автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование распределения электронов в плазме по энергиям с использованием сглаживающего функционала Тихонова

На правах рукописи

Басма Исмаил Ибрахим

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЭЛЕКТРОНОВ В ПЛАЗМЕ ПО ЭНЕРГИЯМ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ СГЛАЖИВАЮЩЕГО ФУНКЦИОНАЛА ТИХОНОВА.

05.13.18 — математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

1q MAP 2015

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Москва - 2015 005560730

005560730

Работа выполнена на кафедре нелинейного анализа и оптимизации в Российском университете дружбы народов

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

доктор физико-математических наук профессор

Ланеев Евгений Борисович

доктор физико-математических наук, профессор, ведущий научный сотрудник лаборатории навигации и управления Института механики МГУ им. М. В. Ломоносова

Шамолин Максим Владимирович

кандидат физико-математических наук, доцент, доцент кафедры прикладных информационных технологий Академии народного хозяйства и государственной службы при Президенте РФ

Третьяков Николай Павлович

Тамбовский государственный университет им. Державина

Защита диссертации состоится « 24 » апреля 2015 г. в 16 час. 30 минут на заседании диссертационного совета Д 212.203.28 на базе Российском университете дружбы народов, по адресу: Москва, ул. Орджоникидзе, дом 3, ауд. 110.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Российского университета дружбы народов по адресу: 117198, Москва, ул. Миклухо-Маклая, д.б. (отзывы на авторерферат просьба направлять по указнному адресу) или на официальном сайте диссоветов РУДН по адресу: http://dissovet.rudn.ru/.

Автореферат разослан «_» марта 2015 г.

Учёный секретарь диссертационного совета

ЛДЬл*^ Фомин М. Б.

Общая характеристика работы

Актуальность темы исследования

В основе решения прикладной задачи изучение характеристик ЭЦР-плазмы низкого давления в диапазоне рабочих параметров плазменного ускорителя.

Целью экспериментальных исследований являлось изучение характеристик исходной плазмы, создаваемой в магнитной ловушке пробочного типа в диапазоне рабочих параметров, обеспечивающих функционирование экспериментального стенда для изучения механизма гиромагнитного авторезонанса.

Несмотря на длительную историю изучения циклотронного - резонансного взаимодействия частиц плазмы с сверхвысокочастотными полями в неоднородном магнитном поле, изучение плазмы ЭЦР- разряда низкого давления продолжает представлять интерес, как с фундаментальной, так и прикладных точек зрения.

Основное внимание в настоящей работе уделено определению одного из основных параметров исходной плазмы: функции распределения электронов по энергиям (ФРЭЭ). Функция распределения электронов не может быть измерена непосредственно и это обстоятельство диктует необходимость совершенствования косвенных методов определения этой функции, что и представляет собой актуальную задачу.

В работе Тихонова и др. 1 показано, что функция распределения электронов по энергиям может быть получена как решение интегрального уравнения первого рода, представляющего собой некорректно поставленную задачу.

Устойчивое решение интегрального уравнения может быть получено применением метода регуляризации Тихонова, то есть минимизацией некоторого функционала. Регуляризации некорректно поставленных задач посвящено много работ. Основной вклад в разработку теории и практики устойчивого решения некорректных задач внесли советские и российские математики А.Н.Тихонов, В.К.Иванов,

1А.H. Тихонов, В.В. Аликаев, В.Я. Арсении, A.A. Думова. Определение функции распределения электронов плазмы спектру тормтпого и!лучеиия//ЖЭТФ. 1968. Т. 55. пып 5(11). С. 1903-1908.

М.М.Лаврентьев, В.Я.Арсенин, В.Б.Гласко, А.В.Гончарский, А.Г.Ягола, А.Б.Бакушинский, В.Н.Страхов, В.В.Васин, В.Г.Романов а также зарубежные математики C.Puccy, F.John, Ж.-JI.Лионе, Groetsch и многие другие. В то же время остается актуальной задача построения устойчивого решения хорошого качества, в том числе - проблема выбора стабилизатора в сглаживающем функционале, учитывающем специфику поведения искомого решения в конкретной прикладной задаче.

Целью работы

Является повышение качества устойчивого приближенного решения интегрального уравнения первого рода в приложении к задаче диагностики высокотемпературной плазмы применением различных конструкций стабилизаторов в функционале Тихонова, в частности, применением стабилизаторов повышенного порядка.

