автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование циклической работы системы мышц-антагонистов

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

КЛИКУНОВА Ксения Алсксссвиа

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЦИКЛИЧЕСКОЙ РАБОТЫ СИСТЕМЫ МЫШЦ-АНТАГОНИСТОВ

05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

003470072

На правах рукописи

- 1 ОНТ 2009

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико- математических наук

Санкт - Петербург 2009

003478072

Работа выполнена на кафедре моделирования электромеханических п компьютерных систем факультета прикладной математики процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета.

Научный руководитель: доктор фнзико математических наук,

профессор Трсгубов Владимир Петрович Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

дании совета Д.212.232.50 по защите докторских и кандидатских диссертаций при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 199034, Санкт-Петербург, В.О., Университетская наб., 7/9, Менделеевский Центр.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке им. М. Горького Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: 199034, Санкт Петербург, В.О., Университетская наб., 7/9. Автореферат размещен на сайте www.spbu.ru

профессор

Александров Александр Юрьевич кандидат технических наук,

доцент

Шукейло Юрий Александрович

Ведущая организация: Институт прикладной физики РАН

г. Нижний Новгород

Защита состоится 11 " г. в ч. ^ мин.

н

мин. на засе-

Автореферат разослан

Ученый секретарь

диссертационного совета Д.212.232.50 доктор физико-математических наук, профессор

Курбатова Г.И.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы.

Мышечное сокращение является жизненно важной функцией организма. Все виды движения позвоночных осуществляются за счет скелетных мышц. Практически все движения человека являются циклическими и складываются из движения в суставах в противополжных направлениях. Такое движение в суставе есть результат группового взаимодействия мышц-антагонистов, т.е. мышц, действующих в противоположном направлении. Управление их согласованной работой осуществляется нервной системой с помощью последовательности электрических импульсов, приходящих в мышцу по нервным волокнам.

В экспериментальных работах ограничиваются лабораторным изучением процесса сокращения изолированной мышцы, т.е. мышцы, изъятой из организма и лишенной управления со стороны нервной системы. Более того изучаются лишь частные, далекие от естественных виды сокращения мышцы, такие как возбуждение мышцы при постоянной, фиксированной ее длине, сокращение мышцы при постоянной внешней нагрузке, при скачкообразном изменении длины. Это так называемые тестовые режимы сокращения. Поэтому важно расширить теоретические представления о процессе мышечного сокращения таким образом, чтобы появилась возможность описания работы мышцы в естественных условиях. При продвижении по этому пути наиболее эффективным инструментом зарекомендовали себя математические модели сокращения.

Цель диссертационной работы:

Разработать математическую модель системы мышц-антагонистов, описывающую се работу при выполнении колебательных движений.

Эта модель должна, с одной стороны, соответствовать современным представлениям о механических процессах, происходящих в мышце на микроуровне, а с другой стороны, адекватно описывать работу мышц на макроуровне при выполнении циклических движений в суставе.

Для достижения данной цели, были поставлены следующие задачи:

1) построить математическую модель сократительной компоненты скелетной мышцы на микроуровне, позволяющую описывать переход от укорочения мышцы к удлинению и обратно. Разработать для этого новую схему работы основных генераторов мышечной силы - миозиповых мостиков;

2) на основе математической модели сократительной компоненты построить механическую модель целой мышцы и модель управления мышцей со стороны нервной системы;

3) построить математическую модель биомеханической системы из двух костных элементов с двумя мышцами-антагонистами, способную совершать циклические движения, включая алгоритм управления со стороны нервной системы;

4) разработать комплекс программ, реализующих предложенные модели и алгоритмы управления системой мышц-антагонистов и позволяющих проводить численные эксперименты.

Основные положения, выносимые на защиту:

1) модель процесса перехода миозиновых мостиков из одного состояния в другое;

2) модель скелетной мышцы, связывающая молекулярные механизмы мышечного сокращения с вязкоупругими свойствами мышцы;

3) модель биомеханической системы мышц-антагонистов в суставе;

4) алгоритм управления системой мышц-антагонистов при выполнении циклических движений в суставе;

5) комплекс программ для проведения численных экспериментов с использованием предложенных моделей.

Научная новизна представленных в работе результатов заключается в том, что разработанная математическая модель скелетной мышцы впервые позволила описать нестационарные режимы сокращения, включая смену знака скорости сокращения. С этой целью была разработа-

на новая схема переходов мнозиновых мостиков - - генераторов силы на микроуровне из одного состояния в другое. Наличие такой модели скелетной мышцы впервые позволило описать работу системы мышц-антагоннстов, включая управление со стороны нервной системы. В результате появилась возможность моделировать не только лабораторные эксперименты на изолированной мышце, но и естественные движения в суставах.

Теоретическая значимость полученных результатов заключается в том, что они развивают теорию математического моделирования мышечного сокращения на микроуровне, что позволяет связать эти процессы с наблюдаемыми явлениями на макроуровне.

