автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование регулярных волновых процессов в прибрежной зоне

На правах рукописи

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ РЕГУЛЯРНЫХ ВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ В ПРИБРЕЖНОЙ ЗОНЕ

05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени . кандидата физико-математических наук

2 5 НОЯ 2010

Таганрог-2010

Работа выполнена на кафедре прикладной математики и компьютерных технологий ГОУ ВПО «Северо-Кавказский государственный технический университет»

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук,

профессор Денисенко Таисия Ивановна

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Сухинов Александр Иванович

доктор физико-математических наук, профессор Илюхин Александр Алексеевич

Ведущая организация: Южно-Российский государственный

технический университет (Новочеркасский политехнический институт)

Защита состоится 25 ноября 2010 г. в 14 часов 20 минут на заседании диссертационного совета ДМ 212.208.22 при Южном федеральном университете по адресу: 347928, Таганрог, пер. Некрасовский 44, корпус Д.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Технологического института Южного федерального университета в г. Таганроге,

Автореферат разослан «¿СЗ »

П/С/П<я£ПсЯ 2010 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор технических наук А. Н. Целых

Актуальность темы диссертационного исследования обусловлена широким кругом важных с теоретической и практической точек зрения задач волновой гидродинамики, решение которых требует научного обоснования, разработки современных методов анализа и развития эффективных методой математического моделирования сложных гидродинамических процессов.

Береговая зона морей, океанов, крупных озер и водохранилищ тесно связана с воздействием волн различного вида, приходящих из открытого моря или генерируемых в самой прибрежной акватории.

В связи с интенсивным включением прибрежных районов морей и океанов в сферу хозяйственной и экономической деятельности страны, большую актуальность приобретает прогноз морфодинамических изменений участков побережий, основанный на численном моделировании возможных ситуаций волновой активности, включая процессы трансформации и обрушения волн.

На основе гидродинамической теории оказывается возможным выполнить детализированные расчеты протекания соответствующих физических явлений.

В последние годы внимание исследователей, занимающихся проблемами математического моделирования волновых процессов, привлечено к изучению различных стадий жизни волн, в том числе выхода волны на берег (наката волны), что в свою очередь вызывает необходимость построения новых и углубленного анализа уже существующих моделей, адекватно Ьписывающих данные физические процессы.

Интенсивное развитие в области моделирования процессов волнения й их численной реализации способствует прогрессу в расчете приливов, штормовых нагонов, явлений бора, цунами и пр.

Прибрежные районы морей и устьевые области рек характеризуются мелководиостыо. Исследование приливов в таких районах осложняется тем, что волна существенно подвержена влиянию дна. В связи с этим возникает

необходимость в построении математических моделей процессов выхода волны на берег с уметом особенностей конфигурации рельефа дна прибрежной акватории и суши. Ведь влияние волн на береговую зону может иметь двоякий характер. С одной стороны волны оказывают очень большое воздействие на динамику процессов образования берега, преобразования и изменения рельефов дна (аккумуляция прибрежных наносов; абразия береговой зоны); с другой -волны могут оказывать влияние на прибрежные сооружения.

Отсюда следует, что тема данной работы является актуальной и практически значимой.

Цель диссертационной работы - построение, исследование и численная реализация математических моделей задач волновой гидродинамики для случая мелководных водоемов, адекватно отражающих реальные гидродинамические процессы в прибрежной зоне.

Можно выделить следующие основные задачи:

- разработку математической модели движения поверхностных волн от начального возмущения в прибрежной зоне водоема с учетом особенностей конфигурации рельефа дна;

- разработку математической модели, описывающей волновые процессы в прибрежной зоне, учитывающей такие физические процессы, как турбулентный обмен, трение о дно, сложная геометрия дна;

— построение дискретной конечно-объемной модели для задач волновой гидродинамики, а также аналитическое исследование погрешности аппроксимации, устойчивости и консервативности построенной дискретной модели, учитывающей механизм заполнения ячеек;

- разработку эффективных алгоритмов для решения задач волновой гидродинамики, учитывающих динамическое изменение уровня возвышения жидкости;

"' ! ^ создание комплекса программ, предназначенного для построения двумерных полей скоростей движения водной среды в случае математического

моделирования наката и обрушения полны на берег, а также для прогнозирования возможных ситуаций, связанных с волновыми процессами в прибрежных акваториях, с целью предо пределен и я строительства сооружений и использования конкретного участка береговой линии.

- построение динамики изменения поля скорости, давления и уровня возвышения жидкости.

Материалы и методы исследования

Для достижения основной цели исследования в диссертации использованы: основы теории гидродинамики для мелководных акваторий, методы математической физики, интегрального и дифференциального исчислений. При проведении численных экспериментов по построенным моделям используются методы вычислительной математики и специализированные программные среды (МаШСАБ). Используемые численные методы реализованы на языке «С++».

Научная новизна и теорет ическое значение работы

1. Разработана математическая модель движения волн в прибрежной зоне для сложного профиля дна, представляющая собой обобщенный случай. Для данной задачи получено аналитическое решение, позволяющее определять уровень взволнованной поверхности жидкости с учетом особенностей конфигурации рельефа дна.

2. Построена двумерная конечно-объемная модель выхода волны на берег и ее разрушения, учитывающая такие физические параметры, как сложная геометрия дна, турбулентный обмен, трение о дно, динамическое изменение уровня возвышения жидкости, и предложена методика построения сеток с динамически изменяющейся геометрией расчетной области.

3. Для решения задач волной гидродинамики использован адаптивный попеременно-треугольный итерационный метод вариационного типа, который позволяет минимизировать время расчета сеточных уравнений с

б

нссамосопряжснной матрицей коэффициентов но сравнению с другими итерационными методами.

4. Построен программный комплекс для расчета задач волновой г идродинамики, на основе которого получены картины течений подпой среды, согласующиеся с реальным физическим процессом.

Достоверность научных положений и выводов

Достоверность и обоснованность полученных теоретических результатов и формулируемых на их основе практических выводов диссертации обусловлена корректностью производимых математических преобразований, базирующихся на апробированном математическом аппарате (методах математической физики, интегрального и дифференциального исчислений, методах вычислительной математики) и корректным применением специализированных сред. Получено совпадение численных расчетов с реальными процессами.

Научная и практическая значимость работы

Возможное применение па практике полученных в диссертации математических моделей может быть необходимо для обоснования проектирования и строительства гидротехнических сооружений, для прогноза формирования дна (в частности наносов) с целью предопределения строительства сооружений и планирования использования конкретного участка береговой линии, а также для определения высоты оградительных стенок в портах и на побережье.

Апробация работы

По мере получения основные результаты диссертации докладывались на научном семинаре кафедры прикладной математики и компьютерных технологий Северо-Кавказского государственного технического университета.

