Математическое моделирование пространственного положения геообъектов и интервальное оценивание его точности

Суханов, Сергей Иванович

автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование пространственного положения геообъектов и интервальное оценивание его точности

кандидата технических наук: Суханов, Сергей Иванович
город: Барнаул
год: 2011
специальность ВАК РФ: 05.13.18

Диссертация по информатике, вычислительной технике и управлению на тему «Математическое моделирование пространственного положения геообъектов и интервальное оценивание его точности»

Автореферат диссертации по теме "Математическое моделирование пространственного положения геообъектов и интервальное оценивание его точности"

На правах рукописи

Суханов Сергей Иванович

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННОГО ПОЛОЖЕНИЯ ГЕООБЪЕКТОВ И ИНТЕРВАЛЬНОЕ ОЦЕНИВАНИЕ ЕГО ТОЧНОСТИ

05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

- 8 ДЕК 2011

Барнаул - 2011

005005386

Работа выполнена на кафедре теоретической кибернетики и прикладной математики ФГБОУ ВПО «Алтайский государственный университет»

Научный руководитель:

кандидат физико-математических наук доцент

Жилин Сергей Иванович

Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор

Цхай Александр Андреевич

кандидат географических наук, доцент Байкалова Татьяна Викторовна

Ведущая организация:

Учреждение РАН «Институт вычислительной математики и математической геофизики СО РАН» (г. Новосибирск)

Защита диссертации состоится «23» декабря 2011 г. в 14-00 на заседании диссертационного совета Д 212.005.04 в ФГБОУ ВПО «Алтайский государственный университет» по адресу: 656049, Барнаул, пр. Ленина, 61.

С диссертационной работой можно ознакомиться в библиотеке ФГБОУ ВПО «Алтайский государственный университет» по адресу: 656049, г. Барнаул, пр. Ленина, 61.

Автореферат разослан 22 ноября 2011 г.

Ученый секретарь диссертационного совета д.ф.-м.н., профессор

С. А. Безносюк

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Современные методы анализа массивов данных находят применение в самых различных областях теоретических и прикладных исследований, в том числе в геоинформатике при обработке геодезических измерений, построении карт и планов, в кадастровых системах различного назначения и при создании математического и программного обеспечения геоинформационных систем (ГИС). Процедуры анализа массивов данных включают их предобработку, проверку согласованности, полноты и степени пригодности для решения рассматриваемой прикладной задачи и оценки параметров объекта исследования.

Традиционно для решения задач анализа данных используются вероятностно-статистические методы: регрессионный, корреляционный, дисперсионный анализы, методы математической статистики, статистических испытаний, многомерного анализа данных и др. В последнее время интенсивно развивается нестатистический подход к анализу данных, основная идея которого состоит в замене вероятностной модели неопределенных факторов на интервальную модель. Первая работа в этом направлении опубликована в 1962 г. Канторовичем JI.B., который задачу оценки параметров линейной зависимости свел к задаче линейного программирования. Дальнейшее развитие методы нестатистического (интервального) анализа получили в работах таких авторов, как Бельфорте Г., Вощинин А.П., Сотиров Г.Р., Жилин С.И., Кумков С.И., Максимов A.B., Мила-незе М., Орлов А.И., Оскорбин Н.М., Подружко A.A., Подружко A.C., Пронца-то П., Родионова O.E., Суханов В.А., Шарый С.П. и др. С формальной точки зрения, при отказе от вероятностного описания неопределенности происходит потеря информации, однако за счет получения устойчивых оценок, возможности привлечения к анализу данных априорной информации, эффективного выявления совокупностей противоречивых данных и знаний эта потеря в ряде прикладных задач компенсируется. При интервальном оценивании, усложняются и численные методы, которые в интервальном анализе применяются для решения сложных экстремальных задач, однако они могут базироваться на современных пакетах прикладных программ.

Данная работа посвящена применению интервального анализа для решения задачи оценки точности положения геообъектов, в которой неопределенности связаны с инструментальными погрешностями геодезических измерений и с погрешностями «сколки» значений координат с карт и космоснимков, а также с погрешностями их изготовления. Одной из основных проблем данной области является разработка специальных математических моделей пространственного положения геообъектов и их перемещений, совместных с ограничениями, диктуемыми используемой информацией (совокупностью фактов, априорных знаний, измерений и т.п.) и образующими так называемое информационное множество.

Практическое использование математических моделей, численных методов и комплекса программного обеспечения позволило бы существенно повысить точность выполнения картографических и геодезических работ. Результа-

ты работы могут быть использованы при разработке специализированных модулей в ГИС-технологиях. Таким образом, тема диссертации является актуальной.

Целями диссертационной работы являются:

1. Разработка математических моделей пространственного положения геообъектов для их использования в задачах интервального анализа геоданных.

2. Разработка численных методов и программных средств интервального анализа пространственного положения геообъектов и их применение при создании цифровых карт и топографических планов местности.

Задачи исследования.

1. Провести системный анализ проблемы оценки точности двумерных и трехмерных картографических данных и геодезических измерений.

2. Обосновать применимость методов интервального анализа для оценки точности пространственного положения геообъектов.

3. Разработать базовые математические модели пространственного положения геообъектов.

4. Разработать алгоритмы и численные методы интервального оценивания точности картографических и геодезических данных.

5. Разработать программные средства для решения задач оценки точности картографических материалов и массивов геодезических измерений.

6. Применить разработанные математические модели и методы интервального анализа геоданных при создании цифровых карт по космическим снимкам высокого разрешения.

Объект исследования. Пространственное положение географических объектов и их картографическое и геодезическое отображение.

Предмет исследования. Математическое моделирование пространственного положения геообъектов и интервальные оценки точности их отображения на картах, космоснимках и в массивах геодезических измерений.

Методы исследования. При выполнении работы использовались методы интервального анализа, методы математического программирования, теории вероятностей и математической статистики, современные методы геоинформатики, программные средства: Matlab, ArcView, Credo, Autocad. Часть расчетных задач выполнена в среде MS Excel, с использованием инструмента «Поиск решения».

Научная новизна работы. Предложена математическая модель пространственного положения геообъектов, которая базируется на использовании аффинного преобразования геопримитивов. Разработана методика интервального оценивания пространственного положения двумерных и трехмерных геообъектов, в которой перемещение отдельных примитивов при согласовании геоинформации осуществляется изменением параметров аффинного преобразования. Построены прикладные модели интервального оценивания точности топографических планов и геодезических измерений и алгоритмы их расчета, проверенные на модельных и реальных данных ГИС-полигона, созданного на территории г. Барнаула. В алгоритмах расчета используется интервально согла-

сованное прямое и обратное преобразование геоданных, заданных в разных системах координат.

