено математическое моделирование проникновения СУ в сдвиговый слой с применением вязких и невязких моделей разной сложности. Показано, что неучет фактора ВТ в явном виде в дифференциальных соотношениях на СУ (ОДСС) при расчете возмущенного течения в слое может привести к неверному конечному результату. В частности, показана неадекватность вихревой модели взаимодействия на основе полностью невязких дифференциальных соотношений на СУ в случае высокоградиентного, имеющего вязкую предысторию, течения перед ним.

Произведено сравнение одного из полученных стационарных аналитических решений задачи проникновения СУ в сдвиговый слой с соответствующим разностным решением полных нестационарных УНСВТ. Показано, что при одном и том же числе Рейнольдса разностное решение дает большую диссипацию СУ, чем стационарное решение на основе дискретно-аналитической модели, у которой такие негативные явления, как схемная вязкость и дистракция СУ, принципиально отсутствуют.

Выявлено как раздельное, так и совместное влияние таких физических факторов, как неравномерность невозмущенного течения перед СУ, краевой эффект за ним, вязкость-теплопроводность, на исследуемый ударный газодинамический процесс. Показано, что вне зависимости от знака КЭ (ослабление или поджатие СУ) действие фактора ВТ приводит к уменьшению интенсивности криволинейного скачка в неравномерном потоке. В случае, когда имеет место ослабляющий СУ КЭ, суммарное, направленное на ослабление скачка, действие обоих факторов оказывается значительнее.

С практической точки зрения важно, что разработанная стационарная дискретно-аналитическая модель позволяет в рамках единого вычислительного алгоритма проходить «насквозь» от газодинамической до диффузионной стадии эволюции СУ в слое, чем достигается значительная экономия вычислительного ресурса: счет на ПЭВМ вместо многих часов (УНСВТ) занимает минуты или даже секунды. Важно также, что в данной постановке задачи сохраняется естественный (бесконечный, в отсутствии других возмущений и, тем более, при учете фактора ВТ) порядок гладкости решения в касательном к СУ направлении, что и явилось основным мотивом для применения аналитического подхода.

8. Разработан высокоточный метод расчета сложных двумерных (плоских и осесимметричных) стационарных сверхзвуковых га-

зодинамических течений, содержащих множество Дискретиых особенностей (разрывов). Оригинальная конструкция несогласованной с

"ь! поверх'— (ВП) разрывов метод выделения разрывов (МВР) более мобильньш ««я вести выделение сотен взаимодействующих между собой и с границами пакетной области разрывов с автоматическим переходом на Г Го^ных'из^ В зависимости от

кпитепиев качества (разрешающей способности МВР). В процессе счета допускается появление новых и исчезновение вырожденных, силу, особенностей. ВП могут являться Фактиче-

===5^=5=

^ех же упавнений в непрерывной части решения может вестись, либо Гпр—иТаппаратРа я'вных трехточечных

сверТзвуковых потоков», позволяющий ограничивать разрешающую

спГобность (детализацию) вычислительного алгоритма МВР при

обпязовании «сгустков» из ВП, замедляющих расчет.

образовали «сгу бное вычислительное моделирование

плоских ?осесимметРичных струйных и канальных газодинамиче-™ течений С множеством разрывов. Показаны высокая разрешаю™ СПОСобноСть быстрая сходимость и эффективность данного Ь а « качественное и количественное отличия численных ^ийТлученных на одних и тех же расчетных сетках, данным

МВР^и комплексы вычислительных про-

грамм в среРд! (на языках) ^^^^^^^

аналитический подход.

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИОННОЙ РАБОТЫ

Монография

1. Адрианов, А.Л. Интерференция стационарных газодинамических разрывов / А.Л. Адрианов, А.Л. Старых, В.Н. Усков. - Новосибирск: ВО «Наука». Сибирская издательская фирма, 1995. - 180 с.

Публикации в изданиях, рекомендованных ВАК:

2. Адрианов, А.Л. Численное исследование взаимодействия сверхзвуковой струи газа с плоской преградой / А.Л. Адрианов, А.А. Безруков, Ю.А. Гапоненко // ПМТФ. - 2000. - Т. 41, № 4. -С. 106-111.

