автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование процессов горения в предварительно перемешанной газовой смеси

На правах рукописи

Максимов Дмитрий Юрьевич

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ГОРЕНИЯ В ПРЕДВАРИТЕЛЬНО ПЕРЕМЕШАННОЙ ГАЗОВОЙ СМЕСИ

05 13 18 — Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 2008

1 б О^Т 2093

003448471

Работа выполнена в Институте прикладной математики имени М В Келдыша РАН

Научный руководитель кандидат физико-математических наук,

доцент Пергамент Анна Халиловна

Официальные оппоненты доктор физико-математических наук,

профессор Иванов Михаил Федорович

доктор физико-математических наук Кулешов Андрей Александрович

Ведущая организация Институт проблем безопасного развития

атомной энергетики РАН

Защита состоится 13 ноября 2008 г в 13 час 00 мин на заседании диссертационно! о совета Д 002 058 01 при Институте математического моделирования РАН по адресу 125047, Миусская ил , д 4а

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИММ РАН

Автореферат разослан 10 октября 2008 г

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 002 058 01, д ф -м н

Н В Змитренко

Актуальность

В настоящее время значительный шперес вызывает исследование процессов горения в перемешанной смеси газов Этот интерес предопределен тем, что позволяет выбрать оптимальные режимы юрения, обеспечивающие эффективность работы двигателей внутреннего сгорания

В настоящей диссертации рассмотрена постановка задачи юрения, широко обсуждаемая в настоящее время в значительном количестве работ1 При этом предполагается, что и топливо, и сгоревшее вещество находятся в 1азообразном состоянии Кроме тою, будем рассматривать пламя только в предварительно перемешанной газовой смеси (premixed flame) В отличие от диффузионного пламени (diffused flame), в этом случае все компоненты, необходимые для реакции, присутствуют в топливе с самого начала в виде однородной смеси, реакция может начаться при подводе тепла без дополнительных диффузионных процессов Тем не менее, полностью пренебречь диффузией невозможно даже при исследовании горения в предварительно перемешанной смеси, так как скорость распространения фронта пламени зависит о г коэффициентов переноса в зоне горения (в том числе — от диффузии)

Наиболее типичными экзотермическими режимами горения являются дефла1 рация, или пламя, (медленный дозвуковой режим) и детонация (быстрый сверхзвуковой режим) В первом случае реакция распросфаня-ется благодаря теплопроводности, переносящей энергию от более нагретых продуктов горения к более холодному топливу Во втором случае нагрев вызван ударными волнами, которые сжимают топливо, увеличивая при этом его температуру Экспериментально неоднократно наблюдался спонтанный переход медленного горения в детонацию Следует отметить, что предотвращение перехода от дефлаграции к детонации является важней-

1 V V Bychkov, M A Libcrman Dynamics and stability of piemixed flames // Pliys Rep 2000 V 325

No 4-5 P 115-237,

S Kadowaki, T Ilasegau.'a Numerical simulation of dynamics of prennxed flames flame instability and

voitex-flame inteiaetion//Piog En Combust bei 2005 V 31 No 3 P 193-241,

V Akherman, V Bychkov Velocity of weakly turbulent flames of finite thickness // Combustion Theory and Modelling 2005 V 9 No 2 P 323-351

шей задачей безопасности жизнедеятельности С другой стороны, контролируемый переход в детонацию важен для целого ряда инженерных задач В частности, он лежит в основе работы новейших реактивных двигателей сверхзвуковых самолетов

Высокая стоимость экспериментов в этой области с одной стороны, сложная теория в общей постановке с друюй, приводят к необходимости проведения математического моделирования, тек постановке задач, описывающих как устойчивые процессы, так и развитие неустойчивости и переход к детонации, разработке численных методов для решения жестких задач, описывающих процессы горения, а также проведения циклов расчетов, позволяющих исследовать различные режимы

Цель работы

Целью настоящей работы является изучение динамики и устойчивости процессов горения в предварительно перемешанной смеси воздуха и углеводородов, исследование развития неустойчивости Дарье-Ландау фронта пламени и формирования промежуточных асимптотик, а также переход от режимов медленного горения к детонации Рассматриваются задачи с граничными условиями двух 1 ипов проскальзывание и прилипание на стенках

Особенностью двумерных и трехмерных задач, моделирующих процессы горения, является жесткость задачи, определяемая тем, что неустойчивы достаточно длинноволновые поперечные возмущения, характерные пространственные масштабы которых много больше ширины фронта Lf Ь/ — математический параметр, определяемый из размерностного анализа по формуле Ь} = к/11], где к — коэффициент температуропроводности, — скорость распространения пламени, реальная ширина фронта на порядок меньше Для реальных задач критическое значение длины волны, выше которой возмущения неустойчивы, составляет Ас « (20 — 100)Ь}, так что для исследования неустойчивых режимов горения необходимо рассматривать поперечные размеры области существенно большие, чем характерный размер в продольном направлении Ь/ Кроме того, исследование асимптотики

рассматриваемых процессов требует рассмотрения значительных продольных масштабов, порядка сотни L¡ и более Таким образом, как поперечные, так и продольные актуальные размеры задачи существенно превышают характерный масштаб Lj Это предъявляет жесткие требования к выбору алгоритмов

Для решения жестких задач, описывающих процессы горения, необходимо иметь экономичные эффективные алгоритмы В данной работе рассматриваются алгоритмы, основанные на методе расщеплеппя по процессам, схеме высокого разрешения для гиперболической части уравнений и неявной схеме для той части, которая описывает диссипативные процессы вязкости и теплопроводности Для разработки алгоритмов в гиперболической части в качестве основы взяты методы, развитые Ю Б Радвог иным2 для системы уравнений газодинамики

Научная новизна

В работе показана, применимость метода расщепления по процессам для рассматриваемого типа задач, разработаны термодинамически обусловленные разностные схемы расщепления, которые корректно описывают процесс превращения механической энерши в тепловую, исследованы различные наиболее употребительные лимитеры в гиперболической части задачи на применимость для данного типа методов решения Создан комплекс программ для машин с параллельной архитектурой, позволивший за приемлемое время произвести исследование численными методами явлений неустойчивости Дарье-Ландау, как первичной, так и вторичной Показано наличие промежуточной асимптошки, предшествующей формированию устойчивого режима дефлаграции для гладких стенок трубы, и продемонстрирована возможность перехода к детонации в случае наличия прилипания на стенках

2 Vu В Radvogm, N A Zattsev Multidimensional minimal stencil supported second oidor accurate upwind schemes for solving hyperbolic and Euler systems Piepnnt, No 22 KIAM, RAS 1996

Практическая и научная ценность

В работе разработан новый класс термодинамически обусловленных разностных схем расщепления, что позволило рассмотреть сложные процессы развития первичной и вторичной неустойчивости Дарье-Ландау Разработанные алгоритмы и созданные программы представляют интерес для исследования режимов горения в камерах двигателей внутреннего сгорания, как в режиме стационарного пламени, так и для моделирования перехода к детонации

Ожидается, что результаты данной диссертации будут полезны при создании новых камер сгорания, в частности, при конструировании топок котлов, газовых турбин и карбюраторных двигателей

Применяемые в диссертации подходы и методы могут быть использованы для численного решения задачи химической кинетики в более общей постановке с дополнительными компонентами, а также при рассмотрении течений в областях сложной формы

Обоснованность и достоверность

Достоверность полученных в диссертационной работе результатов обеспечивается сравнением с рядом опубликованных апробированных работ, применением численных методов, как хорошо обоснованных теоретически, так и проверенных на тестовых задачах, которые сформулированы на основе опубликованных результатов ведущих исследователей в этой области, а также сопоставлением с данными эксперимента

Апробация результатов

Основные положения и результаты работы докладывались и обсуждались на следующих научных конференциях и семинарах

1 X, XI, XIII и XV школа-семинар «Современные проблемы аэрогидродинамики», Сочи, «Буревестник» МГУ, сентябрь 2002, 2003, 2005 и 2007

