автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование распространения нелинейных волн на поверхности воды

Введение

Глава 1. Периодическое решение уравнений Буссинеска над наклонным дном

1.1 Введение

1.2 Математическая формулировка теории нелинейных волн на поверхности воды

1.3 Уравнения Буссинеска для средней скорости и смещения

1.4 Переход к одному уравнению

1.5 Периодическая задача

1.6 Вычисление объема затекающей жидкости

1.7 Примеры

1.8 Дисперсионные характеристики

2.2 Уравнение Буссинеска для потенциала скорости 44

2.3 Периодическое решение 47

2.4 Исследование дисперсионных характеристик 51

2.5 Применение решений к вычислению наката 52

2.6 Заключение 55 Рисунки к главе 2 55

Глава 3. Нестационарная нелинейная модель взаимодействия гравитационных поверхностных волн с внутренней волной 59

3.1 Введение 59

3.2 Математическая модель 61

3.3 Преобразование основных уравнений 65

3.4 Решение первого порядка 68

3.5 Типы решений 70

3.6 Комплексные собственные скорости волн, излученных неоднородным течением 72

3.7 Примеры эволюции волн 73

3.7.1 Действительные собственные скорости 74

3.7.2 Комплексные собственные скорости 75

3.8 Заключение 75 Рисунки к главе 3 77

Глава 4. Поверхностные волны над донным препятствием эллипсоидальной формы 82

4.1 Введение 82

4.2 Математическая модель 84

4.3 Лучевые решения и их каустики 88

4.4 Угол острия волновой каустики для отмели с медленно изменяющейся глубиной 92

4.5 Примеры 95

4.6 Заключение 98 Рисунки к главе 4 99

Заключение 104

Литература 105

Введение

Многие нелинейные задачи о движении и взаимодействии волн разнообразной физической природы не могут быть точно решены, в связи с этим, широкое распространение получили различные приближенные математические модели, при построении которых особое значение имеют методы линеаризации и различные варианты методов возмущений. Эти методы основываются на использовании асимптотических разложений по выделенному малому параметру.

С другой стороны, для сложных нелинейных многопараметрических моделей можно найти решения численными методами, которые успешно применяются благодаря развитию и широкому распространению компьютерной техники. Однако при исключительно численном подходе требуется многократное решение задачи при изменении того или иного параметра, в то время как аналитическое решение может давать явную зависимость от различных параметров задачи [Вабищевич, 1993].

Целью настоящей диссертационной работы является построение приближенных математических моделей движения волн на свободной поверхности жидкости в поле силы тяжести (гравитационных волн), с учетом влияния рельефа дна и подводных течений, и поиск их аналитических решений. Первые две главы посвящены уравнениям Буссинеска высокого порядка и их применению к вычислению наката гравитационных поверхностных волн на наклонный берег. Накат классически определяется двумя способами: как наибольшее расстояние Rh, на которое волна заходит на берег (горизонтальный накат), или как наибольшая высота Rv, на которое вода поднимается (вертикальный накат). В случае плоского дна эти две величины связаны простым соотношением Rv = sRh, где s - уклон дна.

Точных математических методов прогноза наката не существует. Разработано множество приближенных теорий, каждая из которых имеет свои достоинства и недостатки. Даже в случае регулярных волн трудно определить накат, исходя из их характеристик волн на глубокой воде. Кроме того, большинство волн обрушивается, не достигнув берега. Следует еще отметить, что на практике мы обычно не встречаем регулярных волн, а наблюдаем некую сложную смесь волн различных длин, амплитуд и периодов. Однако без ясного понимания того, что происходит в регулярном случае, мы не можем рассматривать нерегулярные. Поэтому в большинстве работ рассматриваются именно регулярные волны.

Случай стоячих волн над наклонным дном был рассмотрен Мише [Miche 1951] и Исааксоном [Isaacson, 1950]. Используя линейную теорию, они получили простейшую формулу, связывающую относительный накат (отношение наката к амплитуде волны на глубине) с уклоном дна где о0 - амплитуда волн на глубине, а - угол уклона дна. Санфлю [Sanflou 1928] и Мише [Miche, 1944] рассмотрели накат волн на вертикальную стену и получили решение в виде степенного ряда.

Келлером [Keller, 1961] рассмотрен неоднородный профиль дна. На глубокой воде им применено приближение геометрической оптики, а вблизи берега - уравнения мелкой воды. Получена более точная формула для вычисления наката где hо - глубина, со - частота, у6 = o)2/g, kQ - корень уравнения к0 tanh р hQk0 = 1.

В 1964 году Келлеры [Keller, 1965] применили теорию мелкой воды для кусочно-ровного дна и получили выражение для относительного наката через Бесселевы функции первого и второго рода.

В 1958 году Кариа и Гринспен [Carrier and Greenspan, 1958] получили решения нелинейных уравнений мелкой воды в неявном виде при помощи преобразования Лежандра. Получен алгоритм построения возвышения свободной поверхности и вычисления наката.

Мазова и Пелиновский [Мазова и Пелиновский, 1981] обсуждают применимость в данном случае линейных уравнений и приводят простые расчетные формулы для различных форм начального импульса.

