автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование процессов переноса в глубинных недрах Земли

На правах рукописи

СТЕПАНОВ Андрей Алексеевич

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ПЕРЕНОСА В ГЛУБИННЫХ НЕДРАХ ЗЕМЛИ

Специальность 05 13 18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Рыбинск-2007

003174220

Работа выполнена на кафедре общей и технической физики в ГОУ ВПО «Рыбинская государственная авиационная технологическая академия им ПА Соловьева»

Научный руководитель

Официальные оппоненты

Ведущая организация

доктор физико-математических наук, профессор

Старченико Сергей Владимирович

доктор физико-математических наук, профессор

Дерюгин Юрий Николаевич

кандидат физико-математических наук, доцент

Черников Петр Гаврилович

ФГОУ ВПО «Санкт-Петербургский государственный университет»

Защита диссертации состоится 7 ноября 2007 года в 14 00 часов на заседании Диссертационного совета КМ 212 117 07 при ГОУ ВПО «Мордовский государственный университет им Н П Огарева» по адресу 430000, г Саранск, Республика Мордовия, ул Большевистская, д 68, корп 1,ауд 225

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Мордовского государственного университета

Автореферат разослан 4 октября 2007 г

Ученый секретарь

диссертационного совета

кандидат физико-математических наук

Л А Сухарев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Процессы, происходящие в недрах звезд, планет и спутников, на сегодняшний день являются плохо изученными как теоретически, так практически, и численно

При теоретическом исследовании основные трудности связаны с высокой математической сложностью моделей Космические размеры и огромные градиенты физических параметров приводят к появлению достаточно тонких в космических масштабах структур, поведение и взаимодействие которых полностью определяют характер протекающих процессов К сожалению, на сегодняшний день теоретически удалось разрешить достаточно узкий круг задач при существенных физических допущениях при их постановке

С практической точки зрения остаются неизвестными состав и свойства веществ исследуемых систем. Взять непосредственно образцы с помощью современных технических средств не представляется возможным В тоже время нельзя и экспериментально смоделировать те физические условия, которые имеют место в глубинных недрах Имеющиеся на сегодняшний день оценки получены экстраполяцией экспериментальных данных для «чистых» веществ, а также по косвенным наблюдениям происходящих явлений (распространение сейсмических волн, прецессия и др) При этом используются различные математические модели, которые чаще всего опираются на недостоверно известные сведения, и как следствие, результаты различных авторов сильно отличаются друг от друга

Развитие численных методов, а также мощности вычислительных систем позволяют надеяться на то, что в ближайшем будущем удастся детально смоделировать происходящие в недрах планет процессы Однако, применяемые в данной области физики методы математического моделирования очень требовательны к ресурсам вычислительных систем, и, даже с учетом роста производительности последних, эти подходы в ближайшее обозримое будущее не позволят смоделировать процессы при параметрах близких к реальным физическим параметрам веществ.

Достаточно большое количество коммерческих программных комплексов предназначенных для математического моделирования задач гидравлики, газовой динамики, прочности, теплопереноса еще до сих пор не способны решать многие специализированные исследовательские задачи В связи с этим для их решения существует необходимость в разработке собственных программных кодов К сожалению, набор программного инструментария для относительно быстрого создания собственных программных кодов весьма ограничен и часто требует от исследователя практически профессиональных навыков программирования, что сильно ограничивает круг людей, которые могли бы решать такие задачи

В связи с этим работа, посвященная развитию методов математического моделирования в геофизике, на основе подходов, хорошо зарекомендовавших себя в других отраслях науки и техники, и созданию простого в использовании и интуитивно понятного программного инструментария для ре-

шения задач математического моделирования, несомненно, является актуальной.

В работе рассматриваются два связанных между собой явления, рассмотренных на примере нашей планеты, - эффективный перенос тепла от границы жидкое ядро-мантия к поверхности Земли и гидродинамическое течение, возникающее в жидком ядре при слегка дифференциальном вращении мантии и твердого внутреннего ядра

Цели и задачи исследования. Цель работы состоит в создании математических моделей, методов и алгоритмов решения более эффективных, чем традиционно используемые в геофизике для математического моделирования процессов теплопереноса в мантии и гидродинамического течения в ядре Земли, а также создании программных средств для их реализации.

В соответствии с поставленной целью определены следующие задачи исследования

1 Разработать простой метод определения теплового состояния планет, имеющих слоистую структуру, и построить самосогласованную тепловую модель мантии Земли, опираясь только на достаточно уверенно определяемые величины.

2 Рассмотреть простейшую модель течения в жидком ядре Земли и получить ее численное решение методом, использующим адаптацию расчетной сетки к возникающим тонким гидродинамическим пограничным и сдвиговым слоям

3 Разработать библиотеку программных кодов для реализации методов и алгоритмов вычислительной математики и визуализации результатов численных расчетов

Методы исследования. Для решения поставленных в диссертации задач использовались методы математического моделирования, дифференциальной геометрии, теория гармонических отображений, теория подобия и размерностей, методы вычислительной математики и объектно-ориентированного программирования

Основные результаты работы. На защиту выносятся следующие результаты, отличающиеся научной новизной

1 Самосогласованная тепловая модель мантии Земли, опирающаяся только на достоверно известные данные, и ее метод построения для космических объектов слоистой структуры, основанный на разложении решения уравнения теплопереноса в ряд Тейлора по временной переменной

2 Математическая модель течения в жидком ядре Земли, использующая метод контрольных объемов с адаптацией расчетной сетки под градиент компонент вектора скорости

3 Программная библиотека методов и алгоритмов вычислительной математики и программный комплекс трехмерной визуализации и обработки численных результатов расчетов

Научная новизна.

1 Впервые построена простая самосогласованная тепловая модель мантии Земли, опирающаяся только на достоверно известные данные - вели-

чину теплового потока с поверхности и значения температуры в реперных точках, соответствующих фазовым переходам веществ Рассмотрена зависимость теплового состояния мантии Земли от некоторых неуверенно определяемых величин, таких как эффективная теплопроводность внешней оболочки (земная кора и океаны), температуры на границе ядро-мантия Построенная модель позволяет независимо оценить среднее содержание радиоактивных источников в земной коре Пользуясь полученными результатами можно легко оценить распределения температуры и теплового потока в недрах Земли, а также их эволюцию в зависимости от уточняемых величин (температура на границе ядро-мантия, количество радиоактивных источников и т п ) Разработанный метод построения тепловой модели планеты является оригинальным (независимым от других) методом определения температуры и теплового потока и может быть использован как один из критериев для проверки корректности других методов

2 Построена численная модель осесимметричного течения в жидком ядре, основанной на конечно-разностной дискретизации с использованием подвижной адаптивной расчетной сетки, и на персональном компьютере получены решения системы уравнений Навье-Стокса с характерным числом Экмана вплоть до значений 1СГ8 (такие же результаты были достигнуты другими авторами с использованием длительного счета на суперкомпьютерах) Показано, что применение данного подхода для моделирования более сложного течения в недрах Земли и других космических объектах с учетом магнитного поля предпочтительнее, чем методов, использующих разложение решения по сферическим гармоникам

3 Для достижения полученных результатов на языке программирования С++ разработана кроссплатформенная библиотека программных кодов, позволяющая

- единообразно работать с расчетными сетками, имеющими различную структуру, а также сопоставлять им данные любого типа, которые могут быть связаны с любой структурной единицей (узлы, ребра, грани, ячейки и т п ) расчетной сетки,

- единообразно работать с векторами и матрицами различного вида (полноразмерньми, разреженными, ленточными и т п ), с полным сохранением их привычной математической интерпретации и семантики языка программирования С++,

- осуществлять визуализацию расчетных данных с использованием кроссплатформенной библиотеки трехмерной графики OpenGL

Практическая значимость. Численные результаты, полученные в ходе работы, показали эффективность разработанных моделей по сравнению с имеющимися подходами в геофизике

Разработанная простая и самосогласованная тепловая модель мантии может быть применена для определения теплового состояния других космических объектов, состоящих из сферических оболочек

Моделирование течения в жидком ядре Земли с использованием подвижных адаптивных расчетных сеток уже сегодня позволяет получить досто-

верные результаты для параметров близких к реальным параметрам в ее недрах, при этом требуют несравнимо меньших затрат вычислительных ресурсов

Разработанная программная библиотека внедрена в промышленную эксплуатацию и нашла свое применение при решении наукоемких задач в ряде программных комплексов, успешно используемых в промышленных, научных и учебных целях

Полученные в численных экспериментах результаты углубляют понимание происходящих в недрах планет процессов, и механизмы формирования и взаимодействия тончайших гидродинамических структур.

