автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Математическое моделирование трехмерного сверхзвукового вязкого обтекания тел типа волнолетов

На правах рукописи

РГБ ОД

Щепановская Галина Ивановна ^ %

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТРЕХМЕРНОГО СВЕРХЗВУКОВОГО ВЯЗКОГО ОБТЕКАНИЯ ТЕЛ ТИПА ВОЛНОЛЕТОВ

05.13.16 - применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях

(в механике)

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Красноярск - 2000

Работа выполнена в Институте вычислительного моделирования СО РАН.

Научный руководитель: член-корреспондент РАН В.В.Шайдуров

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор В.М.Белолипецкий

сов на заседании диссертационного совета К 064.54.01 при Красноярском государственном техническом университете по адресу: 660074, г.Красноярск ул. Киренского, 26.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Красноярского государственного технического университета.

Автореферат разослан * & " 2000 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета ) I

кандидат технических наук ¿^¡лл/и^Г Н.Г.Кузьменко

кандидат физико-математических наук, профессор В.Е.Распопов

Ведущая организация: Институт вычислительных технологий

СО РАН, г. Новосибирск

Защита диссертации состоится

Л 9/Га т

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. Расчет сверхзвукового обтекания трехмерного тела представляет собой сложную и актуальную задачу. Многомерность задачи, принципиальная нелинейность для гиперзвукопых течений ставят ее в ряд достаточно трудных проблем для исследования. В последнее время в конструировании высокоскоростных летательных аппаратов и их элементов получили развитие методы, в которых аэродинамические поверхности выстраиваются по поверхностям тока известных невязких сверхзвуковых течений. Используются обычно простые решения, определяемые аналитически или численно. Комбинирование областей простых течений позволяет получать тела, удовлетворяющие разнообразным требованиям, предъявляемым к летательным аппаратам. Это направление включает построение волнолетов - объемных несущих конфигураций, передние кромки которых лежат на поверхности скачка известной формы. Трехмерное обтекание при газодинамическом конструировании находится с высокой точностью, с учетом нелинейных свойств течения. Среди получаемых предложенным способом обтекаемых поверхностей имеются такие, что ограниченные ими тела по форме близки к предполагаемым конфигурациям летательных аппаратов, других объектов или их отдельных частей (В.М.Борисов, А.Л.Гонор, Ю.П.Гунько, Б.И.Гутов, В.В.Затолока, В.В.Келдыш, И.Д.Коул, Д.Кюхеман, В.А.Левин, И.И.Мажуль, Г.И.Май-капар, Н.А.Остапенко, Г.Г.Черный, А.И.Швец, В.А.Щепановскнй).

Исследования Т.Нонвейлером волнолетов показали, что при некоторых условиях они могут обладать более высоким аэродинамическим качеством по сравнению с другими формами тел. Эти результаты стимулировали интерес к изучению особенностей таких конфигураций. Впервые точное решение было получено Г.И.Майкапаром для построения конических тел со звездообразным поперечным сечением. Конфигурации со звездообразным поперечным сечением и плоскими боковыми гранями (тела типа волнолетов) обладают меньшим волновым сопротивлением по сравнению с эквивалентными по длине и объему телами вращения, а при определенных условиях имеют и меньшее полное сопротивление. Полное аэродинамическое сопротивление складывается из сопротивления трения, волнового и донного сопротивления. Звездообразное тело имеет большую площадь омываемой поверхности и острые кромки, на которых местный

о

коэффициент напряжения трения имеет особенность. Для таких форм необходимо рассчитывать сопротивление трения с такой же точностью, что и волновое, поскольку они могут быть одного порядка.

Эффективным методом исследования сложных многопараметрических процессов является математическое моделирование и вычислительный эксперимент. Создание математических моделей, численных алгоритмов и программ на ЭВМ является актуальной задачей для проведения вычислительного эксперимента по определению геометрических и динамических параметров, для которых рассматриваемые тела обладают меиь-шим сопротивлением в сравнении с эквивалентным конусом.

Цель работы - разработка математической модели и прикладных программ для исследования трехмерного сверхзвукового вязкого обтекания тел типа волнолетов и оценки эффективности новых конфигураций.

Научная новизна определяется следующими результатами. Разработана математическая модель трехмерного сверхзвукового вязкого обтекания тел типа волнолетов. Построен алгоритм для исследования влияния ударного слоя на вязкое сопротивление трехмерных конфигураций с большой протяженностью передних кромок. Учтен эффект влияния толщины вытеснения на волновое сопротивление. Создано математическое и программное обеспечение для расчета полного сопротивления тел типа волнолетов.

Результаты, выносимые на защиту:

1. Разработана математическая модель трехмерного сверхзвукового вязкого обтекания тел типа волнолетов. Относительная простота теоретического описания газодинамических полей, которые определяются этой моделью, позволяет сформулировать и довести ряд сложных комплексных задач до количественных результатов с приемлемыми затратами подготовительного труда и машинного времени.

2. Разработан алгоритм для исследования влияния ударного слоя на вязкое сопротивление трехмерных конфигураций с большой протяженностью передних кромок. "Учтен эффект влияния толщины вытеснения на волновое сопротивление.

3. Создано математическое и программное обеспечение, предназначенное для расчета полного сопротивления тел типа волнолетов. Проведено сравнение полученных результатов с эквивалентным конусом и экс-

периментальными данными.

Практическая ценность. Практический результат разработанных численных алгоритмов и компьютерных программ заключается в том, что волнолеты могут быть использованы как схемы для построения форм новых летательных аппаратов, обтекание которых на расчетном режиме известно и может выбираться в соответствии с их назначенцем. Предложенная математическая модель требует для решения задач небольших затрат подготовительного труда и машинного времени. Разработанные в диссертации компьютерные программы представляют практический интерес для определения поверхности, на которой равны сопротивления звез-дообразиош тела и эквивалента. В пространстве параметров, определяющих конфигурацию, найдено семейство волнолетов, оптимальных в смысле наименьшего сопротивления. Достоверность результатов исследований подтверждается сравнением с аналитическими решениями, расчетами других авторов и экспериментальными данными.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на следующих совещаниях и конференциях: VI, VII, VIII, IX Всесоюзных школах - семинарах "Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов решения задач математической физики (Горький, 1986, Кемерово, 1988, Москва, 1990, 1992); XI, XII Всесоюзных школах по численным методам механики вязкой жидкости (Свердловск, 1988, Новосибирск, 1990); XVIII, XXI Гагаринских чтениях (Москва, 1988,1991); V Всесоюзной школе - семинаре "Современные проблемы механики жидкости и газа" (Иркутск, 1990); Третьем советско - японском симпозиуме по вычислительной аэрогидродинамике (Владивосток, 1992); Международном Аэрокосмическом конгрессе (Москва, 1994); Международной конференции "Исследования гиперзвуковых течений и гиперзвуковые технологии" (Жуковский, 1994); Школе - семинаре по численным методам механики вязкой жидкости (Новосибирск, 1992,1994,1996); Международной конференции "Математические модели и численные методы механики сплошных сред" (Новосибирск, 1991, 1996), а также на семинарах и конференциях в ИВМ СО РАН.

По теме диссертации опубликовано 33 работы.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы и приложения. 06-

щий объем диссертации составляет 136 страниц. Библиография содержит 110 наименований. Работа содержит рисунки и 7 таблиц в приложении.

Содержание работы.

Во введении обоснована актуальность темы, сформулированы цели и задачи исследований, отмечена, научная новизна и практическая ценность полученных результатов.

Первая глава представляет математические модели газодинамических трехмерных течений, которые используются в работе как для построения решения, так и для проведения коррекции результатов с учетом реальных свойств газа. Даны основные понятия и определения математической модели газа как сплошной среды. В газодинамическом конструировании большое значение имеют линии тока, для которых выписана система уравнений. Выписаны интегральные законы сохранения массы, импульса, энергии. Система уравнений дополнена уравнением состояния Клапейрона для идеального газа. При термодинамическом рассмотрении используются два параметра: абсолютная температура и удельная (отнесенная к единице массы) энтропия. Модель политропного газа, когда внутренняя энергия линейно зависит от температуры, получила широкое распространение в прикладных исследованиях. Если энтропия постоянна, то процесс называется адиабатическим и энтропийная функция предста-вима в виде соотношения, которое называется адиабатой Пуассона. При натекании сверхзвукового потока на препятствие в течении возникают поверхности разрыва (ударные волны), при прохождении газа через которые давление, температура, скорость, плотность и энтропия скачкообразно меняются. Рассмотрены соотношения на прямом и косом скачке уплотнения. Приведена система дифференциальных уравнений идеального газа в декартовых координатах. Определены основные критерии подобия вязкого газа: критерий Рейнольдса Не, критерий Маха М, критерий Прандтля Рг. При больших числах Рейнольдса падение касательной составляющей скорости до нуля (тело неподвижно) происходит в тонком пристеночном слое, носящем название пограничного. Рассмотрены течения в пограничном слое как в случае ламинарного характера течения, так и турбулентного.