2 Научная конференция «Ломоносовские чтения», апрель 2006 и 2007

3 XVI Всероссийская конференция «Теоретические основы и конструирование численных алгоршмов и решение задач математической физики с приложением к многопроцессорным системам», посвященная памяти К И Вабепко, Абрау-Дюрсо, Новороссийск, сентябрь 2006

4 Семинар отдела № 11 ИПМ им М В Келдыша РАН «Вычислительные методы и математическое моделирование» под рук член-корр РАН Ю П Попова и проф М П Галанила, июнь 2008

Публикации и личный вклад автора

Результаты диссертации с достаточной полнотой отражены в 11 научных работах, среди которых две публикации в реферируемых журналах [7,11], два препринта [3,5], а также семь докладов в сборниках материалов и тезисов научных конференций [1,2,4,6,8-10]

В [1-3] автору принадлежит вариант схемы с расщеплением для двумерной постановки задачи горения, его численная реализация, исследование применимости разностных алгоритмов в гиперболической части, включая схему на границе, исследование применимости общеупотребительных лимитеров для рассматриваемого класса задач

В [4-6] автору принадлежит меч од учета в разностной схеме положительности источника диссипации в уравнении теплопроводности, доказательство предложенной аппроксимации и показана необходимость учета положительности диссипативпого члена для ряда задач Численно реализована диссипативная часть задачи

В [7] автором выполнен тестовый расчет с начальными условиями в виде окружности и эллипса и расчет задачи Зельдовича-Франк-Каменецкого с условиями прилипания на стенках

В [8] автором выполнен расчет задачи об «осцилляционном фронте» В [9-11] автором проведен расчет задачи с условием прилипания на стенках в каналах различной ширины, проведено исследование поведения

фронта при различных типах начальных возмущений в задачах с условиями проскальзывания

Структура и объём диссертации

Диссертация состоит из Введения, трех Глав, Заключения и Списка литературы из 59 наименований Работа изложена на 83 страницах, содержит 27 рисунков

Содержание работы

Во Введении проведен обзор лнтера1уры и обоснована актуальность темы Описаны основные режимы горения пламя (медленное горение) и детонация (сверхзвуковое горение), кратко изложены их основные свойства, дан краткий исторический обзор научных результатов в теории устойчивости пламени Изложены цель работы и общие методы исследования, научная новизна

В Первой главе в разделе 1 1 сформулирована двумерная постановка задачи I азодпнамики с теплопроводностью, описывающая процессы горения как в режиме дефлаграции, т е при относительно малых изменениях давления, так и в режиме детонации Рассмотрена полная двумерная система уравнений, учитывающая перенос, теплопроводность, вязкость и диффузию горючего вещества, дополненная определяющими соотношениями

урав1генпе неразрывности

д1р + д1{рь1) = О,

(1а)

уравнения сохранения импульсов

<%(№) + <9,(рг>ги, + б^р - т'3) = рдг,

(16)

уравнение сохранения энергии

(1в)

уравнение химической кинетики

(оУ)п

д^рУ) + с\{(пзУ - (гу/Эс) дхУ) = --^-А- ехр(-Е/ЯТ),

(1г)

где У — объемная концентрация топлива, р — плотность, р — давление, дг — компоненты ускорения свободного падения, е = фУ + суТ — внутренняя энергия на единицу массы, Т — температура, С} — теплотворная способность топлива на единицу массы, ср, сь — теплоемкости на единицу массы при постоянном давлении и объеме соответственно, предполагаются независящими от реакции Рассматривается реакция первого порядка (п = 1), температурная зависимость реакции дастся законом Аррениуса с энергией активации Е и временной константой тц Тензор вязких напряжений Т и вектор теплового потока даются формулами

2

Т13 = (£ - + Ч&Уг + дгУ3),

91 = ~М/Рг) д,т - ((¡фс) дгУ,

где Рг = 7]Ср/х — число Прайдгля (х — коэффициент теплонроводности), Эс = т]/рБ — число Шмидга (О — коэффициент диффузии горючей смеси), т] — вязкости Газовую смесь рассмотрим как идеальный газ с молярной массой т, так что уравнение состояния имеет вид

р = (П/т)рТ,

Я — универсальная газовая постоянная

В дальнейшем будем обозначать скорости ь^ — ух, У2 = иу Задача рассматривается в бесконечном канале с граничными условиями как прилипания, так и проскальзывания

В разделе 1 2 приведены упрощенные уравнения для случая изобарического приближения

В приближении слабо меняющегося давления скорость распространения фронта и/ <С с/, где с/ — скорость звука в исходной смеси, отсюда

М = \Jijci «С 1,

где М - число Маха

Изменение давления Ар может быть оценено как

Ар ос р}и],

Ар/р ос р/С/у/р/ ос М2 <С 1 В этих предположениях исходная система приводится к виду

др/т + ч (Н = о, (2)

р<9у/<9г + р(У \7)у = -\7р + (3)

Приведен краткий вывод результатов Зельдовича-Франка-Каменецко-го Обозначим через ру, Ту плотность и температуру перед фронтом пламени, Э > 1 — коэффициент теплового расширения Уравнение теплопроводности при числе Льюиса Ье = Рг/Бс = 1

тт йТ й (хйТ\ р}Т}®Т<-Т

=ТАъТх)+ ^-^г- еМ-Е/НТ)

Профиль плоского стационарного фронта, записанный в обезразмеренном виде,

Г(<А - I в> , .

1 К ' ~~ \ 1 + (0 - 1)е-<1"4 ж > а0,

Скорость плоского фронта пламени

(5)

[Ш \/о ет/ ( Е/Я\

к = 77/Ргр/, Жо — положение фронта

Это решение весьма хорошо аппроксимируех реальный плоский фронт пламени Но в данной работе исследуются режимы с искривлением фронта Скорость распространения искривленного фронта пламени существенно отличается от выражения (6) и превышает его Как следствие, изменение давления на фронте пламени нельзя считать малым и изобарическое приближение неприменимо Поэтому рассматривается полная задача

Далее приводятся основные оценки, связывающие ширину скорость фронта С/у и характерное время процесса ть, которые сопоставляются с величиной характерного времени реакции в режиме дефлаграции

Характерное время горения, ц, связанное очевидным образом с шириной зоны горения много больше тц, характерного времени реакции, определяемого составом смеси Можно записать

Из (6) может быть вычислено время тя Принимая во внимание соотношение ть — к/Щ, получаем, что реакция горения начинается при температуре, много меньшей энергии активации Действительно, для характерных

= 1 375 Ю-11 с Отсюда Е/КГ ос 12 2

Далее дан краткий обзор теории неустойчивости Дарье-Ландау Приведен вывод критического значения длины волны, выше которой возмущения неустойчивы при Ье = 1 и большой энергии активации в случае малой, но конечной ширины фронта Кратко описан механизм нелинейной стабилизации фронта пламени Отмечено, что применимость нелинейной теории и уравнение для стационарною искривленного фронта пламени ограничена, поскольку для труб достаточно большой ширины развивается вторичная неустойчивость

В разделе 1 3 проведено обезразмсривание задачи Выбраны значения параметров обезразмериванпя температура и плотность непрореагировав-шей смеси, ширина фронта в качестве единицы длины Другие параметры, такие как обезразмеривающая скорость, будут являться следствиями основных

Во Второй главе представлен алгоритм решения двумерной задачи горения, основанный на консервативной схеме расщепления по процессам, т е обобщенная задача «диффузии-конвекции», которая решается с помощью аддитивных схем, когда на первом этапе рассматривается задача диффузии с помощью неявных консервативных разностных схем, а па втором этапе система гиперболических уравнений

В разделе 2 1 проведено расщепление по процессам Исходная система уравнений представлена в векторном виде, включая диффузионную часть

параметров, используемых в работе, имеем ть = Ь//11/ = 2 5 10 6 с, тд =

В [3,4] для одномерной задачи горения рассмотрена схема расщепления, которая, в сущности, представляет собой вариант аддитивной схемы, причем первый шаг — это решение диффузионных задач, а последующий — решение газодинамической задачи Такой подход аналогичен известным схемам О М Белоцерковского3