Достоверность полученных результатов подтверждается их соответствием общепринятым представлениям, сравнением их с другими подобными работами, проверкой программной реализации на ряде тестовых задач, а так же с теоретическими результатами, имеющими место в асимптотическом пределе, для задачи о течении между двумя слегка дифференциально вращающимися коаксиальными сферами

Внедрение научных результатов. Полученные в диссертационной работе результаты, используются в программных комплексах «TurbBlade2D», «TurbBlade2 5D» для построение расчетных сеток, которые применяются на ОАО «НПО «Сатурн» в процессе проектирования лопаток турбомашин, в программных средствах для решения сопряженных задач, а также в программном комплексе трехмерной визуализации и обработки результатов численных расчетов «VisuaI3Dpro», применяемом на ОАО «НПО «Сатурн» и кафедре общей и технической физике Рыбинской государственной авиационной технологической академии имени П А Соловьева, что подтверждается соответствующими актами внедрения

Апробация работы. Материалы диссертации докладывались и обсуждались на научно-технической конференции «Аэрокосмические технологии и образование на рубеже веков» (РГАТА, г.Рыбинск, 2002), на семинаре отдела «Постоянного магнитного поля Земли» (г Троицк, ИЗМИР АН, 2002), на международной ассамблее EGU-EGS-EEE (г Ницца, 2003), международной конференции «PROBLEMS OF GEOCOSMOS» (СпГУ, г Санкт-Петербург, 2004, 2006), на международном семинаре «Построение расчетных сеток теория и приложения» (ВЦ им А А Дородницина РАН, г Москва, 2002), на всероссийской конференции «Прикладная геометрия, построение расчетных сеток и высокопроизводительные вычисления» (ВЦ им А А Дородницина РАН, г Москва, 2004), на Всероссийской конференции «Численная геометрия, построение расчетных сеток и высокопроизводительные вычисления» (ВЦ им А А Дородницина РАН, г Москва, 2006) на 8-ом симпозиуме SEDI (Калифорния, США, 2002), на международных конференциях «Палеомагнетизм и магнетизм горных пород» (геофизическая обсерватория «Борок», 2001 - 2003), на международной конференции «Супервычисления» (гСаров, ВНИИЭФ, 2004), на семинарах профессора ДД Соколова (г Москва, ВЦ МГУ им М В Ломоносова, 2003 — 2004), на объединенном семинаре кафед-

ры прикладной математики и Средневолжского математического общества под руководством Е В Воскресенского (г Саранск, 2007)

По материалам работы в 2002 году автор получил диплом лауреата областного конкурса на лучшую научно-исследовательскую работу Работа выполнялась в рамках ряда проектов грант Министерства высшего образования АОЗ-2 13-375, грант РФФИ 02-05-64888, грантов ИНТАС 99-0348 и 03-515807

Публикации. Основные материалы диссертационной работы достаточно полно опубликованы в доступных литературных источниках По результатам проведенных исследований опубликовано 9 работ, в том числе одна статья в издании, рекомендованном ВАК, и одна программа, имеющая свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ, которая приравнивается к публикациям в журналах, рекомендованных ВАК

Объем и структура диссертационной работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка использованных источников и приложений Объем диссертации составляет 159 страниц машинописного текста и 5 приложений, список использованных источников содержит 106 наименований

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении диссертации обоснована актуальность темы исследования, сформулированы цели и задачи работы, ее научная новизна, практическая значимость и достоверность полученных результатов, а также научные положения, выносимые на защиту

В первой главе рассмотрено общее строение земных недр, а также современное состояние вопросов о тепловом состоянии мантии и гидродинамическом течении в жидком ядре Отмечена и проанализирована взаимосвязь этих двух явлений через значение величины теплового потока из ядра в мантию, которое определяет скорости дифференциального вращения твердого ядра относительно мантии Рассмотрены численные методы моделирования гидродинамических течений и методы построения и адаптации расчетных сеток

Во второй главе рассмотрено решение задачи о тепловом состоянии мантии Земли, которое в простейшем случае можно свести к решению уравнения теплопроводности с эффективными коэффициентами переноса

дт срр

где Т - относительная температура, отсчитываемая от температуры поверхности Земли, а = к!(срр) - температуропроводность, к - эффективная

теплопроводность, ср - удельная массовая изобарная теплоемкость, р -плотность, qv(r'T) ~ объемная мощность внутренних источников теплоты, г - радиус, т - время

44ТВт

Слой 3 ^ Слой 2 К Слой 1

Рисунок 1

5771 6371 Я км 5971 6271 - Слоистая модель Земли

Для решения задачи все функции в уравнении (1) были представлены в виде разложения в ряд Тейлора по времени и рассмотрено первые два члена ряда (далее по тексту нижний индекс 0 и 1). Такое приближение вполне допустимо для времен порядка 100 млн. лет, т.к. характерное время теплопере-носа порядка 1 млрд. лет.

На рисунке 1 представлена слоистая тепловая модель мантии Земли, известными величинами в которой являются реперные температуры разделения слоев и величина теплового потока с земной поверхности. Таким образом, для каждого слоя решалась система дифференциальных уравнений (^Х(Г) = срр{г)Т1(г)-д0д(г},

с граничными условиями

(2)

^ ("Я. »

—Ъ

где Я0 - внешний радиус слоя; срй,(рх,ц>0>ц/х - постоянные.

В свернутом виде решение системы выглядит следующим образом

а И = Ш + ¥,, Т, (г) = - ■ ■ 1

г (г

Методика определения распределения температур и тепловых потоков основана на основе закона сохранения энергии при переходе от слоя к слою, что подразумевает под собой непрерывность искомых функций. Соответственно на границе между двумя соседними слоями п -1 и п имеют место следующие условия для каждого внутреннего слоя:

qM(RM)=

tfWhetW), r0Wfe"')= TrM, Г0М(Яг(п+1))= (4)

где T,in> - п -е реперное значение температуры; R^ - п -й радиус разделения.

Таким образом, для решения задачи необходимо решить систему из 5JV уравнений (TV - общее количество слоев), составленных из соотношений (4). Неизвестными в полученной системе уравнений являются - постоянные интегрирования cpl, <р", ц/"й, у/" и значения эффективной теплопроводности к" или среднее значение функции распределения радиоактивных источников тепла pv (г) = р" = const.

В ходе работы было выполнено около 100 различных вариантов расчетов, в которых было рассмотрено влияние задаваемых физических величин в их значимом диапазоне значений на общее температурное и тепловое состояние глубинных недр Земли. На рисунках 2-4 представлены результаты расчетов с вариацией неуверенно определяемых величин. Опираясь на полученные результаты, сделан вывод о том, что величина теплового потока из ядра в мантию находится в пределах 5-9 ТВт.

30

QCM,TBm 20 15 10 5

1240°С

0

4.8 5.0 5.2 5.4

5.6 к,,Вт/м°С 6.0

6.2

Рисунок 2 - Зависимость теплового потока из ядра в мантию ()смв от величины эффективной теплопроводности внешнего слоя к, и температуры первого фазового перехода, Т'2)

Рисунок 4 позволяет проследить корреляцию между значением теплового потока из ядра в мантию и величиной среднего содержания тепловых

источников в земной коре в зависимости от температур на глубине 100 км и на границе ядро-мантия. Данная зависимость является удобной диаграммой для учета всех факторов, влияющих на тепловой поток из ядра.

Рисунок 3 - Зависимость теплового потока из ядра в мантию ()сш от температур первого фазового перехода Т'2) и границы ядро-мантия

Представленные результаты показывают определяющее влияние величины средней эффективной теплопроводности земной коры на общее термодинамическое состояние планеты в целом. Уточнение значения именно этой величины позволит с большей уверенностью определить значения как тепловых потоков в недрах Земли, так и содержание радиоактивных источников в коре.

1.40Е+13

Qcмв > Вт

1.00Е+13 8.00Е+12 6.00Е+12

4.00Е+12

I

/ ) / 300( 1 ГС

Ч 1 1 "'1 »-ч, Г>...... 1 N...