Вторая глава посвящена построению решения для внешнего невязкого обтекания. Пространственные уравнения идеального нетеплопроводного невязкого газа в декартовой системе координат х,у, z имеют вид:

д(ргг -Ь р)/дх + d(puv)/dy -f d(puw)/dz = О,

d{puv)¡dx + d(pv2 + р)/ду d(pviv)/dz = 0,

d[puw)¡dx + d(pvu>)/dy + d(pw~ + p)/dz = 0,

д{ри)/дх + d(pv) fdy + d(pw) fdz = 0,

д(р -f е)и[дх + d(p + e)v/dy + d(p + e)w/dz — 0.

Здесь p - плотность; p - давление; u,v,w - проекции вектора скорости на соответствующие осп; е = р[е + (и1 + ir -f ги~)/2\ - полная энергия единицы объема. Замыкает систем)' уравненпе состояния е = s(p,p) ~ внутренняя энергия.

Метод газодинамического конструирования заключается в том, что двумерное решение и/.- = «¿(аьЛз), = Р<Р<---<е< рассматривается

как частное решение в трехмерном пространстве. Любая линия, тока может быть принята в невязком газе за твердую обтекаемую поверхность. Будем считать известным решение Ufe = «¡,.(0:1,02), зависящее от двух инвариантных переменных и задающее соответствующие газодинамические параметры в потоке за головным скачком уплотнения, который определен соотношением «i = Г(е*2)• В случае плоской симметрии инвариантные переменные связаны с декартовой системой координат: ai = х, a2 = у, аз = z. Семейство линий тока определяется обыкновенным дифференциальным уравнением da\/da-2 = F(»i,ao), где правая часть уравнения - известная функция. Решение уравнения можно записать в виде ai = /i(c*2, с), где с - постоянная интегрирования. Равномерный набегающий поток направлен по оси ординат. Линия, определяющая положение и форму передней острой кромки, лежит на фронте головного скачка уплотнения и представлена как пересечение двух поверхностей в пространстве инвариантных переменных: ai = Г(аз), »2 = /2(аз), где ~ произвольная однозначная функция. Уравнение поверхности тока течения представляется в форме ai = fi (ао, с(а3)). Функция с(а3) находится из условия прохождения поверхности тока через переднюю кромку. В результате получаем уравнение Г[/з(а3)] = Д[/2(аз)1 с], реше-

ние которого определяет для каждого значения q-з линию тока, выпущенную из линии пересечения двух поверхностей; то есть линии тока разносятся по пространству специальным образом. Уравнение второй поверхности тока определяется линейчатой поверхностью а 2 = /2(03)1 которая проходит через переднюю кромку и не вносит возмущения в равномерный набегающий поток. Окончательно получаем трехмерное тело, ограниченное поверхностями: <*i = /i[a2,c(ü3)], а2 = /2(03). Головная волна присоединена по острой передней кромке, поэтому взаимодействия течений на поверхностях не происходит. На /2 реализуется невозмущенное течение, a fi вносит возмущения специальным образом. Головной скачок определен, а течение за ним в окрестности fx описывается известным решением для и*.

Применяя формальную процедуру построения трехмерной поверхности к простейшему плоскому течению около острого клина с присоединенной плоской ударной волной, получим положение ударной волны х — j/ctg <г, где а - угол наклона скачка к направлению скорости потока перед скачком. Скорость направлена по оси ординат. Дифференциальное уравнение линий тока сверхзвукового течения за скачком принимает вид dx/dy = ctg rf, где S - угол разворота потока на ударной волне, определяемый соотношением на косом скачке уплотнения. Решение уравнения для c(z) с учетом структуры инвариантного течения можно получить непосредственно: с = (ctg ст —ctg <5) /2 (^) - В результате получим твердое тело, ограниченное поверхностями, составленными из линии тока:

x = yctg6+{ctg<r-ctg6)f7(z) = /i(y,z), y = /2(r).

При построении тела имеем лишь головную часть обтекаемых тел. В рассмотренном примере донным срезом со сверхзвуковыми кромками может служить х — const. Если взять в качестве функции, определяющей форму передних кромок, линейную /2 = {ztg7, z > 0; — 2tg7, z ф Q] и ограничить тело донным срезом, получим {/-образное крыло (волнолет). Форма звездообразного тела с лучевой структурой поперечного сечения получается, если V-образное крыло повернуть п раз на угол, кратный полному обороту ап = 2ж/п, где га - целое число. Процедура дополнения просто реализуется математически и получаем звездообразную конфигурацию, сконструированную,на постоянном сверхзвуковом решении за плоской ударной волной. "

Для модельной конфигурации с плоскими боковыми гранями вводятся определяющие параметры: D - диаметр эквивалентного конуса; п - число лучей звезды; Л - удлинение, отношение длины звезды от носка до миделевого сечения к диаметру эквивалентного конуса; г - отношение диаметра вписанного в звезду конуса к эквиваленту. Угол стреловидности передних кромок к направлению полета определяется Ф = arcct.g ((2rAsin an)jan), угол наклона, внутреннего ребра к направлению полета: а = arctg(r/2A) = arctg где £ - относительная толщина волнолета, а ( = ctg<r. Тогда давление на обтекаемой поверхности для заданного числа Маха М^ определяется соотношением

Pi Ч 2

kpcoul (К КМ?,' где к - показатель адиабаты, а С - решение уравнения

С3 (i + с2 + (1 - ML)C + í (i + ^м*,) = о-

Уравнение имеет три корня: слабое решение, соответствующее сверхзвуковой скорости за скачком, сильное решение - дозвуковая скорость за скачком, третий корень соответствует физически нереальному скачку разрежения конечной интенсивности.

Третья глава освещает основные положения математического моделирования вязкого течения. Вопрос соотношения волнового сопротивления, определяемого интенсивностью ударных волн, и вязкого сопротивления, обусловленного трением, при больших числах Маха полета практически всегда решается в пользу волнового. Обычно сопротивление трения достаточно только оценить, поскольку оно составляет небольшую часть от полного сопротивления. Для пространственных конфигураций со сложной формой поперечного сечения площадь омываемой поверхности может быть достаточно большой и сопротивление трения становится сравнимым с волновым или может превышать его. Волнолеты с плоскими боковыми гранями имеют острые кромки, на которых местный коэффициент напряжения трения имеет особенность, что также может давать большую погрешность. Учет локальной структуры пограничного слоя на поверхности звездообразной конфигурации с плоскими боковыми гранями и вйияния острых кромок на вязкое сопротивление возможен на основе задачи обтекания плоской пластинки вязким газом .

При постановке задачи для уравнений пограничного слоя па внешней границе течения необходимо задание газодинамических параметров. В соответствии с принятой моделью из соотношений на косом скачке уплотнения находим рапределения для плотности, температуры и скорости

* - сп^о**'

Г - - (к - 1)(1 + С2Щ(« ~ 1)М£, + 2(1 + С2))

(к+ 1Щ1+ (*)№„

с

с+с

Здесь р, Т, М - плотность, температура, число Маха; величины с индексом оо относятся к параметрам невозмущенного потока перед ударной волной; индексом 1 обозначены соответствующие величины на обтекаемой поверхности.

