автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование релятивистских поправок при проведении лазерной локации космических аппаратов и в геодезических измерениях

На правах рукописи

А

ДЕНИСОВ МИХАИЛ МИХАЙЛОВИЧ

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ РЕЛЯТИВИСТСКИХ ПОПРАВОК ПРИ ПРОВЕДЕНИИ ЛАЗЕРНОЙ ЛОКАЦИИ КОСМИЧЕСКИХ АППАРАТОВ И В ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ ИЗМЕРЕНИЯХ

Специальность 05.13.18 — математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Москва - 2007 г.

003069775

Работа выполнена на кафедре ' Кибернетика факультета ' Информационные системы и технологии" ГОУ ВПО ''МАТИ" - Российсюго государственного технологического университета им К Э Циолковского

Научный руководитель

доктор технических наук, профессор Чебурахни Игорь Федорович

Официальные оппоненты

доктор физико-математических наук, профессор Кулагин Николай Евгеньевич кандидат физико-математических наук доцент Гришачев Владимир Васильевич

Ведущая организация. Московский государственный технический

университет им Н Э Баумана

Защита состоится мая 2007 г ъ 12. часов

на заседании Диссертационного Совета № Д 212 110 06 при ГОУ ВПО "'МАТИ" - Российский гос\ царственный технологический университет им К Э Циолковского по адресл 121552, Москва, ул Оршанская д 3, зал Ученого Совета

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ГОУ ВПО "МАТИ - Российский государственный технологический университет им К Э Циолковского

Ваш отзыв на автореферат в 2-х экземплярах заверенных печатью, просим направлять по указанному адресу

Автореферат разослан ' " апреля 2007 г

Ученый секретарь Диссертационного Совета Л- Д 212 110 00 доктор технических наук.

профес сор Е В Марс ова

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность темы.

При проведения лазерной локации космических аппаратов находящихся на околоземных орбитах, и при геодезических измерениях неявно предполагается что лазерная станция покоящаяся на поверхности вращающейся Земли является инериналыгой системой отсчета Поэтом\ световые лучи, входящие в оптические приборы и выходящие из них считаются прямыми линиями и распространенно световых импульсов по этим л\гчам предполагается равномерным

Однако эти приборы находятся в слабонеинерииальной системе отсчета связанной с вращающейся Землей и их лучи подвержены действию слабого гравитационного поля Земли Поэтому согласно общей теории относительности Эйнштейна в гравитационном поле Земли и при действии сил инерции вращающейся системы отсчета лучи должны искривляться, а движение световых имшльсов по этим лучам должно быть неравномерным И хотя эти релятивистские эффекты в гравитационном поле вращающейся Земли малы, с определенного \ровня точности измерений они б\д\т искажать наблюдательные данные

В настоящее время в стадии подготовки находятся нес колько космических программ по проведению прецизионных астрометрических измерений с помощью интерферометров установленных на космических аппаратах Для баллистико - навигационного обеспечения этих программ локацию участвл ющих в экс периментах космических аппаратов необходимо производить с точностью нескольких сантиметров по дальности и порядка 1 угловои с екл нды по у гловому положению что дос тл пни только лазерным станциям На таком уровне точности \же необходимо производить \чет воздействия гравитационного поля 3°мли и неинерциальнскти системы отсчета лазерной станции находящейся на вращающейся Земле, на рас пространение световых пмплльсов при лазерной локации кос ми-чсчкпх аппаратов Поэгомч без магематичесхлй модели учитывающей уравнения общей теории относительности, осуществлять с требл емой 1 очное .1ью про!нозирование и контроль орбит космических аппаратов в процессе выполнения прецизионных гак мичес ких программ невозможно Более того при проведении лазерной локации космических аппаратов был замечен довольно странный эффект на лазерных станциях пс-пользл ющих маломощные лазеры с относительно ^ зким лазерным пучком (как известно лазерный пучок по является цилиндром а предетавляет собой расширяющийся кою-с) было очень трудно попасть электромагнитным импульсом в двшкмшшея космический аппарат Обычно космический аппарат движущийся по низкой околоземной орбите достаточно

Л

[

хорошо виден в телескоп лазерной станции и оператор вводя упреждение вдоль вектора его скорое ти должен был попас ть лазерным нмпл лы ом в отражатели установленные на его внешних поверхностях

Однако было замечено, что если лазерный имплльс направить в расчетное место его встречи с космическим аппаратом то этот имплльс не попадет на отражатели, если же ось лазера немного доворачивать и направлять электромагнитный импульс не в расчетное место встречи а сканировать окрестности этого места, то при некотором небольшом угловом 01КЛ0нении (составляющем несколько лгловых сек>нд) от расчетного места космический аппарат попадет в лазерный пучек и в геле-скопе лазерной станции появится отраженный от космического аппарата электромагнитный импульс После этого дальнейшее с опровожденне космического аппарата лазерным пучком переключают на компьютер который автоматически вводит найденнлло экспериментально дополнп-тельнл'ю лгловл'ю поправку и процесс локации проходит как правило без вмешательства оператора

В качестве первой причины этого небольшого рассогласования меж-дл расчетным лтловым направлением на место встречи лазерного им-плльса с космическим аппаратом и фактическим лтловым направлением на это место было выдвинуто предположение о несовпадении оптической оси телескопа с осью лазерного луча на лазерной станции Однако лазерный импульс посылается к космическому аппарату через телескоп лазерной станции и дополнительные исследования точности юстировки показали что эти оси с требуемой точностью совпадают

11(1 мощных лазерных станциях псгюльзмоших широкие лазерные пл-чки этот эффект не наблюдался так как электромагнитный импл'льс в окрестности космического аппарата имел большие поперечные размеры и отражатели лстановленные на космическом аппарате попадали на периферию этого имтльса

Приступая к исследованию этого вопроса мы предположили, что причиной такого рассогласования является недостаточно точная математическая модель, использовавшаяся для расчеюв мловых коордцнах места встречи лазерного пмпл льса н космичес кого аппарата не л читываю-щая эффекты обшей теории относ итетьнск тн Однако в математичеч кеш плане эти вопросы были неразработанными Цель работы.

Целью настоящей диссертации являете я математическое моделирование релятивистских поправок вызываемых действием полей сил инерции вращающейся Земли и ее гравитационного поля на распространение световых имплльс ов при лазерной локации космических аппаратов и при

геодезических измерениях а также разработка алгоритмов вычисления искажений, вносимых этими поправками в наблюдательные данные

Научная новизна.

1 Построена математическая модель, учитывающая релятивистские поправки общей теории относительности при проведении лазерной локации космических аппаратов и при геодезических измерениях на поверх-нос тн вращаюгцейс я Земли

2 Впервые рассчитан vi ол 5а между направлением по которому лазерный пмп\льс посылается к геостационарному космическому аппарату и направлением по которому этот импульс возвращается на лазерш ю станцию Так как величина этого угла является измеримой (Sa = 35 угловых секунд), то на основе этого расчета в диссертации предложен эксперимент по проверке этого оптического эффекта

3 Впервые показано, что расстояние межд_\ осью телескопа лазерной станцнн и центром пятна, образл cmoi о на Земле электромагнитным импульсом, отраженным от ретрорефлектора \< тановленного на геостационарном космическом аппарате, составляет 600 м Предложен эксперимент по проверке этого оптнче( кого эффекта

4 На основе построенной математической модели впервые вычислен \гол оптической аберрации (угол межд\ истинным направлением на космический аппарат в момент прихода к нему электромагнитного импульса и направлением по которому этот импульс посылался на космический аппарат), создаваемый полями вращающейся Земли

Практическая ценность результатов работы

Проведенное в nuccepiauuu махематшнckoi моделпровалпе Пиказа-ло что эффекты обшей теории относительности достигают измеримых величин при лазерной локации космических аппаратов

Как следует из приведенных в диссертации опенок эти эффекты вносят искажения в измерения дальности п углового положения космического аппарата которые необходимо \читывать при реализации космических программ астрометрического п ас трофнзпческого назначения

Разработанная в диссертации математическая модель также найдет практическое применение для расчета л глового преждения при локации космических аппаратов узкими лазерными п\ чкамп

Личный вклад автора.

Все результаты оценки и алгоритмы выносимые на защптл полупены автором дпгсерташш лично

Апробация результатов работы.