3. Адрианов, А.Л. О модельной кривизне скачка уплотнения в неравномерном потоке / А.Л. Адрианов // Вычислительные технологии. - 2000. - Т. 5, № 6. - С. 3-14.

4. Адрианов, А.Л. Асимптотическая модель взаимодействия скачка со сдвиговым слоем / А.Л. Адрианов // Вестник Сибирского гос. аэрокосм, ун-та им. акад. М.Ф. Решетнева: Сб. научн. тр. / Под ред. проф. Г.П. Белякова; СибГАУ. Вып. 3. - Красноярск, 2002. -С. 22-34.

5. Адрианов, А.Л. Дифференциальная модель проникновения скачка в сдвиговый слой / А.Л. Адрианов // Вестник 2004'5/2 Красноярского государственного университета. Физико-математ. науки / КрасГУ. - Красноярск, 2004. - С. 22-39.

6. Адрианов, А.Л. Аналитический подход в задаче проникновения скачка в сдвиговый слой / А.Л. Адрианов // Вестник Сибирского гос. аэрокосм, ун-та им. акад. М.Ф. Решетнева / под ред. проф. Г.П. Белякова; СибГАУ. Вып. 5. - Красн-ск, 2004. - С. 5-22.

7. Адрианов, А.Л. Выделение разрывов в двумерных течениях невязкого и вязкого теплопроводного газа / А.Л. Адрианов // Вестник Сибирского гос. аэрокосм, ун-та им. акад. М.Ф. Решетнева / под ред. проф. Г.П. Белякова; СибГАУ. Вып. 7. - Красноярск, 2005.-С. 11-17.

8. Адрианов, А.Л. Обобщенные дифференциальные соотношения на скачке уплотнения / А.Л. Адрианов // Вопросы атомной науки и техники. Сер. Математическое моделирование физических процессов. - 2009. Вып. 4. - С. 22-30.

9. Адрианов, А.Л. Математическое моделирование ударных течений вязкого теплопроводного газа на основе асимптотической модели

/ А Л. Адрианов // Вопросы атомной науки и техники. Сер. Математическое моделирование физических процессов. - 2010.

Вып. 4.-С. 10-26.

10 Адрианов, А.Л. О взаимовлиянии краевого эффекта и фактора вязкости-теплопроводности в задаче проникновения скачка уплотнения в сдвиговый слой / А.Л. Адрианов // Труды XII международного семинара «Супервычисления и математическое моделирование» / Под ред. P.M. Шагалиева. - Саров: ФГУП «РФЯЦ-ВНИИЭФ», 2011. -418 е., С. 9-17.

11 Адрианов, А.Л. О допустимых границах в задании краевого эф' фекта за скачком уплотнения / А.Л. Адрианов // Вестник Сибирского гос. аэрокосм, ун-та им. акад. М.Ф. Решетнева. - Красноярск, 2012. Вып. 5(45). - С. 6-12.

Публикации в прочих изданиях:

12 Адрианов, А.Л. Выделение множества разрывов на несогласо-' ванной сетке в двумерных стационарных сверхзвуковых течениях

/ А Л Адрианов // Моделирование в механике. Сер. Струйные течения. - Новосибирск: ИТПМ СО АН СССР. - 1988. - Т.2(19), № 6. - С. 3-9.

13 Адрианов, А.Л. Некоторые особенности численного моделирова-' ния разрывных газодинамических течений на комбинированной

нерегулярной сетке / А.Л. Адрианов // Моделирование в механике - Новосибирск: ИТПМ СО АН СССР. - 1990. - Т.4(21), № 5. -

14 Adrîânov, A.L. Numerical simulation of 2-D stationary supersonic jets ' and internal flows with many discontinuities / A.L. Adnanov // Modeling, Measur. & Control, B, AMSE Press. - 1992. - Vol.46, № 4. -P.19-26.

