автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование сложных колебаний бесконечно длинных панелей

На правах рукописи

Наркайтис Герман Германович

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СЛОЖНЫХ КОЛЕБАНИЙ БЕСКОНЕЧНО ДЛИННЫХ ПАНЕЛЕЙ

Специальность 05.13.18 - Математическое моделирование, численные

методы и комплексы прикладных программ Специальность 01.02.04 - Механика деформированного твердого тела

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Саратов — 2006

Работа выполнена в ГОУ ВПО "Саратовский государственный технический университет".

Научные руководители: заслуженный деятель науки и техники РФ,

доктор технических наук, профессор Крысько Вадим Анатольевич доктор технических наук, и.о. профессора Куцемако Анатолий Николаевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор

Землянухин Александр Исаевич

кандидат физико-математических наук, доцент

Панкратова Елена Владимировна

Ведущая организация:

Институт проблем точной механики и управления РАН, г. Саратов

Защита состоится " 1-9 " мая 2006 г. в |Ч ч. ОО мин. на заседании диссертационного совета Д 212.242.08 при ГОУ ВПО "Саратовский государственный технический университет" по адресу: 410054, Саратов, ул. Политехническая, 77, Саратовский государственный технический университет, корп. 1 ауд. 319.

С диссертацией можно ознакомиться в научно-технической библиотеке ГОУ ВПО "Саратовский государственный технический университет".

Автореферат разослан **){?" апреля 2006 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Большаков А.А.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Значительные успехи, достигнутые в 80-90-е годы прошлого века в области численного решения нелинейных уравнений в частных производных (УЧП), позволили использовать нелинейные теории механики деформируемых тел для расчета базовых конструктивных элементов сложных механических систем.

Гибкие упругие панели являются широко распространенным элементом сложных конструкций и различных машин. Динамическое нагруже-ние таких элементов - одна из базовых задач расчета поведения всей конструкции. Особый интерес представляет зависимость динамического режима колебаний от параметров внешнего нагружения и дисперсионных свойств среды. Задачи расчета подобных конструкций привели к необходимости построения и исследования их математических моделей. Моделирование колебаний гибких панелей под действием продольных и поперечных знакопеременных нагрузок является одной из актуальных задач современной механики.

Вопросам нелинейных колебаний пластин и оболочек посвящены монографии B.JI. Агамирова, В.В. Болотина, A.C. Вольмира, В.Г. Баженова, В.А. Крысько, Ю.Г. Коноплева и других авторов. В работах этих авторов приведены нелинейные уравнения колебаний пластин и оболочек, однако вытекающие из них решения исследованы лишь для случая импульсных нагрузок и режима собственных колебаний.

Получившие широкое распространение в последние десятилетия методы анализа детерминированного хаоса позволили по-новому подойти к описанию нелинейных колебаний пластин и оболочек. Заметный вклад в исследования по данному направлению внесли сотрудники Саратовского государственного технического университета. Следует отметить работы следующих авторов: В.А. Крысько, A.B. Крысько, Е.В. Салий, Т.В. Вах-лаевой, A.A. Сопенко, Ю.В. Чеботаревского и др. Данная работа является частью глобального исследования, проводимого научной группой В.А. Крысько, и посвящена ранее не исследовавшимся колебаниям гибких бесконечно длинных панелей под действием знакопеременных нагрузок. В известной нам литературе не рассматривались нелинейные колебания

бесконечно длинных гибких панелей с т i динами-

ки и качественной теории дифференциальных уравнений.

Таким образом, представляется важной и актуальной задача исследования колебаний бесконечно длинных гибких панелей как упругих, так и с учетом физической нелинейности под действием периодической знакопеременной нагрузки.

Целью работы является построение и исследование математической модели нелинейных колебаний бесконечно длинных гибких панелей. Таким образом, перед нами стоят следующие задачи:

1. Разработка математических моделей для сложных колебаний бесконечно длинных панелей под действием продольной и поперечной знакопеременной нагрузки с учетом только геометрической нелинейности, геометрической и физической нелинейностей, геометрической нелинейности и упругопластических деформаций.

2. Изучение сценариев перехода в состояние хаоса колебаний бесконечно длинных гибких панелей в зависимости от типа краевых условий и параметров внешней знакопеременной нагрузки.

3. Выявление новых закономерностей в зонах хаотических колебаний. Научная новизна работы заключается в следующем:

1. Впервые предложена математическая модель для расчета колебаний бесконечно длинных гибких панелей под действием внешней параметрической нагрузки с учетом упругопластических деформаций и идеального эффекта Баушингера.

2. Упрощенная математическая модель, учитывающая только геометрическую нелинейность, исследована рядом численных методов: метод Бубнова-Галеркина, метод конечных разностей с явной и неявной разностной схемой, псевдоспектральный метод на Чебышевской сетке. Показано, в частности, что псевдоспектральный метод на Чебышевской сетке требует меньшего объема вычислений по сравнению с конечно-разностными методами для задачи с несимметричными краевыми условиями. Для задачи с шарнирным закреплением краев наиболее экономичным с вычислительной точки зрения оказался метод Бубнова-Галеркина.

3. Разработана оригинальная методика построения "карт" колебаний на основе эвристического анализа спектра мощности. Построены "карты" зависимости характера колебаний от управляющих параметров (А,ш), для бесконечно длинных гибких пластин находящихся под действием периодических знакопеременных нагрузок вида A sin cot.

4. Впервые обнаружена и изучена периодичность Шарковского для нелинейной системы непрерывного типа.

5. Установлено, что при колебаниях бесконечно длинных гибких панелей с несимметричными краевыми условиями имеет место достижение положительных значений не только вторым Ляпуновским показателем (гиперхаос), но и третьим (гипер-гиперхаос).

Достоверность полученных результатов обеспечивается корректной физической и математической постановкой задачи, применением известных численных методов, а также качественной теории дифференциальных уравнений и методов нелинейной динамики. Сравнение результатов различных численных методов также подтверждает достоверность.

Практическая ценность и реализация результатов. Предложенная математическая модель позволяет решать широкий класс задач нелинейной динамики для геометрически и физически нелинейных бесконечно длинных панелей с произвольными краевыми условиями. Разработанный алгоритм позволяет исследовать колебания механических систем в зависимости от управляющих параметров.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на XII и XIII межвузовских конференциях "Математическое моделирование и краевые задачи" (Самара, 2002, 2003), на IV Международной конференции по структурной динамике EURODIN (Munich, Germany, 2002), на Международной конференции "Нелинейные колебания механических и биологических систем" (Саратов, 2003), на VII Международной конференции "Dynamical systems - Theory and Applications" (Lodz, Poland, 2003), на XIII зимней школе молодых ученых по механике сплошных сред (Пермь, 2003), на XXI Международной конференции по теории пластин и оболочек (Саратов, 2005).

В законченном виде диссертационная работа докладывалась на научном семинаре "Численные методы расчета пластин и оболочек" кафедры "Высшая математика" СГТУ под руководством заслуженного деятеля науки и техники РФ, д.т.н., профессора В.А. Крысько (Саратов, 2005), на межкафедральном семинаре по математическому моделированию "Численные методы и комплексы программ" СГТУ под руководством заслуженного деятеля науки РФ, д.ф.-м.н., профессора В.Б. Байбурина (Саратов, 2006).

На защиту выносятся следующие результаты и положения:

1. Математические модели гибких упругих оболочек позволяют исследовать нелинейные диссипативные колебания бесконечно длинных гибких панелей с произвольными краевыми условиями под действием периодических продольных и поперечных знакопеременных нагрузок.

2. Алгоритмы, методика и комплекс прикладных программ для расчета и анализа колебаний бесконечно длинных гибких панелей при действии продольных и поперечных знакопеременных сил с произвольными граничными условиями.

3. Выявлено новое явление при колебании бесконечно длинных гибких панелей с несимметричными краевыми условиями, когда положительных значений достигает не только второй Ляпуновский показатель (гиперхаос), но и третий (гипер-гиперхаос).

Публикации. Основное содержание диссертационной работы и результаты исследований опубликованы в 8 научных работах.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка используемой литературы, включающего в себя 104 наименования. Общий объем работы 185 страниц, в том числе 44 рисунка и 5 таблиц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Во введении дается исторический обзор результатов по математическому моделированию нелинейной динамики пластин и оболочек, обосновывается актуальность и новизна темы диссертации.

Глава 1. Математические модели бесконечно длинных гибких панелей.