Основные результаты диссертации докладывались на XII Российской гравитационной конференции (20-2G июня 2005 г Казань КГУ)

Между народной конференции Тихонов и современная математика (19-23 июня 2006 г Москва МГУ) Пятом Международном аэрокосмическом конгрессе ('27-31 августа 2000 г Москва. МГУ) на научных семинарах ГОУ ВПО "МАТТГ - РГТУ им К Э Циолковского Реализация и внедрение результатов работы. Результаты дисс ертационной работы были использованы при выполнении НИОКР по договору № 4/2006 от 01 02 2006 г между ФГУП "Научно - производственное объединение имени С А Лавочкина' и Инститл -том прикладных п теоретических исследований по договору К 1/2007 от 10 01 2007 г между ФГУП ЦНИИМАШ и Институтом прикладных и теоретических исследований, а также в лчебном процессе при чтении лекций по курсу ' Математическое моделирование' студентам факультета Л': 2 ' Аэрокосмические конструкции и технологии' ГОУ ВПО МАТИ' -РГТУ им К Э Циолковского о чем имеются акты внедрения Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения четырех глав заключения и списка литературы включающего 77 наименований Работа изложена на 119 страницах машинописного текста содержит 12 ршлнков Публикации.

По материалам и результатам дисс ерташш оп\ бл1шовано < омь нау ч-ных работ три статьи в рецензир\ емых журналах включенных в спис ок ВАК трое тезисов докладов на различных научных конференциях и один препринт НИИЯФ МГУ им М В Ломоносова

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ Во введении обосновывает*, я актуальность темы диссертации сформулированы цели работы и кратко излагается содержание диссертации Первая глава диссертации носит вводный характер В ней рассматриваются задачи геодезических измерении (^ 1) и лазерной локашш космических аппаратов (§2) В ^ 3 дается описание систем отсчета дтя построения математичес кой модели лазерной локации кос мических аппаратов В ^ 4 следуя нашей работе [1] изложены основные уравнения в слабонеинерипальнои системе отсчета с л четом гравитационного поля

Вторая глава настоящей диссертации посвящена построению математической модели вращательной аберрации при геодезических измерениях В ^ 5 изложена постановка задачи а в & 6 проведено построение математической модели распространения световых с Игнатов во вращающейся системе отсчета При решении поставленной задачи предполагаюсь, что декартова прямоугольная система отсчета жестко связана с Землей Начало отсчета помещено в центр геоида ось ; направлена вдоль вектора его уповой скорости О а ось г помещена в плоскость

нулевого (гринвичского) меридиана Во вращающейся системе отсчета метрический тензор пространства-времени имеет вид

1 Р2(а2 + г/2) Qy Пг

д оо = 1--^- 9oi = —• 902 =--9и = 9¿> = g-i з = -1

с- с с

Уравнения для световых лучей и закон распространения световых сигналов вдоль этих л\ чей в произвольном римановом пространстве-времени можно пол} чнть решая уравнения для изотропных геодезических с четырехвектором Л"\ удовлетворяющим соотношению дптКпК'п = О Однако в диссертации было показано что эти уравнения \добнее представить в виде (точка обозначает производную по = ct)

Q2 20 Q2 2Q

J--y = 0 У-—У+— l=.o -=0 (1)

с- с с- с

В качестве одного из начальных условий для этих уравнений потреби ем чтобы в момент времени t = 0 световой сигнал находился в точке i = г, у = y-, z = ;<, Тогда решение уравнений (1) принимает вид

х = [js + cfnr]cosQí + [ys + cín sin Qt (2)

y = [j/5 + ctny]cosQt — + ctnx]bm$lt, z = zs + ctn:.

где константы интегрирования ;¿t ny и nz в силу первого интеграла gnmK "А = 0 должны удовлетворять условию п ' = п~ + п~у + nz = 1

При различных ориентаипях вектора п = {пт,пу 7к} соотношения (2) задают в параметрическом виде семейство лучей выходящих из точки г, = { / „ у,, »,} Представление о ходе лл чей выходящих из разных точек плоскости вращающейся системы от( чета, дает рис 1

Именно эти соотношения и составляют основу математической модели хода световых лучей из произвольной точки земной поверхности Переменную t входящую в соотношения (2) можно рассматривать двояко С одной стороны эта переменная может играть роль времени в терминах которого соотношения (2) описывают движение светового сигнала во вращающейся системе отс чета находившегося при t = 0 в точке г4 С др\ гой стороны t - это параметр имеющий размерное ть времени и позволяющий трактовать выражения (2) как уравнения для всевозможных л\ чей проходящих через точкл г„ пли как параметричес кое задание пространственных кривых, по которым распространяются световыс сигналы Эти кривые в на\чноп литературе называются лучами

Выберем из этого семейства л\ ч при / = 0 выходящий из точки г„ и проходящий через некоторою заданную точк> т/ = {г f у> -у} Компоненты вектора п — {лт.пу,ггг} для этого луча должны иметь вид

п.г =

г ] соб — эш ш f - л'1

<¡1

(3)

у/ со& Ш/ + Г/ Ч1и Qtf ~ у«.

71- =

где ^ - момент времени, в которын световой сигнал достигнет точки г/

-10*

Рис 1 Световые лучи в системе отсчета вращающейся вокрлг оси ; а) Источник света помещен на осп вращения Ь) Источник света помещен на некотором расстоянии от оси вращения

Из условия п2 = 1 получаем уравнение для нахождения времени tf с"!7 = г; + У1 4- + у] - 2( >„: г + //„///) с с^П/1 (4)

-2(1/(/, - г+ -

На основе полученных соотношений (2)-(4) в 7 были исследованы релятивисте кис эффекты во вращаюшейс я с истоме отс чета

Первый эффект это распространение световых сигналов из точки 4 в точку В по одному л\ч\ а обратно - по др\том\ лучу (см рис 2)

Рассмотрим две произвольные точки трехмерного иространс тва А и

Рис 2 Лучи соединяющие точки .4 н В во вращающейся системе отс чета

Предположим что дос таточно узкий лазерный лл ч начннающнйс я в точке Г) = {11 0 -г}. попадает в точкл г_> = {г? !/з Назовем его основным л\чем Для этого л\тча в формулах (2)-(4) необходимо положить г., = Г! Tf ■= Г2 Наблюдатель находящийся в точке Г] будет считать что световые сигналы основного л\ча распространяются в направлении определяемом касательным к луч\ в этой точке вектором N имеющим проекции

-V, = c(0)ct+ = )2(слШ+ - — i i

A'v = <j(())ct+ = i/2 с os nt+ + I > sin Qt+ -Qi,t+ -V- = r (0 )ct+ = - -1

где t+ - момент прихода светового сигнала в точку го

П\сть из точки г2 = {л о У2,-2} в точку Г] — {.? ! 0. С1} также направлен узкий лазерный луч Назовем его обратным лучем

Для этого .луча г8 = Г2, а 17 = п Наблюдатель, находящийся в точке Г1 будет считать что световые сигналы обратного луча прибывают в точку Гх по касательной к лучу в точке наблюдения Это направление будет определяться касательным вектором М, имеющим компоненты

Мх = = а-1 — Хо соэ— ¡/зэт Му — у(Т-)сЛ_ =

= а^ятШ- - У2 совШ_ - Ог^-- — = — (гг - -1)

где t- момент возврата светового сигнала в точку Г]

Как показано в диссертации, векторы N и М не являются коллнне-арными п межд\ ними имеется малый \гол 6а

¿а = - *2)2 + у[]

Входящий в это вырал.ение множитель <у/[(.г; —.>•■)- -I- преде тятпяет собой расстояние между проекциями точек Г1 и Г2 на плоскость, перпендикулярную оси вращения Земли

Второй эффект - линейное смещение обратного луча Предположим, что достаточно узкий лазерный луч АВ (см рис 3), начинающийся в точке А с координатами гх = 0, ¿1}, попадает в точку В с координатами Г) = {Г2 у2- '"-2} Назовем его основным лучем Ретрорефлектор находящийся в точке В. направляет узкий обратный лазерный луч ВС по касательной ВБ к прямому лу чу в точке В

Как показано в диссертации из форм\ л (2)-(4) следует, что этот лу ч в общем случае не попадет в точку А а будет проходить на некотором расстоянии 5Ят,и от нее

. ¿идо /г , , о , •]

оКтт = —--у + '5 ~ 2л 1 '2-1

В ^ 8 проведено вычисление вращательной аберрации при измерении углов в геодезии Постановка задачи была следующей Рассмотрим луч выходящий из некоторой точки В покоящейся на поверхности Земли и имеющей координаты л — 1 в У ~ УВ ~ — ~в и проходящий через точкл наблюдения А с координатами л = г д. у = у 4 с = гд Наблюдатель находящийся в точке А. с помощью оптического прибора принимает луч.