15 Адрианов, А.Л. Дифференциальные соотношения на скачке уплотнения в вязком газе при больших числах Реинольдса /

А Л Адрианов // Тр. семинара "Матем. модел-ние в механ. ВЦК Ш РАН. Красноярск, 1996 - 18 с. - Деп. в ВИНИТИ 01.04.96,

№Ю52, В-96.

16 Адрианов, А.Л. Другой подход к математическому моделирова-' нию течений вязкого теплопроводного газа с ударными волнами /

АЛ Адрианов // Наука и технологии. Том 1. Труды XXVI Российской школы. - М.: РАН, 2006. - 295 е., С. 108-122.

Отпечатано в типографии ОАО «Красмаш» Тираж 150 экз.

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М.Ф. Решетнева»

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ УДАРНЫХ ТЕЧЕНИЙ ИДЕАЛЬНОГО И ВЯЗКОГО ТЕПЛОПРОВОДНОГО ГАЗА НА ОСНОВЕ ДИСКРЕТНО-АНАЛИТИЧЕСКОГО ПОДХОДА

05.13.18 - математическое моделирование, численные методы

и комплексы программ

Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

05201352072

На правах рукописи

Адрианов Александр Леонидович

Научный консультант:

доктор физико-математических наук,

профессор В.К. Андреев

Красноярск 2013 г.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Введение.......................................................................................4

Глава 1. Обобщенные соотношения нулевого и первого

порядков на криволинейном скачке уплотнения........................20

Раздел 1.1. Основные допущения и их обоснование..............................23

Раздел 1.2. Вывод соотношений.......................................................27

Раздел 1.3. Матричная форма записи обобщенных

дифференциальных соотношений (ОДСС) и их анализ...................37

Глава 2. Исключение краевого эффекта и модельная кривизна

скачка уплотнения в неравномерном потоке идеального газа......42

Раздел 2.1. Дифференциальные соотношения на криволинейном скачке

уплотнения и сохраняемый левый комплекс на слабом разрыве........45

Раздел 2.2. Правый комплекс на скачке уплотнения.

Вывод исключающего условия.................................................54

Раздел 2.3. Модельная задача о взаимодействии скачка уплотнения

с тонким вихревым слоем.......................................................................58

Раздел 2.4. Рефракционная кривизна скачка уплотнения.

Усечённая модель течения за скачком........................................62

Раздел 2.5. Вычислительный алгоритм и результаты

математического моделирования................................................65

Глава 3. Замыкание ОДСС с помощью дифференциальной связи.. .71 Раздел 3.1. Универсальный способ задания краевого эффекта

в форме расширенной дифференциальной связи...........................73

Раздел 3.2. Исключающее условие и его дифференциальное следствие

в неравномерном потоке вязкого теплопроводного газа....................97

Глава 4. Математическое моделирование ударных течений вязкого теплопроводного газа на основе асимптотической

модели......................................................................................................100

Раздел 4.1. Вязкая постановка задачи о взаимодействии скачка

уплотнения со сдвиговым слоем..............................................103

Раздел 4.2. Основные допущения и анализ различных подходов.............107

Раздел 4.3. Применение ОДСС. Постановка задачи с явным учётом

фактора вязкости-теплопроводности.........................................111

Раздел 4.4. Вычислительный алгоритм для частного случая -

интегрирования невязких уравнений. Два способа определения

решения на скачке................................................................115

Раздел 4.5. Вычислительный алгоритм для общего случая -

интегрирования вязких уравнений, не предусматривающий нормализацию системы.........................................................120

Раздел 4.6. Математическое моделирование проникновения скачка уплотнения в сдвиговый слой. Сравнительный анализ результатов, полученных по различным моделям.........................128

Глава 5. Метод численного моделирования двумерных стационарных сверхзвуковых газодинамических течений

с множеством разрывов........................................................................146

Раздел 5.1. Вводная часть.............................................................148

Раздел 5.2. Конструкция полной расчётной сетки и комбинаторные

операции над множеством её нерегулярных (лагранжевых) узлов.... 161

Раздел 5.3. Расчёт гладкой части течения...........................................167

Раздел 5.4. Расчёт течения в окрестностях разрывов (ВП) с учётом

локального определения их формы..........................................169

Раздел 5.5. Выбор шага интегрирования...........................................188

Раздел 5.6. Интерференция, инициирование и фильтрация разрывов.