Нами разработана новая модель колебаний бесконечно длинной панели под действием внешних нагрузок с жестко закрепленными краями. Модель основана на гипотезах Кирхгофа-Лява и теории пологих оболочек. Данная модель позволяет учитывать геометрическую и физическую нелинейность, а также геометрическую нелинейность с учетом циклических нагружений по теории малых упругопластических деформаций. При учете только геометрической нелинейности предложенная модель порождает одномерный вариант общих уравнений Кармана.

Объектом исследования является бесконечно длинная гибкая упругая панель, находящаяся под действием продольной и поперечной знакопеременной нагрузки (рис. 1). Будем учитывать физическую нелинейность и упругопласти-ческие деформации (если считать, что нагружение и разгрузка происходят по одной кривой, то в этом случае будем иметь лишь физическую нелинейность). Будем рассматривать длинную пластинку (а » Ь), причем будем изучать участки пластинки, прилегающие к коротким сторонам, на остальной длине пластинка изгибается по цилиндрической поверхности. Вырежем балку-полоску единичной ширины с длиной о. Такой подход приводит к тому, что уравнение в частных производных по пространственным координатам сводится к уравнению с одной пространственной переменной х. По длине изогнутая пластинка подкреплена набором упругих ребер с одинаковой жесткостью и они расположены параллельно короткой стороне а через равные промежутки с. Нами разработан оригинальный алгоритм для расчета колебаний такой конструкции. Одной из особенностей данного алгоритма является использование итеративной процедуры для случая

У/ Г? = 3 ЭШОД

_^ \

—> <

-> <-

- <-

-> <-

—» *-

—> ь <

-> <-

-> <......

——> <-

-> <-

-> <-

——>■ * <-

—» Iе <-

т . ^ *

' 1> = Р.5|ПОД

Рис. 1. Расчетная схема

произвольной зависимости сг,(е{). Отдельный параграф в этой главе посвящен вопросу учета процесса разгрузки и циклических пластических деформаций. Приведены основные теории по учету пластических деформаций.

В частном случае абсолютно упругого тела, подчиняющегося закону Гука, алгоритм расчета значительно упрощается, так как отпадает необходимость в итерационной процедуре. Получаем частный случай одномерных общих уравнений Кармана теории пластин. Основное уравнение в безразмерном виде выглядит следующим образом:

К уравнению (1) следует присоединить одно из следующих краевых условий:

1. Шарнирное опирание с обоих концов:

ю = то" = 0. ПРИ х = 0,1. (2)

2. Защемление с обоих концов:

•ш = ■ш'х = 0, при х — 0,1. (3)

3. Комбинированные краевые условия:

Ц0) = ю'х(0) = 0, «»(1) = «£(1) = 0. (4)

А также одно из начальных условий, соответственно:

1. Для шарнирного опирания с обоих концов:

ы(х)\и4> = щвттгх, = 0. (5)

2. Для защемления с обоих концов:

ш(х)|(=0 = гио(1 - С08 2тгх), Ш(Х)|(=0 = 0. (6)

3. Для комбинированных краевых условий:

гф01«=о = /(®), ш(х)|4=0 = 0. (7)

8

Функция /(х) - значение прогиба, полученное методом установления для малого значения поперечной внешней нагрузки.

Глава 2. Некоторые методы сведения бесконечномерной задачи к конечномерной системе обыкновенных дифференциальных уравнений.

Важным вопросом является вопрос достоверности получаемых результатов, поэтому очень важно убедиться в правильности реализации численных алгоритмов. Одним из способов такой проверки является реализация нескольких принципиально различных численных методов и сравнение получаемых результатов. Совпадение результатов позволяет утверждать, что все методы реализованы верно и наблюдаемые эффекты есть свойство системы, а не численных методов. Нами были рассмотрены следующие методы:

• Метод Бубнова-Галеркина в высших приближениях. Данный метод подходит не для всех типов рассмотренных краевых условий. Каждый вариант граничных условий требует дополнительных аналитических преобразований для сведения уравнения в частных производных к системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Также данный метод накладывает некоторые ограничения на начальные условия и поэтому не обладает достаточной гибкостью для применения в более широком спектре задач. В диссертации подробно рассмотрено применение метода Бубнова-Галеркина для краевых-начальных условий (2)-(5). Для данных краевых условий исходные безразмерные уравнения сводятся к нелинейной системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Полученная система интегрируется по времени методом Рунге-Кутта. Исследован вопрос сходимости решения в зависимости от количества членов ряда, шага по времени и порядка точности метода Рунге-Кутта. Для данного метода было реализовано 2 алгоритма вычисления спектра Ляпуновских показателей и произведено их сравнение.

• Метод конечных разностей с явным интегрированием по времени. Этот метод не требует дополнительных аналитических преобразований, и все рассмотренные краевые условия легко реализуются в рамках общего подхода. Для данного метода также был иссле-

дован вопрос сходимости в зависимости от следующих параметров: разбиения по пространству (п = 8,16,32), шага по времени (ей = 2~7 : 2-12), аппроксимации пространственных разностных производных (0(/г2), 0(/г4), О (/г6)) и порядка точности метода Рунге-Кутта (ЯК2, ЯКА, В.К8). Этот метод обладает достаточно жесткими ограничениями на соотношение шагов по времени и пространству и при увеличении разбиения по пространству требует значительного уменьшения шага по времени. Был реализован классический метод нахождения спектра Ляпуновских показателей и исследован вопрос о сходимости данного метода в зависимости от рассмотренных выше параметров. Для краевых-начальных условий (2)-(5) было продемонстрировано полное соответствие с результатами, полученными методом Бубнова-Галеркина.

• Метод конечных разностей с неявным интегрированием по времени. В отличие от явного метода этот метод абсолютно устойчив и допускает широкий диапазон соотношений шагов по времени и пространству, но качественная сходимость достигается при достаточно больших разбиениях. Так же, как и явный метод, этот метод обладает достаточной общностью для всех трех типов рассмотренных краевых условий. Для данного метода также был исследован вопрос о сходимости в зависимости от следующих параметров: разбиения по пространству (п = 8,16,32), шага по времени (<й = 2~7 : 2~12) и аппроксимации пространственных разностных производных (0(Л2),0(/г4),0(/г8)). Классический метод нахождения спектра Ляпуновских показателей не применим для неявной схемы, поэтому для данного метода вопрос о вычислении Ляпуновских показателей не был рассмотрен. Верификация результатов проводилась на основе сравнения с результатами явного метода и было продемонстрировано полное соответствие.

• Псевдоспектральный метод на Чебышевской сетке с явным интегрированием по времени. В вопросе сходимости этот метод во многом похож на явный метод - увеличение разбиения по пространству требует значительного сокращения шага по времени. Нам удалось

обобщить этот метод для всех трех типов рассмотренных краевых условий. Для данного метода также был исследован вопрос о сходимости в зависимости от следующих параметров: разбиения по пространству (п = 8,12,14,16), шага по времени (<Й = 2-7 : 2~12) и порядка точности метода Рунге-Кутта (НК2,ЯК4,НК8). Классический метод нахождения спектра Ляпуновских показателей также применим для данного метода и был реализован. Проведена верификация на основе результатов явного и неявного методов.

Отметим, что для случая граничных условий типа "шарнир" (2) задача продольного нагружения при отсутствии поперечной силы (= 0) дает особенно простое уравнение при решении методом Бубнова-Галеркина. Колебания в этом случае полностью определяются главной модой. Получаем хорошо изученное уравнение Дуффинга:

Ах +еА1 = - (Атг2(1 + ЗА?) - РХ(Ь)) А1 тг2. (8)

Глава 3. Численное интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений.

В этой главе подробно освещен вопрос численного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. Приведена постановка задачи численного интегрирования, рассмотрен наиболее простой метод решения этой задачи - метод Эйлера, указаны основные характеристики, по которым оценивается численное решение: сходимость, порядок аппроксимации, устойчивость. Основное внимание уделено методам типа Рунге-Кутта. На примере метода Рунге-Кутта 3-го порядка продемонстрирован алгоритм получения формул для методов типа Рунге-Кутта. Приведены формулы для наиболее широко используемых методов Рунге-Кутта: модифицированного метода Эйлера, исправленного метода Эйлера, классического метода Рунге-Кутта 4-го порядка, исправленного метода Рунге-Кутта 4-го порядка, метода Кэша-Карпа (метод Рунге-Кутта 5-го порядка), метода Фехельберга (метод Рунге-Кутта 5-го порядка).