Отдельные результаты работы докладывались и обсуждались на:

- Международном Российско-Абхазском симпозиуме «Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики» и VII

Школе молодых ученых «Нелокальные краевые задачи и проблемы современного анализа и информатики» (г. Пальчик, п. Эльбрус, 17-22 мая 2009 г.);

- научных заседаниях осенней открытой сессии X Всероссийского Симпозиума по прикладной и промышленной математике (г. Сочи, ! -8 октября 2009 г.);

— научных заседаниях XVII Всероссийской Школы-коллоквиума по стохастическим методам, весенней открытой сессии XI Всероссийского Симпозиума по прикладной и промышленной математике, II Регионального макросимпозиума «Насущные задачи прикладной математики в Ставрополье» (г. Кисловодск, 1 - 8 мая 2010 г.).

Структура и объем работы

г . ■ i

Диссертация изложена на 188 страницах, включает в себя 36 иллюстрации, 1 таблицу. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка используемой литературы.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации; формулируются цель исследования и основные положения диссертации, выносимые на защиту; указывается новизна и практическая значимость работы; приводится краткое изложение работы.

Первая глава диссертационного исследования посвящена рассмотрению основных теоретических принципов и законов гидродинамики.

Решение актуальных проблем прибрежной динамики требует знания основных физических законов, адекватно отражающих реальные процессы в пограничной области, т. е. береговой (или прибрежной) зоны, режим которой тесно связан с воздействием волн различного вида, и решения возникающих задач для модельных уравнений. Математический аппарат представления данных процессов отражен в этой главе.

Изложены общие сведения о поверхностных волнах; проведен обзор и анализ исследований по теории волн; дано описание движения поверхностных гравитационных волн в мелководных районах на примере Азовского моря с использованием методики приведенной в книге Л. М. Бреховских и В. В. Гончарова «Введение в механику сплошных сред». Представлены тесты, решения которых получены с помощью программы Ма(ЬСАО, используемые в качестве анализирования и верификации данных при исследовании моделей движения поверхностных волн на мелководье.

Определена частота собственных колебаний несжимаемой жидкости в Таганрогском заливе, возбуждение поверхностных волн с такой частотой приводит к возникновению явления сулоя.

Вторая глава посвящена построению и исследованию математической модели движения воли п прибрежной зоне для сложного профиля дна.

Проведено исследование существующей непрерывной математической модели движения поверхностных волн от начальных возмущений для линейного профиля дна, предложенной в работе Сухинова А. И., Зуева В. Н., Семенистого В. В. «Поверхностные волны от начальных возмущений в случае изменения глубины дна по линейному закону».

Исследование волновых процессов, происходящих в мелководных акваториях, зависит от общего вида поверхности дна. Проведенный анализ показал, что в классических исследованиях процессов движения поверхностных волн от начального возмущения для дна наклонной формы наиболее часто встречающимися функциями в уравнении, описывающем

глубину жидкости, являются х, ух . Поэтому целесообразно

рассмотреть обобщающий случай математической модели движения волн для водоема с нелинейной функцией рельефа дна.

Система координат выбрана таким образом, что начало отсчета совмещено с границей рассматриваемой области (х0), ось Ох совмещена с

поверхностью пеыозмущепной жидкости и направлена в сторону берега, ось Оу - вертикально вниз.

В рамках теории мелкой воды волны на свободной поверхности жидкости переменной глубины представляют решение следующей задачи Коши для пространственно-одномерного уравнения гиперболического типа:

52<С д(„. .дП ,п

ах,0) = <р0(х), (2)

Я(Х, 0) = ъ(х). ' (3)

где £(х,() - отклонение свободной поверхности жидкости от равновесного состояния; х - горизонтальная координата; I - время; g - ускорение силы тяжести; Н(х) - глубина жидкости.

В используемом уравнении колебания не присутствует компонент, отвечающий за вязкое трение. Этот факт ограничивает область применения данной модели, что будет учтено при ее использовании. Другое ограничение на применимость модели - глубина, она составляет не менее половины длины волны, а именно Н(х)>0,5Я(х), где //(х) - глубина воды, отсчитываемая от невозмущенной поверхности воды; Я(х) - длина волны.

С учетом уравнения для глубины жидкости Н(х) в развернутой форме Н(х) = Н0(1 -х/х0)' , х<хц, 0<р<\, где На - максимальная глубина жидкости рассматриваемой области, х0 - граница области, уравнение (I) преобразуется следующим образом:

а2=я//0.

Решение поставленной задачи находится с помощью метода Рнмана и записывается в следующей форме:

1 Ь:

М 2 ,

'7== + --(-*<>-*) '

№ 2~р

2(2-,-,)

<Ро

а*. о-

л'о -

2-р

2-р а1 ,

ГИГ*-"

2-р

аг 2

2-Р

2

2(2/')

Я

<Ро

2-р си

Я

+ (х0-х)

2-р 2

2-р

Я

2 а\

2 )2{2-рК _ ¿П

2-р

2(2 - р) 2(2 - р)

(х0-х)

2 ^

2-р)

Зр-4

С*0 ~ х)

где

Ш 2

2-Р

а1 2

2-р

У\ ~--7= + ---Оо-*) 2 . /2=-7==+о--^О-*) 2 .

чЙ 2~Р

«V

2-р

\2

2-р

2-р

2-Р

Таким образом, описаиная математическая модель позволяет при фиксированном значении величины р находить решения частных задач.

Для данной задачи движения поверхностных волн в случае сложного профиля дна построена и исследована конечно-разностная модель па основе трехслойных схем с весами.

Погрешность аппроксимации граничного условия и сама схема имеет порядок аппроксимации 0(/г2 + г2).

Третья гласа посвящена построению, исследованию и численной реализации дискретной математической модели такого волнового процесса в прибрежной зоне, как выход волны па берег и ее разрушения.

В п. 3.1 рассмотрены основные принципы метода маркеров и ячеек (МАС-мстод) для задач волновой динамики. В работе применяется вариант данного метода, известный как метод «поправки к давлению».

В п. 3.2 строится математическая модель, разностная схема и численный алгоритм расчета выхода волны на берег и ее разрушения.

Для описания задачи волновой динамики жидкости а качестве исходных уравнений выбраны:

-уравнение Навье-Стокса:

«/+ш'г+=+(/«о;+(^у, (ю)

р

р>

ч'+т>'х + ™'г (п)

- уравнение неразрывности:

Уравнение (12) в случае несжимаемой жидкости примет вид:

«;+у;=о. (13)

Уравнения (10) - (13) рассматриваются при следующих граничных условиях:

- на дне области:

%(х,у,0 = 0, Уя{х,у,1) = 0,

рг}и'г(х,у,1) =-г,(1), рр\'х{х,у,1)=---гу( 0. (И) '■ и[(х,у,1) = 0, <(х,.у,0 = 0;

- на поверхности жидкости:

<(х,у,0 = 0, у:(.Х,7,/) = 0)

= = (15)

8Р

- на боковой границе:

ы;(х,>',0 = 0, <(^,0 = 0, = (16)

где К = - вектор скорости движения водной среды, Р - давление, //, // - коэффициенты турбулентного обмена по горизонтальному и вертикальному направлениям соответственно, g - ускорение свободного падения, /7 - плотность жидкости, тх, т - тангенциальное напряжение на дне

жидкости. Система координат выбрана таким образом, что ось Ох совмещена с поверхностью нсвозмущенной жидкости и направлена в сторону берега, ось Оу - вертикально вниз.