Теоретическая и практическая значимость. Результаты диссертации могут быть использованы для развития методов прикладного интервально анализа данных и для совершенствования математического и программного обеспечения геоинформационных систем.

Практическая значимость результатов работы определяется возможностями их использования для повышения точности проведения картографических работ, для обработки массивов геодезических измерений и для коррекции координат геообъектов кадастровых информационных систем. Результаты работы могут использоваться в вузах при разработке учебных курсов для бакалавров и магистрантов по направлению «Прикладная математика и информатика».

Основные положения, выносимые на защиту.

1. Методика оценивания точности двумерных и трехмерных картографических данных и геодезических измерений с использованием математических моделей пространственного положения географических объектов и методов интервального анализа.

2. Алгоритмическое и программное обеспечение интервального оценивания пространственного положения точечных, линейных, полигональных объектов; результаты оценки точности геоданных на модельных и реальных данных ГИС-полигона, созданного на территории города Барнаула.

3. Результаты применения математических моделей пространственного положения геообъектов, алгоритмов и программ при создании цифровых карт по космическим снимкам высокого разрешения.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на российских и международных научно-практических конференциях: региональных конференциях по математике «МАК-2008», «МАК-2009» (Барнаул, 2008-2009 гг.); Международной конференции «Современные проблемы прикладной математики и механики: теория, эксперимент и практика», посвященной 90-летию со дня рождения академика H.H. Яненко (Новосибирск, 2011 г.); Международной школе-семинаре «Ломоносовские чтения на Алтае -2011», посвященной 300-летию со дня рождения МВЛомоносова (Барнаул, 2011); Ярмарке изобретений «Алтайский край 2011» (Барнаул, 2011 г.).

Диссертационная работа выполнена при частичной финансовой поддержке ведомственно-аналитической программы «Развитие научного потенциала высшей школы (2009-2011 годы)» по проекту № 2.2.2.4/4278 «Совершенствование научно-исследовательской работы студентов и аспирантов по прикладной и индустриальной математике».

Публикации. По теме диссертации автором опубликовано 10 печатных работ, в том числе 5 статей в ведущих реферируемых научных журналах, рекомендуемых ВАК РФ для публикаций результатов диссертационных работ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трёх глав, заключения, списка литературы из 125 источников, трех приложений. Общий объем работы составляет 119 страниц.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность исследования, определяются цель, задачи, объект, предмет, методы исследования, раскрывается научная новизна, формулируются положения, выносимые на защиту.

В первой главе рассматриваются задачи оценки точности геоданных, показываются преимущества применения методов интервального анализа, а также приводится методика оценки согласованности и точности пространственного положения геообъектов.

Пространственное описание местности всегда было одной из главных задач топографии. К концу прошлого века наиболее совершенным графическим представлением местности были топографические карты, где пространственное положение объектов местности определялось реальными координатами планового положения (с учетом масштаба) и условными знаками по высоте. Этот вид графического представления местности и в настоящее время сохраняет свое значение, благодаря тому, что отвечает требованиям множества потребителей и является одной из наглядных, достоверных и наиболее экономичных форм представления геоинформации.

Геопространственные данные (геоданные) в широком смысле есть совокупность двух составляющих — сведений, характеризующих геометрические свойства тех или иных объектов, и атрибутивных данных, описывающих прочие характеристики объектов. Далее в работе термин «геоданные» употребляется в более узком смысле — для обозначения только геометрической компоненты.

Оценивание точности геоданных — самый важный этап при проведении картографических работ и обработке геодезических измерений. Надежная и адекватная оценка точности — необходимый показатель при сертификации этой продукции. В литературе для этой цели используют методы теории измерений, вероятностно-статистические методы, специальные методы обработки данных геодезических измерений, методы интервального анализа.

В диссертации проведено исследование возможностей применения интервального анализа к задачам обработки геоданных и показано, что для его использования необходимы математические модели пространственного положения геообъектов для получения точечных оценок и модели их локальных перемещений, необходимые при интервальном оценивании погрешностей пространственного положения реальных геообъектов.

Также разработана методика оценки согласованности и точности двумерных и трехмерных геоданных, описание которых можно формализовать следующим образом.

Пусть на исследуемой территории выделена совокупность геообъектов, индексы которых принадлежат множеству У = {1,2,...,^}. Пространственное положение объекта ] е 3 определяется в некоторой (расчетной) системе координат массивом точек М/ = ([х//=1 значения которых ап-

риори неизвестны. Здесь п) - число точек, достаточное для полного описания формы и пространственного положения объекта ,/' е./.

Информация, которой располагает исследователь для построения оценки Мр jeJ истинного положения у-го объекта и для оценки всего массива геоданных М = (мр ] е , включает:

1) знание формы и размеров каждого исследуемого геообъекга;

2) априорные качественные и количественные сведения о положении геообъектов и их пространственных отношениях;

3) результаты геодезических измерений Мр координат объекта (этот массив по структуре, составу элементов и системе координат в общем случае не совпадает с массивом Мр у е 3);

4) полное описание условий геодезических измерений и сбора картографических данных, включая оценки погрешности полевых измерений или «сколки» их значений с карты.

Исходная информация включает в себя как данные, так и знания и характеризуется значительным объемом. Обработка этой информационной совокупности может быть выполнена методами интервального анализа, которые позволяют получать не только точечные оценки Мр jeJ пространственного положения каждого объекта, но и описывать каждое множество Q¡ (информационное множество) согласованных значений массива М1 (А/, е .В диссертации рассмотрена структура множества с использованием понятия «порция информации». Пусть ()], х = — элементарные информационные множества, построенные на основе групп знаний и данных, указанных в пунктах 1,3,4 выше приведенного списка. Тогда

Здесь ¿; - количество выделенных групп данных, которое включает число измеренных координат массива М] и число формализованных условий на основе априорной информации, у б У.

Пусть также у = 1,...,/т- совокупность «порций информации» построенных с использованием данных и знаний пункта 2. Множество ££ введено для описания взаимосвязей между отдельными объектами и определяет совместное пространственное положение объектов, то есть М е

В том случае, когда исходная информация не противоречива, имеют меи

сто включения: М, е <<2р у е ./, М е = , а все записанные множества являются непустыми. Однако проверить эти условия не представляется воз-

можным. На практике ограничиваются проверкой согласованности используемых данных и знаний.