Переменные, относительно которых записывается система

р, 1Х = рьх, 1у = руу, И) = р[е + + и2)], у = рУ Векторный вид

дги 4- дх/ + дуд = дхА + дуВ + 2

Здесь / и д — «векторы», соответствующие гиперболической части, А и В -потоки в параболической части, 2 — источник Такой вид позволяет расщепить па процессы, переноса и диффузии, при построении разностной схемы В разделе 2 2 подробно приведен вывод схемы в гиперболической части и исследованы ее свойства Гиперболическая часть системы (1) имеет вид

dtp + dx{pva ) + dy{pvu) = 0, (7а)

9t(pvx) + dx{pvl + р) + dy{pvxvy) = рдх, (76)

dt(pvy) + d, (pvxvy) + dy{pvl + p) = pgy, (7в) + \{v2x + vi)}) + dx{vxp{e + ^(vl + v])} + vxp) +

+ a„(ty>[e + + vî)} + vvp) = pvagx + pvyg\ (7r)

dt{pY) + dx(pvxY) + dy(pVyY) = -Z(p, Y, T) (7д)

В отличие от ряда работ4, в настоящей работе для системы газодинамических уравнений предложено использовать явные схемы с коррекцией

J О M Беяоцср%овсмй, В А Гуы,ин, В В Щетш%ов Метод расщепления в применении к решению задачи динамики вязкой несжимаемой жидкости // Ж вычнел матем и матсм фиэ 1975 Т 15 № 1 С 197-207

4А Ю Демьянов Поведение ньютоновских характеристик в задаче перехода горения в детонацию // XLIV научная конференция МФТИ, 2001,

M A Liberman, V V Bychkov, S M Golbrrg, L E Enkison Numeiical study of cuived flames under confinement // Combustion Sei and Technol 1998 V 13G No 1 P 221-251

потоков типа TVD (Total Variation Diminishing — уменьшение полной вариации) для уменьшения числа нефизичных осцнлляций Такие схемы основаны на базовой схеме С К Годунова первого порядка Одним из основных аспектов при использовании схем типа TVD является выбор лимитеров (называемых также ограничителями), при коррекции потоков, введение которых повышает порядок аппроксимации на гладких решениях

Существенным для построения схемы являйся свойство однородности потока

, 3/ дд

} = тг-м, 9 = -х-и, аи ои

a = <!L} ъ = ^

ди ди

Схема имеет следующий вид Консервативная форма

Um ~ ит fm+4i ~ fт-Чг п ,„ч

h = 0' (8)

Разностная схема с офанпчепием потока в скалярном случае

h — йТ f fm+l — fm fm ~ fm-l \ /пч

/».+•/, = f,n + -2-V [--h-,--h-) , (9)

где гр — лимитер, функция, обеспечивающая свойство TVD, а = const > > 0 — коэффициент переноса, m — номер узла сетки Обобщение на одномерную гиперболическую систему

а = S~lDaSa, (10)

fm+y 2 ~ + Fm+i,

1 т

Fm = fm + -ji1 ~ Да)5а lDa ^(^aKi+l - Um), SJum ~ U,,^)), (11)

1 T

Fm+l = fm+l ~ -ji1 + ^0)SllD~\j){Sa{um+\ ~ Um),Sa(u,n+2 ~ Um+i)) (12)

Здесь Da — диагональная матрица из собственных значений матрицы а, Sa — матрица, строки которой есть левые пуль-векторы a, D* =

±IAJ)

Для двумерного случая схема строится аналогичным образом

Исследованы наиболее употребительные лимитеры, например ггпптос1, эпрегЬее и т п Каждый из них можно сравнить, во-первых, по точности передачи характерных профилей в скалярном случае Во-вторых, по степени выраженности фронтов в газодинамических задачах Установлено, каковы порядки точности и аппроксимации в различных схемах с коррекцией потоков, а также каково влияние диффузионных процессов на эти явления

В целом имеет место соответствие профиля получаемых величин точному решению задачи о распаде разрыва, что выражается в правильном определении уровней р, V, р в профилях и скоростей фронтов Использование сглаженных начальных условий хотя бы на 2 расчетных интервала, а также учет вязкости и теплопроводности позволяют эффективно применять схемы с лимитерами для расчета физических задач Чем точнее схема передаст особенности решения (лимитер вирегЬее), тем заметнее некоторые дефекты, например, немонотонность у фронта, энтропийный след и т д, поэтому для проведения расчетов использован лимитер ттто(1, который в меньшей степени приводит к нсфизическим немонотонностям, сохраняя свойство высокого разрешения фронтов

Приведенный метод решения лишен ряда недостатков методов, развитых другими группами исследователей Предложенная схема квазимоно-тониа, использует минимальный шаблон, имеет порядок аппроксимации 0(Н2 + г2) на гладких решениях почти всюду, где меняется шаблон схемы, и шаг по времени определяется критерием Куранта, т е т ~ 0(/1), а не 0(/г2), как при использовании явных схем в параболических задачах Схемы с минимальным шаблоном не имеют ложных осцилляций, вызванных использованием расширенного шаблона, а также хорошо согласуются с граничными условиями В результате появилась возможность использовать не избыточно подробные сетки и за разумное время провести цикл расчетов процессов горения в широких трубах, шириной (5 6)АС

В разделе 2 3 подробно рассмотрены аспекты, возникающие в двумерной гиперболической схеме Отмечается, что учет ряда членов, возникающих из общего класса явных схем для гиперболической системы, позволяет достичь

условия устойчивости max(gx, qy) ^ 1, а не qx + qy ^ 1 в противном случае, где qx, qv — числа Куранта

Рассмотрена схема при расчете граничных условий При ее выводе используется метод характеристик и знание собственных значений на границе 0, —с и с, где с — скорость звука

В разделе 2 4 рассмотрены особенности разностной схемы в параболической части задачи

Диссипативная часть системы (1) имеет следующий вид

dtp = 0, (13а)

dt(pvx) + дх{-тхх) + ду(-тзу) = 0, (136)

d,(pvy) + дх(~тух) + ду(-т»У) - 0, (13в)

me + \(v2x + vl)}) +

+ dx{-vxrlx - vyrxy + qx) + ду(-ьхтуг - vyT™ + qy) = 0, (13r) dt(pY) + dz(-(V/Sc) dxY) + ^(-(ч/Sc) dyY) = 0 (13д)

Рассматривается соотношение, вытекающее из параболической части системы уравнений горения При наличии диссипативных процессов часть кинетической энергии переходит в тепловую Это приводит к появлению источника диссипации в уравнении теплопроводности

рЪ{[ъТ\) + сЦ-M/Pr) дхТ) + ду(-М/Рг) дуТ) = Av,

Av — квадратичная диссипативная форма относительно производных скоростей, равная

div(t> Т) - v div Т = тххЭхух + Tx,Jdxvy + ryxdyvx + Tvydyvy =

= [(£ - |r?)(div^)2] + M(dcvx)2 + (<Vy)2)] + [r,(dxvy + dyVxf ] При условии Av ^ 0 произвольный положительный начальный профиль температуры должен оставаться положительным в любой момент времени, что равносильно выполнению для уравнения теплопроводности условия достижения минимума решения либо в начальных данных, либо на границе при любых начальных условиях

Описанные условия выполняются в дифференциальной постановке задачи, являясь следствиями уравнений системы В разностном же случае это, вообще говоря, не так в задачах размерности два и более возникает проблема аппроксимации положительного источника Если условие положительности источника диссипации выполняется в разностной форме, то температура в системе остается положительной при переходе с одного временного слоя на другой Такие схемы назовем положительными В настоящей работе построена схема, которая не только является консервативной, т е правильно аппроксимирует баланс полной энергии, но и обеспечивает корректное описание термодинамических следствий из основной системы, в данном случае процесса превращения кинетической энергии в тепловую для правильного определения как внутренней, так и полной энергии Такие схемы можно назвать по аналогии с работами С К Годунова термодинамически обусловленными