Тсш = 5000° с ,к"""..... 1,. 1 ►

1. > ►

»-1160 »-1180 1200 —Ч— 1220 -Ж- 1240

3.20Е-02

3.40Е-02

3.60Е-02

3.80Е-02 д™ 4.00Е-02

Рисунок 4 - Корреляция между количеством радиоактивных источников в земной коре д[!\ температурой на границе ядро-мантия Тст, температурой первого фазового перехода, Т'2} и величиной теплового потока из ядра (л"(1) = 5 Вт/м °С)

35

О сив >ТВт

25 20 15 10 5

1160 1170 1180 1190 1200 1210 Г®,°С 1230 1240

Рисунок 5 - Эволюция температурного поля модели Тсш = 4000 °С, Г,® =1200 "С, аг(,)= 5 Вт/м°С

Рисунок 6 - Эволюция распределения теплового потока Тсив = 4000°С, Г® =1200 "С, *г0,= 5 Вт/м°С

На рисунках 5 и 6 представлена эволюция температурного и теплового поля с течением времени. Глубинные распределения температуры и теплового потока представлены с интервалом времени в один млрд. лет, что позволяет легко рассмотреть не существенное изменение величины теплового потока с течением времени. Строго говоря, данные результаты корректны в интер-

валах времени в десятки и сотни млн. лет, а интервал в один млрд. лет использован для наглядности.

Слабое изменение величины теплового потока из ядра в мантию в рамках теории геомагнитного динамо может объяснить тот факт, что генерируемое магнитное поле Земли за длительное время изменяется несущественно.

В третьей главе представлено математическое моделирование задачи о гидродинамическом течении между слегка дифференциально вращающимися относительно одной оси коаксиальными сферами (рисунок 7). Данная задача имеет место при рассмотрении простейшей модели ядра Земли, которое состоит из двух частей - внешнего жидкого ядра (сферическая оболочка) и внутреннего твердого (шар). Процессы, происходящие в ядре (кристаллизация вещества на поверхности твердого ядра, действие магнитного поля и т.п.), приводят к возникновению дополнительного вращательного момента, действующего на твердое ядро, поэтому твердое ядро вращается несколько быстрее, чем мантия, ограничивающая жидкое ядро с внешней стороны. При таком быстром слегка дифференциальном вращении формируются тонкие пограничные и сдвиговые слои (рисунок 8), называемые пограничными слоями Экмана и сдвиговыми слоями Стюартсона, а само течение называют течением Праудмана - Стюартсона, которые впервые рассмотрели его в 1956 и в 1966 годах. В асимптотическом пределе размеры этих слоев характеризуются числом Экмана Е = ^ 2, характеризующим отношение сил вязкости к

силам Кориолиса, для Земли равном Е »10"14 10"15.

При постановке задачи о численном моделировании гидродинамического течения использовались следующие допущения:

а) течение жидкости происходит при отсутствии магнитного поля;

Рисунок 7 - Простейшая модель жидкого ядра Земли

Рисунок 8 - Структура пограничных и сдвиговых гидродинамических слоев

б) течение в ядре осесимметричное, жидкость изотропная и однофазная и подчиняется обобщенному закону Ньютона,

в) плотность вещества - есть функция, зависящая только от радиуса,

г) движение жидкости происходит только вследствие дифференциального вращения мантии и твердого ядра,

д) скорость вращения границ постоянная,

е) не учитываются процессы, связанные с тепловым состоянием жидкого ядра (кристаллизация, перенос тепла, радиоактивное тепловыделение),

ж) не учитывается рост твердого ядра вследствие кристаллизации вещества на границе жидкое - твердое ядро

Во вращающейся с угловой скоростью внешней оболочки С10 системе координат система дифференциальных уравнений вязкой сжимаемой жидкости в потенциальном поле тяжести и, в «напряжениях» имеет вид

у(/*0=о,

~ ^ - - г,,,

р— + 2рС10егху=р\,и-рУ -

+ УР

где для ньютоновской жидкости тензор касательных напряжений имеет вид

р - величина статического давления, «

в = <1е/(у) - тензор скоростей деформаций, I - единичный тензор

Величина скалярного давления в жидком ядре гигантская и практически полностью уравновешивается потенциальным полем сил тяготения, поэтому удобно рассматривать величину модифицированного давления (далее штрих опускается)

У 2

В безразмерном виде моделируемая система уравнений выглядит следующим образом

У(р?)=0,

^ + Яо (?УХ/т?)+2рег х у = УР (5)

Ы

-р-Г 2

Р = Е грЪ+^-р-Е JpVvj I

или в матричном виде в декартовой системе координат

311 дЕ д¥ Зв „ .

-+-+-- + — + Н = 0, (6)

Ы дх ду &

и =

'о л

f»y

,Е=

Р\

Ro-pvxvx-Ro-pvxv} -zxy Ro-pvxv-xaJ dv.

,F=

'pvy

Ro-pv}vx-Tyx Ro-pvyvy-ryy Ropvyvz- r^j

,G=

P\

Rop4vx-za Ro-pvzvy -zly Ro-pvzvz-xzz;

, H =

' 0 N

2 pv, 0

2^-~dlV(v)yp, Ту = тух = pE

dvx dv ду dx

■pE

'4-!*<')

. dy 3

„f dv, dv.

\

Условие осевой и экваториальной симметрии позволяет рассмотреть решение задачи не во всем сферическом слое, а в секторе с углом раскрытия dtp, представленном на рисунке 9

Граничные условия.

- на внутренней и внешней границах имеет место граничное условие прилипания

9 = 0, при г = г0 v = ер sin#, при г = rt =1

- на оси вращения и области экватора граничные условия симметрии, что соответствует на оси вращения

dv, Л dv,

- на экваторе

~ = 0, —-- = 0, vz =0, oz az

- области периодичности 1 и 2 связаны между собой условием периодичности

Все расчетные параметры связаны с ячейками расчетной сетки. Задача решалась с использованием схемы расщепления по физическим параметрам в три этапа На этапе 1 предполагается, что перенос импульса осуществляется только за счет конвекции и диффузии

V — У

At

= —Ro (v"vXw")-2рёгхГ+VP",

P"=E 2pSn-E |pVv" I

В этом случае каждая ячейка расчетной сетки представляет собой контрольный объем, в котором интегральные уравнения аппроксимированы следующим образом

г _ и" \

1(ЕЛ/+РА+Сл)+^н, =° (7)

м

где I - порядковый номер контрольного объема,

т(г) - число граней, составляющих г -ый контрольный объем,

Sj = {¿"^, , }Г - вектор внешней нормальной площади к ] -ой грани контрольного объема,

А? - шаг дискретизации по времени.

прилипание

= 0

U

экваториальн симметрия

Рисунок 9 - Расчетная область и расчетная сетка

На этапе 2 по найденному промежуточному полю скорости v рассчитывается поле давления:

А/

Для решения уравнения Пуассона на каждом шаге по времени используется итерационный метод Гаусса-Зейделя.

На этапе 3 предполагается, что перенос импульса осуществляется только за счет градиента давления (конвекция и диффузия отсутствуют):

v"+1=v-AiV+1.

Дискретизация первых и вторых производных осуществлялась относительно ячеек расчетной сетки со вторым порядком аппроксимации по пространству на 27 точечном шаблоне с учетом метрических коэффициентов. Для определения значения производных на границе контрольных объемов использовалась линейная интерполяции, при расчете конвективных членов применялась схема, использующая снос параметров по потоку «Upwind».

Для расчета значений давления на твердых границах расчетной сетки использовалась проекция уравнения переноса импульса на нормальный вектор к поверхности

Для разрешения тонких газодинамических пограничных и сдвиговых слоев используется подвижная адаптивная расчетная сетка, при этом ставится вариационная задача о минимизации функционала плотности энергии отображения

/=- ~(8) 2 И Щр)

Для некоторой системы координат х,у с учетом адаптации расчетной сетки к некоторой функции /{х,у) (в качестве адаптивной функции использовалось поле относительной угловой скорости вращения)

= 8п = + УсУч + (/.*« + /,У( + /Л )'

Подставляя (9) в (8) в окончательном виде получим

где

а. — ~ 2х^хгрп + ,

Р = Х{У&2 - + хпУ^Рм + Х.Уг,^,,

У - У$&22 ~ 1У$Утр\г +

Минимизируется средняя плотность энергии отображения целевой ячейки на плоскости (Х,У) в соответствующую ячейку на поверхности г = /(х,у) Отображение т]) -»(X, У) считается известным (начальная расчетная сетка), а компоненты метрического тензора вычисляются по формулам

=Х] + = (?21 = Х(ХЧ + , (?22 = Х2п + У*

На рисунке 10 представлена эволюция расчетной сетки при уменьшении числа Экмана от 1е-2 до 1е-8, при этом явно видна локализация линий расчетной сетки в районе пограничных экмановских и сдвиговых стюартсо-новских слоев

На рисунке 11 представлено одно из решений полученных при математическом моделировании гидродинамического течения Явно видно формирование пограничных и сдвиговых слоев, при этом их структура не изменяется при уменьшении числа Экмана На рисунке 12 представлено сравнение полученного численного решения при разных числах Экмана с аналитическим решением в асимптотическом пределе Яо = 03 Е —»0, как видно асимптотический режим течения наблюдается примерно с числа Экмана 1е-8, что

полностью согласуется с результатами моделирования с использованием разложения на сферические гармоники.