Другие особенности вычислительного алгоритма........................193

Раздел 5.7. Математическое моделирование газодинамических течений

с множественными взаимодействиями разрывов..........................204

Заключение............................................................................256

Список литературы................................................................263

ВВЕДЕНИЕ

Математическое моделирование ударных течении идеального, а также вязкого теплопроводного газа при больших числах Рейнольдса, на основе новых подходов, объединяющих положительные свойства численных и аналитических методов, представляет собой актуальное научное направление. Правильно сконструированный численно-аналитический метод-симбиоз может обладать значительно большей разрешающей способностью и (или) эффективностью при расчете газодинамических течений, содержащих скачки уплотнения (СУ), сдвиговые слои, а также множественные их взаимодействия, чем отдельные представители классов численных и аналитических методов. Методы, построенные на основе указанного симбиоза, способны дать новые сведения о деталях внутреннего устройства сложных двумерных, в частности, стационарных сверхзвуковых ударных газодинамических течений, выявить как раздельное, так и совместное влияние таких факторов, как неравномерность невозмущенного течения перед СУ, краевой эффект2 (КЭ) за ним, формируемый догоняющими его возмущениями, вязкость-теплопроводность (ВТ), на исследуемый физический процесс. Поясним сказанное на примерах.

1 Течения с переходом через фронт ударной волны (скачка уплотнения).

2 Термин имеет производный (дифференциальный) смысл от общепринятого термина «краевое (граничное) условие» применительно к задней поверхности скачка; КЭ имеет отношение к продолженной системе соответствующих законов сохранения. Необходимость введения и использования данного термина разъясняется в главах 1, 2.

При численном моделировании стационарного сверхзвукового аэродинамического обтекания тела неравномерным потоком вязкого теплопроводного газа при больших числах Рейнольдса, практически невозможно без схематизации головного скачка поверхностью сильного разрыва параметров [1, 2], рассчитывая СУ сквозным образом, выделить вклад в реализующиеся за ним газодинамические параметры от действия внешних3 вязких напряжений и потока тепла [1-6]. Другими словами, корректно «выключить» внешний фактор ВТ4 исключительно на ударном переходе, выявив при этом его роль. Справедливости ради отметим, что часто хорошая выполнимость обычных5 условий на косом (прямом) СУ означает, что при больших числах Рейнольдса фактор ВТ может и вовсе не учитываться в локальных соотношениях6 на сильном разрыве [1-15]; градиенты величин по обе стороны СУ при этом предполагаются ограниченными. Более того, в частном случае равномерного по обе стороны СУ течения вклад указанного фактора в параметры ударного перехода будет полностью отсутствовать, поскольку отсутствуют внешние градиенты величин, а сам скачок при этом является плоским. С другой стороны, очевидно, что в общем случае неравномерного макротечения вне схематизированного криволинейного СУ и уже при средних 103) числах Рей-

3 Со стороны макротечения по обе стороны СУ; вне ударного перехода.

4 Имеется в виду физическая, а не схемная, вязкость-теплопроводность.

5 Без учета фактора ВТ.

6 В интегральные формулы схематизированного ударного перехода, фактор ВТ, при его учете, входит с малым параметром; см. главу 1.

нольдса, влияние фактора ВТ на параметры ударного перехода должно корректно учитываться в рамках той или иной математической модели7.