Практическая значимость полученных результатов состоит в том, что появился инструмент, с помощью которого можно проверять гипотезы о механизмах мышечного сокращения и управления со стороны нервной системы. Предложенные математические модели, реализованные в комплексе компьютерных программ, дают возможность оценки эффективности работы мышц, обеспечивающих движения в суставах, как в норме, так и при патологиях опорно-двигателыюго аппарата.

Достоверность полученных результатов подтверждается способностью модели мышцы воспроизводить результаты экспериментальных исследований изолированной мышцы в тестовых режимах, а также качественным согласованием численных экспериментов для системы мышц антагонистов с натурными исследованиями колебательного движения лучезанястного и локтевого суставов человека. Работа выполнена с использованием традиционного математического аппарата и применением современного программного обеспечения.

Результаты исследований прошли апробацию на Международном конгрессе Польского сообщества биомеханики (Вроцлав, 2008); семинаре Международного центра биокибернетики Advanced Research Methods of Biomechanics (Варшава, 2007); научных конференциях "Про-

цессы управления и устойчивость" факультета прикладной математики -процессов управления Санкт -Петербургского государственного университета (С.-Петербург, 2006, 2007 и 2008 гг.); семинарах кафедры моделирования электромеханических и компьютерных систем факультета прикладной математики - процессов управления.

Публикации. По материалам диссертации опубликованы шесть работ, одна из них в издании, входящем в перечень ВАК рецензируемых научных журналов [5|. Список работ приведен в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Объем работы составляет 92 страницы. Список литературы включает 64 наименования.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы, сформулирована цель работы, представлены результаты, которые выносятся на защиту.

Первая глава представяет собой описание объекта исследования и анализ предшествующих результатов математического моделирования, полученных другими авторами. В ней описывается строение скелетных мышц, состоящих из большого числа мышечных волокон, организованных в пучки (рис. 1А). Мышечные волокна, в свою очередь, состоят из цилиндрических нитей -- миофибрилл — диаметром 1-2 мкм. Миофиб-рилла состоит из последовательно расположенных однотипных структур — саркомеров, длина которых в расслабленной мышце составляет 2,5-3 мкм. Каждый саркомер состоит из двух поперечных г-дисков и двух типов белковых нитей топких (актиновых) и толстых (миозиновых) (рис. 1Б). Основными генереторами силы, вырабатываемой мышцей, являются отростки толских нитей (мостики), которые могут замыкаться в определенных точках тонких нитей и создавать тянущее усилие. Таким образом, подчеркивается, что сокращение обусловлено способностью втягивания тонких нитей между толстыми.

Рис. 1. Структура скелетной мышцы (Л), Саркомер (Б)

Далее приводится анализ экспериментальных данных (§ 1.2) и обзор различных подходов к моделированию мышечного сокращения (§1.3-§1.8). В § 1.3 приводится классическое уравнение Хилла, которое связывает постоянную скорость сокращения скелетной мышцы V с постоянной внешней нагрузкой F:

(Р + а)К = Ь(Р-Ро), (1)

где Ра = 3 • 106 дин — максимальное усилие, которое может развить мышца, а, Ь- некоторые константы. Отмечается, что уравнение (1) можно рассматривать в качестве первой математической модели работы мышцы в частном случае.

1

Ч/И^

улллА

Рис. 2. Трехкомпонентная модель Хилла. 1 - контрактильная компонента, 2 -параллельная упругая компонента, 3 - последовательная упругая компонента.

Хиллом был сделан вывод о том, что модель мышцы должна состоять как минимум из трех компонент (рис. 3) - так называемой кон-трактилъной, отвечающей за сократительные свойства мышцы, а так же параллельной и последовательной упругих компонент, характеризующих упругие свойства мышцы.

В § 1.4 излагается мостиковая теория мышечного сокращения, которая положена в основу модели, разработанной в диссертации. Согласно

этой теории в результате биохимических реакций мостики замыкаются на активных центрах актиновых нитей и обеспечивают взаимное втягивание белковых нитей. При этом оказывается удобным рассматривать каждый цикл работы мостика, как последовательность его различных состояний.

Наиболее последовательный подход был продемонстрирован В.И. Дещеревским (§ 1.5). В отличие от других авторов, он предположил, что сила, развиваемая мостиком в каждом из состояний остается постоянной, что позволило ему перейти к расчету силы, развиваемой мышцей через среднее число мостиков, находящихся в разных состояниях.

Все описанные в первой главе модели имеют недостатки, ограничи-ващие применимость моделей искусственными лабораторными условиями мышечного сокращения, что делает невозможным описание работы мышцы в естественных условиях. В частности:

- в большинстве моделей не учитывались упругие и вязкие свойства мышцы;

- модели не описывали режимы сокращения с изменением направления движения (т.е. с изменением знака скорости) без чего невозможно моделирование произвольных циклических движений;

- модели не учитывали управление движением со стороны нервной системы, рассматривалась лишь электрически стимулируемая мышца;

- рассматривались лишь небольшие изменения длины мышцы, при которых общее количество мостиков в зоне перекрытия нитей а остается постоянным.