Рисунок 10 - Адаптация расчетной сетки при уменьшении числа Экмана

, угловая скорость

модифицированное давление , ,

дифференциального вращения

х компонента скорости г компонента скорости

Рисунок 11 - Результаты численного моделирования (Е = 1е-2)

-теория Е = О

-Е= 1.00Е-02

----Е= 1.00Е-03

......Е= 1.00Е-04

-----Е = 1.00Е-05

-----Е - 1.00Е-06

-Е= I.00E-07

--Е= 1.00Е-08

0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 Расстояние от оси вращения

Рисунок 12 - Сравнение численных результатов с точным асимптотическим решением Праудмана

В четвертой главе диссертации представлено описание разработанной программной библиотеки ScL (Scientific Library) предназначенной для создания программ на объектно-ориентированном языке С++, использующих методы математического моделирования.

Основные принципы инструментария ScL:

- все структуры данных должны быть интуитивно понятны, а методы работы с ним полностью соответствовать семантике языка С++ и их математическому виду;

- алгоритмы и структуры данных должны предоставлять собой набор инструментов как можно более быстрый и как можно менее требовательный к ресурсам вычислительной техники;

- пользовательские структуры данных должны полностью интегрироваться с внутренними структурами библиотеки, и предоставлять возможность работы с ними уже имеющихся алгоритмов и методов;

- вся структура библиотеки должна иметь возможность деления на элементарные «кирпичики», предоставляя пользователю возможность сборки собственного инструментария для решения его конкретной задачи.

Текущая сфера применения:

- область вычислительной геометрии, с использованием сплайнов Бе-зье, B-сплайны, NURBS и т.п.;

- методы математического моделирования связанные с дискретизацией на конечно-разностных расчетных сетках, а также с использованием бессеточных методов,

- математическое моделирование с использованием методов линейной алгебры,

- плоская и пространственная визуализация с использованием инструментария кроссплатформенных библиотек Qt и OpenGL

Основные достижения библиотеки

- разделение типов данных и структур данных позволяют при необходимости легко динамически интегрировать пользовательские типы данных внутрь библиотеки без необходимости ее перекомпиляции,

- реализованы структуры данных для работы с расчетными сетками различной топологии, при этом поля параметров любых типов могут быть связаны с любыми структурными элементами расчетной сетки (узлы, ребра, грани, ячейки) при этом автоматически происходит выделение и освобождение необходимого количества оперативной памяти,

Пример,

sclQuadMesh mesh{3, 100, 100, 2), // расчетная сетча (пространсвекная размерность, количество узлов го каждой из размерностей) sclDoubleDistr Р("Р", mesh, 3, 0 0), // давление в ячейках (имя поля, принадлежность к сетке, пространственный уровень ячеек, значение ^о умогчанию)

for (i = 0, 1 < Р sizeO, ++1) P[i] = rhoU] * k * R * TU], // уравнение состояния идеального газа

- для минимизации необходимого количества оперативной памяти и увеличения производительности вычислений введены некоторые понятия

а) деление ячеек на уровни

Определение 1. Ячейкой п-го уровня будем называть пространственное множество ccRm (т>п), гомеоморфное внутренней области п-размерного шара D" ={х <= R" \ х < 1} При этом число п называется размерностью ячейки

Определение 2. Структурой ячейки будем называть некоторое правило взаимосвязей ее элементов, определяющее упорядочение составляющих ее ячеек более низкого уровня (рисунок 13)

б) взаимная ориентация ячеек (введено впервые)

Определение 3. Взаимной ориентацией ячейки относительно, составляющей ее грани (или грани относительно включающей ее в себя ячейки) будем называть соответствие структуры этой грани структуре самой ячейки Будем считать взаимную ориентацию положительной, если структура

грани совпадает со структурой ячейки, и отрицательной в противном случае.

По умолчанию хранится минимальный набор связей между ячейками соседнего уровня при этом их взаимная ориентация храниться в старшем бите связи, что в два раза уменьшает необходимое количество оперативной памяти. При необходимости пользователь может индексировать ячейки одного уровня относительно любого другого, что позволяет увеличить производительность вычислений.

- реализованы структуры данных для работы с векторами и матрицами различного представления (минуя использование механизма шаблонов языка С++) при этом при работе с ними используется ожидаемая математическая интерпретация; работа оптимизирована за счет исключения операций с нулевыми элементами (механизм итераторов), возможно динамическое изменение типа и нет необходимости в априорной оценке количества элементов вектора или матрицы; Пример,

sclMatrix А(1000000, 1000000, "sparse "); sclVector у(1000000, "full"), xllOOOOOO, "full");

A[i][j] = 10.0; // доступ к элементам матрицы полностью соответствует семантике языка С++ (элемент автоматически создается при необходимости) A[i] = х; /7 А[1] - вектор-строка матрицы; у = А * (alpha * х) + (beta * у);

Программная библиотека ScL уже сегодня является базой ряда программных комплексов, используемых в промышленных целях для решения ряда инженерных задач, таких как, оптимизация геометрии элементов конструкции газотурбинных двигателей, организация решения сопряженных задач аэродинамики и прочности с использованием коммерческого программного обеспечения и др.

п, п2 п,

Рисунок 13 - Ячейка и ее структурная диаграмма

Представленный программный инструментарий не требует от пользователя глубоких знаний в области программирования и имеет высокие показатели экономичности и скорости исполнения

В общих выводах приведены итоги диссертационной работы и сформулированы ее основные результаты

- построена простая самосогласованная тепловая модель мантии Земли, опирающаяся только на достоверно известные данные,

- показана зависимость теплового состояния мантии от возможных вариаций температуры на границе ядро-мантия, теплопроводности во внешнем слое и температуры фазового перехода на глубине 100 км,

- возможно применение разработанной модели для оценки теплового и температурного состояния недр других планет и спутников,

- численно решена задача о течении между слегка дифференциально вращающимися сферическими оболочками, применение метода контрольного объема и адаптации криволинейной расчетной сетки позволил впервые моделирование этой задачи на обычном ПК, не привлекая мощных вычислительных серверов и суперкомпьютеров,

- разработанная структура и заложенная идеология в основу библиотеки ScL позволяет даже начинающему программисту легко освоить работу с ней, так как семантика библиотеки полностью соответствует ожидаемой математической интерпретации

- опыт применения библиотеки ScL показал, что ее использование ведет к существенному уменьшению необходимого для решения поставленной задачи программного кода (более чем в несколько раз), при этом, практически, исключая возможность некорректной работы с памятью ЭВМ, не теряя при этом в производительности вычислений

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1 Старченко С В , Степанов А А Источники и потоки тепла в мантии Земли // ДАН РАН, 2002, Т 384, № 3, С 391-394 (Starchenko S V, Stepanov A A Heat sources and fluxes in the Earth's mantle Doclady Earth Sciences, vol 384, N 4, 2002, P 438-441 )

2 Stepanov A A , Starchenko S V The numerical modeling of Proudman-Stewartson's flow // The Works of 5th International Conference "PROBLEM OF GEOCOSMOS" 2004 p 264-268

3 Степанов A A, Старченко С В "Сферически-симметричный тепло-перенос в мантии" // Электронный журнал "Исследовано в России", 169, стр 1760 - 1770,2005 г (http //zhurnal аре relarn ru/articles/2005/169 pdf)

4 Степанов А А, Старков Р Ю Алгоритм построения двумерной расчетной сетки для решения задач газовой динамики в решетках турбомашин // Сб трудов семинара «Построение расчетных сеток теория и приложения» М Вычислительный центр РАН, 2002,- с 317-326

5 Степанов А А Применение адаптивных расчетных сеток для разрешения супертонких пограничных слоев // Сб трудов всероссийской конфе-

ренции «Прикладная геометрия, построение расчетных сеток и высокопроизводительные вычисления» М Вычислительный центр РАН, 2004 т 1, с 76 -86

6 Степанов А А, Смирнова М А Обмен данными при решении сопряженных задач // Труды Всероссийской конференции «Численная геометрия, построение расчетных сеток и высокопроизводительные вычисления» М Издательство «Фолиум», 2006, с 166-171

7 Степанов А А, Средства разработки программного обеспечения в приложении к расчетным сеткам // Труды Всероссийской конференции «Численная геометрия, построение расчетных сеток и высокопроизводительные вычисления» М Издательство «Фолиум», 2006, с 172-179

8 Свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ №2006613408 от 29 сентября 2006 г Модуль визуализации и контроля параметров компрессорной лопатки

9 Степанов А А, Тепловое состояние и гидродинамика глубинных недр Земли. - Саранск Средневолжское матем общество, 2007, препринт №109,36 с.