Рассмотрим практически ту же задачу, что и в предыдущем примере, но предполагая при этом, что СУ схематизирован (или выделен и представлен, в случае использования модели идеального газа) поверхностью сильного газодинамического разрыва, так что в каждой его точке выполняются обыч-

о

ные либо обобщенные условия на косом СУ. И даже в этом случае, при схематизации СУ в рамках того или иного численного метода, нереально про-варьировать в широком диапазоне (аннулировать, в частности) КЭ, выявив степень влияния последнего на форму (кривизну) СУ, распределение параметров и их производных вдоль его задней поверхности, действие фактора ВТ [4-6]. Кроме того, численные методы решения систем уравнений Эйлера (УЭ) и Навъе-Стокса вязкого теплопроводного газа9 (УНСВТ, [16]), ограниченный обзор и анализ которых содержатся в главах 4, 5, все еще требуют значительных вычислительных ресурсов, с чем, несмотря на появление СуперЭВМ с петафлопной производительностью, нельзя не считаться.

Указанные проблемы, возникающие при численном моделировании ударных течений идеального, а также вязкого теплопроводного газа, оказываются преодолимыми при использовании численно-аналитических методов. Преимущества этих методов и соответствующих им подходов к решению за-

7 См. главы 1,4.

8 С учетом фактора ВТ; см. главу 1.

9 Другое, возможно более правильное название этих уравнений, - уравнения сжимаемого вязкого теплопроводного газа, без упоминания в названии авторов (Анри Навъе, Джордж Стоке) более простых уравнений, описывающих динамику вязкого несжимаемого газа. Однако в современной научной литературе также распространен и приведенный термин.

дач сверхзвуковой аэрогазодинамики имеют немаловажное практическое значение: организация новых и оптимизация существующих рабочих физических процессов в энергетических установках, их выходных характеристик и, как следствие, сокращения сроков разработки и проектирования изделий аэрокосмической промышленности.

Уточним, что в настоящей работе понимается под составным термином «численно-аналитический метод» (равно как и «разностно-аналитический метод», «дискретно-аналитический подход» в более широком смысле). В общем случае под этим не следует понимать какой-либо метод, сконструированный на основе прямого (независимого) объединения численного (дискретного) и аналитического аппаратов, позволяющий построить некоторое «суммарное решение» той или иной задачи. Однако, в некоторых случаях аналитическое (в расширенном смысле10 [17, 18]) решение для ударного процесса строится именно путем «погружения» его в другое решение-источник, которое может определяться аналитическими зависимостями, либо иметь численное происхождение - поле газодинамических величин, полученное из предварительного расчета и затабулированное с помощью гладких интерпо-лянтов [19]. Заметим, что возможность получения аналитических решений в классическом смысле этого слова, обычно сопряжена с упрощающими постановку задачи предположениями, рассмотрением отдельных частных случаев, описывающих узкий класс физических процессов, и т.п. Таким мето-

10 В том смысле, что задача может быть сведена (редуцирована) к соответствующей задаче для системы ОДУ.

дам посвящена обширная литература, поскольку в докомпьютерную эру, и даже при появлении первых относительно малопроизводительных ЭВМ массового использования, эти методы и физический эксперимент являлись основными инструментами в исследованиях сложных аэрогазодинамических процессов. Эти методы используются и совершенствуются по сегодняшний день, поскольку оказались работоспособными при математическом описании отдельных высокоградиентных ударных и безударных газодинамических процессов (например11, [7-15]).

В настоящей работе делаются лишь некоторые минимальные допущения, позволяющие осуществить (как максимум) редукцию краевой постановки задачи к задаче Коши для нелинейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ), которая решается затем уже численно. С другой стороны, сами окончательные уравнения системы получаются путем сложных математических выкладок с применением средств компьютерной алгебры [20, 21]: они являются точными лишь в газодинамическом отношении, а

при учете фактора ВТ — приближенными асимптотическими. К сожалению,

12

данная система ОДУ не может быть приведена к нормальному виду и требует для своего численного интегрирования разработки нестандартных подходов [4]. В любом случае, об аналитических или точных решениях, получаемых в настоящей работе, можно говорить лишь в расширенном смысле [17, 18].

11 См. также библиографические ссылки в главах 4,5.

12 Без дополнительных математических ухищрений.