Методы исследования

При решении задачи использовались методы исследования интегральных уравнений, методы регуляризации решения интегральных уравнений первого рода на основе минимизации сглаживающих функционалов Тихонова, численные методы решения интегродифференци-альных уравнений.

Научная новизна работы

Получены новые устойчивые вычислительные алгоритмы решения уравнения Фредгольма первого рода, связанного с обратной задачей физики плазмы, основанные на использовании стабилизаторов повышенного порядка в функционале Тихонова и специальной дискретизации задачи, приводящей к повышенному (второму) порядку по шагу дискретизации.

Разработанные вычислительные алгоритмы применены к решению обратной задачи физики плазмы на основе данных, полученных на новой экспериментальной установке.

Теоретическая и Практическая значимость.

Полученные в диссертации результаты могут быть использованы в исследованиях по физике плазмы при изучении параметров состояния плазмы косвенными методами, в частности для решения прикладной задачи определения функции распределения электронов по энергиям исходной ЭЦР-плазмы в зеркальной магнитной ловушке плазменного ускорителя. Полученные результаты также могут быть применены для решения других обратных задач, сводящихся к интегральным уравнениям Фредгольма первого рода.

Апробация работы

Результаты диссертации докладывались на всероссийской конференции « Информационно - телекоммуникационные технологии и математическое моделирование высокотехнологичных систем», Москва, РУДН, 2012 г., на 10 Курчатовской молодежной научной школе, НИЦ Курчатовский институт, Москва, 23 - 26 октября 2012 г., научном семинаре проф. A.B. Арутюнова, РУДН, 2013 г., научном семинаре проф. JI.A. Севастьянова, РУДН, 2014 г.,научном семинаре проф. В. И. Иль-гисониса, РУДН, 2012 г.

Достоверность результатов

подтверждена доказательными выкладками, а также численными расчетами на модельных примерах.

Публикации

Результаты диссертации опубликованы в 5 работах, в том числе в двух статьях в рецензируемых журналах, рекомендованных ВАК РФ для опубликования результатов кандидатских диссертаций.

Личный вклад автора.

Работы [2-5] выполнены в соавторстве. Вклад соискателя заключается в проведении и обоснования дискретизации задач, разработке и

численной реализации алгоритмов.

Структура и объём работы

Диссертация состоит из введения, трех глав и заключения, содержит 14 рисунков, список цитированной литературы содержит 182 наименование. Объем диссертации — 108 страниц.

Краткое содержание диссертации

Во введении к диссертации обоснована актуальность, сформулирована цель, раскрыта новизна и практическая значимость проведенного в диссертации исследования.

Первая глава содержит описание физической модели и постановку математической задачи.

В параграфе 1.1 дан краткий обзор исследований по электронному циклотронному резонансу в плазме и приведено описание экспериментальной установки, с которой снимались данные для математической обработки, методами, разработанными в данной диссертации.

ЭЦР - разряд в условиях низких давлений является высокоэффективным источником плазмы, области практического применения которого, весьма разнообразны.

Компонентный состав такой плазмы в магнитном поле ловушки пробочного типа состоит из популяции холодных и горячих электронов и ионов с различной степенью ионизации, а температура холодной электронной компоненты намного превышает температуру ионов и атомов газа. В виду малой эффективности энергообмена между компонентами плазма разряда такого типа далека от состояний термодинамического равновесия, а функция распределения электронов по энергиям (ФРЭЭ) отлична от максвелловской.

В условиях проводимых экспериментальных исследований плазма ЭЦР - разряда является исходной для функционирования гиро-резонансного плазменного ускорителя. Влияние параметров исходной плазмы на выходные характеристики ускорителя ставят задачу изучения изменения характеристик и параметров плазмы при варьирова-

нии разрядных условий для оптимизации режима захвата электронной компоненты исходной плазмы в процесс ускорения. Одна из таких характеристик - функция распределения электронов по энергиям (ФР-ЭЭ).

Эта характеристика не может быть измерена непосредственно, но может быть определена косвенным путем по тормозному излучению электронов в магнитном поле. В диссертации рассматриваются мати-матические методы определения ФРЭЭ по спектру излучения электронов.

