автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование стохастических явлений переноса теплоты, массы и энергии

На правах рукописи

. ьг

Соловьев Игорь Алексеевич

Математическое моделирование

стохастических явлений переноса теплоты, массы и энергии

Специальность 05.13.18 — Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва 2003

Работа выполнена в Московской государственной академии тонкой химической технологии имени М. В. Ломоносова на кафедре высшей математики

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Кириллов Андрей Игоревич

доктор технических наук, профессор Астахов Александр Валентинович

доктор физико-математических наук, профессор Баранов Александр Викторович

Ведущая организация:

Военно-воздушная инженерная академия имени Н. Е. Жуковского

Защита состоится « 4 » июня 2003 г. в « » ч на заседании диссертационного совета Д 212.128.02 при Московском государственном горном университете по адресу: 119991, ГСП, Москва, Ленинский проспект, д. 6, МГГУ.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского государственного горного университета

Отзывы на автореферат в двух экземплярах, заверенные печатью учреждения, просим направлять по адресу: 119991, ГСП, Москва, Ленинский проспект, д. 6, МГГУ, Ученому секретарю диссертационного совета.

Автореферат разослан:« »_2003 г.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат технических наук, доцент

А. Э. Адигамов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы исследования. Для обеспечения бесперебойных и безопасных режимов работы современных сложных и многофункциональных промышленных агрегатов необходимо создавать такие компьютерные системы обработки данных, которые бы учитывали случайный характер течения технологических процессов в условиях внешних многофакторных воздействий. Именно поэтому одна из особенностей современного математического моделирования природных явлений состоит в рассмотрении таких, его аспектов, которые требуют перехода от детерминированного способа описания к стохастическому.

Случайное внешнее многофакторное воздействие приводит к многочисленным реализациям одного и того же технологического процесса, что может приводить к существенным отклонениям от оптимального режима и, как следствие, к получению неприемлемого результата. Детерминированные модели способны указывать только средние значения характеристик. Однако знание средней температуры «зажигания», среднего значения температуры поддержания жизнеспособности биологического объекта, среднего значения времени окончания сушки, среднего значения положения фронта фазового перехода, среднего значения фронта распространения световой или звуковой волны, и т. д. не позволяет ответить на вопрос, каковы диапазоны изменения этих величин в реальных условиях, т. е. каковы средние квадратичные отклонения этих величин, обусловленные многочисленными случайными факторами, которые не учитываются в детерминированных моделях.

Кроме того, к настоящему времени усилиями многих научных школ создан действенный аппарат исследования устойчивости поведения решений обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных, которые с детерминистической точки зрения описывают перенос энергии, теплоты, массы и распространения волн. Однако при сопоставлении с экспериментальными данными достаточно часто обнаруживается, что области изменения параметров, когда детерминистическая модель устойчива, не всегда соответствуют реально наблюдаемым областям, а именно: реальные области оказываются чаще всего меньшими по размеру. Каковы расхождения в этих размерах, и каковы параметры, которые их определяют? На этот вопрос нельзя ответить, оставаясь в рамках детерминированных моделей.

Для описания стохастического поведения реального объекта в пространственно-временной области необходимо знать его статистические характеристики на границах и в начальный момент времени или же иметь априорные предположения о поведении этих характеристик. Таким образом, для математического моделирования стохастических явлений первостепенное значение приобретает проблема первичной обработки экспериментальных данных, в результате *г*гггт"й ^тдпрг'» пр^^Г'тгт™ класс математических моделей — это описательные моделй ¿'в^г^^^щ^^^мограмм, кривых, эм-

1 I С.Петербург аЧЛ

^ оэ 306$ »«т^ г1'{

лирических функций распределения, гистограмм и статистической энтропии. Этот класс не претендует на раскрытие механизма исследуемого явления, поэтому описательные модели имеют ограниченную степень точности и предсказательности. Однако среди перечисленных первичных моделей особое место занимает статистическая энтропия. В многочисленных работах показано, что при хаотическом поведении сложной динамической системы энтропия неограниченно возрастает, а при циклическом, «застойном» — быстро выходит на асимптоту. Случайные внешние воздействия на систему приводят к изменению параметров, которые определяют смену режима. С помощью анализа поведения статистической энтропии можно определить момент смены режима поведения объекта. Помимо этого, энтропия позволяет строить феноменологические модели для процессов произвольной природы по аналогии с тем, как это было сделано в термодинамике необратимых процессов. Следует отметить, что разработанные к настоящему времени способы вычисления статистической энтропии требуют значительного количества экспериментальных данных и не позволяют исследовать начальную стадию случайного процесса, тем самым их нельзя признать эффективными.

Создание приборов, регистрирующих шумы, явилось основой появления нового математического аппарата для случайных явлений, который в отличие от описательных и детерминированных моделей позволяет находить не только моменты смены режима и средние пространственно-временные значения, но и прогнозировать дисперсию и другие случайные характеристики. В двадцатом столетии бурно развивалась теория случайных процессов. К настоящему времени существуют два способа описания случайных процессов: это, с одной стороны, уравнения Ито — Страгоновича и уравнения Колмогорова — Фоккера — Планка, которые предназначены для описания широкого класса явлений с помощью диффузионных представлений о распространении функции плотности распределения вероятностей, и, с другой стороны, уравнения Шредингера, дающие корпуску-лярно-волновую трактовку квантовомеханических экспериментов. До недавнего времени считалось, что волновой характер присущ только явлениям микромира, однако в последние годы появились работы, в которых замечено, что гистограммы, построенные для случайных процессов различной природы, периодически повторяют во времени и пространстве свою тонкую структуру. Все это свидетельствует об актуальности создания для случайных явлений произвольной природы таких моделей, которые бы подобно квантовомеханическим, описывали волновые свойства этих явлений.

Если для случайных процессов усилиями многих научных школ и отдельных исследователей получена стройная теория, то проблемы описания случайных полей требует дальнейшего развития. Это объясняется тем, что традиционный подход, применимый для случайных процессов и приводящий к уравнениям в частных производных, для случайных полей позволяет получить лишь уравнения в функциональных производных для функционала плотности распределения вероятностей. Этот аппарат малопригоден для проведения численных расчетов.

Наличие прямой стохастической модели какого-либо явления еще не означает, что с ее помощью можно эффективно управлять производственным процессом. Дело в том, что коэффициенты прямой задачи, полученные в лабораторных условиях, из-за наличия случайных воздействий не всегда соответствуют коэффициентам этой же модели в реальных условиях. Кроме того, общепринятые схемы принятия решений о корректировке технологического режима управления производством, как правило, базируются на точечных оценках параметров. Однако знание управляющих параметров в отдельных точках не всегда позволяет сделать вывод об объемах областей, в которых происходит нарушение технологического режима. Именно поэтому актуальной является проблема обратного моделирования конкретных производственных циклов на основе стохастических представлений и выработки на их основе критериев прогнозирования поведения производственного объекта во всем занимаемом им объеме.

Цель диссертационной работы. Целью настоящей диссертации является разработка математических моделей для описания и управления случайными процессами и полями, которые соответствуют ряду детерминированных моделей классической математической физики, в частности, моделям диффузионного и волнового переноса массы и энергии. Достижение этой цели проводится с помощью последовательной реализации следующих задач:

• построение уравнений эллиптического, параболического и гиперболического типов для функций плотности распределения вероятностей, описывающих различные явления переноса теплоты, массы и энергии, и следующих из них уравнений для средних значений и дисперсий. В частности, построение стохастических аналогов задач стефановского типа;

• построение и исследование решений поставленных задач. Получение дисперсий полей и дисперсий фронтов фазовых превращений;

• создание алгоритмов и программ управления некоторыми стохастическими процессами и полями на основе обратных задач параметрической идентификации;

• исследование связей между погрешностями выходных и входных параметров сложных систем на основе метода наименьших квадратов, учитывающего и погрешность функции и погрешности независимых аргументов;

• построение уравнений для случайных процессов, которые бы учитывали как их волновые, так и корпускулярные свойства;

• создание эффективного способа построения гистограмм и оценки статистической энтропии при обработке временных рядов и экспериментально полученных гшо-ских кривых для явлений с неизвестной математической моделью:__

• реализация построенных моделей на конкретных примерах управления поведением некоторых процессов и полей, подверженных случайным воздействиям.

Научная новизна. Автором получены и выносятся на защиту следующие новые научные результаты:

• метод построения уравнений для описания случайных процессов и полей;

3

• постановки задач для уравнений в частных производных, моделирующих случайные волновые поля и поля тепло- и массопереноса (включая тепломассоперенос с конечной скоростью и задачи стефановского типа);

• постановки задач, описывающие волновые аспекты случайных процессов, соотношения для дисперсии и устойчивости динамических моделей;

• алгоритмы решения задач идентификации математических моделей, описывающих случайные процессы и поля;

• метод падающих прямоугольников для построения гистограмм и оценки статистической энтропии для временных рядов и экспериментально полученных плоских осциллирующих кривых.

Достоверность. Достоверность полученных результатов обеспечивается строгостью применения математических методов и соответствием численных и аналитических решений задач экспериментальным данным. Основные положения предложенной теории сформулированы и доказаны в виде теорем. Сформулированные задачи в частных случаях сводятся к общеизвестным задачам для уравнений Лиувилля, Эйнштейна — Фоккера — Планка — Колмогорова, Шредингера. Уравнения для средних значений, полученные на основании стохастических уравнений, совпадают с феноменологическими уравнениями в частых производных для переноса тепла, массы и распространения волн. В качестве материалов, на которых оценивались результаты расчетов, были использованы опубликованные в центральных научных изданиях экспериментальные данные.

Практическая ценность работы. Результаты работы могут быть использованы в инженерных расчетах теплопроводности, диффузии, сушки, при описании поведения микробиологических объектов в средах, для анализа течения химических реакций, для выявления влияния случайных факторов на поля тепло- и массопереноса, волновые поля. Предложенные алгоритмы расчета статистической энтропии могут применяться для предсказания смены режимов течения процессов в медицине, экономике, экологии и др. Ценность работы заключается также в том, что сформулированные задачи для описания случайных явлений представляют собой традиционные задачи математической физики, к решению которых применимы хорошо известные и широко используемые в современной практике аналитические и численные методы.

Апробация результатов. Результаты диссертационного исследования в течение ряда лет докладывались и обсуждались на научных семинарах кафедры математического моделирования МЭИ, кафедры высшей и прикладной математики МИТХТ, кафедры высшей математики Государственного университета по землеустройству (1996 - 2001 гг.), конференции «Новые информационные и электронные технологии в народном хозяйстве и образовании» (Москва, МЭИ, 1990 г.), Втором Минском международном форуме по тепломассообмену (Минск, ИТМО АНБ, 1992 г.), Третьем Минском международном форуме по тепломассообмену (Минск, ИТМО АНБ, 1996 г.), Третьем Сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике ИПРИМ-98 (Новосибирск, Институт математики СО РАН, 1998 г.), Седьмой международной научно-практической

4

конференции «Инновационные технологии в пищевой промышленности третьего тысячелетия» (Москва, МГТА, 2000 г.), Международной конференции по физико-техническим проблемам электротехнических материалов и компонентов. (Клязьма, 2001 г.), Международной научной конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения» (Самара, 2002 г.), 9-й Международной конференции «Современные проблемы естествознания» (Таганрог, 2002 г.).

Публикации. Основной материал диссертации опубликован в 27 научных работах общим объемом 419 с. (авторский объем 410 с.) [1]-[27]. Из совместных публикаций в диссертацию включен лишь тот материал, который непосредственно принадлежит соискателю.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, ' семи глав, основных выводов, списка литературы, включающего 243 наименования работ отечественных и зарубежных авторов, и приложений.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, формулируются цель и задачи работы, кратко раскрыто содержание каждой главы, научная новизна, достоверность, практическая значимость, апробация результатов, приводятся сведения о публикациях, структуре и объеме работы.

В первой главе проведен обзор работ, посвященных различным концепциям современного стохастического моделирования случайных явлений. Показано, что:

1. Анализ научной литературы, посвященной случайным полям тепломассопере-носа и распространения волн, позволил сделать вывод об отсутствии таких моделей, которые были бы пригодны для проведения численных расчетов.

2. Изучение проблемы устойчивости и «изрезанности» фронтов фазовых переходов выявил необходимость усовершенствования подсчета дисперсии для 1раницы фазового перехода.

3. Достаточно часто начальным результатом поиска связи между экспериментально полученными значениями характеристики случайного процесса или поля является гипотеза в виде разностной модели. В пространстве непрерывного изменения независимых аргументов разностные уравнения содержат недетерминированные волновые компоненты решений, которые могут быть истолкованы как стохастические. Кроме того, гистограммы, полученные при обработке случайных процессов различной приро-

-ды, обладай?! периодический тжгиряеяоетью во времени и пространстве. Все это свидетельствует о необходимости построения теории случайных процессов на основе волновых представлений.

4. Среди широкого спектра работ, посвященных идентификационному моделированию случайных, отсутствуют работы по построению алгоритмов решения обрат-

ных коэффициентных задач для стохастических уравнений. В этой связи возникает проблема создания новых алгоритмов решения таких задач.

5. Особое место в исследовании случайных процессов и полей занимает обработка экспериментальных данных, имеющих вид дискретных временных рядов, или плоских ломаных, или кривых, осциллирующих с нерегулярной частотой и амплитудой. Чаще всего математическая модель для описания таких данных отсутствует. В связи с этим возникает проблема оценки энтропии временного ряда по статистическим данным. В 1981 г. III.-К. Ма был предложен метод расчета информационной энтропии при помощи физических аналогий, связанных с макро- и микросостояниями ансамбля частиц. Однако при недостаточном объеме опытных данных использование метода Ма затруднительно и возникает проблема создания такого алгоритма обработки временного ряда, который бы позволил оценивать энтропию, начиная с появления третьей точки или третьего участка строгой монотонности.

Основа предлагаемого подхода к исследованию случайных явлений переноса теплоты, массы и энергии описана во второй главе диссертации. В ней предложен метод локальных средних значений для моделирования случайных процессов и полей на основе экспериментальных данных. Автором выдвинута феноменологическая гипотеза, суть которой состоит в рассмотрении случайной связи между каждыми двумя соседними марковскими процессами, причем эта случайная связь осуществляется на основе экспоненциального закона. Придавая различный характер зависимости параметров экспоненциального закона от расстояния между пространственными узлами и времени наблюдения, можно получить те или иные уравнения для функции плотности распределения вероятностей. Их конкретный физический смысл проявляется при сравнении полученных уравнений дня средних значений с общеизвестными уравнениями теплопроводности, диффузии, тепло и влагопереноса. Рассматривая некоторые немарковские процессы, происходящие в двух соседних пространственных узлах сетки, между которыми случайным образом осуществляется связь, можно аналогичным образом получить уравнения для описания случайного распространения волн. Эта гипотеза названа гипотезой локальных средних значений, ибо первоначальная запись полученных феноменологическим путем уравнений производится с помощью введенного в диссертации понятия локального среднего значения, которое равно подынтегральному выражению в формуле дня среднего значения, причем среди бесконечного множества ФПВ выбрана такая, которая определяет вероятность в момент времени и в узле х1 только в зависимости от состояния системы в момент времени ^ как в самом узле Х1, так и двух соседних с ним хм. Далее полученный эмпирический закон, записанный в виде разностного соотношения для дискрешого набора локальных средних значений, предполагается справедливым для всего непрерывного множества допустимых значений случайной непрерывной функции и пространственно-временных аргументов. Возникающая при этом погрешность компенсируется конечной (или бесконечной) суммой,

которая определяется учитываемыми моментными функциями. После перехода к пределу при устремлении приращений неслучайных и независимых аргументов к нулю (в предположении, что такой предел существует) были получены следующие уравнения в частных производных относительно функций плотности распределения вероятностей.