Отдельный параграф посвящен вопросу практической сходимости и эффективности различных методов Рунге-Кутта. На примере решения задач численного интегрирования уравнения осциллятора и уравнения колебаний бесконечно длинных пластин, сделан вывод об эффективно-

11

сти каждого метода. Для относительно простой задачи интегрирования уравнения осциллятора наиболее выгодными с вычислительной точки зрения оказались методы Рунге-Кутта высоких порядков: метод Принса-Дорманда и метод Фехельберга. Для основной задачи нашего исследования, напротив, наиболее эффективным оказался метод Рунге-Кутта второго порядка - модифицированный метод Эйлера.

Всего было рассмотрено 7 различных методов типа Рунге-Кутта и если учитывать решения с различными аппроксимациями разностных производных (0(/г2), 0(/г4), 0(Л,6)), то получаем 21 вариацию явного конечно-разностного метода. Таким образом, можно утверждать, что нами полностью исследован вопрос использования различных аппроксимаций как по времени, так и по пространству.

Глава 4. Характеристические показатели Ляпунова.

Эта глава посвящена характеристическим показателям Ляпунова. Описан алгоритм нахождения спектра Ляпуновских показателей, предложенный Бенеттином. Предложен упрощенный алгоритм для систем малой размерности и приведено сравнение с классическим методом. Проведен совместный анализ "карт", построенных на основе спектра мощности и "карт" значений максимального Ляпуновского показателя. Продемонстрировано полное совпадение границ основных зон и тем самым подтверждена достоверность получаемых результатов. "Карты" взаимодополняют друг друга и дают возможность получить больше информации о зонах одночастотных колебаний и зонах хаоса.

Совместный анализ максимального Ляпуновского показателя и максимального прогиба дают возможность сделать важный вывод: по виду графика максимального прогиба можно получить информацию о режиме колебаний, т.е. выделить зоны хаотических и регулярных колебаний. Простота построения графика максимального прогиба является несомненным преимуществом данного метода в задачах механики.

Глава 5. Новые аспекты перехода механических систем из состояния регулярных колебаний к хаотическим.

Одна из целей этой работы - исследование сценариев перехода механической системы из состояния гармонических колебаний в состояние хаотических колебаний. Для этого важно иметь общее представление о

поведении системы при тех или иных параметрах внешнего воздействия. Поэтому необходимо иметь так называемые "карты" колебаний пластинки для каждого типа краевых условий и типа внешнего нагружения. "Карта" представляет собой плоскость (А,ш), где А - управляющий параметр, амплитуда внешней нагрузки. Каждая точка "карты" окрашена цветом, обозначающим тот или иной характер колебаний. Таким образом, мы получаем информативное визуальное представление о поведении системы. Характер колебаний полностью определяется колебаниями центральной точки плоскости (х = 0.5), так как все другие точки движутся синхронно. Для каждой пары параметров (Л, w) на основе анализа спектра Фурье колебаний центральной точки определялся характер колебаний всей панели. При построении "карт" рассматривался интервал ш от 1/2ш0 до 3/2ш0, где шо - собственная частота пластинки при заданных краевых условиях. Интервал изменения А выбирался таким образом, чтобы максимальный прогиб не превышал 7 толщин пластинки (справедливость гипотезы среднего прогиба при учете геометрической нелинейности).

Нами была построена "карта" для поперечного нагружения Px(t) = Ра sin uit. Как уже отмечалось выше, в этом случае в разложении в ряд Бубнова-Галеркина можно ограничиться первым приближением и получаем уравнение Дуффинга (8). На рис. 2 представлена "карта", полученная методом Бубнова-Галеркина для краевых-начальных условий (2)-(5). Интегрирование проводилось методом Рунге-Кутта 2-го порядка (RK2) с шагом по времени dt = 2~а = 0.00390625.

Подробнее остановимся на методологии построения подобных "карт". При построении "карт" все множество управляющих параметров разбивается достаточно плотной сеткой так, чтобы визуально складывалось ощущение гладкости границ основных областей. На практике применялись следующие разбиения: для области изменения параметра и> бралось разбиение от 300 до 500 точек, а для внешней нагрузки от 500 до 1000. Таким образом, общее количество точек на "картах" колеблется от 150000 до 500000. Для каждой пары управляющих параметров заключение о характере колебаний производилось следующим образом:

1. Рассчитывался прогиб центральной точки на достаточно большом

интервале времени (от 150 до 200 периодов собственных колеба-

■ Затухание Ии/2

■ Бифуркации Пхаос

Рис. 2. "Карта" колебаний для продольной нагрузки

ний). При этом использовались не все значения, получаемые для выбранного шага по времени, а лишь каждое п-е значение. То есть реальный шаг дискретизации сигнала определялся не сходимостью численного метода, а сходимостью спектра Фурье, вычисляемого на втором шаге. Это позволяет сократить объём данных для следующего шага, не теряя необходимой точности и, соответственно, более эффективно использовать вычислительный ресурс.

2. В полученном сигнале опускался некоторый начальный интервал времени, тем самым устранялось влияние еще не установившихся колебаний. Этот интервал определялся визуально и составлял в среднем 30-40 периодов собственных колебаний. Для остальной части сигнала вычислялся спектр Фурье.

3. По спектру определялся характер колебаний. Выделялось 4 основных типа колебаний: затухающие, гармонические, бифуркации и хаотические колебания.

Значение амплитуды внешней нагрузки в серии бифуркаций

i 2 3 4 5 6 7 8

2.573 2.603 2.613 2.6161 2.61667 2.61679 2.616814 2.616819

а 3.028 3.975 4.770 4.759 4.708 4.683

Рис. 3. Спектр мощности колебаний для восьмой бифуркации

Этот алгоритм является одной из оригинальных разработок автора и был назван HSA - Heuristic Spectrum Análisis (эвристический анализ спектра).

Так как на некоторых участках переход к хаосу сопровождался серией бифуркаций, то был исследован вопрос о его соответствии сценарию Фейгенбаума. Был подробно изучен первый каскад бифуркаций при переходе к хаосу в зоне средних частот. При этом переходе наблюдалось до 8 бифуркаций (при использовании метода Бубнова-Галеркина). Для примера приведём данные вычисления констант Фейгенбаума для собственной частоты шо = 3 (см. таблицу). Значения С, получены из следующего соотношения:

рп_ cm—1

Сг = * ■ (9)

Р2+1-Р,?

Эти результаты хорошо согласуются с теоретическим значением:

рп_ рп-1

т * т

с«=¿25,^1-/».

■■ 4.6692...

(Ю)

На рис. 3 приведен спектр для ш = 3, Рх = 2.616819, число бифуркаций 8.

Процесс хаотических колебаний в системе при исследованных значениях (Р„ы) начинается с бифуркаций удвоения периода колебаний. Се-

15

рия этих бифуркаций легко фиксируется на графиках спектра мощности (см. рис. 3). Процесс хаотизации при наблюдении спектра характеризуется плавным зашумлением "подложки" спектра. При этом сохраняются острые пики на основных частотах и их гармониках.

Подробное исследование "карты" колебаний для краевых-начальных условий (2)-(5) позволило выделить ряд характерных аттракторов, свойственных хаотическим колебаниям. Были обнаружены и описаны хаотические режимы с аттракторами Смейла, Шильникова и Реслера.

Метод Бубнова-Галеркина послужил базисом для верификации конечно-разностных методов и псевдоспектрального метода на Чебышев-ской сетке. Для этих методов был решен вопрос сходимости для различных аппроксимаций, пространственных разбиений, шагов по времени. Результаты всех методов сравнивались между собой на основе интегральной картины колебаний, так называемой "шкалы". Продемонстрировано хорошее соответствие результатов всех реализованных методов.

Подробно исследован вопрос "интегральной" сходимости разностной схемы в зависимости от порядка аппроксимации разностных производных. Рассмотрены порядки аппроксимаций 0(Н2), 0(И4) и 0(к6). Сравнительный анализ показал оптимальность аппроксимации 0(Л4) для решения задач механики в частных производных. Исследован вопрос целесообразности использования неявных разностных схем по сравнению с явными.

Методом конечных разностей была исследована задача с защемлением краев (3)-(6). Так же, как и для задачи с шарнирным закреплением, проведен анализ "карты" колебаний, найден переход по сценарию Фейген-баума, исследовано поведение в хаосе. Для этого типа краевых условий было обнаружено редкое явление бифуркации утроения периода.