В работе Козлова [Козлов, 1982] рассмотрен бассейн, профиль дна которого содержит один негоризонтальный участок, глубина на нем задается формулой И = 1%(х1 L)!3, где и - некоторые положительные числа. Вне этого участка дно предполагается горизонтальным. Приведены формулы для вычисления возвышения свободной поверхности, полученные из уравнений мелкой воды. Для случая плоского дна описан эксперимент и проведено его сравнение с теоретическими результатами.

Хибберд и Перегрин [Hibberd and Peregrine, 1979] исследовали накат бора на берег, используя схему Лакса-Вендроффа.

Так как наибольший ущерб и разрушения наносят именно волны цунами, то было сделано много теоретических и экспериментальных исследований наката уединенных волн [Synolakis, 1987; Spievogel, 1976]. В работе Лиу [Liu et al, 1995] исследован накат уединенных волн на остров, линия берега которого близка к окружности. Проведены лабораторные эксперименты для широкого спектра параметров, результаты которых хорошо согласуются с теорией.

Детальное исследование наката дисперсионных обрушивающихся волн было сделано Масселом и Пелиновским [Massel and Pelinovsky, 2001]. Рассматривался достаточно сложный профиль дна, в одной из областей которого глубина представляет собой линейную функцию удаленности от берега, в другой глубина - произвольная функция дна. Правее и левее этих областей дно горизонтально. В области, близкой к берегу, применены уравнения мелкой воды, на глубокой воде применяется так называемое уравнение пологого откоса (mild slope equation), впервые введенные в употребление Беркоффом [Berkhoff, 1973].

Рассмотрены конкретные примеры и произведено сравнение с экспериментом.

Еще одна характеристика меры затопления суши - это максимальная высота волны на так называемом урезе (урезом называется линия раздела воды и берега). Пелиновским показано, что в рамках линейной теории эта величина равна накату. Оценке этой величины посвящено множество публикаций [Козлов, 1981; Пелиновский, 1982; Шулейкин, 1963]

В настоящей работе мы применяем к вычислению наката уравнения гидродинамики в приближении Буссинеска, часто называемые просто уравнениями Буссинеска. Это целый класс уравнений, которые получаются из системы основных уравнений гидродинамики, описывающих волны на поверхности воды. Ключевым моментом их вывода является разложение потенциала скорости по степеням вертикальной координаты. Такое разложение было впервые проделано Лагранжем [Grange, 1788], развито Буссинеском [Boussinesq, 1872], и получило современный вид в работах Фридрихса [Friedrichs, 1948]. Различия между разными уравнениями этого класса определяются выбором неизвестной функции, а также порядком разложения. Выводу и исследованию различных модификаций этих уравнений в настоящее время посвящено множество работ.

С уравнениями Буссинеска связано два малых параметра: это нелинейность е, равная отношению амплитуды к глубине, и дисперсия //, равная отношению глубины к длине волны. Обычно предполагают е = 0(М2).

Буссинеск рассмотрел случай горизонтального дна, предполагая, что вертикальная скорость линейно меняется от нуля на дне до максимума на свободной поверхности. Мей и Мехоте [Mei and Le M'ehaut'e, 1966] рассмотрели одномерный случай неровного дна. Перегрином [Peregrine, 1967] получены называемые теперь "классическими" уравнения Буссинеска в двумерном случае для неровного дна. Автор представил две версии уравнений: одно из них выражено через функцию скорости на невозмущенной поверхности жидкости, другое - через усредненную по глубине скорость.

Следует отметить, что уравнений Буссинеска много и они отличаются по внешнему виду из-за того, что, во-первых, произволен выбор базовой функции, а во-вторых, члены высокого порядка точности неоднозначны. Главный недостаток этих уравнений - сингулярность в дисперсионном соотношении. Улучшению дисперсионных характеристик посвящено множество работ.

Эффективность аппроксимации Паде была впервые показана Виттингом [Witting, 1984]. В 1991 году Мадсен и др. [Madsen et al, 1991] использовали эту идею и вывели новую систему уравнений Буссинеска, дисперсионные характеристики которой соответствовали разложению Паде [2,2] по kh квадрата фазовой скорости линейной теории Стокса. Сократив в Л уравнении члены порядка /г, они дважды продифференцировали его, умножили на свободный коэффициент и результат прибавили к исходному уравнению. Свободный коэффициент был выбран так, чтобы дисперсионное соотношение полученного уравнения соответствовало разложению Паде [2,2].

Аналогичное дисперсионное соотношение было получено Нвогу [Nwogu, 1993] посредством другого подхода: он предложил функцию потенциала скорости (ра на произвольном уровне za в качестве базовой. Свободный коэффициент а был выбран так (« = -0.39), чтобы дисперсионное соотношение опять-таки соответствовало разложению Паде [2,2]. Мадсен и Шаффер [Madsen and Schaffer, 1995] скомбинировали два этих подхода и получили дисперсионные характеристики, соответствующие разложению Паде [4,4].