Резюмируем сказанное. Под численно- или разностно-аналитическим методом в настоящей работе понимается метод-симбиоз, сконструированный на основе сложного объединения аппарата разностных схем и аналитического аппарата, применяемого локально (дискретно) на особенностях. При этом СУ представляются либо выделенными, либо схематизированными гладкой криволинейной поверхностью сильного газодинамического разрыва [1-5] в зависимости от используемой математической модели течения сжимаемого газа: невязкой (идеальной)13 или вязкой с теплопроводностью14 при больших числах Рейнольдса соответственно. Основным мотивом для гладкого представления СУ с адекватным этому локальным применением аналитического аппарата является естественный (бесконечный (!) в отсутствии других возмущений и, тем более, при учете фактора ВТ) порядок гладкости решения в касательном к скачку направлении, которым следует воспользоваться. Тогда, при выполнимости на схематизированном криволинейном СУ в неравномерном потоке идеального или вязкого теплопроводного газа соотношении5 0-го порядка, требуется еще и выполнимость соответствующих уже «продолженных соотношений» - соотношений 1 -го порядка (иначе, дифференциальных соотношений на СУ). С привлечением математического языка аппарата сплайнов (сплайн-функций), то же может быть сказано иначе: локально используемый аналитический аппарат позволяет в гладком представлении фронта СУ перейти к сплайну более высокого порядка. Важно,

13 В этом случае аналогичным образом могут быть представлены все типы газодинамических особенностей; см. главу 5.

14 В частности предполагается, что число Прандтля при этом порядка единицы.

15 Соответственно обычных либо обобщенных (с учетом фактора ВТ) на косом СУ.

что при таком гладком представлении СУ уже отсутствует необходимость в поточечной постановке на нем соотношений 0-го порядка: в любой его расчетной точке они будут выполняться уже автоматически (!),а поэтому, могут быть задействованы в ходе расчета лишь с целью дополнительного поточечного контроля точности вычислений16. Привлеченный в связи с гладкостью процесса дополнительный аналитический аппарат дифференциальных соотношений на СУ позволяет проанализировать влияние (совместное, в частности) основных физических факторов на эволюцию фронта самого скачка и, при необходимости управлять его поведением. Этими факторами являются: градиенты газодинамических величин в невозмущенном потоке перед СУ, КЭ за ним, а также фактор ВТ, при асимптотическом учете его в данных соотношениях. Заметим, что основываясь только на обычных (типа Рэнкина-Гюгонио) соотношениях 0 -го порядка и, соответственно, на аппарате ударных поляр, подобный анализ и управление поведением фронта СУ невозможны.

Мотивация построения эффективных численно-аналитических методов расчета ударных течений невязкого и, тем более, вязкого теплопроводного газа при больших числах Рейнольдса, имеет под собой и более тонкую математическую подоплеку. СУ, имея в своей малой окрестности резкое (в пределе разрывное, при его схематизации) изменение газодинамических величин, в касательном направлении обладает «запасом гладкости», который, несомненно (!), должен быть востребован вычислительным алгоритмом решения

16 См. главу 4.

задачи17. В противном случае, как это часто бывает при использовании, например, разностных методов сквозного счета (МСС)18, кроме обычной локальной потери точности на СУ и других аппроксимативных дефектов, будет иметь место так называемый дефект насыщения вычислительного метода [19]. Суть этого негативного, но менее заметного, чем погрешность аппроксимации, явления состоит в том, что, начиная с некоторого рубежного момента, очередное ступенчатое ранговое повышение гладкости решения уже не приводит к адекватному уменьшению вычислительной погрешности. В частности, уже отсюда вытекает целесообразность локального применения аналитического аппарата при расчетах газодинамических течений, содержащих СУ и другие особенности. Более того, если какой-либо СУ находится в значительной изоляции от встречных и догоняющих его соседних особенностей, или же задача решается в более общей постановке с учетом малого по величине фактора ВТ, автоматически обеспечивающего большую гладкость решения (!), то роль сказанного выше только усиливается. Например, при схематизации одиночного СУ, проникающего в сдвиговый слой вязкого теплопроводного газа при больших числах Рейнольдса, исходную начально-краевую задачу для УНСВТ и, тем более, в рамках ее невязкого приближения - для УЭ, когда сд