автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование системы массового обслуживания стохастическими диффузионными марковскими процессами

Введение

Глава 1. Постановка задачи. Вероятностные и стохастические модели в описании поведения систем массового обслуживания

1.1 Математические методы исследования систем массового обслуживания

1.2 Стохастическая модель системы массового обслуживания с упорядоченным изменением основных параметров

1.3 Марковские процессы в описании поведения системы массового обслуживания

1.4 Диффузионные процессы в описании поведения системы массового обслуживания 23 Выводы и результаты

Глава 2. Диффузионные процессы в описании поведения системы массового обслуживания

2.1 Асимптотические характеристики параметров системы массового обслуживания

2.2 Количественные результаты описания состояний процесса товарооборота как задачи теории массового обслуживания 55 2.2 Определение минимального необходимого количества элементов, обеспечивающих функционирование системы массового обслуживания 62 Выводы и результаты

Глава 3. Влияние изменения информации на функционирование системы массового обслуживания

3.1 Стохастические системы массового обслуживания с различной степенью информации

3.2 Нормальное приближение для распределения функции числа элементов системы массового обслуживания

3.3 Уточненное распределение количественных характеристик в задаче системы массового обслуживания для процесса товарооборота

3.4 Количественные оценки, характеризующие исход процесса

Выводы и результаты

Актуальность проблемы. При решении задач теории массового обслуживания часто используются математические методы с применением марковских процессов. С помощью этого моделирования удается исследовать такие задачи теории массового обслуживания, которые другими средствами решить достаточно сложно, например оптимизацию системы управления процессом товарооборота, определение минимального необходимого количества товара и покупательского спроса на него.

В этих задачах участие в процессах обращения множества покупателей и продавцов предполагает необходимость учета таких факторов, как конкуренция, законы спроса и предложения, а также то, что все условия здесь имеют вероятностный характер. По характеру отражения причинно-следственных связей случайность и неопределённость процесса, описываемые вероятностными законами, учитывает стохастическое моделирование в виде марковских диффузионных процессов. Существующие научные исследования в области построения методов стохастического моделирования систем массового обслуживания явно не достаточны. Это даёт основание для утверждения, что тема диссертационной работы является актуальной.

Цель диссертационной работы. Разработка метода стохастического моделирования по результатам поведения системы массового обслуживания, в частности, задачи товарооборота в виде марковских диффузионных процессов, его алгоритмическая и программная реализация.

Поставленная цель достигается решением следующих задач: моделированием процесса товарооборота в системе массового обслуживания марковским случайным процессом со счетным числом состояний и непрерывным временем;

- переходом к дискретной цепи Маркова, описывающей последовательные значения процесса;

- переходом от дискретной цепи Маркова к непрерывному процессу диффузии при неограниченном увеличении исходных значений;

- получением асимптотических формул, позволяющих определять исчерпывающие характеристики исхода процесса;

- экспериментальной проверкой эффективности данных формул для определения минимального необходимого количества товара и покупательского спроса на него, оптимизации системы управления процессом товарооборота, определения степени влияния информации на течение процесса;

- разработкой программной системы для данного метода моделирования системы массового обслуживания.

Методы исследования. При решении поставленных задач применены теория стохастического моделирования, базирующаяся на марковских диффузионных процессах, методы теории вероятностей, математической статистики, функционального анализа.

Проверка эффективности предложений, исследованных в диссертации, проводилась на разработанных математических моделях и по результатам работы программной системы, созданной в соответствии с моделями. Эмпирическую базу исследования составили статистические и отчетные данные Пензенской областной торгово-промышленной палаты, ГУП Пензенской области «Агрохолдинг», ОАО «Дорснаб» г. Пензы.

Научная новизна работы

1. Предложенные методы стохастического моделирования, основанные на марковских диффузионных процессах, применены к одному из процессов теории массового обслуживания - процессу товарооборота.

2. Впервые получены асимптотические формулы подсчёта количественных характеристик процесса товарооборота, которые выражаются через начальные значения посредством табулированной функции нормального распределения.