Расчетная область представляет собой прямоугольник. Для численной реализации дискретной математической модели поставленной задачи волновой гидродинамики введем равномерную сетку:

ц>„ = {/" = пт,х, =Шх,У1 = Д;л = ОД,/ = ЬТдГ,у=ОГ;

л^^ЛЧ^ЛЧЬ

где г - шаг по времени, Их, ку - шаги по пространству, И, - верхняя граница

по времени, Мх, Л^ - границы по пространству.

Предлагается применять непосредственную аппроксимацию. Расчет задач гидродинамики по методу поправок к давлению осуществляется в три этапа. На первом этапе на основе уравнений: и"*" - и"

--+ ии[ + ш' = (/«/)'х + (//М;)'_., (17)

г

-у"

считается поле скоростей. На втором этапе рассчитывается давление по уравнению:

(19)

На третьем этапе из соотношений:

= А (20)

г р ,

-I -а р

= — (21) г р

уточняется ноле скоростей по давлению.

Дискретная конечно-объемная модель волновой, гидродинамики

Расчетные ячейки представляют собой прямоугольники, они могут быть заполненными, частично заполненными или пустыми. Центры ячеек и узлы разнесены на /¡х/2 и ку/2 по координатам х и у соответственно. Заполненность ячейки (/, у) обозначается через о. .. Поле скоростей и давление рассчитываются в вершинах ячейки.

Степень заполненности ячейки определяется давлением столба жидкости внутри данной ячейки. Если среднее давление в узлах, которые относятся к вершинам рассматриваемой ячейки, больше давления столба жидкости внутри ячейки, то ячейка считается заполненной полностью (о,^ = 1). В общем случае

заполненность ячейки можно вычислить по следующей формуле: / ч П,

где Н (хI = < - функция Хевисайда.

10, х<0

Для построения дискретной конечно-объемной модели вводятся коэффициенты кй, к,, к2, кг, кА, описывающие заполненность областей, находящихся в окрестности ячейки. Значение к0 характеризует заполненность области П0: хе(х^,хм), уъ(ун,у^), к, - П,: хе(х,х,(|), у&{ун,у^), кг~ хфм,х,), уе(ун,у„), къ-аг: хе(хм,хч|), у^{уру^), /г4 - П4: хе(лгм,;см), .^(.Уи'У./)- Заполненные части областей П„

называются От, где т = 0..4.

Для корректной записи дискретной модели вводятся «маски» граничных условий: «¡¡, тг. Параметр /я, принимает значение 1 в случае, если узел Ц,]) принадлежит множеству граничных узлов, находящихся в придонной области, в противном случае /я, = 0. Параметр пи = 1 в случае, если узел принадлежит боковой границе, в противном случае т2= 0. С учетом введенных обозначений дискретная конечно-объемная модель представляется следующими уравнениями:

- сеточными уравнениями для расчета поля скоростей:

- для составляющей вектора скорости ы,}:

2 ку 21гу

п+<т/2 __ /»+<7/2 »/"+сг/2 _ 11П+<7/2

,• И; /. Ч И; /-!,/

Л,

п+а/2 __ я+<т/2 тсг/2

/4.1 М; . \ / Л/-1

+ (*»),; И.,-« _ (¿Д . ^^

л; V-ми-..о-и. кг

для составляющей пек гора скорости v¡ г. н'Т - V.!

и+ст/2 _ п + о/2

, . V;

2А

«+<т/2 и 1+С/2 _ п^аП

, .," ".У

ЛКХ^АП.,-

1К

2 А.

л+ег/2 __ п+о/2 <41, у чу

яю72 п*-а/2

2 А,

л+о72 _ п*<т(2 / 4-1,/

Л+-СТ/2 л+ст/2

1.7*1 Ч/

г,/+1/2

л+ст/2 __ я+ст/2

■ ЧУ-1

(23)

■сеточными уравнениями для расчета поля давления:

. / Л,

р -Р

А. + К ((А.) -(*4) Кс'-^у) / ч

-уравнениями для уточнения поля скоростей по давлению:

г>«+1 _ р»М ря+1 __ Рл+' \

2Ьгр К ' 2Ихр

рп+1 _ рп+1 рч+1 __ рл+1 ^

ЛЬ) 1к±_1к_, (* ) /'•/ -а

(24)

(25)

(26)

В п. 3.2.4 исследуется консервативность модели. Доказано, что достигается сохранение потока, что согласуется с физическим процессом.

В п. 3.2.5 находится погрешность аппроксимации модели. В результате получено, что порядок аппроксимации системы уравнений равен 0(г+.ЛД+ЛД

В п. 3.2.6 исследована устойчивость задачи волновой гидродинамики (22)-(26), представленной уравнениями в канонической форме.

Достаточное условие устойчивости схемы для метода «поправок к давлению» определяется на основе принципа максимума [Самарский, А. А., Гулин А. В. «Численные методы математической физикиий»] при ограничениях на шаг по пространству:

И-1 • И-

1 " 1(4) у «ми

или Яе< , где &е = и -Иц - числа Рейнольдса, и - скорость распространения водной среды, I - характерный размер области, ¡1 - коэффициент турбулентного обмена.

Для полей н"+1, V"' получены ограничения:

■; ' В п. 3.3 приведено описание попеременно-треугольного метода решения сеточных уравнений.

В п. 3.4 описано разработанное экспериментальное программное обеспечение «Waves» на базе ЭВМ, предназначенное для математического моделирования и демонстрации визуализации процесса выхода и обрушения волны на берег с учетом особенностей рельефа дна.

В п. 3.5 изложены результаты численных экспериментов.

Рис. 1 Поле вектора скорости

Рис. 2 [Толе вектора скорости и давление (давления отображено цветом)

В заключении кратко перечислены основные результаты, полученные в диссертационном исследовании.

РЕЗУЛЬТАТЫ, ПРЕДСТАВЛЕННЫЕ К ЗАЩИТЕ

1. Разработана математическая модель движения поверхностных волн в прибрежной зоне водоема для сложного профиля дна, представляющая собой обобщенный случай. Для данной задачи получено аналитическое решение, позволяющее определять уровень взволнованной поверхности жидкости с учетом особенностей конфигурации рельефа дна.

2. I Построена двумерная дискретная конечно-объемная модель, описывающая волновые гидродинамические процессы, учитывающая такие физические параметры, как сложная геометрия дна и уровня возвышения жидкости, турбулентный обмен, трение о дно.

3. Разработан эффективный алгоритм для решения задач волновой гидродинамики, учитывающий динамическое изменение уровня возвышения жидкости, и предложена методика построения сеток с динамически изменяющейся геометрией расчетной области.