Эти недостатки был частично исправлены в работах В.П. Трегубо-ва и Г.Б. Соколова, но оставался без внимания тот факт, что выход на стационарный режим сокращения происходит колебательным образом, со сменой знака скорости сокращения на начальном этапе. Кроме того, авторами не учитывалась реальная геометрия сустава при моделировании системы мышц-антагонистов.

В конце первой главы сформулированы конкретные задачи, которые необходимо решить для достижения сформулированной выше общей цели диссертации.

Во второй главе описывается предлагаемая математическая модель скелетной мышцы. В § 2.1 описывается переходный режим сокращения. Приводится новая схема перехода мостиков из одного состояния в другое при перемене знака скорости. При этом предполагается, что мостик может находится в одном из четырех состояний: свободном, тянущем, супертянущим и тормозящим. В предлагаемой схеме переходов после смены знака скорости с плюса на минус тормозящие мостики продолжали размыкаться со скоростью и развивать усилие (-/), а супертянущие мостики, оставшиеся после удлинения, продолжали размыкаться со скоростью кз и развивать усилие (+2/) (рис. 3).

Рис. 3. Схемы работы миозинового мостика при удлинении мышцы (Л) и ее укорочении (£), где 7 — число свободных миозиновых мостиков , п - тянущих мостиков, то -тормозящих, ир - супсртянущих. к\, к'2, кз - скорости перехода мостиков из одного состояния в другое, V - скорость сокращения саркомера, 6 - смещение головки мостика

в тянущем состоянии.

Согласно этой схеме система уравнений, описывающих поведение мышцы, записывается следующим образом: в случае укорочения V > 0:

л

Б

т

т

п = /сДа — п — т—р) — -п,

V

т = -п — к2т,

Р = ~к3р,

V = -,(/(" ~ т

_(/(„_ т +ад

в случае удлинения V < 0:

п = кЛ а — п — т — р) + -п, о

т = -кпгп,,

(3)

Р = -к3 р -

где число нолусаркомеров в волокне.

При численном решении изменение знака скорости V служит сигналом для переключения программы с одной системы дифференциальных уравнений на другую, значения решения первой системы служат начальными данными для второй.

Далее обращается внимание на то, что при малых значениях прикрепленной к мышце массы тянущие мостики достаточно быстро переходят в тормозящее состояние и их количество становятся равными количеству тянущих. В этом случае сила, развиваемая мышцей, становится равной нулю, а движение массы М в отсутствие внешней силы осуществляется по инерции.

Для случая, когда количество тормозящих мостиков превосходит количество тянущих, т.е. для случая т > п , уравнение движения следует переписать в следующем виде:

¿ = (4)

При этом второе слагаемое следует трактовать как внутреннее трение мышцы.

В § 2.2 описывается моделирование процесса сокращения предварительно растянутой мышцы. В этом случае число мостиков а в зоне перекрытия нитей линейно возрастает от 0 до максимального значения «о-

Показывается, что для растянутой мышцы в системах (3) и (2) изменяется первое уравнение:

V

п = /ч (ао0х - п - т) - -п (5)

и добавляется пятое уравнение:

х = V,

(6)

где х — укорочение мышцы (см), ¡3 — константа, равная 1,4 • 104 см-1.

При определении начальных данных надо выбирать такую длину мышцы, при которой развиваемая сила превосходит внешнюю силу, и мышца может сокращаться.

В § 2.3 моделируется сокращение мышцы с учетом ее упругих и вязких свойств. С этой целью в качестве механической модели скелетной мышцы использовалась система, состоящая из четырех деформируемых элементов, как показано на рис. 4.

Рис. 4- Механическая модель мышцы. I — длина мышцы, 1% — длина сократительной и параллельной упругой компоненты, /2 — длина последовательной упругой компоненты

Система уравнений, описывающая поведение данной механической модели, записывается следующим образом: в случае VI > 0:

п = к^а/ЗБх! -п-т-р) -

гН = шп-к2т'

Р = -кзр,

г\!(п — т + 2р) - С\Х\ - цБР

VI = V — ■

х1 = ьи

X = V.

М

Т)/(Л - тп + 2р) + (с! + с2> 1 - с2и

(7)

в случае v\ < 0:

п = k^aßSxi - п-т-р) + -¿гтт^П,

¿¡Уд

rh = —к2т,

V —

?;■ = V —

r}J{n - m + 2р) — ciXj - t]SF М '

4f(h - rh + 2р) + (ci + c2)t)i - c2v

где 5 — площадь поперечного сечения волокна, Т] — число волокон.

В § 2.4 рассматриваются принципы управления мышцей со стороны нервной системы. Известно, что управление в основном осуществляется с помощью двух параметров: частоты следования нервных импульсов и> и амплитуды нервных импульсов А, которая меняется во времени. При этом частота и определяет силу, развиваемую одним волокном, а амплитуда А — количество волокон, участвующих в сокращении. В предлагаемой модели считается, что параметр и определяет количество миозино-вых мостиков, которое может принимать участие в сокращении.