Кроме задачи параметрических колебаний бесконечно длинных гибких панелей с учетом геометрической нелинейности нами была исследована задача, учитывающая физическую нелинейность материала. Были рассмотрены два варианта зависимости напряжения от деформации: в виде двухзвенной ломаной и в виде экспоненциального перехода к "полке пластичности". Для обоих вариантов зависимости приведены "карты" колебаний для задачи с защемлением краев. Представлено их сравнение

с "картой" геометрически нелинейной задачи. Для задачи с шарнирным закреплением краев проведено более глубокое сравнение на основе комплекса параметров: максимального прогиба, максимального Ляпуновского показателя и "шкалы". При решении задачи с учетом физической нелинейности к рассмотрению добавляется новый параметр - зона пластичности. На основе анализа зоны пластичности вводится понятие степени пластичности балки-полоски в целом. Таким образом, мы исследовали колебания до момента перехода всей балки-полоски в зону пластичности.

Глава 6. Новые аспекты перехода механических систем из состояния регулярных колебаний к хаотическим.

Интересные результаты были получены для краевых-начальных условий (4)-(7) при продольном нагружении. Были обнаружены переходы динамической системы в хаос по сценарию Шарковского, т.е. были найдены фазовые траектории с периодом 3, 5, 7, 9, 11 и кратные им. Подобные переходы описываются теоремой Шарковского и впервые были описаны в середине 60-х годов прошлого века.

В диссертации подробно исследована взаимосвязь различных характеристик колебаний в комплексе. На рис. 4 изображен весь спектр параметров, по которым оценивалась система. На нем представлены: зависимость 1¥ггиа!(Ро) - максимальный прогиб в центральной точке, спектр Ляпуновских показателей (Хг(-Ро)}?=1 и "шкала", характеризующая характер колебаний системы. Анализируя совместно кривые 1¥тах(Ро) и {х«(Л))^=1> мы наблюдаем их тесную взаимосвязь и взаимодополнение. Так, при смене знака максимального Ляпуновского показателя наблюдается серия жестких бифуркаций на графике №тах(Ро) и соответствующее изменение цвета "шкалы".

Хотелось бы отметить, что для изучаемой нами системы было обнаружено новое явление - переход в положительную область не только второго Ляпуновского показателя (так называемый гиперхаос), но и третьего. По аналогии это явление было названо гипер-гиперхаосом. Был также изучен вопрос интегральной сходимости для режимов гиперхаоса и гипер-гиперхаоса. Никаких принципиальных отличий от сходимости в режиме хаоса обнаружено не было.

Достоверность существования зон гиперхаоса и гипер-гиперхаоса

1-СЕ уУтах

О 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

■ Затухание Ша>/2 ' а) ■ Бифуркации ' 1 Хаос

Рис. 4. "Шкала", максимальный прогиб и Ляпуновские показатели

была проверена сравнением результатов численного моделирования явным методом с результатами, полученными псевдоспектральным методом. Полное совпадение всего спектра Ляпуновских показателей убеждает нас в том, что существование зон гипер-гиперхаоса есть достоверный факт, а не результат погрешности метода.

В заключении приводятся основные результаты и выводы по работе.

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ ПО ДИССЕРТАЦИИ

1. Построена модель и предложен алгоритм расчета колебаний бесконечно длинных гибких панелей под действием внешней параметрической нагрузки с учетом геометрической и физической нелинейности. Рассмотрены способы учета остаточных пластических деформаций.

2. Построена упрощенная математическая модель бесконечно длинной

гибкой панели с учетом только геометрической нелинейности. Разработан алгоритм решения задачи о колебаниях такой панели под действием периодической знакопеременной продольной и поперечной нагрузки с учетом различных граничных условий.

3. Проведена классификация по известным сценариям колебаний оболочек, находящихся под действием периодической знакопеременной продольной и поперечной нагрузки.

4. Впервые обнаружена и изучена периодичность Шарковского для нелинейной системы непрерывного типа.

5. Разработан пакет программ для качественного исследования сложных колебаний бесконечно длинной гибкой панели. Реализованы следующие методы: метод Бубнова-Галеркина, метод конечных разностей с явным и неявным интегрированием по времени, псевдоспектральный метод на Чебышевской сетке.

6. Построены "карты" зависимости характера колебаний от управляющих параметров (Л, ш) для трех типов краевых условий. Исследован вопрос сходимости каждого метода и проведен сравнительный анализ всех рассмотренных методов.

7. Выявлены области сценария Фейгенбаума для краевых условий типа "шарнир" и "защемление". Наблюдалось до 8 бифуркаций Хопфа, что позволило вычислить константу Фейгенбаума и сравнить ее с теоретическим Значением. Отклонение составило менее 0.1%.

8. Реализован алгоритм вычисления спектра Ляпуновских показателей для различных численных методов. Обнаружено новое явление, названное по аналогии гипер-гиперхаосом. Для смешанных краевых условий исследование спектра Ляпуновских показателей показало, что в некоторых зонах хаоса положительных значений достигают не только первый и второй Ляпуновские показатели (известное явление гиперхаоса), но и третий показатель Ляпунова.

АОШ

Публикации по теме диссертации

f- 85 92

1. Narkaitis О.О. Bifurcations of thin plates transversally and sinusoidally excited / V.A. Krysko, G.G. Narkaitis, J. Awrejcewicz // Proceedings of the 4,h International Conference of Structural Dynamics EURODYN 2002 / Munich. - Germany, 2002. - P. 529-534.

2. Наркайтис Г.Г. Математическая модель хаотических параметрических колебаний гибких бесконечно длинных пластин / В.А. Крысько, Г.Г. Наркайтис "// Математическое моделирование и краевые задачи: труды XII межвуз. конф. / Самарск. гос. техн. ун-т. - Самара, 2002 - С. 101-104.

3. Narkaitis G.G. Bifurcations of a thin plate-strip excited transversally and axially / J. Awrejcewicz, V.A. Krysko, G.G. Narkaitis // Nonlinear Dynamics. Springer Netherlands. - Vol. 32, Issue 2. - 2003. - April. - P. 187-209.

4. Наркайтис Г.Г. Математическая модель "управления" колебаниями гибких бесконечно длинных пластин при действии параметрических нагрузок / В.А. Крысько, Г.Г. Наркайтис // Математическое моделирование и краевые задачи: труды XIII межвуз. конф. / Самарск. гос. техн. ун-т. - Самара, 2003. - С. 80-83.

5. Narkaitis G.G Estimation of Lapunov exponents using Benetin method / J. Awrejcewicz,

V.A. Krysko, G.G. Narkaitis // Analysis of some problems of chaotic dynamics / Wydawnictwa Naukowo-Techniczne. Warszawa, 2003. - Chapter 3.2. - P. 97-101.

6. Наркайтис Г.Г. Исследование бифуркаций бесконечно длинных пластин и оболочек

при действии поперечных и продольных знакопеременных нагрузок / В.А. Крысько, В.О. Назарьянц, Г.Г. Наркайтис // XIII зимняя школа молодых ученых по механике сплошных сред. Пермь, 2003. - С. 234.

7. Наркайтис Г.Г. Сравнение различных численных методов на примере задачи моделирования колебаний гибких бесконечно длинных пластин при действии продольных знакопеременных нагрузок / В.А. Крысько, Г.Г. Наркайтис // Нелинейные колебания механических и биологических систем: труды XXI Междунар. конф. по теории оболочек и пластин / Сарат. гос. техн. ун-т. - Саратов,

2005.-С. 281-288.

8. Narkaitis G.G. Nonlinear vibration and characteristics of flexible plate-strips with non-symmetric boundary conditions / V.A. Krys'ko, J. Awrejcewicz, G.G. Narkaitis // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. - Vol. 11, Issue 1. -

2006. - February. - P. 95-124.

Лицензия ИД № 06268 от 14.11.01

Подписано в печать 17.04.06 Бум. тип. Тираж 100 экз.

Усл. печ. л. 1.0 Заказ 148

Уч.-изд. л. 1.0 Бесплатно

Формат 60x84 1/16

Саратовский государственный технический университет

410054, Саратов, Политехническая ул. 77 Отпечатано в РИД СГТУ. 410054, Саратов, Политехническая ул. 77

Введение (Краткий исторический обзор по теме диссертации)

1 Математические модели бесконечно длинных панелей. ц 1.1 Математическая модель и алгоритм расчета бесконечных упругих панелей с учетом геометрической нелинейности и упругопластических деформаций при внешнем нагружении.

1.2 Алгоритм по учету разгрузки и вторичных пластических деформаций (циклическое нагружение).