В 1953 году Серре [Serre, 1953] представил альтернативные классическим уравнения Буссинеска. Он предположил, что горизонтальная скорость не зависит от z, в то время как вертикальная скорость зависит от z линейно. Работа была мало кем замечена за пределами Франции и почти идентичные уравнения были представлены Су и Гарднером [Su and Gardner, 1969].

Уравнения Буссинеска высокого порядка по нелинейности и дисперсии были впервые получены Динжеманом [Dingemans, 1973]. Он рассмотрел л одномерный случай, предполагая, что £ = 0(ц ). Им представлено две версии уравнений , в одной из которых базовой является усредненная по глубине скорость, в другой - скорость на невозмущенной водной поверхности. Уравнения содержали члены порядков 0(ju4) и 0(sju4). Анализа уравнений или численных результатов предложено не было.

Детальное исследование уравнений Буссинеска высокого порядка было сделано Мадсеном и Шаффером [Madsen and Schaffer, 1998]. Ими рассмотрено несколько версий двумерных уравнений. Первая система уравнений выражена через функцию скорости на невозмущенной поверхности жидкости, вторая - через усредненную по глубине скорость, третья - через скорость на произвольном z - уровне. Авторами положено s = 0{/л). Исследованы дисперсионные характеристики.

Вей и др. [Wei et al, 1995] рассмотрели одномерный случай движения поверхностных волн в прибрежной зоне. Для этой цели ими использованы уравнения Буссинеска с улучшенными дисперсионными характеристиками, содержащие члены порядка (// ,£), причем условие малой нелинейности £ = о( 1) не является здесь обязательным. Эти уравнения выражены через потенциал скорости на произвольной глубине (ра. В другой рассмотренной ими системе базовой является функция горизонтальной скорости на произвольной глубине. На основе этих уравнений построена схема для итерационного вычисления компонент волнового движения. Эта схема применена к исследованию двух классических задач: эволюции уединенной волны над наклонным дном (в прибрежной зоне), а также движению волнообразного бора над плоским дном. Приведены примеры и произведено сравнение с другими моделями.

Продолжение этой работы вышло в свет через 5 лет [Gobbi et al, 2000]. Получена система уравнений Буссинеска, содержащая члены порядка е), выраженная через некую новую функцию ф = Рфа +(\~Р)(рр, где ра и фр - значения потенциала скорости на глубинах za и zp, а /? параметр. Уравнения используются для численного описания свойств уединенной волны.

Мадсен и др. [Madsen et al, 1996] представили две двумерных системы уравнений Буссинеска высокой точности по параметрам нелинейности и дисперсии. Первая система, в которой базовой является функция усредненной по глубине скорости, содержит члены порядка (/j4,s5ju4). Вторая система, в которой базовой функцией является вектор скорости на произвольном г-уровне, включает в себя члены порядка i2,e3{i2). Полученные уравнения имеют улучшенные дисперсионные характеристики.

Работа содержит исследование дисперсионных свойств и сравнение с результатами Нвогу и Вея. Далее полученная модель применяется для описания трансформации волн над подводным препятствием трапецевидной формы, а также рефракции над отмелью округлой формы. Произведено сравнение результатов расчетов с экспериментальными данными и получено соответсвие.

В 1997 году Мадсен, Соренсен и Шаффер [Madsen et al, 1997] использовали уравнения Буссинеска высокого порядка с улучшенными дисперсионными свойствами для детального описания поведения волн в прибрежной зоне. Представлена система из трех уравнений Буссинеска высокого порядка, в которых базовыми являются интегрированная по глубине скорость и некая функция R, определяемая тем полем скоростей, которое возникает из-за присутствия буруна. Рассматривается двумерный случай. Построена модель обрушения волн, в том числе над подводным препятствием. Исследовано изменение различных величин, таких, как фазовая скорость, возвышение свободной поверхности, амплитуда, плотность энергии и т.д. Произведено сравнение с экспериментом.

В 1999 году Зу [Zou, 1999] вывел усовершенствованные уравнения Буссинеска, базовой функцией в которых является усредненная по глубине скорость, а два свободных параметра обеспечивают их хорошие дисперсионные свойства. Затем Зу и Занг [Zou and Zhang, 2001] использовали эти уравнения для построения численной схемы, которая применялась ими для описания трансформации волн над трапецевидной отмелью. Уклон задней стенки отмели был взят 1/10, в то время как было рассмотрено три различных варианта передних откосов (1/2,1/5,1/10). Произведено сравнение с экспериментом, а также с результатами, полученными из классических уравнений Перегрина [Peregrine, 1967] и показано, что уравнения высокого порядка лучше согласуются с экспериментом.

Уравнения Буссинеска третьего порядка по нелинейности и дисперсии, выраженные через потенциал скорости на дне, исследованы Зху и Зангом [Zhang and Zhu, 2000]. Ими исследованы дисперсионные характеристики уравнений и построена численная, так называемая параболическая модель, которая затем используется для описания трансформации волн над отмелью округлой формы. Результаты согласуются с экспериментом.