Звездообразная конфигурация состоит из набора плоских треугольников. Предположим, что каждая такая грань обтекается как пластинка со скошенной передней кромкой сверхзвуковым потоком со скоростью щ в направлении внутреннего ребра. На поверхности вводятся локальные координаты: х' направлена по щ; у - ортогонально плоскости по нормали к поверхности. В дальнейшем штрихи опустим. Грань лепестка разбивается поперек на элементарные полоски шириной dzi. При отсутствии взаимодействия между полосками ламинарный пограничный слой ¿-й полосы описывается уравнениями

ди ди dpi 1 дх РV ду дх

»и си ujji д ( ди\

дв дв \ д ( 09\ к-1/. 1\ д />иди\

рии+рютУ = р?а» +—(1-ъ)да[-лва)>

р = рх = рЯ Г, М = Мо(Т/То)т,

к к

где и, V - составляющие вектора скорости на оси х,у; ц - динамический коэффициент вязкости; /хо, Го - соответствующие параметры адиабатически заторможенного потока; Я - газовая постоянная. Число Прандтля

определяется через коофициенты теплоемкости ср и теплопроводности су: Рг = цср/су. Краевые условия на обтекаемой поверхности для скоростей и температуры имеют вид и = V = 0, дТ/ду = 0 в предположении, что грань теплоизолирована,и и ~ и\,Т = Т\ в бесконечном удалении от поверхности. Величины с индексом 1 определены решением невязкой задачи. В дальнейшем решение сформулированной задачи используется для единичного числа Прандтля. В работе рассматривается и турбулентный характер течения в пограничном слое. Ниже приводятся выражения для напряжения трения в зависимости от продольной координаты 1-ой полосы одновременно и для ламинарного (к = 2), и для турбулентного течения (к = 5) г„, = 0.5/>11(^.4и.11е^1/'\ Здесь 11ех = [(р1«1)/М13'(ж-аг) - местное число Рейнольдса для полосы с номером г, а,- - абсцисса начала полосы. Длина г-ой полосы определяется = 6; — а;, где а,-, 6,- - координаты соответственно начала и конца полосы. Если ввести площадь треугольника 5] = ЗП~ и длину внутреннего ребра конфигурации а = то для Ц - получается формула /,■ = 6,—а, = {23\(а—Сопротивление трения ¿-ой полосы определяется интегрированием выражения для местного напряженна трения по длине г-ой полосы шириной йг:

А> = еЦ^и'Ли _1А /(* ~ ЧУ1'"**.

а,

Вязкое сопротивление всей поверхности одной грани находится интегрированием по г

у 1 2, /Р1 иЛ~11к к а2 2Т(2Б1 у1'1'" ,

о

Боковая поверхность всей конфигурации состоит из 2п одинаковых треугольников и равна 5 = 2п51. Учитывая связь скорости звука и температуры для коэффициента вязкого сопротивления, получим

С/ = 12га?с =л1кА,к\-^(1+ег1/2кт

ЪРоог&Вм (2К - 1)(к - 1)

где Re¿> = paj u^D/цс<1 - число Рейнольдса, вычисленное по параметрам невозмущенного течения, а в качестве линейного размера взят диаметр эквивалентного конуса. Влияние ударного слоя на вязкое сопротивление волнолета учитывает коэффициент

к-1 air-i а(Я-ч)-!

=(£)* (£) ш . •

Вязкое обтекание грани звездообразной конфигурации происходит не набегающим потоком, а течением за головной ударной волной, возникающей в невязком потоке.

Результаты параметрических расчетов показали, что для тонких форм увеличение числа лепестков приводит к значительному росту сопротивления, для толстых конфигураций многолепестковые тела в смысле сопротивления трения проявляются значительно слабее. Так при турбулентном обтекании тела единичной длины при г = 0.2 увеличение числа лучей с 4 до 8 приводит почти к удвоению сопротивления трения, а при г = 0.6 сопротивление увеличивается только на 35%. Для толстых форм (£ = 0.3) значение коэффициента сопротивления трения при М^ = 2 отличается от значения cj при М^ = 6 более чем на половину в меньшую сторону. Для тонкой конфигурации (£ = 0.06) почти на половину в большую сторону.

В конце главы выписано уравнение толщины вытеснения пограничного слоя. Метод определения основан на том, что для плоской пластины толщина вытеснения в направлении нормали к обтекаемой поверхности известна, а толщина вытеснения для симметричного двугранного угла ищется как линия пересечения толщин вытеснения плоских граней угла. Использовано предположение, что искомая величина в проекции на нормаль будет давать известную величину из решения задачи обтекания плоской пластины. Эффективная толщина тела представляет собой сумму толщины твердого тела и толщины вытеснения; обезразмеривая полученную величину к длине модели, имеем — С + £*/Л. На основе полученных результатов можно прийти к выводу, что с увеличением числа лепестков звездообразной конфигурации, то есть с уменьшением углового параметра ап, толщина вытеснения увеличивается; с увеличением толщины обтекаемого тела г толщина вытеснения уменьшается; с увеличением числа Рейнольдса толщина вытеснения уменьшается; с уменьшением чис-

ла Маха толщина вытеснения увеличивается.

Волновое сопротивление звездообразных конфигураций с учетом толщины вытеснения как волновое сопротивление для нового тела, толщина которого представляет собой эффективную или увеличенную толщину исходного тела. Далее анализировалось влияние толщины вытеснения на волновое сопротивление звездообразных конфигураций, при этом в некоторых случаях проводилось сравнение с волновым сопротивлением эквивалентного конуса. В итоге получено, что для большинства рассмотренных тел волновое сопротивление звезды с учетом толщины вытеснения меньше, чем волновое сопротивление эквивалентного конуса; исключение могут составлять толстые тела (г = 0.8, г = 0.7).

Четвертая глава содержит описание математического моделирования полного сопротивления волнолетов. Исследование тел звездобраз-ной формы показало большие возможности существенно пространственных форм в решении вопроса снижения аэродинамического сопротивления. При этом выигрыш в волновом сопротивлении определяется тем, что сильная головная ударная волна, возникающая перед телом вращения, заменяется системой более слабых скачков, образованных при обтекании лучевой структуры формы. Наоборот, вязкая составляющая сопротивления по сравнению с эквивалентным осесимметричным телом существенно больше. Полное сопротивление складывается из суммы волнового, вязкого и донного сопротивлений. В настоящей главе проведен параметрический анализ полного сопротивления. Для определения составляющей донного сопротивления используются эмпирические формулы и экспериментальные результаты.

Для тонких конфигураций £ < 0.05 зависимость полного сопротивления от величины удлинения тела имеет точку минимума. Пограничный слой, определяющий сопротивление трения, предполагался ламинарным, число Рейнольдса в расчетах равно 106 и вычислено по калибру эквивалента. Из расчета следует, что сопротивление при некотором значении удлинения имеет минимум. Проведенные расчеты позволяют оценить вклад сопротивления трения в полное сопротивление при ламинарном течении в пограничном слое при различных значениях определяющих параметров задачи. Показана относительная доля вязкого трения в полном сопротивлении. Коэффициент волнового сопротивления определяется величиной

относительной толщины и уменьшается с ростом удлинения. Коэффициент сопротивления трения наоборот имеет тенденцию к увеличению с ростом удлинения, поскольку растет относительная величина поверхности тела. Зависимость сопротивления от числа лучей поперечного сечения трехмерного тела носит линейный характер и при увеличении числа лепестков вдвое сопротивление может увеличиваться на 50%. Количественно получается, что сопротивление трения составляет более 5 -г 10% практически для всех рассматриваемых параметров в случае ламинарного течения в пограничном слое. Однако, диапазон, когда вязкое трение и волновое сопротивление сопоставимы и их общее влияние на характер поведения полного сопротивления является нетривиальным, смещается в сторону более толстых тел.

Проведен вычислительный эксперимент по сравнению с эквивалентным по длине и объему круговым конусом. Результат сравнения сопротивлений конуса и звездообразной конфигурации К — С£'/Сг, где -сопротивление конуса , а Сх - сопротивление звездообразного тела, в зависимости от удлинения показан на рис. 2. Поведение величины К в зависимости от скорости полета относится к отдельной форме, поскольку вдоль кривой геометрия тел фиксирована. Из расчетов следует, что при продвижении в область больших скоростей полета эффективность звездообразной формы тела перед осесимметричной конической формой увеличивается. При г = 0.3 имеется выигрыш в полном сопротивлении, поскольку в окрестности этого значения величина К достигает максимального значения.