Зав РИОМ А Салкова Подписано в печать 27 09 2007 Формат 60x84 1/16 Уч-издл 1,5 Тираж 100 Заказ 75

Рыбинская государственная авиационная технологическая академия им П А Соловьева (РГАТА)

Адрес редакции 152934, г Рыбинск, ул Пушкина, 53 Отпечатано в множительной лаборатории РГАТА 152934, г Рыбинск, ул Пушкина, 53

ВВЕДЕНИЕ.

Цель работы и ее актуальность.

Методы исследования.

Научная новизна.

Практическая значимость.

Достоверность.

Внедрение научных результатов.

Апробация работы.

Публикации.

Объем и структура диссертационной работы.

ГЛАВА 1. ОБЗОР И АНАЛИЗ ПРОБЛЕМЫ.

1.1 Строение Земли.

1.2 Распространение тепла в мантии Земли.

1.3 Конвекция в жидком ядре Земли.

1.3.1 Краткая предыстория вопроса.

1.3.2 Гидромагнитное геодинамо.

1.3.3 Физическая картина течения.

1.3.4 Течение Праудмана-Стюартсона.

1.4 Адаптивные расчетные сетки.

Выводы по главе.

ГЛАВА 2. ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА О ТЕПЛОВОМ СОСТОЯНИИ МАНТИИ.

2.1 Оценка эффективной теплопроводности.

2.2 Приближенное решение уравнений теплопереноса.

2.3 Общая методика определения теплопереноса в мантии.

2.4 Тепловая модель Земли.

Выводы по главе.

ГЛАВА 3. ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ОСЕСИММЕТРИЧ

НОГО ТЕЧЕНИЯ В ЖИДКОМ ЯДРЕ.

3.1 Течение жидкости во вращающейся системе координат.

3.2 Физико-математическая модель.

3.3 Численная модель и конечно-разностная аппроксимация.

3.4 Результаты математического моделирования.

Выводы по главе.

ГЛАВА 4. ПРОГРАММНАЯ БИБЛИОТЕКА МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ SCL.

4.1 Актуальность разработки библиотеки.

4.2 Общая структура и идеология библиотеки ScL.

4.3 Модули библиотеки ScL.

4.3.1 Модуль scl Utility.

4.3.2 Модуль sclMath.

4.3.3 Модуль sclCommon.

4.3.4 Модуль sclMesh.

4.3.5 Модуль sclLinearAlgebra.

Выводы по главе.

Цель работы и ее актуальность

Процессы, происходящие в недрах звезд, планет и спутников, на сегодняшний день являются плохо изученными как теоретически, так практически, и численно.

При теоретическом исследовании основные трудности связаны с высокой математической сложностью моделей. Космические размеры и огромные градиенты физических параметров приводят к появлению достаточно тонких в космических масштабах структур, поведение и взаимодействие которых полностью определяют характер протекающих процессов. К сожалению, на сегодняшний день теоретически удалось разрешить достаточно узкий круг задач при существенных физических допущениях при их постановке.

С практической точки зрения остаются неизвестными состав и свойства веществ исследуемых систем. Взять непосредственно образцы с помощью современных технических средств не представляется возможным. В тоже время нельзя и экспериментально смоделировать те физические условия, которые имеют место в глубинных недрах. Имеющиеся на сегодняшний день оценки получены экстраполяцией экспериментальных данных для «чистых» веществ, а также по косвенным наблюдениям происходящих явлений (распространение сейсмических волн, прецессия и др.). При этом используются различные математические модели, которые чаще всего опираются на недостоверно известные сведения, и как следствие, результаты различных авторов сильно отличаются друг от друга.

Развитие численных методов, а также мощности вычислительных систем позволяют надеяться на то, что в ближайшем будущем удастся детально смоделировать происходящие в недрах планет процессы. Однако, применяемые в данной области физики методы математического моделирования очень требовательны к ресурсам вычислительных систем, и, даже с учетом роста производительности последних, эти подходы в ближайшее обозримое буду6 щее не позволят смоделировать процессы при параметрах близких к реальным физическим параметрам веществ.

Достаточно большое количество коммерческих программных комплексов предназначенных для математического моделирования задач гидравлики, газовой динамики, прочности, теплопереноса еще до сих пор не способны решать многие специализированные исследовательские задачи. В связи с этим для их решения существует необходимость в разработке собственных программных кодов. К сожалению, набор программного инструментария для относительно быстрого создания собственных программных кодов весьма ограничен и часто требует от исследователя практически профессиональных навыков программирования, что сильно ограничивает круг людей, которые могли бы решать такие задачи.

В связи с этим работа, посвященная развитию методов математического моделирования в геофизике, на основе подходов, хорошо зарекомендовавших себя в других отраслях науки и техники, и созданию простого в использовании и интуитивно понятного программного инструментария для решения задач математического моделирования, несомненно, является актуальной.

В работе рассматриваются два связанных между собой явления, рассмотренных на примере нашей планеты, - эффективный перенос тепла от границы жидкое ядро-мантия к поверхности Земли и гидродинамическое течение, возникающее в жидком ядре при слегка дифференциальном вращении мантии и твердого внутреннего ядра.

Цель работы состоит в создании математических моделей, методов и алгоритмов решения более эффективных, чем традиционно используемые в геофизике для математического моделирования процессов теплопереноса в мантии и гидродинамического течения в ядре Земли, а также создании программных средств для их реализации.

В соответствии с поставленной целью определены следующие задачи исследования:

1. Разработать простой метод определения теплового состояния планет, имеющих слоистую структуру, и построить самосогласованную тепловую модель мантии Земли, опираясь только на достаточно уверенно определяемые величины.

2. Рассмотреть простейшую модель течения в жидком ядре Земли и получить ее численное решение методом, использующим адаптацию расчетной сетки к возникающим тонким гидродинамическим пограничным и сдвиговым слоям.

3. Разработать библиотеку программных кодов для реализации методов и алгоритмов вычислительной математики и визуализации результатов численных расчетов.

Методы исследования

Для решения поставленных в диссертации задач использовались методы математического моделирования, дифференциальной геометрии, теория гармонических отображений, теория подобия и размерностей, методы вычислительной математики и объектно-ориентированного программирования.

Основные результаты работы. На защиту выносятся следующие результаты, отличающиеся научной новизной:

1. Самосогласованная тепловая модель мантии Земли, опирающаяся только на достоверно известные данные, и ее метод построения для космических объектов слоистой структуры, основанный на разложении решения уравнения теплопереноса в ряд Тейлора по временной переменной.

2. Математическая модель течения в жидком ядре Земли, использующая метод контрольных объемов с адаптацией расчетной сетки под градиент компонент вектора скорости.

3. Программная библиотека методов и алгоритмов вычислительной математики и программный комплекс трехмерной визуализации и обработки численных результатов расчетов.

Научная новизна

1. Впервые построена простая самосогласованная тепловая модель мантии Земли, опирающаяся только на достоверно известные данные - величину теплового потока с поверхности и значения температуры в реперных точках, соответствующих фазовым переходам веществ. Рассмотрена зависимость теплового состояния мантии Земли от некоторых неуверенно определяемых величин, таких как эффективная теплопроводность внешней оболочки (земная кора и океаны), температуры на границе ядро-мантия. Построенная модель позволяет независимо оценить среднее содержание радиоактивных источников в земной коре. Пользуясь полученными результатами можно легко оценить распределения температуры и теплового потока в недрах Земли, а также их эволюцию в зависимости от уточняемых величин (температура на границе ядро-мантия, количество радиоактивных источников и т.п.). Разработанный метод построения тепловой модели планеты является оригинальным (независимым от других) методом определения температуры и теплового потока и может быть использован как один из критериев для проверки корректности других методов.