Во параграфе 1.2 ставится обратная задачи определения ФРЭЭ по спектру тормозного излучения электронов. Приведено основное уравнение - интегральное уравнение Фредгольма первого рода, связывающего спектр тормозного излучения N с функцией / распределения электронов по энергиям:

Ь

I Н(Ео,е)Це)& = М(Ео). (1)

а

Следуя указанной на стр.3 статье Тихонова с соавторами здесь же кратко воспроизведен вывод этого уравнения для пояснения смысла формирующих его функций. Уравнение получено относительно функции

= (2)

а именно

ь

! К1{Е0,еЫе)йе = Н{Е0) (3)

а

где

£

Кх(Ео, е) = ^ I тМЕо, Е)йЕ, (4)

а

/х(Я) = {1 + ехр[—(0.124 + 0.0325Е)]}"1,

(5)

с(Е) = ¿(0'051+<7>

Функции характеризуют условия эксперимента, ко - физическая константа.

С учетом соотношения (2) уравнение (3) приводится к виду (1) Уравнение (3) далее будем записывать в виде.

К<р = N (8)

Эта задача решается в следующих главах диссертации. Известно, что уравнение Фредгольма - некорректно поставленная задача и для его приближенного решения необходимо построение регуляризирующих алгоритмов.

Во второй главе разработаны устойчивые алгоритмы численого решения обратной задачи, сформулированной в виде интегрального уравнения первого рода.

В параграфе 2.1 преведен обзор устойчивых методов решения уравнения Фредгольма первого рода. Приведены численные алгоритмы решения такой задачи, обсуждаются различные способы выбора стабилизатора в функционале Тихонова и алгоритмы нахождения экстремалей функционала. Отмечается, что как показывает обзор в этом параграфе, авторы работ как правило ограничиваются рассмотрением функционалов, соответствующих стабилизаторам нулевого и первого порядка.

В параграфе 2.2 в случае приближенно заданной правой части в уравнении (3), т. е. когда вместо функции N задана функция Л^ такая что

||ЛГ-ЛГг||=5 (9)

следуя схеме 2 изложен метод регуляризации Тихонова построения устойчивого приближенного решения интегрального уравнения Фред-

2А.Н. Тихонов, В.Я. Арсении . Методы решения некорректных задач.// М.: Наука, 1979. 288 с.

гольма первого рода как экстремали функционала:

М°[и] = \\Ки-М5\\2 + аП[и] (10)

со стабилизаторам £-го порядка вида:

П[и] = \\и^\\212 (11)

Приведен вывод уравнение Эйлера для экстремали функционала

К*Ки + а(-1)У2£) - К*И5 (12)

для специального выбора граничных условий для искомой функции: выбираются нулевые граничные условия для производных максимально возможного порядка, а именно

м«>(а) = и«)(Ь) = 0 41+1\а) = и^+1\Ь) = 0

и^~1\а) = и^-1\Ъ) = 0

В параграфе 2.3 рассматривается варианты стабилизаторов первого, второго и третьего порядка, в частности в случае стабилизатора второго (повышенного) порядка предлагаемая в диссертации краевая задача для экстремали функционала имеет вид

К* К и + ст<4) = К* И5, и" (а) = 0, и"(Ъ) = 0, и"'(а) = 0, и"'(Ъ) = 0.

В параграфе 2.4 приведена дискретизация соответствующих краевых задач для экстремалей. В частности в случае стабилизатора второго порядка получена линейная система.

Аи + ^Би = К* И5. (14)

Здесь Аи реализует дискретизацию интеграла

п

К*Ки « 5=1,......,п

¿=1

где

— К • ■ К^КцКх • £ц£гпХ1 3 — 1)......! п

1=1

Для вектора К* И5 правой части

Пх

{К*М% = ■ епеЫх 5 = 1,.

г-1

,П

(16)

I 1, г ^ ^ = <

[ 2» г = 1,в

и О симметричная матрица п х п вида

( \ —2 1 0 0 0

-2 5-4 1 0 0

1-4 6-4 10

0 1-4 6-4 1

В =

0 1-4 6-4 1 0

0 0 1 -4 6 -4 1

0 0 0 1-4 5-2

0 0 0 0 1-2 1/

В параграфе 2.5 показано, что рассмотренные системы имеют порядок аппроксимации не выше первого. В этом же параграфе с целью повышения качества решения интегрального уравнени приведены линейные системы с порядком 0(/г2). В частности для стабилизатора в первого порядка получена система

а

(А - ^П)и = К*И5 пг

с матрицей D(n х п):

(-1 4 -i О 0 .

\

1-2 10 0. О 1-210.

D =

.1-2 1 О

. О 1-2 1

V

• О -I 4

Получены также системы с порядком аппроксимации 0{Ь?) для стабилизаторов второго и третьего порядка.