1. Уравнение для стохастического описания тепловых (диффузионных) полей:

bP{t,x,T) d2P(t,x,T) d(f{t,x,T)P{t,x,T)) В d2P(t,x,T) dt Эх2 дт 2 д Г2 •

2. Телеграфное уравнение, учитывающее конечную скорость переноса тепла:

3. Система уравнений для описания стохастических полей тепломассопереноса: д(ТР,) д2(ТЮ Ъ\СР2) д{/А) , 1 д(/21\) 1 д2(В2Р,). 3)

ВД. ГЭ(/2Д) \ д2(вгрг) ГЛ/А), i

Э/ 21 Эх2 12 дх1 ЭС 2 ЭС2 дС 2е дт2 ' w

4. Система уравнения для описания стохастических полей токов и напряжений:

(5)

dt 1 Эх ЭК ЭК2 Э/ Э/2 w

(6)

dt 2 Эх Э/ Э/2 ЭК : ЭК

^ е (—,«.),/ е (-~,°°),i е (0,iraax),x е (x„,xv).

5. Стохастический аналог классической задачи Стефана:

^т^ВЩХй, />о,^е(0,5(/)),Ге(0,4™); (7) di ох 2 аТ

ЭП 2(?,х,Т) Э2П2(/,х,7') В Э2П2(?,х,Г)

Э* ~ Эх2 2 ЭГ2

П, (/ = 0,дг, Г) = ©, (х, Г), xe[0,.v(0)],Y'e|0,+oo); (9)

n2(i =0,х,7') = @2(х,'Г), хбК0)Д],Ге[0,+-); (10)

11,(<,х = 0,Г) = Лц(1,Т), t>Q,Te (0,+°°); \\гЦ,х = Х,Т) = АХ{1,Т), f >0,Ге(0,+°°); (11) = .v(/),7') = П2(?,х = .v(i),'/') = Г), г>0,Ге(0,+со); (12)

ЭП,(^,х = ,(0,7-) _ ЭП2(?,х = s(t),T) = ; > о, Г е (0,+°°); (13)

ЗЬс Эх ¿Й дТ

J/ll2(M=u,iyr = jlAx{t,l)<n- = T2X(t), г>0; |гч>(г17 )Л = у;1_, о о; (W

0 0 о

П((г,х,0) = П,0,х,+со) = 0, / = 1,2. (15)

Первый комплекс проблем, решаемых с помощью построенных моделей, относится к исследованию некоторых стохастических свойств случайных полей. В частности, третья глава посвящена исследованию дисперсии случайных полей тепломассо-переноса, описываемых параболическими уравнениями. В большинстве случаев на основе уравнений, полученных с помощью метода локальных средних значений, можно получить и аналитические и численные решения для средних значений и дисперсий. В качестве первой и часто используемой на практике (в детерминированной постановке) задачи была рассмотрена задача Коши, описывающая случайное тепловое поле в стержне бесконечной длины:

' = '>0, (16)

ЭП(х,1;Т) _ д2П(х,С,Т) В д2И(х,1;Т) & а дх2 + 2 ЭГ2

Щ' = 0,х,Т) = у(х,Т),х е (-о°,+«),Г б (0,+°°), (17)

здесь П(.х,/;'/') — ФПВ теплового поля, а — коэффициент температуропроводности, В — коэффициент диффузии случайного марковского поля температур. При постоянных начальных значениях моментных функций первого М™ч и второго М^ порядков дисперсия температурного поля имеет вид

о%х) = (М™ + ») - (М^)2 = а2ыч + 81, х^ (-оо;+оо), t> О (18)

Получили типичный для случайных диффузионных процессов и полей рост дисперсии, линейный по времени. Естественно предположить, что решение имеет смысл только на тех временах, когда дисперсия не сильно отличается от начальной. Это требование приводит к следующему соотношению для времени разумного использования решения: !В.

Весьма важными задачами описания стохастических полей являются те, стохас-тичность которых проявляется лишь за счет эмпирических ошибок, проявляющихся в связи локальных средних значений, а не во влиянии коэффициентов диффузии марковских полей. Особенностью таких задач является то, что стохастичносп. в начальных и граничных условиях воспроизводится в тех же закономерностях, что и в решениях для средних значений.

Была построена функция — преобразователь решения детерминированной начально-краевой задачи о теплопроводности в стержне конечной длины в решение соответствующей стохастической задачи для ФПВ при нулевом коэффициенте марковского поля

ДП г)2П

*><ие(0,/); (19)

Щ( = 0,х,Т) = ПЕ,ч(х,Т), Ге(0,+°о),*е(0,/); (20)

ПО,* = 0,Т) = По0,Г), Т е (0,4-), t е (0,/№); (21)

П(?,дг = l,T) = Tli(t,T), re(0,+~),re(0,fmJ; (22)

П(/, jc = 0,Г = 0) = П(Г,дг = О,Г = -н») = П(/,* = 1,Т = 0) = (23)

= П(/, д- = 1,т = + со) = П(* = 0, JC.7' = 0) = П(* - 0,х,Т = -н«) = 0.

-К»

При J mm(x,T)dr=/(*), лг € (0,/)

о

■foe

J m,(X,T)dT = h(t), 16 (0,iraaJ. (24)

0

Путем введения двух функций ф,(7') и ф2(Г), удовлегворяющихусловиям

= / = 1,2 (25)

0

+оо +оо

17ф, (T)dT = 0, Jrq>,(7yr = 0, (26)

о о

+0С +Ж

¡■J%(T)dT = <7?, ¡Т2ф2(Т)М^а22 . (27)

о о

решение задачи для ФПВ имеет вид

Щх,1,Т) = <р1(Т)-(<р1{Т)-<р2(Т))М<1Хх,0. (28)

Отсюда получается выражение, связывающее дисперсию случайного температурного поля со средними значениями:

= ст2 - (<т,2 - а1)Мт - {Мт?У1 б (0,^.), V* 6 {0,1). (29)

Если из результатов обработки экспериментальных данных на границах области и в начальный момент времени известны величины

■Ню 4<ю

^Тгфу(Т)ЛТ = <т1+цМт, ТЩ^сГГ = сг*, (30)

о о

то расчет дисперсии производится по формуле

а\х,1) = а,2 + (а2 + цЛ/"' -о?Ж(" -(Л/(1))2- (31)

Ценность предложенной функции — преобразователя решения задачи для средних значений случайного поля в решение задачи для дисперсии заключается в том, что практически все полученные раннее исследователями точные и приближенные, аналитические и численные решения трансформируются в решения задач для подсчета погрешностей. Это позволяет определять времена риска, зоны выхода из технологических режимов, нарушения условий Г ОСТов и т. п. При этом особую актуальность приобретает проблема обработки статистических данных, ус-

танавливаюпщх взаимосвязь между средними значениями и дисперсией на границах области и в начальный момент времени.

Предложенный в диссертации метод моделирования позволяет описывать явления теплопереноса не только в неподвижных областях, но и в областях с движущимися границами. Было проведено исследование некоторых стохастических свойств температурных полей и законов движения границ фазовых превращений. На основе стохастического аналога точного решения классической задачи Стефана, которое получено в случае равенства нулю коэффициента диффузии случайного поля, получены оценки дисперсии случайного теплового поля и дисперсии фронта фазового превращения. Дисперсия температурного поля в твердой (нижний индекс «1») и жидкой (нижний индекс «2») фазах имеет вид

Ф

щ

Ф

ТуЛС^

о2(дс,0 = М3вг1--

1 ф{*к)

|_ф[.

1-Ф

• ф

1

(32)

(33)

Зона «изрезанности» фронта фазового перехода определяется с помощью кинетического условия из уравнений

ф

-М10)-7 ф

' х ^

■¿- = Т

\ 1вя

т -т

7* _*2н»ч ^шивосния

■5 пои /

1-Ф

1-Ф

' X ^

.-о.ОМ),

(34)

(35)

При этом получаем, что зона изрезанности фронта всегда постоянна (рис. 1). Это объясняется тем, что не было учтено влияние коэффициентов марковского поля.

Репрезентативным представляется результат решения задачи абляции шарового тела с учетом стохастичности поля температур (при ненулевом коэффициенте диффузии марковского поля). Средние значения температуры вычисляются по формуле

М?\1,х) = Ц,Х,ТУТ = М12 + {М\ -М\) Г д *е[0;л(/)],I >0; (36)

где закон движения границы раздела фаз имеет вид .у(7) = а>/7, а дисперсия вычисляется с помощью выражения

2

а](х,г) = В( +Мг2 + (М<2) - М2)

¿Ш-^О,-

. (37)

Рис.1. Зона «изрезанности» плоской границы фазового перехода В случае отличного от нуля коэффициента диффузии случайного температурного поля размер зоны «изрезанности» фронта растет пропорционально (рис. 2), причем коэффициент пропорциональности определяется величиной коэффициента диффузии марковского поля В. Если скорость перемещения фронта фазового превращения меньше или равна скорости роста зоны «изрезанности», то следует говорить о неустойчивости границы раздела фаз. Это означает, что фронта как такового не существует. Подобная картина определяется статистическим распределением и развитием во времени центров образования новой фазы, которые и определяют величину В. Теоретическая оценка для В может быть произведена на основе методики, предложенной в работах Б. Я. Любова, Э. М. Карташова и В. В. Шевелева.

Рис. 2. «Изрезанность» сферического фронта фазового перехода при ненулевом коэффициенте диффузии марковского пот 11

На основе предложенной в диссертации стохастической модели сушки с помощью функции — преобразователя решения задачи о средних значениях относительной температуры £ге[0;1] и влагосодержания Ху^^Ч в решение задачи для дисперсии были выведены следующие формулы в предположении постоянства начальных и граничных значений моментаой функции второго порядка:

<4=о?+(«?-«?)1г-1п О2„=О24+(°б-<*4>Х(38)

где ст(2 (/ = 1,2, ..,6) — константы, известные из результатов расчета дисперсии на границах области и начальный момент времени. Если же функции в начальных и граничных условиях пропорциональны линейной зависимости от средней температуры, то дисперсия имеет вид

о2 (Л О= ++ Ц2 7- - о?)1 г - 2 ?; (39)

= «4 + (<*б (40)

На рис. 3 изображен ход дисперсий температуры и влагосодержания в зависимости от их граничных и начальных значений. Приведенные графики показывают, что в зависимости от соотношения дисперсий в начальный момент времени и на границах тела, максимумы а2 (*,?) и <т2(д:,/) будут достигаться в разных точках и в разные моменты времени. Все это должно учитываться при проведении сушки, а также при определении времени ее окончания.

В четвертой главе было проведено исследование дисперсии случайных полей, описываемых гиперболическими уравнениями. Получены оценки дисперсии случайного теплового поля при распространении с конечной скоростью начальных всплесков температуры. Постановка задачи для ФПВ производится с помощью телеграфного уравнения без учета коэффициента диффузии марковского поля. Дисперсия в этом случае распространяется с той же скоростью лДТт, что и начальное возмущение температурного поля и экспоненциально убывает со временем:

"к

.(41)

Здесь АО*) — начальное значение моментаой функции второго порядка; /0(г), /,(г) — модифицированные функции Бесселя; т — время релаксации температурного поля.

Далее исследовался высоконестационарный тепло- и массоперенос в области с движущейся границей при неизвестных кинетических условиях. На подвижной границе фазового перехода считались известными значения средних значений и дисперсий.

Дисперсия для фронта фазового перехода имеет вид: о^(/) = о^(0) + /?,(1)[т,(2) —Д(г)],

где Я, (<) — закон движения температурного фронта, а т[2) — величина, определяемая из аналога условия Стефана для моменгной функции второго порядка.

о Гт„, 1

а о

2

о и™»

ОГи

~ \

-у

а\ а

О 1 Ет

О 1 2т

О 1 2и„

Рис.З. Ход дисперсий температуры и влагосодержания в зависимости от их граничных и начальных значений

Стохастическому анализу была подвергнуты две тепловые модели испарения металлических тел в потоках мощного лазерного излучения. Для конусообразных и игло-

образных тел получены качественно соответствующие друг другу оценки для времени испарения. Так, для тела конусообразной формы размером 10 м по оси симметрии и максимальном поперечном размере = \0~*М время испарения при плотности падающего потока лазерного излучения д = 1,1-10иВт/м2 будет колебаться от 2,34 до 2,44 с.

Проведено исследование распространения волны, возникающей в результате локального взрыва в начальный момент. Получено, что первоначально локализованная по всем осям функция плотности распределения вероятностей с течением времени фронтально перемещается со скоростью С по и против пространственной оси Ох и со скоростью по и против оси характеристики. Среднее значение и дисперсия описывают распространение своих первоначально локализованных в пространстве начальных значений со скоростью с (здесь с — феноменологическая скорость распространения средних значений в пространстве, В — коэффициент диффузии случайного волнового поля).

Для практических целей весьма важно знать, как ведут себя случайные поля электрического тока и напряжения. Знание дисперсии этих полей позволяет определил» диапазоны времени, когда, например, в результате тепловыделения наступит момент плавления проводника. Получено, что дисперсии электрического тока и напряжения в проводнике в отсутствие внешних источников и при ненулевых коэффициентах диффузии марковского поля имеют вид

£>[х(*,0]=а1(х-а)+аг(х+а) + в/, ОДХО] = о2(х - се)+а2(х+а)+В(42)

В заключении четвертой главы был исследован случайный теплоперенос при фазовых превращениях, в постановке задачи для ФПВ, описывающей плотность теплового потока с сильным разрывом на границе раздела фаз. В этой задаче учтена конечная скорость переноса тепла, а кинетическое условие неизвестно. Дисперсия плотности теплового потока при сильном разрыве на границе фазового перехода такова:

Показано, что с учетом поправок к балансовому соотношению на границе раздела фаз, которое учитывает среднее квадратичное отклонение плотности теплового потока, можно найти поправки и к закону движения границы раздела фаз, решив две задачи: <2т(1,х = *±(/)) ± о, - = «(< + О.

Второй комплекс проблем, рассмотренных в диссертации, связан с описанием случайных процессов с точки зрения волновых представлений. В шестой главе исследо-

14

ваны некоторые вероятностные свойства решений уравнений, предложенных в диссертации для описания тех волновых свойств случайных процессов, которые обозначены во введении. Рассмотрены два типа разностных волновых уравнений:

• явная модель:

(46)

2 _ т

*=! \ Ö4k 1 °Чк /

• неявная модель:

+ (47,

ы{ ^ 2 Эqk )

+4\q,t+T)u(q,t + x)x¥{q,t + т)=0, t>0,qеК\

где h =2 min {о (t — 0)}, о (t = 0) — начальное значение среднего квадратичного

отклонения к-тк компоненты случайного векторного процесса) и U(qJ) — априорно известная функция.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Две комплексно-сопряженные функции ^(q, t) = a(q, t) + ib(q, /) * 0 и y¥*(q,t) = a(q,t) — ib(q,t)&0, являющиеся нетривиальными решениями предложенных разностных волновых уравнений, назовем коппексно-сопряженными компонентами ФПВ (или волнами вероятности) для случайного процесса p(q,t) = *¥(g,ty¥'(iq,t),

Доказаны следующие теоремы о свойствах решений волновых уравнений для функций 4{q,0 и 4f*(q,t).

ТЕОРЕМА 1 .Если и4¥*(q,t) нетривиальные решения волновых уравнений и

если для любых t>0 и J = 1,2,..., п выполняется равенство

lim ffat)4(qttyiijj,t) = b.

........