Определена поверхность в пространстве определяющих параметров, которая разделяет его на две области. В одной области полное сопротивление волнолетов меньше сопротивления осесимметричного эквивалента, то есть поверхность является границей оптимальности звездообразных конфигураций по сравнению с эквивалентным круговым конусом. При условии равенства донных сопротивлений звездообразных конфигураций и их осесимметричных эквивалентов положение разделяющей поверхности

F(r, A,«,MTO,Re0) = 0

в пятимерном пространстве параметров не зависит от величины донного сопротивления. На рис.1 приведена поверхность, на которой Сх — Вол-нолеты, геометрия которых определяется параметрами, лежащими выше

этой поверхности, имеют сопротивление больше, чем эквивалентный конус. Для точек, лежащих ниже, - волнолеты эффективнее.

Звездообразные конфигурации появились в результате поиска поверхностей минимального сопротивления, в том числе в результате проведения весовых испытаний в аэродинамических трубах. Сравнение с экспериментом может дать ответ об адекватности предложенной модели. Сравнение расчетных данных с результатами экспериментальных исследований полного сопротивления проведено в зависимости от числа лепестков конфигурации. Из предложенной математической модели для полного сопротивления следует слабая зависимость от числа циклов. Аналогичный вывод следует из экспериментальных данных, где видно, что зависимость от числа лучей немонотонна и достаточно сложна. Для конкретных чисел Маха и Рейнольдса выявлены значения толщины и число циклов, при которых экспериментальные точки близки к расчетным значениям. Математическая модель достаточно хорошо описывает течение для значений определяющих параметров, близких к расчетным.

На рис. 2 приведено полное сопротивление в зависимости от удлинения конфигурации при п = 4 и г = 0.5. Штриховой линией показано расчетное сопротивление конуса, а кружками - Сопротивление конуса, найденное экспериментально при тех же условиях эксперимента, что и для звездообразной формы Reo = 3.3 • 106. Сплошной линией нанесены расчетные значения полного сопротивления при нулевом давлении на донном срезе. Пограничный слой предполагается ламинарным. Совпадение расчетных и экспериментальных данных удовлетворительное. Звездочкой на расчетных кривых показаны значения, соответствующие расчетному режиму обтекания при = 4, А = 2.32.

Выводы

1. Построено приближенное решение задачи обтекания идеальным газом тел типа волнолетов, имеющих лучевую структуру поперечного сечения и плоские боковые грани.

2. Предложен алгоритм расчета вязкого сопротивления трехмерных конфигураций с большой протяженностью передних кромок.

3. Разработано математическое и программное обеспечение для определения полного сопротивления тел типа волнолетов и проведено сравнение полученных результатов с экспериментальными данными.

4. В пространстве определяющих конфигурацию параметров найдена область форм, оптимальных в смысле полного наименьшего сопротивления. Определена поверхность, на которой сопротивления звездообразного тела и эквивалента равны.

Рис. 1. Поверхность, на которой сопротивления конуса и звездообразного тела равны. Мто = 4, 11ео = 106.

Рис. 2. Полное сопротивление в зависимости от удлинения конфигурации при п. = 4 п г = 0.5. M« = 4, Reo = 3.3 • 106.

Список публикаций по теме диссертации:

1. Бордюг В.А., Щепановская Г.И. Вязкое сопротивление звездообразных тел при сверхзвуковом обтекании. -Красноярск, 1983.-(Препринт / АН СССР. Сиб. отд-ние. ВЦ; N 3). -16 с.

2. Бордюг В.А., Щепановская Г.И. Влияние удлинения и числа лучей звездообразной конфигурации на сопротивление в сверхзвуковом потоке // Труды 1 Всесоюзного шк. - семинара по многомерным задачам механики сплошной среды. - Красноярск, 1983. - Деп. в ВИНИТИ, N 4623. - С. 84-91.

3. Щепановский В.А., Щепановская Г.И. Влияние ударного слоя на вязкое сопротивление звездообразных тел с плоскими боковыми гранями // ПМТФ. -1985. - N 4. -С. 105-112.

4. Щепановский В.А., Щепановская Г.И. Сопротивление звездообразных тел с плоскими боковыми гранями в сверхзвуковом потоке. -М., 1985. - Деп.в ВИНИТИ, N 7285. -53 с.

5. Щепановская Г.И. Сопротивление трения тел с плоскими боковыми гранями в сверхзвуковом потоке при турбулентном течении в пограничном слое // Математические модели и методы решения задач механики сплошной среды. -Красноярск: КГУ, 1986. - С. 3-10.

6. Щепановская Г.И. К расчету коэффициентов сопротивления трения тел с плоскими боковыми гранями в сверхзвуковом потоке при тур-булетном течении в пограничном слое // Моделирование в механике. - Новосибирск: ИТПМ СО РАН, 1989. - Т. 3(20). - N 5. -С. 156-160.

7. Щепановская Г.И. Простая модель для расчета сопротивления трения тел с лучевой структурой поперечного сечения // Модели и методы оптимизации сложных систем. - Красноярск: КГУ, 1990. -С. 148-153.

8. Щепановский В.А., Щепановская Г.И. Соотношение волнового и вязкого сопротивлений тел с невыпуклым поперечным сечением в сверхзвуковом потоке // Современные проблемы механики жидкости и газа. -Иркутск: ИрВЦ, 1990. -С.319-321.

9. Щепановский В.А., Щепановская Г.И. Газодинамическое конструирование точных решений трехмерных задач аэродинамики // Конструирование алгоритмов и решение задач математической физики. Под редакцией Г.П. Воскресенского и А.В. Забродина. - Москва: ИПМ им. М.В. Келдыша, 1991. - С. 204-208.

10. Shchepanovskaya G.I. and Shchepanovskii V. A. Calculations of waves and viscous drag of star-shaped bodies // Proceedings of the soviet-chinese symposium mathematical simulation and application software, edited by Yu.I.Shokin. -Novosibirsk: Institute of Computational Technologies Siberian Division of the USSR Academy of Sciences, 1991. -P. 81-86.

11. Щепановская Г.И. Численное решение уравнений пограничного слоя с разрывными условиями на внешней границе // Моделирование в механике сплошных сред. - Красноярск: КГУ, 1992. -С. 129-133.

12. Щепановская Г.И. Качественная перестройка вязкого сопротивления в зависимости от интенсивности ударного слоя // Моделирование в механике. - Новосибирск: ИТПМ СО РАН, 1992. - Т.6(23). - N4. - С. 63-69.

13. Щепановская Г.И. Соотношение вязкого и волнового сопротивлений для оптимальных пространственных форм // Вычислительные технологии. - Новосибирск: ИВТ СО РАН, 1993. -Т.2, N5. - С. 235-242.

14. Shchepanovskaya G.I. Exact solution in the neighbourhood of three -dimensional bodies with surface breaks at high speed viscous flow // Modelling, Measurement and Controll, B, AMSE Press. - 1993. - Vol.49, N 4. -P. 45-50.

15. Shchepanovskaya G.I. The informatical technology for solution of the viscous hypersonic problems // Research in hypersonic flows and hypersonic technologies. Papers presented at TsAGI's Workshop-school "Fluid Mechanics". -1994. -P. 31-33.

16. Shchepanovskii V.A., Shchepanovskaya G.I. Informational

structure solutions of three - dimensional equations of gas from assembly determinations of lesser order. Gas dynamic design. Possible applications

// AMSE Transactions "Scientific Siberian''', Series A, Numerical and Data Analysis. - 1994. - Vol.11. -P. 162-172.

17. Shchepanovskaya G.I. Using the models of exact partial solutions for the analysis of viscous resistance // Selected papers of 3-rd International Conference "Problems of Space, Time, Gravitation". - St.-Peterburg: Politechnika, 1995. - P. 280-284.

18. Shchepanovskii V.A. and Shchepanovskaya G.I. Gas dynamic design of the exact three - dimensional solution for vvaveriders // Proceedings of International Aerospace Congress. Theory, Applications, Technologies. -

M.: The Scientific - Technical Company 'Petrovka', -1995. - Vol.2. -P.

19. Shchepanovskii V.A. and Shchepanovskaya G.I. Three-dimensional solution for supersonic aerodynamics // International Journal of Computational Fluid Dynamics. - 1998. - Vol. 10. - P. 127-137.

20. Щепановский В.А., Щепановская Г.И. Газодинамическое конструирование в проблеме сопротивления. - Новосибирск: Наука. Сиб. предприятие РАН, 1998. - 216 с.