выходящий из точки В совмещая оитическгю ось этого прибора с каса-

точки В совпадает с \гловым положением оптической оси прибора Это направление в трехмерном прос гране тве определяется линией кас атель-ной к лучу в точке Л (см рис 4)

Введем вектор М направленный вдоль этой касательной Истинное же направление на светящуюся точку В определяется вектором —\ имеющим компоненты Яд 1 = {' 1 _ « Чл — Чв ~ 1 — ~ в)

Как показали расчеты привс денные в дпсссрташш с не пользованием уравнений (2)-(4) при П ф 0 между векторами М и Н-в 1 слшествлет

некоторый угол который и является \глом оптической аберрации вызываемой вращением Земли (см рис 4)

П

= -\/{хА - ъв)2 + (ул ~ув)2

\

X

Рис 4 Угол оптической аберрации <5^, вызываемой вращением Земли

На основе полученных формул в § 9 была проведена оценка величины вращательной аберрашш при геодезических измерениях лглов на местности Впервые такие вычи( ления были проведены в наших работах [2-3] Величина релятивистских эффектов вызываемых вращением Земли в условиях геодезических измерений оказалась малой на расстоянии междл источником электромагнитного излучения и отражателем

равным 100 км полученные формулы лают 5-р = 10 1 угловой секлнды для \гла вращательной аберрации (см рис 4) 6И = 0 5 см

Эти величины меньше требуемой в настоящее время точности геодезических измерений 5<р = ОД угловой секунды Так как при измерениях в геофизике расстояние между источником света и наблюдателем не превышает 100 км, то значение ¿а = 10~2 угловой секунды можно принять в качестве верхней оценки точности угловых измерений, начиная с которой необходимо л читывать угловую вращательн\ ю аберрацию

Следует отметить, что эти релятивистские эффекты из-за их малой величины в эксперименте пока не измерялись Однако с инструментальной точки зрения в настоящее время имеются технические возможности для измерения указанных выше релятивистских эффектов, вызываемых вращением Земли В частности, современный оптический угломер, использовавшийся в космической программе ШРРАКСОБ в 1989-1997 годах. позволяет измерять \глы с точностью 5а = 10~3 угловой секунды Нестабильность атмосферы в ясные погожие дни на расстоянии 100 км может внести погрешность также на \ ровне 1()~3 угловой с окунды Поэтому измерение угла 5а = 10"1 угловой сскунды в условиях земного эксперимента в настоящее время технически осуществимо

Проведенное во второй главе математическое моделирование распространения электромагнитных сигналов во вращающейся системе отс чета позволило установить пределы точности геодезических измерений начиная с которой будет необходимо учитывать релятивистские эффекты, а также предложить эксперименты по проверке теоретических предсказа-

иТУ гт гютттттттио ЪТТ-ТЧ," "^ГЬГЪАТ. ТГ*Т>

1111*1 о V А 4 ± ¿¿ЛЛДЧ.

В третьей главе настоящей диссертации построена математическая модель релятивистских поправок при прецизионной лазерной локации космических аппаратов Постановка задачи (^ 10) включала в себя следующие существенные моменты лазерная станция предполагалась расположенной на поверхности вращающейся Земли а космический аппарат с отражателем электромагнитных импульсов двигалс я по орбите ориентированной произвольным образом относительно осп вращения Земли

При проведении лазерной локации как импульс электромагнитного излучения так и космический аппарат согласно общей теории относительности движутся в римановом пространстве-времени метрический тензор которого зависит от гравитационного поля Земли Луны Солнца и других планет Солнечной системы и полей с нл инерции непнерииаль-ной системы отсчета Безразмерный гравитационный потенциал Земли и очень мал и ~ Ю-4 Однако именно он дает основной вклад в гравитационное поле в окрестности Земли вклад остальных тел Солнечной

системы сугцес твенно меньше Так как нам было необходимо построить математическую модель лазерной локации обеспечивающую относительную точность на уровне ~ Ю-10, то вкладами остальных тел Солнечной системы мы пренебрегали Было учтено, что лазерная станция находится в < лабонеинерцпальной системе отс чета из-за вращения Земли вокруг своей оси с \гловой скоростью 0 = 7 10-г' рад/сек

Лазерную локацию космических аппаратов и обработку пол\ ченных данных удобно было проводить в топоцентрической сис теме отсчета начало которой совпадает с положением лазерной станции на поверхности Земли ось ; направлена по местной вертикали, ось а - по касательной к меридиану, ось у - по касательной к параллели

Исходя из этих соображений, в § 11 был найден закон движения космического аппарата в гравитационном поле Земли, а в ^ 12 обоснованы все существенные уравнения и соотношения математической модели лазерной локашш во вращающейся системе отсчета

Как показал анализ для достижения при лазерной локашш относ и-тельной точности на уровне ~ Ю-10, движение космического аппарата можно было рассматривать в ньютоновском приближении а движение электромагнитного импульса - с \четом постньютоновских слагаемых в метрическом тензоре '1ак как в рассматриваемой задаче имелись малые параметры то для удобства дальнейшего использования формул матома-тической модели вычисление релятивис тских поправок было проведено в аналитическом виде методом последовательных приближений

Следлет отметить что в общем случае в математическую модель лазерной локации космических аппаратов необходимо включать поправки связанные с влиянием на движение лазерного импульса нестабильной атмосферы с влиянием на движение космического аппарата мультиполь-ных гравитационных моментов Земли а также \ читывать ряд аналогичных возмущающих факторов Но все эти поправки к настоящему времени хорошо пз\ чены и включены в с л шествующие математические модели локации космических аппаратов Так как они создают лишь малые возмущения в движении космических аппаратов и лазерных нмп\льсов то их .можно с читать аддитивными поправками

Используя пол\ченные уравнения и соотношения математической модели лазерной локации во вращающейся системе отсчета в Ь 13 и в ({ 14 был провешен расчет релятивистских поправок при движении лазерного импульс а от лазерной станции к космичес ком\ аппарата и обратно Все поллченные в третьей главе настоящей диссертации рсз\лыа-ты являются новыми и опубликованы в наших работах [4-3] В на\чной лнтерат\ре аналогичные задачи ранее рассматривались но либо в не-

достаточно общем виде, либо они относились к спутниковой конфигурации, когда лазерная станция находилась не на вращающейся Земле а на каждом из космических аппаратов, т с находилась в системе отсчета, метрический тензор которой имел локально ннерциальный вид

В четвертой главе настоящей диссертации на основе построенной математической модели проведен численный расчет величины релятивистских эффектов при лазерной локации космических аппаратов

Имея данные по лазерной локации космического аппарата на основе формул, построенной в третьей главе математической модели, можно решать различные задачи В настоящей диссертации мы основное внимание сосредоточили на одной из этих задач определили величину релятивистских поправок к дальности 5Ь, различие в темпах хода часов лазерной станции и бортовых часов космического аппарата А г обусловленную различием физических условий в которых они находятся а также разность 5а лгловых положений направлений по которым посылается к космическому аппарату и, соответственно принимается после отражения от него лазерный имтльс

Постановка задачи (§ 15) включала в себя следующие основные моменты Предполагалось, что лазерная локация космических аппаратов проводится из Крымской лазерной станции, имеющей коордннаты 44е 37 минут северной широты и 33° 19 минут восточной долготы

Для численных расчетов были выбраны два типа наиболее распространенных орбит низкая почти круговая орбита с высотой апогея 1га = 600 км и высотой перигея /?р = 400 км и высокоапогеиная с высотой апогея На = 2 105 км и высотой перигея к,, — 250 км

Первый тип орбит характерен для космических аппаратов различного назначения (дистанционное зондирование Земли, испытание космической техники и т и ), включая Международнл ю космическую станцию и существовавшие ранее орбитальные станции Второй тип орбит обычно используется для космических аппаратов научного назначения (преимущественно астрофизического) представителями которого являются например, готовящиеся к запуску в России аппараты космических программ Радноастрон" " Спектр-1!>Ф , ' Спектр-РГ' Озирис и другие