, тч Ап+'/гЛ - Дд-'ЛЛ . BrnM'U ~ Вгп,к-Чг

div(v Т)тЛ =-—--+--

tlx fly

/Л 4 \ 9« Л 2 \ dv (ди dv\ = ([t-+ ^+ - ¿v) ug~y+ + d~x)

т+УгЛ

4 \ Um+\ l + Um<k Um+n - Um l

i + -2--К-+

+ ^ " 2 -2ИУ-+ -2Ну-) +

+ Ч -2ку-+ ^-2НУ-; +

+ 4-----, (14)

для Вт>к+1/2 аналогично Обозначено и = ух, V = ьу

В конце главы, разделе 2 5, обсуждаются различные особенности математического моделирования задач горения в каналах

Показано, что шаг по пространству должен быть не более Ь//2 при расчете одномерных задач и до ¿//5 для двумерных для правильной передачи скорости фронта

Далеко от фронта пламени для ускорения счета строится сетка с увеличивающимися ячейками

Перед пламенем всегда распространяется звуковая волна, скорость которой существенно больше скорости пламени Реализовать условия поглощения при наличии неоднородного поля скоростей становится затруднительным, вследствие чего возникает необходимость моделирования течения в достаточно длинном канале С другой стороны, для правильного разрешения фронта необходимо брать до пяти ячеек на фропг Все это приводит к необходимости считать на многопроцессорной вычислительной системе

Третья глава посвящена численным экспериментам Рассмотрены задачи как с гладкими, так и с условиями прилипания на стенках

В разделе 3 1 приводятся расчеты тестов из [7], отражающих некоторые качества схемы, в частности, схема сохраняет свойства симметрии, несмотря на то что сетка не адаптирована к структуре решения Кроме того, можно видеть, что изначально некруговой разрыв на достаточно большом расстоянии от центра возмущения принимает форму круга На рис 1 представлено распределение плотности для начального разрыва в виде эллипса В разделе 3 2 описан численный способ получения плоского стационарного фронта пламени в виде решения Зельдовича-Франка-Каменецкого вблизи неподвижной границы

Для исследования проблем устойчивости задавалось возмущение компоненты скорости vx полученного стационарного решения Вычтем из скорости величину QUf, перейдя тем самым в систему отсчета (СО), в которой плоский фронт покоится В этой системе положим

vx(x) -> vx(x) + v0(x, у), (15)

где

v0{x, у) = vx{x)A0 sm(iry/D) exp f--—2-J (16)

Здесь D — ширина области Значение амплитуды возмущения Ао выбрано равным 0 05

1=0 6

Рис 1 Распределения плотности для начального разрыва в виде эллипса

Для определения скорости фронта пламени предложена формула на основе расчета количества несгоревшего топлива

В расчетах течений в трубах с гладкими стенками существует режим устойчивого пламени, дефлаграция При этом, если ширина трубы Б < Хс, то любые возмущения затухают Для труб шириной до 4АС устойчивое пламя представляет собой «одногорбое» (8н^1е-1штр) распределение Но такое распределение формируется не сразу Первоначально образуется вогнутый фронт температуры При этом линии тока практически стационарны и устанавливается квазистационарное поле скоростей Затем при развитии вторичной неустойчивости Дарье-Ландау устанавливается «одногорбое» пламя

Таким образом, помимо известного результата о существовании режима дефлаграции (медленного стационарного горения) в трубе с гладкими стенками, установлено, что формирование режима дефлаграции имеет три этапа развитие неустойчивости Дарье-Ландау и формирование промежуточной квазистационарной асимптотики «многогорбого» (пшКл-Ьитр) пла-

Рис 2 Фронт в задаче с проскальзыванием

мени, затем распад этого решения и образование стационарного «одногорбого» пламени (рис 2) Моменты времени указываю] ся в единицах t/т, где

г - D/2Uf

Рассмотрим еще один тип возмущений

vq{x, у) = vx(x)A0 sm(-27ry/D) exp (--—-J (17)

Тем самым начальное течение как бы замедляется «снизу» трубы и ускоряется «сверху» Для трубы шириной 20 фронт после линейной стадии развития неустойчивости перешел к стационарному виду, который получен путем иного возмущения

Для трубы шириной 40 возникает почти та же картина, однако фронт, изначально антисимметричный относительно центра трубы, приобретая одногорбую выпуклую конфигурацию, становится симметричным (рис 3) Как общий вывод можно отметить существование двух устойчивых конфигураций фронта пламени симметричный относительно оси капала и «скошенный» (slanted), обе из которых представляют собой выпуклое одногорбое образование

В разделе 3 3 для течений в трубе с условиями прилипания на стенках показано, что стационарный режим отсутствует (рис 4, 5), но пламя начинает ускоряться, переходя в режим детонации даже для случая реакции

Рис 3 Фронт и линии тока в задаче с проскальзыванием на момент = 7 34832 при задании возмущения в обе стороны

Рис 4 «Осцилляционный фронт»

Рис. 5. Фронт в задаче с условиями прилипания па стенках в трубе шириной

тьг

Рис. 6. Фронт и линии тока в задаче с условиями прилипания па стенках на момент £/т = 0.5956

первого порядка, когда выделение тепла при реакции относительно умеренное, что до настоящего времени в расчетах не наблюдалось (рис 6) В Заключении изложены основные результаты и выводы

Результаты и выводы диссертации

1 Разработан метод расщепления по процессам для решения задач горения на основе ТУО схем, позволяющих получить высокое разрешение фронтов горения Проведена апробация алгоритма на известных результатах ряда авторов

2 Сформулировано понятие термодинамической обусловленности разностной схемы как корректное описание процесса превращения кинетической энергии в тепловую Построена схема, удовлетворяющая этому условию и обеспечивающая положительность температуры

3 Для задач с гладкими стенками показано наличие промежуточной асимптотики в виде вогнутого «многогорбого» пламени и конечной асимптотики в виде выпуклого «одногорбого» пламени

4 Показано, что при наличии условий прилипания на стенках асимптотика не формируется, а наблюдаются пульсации В дальнейшем амплитуда пульсаций затухает Пламя начинает ускоряться, переходя в режим детонации даже для случая реакции первого порядка, когда выделение тепла при реакции относительно умеренное, что до настоящего времени в расчетах не наблюдалось

Список работ автора по теме диссертации

1 Д Ю Максимов, Б Д Плющенков Экономичная разностная схема для уравнений горения на основе расщепления потока на конвективную и диффузионную части // X школа-семинар «Современные проблемы аэрогидродинамики», Сочи, «Буревестник» МГУ, сентябрь 2002

2 Д Ю Максимов, А X Пергамент, Б Д Плющенков ТУБ схемы с расщеплением для двумерных задач горения // XI школа-семинар

«Современные проблемы аэрогидродинамики», Сочи, «Буревестник» МГУ, сентябрь 2003

3 Д Ю Максимов, А X Пергамент, Б Д Плющенков О некоторых схемах расщепления в задачах газодинамики с теплопроводной ыо Препринт № 70 М ИПМатем РАН 2005

4 М Ю Заславский, Д Ю Максимов, А X Пергамент, Б Д Плющенков О некоторых схемах расщепления в задачах юзодннамики с теплопроводностью // XIII школа-семинар «Современные проблемы аэрогидродинамики», Сочи, «Буревестник» МГУ, сентябрь 2005

5 М Ю Заславский, Д Ю Максимов Положительная по температуре консервативная разностная схема для задач горения Препринт Л« 4 М ИПМатем РАН 2006

6 АХ Пергамент, М Ю Заславский, Д Ю Максимов Положительная по температуре консервативная разностная схема для задач горения // Научная конференция «Ломоносовские чтения», апрель 2006

7 М Ю Заславский, Д Ю Максимов, А X Пергамент О термодинамически обусловленных схемах расщепления в задачах горения // Ж вычисл матем и матем физ 2006 Т 46 № 10 С 1851-1865

8 М Ю Заславский, Д Ю Максимов, А X Пергамент О термодинамически обусловленных схемах расщепления в задачах горения // XVI Всероссийская конференция «Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов и решение задач математической физики с приложением к многопроцессорным системам», посвященная памяти К И Бабенко, Абрау-Дюрсо, Новороссийск, сентябрь 2006

9 АХ Пергамент, Д Ю Максимов Асимптотические режимы горения в широких трубах // Научная конференция «Ломоносовские чтения», апрель 2007

10 Д Ю Максимов Асимптотические режимы горения в широких трубах // XV школа-семинар «Современные проблемы аэрогидродинамики», Сочи, «Буревестник» МГУ, сентябрь 2007

11 Д Ю Максимов Асимптотические режимы горения в широких трубах // Мат моделирование 2007 Т 19 № 10 С 15-28

Введение

1 Постановка задачи

1.1 Основные уравнения.