Работа частично поддержана грантом Российского фонда фундаментальных исследований №98-01-00704.

Подписано в печать 17.12.99

Формат 60 х 86 х 1/16 Усл. печ. л. 1. Тираж 100 экз. Отпечатано на ризографе ИВМ СО РАН 660036, Красноярск, Академгородок

66-68.

Соискатель:

Введение.

Глава 1. Математические модели газодинамических трехмерных течений

1.1. Основные определения и понятия.

1.2. Интегральные законы сохранения

1.3. Уравнение состояния

1.4. Дифференциальная модель идеального газа

1.5. Вязкая жидкость и газ

1.6. Ударные волны

Глава 2. Построение решения для внешнего невязкого обтекания

2.1. Основной алгоритм газодинамического конструирования для сверхзвуковых течений

2.2. Процедура наложения

2.3. Процедура дополнения

2.4. Конструирование звездообразных конфигураций

2.5. Информационная модель

Глава 3. Математическое моделирование вязкого течения.

3.1. Особенности вязкого обтекания

3.2. Постановка задачи обтекания вязким газом.

3.3. Влияние ударного слоя на вязкое сопротивление

3.4. Ламинарное течение в пограничном слое.

3.5. Турбулентное течение в пограничном слое.

3.6. Эффект толщины вытеснения

Глава 4. Математическое моделирование полного сопротивления

4.1. Донное сопротивление

4.2. Полное сопротивление.

4.3. Сравнение с эквивалентным конусом

4.4. Построение гиперповерхности

4.5. Сравнение с результатами экспериментов

Расчет сверхзвукового обтекания трехмерного тела представляет собой сложную и актуальную задачу. Многомерность задачи, принципиальная нелинейность для гиперзвуковых течений ставят ее в ряд достаточно трудных проблем для исследования.

В последнее время в конструировании высокоскоростных летательных аппаратов и их элементов получили развитие методы, в которых аэродинамические поверхности выстраиваются по поверхностям тока известных невязких сверхзвуковых течений. Используются обычно простые решения, определяемые аналитически или численно. Комбинирование областей простых течений позволяет получать тела, удовлетворяющие разнообразным требованиям, предъявляемым к летательным аппаратам. Это направление включает прежде всего построение волнолетов - объемных несущих конфигураций, передние кромки которых лежат на поверхности скачка известной формы. Впервые точное решение было получено в работе /45/ для построения конических тел со звездообразным поперечным сечением. При сверхзвуковых скоростях волновое сопротивление этих тел меньше по сравнению с эквивалентным по длине и объему круговым конусом /62, 64, 67/.

Исследования волнолетов Т.Нонвейлером показали, что при некоторых условиях они могут обладать более высоким аэродинамическим качеством по сравнению с другими формами тел. Эти результаты также стимулировали интерес к изучению особенностей таких конфигураций. Простейшие формы конических тел со звездообразным сечением (волнолеты) и многие другие, более сложные тела, полученные позднее при газодинамическом конструировании, представляли новый класс аэродинамических форм, обтекание которых не было изучено в широком диапазоне скоростей потока по сравнению, например, с такими классическими формами, как треугольные и другие тонкие крылья, тонкие крылья вращения. Поэтому исследования волнолетов составляют значительный объем проводимых в настоящее время как теоретических, так и экспериментальных исследований аэродинамики пространственных форм /10-17, 26-29, 32, 42, 44, 54, 67, 91/.

На современном этапе научных исследований вычислительный эксперимент является мощным научным методом, предназначенным для изучения сложных многопараметрических нелинейных процессов, теоретическое и экспериментальное исследование которых традиционными методами затруднено или невозможно. Основные принципы, положенные в основу вычислительного эксперимента, описаны в работах А.А.Самарского /57/, О.М.Белоцерковского /7/, Н.Н.Яненко /93/.

В настоящее время в прикладной математике при решении задач на ЭВМ сложилась технологическая цепочка: объект исследования

- физическая модель - математическая модель численный алгоритм

- программа расчет на ЭВМ, сравнение с экспериментальными и другими данными. Объектом математической технологии является вычислительная часть этой цепочки: математическая модель - численный алгоритм программа - расчет на ЭВМ.

Исследование прикладной задачи начинается с формализации объекта, с построения соответствующей математической модели. Основное требование, предъявляемое к математической модели - это адекватное описание физических процессов, протекающих в исследуемых системах. Однако охватить все многообразие физических явлений чрезвычайно трудно. Необходимо упростить проблему и рассмотреть только основные процессы.

Имеется ряд общих положений, которые лежат в основе каждой математической модели. Система уравнений, составляющая математическую модель, должна быть замкнутой и непротиворечивой. Она должна описывать широкий класс физических явлений, чтобы можно было рассматривать целый ряд интересующих систем. Алгоритм решения задач должен быть легко реализуемым, чтобы решение соответствующей системы уравнений с краевыми условиями не отнимало много времени и средств. К желательным свойствам математической модели следует отнести ее корректность по входным параметрам и свойство физической замкнутости в том смысле, чтобы количество внешних физических параметров было минимальным и, чтобы они соответствовали величинам, которыми можно управлять в реальном процессе. С помощью таких математических моделей можно проводить вычислительные эксперименты.

Для решения входящих в математическую модель уравнений при различных краевых условиях используется основной теоретический аппарат - математические и численные методы в научных исследованиях. На втором этапе вычислительного эксперимента разрабатывается численный алгоритм и проводится его исследование. На следующем этапе составляется программа для ЭВМ, реализующая выбранный алгоритм. Далее проводятся вычисления на ЭВМ по составленным программам, то есть проводится машинный эксперимент. На завершающем этапе выполняется анализ результатов, сопоставление их с теоретическими прогнозами и данными натурного эксперимента. Может оказаться, что модель слишком груба - результат не согласуется с физическим экспериментом, или что модель слишком сложна и решение с достаточной точностью можно получить с помощью более простых моделей. Тогда следует повторить все этапы вычислительного эксперимента, то есть уточнить математические модель и вычислительные алгоритмы, модифицировать программу для ЭВМ, выполнить расчеты и проанализировать полученные численные данные.

Результатом вычислительного эксперимента являются выраженные в точной количественной форме детальные и конкретные практические рекомендации.

В диссертации излагаются результаты численного исследования в области аэродинамики больших скоростей. В качестве методической основы построения комплекса вычислительных алгоритмов используется метод расщепления по физическим процессам и модульный принцип. В рассматриваемой проблеме выделены отдельные задачи: определение решения для внешнего невязкого обтекания; математическое моделирование вязкого течения и математическое моделирование полного сопротивления тел типа волнолетов. Создание математических моделей, численных алгоритмов и программ на ЭВМ для изучения перечисленных задач является весьма актуальной проблемой и обусловлено как необходимостью развития фундаментальных исследований, так и практической необходимостью.

Основными приемами исследования аэродинамики пространственных конфигураций являются приближенные расчетные способы, базирующиеся на полуэмпирических предпосылках, которые требуют обязательной экспериментальной проверки. Большое распространение в гиперзвуковой газовой динамике получила теория Ньютона и аналогичные методики локального характера, которые дают простую связь давления с углом наклона касательного элемента поверхности к направлению движения. Применение этих способов к оптимизационным задачам привело к появлению и исследованию нетрадиционных форм с лучевой структурой поперечного сечения /62/. Все эти методики дают исчезновение волнового сопротивления при увеличении числа лучей поперечного сечения, что не соответствует реальной картине течения.

Построение пространственного обтекания сверхзвуковым потоком трехмерных конфигураций из областей течений с меньшей размерностью (газодинамическое конструирование) было рассмотрено в работах /44, 46, 49, 81, 90-92/. Трехмерное обтекание при газодинамическом конструировании находится с высокой точностью, с учетом нелинейных свойств течения, а конфигурация обладает достаточным произволом. Среди получаемых предложенным способом обтекаемых поверхностей имеются такие, что ограниченные ими тела по форме близки к предполагаемым конфигурациям летательных аппаратов, других объектов или их отдельных частей (В.М.Борисов, А.Л.Гонор, Ю.П.Гунько, Б.И.Гутов, В.В.Затолока, В.В.Келдыш, И.Д.Коул, Д.Кюхеман, В.А.Левин, И.И.Мажуль, Г.И. Май-капар, Н.А.Остапенко. А.И.Швец, В.А. Щепановский).