4. ! Для решения задач волной гидродинамики использован адаптивный попеременно-треугольный итерационный метод вариационного типа, который позволяет минимизировать время расчета сеточных уравнений с несамосопряженной матрицей коэффициентов по сравнению с другими итерационными методами.

5. Построен программный комплекс, предназначенный для визуализации двумерных полей скоростей движения водной среды в случае математического моделирования наката и обрушения волны на берег, а также для прогнозирования возможных ситуаций, связанных с волновыми процессами в прибрежных акваториях, на основе которого получены картины течений водной среды, согласующиеся с реальным физическим процессом.

СПИСОК ОСНОВНЫХ Г'ЛНОТ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Работы, опубликованные в научных журналах, входящих в перечень ведущих рецензируемых журналов и изданий ВАК РФ

1. Тимофеева Е. Ф., Денисенко Т. И. Непрерывная математическая модель поверхностных волн от начальных возмущений и ее численная реализация // Вестник СевКав1ТУ. - Ставрополь: СевКавГТУ,2009, №3(20). С. 50-57.

2. Тимофеева Е. Ф. Построение и исследование математической модели процесса транспорта взвешенных наносов в прибрежных зонах водоеМЬв // Обозрение прикладной и промышленной математики. — М., 2009, том 16, вып. 5. С. 931 -932.

3. Тимофеева Е. Ф. Пространственно-многомерные модели движения волны на удалении от берега // Обозрение прикладной и промышленной математики. - М., 20Ö9, том ¡<5, вып. 6. С. 1133 - Í134. !

4. Тимофеева Е. Ф., Денисенко Т. И. Математическое моделирование движения поверхностных волн для водоема с нелинейной функцией рельефа дна // Обозрение прикладной и промышленной математики. - М., 2010, том 17, вып. 2. С. 305 - 306.

5. Тимофеева Е. Ф. Математическая модель движения волн для водоема с нелинейной функцией рельефа дна // Известия ЮФУ. Технические науки. -Таганрог: ЮФУ, 2010, №6. С. 95 - Í02.

Работы, опубликованные в сборниках научных трудов Международных и Всероссийских конференций

6. Тимофеева Е. Ф. Математическая модель движения волн для водоема с линейной функцией рельефа дна И Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования: Материалы III Международной научной конференции. Часть 1. - Воронеж: Научная книга, 2009. С. 105 - 108.

7. Тимофеева В. Ф. Непрерывная математическая модель формирования наносов в прибрежной, зоне водоемов // Методы и алгоритмы прикладной математики в технике, медицине и экономике. Материалы IX Международной научно-практической конференции, г. Новочеркасск, 24 фев. 2009 г. / Юж.-Рос. гос. техн. ун-т (НИИ). - Новочеркасск: ЮРГТУ, 2009. С. 7 - 11.

8. Тимофеева Е. Ф. Непрерывная математическая модель процессов перемещения наносов в прибрежной зоне // Материалы 38 научно-технической конференции по итогам работы профессорско-преподавательского состава СевКавГТУ за 2008. Т. 1. Естественные и точные науки. Технические и прикладные науки. - Ставрополь: СевКавГТУ, 2009. С. 46 - 47.

9. Тимофеева Е. Ф., Денисенко Т. И. Математическое моделирование формирования наносов в прибрежной зоне водоемов // Материалы Международного Российско-Абхазского симпозиума «Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики» и VII Школы молодых ученых «Нелокальные краевые задачи и проблемы современного анализа и информатики». - Нальчик-Эльбрус: КБНЦ РАН, 2009. С. 213 - 215.

Личный вклад автора

В работе [1] автором выполнена дискретизация модели, позволяющей определять уровень взволнованной поверхности жидкости, аналитическое исследование погрешности аппроксимации и устойчивости. Вклад автора в .работу [4] состоит в разработке математической модели движения поверхностных волн от начального возмущения в прибрежной зоне водоема с учетом особенностей конфигурации рельефа дна. В работе [9] автором построена модель формирования наносов в прибрежной зоне водоемов.

Печатается в авторской редакции

Подписано в печать 21.10.2010 Формат 60x84 1/! б Усл. печ. л. - 1,3 Уч.-изд. л. - 1,0 Бумага офсетная. Печать офсетная. Заказ №278 Тираж 100 экз. ГОУ ВПО «Северо-Кавказский государственный технический университет» 355028, г. Ставрополь, пр. Кулакова, 2

Издательство Северо-Кавказского государственного технического университета Отпечатано в типографии СевКавГТУ

Введение.

1. Непрерывные математические модели движения регулярных волн на удалении от берега.

1.1 Общие сведения о поверхностных волнах.

1.2 Обзор исследований по теории поверхностных волн.

1.3 Исследование поверхностных гравитационных волн.

1.4 Описание движения поверхностных гравитационных волн на мелководье.

2. Математические модели движения волн в прибрежной зоне для сложного профиля дна.

2.1 Исследование непрерывной модели движения волны для сложного профиля дна.

2.2 Построение и исследование конечно-разностной модели поверхностных волн для сложного профиля дна.

2.3 Алгоритм численной реализации дискретной модели поверхностных волн для наклонного дна.

3. Построение, исследование и численная реализация дискретной математической модели волновых процессов в прибрежной зоне.

3.1 Метод маркеров и ячеек (МАС-метод) для задач волновой динамики.

3.2 Разностная схема и численный алгоритм расчета выхода волны на берег и ее разрушения.

3.3 Попеременно-треугольный метод решения сеточных уравнений волновой гидродинамики.

3.4 Программная реализация волновых процессов в прибрежной зоне.

3.5 Результаты численных экспериментов.

Актуальность темы диссертационного исследования обусловлена широким кругом важных с теоретической и практической точек зрения задач волновой гидродинамики, решение которых требует научного обоснования^ разработки современных методов • анализа и развития эффективных методов математического моделирования сложных гидродинамических процессов.

Поверхность Мирового океана испещрена^ волнами- и является уникальной и исключительно разнообразной по формам и масштабам волновых движений жидкости. Береговая зона.морей,.океанов;.крупных озер и водохранилищ тесно связана с воздействием волн различного вида, приходящих из открытого моря или генерируемых в самой прибрежной/акватории.

Последние десятилетия характеризуются более интенсивным включением-прибрежных районов морей и- океанов в сферу хозяйственной и экономической деятельности страны. Причем структура этой деятельности меняется. Если традиционно моря и океаны ранее были преимущественно районами рыболовства и мореплавания, то сейчас все больше внимания привлекают и шельфовые зоны, которые превращаются в районы освоения, и добычи природных ресурсов:, Как правило, в прибрежных областях: располагаются крупные промышленные центры.

Поэтому, в связи с интенсивным развитием; производительных сил, хозяйственным освоением природных; ресурсов морей, перед исследователями этих географических районов стоит ряд важных задач, среди которых — задача повышения эффективности, надежности и. безопасности использования конкретного участка береговой линии. В свою очередь, это предопределяет необходимость точной оценки состояния прибрежных зон водоемов и разработки методов их рациональной эксплуатации; Большую актуальность приобретает прогноз морфодинамических изменений участков побережий, основанный на численном моделировании возможных ситуаций волновой активности, включая процессы трансформации и обрушения волн.