1.1.1 Система уравнений. Определяющие соотношения.

1.1.2 Структура пламени.

1.2 Устойчивость фронта пламени.

1.2.1 Изобарическое приближение.

1.2.2 Плоское пламя.

1.2.3 Неустойчивость Дарье-Ландау, линейная и нелинейная стадии

1.3 Обезразмеривание задачи.

2 Разностная схема

2.1 Расщепление по процессам.

2.2 Гиперболическая часть.

2.2.1 Схема типа ТЛ/Т) высокого разрешения.

2.2.2 Обобщение на систему

2.2.3 Применимость схемы: лимитеры, влияние вязкости.

2.3 Двумерная схема.

2.3.1 Характеристические поверхности.

2.3.2 Класс схем.

2.3.3 Схема внутри области.

2.3.4 Схема на границе.

2.4 Параболическая часть.

2.4.1 Положительность по температуре.

2.4.2 Схема на границе.

2.5 Об особенностях математического моделирования задач горения.

3 Результаты расчётов

3.1 Двумерные тесты

3.2 Устойчивость возмущений.

3.3 Задача с гладкими стенками. «Одногорбое» и «многогорбое» пламя. Симметричный вогнутый фронт пламени как промежуточная асимптотика

3.4 Задача об «осцилляционном фронте» в трубе с условиями прилипания на стенках. Пульсации в трубе, открытой с обоих концов.

В настоящее время значительный интерес вызывает исследование процессов горения в перемешанной смеси газов. Этот интерес предопределён тем, что позволяет выбрать оптимальные режимы горения, обеспечивающие эффективность работы двигателей внутреннего сгорания.

В настоящей диссертации рассмотрена постановка задачи горения, широко обсуждаемая в настоящее время в значительном количестве работ [1-9,52,53,55,56,58,59]. При этом предполагается, что и топливо, и сгоревшее вещество находятся в газообразном состоянии. Кроме того, будем рассматривать пламя только в предварительно перемешанной газовой смеси (premixed flame). В отличие от диффузионного пламени (diffused flame), в этом случае все компоненты, необходимые для реакции, присутствуют в топливе с самого начала в виде однородной смеси; реакция может начаться при подводе тепла без дополнительных диффузионных процессов. Тем не менее, полностью пренебречь диффузией невозможно даже при исследовании горения в предварительно перемешанной смеси, так как скорость распространения фронта пламени зависит от коэффициентов переноса в зоне горения (в том числе — от диффузии).

Различают эндо- и экзотермические реакции. Если реакция эндотермична, то для её протекания нужен постоянный подвод тепла извне. В противном случае, если ограничиться только начальным нагреванием смеси, то после того, как весьма незначительное количество вещества прореагирует, его температура настолько понизится, что реакция остановится. В случае же сильно экзотермической реакции, протекание которой сопровождается значительным выделением энергии, достаточно вначале повысить температуру хотя бы в одной небольшой области смеси. Тогда реакция, запущенная в данной области благодаря нагреванию, будет сама выделять тепло и нагревать окружающую её смесь, способствуя своему дальнейшему распространению.

Наиболее типичными экзотермическими режимами горения являются дефлаграция, или пламя, (медленный дозвуковой режим) и детонация (быстрый сверхзвуковой режим). В первом случае реакция распространяется благодаря теплопроводности, переносящей энергию от более нагретых продуктов горения к более холодному топливу. Температура топлива вблизи сгоревшего вещества увеличивается, реакция в нём идёт быстрее, за счёт чего ещё одна порция горючего сгорает и высвобождается дополнительная энергия. Эта энергия за счёт теплопроводности переносится к следующему слою топлива и т. д., приводя к распространению фронта реакции. Во втором случае нагрев вызван ударными волнами, которые сжимают топливо, увеличивая при этом его температуру. Экспериментально неоднократно наблюдался спонтанный переход медленного горения в детонацию [10,11]. Следует отметить, что предотвращение перехода от де-флаграции к детонации является важнейшей задачей безопасности жизнедеятельности. С другой стороны, контролируемый переход в детонацию важен для целого ряда инженерных задач. В частности, он лежит в основе работы новейших реактивных двигателей сверхзвуковых самолётов.

Высокая стоимость экспериментов в этой области с одной стороны, сложная теория в общей постановке с другой, приводят к необходимости проведения математического моделирования, т. е. к постановке задач, описывающих как устойчивые процессы, так и развитие неустойчивости и переход к детонации, разработке численных методов для решения задач, описывающих процессы горения, а также проведения циклов расчётов, позволяющих исследовать различные режимы.

Важнейшее свойство процесса горения в заранее перемешанной смеси — чрезвычайно сильная зависимость скорости реакции от температуры, выражаемая законом Аррени-уса: ос ехр(—Е/Т), где Е — энергия активации, измеренная в температурных единицах. Для многих реакций энергия активации настолько велика, что скорость реакции при комнатной температуре может быть принята равной нулю. Напротив, увеличение температуры горючего лишь в два раза может привести к увеличению скорости реакции на 10-12 порядков и заметной реакции [10]. В случае сильно экзотермической реакции, сопровождающейся значительным выделением энергии, относительно слабое увеличение температуры в одном месте приводит к воспламенению и реакции, которая постепенно распространяется по всей газовой смеси.

Весь спектр явлений, связанных с распространением фронта пламени, слишком широк, чтобы удовлетворительно классифицировать основные направления в теории медленного горения, или дефлаграцию. В некотором смысле теорию дефлаграции можно условно разделить на две части — задачу химической кинетики, включающую теплопроводность, и задачу гидродинамики [12,13]. Целью задачи химической кинетики является изучение выделения, поглощения и переноса тепла и состава исходного/конечного вещества (т. е. процессов, определяющих внутреннюю структуру зоны горения). Долгое время при описании процессов в зоне горения предполагалось существование некоторой постоянной температуры воспламенения, ниже которой реакция вообще не идёт [12,14,15]. Однако такое предположение приводит к внутренним противоречиям в теории пламени [16]. Как уже упоминалось выше, согласно основным представлениям химической кинетики скорость реакции непрерывно зависит от температуры [17-20].

Фундаментальный вклад в современную науку о горении сделан в [18], см. также [19]. На основании простейшей модели пламени с плоским фронтом Я. Б. Зельдович и Д. А. Франк-Каменецкий [18] провели детальное исследование транспортных свойств зоны горения в случае одношаговой «аррениусовской» химической реакции. При этом показано, как ширина плоского фронта пламени и скорость его распространения зависят от теплофизических свойств исходной смеси, теплового расширения при горении, а также от кинетических параметров реакции. Разумеется, приближение одношаговой реакции весьма далеко от реальности. На самом деле, обычное промышленное горение включает десятки (и даже сотни) промежуточных реакций, детальное изучение которых вызывает затруднения.