Определение 1. Информационным множеством пространственного положения всех геообъектов jeJ называется множество <2, такое что:

(2)

1

Определение 2. Информация о пространственном положении геообъектов согласована, если <2 - непустое множество

При обработке реальных данных, как правило, возникает ситуация, когда исходная информация не согласована. В том случае, когда множество (2) задается системой интервальных линейных уравнений, проверка согласованности может быть выполнена с помощью функционала С.П. Шарого, распознающего непустоту объединенного множества решений системы. Этим инструментом при анализе геоданных можно не только проверить условие 0 * 0, но и, в случае несогласованности, выявить «порции информации», которые подпадают под подозрение как противоречащие общей совокупности данных.

В диссертации проведено исследование причин несогласованности информационных множеств и показано, что имеющейся информации в созданной базе данных и знаний недостаточно для выявления противоречивых групп «порций информации». Пусть, например, множество £> = 0 и исключение порции обеспечивает условие согласованности оставшихся «порций информации», то есть выполнение условия: QJ\Q'I . Можем ли мы утверждать, что «порция» 0] не соответствует реальности, то есть М) й<2]? Оказывается, что в рамках нашей формализации и имеющейся информации этого утверждать нельзя. Необходимы дополнительные исследования, которые могут подтвердить, что М1 <£ (¿г тогда <3] исключается из базы информационной системы, или выявить, что Л/у е£>]. В последнем случае анализ необходимо провести для всех оставшихся «порций информации».

Следуя практике обработки данных, необходимо выявить при исследовании согласованности минимальный набор «порций», для которых необходим дополнительный анализ.

Для решения этой задачи в диссертации используется следующий алгоритм. Пусть к'- параметры, значения которых «расширяют» или «сужают»

«порции» 0у\ Определим 0]{к]) так, чтобы выполнялись условия:

еда седа к1<к1<

Аналогично введем параметры к^, у = 1,...,/,г. Пусть к/ = (к"/, г = )'=1,...,Л1).Тогда к = (кг К, ,/е./).

Определим расширяемое или сужаемое информационное множество, модифицируя (2):

JeJ

и отыщем к' решением следующей экстремальной задачи:

IMeß(*)*0|.

U.kii

¡eJ v-1

(5)

Равенство единице всех коэффициентов расширения к', полученных при решении задачи (5) означает согласованность данных. В противном случае можно выявить группу «порций информации», которые препятствуют согласованности, и дополнительно проверить их достоверность. Для скорректированной информационной совокупности следует также решать задачу (5).

Для исследования альтернативного способа согласования данных можно предложить модификацию задачи (5), в которой все коэффициенты расширения одинаковы и равны к, тогда к' следует отыскивать из условия:

к' = min {к |MeQ(k)*0}. (6)

Результаты решения задачи (6) в случае несогласованности данных позволят провести ранжирование «порций», препятствующих согласованию.

Пусть исходная информация согласована, то есть 0*0. Рассмотрим задачи оценки пространственных координат и их точности. Зададим интересующую нас скалярную характеристику h совокупности геообъектов как функцию истинных координат h = Н(М). Таких характеристик может быть много. Оценки h и М можно найти при общем коэффициенте расширения решением следующей задачи (оценки центра неопределенности):

h = H(M)\ М = arg min {/с \MsQ(k)}. (7)

Другим способом нахождения оценок характеристик h совокупности геообъектов и погрешности этой оценки ДА является решение двух экстремальных задач (в условиях существования экстремумов):

(8)

h = min H(M); A = maxtf(M).

- А/еО ' UcO

Тогда

7 h+h h==~;

A

2

(9)

В диссертации проведен анализ задач (5) - (8) и показано, что, в общем случае, они относятся к многоэкстремальным задачам большой размерности. Для их существенного упрощения предложено использовать математическую модель пространственного положения каждого геообъекта j&J, координаты которого получаются при формировании информационного множества с использованием преобразования следующего вида:

(Ю)

'хС ' cos(ary) sin(ay)

V = т> -sin(ory) cos(fl^)

zf V ' У , 0 0

)(*!) (XI)

У: + YJ

z' Z' и-»;

где ntj, ал X(,Y^,ZJ0 - параметры преобразования, выбранные при решении задач (5) - (8)); (Xj, Y/,Zf) - координаты геообъекта jе J в расчетной системе координат; (А'/, У,', Z]) - координаты характерных точек выбранного геопримитива I; i (i = l,...,Lj) - индекс характерной точки выбранного геопримитива.

Для использования модельного представления пространственного положения всех рассматриваемых геообьектов необходимо сформировать базу данных геопримитивов для исследуемой предметной области. Отметим, что изменением параметров преобразования в формуле (10) реализуются локальные перемещения геообъектов, необходимые для получения интервальных оценок исследуемых характеристик.

В главе 1 приведены модельные примеры вычислений интервальных оценок пространственного положения дву- и трехмерных геообъектов, выполненных с использованием предложенной математической модели и показано существенное снижение размерности и вычислительной сложности решения задач (5)-(8). На этих примерах также показаны работоспособность предложенной методики интервального оценивания параметров геообъекгов и особенности ее практического применения.

Во второй главе рассматриваются математические модели пространственного положения реальных геообъектов и методы интервального оценивания их точности.

В диссертации в качестве базовых задач оценивания рассматриваются:

1. Оценка точности растровой карты с использованием метода центра неопределенности.

2. Интервальная оценка смещения высот топографической карты по данным GPS измерений.

3. Сглаживание массива данных рельефа с использованием сплайновых поверхностей.

При решении этих задач используется прямое и обратное преобразование геодезических данных, полученных в разных системах координат. Построение такого рода преобразований традиционно производится с использованием таблицы опорных точек и представляется в виде моделей типа (10). Однако на практике полученные указным способом преобразования не согласованы в том смысле, что расчетные координаты при последовательном применении прямого и обратного преобразований не совпадают. Возникающая методическая ошибка, несущественная на практике, оказывается не допустимой при использовании преобразований в итерационных алгоритмах решения задач интервального оценивания. Учитывая, что в (10) по координате Z перемещение геообъектов осуществляется без их поворота, в диссертации рассмотрено согласованное построение прямого и обратного двумерного преобразования, при которых рассчитываются четыре параметра следующей формулы:

(V r eos а sinúA fх) Гах>

= т + АУу

Ь 4-sinar eos а)

(И)

где дх,Ау— начало системы координат; а — угол разворота осей координат, т—масштабирующий множитель.