На основе гидродинамической теории оказывается возможным выполнить детализированные расчеты протекания соответствующих физических явлений.

В последние годы внимание исследователей, занимающихся проблемами математического моделирования волновых процессов, привлечено к изучению различных стадий эволюции волн, в том числе выхода волны на берег (наката волны), что в свою очередь вызывает необходимость построения новых и углубленного анализа уже существующих моделей, адекватно описывающих данные физические процессы.

Интенсивное развитие в области моделирования процессов волнения и их численной реализации способствует прогрессу в расчете приливов, штормовых нагонов, явлений бора, цунами и пр.

Прибрежные районы морей и устьевые области рек характеризуются мел-ководностью. Исследование приливов в таких районах осложняется тем, что волна существенно подвержена влиянию дна. В связи с этим возникает необходимость в построении математических моделей процессов выхода волны на.бе-рег с учетом особенностей конфигурации рельефа дна прибрежной акватории и суши. Ведь влияние волн на береговую зону может иметь двоякий характер. С одной стороны волны оказывают очень большое воздействие на динамику процессов образования берега, преобразование и изменение рельефов дна (аккумуляция прибрежных наносов; абразия береговой зоны); с другой - волны могут оказывать влияние на прибрежные сооружения.

Цель диссертационной работы — построение, исследование и численная реализация математических моделей задач волновой гидродинамики для случая мелководных водоемов, адекватно отражающих реальные гидродинамические процессы в прибрежной зоне.

Для достижения цели работы поставлены следующие задачи: разработка математической модели движения поверхностных волн от начального возмущения в прибрежной зоне водоема с учетом особенностей конфигурации рельефа дна; разработка математической модели, описывающей волновые процессы в прибрежной зоне, учитывающей такие физические процессы, как турбулентный обмен, трение о дно, сложная геометрия дна; построение дискретной конечно-объемной модели для задач волновой гидродинамики, а таюке аналитическое исследование погрешности аппроксимации, устойчивости и консервативности построенной дискретной модели, учитывающей механизм заполнения ячеек; разработка эффективных алгоритмов для решения задач волновой гидродинамики, учитывающих динамическое изменение уровня возвышения жидкости; создание комплекса программ, предназначенного для построения двумерных полей скоростей движения водной среды в случае математического моделирования наката и обрушения волны на берег, а также для прогнозирования возможных ситуаций, связанных с волновыми процессами в прибрежных акваториях, с целью предопределения строительства сооружений и использования конкретного участка береговой линии. построение динамики изменения поля скорости, давления и уровня возвышения жидкости.

Материалы и методы исследования

Для достижения основной цели исследования в диссертации использованы: основы теории гидродинамики для мелководных акваторий, методы математической физики, интегрального и дифференциального исчислений. При проведении численных экспериментов по построенным моделям используются методы вычислительной математики и специализированные программные срег ды (МаШСАВ). Используемые численные методы реализованы на языке «С++».

Научная новизна работы

1. Разработана математическая модель движения волн в прибрежной зоне для сложного профиля* дна, представляющая собой обобщенный случай. Для данной задачи получено аналитическое решение, позволяющее: определять уровень взволнованной поверхности жидкости- с учетом? особенностей; конфигурации рельефа-дна;

2. Построена двумерная» конечно-объемная: модель выхода волны, на берег и ее разрушения, учитывающая такие физические параметры,, как сложная геометрия дна, турбулентный обмен, трение о дно, динамическое изменение уровня; возвышения? жидкости^ ш предложена; методика построения. сеток с динамически изменяющейся геометрией расчетной области.

3. Для решения задач волной гидродинамики использован адаптивный попеременно-треугольный итерационный метод вариационного типа, который? позволяет минимизировать время; расчета сеточных уравнений с несамосопряженной; матрицей коэффициентов по. сравнению с другими итерационными методами:

4. Построен программный! комплекс для расчета задач; волновой гидродинамики, на основе ко торого получены картины течений водной среды, согласующиеся с.реальным^физическим процессом:

Достоверность научных положений и выводов

Достоверность и обоснованность полученных теоретических результатов и формулируемых на их основе практических выводов диссертации обусловлена корректностью производимых математических преобразований, базирующихся на: апробированном; математическом аппарате (методах математической физики, интегрального- и дифференциального исчислений; методах вычислительной математики) и корректным применением специализированных сред. Получено совпадение численных расчетов с реальными процессами.

Научная и практическая значимость работы

Возможное применение на практике полученных в диссертации математических моделей может быть необходимо для обоснования проектирования и строительства гидротехнических сооружений, для прогноза формирования дна (в частности наносов) с целью предопределения строительства сооружений и планирования использования конкретного участка береговой линии, а также для определения высоты оградительных стенок в портах и на побережье.

Апробация работы

Основные результаты диссертации докладывались на научном семинаре кафедры прикладной математики и компьютерных технологий СевероКавказского государственного технического университета.

Отдельные результаты работы докладывались и обсуждались на:

Международном Российско-Абхазском симпозиуме «Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики» и VII Школе молодых ученых «Нелокальные краевые задачи и проблемы современного анализа и информатики» (г. Нальчик, п. Эльбрус, 17 — 22 мая 2009 г.); научных заседаниях осенней открытой сессии X Всероссийского Симпозиума по прикладной и промышленной математике (г. Сочи, 1 — 8 октября 2009 г.); научных заседаниях XVII Всероссийской Школы-коллоквиума по стохастическим методам, весенней открытой сессии XI Всероссийского Симпозиума по прикладной и промышленной математике, II Регионального макросимпозиума «Насущные задачи прикладной математики в Ставрополье» (г. Кисловодск, 1-8 мая 2010 г.).

Публикации и личный вклад автора

По теме диссертации опубликовано 9 печатных работ, в том числе в отечественных реферируемых журналах, входящих в список изданий, рекомендо-ванныйВАК.

Работы, опубликованные в научных журналах, входящих в перечень ведущих рецензируемых журналов и изданий ВАК РФ

1". Тимофеева Е. Ф., Денисенко Т. И. Непрерывная математическая модель поверхностных волн от начальных возмущений и ее численная реализация // Вестник СевКавГТУ. - Ставрополь: СевКавГТУ, 2009, №3(20). С. 50 -57.

2. Тимофеева Е. Ф. Построение и исследование математической модели процесса транспорта взвешенных наносов в прибрежных зонах водоемов // Обозрение прикладной и промышленной^ математики; - М., 2009, том 16, вып. 5. С. 931 -932.

3. Тимофеева Е. Ф. Пространственно-многомерные модели движения волны на удалении• от берега // Обозрение прикладной; и промышленной математики. - М;, 2009; том 16, вып. 6. С. 1133 — 1134.