Введение в первом и последнем уравнении параметров и; и А приводит к следующим изменениям системы (2):

где ио~ максимальная частота следования нервного импульса.

В § 2.5 описан пакет прикладных программ, разработанный в среде Visual Studio 7.1 на языке программирования С\1, для проведения численных экспериментов с разработанными моделями. Представлены результаты проведенных численных экспериментов (Рис. 5). Из результатов численных экспериментов видно, что выход на стационарный режим сокращения происходит на тех же временах и с теми же амплитудами затухающих колебаний, что п в экспериментальных данных (рис. 6).

V =

A(t)rjf(n-m + 2p) ~clxl -rjSF М

0,95 0,85 0.75 0,65

P/Po

Р/Р„

Рис. 5. Результаты численных экспериментов для максимально возбужденной мышцы с р = 0.75Ро (Л) и предварительно растянутой мышцы = 0.2Ро (Б). М = 300 г.

0,95 0,85 0,75 0,65

р/р.

U мс

Рис. 6. Экспериментальное исследование начальной фазы сокращения мышцы.

Результаты данной главы опубликованы в работах [1, 5, 6].

В третьей главе описывается математическая модель системы мышц-антагонистов и управляющего воздействия со стороны нервной системы. В § 3.1 сустав представляется в виде двух шарнирно-соединенных стержней, один из которых приводится в движение моделями мышц-антагонистов (Рис. 7). При моделировании работы мышц-антагоиистов рассматривались две разные схемы движения суставов (рис. 7 а и б). В первой из них при всех положениях сустава мыщцы плотно прилегают к костным элементам за счет опоясывающих сухожилий, как это происходит, например, в лучсзапястном суставе. В результате плечо силы, развиваемой мыщцей, остается постоянным. Во втором случае это плечо меняется, как например, в локтевом суставе.

Указывается, что при сокращении одной из мышцы внешней силой для нее является сила, вырабатываемая мышцей-антагонистом. Однако, как правило, активация мышц-антагонистов происходит поочередно. В результате, показывается, что уравнение движения механической модели сустава для одной мышцы при переходе к угловым координатам имеет

вид:

!ф = [1(г1А{1)(п1-т1 + 2р1)-с1хп). (10)

Остальные уравнения в системах (7),(8),(9) сохраняются. Поведение второй мышцы описывается аналогичными уравнениями относительно переменных П2, Ш2, Р2 и т. д.

Рис. 7. Модели лучезапястного (А) и локтевого (Б) суставов

Поскольку частота следования нервных импульсов ш остается постоянной в пределах одного движения, то управление осуществляется амплитудой сигнала нервного импульса, которая задается функцией

А{Ь) = А&ти. (И)

В § 3.2 отмечается, что в качестве параметров управления мышцами-антагонистами, участвующими в колебательном движении сустава, целесообразно рассматривать интервал активности каждой мыщцы т и интервал взаимного молчания - а (рис. 8). Эти два параметра служат для определения моментов преключения с одной системы уравнений на другую. Изменение значений параметров т и а позволило моделировать колебательные движения в суставе с различными частотами колебаний.

Рис. 8. Схематичное изображение электромиограммы (ЭМГ) системы мышц-антагонистов при периодических качаниях в лучезапястном суставе человека.

В § 3.3 разработанный ранее пакет программ дополнен программами, позволяющими проводить численные эксперименты для колебаний моделей суставов. В качестве примера на рис. 9 приведены результаты численного эксперимента для колебаний модели лучезапястного сустава с частотой 5 Гц. Для сравнения на рис. 10 показаны экспериментальные записи ЭМГ двух мышц антагонистов. Начальными данными является состояние покоя (все мостики в разомкнутом состоянии п = т = р = 0 и у = VI =0) растянутой на 0.1 см первой мышцы (.х = 0.1 см, х\ = 0.05 см). После окончания активности первой мышцы в работу вступает мышца-антагонист с такими же начальными данными.

, 0.1с я

Рис. 9. Результаты расчета колебательных движений модели лучезапястного сустава.

Функция сигнала А({) = этЗСМ, т = 0.12 с, ет = 0.05 с (Л).

Экспериментальные кривые для периодических качаний в лучезапястном суставе с угловой амплитудой 6° и частотой порядка 5 Гц (Б)

Результаты данной главы опубликованы в работах [2, 3, 4].

В заключении сформулированы результаты диссертационной работы, выносимые на защиту, приведенные выше. Кроме того, перечислены выводы, которые были сделаны по результатам работы:

1. Предложенная схема переходов миозиновых мостиков из одного состояния в другое позволила впервые дать математическое описание выхода процесса сокращения мышцы на стационарный режим. Это под-

твсрждается численными экспериментами, которые продемонстрировали качественное согласование с экспериментальными результатами.