3. Разработан алгоритм, предназначенный для решения задач определения минимального необходимого количества товара и покупательского спроса на него, оптимизации системы управления процессом товарооборота по результатам статистических данных.

4. Разработана программная система, позволяющая определять количественные оценки системы массового обслуживания, принимать решения, оптимизирующие поведение рассматриваемой системы.

Практическая ценность. Предложенные в диссертации методы и программная система позволяют автоматизировать процесс подсчета количественных характеристик процесса по результатам статистических данных. Разработанный алгоритм, базирующийся на стохастическом моделировании марковских диффузионных процессов, позволяет осуществить подсчет искомых значений с большей степенью точности и надежности.

Реализация и внедрение результатов. Результаты исследований внедрены в ОАО «Дорснаб» (г. Пенза), ГУП Пензенской области «Агро-холдинг».

Основные положения, выносимые на защиту

1. Обоснование целесообразности применения математического аппарата стохастического моделирования в виде марковских диффузионных процессов для решения задач теории массового обслуживания: оптимизации системы управления процессом товарооборота, определения минимального необходимого количества товара и покупательского спроса на него.

2. Предложение метода перехода от дискретной цепи Маркова к непрерывному процессу диффузии.

3. Алгоритм получения асимптотических формул вероятности исхода процесса массового обслуживания.

4. Сравнение результатов подсчета вероятностей с помощью биномиального распределения и асимптотической формулы.

5. Практическая ценность и новизна асимптотического распределения для решения задач теории массового обслуживания.

6. Программная реализация подсчета количественных характеристик системы на основе метода стохастического моделирования в виде марковских диффузионных процессов.

Апробация работы. Основные положения диссертации докладывались на 3-й и 4-й Международных научно-практических конференциях «Экономика, экология и общество России в XXI столетии» (г. Санкт-Петербург, 2001-2002), 3-й Международной научно-практической конференции «Актуальные проблемы управления - 2001» (г. Москва, 2001), ежегодных Международных научно-технических конференциях «Математические методы и информационные технологии в экономике, социологии и образовании» (г. Пенза, 2001-2003).

Публикации. По теме диссертационной работы опубликовано 17 печатных работ, включая 3 статьи, 2 отчёта по НИР, 12 тезисов докладов.

Благодарности. Автор благодарит научного руководителя, к.т.н., доцента Зубкова А.Ф. за оказанное внимание и научное руководство.

Содержание работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и приложений, содержащих программное обеспечение работы и акты внедрения. Общий объем диссертации 159 е., в том числе 110 с. - основной текст, список литературы на 10 е., 36 с. приложений, 23 таблицы, 6 рисунков.

Выводы и результаты

1. Разработан алгоритм учёта информации — рекламы при определении количественных характеристик системы массового обслуживания. Предложены коэффициенты а,р, управляющие информацией.

2. Решение рассматриваемой задачи основывается на использовании переменной матрицы потоков системы, переводящих её в различные состояния. Полученные количественные оценки моделируются марковскими диффузионными процессами.

3. Разработанная модель с учётом различной полноты информации о характеристиках в системе массового обслуживания позволяет управлять социально-экономическими процессами.

4. Полученная модель системы массового обслуживания, её модификации для получения количественных и качественных характеристик используют нормальный закон распределения случайной величины и табулированные значения при его описании. Простота применения модели -одно из важных её достоинств.

110

Заключение

1. Результаты проведённого исследования подтвердили высокую эффективность применения метода стохастического моделирования в виде марковских диффузионных процессов при решении задач определения количественных характеристик в системах массового обслуживания.

2. Предложенный метод моделирования процесса товарооборота марковским процессом позволяет значительно упростить алгоритм решения задач теории массового обслуживания, в том числе экономических задач.

3. Подход с позиции стохастического моделирования даёт возможность применить логические правила к решению следующих задач системы массового обслуживания: расчёту минимального необходимого количества товара и покупательского спроса на него, оптимизации системы управления процессом товарооборота.

4. В результате проведённых исследований разработана процедура предельного перехода от дискретной цепи Маркова к непрерывному процессу диффузии при неограниченном увеличении исходных значений системы.