Волнолеты со звездообразным поперечным сечением и плоскими боковыми гранями обладают меньшим волновым сопротивлением по сравнению с эквивалентными /62, 66, 83, 91, 98/. Исследования показали, что тела со звездообразным поперечным сечением при определенных условиях обладают и меньшим полным сопротивлением, чем эквивалентные. Полное аэродинамическое сопротивление складывается из нескольких составляющих: волнового, сопротивления трения, донного сопротивления. При оценке трения следует учитывать, что площадь омываемой поверхности может быть достаточно большой. Тогда сопротивление трения становится сравнимым с волновым и может превышать его. Кроме того звездообразное тело имеет острые кромки, на которых местный коэффициент напряжения трения имеет особенность, что также может давать большую погрешность. Только эти две причины указывают на то. что для таких тел необходимо рассчитывать сопротивление трения по крайней мере с такой же точностью, что и волновое, так как они могут быть одного порядка /11, 12, 27, 51, 60, 67, 70-80, 82, 102-106/.

Актуальность проблемы. Диссертационная работа посвящена разработке математической модели, численных алгоритмов и компьютерных программ для исследования трехмерного сверхзвукового вязкого обтекания конфигураций со звездообразным поперечным сечением и плоскими боковыми гранями, а также использованию компьютерных моделей для расчета полного сопротивления тел типа волнолетов и сравнения с эквивалентами.

Создание математических моделей, численных алгоритмов и программ на ЭВМ является актуальной задачей для проведения вычислительного эксперимента по определению геометрических и динамических параметров, для которых рассматриваемые тела обладают меньшим сопротивлением в сравнении с эквивалентным конусом

Диссертация выполнена в соответстии с планом научно - исследовательских работ ИВМ СО РАН по теме: Разработка технологий вычислительного, комплексного и экспериментального характера для исследования гиперзвуковых течений.

Основная цель работы разработка прикладных программ для изучения трехмерного сверхзвукового вязкого обтекания тел типа волнолетов и оценки эффективности новых конфигураций.

Научная новизна определяется следующими результатами. Разработана математическая модель трехмерного сверхзвукового вязкого обтекания тел типа волнолетов. Построен алгоритм для исследования влияния ударного слоя на вязкое сопротивление трехмерных конфигураций с большой протяженностью передних кромок. Учтен эффект влияния толщины вытеснения на волновое сопротивление. Создано математическое и программное обеспечение для расчета полного сопротивления тел типа волнолетов.

Практическая ценность разработанных численных алгоритмов и компьютерных программ заключается в том, что волнолеты могут быть использованы как схемы для построения форм новых летательных аппаратов, обтекание которых на расчетном режиме известно и может выбираться в соответствии с их назначением. Относительная простота теоретического описания газодинамических полей, которые определяются предложенной математической моделью, позволяет сформулировать и довести ряд сложных комплексных задач до качественных результатов с приемлемыми затратами вычислительного труда и машинного времени. Разработанные в диссертации компьютерные программы представляют практический интерес для определения поверхности, на которой равны сопротивления звездообразного тела и эквивалента. В пространстве определяющих конфигурацию параметров определено семейство волнолетов, оптимальных в смысле наименьшего сопротивления. Достоверность результатов исследований подверждается сравнением с аналитическими решениями, расчетами других авторов и экспериментальными данными.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 33 работы, в том числе одна монография в издательстве "Наука".

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы из 110 наименований, рисунков и приложения из 7 таблиц.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Основной результат диссертации состоит в разработке и реализации математического моделирования и вычислительного эксперимента для практически важной прикладной задачи. В частности:

1. Разработана математическая модель трехмерного сверхзвукового вязкого обтекания тел типа волнолетов. Относительная простота теоретического описания газодинамических полей, которые определяются такой моделью, позволяет сформулировать и довести до количественных результатов с приемлемыми затратами вычислительного труда и машинного времени ряд сложных комплексных задач.

2. Построено приближенное решение задачи обтекания идеальным газом звездообразных конфигураций с плоскими боковыми гранями, имеющих волновое сопротивление в несколько раз меньше, чем эквивалентный по длине и объему конус.

3. Разработан алгоритм для исследования влияния ударного слоя на вязкое сопротивление трехмерных конфигураций с большой протяженностью передних кромок. Учтен эффект влияния толщины вытеснения на волновое сопротивление.

4. Создано математическое и программное обеспечение, предназначенное для расчета полного сопротивления тел типа волнолетов.

5. Определена поверхность, на которой сопротивления звездообразного тела и эквивалента равны. Таким образом, в пространстве определяющих конфигурацию параметров найдена область оптимальных в смысле наименьшего сопротивления форм.

6. Проведено сравнение расчетов с экспериментальными данными.

1. Абрамович Г.Н. Прикладная газовая динамика. -М.: Наука, 1976.-888с.

2. Аэродинамика ракет. Кн. 1. Введение в аэродинамику ракет: Пер. с англ. / Под ред. М.Хемша, Дж.Нилсена. -М.: Мир, 1989. -427с.

3. Аэродинамика ракет. Кн. 2. Методы аэродинамического расчета. Пер. с англ. / Под ред. М. Хемша, Дж. Нилсен. -М.: Мир, 1989. -512 с.

4. Бабенко К.И., Воскресенский Г.П., Любимов А.Н., Русанов В.В. Пространственное обтекание гладких тел идеальным газом -М: Наука, 1964. -505 с.

5. Баранцев Р.Г. Гиперзвуковые движения газа. Стационарное обтекание тел невязким газом // Гидромеханика. -М.: ВИНИТИ, 1976. -С. 1-64. -(Итоги науки и техники; т.9).

6. Белолипецкий В.М. Приближенный метод расчета гиперзвуковых течений газа около тонких тел, близких к двумерным // Исследования по гиперзвуковой аэродинамике. -Новосибирск: ИТПМ, ВЦ, 1978. -С. 3-33.

7. Белоцерковский О.М. Численное моделирование в механике сплошной среды. -М.: Наука, 1984. -520 с.

8. Березин Ю.А., Ковеня В.М., Яненко H.H. Разностный метод решения задач обтекания. Аэромеханика. -М.: Наука, 1976. -316 с.

9. Бетяев С.К., Григорьев М.И., Судаков Г.Г. Отрывное обтекание V-образных крыльев малого удлинения // Уч. зап. ЦАГИ. -1981. -Т.12, N4. С. 105-109.

10. Бордюг В.А., Ведерников Ю.А., Дулов В.Г., Швец А.И., Щепа-новский В.А. Параметрическое исследование гиперзвуковых пространственных форм // ПМТФ. -1983. -N 1. -С. 51-57.

11. Бордюг В.А., Щепановская Г.И. Вязкое сопротивление звездообразных тел при сверхзвуковом обтекании. -Красноярск, 1983. -16 с. -(Препринт / АН СССР. Сиб. отд-ние. ВЦ; N 3).

12. Борисов В.М., Левин М.П.,Михайлов И.Е. Альбом пространственных сверхзвуковых сопел. -М.: ВЦ АН СССР, 1989. -63 с.

13. Булах Б.М. Нелинейные конические течения газа. М: Наука, 1970. -343 с.

14. Бунимович А.И., Кузьменко В.И. Аэродинамические и тепловые характеристики звездчатых тел, обтекаемых под углом атаки гиперзвуковым потоком разреженого газа // Вестн. Моск. ун-та. Сер. математика и механика. -1984. -N 2. -С. 74-77.

15. Ведерников Ю.А., Гонор A.JL, Зубин М.А., Остапенко H.A. Аэродинамические характеристики звездообразных тел числах Маха 3-5 // Изв. АН СССР. МЖГ. -1981. -N 4. -С. 88-93.

16. Ведерников Ю.А., Щепановский В.А. Оптимизация реогазо-динамических систем. Новосибирск: Наука. Сибирская издательская фирма РАН, 1995. - 238 с.

17. Ветлуцкий В.Н., Поплавская Т.В. Сжимаемый ламинарный пограничный слой на плоской треугольной пластине с присоединенной ударной волной // ПМТФ. -1985. -N 5. -С. 23-29.

18. Виноградов В.А., Захаров H.H., Иванов М.Я. Расчет торможения двумерного сверхзвукового потока невязкого газа в канале и возможность реализации такого течения. -Учен. зап. ЦАГИ. -1975. -Т.6, N2.-С. 161-166.