Исходя из такой постановки задачи в § 16 диссертации был проведен численный расчет релятивистских поправок при определении расстояния от лазерной станции до космического аппарата Результаты расчетов величины 5Ь показали что для обоих типов орбит релятивистские поправки достигают вполне измеримых величин (при движении космического аппарата по низкой почти круговой орбите величина 5Ь изменяется от нуля до 12 см, а при движении по высокоапогейной орбите величина 8Ь

изменяется от плюс С см до мин\с 21 см, в зависимости от положения космического аппарата на орбите) и их необходимо учитывать при лазерной локации космических аппаратов астрометрнческого назначения

В § 17 проведено математическое моделирование темпа хода бортовых часов космических аппаратов Необходимость такого исследования связана с тем, что при проведении космических экспериментов важное значение играет определение моментов времени событий как с помощью бортовых стандартов частоты (часов) так и по часам лазерной станшш, Эти часы находятся в разных физических условиях поэтому согласно общей теории относительности на некотором уровне точности измерений должно проявляться; отличие Дт темпа хода бортовых часов космического аппарата, движущегося в гравитационном поте Земли, от темпа хода часов покоящихся на поверхности вращающейся Земли Как следует из результатов расчетов полученных в § 17 настоящей диссертации в величину Дт вносят вековой вклад, пропорциональный угловому положению >} космического аппарата на орбите, две группы конкурирующих членов Одна из них описывает разное влияние гравитационного поля Земли на темп хода земных и с оответственно бортовых часов Др\ гая грл ппа возникает из-за разной скорости двшкення земных и бортовых часов в ннерипальном пространстве Они в оЬщем сл\чае имеют разную величину и в зависимости от выбора орбиты, разность Дт может быть как положительной, так и отрицательной Как показывает анализ Дт > О для высокоапогейных орбит и Дт < 0 для орбит близких к круговым

Подставляя в формул\ для Дг параметры орбиты космического аппарата "ОЗИРИС , для разности показаний часов, находящихся на Земле и на космическом аппарате, с требуемой точностью получим Дт = (33г} — 37ян! //) х 10~6 сек Из этой формллы следлет [6] что бортовые часы по сравнению с часами, установленными на Земле за один оборот высокоапогеиного космического аппарата по орбите (т е за 97 ч) \ходят вперед на величину равную 223 мкс так как они движутся в области пространства с меньшим значением гравитационного потенциала, чем потенциал на поверчности Земли

В случае ннзкоапогейного космичес кого аппарата с высотой апогея 300 км и высотой перигея 400 км для разности Дг показаний часов находящихся на Земле и на космическом аппарате с требуемой точностью пол\ чим Дг = (—0 25?)—О 07 5т Р/} х 10_ь с ек Из этой форм\лы следу ет что бортовые часы по сравнению с часами установленными на Земле за один оборот (т е за 1 3 ч) ннзкоапогейного космического аппарата по орбите отстают на величину равн\ю 2 4 мкс

В § 18 настоящей диссертации проведен численный расчет релятн-

вистских поправок при определении углового положения космического аппарата 5 а для указанных выше двух типов орбит

Как показали расчеты, величина 5а для низких почти круговых орбит в настоящее время находится на пределе возможностей измерения и ею можно пренебречь Для высокоапогейных космических аппаратов угол 5а на отдельных участках орбит может достигать значений более 10 угловых секунд В этом случае существенно необходимо измерять величину 5а и использовать полученные данные для устранения релятивистских искажений при прецизионном определении местоположения космического аппарата

Проведенный нами в четвертой главе диссертации численный эксперимент с использованием построенной математической модели лазерной локации позволил обнаружить неизвестный ранее эффект — наличие не равного нулю угла 5а при локации с Земли экваториального геостационарного космического аппарата, т е космического аппарата, находящегося на расстоянии около 35900 км от поверхности Земли, имеющего период обращения, совпадающий с земными сутками В результате космический аппарат на экваториальной геостационарной орбите все время как бы "висит" над заданной точкой земной поверхности Результаты численных расчетов показали, что в этом случае угол 5а равен 3,5 угловой секунды и может быть измерен современными лазерными станциями

Этот результат впервые получен нами и опубликован в работе [7] Так как во вращающейся системе отсчета Земли геостационарный спутник неподвижен, то его можно рассматривать как часть вращающейся системы отсчета Земли Полому к нему применимы формулы, выведенные нами во второй главе настоящей диссертации Подстановка в эти формулы параметров орбиты геостационарного спутника показывает, что 5а — 3,5 угловой секунды, а 511=0,6 км в полном соответствии с результатами численного расчета Это совпадение результатов численных расчетов в физически выделенном случае геостационарного спутника, для которого существует аналитическое решение, дает основание для утверждения о досшверности построенной нами в третьей и четвертой главах диссертации математической модели лазерной локации космических аппаратов

В § 19 даны рекомендации по практическому применению полученных в настоящей диссертации результатов

В заключении перечислены результаты, полученные в диссертации Основные выводы и результаты работы: 1 Построена математическая модель распространения световых сигналов во вращающейся системе отсчета На основе этой модели исследо-

ваны основные оптические эффекты вызываемые дейс твнем полей инерции вращающейся системы отсчета Предложен эксперимент по проверке предсказания общей теории относительности о движении электромагнитных импульсов во вращающейся системе отсчета

2 Получена формула для угла вращательной аберрации при геодезических измерениях Установлены пределы точности геодезических измерений, начинал с которых необходимо учитывать влияние вращения Земли на результаты геодезических измерений

3 Построена математическая модель лазерной локации космических аппаратов учитывающая воздействие на электромагнитные пмтльсы гравитационного поля Земли и вращения лазерной станции вместе с Землей вокруг ее оси Используя существенные уравнения этой модели, вычислены релятивистские поправки к дальности 5Ь На основе численного анализа показано что для низких почти круговых орбит 5Ь не превышает 10 см а для выеокоапогепных орбит 5Ь > 20 см

4 Проведено моделирование разности между темпом хода часов находящихся на лазерной станции, и темпом хода бортовых часов космического аппарата согласно уравнениям релятивистской теории Показано что для низких почти круговых орбит бортовые часы отстают от часов лазерной станции на несколько мкс за один оборот космического аппарата по орбите а в случае высокоапогейных орбит бортовые часы уходят вперед по сравнению с часами лазерной станции на несколько сотен мкс за один оборот космического аппарата по орбите Проведена оценка точности с какой необходимо контролировать этот эффект при проведении космических астрометрическпх програгухм

5 На основе построенной математической модели лазерной локации космических аппаратов проведено вычне л»ние угла 6а между направлением по которому электромагнитный импульс излучается лазерной станцией к космическому аппарату и направлением по которому отраженный от космического аппарата импульс регистрируется на лазерной станции Показано, что для низких почти круговых орбит угол ¿о незначительно превышает одну утловую секунду а для высокоашнейныч орбит - доходит до 14 угловых секунд

6 Проведенный нами численный эксперимент с использованием построенной математической модели лазерной локации позволил обнаружить неизвестный ранее эффект - наличие не равного ну лю угла дп при локации с Земли экваториального геостационарного космического аппарата те космического апп<фнтл находящегося на расстоянии около 35900 км от поверхности Земли имеющего период обращения, совпадающий с земными сутками В результате космический аппарат находяший-

ся на экваториальной геостационарной орбите, все время как бы "висит" над заданной точкой земной поверхности Результаты численных расчетов показали, что в этом случае угол 5 а равен 3,5 угловой секунды и может быть измерен современной лазерной станцией 7 Проведено вычисление угла аберрации бф, создаваемого полями сил инерции вращающейся системы отсчета и гравитационным полем Земли Этот угол возникает между истинным направлением на космический аппарат в момент прихода к нему лазерного импульса и направлением, по которому на космический аппарат посылается электромагнитный импульс В результате численных расчетов было установлено, что с относительной точностью - 10"5 угол аберрации 8ф равен половине угла 5а между касательной к лучу, по которой электромагнитный импульс был отправлен к космическому аппарату, и касательной к лучу, по которому он возвратился на лазерную станцию Публикации результатов исследования. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1 ] Денисов М М , Зубрило А А Основы математической модели слабо-неинерциальной системы отсчета Препринт НИИЯФ МГУ № 20056/772, 2005, -8с