В третьей главе дано описание вычислительного эксперимента, проведенного на основе линейных систем, полученных во второй главе. В параграфе 3.1 рассмотрены модельные примеры. На рисунке (0.0.1) представлена правая часть интегрального уравнения (3), полученная расчетным путем (19) по точной функции распределения электронов

где Ядро К1 имеет вид (4) С этой правой частью находилось приближенное решение интегрального уравнения (жирная линия на Рис.(0.0.3)) и расчёт невязки как функции параметра регуляризации а

(18):

(18)

ь

(19)

а

||Киа - iV5||2.

(20)

на Рис.(0.0.2).

Рассчеты проводились при значениях пареметров:

а = 32, b = 35, с = 32, d = 150, пх = 800, кТ = 15.

Рис. 0.0.1. Правая часть интегрального уравнения.

На рисунке (0.0.2) представлен график невязки, рассчитанной в зависимости от величины параметра регуляризации при стабилизаторе первого порядка. График имеет характерный минимум. Слева от него при малых значениях параметра происходит разрушение решения и рост невязки при уменьшении параметра. Справа от минимума при больших значениях происходит сильное сглаживание решения и невязка растет с ростом параметра. Значение параметра, соответствующее минимуму невязки, принимается за искомое оптимальное.

Рис. 0.0.2. График невязки.

На рисунке (0.0.3) приведены графики точного решения интегрального уравнения - точная функция распределения электронов по энергиям (в виде тонкой линии) и приближенного решения (жирная линия), полученного при оптимальном значении параметра регуляризации, соответствующем регуляризации первого порядка. На графике хорошо виден дефект приближенного решения в виде характерного изгиба с выходом на нулевое значение производной в крайней левой точке интервала, а также колебания приближенного решения около значений точной функции.

Рис. 0.0.3. Точное и приближенное решения интегрального уравнения при стабилизаторе первого порядка.

На рисунке (0.0.4) также как и на рисунке (0.0.3) приведены графики точного решения интегрального уравнения - точная функция распределения электронов по энергиям (в виде тонкой линии) и приближенного решения (жирная линия), полученного при оптимальном значении параметра регуляризации, соответствующем регуляризации второго порядка. На графике видно отсутствие дефекта приближенного решения в виде нулевого значения производной. Видно практически полное совпадение точного и приближенного решения

Рис. 0.0.4. Точное и приближенное решения интегрального уравнения при стабилизаторе второго порядка.

В параграфе 3.2 Алгоритмы, разработанные во второй главе, и проверенные на модельных примерах в параграфе 3.1 были использованы при обработке данных эксперимента, полученных на экспериментальной установке в лаборатории физики плазмы кафедры прикладной физики РУДН. Описание установки и ее основные параметры приведены в параграфе 1.1. Установка и эксперимент соответствовали математическим конструкциям (2)- (7) в описании ядра интегрального уравнения. При этом функции /j в (5) и а в (7) моделировались в соответствие с параметрами установки и получены в виде полиномиальных приближений результатов измерений при тестировании установки. В рассчетах использовались функции fi и а в виде приведенных ниже многочленов 3-ей степени

fi(z) = ai + b\z -I- c\z2 + diz3 a(z) = a2 + b2z + c2z2 + d2z3

где

ai = 0.83632 bi = 0.00354 ci = 2.3 * 10~7 dx = 1.87 * 10~9 , x

21

a2 = 4.60536 b2 = 0.06968 c2 - -0.00008 d2 = 3.04 * 10"8

приведены результаты расчётов по экспериментальным данным. На рисунках (0.0.5), (0.0.6) представленна ситуация с восстановлением функции распределения электронов в многокомпонентной плазме. На рисунке (0.0.5) изображения правая часть интегрального уравнения при различных температурах. На рисунке (0.0.6) приведены соответствующие приближенные регуляризованные решения, полученные со стабилизатором второго порядка при аппроксимации уравнения О (к2). Параметр регуляризации выборам такой же как и на рис. (0.0.4) Максимумы функций на графиках на рисунке (0.0.6) указывают на относительное преобладание электронов соответствующей энергии что позволяет говорить о двухкомпонентной плазме.

2500

'D:\plasmaRes\inpui\A_rtK_42-150j505.dat' и 1:3 'D:\plasmaRes\input\A_rhs_42-150"605.d3t' и 1:5

2000

60

80

100

120

Рис. 0.0.5. Результаты измерения излучения для двух состояний плазмы - правые части интегрального уравнения.