19. Воскресенский Г.П., Чушкин П.И. Численные методы решения задач сверхзвукового обтекания тел // Механика жидкости и газа. -М.: ВИНИТИ, 1978. (Итоги науки и техники; Т.11). -С. 5-65.

20. Гиневский A.C., Иоселевич В.А., Колесников A.B. и др. Методы расчета турбулентного пограничного слоя // Механика жидкости и газа. -М.: ВИНИТИ, 1978. -С. 28-69. -(Итоги науки и техники; Т.11).

21. Гинзбург И.П. Аэрогазодинамика. -М.: Высш.шк.,1966. -404с.

22. Годунов С.К., Забродин В.А., Иванов М.Я., Крайко А.Н., Прокопов Г.II. Численное решение многомерных задач газовой динамики. -М: Наука. 1976. 400 с.

23. Гольдштик М.А., Штерн В.Н., Яворский Н.И. Вязкие течения с парадоксальными свойствами. -Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1989. -336 с.

24. Гонор A.JI. Точное решение задачи обтекания некоторых пространственных тел сверхзвуковым потоком газа // ПММ. -1964. -Т.28, вып. 5. -С. 974-976.

25. Гонор A.JL, Зубин М.А., Мосин А.Ф., Остапенко H.A., Ульянов Г.С., Фалунин М.П. Аэродинамические характеристики тел со звездообразным поперечным сечением // Вестн. Моск. ун-та. Сер.1. Математика, механика. -1983. -N5. -С. 49-53.

26. Гусаров A.A., Дворецкий В.М., Иванов М.Я., Левин В.А., Черный Г.Г. Теоретическое и экспериментальное исследование аэродинамических характеристик пространственных тел // Изв. АН СССР. МЖГ. -1979. -N 3. -С. 97-102.

27. Гусаров A.A., Левин В.А. Пространственная форма тела минимального аэродинамического сопротивления в гиперзвуковом потоке газа // Изв. АН СССР. МЖГ. 1981. -N6. -С. 98-103.

28. Желтоводов A.A. Трехмерное взаимодействие скачка уплотнения, генерируемого клинообразным препятствием, с турбулентным пограничным слоем // Аэрофизические исследования. -Новосибирск: ИТ-ПМ. -1976. -Вып. 6. Физическая газодинамика. -С. 125-129.

29. Зайцев Ю.И. Келдыш В.В. Об отсоединении скачка уплотнения от кромки стреловидного V-образного крыла // Учен. зап. ЦАГИ. -1972. -Т.З, N 2. -С. 134-139.

30. Зубин М.А., Остапенко H.A. Экспериментальное исследование некоторых особенностей сверхзвукового обтекания V-образных крыльев // Изв. АН СССР. МЖГ. -1975. -N 4. -С. 130-135.

31. Иванов Б.А., Майкапар Г.И. Экспериментальное исследование обтекания крыла с -образным поперечным сечением и гела вращения под большими углами атаки с помощью лазерного "ножа'" // Учен. зап. ЦАГИ. -1981. -Т.12, N3. -С. 116-120

32. Келдыш В.В. Исследование течения в окрестности V-образных крыльев, образованных поверхностями тока за плоским скачком уплотнения // Изв. АН СССР. МЖГ. 1967. - N 4. -С. 50-55.

33. Келдыш В.В. Об отсоединении скачка уплотнения от острых кромок летательных аппаратов // Учен. зап. ЦАГИ. -1980. -T.II, N 5. -С. 18-29.

34. Келдыш В.В. Точные решения для несущих систем с одним и двумя плоскими скачками уплотнения. -Инж.журнал. -1961. -Т.1, вып.З. -С. 22-29.

35. Келдыш B.B. Влияние стреловидности передней кромки треугольной пластины на сопротивление трения ее наветренной поверхности при сверхзвуковых скоростях. Учен. зап. ЦАГИ. - 1986. - Т.17, N 3. - с. 106 - 109.

36. Коваленко В.М. Экспериментальные исследования пограничного слоя на вращающихся осесимметричных телах. -Новосибирск, 1984. -64 с. -(Препр. / АН СССР. Сиб. отд-ние, ИТПМ; N 31-84).

37. Ковеня В.М., Яненко H.H. Методы расщепления в задачах газовой динамики. -Новосибирск: Наука: Сиб. отд-ние. -1981. -304 с.

38. Ковеня В.М., Тарнавский Г.А., Черный С.Г. Применение метода расщепления в задачах аэродинамики. -Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние. -1990. -247 с.

39. Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика. -М.: Физматгиз, 1963. -Ч. П. -728 с.

40. Левченко В.Я., Фомин В.М. Аэрогазодинамические исследования в ИТПМ СО РАН в последнее десятилетие // ПМТФ. 1997. - Т. 38, N 4. - С. 46-76.

41. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. -М.: 6-ое изд. Наука, перераб. и доп. -1987. -840 с.

42. Мажуль И.И. Исследование аэродинамических характеристик схематизированных форм гиперзвуковых летательных аппаратов: Дис. . канд. техн. наук: 01.02.05. Новосибирск, 1982. - 230 с.

43. Майкапар Г.И. О волновом сопротивлении неосесимметричных тел в сверхзвуковом потоке // ПММ, 1959, т. 23, вып. 2. С. 376-378.

44. Майкапар Г.И. Тела, образованные поверхнотями тока конических течений // Изв. АН СССР. МЖГ. -1966. -N 1. -С. 126-127.

45. Майкапар Г.И. О построении сверхзвукового течения обтекания твердых тел при помощи плоских скачков уплотнения // Изв. АН

46. СССР. Сер. Механика и машиностроение. -1964. -N 5. -С. 142-144.

47. Майкапар Г.И. Сверхзвуковое течение в угле с системой плоских скачков уплотнения. -Учен. зап. ЦАГИ. -1976. -Т.7, N 6.

48. Майкапар Г.И., Келдыш В.В. Газодинамическое конструирование гиперзвуковых самолетов // Изв. АН СССР. МЖГ. -1969. -N 3. -С. 177-185.

49. Майкапар Г.И. О форме тел, имеющих в сверхзвуковом потоке сопротивление и момент относительно продольной оси // Учен. зап. ЦАГИ. -1973. -Т.4, N 3. -С. 73-74.

50. Майкапар Г.И., Пятнова А.И. Сопротивление клина с шайбами при сверхзвуковых скоростях // Учен.зап. ЦАГИ. -1981. -Т. 12, N 4. -С. 138-142.

51. Майкапар Г.И., Пятнова А.И. Выбор основных параметров крыла с V-образным поперечным сечением // Учен. зап. ЦАГИ. -1984. Т.14, N1. -С. 104-109.

52. Майкапар Г.И. О форме подветренной стороны волнолета // Учен. зап. ЦАГИ. -1985. -Т.16, N 2. -С. 9-16.

53. Майкапар Г.И. Сравнение волнолетов различной формы // Учен. зап. ЦАГИ. -1985. -Т.16, N 4. -С. 100-104.

54. Майкапар Г.И. Волнолеты большого объема // МЖГ. 1999. -N 1. - С. 187 - 189.

55. Овсянников JI.B. Лекции по основам газовой динамики. М.: Наука. Главная редакция физико - математической литературы, 1981. -368 с.

56. Самарский A.A., Попов Ю.П. Разностные схемы газовой динамики. -М.: Наука, 1975. -351 с.

57. Сидоров А.Ф., Шапеев В.П., Яненко H.H. Метод дифференциальных связей и его приложение к газовой динамике. -Новосибирск:

58. Наука. Сиб. отд-ние, 1984. -347 с.

59. Снижение вязкостного трения. Ред. Г.Р.Хью; Пер. с англ. Г.И. Майкапара; Под ред. В.Я. Нейланда. -М.: Машиностроение. -1984. 464 с.

60. Струминский В.В. Аэродинамика и молекулярная газовая динамика. М.: Наука, 1985. -239 с.

61. Теория оптимальных аэродинамических форм. Под ред. А.Миеле. М.: Мир, 1969. - 507 с.

62. Фоллэ М.И. Волновое сопротивление удлиненных звездообразных тел при умеренных сверхзвуковых скоростях полета // Изв. АН СССР. МЖГ. -1983. -N 5. -С. 146-151.