1.3 Математическая модель и алгоритм расчета бесконечной панели с учетом геометрической нелинейности при параметрическом возбуждении.

Выводы по главе.

2 Некоторые методы сведения бесконечномерной задачи к конечномерной системе обыкновенных дифференциальных уравнений.

2.1 Метод Бубнова-Галеркина.

2.1.1 Обший подход метода Бубнова-Галеркина.

2.1.2 Применение метода Бубнова-Галеркина в задаче колебаний бесконечной панели с учетом геометрической нелинейности.

2.2 Метод конечных разностей.

2.2.1 Явная и неявная схемы. ф 2.2.2 Вычисление разностных производных.

2.2.3 Аппроксимация функций и их производных на сетке.

2.3 Псевдоспектральный метод на Чебышевской сетке.

Выводы по главе.

1 3 Численное интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений.

3.1 Постановка задачи численного интегрирования

3.2 Метод Эйлера

3.3 Основные требования предъявляемые к явным методам интегрирования ОДУ.

3.4 Сходимость, порядок аппроксимации, устойчивость.

3.5 Класс методов Рунге-Кутта.

3.6 Вопрос практической сходимости методов Рунге-Кутта. . . 79 Выводы по главе.

А® 4 Характеристические показатели Ляпунова.

4.1 Алгоритм вычисления спектра Ляпуновских показателей.

4.2 Упрощение алгоритма на случай системы малой размерности.

4.3 Достоверность результатов полученных на основе анализа спектра Ляпуновских показателей.

4.4 Анализ устойчивости системы на основе спектра Ляпуновских показателей и максимального прогиба.

Выводы по главе.

Численный эксперимент исследования колебаний бесконечно длинных гибких панелей.

5.1 Численный эксперимент на основе метода Бубнова-Галеркина.

5.2 Численный эксперимент на основе метода конечных разностей.

5.2.1 Сходимость разностной схемы.

5.2.2 Результаты численного эксперимента для задачи с защемлением.

5.3 Численный эксперимент для задачи колебаний бесконечной панели с учетом геометрической и физической нелинейности.

Выводы по главе.

Новые аспекты перехода механических систем из состояния регулярных колебаний к хаотическим.

6.1 Существование периодичности Шарковского в хаотических колебаниях бесконечно длинных гибких панелей.

6.2 Фазовые переходы "хаос - гипер хаос - гипер-гипер хаос".

6.3 Достоверность существования зон хаоса, гипер хаоса и гипер-гипер хаоса.

Выводы по главе.

диссертации)

Актуальность темы. Значительные успехи, достигнутые в 80-90-е годы прошлого века в области численного решения нелинейных уравнений в частных производных (УЧП), позволили использовать нелинейные теории механики деформируемых тел для расчета базовых конструктивных элементов сложных механических систем.

Гибкие упругие панели являются широко распространенным элементом сложных конструкций и различных машин. Динамическое нагруже-ние таких элементов - одна из базовых задач расчета поведения всей конструкции. Особый интерес представляет зависимость динамического режима колебаний от параметров внешнего нагружения и дисперсионных свойств среды. Задачи расчета подобных конструкций привели к необходимости построения и исследования их математических моделей. Моделирование колебаний гибких панелей под действием продольных и поперечных знакопеременных нагрузок является одной из актуальных задач современной механики.

Вопросам нелинейных колебаний пластин и оболочек посвящены монографии B.JI. Агамирова, В.В. Болотина, А.С. Вольмира, В.Г. Баженова, В.А. Крысько, Ю.Г. Коноплева и других авторов. В работах этих авторов приведены нелинейные уравнения колебаний пластин и оболочек, однако вытекающие из них решения исследованы лишь для случая импульсных нагрузок и режима собственных колебаний.

Получившие широкое распространение в последние десятилетия методы анализа детерминированного хаоса позволили по-новому подойти к описанию нелинейных колебаний пластин и оболочек. Заметный вклад в исследования по данному направлению внесли сотрудники Саратовского государственного технического университета. Следует отметить работы следующих авторов: В.А. Крысько, А.В. Крысько, Е.В. Салий, Т.В. Вах-лаевой, А.А. Сопенко, Ю.В. Чеботаревского и др. Данная работа является частью глобального исследования, проводимого научной группой В.А. Крысько, и посвящена ранее не исследовавшимся колебаниям гибких бесконечно длинных панелей под действием знакопеременных нагрузок. В известной нам литературе не рассматривались нелинейные колебания бесконечно длинных гибких панелей с точки зрения нелинейной динамики и качественной теории дифференциальных уравнений.

Таким образом, представляется важной и актуальной задача исследования колебаний бесконечно длинных гибких панелей как упругих, так и с учетом физической нелинейности под действием периодической знакопеременной нагрузки.

Целью работы является построение и исследование математической модели нелинейных колебаний бесконечно длинных гибких панелей. Таким образом, перед нами стоят следующие задачи:

1. Разработка математических моделей для сложных колебаний бесконечно длинных панелей под действием продольной и поперечной знакопеременной нагрузки с учетом только геометрической нелинейности, геометрической и физической нелинейностей, геометрической нелинейности и упругопластических деформаций.

2. Изучение сценариев перехода в состояние хаоса колебаний бесконечно длинных гибких панелей в зависимости от типа краевых условий и параметров внешней знакопеременной нагрузки.

3. Выявление новых закономерностей в зонах хаотических колебаний. Научная новизна работы заключается в следующем:

1. Впервые предложена математическая модель для расчета колебаний бесконечно длинных гибких панелей под действием внешней параметрической нагрузки с учетом упругопластических деформаций и идеального эффекта Баушингера.

2. Упрощенная математическая модель, учитывающая только геометрическую нелинейность, исследована рядом численных методов: метод Бубнова-Галеркина, метод конечных разностей с явной и неявной разностной схемой, псевдоспектральный метод на Чебышевской сетке. Показано, в частности, что псевдоспектральный метод на Чебышевской сетке требует меньшего объема вычислений по сравнению с конечно-разностными методами для задачи с несимметричными краевыми условиями. Для задачи с шарнирным закреплением краев наиболее экономичным с вычислительной точки зрения оказался метод Бубнова-Галеркина.

3. Разработана оригинальная методика построения "карт" колебаний на основе эвристического анализа спектра мощности. Построены "карты" зависимости характера колебаний от управляющих параметров (Л,и), для бесконечно длинных гибких пластин находящихся под действием периодических знакопеременных нагрузок вида A smut.

4. Впервые обнаружена и изучена периодичность Шарковекого для нелинейной системы непрерывного типа.

5. Установлено, что при колебаниях бесконечно длинных гибких панелей с несимметричными краевыми условиями имеет место достижение положительных значений не только вторым Ляпуновским показателем (гиперхаос), но и третьим (гипер-гиперхаос).

Практическая ценность и реализация результатов. Предложенная математическая модель позволяет решать широкий класс задач нелинейной динамики для геометрически и физически нелинейных бесконечно длинных панелей с произвольными краевыми условиями. Разработанный алгоритм позволяет исследовать колебания механических систем в зависимости от управляющих параметров.

Положения, выносимые на защиту:

Выводы по главе.

В этой главе были представлены результаты, являющиеся новыми для теории нелинейных механических систем. Нами впервые был обнаружен переход к хаосу по сценарию Шарковского для динамической системы непрерывного типа. В отличие от сценария Фейгенбаума система переходит к хаосу не через каскад бифуркаций удвоения периода, а через последовательность описываемую упорядочиванием Шарковского. Ранее подобные переходы были обнаружены только для дискретных отображений, и полученный нами результат является новым с точки зрения теории нелинейной динамики.

Для варианта задачи с несимметричны закреплением нами было обнаружено явление, которое ранее не наблюдалось в других нелинейных динамических системах - переход в положительную область не только первого и второго Ляпуновских показателей (так называемый гипер хаос), но третьего Ляпуновского показателя. По аналогии данное явление было нами названо гипер-гипер хаосом. В этой главе приведено подробное исследование основных характеристик для каждого из режимов. Совместный анализ Ляпуновских показателей, максимального прогиба, графика колебаний центральной точки, фазового портрета, спектра мощности, сечения Пуанкаре и автокорреляционной функции демонстрирует процесс нарастания хаотизации по мере роста числа положительных Ляпуновских показателей. Важным вопросом является достоверность существования обнаруженного явления. Сравнение результатов явного метода с разными разбиениями по пространству и пседоспектрального метода на Чебышев-ской сетке убеждают нас, что явление гипер-гипер хаоса есть свойство решаемой системы, а не погрешность, привнесенная численным методом. Проведен совместный анализ "карты" колебаний и "карты" зон хаоса, гипер хаоса и гипер-гипер хаоса.