2. Построена численная модель осесимметричного течения в жидком ядре, основанной на конечно-разностной дискретизации с использованием подвижной адаптивной расчетной сетки, и на персональном компьютере получены решения системы уравнений Навье-Стокса с характерным числом

Экмана вплоть до значений Ю 8 (такие же результаты были достигнуты другими авторами с использованием длительного счета на суперкомпьютерах). Показано, что применение данного подхода для моделирования более сложного течения в недрах Земли и других космических объектах с учетом магнитного поля предпочтительнее, чем методов, использующих разложение решения по сферическим гармоникам.

3. Для достижения полученных результатов на языке программирования С++ разработана кроссплатформенная библиотека программных кодов, позволяющая:

- единообразно работать с расчетными сетками, имеющими различную структуру, а также сопоставлять им данные любого типа, которые могут быть связаны с любой структурной единицей (узлы, ребра, грани, ячейки и т.п.) расчетной сетки;

- единообразно работать с векторами и матрицами различного вида (полноразмерными, разреженными, ленточными и т.п.), с полным сохранением их привычной математической интерпретации и семантики языка программирования С++;

- осуществлять визуализацию расчетных данных с использованием кроссплатформенной библиотеки трехмерной графики OpenGL.

Практическая значимость

Численные результаты, полученные в ходе работы, показали эффективность разработанных моделей по сравнению с имеющимися подходами в геофизике.

Разработанная простая и самосогласованная тепловая модель мантии может быть применена для определения теплового состояния других космических объектов, состоящих из сферических оболочек.

Моделирование течения в жидком ядре Земли с использованием подвижных адаптивных расчетных сеток уже сегодня позволяет получить достоверные результаты для параметров близких к реальным параметрам в ее недрах, при этом требуют несравнимо меньших затрат вычислительных ресурсов.

Разработанная программная библиотека внедрена в промышленную эксплуатацию и нашла свое применение при решении наукоемких задач в ряде программных комплексов, успешно используемых в промышленных, научных и учебных целях.

Полученные в численных экспериментах результаты углубляют понимание происходящих в недрах планет процессов, и механизмы формирования и взаимодействия тончайших гидродинамических структур.

Достоверность

Достоверность полученных результатов подтверждается их соответствием общепринятым представлениям, сравнением их с другими подобными работами, проверкой программной реализации на ряде тестовых задач, а так же с теоретическими результатами, имеющими место в асимптотическом пределе, для задачи о течении между двумя слегка дифференциально вращающимися коаксиальными сферами.

Внедрение научных результатов

Полученные в диссертационной работе результаты, используются в программных комплексах «TurbBlade2D», «TurbBlade2.5D» для построение расчетных сеток, которые применяются на ОАО «НПО «Сатурн» в процессе проектирования лопаток турбомашин, в программных средствах для решения сопряженных задач, а также в программном комплексе трехмерной визуализации и обработки результатов численных расчетов «VisuaBDpro», применяемом на ОАО «НПО «Сатурн» и кафедре общей и технической физике Рыбинской государственной авиационной технологической академии имени П.А. Соловьева, что подтверждается соответствующими актами внедрения.

Апробация работы

Материалы диссертации докладывались и обсуждались на научно-технической конференции «Аэрокосмические технологии и образование на рубеже веков» (РГАТА, г.Рыбинск, 2002), на семинаре отдела «Постоянного магнитного поля Земли» (г.Троицк, ИЗМИР АН, 2002), на международной ассамблее EGU-EGS-EEE (г.Ницца, 2003), международной конференции «PROBLEMS OF GEOCOSMOS» (СпГУ, г.Санкт-Петербург, 2004, 2006), на международном семинаре «Построение расчетных сеток: теория и приложения» (ВЦ им. А.А. Дородницина РАН, г. Москва, 2002), на всероссийской конференции «Прикладная геометрия, построение расчетных сеток и высокопроизводительные вычисления» (ВЦ им. А.А. Дородницина РАН, г. Москва, 2004), на Всероссийской конференции «Численная геометрия, построение расчетных сеток и высокопроизводительные вычисления» (ВЦ им. А.А. Дородницина РАН, г. Москва, 2006) на 8-ом симпозиуме SEDI (Калифорния, США, 2002), на международных конференциях «Палеомагнетизм и магнетизм горных пород» (геофизическая обсерватория «Борок», 2001 -2003), на международной конференции «Супервычисления» (г.Саров, ВНИИЭФ, 2004), на семинарах профессора Д.Д. Соколова (г.Москва, ВЦ МГУ им. М.В. Ломоносова, 2003 - 2004), на объединенном семинаре кафедры прикладной математики и Средневолжского математического общества под руководством Е.В. Воскресенского (г. Саранск, 2007).

По материалам работы в 2002 году автор получил диплом лауреата областного конкурса на лучшую научно-исследовательскую работу. Работа выполнялась в рамках ряда проектов: грант Министерства высшего образования АОЗ-2.13-375, грант РФФИ 02-05-64888, грантов ИНТАС 99-0348 и 03-515807.

Публикации

Основные материалы диссертационной работы достаточно полно опубликованы в доступных литературных источниках. По результатам проведенных исследований опубликовано 9 работ, в том числе одна статья в издании, рекомендованном ВАК, и одна программа, имеющая свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ, которая приравнивается к публикациям в журналах, рекомендованных ВАК.

Объем и структура диссертационной работы

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка использованных источников и приложений. Объем диссертации составляет 159 страниц машинописного текста и 5 приложений, список использованных источников содержит 106 наименований.

Выводы по главе

В настоящее время работы направленные на создание программных средств, позволяющих достаточно легко ставить и решать задачи математического моделирования, являются весьма актуальными.

В ходе работы над диссертацией на объектно-ориентированном языке программирования С++ разработана программная библиотека ScL (,Scientific Library), которая предоставляет пользователю набор структур данных и методов работы с ними при решении задач связанных с использованием: расчетных сеток (модуль sclMesh), аппарата линейной алгебры (sclLinearAlgebra), трехмерной визуализации (sclGraphics).

Разработанная структура и заложенная идеология в основу библиотеки ScL позволяет легко освоить работу с ней, так как семантика библиотеки полностью соответствует ожидаемой математической интерпретации.

На базе представленной библиотеки разработан целый ряд программного обеспечения используемого в промышленных и научно-исследовательских целях на ОАО «НПО «Сатурн» и кафедре обшей и технической физики РГАТА им. П.А. Соловьева [100], [101], [102], [103], [104], [105]. Программный комплекс Visual3Dpro для автоматической обработки и визуализации результатов трехмерных численных расчетов с использованием расчетных сеток разработанный автором представлен в приложение Д.

Опыт применения библиотеки ScL показал, что ее использование ведет к существенному уменьшению необходимого для решения поставленной задачи программного кода (более чем в несколько раз), при этом, практически, исключая возможность некорректной работы с памятью ЭВМ, не теряя при этом в производительности вычислений.

Впервые построена простая самосогласованная тепловая модель мантии Земли, опирающаяся только на достоверно известные данные - величину теплового потока с поверхности и значения температуры в реперных точках, соответствующих фазовым переходам веществ. Рассмотрена зависимость теплового состояния мантии Земли от некоторых неуверенно определяемых величин, таких как эффективная теплопроводность внешней оболочки (земная кора и океаны), температуры на границе ядро-мантия. Построенная модель позволяет независимо оценить среднее содержание радиоактивных источников в земной коре. Пользуясь полученными результатами можно легко оценить распределения температуры и теплового потока в недрах Земли, а также их эволюцию в зависимости от уточняемых величин (температура на границе ядро-мантия, количество радиоактивных источников и т.п.). Разработанный метод построения тепловой модели планеты является оригинальным (независимым от других) методом определения температуры и теплового потока и может быть использован как один из критериев для проверки корректности других методов.

Построена численная модель осесимметричного течения в жидком ядре, основанной на конечно-разностной дискретизации с использованием подвижной адаптивной расчетной сетки, и на персональном компьютере получены решения системы уравнений Навье-Стокса с характерным числом Экмана вплоть до значений 10~8 (такие же результаты были достигнуты другими авторами с использованием длительного счета на суперкомпьютерах). Показано, что применение данного подхода для моделирования более сложного течения в недрах Земли и других космических объектах с учетом магнитного поля предпочтительнее, чем методов, использующих разложение решения по сферическим гармоникам.

Для достижения полученных результатов на языке программирования С++ разработана кроссплатформенная библиотека программных кодов, позволяющая:

- единообразно работать с расчетными сетками, имеющими различную структуру, а также сопоставлять им данные любого типа, которые могут быть связаны с любой структурной единицей (узлы, ребра, грани, ячейки и т.п.) расчетной сетки;

- единообразно работать с векторами и матрицами различного вида (полноразмерными, разреженными, ленточными и т.п.), с полным сохранением их привычной математической интерпретации и семантики языка программирования С++;

- осуществлять визуализацию расчетных данных с использованием кроссплатформенной библиотеки трехмерной графики OpenGL.