5. Предложенный алгоритм перехода приводит к приемлемой асимптотической оценке, позволяющей значительно упростить решение задач с большим объёмом информации и различными потоками, формирующими поведение системы.

6. Экспериментальные исследования разработанной математической модели показали эффективность её использования для подсчёта количественных характеристик в задачах теории массового обслуживания.

7. На конкретных моделях показана работоспособность предложенной модели, возможность её применения на практике.

Публикации автора по теме диссертации

1. Шорникова Т.А. Описание экономической модели «покупка-продажа» на основе марковских случайных процессов / Т.А. Шорникова, А.Ф. Зубков // Сборник материалов VI МНТК «Математические методы и информационные технологии в экономике». - Пенза, 2000. -Часть 1.-с. 43-47.

2. Шорникова Т.А. Асимптотическая формула для описания процесса «покупка-продажа» / Т.А. Шорникова, А.Ф. Зубков // Сборник материалов VI МНТК «Математические методы и информационные технологии в экономике». - Пенза, 2000. - Часть 1.-е. 47-50.

3. Шорникова Т.А. Оптимальное управление процессом товарооборота // Сборник материалов Международной научно-практической конференции «Актуальные проблемы управления - 2001». - Москва, 2001. -Часть 3.-е. 124-126.

4. Шорникова Т.А. Экономическая модель товарооборота // Сборник трудов III Международной научно-практической конференции «Экономика, экология и общество в России в XXI столетии». - Санкт-Петербург, 2001. - с. 281-284.

5. Шорникова Т.А. Асимптотическое распределение вероятностных характеристик процесса товарооборота // Сборник материалов III Всероссийской научно-практической конференции «Аналитико-статистические и математические методы в управлении рыночной экономикой». - Пенза, 2001.-е. 121-123.

6. Шорникова Т.А. Математическое моделирование процесса товарооборота // Сборник материалов Всероссийской НТК «Проблемы информатики в образовании, управлении, экономике и технике». - Пенза, 2001.-е. 57-58.

7. Шорникова Т.А. Предельный переход к диффузии в задачах покупательского спроса // Сборник материалов МНТК «Математические методы и информационные технологии в экономике, социологии и образовании». - Пенза, 2001. - Часть 1.-е. 42-44.

8. Шорникова Т.А. Марковские случайные процессы в задачах товарообмена // Сборник материалов VII МНТК «Математические методы и информационные технологии в экономике». - Пенза, 2001. - Часть 1. -с. 19-23.

9. Шорникова Т.А. Экономическая модель товарооборота // ВИНИТИ, Отдел депонирования научных работ. - Москва, 2001.

10.Шорникова Т.А. Диффузионная модель в управлении производством // Сборник трудов IV Международной научно-практической конференции «Экономика, экология и общество в России в XXI столетии». -Санкт-Петербург, 2002. - Том 4. - с. 145-146.

11 .Шорникова Т.А. Оптимизация поставок процесса покупок и продаж // Сборник статей X МНТК «Математические методы и информационные технологии в экономике, социологии и образовании». — Пенза, 2002.-е. 90-91.

12.Шорникова Т.А. Анализ рынка на основе моделей марковских случайных процессов // Сборник материалов МНТК «Математические методы в экономике». - Пенза, 2002. - с. 118-121.

13.Шорникова Т.А. Оптимальное управление процессом товарооборота // ВИНИТИ, Отдел депонирования научных работ. - Москва, 2002.

14.Шорникова Т.А. Стохастические методы анализа механизмов ценообразования // Сборник статей XI МНТК «Математические методы и информационные технологии в экономике, социологии и образовании». - Пенза, 2003. - с. 156-158.

15.Шорникова Т.А. Оптимизация системы управления процессом товарооборота // ВИНИТИ, Отдел депонирования научных работ. - Москва, 2003.

16.Шорникова Т.А. Диффузионная модель товарооборота: НИР. — Пенза: ПТИ, 2001.

17.Шорникова Т.А. Диффузионные процессы в описании поведения социальных систем: НИР. - Пенза: ПТИ, 2003.