Численные эксперименты показали большую эффективность рассмотренных численных методов и разработанных на их основе алгоритмов. Обнаруженные эффекты и явления новыми с точки зрения механики и еще ждут своего экспериментального подтверждения.

Заключение

Полученные результаты подтверждают перспективность исследования задач механики с точки зрения нелинейной динамики. На примере задачи с геометрической нелинейностью мы получили целый спектр задач нелинейной динамики, начиная с простейшего варианта в виде уравнения Дуффинга и заканчивая системой с бесконечным числом степеней свободы. Исследование систем с большим числом степеней свободы дало нам возможность обнаружить новые явления, ранее не наблюдавшиеся в других областях нелинейной динамики.

Реализация различных численных методов дает нам возможность утверждать, что получаемые результаты достоверны и являются свойством изучаемой системы, а не реализованной численной схемы. Всего было реализовано 4 различных численных метода для решения одной задачи. Следует отметить, что рассмотрение различных аппроксимации как по времени, так и по пространству, порождает целый набор явных и неявных конечно-разностных методов. Так например, явный конечно-разностный метод был реализован в более чем 20 вариациях. В целом следует отметить слеующие результаты:

• Построена модель и предложен алгоритм расчета колебаний бесконечно длинных гибких панелей под действием внешней параметрической нагрузки с учетом геометрической и физической нелинейности.

Рассмотрены способы учета остаточных пластических деформаций, то есть разные зависимости сгг(ег) для нагружения и разгружения.

Рассмотренна упрощенная модель колебаний бесконечно длинных гибких панелей под действием внешней параметрической нагрузки с учетом только геометрической нелинейности. Приведены дифференциальные уравнения колебаний и краевые-начальные условия для 3 вариантов закрепления краев балки-полоски.

Рассмотрены различные способы сведения уравнения в частных производных к системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Всего было представлено 4 различных метода: метод Бубнова-Галеркина, явный конечно-разностный метод, неявный конечно-разностный метод и псевдоспектральный метод на Чебышевской сетке.

Приведены два различных подхода к вычислению разностных производных и на основе этих подходов найдены формулы для аппроксимации 1-ой, 2-ой и 4-ой производных с точностью 0(h2), 0(hA) и 0(h%

Рассмотрено семейство метод типа Рунге-Кутта и исследован вопрос практической сходимости и эффективности различных методов Рунге-Кутта. Всего было рассмотрено 7 различных методов типа Рунге-Кутта и можно утверждать, что нами полностью исследован вопрос использования различных аппроксимаций как по времени, так и по пространству.

Описан алгоритм нахождения спектра Ляпуновских показателей, предложенный Бенеттином и др. [89]. Предложен упрощенный алгоритм для систем малой размерности и приведено сравнение с классическим методом.

Совместный анализ максимального Ляпуновского показателя и максимального прогиба дают возможность сделать важный вывод: по виду графика максимального прогиба можно получить информацию о режиме колебаний, т.е. выделить зоны хаотических и регулярных колебаний.

Приведены результаты по решению задачи с шарнирным закреплением краев методом Бубнова-Галеркина в высших приближениях и как частный случай решение уравнения Дуффинга. Исследован вопрос сходимости метода в зависимости от количества членов ряда.

Проведена верификации расчетной модели на примере расчета частоты собственных колебаний и эффекта "хлопка".

Разработана методология построения "карт" колебаний на основе анализа спектра мощности. Построены "карты" для 3 вариантов краевых-начальных условий.

Для всех 3 вариантов краевых-начальных условий обнаружен и исследован Фейгенбаумановский сценарий перехода к хаосу. Подсчитаны константы Фейгенбаума и проведен анализ особенностей реализации данного сценария. Нам удалось зарегистрировать 8 бифуркаций удвоения периода.

В зоне хаоса были выявлены аттракторы Смейла, Шильникова и Реслера.

Проведено сравнение результатов полученных разными численными методами и решен вопрос сходимости для каждого из них. Результаты всех методов сравнивались между собой на основе интегральной картины колебаний, так называемой, "шкалы". Совпадение основных характеристик позволяет говорить о достоверности получаемых результатов.

Исследован вопрос влияния порядка аппроксимаций разностных производных на точность получаемых результатов. Рассмотрены порядки аппроксимаций 0(h2), 0(hA) и 0(h6). Сравнительный анализ показал оптимальность аппроксимации 0(hA) для решения задач механики в частных производных.

Методом конечных разностей была исследована задача с защемлением краев. Исследован переход к хаосу по сценарию Фейгенбаума и поведение системы в хаосе. Для данного типа краевых условий было обнаружено редкое явление бифуркации утроения периода.

Была исследована задача учитывающая физическую нелинейность материала. Были рассмотрены два варианта зависимости напряжения от деформации: в виде двухзвенной ломаной и в виде экспоненциального перехода к "полке пластичности". Приведены "карты" колебаний для различных вариантов краевых-начальных условий. Показаны зоны пластичности в зависимости от амплитуды внешней нагрузки.

• Впервые был обнаружен переход к хаосу по сценарию Шарковского для динамической системы непрерывного типа. Приведены основные характеристики колебательного процесса для этапов перехода к хаосу по сценарию Шарковского.

• Было обнаружено новое явление, назаванное нами по аналогии гипер-гипер хаосом. В задаче с несимметричны закреплением наблюдался переход в положительную область не только первого и второго Ляпуновских показателей, но третьего. Проведен совместный анализ Ляпуновских показателей, максимального прогиба, графика колебаний центральной точки, фазового портрета, спектра мощности, сечения Пуанкаре и автокорреляционной функции. Продемо-стрированы результаты численного эксперимента подтверждающего достоверность существования этого явления.

За рамками данного исследования остались эксперименты с реальными материалами и уточнение модели в смысле учета циклических нагрузок. Эти задачи еще ждут своих исследователей и будем надеятся, что в будущем данная работа послужит хорошим базисом для этих исследований.

1. Love А. Е. Н. A Treatise on the Mathematical theory of Elasticity. - New York: Dover Publications, 1944.

2. J. L. Erickensen C. Truesdell. Exact theory of stress and strain in rods and shells. 1958. - 295-323.

3. E. Cosserat F. Cosserat. Theorie des Corps Deformables. Paris, 1909.- 953-1173.

4. A. E. Greene N. Laws. A general theory of rods. London: Royal Society of London Proceeding A, 1966.

5. Reissner E. On one-dimensional Fnite-strain beam theory: the plane problem / Journal of Applied Mathematics and Physics (ZAMP). 1972.- 23. 759-804.

6. Reissner E. R. On one-dimensionallarge-displacement Fnite-strain beam theory: the plane problem. / Studies in Applied Mathematics. 1973. -LII. - 87-95.

7. Wempner G. Mechanics of Solids with Application to Thin Body. New York: McGraw-Hill, 1973.

8. Berdichevsky V. L. On the energy of an elastic rod / PPM. 1982. - 45.- 518-529.

9. Maewal A. A set of strain-displacement relations in nonlinear rod and shells / Journal of Structural Mechanics. 1983. - 10. - 393-401.

10. Danielson D. A., Hodge D. H. Nonlinear beam kinematics by decomposition of the rotation tensor / ASME Journal of Applied Mechanics. 1987. - 54. - 258-262.

11. Hodge D. H. A mixedvariational formulation based on exact intrinsic equations for dynamics of moving beams / International Journal of Solids and Structures. 1990. - 264. - 1253-1273.

12. Simo J. C., Vu-Quoc L. The role of nonlinear theories in transient dynamics analysis of flexible structures / Journal of Sound and Vibration.- 1987. 119. - 487-508.

13. Simo J. C., Vu-Quoc L. A geometrically-exact rod model incorporating shear and torsion-warping deformation / International Journal of Solids and Structures. 1991. - 27. - 371-393.

14. Vu-Quoc L., Ebcioglu I. K. Dynamics formulation for geometrically-exact sandwich beams and 1-D plates / ASME Journal of Applied Mechanics.- 1995. 62. - 756-763.

15. Vu-Quoc L., Deng H. Galerkin projection for geometrically-exact sandwich beams allows for play drop-of / ASME Journal of Applied Mechanics. 1995. - 62. - 479-488.