2. Предположения о принципах управления системой мышц антаго-истов при выполнении циклических движений с различными частотами были подтверждены в численных экспериментах на предложенной модели биомеханической системы мышц-антагонистов в суставе.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. К.А. Кликунова. Математическое моделирование переходного режима сокращения скелетной мышцы // Процессы управления и устойчивость: труды 37-й международной научной конференции аспирантов и студентов. СПб. 10 -13 апреля 2006 г. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2006. С. 216-220.

2. К.А. Кликунова. Моделирование системы мышц-антагонистов // Процессы управления и устойчивость: труды 38-й международной научной конференции аспирантов и студентов. СПб. 9-12 апреля 2007 г. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2007. С. 263-266.

3. V. P. Tregubov, V. V. Azanchevsky, A. Zarin, К. Klikunova. Mechanic? models of the intervertebral disk and cervical spine //Lecture notes of the ICB Seminar. Warsaw, 2007. P. 41-54.

4. К.А. Кликунова. Моделирование движений в лучезапястном суставе // Процессы управления и устойчивость: труды 39-й международной научной конференции аспирантов и студентов. СПб. 7-10 апреля 2008 г. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2008. С. 260-265.

5. К.А. Кликунова, В.П.Трегубов. Математическое моделирование переходных режимов мышечного сокращения //Вестник СПбГУ, серия 10 (Прикладная математика), вып. 3, 2008. С. 56-62.

6. V. P. Tregubov, К. Klikunova, V. V. Azanchevsky. Some peculiarities of the skeletal muscle modelling //Acta of Bioengincering and Biomechanics, Vol. 10, Supplement 1, 2008, Wroclaw, 2008. P. 30

Подписано к печати 09.09.2009. Формат бумаги 60 х 84 '/|6. Бумага офсетная. Печать ризографическая. Усл. печ. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ 4504. Отпечатано в отделе оперативной полиграфии Химического факультета СПбГУ. 198504, Санкт-Петербург, Петродворец, Университетский пр. 26.

Введение.:.

Глава 1. Теоретическое и экспериментальное обоснование математических моделей мышечного сокращения.

1.1. Описание процесса мышечного сокращения.

1.2. Экспериментальное обоснование математических моделей.

1.3. Уравнение Хилла.

1.4. Мостиковая теория мышечного сокращения.

1.5. Уравнения Дещеревского.

1.6. Моделирование биохимических процессов мышечной деятельности.

1.7. Механические модели мышц.

1.8. Постановка задачи.

Глава 2. Математическое моделирование мышечного сокращения.

2.1. Моделирование переходного режима.

2.2. Изотопическое сокращение предварительно растянутой мышцы.

2.3. Механическая модель мышцы.

2.4. Основные принципы управления мышцей со стороны нервной системы.

2.5. Программное обеспечение.

2.6. Результаты численных экспериментов.

Глава 3. Математическое моделирование системы мышц—антагонистов.

3.1. Механическая модель системы мышц-антагонистов.

3.2. Моделирование процесса управления системой мышц-антагонистов.

3.3. Моделирование режимов циклических движений

3.4. Результаты численных экспериментов.

Актуальность темы.

Мышечное сокращение является жизненно важной функцией организма. Все виды движения позвоночных осуществляются за счет скелетных мышц. Практически все движения человека являются циклическими и складываются из движения в суставах в противополжных направлениях. Такое движение в суставе есть результат группового взаимодействия мышц-антагонистов, т.е. мышц, действующих в противоположном направлении. Управление их согласованной работой осуществляется нервной системой с помощью последовательности электрических импульсов, приходящих в мьттпцу по нервным волокнам.

В экспериментальных работах ограничиваются лабораторным изучением процесса сокращения изолированной мышцы, т.е. мышцы, изъятой из организма и лишенной управления со стороны нервной системы. Более того изучаются лишь частные, далекие от естественных виды сокращения мышцы, такие как возбуждение мышцы при постоянной, фиксированной ее длине, сокращение мышцы при постоянной внешней нагрузке, при скачкообразном изменении длины. Это так называемые тестовые режимы сокращения. Поэтому важно расширить теоретические представления о процессе мышечного сокращения таким образом, чтобы появилась возможность описания работы мышцы в естественных условиях. При продвижении по этому пути наиболее эффективным инструментом зарекомендовали себя математические модели сокращения.

Цель диссертационной работы:

Разработать математическую модель системы мышц - ан-тагоиистов, описывающую ее работу при выполнении циклических движений в суставе.

Эта модель должна, с одной стороны, соответствовать современным представлениям о механических процессах, происходящих в мышце па микроуровне, а с другой стороны, адекватно описывать работу мышц на макроуровне при выполнении циклических движений в суставе.

Для достижения данной цели, были поставлены следующие задачи:

1) построить математическую модель сократительной компоненты скелетной мышцы на микроуровне, позволяющую описывать переход от укорочения мышцы к удлинению и обратно. Разработать для этого новую схему работы основных генераторов мышечной силы — миозиновых мостиков;

2) на основе математической модели сократительной компоненты построить механическую модель целой мышцы и модель управления мышцей со стороны нервной системы;

3) построить математическую модель биомеханической системы из двух костных элементов с двумя мышцами - антагонистами, способную совершать циклические движения, включая алгоритм управления со стороны нервной системы;

4) разработать комплекс программ, реализующих предложенные модели и алгоритмы управления системой мышц - антагонистов и позволяющих проводить численные эксперименты.