63. Черный Г.Г. К исследованию тел наименьшего сопротивления при больших сверхзвуковых скоростях // ПММ. -1964. -Т.28, вып. 2. -С. 387-389.

64. Чжен П. Отрывные течения. -М.: Мир, 1973: Т.З. -333 с.

65. Швец А.И. Аэродинамика сверхзвуковых форм. -М.: Изд-во МГУ, 1987. -208 с.

66. Швец А.И. Сверхзвуковые летательные аппараты. М.: Изд-во МГУ, 1989. -240 с.

67. Шевелев Ю.Д. Пространственные задачи вычислительной аэрогидродинамики. -М.: Наука, 1986. -366 с.

68. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. / Пер. с нем. -М: Наука, 1969. -520 с.

69. Щепановская Г.И. Сопротивление трения тел с плоскими боковыми гранями в сверхзвуковом потоке при турбулентном течении в пограничном слое // Математические модели и методы решения задач механики сплошной среды. -Красноярск: КГУ, 1986. С. 3-10.

70. Шепановская Г.И. К расчету коэффициентов сопротивления трения тел с плоскими боковыми гранями в сверхзвуковом потоке при турбулетном течении в пограничном слое // Моделирование в механике. Новосибирск: ИТПМ СО РАН, 1989. - Т. 3(20). - N 5. -С. 156-160.

71. Щепановская Г.И. Простая модель для расчета сопротивления трения тел с лучевой структурой поперечного сечения // Модели и методы оптимизации сложных систем. Красноярск: КГУ, 1990. -С. 148153.

72. Щепановская Г.И. Численное решение уравнений пограничного слоя с разрывными условиями на внешней границе // Моделирование в механике сплошных сред. Красноярск: КГУ, 1992. -С. 129-133.

73. Щепановская Г.И. Качественная перестройка вязкого сопротивления в зависимости от интенсивности ударного слоя // Моделирование в механике. Новосибирск: ИТПМ СО РАН, 1992. Т.6(23). - N4. -С. 63-69.

74. Щепановская Г.И. Соотношение вязкого и волнового сопротивлений для оптимальных пространственных форм // Вычислительные технологии. Новосибирск: ИВТ СО РАН, 1993. -Т.2, N5. - С. 235-242.

75. Щепановская Г.И. Вязкое сопротивление волноле гов (\УАУЕШ-ВЕКБ) // Математическое обеспечение и архитектура ЭВМ. Материалы научно-технической конференции "Проблемы техники и технологий XXI века". Красноярск: КГТУ, 1994. -С. 209-210.

76. Щепановская Г.И. Использование моделей точных частных решений уравнений Навье-Стокса при исследовании многомерных задачобтекания // Ш Международная конференция: "Пространство, время, тяготение". С.Петербург, Россия, 1994. - С.88.

77. Щепановская Г.И. Математическое моделирование и анализ толщины вытеснения при пространственном обтекании //IV Международная конференция "Математика, компьютер, образование". М.: Пущинский государственный университет, 1997. - С. 178.

78. Шепановская Г.И. Газодинамическое конструирование в проблеме вязкого сопротивления // V Международная конференция "Математика. Компьютер. Образование". Москва: Московский государственный университет, 1998. - С. 225.

79. Щепановский В.А. Газодинамическое конструирование. Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1991. -200 с.

80. Щепановский В.А., Щепановская Г.И. Влияние ударного слоя на вязкое сопротивление звездообразных тел с плоскими боковыми гранями // ПМТФ. -1985. N 4. -С. 105-112.

81. Щепановский В.А., Щепановская Г.И. Сопротивление звездообразных тел с плоскими боковыми гранями в сверхзвуковом потоке. -М.: 1985. -53 с. Деп.в ВИНИТИ, N 7285.

82. Щепановский В.А., Щепановская Г.И. Соотношение волнового и вязкого сопротивлений тел с невыпуклым поперечным сечением в сверхзвуковом потоке // Современные проблемы механики жидкости и газа. -Иркутск: ИрВЦ, 1990. -С.319-321.

83. Щепановский В.А., Щепановская Г.И. Вопросы моделирования пространственных ударников // Прочность и формоизменение элементов конструкций при воздействии динамических физико- механических полей. -Киев: ИПП АН УССР, 1990. -С. 98-99.

84. Щепановский В.А., Щепановская Г.И. Вычислительный эксперимент при проникании тел некруглой формы // Динамическая прочность и трещиностойкость конструкционых материалов при однократном нагружении. Киев: ИПП АН УССР, Экспоцентр "Наука", 1991. - С. 75-76.

85. Щепановский В.А., Щепановская Г.И. Математическое моделирование и вычислительный эксперимент в аэромеханике гиперзвуковых летательных аппаратов. Гагаринские научные чтения по космонавтике и авиации, 1990, 1991 г. - М.: Наука, 1991. - С. 121-122.

86. Щепановский В.А., Щепановская Г.И. Газодинамическое конструирование в проблеме сопротивления. Новосибирск: Наука. Сиб. предприятие РАН, 1998. - 216 с.

87. Щепановский В.А., Гутов Б.И. Газодинамическое конструирование сверхзвуковых воздухозаборников. -Новосибирск: ВО "Наука". Сиб. изд. фирма, 1993. 228 с. .

88. Яненко H.H. Применение метода дифференциальных связей к одномерным уравнениям газовой динамики // H.H.Яненко. Избранные труды. Математика. Механика. -М.: Наука, 1991. -С. 36-41.

89. Bonner Т.F., Pride J.D., Fernald W.W. Aircraft energy efficiency laminar flow control wing design study. NASA TM-78634. - 1977. - 34 p.

90. Bowcutt K.G., Anderson J.D., Capriotti D. Viscous optimized hupersonic waveriders. 1987. - 18 p. - (AIAA Paper; N 0272).

91. Corda S. and Anderson J.D. Viscous optimized Hypersonic Waveriders Designed from Axisymmetric Flow Fields. 1988. - 13p. (AIAA Paper; N 0369).

92. Keldysh W.W., Maikopar G.I. Aerodynamics and heat transfer of waveriders. ICAS Proc. -1970. - N 18. -14 p.

93. Kennet H. The effect of friction on optimum drag shapes in hypersonic flow. IASS, v. 29, N 12, 1962.

94. Kuchemann D. The Aerodynamic design of aircraft // Pergamon Press, Oxford, 1978. P. 448-510.

95. Loer S. Eine numerische Methode zur Losung der Navier-Stokesschen Gleichungen fur die zweidimensionale, inkompressible, Stationare Strömung längs einer dünnen Platte // Ingenieur Archiv, 1971. - N 41. -S. 28-39.

96. Seddon J. and Spence A. The use of known flow fields as an approach to the design of high speed aircraft, in hypersonic boundary layers and flow fields, AGARD CP, 1968. N 30. - P. 10/1 - 10/21.

97. Shchepanovskaya G.I. Construction of exact solution about three-dimensional bodies with surface breaks at high speed viscous flow // The third russia-yapan joint symposium on computational fluid dynamics. Vladivostok, Russia, 1992. -P. 173-174.

98. Shchepanovskaya G.I. Exact solution in the neighbourhood of three-dimensional bodies with surface breaks at high speed viscous flow // Modelling, Measurement and Control!, B, AMSE Press. 1993. - Vol.49, N 4. -P. 45-50.

99. Shchepanovskaya G.I. The informatical technology for solution of the viscous hypersonic problems // Research in hypersonic flows and hypersonic technologies. Papers presented at TsAGI's Workshop-school "Fluid Mechanics". -1994. -P. 31-33.

100. Shchepanovskaya G.I. Using the models of exact partial solutions for the analysis of viscous resistance // Selected papers of 3-rd International Conference "Problems of Space, Time, Gravitation". St.-Peterburg: Politechnika, 1995. - Pp. 280-284.

101. Shchepanovskii V.A., Shchepanovskaya G.I. Evolution of Newton's concepts of resistance // International conference on sir Isaac Newton and the problems of mechanics of rigid and deformable bodies. Russia: St-Peterburg, 1993. P. 38.

102. Shchepanovskii V.A. and Shchepanovskaya G.I. Three-dimensional solution for supersonic aerodynamics // International Journaul of Computational Fluid Dynamics. 1998. - Vol. 10. - P. 127-137.137