1200 1000 800 600 400 200 о -200

Рис. 0.0.6. Приближенные решения интегрального уравнения - функции распределения электронов по энергиям.

В заключении констатируется, что проведенное в диссертации исследование показывает эффективность использования в сглаживающем функционале Тихонова стабилизаторов повышенного порядка при построении устойчивых численных алгоритмов решения интегральных уравнений первого рода. Сформулированы основные результаты диссертации.

На защиту выносятся следующие результаты

1. Разработаны устойчивые численные алгоритмы решения интегрального уравнения первого рода на основе метода сглаживающего функционала Тихонова со стабилизатором повышенного порядка в приложении к задаче восстановления функции распределения электронов по энергиям по интенсивности тормозного излучения.

2. Получены схемы дискретизации краевых задач для интегро-дифференциальных уравнений Эйлера для функционала Тихонова, обеспечивающих второй порядок аппроксимации по шагу

дискретизации.

3. Показана эффективность разработанных алгоритмов на модельных примерах максвелловского распределения электронов по энергиям.

4. Проведены расчеты функции распределения по реальным данным эксперимента на плазменном ускорителе.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах (в том

числе в 2-х периодических изданиях, рекомендованных ВАК РФ):

1. Б.И. Ибрахим О Дискретизации уравнения Эйлера для функционала Тихинова со стабилизатором второго порядка в одной обратной задаче физики плазмы.// Информационно - Телекоммуникационные Технологии и Математическое Моделирование Высокотехнологичных Систем. 23-27 апреля 2012г., Москва, РУДН, с.278.

2. Б.И. Ибрахим, М.Н. Муратов, A.A. Новицкий, Д.В. Чупров Спектральные исследования и восстановление функции распределения горячей компоненты ЭЦР- плазмы низкого давления// НИЦ « Курчатовский Институт». 23-2G октября 2012г., Москва, Россия, с.179.

3. В.В. Андреев, Б.И. Ибрахим, Е.Б. Ланеев, М.Н. Муратов Об

устойчивом решении одной обратной задачи физики плазмы.// Информационно - Телекоммуникационные Технологии и Математическое Моделирование Высокотехнологичных Систем. 23-27 апреля 2012г., Москва, РУДН, с.233.

4. В.В. Андреев, Б.И. Ибрахим, Е.Б. Ланеев, М.Н. Муратов Численное восстановление функции распределения по энергии электронов в плазме по спектру излучения.// Вестник РУДН. Серия Математика Информатика физика. 2012. №4. С. 68-72.

5. V. V. Andreev, B.I. Ibrahim, E.B. Laneev, M.N. Mouratov Numerical Stability of an Integral Equation Applied for High - Temperature Plasma Diagnostics.// Вестник РУДН. Серия Математика Информатика физика. 2012. №2. С. 86-88.

Басма Исмаил Ибрахим

Математическое моделирование распределения электронов в плазме по энергиям с использованием сглаживающего функционала Тихонова.

В диссертации в прикладном плане рассматривается обратная задача физики плазмы: востановление функции распределения электронов по энергиям в плазме по спектру тормозного излучения. Задача сводится к уравнению Фредгольма первого рода. Это уравнение как некорректно поставленная задача решается с использованием схемы регуляризации по Тихонову. С помощью стабилизатора повышенного порядка в функционале Тихонова и специального выбора граничных условий получено устойчивое приближенное решение более высокого качества по сравнению с решением, полученным со стабилизатором нулевого и первого порядка.

Basma Ismael Ibrahim

Mathematical modeling of the distribution of electrons in the plasma energy using smoothing functional Tikhonov.

The thesis in applied plan consider the inverse problem of plasma physics: Recover the distribution function of the electron energy in the plasma bremsstrahlung spectrum. The problem is reduced to a Fredholm equation of the first kind. This equation is as ill-posed problem is solved using Tikhonov regularization scheme. With stabilizer of high order in the functional Tikhonov and a special choice of the boundary conditions to obtain a stable approximate solution of higher quality compared with the solution obtained with the stabilizer of zero and first order.

Подписано в печать 18.02.2015 г. Бумага офсетная. Печать цифровая. Формат А4/2. Усл. печ. л. 1. Заказ № 232. Тираж 100 экз. Типография «КОПИЦЕНТР» 119234, г. Москва, Ломоносовский пр-т, д.20 Тел. 8(495)213-88-17 www.autoreferatl.ru