[2] Денисов М.М Математическая модель оптической аберрации при проведении прецизионных геодезических измерений углов Известия Вузов, Серия Геодезия и аэрофотосъемка, 2006, № 6, С 169-176 [3] Денисов ММ Влияние вращения Земли на прецизионные угловые измерения в геофизике Тезисы докладов Международной конференции "Тихонов м современная математика" М , МГУ 19-25 июнч 2006 С 13-14

[4] Денисов М М Различные математические модели системы отсчета наблюдателя при проведении гравитационных экспериментов Тезисы докладов ХП-ой Российской гравитационной конференции, Казань, 20-26 июня 2005 г Под общей редакцией проф Ю Г Игнатьева, С 156-158

[5] Денисов М М Угловая аберрация при лазерной локации космических аппаратов Тезисы докладов Пятого Международного аэрокисмиче-ского конгресса, Москва, 27-31 августа 2006 г Под редакцией А И Хоружевского, С 101

[6] Денисов М М, Зубрило А А Исследование темпа хода часов в аэрометрическом проекте " ОЗИРИС" Вестник Московского университета, сер физика, астрономия, 2007, № 2, С 64-65

[7] Денисов М М , Кравцов И В , Кривченков И В Оптические эффекты во вращающейся системе отсчета Письма в журнал экспериментальной и теоретической физики, 2007, т 85, № 7-8, С 498-500

Подписано в печать 13 04 О7 Объем 1,0 Формат 60 х 84 716 Печать на ризографе Гираж 100 экз Заказ № 59

Издательский центр МАТ И 109240, Москва, Берниковская наб , 14

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ ИЗМЕРЕНИЙ И ЛАЗЕРНОЙ ЛОКАЦИИ

КОСМИЧЕСКИХ АППАРАТОВ.

§ 1. Задачи геодезических измерений

§ 2. Задачи лазерной локации космических аппаратов.

§ 3. Системы отсчета, используемые при построении математической модели лазерной локации космических аппаратов

§ 4. Основы математической модели слабонеинерциальной системы отсчета в присутствии гравитационного поля

ГЛАВА 2. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ВРАЩАТЕЛЬНОЙ АБЕРРАЦИИ ПРИ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ ИЗМЕРЕНИЯХ

§ 5. Постановка задачи

§ 6. Построение математической модели распространения световых сигналов во вращающейся системе отсчета

§ 7. Релятивистские эффекты во вращающейся системе отсчета

§ 8. Вычисление вращательной аберрации при геодезическом измерении углов.

§ 9. Результаты численных расчетов и их обсуждение.

ГЛАВА 3. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

РЕЛЯТИВИСТСКИХ ПОПРАВОК ПРИ ПРЕЦИЗИОННОЙ ЛАЗЕРНОЙ ЛОКАЦИИ КОСМИЧЕСКИХ АППАРАТОВ

§10. Постановка задачи.

§11. Закон движения космического аппарата в гравитационном поле Земли.

§12. Математическая модель лазерной локации во вращающейся системе отсчета.

§ 13. Расчет релятивистских поправок при движении лазерного импульса от лазерной станции к космическому аппарату

§ 14. Расчет релятивистских поправок при движении лазерного импульса от космического аппарата к лазерной станции

ГЛАВА 4. ЧИСЛЕННЫЙ АНАЛИЗ РЕЛЯТИВИСТСКИХ ЭФФЕКТОВ ПРИ ЛАЗЕРНОЙ ЛОКАЦИИ

КОСМИЧЕСКИХ АППАРАТОВ.

§ 15. Постановка задачи

§ 16. Численные оценки релятивистских поправок при определении расстояния от лазерной станции до космического аппарата

§17. Математическое моделирование темпа хода бортовых часов космических аппаратов.

§18. Численные оценки релятивистских поправок при определении углового положения космического аппарата

§19. Рекомендации по практическому применению полученных в настоящей диссертации результатов.

Лазерная локация космических аппаратов в последнее время широко используется для высокоточного определения положений космических аппаратов в околоземном пространстве. Однако существующие математические модели обработки результатов лазерных измерений не учитывают воздействия на распространение световых сигналов вращения Земли и ее гравитационного поля. Поэтому при проведении лазерной локации космических аппаратов, находящихся на околоземных орбитах, и при геодезических измерениях неявно предполагается, что лазерная станция, покоящаяся на поверхности вращающейся Земли, является инерциальной системой отсчета. В результате световые лучи, входящие в оптические приборы и выходящие из них, при математическом моделировании считаются прямыми линиями и распространение световых импульсов по этим лучам предполагается равномерным.

Однако эти приборы находятся в слабонеинерциальной системе отсчета, связанной с вращающейся Землей, и их лучи подвержены действию слабого гравитационного поля Земли. Поэтому согласно общей теории относительности Эйнштейна [1] в гравитационном поле Земли и при действии сил инерции вращающейся системы отсчета лучи должны искривляться, а движение световых импульсов по этим лучам должно быть неравномерным. И хотя эти релятивистские эффекты в гравитационном поле вращающейся Земли малы, с определенного уровня точности измерений они будут искажать наблюдательные данные.

В настоящее время в стадии подготовки находятся несколько космических программ по проведению прецизионных астрометрических измерений с помощью интерферометров, установленных на космических аппаратах. Для баллистико - навигационного обеспечения этих программ локацию участвующих в экспериментах космических аппаратов необходимо производить с точностью нескольких сантиметров по дальности и порядка 1 угловой секунды по угловому положению, что доступно только лазерным станциям. На таком уровне точности уже необходимо производить учет воздействия гравитационного поля Земли и неинерциальности системы отсчета лазерной станции, находящейся на вращающейся Земле, на распространение световых импульсов при лазерной локации космических аппаратов. Таким образом, без математической модели, учитывающей уравнения и соотношения общей теории относительности, осуществлять с требуемой точностью прогнозирование и контроль орбит космических аппаратов в процессе выполнения прецизионных космических программ невозможно. Однако в математическом плане эти вопросы были неразработанными.

Более того, при проведении лазерной локации космических аппаратов был замечен довольно странный эффект [2]: на тех лазерных станциях, которые использовали маломощные лазеры с относительно узким лазерным пучком (как известно, лазерный пучек не является цилиндром, а в силу ряда физических причин [3] представляет собой расширяющийся конус), было очень трудно попасть электромагнитным импульсом в движущийся космический аппарат. Обычно космический аппарат, движущийся по низкой околоземной орбите, достаточно хорошо виден в телескоп лазерной станции и оператор, вводя упреждение вдоль вектора его скорости, должен был попасть лазерным импульсом в отражатели, установленные на его внешних поверхностях.

Однако было замечено, что если лазерный импульс направить в расчетное место его встречи с космическим аппаратом, то этот импульс не попадет на отражатели; если же ось лазера немного довора-чивать и направлять электромагнитный импульс не в расчетное место встречи, а сканировать окрестности этого места, то при некотором небольшом угловом отклонении (составляющем несколько угловых секунд) от расчетного места космический аппарат попадет в лазерный пучек и в телескопе лазерной станции появится отраженный от космического аппарата электромагнитный импульс. После этого дальнейшее сопровождение космического аппарата лазерным пучком переключают на компьютер, который автоматически вводит найденную экспериментально дополнительную угловую поправку, и процесс локации проходит, как правило, без вмешательства оператора.

В качестве первой причины такого небольшого рассогласования между расчетным угловым направлением на место встречи лазерного импульса с космическим аппаратом и фактическим угловым направлением на это место было выдвинуто [2] предположение о несовпадении оптической оси телескопа с осью лазерного луча на лазерной станции. Однако лазерный импульс посылается к космическому аппарату через телескоп лазерной станции и дополнительные исследования точности юстировки показали [2], что эти оси с требуемой точностью совпадают.

На мощных лазерных станциях, использующих широкие лазерные пучки, этот эффект не наблюдался, так как электромагнитный импульс в окрестности космического аппарата имел большие поперечные размеры и отражатели, установленные на космическом аппарате, попадали на периферию этого импульса.

Приступая к исследованию этого вопроса, мы предположили, что причиной такого рассогласования является недостаточно точная математическая модель, использовавшаяся для расчетов угловых координат места встречи лазерного импульса и космического аппарата, не учитывающая эффекты общей теории относительности.

Поэтому целью настоящей диссертации было решение задачи построения математической модели релятивистских поправок, вызываемых воздействием гравитационного поля Земли и полями сил инерции вращающейся Земли, на распространение световых импульсов при лазерной локации космических аппаратов и при геодезических измерениях, а также разработка алгоритмов вычисления искажений, вносимых этими поправками, в наблюдательные данные.