114

1. Аналитические методы исследования эволюций стохастических систем: Сб. науч. тр. / АН УССР, ин-т математики. - Киев: ИМ, 1989.

2. Андреев В.Н., Иоффе А.Я. Эти замечательные цепи. М.: Знание,1987.

3. Анисимов В.В. Случайные процессы с дискретной компонентой: Предел, теоремы. Киев: Вища шк. Изд-во при Киев. гос. ун-те,1988.

4. Арак Т.В., Зайцев А.Ю. Равномерные предельные теоремы для сумм независимых случайных величин / Отв. ред. И.А. Ибрагимов. — Л.: Наука. Ленингр. отд-ние, 1986.

5. Арато Матиаш. Линейные стохастические системы с постоянными коэффициентами: Стат. подход / Пер. с англ. В.К. Малиновского, В.И. Хохлова; Под ред. Ю.А. Розанова. М.: Наука, 1994.

6. Бартоломью Д.Д. Стохастические модели социальных процессов / Пер. с англ. В.Б. Езерова, А.Л. Конина; Под ред. О.В. Староверова. -М.: Финансы и статистика, 2001.

7. Баханов М.И., Шеремет А.Д. Теория экономического анализа. — М.: Финансы и статистика, 1995.

8. Боровков A.A. Асимптотические методы в теории массового обслуживания.-М.: Наука, 1997.

9. Броди С.М., Погосян И.А. Вложенные стохастические процессы в теории массового обслуживания. — Киев: Наук, думка, 1989.

10. Вентцель А.Д. Предельные теоремы о больших уклонениях для марковских случайных процессов. -М.: Наука, 1992.

11. Вентцель Е.С. Исследование операций. М.: Наука, 1990.

12. Вентцель Е.С., Овчаров JI.A. Теория случайных процессов и её инженерные приложения. М.: Наука, 1991.

13. Гардинер Криспин В. Стохастические методы в естественных науках / Пер. со 2-го англ. изд. A.C. Доброславского и др.; Под ред. P.JI. Стратоновича. М.: Мир, 1993.

14. Гнеденко Б.В., Коваленко И.Н. Введение в теорию массового обслуживания. М.: Наука, 1991.

15. Горчаков A.A., Орлова И.В. Компьютерные экономико-математические модели. М.:ЮНИТИ, 1999.

16. Горчаков A.A., Орлова И.В., Половников В.А. Методы экономико-математического моделирования и прогнозирования в новых условиях хозяйствования. М.: ВЗФЭИ, 1991.

17. Губарев В.В. Вероятностные модели: Справочник: (В 2ч.) / Новосиб. электротехн. ин-т. Новосибирск: НЭТИ, 1992.

18. Дегтярь Ю.И. Исследование операций. -М.: Высшая школа, 1986.

19. Дороговцев А.Я. Теория оценок параметров случайных процессов. -Киев: Вища школа. Изд-во при Киев, ун-те, 1989.

20. Дубов A.M., Мхитарян B.C., Трошин Л.И. Многомерные статистические методы. М.: Финансы и статистика, 1998.

21. Журбенко И.Г. Анализ стационарных и однородных случайных систем. М.: Изд-во МГУ, 1997.

22. Журбенко И.Г., Кожевникова И.А. Стохастическое моделирование процессов. М.: Изд-во МГУ, 1990.

23. Замков О.О., Толстопятенко A.B., Черемных Ю.Н. Математические методы в экономике. М.: ДИС, 1997.

24. Золотарёв В.М. Современная теория суммирования независимых случайных величин. М.: Наука, 1993.

25. Измерение вероятностных характеристик случайных процессов с применением стохастических вычислительных устройств. JL: Энергоатомиздат. Ленингр. отд-ние, 1990.

26. Калашников В.В., Рачев С.Т. Математические методы построения стохастических моделей обслуживания / Илл. А. Т. Фоменко. — М.: Наука, 1998.

27. Карасёв А.И., Кремер Н.Ш., Савельева Т.И. Математические методы и модели в планировании. М.: Экономика, 1987.