4. Тимофеева Е. Ф., Денисенко Т. И. Математическое моделирование движения поверхностных волн для водоема, с нелинейной функцией рельефа-дна // Обозрение прикладной и промышленной математики. — М., 2010, том 17, вып. 2. С. 305-306.

5; Тимофеева Е. Ф. Математическая модель движения волн для водоема с нелинейной функцией рельефа дна // Известия ЮФУ. Технические науки. — Таганрог: ЮФУ, 2010, №6. С. 95 - 102.

Работы, опубликованные в сборниках научных трудов Меяедународ-ных и Всероссийских конференций

6. Тимофеева Е. Ф. Математическая модель.движения волн для водоема с линейной функцией рельефа дна // Современные проблемы прикладной-математики и математического. моделирования: Материалы III Международной научной конференции. Часть 1. -Воронеж: Научная книга, 2009. С.105 - 108.

7. Тимофеева Е. Ф. Непрерывная математическая модель формирования наносов в прибрежной зоне водоемов // Методы и алгоритмы прикладной математики в технике, медицине и экономике. Материалы IX Международной научно-практической конференции, г. Новочеркасск, 24 фев. 2009 г. / Юж.-Рос. гос. техн. ун-т (НПИ). - Новочеркасск: ЮРГТУ, 2009. С. 7 - 11.

8. Тимофеева Е. Ф. Непрерывная математическая модель процессов перемещения наносов в прибрежной зоне // Материалы 38 научно-технической конференции по итогам работы профессорско-преподавательского состава СевКавГТУ за 2008. Т. 1. Естественные и точные науки. Технические и прикладные науки. - Ставрополь: СевКавГТУ, 2009. С. 46 — 47.

9. Тимофеева Е. Ф., Денисенко Т. И. Математическое моделирование формирования наносов в прибрежной зоне водоемов // Материалы Международного Российско-Абхазского симпозиума «Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики» и VII Школы молодых ученых «Нелокальные краевые задачи и проблемы современного анализа и информатики». - Нальчик-Эльбрус: КБНЦ РАН, 2009. С. 213 - 215.

Структура и объем работы

Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка используемой литературы. Объем работы составляет 188 страниц, включая 36 иллюстраций и 1 таблицу.

Основные результаты, полученные в диссертационном исследовании и выносимые на защиту:

1. Разработана математическая модель движения поверхностных волн в прибрежной зоне водоема для сложного профиля дна, представляющая собой обобщенный случай. Для данной задачи получено аналитическое решение, позволяющее определять уровень взволнованной поверхности жидкости с учетом особенностей конфигурации рельефа дна.

2. Построена двумерная дискретная конечно-объемная модель, описывающая волновые гидродинамические процессы, учитывающая такие физические параметры как: сложная геометрия дна и уровня возвышения жидкости, турбулентный обмен, трение о дно.

3. Разработан эффективный алгоритм для решения задач волновой гидродинамики, учитывающий динамическое изменение уровня возвышения жидкости, и предложена методика построения сеток с динамически изменяющейся геометрией расчетной области.

4. Для решения задач волной гидродинамики использован адаптивный попеременно-треугольный итерационный метод вариационного типа, который позволяет минимизировать время расчета сеточных уравнений с несамосопряженной матрицей коэффициентов по сравнению с другими итерационными методами.

5. Построен программный комплекс, предназначенный для визуализации двумерных полей скоростей движения водной среды в случае математического моделирования наката и обрушения волны на берег, а также для прогнозирования возможных ситуаций, связанных с волновыми процессами в прибрежных акваториях, на основе которого получены картины течений водной среды, согласующиеся с реальным физическим процессом.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Работа посвящена разработке математических моделей для расчета процессов волновой активности, включая трансформацию и обрушение волн.

1. Арсеньев, А. С. Динамика морских длинных волн / А. С. Арсеньев, Н. К. Шелковников. - М. : Изд-во МГУ, 1991. 88 с.

2. Бахвалов. Н. С. Численные методы : учебное пособие / Н. С. Бахвалов, Н. П. Жидков, Г. М. Кобельков. М. : БИНОМ. Лаборатория знаний, 20041 636 с.

3. Бахвалов, Н. С. Численные методы : Учебное пособие для студентов физико-математических специальностей вузов / Н. С. Бахвалов, Н. П. Жидков, Г. М. Кобельков. 6-е изд. М. :БИНОМ; Лаборатория знаний, 2008. 636 с.

4. Бреховских, Л. М. Введение в механику сплошных сред: В приложении к теории волн / Л. М. Бреховских, В. В. Гончаров. — М. : Наука, 1982, 335 с.

5. Бэтчелор, Дж. Введение в динамику жидкости / Дж. Бэтчелор. М. : Мир, 1973.

6. Ван-Дайк, М. Альбом течений жидкости и газа. / Перевод с английского Л. В. Соколовской. М. : Мир, 1986. 184 с.

7. Вержбицкий, В. М. Основы численных методов : Учеб. пособие для вузов / В. М. Вержбицкий. М. : Высш. шк., 2002. 840 с.

8. Вержбицкий, В. М. Численные методы. Математический анализ и обыкновенные дифференциальные уравнения : Учеб. пособие для вузов / В. М. Вержбицкий. М. : Высш. шк., 2001. 382 с.

9. Вольцингер, Н. Е. Основные океанологические задачи теории мелкой воды / Н. Е. Вольцингер, Р. В. Пясковский. — Л. : Гидрометеоиздат, 1968.

10. Вольцингер, Н. Е. Длинноволновая динамика прибрежной зоны / Н. Е. Вольцингер, К. А. Клеванный, Е. Н. Пелиновский. — JI. : Гидрометеоиздат, 1989. 272 с.

11. Габов, С. А. Об уравнении Уизема // ДАН СССР. 1978. Т. 242. №5. С. 993 996.

12. Габов, С. А. Введение в теорию нелинейных волн / С. А. Габов. М. : Изд-воМГУ, 1988, 176 с.

13. Гилл, А. Динамика атмосферы и океана. В 2-х т. / А. Гилл. М. : Мир,1986.

14. Глуховский, Б. X. Исследование морских ветровых волн / Б. X. Глуховский. JL, 1966.

15. Глуховский, Б. X. Исследование морского ветрового волнения / Б. X. Глуховский. Л., 1966. 284 с.

16. Григорьев, Ю. Н. Численные методы «частицы в ячейках» / Ю. Н. Григорьев, В. А. Вшивков. Новосибирск: Наука, Сибирская издательская фирма РАН, 2000. 184 с.

17. Давидан, И. Н. Проблемы исследования и математического моделирования ветрового волнения / И. Н. Давидан. СПб. : Гидрометеоиздат, 1995. 472 с.

18. Давидан, И. Н. На встречу со штормами / И. Н. Давидан, Л. И. Лопатухин. Л. : Гидрометеоиздат, 1982. 136 с.

19. Давидан, И. Н. Ветровое волнение в мировом океане / И. Н. Давидан, Л. И. Лопатухин, В. А. Рожков. Л. : Гидрометеоиздат, 1985. 256 с.