16. L. Vu-Quoc H. Deng, Ebcioglu I. K. Sandwich beams: a geometrically-exact formulation / Journal of Nonlinear Science. 1996. - 6. - 239-270.

17. Vu-Quoc L., Ebcioglu I. K. General multilayer geometrically-exact beams/l-D plate with piecewise linear section deformation / Zeitschrift fur Angewande Mathematik und Mechanik (ZAMM). 1996. - 76. -756-763.

18. Vu-Quoc L., Deng H. Dynamics of geometrically-exact sandwich beams: computational aspects / Computer Methods in Applied Mechanical and Engineering. 1997. - 146. - 135-172.

19. Borri M., Mantegazza P. Some contributions on structural dynamic modeling of helicopter rotor blades / Aerotecnica Missili e Spazio. -1985. 64. - 143-159.

20. Bauchau 0. A., Kang N. K. A multibody formulation for helicopter structural dynamic analysis / Journal of the American Helicopter Society.- 1993. 38. - 3-14.

21. Silva M. R. M. Crespo da, Glynn С. C. Nonlinear flexural-flexural-torsional dynamics of inextensional beams: equations of motion / Journal of Structural Mechanics. 1978. - 6. - 437-448.

22. Silva M. R. M. Crespo da. Equations fornonlinear analysis of 3D motions of beams / Applied Mechanics Review. 1991. - 44. - 51-59.

23. Pai P. F., Nayfeh A. H. Three-dimensional nonlinear vibrations of composite beams: equation of motion / Nonlinear Dynamics. 1990.- 1. 477-502.

24. Pai P. F., Nayfeh A. H. A nonlinearcomposite beam theory / Nonlinear Dynamics. 1992. - 3. - 273-303.

25. Pai P. F., Nayfeh A. H. A fully nonlinear theory of curved and twisted composite rotor blades accounting for warping and three-dimensional stress effects / International Journal of Solids and Structures. 1994. - 31. - 1309-1340.

26. Kreiger S. W. The effect of an axial force on the vibration of hinged bars. / Appl. Mech. 1950. - 17. - 35-36.

27. Burgreen D. Free vibrations of a pin-ended column with constant distance between pin ends. / Appl. Mech. 1951. - 18. - 135-139.

28. Srinivasan A. V. Large amplitude free oscillations of beams and plates. / AIAA. 1965. - 3. - 1951-1953.

29. Srinivasan A. V. Nonlinear vibrations of beams and plates. / Int. J. Nonlinear Mech. 1966. - 1. - 179-191.

30. J. D. Ray C. W. Bert. Nonlinear vibrations of a beam with pinned ends. / Eng. Ind. 1969. - 91. - 977-1004.

31. R. H. Mallett P.V. Marcal. Finite element analysis of nonlinear structures. / Struct. Div. 1968. - 94. - 2081-2105.

32. S. Rajasekaran D. W. Murray. Incremental finite element matrices. / Struct. Div. 1973. - 99. - 2423-2437.

33. J. S. Chen T. Huang. Appropriate forms in nonlinear analysis. / Eng. Mech. Div. 1986. - 111. - 1251-1226.

34. Verma G. R. Nonlinear vibrations ofbeams and membranes / Studies in Applied Mathematics. 1972. - LII. - 805-814.

35. Nayfeh A. H. Nonlineartransverse vibration of beams with properties that vary along the length / Journal of the Accoustical Society of America. 1973. - 53. - 766-770.

36. С. H. Ho R. A. Scott, Eisley J. G. Non-planar, nonlinear oscillations of beams: forced motions / International Journal of NonlinearMechanics.1975. 10. - 113-127.

37. С. H. Ho R. A. Scott, Eisley J. G. Non-planar, nonlinear oscillations of beams: free motions / International Journal of Sound andcibration.1976. 47. - 333-339.

38. Silva M. R. M. Crespo da, Glynn С. C. Nonlinear flexural-flexural-torsional dynamics of inextensional beams: forced motion / Journal of Structural Mechanics. 1978. - 6. - 449-641.

39. A. Luongo G. Rega, Vestroni F. On nonlinear dynamics of planar shear indeformable beams / ASME Journal of Applied Mechanics. 1996. -53. - 619-624.

40. Atanackovic Т. M., Cveticanin L. J. Dynamics of plane motion of an elastic rod / ASME Journal of Applied Mechanics. 1996. - 63. -392-398.

41. Holmes P. J., Marsden J. A partial differential equation with infinitely many periodic orbits: chaotic oscillations of a forced beam / Archives for Rational Mechanics and Analysis. 1981. - 76. - 135-166.

42. Maewal A. Chaos ina harmonically excited elastic beam / ASME Journal of Applied Mechanics. 1986. - 53. - 625-631.

43. V. L. Berdichevsky W. W. Kim, Ozbek A. Dynamics potential for nonlinear vibrations of cantilevered beams / Journal of Sound and Vibration. 1995. - 179. - 151-164.

44. Reichi L. E., Zheng W. M. Perturbed double-well system: the pendulum approximation and low-frequency effects / Physical Review A. 1984. -30. - 1068-1077.

45. Chirikov В. V. A universal instability of manydimensional oscillator systems / Physics Reports. 1979. - 52. - 263-379.

46. Luo A. C. J. Analytical modeling of bifurcations, chaos, and multifractals in nonlineardynamics. Ph.D. Dissertation. Winnipeg, Manitoba, Canada: University of Manitoba, 1995.

47. Luo A. C. J., Han R. P. S. Analytical predictions of chaosin a non-linear rod / Journal of Sound and Vibration. 1999. - 227(3). - 532-544.

48. Tseng W. Y., Dugundji J. Nonlinear vibrations of a buckled beam under harmonic exitation / ASME J. Appl. Mech. 1971. - 38. - 467-476.

49. Tang D. M., Dowell E. H. On the threshold force for chaotic motion for a forced buckled beam / ASME J. Appl. Mech. 1988. - 55. - 190-196.

50. Symonds P. S., Yu Т. X. Counter-intuitive behaviour in a problem of elastic-plastic beam dynamics / ASME J. Appl. Mech. 1985. - 52. -517-522.

51. J. Y. Lee P. S. Symonds, Borino G. Chaotic response of a two degree-of-freedom elastic-plastic beam model to short pulse loading / ASME J. Appl. Mech. 1992. - 59. - 711-721.

52. H. Kolsky P. S. Symonds P. Rush. Some experimental observations of anomalous response of fully clamped beams / Int J Impact Eng. 1991.- 39. 445-456.

53. Galiev S. U. Distinctive features of counter-intuitive behavior of plates and shells after removal of impulse load / International Journal of Impact Engineering. 1997. - 19. - 175-187.

54. A. Bassi P. S. Symonds F. Genna. Anomalous elastic-plastic responses to short pulse loading of circular plates / International Journal of Impact Engineering. 2002. - 28. - 65-91.

55. Lee J. Y., Symonds P. S. Extended energy approach to chaotic elastic-plastic response to impulsive loading / International Journal of Mechanics Science. 1992. - 34. - 139-157.

56. Symonds P. S., Lee J. Y. Fractal dimensions in elastic-plastic beam dynamics. Albuquerque, New Mexico: Proc. 14th Biennial ASME Conference on Vibration and Noise, 1993.

57. Y. M. Liu Q. M. Li G. W. Ma. Chaotic and asymmetrical beam response to impulsive load / International Journal of Solids and Structures. 2003.- 41. 765-784.

58. Lepik U. Dynamic response of elastic-plastic beams with axial constraints / Int. J. Impact Engineering. 1994. - 15. - 3-16.

59. Lepik U. Impulsively loaded fully fixed-ended elastic-plastic beams by Galerkin method / Int. J. Impact Engineering. 1994. - 15. - 17-23.

60. Lepik U. Dynamic response of elastic-plastic pin-ended beams by Galerkin method / Int. J. Solid Structures. 1994. - 12. - 71-83.

61. Lepik U. Vibrations of elastic-plastic fully clamped beams and flat arches under impulsive loading / Int. J. Nonlinear Mechanics. 1994. - 29. -613-623.

62. P. R. Everall G. W. Hunt. Arnold tongue predictions of secondary buckling in thin elastic plates. / Mech. and Phys. Solids. 1999. -10.- 2187-2206.

63. Тукмаков A. JI. Актуальные проблемы механики оболочек. Казань: Тез. докл. междунар. конф., посвящ. 100-летию проф. X. М. Муштари, 90-летию проф. К. 3. Галимова и 80-летию проф. М. С. Корнишина, 26-30 июня, 2000. - 152.