/-1,2, ,п

то интеграл

сходится, равен единице и не зависит от обобщенного времени I

ТЕОРЕМА 2. ФПВ, построенная с помощью решений уравнения (46), удовлетворяет явному аналогу разностно-дифференциального уравнения Лиувшля:

(Ш(Ыт=0. (48)

Аналогичная теорема доказана для решений уравнения (47). ТЕОРЕМА 3. Средние значения

<>= (//• • • -¿Ч» 0 = 12,...,«), (49)

<е^,ю)>, найденные с помощью нетривиальных решений уравнений (46) и (51) для Уи удовлетворяют явному (неявному) разностному уравнению для ком-

понент случайного векторного процесса Q{t¡,(íi):

<ед< + т,ю)>-<едг,ш)>

т

=< ШМА >, к = 1,2,..., и; (50)

* = 1„2,...,„. (51)

т

ТЕОРЕМА 4. Компоненты дисперсии о2{1)=<0!1{{)> — <()](1}>2 решения )-го уравнения для *¥{([, подчиняются следующим уравнениям:

+ = 2</;(2(лад),г)2Д/,ю)>-т</,(йО.со),/)>2-2<х/Дё(/,ш),<)>, (52)

= 2 < ^ + + х)еу(/ + Т,ш) > - (53)

-с < /у (ее + -с, а>), 1 + т) >2 -2 < (/ + т, со) х + т,ш),; + т)>.

При стремлении приращения аналога обобщенного времени к нулю уравнения (46) и (47) переходят в следующее дифференциальное уравнение:

дто_ ^Г^лММ Л

а*

дЧ) 2

+ (54)

А

Ч

Показано, что соответствующие теоремы о нормировке, о средних значениях и теорема Лиувилля являются следствиями аналогичных теорем для разностных уравнений, описывающих функции ¥(¡7,/) и*Р*(9,/). В частности, справедлива следующая теорема о дисперсии.

ТЕОРЕМА 5. Дисперсия решения ]-й компоненты случайного процесса, описываемого дифференциальными уравнениями для ¥(¡7,?) подчиняется уравнению <

2(< /демхоед®) >-< х /м^м >)■ <55>

Стохастический процесс £}(!,(о) неизменно связан с внешним шумом, который

Э

задается оператором обобщенного импульса = —/й0 ~—.

чЬЧ)

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Случайный вектор-оператор

1(0=- тя э/э чМ (56)

называется оператором обобщенного импульса по отношению к случайной функции Доказаны следующие теоремы.

теорема 6. Среднее значение обобщенного импульса удовлетворяет уравнению

(57)

теорема 7 (принцип неопределенности). Произведение дисперсии )-й компоненты случайного процесса, описываемого уравнениями (46) - (47) и дисперсии у'-й компоненты оператора обобщенного импульса не меньше величины ^/ц \ .

(58)

Поскольку приведенные уравнения для волн вероятностей приводят к уравнению Лиувилля, то это свидетельствует о том, что в их правых частях учитывается только момент первого порядка. Уравнение, учитывающее момент второго порядка, получено методом локальных средних значений и описано с помощью стохастического оператора Гамильтона.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Стохастическим оператором Гамильтона для слу-

— Э

чайного процесса 0(1,(й) с оператором обобщенного импульса £ — —/Й -—,

Щ]

характеризующим внешний шум, называется оператор

ы\2 дЧк) 2 * Э?,

здесь функция £/(¡7,0 называется обобщенной потенциальной энергией,

Определение 4. Уравнение

2 ддк ддк

К^ э (

назьгаается уравнением второго порядка для функций Ч'(г/,/) и ¥*(</,/), описывающих случайный процесс с шумом (или обобщенным уравнением Шредингера).

Для решений обобщенного уравнения Шредингера справедливы теоремы о среднем, о нормировке, принцип неопределенности. Особо следует выделить лишь следующую теорему.

ТЕОРЕМА 8. Если функция и(5", 0 удовлетворяет условию

+О0 +<» +00

3</,

(60)

7.... .АА Э

/

о,

/но средние значения всех компонент оператора импульсного шума равны нулю:

<1Х(?Д(0>= О, А: = 1,2,...,«,

а средние значения случайного процесса ()(1,(£>) подчиняются уравнению

Л

•=</ШМ0>. 7 = 1,2,...,л.

(61)

Были рассмотрены некоторые реализации предложенных постановок задач. Вначале было получено решение эволюционной задачи для явного разностного уравнения, описывающего функции и ЧР ((/,/). Получились следующие выражения для

средних значений и дисперсии:

/.Л _ , „/т .....С„/ПЧ ч\2 /, _ , 1.2 2ч[,]

< ?(/) >=< </(0) > (1 - *г)1-Ч ах(0 = (1 - гАт^^о^ОН < ?(0) >2) (< (9(0) >)2(1 - 2Ат+Аг2!2)1-'-1. (62) Здесь [...] означает операцию взятия целой части от величины, которая стоит в квадратных скобках.

Естп [1+ ¡,А<ч(0)>)2

любых начальных функциях дня функций нх¥'(дпри которых существует

решение поставленной задачи.

В отличие от условия убывания дисперсии соответствующей задачи для стохастического дифференциального уравнения -«><£,</(д)<к2<0, для убывания дисперсии рассматриваемой здесь стохастической величины <7(/) требуется выполнение неравенства, которое связывает приращение независимого аргумента с параметрами функции /(9) и начальными значениями «обобщенной» координаты и ее дисперсии. Чем больше по модулю начальное значение «обобщенной» координаты или чем меньше начальная дисперсия, тем верхняя граница для т ближе к нулю. Интересно сравнить также условие для т с соответствующим условием т<2/к устойчивости разностной задачи Коши для исходного разностного уравнения относительно средних значений <^(/)>. В полученной здесь формуле верхняя граница для т при < (/(О) > <е 1 или

о2(0)»1 более чем в четыре раза больше соответствующей верхней границы, которая получается в соответствии с неравенством т < 2/к и не зависит от начальных значений «обобщенной» координаты и дисперсии.

Сравним результаты решения задачи для явной и неявной схемы.

Имеем:

(63)

(0 - (°2(°)+(< >)2) - (< ш >)2 ^ 1

1+2**; [х+кх+к2?)

Из последнего соотношения следует, что при /(д) = —кц дисперсия убывает при любых т > 0. Если же /(*?) = к], то дисперсия возрастает и положительна лишь в области пересечения неравенств

' ^е-Ур-зд'-д-адМ-е+т/р-ад'-д-е) Л

0 < Т <-—------ П -—-----<Т<°°

к ; \ к у

, (64)

где е= \ , ' .г, о<е<1.

(<?(0)>)2 оа(0) + (<9(0 )>у

Учет случайных факторов в эволюционных моделях приводит к более жестким требованиям в отношении коэффициентов, которые отвечают за устойчивость, а именно, область устойчивости для стохастической модели, как правило, «уже», чем для детерминированной.

Были проведены исследования решений задач для дифференциального уравнения (54). Получено следующее решение в ввде суперпозиции волн:

Коэффициенты Ап находятся из начального условия для волновой функции - ф(q) с помощью разложения по ортонормированной системе функций Q„(q), где Еп является собственным значением операторного уравнения

\-fih ——0,5ih \0 = EnQ. Выбор собственных значений Е тесно связан с

V dq dq )

задачей определения допустимых приращений т независимого аргумента исходного уравнения для функций V(q,t) В самом деле, только при xn = 2ithql Еп бу-

дут получаться единицы и нули у мультипликативной и аддитивной составляющих полного решения исходного разностного уравнения на соответствующих сетках. Если в исходном одномерном разностном уравнении правая часть не зависит от т или же т столь мало, что можно пренебречь зависимостью /от т: f(q, т) = j\q), то при поиске Еп можно воспользоваться следующими соображениями.

В случае, когда требуется получить асимптотическое приближение к усредненной компоненте полного решения уравнения для функций ¥(q,t) и0 при hq —> 0 во всей области —°° < q < -Н», 0 < t < +», удовлетворяющее условию сшивания в точках, где функция f(q) обращается в нуль, можно воспользоваться так называемыми условиями Бора — Зоммерфельда:

где л = 1,2, ...,п0 (л0 — число Бегги), интеграл берется по и-му независимому циклу, /„ — индекс цикла, тп—любые целые числа.

Выпишем эти условия, когда функция /(</) имеет всего две так называемые точки поворота (остановки), т. е. такие точки, в которых /(ц) — 0. Пусть /(а) = 0 и

/(¿>) = 0, тогда \ ¿а=ж12п [ IV Если искать функции чтобы с их помо-

Пч)

щью оценить среднее значение и дисперсию в разрешенной области, т. е. в такой области а<д<Ь, где определена функция /(</), то условия, которые должны накладываться на Еп, принимают в случае, например, двух точек поворота а и Ь, такой вид:

-Был раи;мшрен еще один важный пример, относящийся к описанию случайного одномерного процесса со стационарным гауссовским распределением

(66)

РШ) = \пч{2п)ш ехр(—2(<7 - af!h\).

(67)

Если положил. = а затем подставил. = в

уравнение для функций и*Р*(д,<), то получим следующее решение, которое записа-

но с точностью до нормировочного множителя:

11/2

Y(9,0 = exp(-it/(0/AJ

^(2*)"2ехр(-2(<7-я)2/Й2?)

(68)

1

—i .2

Найденная функция описывает колебания с частотой ю = f//ft? около среднего значения < q >= а. Соответственно для полного описания поведения случайной величины q даже в случае стационарности < q(t) >= а = const наблюдаемого во времени среднего значения необходимо задание не только начальной дисперсии, но и частотной характеристики величины q, определяемой функцией U(q). Таким образом, (J(q) задает частоту флуктуации около среднего стационарно наблюдаемого значения случайной величины Подобная ситуация может иметь место в эксперименте с фиксированной в электростатическом поле броуновской частицей в середине (q = а) узкого сосуда с жидкостью, находящейся при постоянной температуре. Вверху и внизу сосуда расположены два более мощных заряда, одноименных с зарядом частицы. Толщина сосуда чуть больше диаметра частицы. Постоянные толчки со стороны молекул приводят к незначительным отклонениям частицы от положения равновесия, в которое она постоянно приводится фиксирующим электростатическим полем (или с помощью датах подобных упругим силам воздействий). Среднее значение, дисперсию и частоту колебаний можно экспериментально определить путем измерений. Заданием этих величин наблюдаемый случайный процесс тем самым будет полностью определен, и его описание предпочтительнее вести с помощью предложенного здесь под хода.

Третий комплекс проблем, исследованных в диссертации, имеет отношение к практическому приложению предложенных стохастических моделей и связанных с ними алгоритмов первичной обработки экспериментальных данных и идентификации сложных систем. Главное направление исследований заключается в выработке конкретных критериев и рекомендаций по управлению случайными процессами и полями. Эти проблемы изложены в пятой и седьмой главах.

Среди первых была рассмотрена проблема управления стохастическим тепловым полем в жидкой среде, заключенной в цилиндре высотой h и радиусом поперечного сечения г . Исходная постановка задачи такова. Требуется описать температурное поле с помощью следующего уравнения для ФПВ

dM (*,г,г.Г)д (69)

aJn(f,r,z,r)] . ЭП(t,r,z,T) i , dTl(t,r,z,T) . d2H(t,r,z,T)

t > 0, r 6 (O.O, z e (0, A); 0< T <

при граничных условиях первого рода на боковой поверхности (стенках) цилиндра, нулевом потоке на оси цилиндра, граничных условиях на торцах цилиндра, соответствующих теплоизоляции, начальном условии в виде априорно известной функции.

По измеренным значениям температуры 7'жи[(^) в одной пространственной точке (г=г0,г = Н/2) в моменты времени (/ = \,р) составляется невязка

5Ц,...,^) = 0,5х||шК,Г„г = 0,г = А/2, ТУГГ-Т^ )| ,

которая минимизируется. Здесь Щс1т,1,г,2,Т) — решение прямой задачи при значениях (1т на данном шаге минимизации. Минимизацию невязки целесообразнее всего производить на основе метода искусственной гравитации. Идея метода искусственной гравитации заключается в том, что в гпестимерном пространстве (Ц,...,б/55 в направлении, противоположном оси минимизируемой величины 5, вводится аналог ускорения свободного падения g. Фиктивная материальная точка движется в этой внутренней области по законам кинематики и отражается от внутренней стороны поверхности Б(с11,...,с15) = О либо по закону абсолютно упругого удара, либо по любому другому направлению, выбранному априори. Преимущества того или иного выбора направления движения фиктивной материальной точки обсуждаются в диссертации.

Результатом решения прямых и обратных задач при описании случайного теплового поля в жидком материале, который находится в резервуаре цилиндрической формы, является формулировка рекомендаций к формированию этапов управляющих внешних воздействий.

Первый этап заключается в нахождении параметров аналогов теплофизиче-ских характеристик и коэффициента диффузии марковского поля: с1т {т = 1,2,..., 5) на основе экспериментально измеренных значений температуры жидкого материала с помощью установленного в резервуаре датчика.

Этот этап осуществляется путем решения обратной задачи теплопроводности. При этом нами сознательно применяется термин «аналог теплофизических характеристик», так как из-за тех или иных факторов реального производственного процесса экспериментально измеренные значения теплоемкости и теплопроводности могут отличаться от измеренных в лабораторных условиях данных, приведенных в соответствующих таблицах. Однако температура, рассчитываемая с помощью этих «аналогов», оказывается ближе к реальным значениям, чем та, которая находится с помощью таблиц теплоемкости и теплопроводности. Это обусловлено тем, что влмнис многто первоначальто не учтенных внешних по отношению к модели факторов в итоге «аккумулируются» в коэффициентах с1т, включающих и коэффициент диффузии марковского поля .

На втором этапе на основе найденных нелинейных аналогов теплоемкости и теплопроводности численно решается прямая задача по определению температуры жид-

22

кого материала в заданной пространственно-временной сетке. Далее рассчитываются два параметра. Первый параметр V представляет собой отношение объема поля (У0), в котором температура жидкого материала вышла за пределы регулируемого значения, к общему объему резервуара (пг^Л): у = Уц/пг^Н. Вторым параметром является Д — расхождение реальной измеренной температуры жидкого материала в контрольной точке резервуара и температуры, рассчитанной с помощью прямой задачи.

На третьем этапе адаптивная система осуществляет переход к новому режиму управления с учетом указанных параметров. Критерием перехода к новому режиму управления всем полем температур будет считаться момент, когда V и Д выйдут за допустимые пределы. В этом случае пересматриваются величины управляющего воздействия (температура «хладоносителя» и скорость его подачи в «рубашку» резервуара), либо производится повторное решение обратной задачи теплопроводности по нахождению нелинейных аналогов теплофизических характеристик, либо ставится под сомнение точность измерения датчиков температуры и они заменяются на более точные. Процедуру настройки адаптивной системы управления на новые значения аналогов теплофизических характеристик и коэффициента диффузии марковского поля предполагается повторять также при поступлении новых партий жидкого материала.

Аналогичным образом в § 5.2 построены алгоритмы идентификации стохастической модели Солоу и стохастической модели сушки, а также предложены алгоритмы выработки рекомендаций на основе решения идентификационных задач. Особенностью этих задач является то, что, несмотря на наличие двух характеристик, например, в случае сушки — температуры и влагосодержания, неизвестные параметры можно искать при наличии измерений всего одной характеристики (в случае сушки — температуры).

Один из основных аспектов развиваемого здесь подхода к феноменологическому описанию случайных явлений заключается в исследовании погрешностей измерительных приборов и экспериментальных установок, поскольку эти погрешности служат основой для формирования стохастических моделей.

В § 5.4 предложен и численно реализован алгоритм обработки экспериментальных данных, в котором учитывались бы погрешности измерения и температуры, и пространственной координаты. Этот алгоритм позволил уточнить погрешности, возникающие при экспериментальном измерении методом радиального теплового потока или методом цилиндра коэффициентов теплопроводности \(Т,а0,а^) и температурного коэффициента линейного расширения. а(Т,а0,а}). Было рассмотрено 148 вариантов широко применяемых в теплофизической практике двухпараметрических зависимостей А.(Г,а0,а,) и а(у,а0,с^), которые использовались в фортран-программе обработки результатов измерений. Результаты представлены на рис. 4 и 5.