Упрощение химических процессов в зоне горения — далеко не единственный недостаток теории Зельдовича-Франк-Каменецкого [18]. Для полного описания процесса горения физико-химической теории явно недостаточно, необходимо исследовать влияние газодинамических процессов. В результате физико-химического исследования динамики пламени получена скорость горения 1/п (скорость, с которой распространяется плоский фронт). Однако реальное пламя всегда искривлено (в частности, из-за присущих пламени неустойчивостей, турбулентности внешнего течения, неравномерности потока под влиянием трения о стенку камеры сгорания, взаимодействия пламени со звуковыми/ударными волнами, наличия кромки или вершины пламени и т. д.). Скорость искривлённого пламени может значительно превышать ип, так как оно имеет большую площадь поверхности, чем плоское, и, следовательно, больше топлива вовлекается в горение в единицу времени. Основной задачей гидродинамической теории горения является вопрос о том, как зона горения взаимодействует с гидродинамическим потоком при различных параметрах среды.

Одним из весьма важных и интересных вопросов в теории горения является вопрос об устойчивости. Согласно линейной теории Дарье-Ландау, фронт пламени, который рассматривают в качестве бесконечно тонкой поверхности гидродинамического разрыва, абсолютно неустойчив по отношению к любым внешним возмущениям [10]. Главное заключение теории Дарье-Ландау — это утверждение, что пламя не может распространяться в виде плоского стационарного фронта, оно искривляется, становясь нестационарным и возможно даже турбулентным. Этот результат прямо противоречит экспериментам и численным расчётам, указывающим на существование стационарно распространяющегося пламени, в том числе плоского стационарного пламени. Позже было установлено, что процесс переноса тепла внутри искривлённой зоны горения конечной толщины может стабилизировать или даже подавить гидродинамическую неустойчивость пламени [21—23].

Теория Дарье-Ландау (ДЛ-теория) порождает множество вопросов. Наиболее важный их них — это вопрос относительно характерной длины ДЛ-неустойчивости, т. е. длины волны возмущения, выше которой возмущения неустойчивы, а также вида фронта пламени для развитой стадии неустойчивости. Для того чтобы ответить на эти вопросы, необходимо определить ширину фронта пламени и те процессы переноса, которые определяют структуру фронта, например, теплопроводность, диффузию топлива и т. д. Это достаточно сложная проблема с математической точки зрения, так что вначале использовались феноменологические методы, чтобы исследовать проблему устойчивости пламени. Феноменологические подходы к линейной теории устойчивости пламени рассмотрены и обобщены в обзоре [24]. Первая попытка описать стабилизацию неустойчивости Дарье-Ландау за счёт конечной ширины фронта с учётом гидродинамики и химической кинетики предпринята в [21], но точное решение получено много позже Пелсе и Клавеном [22]. В частности, было найдено, что типичный пространственный масштаб ДЛ-неустойчивости превосходит ширину фронта на два порядка. Более детальное описание, также как и другие результаты, развивающие подходы теории Пелсе-Клавена, могут быть найдены в обзорах [25-27].

Другая проблема, порождённая ДЛ-теорией, являлась следствием характера неустойчивости в нелинейной стадии. Вначале предполагалось, что ДЛ-неустойчивость ведёт к турбулизации фронта пламени [28], т. к. ряд экспериментальных результатов может быть интерпретирован как спонтанный переход от ламинарного режима распространения пламени к турбулентному, а затем к детонации [10]. Однако позже в ряде исследований (см. [24, 29] и др.) было показано, что самотурбулизация пламени невероятна. Как альтернатива предполагалось, что возмущённый фронт пламени переходит в гладкую искривлённую и, возможно, стационарную форму. В этом смысле весьма важен вопрос относительно распространения пламени в трубе с идеально гладкими и адиабатическими стенками. Конфигурация пламени в трубе с идеальными стенками эквивалентна конфигурации свободно распространяющегося пламени с периодической структурой фронта, поскольку идеальные стены трубы можно рассматривать как оси симметрии.

Некоторый прогресс в понимании нелинейной стадии ДЛ-неустойчивости был достигнут благодаря нелинейному уравнению искривлённого фронта пламени, полученному Сивашинским [30] в предположении малого коэффициента расширения |0 — 1| <С <С 1, когда плотность продуктов горения лишь слегка отличается от плотности топлива. Уравнение Сивашинского качественно описывает нелинейную стабилизацию ДЛ-неустойчивости, а также многие свойства искривлённого пламени. Это уравнение стало ещё более популярным, когда было получено аналитическое решение уравнения в двумерном случае [31]. Несмотря на это, много важных вопросов оставались без ответа в рамках теории Сивашинского, поскольку предел малого коэффициента расширения |0 — 1| 1 весьма далёк от реалистических лабораторных пламён с 0 = 5 — 10. В частности, было неясно даже по порядку величины, каким является увеличение скорости пламени вследствие искривлённой формы пламени: различные обобщения теории [30] на область реалистических коэффициентов расширения давали совсем различные приросты скорости от немногих процентов до приблизительно 10 раз. Кроме того, оставалось неясным, приобретает ли фронт пламени всегда гладкую искривлённую форму или при определённых условиях (скажем, для коэффициентов расширения, больших некоторой критической величины) происходит самотурбулизация пламени.

Настоящая работа посвящена рассмотрению нелинейной стадии развития неустойчивости Дарье-Ландау, а также возможного развития вторичной неустойчивости, исследованию формирования промежуточных асимптотик и предельных режимов, в том числе образования «одногорбых» гладких типов фронта, а также вопросов ускорения фронта пламени и перехода к детонации. Рассматриваются задачи с граничными условиями двух типов: проскальзывание и прилипание на стенках.

Основной особенностью двумерных и трёхмерных задач, моделирующих процессы горения, является наличие нескольких пространственных масштабов. Во-первых, это ширина фронта горения Ь¡. Ь/ — математический параметр, определяемый из размер-ностного анализа по формуле Ь/ = к/11/, где к — коэффициент температуропроводности, 1// — скорость распространения пламени; реальная ширина фронта на порядок меньше. Далее, это критическая длина волны Ас неустойчивости Дарье-Ландау, присущей пламени. Возмущения с длиной волны, большей критической, неустойчивы. Для реальных задач значение критической длины волны составляет Ас ~ (20 -г-100)1//, так что для исследования неустойчивых режимов горения необходимо рассматривать поперечные размеры области существенно большие, чем характерный размер в продольном направлении Ь¡.

Кроме того, существует характерный масштаб продольных структур. В приближении бесконечно тонкого фронта отношение «продольного размаха» фронта к его диаметру имеет порядок ?7ш/?7/, а при наличии условий прилипания на стенках может составлять десятки И наконец, это ширина трубы И, которая, как правило, в несколько раз превышает Ас.

Таким образом, как поперечные, так и продольные актуальные масштабы задачи существенно превышают характерный масштаб Ьопределяя большую жёсткость задачи, тем самым предъявляя требования к высокой разрешающей способности разностной схемы. Для решения жёстких задач, описывающих процессы горения, необходимо иметь экономичные эффективные алгоритмы.

В [51,52] для одномерной задачи горения рассмотрена схема расщепления, которая, в сущности, представляет собой вариант аддитивной схемы, причём первый шаг — это решение диффузионных задач, а последующий — решение газодинамической задачи. Такой подход аналогичен известным схемам О. М. Белоцерковского [32], [33].

В отличие от ряда работ (см. [34], [2]), в настоящей работе для системы газодинамических уравнений предложено использовать явные схемы с коррекцией потоков типа TVD (Total Variation Diminishing — уменьшение полной вариации) для уменьшения числа нефизичных осцилляций. Такие схемы основаны на базовой схеме С. К. Годунова первого порядка. Одним из основных аспектов при использовании схем типа TVD является выбор лимитеров (называемых также ограничителями), при коррекции потоков, введение которых повышает порядок аппроксимации на гладких решениях.

Важным свойством разностной схемы для уравнений гиперболического типа является монотонность, которая в одномерном скалярном линейном случае эквивалентна свойству TVD. Что касается систем уравнений, то, вообще говоря, не все составляющие вектора решений одновременно могут быть монотонными. В многомерном случае отсутствует единое определение понятия монотонности для функций нескольких переменных.