Первая глава носит вводный характер. В ней рассматриваются задачи геодезических измерений и лазерной локации космических аппаратов. Дается описание основных систем отсчета, используемых при построении математической модели лазерной локации космических аппаратов. В § 4, следуя нашей работе [4], изложены основы математической модели слабонеинерциальной системы отсчета в присутствии гравитационного поля.

Вторая глава настоящей диссертации посвящена построению математической модели вращательной аберрации при геодезических измерениях. На основе релятивистского уравнения для изотропной геодезической нами построены уравнения световых лучей во вращающейся системе отсчета и найдены их аналитические решения. Анализ этих решений позволил исследовать ряд релятивистских эффектов во вращающейся системе отсчета.

Первый из них - это то, что распространение электромагнитных сигналов из одной точки пространства в другую точку осуществляется по одному лучу, а обратно - по другому лучу. Выведена формула определяющая угол 5а между касательными к этим лучам в точке излучения импульса.

Второй эффект - это линейное смещение электромагнитного импульса после его отражения от ретрорефлектора (оптического устройства, отражающего импульсы вдоль касательной к лучу, по которому эти импульсы приходят). Выведена формула, определяющая расстояние 811 между точкой излучения электромагнитного импульса и лучем, по которому распространяется отраженный импульс.

На основе полученных формул в § 8 проведено вычисление вращательной аберрации при геодезических измерениях углов на местности. Впервые такие вычисления были проведены в наших работах [5-6]. Однако величина релятивистских эффектов, вызываемых вращением Земли, в условиях геодезических измерений мала: на расстоянии между источником электромагнитного излучения и отражателем, равным 100 км, полученные формулы дают 5а = Ю-2 угловой секунды, 6Я = 0,5 см.

Эти величины меньше требуемой в настоящее время точности геодезических измерений: 5а = 0,1 угловой секунды. Так как при оптических измерениях в геофизике расстояние между источником света и наблюдателем обычно не превышает 100 км, то значение 5а = Ю-2 угловой секунды можно принять в качестве оценки точности угловых измерений, начиная с которой необходимо учитывать угловую вращательную аберрацию.

Следует отметить, что эти релятивистские эффекты из-за их малой величины в эксперименте пока не измерялись. Однако с инструментальной точки зрения в настоящее время имеются технические возможности для измерения указанных выше релятивистских эффектов, вызываемых вращением Земли. Как показано нами в § 9 диссертации, в настоящее время существует экспериментальная возможность провести измерение релятивистских эффектов в земных условиях.

Поэтому проведенное во второй главе математическое моделирование распространения электромагнитных сигналов во вращающейся системе отсчета позволило установить пределы точности геодезических измерений, начиная с которой будет необходимо учитывать релятивистские эффекты, а также предложить эксперименты по проверке теоретических предсказаний о величине этих эффектов.

В третьей главе настоящей диссертации построена математическая модель релятивистских поправок при прецизионной лазерной локации космических аппаратов. Постановка задачи включала в себя следующие существенные моменты: лазерная станция предполагалась расположенной на поверхности вращающейся Земли, а космический аппарат с отражателем электромагнитных импульсов двигался по орбите, ориентированной произвольным образом относительно оси вращения Земли.

При проведении лазерной локации как импульс электромагнитного излучения, так и космический аппарат согласно общей теории относительности движутся в римановом пространстве-времени, метрический тензор которого зависит от гравитационного поля Земли, Луны, Солнца и других планет Солнечной системы и полей сил инерции неинер-циальной системы отсчета.

Безразмерный гравитационный потенциал Земли и очень мал [7]: II ~ Ю-9. Однако именно он дает основной вклад в гравитационное поле в окрестности Земли; вклад остальных тел Солнечной системы согласно работе [8] существенно меньше. Так как нам было необходимо построить математическую модель лазерной локации, обеспечивающую относительную точность на уровне ~ Ю-10, то вкладами остальных тел Солнечной системы мы пренебрегали.

При вычислении релятивистских эффектов мы также учитывали, что лазерная станция находится в слабонеинерциальной системе отсчета из-за вращения Земли вокруг своей оси с угловой скоростью П = 7,3-10"5 рад/сек.

Лазерную локацию космических аппаратов и обработку полученных данных удобно было проводить в топоцентрической системе отсчета, начало которой совпадает с положением лазерной станции на поверхности Земли, ось г направлена по местной вертикали, ось х - по касательной к меридиану, ось у - по касательной к параллели.

Как показал анализ, для достижения при лазерной локации относительной точности на уровне ~ Ю-10 движение космического аппарата можно было рассматривать в ньютоновском приближении, а движение электромагнитного импульса - с учетом постньютоновских слагаемых в метрическом тензоре. Так как в рассматриваемой задаче имелись малые параметры, то для удобства дальнейшего использования формул математической модели вычисление релятивистских поправок было проведено в аналитическом виде методом последовательных приближений.

Следует отметить, что в общем случае в математическую модель лазерной локации космических аппаратов необходимо включать поправки, связанные с влиянием на движение лазерного импульса нестабильной атмосферы, с влиянием на движение космического аппарата муль-типольных гравитационных моментов Земли, а также учитывать ряд аналогичных (см., например, [9-10]) возмущающих факторов. Но все эти поправки к настоящему времени хорошо изучены и включены в существующие математические модели локации космических аппаратов. Так как они создают лишь малые возмущения в движении космических аппаратов и лазерных импульсов, то их можно считать аддитивными поправками, не влияющими на малые величины 5Ь, Дт и 8а.

Все полученные в третьей главе настоящей диссертации результаты являются новыми и опубликованы в нашей работе [И]. В научной литературе аналогичные задачи ранее рассматривались, но либо в недостаточно общем виде [12-13] (подробнее см. конец § 14), либо относились к спутниковой конфигурации, когда лазерная станция находилась не на вращающейся Земле, а на каждом из космических аппаратов [1416], т.е. находилась в системе отсчета, метрический тензор которой имел локально инерциальный вид.

И, наконец, в четвертой главе настоящей диссертации на основе построенной математической модели проведен численный расчет величины релятивистских эффектов при лазерной локации космических аппаратов.

На основе формул, построенной в третьей главе математической модели, можно определять положение космического аппарата в интересующие нас моменты времени, уточнять элементы орбиты и решать некоторые другие задачи. В настоящей диссертации мы основное внимание сосредоточили на одной из этих задач: определили величину релятивистских поправок к дальности 5L, различие в темпах хода часов лазерной станции и бортовых часов космического аппарата Дт, обусловленную различием физических условий, в которых они находятся, а также разность 8а угловых положений направлений, по которым посылается к космическому аппарату и, соответственно, принимается после отражения от него лазерный импульс.

Как следует из полученных в диссертации формул, численные значения 8L, Дт и 8а должны существенно зависеть от элементов орбиты космического аппарата. Поэтому для численных расчетов были выбраны два типа наиболее распространенных орбит: низкая почти круговая орбита с высотой апогея ha = 600 км и высотой перигея hp = 400 км и высокоапогейная с высотой апогея ha = 2 • 105 км и высотой перигея hp = 250 км.

Первый тип орбит характерен для космических аппаратов различного назначения (дистанционное зондирование Земли, испытание космической техники и т.п.), влючая Международную космическую станцию и существовавшие ранее орбитальные станции. Второй тип орбит обычно используется для космических аппаратов научного назначения (преимущественно астрофизического), представителями которого являются, например, готовящиеся к запуску в России аппараты космических программ "Радиоастрон", "Спектр-УФ", "Спектр-РГ", "Озирис" [17-19] и другие.

Результаты численных расчетов 8Ь, Дт и 8а для указанных выше двух типов орбит показали, что для обоих типов орбит релятивистские поправки 8Ь и Ат достигают вполне измеримых величин и их необходимо учитывать при лазерной локации космических аппаратов астрометрического назначения.

Величина же 8 а для низких почти круговых орбит в настоящее время находится на пределе возможностей измерения и ею можно пренебречь. Для высокоапогейных космических аппаратов угол 6а на отдельных участках орбит может достигать значений более 10 угловых секунд. В этом случае существенно необходимо измерять величину 8а и использовать полученные данные для устранения релятивистских искажений при прецизионном определении местоположения космического аппарата.