1. М.Ф. Иванова. Общая геология. Учебник для студентов ун-тов. М.: Высшая школа, 1974. - 400 е., ил.

2. Б. Болт. В глубинах Земли. О чем рассказывают землетрясения. Пер. с англ. М.: Мир, 1984, - 189с., ил.

3. Мамсуров М.С. Сейсмология и сейсмометрия. М.: Знание, 1982. 48 с. -(Новое в жизни, науке, технике. Сер. "Науки о Земле"; № 4).

4. A.M. Dziewonski, D.L. Anderson. Preliminary Reference Earth Model. Physics of Earth and Planetary Interiors, 25 (1981), pages 297 356.

5. F. Birch. Composition of the Earth's mantle. Geophys. J. Roy. Astr. Soc., 4 (1961), pp.295-311.

6. Ф. Стэйси. Физика Земли. Пер. с англ. -М.: Мир, 1972, 344 с.

7. Q. Williams, Е. Knittle, R. Jeanloz. The high-pressure melting curve of iron: a technical discussion. J. Geophys. Res., 96 (1991), pp. 2171 -2184.

8. O.L. Anderson, A. Duba. Experimental melting curve of iron revisited. J. Geophys. Res. 102 (1997), 22659-22669.

9. R. Bouhler. Temperature in the Earth's core from melting point Measurements of iron at high static pressures. Nature 363 (1993), 534 536.

10. Takesi Yukutake2000. The inner core and the surface heat flow as clues to estimating the initial temperature of the Earth's core. Physics of Earth and Planetary Interiors, 121 (2000), pages 103 137.

11. Жарков B.H., Трубицын В.П. Физика планетных недр. М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1980. 448 с.

12. Любимова Е.А. Термика Земли и Луны. М.: Наука, 1958.

13. Lubimova Е.А. Thermal history of the Earth with consideration of the variable thermal conductivity of its mantle. Geophys. J., Roy. Astron. Soc., 1,115 (1958).

14. Mac Donald G. J. F. Calculation of the thermal history of the Earth. // J. Geophys. Res., vol.64, 1959, pp.1967 1977.

15. Авсюк Ю.Н., Адушкин В.В., Овчинников В.М. Комплексное исследование подвижности внутреннего ядра Земли. Ж. Физика Земли, №8, 2001, с.64-75.

16. Van Schmus W.R. Natural radioactivity of the crust and mantle. Global Earth Physics. A Handbook of Physical Constants. AGU Reference Shelf 1. Am. Geo-phys., 1995, p.p. 283-291.

17. Stacey F.D. Physics of the Earth. Brookfield Press, Queensland, Australia, 1992,513р.

18. Loper D.E. The nature and consequences of thermal interaction twixt core and mantle. J. Geomagn. Geoelectr. 43 (1991), P. 79 -91.

19. Roberts P.H., Glatzmaier G.A. Geodynamo theory and simulations. Review of Modern Physics, Vol. 72, No. 4, 2000, pp. 1081 1123.

20. G.A. Glatzmaier, P.H. Roberts. Simulating the geodynamo. Contemporary Physics, 1997, volume 38, number 4, pages 269 288

21. Жарков B.H. Внутреннее строение Земли и планет. М.: Наука, 1978.

22. Старченко С.В., Степанов А.А. Источники и потоки тепла в мантии Земли // ДАН, 2002, Т. 384, № 3, С. 391 394.

23. Starchenko S., Stepanov A. Heat sources and fluxes in the Earth's mantle// Do-clady Earth Science, vol. 384,2002, N. 4, P. 438 441.

24. Степанов A.A., Старченко C.B. Тепловой поток из ядра Земли и внутренние источники в мантии. Труды РНКТ-3 в восьми томах. 2002. Том 7, с 258262.

25. Stepanov A.A., Starchenko S.V. The numerical modeling of Proudman-Stewartson's flow. // The Works of 5th International Conference "PROBLEM OF GEOCOSMOS". 2004. p. 264 268.

26. Stevenson D.J., Spohn Т., Schubert G. Magnetism and thermal evolution of the terrestrial planets // ICARUS 54, 1983, P. 466 489.

27. H.N. Pollack, S.J. Hurter, J.R. Juhnson. Heat flow from the Earth's interior: analyses of the global data set // Rev. Geophys., 1993, V.31. P. 267 280.

28. Рыков B.B., Трубицын В.П. Численное моделирование мантийной конвекции и тектоники континентальных плит, Вычислительная сейсмология. 1994, т. 26. Геодинамика и прогноз землетрясений С.94-102.

29. Рыков В.В., Трубицын В.П. Трехмерная модель мантийной конвекции с движущимися континентами, Вычислительная сейсмология 1994, т.27, Теоретические проблемы геодинамики и сейсмологии. С. 21-41

30. Трубицын В.Р. Бобров A.M., Кубышкин В.В. Тепловая конвекция в мантии, вызванная горизонтальным и вертикальным градиентом температуры // Физика Земли. 1991. № 5. С. 12-23.

31. Трубицын В.П., Белавина Ю.Ф., Рыков В.В. Тепловая конвекция в мантии с переменной вязкостью и континентальной плитой конечных размеров // Физика Земли. 1994, N 7/8, С. 5-17.

32. Тычков С.А., Червов В.В., Черных Г.Г. О численном моделировании тепловой конвекции в мантии Земли. // Доклады академии наук, 2005, том 402, №2, с. 248-254.

33. Parmentier Е.М., Sotin С. and Travis B.J. Turbulent 3-D thermal convection in an infinite Prandl number, volumetrically heated fluid; Implication for mantle dynamics. // Geophys.J. Int., 1994,116. 241-254.

34. Исаченко В.П., ОсиповаВ.А., Сукомел A.C. Теплопередача. M.: Энергия, 1975,-488 с.

35. X. Song, P.G. Richards. Seismological evidence for differential rotation of the Earth's inner core. Nature, 382 (1996), pp. 221 -224.

36. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1978, 736 с.

37. Starchenko S.V., Jones С.A. Typical velocities and magnetic field strengths in planetary interiors // ICARUS, 2002, V. 157 (2), P. 426 435.

38. F.H. Harlow, J.E. Welch. Numerical calculation of time-dependent viscous incompressible flow of fluid with free surface. Phys. Fluid, 1965, vol. 8, No. 12, pp. 2182-2189.

39. S.V. Patankar, D.V. Spalding. A calculation procedure for heat mass and momentum transfer in three-dimensional parabolic flows. Int. J. Heat Mass Transfer. 1972. vol 15, p. 1787.

40. Патанкар C.B. Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости. М.: Энергоатомиздат, 1984, пер. с англ., под ред. В.Д. Вилен-ского, 152 с.

41. Belotserkovskii О.М. Mathematical Modelling on Informatics: Numerical Simulation in the Mechanics of Continuous Media. M.: Moscow State University of Printing Arts, 1997. - 252 pp.

42. Chorin A.J. A numerical method for solving incompressible viscous flow problems. J. Comput. Phys., 1967, vol. 2, No. 1, pp. 12 26.

43. Иваненко С.А. Адаптивно гармонические сетки. М.: Вычислительный центр РАН, 1997,-182 с.

44. J.F. Thompson, Z.U.A. Warsi, C.W. Mastin. Numerical grid generation. (Nord-Holland, N.Y. etc.), 1985

45. J.U. Brackbill. Adaptive grid with directional control. J. Сотр. Phys., 1993, Vol. 108, No. 1, pp. 38-50.

46. Б.Н. Делоне. О пустом шаре. Изв. АН СССР, 1934, Сер. VII, т.6, с. 793 -800.

47. M.G. Voronoi. Nouvelles applications des parametres continus a la theorie des formes quadratiques. J. Reine u. Angew. 134, pp. 198 287.

48. Годунов C.K., Забродин A.B., Иванов М.Я. и др. Численное решение многомерных задач газовой динамики. М.: Наука, 1976,400 с.

49. A.M. Winslow. Numerical solution of the quasilinear Poisson equation in a non-uniform triangle mesh. J. Comput. Phys., 1966, Vol. 1, No 2, pp. 149 172.

50. А.Ф. Сидоров. Об одном алгоритме расчета оптимальных разностных сеток. Тр. матем. ин-та АН СССР, 1966, т. 74, с. 147 151.

51. A.S. Dvinsky. Adaptive grid generation from harmonic maps on Riemanian manifolds. J. Сотр. Phys., 1991, Vol. 95, No. 3, pp. 450 476.