28. Кемени Д.Д. Счетные цепи Маркова / Дж. Кемени, Дж. Снелл, А. Кнепп; Пер. с англ. A.M. Зубкова, Б.А. Севастьянова. М.: Наука, 1991.

29. Кёниг Д., Штойян Д. Методы теории массового обслуживания / Пер. с нем. В.Ф. Матвеева, Р.Ш. Нагапетяна; Под ред. Г.П. Климова. М.: Радио и связь, 1990.

30. Кнопов П.С. Оптимальные оценки параметров стохастических систем. Киев: Наук, думка, 1994.

31. Коваленко И.Н., Сарманов О.В. Краткий курс теории случайных процессов. Киев: Вища школа, 1991.

32. Коваленко И.Н. Случайные процессы: Справочник / И.Н. Коваленко, Н.Ю. Кузнецов, В.М. Шуренков. Киев: Наук, думка, 1995.

33. Кодолов И.М., Худяков С.Т. Теоретические основы вероятностных методов в инженерно-экономических задачах: Случайн. события и случайн. величины: Учебн. пособие. М.: МАДИ, 1989.

34. Кондратенко Г.С. Прикладные модели управления случайными процессами. М.: Машиностроение, 1993.

35. Королюк B.C. Полумарковские процессы и их приложения / B.C. Ко-ролюк, А.Ф. Турбин; АН УССР, Ин-т математики. Киев: Наук, думка, 1989.

36. Крылов Н.В. Управляемые процессы диффузионного типа. М.: Наука, 1999.

37. Кутоянц Ю.А. Оценивание параметров случайных процессов. Ереван: Изд-во АН АрмССР, 1989.

38. Ламперти Дж. Случайные процессы: Обзор мат. теории / Пер. с англ. Э.К. Ядренко; Под ред. A.B. Скорохода. Киев: Вища шк., 1993.

39. Лиггетт Томас М. Марковские процессы с локальным взаимодействием / Пер. с англ. А.Л. Тоома, С.Б. Шлосмана; Под ред. Р.Л. Доб-рушина. -М.: Мир, 1994.

40. Лифшиц А.Л., Мальц Э.А. Статистическое моделирование систем массового обслуживания / С предисл. Н.П. Бусленко. М.: Наука, 1992.

41. Лобузов A.A., Гумляева С.Д., Норин Н.В. Задачи по теории случайных процессов: Учеб. пособие М, 1993.

42. Майн X., Осаки С. Марковские процессы принятия решений / Пер. с англ. М.: Наука, 1992.

43. Малыхин В.И. Математическое моделирование экономики: Учебно-практическое пособие. М.: Изд-во УРАО,1998.

44. Методы оптимизации в экономико-математическом моделировании / АН СССР, Центр, экон.-мат. ин-т. М.: Наука, 1991.

45. Мхитарян B.C., Айвазян С.А. Прикладная статистика и основы эконометрики. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2001.

46. Назаров A.A. Управляемые системы массового обслуживания и их оптимизация. Томск: Изд-во Том. ун-та, 1999.

47. Петров В.В. Предельные теоремы для сумм независимых случайных величин. М.: Наука, 1992.

48. Полумарковские модели восстанавливаемых систем и систем массового обслуживания / А.Н. Корлат, В.Н. Кузнецов, М.М. Новиков, А.Ф. Турбин; Отв. ред. Г.К. Мишкой; АН Респ. Молдова, Ин-т математики с ВЦ. Кишинёв: Штиинца, 1991.

49. Портенко H.H. Обобщённые диффузионные процессы. — Киев: Наук, думка, 1992.

50. Предельные теоремы для случайных процессов и их применения / Отв. ред. A.A. Боровков. Новосибирск: Изд-во ин-та математики, 1993.

51. Прохоров A.B. и др. Задачи по теории вероятностей: Основные понятия. Предел, теоремы. Случайн. процессы. -М.: Наука, 1994.

52. Прохоров Ю.В., Розанов Ю.А. Теория вероятностей. Основные понятия. Предельные теоремы. Случайные процессы. М.: Наука, 1995.

53. Розанов Ю.А. Введение в теорию случайных процессов. М.: Наука, 1998.