Основные положения, выносимые на защиту:

1) модель процесса перехода миозиновых мостиков из одного состояния в другое;

2) модель скелетной мышцы, связывающая молекулярные механизмы мышечного сокращения с вязкоупругими свойствами мышцы;

3) модель биомеханической системы мышц-антагонистов в суставе;

4) алгоритм управления системой мышц-антагопистов при выполнении циклических движений в суставе;

5) комплекс программ для проведения численных экспериментов с использованием предложенных моделей.

Научная новизна представленных в работе результатов заключается в том, что разработанная математическая модель скелетной мышцы впервые позволила описать нестационарные режимы сокращения, включая смену знака скорости сокращения. С этой целью была разработана новая схема переходов миозиновых мостиков — генераторов силы на микроуровне — из одного состояния в другое. Наличие такой модели скелетной мышцы впервые позволило описать работу системы мышц - антагонистов, включая управление со стороны нервной системы. В результате появилась возможность моделировать не только лабораторные эксперименты на изолированной мышце, но и естественные движения в суставах человека.

Теоретическая значимость полученных результатов заключается в том, что они развивают теорию математического моделирования мышечного сокращения па микроуровне, что позволяет связать эти процессы с наблюдаемыми явлениями на макроуровне.

Практическая значимость полученных результатов состоит в том, что появился инструмент, с помощью которого можно проверять гипотезы о механизмах мышечного сокращения и управления со стороны нервной системы. Предложенные математические модели, реализованные в комплексе компьютерных программ, дают возможность оценки эффективности работы мышц, обеспечивающих движения в суставах, как в норме, так и при патологиях опорно-двигательного аппарата.

Достоверность полученных результатов подтверждается способностью модели мышцы воспроизводить результаты экспериментальных исследований изолированной мышцы в тестовых режимах, а также качественным согласованием численных экспримнетов для системы мышц-антагонистов с натурными исследованиями колебательного движения лучезапястпого и локтевого суставов человека. Работа выполнена с использованием традиционного математического аппарата и применением современного программного обеспечения.

Результаты исследований прошли апробацию на

• Международном конгрессе Польского сообщества биомеханики (Вроцлав, 2008);

• семинаре Международного центра биокибернетики Advanced Research Methods of Biomechanics (Варшава, 2007);

• научных конференциях "Процессы управления и устойчивость" факультета прикладной математики- процессов управления Санкт - Петербургского государственного университета (С.-Петербург, 2006, 2007 и 2008 гг.);

• семинарах кафедры моделирования электромеханических и компьютерных систем факультета прикладной математики - процессов управления.

Публикации. По материалам диссертации опубликованы шесть работ, одна из которых в издании, входящем в перечень ВАК рецензируемых научных журналов [57].

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы; она включает 92 листа машинописного текста, список цитируемой литературы состоит из 64 наименований.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Подводя итог проделанной работы, перечислим результаты, выносимые на защиту:

1) Новая схема перехода миозиновых мостиков из одного состояния в другое, которая позволяет описывать возвратно-поступательные движения мышцы.

2) Математическая модель скелетной мышцы, сочетающая модель сократительной комнонеты, отражающую происходящие на микроуровне процессы, с вязкоупругими свойствами целой мышцы.

3) Алгоритм управления системой мышц-антагонистов при выполнении циклических движений в суставе.

4) Математическая модель биомеханической системы мышц-антагонистов в суставе, осуществляющих циклические движения (на примере локтевого и лучезапястпого суставов).

5) Комплекс программ по проведению численных экспериментов над предложенными моделями.

По результатам работы были сделаны следующие выводы:

1) Предложенная схема переходов миозиновых мостиков из одного состояния в другое позволила впервые дать математическое описание выхода процесса сокращения мышцы на стационарный режим. Это подтверждается численными экспериментами, которые продемонстрировали качественное согласование с экспериментальными результатами.

2) В численных экспериментах на предложенной модели биомеханической системы мышц-антагонистов в суставе были подтверждены предположения о принципах управления системой мышц-аптагонистов при выполнении циклических движений с различными частотами.

Научная новизна представленных в работе результатов заключается в том, что разработанная математическая модель скелетной мышцы впервые позволила описать нестационарные режимы сокращения, включая смену знака скорости сокращения. С этой целью была разработана новая схема переходов миозиновых мостиков - генераторов силы на микроуровне - из одного состояния в другое. Наличие такой модели скелетной мышцы впервые позволило описать работу системы мышц - антагонистов, включая управление со стороны нервной системы. В результате появилась возможность моделировать не только лабораторные эксперименты на изолированной мышце, но и естественные движения в суставах человека.

Теоретическая значимость полученных результатов заключается в том, что они развивают теорию математического моделирования мышечного сокращения на микроуровне, что позволяет связать эти процессы с наблюдаемыми явлениями на макроуровне.