Для определения этих параметров необходимо иметь не менее двух точек, координаты которых известны в обеих системах. Общий вид преобразования координат из условной МСК в условную РСК будем искать в следующем виде: прямое —

и обратное -

КУ

= т

'МСК

РСК

a, í>!

■ч у

= т

рек

МСК

Ыма/U-yJ,

мск

-h а:

2 У

КУурск

{¿у)

(12)

(13)

рек

где я, =со$амск; 6, = б1поГл^а'^ а1 = с°5арск> Ьг~ыпаРСК.

Особенностью данных формул является несогласованность параметров этих преобразований. Если раздельно найдены преобразования из МСК в РСК и обратно:

рек

х

/МСК

Л

РСК

.У)

МСК

ы,

РСК

МСК

то несогласованность в данном случае означает, что ✓ \ Г~\ ( ч

yJpCK

РСК

X

У ^ МСК

уУ )мск

Гс\\

Поиск коэффициентов преобразований (12) и (13) проводился с помощью метода центра неопределенности. При нахождении коэффициентов уравнения (12) использовалась следующая схема: ошибки наблюдения хну имеют одинаковую погрешность, а информационное множество допустимых значений параметров тжк, а,, 6,, &хиа., аухкк в данной схеме записывалось так:

<2кк(к) = {(тмск>^А>Ах^к,&уК1СК)|х,ск-кхеХ{ <тм.К{а^кК.К +Ь1уш:к) + +хмск ^хкк+кхех ;укк-куеУ1 йтК<СК(-Ьххмск + ахуК1СК) + ук1СК <у,,^^

+ *<,; Ужк,^У'иск, ¿Уиск, +£У.' ' е (14)

где е, = еу - оценки модулей ошибок в измеренных значениях х^,, у'кк, > которые принадлежат прямоугольнику со сторонами 2ех = 2еу , N =9.

Поиск коэффициентов преобразования (13) проводился аналогичным образом. Информационное множество допустимых значений для параметров трск> а2! Ь2; Ьхрск; Ь-Угск записывалось в следующем виде:

ЯккЛк) = {(тРск'агА'&хра:^Урск)\хмск1 <mPCK{a2xrci; + b1yKK)+

Ьхгск ¿х^ +кхс, ;уМСК1 -куеУ1 ¿т^-^х^ +а1уКК) + &уКК ¿у1/ск + (15)

к.'еу,'хрск, ^Хкк^Хеск, +£,;>Укк, ~£у, ^Угск, где е, = ел - оценки модулей ошибок в измеренных значениях хргск ур,,ск.

N=9; числовые параметры массива геоданных в (14), (15) для упрощения их записи приняты равными параметрам реальных массивов.

Расчеты согласованных коэффициентов преобразований (12) и (13) в диссертации названы их балансировкой. Для того чтобы коэффициенты преобразований (12) и (13) были сбалансированы необходимо выполнение трех условий:

Нахождение сбалансированных коэффициентов преобразований (12) и (13) методами интервального анализа данных выполнялось в среде Matlab.

Первая из базовых задач анализа геоданных направлена на оценку точности растровых и векторных карт, космических снимков. Исследования проведены на примере оценки точности растровой карты. Для построения базы данных в диссертации был выбран участок, расположенный в северо-западной части города Барнаула, который включает территорию тепличного хозяйства, магистраль автомобильной дороги и железнодорожные пути. Положение геообьектов этой территории измерено с использованием GPS- и тахеометрической съемок в местной системе координат (МСК) г. Барнаула. Полученные слои цифровой карты объединены в общую совокупность в среде ArcView (далее этот массив данных назовем ГИС-полигоном). При создании этой ГИС погрешность определения координат точечных двумерных геообъектов не превышает ±0,05 м.

Участок растровой карты на территории ГИС-полигона был предварительно обработан с использованием программы Credo Transform в масштабе 1:500, с его наложением в местную систему координат г. Барнаула. Координаты тестовых точек определены при помощи системы спутниковой навигации GPS Trimble 5700. Проверка положения объектов на растровой карте проводилась сопоставлением набора из 26 точек, «сколотых» с растра по средней линии прямолинейного участка железной дороги длиной в один километр, и совокупности 8 тестовых точек на том же участке, координаты которых определены с помощью GPS.

Метод оценки погрешности заключался в сравнении осевых линий, построенных по полученным данным. Осевой линией в том и другом случаях была прямая, а ее построение было проведено по алгоритмам метода центра неоп-

ределенности.

В процессе построения уравнения осевой линии по GPS-измерениям применялась следующая схема: прямая описывалась уравнением вида у = ай + а, • х с неизвестными параметрами а,,, а,; предполагалось, что предельные границы ошибок одинаковы, а информационное множество в данной схеме задавалось так:

fibPSW = {(a„,a1)|y1-^ <aa+atf<yi+k£y-x,-£t: iel,...,N }г

де ех = ег = е - предельные границы ошибок измеренных значений у, , xf, которые заключены в прямоугольнике со сторонами 2eZ) = 2sУ;, N = 8.

Построение уравнения прямой по «сколотым» точкам растровой карты проводилось аналогичным образом при N-26. Оценки предельных границ ошибок «сколотых» значений yf, xf не превышали 0,16 м. Дня проверки гипотезы о смещении и повороте растра относительно истинных координат конструировалась прямая у- Д, + А, -х с неизвестными параметрами А0, А{ с помощью метода центра неопределенности. Информационное множество допустимых значений параметров А0, А, обозначим как Qv{k). Гипотеза о равенстве

коэффициентов а, = А1 проверялась решением задачи (7), которая в этом случае принимает вид:

min = (16)

.Ii, .л,. v

Основным результатом решения задачи (16) и задачи (8), сформированных по данным ГИС-полигона, являются следующие выводы: угловые коэффициенты обеих прямых можно считать одинаковыми (т.е. гипотеза о повороте растра не подтвердилась); смещение участка железной дороги на растровой карте по каждой из координат не превышает 0,1 м. При включении растровой карты в качестве слоя ГИС-полигона для проведения картографических работ указанную ошибку можно учесть как систематическую. Минимальное значение к' в задаче (16) оценено как 0,997.