Детальное исследование трансформации волн над трапецевидной отмелью были проделаны Динжеманом [Dingemans, 1994] и Оямой [Ohyama, 1994]. Ими произведено сравнение экспериментальных данных с результатами численных расчетов на базе уравнений Буссинеска невысокого порядка. Хорошее соответствие с экспериментом было отмечено только для длинных волн малой амплитуды. Для коротких нелинейных волн, возникающих за отмелью, модель оказалась малопригодной. Наиболее полное исследование этой проблемы было проделано Гобби и Керби [Gobbi and Kirby, 1999]. Они распространили выведенные Гобби и др. [Gobbi et al, 2000] уравнения (они описаны выше) на случай неровного дна. На базы этих уравнений построена модель FN4. Произведено сравнение с экспериментом, а также с моделью Вея (модель WKGS) и др. [Wei et al, 1995]. На переднем склоне отмели обе модели хорошо согласуются с экспериментом, в то время как на его задней стенке WKGS обнаруживает существенные расхождения с экспериментальными данными. Точность FN4 остается неизменной. Кроме того, авторами произведено сравнение FN4 с WN4 (получается из FN4 отбрасываем членов высокого порядка). Показано, что включение членов высокого порядка является существенным для описания трансформации волн над отмелью.

Кеннеди и др. [Kennedy et al, 2000] использовали уравнения Вея [Wei et al 1995] для описания наката в одномерном случае. Чен и др. [Chen et al, 2000] распространили этот подход на двумерный случай. Они исследовали трансформацию волн над отмелью с круговыми линиями уровня, рассматривая отдельно случаи обрушения и необрушения волн. Производится сравнение с экспериментом. Далее вычисляется накат уединенных волн на конический остров. Результаты сравниваются с лабораторными данными, а также с результатами Титова и Синолакиса [Titov and Synolakis, 1998], которые решали численно эту задачу, используя уравнения мелкой воды. Показано, что лучше согласуется с экспериментом модель Чена.

Нами рассмотрены уравнения Буссинеска, включающие в себя члены порядка (/As2). Мы рассматриваем одномерное движение над наклонным дном, полагая s = 0(/?). Предложены две версии уравнений Буссинеска, в одной из которых базовой является функция усредненной по глубине скорости, а в другой - потенциал скорости на дне. Предполагая движение периодическим и разложив базовые функции в ряд Фурье, мы получаем точные аналитические решения обоих систем уравнений, которые представляют собой однородные полиномы от функций Бесселя и их производных. Исследованы дисперсионные характеристики. Показано, что система уравнений, выраженная через потенциал скорости на дне, имеет хорошие дисперсионные характеристики. Система, выраженная через усредненную по глубине скорость, имеет сингулярность в дисперсионном соотношении (это было ранее показано Мадсеном и Шаффером [Madsen and Schaffer, 1998]). Обе версии уравнений с помощью компьютерных программ, написанных в системе Mathematica, применяются нами для вычисления наката. Расширена область применения модели и увеличена точность вычисления. Предложено альтернативное определение наката - через объем затекающей за береговую линию жидкости.

Третья глава диссертации посвящена взаимодействию гравитационных поверхностных волн с внутренней волной. Для чего это важно? Обнаружение внутренних течений актуально для судоходства. Методом дистанционного зондирования, которое производится с вертолетов и спутников, можно увидеть волновую картину на поверхности воды. Возникает вопрос: можно ли по волновой картине на поверхности определить местонахождение и скорость внутренней волны? Мы решаем прямую задачу: как в результате взаимодействия с внутренней волной меняется волновая картина на морской поверхности.

Большинство работ по этой теме рассматривают приближение геометрической оптики, которое связано с первыми членами разложения Стокса по степени крутизны волны ак {а и к суть характерные амплитуда волны и волновое число), а также с условием постоянства частоты волны {со = const, которое соответствует стационарной модели взаимодействия волны с течением). Первая работа в этом направлении была сделана Филипсом [Phillips, 1966], который рассмотрел стационарный линейный одномерный случай. Им показано, что амплитуда поверхностной волны зависит от фазы внутренней волны, но что решение становится сингулярным в точке, где линейная групповая скорость cg поверхностных волн равна фазовой скорости с внутренней волны. Амплитуда поверхностных волн в этих точках неограниченна. Показано, что те точки, в которых cg = с представляют наибольший интерес, но не было выяснено, что именно происходит в этих точках.

Стационарный двумерный случай был рассмотрен Гаржеттом и Хьюгом [Gargett and Hughes, 1972]. Угол между направлениями распространения внутренней волны и поверхностных волн обозначим через 8q. Авторами показано, что если cgcos 0О > с, то в результате взаимодействия амплитуда поверхностных волн увеличивается и их направленность становится ближе к направлению распространения внутренней волны. В противном случае амплитуда уменьшается и направленность поверхностных волн уходит от направления внутренней волны. В работе также говорится о возникновении сингулярности в тех точках, где cg + u-c = О.В этой области становится бесконечной амплитуда и таким образом стационарное решение не найдено в тех точках, где cg~c. Однако именно эта часть спектра поверхностных волн и представляет для исследователей наибольший интерес, так как она более всего подвержена воздействию внутренних волн.