54. Розанов Ю.А. Марковские случайные поля. М.: Наука, 1991.

55. Розанов Ю.А. Стационарные случайные процессы. М.: Наука, 1990.

56. Розовский Б.Л. Эволюционные стохастические системы: Линейн. теория и прил. к статистике случайн. процессов. М.: Наука, 1993.

57. Самойло К.А. и др. Теория случайных процессов: Учебн. пособие. -М.: МИРЭА, 1993.

58. Сарымсаков Т.А. Основы теории процессов Маркова / Отв. ред. Т.А. Азларов; АН УзССР, Ин-т математики им. В.И. Романовского. -Ташкент: Фан, 1990.

59. Саульев В.К. Математические модели теории массового обслуживания. М.: Статистика, 1992.

60. Семесенко М.П. Случайные процессы в системах управления. Киев - Донецк: Вища шк., 1992.

61. Сильвестров Д.С. Полумарковские процессы с дискретным множеством состояний. М.: Сов. радио, 1989.

62. Сираждинов С.Х., Форманов Ш.К. Предельные теоремы для сумм случайных векторов, связанных в цепь Маркова. Ташкент: Фан,1989.

63. Скороход A.B. Случайные процессы с независимыми приращениями. -М.: Наука, 1997.

64. Скороход A.B. Стохастические уравнения для сложных систем! М.: Наука, 1991.

65. Скороход A.B. Элементы теории вероятностей и случайных процессов. Киев: Вища школа, 1990.

66. Случайные процессы, математическая статистика и их приложение / МГУ им. М.В. Ломоносова, Мех.-мат. фак.; Под ред. Б.В. Гнеденко, Ю.А. Розанова. М.: Изд-во МГУ, 1992.

67. Статическое моделирование и прогнозирование / Под. ред. А.Г. Гранберга- М.: Финансы и статистика, 1990.

68. Стохастические системы и их приложения: Сб. науч. тр. / АН УССР, Ин-т математики. Киев: ИМ, 1990.

69. Стохастический анализ и его приложения: Сб. науч. тр. / АН УССР, Ин-т математики. Киев: ИМ, 1990.

70. Теория случайных процессов: Респ. межвед. сб. / АН УССР, Ин-т прикл. математики и механики. Киев: Наук, думка, 1991.

71. Теория случайных процессов: Респ. межвед. сб. / АН УССР, Ин-т прикл. математики и механики. Киев: Наук, думка, 1990.

72. Теория случайных процессов и её приложения: Сб. науч. тр. / АН УССР, Ин-т прикл. математики и механики. Киев: Наук, думка,1990.

73. Тихонов В.И., Хименко В.И. Выбросы траекторий случайных процессов / Отв. ред. В.И. Сифоров; АН СССР, Ин-т радиотехники и электрон. -М.: Наука, 1989.

74. Тихонов В.И. Марковские процессы / В.И. Тихонов, М.А. Миронов. -М.: Сов. радио, 1989.

75. Тривоженко Б.Е. Выделение трендов временных рядов и потоков событий / Под ред. А.П. Рыжакова; Том. гос. ун-т им. В.В. Куйбышева. Томск: Изд-во Том. ун-та, 1992.

76. Тутубалин В.Н. Теория вероятностей и случайных процессов. Основы математического аппарата и прикладные аспекты. М.: Изд-во МГУ, 1992.

77. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и её приложения: В 2-х т. / Пер. с англ.; Под ред. Ю.В. Прохорова. М.: Мир,1989.

78. Хида Такеюки. Броуновское движение / Т. Хида; Пер. с англ. К.А. Боровкова; Под ред. Ю.А. Розанова. -М.: Наука, 1994.

79. Ховард Р. Динамическое программирование и марковские процессы / Пер. с англ. М.:Наука,1989.

80. Шалыгин A.C., Палагин Ю.И. Прикладные методы статистического моделирования. Л.: Машиностроение. Ленингр. отд-ние, 1989.

81. Шелобаев С.И. Математические методы и модели. М.: ЮНИТИ, 2000.