Оценка смещения высот растровой карты с использованием GPS измерений проводилась по следующей схеме. Предполагается, что рельеф растровой карты в каждой точке zf смещен относительно истинного значения г/ на линейно зависящую от координат величину, которая представляется в интервальной форме и включает в себя погрешность «сколки» и погрешность изготовления карты

z? -г\ = аа+а^+агуп iel,...,N. (17)

Общее число измерений составляло N = 110. Поиск коэффициентов проводился с помощью метода центра неопределенности. В качестве независимых измерений z\ использовались данные высотных отметок, полученные с помощью системы спутниковой навигации GPS Trimble 5700. Погрешности GPS измерений еaps не превышают 0,05 м., а погрешность «сколки» е* оценена равной

0,24 м, «Сколка» высот по растровой карте проводилась в точках установки GPS -приемника по ближайшим изолиниям исследуемой карты.

Проверка согласованности массива данных проводилась методами интервального анализа данных. Введено информационное множество допустимых значений параметров а0, о,, аг:

в(к) = {(а0,а„аг)\2?к -г? -kV-kGpssGFS ¿а, +яЛ + kV +

* = <*сге,*Л), 1, к" - i e\,...,N. (18)

Непустота информационного множества Q(k) проверялась с использованием распознающего функционала С.П. Шарого для объединенного множества решений ИСЛАУ. При анализе согласованности информации гипотеза о нулевых значениях всех коэффициентов зависимости (17) не подтвердилась, что можно объяснить либо техногенными нарушениями рельефа, либо методическими погрешностями построения исследуемой карты на территории полигона.

Смещения рельефа в угловых точках территории полигона получены путем решения многоэкстремальной задачи на множестве Q(k) с целевой функцией (17). Соответствующие данные представлены в таблице 1.

Таблица 1

Смещение рельефа в угловых точках ГИС-полигона, м.

Угловые точки У, R GPS zi zt

Северо-запад 14017,07 -2642,70 0,76

Северо-восток 14017,07 -1645,57 0,42

Юго-восток 13633,36 -1645,57 0,28

Юго-запад 13633,36 -2642,70 0,62

Результаты расчетов показывают, что систематическое смещение отметок высот, полученных с использованием системы GPS Trimble 5700, по отношению к рельефу на карте масштаба 1:500 на территории полигона составляет в среднем 0,52 м

Рассмотрим задачу 3 оценки точности геоданных рельефа местности. При представлении изолиний рельефа в процессе построения топографических карт и планов возникает проблема сглаживания исходных данных высотных отметок, полученных с использованием GPS-измерений или известной базы данных NASA SRTM. Необходимость выполнения указанной обработки данных состоит в том, что исходная информация содержит ошибки измерения, которые существенно искажают изолинии рельефа, а при малом разрешении неадекватно отображают реальную поверхность высот исследуемой территории. Проблема осложняется тем, что сглаживание необходимо проводить для массива данных большой размерности.

В диссертационной работе эта задача решается с использованием онлайновых поверхностей. Анализ литературы показывает, что самым простым способом обработки трехмерных наборов данных является триангуляция. Полученная поверхность представляет собой систему плоских треугольников, «сши-

тых» значениями по координате 2 на гранях и в узлах, в общем случае, нерегулярной сетки. Недостатком данного подхода выступает, во-первых, отсутствие гладкости полученной поверхности и, во-вторых, данный подход не решает проблему сглаживания, т.е. фильтрации хаотических ошибок измерения и не исключает выбросы. Для построения сглаживающих поверхностей используют сплайны, в частности, полный бикубический сплайн, взвешивающие полиномы высоких степеней, ДММ-сплайны, рестриктивные В-сплайны. В ряде методов построения сплайновых поверхностей допускаются ограниченные «скачки» значений и производных соответствующих порядков. Заметим, что классические сплайны не допускают таких «скачков», т.е. при их построении обеспечивается «склеивание» в узлах сетки не только значений соседних полиномов, но и их первых производных.

В диссертации был выбран бикубический сплайн, который позволил на регулярной сетке обрабатывать массивы данных высот размерностью 32x32. При построении сплайновой поверхности аналогично применению рестриктив-ных В-сплайнов допускаются ограниченные и контролируемые «скачки» поверхностей по стыкам в координатах точек (х11,у^), как по значениям, так и по

первой производной (по углам наклона рельефа). Используемый подход позволил разбить массив исходных данных на 16 подмассивов, имеющих размеры 8x8 точек. Таким образом, приближение полигонов точек одного подмассива осуществляется по 64 точкам, что при числе свободных параметров равном 11 для неполного бикубического сплайна обеспечивает достаточное сглаживание.

Опишем используемый подход. Пусть (ху,уу) плановые координаты -

отметки высот в метрах, = 1,...,32. При обработке выделим полигоны (классы) (к,1), к,1 = 1,...,4 и локальную для полигонов систему координат точек (г/, у) с прямоугольной на отметках (и,у)е й = {-3,5; -2,5; ... 2,5; 3,5} сеткой. Приближение высот полигонов осуществляется следующей функцией (индексы к,1 не приведены):

(19)

р*.0д=0

где ап (р,д = 0,1,2) ; а03, а30 — коэффициенты значения, которые необходимо

определить из условий оптимального сглаживания.

Функция (19) имеет 11 свободных параметров и не учитывает 5 членов полного бикубического сплайна. Условие оптимального сглаживания отражает, прежде всего, требование точности приближения полигонов (4, к,1 = 1,2,3,4). Кроме того, формализовано требование оптимального приближения стыков значений высот и углов наклона по линиям, разделяющим соседние полигоны, параллельным осям ОХ, 0У . Соответствующие критерии обозначены как ^, Для определения всех 176 коэффициентов функций (19) решается задача векторной оптимизации:

В формуле (20) индекс ¿/соответствует числу стыков по ЛГи У, которые обозначаются соответственно (0-1; 1-2; 2-3; 3-4; 4-0), ¿ = 0,1,2,3,4,0.

Задача (20) аналогична приближению функции обобщенным методом наименьших квадратов, в котором настраиваемые параметры типа IV выступают в качестве весовых коэффициентов линейной свертки критериев.

Приведем выражения для частных критериев в задаче (20). Выражение

для.у£ имеет вид:^ , где ит,упеП; - от-

" ет=1 и=1

метка высоты соответствующей координаты исходного массива.