Холлидей [Holliday, 1973] и Смит [Smith, 1976] пытались избавиться от сингулярности и рассмотрели нелинейную стационарную модель. Однако им удалось лишь слегка подвинуть условия резонанса. Вопрос о построении регулярного решения остался открытым. Регулярные нелинейные стационарные решения были позднее предложены Гербером [Gerber, 1987] и Шуганом и Воляком [Shugan and Voliak, 2000].

Было выяснено, что ход взаимодействия в рамках нелинейной модели отличается от предсказанного линейной моделью. Наиболее интересные решения представляют собой связанные нелинейные пакеты поверхностных волн, скорость распространения которых равна фазовой скорости внутренней волны. Российскими учеными также проделано немало работ по данной тематике [Басович, 1979], [Басович, Баханов и Таланов, 1982], [Басович, Баханов и Таланов, 1987]. Было открыто много новых свойств, в частности существование предвестника внутренней волны а также уменьшение периода пакета поверхностных волн в зоне периодических коротких волн. Кинематика волновых пакетов была проанализирована более детально.

Нестационарная модель может дать ответ на вопрос об устойчивости решения. Линейная нестационарная модель была рассмотрена Семеновым и Шуганом [Семенов, Шуган, 1997]. Было показано, что временная динамика волнового числа имеет подвижные точки разрыва. Более детальный анализ был проделан Воляком и Лоссовыми [Воляк и др., 1992]. Был выявлен тип сингулярности волнового числа и амплитуды. Найденное решение содержало зоны нулевой амплитуды, в которых водная поверхность становится плоской.

Баханов и Островский [Bakhanov and Ostrovsky, 2001] впервые рассмотрели взаимодействие поверхностных волн с внутренней волной большой амплитуды (так называемым подводным солитоном). Ими исследовано положение максимумов и минимумов спектральной плотности поверхностных волн W относительно профиля внутренней волны. Показано, что в случае попутного распространения поверхностных волн и уединенной внутренней волны большой амплитуды минимум W для поверхностных волн любой формы располагается под гребнем внутренней волны.

В настоящей диссертации рассматривается нелинейная нестационарная модель взаимодействия поверхностных волн. Внутренняя волна представляется в виде слабого подводного течения. Решается одномерная задача Коши в приближении второго порядка по крутизне волны. Анализируются нестационарные волновые пакеты, сопровождающие внутреннюю волну, а также образующие ее предвестник или след.

Изучение распространения поверхностных волн над донным препятствием эллипсоидальной формы является темой четвертой главы диссертационной работы. Как уже было сказано, дистанционное зондирование позволяет исследовать волновую картину на поверхности океана. Как правило, нельзя видеть, что находится на дне. Вопрос в том, можно ли по возмущениям на поверхности океана судить о наличии препятствий на морском дне (рифов, отмелей, затонувших подводных судов). В данной работе решается прямая задача: как наличие препятствия влияет на волновую картину. До сих пор рассматривались случаи дна с круговыми и параболическими линиями уровня, а также случай островов-близнецов. Эллипс не рассматривался, хотя подводные хребты, рифы, отмели и подводные лодки часто по форме напоминают эллипс. В круговом случае волновая картина проста и симметрична, эллиптический случай значительно богаче.

Подобные задачи для препятствий с круговыми линиями уровня рассматривались неоднократно. Первая из известных автору работ была сделана Артуром [Arthur, 1946]. Он получил решения для рефракции волн от округлых островов и отмелей. Ловелл [Lowell, 1949] показал, что закон Снелла и другие результаты геометрической оптики можно при определенных ограничениях применять для описания динамики поверхностных волн. Починки [Pocinki, 1950] применил метод комфорных отображений для описания отражения волн в случаях:

1. острова с круговыми линиями уровня,

2. двух островов - близнецов такой же форм,

3. залива и рифа с параболическими границами.

Во всех этих случаях автором представлены картинки с траекториями волновых лучей (линий, перпендикулярных к гребням волн). Мей [Mei, 1983] рассмотрел случаев острова и отмели с круговыми линиями уровня. Для отмели им найдено аналитическое выражение для траекторий волновых лучей. Как уже упоминалось выше, Чен и др. [Chen et al 2000] применили к этой задаче математическую модель, основанную на уравнениях Буссинеска высокого порядка, которые решались численно.

В настоящей работе мы исследовали случай трансформации волн над препятствием с эллиптическими линиями уровня, который, как было отмечено, ранее не рассматривался. Известное уравнение эйконала [Мей, 1983] представлено нами как уравнение Гамильтона-Якоби и получены аналитические формулы, описывающие трансформацию волновых лучей. При помощи программы, написанной в системе Mathematica, получены графики, иллюстрирующие эволюцию волновых лучей для случаев различной ориентации эллипса по отношению к направлению поверхностной волны. Проведенные исследования показывают, что по волновой картине обтекания можно судить о форме, расположении и ориентации подводного препятствия.

Заключение.