Рис.4. Восстановление зависимости между температурой и пространственной координатой: I — результат применения традиционного метода наименьших квадратов: Т= 1133 - 28,6г; 2 —результат минимизации суммы квадратов относительных погрешностей температуры и пространственной координаты: Т - 1270 - 37,7г; 3 — точная зависимость: Т = 1214 - 34л; точки — данные, по которым восстанавливалось температурное поле Т, "С,- г, м

Рис.5. Зависимость коэффициента теплопроводности от температуры: 1 — результат применения традиционного метода наименьших квадратов: К{7) - 36/(1133 - Т); 2 — результат минимизации суммы квадратов относительных погрешностей температуры и пространственной координаты: ЦТ) - 64/(1270 - Т); 3 — точная зависимость: Ц1) = 61/(1214 - I). X, Вт/(м к)

В § 5.5 рассматривается методика проведения анализа технико-экономических показателей турбоустановок тепловых электростанций. Основой анализа является обратная задача теории погрешностей, заключающаяся в нахождении связи между средними квадратичными отклонениями выходной информации о2 и входной информации а, (/ = 1,2,...,я). ;

Было предложено найти решение этой задачи на основе метода наименьших квадратов, в котором учитываются и погрешности функции, и погрешности аргументов. Идея метода наименьших квадратов, учитывающего и погрешности функции и погрешности аргументов, как известно, сводится к минимизации суммы

5 = (в0а2 со специально выбранными весовыми коэффициентами со,. В итоге

получилась следующая формула для расчета средних квадратичных отклонений параметров турбоустановок:

2'+а, X

К!

(70)

/Ж+а,!'

в этой формуле ак — регулярнаирующие добавки, близкие к нулю для больших по модулю компонент градиента и приводящие к относительной погрешности около 1%, приращение &хк варьировалось от 0,00до 0,01х4, а разностные производные имели второй порядок точности.

С помощью описанного метода были проведены расчеты оптимальных распределений погрешностей измерений удельного расхода тепла ц (ккал/(кВт-ч)), давлений Р

(атм) и температур Т (°С) тепловой схемы турбоустановки типа К-800-240/5 при следующих индексных обозначениях: «св. п.» — свежий пар, «д» — деаэратор, «к» — конденсатор, «ЦВД», «ЦВС», «ЦНД» — цилиндры высокого, среднего и низкого давления, «о1», «о2», ..., «о8»— отборы с первого по восьмой, «1» в нижнем индексе означает, что параметр измерялся на входе цилиндра, а «2» — на выходе цилиндра. При этом рассматривались погрешности измерения давления, температуры пара в проточной части турбины, и давления пара в подогревателях. Расчеты проводились на примере тепловой схемы турбины энергоблока Сур1угской ГРЭС-2 (К-800-240/5ЛМЗ). Результаты расчетов показали, что порядок и знаки компонент вектора градиента сильно различаются. По значениям частных производных рассматриваемые параметры можно условно разделить на три группы. В табл. 1 представлены наиболее характерные (из 41) для каждой группы данные (с наибольшими и наименьшими значениями градиента по модулю).

Таблица 1

Разностные производные

Параметр Значение компонент градиента при нагрузке, отн. ед. Погрешность измерений

1,0 0,8 0,6 0,4

р Н.НД1 -40,981 -46,388 -57,355 -80,459 0,0024

р. -61,644 -69,067 -83,070 -101,649 0,006

Т са п 2,485 2,341 2,223 2,128 4,8

Р 2,073 1,951 1,865 1,827 2,4

0,000 0,000 0,000 0,000 0,06

0,042 0,066 0,085 0,066 4,3

В первую группу входят параметры с большими по модулю значениями производных. К ним относится прежде всего давление пара в низкопотенциальной части турбины. Это объясняется прямым влиянием этих параметров на количество отдаваемого в конденсаторе тепла.

Ко второй группе можно отнести параметры со средними значениями производных. К ним относятся давления и температуры пара на входе и выходе из цилиндра турбины. Их влияние определяется изменениями потерь на межцилиндровое дросселирование. 1

Наконец, к третьей группе относятся параметры с производными, близкими к нулю, — параметры пара в промежуточных отборах из цилиндров турбины. Незначительность влияния их погрешности обусловлена тем, что измените значения параметра при , расчете приводит только к перераспределению расходов и мощностей внутри цилиндра.

По данным реальных измерений уменьшение погрешности измерения температуры в 10 раз также приведет к снижению относительной погрешности до 1,5%. Однако погрешность определения д предпочтительнее уменьшать с учетом свойств исследуемого объекта, а это не обязательно приводит к одинаковому уменьшению всех погрешностей. По существующей практике подбор измерительных приборов проводился без полного анализа влияния всех факторов на изменение выходных характеристик. Это привело к тому, что часть приборов имеет неоправданно низкие погрешности, другая же часть — завышенные точности измерений. Обратное моделирование погрешностей позволяет систематизировать точностные показатели приборов, получив их оценки из реального сочетания свойств действующего объекта, а также учесть статистическую природу проявления погрешностей. Поскольку наибольший вклад вносят погрешности измерения температур, то увеличение точности измерений Т на один порядок должно привести, по данным решения прямой задачи, к уменьшению погрешности вычисления удельного расхода тепла примерно со 120 до 30 ккал/(кВт-Час), т. е. с 6,0 до 1,5%.

В седьмой главе построены постановки задач на основе обработки экспериментальных данных по методу «падающих прямоугольников».

Среди множества данных, описывающих поведение случайных объектов, имеются такие, которые представлены наборами точек на плоскости или же ломаными линиями. В диссертации предложен экономичный метод построения гистограмм для такого набора точек на плоскости (начиная с трех). Идея нахождения такой гистограммы состоит в аппроксимации промежуточных значений табличной функции отрезками прямой (или кривой). Каждый участок монотонности осциллирующей кривой или ломаной проецируется на ось ординат в виде прямоугольника единичной высоты. На каждом последующем шаге падающая «надстройка приземляется» на первый попавшийся Г выступ. В результате получается ступенчатая фигура, с помощью которой легко получить гистограмму.

Обозначим площадь каждого 1-го прямоугольника с высотой Л единиц через а площадь всей построенной фигуры через . Тогда относительные частоты появления величины у на участке основания каждого получившегося прямоугольника можно подсчитать так: V, = ()1 !<2к, к = \,2,...,т. Полученная ступенчатая фигура на плоскости

ö__Jh

при уе[у0-,н\1

<кш-Уо) ею'

гхын

(71)

a_= Ji

при уь{ут-{,ут]

и будет искомой гистограммой.

Построенная таким образом гистограмма также удовлетворяет условию нормировки. Среднее значение и дисперсия вычисляются по формулам

Предложенный алгоритм учитывает только информационные свойства кривой, связанные с монотонностью, но не учитывает изменения выпуклости. Однако это можно исправить, если построить методом падающих прямоугольников две ступенчатые фигуры: одну по участкам монотонности, /фугую по участкам выпуклости. Можно таким образом исследовать и другие производные.

Были построены постановки задач теплопроводности на основе экспериментальных осциллирующих данных на границах тела.

Для построенных гистограмм можно определить статистическую энтропию как

Предлагаемая методика расчета энтропии была использована для анализа физиологических ритмов, наблюдаемых при измерении электрических сигналов, сопровождающих работу сердца. При нормальной работе сердца энтропия неограниченно возрастает, как при хаотическом режиме, и не имеет значительных участков, почти параллельных оси абсцисс.

(72)

ja wy Q- y?+y,y.-i+yh (у y-y^-x Q, tree,) з ttr 2 Q(tk)

= 1,2,...,». (73)

(74)

Рис.6. Электрокардиограмма больного суправентрикулярной тахикардией (из работы Bellett S. Clinical Disorders of the Heartbeat. - Philadelphia, USA:

Lea&Febiger, 1971)

При аномальной координации между предсердными и желудочковыми ритмами наблюдается чередование ритмов разной амплитуды — альтернате (рис. 6). Характерное поведение энтропии при альтернансе представлено на рис. 7, из которого виден нерегулярный характер монотонности (большие участки плато).

' ) /

1 „ „

Рис. 7. Обработка электрокардиограммы

Описанную процедуру обработки электрокардиограмм можно распространить и на исследование электроэнцефаллограмм и других медицинских данных.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертационной работе решена актуальная проблема разработки математических моделей для описания и управления случайными явлениями, которые соответствуют ряду детерминированных моделей классической математической физики, в частности, моделям диффузионного и волнового переноса массы и энергии. Сконструированы уравнения, позволяющие исследовать периодически изменяющуюся во времени тонкую структуру опытных данных для случайных процессов разнообразной природы. На основе этих моделей предложена методика расчета пространственно-временного распределения дисперсии температуры, концентрации вещества, электрического тока и потенциала, а также дисперсии положения фронта фазового превращения и волнового фронта.

Основные результаты работы.

1. На основе гипотезы локальных средних значений получены новые постановки начально-краевых задач для уравнений в частных производных, описывающие случайные поля теплопроводности, диффузии, влагопереноса и распространения волн. Доказаны теоремы о нормировке функции плотности распределения вероятностей, о средних значениях и дисперсии.

2. Проведено исследование стохастических свойств случайных тепловых полей. Найдены дисперсии температуры в конечном и бесконечном стержне. Определены значения средних квадратичных отклонений полей температуры и влагосодержания в областях с неподвижными границами и в нецилиндрических областях, в частности, изучены слу-чайпые поля тепло- и массопереноса при фазовых превращениях. Рассматривались как аналоги классических постановок задач, соответствующих закону Фурье, так и задачи, в которых учитывались конечные скорости переноса теплоты и массы. Найденные решения поставленных задач позволили рассчитать пределы наступления критического времени

28

начала фазового превращения, определить границы «изрезанности» фронта фазового превращения и сделать вывод об условиях его устойчивости. Кроме того, определены критерии, позволяющие вычислять погрешность времени окончания процесса сушки, достижения волновым фронтом заданных позиций. Показано, что дисперсия многих случайных полей тепломассопереноса содержит составляющую, пропорциональную В/, а дисперсия волновых полей — пропорциональна Я/2, где В — коэффициент диффузии случайного поля, а I — время.

3. Многие оценки достигнуты с помощью найденной функции-преобразователя решения задачи для средних значений в решение задачи для дисперсии. Это позволяет использовать накопленный к настоящему времени аппарат решения задач для уравнений в частных производных при исследовании случайных полей.

4. На основе усовершенствованного метода наименьших квадратов получены прямые и обратные зависимости для коэффициента теплопроводности и коэффициента линейного теплового расширения, что позволило уменьшить ошибки при обработке экспериментальных измерений этих величин методом цилиндра. Алгоритм численно реализован.

5. На основе модифицированной обратной задачи теории погрешностей достигнута оптимизация распределения погрешностей измерения параметров турбоустановок. Это позволило выработать обоснованные оценки к точности проводимых на тепловых электростанциях измерений и указать пути сокращения затрат на процесс измерений параметров. Алгоритм численно реализован.

6. Для обработки данных измерений случайных явлений предложен метод падающих прямоугольников, позволивший получить гистограммы, на основе которых строятся постановки задач для предсказания поведения исследуемых объектов.

7. На основе метода падающих прямоугольников предложен и численно реализован способ расчета гистограммы и статистической энтропии по экспериментальным наборам точек и осциллирующим кривым. Метод позволяет исследовать случайные явления с неизвестной математической моделью и высказывать предположения о смене режима поведения исследуемых объектов. В частности, исследованы некоторые медицинские данные. В отличие от существующих способов нахождения гистограмм и статистической энтропии предложенный в диссертации способ обладает вычислительной экономичностью и эффективностью. Алгоритм численно реализован.

8. Предложены дифференциально-разностные и дифференциальные уравнения для волн вероятностей, позволяющие описывать не только корпускулярные, но и волновые аспекты случайных явлений. Доказаны теоремы о нормировке, средних значениях и дисперсии. Приведен вывод соотношений неопределенности. Дана трактовка аналога постоянной Планка как удвоенного произведения минимальных начальных значений средних квадратичных отклонений оператора шума и характеристики процесса Получены и исследованы решения некоторых эволюционных задач. Предложенные уравнения для волн вероятностей могут использоваться для описания повторяющейся во времени и пространстве тонкой структуры гистограмм.

9. Разработаны алгоритмы управления некоторыми производственными технологическими процессами, которые основаны на решении обратных задач. Для решения этих задач разработан метод искусственной гравитации, предназначенный для нахождения минимума невязки. В отличие от существующих методов этот метод обладает большей управляемостью при проведении численных расчетов. Реализация предложенных алгоритмов позволяет снизить риски выпуска некачественной продукции, усовершенствовать методику экспериментального нахождения параметров, уменьшить затраты на измерительные приборы, оптимизировать экономические показатели.

СПИСОК РАБОТ, ОПУБЛИКОВАННЫХ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Соловьев И. А. К вопросу о релаксационном варианте стефановских задач // Инженерно-физический журнал. - 1981. - Т. 40. - №2. - С.373-374.

2. Соловьев И. А. Решение тепловой задачи об испарении конусообразных тел в мощных потоках излучения // Инженерно-физический журнал. - 1980. - Т. 39. - №3. -С. 532-537.

3. Соловьев И. А., Смирнов М. С. Высоконестационарный тепло- и массоперенос в области с движущейся границей при неизвестных кинетических уравнениях // Инженерно-физический журнал. - 1986. - Т. 51. - №2. - С. 317-322.

4. Соловьев И. А., СмирновМ. С, Лысенко И. И. Исследование высоконестационарного тепло- и массопереноса в начальной стадии // Аналитические методы расчета процессов тепло- и массопереноса. Материалы Всесоюзного совещания. - Душанбе: Издательство Дониш, 1986. - С. 3-4.

5. Соловьев И. А., Смирнов М. С., Лысенко В. И. Алгоритм решения задачи теп-ло-и массообмена с сильными разрывами на границе фазового перехода // Аналитические методы расчета процессов тепло- и массопереноса. Материалы Всесоюзного совещания. - Душанбе: Издательство Дониш, 1986. - С. 5-6.

6. Соловьев И. А. Метод искусственной гравитации в задаче минимизации функции // Новые информационные и электронные технологии в народном хозяйстве и образовании. Тезисы докладов. - М.: Издательство МЭИ, 1990. - С. 41.

7. Соловьев И. А., Зуев А. В., Самсонова Е. А., Кириллов В. Н. Обработка данных стационарных теплофизических экспериментов с учетом погрешностей всех измеряемых величин // Инженерно-физический журнал. - 1992. - Т. 62. - №2. - С. 294-300.

8. Соловьев И. А., Махров В. В., Мирошниченко В. И., РебровМ.В. Метод искусственной фавитации для решения задач оптимизации процессов теплообмена. // Те-пломассообмен-ММФ-92. Труды 2-го Минского международного форума по тепломас-сообмсну. Т. 9. Вычислительный эксперимент в задачах теплообмена. Ч. 2. - Минск: АПК «ИТМО им. А. В. Лыкова» АПБ, 1992. - С. 158-161.

9. Соловьев И. А. Разностные уравнения в пространстве непрерывного изменения независимых аргументов // Вестник МЭИ. - 1995. - №6. - С. 109-118.

10. Соловьев И. А. Волновые стохастические компоненты решений разностных уравнений переноса теплоты и массы // Тепломассообмен-ММФ-96. Труды 3-го Минского международного форума по тепломассообмену. Т. 9. Вычислительный эксперимент в задачах теплообмена и теплопередачи. Ч. 1. - Минск: АНК «ИТМО им. А. В. Лыкова» АНБ, 1996. - С. 209-213.

11. Соловьев И. А. Уравнения для волн вероятности, моделирующих поведение случайных величин, средние значения которых описываются системой обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка // Теоретическая и математическая физика. - 1997. - Т. 111. - № 3. - С. 356-368.

12. Соловьев И. А. Уравнения дня случайных тепловых полей // Инженерно-физический журнал. - 2000. - Т. 73. - № 2. - С. 396-400.

13. Соловьев И. А. Описание с помощью волн вероятности поведения стохастических величин, средние значения которых подчиняются системе разностных уравнений // Теоретическая и математическая физика. - 2001. - Т. 115. - №1. - С. 56-76.