Практическая значимость полученных результатов состоит в том, что появился инструмент, с помощью которого можно проверять гипотезы о механизмах мышечного сокращения и управления со стороны нервной системы. Предложенные математические модели, реализованные в комплексе компьютерных программ, дают возможность оценки эффективности работы мышц, обеспечивающих движения в суставах, как в норме, так и при патологиях опорпо-двигательного аппарата.

1. Айзерман М.А., Андреева Е.А. О некоторых простейших механизмах управления скелетными мышцами. в кн.: Исследование произвольного управления мышечной активностью — М.: Наука, 1970.— с. 5-49.

2. Айзерман М.А., Андреева Е.А. Механизмы управления мышечной активностью: Норма и паталогия — М.: Наука, 1974. 166 с.

3. Арушанян О.Б., Залеткин С.Ф. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений на Фортране — М.:Изд-во МГУ, 1990 336 с.4j Бэгшоу К. Мышечное сокращение. — М., Мир, 1985. — 159 с.

4. Гурфипкель B.C., Левик Ю.С. Скелетная мышца. Структура и функция. — М., Наука, 1985. — 144 с.

5. Иванов В.В. Методы вычислений на ЭВМ: Справочное пособие. — Киев, Издательство "Наукова думка 1986. — 584 с.

6. Дещеревский В.И. Математические модели мышечного сокращения — М., Наука, 1977. — 160 с.

7. Кликунова К.А. Моделирование системы мышц-антагонистов // Процессы управления и устойчивость: труды 38-й международной научной конференции аспирантов и студентов. СПб. 9-12 апреля 2007 г. — СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2007. С. 263-266.

8. Кликунова К.А. Моделирование движений в лучезапяст-ном суставе // Процессы управления и устойчивость: труды 39-й международной научной конференции аспирантов и студентов. СПб. 7-10 апреля 2008 г.— СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2008. С. 260-265.

9. Кликунова К.А., Трегубов В.П. Математическое моделирование переходных режимов мышечного сокращения //Вестник СПбГУ, серия 10 (Прикладная математика), вып. 3, 2008. С. 56-62.

10. Козаров Д., Шапков Ю.Т. Двигательные единицы скелетных мышц человека. — JI: Паука, 1983. — 252 с.

11. Новоселов B.C. Статистические модели механики — СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та , 1999. 200 с.

12. Новоселов B.C. Статистические модели нейродинамики — СПб.: Изд-во физического факультета СПбГУ, 2004. — 64 с.

13. Новоселов B.C., Королев B.C. Модель возбуждения мышцы // Труды 4-й меджународной конференции "Идентификация сситем и проблемы управления—М, 2005. — с. 367-374.

14. Соколов Г. Б. Математическое моделирование работы мышц-антагонистов // Тезисы докладов 5-й Всероссийской конференции по биомеханике — 2000. — с. 56.

15. Соколов Г. Б. Математическое моделирование попеременного движения скелетных мышц // Тезисы докладов 4-й Всероссийской конференции по биомеханике — 1998. — с.78.

16. Трегубов В. П., Соколов Г.,Соколов А., Король И.,Григорьева Н. Модельное исследование биологической подвижности // Тезисы докладов 5-й Всероссийской конференции по биомеханике — 2000. — с. 25.

17. Хилл А., Механика мышечного сокращения. — М., Мир — 1972.

18. Филиппов Б.В. Математическая модель мышечных усилий // Физическая механика, 1998. — Вып. 7. — с. 136-156.

19. Филиппов Б.В. Усилия и энергетические затраты в поперечнополосатых мышцах // Вестник СПбГУ. Сер. 1, 2000. -Вып. 40 25). с. 86-91, Сер. 1, 2001. -Вып. 1(№ 1). -с. 113-132.

20. Черноус Д.А., С.В. Шилько. Феноменологическая модель мышцы как активного композита // Механика композитных материалов. — Т.42. — № 5. — 2006

21. Черноус Д. А., Шилько С.В. Моделирование сократительной активности мышечной ткани // Российский журнал биомеханики,- Т. 10.— № 3,— 2006,- с. 53-62

22. Шестаков Д.А., Цатурян А.К., Математическая модель механических свойств волокон скелетной мышцы с учетом растяжимости актиновых нитей // Биофизика. — 1998.— т. 43 № 2,- с. 329-334.

23. Baker J.E., Thomas D.D. A thermodynamic muscle model and chemical basis for A.V. Hill's equation // Journal of Muscle Research and Cell Motility. — Vol.21.— 2000. — pp. 335-344.

24. Chaplain R. A., Frommelt B. A., A mathematical model for muscular contraction. I, The rate of energy liberation at steady state velocities of shortening and lengthening // J. Mechanochem. Cell Motility.— 1971.— Vol. 1- N 1. — pp. 41-56.