82. Шикин Е.В., Чхартишвилли А.Г. Математические методы и модели в управлении. М.: Дело, 2000.

83. Шматок С.А., Лукьянов В.Ф. Вопросы теории взаимодействующих марковских систем. Минск: Вышэйш. Школа, 1989.

84. Шорникова Т.А., Зубков А.Ф. Описание экономической модели «покупка-продажа» на основе марковских случайных процессов // Сборник материалов VI МНТК «Математические методы и информационные технологии в экономике». Пенза, 2000. - Часть 1.-е. 43-47.

85. Шорникова Т.А., Зубков А.Ф. Асимптотическая формула для описания процесса «покупка-продажа» // Сборник материалов VI МНТК «Математические методы и информационные технологии в экономике». Пенза, 2000. - Часть 1.-е. 47-50.

86. Шорникова Т.А. Оптимальное управление процессом товарооборота // Сборник материалов Международной научно-практической конференции «Актуальные проблемы управления 2001». - Москва, 2001.-Часть 3.-е. 124-126.

87. Шорникова Т.А. Экономическая модель товарооборота // Сборник трудов III Международной научно-практической конференции «Экономика, экология и общество в России в XXI столетии». — Санкт-Петербург, 2001. с. 281-284.

88. Шорникова Т.А. Математическое моделирование процесса товарооборота // Сборник материалов Всероссийской НТК «Проблемы информатики в образовании, управлении, экономике и технике». — Пенза, 2001.-е. 57-58.

89. Шорникова Т.А. Предельный переход к диффузии в задачах покупательского спроса // Сборник материалов МНТК «Математические методы и информационные технологии в экономике, социологии и образовании». Пенза, 2001. - Часть 1.-е. 42-44.

90. Шорникова Т.А. Марковские случайные процессы в задачах товарообмена // Сборник материалов VII МНТК «Математические методы и информационные технологии в экономике». Пенза, 2001. - Часть 1.-е. 19-23.

91. Шорникова Т.А. Экономическая модель товарооборота // ВИНИТИ, Отдел депонирования научных работ. — Москва, 2001.

92. Шорникова Т.А., Зубков А.Ф. Диффузионная модель в управлении производством // Сборник трудов IV Международной научно-практической конференции «Экономика, экология и общество в России в XXI столетии». Санкт-Петербург, 2002. - Том 4. - с. 145-146.

93. Шорникова Т.А. Оптимизация поставок процесса покупок и продаж // Сборник статей X МНТК «Математические методы и информационные технологии в экономике, социологии и образовании». Пенза, 2002.-с. 90-91.

94. Шорникова Т.А. Анализ рынка на основе моделей марковских случайных процессов // Сборник материалов МНТК «Математические методы в экономике». Пенза, 2002. - с. 118-121.

95. Шорникова Т.А. Оптимальное управление процессом товарооборота // ВИНИТИ, Отдел депонирования научных работ. Москва, 2002.

96. Шорникова Т.А. Стохастические методы анализа механизмов ценообразования // Сборник статей XI МНТК «Математические методы и информационные технологии в экономике, социологии и образовании». Пенза, 2003. - с. 156-158.

97. Шорникова Т.А. Оптимизация системы управления процессом товарооборота // ВИНИТИ, Отдел депонирования научных работ. -Москва, 2003.

98. Штойян Д. Качественные свойства и оценки стохастических моделей / Пер. с нем. В.А. Зайцева; Под ред. В.В. Калашникова. -М.: Мир, 1991.

99. Экономико-математические методы и прикладные модели / Под ред. В.В. Федосеева. М.: ЮНИТИ,1999.

100. Экономико-математические методы и прикладные модели: Учебно-методическое пособие / В.А. Половников, И.В. Орлова, А.Н. Гар-маш, В.В. Федосеев. -М.: Финстатинформ, 1997.

101. Экономический анализ / Под ред. М.И. Баханова, А.Д. Шеремета. -М.: Финансы и статистика, 1995.

102. Ярлыков М.С., Миронов М.А. Марковская теория оценивания случайных процессов. -М.: Радио и связь, 1993.