Проведенный нами в четвертой главе диссертации численный эксперимент с использованием полученных формул (18.2)-(18.6) математической модели лазерной локации позволил обнаружить неизвестный ранее эффект - наличие не равного нулю угла 8а при локации с Земли экваториального геостационарного космического аппарата, т.е. космического аппарата, находящегося на расстоянии около 35900 км от поверхности Земли, имеющего период обращения, совпадающий с земными сутками. В результате космический аппарат, находящийся на экваториальной геостационарной орбите, все время как бы "висит" над заданной точкой земной поверхности. Результаты численных расчетов показали, что в этом случае угол 8а равен 3,5 угловой секунды и может быть измерен современными лазерными станциями.

Этот результат впервые получен нами и опубликован в работе [11]. Так как во вращающейся системе отсчета Земли геостационарный спутник неподвижен, то его можно рассматривать как часть вращающейся системы отсчета Земли. Поэтому к нему применимы формулы, выведенные нами во второй главе настоящей диссертации. Подстановка в эти формулы параметров орбиты геостационарного спутника, впервые осуществленная в нашей работе [20], показывает, что 8а = 3,5 угловой секунды, а <Ш=0,6 км в полном соответствии с результатами численного расчета. Это совпадение результатов численных расчетов в физически выделенном случае геостационарного спутника, для которого существует аналитическое решение, дает основание для утверждения о достоверности построенной нами в третьей и четвертой главах диссертации математической модели лазерной локации космических аппаратов.

В заключении перечислены основные результаты, полученные в настоящей диссертации и выносимые на защиту.

Основные результаты диссертации докладывались на XII Российской гравитационной конференции (20-26 июня 2005 г., Казань, КГУ), Международной конференции "Тихонов и современная математика'1 (19-25 июня 2006 г., Москва, МГУ), Пятом Международном аэрокосмическом конгрессе (27-31 августа 2006 г., Москва, МГУ), на научных семинарах МАТИ-РГТУ им.К.Э.Циолковского и опубликованы в семи работах [4-6, 11, 20, 36, 73], три из которых являются статьями в рецензируемых журналах, включенных в список ВАК.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Перечислим основные результаты, составляющие содержание настоящей диссертации и выносимые на защиту.

1. Построена математическая модель распространения световых сигналов во вращающейся системе отсчета. На основе этой модели исследованы основные оптические эффекты, вызываемые действием полей инерции вращающейся системы отсчета. Предложен эксперимент по проверке предсказания общей теории относительности о движении электромагнитных импульсов во вращающейся системе отсчета.

2. Получена формула для угла вращательной аберрации при геодезических измерениях. Установлены пределы точности геодезических измерений, начиная с которых необходимо учитывать влияние вращения Земли на результаты геодезических измерений.

3. Построена математическая модель лазерной локации космических аппаратов, учитывающая воздействие на электромагнитные импульсы гравитационного поля Земли и вращения лазерной станции вместе с Землей вокруг ее оси. Используя существенные уравнения этой модели, вычислены релятивистские поправки к дальности 8Ь. На основе численного анализа показано, что для низких почти круговых орбит 8Ь не превышает 10 см, а для высокоапогейных орбит 8Ь > 20 см.

4. Проведено моделирование разности между темпом хода часов, находящихся на лазерной станции, и темпом хода бортовых часов космического аппарата согласно уравнениям релятивистской теории. Показано, что для низких почти круговых орбит бортовые часы отстают от часов лазерной станции на несколько мкс за один оборот космического аппарата по орбите, а в случае высокоапогейных орбит бортовые часы уходят вперед по сравнению с часами лазерной станции на несколько сотен мкс за один оборот космического аппарата по орбите. Проведена оценка точности, с какой необходимо контролировать этот эффект при проведении космических астрометрических программ.

5. На основе построенной математической модели лазерной локации космических аппаратов проведено вычисление угла 5а между направлением, по которому электромагнитный импульс излучается лазерной станцией к космическому аппарату, и направлением, по которому отраженный от космического аппарата импульс регистрируется на лазерной станции. Показано, что для низких почти круговых орбит угол ¿а незначительно превышает одну угловую секунду, а для высокоапогейных орбит - доходит до 14 угловых секунд.

6. Проведенный нами численный эксперимент с использованием построенной математической модели лазерной локации позволил обнаружить неизвестный ранее эффект - наличие не равного нулю угла 8а при локации с Земли экваториального геостационарного космического аппарата, т.е. космического аппарата, находящегося на расстоянии около 35900 км от поверхности Земли, имеющего период обращения, совпадающий с земными сутками. В результате космический аппарат, находящийся на экваториальной геостационарной орбите, все время как бы "висит" над заданной точкой земной поверхности. Результаты численных расчетов показали, что в этом случае угол 8а равен 3,5 угловой секунды и может быть измерен современной лазерной станцией.

7. Проведено вычисление угла аберрации Sip, создаваемого полями сил инерции вращающейся системы отсчета и гравитационным полем Земли. Этот угол возникает между истинным направлением на космический аппарат в момент прихода к нему лазерного импульса и направлением, по которому на космический аппарат посылается электромагнитный импульс. В результате численных расчетов было установлено, что с относительной точностью ~ 10~5 угол аберрации Sip равен половине угла 5а между касательной к лучу, по которой электромагнитный импульс был отправлен к космическому аппарату, и касательной к лучу, по которому он возвратился на лазерную станцию.

Результаты диссертационной работы были использованы при выполнении НИОКР по договору № 4/2006 от 01.02.2006 г. между Федеральным государственным унитарным предприятием "Научно - производственное объединение имени С.А.Лавочкина" и Институтом прикладных и теоретических исследований, по договору № 1/2006 от 10.01.2007 г. между Федеральным государственным унитарным предприятием "ЦНИИМАШ" и Институтом прикладных и теоретических исследований, а также в учебном процессе при чтении лекций по курсу "Математическое моделирование" студентам факультета № 2 "Аэрокосмические конструкции и технологии" ГОУ ВПО "МАШ'-РГТУ им. К.Э. Циолковского, о чем имеются соответствующие акты внедрения.

В заключение автор выражает глубокую благодарность научному руководителю доктору технических наук, профессору Чебурахину Игорю Федоровичу за внимание к работе и полезные советы, а также всему коллективу кафедры " Кибернетика" за создание атмосферы, способствовавшей успешной работе над диссертацией.

1. Эйнштейн А. Собрание научных трудов, М.: Наука, 1965, Т.1.- 699с.

2. Ю.В.Игнатенко, В.Н.Тряпицын, И.Ю.Игнатенко. Исследование скоростной аберрации при лазерной локации исскуственных спутников Земли. Тезисы докладов Третьей Украинской конференции по перспективным космическим исследованиям. Кацивели, Крым, 2003, С. 172.

3. Гришачев В.В. Брюховецкий О.С., Родионов В.Н. Двухступенчатые волоконно-оптические датчики для геофизических исследований. Избранные доклады V международной конференции " Новые идеи в науках о Земле", Москва, МГТА, апрель 2001, с. 143-155.

4. Денисов М.М., Зубрило A.A. Основы математической модели сла-бонеинерциальной системы отсчета. Препринт НИИЯФ МГУ № 20056/772, 2005, -8с.

5. Денисов М.М. Математическая модель оптической аберрации при проведении прецизионных геодезических измерений углов. Известия Вузов, Серия Геодезия и аэрофотосъемка, 2006, № 6, С. 169-176.

6. Денисов М.М. Влияние вращения Земли на прецизионные угловые измерения в геофизике. Тезисы докладов Международной конференции "Тихонов и современная математика", М., МГУ, 19-25 июня 2006, С. 13-14.

7. Уилл К. Теория и эксперимент в гравитационной физике. М.: Энергоатомиздат, 1985. - 293 с.

8. Ashby N., Bertotti В. Relativistic perturbations of an Earth satellite. Phys. Rev. Lett., 1984, V. 52, P. 485-488.

9. Корнеев В.И., Кулагин Н.Е. Нелинейные локализованные волны в среде с нелокальным взаимодействием. Теоретическая и математическая физика, 1998, Т. 114, № 3, С. 366-379.

10. Муравей Л.А. Волновое уравнение и уравнение Гельмгольца в неограниченной области со звездной границей. Труды МИАН, 1988, Т.185, С. 171-180.

11. И. Денисов М.М. Угловая аберрация при лазерной локации космических аппаратов. Тезисы докладов Пятого Международного аэрокосмического конгресса, Москва, 27-31 августа 2006 г. Под редакцией А.И. Хоружевского, С. 101.