20. Давидан, И. Н. Ветер и волны в океанах и морях. Справочные данные. Регистр СССР / И. Н. Давидан, Л. И. Лопатухин, В. А. Рожков. Л. : Транспорт, 1974.

21. Дебольский, В. К. Динамика русловых потоков и лито динамика прибрежной зоны моря / В. К. Дебольский. -М. : Наука, 1994. 303 с.

22. Железняк М. И., Пелиновский Е. Н. Физико-математические модели наката цунами на берег. // Накат цунами на берег. — Горький : ИПФ, 1985.

23. Жуковский, Н. Е. Собрание сочинений. Том. 2. Гидродинамика / Н. Е. Жуковский. М. : ГИТТЛ, 1949.

24. Захаров В. В., ШабатА. Б. Точная теория двумерной самофокусировки и одномерной самомодуляции волн в нелинейных средах. ЖЭТФ, 1971. Т 61, вып. 1(7), С. 118-134.

25. Инфельд, Э. Нелинейные волны, солитоны и хаос / Э. Инфельд, Дж. Роуландс. -М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006.

26. Кадомцев Б. Б., Петвиашвили В. И. Об устойчивости уединенных волн в среде со слабой дисперсией // Доклады Академии наук СССР. 1970.

27. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным равнениям.-М., 1965.

28. Коновалов А. Н. К теории попеременно-треугольного итерационного метода// Сибирский математический журнал, 2002., 43:3, С. 552 572'.

29. Косьян,Р. Д. Натуральные исследования механизмов взвешивания наносов нерегулярными волнами / Р. Д. Косьян, С. Ю. Кузнецов,- X. Кунц, И. С. Подымов, Н. В. Пыхов. Калининград : Изд-во КГУ, 2001.

30. Кошляков, Н. С. Дифференциальные уравнения математической физики / Н. С. Кошляков, Э. Б. Глинер, М. М. Смирнов. — М., 1962.

31. Кудряшов Н. А. Нелинейные волны и солитоны // Соросовский образовательный журнал. 1997. №2. С. 85-91.

32. Кузнецов, С. Ю. Достоинства и недостатки энергетического прогноза транспорта наносов / Берега морей и внутренних водоемов. Актуальные проблемы геологии^ геоморфологии и динамики. — Новосибирск, 1999. 272 с.

33. Крылов, Ю. М. Ветер, волны и морские порты / Ю. М. Крылов. — Л.: Гидрометеоиздат, 1986, 264 с.

34. Лавренов, И. В. Математическое моделирование ветрового волнения в пространственно-неоднородном океане / И. В. Лавренов. СПб. : Гидрометеоиздат, 1998. 500 с.

35. Лаврентьев, М. А. Проблемы гидродинамики и их математические модели / М. А. Лаврентьев, Б. В. Шабат. М. : Наука, 1973. 416 с.

36. Лайтхилл, Дж. Волны в жидкостях / Дж. Лайтхилл М. : Мир, 1981.598 с.

37. Ламб, Г. Гидродинамика / Г. Ламб. М. : ГИТТЛ, 1947.

38. Ландау, Л. Д. Гидродинамика / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц М. : Наука, 1986. 736 с.

39. Лаппо, Д. Д. Нагрузки и воздействия ветровых волн на гидротехнические сооружения. Теория. Инженерные методы. Расчеты / Д. Д. Лаппо. С. С. Стрекалов, В. К. Завьялов; под ред. Д. Д. Лаппо. Л. : Изд-во ВНИИГ им. Б. Е. Веденеева, 1990. 432 с.

40. Леонтьев, И. О. Прибрежная динамика: волны, течения потоки наносов / И. О. Леонтьев. М. : ГЕОС, 2001. 272 с.

41. Лонгрен, К. Солитоны в действии / К. Лонгрен, Э. Скотт — М. : Мир,1982.

42. Марчук, Г. И. Методы расщепления / Г. И. Марчук. М. : Наука, 1989.

43. Монин, А. С. Изменчивость Мирового океана / А. С. Монин, В. М. Каменкович, В. Г. Корт. Л. : Гидрометеоиздат, 1974.

44. Монин, А. С. Турбулентность и микроструктура в океане// Успехи физических наук. 1973. Т. 109. Вып. 2.

45. Монин, А. С. Явления на поверхности океана / А. С. Монин, В. П. Красицкий. Л. : Гидрометеоиздат, 1985. 375 с.

46. Миура, Р. М. Введение в теорию солитонов и метод обратной задачи рассеяния на примере уравнения Кортевега-де Вриза // Солитоны в действии. -М. :Мир, 1981. С. 11-31.

47. Некрасов, А. И. Точная теория волн установившегося вида на поверхности тяжелой жидкости // А. И. Некрасов. Собр. соч. в 2 т. М. : Физматгиз, 1961.

48. Овсяников, Л. В. Динамика сплошной среды / Л. В. Овсяников. — Новосибирск, 1973.

49. Овсянников, Л. В. Нелинейные проблемы теории поверхностных и внутренних волн / Л. В. Овсянников, Н. И. Макаренко, В. И. Налимов. Новосибирск, 1985.

50. Пелиновский, Е. Н. Нелинейная динамика волн цунами / Е. Н. Пелиновский. Изд-во Горький А. Н. Институт прикладной физики, 1982. 228 с.

51. Пелиновский, Е. Н. Гидродинамика волн цунами / Е. Н. Пелиновский. — Н. Новгород : 1996. 252 с.

52. Пелиновский, Е. Н. Волны убийцы: факты, теория и моделирование / Успехи современного естествознания, Всероссийская научная конференция. М. 2007. №9.

53. Поттер, Д. Вычислительные методы в физике / Д. Поттер. М. : Мир,1975.

54. Ржеплинский, Г. В. Режим ветрового волнения антарктической области океана / Г. В. Ржеплинский. — М.: Наука, 1964.

55. Ржеплинский, Г. В. Исследование режима ветрового волнения океанов и расчеты параметров волн. Труды ГОИН. 1972. Вып. 3. 184 е.

56. Роуч, П. Вычислительная гидродинамика / П. Роуч. — М. : Мир, 1980.

57. Самарский, А. А. Численные методы. Учеб. пособие для вузов / А. А. Самарский, А. В. Гулин. М. : Наука, 1989. 432 с.

58. Самарский, А. А. Аддитивные схемы расщепления для задач математической физики / А. А. Самарский, П. Н. Вабищевич. М. : Наука, 1999. 319 с.

59. Самарский, А. А. Математическое моделирование: Идеи. Методы. Примеры / А. А. Самарский, А. П. Михайлов. М. : Физматлит, 2001. 320 с.

60. Самарский, А. А. Введение в численные методы: учебное пособие для вузов по специальности «Прикладная математика» / А. А. Самарский. — М. : Наука, 1987. 286 с.

61. Самарский, А. А. Введение в численные методы: учебное пособие для вузов / А. А. Самарский. СПб: Лань, 2005. 288 с.