1. Предложен новый метод аналитического решения уравнений Буссинеска высокого порядка, которым проанализированы две разные модели Буссинеска. На их основе вычислен накат гравитационных поверхностных волн на наклонный берег. Расширена область вычисления наката (на половину области Rq, в которой уже нельзя вычислить накат методом Пелиновского, но обрушения волн нет).

2. Построена нелинейная нестационарная модель взаимодействия поверхностных волн с внутренней волной. Получено новое регулярное устойчивое решение системы модуляционных уравнений. Показано, что в результате взаимодействия с внутренней волной могут возникать два или три возмущения (для случая крутых волн - три, для некрутых - два). В обоих случаях одно из возникших возмущений стационарно (т.е. связано с внутренней волной), в то время как другие могут формировать её след или предвестник в зависимости от соотношения между фазовой скоростью внутренней волны и групповой скоростью поверхностных волн.

3. Построена модель распространения гравитационных поверхностных волн над донным препятствием с эллиптическими линиями уровня. Найдены новые аналитические выражения для траекторий волновых лучей, острия волновой каустики и угла острия каустики. Показано, каким образом эксцентриситет и ориентация эллипса влияет на волновую картину.

4. Создан комплекс компьютерных программ в системе Mathematica V4.0 для проведения аналитических расчетов решений рассмотренных моделей, а также вычисления и построения графиков соответствующих волновых процессов.

1. Арнольд В.И. Математические методы в классической механике. - М.: Наука, 1989.

2. Басович А.Я. // Изв. АН СССР. Физика атмосферы и океана.- 1979.- Т. 15,6.- С.655-661.

3. Басович А.Я., Баханов В.В., Таланов В.И. // Влияние интенсивных внутренних волн на морскую поверхность. Горький, 1982. - С.8.

4. Басович А.Я., Баханов В.В., Таланов В.И. // Физика атмосферы и океана. 1987.- Т.23, №7.- С. 694-705.

5. Вабищевич П.Н. Численное моделирование. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1993

6. Воляк К.И., Лоссов К.И., Лоссов Н.И., Шуган И.В., Семенов А. Ю. К теории воздействия внутренних волн на морскую поверхность. Препринт ИОФРАН N 33, М. 1992

7. Воляк К.И., Семенов А. Ю., Шуган И.В. Взаимодействие поверхностных и внутренних волн // Нелинейные волновые процессы.- М.: Наука, 1989.- (Труды ИОФАН, Т. 18).- С. 3-32.

8. Воляк К.И., Шерменев A.M. Блокировка поверхностных волны стационарным неоднородным течением // Динамика волн на поверхности жидкости.- М.: Наука, 1999.- (Труды ИОФАН, Т. 56).- С. 37-51.

9. Воляк К.И., Шерменев A.M. Шерменева М.А. Нестационарное взаимодействие гравитационных волн на поверхности жидкости с неоднородным течением // Динамика волн на поверхности жидкости.- М.: Наука, 1999.- (Труды ИОФАН, Т. 56).- С. 52-64.

10. Воляк К.И., Шерменев A.M. Шерменева М.А. Поверхностные волны над донным препятствием эллипсоидальной формы // Динамика волн на поверхности жидкости.-М.: Наука, 1999.- (Труды ИОФАН, Т. 56).- С 129-140.

11. Зейтунян Р.Х. Нелинейные длинные волны на поверхности воды и солитоны // УФН.-1995, Т. 165, № 12.- С.1403-1456.

12. Козлов С.И. О накате волны цунами на берег без обрушения // Известия АН СССР. Физика атмосферы и океана.-1981.-Т. 17.- С. 996-1000.

13. Ле Блон П., Майсек Л. Волны в океане.- М.: Мир, 1981. Т. 1/2.820 с.

14. Мазова Р.Х. Пелиновский Е.Н. Линейная теория набегания волн на берег. Препринт ИПФ АН CCCP.N 23,1981.

15. Пелиновский Е.Н. Нелинейная динамика волн цунами. Горький: ИПФ АН СССР, 1982.

16. Семенов А.Ю. Шуган И.В. Численная модель нестационарного взаимодействия поверхностных и внутренних волн // Вычислительная гидродинамика природных течений.- М.: Наука.- 1997.- (Труды ИОФАН. Том 53). С. 124-131

17. Стоккер Д.Д. Волны на воде. М.: ИЛ, 1959.

18. Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны.- М.: Мир, 1977.

19. Филлипс ОМ. Динамика верхнего слоя океана.- Л.: Гидрометеоиздат, 1980.

20. Шерменева М.А., Шуган И.В. Воздействие внутренних волн на морскую поверхность // Краткие сообщения по физике ФИАН.- 2005.- № 9.- С. 16-24.

21. Шерменева М.А., Шуган И.В. Расчет наката волн на пологий откос // ПЖТФ.- 2006.-Т.32, вып. 2, C.33-38.

22. Шулейкин B.B. Физика моря.- M.: Наука, 1963.

23. Arnold V.I. Catastrophe Theory.- Berlin: Springer, 1992.

24. Arthur R.S. //Trans. Am. Geophys. Union.- 1946.-V.27.- P.168-177.

25. Bakhanov V.V., Ostrovsky L.A. The action of strong solitary internal waves on surface waves // Gorkiy. Institute of Applied Physics. № 573,2001.