12. Baierlein R. Testing general relativity with laser ranging to the Moon. Phys. Rev., 1967, V. 162, P. 1275-1238.

13. Брумберг B.A. Релятивистская небесная механикаМ.: Наука, 1972. 382 с.

14. Chauvineau В., Regimbau Т., Vinet J.Y. Relativistic analysis of the LISA long range optical links. Phys. Rev. D., 2005, V. 72, P. 122003.

15. Dhurandhar S.V., Nayak K.P., Tinto M. Algebraic approach to time delay data analysis for LISA. Phys. Rev. D., 2002, V. 65, P. 102002.

16. Денисов M.M., Кравцов H.B., Кривченков И.В. Оптические эффекты во вращающейся системе отсчета. Письма в журнал экспериментальной и теоретической физики, 2007, т. 85, № 7-8, С. 498-500.

17. Кузьмин Б.С., Герасимов Ф.Я., Молоканов В.М. Краткий топогра-фо геодезический словарь, изд. 3-е. М., 1980.

18. Брюханов А.В., Господинов Г.В., Книжников Ю.Ф. Аэрокосмические методы в географических исследованиях. М., 1982.

19. Мориц Г. Современная физическая геодезия. М. 1983.

20. Gauss K.F. Werke. Gottingen, 1903, Bd. 9, S. 299-300, 314.

21. Подобед В.В., Нестеров В.В. Общая астрометрия. М.: Наука, 1975.

22. Боярчук A.A., Багров A.B., Микиша A.M. и др.Космическая оптическая интерферометрия для астрометрии. Космические исследования. 1999. Т. 37, С. 3.

23. Багров A.B. Астрометрическая поддержка работы космических телескопов с узким полем зрения. Труды ГАИШ, 2005, Т. 78, С. 10.

24. Космический астрометрический эксперимент "ОЗИРИС. Под редакцией Л.В.Рыхловой и К.В.Куимова. Фрязино, Век-2. 2005.- 345с.

25. Milman М., Turyshev S.G. Space interferometer mission (SIM). Applied Optics, 2003, V. 42, № 7, P. 71-78.

26. Turyshev S.G., Shao M., Nordtvedt K. The Laser Astrometric Test of Relativity (LATOR) Mission. Classical Quantum Gravity, 2004. V. 21. P. 2773-2777.

27. Turyshev S.G., Shao M., Nordtvedt K. Experimental Design for the LATOR Mission. International Journal of Modern Physics. 2004. V. 13. P. 2035-2063.

28. Иваницкая О.С. Лоренцев базис и гравитационные эффекты в эйнштейновой теории тяготения. Минск, Наука и техника. 1979. -336с.

29. Устинов Н.Д. Лазерная локация. М.: МГУ. 1984. 272 с.

30. Глонасс принципы построения и функционирования. 3-ье издание, переработанное под ред. А.И.Петрова и В.Н.Харисова. М.: Радиотехника, 2005. - 688с.

31. Самарский A.A., Попов Ю.П. "Вычислительный эксперимент в физике", в книге "Наука и человечество". М.: АН СССР. 1975. С. 281-291.

32. Ольховский И.И. Курс теоретической механики для физиков. М.:1. МГУ, 1974, -569с.

33. Петкевич В.В. Теоретическая механика. М.: Наука, 1981. 496 с.

34. Дубошин Г.Н. Небесная механика. М.: Наука, 1968.

35. Самарский. A.A. Введение в численные методы. М.: Наука, 1997. - 239 с.

36. Самарский A.A. Численные методы. М.: Наука, 1982. - 272 с.

37. Чебурахин И.Ф. Логическое управление: задачи, алгоритмы, показатели качества. М.: МАТИ, 2003. -200с.

38. Чебурахин И.Ф. Синтез дискретных управляющих систем и математическое моделирование. М.: Физматлит, 2004. -248с.

39. Малыхин Л.И., Иванов В.И. Математические основы оценивания комплексов инерциальных измерителей. М.: МАТИ, 2003. -86с.

40. Морозов В.М. Системное моделирование и методы исследования математических моделей. М.: МАТИ, 2005. -243с.

41. Фок В.А. Теория пространства, времени и тяготения. М.: Физ-матгиз, 1961. - 504 с.

42. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория поля. М.: Наука, 1988. - 510 с.

43. Рашевский П.К. Риманова геометрия и тензорный анализ. М.: Наука, 1967. - 661 с.

44. Блиох П.В., Минаков A.A. Гравитационные линзы. Киев.: Нау-кова думка, 1989, - 240 с.

45. Григорьев В.И., Григорьева Е.В., Ростовский B.C. Бароэлектриче-ский эффект и электромагнитные поля планет и звезд. М.: Физматлит, 2003. - 192 с.

46. Малыкин Г.Б. Эффект Саньяка. Корректные и некорректные объяснения. Успехи физических наук, 2000, Т. 170, С. 1325-1349.

47. Малыкин Г.Б. Эффект Саньяка во вращающейся системе отсчета. Успехи физических наук, 2002, Т. 172, С. 969-970.

48. Кикоин И.К. Таблицы физических величин. М.: Атомиздат, 1976. 547 с.

49. Kovalevsky J., Lindegren L., Perryman M.A. et al. The HIPPARCOS catalogue as a realisation of extragalactic reference system. Astronomy and Astrophysics, 1997, V. 323, P. 620-633.

50. В.О.Гладышев. Распространение плоской монохроматической электромагнитной волны в среде со сложным движением. Письма в ЖТФ. 1999, Т. 69, В. 5, С. 97-100.

51. Васильев В.П. Гришмановский В.А., Плиев Л.Ф. и другие. О влиянии движения оптической среды при локации. Письма в ЖЭТФ. 1992, Т. 55 В. 6, С. 317-320.

52. Павленко Ю.Г. Задачи по теоретической механике. М.: Физма-тлит, 2003. 536 с.

53. Самарский A.A. Численные методы и вычислительный эксперимент. М.: Наука, 1998.- 518 с.

54. Cadez A., Kostic U. Optics in the Schwarzschild spacetime. Phys. Rev. D., 2005, V. 72, P. 104024.

55. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Наука, 1971. 576 с.

56. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Наука, 1971. - 1108 с.

57. Физический энциклопедический словарь. М.: Советская энциклопедия. 1983. -928с.

58. Мицкевич Н.В. Физические поля в общей теории относительности.1. M.: Наука, 1969. -322c.

59. Nordtvedt К. Equivalence priciple for massive bodies. I. Phenomenology. Phys. Rev., 1968, V. 169, P. 1014-1016.

60. Nordtvedt K. Equivalence priciple for massive bodies. I. Theory. Phys. Rev. 1968, V. 169, P. 1017-1025.

61. Nordtvedt K. Testing relativity with laser ranging to the Moon. Phys. Rev., 1968, V. 170, P. 1186-1187.

62. Жарков В.H., Трубицин В.П. Физика планетных недр. М.: Наука. 1980.

63. Petley B.W. New definition of the metre. Nature, 1983, V. 303. № 5916, P. 373-376.

64. Vessot R.F.C., Levine M.W. Test of the equivalence principle using a space-borne clock. General Relativity and Gravitation. 1979, V. 10. P. 181-204.

65. Vessot R.F.C., Levine M.W., Mattison E.M. et al. Test of the relativis-tic- gravitation with a space-borne hydrogen maser. Phys. Rev. Lett. 1980, V. 45, P. 2081-2084.

66. Лайтман А., Пресс В., Прайс P. и др. Сборник задач по теории относительности и гравитации. М.: Мир, 1979. -535с.

67. Денисов М.М., Зубрило А.А. Исследование темпа хода часов в астрометрическом проекте "ОЗИРИС". Вестник Московского университета, сер. физика, астрономия, 2007, № 2, С. 64-65.

68. Павленко Ю.Г. Лекции по теоретической механике. М.: Физма-тлит, 2002. 392 с.

69. Атмосфера стандартная. Параметры. ГОСТ 4401-81. М.: Изд-во стандартов, 1980 г., 48 с.

70. Атмосфера Земли верхняя. Модель плотности для баллистического обеспечения полетов искусственных спутников Земли. ГОСТ 25645.115-84. М.: Изд-во стандартов, 1985 г. -44 с.

71. Глаголев Ю.А. Справочник по физическим параметрам атмосферы. Л.: Гидрометеоиздат, 1970. -211 с.