При вычислении суммы квадратов значений и углов наклона стыков Хи¥ начальная сетка удвоена и включает значения координат («,у), как на сопрягаемых стыках, так и на внешней рамке рассматриваемого массива. Значение поверхностей и их углов наклона в клетках внешней рамки принято равными значениями прилегающих клеток. В том случае, когда обрабатываются несколько соседних массивов данных, эти значения могут служить дополнительным и эффективным средством согласования массивов поверхностей при независимом их построении.

Удвоенная сетка задается множеством Ир = {-4; -3.5; -3;...;3; 3.5; 4} значений (и,у). Сопряжение поверхностей каждого полигона (к,1) осуществляется в точках у*-7 е йр; и" е (-4; 0; 4; 0} и в точках ар' е Ор; V? е {-4; 0; 4; 0}. При к <4;/ <4 критерии согласования полигонов по значениям и по углам наклона имеют вид (на примере ):

1' »>=1

где индекс с/ определяется по соответствующим значениям индекса к.

Аналогично выписываются критерии приближения соседних поверхностей по другим условиям. Если массив данных обрабатывается как изолирован-

ный, то значения критериев рассогласования «стыков» по клеткам рамки являются нулевыми, вычисление углов наклона осуществляется путем дифференцирования функции (19) в каждой точке расчетной сетки (и,у) б Бр х Ир с последующим преобразованием в градусную меру. При этом используется расстояние между узлами расширенной сетки в метрах.

Вычислительная технология сглаживания отметок рельефа и удвоения их числа включает следующие этапы:

1) преобразование линейного массива точек (х^^.г,), / = 1,..,1024 в квад-

ратный массив размера 32x32 и исключение выбросов;

2) визуализация исходных данных для задания начальных значений весовых коэффициентов критерия (20);

3) формирование массивов значений функции (19) и углов наклона;

4) решение задачи (20) и анализ полученного результата;

5) поточечный анализ выбросов, по результатам которого корректируются значения коэффициентов функции (19) и исходных данных;

6) обратное конвертирование данных в линейный формат исходного массива и массива удвоенных точек.

Тестирование программы проведено при обработке массива высот БЯТМ по данным ГИС-полигона.

Построенная для тестовой территории поверхность рельефа приближает высоты исходного массива со средней по модулю погрешностью, равной 0,35 м при размахе высот, равном 20 м. Эта оценка погрешности согласуется с условиями измерений, т.к. отсчеты рельефа представлены целыми числами.

Полученная в математической форме поверхность рельефа и сглаженные исходный и удвоенный массивы данных могут быть использованы при выполнении геодезических, картографических и проектных работ.

В диссертационной работе проведено теоретическое исследование возможности применения интервального анализа данных к решению рассмотренной задачи сглаживания массива рельефа. Рассматривалась возможность замены МНК оценок параметров в выражении (19) на их интервальные оценки и метод послойного приближения поверхности рельефа с использованием соответствующей базы математических примитивов. Показано, что эти направления исследований являются перспективными, а в последнем случае появляется возможность корректирования систематической погрешности координат сетки массива рельефа высот.

В третьей главе представлена геоинформационная технология создания цифровых карт на основе космических снимков высокого разрешения, цифровых моделей рельефа (ЦМР) и других картографических материалов. В технологии существенно используются разработанные методы интервального анализа данных при соотнесении информации на космоснимках и картах, выполненных в разных масштабах, в разных проекциях, за разные годы.

Общая технологическая схема организации процесса создания цифровых карт (рис. 1) включает следующие основные этапы:

1)сбор имеющихся картматериалов, заказ космоснимков;

2) контроль положения снимка на исследуемой территории, ортотрансфор-мирование;

3) пересчет координат геообъектов из исходных систем координат в местную систему с учетом согласованности геоданных, полученных из различных источников;

4) построение ЦМР;

5) дешифрирование снимка и создание векторных слоев карты;

6) выпуск твердой копии карты.

Рис. 1. Технологическая схема создания цифровых карт и планов по материалам космической съемки высокого разрешения.

Существуют различные способы построения ЦМР (с помощью стереосъемки, методом оцифровки имеющихся карт, радарной съемкой, и т.д.). В данном случае эта модель может быть построена на основе матрицы высот SRTM полученной NASA с помощью специальной радарной системы двумя радиолокационными сенсорами SIR-C и X-SAR. Общедоступной является версия этой матрицы с размером ячейки 90x90 м.

Однако для использования SRTM необходимо оценить ее погрешность в пределах исследуемой территории. Методика анализа проиллюстрирована на модельном примере, сформированном для участка на территории ГИС-

полигона размером 400x400 м. В состав данных были включены векторные карты, полученные оцифровкой растровых карт масштаба 1:500, 1:2000, 1:10000 в программе «EasyTrace». По векторным слоям были построены ЦМР в программном комплексе ENVI (рис. 2).

Рис. 2. Цифровые модели рельефа участка ГИС-полигона, построенные по картам различных масштабов с наложением векторизованных по исходным картам изолиний: а) М 1:500; б) М 1:2000; в) М 1:10000.

В 16 точках участка, представленных в 8ЯТМ, вычислялись отклонения их высот от значений высот, вычисленных по каждой из построенных ЦМР (табл. 2). Результаты расчетов показывают, что систематическое смещение отметок высот матрицы БЯТМ по отношению к рельефу на карте масштаба 1:500 на территории полигона составляет в среднем 42,8 м, на карте масштаба 1:2000 - 42,6 м, на карте масштаба 1:10000 - 43,2 м, а случайная составляющая ошибки лежит в интервале ±1,5 м с доверительной вероятностью 0.95. В данном случае статистическая оценка погрешности выбрана в связи с тем, что работа

по согласованию массива данных методами интервального анализа не проводилась.