26. Berkhoff J.C.W. Computation of combined refraction-diffraction // Proc. 13th Coast. Eng. Conf., Vancouver, P. 471-490.- 1973.

27. Bretherton F.P. and Garrett C. Wavetrains in inhomogeneous moving media II Proc. Roy. Soc. A. 302.1968, P. 529-554.

28. Carrier G.F., Greenspan H. P. Water waves of finite amplitude on a sloping beach // J. Fluid Mech. 1958, V.4,-P. 97-109.

29. Chen Q., Kirby J.T., Dalrymple R., Kennedy A.B., Clawla A. Boussinesq modeling of wave transformation, breaking, and runup. II: 2D. // J. WatWays Port Coastal Ocean Engng, ASCE -2000, V.126, № 1, — P.48 -56.

30. Craik A.D.D. Wave Interactions and Fluid Flows.- Cambridge: Univ. Press, 1985.

31. Dingemans M. Water waves over an uneven bottom; a discussion of long-wave equations // Delft Hydraulics Report R729, part 2,1973

32. Dingemans M. W. Comparison of computations with Boussinesq-like models and laboratory measurements // Delft Hydraulics Report H- 1684.12,1994.

33. Friedrichs K.O. On the derivation of the shallow water theory // Comm. Pure Appl. Math. -1948.- V.I.- P. 81-85.

34. Gargett A. and Hughes B. //J. Fluid Mech.-1972.-V. 52,- P.179.

35. Gerber M. // J. Fluid Mech.- 1987.- V.176.- P. 311.

36. Gobbi M.F., Kirby J.T., Wei G. A fully nonlinear Boussinesq model for surface waves. Part 1. Highly nonlinear unsteady waves // J. Fluid Mech.- 2000, V.405. P.181-210.

37. Gobbi, M.F., Kirby, J.T. 1999 Wave evolution over submerged sills: Tests of a higher-order Boussinesq model // Coastal Engng. 1999, V.37. - P.57-96.

38. Grange, J. L. de la (Lagrange), Mecanique Analitique,V. 2.- Paris, 1788.

39. Hibberd S.,Peregrine D.H. Surf and run-up on a beach: a uniform bore // J. Fluid Mech.-1979, V.95.- P.323-343.

40. Holliday D. // J. Fluid Mech. 1973.- V 57.- P. 797-802.

41. Hughes В., Grant H. The effect of internal waves on surface wind waves. 1. Experimental measurements// J. Geophys. Res.- 1978.- V. 83C, N 1.- P. 443-454.

42. Isaacson E. Water waves on a sloping bottom // Comm. Pure Appl. Math. -1950.- V.3.- P. 132.

43. Kajiura K. On the partial reflection of water waves passing over bottom of variable depth //1. U. C. G., Monograph. 1963.- V.24.- P.206-230.

44. Keller J.B. Tsunamis-Water Waves produced by Earthquakes // Tsunami Hydrodynamics Conference,-Honolulu, Hawaii 1961.

45. Keller J.B., Keller H.B. Water Wave Run-up on a Beach // Service Bureau Corporation Research Report, Contract No Nonr 3828(00), prepared for Office of Naval Research, Washington, D. C., New York, 1965.

46. Kennedy A.B., Chen Q., Kirby J.T., Dalrymple R. Boussinesq modeling of wave transformation, breaking, and runup. I: ID. // J. Wat Ways Port Coastal Ocean Engng, ASCE -2000, V.126, № 1, P.39 -47.

47. Le Mehaute В., Koh R.C., Hwang L. A synthesis on wave run-up // Waterways and Harbors Div. Proc. Amer. Soc. Civil. Eng. 1968.- V.94, № 1. - P. 77-92.

48. Liu P. L. -F., Y.-S. Cho., Briggs M.J., Kanoglu U., Synolakis C.E. Runup of solitary waves on a circular island // J. Fluid Mech.-1995, V.302.- P.259-285.

49. Lowell C. S. The propagation of waves in shallow water // Comm. Pure Appl. Math. 1949, V.2. -P. 275-291.

50. Luneberg R.K. Mathematical Theory of Optics.- Los Angeles: Univ. Of California Press, 1964.

51. Madsen P.A., Schaffer H.A. Higher-order Boussinesqtype equations or surface gravity waves: derivation and analysis // Phil. Trans. R. Soc. Lond, A 8.-1998.- P. 441-455.

52. Madsen P. A., Murray R., Sorensen O.R. A new form of Boussinesq equations with emproved linear dispersion characteristics // Coastal Eng. 1991,V.15. - P. 371-388.

53. Massel S.R., Pelinovsky E.N. Run-up of dispersive and breaking waves on beaches // 0ceanologia-2001, V. 43,1. P. 61-97/

54. Mei C.C. The Applied Dynamics of Ocean Surface Waves.- Wiley, 1983.

55. Mei C.C., Le M'ehaut'e B. Note on equation of long waves over an uneven bottom // J. Geophysical. Res.- 1966. -V.71. P. 393-400.