52. Степанов A.A., Старков Р.Ю. Алгоритм построения двумерной расчетной сетки для решения задач газовой динамики в решетках турбомашин. Сб. трудов семинара "Построение расчетных сеток: теория и приложения" М.: Вычислительный центр РАН, 2002,- с.317-326

53. С.А. Иваненко. Вариационные методы построения адаптивных сеток. Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 2003, т. 43, № 6, с.830 844.

54. V.D. Liseikin. On some interpretations of a smoothness functional used in constructing regular and adaptive grids. Russ. J. Numer. Anal. Modelling, Vol. 8, No. 6, pp. 507-518.

55. J.M. Ball. Convexity conditions and existence theorems in nonlinear elasticity. Arch. Ration. Mech. Analys., 1997, v. 63, pp. 337-403.

56. B.A. Гаранжа. Управление метрическими свойствами пространственных отображений. Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 2003, т. 43, № 6, с.818 829.

57. С.А. Иваненко. Управление формой ячеек в процессе построения сетки. Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 2000, т. 40, № 11, с. 1662 1684.

58. Handbook of grid generation. Ed. J.F. Thompson, B.K. Soni. Weatherill. Boca Raton, Fl.: CRC Press, 1990.

59. G. Berti. GrAL the Grid Algorithms Library, http://www.math.tu-cottbus.de/~berti/gral, 2001.

60. G. Berti, Generic software components for Scientific Computing, Ph.D. thesis, Faculty of mathematics, computer science, and natural science, BTU Cottbus, Germany, 2000.

61. Jeremy G. Siek and Andrew Lumsdaine. The matrix template library: A unifying framework for numerical linear algebra. In Parallel Object Oriented Scientific Computing. ECOOP, 1998.

62. The CGAL project. The CGAL home page. Computational Geometry Algorithms Library. http://www.cs.uu.nl/CGAL/, 1999.

63. OpenFOAM: The Open Source CFD Toolbox, http://www.opencfd.co.uk/ openfoam/

64. W.J. Schroeder, K.M. Martin, and W.E. Lorensen. The Visualization Toolkit An Object Oriented Approach to 3D Graphics. Prentice Hall, 1996.

65. The Qt. Trolltech. The Qt homepage, http://www.trolltech.com/, 1994.

66. The OpenGL. Silicon Graphics Inc. The OpenGL homepage, http://www.open-gl.org/, 1992.

67. M. Lee, A.A. Stepanov. The standard template library. Technical report, Hewlett-Packard Laboratories, February 1995.

68. Никитина JI.B., Рузмайкин A.A. Течение внутри Земли, создаваемое относительным вращением мантии и твердого ядра // Геомагнетизм и Аэрономия. 1990. Том. 30. С. 127-131.

69. Старченко С.В. Магнитогидродинамика вязкого сферического слоя, вращающегося в сильном потенциальном поле // ЖЭТФ. 1997. Том. 112. № 6-12. С. 1-23.

70. Старченко С.В. Суперкритическая конвекция при сверхбыстром МГД-вращении // ЖЭТФ. 1999. Том. 115. № 5. С. 1708 1720.

71. Braginsky, S. I. and Roberts, P. H. Equations governing convection in the Earth's core and the geodynamo // Geophys. Astrophys. Fluid Dynamics. 1995. Vol. 79. P. 1-97.

72. Busse, F. H. Thermal instabilities in rapidly rotating system // J. Fluid Mech. 1970. Vol.44. P. 441-460.

73. Glatzmaier, G. A. and Roberts, P. H. An anelastic evolutionary geodynamo simulation driven by compositional and thermal convection // Physica D. 1996. Vol. 97. P. 81-94.

74. Lister, J. R. and Buffett, B. A. The strength and efficiency of thermal and compositional convection in the geodynamo // Phys. Earth Planet. Inter. 1995. Vol. 91. P. 17-30.

75. Proudman, I. The almost rigid rotation of a viscous fluid between concentric spheres//J. Fluid Mech. 1956. Vol. 1. P. 505-516.

76. Roberts, P. H., Jones, C. A. and Calderwood, A. R. Energy fluxes and ohmic dissipation in the Earth's core // to appear in Earth's core and lower mantle 2001 eds. C.A. Jones, A.M. Soward and K. Zhang, Gordon and Breach.

77. Ruzmaikin, A. A. and Starchenko, S. V. On the origin of Uranus and Neptune magnetic fields // Icarus. 1991. Vol. 93. P. 82 87.

78. Starchenko, S. V. Supercritical magneto-convection in rapidly rotating planetary cores // Phys. Earth Planet. Inter. 2000. Vol. 117. № 1-4. P. 225 235.

79. Starchenko, S. V. Anelastic planetary magnetohydrodynamics // NATO Science Series II: Mathematics, Physics and Chemistry. 2001. Vol. 26. P. 217 224.

80. Stewartson, K. On almost rigid rotations. Part 2 // J. Fluid Mech. 1966. Vol. 26. P. 131-144.

81. Wijs, G. A. et al. The viscosity of liquid iron at the physical conditions of the Earth's core // Nature. 1998. Vol. 392. P. 805 807.

82. Kleeorin, N., Rogachevskii, I., Ruzmaikin, A., Soward A. and S. Starchenko, Axisymmetric Flow between Differentially Rotating Spheres in a Dipole Magnetic Field // J. Fluid Mech., 1997, 344, 213-244.

83. Писсанецки С. Технология разреженных матриц. М.: Мир, 1988,410 с.

84. Дж. Райе. Матричные вычисления и математическое обеспечение. Пер. с англ. М.: Мир, 1984,264 с.

85. С.И. Брагинский. Геомагнитное динамо // Известия АН СССР, Физика Земли, №9,1978, с. 74-89.

86. С.И. Брагинский, О строении слоя F и причинах конвекции в ядре Земли, ДАН СССР, том 149, №6, 1963.

87. Т. Каулинг, Магнитная гидродинамика, Москва, «Иностранная литература», 1959.

88. У. Паркинсон, Введение в геомагнетизм, Москва, «Мир», 1986.

89. Dormy Е., Cardin P., Jault D. MHD flow in a slightly differentially rotating spherical shell, with conducting inner core, in a dipolar magnetic field // Earth and Planetary Science Letters, 1998, vol. 160, P. 15 30.

90. Hollerbach R. Magnetohydrodynamics Ekman and Stewartson layers in a rotating spherical shell //Proc. R. Soc. Lond. A, 1994, vol. 444, P. 333-346.

91. Решетняк М.Ю. Вращение твердого ядра с учетом слоя Экмана // ДАН,2002, том 384, № 1,С. 103-107.

92. Цупал И., Хейда П., Решетняк М.Ю. Слой Стюартсона под воздействием сил Лоренца и Архимеда // Вычислительные методы и программирование,2003, том 4, №2, С. 9-15.

93. Старченко С.В., Котельникова М.С. Симметричный тепломассоперенос во вращающемся сферическом слое //ЖЭТФ, 2002, Т. 121 (3), С. 538 550.

94. D.J. Stevenson, Т. Spohn, G. Schubert. Magnetism and thermal evolution of the terrestrial Planets // ICARUS, 1983, No. 54, p. 466 489.

95. Освой самостоятельно UML за 24 часа, 2-е издание: Пер. с англ. М.: Издательский дом «Вильяме», 2002. - 352 с.

96. Степанов А.А., Дылинов А.Н., Кретинин Г.В. Программный комплекс оптимизации для проектирования узлов турбомашин. XV Школа семинар под руководствам академика А.И. Леонтьева. Калуга, 2005.

97. Степанов А.А., Смирнова М.А. Обмен данными при решении сопряженных задач. Труды Всероссийской конференции «Численная геометрия, построение расчетных сеток и высокопроизводительные вычисления». М.: Издательство «Фолиум», 2006, с. 166-171.

98. Свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ №2006613408 от 29 сентября 2006 г. Модуль визуализации и контроля параметров компрессорной лопатки.

99. Степанов А.А., Тепловое состояние и гидродинамика глубинных недр Земли. Саранск: Средневолжское матем. общество, 2007, препринт №109. 36 с.

100. Листинг программы для решения задачи о тепловом состоянии мантии1. Некоторые константы> mlrdyears := 365.25 * 24 * 3600 * 1е9;> pi := 4.0 * atan(1.0);> Qtotal := 44е12;> q0 := 4. 722376e-009;> ql := -2.680118e-026;

101. Результаты решения обратной задачи теплопереноса в мантии Земли