14. Соловьев И. А. Обобщенное уравнение Шредингера для стохастических процессов с шумом // Третий Сибирский конгресс по прикладной и индустриальной математике. (ИПРИМ-98). Тезисы докладов. Ч. 1. - Новосибирск, 1998. - С. 34.

15. Соловьев И. А. Уравнения для описания стохастических полей электрического напряжения и тока // ICEMC-2001. Труды 4-й Международной конференции по физико-техническим проблемам электротехнических материалов и компонентов. - М.: Издательство МЭИ, 2001. - С.293-294.

16. Соловьев И. А. Стохастическая модель сушки // Математические модели физических процессов и их свойства: Материалы 8-й Международной конференции. - Таганрог: Издательство Таганрогского педагогического института, 2002. - С. 149-151.

17. Соловьев И. А. Некоторые свойства решений уравнения в частных производных, описывающее стохастическое волновое поле // Дифференциальные уравнения и их приложения. Самара. - Самара: Издательство Самарского строительного университета, 2002.-С. 348-352.

18. Соловьев И. А. О прогнозировании дисперсии случайных тепловых полей // Известия РАН. Энергетика. - 2002. - № 6. - С 109-115.

19. Соловьев И. А. Об управлении случайным тепловым полем // Известия РАН. Энергетика. - 2002. — № 6 . - С 102-108.

20. Соловьев И. А., Соловьев В. И. Параметрическая идентификация стохастического аналога модели Солоу с использованием минимизации на основе модифицированного метода искусственной гравитации // Вестник университета. Информационные системы управления. - 2002. - Вып. 1(4).~С.121-138.

21. Аракелян Э. К., КарягинА.В., Соловьев И. А. Оптимизация распределения точности измерений параметров турбоустановок // Вестник МЭИ. -1995. - №1. - С. 11-16.

22. Аракелян Э. К., КарягинА. В., Соловьев И. А. О погрешностях измерения па>-раметров турбоустановок // Новые методы и средства экономии энергоресурсов и эко-

31

логические проблемы энергетики. Тезисы докладов 2-й Международной научно-технической конференции. - М.: МЭИ, 1995. - С. 130-131.

23. Волков И. К., Лысенко А. С., Сочовьев И. А. Параметрическая идентификация математической модели сушки методом искусственной гравитации // Препринт № 8. - М.: Физико-технологический институт АН СССР, 1991. - С. 1-16.

24. Гагарин М. А., ИвановО. К., Соловьев И. А. Оценка скорости движения бродильной смеси, полей и температуры и концентрации Сахаров при шампанизации вина // Виноделие и виноградарство СССР. -1981. - №8 (№ 367). - С. 55-56.

25. Исследование поля температур виноматериала в резервуаре цилиндрической формы / М. А. Гагарин, В. П. Бакунин, Р. И. Зелененко, А М. Гагарин, М. В. Жиров, Т. В. Ликучева, Pi. А. Соловьев, И. С. Пулькин // Виноделие и виноградарство. - 2002. -№3. - С. 38-40.

26. LuikovA. V., BubnovV.A., Soloviev I. A. On wave solution of heat-conduction equation // International Journal of Heat and Mass Transfer. - 1976. -V. 19. - P. 245-248.

27. Мартыненко О. Г., Сочовьев И. А. Способ приближенного решения задачи об испарении металлических тел в потоке мощного излучения // Физика и техника аэро-термооптических методов управления и диагностики лазерного излучения. - Минск: ИТМО АН СССР, 1981.-С. 3-11.

В заключение хочу выразить искреннюю признательность моим научным консультантам: заслуженному деятелю науки РФ, доктору физико-математических наук, профессору Э. М. Карташову и доктору физико-математических наук, профессору В. В. Шевелеву.

Подписано в печать ■!h.Gh.loci i

Объем 2 п. л. Тираж 100 экз.

Типография МГГу. 117935, Москва, Ленинский проспект, д.6

Формат 60X90/16 Заказ №32/

2-ооз-А

- 6 9 15

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ.

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. СОВРЕМЕННОЕ СОСТОЯНИЕ ПРОБЛЕМЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ

ПРОЦЕССОВ ПЕРЕНОСА.

1.1. О НЕКОТОРЫХ ИСТОРИЧЕСКИХ АСПЕКТАХ ПОСТРОЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АППАРАТА ДЛЯ СЛУЧАЙНЫХ ЯВЛЕНИЙ.>.

1.2. УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ОПИСАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ.

1.3. О СУЩЕСТВУЮЩИХ ПОДХОДАХ К ОПИСАНИЮ ПОЛЕЙ ТЕПЛО- И МАССОПЕРЕНОСА.

1.4. СТОХАСТИЧЕСКАЯ ТРАКТОВКА РАЗНОСТНЫХ МОДЕЛЕЙ НЕПРЕРЫВНЫХ ПРОЦЕССОВ, ПОЛУЧЕННЫХ В РЕЗУЛЬТАТЕ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ИЗМЕРЕНИЙ.

1.5. ЗАМЕЧАНИЯ О МЕТОДЕ Ш.К.-МА ДЛЯ ПОДСЧЕТА ЭНТРОПИИ ПО ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫМ ДАННЫМ.

1.6. ИДЕНТИФИКАЦИОННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И ЕГО СВЯЗЬ С ПРОБЛЕМАМИ УПРАВЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫМИ ПРОЦЕССАМИ И ПОЛЯМИ.

ГЛАВА 2.ФЕНОМЕНОЛОГИЧЕСКИЙ ПОДХОД К ПОСТРОЕНИЮ

УРАВНЕНИЙ ДЛЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ И ПОЛЕЙ.

2.1. ВЫВОД УРАВНЕНИЙ ДЛЯ ОПИСАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ И ПОЛЕЙ.

2.2. О СВОЙСТВАХ РЕШЕНИЙ НАЧАЛЬНО-КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ФУНКЦИИ ПЛОТНОСТИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ, ОПИСЫВАЮЩЕЙ СЛУЧАЙНОЕ ТЕМПЕРАТУРНОЕ

ПОЛЕ.

2.3. ПОСТАНОВКИ ЗАДАЧ ДЛЯ ФПРВ, СРЕДНИХ ЗНАЧЕНИЙ И ДИСПЕРСИИ, КОТОРЫЕ СООТВЕСТВУЮТ СТАЦИОНАРНЫМ ВО ВРЕМЕНИ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫМ МОДЕЛЯМ, ОПИСЫВАЕМЫМ С ПОМОЩЬЮ УРАВНЕНИЙ ЛАПЛАСА И ПУАССОНА.

2.4. ТЕОРЕМЫ О СВОЙСТВАХ РЕШЕНИЙ НАЧАЛЬНО-КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ФПРВ, ОПИСЫВАЮЩИХ СЛУЧАЙНЫЕ ПОЛЯ ТЕПЛО-МАССОПЕРЕНОСА.

2.5. ОПИСАНИЕ ТЕПЛОВЫХ ПОЛЕЙ В ОБЛАСТЯХ С ПОДВИЖНЫМИ ГРАНИЦАМИ С УЧЕТОМ СЛУЧАЙНЫХ ФАКТОРОВ.

2.6. ТЕОРЕМЫ О СВОЙСТВАХ ФПРВ ВОЛНОВОГО

ПОЛЯ.

ГЛАВА 3. О ДИСПЕРСИИ СЛУЧАЙНЫХ ПОЛЕЙ ТЕГОЮ

МАСООПЕРЕНОСА, ОПИСЫВАЕМЫХ ПАРАБОЛИЧЕСКИМИ

УРАВНЕНИЯМИ.:.

3.1. ТРАНСФОРМАЦИЯ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ ФУНКЦИИ ПЛОТНОСТИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ В ЗАДАЧУ ДЛЯ НАХОЖДЕНИЯ ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННОЙ ЗАВИСИМОСТИ ДИСПЕРСИИ.

3.2. ФУНКЦИЯ-ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЬ , РЕШЕНИЯ ДЕТЕРМИНИРОВАННОЙ НАЧАЛЬНО-КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ О ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ В СТЕРЖНЕ КОНЕЧНОЙ ДЛИНЫ В СООТВЕТСТВУЮЩЕЕ РЕШЕНИЕ СТОХАСТИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ ПРИ НУЛЕВОМ КОЭФФИЦИЕНТЕ ДИФФУЗИИ МАРКОВСКОГО ПОЛЯ.

3.3. ДИСПЕРСИЯ СЛУЧАЙНОГО ТЕПЛОВОГО ПОЛЯ В СТЕРЖНЕ КОНЕЧНОЙ ДЛИНЫ ПРИ НЕНУЛЕВОМ КОЭФФИЦИЕНТЕ ДИФФУЗИИ МАРКОВСКОГО поля.

3.4. ОЦЕНКИ ДИСПЕРСИИ СЛУЧАЙНОГО ТЕПЛОВОГО ПОЛЯ НА ОСНОВЕ . ТОЧНОГО РЕШЕНИЯ СТОХАСТИЧЕСКОГО АНАЛОГА ЗАДАЧИ СТЕФАНА.j.

3.5. ИССЛЕДОВАНИЕ СТОХАСТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ СУШКИ.

3.6. О СТОХАСТИЧЕСКОМ ТЕМПЕРАТУРНОМ ПОЛЕ В СТЕРЖНЕ С ВНУТРЕННИМИ ИСТОЧНИКАМИ ИЛИ СТОКАМИ ТЕПЛА.

ГЛАВА 4. О ДИСПЕРСИИ ДЛЯ СЛУЧАЙНЫХ ПОЛЕЙ, ОПИСЫВАЕМЫХ

ГИПЕРБОЛИЧЕСКМИ УРАВНЕНИЯМИ.

4.1. ДИСПЕРСИЯ СЛУЧАЙНОГО ~ ТЕПЛОВОГО ПОЛЯ, НАЧАЛЬНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ КОТОРОГО . РАСПРОСТРАНЯЮТСЯ С КОНЕЧНОЙ СКОРОСТЬЮ.

4.2. ВЫСОКОНЕСТАЦИОНАРНЫЙ ТЕПЛО- И МАССОПЕРЕНОС В ОБЛАСТИ С ДВИЖУЩЕЙСЯ ГРАНИЦЕЙ ПРИ НЕИЗВЕСТНЫХ КИНЕТИЧЕСКИХ УСЛОВИЯХ.

4.3. ИССЛЕДОВАНИЕ ИСПАРЕНИЯ ИГЛООБРАЗНЫХ МЕТАЛЛИЧЕСКИХ ТЕЛ В ПОТОКЕ МОЩНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ.

4.4. ИССЛЕДОВАНИЕ ДИСПЕРСИИ ВРЕМЕНИ И СКОРОСТИ ИСПАРЕНИЯ КОНУСООБРАЗНЫХ МЕТАЛЛИЧЕСКИХ ТЕЛ В МОЩНЫХ ПОТОКАХ ИЗЛУЧЕНИЯ.

4.5. О ВЛИЯНИИ СЛУЧАЙНЫХ ФАКТОРОВ НА РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН.

4.6. ОБ ОДНОЙ ЗАДАЧЕ СТЕФАНОВСКОГО ТИПА С СИЛЬНЫМИ РАЗРЫВАМИ НА ГРАНИЦЕ ФАЗОВОГО ПЕРЕХОДА.

ГЛАВА 5. АЛГОРИТМЫ ИДЕНТИФИКАЦИИ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ, ПОДВЕРЖЕННЫХ СЛУЧАЙНЫМ ВОЗДЕЙСТВИЯМ.

5.1. ОБ УПРАВЛЕНИИ СЛУЧАЙНЫМ ТЕПЛОВЫМ ПОЛЕМ В ЖИДКОЙ

СРЕДЕ.

5.2. ПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ ИДЕНТИФИКАЦИЯ МОДЕЛИ СОЛОУ.

5.3. ОБ УПРАВЛЕНИИ СЛУЧАЙНЫМИ ПОЛЯМИ ВЛАГОСОДЕРЖАНИЯ И ТЕМПЕРАТУРЫ ПРИ СУШКЕ

ЗЕРНА.

5.4. ОБРАБОТКА ДАННЫХ СТАЦИОНАРНЫХ ТЕПЛОФИЗИЧЕСКИХ ЭКСПЕРИМЕНТОВ С УЧЕТОМ ПОГРЕШНОСТЕЙ ВСЕХ V " ИЗМЕРЯЕМЫХ ВЕЛИЧИН.'.

5.5. ИССЛЕДОВАНИЕ СРЕДНИХ КВАДРАТИЧЕСКИХ ОТКЛОНЕНИЙ ПАРАМЕТРОВ ТУРБОУСТАНОВОК.

5.6. ОБ ОДНОМ ПОДХОДЕ К ПЛАНИРОВАНИЮ ТЕПЛОФИЗИЧЕСКОГО ЭКСПЕРИМЕНТА.

ГЛАВА 6. ОБ ИСПОЛЬЗОВАНИИ ВОЛНОВЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ПРИ ОПИСАНИИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ.

6.1. ВЫВОД ВОЛНОВЫХ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ, СРЕДНИЕ ЗНАЧЕНИЯ КОТОРЫХ ОПИСЫВАЮТСЯ ЯВНОЙ И -НЕЯВНОЙ РАЗНОСТНЫМИ СХЕМАМИ.

6.2. ТЕОРЕМЫ О СВОЙСТВАХ РЕШЕНИЙ ПОЛУЧЕННЫХ ВОЛНОВЫХ УРАВНЕНИЙ.

6.3. ТЕОРЕМЫ О ПОВЕДЕНИИ СРЕДНИХ ЗНАЧЕНИЙ И ДИСПЕРСИИ.

6.4. СООТНОШЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛЕНОСТЕЙ.

6.5. ТЕОРЕМЫ О СВОЙСТВАХ ВОЛНОВЫХ ФУНКЦИЙ И СРЕДНИХ ЗНАЧЕНИЙ ОБОБЩЕННОГО УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА.

6.6. АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ ЯВНОЙ МОДЕЛИ В ОДНОМЕРНОМ СЛУЧАЕ.

6.7. АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ НЕЯВНОЙ МОДЕЛИ В ОДНОМЕРНОМ СЛУЧАЕ.

6.8. ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ НЕКОТОРЫХ ЭВОЛЮЦИОННЫХ МОДЕЛЕЙ.

ГЛАВА 7. ПОСТРОЕНИЕ ПОСТАНОВОК ЗАДАЧ НА ОСНОВЕ ОБРАБОТКИ

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ.t.

7.1. МЕТОД «ПАДАЮЩИХ» ПРЯМОУГОЛЬНИКОВ ДЛЯ ПОСТРОЕНИЯ ГИСТОГРАММЫ. Л77.Т.7. .т:: т. :тг.:.:.369'

7.2. ЗАМЕЧАНИЯ О ПОСТРОЕНИИ ПОСТАНОВОК ЗАДАЧ НА ОСНОВЕ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ОСЦИЛЛИРУЮЩИХ

КРИВЫХ.

7.3. О ПОСТРОЕНИИ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ЭНТРОПИИ ПО АНАЛОГУ ГИСТОГРАММЫ ДЛЯ ОСЦИЛЛИРУЮЩИХ КРИВЫХ и ДИСКРЕТНОГО НАБОРА ТОЧЕК.:.

-7.4.РАСЧЕТ СТАТИСТИЧЕСКОЙ - ЭНТРОПИИ ДЛЯ РАЗЛИЧНЫХ

СЦЕНАРИЕВ ПОВЕДЕНИЯ ЛОГИСТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ.

7.5. О ХАРАКТЕРЕ ИЗМЕНЕНИЯ ЭНТРОПИИ ПО ВРЕМЕНИ ПРИ СМЕНЕ СЦЕНАРИЕВ ПОВЕДЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ НА ПРИМЕРЕ ОБРАБОТКИ МЕДИЦИНСКИХ ДАННЫХ.38&

Актуальность темы исследования.