56. Miche R. Le pouvoir reflechissant des ouvrages maritines // Annales des Pont et Chaussees, Ministere des Traveux Publics et des Transports, Paris, May-June 1951.

57. Miche R. Movement ondulatores de la mer // Annales des Pont et Chaussees, Ministere des Traveux Publics et des Transports, Paris, -Jan.-Aug., 1944.

58. Nwogu O. Alternative form of Boussinesq equations for nearshore wave propagation // J. WatWays Port Coastal Ocean Engng, ASCE -1993, V.l 19. P.618-638.

59. Ohyama Т., Kiota W., Tada A. Applicability of numerical models to nonlinear dispersive waves // Coastal Engineering 1994, V. 24. - P. 213-297.

60. Peregrine D.H. Long waves on a beach // J. Fluid Mech.- 1967, V. 27.- P. 815.

61. Phillips O.M. The Dynamics of the Upper Ocean.- Cambridge: Univ. Press, 1966.

62. Pocinki, L.S. Trans. Am. Geophys. Union.- 1950, V.31.- P. 856-866.

63. Sainflou M. Essai sur les digues maritime verticals // Annales des Pont et Chaussees, Ministere des Traveux Publics et des Transports, Paris, 1928-P. 5.

64. Shermenev A. M. and Shermeneva M. A. Periodic wave motion over a sloping bottom // Physics of Vibrations.- 1999.- V. 7, № 2, P. 118-122.

65. Shermenev A. M. Shermeneva M. A. Long periodic waves on an even beach // Physical Review E.- 2000.-V.61, № 5.- P. 6000-6002.

66. Shermenev A.M., Shermeneva M.A. Long periodic waves on a beach // Book of Abstracts. UITAM Symposium on Diffraction and Scattering in Fluid Mechanics and Elasticity, University of Manchester, UK, 16-20 July 2000.- Manchester, 2000

67. Shermenev A.M., Shermeneva M.A. Nonlinear waves in shallow water// Proceedings of International Symposium on Topical Problems in Nonlinear Wave Physics. Institute of Applied Physics RAS, Nizhny Novgorod, Russia, 6-12 September 2003.- P. 258-259.

68. Shermeneva M. A. Periodic solutions of Boussinesq-type equations on a sloping bottom // Physics of Vibrations.-1999.- V. 7, № 3.- P. 142-148.

69. Shermeneva M. Long nonlinear waves on a beach // Book of Abstracts. UITAM Symposium on Free Surface Flows, University of Birmingham, UK, 10-14 July 2000.- Birmingham, 2000.

70. Shermeneva M.A. Nonlinear periodic waves on a slope // Modeling Complex Systems: Sixth Granada Lectures on Computational Physics, Granada, Spain 4-10 September 2000.-Melville, New York: AIP, 2001.- V.574.- P. 242-245.

71. Shermeneva M. A. and Voliak K.I. Surface waves propagation over a submerged ellipsoidal obstacle // BRAS Physics/Supplement, Physics of Vibrations.- 1997.- V. 61, № 4,- P. 219227.

72. Shermeneva M.A., Shugan I.V. Nonstationary Interaction of the Surface and Internal Waves // Physics of Vibrations.- 2001.- V. 9.-No 3.- P. 173-181.

73. Shermeneva M.A., Shugan I.V., Lee K.J., Kim K.H., Ra Y.K. Unsteady interaction of the surface gravity waves with the nonuniform current // International Journal of Ocean Engineering and Technology. 2002.- V.16, № 3.- P. 34 - 39.

74. Shugan I.V. and Voliak K.I // Phys. Vibr.- 2000.-V.8, №2.- P.79.

75. Smith R. //J. Fluid Mech. -1976.- V. 77.- P. 417.

76. Spielvogel L.Q. Runup of single waves on a sloping beach // J. Fluid Mech.- 1976, V.74.- P. 685-694.

77. Synolakis C.E. The runup of solitary waves// J. Fluid Mech.- 1987, V.185.- P.523-545.

78. Titov V.V., Synolakis C.E. Numerical modeling of tidal wave runup. // J. WatWays Port Coastal Ocean Engng, ASCE -1998, V.124, №.4. P. 157 -171.

79. Wei G., Kirby J.T., Grilli S.T., Subramanya R. A fully nonlinear Boussinesq model for surface waves. Part 1. Highly nonlinear unsteady waves // J. Fluid Mech.- 1995, V.294.-P.71-92.

80. Whitham G. B. A general approach to linear and non-linear dispersive waves using a Lagrangian // J. Fluid Mech. 1965, V.22, P. 273-283.

81. Zhang Y., Zhu S. A third-order Boussinesq model applied to nonlinear evolution of shallow-water waves // Journal of Hydrodynamics, Ser.B.-2000, V.12, №2. P. 107-126.

82. Zou Z.L. Higher order Boussinesq equations // Ocean Engineering.-1999, V.26. P.767-792.

83. Zou Z., Zhang X. Numerical Models of Higher-Order Boussinesq equations and Comparisons with Laboratory Measurements // China Ocean Engineering.- 2001, V.15, №2.-P.229-240.