25. Deshcherevsky V. I., A kinetic thoery of sriated muscle contraction // Biorheology.— 1971. — Vol. 7. — pp.147-170.

26. Fenn W.O., Marsh B.S. //J.Physiol, 1935.- vol. 85,- p.277.

27. Gordon A. M., Huxley A. F., Julian F. J., The variation in isometric tension with sarcomere length in vertebrate muscle fibres // J. Physiol., 1966. Vol. 184. - N 1. - pp.170-192.

28. Guo W.-S., Luo L.-F., Li Q.-J. A chemical kinetic theory on contraction and spontaneous oscillation // Chemical Physics Letters 363. 2002,- pp. 471-478.

29. Henneman E.,Functional organization of motoneuron pools: the size principle // Proc. Intern. Congr. Paris — 1977.— Vol. 12. p.50.

30. Hill A. V., The effect of load on the heat of shortening of muscle // Proc. Roy. Soc.- 1964. B159. - N975,- pp.297324.

31. Hill A. V., The heat of shortening and the dynamic constant of muscle // Proc. Roy. Soc. 1938. - B126. - pp. 136-195.

32. Huxley A. F., Muscle structure and theories of contraction // Progr. Biophys. and Biophys. Chem. — 1957. — Vol. 7. — pp.255-318.

33. Huxley A.F., A note suggested that the cross-bridge attachement during muscle contraction may take place in two states, Proc. 1973.— R. Soc. Lond. ser. B. - Vol. 183. — pp. 83-86.

34. Huxley A.F., Cross-bridge action: present views, prospects and unknowns // Journal of Biomechanics, — 2000. — Vol. 33. pp. 1189-1195.

35. Huxley A.P., Simmons R.M., Proposed mechanism of force generation in striated mucle j j Nature. — 1971. — Vol. 233.- pp. 533-538.

36. Huxley A.F., Tisdwell S. // J. Muscle Res. Cell Motil. 1996.- Vol. 17. pp. 507-511.

37. Huxley H.E., Kress M., Crossbridge behavior during muscle contraction // J. Of Muscle Research and Cell motility, 1985, Vol.6, pp. 153-161.

38. Jaric S., Changes in movements symmetry associated with strengthening and fatigue of agonist and antagonist muscles // Journal of Motor Behavior. 2000. - Vol. 32. — No. 1.- pp. 9-15.

39. Jewell B.R. and Wilkie D.K., Mechanical components in muscle // J.Physiol. 1958.

40. Julian F.J., Sollins K.R., Sollins M.R., A model for the transient and steady-state mechanical behavior of contracting muscle // Biophysical Journal. — Vol. 14. — 1974. — pp. 546562.

41. Shapiro M. В., Prodoehl J., Muscle activation is different when the same muscles acts as an agonist or an antagonist during voluntary movement // Journal of Motor Behavior. — 2005. Vol. 37. - No. 2. - pp. 135-145.

42. Skubiszak L., New insight into the structural aspect of muscle contraction. Thesis, Instytutu Biocybernetyki, Warsaw. — 2004. p.854.

43. Soncini M., Redaelli A., Montevecchi F. M., Myosin head mechanism performance under different conformational change mechanisms // Journal of Biomechanics. — 2004. — Vol. 3. pp. 1031-1041.

44. Stern J. T: Computer modelling of gross muscle dynamics // J. Biomech.- 1974. Vol.7. - pp. 441-428.

45. Thomas N., Thornhill R.A., Stretch activation and nonlinear elastic of muscle cross-bridges // Biophysical Journal. — 1996. Vol. 70. - pp. 2807-2818.

46. Thomas N., Thornhill R.A., The physics of biological molecular motors // J.Phys.D: Appl. Phys. — 1998. — Vol.31.- pp. 253-266.

47. Tregubov V. P., Azanchevsky V. V., Zarin A., Klikunova K., Mechanical models of the intervertebral disk and cervical spine //Lecture notes of the ICB Seminar.— Warsaw, 2007.- P. 41-54.

48. Tregubov V. P., Klikunova K., Azanchevsky V. V., Some peculiarities of the skeletal muscle modelling //Acta of Bioengineering and Biomechanics.— Vol. 10.— Supplement 1.- 2008, Wroclaw, 2008. P. 30

49. Tregoubov V., SokolofT G., Baranov V. Kinetic theory and mechanical models of skeletal muscle // Lecture Notes of ICB Seminars, 2000, pp. 127-144.

50. Tregoubov V.P., G.B.Sokoloff. Mathematical modelling of muscle work under unexpected change of motion direction // Abstr. of Int. Syrrip. "HYPOTHESIS IlPSt. Petersb.- 1999.- pp. 144-145.

51. Vilfan A., Elastic lever-arm model for myosin v // Biophysical Journal. 2005. - Vol. 88. - pp. 3792-3805.

52. Wexler A.S., Ding J., Binder-Macleod S.A., A mathematical model that predicts skeletal muscle force // IEEE Transaction on Biomedical Engineering. — Vol.44. — No.5. — may 1997.- pp. 337-348.

53. Zahalak G. I., A distribution-moment approximation for kinetic theories of muscular contraction // Mathem. Biosc.- Vol 52. pp.89-114.