Для обеспечения бесперебойных и безопасных режимов работы > современных сложных и многофункциональных промышленных агрегатов необходимо создавать такие компьютерные системы обработки данных, которые бы учитывали случайный характер течения технологических процессов в условиях внешних многофакторных воздействий. Именно поэтому одна из особенностей современного математического моделирования природных явлений состоит в рассмотрении таких его аспектов, которые требуют перехода от детерминированного способа описания к стохастическому.

Случайное внешнее многофакторное воздействие приводит к многочисленным реализациям одного и того же технологического процесса, что может вызывать существенные отклонения от оптимального режима и, как следствие, к получению неприемлемого результата. Детерминированные модели способны указывать только средние значения характеристик. Однако знание средней температуры «зажигания», среднего значения температуры поддержания жизнеспособности биологического объекта, среднего значения времени окончания сушки, среднего значения положения фронта фазового перехода, среднего значения фронта распространения световой или звуковой волны, и т.д. не позволяет ответить на вопрос, каковы диапазоны изменения этих величин в реальных условиях, т.е. каковы средние квадратические отклонения этих величин, обусловленные многочисленными случайными факторами, которые не учитываются в детерминированных моделях.

Кроме того, к настоящему времени усилиями многих научных школ создан действенный аппарат исследования устойчивости поведения решений обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных, которые с детерминистической точки зрения описывают перенос энергии, теплоты, массы и распространения волн. Однако при сопоставлении с экспериментальными данными достаточно часто обнаруживается, что области изменения параметров, когда детерминистическая модель устойчива, не всегда соответствуют реально наблюдаемым областям, а именно: реальные области оказываются чаще всего меньшими по размеру. Каковы расхождения в этих размерах, и каковы параметры, которые их определяют? На этот вопрос нельзя ответить, оставаясь в рамках детерминированных моделей.

Для описания стохастического — поведения реального объекта в пространственно-временной области, необходимо знать его статистические характеристики на границах и в начальный момент времени, или же иметь априорные предположения о поведении этих характеристик. Таким образом, для математического моделирования стохастических явлений первостепенное значение приобретает проблема первичной обработки экспериментальных данных, в результате которой создается простейший класс математических. моделей — это описательные модели в виде таблиц, номограмм, кривых, эмпирических функций распределения, гистограмм и статистической энтропии. Этот класс не претендует на раскрытие механизма исследуемого явления, поэтому описательные модели имеют ограниченную степень точности и предсказательности. Однако среди перечисленных первичных моделей особое место занимает статистическая энтропия. В многочисленных работах показано, что при хаотическом поведении сложной динамической системы энтропия неограниченно возрастает, а при циклическом, «застойном» — быстро выходит на асимптоту. Случайные внешние воздействия на систему приводят к изменению параметров, которые определяют смену режима. С помощью анализа поведения статистической энтропии можно определить момент смены режима поведения объекта. Помимо этого, энтропия позволяет строить феноменологические модели для процессов произвольной природы по аналогии с тем, как это было сделано в термодинамике необратимых процессов. Следует отметить, что разработанные к настоящему времени способы вычисления статистической энтропии требуют значительного количества экспериментальных данных и не позволяют исследовать начальную стадию случайного процесса, тем самым их нельзя признать эффективными.

Создание приборов, регистрирующих шумы, явилось основой появления нового математического аппарата для случайных явлений, который в отличие от описательных и детерминированных моделей, позволяет находить не только о моменты смены режима и средние пространственно-временные значения, но и прогнозировать дисперсию и другие случайные характеристики. В двадцатом -столетии бурно развивалась теория случайных процессов. К настоящему времени существует два способа описания случайных процессов: это, с одной стороны, уравнения Ито-Стратоновича и уравнения Колмогорова-Фоккера-Планка, которые предназначены для описания широкого класса явлений с помощью диффузионных представлений о распространении функции плотности распределения вероятностей, и, с другой стороны, уравнения t

Шредингера, дающие корпускулярно-волновую трактовку квантомеханических экспериментов. До недавнего времени считалось, что волновой характер присущ только явлениям микромира, однако в последние годы появились работы, в которых замечено, что гистограммы, построенные для случайных процессов различной природы, периодически повторяют во времени и пространстве свою тонкую структуру. Все это свидетельствует об актуальности создания для случайных явлений произвольной природы таких моделей, которые бы подобно квантомеханическим, описывали волновые свойства этих явлений.

Если для случайных процессов усилиями многих научных школ и отдельных исследователей получена стройная теория, то проблемы описания случайных полей требует дальнейшего развития. Это объясняется тем, что традиционный подход, применимый для случайных процессов и приводящий к уравнениям в частных производных, для случайных полей позволяет получить лишь уравнения в функциональных производных для функционала плотности распределения вероятностей. Этот аппарат малопригоден для проведения численных расчетов.

Наличие прямой стохастической модели какого-либо явления еще не означает, что с ее помощью можно эффективно управлять производственным процессом. Дело в том, что коэффициенты прямой задачи, полученные в лабораторных условиях, из-за наличия случайных воздействий не всегда с соответствуют коэффициентам этой же модели в реальных условиях. Кроме того, общепринятые схемы - принятия решений. о корректировке технологического режима управления производством, как правило, базируются на точечных оценках параметров. Однако знание управляющих параметров в отдельных точках не всегда позволяет сделать вывод об объемах областей, в которых происходит нарушение технологического режима. Именно поэтому актуальной является проблема обратного моделирования конкретных производственных циклов j на основе стохастических представлений и выработке на их основе критериев прогнозирования поведения производственного объекта во всем занимаемом им объеме.

Цель диссертационной работы. Целью настоящей диссертации является разработка математических моделей для описания и управления случайными процессами и полями, которые соответствуют детерминированным моделям классической математической физики, частности, моделям диффузионного и волнового переноса массы и энергии. Достижение этой цели проводится с помощью последовательной реализации следующих задач:

• построение уравнений эллиптического, параболического и гиперболического типов для функций плотности распределения вероятностей, описывающих случайные явления тепло- и массопереноса переноса и следующих из них уравнений для средних значений и дисперсий. В частности, построение стохастических аналогов задач стефановского типа.

• построение и исследование решений поставленных задач. Получение дисперсий полей и дисперсий фронтов фазовых переходов.

• создание алгоритмов и программ управления некоторыми стохастическими процессами и полями на основе обратных задач параметрической идентификации.

• исследование связей между погрешностями выходных и входных параметров сложных систем на основе метода наименьших квадратов, учитывающего и погрешность функции и погрешности независимых аргументов. .

• построение уравнений для случайных процессов, которые бы учитывали как их волновые, так и корпускулярные свойства;

• создание эффективного способа построения гистограмм и оценки статистической энтропии при обработке временных рядов и экспериментально полученных плоских кривых для явлений с неизвестной математической моделью;

• i

• реализация построенных моделей на конкретных примерах управления поведением некоторых процессов и полей, подверженных случайным воздействиям.

Научная шгевона. Автором получены и рын^сятся на защиту следующие новые научные результаты:

• метод построения уравнений для описания случайных процессов и полей;

• постановки задач для уравнений в частных производных, моделирующих случайные волновые поля и поля тепло- и массопереноса (включая тепломассоперенос с конечной скоростью и задачи стефановского типа)

• постановки задач, описывающие волновые аспекты случайных процессов, соотношения для дисперсии и устойчивости динамических моделей.

• алгоритмы решения задач идентификации математических моделей, описывающих случайные процессы и поля;

• метод "падающих" прямоугольников для построения гистограмм и оценки статистической энтропии для временных рядов и экспериментально полученных плоских осциллирующих кривых; Достоверность. Достоверность полученных результатов обеспечивается строгостью применения математических методов и соответствием численных и аналитических решений задач экспериментальным данным. Основные-положения предложенной теории сформулированы и доказаны в виде теорем. Сформулированные задачи в частных случаях сводятся к общеизвестным задачам для уравнений Лиувилля, Эйнпггейна-Фоккера-Планка-Колмогорова, Шредингера. Уравнения для средних значений, полученные на основании стохастических уравнений, совпадают с феноменологическими уравнениями в частных производных для переноса теплоты, массы и распространения волн. В качестве материалов, на которых оцениваются результатов расчетов, использовались опубликованные в центральных научных изданиях экспериментальные данные.

Пш5сгич-еская сонность работы. Результаты работы могут быть использованы в инженерных расчетах теплопроводности, диффузии, сушки, при описании поведения микробиологических объектов в средах, для анализа течения химических реакций, для выявлении влияния случайных факторов на поля тепло- и массопереноса, волновые поля. Предложенные алгоритмы расчета статистической энтропии могут применяться для предсказания смены режимов течения процессов в медицине, экономике, экологии и др. Ценность работы заключается также в том, что сформулированные задачи для описания случайных явлений представляют собой традиционные задачи математической физики, к решению которых применимы хорошо известные и широко используемые в современной практике аналитические и численные методы.

Апробация результатов. Результаты диссертационного исследования в течение ряда лет докладывались и обсуждались на научных семинарах кафедры математического моделирования МЭИ, кафедры высшей и прикладной математики МИТХТ, кафедры высшей математики Государственного университета по землеустройству (1996-2001 г.), конференции: «Новые информационные и электронные технологии в народном хозяйстве и образовании» (Москва, МЭИ, 1990 г.), Втором Минском международном форуме по тепломассообмену (18-22 мая 1992 г.), Третьем Минском международном форуме по тепломассообмену (20-24 мая 1996 г), Третьем Сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике (ИПРИМ— 98 г. Ин-т математики г. Новосибирск, 1998), Седьмой международной научно-практической конференции «Инновационные технологии в пищевой промышленности третьего тысячелетия» (Москва, МГТА, 2000 г), Международной конференции по физико-техническим проблемам электротехнических материалов и компонентов. (24-27 сентября 2001 г. Россия, Клязьма), Международной научной конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения» (26-31 мая 2002 г. Самара), 9 -ой Международной конференции «Современные проблемы естествознания» (2629 июня 2002 г. Россия, Таганрог).

Публиканита. Основной материал диссертации опубликован в двадцати семи печатных научных работах общим объемом 419 с. (авторский объем 410 с.) [1]-[45]. Из совместных публикаций в диссертацию включен лишь тот материал, который непосредственно принадлежит соискателю.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, семи глав, основных выводов, списка литературы, включающего 243 наименований работ отечественных и зарубежных авторов.

1. Абрамович М., И. Сткган И. Справочник по специальным функциям.— М.: Наука, 1979.830 с.

2. Авдонин Н.А. Математическое описание процессов кристаллизации.— Рига: Заа^гзпе, 1980.180 с.

3. Адам2р ТЛ Пр:::гц::и Гюйгенса и теория Гюгошю // Труды первого всесоюзного съезда математиков.—M.-JI.: ОНТИ, 1931.376 с.

4. Адам;? ТЛ Задала Кожа для линейных дифференциальных уратиеиМ с частными щюезезодеыкн ГЕперболнческого типа. —М.: Наука, 1978. 352 с.

5. Алшфаноз О.М. Экстремальные методы решения некорректных задач.—М: Наука, 1988. 2Ш с.

6. Амос Д.Е., Чей ГШ. НеусхшошЕвшЕЙся процесс теплопроводности при конечных скоростях распространения соли температуры // Прикладная шшшт. 1974. Ш. С. 243-244.

7. Амосов А.А., ДубннокЕш Ю.А., Кспнепсиа Н.В. Вычислительные методы для инженеров.— М: Вием, жк., 1994. 544 с.

8. Де^стспе лазерного излучения большой мозцноста па металлы / С.И. Аннснмов, ЯЛ. Имас, Г.С. Романов, ЮЗ. Ходыко.— М.: Наука, 1970. 272 с.

9. Акпспмсз СЛ. Задачи теплопроводности в теории взаимодействия даэ^ршго излучения сешествогл // ТеплспассссСмеп-б. Проблемные доклада 6-ой Воесосозвс& по тепломассообмену. Ч.1.—ИШО ем. АБ. Jhmzm АН БССР, 1931. С. 3-19.

10. Апледа П. Теодестэтгш&я мехшшшт. В 3 т. Т. 3. М. 1911.3&4 с.

11. Аракелш Э.К., Кср.тгпн А.В., Соловьев ИА. Оптимизация распределения точности измерений параметров турбоусгаювох // Весткнк МЭИ. 1995. Ш. С.11-16.

12. Базадий Б.В., BJO. Шеленсз. 05 асимптотическом псведе:нн1 решения одной задачи Стефана // Докл. АН УССР. «А».1978. Ш2. C.1059-10S1.

13. Бсрансз А.А., Ксшпащикоз В Л. Реллтнв::стсхая термомеханпга сплошных сред.— Минск: Наука и техника, 1974. С. 152.

14. Баумейстер К Л, Хахаля Т.Д. Гиперболическое уравнение теплопроводности. Решение задачи о палу бесконечном теле // Теплопередача. 1969. Т. 91. Ш. С. 112-118.

15. Байксз АЛ., Исконьдскпй А.М., ГЛ. Микнтпх. Электрический вариз проводников. Динамика фазовых превращений при электрическом взрыве проводннксз. ПяшлшЕв // Институт с^тсмататтисн и электрометрии СО АН СССР / Прсир. Ш5. Новосибирск, 1977.12 с.

16. Бгшгз Н.М., Рядно А.А. Методы теории теплопроводности. В 2 ч. Ч 2. МЗысшая школа, 1S32.304 с.

17. Еишнюва ГЛ. Непостоянная температура плавления в задаче Стефана // Уравнения с разрывные коэффициентами и их приложения. Алма-Ата: Наука, 1935. С.12-18.

18. Еерншггейи СЛ. Принципы теории стохастических дифференциальных уравнений //Тр. Спз.мат.пп-та ем. В А. Стеклова. 1934. Т. 5. С. 95-124

19. Блохинпез ДЛ. Основы квантовой механики.—М.: ГИТТЛ, 1949. 583 с.

20. Боглаев Ю.П. Вычислительная математика и программирование.— М.: Высшая школа, 1990— 544 с.

21. Больцман JI. Избранные труды.— М.: Наука. 1984. 586 с.

22. Больцман JI. Статьи и речи.— М.: Наука, 1970. 406 с.

23. Будах Б.М., Соловьева Е.Н., Успенсхий А.В. Разностный метод со сглазхивапием для решения задачи Стефана // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1S65. Т. 5. J&5. С. 828-838.

24. Будах Б.М., Васильева В.Н. О решении обратной задачи Стефана // Журнал вычислительной математика и математической физики. 1973. Т.13. К2 1. С.103-118.

25. Будах EJM, Сам~?схпй А.А., Тнхоноз АД. Сбсрпих аадач по математической фшгше.—М: Наука, 1972. 638 с.

26. Буевич Ю.А. Неустойчивость стационарного процесса затвердения // Ивае&ерао-фвзнтесвнЗ цураал. 1934.Т.47. J&5. С. 773-783.

27. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач— М: Наука, 1988. 550 с.

28. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений.— М.: Высшая школа, 1990.—208 с.

29. Ватанабэ С., Икэда Н. Стохастические дифференциальные уравнения и диффузионные процессы.— М: Наука, 1986.448 с.

30. Вебстер А., Сеге Г. Дифференциальные уравнения в частных производных математической физики. В 2 ч. Ч. 2. —M-JL: i l l И, 1933. 283 с.

31. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. —М.: Высшая школа, 1998. 576 с.

32. Вероятность и математическая статистика. Энциклопедия / Под ред. Ю.В. Прохорова.—М.: Издательство Большая Российская энциклопедия, 1999. 910 с.

33. Волков И.К., Зуев С.М., Цветкова Г.М. Случайные процессы. — М: Изд-во МГТУ, 1999. 488 с.

34. Волков И.К., Лысенко А.С., Соловьев И.А. Параметрическаяидентификация математической модели сунпси методом искусственнойгравитации // Препринт Jfa 8.— M.: Физихо- технологический институт АН СССР. 1991. С. 1-16.

35. Вольтерра В. Математическая теория борьбы за существование.— М.: Наука,—1976.283 с.