Ввиду этого в работах Ю. Б. Радвогина [35,36] сформулированы следующие критерии для выбора схем, которые подходят и для нелинейных многомерных систем:

1. дивергентность схемы, что обеспечивает возможность её использования для нахождения обобщённых решений;

2. выбор схем с минимальным шаблоном;

3. минимизация осцилляций посредством конструирования схем, которые порождают осцилляции, направленные только к разрыву.

Схемы, порождающие самозатухающие осцилляции, можно назвать квазимонотонными. Такими схемами являются, например, схемы с лимитерами, схемы ENO (Essentially Non-Oscillatory, см. [37]).

Схемы с минимальным шаблоном не имеют ложных осцилляций, вызванных использованием расширенного шаблона, а также хорошо согласуются с граничными условиями.

Как известно,'из параболической части системы уравнений горения вытекает важное термодинамическое следствие, а именно, при наличии диссипативных процессов часть кинетической энергии переходит в тепловую. Это приводит к появлению положительного источника в уравнении теплопроводности. Отсюда следует, в частности, что произвольный положительный начальный профиль температуры должен оставаться положительным в любой момент времени, что равносильно выполнению для уравнения теплопроводности условия достижения минимума решения либо в начальных данных, либо на границе при любых начальных условиях (см. [38]). Описанные условия выполняются в дифференциальной постановке задачи, являясь следствиями уравнений системы. В разностном же случае это, вообще говоря, не так: в задачах размерности два и более возникает проблема аппроксимации положительного источника.

Наличие в схеме энергетических дисбалансов можно трактовать как наличие некоторых источников энергии чисто разностной природы, связанных с «рассогласованием» отдельных разностных уравнений схемы. Дисбалансы зависят от характера решения: на гладких функциях они малы, однако на решениях, сильно меняющихся во времени и пространстве, дисбалансные члены велики и могут быть сравнимы по величине с полной энергией системы [39].

Если условие положительности источника диссипации выполняется в разностной форме, то температура в системе остаётся положительной при переходе с одного временного слоя на другой. Такие схемы назовём положительными. В настоящей работе построена схема, которая не только является консервативной, т. е. правильно аппроксимирует баланс полной энергии, но и обеспечивает корректное описание термодинамических следствий из основной системы, в данном случае процесса превращения кинетической энергии в тепловую для правильного определения как внутренней, так и полной энергии. Такие схемы можно назвать по аналогии с работами С. К. Годунова термодинамически обусловленными (см. [40]).

Научная новизна

В работе показана применимость метода расщепления по процессам для рассматриваемого типа задач, разработаны термодинамически обусловленные разностные схемы расщепления, которые корректно описывают процесс превращения механической энергии в тепловую, исследованы различные наиболее употребительные лимитеры в гиперболической части задачи на применимость для данного типа методов решения. Создан комплекс программ для машин с параллельной архитектурой, позволивший за приемлемое время произвести исследование численными методами явлений неустойчивости Дарье-Ландау, как первичной, так и вторичной. Показано наличие промежуточной асимптотики, предшествующей формированию устойчивого режима дефлаграции для гладких стенок трубы, и продемонстрирована возможность перехода к детонации в случае наличия прилипания на стенках.

Апробация результатов

Основные положения и результаты работы докладывались и обсуждались на следующих научных конференциях и семинарах:

1. X, XI, XIII и XV школа-семинар «Современные проблемы аэрогидродинамики», Сочи, «Буревестник» МГУ, сентябрь 2002, 2003, 2005 и 2007.

2. Научная конференция «Ломоносовские чтения», апрель 2006 и 2007.

3. XVI Всероссийская конференция «Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов и решение задач математической физики с приложением к многопроцессорным системам», посвящённая памяти К. И. Бабенко, Абрау-Дюрсо, Новороссийск, сентябрь 2006.

4. Семинар отдела № 11 ИПМ им. М. В. Келдьппа РАН «Вычислительные методы и математическое моделирование» под рук. член-корр. РАН Ю. П. Попова и проф. М. П. Галанина, июнь 2008.

Публикации

Результаты диссертации с достаточной полнотой отражены в 11 научных работах, среди которых две публикации в реферируемых журналах [55,59], два препринта [51,53], а также семь докладов в сборниках материалов и тезисов научных конференций [49,50, 52,54,56-58].

Структура и объём диссертации

Диссертация состоит из Введения, трёх Глав, Заключения и Списка литературы из 59 наименований. Работа изложена на 83 страницах, содержит 27 рисунков.

Заключение

В завершение работы ещё раз перечислим наиболее значительные результаты по итогам настоящей диссертации.

Результаты диссертации

1. Разработан метод расщепления по процессам для решения задач горения на основе ТУБ схем, позволяющих получить высокое разрешение фронтов горения. Проведена апробация алгоритма на известных результатах ряда авторов.

2. Сформулировано понятие термодинамической обусловленности разностной, схемы как корректное описание процесса превращения кинетической энергии в тепловую. Построена схема, удовлетворяющая этому условию и обеспечивающая положительность температуры.

3. Для задач с гладкими стенками показано наличие промежуточной асимптотики в виде вогнутого «многогорбого» пламени и конечной асимптотики в виде выпуклого «одногорбого» пламени.

4. Показано, что при наличии условий прилипания на стенках асимптотика не формируется, а наблюдаются пульсации. В дальнейшем амплитуда пульсаций затухает. Пламя начинает ускоряться, переходя в режим детонации даже для случая реакции первого порядка, когда выделение тепла при реакции относительно умеренное, что до настоящего времени в расчётах не наблюдалось.

1. M. Ю. Заславский, А. X. Пергамент, В. Д. Плющенков Динамика и устойчивость одномерных задач горения: Препринт № 21. М.: ИПМатем. РАН. 2002.

2. M. A. Liberman, V. V. Bychkov, S. M. Golberg, L. E. Eriksson Numerical study of curved flames under confinement // Combustion Sci. and Technol. 1998. V. 136. No 1. P. 221-251.

3. V. V. Bychkov, S. M. Golberg, M. A. Liberman, L. E. Eriksson Propagation of curved stationary flames in tubes // Phys. Rev. 1996. V. 54. No 4. P. 3713-3724.

4. M. A. Liberman, V. V. Bychkov, S. M. Golberg, D. M. Book Stability of a planar flame front in the slow combustion regime // Phys. Rev E. 1994. V. 49. No 1. P. 445-453.

5. V. V. Bychkov, M. A. Liberman Dynamics and stability of premixed flames // Phys. Rep. 2000. V. 325. No 4-5. P. 115-237.

6. O. Yu. Travnikov, V. V. Bychkov, M. A. Liberman Numerical studies of flames in wide tubes: Stability limits of curved stationary flames // Phys. Rev. E. 2000. V. 61. No 1. P. 468-474.

7. M. A. Liberman, M. F. Ivanov, O. E. Peil, D. M. Valiev, L. E. Eriksson Numerical studies of curved stationary flames in wide tubes // Combust. Theory Modelling. 2003. V. 7. No 4. P. 653-676.

8. V. Akkerman, V. Bychkov, A. Petchenko, L. E. Eriksson Flame oscillations in tubes with nonslip at the walls // Combustion and Flame. 2006. V. 145. No 4. P. 675-687.

9. S. Kadowaki, Т. Hasegawa Numerical simulation of dynamics of premixed flames: flame instability and vortex-flame interaction // Prog. En. Combust. Sci. 2005. V. 31. No 3. P. 193-241.

10. Я. Б. Зельдович, Г. И. Баренблатт, В. Б. Либрович, Г. М. Махвиладзе Математическая теория горения и взрыва. М.: Наука, 1980.

11. К. И. Щёлкин Влияние шероховатости трубы на возникновение и распространение детонации в газах // ЖЭТФ. 1940. Т. 10. Л* 7. С. 823-827.

12. А. Г. Мержанов, Б. И. Хайкин Теория волн горения в гомогенных средах. Черноголовка: Из-во ОИХФ РАН, 1992.