64. Ribeiro P. The second harmonic and the validity of Duffing's equation for vibration of beams with large displacements. / Comput. and Struct. -2001. 1(79). - 107-117.

65. Yang Wenming Wu Xiao. Changde shifan xueyuan xuebao. Ziran kexue ban. / Changde Teach. Univ. Natur. Sci. Ed. 2000. 2000. - 2. - 18-69.

66. Yamaguchi Takao Nagai Kenichi. Suzuki Hisashi. Nihon kikai gakkai ronbunshu. / Jap. Soc. Mech. 2000. - 652. - 3820-3827.

67. Wei Zhang. Beijing gongye daxue xuebao / Beijing Polytechn. Univ. -2001. 4(27). - 400-405.

68. Sudhakar Marur R. Advances in nonlinear vibration analysis of structures. Part I. Beams. / Sadhana. 2001. - 3(26). - 243-249.

69. Р. Хилл. Математическая теория пластичности. М.: ГосТехИздат, 1956. - 407 с.

70. Ohashi Y. Murakami S. The elastic-plastic bending of a clamped thing circular plate. Munich.: Proc. 11th Int. Cong. App. Mech., 1964. -162 p.

71. П.А. Лукаш. Расчет пологих оболочек и плит с учетом физической и геометрической нелинейности. М.: Издательство Академии архитектуры СССР, 1961. - 72 с.

72. Муштари Х.М. Суркин Р.Г. Поперечный изгиб квадратной пластины при нелинейной зависимости между деформациями и напряжениями. -14. М.: издательстбо Казанского филиала АНСССР, 1966.

73. Цурпал И.А. Шульга Н.А. Основные уравнения теории тонких пологих оболочек сучетом физической нелинейности. 12. - М.: Прикладная механика, 1965.

74. Ramberg W. Osgood W.R. Descriptions of stress-strain state by three parameters. Now NASA.: NAGA, 1943. - 323 c.

75. Ю.Н. Шевченко. Термопластичность при переменных нагружениях. -Киев: Наукова Думка, 1970. 173 с.

76. Кадашевич Ю.И. Новожилов В.В. Теория пластичности учитивающая остаточные микронапряжения. 22. - М.: ПММ, 1958.

77. В.И. Феодосеев. Об одном способе решения задач устойчивости деформированных систем, Прикладная математика и механика. т.27

78. N 2. М.: Наука, 1966. - 971-976 с. (Геометрически нелинейные задачи теории пластин и оболочек. Труды VI Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластин., Баку 1966).

79. А.С. Вольмир. Нелинейная динамика пластинок и оболочек. М.: Наука, 1972. - 432 с.

80. К. Флетчер. Численные методы на основе метода Галеркина. М.: Мир, 1988. - 352 с.

81. Nayfeh А.Н. Mook D.T. Nonlinear Oscillation. 1979. - 185 p.

82. Ernst Hairer Gerhard Wanner Syvert Paul Norsett. Solving ordinary differential equations I: Nonstiff problems, second edition. Berlin: Springer Verlag, 1993.

83. Ernst Hairer Gerhard Wanner. Solving ordinary differential equations II: Stiff and differential-algebraic problems, second edition. Berlin: Springer Verlag, 1996.

84. Iserles Arieh. A First Course in the Numerical Analysis of Differential Equations. Cambridge: Cambridge University Press, 1996.

85. Lambert John Denholm. Numerical Methods for Ordinary Differential Systems. Chichester: John Wiley and Sons, 1991.

86. Abramowitz Stegun. Handbook of Mathematical Functions. Berlin: Springer Verlag, 1978.

87. G. Bader P. Deuflhard. A Semi-Implicit Mid-Point Rule for Stiff Systems of Ordinary Differential Equations / Numerical Mathematics. 1983. -41. - 373-398.

88. В.И. Оселедц. Труды Московского математического общества. т. 19. - М., 1968. - 179 с.

89. Benettin G. Strelkyn J.M. Galgani L. Lyapunov characteristic exponents for smooth dynamical systems and for Hamiltonian systems; A method of computing all of them. / Phys. Rev. 1976. - 14. - 294 p.

90. Ю.Б. Песин. ДАН СССР. т.226 N 4. - М., 1976. - 774 с.

91. J. Awrejcewicz G.G. Narkaitis R. Mosdorf. Analysis of some problems of chaotic dynamics. 3.2. - Warszawa: Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, 2003.- 97-101.

92. B.A. Крысько Г.Г. Наркайтис. Математическая модель "управления" колебаниями гибких бесконечно длинных пластин при действии параметрических нагрузок / труды XIII межвузовской конференции. Самара. 2003. - 80-83.

93. V.A. Krysko J. Awrejcewicz G.G. Narkaitis. Bifurcations of thin plates transversally and sinusoidally excited / Proceedings of the 4th International Conference of Structural Dynamics EURODYN 2002, Munich, Germany. 2002. - 529-534.

94. J. Awrejcewicz G.G. Narkaitis V.A. Krysko. Bifurcations of a thin plate-strip excited transversally and axially / Nonlinear Dynamics, Springer Netherlands. 2002. - 32, Issue 2. - 187-209.

95. B.A. Крысько Г.Г. Наркайтис В.О. Назарьянц. Исследование буфурка-ций бесконечно длинных пластин и оболочек при действии поперечных и продольных знакопеременных нагрузок / XIII зимняя школа молодых ученых по механике сплошных сред, Пермь. 2003. - 324.

96. Вул Б. Хакин К.М. Синай А.Г. Универсальность Фейгенбаума и термодинамический формализм. т.39, N 3. - М.: УМН, 1984. - 3-37 с.

97. В.И. Арнольд. Потеря устойчивости автоколебаний вблизи резонан-сов. М.: Наука, 1979. - 116-131 с.

98. Астахов В.В. Безручко Б.П. Изменение структуры разбиения плоскости параметров стохастической системы при возбуждении дополнительной моды. / Письма ЖТФ. 1987. - т. 13, N 8. - 449-452 с.

99. Афраймович B.C. Рабинович М.И. Веричев Н.Н. Стохастическая синхронизация колебаний в диссипативных системах. / Известия ВУЗов, Радиофизика. 1986. - т.29, N 9. - 1050-1060 с.

100. Grutchfield J.P. Farmer D. Power spectral analysis of dynamical system. / Phys Lett. 1980. - vol.76, N 1. - 1-4 p.

101. Franceschini V. Tabaldi C. Sequence of infinite bifurcations and turbulence in fire-model truncation of the Navier-Stokes equation. / Stat. Phys. 1979. - vol.21, N 6. - 707-726 p.

102. V. Franceschini. Feigenbaum sequence of bifurcation in the Lorens model. / Stat. Phys. 1980. - vol.22, N 3. - 397-406 p.

103. Л.П. Шильников. Теория бифуркаций и турбулентность. Проблемы нелинейных и турбулентных процессов в физике. ч.2. - 1956. - 118124 с.

104. Arneodo A. Thual О. Direct numerical simulation of triple convection problem versus normal form prediction. / Phys. Lett. 1985. - vol.109 N 8. - 367-373 p.

105. Arneodo A. Collet P.M. Asymptotic chaos. / Physica D. 1985. -vol.14 N 3. - 327-347 p.

106. B.A. Крысько Г.Г. Наркайтис. Математическая модель хаотических параметрических колебаний гибких бесконечно длинных пластин / труды XII межвуз. конф. Самара. 2002. - 101-104.

107. А.Н. Шарковский. Существование циклов неприрывного отображения прямой в себя / УМЖ. 1964. - т. 16 N 1. - 61-67 с.

108. Tien-Yien Li James A Yoorke. Period three implies chaos / American mathematical monthly. 1975. - vol. 82. - 985-992 pp.

109. Wolf A. Surift J.B. Determining Lypunov exponents from time series / Physica D. 1985. - vol. 16, N 3. - 285-317 pp.

110. V.A. Krys'ko G.G. Narkaitis J. Awrejcewicz. Nonlinear vibration and characteristics of flexible plate-strips with non-symmetric boundary conditions / Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. 2006. - 11, Issue 1. - 95-124.

111. O.E. Landford. The strange attractor theory of turbulence. vol. 14. -M.: Annual Review of Fluid Mechanics, 1982. - 347-364p.

112. O.E. Ландфорд. Странные аттракторы и турбулентность (Гидродинамические неустойчивости и переход к турбулентности). М.: Мир, 1984. - с.22-46.1. Благодарности.