36. Вульмаи Ф.А., Карягин AJB., Крпвогнел М.З. Мигештическсе моделирование тепловых схем паротурбинных установок па ЭВМ.—М.: Маипиюстроеппз. 1935. 254 с.

37. Выродоз ИЛ. О Еримеигнии метода xapaicrtpncnnt к ргисгнико задач, содарзгащих подвЕЕкпые границы фазсаых пргграи;гп~1 н рзиэгннзпробиты Стефана // Труди Краснодарского ПолитехиичггскогоЕнатшуга, 1973. Вкл. 51. С. 103-119.

38. Гагсрпп М.А., Шанса О .К., Содсаз^з И А Оценка скорости дшингения Сродн.'н.нсЗ с^еси, полей и тетературы и концентрации сахароз три шаг.1нанпзацш ениа // Виноделие и Еппсградарство СССР. 1931. J£3 367). С. 55-56.

39. Песлздсааппе поля тег^н^ратур шномащшаяа в peatpaycpe ЕЕШпзддряззскоЗ фсрглы / МА Гсгсрпи, В.П. Бакулип, Р.И. Заденгнно, AM. Гагарин, М.В. Жироа, Т.В. Ликучеаа, И А. Солсаьез, И.С. Пулькии // Виноделие и Енисградгрство. 2002J£>3. С. 38-49.

40. Гглицкша В.М., Кгриаксз БМ., Ксгап BJL Зада-a по каалтсасЗ *5«хшнке. —М.: Наука, 1992. 880 с.

41. Ггрдииср КЗ. Стохастические методы в естественных пауках.— М.: Мш?у 1985.523 с.

42. В. Снаика и философия. Часть и целое.— М.: Гл.ред фаз. Лат., 1989. <00 с.44. / Геяъфокд АО. Исчнсле:п:е конечных разностей.—М.: Государственное издательство Физ.-мат. Лит-ры, 1959.400 с.

43. Гинзбург А.С. Основы теории и техники сумки пищевых продуктсз.—М.: Пищевая промышленность, 1973.528 с,

44. Гнхмш И.И., Скороход А.В. Введение в теорию случайных процесссз. — М: Наука, 1977. с.

45. Гихман И.И. Стохастические дифференциальные уравнения / И.И. Гкхмал, AJJ. Скороход. —Киев: Наукоса думка, 1968. с.

46. Глас Л., Мз:с1 М. От чассз к хаосу. Ритмы езгзни.— М.: Мир, 1991— 248 с.

47. Глнко А.О., Ефимов А.Б. Дг:п::еп::з фазсшсй границы в усдсенлх мегжсзщегсся во гремеин теплового поток! // Фат Земли. 1973. JCi7. С. 11-21.

48. Гл:псо А.О., Ефпмсз А.Б. Метод малого параметра в классическойзадача Стефана // IЬп~еиерпо-физичесипЛ ззурнал. 1980. Т.38. С. 9-• 335. --------------------- -.

49. Голубев Ю.О. Оспсиы теоретической механики. —hi.: Изд-ео МГУ, 1992. 525 с.

50. ГолуС::::с:с~5 Е.В. Тесрнд процессов переноса / ЕВ. Голубннекнй.— Кшз: Наукст думка, %9.259 с.

51. Говшгйко АХ. Вшяш® процессов испарения m разшлЕ® температурного поля электродов при импульсном раердде // Не-естнлiВУЗоз. Энергетика. 1953. 5. 79-05.

52. Гринберг ГА., Чехтреаа ОЛ1. О движении поверхности раздала фаз в задачах стефапсаского типа // Журнал технической физика. 1970. Т.40. № 10. С. 2025-2031.

53. Гутфедьд Р.В. Физическая акустика в 5 т.Т. 5— М.: Мир, 1973.422 с.

54. Гусаксз В Л., Данидкж И.И., Коспнхз А.А. Численный анализ зааачэ- Стефана при тепловом удсре // Математическая физика и ЕалЕнейиая механика. 1909. JM1. С. 40-43.

55. Дап:ипс:с ИЛ Задача Степана при наличии теплового удара // Доклады АН УССР. «А». 1933. ГаЗ. С.9-15

56. Дз Ерсйль Л. Соотноиген^з неопределенностей Гейзенберга шЕерс:ггпостнал интерпретация ЕОдпсасЗ механики.—М.: Мгпр, 19§6. 344 с.

57. Дуб Де:. Вгролткостпыг процессы.—М.: Издательство иностранной литерспуры, 1956.— с.

58. Журбеико ИТ. Анализ стацпоп-рпых и однородных случайных систем. —М.:Изд-ео МГУ, 1937. 240 с.

59. ЗуСгрсэ Д.Н. Ссгрег-генные метода статгспг-сспс^ теорг~1 е^рвношсных едовдооов // Итога паука. Т. 15. М.: Изд-вэ ВИНИТИ»' 1SC0. С 1-44.

60. Иешоз Н.С., Фплл~поз ПЛ. Теплопроводность твердых тел и дисперсных сред при <§азовых превращениях.— Иркутск: Изд-ео Иркутск. Ун-та, 1933.271 с.

61. Ито К. Вероятностные процессы. В 3 вып. Выл 1-3— М: ИЛ. 1963.— Bun 1-3.

62. Ито К., Маккии Г. Диффузионные процессы и их траектории. — М: Мир,—1963. с.

63. Каменский Г .А., Скубачевский AJL Линейные краевые задачи для диффереициадьно-разностиых уравнений.—М.: Изд-во MAPI, 1992.192 с.

64. Капелзьяи СЛ., Перельмаи Е.С. Асимптотические оценки решения задай Стефана // Ингкеперио-физическнй нзриал. 1980. Т.38. J&2. С. 329335.

65. Ксрслоу Г.С. Теория теплопроводности. — М-Л.: ОГИЗ, 1947.283 с.

66. Ксрасез ИХ., Кириллов ВМ. Нсрский В.Э. Ктегика разрушения металлов излучением (ЖГ в ре^ии*е свободной генерации // Журнал технической фишки. 1970. Т. 40. Выл. 9. С. 1954-1959.

67. Ксртаигсз Э.М. Аналитические методы в теплопроводности твердых тел—М.: Высшая Школа, 2001. 540 с.

68. Кэршиоз Э.М.И.В. Стомахии Метод о6о§щшезго шгагрспвдаго преоСразсгаппд при решении уравнения теплопроводности в с5д~ети с дэи^упизизся границами // Известия РАН. Энергетика. 1992. К»5. С. 138147.

69. Кириллов А.И., Мамакил BIO. Стохастическая модель фазового перехода // Теоретическая и математическая физика. 2000. Т. 123. С. 95-1С5.

70. Кислицын АА, Mcpsp A3. Решение фронтовым методом двумерной зщщш с5 шжренни йастадж^есЕих исиуссз под действием излучения бошшй шепрсзга // Теплофизика высоких тёйшвзрглур. 1976. Т. 14. Jf®5. С. 1030-1033.

71. Кислицын А.А., Морар А.В. Приблнзкеиное решение фронтовым методом двумерной задачи об образовании луики в металле под действиемимпульса ОХГ // Инженерно-физический куриал. 1976. Т. 30. КаЗ. С. 540545.

72. Коздоба Л .А. Методы решения нелинейных задач теплопроводности. М.: Наука, 1975.227 с.

73. Коздоба JI.A., Круковсхий ПР. Методы решения обратных задач теплопереноса. —Киев: Наукова думка, 1932. 358 с.

74. Колмогоров АЛ. Теория вероятностей и математическая статистика. —М.: Наука, 1535.535 с.

75. Справочник по теории вероятностей и математической статистике / B.C. Королпох, НЛ. Портенко, АЛ. Скороход АЛЗ., А.О. Турбин.— М.: Наука, 1935.640 с.

76. КошЕлакоз Л С., Глннер ЭХ., Смирнов ММ. Основное дифференциальные уравнения математической физики. —М.: Гос. Изд-во Сиз.-матем. лнт-ры, 1962.763 с.

77. Кравченко В.О., Несененко Г.А. Асимптотическое решение пестащшошршй задачи теплопроводности с пелинеШным условием экспоненциального типа па подлинной границе // Докл. РАЛ 1993. Т. 353. т. С. 315-318.

78. Крупжоз СЛ. О некоторых задачах с неизвестной границей для уравнения теплопроводности // Прикладная математика и механика.— 1967. Т.31. Ш5. С. 1009-1020.

79. Куднноз В А., Кгрташоз Э.М. Техническая термоднжш^ика. — М.: Емснгая школа, 2С01.251 с.

80. Курант Р. Уравнения с частными производными.— М.: Мер, 1954. 330 с.

81. Ландау Л.Д. Собрание трудов в 2 т. — М.: Наука, 1959. Т.1 и 2.

82. Леядзу Л.Д., Лифшнц Е.М. Квантовая механика (перелятквпстсхая теория). —М: Физмаятиз, 1953.704 с.S3. Лагпкевеа П. О теории броуновского движения. Избранные труды.— М.: ИЗД-ЕО АН СССР, 1960. С. 338-341.

83. Леви П. Стохастические процессы и броуновское движение.—М: Наука, 1972. с.

84. Любоз БЛ. Математическая теория кристаллизации в больших объемах.—М.: Наука, 1975.256 с.

85. Любсз Б Л., Соболь ЭЛ. Процессы теплопереиоса при фазовых преЕрааненнях под действием интенсивных потоков анергии // Инзпенерно-физнческий журнал. 1933.Т. 35. JM. С. 670-6С5.

86. Любоз БЛ. Диффузионные процессы в неоднородных твердыхсредах. —М.: Наука, 1931.296 с.

87. Лыкоз А.В. Теория теплопроводности.— М.: Высшая пирата, 1957.—599 с.

88. Лыкоз А.В. Теория сушки.— М: Энергия, 1963.472 с.

89. Лыкоз А.В. Тепломассообмен (Спраточпик).—М.: Энергия, 1972. 479 с.

90. Лыкоз А.В. Некоторые приближенные вопросы теории теплэ-п массопереноса // Проблема тепло-п массопереноса. Минск: Шуга и техника, 1976.—С. 9-82.

91. Лыкоз AJ}., Михайлов ЮЛ Теория тепло-п массообмепа.—hi: Гсспергспздаг, 1963.535 с.

92. Мартпнсоа Л .1С. О конечной скорости распространения тепловых юзмущеишй в средах с постоянным коэффициентом теплопроводности // Журнал Еычшслнтельной техкша и математической фшш. 1976. Т.'16." Ш5. С. 1233-1241.

93. Мамонтов Е.В. О корректности задач математической физики.— Новосибирск: Изд-во НГУ, 15С0. 62 с.

94. Марков А.А. Распространение закона больших чисел на величины, зависящие Д?уг от Друга // Известил физико-математического общества при Казанском университете. 1906. Т.15.К23. С. 135- 156.

95. Маргшкенко ОХ., Березовский А.А., Сокса:ищп1 ЮА Асимптотические методы в теории свободно-конвективного теплообмена — Ми.: Наука и техника, 1979.163 с.

96. Мартыиенко ОХ., Солсаьез И А. Некоторые решения однофазной и одномерной задачи Стефана // Методы исследования и оптимизации прсцесссз переноса. Минск: Изд-во АН БССР ем. А В. Лыкова, 1979.С. 193-201.

97. Масдсз В.П. Асиг^зпотические методы и тесрнл Еозмущ^ний.— М.: Наука, 19СЗ. 312 с.

98. Маелсз ВЛ. Операторные методы.—М.: Наука, 1973. 544 с.

99. Маелоз ВЛ. Данилсз ВХ., Волоссз КА.— Математическое моделирование прсцесссз теплсмасссиереноса. Звошщия дпссипатпвпых структур. — М.: Наука, 1937.352 с.

100. Магемэгаческая энциклопедия. Том 1.—М.: Изд-ао Советская зициилсиздия. 1977.1152 с.

101. Мгесиа А 1Свантсаад механика в 2 т. —М.: Наука, 1973. Т 1 и 2.

102. Мешрмаиоз AM. Задача Стефана.—Новосибирск: Наука, 1936.239 с.111. . Миролгабоз А.А., Соддатсз МА. Линейные неоднородные разностные уравнения—М.: Наука, 1986.128 с.

103. Мыщкис А. Д. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом.—М.: Наука, 1972.450 с.

104. Неравновесные явления: уравнение Больцмана / О.Э. Лай форд, У. Гринберг, Я. Полезчах и др.; под. ред. Д:к. Л. Любовица, Е.У. Монтролла.— М.: Мер, 19С5.272 с.

105. Николис Г., Притопни И. Самоорганизация в неравновесных системах. —М.: Мэр, 1979.512 с.

106. Новиков И А Гиперболическое уравнение теплопроводности. Регпеншз прямых и обратных задач для полусграниченпого стср™пл // Ннщеиерио-фнзический куриал. 1978. Т. 35. Ш. С. 734-740.1.,

107. Норвуд ФР. Задача о кествцпснгрпых волнах в рамках общей теории теплопроводности при конечных скоростях распространения шла // Прикладная механика. 1972. J&3. С. 35-39.

108. Олейшшж OA Об одном методе рещвния общей задачи Степана // ДАН СССР. 1Ш, П5. С. 1054-1057.

109. Одзйшж OA, Кадапзпзшшз АС., Чн^оу-ЮЗ-лшшзв Задача Коиша и краевая 21ДШ21 для зршиеиия типа шусшшошшвшшейея ф^лвтршщэ // Шш-еетшя АН СССР. Серия «Математика». 1958. Т.22. М>5. С. 663-704.

110. Ортолев П., Шмидг С. Разнообразие и свойства химических волн // Колебание и бегущие волны в химических системах (ред. Р. Филд и М. Бургер) -М.: Mi^>, 1533. С. 365-450.

111. Физическая кинетика и процессы переноса при фазовых превращения / Н.В. Павлзокевич, Г.Е. Горелик, В.В. Левдаиский, В.Г. Лейцина, ГЛ. Рудин.— Минск: Наука и техника, 1980.203 с.

112. Петрик Т.Ф. Математическое моделирование Ероцессоз массопереноса с использованием уравнения гиперболической диффузии // Автореферат днсс. па сспск. уч. степени канд. техн. паук.— Л. 1977. С. 21.

113. Портноз И.Г. Точное решение задачи о промерзании с произвольным изменением температуры па кенодвгпкпой границе // Докл. АН СССР-1962. т.143.Ш. с. 559-562.

114. Полвппл АД., Вязвмии АВ., Журоз АИ. Справочник по точным решениям уравнений тепло- и массопереноса — М.: Факториал, 1993. 363с. .

115. Предводтедез АС. Механика движений.— Минек: Изд-во ЕГУ нм. В.И. Ленина, 1975.246 с.

116. Пухначез ВВ. О задаче Стефана, возшшшппзга в одно! модели электрического вгрыва проводников // Труды семшшщш СЛ. Соболева.— Новосибирск: Ии-т шггш. СО АН СССР. 1976. Ш. С. 60-82.

117. Проблемы роста Ершстадяоз. М., «Мгр», 19^3, с. 13-10.

118. Г^д::евич ЕВ., Мвшшшгсо АС. Кр®шав зздагаы со сввСодпсй гршшзщей.— Ташкент: ФАН, 1983.183 с.

119. Редкозубоз СА Статистические методы прогнозирования в АСУ.— М. ЭиёргсиздагД931.—151 с.

120. Ршиичекхо Г.Ю., Руби:! А.Б. Математические модели биологических продукционных прсцесссз.— М.: Изд-во МГУ, 1993. 302 с.

121. Розовский Б.Л. Стохастическое дифференциальное уравнение / Б.Л. Розовский // Вероятность и математическая статистика. Энциклопедия (гл. ред. Ю.В. Прохоров).—. М.: Издательство Большая Российская энциклопедия, 1999. С.705-707.

122. Рубннпггейи Л .И. Проблема Стефана.— Рига: Звайгзие, 1967.— 457 с.