Таблица 2

Отклонения высот БИТМ относительно ЦМР, построенных по картам М 1:500, М 1:2000, М 1:10000

№ Высотные отметки, м Отклонение высот БЯТМ относительно карт, м

М 1:500 М 1:2000 М 1:10000 БЯТМ М1:500 М 1:2000 М 1:10000

1 234,59 234,53 234,48 192,00 42,59 42,53 42,48

2 234,00 233,75 233,77 191,00 43,00 42,75 42,77

3 232,00 232,02 232,16 190,10 41,90 41,92 42,06

4 231,85 231,81 231,57 189,40 42,45 42,41 42,17

5 233,79 234,00 233,99 191,00 42,79 43,00 42,99

6 233,00 232,87 232,86 „ 190,40 42,60 42,47: 42,46

7 231,00 231,25 231,38 189,10 41,90 42,15 42,28

8 229,08 229,05 230,00 187,10 41,98 41,95 = 42,90

9 233,00 232,97 233,00 189,80 43,20 43,17 43,20

10 232,00 232,00 232,00 189,00 43,00 43,00 43,00

11 230,23 229,83 231,00 187,10 43,13 42,73 43,90

12 229,00 228,73 230,00 185,70 43,30 43,03 44,30

13 231,11 229,85 231,57 186,80 44,31 43,05 44,77

14 230,00 229,25 230,86 187,00 43,00 42,25 43,86

15 228,71 229,00 229,98 185,60 43,11 43,40 44,38

16 228,00 228,00 229,10 . 184,90 43,10 43,10 44,20

Возникновение систематической ошибки может быть объяснено существенными отличиями систем координат: в МСК используется балтийская система высот, в системе координат, используемой в БЯТМ, высоты измеряются от уровня мирового океана. Оцененные смещения высот могут быть устранены при создании цифровых карт в заданных системах координат.

Геоинформационная технология применена для создания цифровых карт сельских территорий Усть-Коксинского района Республики Алтай. Исходными материалами для изготовления цифровых карт являлись космические снимки в формате ОеоТ1А", полученные со спутников Ч?шскВ1гс1 и Шопов, с разрешением 0,6 и 1 метр соответственно. В качестве исходной информации для ЦМР использовалась матрица БИТМ с устраненной систематической погрешностью и сглаженная с использованием метода, изложенного в главе 2.

• < В результате были созданы 27 цифровых карт масштаба 1:5000 с сечением рельефа 2 м.

Разработанная геоинформационная технология создания цифровых карт на информационной базе космоснимков высокого разрешения передана для ее использования в ИВЭП СО РАН и в ряд организаций г. Барнаула, которые занимаются выполнением картографических работ.

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ И РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

В заключении приведены основные результаты и выводы диссертационной работы, которые состоят в следующем:

1. Проведен системный анализ проблемы оценки точности картографических данных и геодезических измерений пространственного положения геообъектов для целей создания цифровых карт с использованием комплексной геоинформации (карты, планы, геодезические измерения, космоснимки).

По результатам анализа разработана методика анализа двумерной и трехмерной геоинформации, которая опирается на сформированную базу данных и знаний о геообъектах. Компоненты этой базы для заданной совокупности геообъектов включают: знание формы и размеров; сведения о положении геообъектов в пространстве и о их пространственных отношениях; результаты и условия геодезических измерений.

2. Обоснована применимость методов интервального анализа для оценки точности положения геообъектов и формализованы задачи точечного и интервального оценивания искомых характеристик пространственного положения геообъектов. Предложена математическая модель пространственного положения геообъектов, которая базируется на использовании аффинного преобразования геопримитивов, и позволяет сократить размерность и упростить алгоритмы интервального оценивания.

3. Разработаны базовые математические модели пространственного положения геообъектов, в том числе прикладная модель оценки точности растровой карты с использованием метода центра неопределенности; модель интервальной оценки смещения высот топографической карты по данным СРБ-измерений; модель сглаживания массива данных рельефа с использованием сплайновых поверхностей.

4. Разработаны и апробированы на реальных данных ГИС-полигона численные методы и алгоритмы интервального оценивания точности картографических и геодезических данных. В алгоритмах расчета используется интерваль-но согласованное прямое и обратное преобразование геоданных, заданных в разных системах координат.

5. Разработаны программные средства для решения задач интервального оценивания точности картографических материалов и массивов геодезических измерений.

6. Разработана технологическая схема создания цифровых карт по космическим снимкам высокого разрешения, апробированная в реальных условиях. При выполнении технологических операций используются разработанные математические модели и методы интервального анализа геоданных.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ИССЛЕДОВАНИЯ

Работы, опубликованные автором в ведущих рецензируемых научных журналах, рекомендованных ВАК Министерства образования и нсгуки РФ

1. Оскорбин Н.М., Суханов СЛ. Создание полигона для оценки точности имеющихся растровых карт и космических снимков высокого разрешения // Известия Алтайского государственного университета. - Барнаул, 2011. -

„ №1.-С. 108-112.0,62 пл. (лично автора-0,31 пл.).

2. Оскорбин Н.М., Суханов С.И., Федин Л.Ю. Сглаживание массива данных рельефа с использованием сплайновых поверхностей // Известия Алтайского государственного университета. - Барнаул, 2010. - № 1. - С. 112-115. 0,5 пл. (лично автора - 0,2 пл.).

3. Суханов С.И. Оценка точности растровой карты, с использованием метода центра неопределенности // Известия Алтайского государственного университета. - Барнаул, 2010. -№ 1.-С. 116-118.0,38 пл.

4. Оскорбин Н.М., Суханов С.И. Оценка параметров формул прямого и обратного преобразования пространственных координат // Геодезия и картография. - М-, 2011. - № 6. - С. 26-29.0,25 пл. (лично автора - 0,12 пл.).

5. Оскорбин Н.М., Жилин С.И., Суханов С.И. Интервальный подход к оценке согласованности и точности геоданных // Геодезия и картография. - М., 2011.-№11.-С. 12-16. 0,31 пл. (лично автора-0,1 пл.).

Другие публикации

6. Суханов С.И. Многомодовые методы анализа данных // МАК-2008 : материалы одиннадцатой региональной конференции по математике (июнь 2008 года). - Барнаул, 2008. - С. 69-72.0,25 пл.

7. Суханов С.И. Применение N-way анализа к исследованию спутниковых изображений // Управление созданием и развитием систем, сетей и устройств телекоммуникаций : труды научно-практической конференции. - СПб., 2008 -С. 320-323.0,25 пл.

8. Суханов С.И., Жилин С.И. Классификация спутниковых изображений плоскими и многомодовыми методами анализа многомерных данных // Известия Алтайского государственного университета. - Барнаул, 2009. - № 1. - С. 75-76.0,25 пл. (лично автора - 0,12 пл.).

9. Оскорбин Н.М., Суханов С.И., Винокуров Ю.И., Пузанов A.B. Создание цифровых топографических планов и карт масштабов 1:10000, 1:5000, 1:2000 с использованием космических снимков высокого разрешения данных // Ярмарка изобретений-2011. - Барнаул, 2011. - С. 19. 0,06 пл. (лично автора-0,02 пл.).