62. Самарский, А. А. Теория разностных схем / А. А. Самарский. М. : Наука, 1983.

63. Самарский, А. А. Численные методы математической физики. 2 изд. / А. А. Самарский, А. В. Гулин. М. : Научный мир, 2003. 316 с.

64. Сретенский, Л. Н. Теория волновых движений жидкости / Л. Н. Сретенский. М. : Наука, 1977.

65. Стокер, Дж. Дж. Волны на воде. Пер. с англ. М. : Иностр. литер., 1959.618 с.

66. Сухинов А. И., Зуев В. Н., Семенистый В. В. Поверхностные волны от начальных возмущений в случае изменения глубины дна по линейному закону. Известия вузов. Северо-Кавказский регион, естественные науки. 2004. №4. С.31-33.

67. Тимофеева Е. Ф., Денисенко Т. И. Непрерывная математическая модель поверхностных волн от начальных возмущений и ее численная реализация // Вестник СевКавГТУ. Ставрополь: СевКавГТУ, 2009. №3(20). С. 50 - 57.

68. Тимофеева Е. Ф. Построение и исследование математической модели процесса транспорта взвешенных наносов в прибрежных зонах водоемов // Обозрение прикладной и промышленной математики. — М: 2009. Т. 16. Вып. 5. С. 931 -932.

69. Тимофеева Е. Ф. Пространственно-многомерные модели движения волны на удалении от берега // Обозрение прикладной и промышленной математики. М. 2009. Т. 16. Вып. 6. С. 1133 - 1134.

70. Тимофеева Е. Ф., Денисенко Т. И. Математическое моделирование движения поверхностных волн для водоема с нелинейной функцией рельефа дна // Обозрение прикладной и промышленной математики. — М. 2010. Т. 17. Вып. 2. С. 305 306.

71. Тимофеева Е. Ф. Математическая модель движения волн для водоема с нелинейной функцией рельефа дна // Известия ЮФУ. Технические науки. Таганрог: ЮФУ, 2010. №6. С. 95 - 102.

72. Уизем, Дж. Линейные и нелинейные волны / Дж. Уизем. М. : Мир,1977.

73. Флетчер, К. Вычислительные методы в динамике жидкостей: пер. с англ.. В 2 ч. Ч. 1. / К. Флетчер. -М. : Мир, 1991. 504 с.

74. Флетчер, К. Вычислительные методы в динамике жидкостей: пер. с англ.. В 2 ч. Ч. 2. / К. Флетчер. М. : Мир, 1991. 552 с.

75. Харлоу, Ф., Численный метод частиц в ячейках для задач гидродинамики. Вычислительные методы в гидродинамике / Ф. Харлоу. М. : Мир, 1967. С. 316-342.

76. Чистяков А. Е. Математическое моделирование трехмерных гидрофизических процессов в прибрежных районах / Диссертационная работа. Таганрог : ТТИЮФУ, 2010. 153 с.

77. Чистяков А. Е., Сухинов А. И. Модель движения водной среды в мелководных водоемах. Альманах современной науки и образования. Тамбов: «Грамота», 2008. С. 217 - 220.

78. Шамин, Р. В. Вычислительные эксперименты в моделировании поверхностных волн в океане / Р. В. Шамин. М. : Наука, 2008. 133 с.

79. Шлихтинг, Г. Теория пограничного слоя : пер. с нем. / Г. Шлихтинг. Под. ред. Лойцянского Л. Г. М. : Наука, 1974. 712 с.

80. Шокин, Ю. И. Вычислительный эксперимент в проблеме цунами / Ю. И. Шокин, Л. Б. Чубаров, А. Г. Марчук, К. В. Симонов. Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1989. 168 с.

81. Шулейкин, В. В. Физика моря. 3 изд. / В. В. Шулейкин. М. 1953.

82. Эйлер, Л. Общие принципы движения жидкостей. Mem. Acad. коу. sci. et belles-lettres. Berlin, 11 (1755), 274 315, 1757 (Opera omnia, 11-12).

83. Cauchy, A. Theorie de la propagation des ondes a la surface d'un fluide pesant d'une profondeur indefinie // Oeuvres Completes d'Augustin Cauchy. 1815. P. 5.

84. Cokelet, E. D. Steep gravity waves in water of arbitrary uniform depth // Philos.Trans. Roy. Soc. London B.1977. Vol. 286. P. 183 230.

85. Gardner С S., Greene J. M., Kruskal M. D. and Miura R. M. Method for solving the Korteweg-de Vries equation // Phys. Rev. Lett. 1967. Vol. 19, P. 1095 -1097.

86. Hasselmann, K. On the nonlinear energy transfer in a gravity-wave spectrum, part 1: General Theory. J. FluidMech., 12, 1962. P. 481 500.

87. Hasselmann, K. Weak interaction theory of ocean waves. Basic Developments in Fluid Dynamics, 2, 1968. P. 117 182.

88. Kruskal, M. D. Miura R. M., Gardner C. S. Korteweg-de Vries equation and generalizations. V. Uniqueness and nonexistence of polynomial conservation laws J. Math. Phis. 1970. Vol. 11. No. 3. P. 952 - 967.

89. Lax, P. D. 1968 Integrals of nonlinear equations of evolution and solitary waves // Commun. Pure and Appl. Math. V. 21. pp. 467 490.

90. Levi-Civita, T. Determination rigoureuse des ondes permanentes d'ampleur .nie. Math. Ann. 93, 1925/P. 264-314.

91. Nielsen P. Explicit formulae for practical wave calculations. // Coastal Eng., 1982.Vol. 6. P. 389 398.

92. Peregrine, D. H. Long waves on a beach // J. Fluid Mech. 1967 V. 27.1. No. 4.

93. Russel, J. S. Report on waves. London, 1845.

94. Stokes, G. G. On the theory of oscillatory waves. Trans. Camb. Phil. Soc. 8,1847. P. 441-473.

95. Struik, D. Dertermination rigoureuse des ondes irrotationnelles perriodiques dans un canal a'profondeur .nie. Math. Ann. 95, 1926. P. 595-634.

96. Wagner, W. G., Haus H. A., Marburger J. H. Large-scale self-trapping of optical beams in the paraxial ray approximation. Phis. Rev. 1968, vol. 175, No. l.P. 256-266.

97. Whitham, G. B. A general approach to linear and non linear dispersive waves using a Lagrangian // J. of Fluid Mechanics. 1965. V. 22. P. 273 - 283.

98. Whitham, G. Non-linear dispersive waves, Proc. Roy. Soc. Ser. A, 1965. P. 238-261.

99. Yuen H. C., Lake B. M. A new model for nonlinear wind waves. Part. 59. Physical model and experimantal evidence. . Rep.Res.Inst.Appl.Mech., Kyushu Univ., 1975. V. 22. P. 357 376.

100. Zabusky N. J. and Kruskal M. D. Interaction of solitons in a collision-less plasma and the recurrence of initial states // Phys. Rev. Lett. 1965. V. 15. P. 240.