123. Рудобанпа С.П., Ксрташоз Э.М. Диффузия в химико-технологических процессах.—М.: Химия, 1993.209 с.

124. Савичез ВБ. К расчету скорости уноса массы диэлектрика в импульсном разряде // Вопроса физики низкотемпературной плазмы.— Минск: Наука н техника, 1970. C.2S7-291.

125. Садоматсз В .В., Горбунов А. Д. Аналитическое исследование теплопереиоса в телах с подвижными границами // Известия АН СССР. Энергетика и транспорт. 1973. Jfel. С. 138-147.

126. Cc прений А.А., СсСоль ИМ. Примеры численного расчета температурных бош // Журнал математической физика и вычислительной математики. 1963.T.3. Ш. С. 702-719.

127. Самарский АЛ., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений.— М.: Наука, 1973. 592 с.

128. Самарскпй А.А. Введение в теорию разностных схем.— М: Наука, 1971. 552 с.

129. Сс:-ойлевич ЮА Системный анализ ^исталлизащии слитка.— Киев: Наунова думка, 1583.245 с.Ш.Сшаохин АА, Успенский А.Б. Еспэреине вещества под дешетвшем лазерного излучения II Физика и химия с£ра5отки материалов. 1981. ЖЗ. С. 3-11.

130. Самсонова Е.А., Соловьев И.А. Обработка данных измерений при наличии пеофеделениостей в значениях аргумента и функции // Новыеинформационные и электронные технологии в народном хозяйстве и образовании. М.: МЭИ, 1990. С. 22.

131. Седоз В.Т. Теплообмен при бурении мерзлых пород.— Л.: Недра, 1990 127 с.

132. Селлвапоз В.В., Зарубил B.C., Иоиоз *В.Н. Аналитические методы механика сплошной среды.— М.: Изд-во МГТУ, 1994.383 с.

133. Соловьев ИА., Смирнов М.С. О естественной регуляризации обратной аадачш Стефана // Тепломассосбмен-6. Т.9. Минек: Изд-во АН БССР т. АВ. Лыкова, 1980. С. 100-102.

134. Соловьев И.А. К вопросу о релаксационном крив сггефшовеких зздач // Инженерно-физический ззурнал. 1931.Т.40. J&2. С.373-374.

135. Соловьев И А. Решение тепловой задатс1 об испарении конусообразных тел в мощных потоках излучения И Инженерно физический журнал.— 19S0.T. 39. Ш. С. 532-537.

136. Соловьев ИА, Смирноз М.С. Высокоиестационариый тепло- и массопереиос в области с двшкущейся границей при неизвестных кинетических уравнениях // Инженерно-физический зкурнал. 1986. Том 51. т. С. 317-322.

137. Соловьев И А О еозмоншости редукции многомерной задачи Стефана к одномерным // Методы и алгоритмы параметрического анализа линейных и нелинейных моделей переноса. Сборник паучных трудоз.— М.: МГЗПИ, 1937. J Г» 5. С. 132-144.

138. Соловьев И А Метод искусственной гршзтщшпз в задаче шпвшмизацнн функции // Новые информационные п электронные технологии в народном хозяйстве и образовании // Тезисы докладов. М.: МЭИ, 1990. С. 41.

139. Соловьев И.А, Зуез АВ., Самсонова ЕА, Кпргьхчоз В.Н. Обработка данных стационарных теплофнзнческих экспериментов с учетомпогрешностей всех измеряемых величин // Инженерно-физический журнал. 1992. Т. 62. }Ш. С. 294-300.

140. Соловьев ИА, Мирошниченко В.И Обратные задач:! в теплофизическихисследованиях //Теплофизические проблемы промышленногопроизводства.— Тамбов: Издательство Тамбовского института химического машиностроения, 1992. С.53-59.

141. Соловьев И.А Аппарат конечных разностей и ксрпускудгрпо-волпсвсй дуализм // Методы и алгоритмы параметрического анализа линейных и нелинейных моделей переноса. Сборник научных трудсз.— М.: МГЗПИ, 1993. 8(2). С. 84 95.

142. Солсвьез И А Разностные уравнения в пространстве непрерывногоизменения иззавнсимых гртументсз / ИА Соловьев // Вестник МЭИ. 1995. Г5. С. 109-118.

143. Соловьев НА. Использование энтропии в экономических расчетах // Труды научной конференции МГЗИПП: Сборник статей. — М.: Издательство МГ31ШП, 19>9. С. 271-272.

144. Соловьез НА.» Кпслоз Н.В. Описание стохастических температурных полей с помощью уравнения для функции плотности предсказания' // Землеустроительная паука и образование 21 века. —М.: Еышва, 1999. С. 105-111.

145. Соловьев И А Уравнения для случайных тепловых полей // ГЬи^еиерно-Спепчееппй горная. 2СС0. Т. 73. 1Г» 2. С. 395-400.

146. Соловьев И А Опиеашпше с помощью воли втре:лт:естп поведения стохастических величии, средние значения которых подчиняются системе разностных уравнений // Теоретическая и математическая физика. Т. 115.С. 56-76.

147. Соловьев И А Обобщенное уравнение Шредингера для стохастических процессов с шумом // Третий Сибирский конгресс по прикладной и индустриальной математике. (ИПРИМ-93). Тезисы докладов. Часть 1. Ноаосибирсх, 1993. С. 34.

148. Содовьез И А Уравнение Фохкера-Планка" и болны вероятности / И. А Соловьев // Третий Сибирский конгресс по прикладной и индустриальной математике. (ИПРИМ-93). Тезисы докладов. Часть 1. Новосибирск, 1993. С 35-36.

149. Соловьев И А Уравнения для списания стохастических полейэлектрического напряжения и тока // ICEMC—2001. Труды 4-ойМеждународной конференции по физико-техническим проблемам электротехнических материалов и компонентов. М.: МЭИ. 2001. С.293-294.

150. Соловьез И А Стохастическая модель сушки // Математические модели физических процессов и их свойства: Матсрн:щы 8-ой Междунгродпой конференции. Таганрог: Изд-во Тагаи-ского пед. ни-та, 2002. С. 149-151.

151. Соловьез ИА О проп:озироваи:и1 дисперсии случайных тепловых полей // Известия РАН. Энергетика. 2002. Ш С. 109-115.

152. Соловьез И.А. Уравнения для еолл вероятности, описывающие стохастические процессы с шумом // Землеустроительная пауза н образование 21 века. —М.: Былина. 2003.— С. 127-132.

153. Стсрсвсйтсз В Л. Разрешимость в малом по времени задача Стефана сусловием Гнббса-Томссна па межфазной границе // Динамика сплошнойсреды- 1990, выл. 95- с.151-155.

154. Стратонович РЛ. Избранные вопросы теории флухтуаций в радиотехнике / РЛ. Страгоиович.— М: Советское Радио, 1961.— с

155. Страхсз В Л., Чубакоз А.Б. Испарение вещества под действием лазерного излучения // Инженерно-физический журнал. 1933.Т.45. №3. С, 472-479.

156. Таблицы физических величин. СЕравочннк. М.: Атомизд1йг, 1976.1003 с.

157. Термодинамика необрапишх процессов. Лекции в летней международной школе физика ем. Э. Ферма. М.: Изд-во иностр. лнт-ры, 1962. 426 с.

158. Тгрский Г .А. О приближенном решении некоторых нелинейных задач теплопроводности и фильтрации жидкости // Известия АН СССР ОТН. Механика и машиностроение. I960. J&3. С. 132-133.

159. Тшхоноз АЛ., Самарский А.А. Уравнения математической физика.— М.: Шу=2,1«5.724 с.ЮЭ.Тнхсноз АЛ., Ареениа В Л. Методы решения некорректных задач.— М.:Наука, 1974.431 с. 190.Уизем Дж. Линейные и нелинейные еолны.—М: Мир, 1977. С. 622.

160. Успенский А.Б. О методе выпрямления фроптоз для мпогоф роитовых одномерных задач типа Стефана // Доклады АН СССР. 1967. Т.172. JM. С. 61-64.

161. Фельдмш Г.М. Методы расчета температурного решзма мерзлых грунтоз. — М.: Наука, 1973.254 с. .

162. Фсрмалез В.Ф. Анализ двумерных температурных полей в анизотропных телах с учетом подвижных границ и большой степени анизотропии // Тепл«*физика еысских температур. 1990. T.2S. JM. С.715-721.

163. Фрндмаи А Уравнения с частными производными параболического типа.— М.: Мир, 1953.422 с.

164. Хакеи Г. Синергетика. Иерархии неустойчнвостей в саг^осрганизугошихся системах и устройствах.— М.: Мир, 1985. с.

165. Хср:ггс::сз ВВ. Релаксационность прсцесссз переноса тепла в полимерах // Ишкеперпо-ф изнческпй 5курнзл.—1978.— Т. 34.— J&2.— С. 253-259.

166. Хсрвай Г. Моднфишзрованная задача Стефана // Иннгеперио-физнческшй журнал. 1955. Т.8. Г5. С. 779-С00.

167. Цсй Б., Ксрташоз ЭМ., Шевелез ВВ. Прочность и разрушение полимерных пленок и волокон. М.: Химия, 1959.495 с.

168. Чекмарева О.М. О перемешении фронта кристаллизации в затвердевающем слитке при различных температурных условиях па его поверхности II Журнал технической физики. 1970. Т. 40. Вып. 10. С. 20322034.

169. Чекмарева О.М. Некоторые интегральные уравнения нового типа для ■ задач с фазовыми переходами // Журнал технической фетшш. 1971. Т. 40. Выи.41. С.Ш5-1122.

170. Чоу, Сандерленд. Задачи теплопроводности с плавлением пли затвердеванием // Теплопередача (сб. переводов). 1969. Т.91. К2З. Серия «С». С. 144-149.

171. Шахоз Е.М. OS ncnapeinni твердого тела, поглощающего лучистую | зперпно // Инженерно-физический журнал. 1961. Т.1. №.4. С. 27-38.

172. П1евелез ВВ., Кгртапюз Э.М. Некоторые статистические аспекты хрупкого разрушения и долговесности полимероз. Материалы с j трещинами // Высокомолекулярные соединения. Серия Б. 1997. Т.39. №2.С. 371-381.

173. Шевелез BJB. Аналитический расчет времени лимитируемого диффузией растворения сферических частиц второй фазы // Изз АН СССР. Сер. Металлы. 1938. №6. С. 57-60.

174. Шеиноа К. Математическая теория связи // Работы по информации и кибернетике.—М.: Mzp, 1963. С. 243-332. '

175. Шестакоз НИ. Расчет процесса затвердения металла при непрерывной разливное // Известия АН СССР. Сер. Металлы. 1991. Ш. С. 55-53.

176. Шеффер К. Теория теплоты. В 2 Ч. 4.1. Мачекулярно-кинетпчеекая теория вещества.— М.-Л.: Государственное Технико-зкоиомическо^ издательство, 1933.—295 с.

177. Шпфф Л. Квантовая механика.—М.: Изд-во Иностр. лит-ры. 1959. 473 с.

178. Н.Юрьевич И.О. Оптимизация аккумулятора солнечной энергии на фазовом с1 переходе // Теплообмен при воздействии радиационных потоков паматериалы. — Минск: ИТМО АН БССР ем. A3. Лыкова, 1990. С. 61-76.

179. Bachelier L. Theorie de la speculation / L. Bachelier / / Annales de FEcole Ncrmale Superieure. 1900. V.3. JM6. PP. 21-85.

180. Boley B.A., Yagoda H.P. The three-dimensional starting solution for a melting sM) // Proc. Roy. Soc. Load. «А». 1971 .V. 323. PP. 89-110.

181. Ecnacina С., Comini G. Numerical solution of phasechange problem // Int. J. Heat Mass Transfer. 1973.V. 16. PP. 1823-1832.

182. Cattaneo G. Sulla conduzione del calore // Seminario inatematico e fisSco dell

183. Universita di Modem. Modena, 1948. PP. 1-16.

184. Chan Sit. Low M.JX)., Mueller V/.K. Hyperbolic beat conduction in catalytic supported crystallites // AICHE Journal. 1971. V.17. Г2.6. FP.1499-1501.

185. Colc!oug!i A., Survey A. Method of Practical Thermometry in the Range 0 to3000 °C. // Symposium On Measurement of High Temperature Mechanical Properties of Material Proceeding. London. Teddkgton, 1932. FP. 53-90.

186. Cramer H. On the theory of stationary random processes // Aanals of Mathematics.1940. V.41. PP. 215-230.

187. Curtain R.F. Stochastical Partial Differential Equations. Stochastical Nonlinear П Systems.—Berlin: Springer, New York: Heidelberg, 1931. FP. 327-341.

188. Gerhold G.A. Lest-Squasre Adjustment of Weighted Data to General Linear Equation // American Journal of Physics. 1959.V. 37. 2. FP. 156-161.

189. Guiman L.N. On the problem of heat transfer in phase-chmge xmstosails for ■ small Stefm numbers // International Journal of Heat Mass Transfer. 1915. V. 29. № 6. FP. 921-926.

190. Friedlender F.G. Simple progressive solution of fee wave equation I I Proc. Cambridge Fhilos. Society. 1954.V. 43. PP. 360-373.

191. Lybanon M. A Better Least-Squares Metod Both Variables Have Uncertainties // American Journal of Physics. 1934.V.52. }& 1. PP. 22-26

192. Lisrkov A.V., Bubnov V.A., Soloviev LA. On wave solotioa of heat-conduction equation // International Journal of Heat and Mass Transfer. 1976.V.19. PP. 245-248.

193. Ma Sh.-K. Calculation of entropy from data of motion // Journal of Statistical Physics. 1931. V. 26. Ш. PP. 221-240.

194. Narayanamurti V., Dynes R. Observation of second sound in Bismuth // Physical Review Letters. 1972. V. 26. J&22. PP. 1461-1465.

195. Nunziato JAY. On heat conduction in materials with memory // Quarterly cf Applied Ma±cmatics. 1971. Ж6. PP.184-204.

196. Peshkov V. Second sound in Helium I // International Journal of Physics. 1944.V.8.M5.PP.331.

197. PoweIl DIt., Macdcnald JJL A Rapidly Convergent Iterative Method for the Solution cf the generalized EonJinear Least Square Problem // The Computer Journal. 1971 V.15. № 2. PP. 148-155.

198. Rasmussen H., Rogers C. A Note cn new expansion Procedure fcr the Stefan Prch!:m // Letter in Heat md Mass Transfer. 1976. V. 3. PP. 327-332.

199. Ru&ks2sy В., Cravaiio E.G. The determination cf (fas thermal histcry in a onedimensional freezing systems by pertubaticn method // International Journal ofiHeat Mass Transfer. 1979. V. 101. Ш. PP. 326-330.

200. Shevelev V.V., Kartachov E.M. Seme Statistical Aspects cf the Brittle Fracture and Dumbihty cf Pchmers // Pchmer Science. Ser A. 1997. V. 39 J& 7. FP. 820-825.

201. SaharsIde D., Bcley В A. The solution cf a class cf two-dkmsionsi melting and scM^eaticn prch!:ms // International Journal cf ScM and Structures. 19S5.V. 1. Jj2.F?. 207-234.

202. Stefan J. Uher die Thecrie der Eisbilding Polarmeere // Sitzber. Wien. Akad. Mat. Naturw. 1889. Bd.93. lla.PP. 955-933.

203. Stefan J. Ufcer einige probleme der thecrie der wanneletung // Sitzber. Wien. Akk. Mat. NaffirW. 1Й9. E!i93.11a. PP. 616-634.

204. Tao L.N. The Stefki problem wish arbitary intial md boundary conditions // Qurterly. Applied Mathethematics. 1978. V. 36. J&3.PP. 223-233.

205. Vemotte P. La nouvelle equation de la chaleur. Peut-il у avoir propagation // Joumaux internationals de transmission de la chaleur. Communication 1.01. 1961. PP. 1-12.