Ю.Суханов С.И. Интервальная оценка смещения высот топографической карты по данным GPS измерений // Современные проблемы прикладной математики и механики: теория, эксперимент и практика : труды Международной конференции, посвященной 90-летию со дня рождения академика H.H. Яненко (Новосибирск, Россия, 30 мая - 4 июня 2011 г.). Номер гос. регистр. 0321101160, ФГУП НТЦ "Информрегистр". — Новосибирск. — 2011. http://conf.nsc.ru/files/conferences/niknik-90/fulltext/38722/47005/ Sukhanovs.pdf. 0,12 пл.

Подписано к печати 18.11.2011 г. Формат бумаги 60x84,16. Печать офсетная. Объем 1 печ. л.

_Заказ Тираж 100 экз.__

Типография АлтГУ 656049, Барнаул, ул. Димитрова, 66

Текст работы Суханов, Сергей Иванович, диссертация по теме Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

61 12-5/1837

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФГБОУ ВПО «Алтайский государственный университет»

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННОГО ПОЛОЖЕНИЯ ГЕООБЪЕКТОВ И ИНТЕРВАЛЬНОЕ ОЦЕНИВАНИЕ ЕГО ТОЧНОСТИ

05.13.18- Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук

На пр иси

Суханов Сергей Иванович

Научный руководитель: к.ф.-м.н., доцент С.И. Жилин

Барнаул - 2011

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ..............................................................................................................3

ГЛАВА 1 ПРОБЛЕМЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ В ЗАДАЧАХ ОЦЕНКИ ТОЧНОСТИ ПРОСТРАНСТВЕННОГО ПОЛОЖЕНИЯ

ГЕООБЪЕКТОВ..............................................................................................•.»» W

1.1 Задачи оценки точности существующих карт, геодезических измерений, данных дистанционного зондирования Земли из космоса..................................10

1.2. Методы математического моделирования при анализе и обработке

геоданных..............................................................................................................................14

1.3. Разработка технологии оценки согласованности и точности пространственных геоданных........................................................................................30

ГЛАВА 2 РАЗРАБОТКА МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ, АЛГОРИТМОВ И ПРОГРАММ АНАЛИЗА ГЕОДАННЫХ, ИХ ТЕСТИРОВАНИЕ ПО ИНФОРМАЦИИ ГИС-ПОЛИГОНА...................................................................47

2.1 Получение геодезической и картографической информации для создания ГИС-полигона...................................................................................................47

2.2 Интервальная оценка параметров формул прямого и обратного преобразования пространственных координат.......................................................51

2.3 Оценка точности растровой карты в плановом положении с использованием метода центра неопределенности...............................................57

2.4 Интервальная оценка смещения высот топографической карты по данным GPS измерений...................................................................................................62

2.5 Сглаживание массива данных рельефа с использованием сплайновых поверхностей........................................................................................................................64

ГЛАВА 3. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ И АЛГОРИТМОВ АНАЛИЗА ГЕОДАННЫХ ПРИ СОЗДАНИИ ЦИФРОВЫХ КАРТ НА ОСНОВЕ КОСМИЧЕСКИХ СНИМКОВ ВЫСОКОГО

РАЗРЕШЕНИЯ......................................................................................................75

3.1 Оценка точности цифровой модели рельефа....................................................76

3.2. Создание цифровых карт на основе космических снимков высокого

разрешения...........................................................................................................................79

ЗАКЛЮЧЕНИЕ......................................................................................................88

ЛИТЕРАТУРА.......................................................................................................90

ПРИЛОЖЕНИЯ...................................................................................................Ю2

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы. Современные методы анализа массивов данных находят применение в самых различных областях теоретических и прикладных исследований, в том числе в геоинформатике при обработке геодезических измерений, построении карт и планов, в кадастровых системах различного назначения и при создании математического и программного обеспечения геоинформационных систем (ГИС). Процедуры анализа массивов данных включают их предобработку, проверку согласованности и полноты, степени пригодности для решения рассматриваемой прикладной задачи и оценки параметров объекта исследования.

Традиционно для решения задач анализа данных используются вероятностно-статистические методы: регрессионный, корреляционный, дисперсионный анализы, методы математической статистики, статистических испытаний, многомерного анализа данных и др. В последнее время интенсивно развивается нестатистический подход к анализу данных, основная идея которого состоит в замене вероятностной модели неопределенных факторов на интервальную модель. Первая работа в этом направлении опубликована в 1962 г. Канторовичем JI.B., который задачу оценки параметров линейной зависимости свел к задаче линейного программирования [52]. Дальнейшее развитие методы нестатистического (интервального) анализа получили в работах таких авторов1 как Бельфорте Г., Вощинин А.П., Сотиров Г.Р., Жилин С.И,, Кумков С.И., Максимов A.B., Миланезе М., Орлов А.И., Оскорбин Н.М., Подружко A.A., Подружко A.C., Пронцато П., Родионова O.E., Суханов В.А., Шарый С.П. и др.

С формальной точки зрения, при отказе от вероятностного описания неопределенности происходит потеря информации, однако за счет получения устойчивых оценок, возможности привлечения к анализу данных априорной информации, эффективного выявления совокупностей противоречивых данных и знаний, эта потеря в ряде прикладных задач компенсируется. При ин-

1 Анализ работ по интервальному оцениванию параметров проведен в главе 1

3

тервальном оценивании усложняются и численные методы, которые в интервальном анализе применяются для решения сложных экстремальных задач, однако они могут базироваться на современных пакетах прикладных программ.

Данная работа посвящена применению интервального анализа для решения задачи оценки точности положения геообъектов, в которой неопределенности связаны с инструментальными погрешностями геодезических измерений и с погрешностями «сколки» значений координат с карт и космос-нимков, а также с погрешностями их изготовления. Одной из основных проблем данной области является разработка специальных математических моделей пространственного положения геообъектов и их перемещений, совместных с ограничениями, диктуемыми используемой информацией (совокупностью фактов, априорных знаний, измерений и т.п.) и образующими так называемое информационное множество.

Практическое использование математических моделей, численных методов и комплекса программного обеспечения позволило бы существенно повысить точность выполнения картографических и геодезических работ. Результаты работы могут быть использованы при разработке специализированных модулей в ГИС-технологиях. Таким образом, тема диссертации является актуальной.