13. N. Peters Turbulent Combustion. Cambridge University Press, UK, 2000.

14. E. Jonget Mecanique des Explosions. Paris: O. Doin, 1917.

15. P. J. Danielle The theory of flame motion // Proc. R. Soc. Lond. A, 1930. V. 126. No 802. P. 393-405.

16. Я. Б. Зельдович Теория горения и детонации газов. М., JL: Из-во АН СССР, 1944.

17. В. Lewis, G. Elbe On the theory of flame propagation // J. Chem. Phys. 1934. V. 2. No 8. P. 537-546.

18. Я. Б. Зельдович, Д. А. Франк-Каменецкий Теория теплового распространения пламени // Ж. физ. хим. 1938. Т. 12. № 1. С. 100-105.

19. Я. Б. Зельдович, Д. А. Франк-Каменецкий К теории равномерного распространения пламени // Доклады АН СССР. 1938. Т. 19. С. 693-695.

20. Дж. Гиршфельдер, Ч. Кертисс, Р. Берд Молекулярная теория газов и жидкостей. М.: ИЛ, 1961.

21. А. Г. Истратов, В. Б. Либрович Устойчивость пламени. М.: ВИНИТИ (Серия: Итоги науки, Гидромеханика), 1966.

22. P. Pelce, P. Clavin Influence of hydrodynamics and diffusion upon the stability limit of laminar premixed flames // J. Fluid Mech. 1982. V. 124. No 1. P. 219-237.

23. V. V. Bychkov Nonlinear equation for a curved stationary flame and the flame velocity // Physics of Fluids. 1998. V. 10. No 8. P. 2091-2098.

24. Док. Г. Маркштейн, Г. Генош, А. А. Патнэм Нестационарное распространение пламени. М.: Мир, 1968.

25. G. I. Sivashinsky Instabilities, pattern-formation, and turbulence in flames // Annu. Rev. Fluid Mech. 1983. V. 15. P. 179-199.

26. P. Clavin Dynamic behavior of premixed flame fronts in laminar and turbulent flows // ' Prog. Energy Combust. Sci. 1985. V. 11. P. 1-59.

27. P. Clavin Premixed combustion and gasdynamics // Annu. Rev. Fluid Mech. 1994. V. 26. P. 321-352.

28. Л. Д. Ландау К теории медленного горения // ЖЭТФ. 1944. Т. 14. № 6. С. 240-245.

29. Я. Б. Зельдович Об одном эффекте, стабилизирующем искривлённый фронт ламинарного пламени // ПМТФ. 1966. № 1. С. 102-104.

30. G. I. Sivashinsky Nonlinear analysis of the hydrodynamic instability in laminar flames // Acta Astronaut. 1977. V. 4. P. 1177-1206.

31. O. Thual, U. Frish, M. Henon Application of pole decomposition to an equation governing the dynamics of wrinkled flame fronts // J. Physique (France). 1985. V. 46, P. 1485-1494.

32. О. M. Белоцерковский, В. А. Гущин, В. В. Щенников Метод расщепления в применении к решению задачи динамики вязкой несжимаемой жидкости //Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1975. Т. 15. № 1. С. 197-207.

33. О. М. Белоцерковский, В. А. Гущин, В. Н. Конъшип Метод расщепления для исследования течений стратифицированной жидкости со свободной поверхностью // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1987. Т. 27. № 4. С. 594-609.

34. А. Ю. Демьянов Поведение ньютоновских характеристик в задаче перехода горения в детонацию // XLIV научная конференция МФТИ, 2001.

35. Ю. Б. Радвогин Квазимонотонные многомерные разностные схемы второго порядка: Препринт № 19. М.: ИПМатем. АН СССР. 1991.

36. Yu. В. Radvogin, N. A. Zaitsev Multidimensional minimal stencil supported second order accurate upwind schemes for solving hyperbolic and Euler systems: Preprint, No 22. KIAM, RAS. 1996.

37. A. Harten, S. Osher, B. Engquist, S. R. Chakravarthy Some results on uniformly highorder accurate essentially nonoscillatory schemes // Appl. Numer. Math. 1986. V. 2. No 3-5. P. 347-376.

38. Л. К. Эвапс Уравнения с частными производными. Новосибирск: Тамара Рожков-ская, 2003.

39. А. А. Самарский Теория разностных схем. М.: Наука, 1983.

40. A. Kh. Pergament, S. В. Popov, М. F. Yambaev, V. D. Yepishin The thermodynamically conditioned difference schemes for multi-phase flow // Proc. 9th Euro. Conf. Math. Oil Recov., August-September 2004. Cannes, France, P007.

41. JI. Д. Ландау, E. M. Лифшиц Теоретическая физика в 10 томах: Т. 6. Гидродинамика. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001.

42. М. L. Frankel, G. I. Sivashinsky The effect of viscosity on the hydrodynamic stability of a plane flame front // Combustion Sci. Technol. 1982. V. 29. P. 207-224.

43. Я. В. Зельдович, Д. А. Франк-Каменецкий Теория теплового распространения пламени // Ж. физ. хим. 1938. Т. 12. № 1. С. 100-105.

44. V. V. Bychkov, К. A. Kovalev, М. A. Liberman Nonlinear equation for curved nonsta-tionary flames and flame stability // Phys. Rev. E. 1999. V. 60. No 3. P. 2897-2911.

45. P. K. Sweby High resolution schemes using flux limiters for hyperbolic conservation laws // SIAM J. Numer. Analys. 1984. No 21. P. 995-1011.

46. A. Harten High resolution schemes for hyperbolic conservation laws // J. Comput. Phys. 1983. V. 49. No 3. P. 357-393.

47. С. К. Годунов, А. В. Забродин, М. Я. Иванов и др. Численное решение многомерных задач газовой динамики. М.: Наука, 1976.

48. А. Г. Куликовский, Н. В. Погорелое, А. Ю. Семенов Математические вопросы численного решения гиперболических уравнений и систем. М.: Физматлит, 2001.

49. Д. Ю. Максимов, Б. Д. Плющенков Экономичная разностная схема для уравнений горения на основе расщепления потока на конвективную и диффузионную части // X школа-семинар «Современные проблемы аэрогидродинамики», Сочи, «Буревестник» МГУ, сентябрь 2002.

50. Д. Ю. Максимов, А. X. Пергамент, В. Д. Плющенков ТУБ схемы с расщеплением для двумерных задач горения // XI школа-семинар «Современные проблемы аэрогидродинамики», Сочи, «Буревестник» МГУ, сентябрь 2003.

51. Д. Ю. Максимов, А. X. Пергамент, В. Д. Плющенков О некоторых схемах расщепления в задачах газодинамики с теплопроводностью: Препринт № 70. М.: ИПМатем. РАН. 2005.

52. М. Ю. Заславский, Д. Ю. Максимов, А. X. Пергамент, В. Д. Плющенков О некоторых схемах расщепления в задачах газодинамики с теплопроводностью // XIII школа-семинар «Современные проблемы аэрогидродинамики», Сочи, «Буревестник» МГУ, сентябрь 2005.

53. М. Ю. Заславский, Д. Ю. Максимов Положительная по температуре консервативная разностная схема для задач горения: Препринт № 4. М.: ИПМатем. РАН. 2006.

54. А. X. Пергамент, М. Ю. Заславский, Д. Ю. Максимов Положительная по температуре консервативная разностная схема для задач горения // Научная конференция «Ломоносовские чтения», апрель 2006.

55. М. Ю. Заславский, Д. Ю. Максимов, А. X. Пергамент О термодинамически обусловленных схемах расщепления в задачах горения // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2006. Т. 46. № 10. С. 1851-1865.

56. А. X. Пергамент, Д. Ю. Максимов Асимптотические режимы горения в широких трубах // Научная конференция «Ломоносовские чтения», апрель 2007.

57. Д. Ю. Максимов Асимптотические режимы горения в широких трубах // XV школа-семинар «Современные проблемы аэрогидродинамики», Сочи, «Буревестник» МГУ, сентябрь 2007.

58. Д. Ю. Максимов Асимптотические режимы горения в широких трубах // Мат. моделирование. 2007. Т. 19. № 10. С. 15-28.